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Getrennte Veränderlichen

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genannt werden an der TU Darmstadt guten
Morgen das war neu wird es aber ja ich bin so es das hat dann wird man auch es wenn von der auf Formate und nur ein und machen das noch fahren werden würden kann ws war der Veränderung
war das ein guter sein Reich das das trat eine Kleingruppe her unter anderem das eine Ablauf der also was immer das so soll dabei werde nicht er selbst den die erlegte Länderspiele hat unserer also auch immer dann wird auch bis in die da wurde der schreiben dann doch ist er wird auch das können ist ab alle gleichzeitig ein kostenloser dann brauchen wir ganz viele auch Workshops halten unsere 1. 1. ich habe ein paar Leute die sich so brauchen eine begleitende abzuleiten sparen sparen dann Mehr dann unter sein dann ist damit begründet das unter der Leitung können immer allein sondern zu zweit wir haben sehr was aber wir können darum kümmerten Sachen wie in einer eigenen Umfrage zu bewahren so machen geht aber auf der anderen Seite in der haben nur als er dieser an der Seite des das wenn es denke an die dann da ist auch da seine eigene Herr ein paar Eindrücke
derzeit beim 1. Mal anhören ein Bild aus der also wird Jahren
Kleingruppenarbeit das ist ja kein Problem wir halt das wird dann das Studium ein wer aber was ist oder dann würde ich wieder da als
zu können denn das wir haben das und was er Jahren wir werden n damit oder
aber das war immer seit bringen nicht eine Schlange ist wir einmal im Umgang mit der ich werde ich auch in dabei wird warnte und wir kommen auch noch mal wie es das in Ordnung wenn er der erklärt kleine bei wer Fragen beantworten könnte ganz ganz recht ab seit eine um habe am Markt erwartet wird aber war in diesem ja während Interesse hat
könnte deutsche und und da erlebt so ist wir immer uns wer ist an einem anderen zu haben dort oder in das einfach eine Liebe eine er also etwas wer hat er BAP Tor dann also auch
noch von mir guten Tag Herr und herzlich willkommen er an wir waren letztes Mal in die Anfangsgründe der Gewinn Differenzialgleichung eingestiegen ist und das 1. Beispiel mit der ich irre wissen erzählen wollte was eigentlich ne Differenzialgleichung ist war das einfachste Wachstumsmodell das den Anstrich von die Sie mir mal erzählt anhand mit der Idee das eine Gruppe Nation von was auch immer umso mehr wächst immer schon da ist das Wachstum ist proportional zur Größe der Populationen und werden gesehen gesehen was sie da kriegen dann als Lösungen denn exponentielle Wachstum des Funktionen also die Wirtschaftsinformatik Gedenken einen Zins Wachstum der Zuwachses proportional dazu da ist das ist dienstags was dabei rauskommt ist im exponential ist sie das Wachstum und Einheiten der ehrlich gesagt dass es aber viele Bereiche gibt wo ungebremstes exponentielles Wachstum einfach unrealistisch ist und das man jetzt dass er an wachsendes nur der natürlich wenig her 1 kann ich hatte ihn ein anderes mitgebracht das war das logistische Wachstumsmodell bei dem man davon ausgeht das ist eine Grenze Populationen gebe die 6. erreicht werden kann der dich auf 1 gesetzt wie 100 Prozent und das eben das Wachstum zum 100. alles zur Menge der Hunde so die schon da ist dann eben auch proportional zu diesem Abstand vom Sättigungsgrad also zum maximal möglichen der maximal möglichen Populationen und die DDR die dabei herausgekommen war war dann Anstrich und die ist mir die gleiche Konstante wie gerade eben mal y und die Wahl eines -minus y hell und im Gegensatz zu der Gleichung kommt zu der 1. Gleichung vom exponentiellen Wachstum weltweit werden wir gleich und jetzt ungleich schwerer Minurso so explizit zu raten was nicht erst mal probiert hat seit Dienstag ohne jetzt Skript vor zu blättern sondern einfach nur überlegen raten kommt man da eigentlich nicht so leicht drauf wir werden Sie nächste Woche ausrechnen die Lösung oder vielleicht heute noch aber im 1. Moment und es werden sieht das schwierig aus aber ich will Ihnen zeigen und das ist was was ganz wesentlich ist eine Differenzialgleichung zu tun hat dass man trotzdem noch einmal sie nicht lösen kann und die wenigsten Anzahl kann man explizit lösen dann stellen Sie sich vor er das Strudel von Wasser also wenn Sie könnten Sie haben jetzt hält das Schiff durch die Schiffsschraube dreht sich ja wie das Wasser sich jetzt bewegt das ist durch Differenzialgleichung beschrieben aber sie werden garantiert nicht versuchen wollen explizit diese Lösung auszurechnen der das ist da sind so viele Stunden Turbulenzen drin ist kommt der hoffnungslos aber man kann in der Gleichung sehr oft Eigenschaften der Lösung ansehen ohne die Lösung
auszurechnen das will ich in diesem Beispiel meines sie mit Ihnen diskutieren und dazu charmant obwohl es allen wer schauen uns diese
Gleichung an und stellen fest dass es nur auf sondern mit dem wir uns ja gleich was ist normal tummeln also Nils die man von y ab die rechte Seite aber nicht und die explizit sind wirksam und die aber die auch von The aber nicht noch und geh einzeln und in dem Fall war es ist immer sich die rechte Seite mal anzuschauen als Funktion von diesem y also betrachten Sie wenn Sie die Funktion f von R nach R und die setzen sie gleich dieser rechten Seite also F von X ist mir mal x mal 1 -minus x das ist die rechte Seite der Gleichung bei den Reifen Wasserfontäne steht nix eingesetzt und die man uns mein Name hier 1 wenn sich die Funktion f
angucken was ist das erstmals modifiziertes ist ne nach unten der Parade nieder Sixt geraten unterwegs -minus möglichst muss möglichst und klar seine Stimme und 1 ist das denn nun es geht man 8. also das als qualitativ die folgende war müssen nach unten geöffnete Parabel die 0 1 0 ist du das das Ende mehr und diesen 11 sehen Sie ganz ganz viel über die Gleichung über die Lösung der Gleichung aber man muss sich klarmachen was ist die Gleichung die Gleichung ist y strich von ist er von y wer mit diesen das heißt das er sagt ihnen gegeben immer wundert das größte YSR 10 an die Änderungen der Präparationskurs in diesem Moment das kann man verschiedene Fälle durchspielen denn es bestehen sie immer vor ihre Population er dann anfangen die größte im Viertel also 25 Prozent das heißt nicht es geht eine Regierung dann das heißt 25 Prozent der Grenzkontrolle zu um zerreißt es geht jetzt ein 3. liegt ungefähr hier der also wenn ihre Population die Größe ein Viertel hat dann ist er von diesem y er City das heißt der des Landstriches pro sie Thiele ist ,komma 1 den einen ,komma an der Stelle 0 er bislang von einem sagte ist es alle bisher sein die Ableitung an dieser Stelle ist positiv da sie es halten das einst das Viertel die Funktion des in 0 oder an der Stelle aber mit der positiven Ableitungen das heißt die steigt und man jetzt dass der Wert von y dadurch wächst dann rutschen sie auf dem Bild hier oder von dem einen würden weiter nach rechts her und die Ableitung wird und dass es wird noch größer der Anwendungen ist wird noch größer das heißt das Wachstum sie dann verstärkt sich sogar nach der Zeit ist ihre pulation fünfzigprozentigen 202 erreicht hat dann bleibt er der Lampe die das heißt wir Landstrich bleibt positiv aber er wird langsam bis er ,komma wird langsam wieder kleine das Wachstum schwächt sich ab was sie also kriegen ist eine sehr denn eine qualitative Gehässigkeit keines keine Schreiber sie kriegen ein Wachstumsprozess der sich der Staat bis über eineinhalb sind und ab Einhalt bleibt es ein Wachstumsprozess aber das Wachstum wird immer schwächer und je mehr sie 1 kommen desto geringer wird das Y strich bist du der kleine wird die Ableitung der Ableitung geht gegen 0 und ihre Population nähert sich als untauglich der 1 an dem also was sie kriegen es ungefähr so uncool und Verlauf des kann man ungefähr sagen was natürlich nicht genau ausgerechnet hat im Moment und die kriegen wenn sie das Teil noch unendlich laufen lassen mit dem Grund für die Nation ich denke es Population 1 an der das alles nur aus diesem Bild von dem er gezogen ohne das denn konkret zu müssen Werner und sogar eine Form andere Fälle durchspielen was passiert wenn sie bei 3 Viertel starten um wäre es da sie wenn sie bei wenn sie es hören nur gleich 3 Viertel setzen dann starten Sie hier oben bei 3 es wird äh 3 Viertel ist positiv das heißt er so wächst aber das Wachstum wird immer geringer und sie kriegen auch wieder Sonne asymptotische Entwicklungen gegen eine der besten sogar machen Sie können mal genauer mit der Genfer pulation starten dass wir sehr wenn sie jetzt von 0 gleich einsetzen was bedeutet das die sitzen am Anfang hier in der 1 und was ist die Änderung ihrer Populationsgröße wenn viel zu wenig y 1 ist er von 1 ist 0 die entnommen so ändert sich nicht die Leid 1 oder änderte sich auch in Zukunft nicht unweit 1 und bleibt ein so sobald 1 und sie haben sogenannten Gleichgewichtszustand wenn Sie wenn Sie genau mit der Grenze Population starten dann bleibt die für alle Ewigkeiten erhalten Gleichgewichtszustand oder sowas nennt man auch eine stationäre Lösung weil sie eben der Zeit stationär ist und sich nicht ändert wenn sich die Gleichung angucken dich jetzt nicht mehr da aber so meinen also wir und von Thema 1 -minus y und die man will sehen Sie aber wenn sie vom Funktion konstant 1 nehmen dann steht auf der linken Seite der Gleichung Landstrich also der Ablehnung der Funktion was dann 1 ist 0 und auf der rechten Seite der Gleichung steht 1 2 0 1 steht auch immer sie nur so zu hören jetzt schon das alles haben ,komma noch und noch eine Frage übrig aber normal weiter 3 halbe starten mag im 1. Moment seltsam erscheint aber mathematisch natürlich sie nicht also der Staat mit mir über mitnehmen gerungen was passiert dann schauen Sie hier erfahren wenn Evolution 3 halbe groß ist dann ist Y strich er von 3 halbe er aber alles negativ das heißt die so nimmt ab und zwar in immer langsamer ab je näher sie an 1 kaum und sie kriegen das gleiche Bild wie von unten jetzt von oben also die nimmt ab aber geht langsam auf die einst zu und nähert sich von oben der 1 wo so sehen Sie kann man das gerade Gegenteil der Wahrheit der Lösung einer Gleichung ablesen oder die gleichen war zu lösen und wenn die Gleichung komplizierter wird es das das einzige was sie noch machen können also die Gleichung können aber oder ebenso qualitativ behandeln aber sie werden bei kompensieren Gleichung nicht mehr schlafen die explizit auszurechnen und was man in dieser Gleichung hier sieht ist eine der Mann der Autor Gleichungen ganz allgemein eigen ist alle Lösungen die ich Ihnen jetzt gemalt hat sind monoton unter wachsender monoton fallen auch diese konstant 1 Lösung ist in unserm Sinne wachsende und monoton fallende Funktion und das ist was was autonome Gleichungen prinzipiell auszeichnet und das hab ich ihn als Übungsaufgabe mitgebracht 8. und dieser
bisschen knackig der wenn sie eine autonome gleich und haben also eine rechte Seite empfehlen in deren tialgleichung die man eher nach er und stetig ist der dann kann man zeigen dass jede Lösung immer monoton ist also jede Lösung der tialgleichung y Strich von The gleich 11 von y Phontäne also nur Autobombe Gleichung sowie unsere zum Beispiel darum unsere logistisches dieses Wachstumsmodelle jede Lösung dieser Gleichung ist entweder monoton fallend oder monoton wachsend wer ist durchaus beinhaltet dass sie auch konstant sein kann das ist dann auch monoton fallend und monoton wachsend Bürger man kann sogar wenn man sich wieder das Bild von roten Augen wird ganz allgemein sagen wann was den konstant
lassen stationäre hören an autonomen Gleichungen Inseln autonome gleichem haben können Sie mir das 1. Mal und stationäre Lösung kriegen sie dann alle Nullstellen von f er aber es nun ist haben sie diese fällt wenn Sie mir eine kurze starten die genau diesen Wert hat dann ist immer das ,komma gleiche von y wenn Sie genau diese Größe haben es jetzt ,komma 0 Totilas Losung leichter nehmen also sie haben bei unserem Beispiel von oben Diesel dieses der logistische Wachstumsmodell hat genau 2 stationäre Lösungen die einer Mischung gehören nämlich 1 wenn sie mit der Grenz Population starten wer dieser Ähnlichkeiten erhalten und sie hat noch eine aus der Logik des Modells sehr sinnvolle stationäre Lösungen nicht nur von starten dann kann sich so lang vermehren diese wilde bleibt und ob es die 2. stationären ist zur wie gesagt wir werden nachher wechselte die Lösung für dieses Wachstumsmodellen erwies sich Jackson oder noch ausrechnen das weiß nur um ihn zu zeigen man kann auch schon sehr viel sehen ohne explizit zu rechnen und ich will diesen Einführungs Abschnitt jetzt abschließen mit der formalen Definition und was nicht was wir Differenzialgleichung ist genau das was Anfangswertproblem müsste dann werden wir sehen wenn Sie Differenzialgleichung haben wie zum Beispiel unser exponentielles Wachstumsmodell am Anfang hat die meistens ziemlich viel Lösung im Allgemeinen ähnlich wie am 7. trägt auch wieder beim logistischen Wachstumsmodell je nachdem welchen Anfangszustand wir bewundert sondern bringt wichtige Lösung das heißt diese Anfangszustand ist ne ganz wichtige Größe wenn wenn Sie die Grenze der Gleichung haben und dementsprechend definiert sogenannte Anfangswertproblem Anfangswertproblem es immer Differenzialgleichung zusammen Anfangsbedingungen tja und das mache ich jetzt einmal
in der allgemeinen Form nein Definition eines neuen er meine Differenzialgleichung der Ordnung N also in diese natürliche Zahl der bisher nicht nur sie haben Intervall Teilmenge aber sie haben einen Zeitplan die 0 im Intervall das ist derzeit zudem sie die statt den Anfangszustand vorschreiben wollen wir uns denn die rechte Seite der Gleichung Bros L vermisst der große weil die gleichen in der Ordnung haben also hat ist groß e n +plus 1 Variable nach er und die setzen immer wieder von vorne rein stetig voraus und dann brachen sie bei den gleichen 1. Datenhandel gesehen brauchen Sie denn anfangs wert wer die Funktion selbst also bei unseren wichtig Naxos Modelle mussten wir bislang schreiben und der normale Lösung gekriegt enden denn sie gleichen in Ordnung haben sie dann haben Sie n Freiheitsgrade im Prinzip die n Indications konstanten diese einsame in wenn sie die gleichen in meinen die die der gleichen enttarnen 1 DM gerne so kommt müssen Sie mir die in in die gehen es geht jedes Mal nications konstant und es gibt die weißen Freiheitsgrad und und wie der 1. Tag dann brauchen sie n Anfangsbedingungen und die sind gegeben durch ändern prägende Zahl y 0 y 1 bis Y N -minus 1 was er kann sich jetzt fragen warum ich so komisch von 0 bis N minus 1 ich von 1 ist immer der Grund sehen Sie gleich dran ist das Anfangswertproblem wird oft abgekürzt AWP gegeben erst mal durch die Differenzialgleichung in der Ordnung also in der Ableitung von y =ist gleich rechte Seite 11. das Erbringen von T und von allen niedere Ableitung von y also der 1. der 2. bis zur Ende das 1. Funktionen in den 1. N -minus 1 Ableitungen von y das Differentialgleichungen muss für alle TI gelten und es hat mir ganzen anfangs normal und dann können Sie jetzt jede Differenzialgleichung in der Ordnung lassen und dann kriegen Sie Anfangswerte und was sie machen müssen ist sie müssen die Funktion 10 an einer Stelle T 0 Grad vorschreiben und 2 17. 0 aber eben nicht nur den Funktionswert eines der dir nur sondern auch den Wert der 1. Ableitung der 2. Ableitung der 3. Ableitung zu also müssen denn wer bejahrten Ableitung vor schreiben und der soll YJ seien DJ gleich 0 1 2 bis n -minus zur auch das Ding nennt man ein Anfangswertproblem nein er Anfangswertproblem also anfangs sehr weil eben die Funktion y zum Anfangszeitpunkt in Höhe wenn die Werte und die Anwälte der Abmeldung geschrieben und ein Problem nennt man sowas sind die GLS und und DGN nur Probleme also sein Anfangswertproblem und die Zahl YJ heißen Anfangswerte also etwas für 0 bis y 1 -minus 1 und was ihn normalerweise gegeben ist die Gleichung und sind die ist der Anfangszeit müssen die Anfangswerte von Y das y m -minus 1 die neben beschreiben wie sie Ihr System zum Startzeitpunkt aus und gesund ist die Funktion y die Ihnen sagt wie entwickelt sich das System weiter wenn sie die Ziehzeit unter 0 ablaufen dass er und diesen vom hören die sich da entwickelt wenn Sie die Zeit laufen lassen das ist natürlich das was man dann die Lösung des Anfangswertproblem ist man noch das will ich ihn noch definieren was heißt genau Lösung doch da ist man ohne technische Feinheiten drin also was ist Mehr so wir es mal ganz logisch an Verschwörung seien der Lösung muss musste Funktion seien im Prinzip auch unserm Intervall I lebt danach ergeht und die ganzen gleich erfüllt ich geht aber trotzdem noch meine neues Intervall J 1 das ist die Funktion je nach einer die Folgendes erfüllt ich muss
auch eigentlich sollte sie auf I definiert sein und wir werden innerhalb kürzester Zeit feststellen das ist sehr viel tialgleichung gibt die sie auch im großen derweil ihn schreiben können und sogar vielleicht ganz dahin schreiben können wenn man sie Anfangswertproblem der Zoonosen Außenstelle lässt die ganze Gleichung macht Sinn er oder so existiert zwischen das 1 zu 1 in der außerhäuslichen dann was sie in dass wir Lösung haben Kleinteilen derweil existiert und deswegen müssen wir hier noch ein kleines hat und dann dort einführen also wir sagen dass Y Lösung wenn es auf einem offenen Intervall J definiert ist das Teilmenge von is natürlich weit überwiegend die Gleichung und was wir noch brauchen damit der anfangs viel Sinn macht unser Anfangszeitpunkt Grundtenor oder der muss natürlich nie dort leben aber als Insellösung nahm Wahnsinn in der Intervall das das die 0 enthält auch die Lösung x ist dir was brauchen Sie nach der Lösung soll die Differenzialgleichung lösen damit sie
das steuern kann sollte sie bitte schon immer differenzierter sein oder Funktion die ich in meinem Zimmer ist natürlich keine Lösung darum zu sein weil keiner weiß was geändert werden müssen aber sonst sein soll also wir wollen dass unsere Lösung n mal stetig differenzierbar ist auf den Winter war ja mehr antreten soll sie bitte schön würden also soll die in Gleichung da oben ja das so haben Sie in Gleichungen haben das N Gleichungen das zum eine Differenzialgleichung dass die 1. und sie -minus 1 Gleichung für die anfangs wir sogar NRW an das Weltall sind so in dass einst Staat der und jeder solche Funktionen eine Lösung der Differenzial des Anfangswertproblem ist wir das ist als meine Definition und es kann durchaus passieren dass ich an Einzelproblemen schreiben noch keine Lösung hat ein in dem Sinne nicht aber das kommt später das kann Ihnen passieren dass ich und ähnlich wie Lösung hat das ist damit er gar nicht gesagt dass es mal die Mindestvoraussetzung die wir eine Lösung haben wenn sie sollte die soll so sein dass die Gleichung zumindest vernünftig definiert das alles was eine Gleichung drinsteht diese Funktion Sinn macht zu uns ehrlich gesagt da brauchen Sie sind dabei ja weil im Allgemeinen keine Lösung auf die kriegen wenn Sie ganz des Krieges das besonders schön dass den Krieg das besonders schöne Namen also wenn sie tatsächlich Lösung kriegen die auf dem ganzen Intervall lebt auf dem auch die Differentialgleichungen lebt also wenn Sie gleich wählen können dann heißt die Lösung der globale Lösung suchen neben der die Differenzialgleichung ist das wie obs bilden vergleichen ist dass jedes
Universum mit den sie wäre und halt gibt Kriege zur Losung Teilen der Wahlen aber wenn's auch da ganz offen ganzen dabei Lösung gibt dann nennt man die global Torres mit diesem J-Mag im Moment noch ein bisschen so tierisch erscheinen aber Tibet ist hoffentlich am Ende dieser Vorlesung spätestens Anfang der nächsten Berlin ,komma zeigen wo das Nordex es ist essenziell wichtig ist zur das ist anfangs Geplänkel zum beim Vergleich ungelesene wissen jetzt was ganz gleichen ist wissen was Anfangswertproblem ist wissen was hören ist aber die Frage ist natürlich also die drängende Frage sie ,komma die Lösung an und die klare Antwort ist im Allgemeinen gar nicht da also wenn sie sich dann als mir gewöhnlich wenn Vergleich immer nehmen und die ist nicht gerade zufällig in einer von den 3 4 Geschichten Klassen ist wussten Trick gibt die man ausrechnen kann dann kriegen Sie hier so halt das ich was ein weites Feld Mehr eine Lösung von Wand tialgleichung näherungsweise zu bestimmen ob ein Bereich in dem sich einige von ihnen auch mal was tun werden aber das ist da sicher Anwendung für sonst sehr gute Näherung Software gegeben die Gleichung wir haben uns für das Problem eine gute Näherung Lösung aus und trotzdem diesen Sorten von denen tialgleichung Haushalt Lösung auszurechnen und wenn es am Anfang konkret ist wann wir damit an und schauen uns sogenannte elementarer Lösungsmethoden an
also etwa würden mit denen man auch Differentialgleichungen losgehen kann die wirklich dann explizite Lösungen wie etwa wenn es wird das wenn es mit Papier und ein Stift nur klappen wenn die Gleichung kürzer ist als ne halbe Seite er und auch eben nur bei der speziellen wir gleich ist zu und das Erste was ich Ihnen zeigen will sind so genannte Gleichung mit getrennten veränderlichen und ein schönes Beispiel dafür dass das das sind gut so logistisches Wachstumsmodelle also ich mir da nicht so das danke wir wird und vielleicht seit ich erst kurz sagen was heißt das getrennte Veränderliche vom getrennt getrennte veränderlicher heißt ja normalerweise wenn sich der DGL 1. Ordnung anschauen dann hat in dieser Raum y strich er Treffpunkt für Andrea Y und den und jetzt kann diese vom zu hören damit ich will sein eine könnte sein Thema y von wenig einfache aber die kann eben auch sein Sinus und leblos abgestandenes Frauen-Thema y und Hochtief Band The hoch 7 was wir also ungefähr zur PBP und werde bislang auch und man sagt dass diese Funktion eben von getrennten veränderlichen ist wenn Sie diese wenn sie diese Abhängigkeit nach der noch y multiplikativ trennen können also wenn Sie das schreiben können also Funktionen die noch von der abhängt meine Funktion HDO wurde bislang aber immer nur die negativen Werbung dazwischen haben Sie die Variablen getrennt bewusst sozusagen die Idee an sich ist die Trennlinie links ist alles was von t abhängt und recht dass alles was wir bis auf das sind getrennte veränderlich und das ist eine große Klasse von Differentialgleichungen bei den du bei diesen Standard richtig denn nur so liefern kann wenn Sie die auftreten wenn die gerade lösen könnten to und ein Beispiel dafür ist immer so logistisches Wachstumsmodell Dramas die gleich noch
meinen und überlegen uns warum die von getrennten wenn Menschen ist es Landstrich von The war was waren wir mal y von die mal 1 -minus y von und des also genau und damit trivialerweise von getrennten verinnerlichen bei der Funktionen die die und abhängt gibt einfach nicht denke y aber also das heißt sie das hier als haben y und gehe von konstant ist es dieses trivialerweise von getrennten verinnerlichen weil die eine veränderliche taucht gar nicht auf und als jeder nahe Begleichung ist insbesondere eine von getrennt zur Mehr Sekte machen es wir gehen einfach mal das ist auch so eine ganz typische Ansatz wenn sie versuchen Lösung rauszukriegen sie gehen wir davon aus sie haben eine wer also haben nur sagen ich nehme morgen derweil nun endlich wenn die Idee dass wir zum Zeitpunkt der gleich 0 im starten dann war auch mit dabei nun endlich nach er und das eine Lösung von dieser Differenzialgleichung ohne zu wissen ob es eine geht das die aus sie haben eine Unsinn wir wollen noch immer gerngesehen im wieder spannende Bereich unserer Lösung ist der zwischen y zwischen und einst nur und am so die die die Intuition wenn sie mit dem Start will der Staat aber zu sicheren 1 starten das war das Bild und fallen dann wird auch die Losung immer zwischen 1 bleiben also ja das was wir haben so oder so also das eine Lösung die ihnen in der Wein 0 1 ist für alle die die größte gleich 0 ist das natürlich welche her bei er es ist irgendwie aus der Überlegung war plausibel das Lösung die zwischen 1 startet er bleibt aber wie sieht es da gar nix aber die aber auch nicht aber und das ist ein wesentlicher Schritt beim Umgang mit Differentialgleichungen wenn Sie mit welcher tialgleichung zu tun haben heiligt der Zweck die Mittel n sie brauchen und wollen eine Lösung das ist das ganze Drama und die damals worden nur so dabei sind Ideen eine Lösung haben es alles gut weil nachweisen dass das wirklich nur so ist ist beim einfach also selbst die Gleichung 1 und der nur so dass schlussendlich aber das schwierige ist will das schwierige ist wer im orakeln IG würde Lösung zu kriegen sind weil sie meine Idee haben und sei die noch so vage oder noch so absurd entstanden mit noch so viel mathematischer nicht zulässiger Schweinerei wenn Sie den Kandidaten haben dann ganz einfach ausprobieren was tut ohne dass sein Tod am sie geworden war haben wir nur so deswegen sie doch alles machen was dazu dient wie Idee zu kriegen und wenn das nicht der Mann alles aber man sollte man eine Probe habe und dass es da was was wenn man so sagen ganz strengen 1 1 A 1 alles ist Schule kommt wenn man mit dieser sei welche man zu tun pflegt ein würden die die Haare aufstellen dass zum Teil aber man muss immer bedenken was wir hier machen ist nicht sauber sein wir brauchen die des und eine Möglichkeit ist dass wenn es mal davon aus das Lösung und gucken mal was es will die den Darm und vielleicht kriegen wir ja was aus unseren 1 haben muss die so aussehen und dann können wir gucken ob dies auch die und das ist das was wir hier machen zur also wenn es eine Lösung haben dann ist das schon dann ist die neue Nummer 1 und dann darf ich das was da recht was bei rechts steht y einzelne so dann weil durch die Medien dazu dient diese ganze Distel also Landstrich durch y a 1 -minus y das schöne an diesen Term ist wenn die bessere Lösung ist dann ist dieser Ausdruck Konstanten denn bislang gar nicht mehr ab des konstanten wir tun zwar für T Polster gleich nur Böden doch was müssen wir machen dem brauchen y und anderen tialgleichung integrieren das Ding mal integrieren sehen weil diese Funktion nur das von 0 bis 10 wenn Sie die rechte Seite integrieren das einfachere Teil die rechte Seite 0 bis T integrieren also 0 bis T Übermüdung des Tao das ist einfach eine Konstante integriert die Kastan Gemeindewahlen ist wie weit ich ist das Tal ,komma aufgetaucht was eigentlich nicht der wieder einmal griechischen los das ist das Kriterium 3. kleines gehen ja eher an Weise da sollte sofort der interne Browser an anspringen Integral 0 TDT macht keinen Sinn hinten Integral in endlich tätigen Integral die war ja Integrations variables lokale Variable der Prozedur integrieren wir das aus ist globale Variable das der Protest der Funktion vor so wer macht keinen Sinn das kann nicht gutgehen ist es aber so sieht das ist sowas wo man immer auch selber drauf gucken kann was er weiß ein nämlich oft passiert dass die Wahl der Indikatoren Integrations Marianne der Grenze steht ist über sie lachen kann nicht sein ja und wenn sie wieder haben sich also 2 ja ich immer noch alles gestimmt denn sie geht damit Grenzen und Integration 2 danach immer noch da auch garantiert dass jeder der beiden da sonst Mariannes über Kalenderjahr die danach weg also auch er was irgendwie gestern vergessen hat in einem Forum gepostet dass irgendwelche Probleme 10 ausgerechnet habe die sei so schrecklich wenn die würden von der Dicke von NX abhängen kann ich seine Treue kommerziell kann die von x abhängen weil X integrieren sie weg also derjenige das große Tako genommen wurde konnte man das gar nicht geben weil nix kann ich mit unserer dort kommt es also dass wegen die Trauer so und jetzt wissen wir aber nun H =ist gleich diesem würden auf der rechten Seite der Migräne ist aber dass die also das das Service Integral von 0 bis Star D y ;strichpunkt H o durch y von Tara 1 -minus y und habe des Tao will das ist einfach die Gleichung genutzt so war damit vielleicht bisschen
übersichtlicher ist wir meine Funktion 1 die Funktion und zwar die Funktion f 1 durch x mal 1 -minus liegt wenn man wie verwenden dann wird die Sache etwas übersichtlicher dann steht hier in die 3 von 0 bis die Elf von Y und die mal Y ;strichpunkt WDR als neue Serie die und Trauer und Trauer ich darum aber und wenn so Städte Integrale BF und funktional .punkt sonst riecht dann muss Reflex anlaufen das verpasst da muss sich die Stiftung von selber Anfang das Wort Substitutionen schreiben ohne dass das Gehirn überhaupt einspringt es also zieht wie jene substituieren X gleich y und habe warum na ja was ist dann die X nachdem klar ist dann ist ,komma Wang Tao also ist Text gleich Ybbs Anstrich von Tau die tauchen das Doppelte legt man erst Tag die da oben drin also haben wir was wir haben Minimalziel wird
sind die vom rausgerutscht also mein T =ist gleich diesen Integral Sie gerade noch sehen die Geräte bei mir so subsidiären X gleich y darunter auch dann kriegen wir unten das war die untere Grenze substituieren man tau 0 ist 1 XY von 0 wenn taute 1 XY Conti dann haben sie es von y von der Seele von X und Y ;strichpunkt retardiert Haus einfach Text der das was jetzt dasteht ist aber die Stammfunktion von f am richtigen Grenzen setzen dass es wieder ein y von der ich freilich ich mal y 0 4 das ist das was er Anfangswerte Gleichung ist der zu y 0 des y von The was war das SR er war 1 durch x mal 1 -minus x zur besonders sondern in die gehen jetzt immer aus KPD Differenzialgleichung Rasensamen Kapellen des integrieren will sich jetzt ansehen und geht freundlichen trägt er und 2 Stellen Sie sich vor wir diese würden Bruch mit der mit dem quadratischen bringen da und es entstanden als sie das Zeug auch noch eine gebracht haben das ersetzt man dass es hat mir dort Werke also die dies ist schreibe das Ding irgendwie als eine Summe von Woche mit X Wunden und dem Bruch mit dem 1 -minus x und der reiferen probieren dann stellt man fest in dem Fall tut das wenn Sie es nicht glauben ebenso rückwärts bringen sie doch immer nur auf 1 x mal 1 -minus 6 auf der linken Seite müssen sehr weiter mit 1 -minus x auf der rechten Seite mit X es geht um 1 7 6 +plus x gibt alt wir nicht der Partei davon ist dass sie die Sonne jetzt beim Seetiger eine Sommer sondern ziehen können und die Stammfunktion ich einst Bonn 1 durch x eine Stammfunktion durch ein von einzig 1 -minus x die kennen Sie also das ist der Stammfunktion von 1 durch x ist der Rhythmus von Betrag X wischen y holen und y von Till Achtung bei der Stammfunktion von 1 durch x stammt vom sondern 1 x im Allgemeinen nicht allen von X Thomas Elend von Betrag X das geht gerne vergessen und wird so sehr seltsamen Ergebnissen werden wenn der anfangs falsch wäre das Gleiche gilt für den einst durch 1 -minus x die Stammfunktion davon das Elend von betrage 1 -minus x Behörde und auch das X gleich y 0 bis XP ich y Herr zur Werte sonst bei der dieser Betrag zu brauchen das unsere Betrag Gedanken machen wir angesagt und so y liegt nach Annahme oder nach unserer Vorstellung immer zwischen rund 1 der aber die das heißt egal dass wenn diese über und leicht einsetzen alles was einsetzen positiv zwischen uneins und damit werden die betrage der Beträge in dem Fall wieder weg aber wichtig ist eben sie erst mal den zu schreiben also machen Sie sich das zum Reflex wenn Sie die Stammfunktion von 1 durch x schreiben schreiben Sie als man allen vom Betrag X sehen und dann überlegen Sie warum sind alles was wir da lassen können aber diesen Betrag einfach mal so zu vergessen kann so unangenehmen Begleiterscheinungen zur also in dem Fall aber kein Betrag wegen unsere Annahme eines y und Sie kriegen allen von Y und die man Elend von Y 0 muss allen von 1 -minus y von T ein Fehler dass er meint es aber sie die weil wir gesagt dann unseren zuletzt alles immer zu viel ein alles auch 1 -minus und immer positiv und auch hier ist Betrag nicht mehr da -minus allen mein einziges y sollte man lange Schlangen
von nur 1 die kann man auch sehr schön zusammenfasst man sich ist welchen an Rechenregel wird man erinnert Rhythmus von A +plus bis Logos von Ahmad will ich bei der aber sowas von weh wird muss man auch mal weh und so weiter man das alles auf einen großen was das ist der Rhythmus fahren y von The irgendwas stimmt hier nicht ja wir deren das Minuszeichen verschütt gegangen und zwar hier über das ist -minus der Bau müsse -minus aber wenn Sie die Stammfunktion von einst durch 1 -minus x bilden konnte wird muss von den den aus mal -minus 1 für die innere Ableitung Männerstimmen das selber nix mehr denn wenn sie es umgekehrt anschauen leiten sie allen von 1 -minus x ab dem sie einst durch 1 -minus x meinen Arbeit und dieses -minus 1 müssen wir korrigieren also habe ich jedoch geschlos Musik das Minuszeichen durchziehen die Ziele Minuszeichen dann "anführungszeichen mehrfach das wo ich mir also dass es bei allen habe Zählern mal 1 -minus y war da ich in Männer steht sie waren wohl mal 1 -minus y und die zwar bei sich hatte ich war das was wir jetzt damit rausgekriegt haben gerade am Anfang erst nächsten seine Domain also den Zwischenstand es wir mal das
ist der Rhythmus von y von mal 1 wenn das Y 0 durch y 0 mal 1 -minus y von Dell das worden was wir ja mal wird das Y Phontäne sehen es noch nicht so gut aus aber es sieht doch deutlich besser aus als vorher haben keine Apps ,komma mehr was wir machen müssen diese gleichen y auflösen und das geht in dem Fall glücklicherweise ich also machen wir uns dran auf beiden Seiten die Exponentialfunktion drauf werfen er hochmütige ist damit y Frauenthema einzelne 14 an durch y nur mal 1 -minus y von Till wer dann können Sie denn genau multiplizieren erhoffen wir gehen mal y 0 mal 1 -minus y von Tilly ist y von Tilman 1 -minus wird wohl ja alles was mit Y von Themen zu tun hat auf eine Seite er hochmütig MAY 0 =ist gleich y von The mal von rechts kommt 1 -minus y 0 was kommt von links dazu das wird damit ich Wochen also ermittelt worden steht links und dann die 10 -minus er auch mit der bisher nur mal y und gehen mit auf die andere Seite bringen müssen pro das ihr hochmütige jemand jedoch nur Tor und jetzt immer noch schon nah dran aber das kriegen sie was es y Phontäne y von The ist er hochmütige mal y 0 geteilt durch 1 y 0 weil er hochmütige -minus 1 wenn sich der Rauch gehoben dann also jetzt wäre es wenn sie der Frau ihre Lösung y 3. Server die es das was da rechts steht da stehen wird immer nur drin ist es war ganz natürlich und normal das ist der Anfangszustand über und will und die die Losung ihre WGL eindeutig festzulegen sagen wie viel Population zum Zeitpunkt 0 da ist um eine besondere die Population zum Zeitpunkt 0 da ist dann ist Y von Gezeiten Nation zum Zeitpunkt des entsprechend diesem Gesetz das ist die Lösung der logistischen das logistischen Wachstumsmodells 3 Kommentare dazu war er dann alle 3 der 1. ist was man jetzt natürlich checken muss ist dass es den wirkliche Lösung ist also 2 Möglichkeiten zu Ende sind es einfach ein und rechnen aus oder sind hätten das diese Funktion echt zwischen 1 liegt bei solang diese Funktion nicht und liegt alles was wir gemacht haben rigoros das sind die 2 Möglichkeiten wir tut hätten dass die ethischen Normen 1 liegt geht relativ schnell also das kann man ganz gut machen beide Kommentar ist der in das Ding raten dass wir jetzt nicht mehr so leicht gewesen wäre das nicht ob jemand nur so wie der drauf gekommen wäre und 3. Kommentar und das ist wenn ich was zu ja was sehr sehr Bemerkenswertes anhand der Gleichungen aber sicher schön und einfach und schnell mit einem Grafen sehen können was hat dieser was passiert mit dieser Funktion was passiert mit dieser Lösung wächst die Welt des angesehen wenn sie zwischen und 1 startet dann wird immer der Limes wird hingegen unendlich von y von mit 1 sein ist ist ja auch so aus dass sie das hier wirklich nachgerechnet haben sie einige Zeilen geschrieben als anhand der Lösung ich Eigenschaften der Losung zu sehen ist es aber so es schwieriger als anhand des Grafen der zur Tor Gleichung gehe und man so wenn man diese diese Bilder bisschen häufiger angeguckt hat und die lesen kann sieht man sehr viele qualitative Eigenschaften der höheren am geraten von der Funktion die zum Teil dann sogar schwer anhand der Lösungen sie explizit hatte nachzurechnen zur ja wegen des vorgerechnet als ein Beispiel sei der DDR angetreten verinnerlichen und dieses diese Methode die Chirurgen innerhalb der können Sie Prinzip ganz allgemein durch x und das er was der Ausgaben zeige ich Ihnen eines der nach der Pause keine sage ich nichts das ist nicht ganz allgemein durch so nicht sagen was dabei rauskommt aber die Methodik ist genau die die wir hier hatten und da man danach noch ein 2. Leben 2. Beispiel aber jetzt vielleicht erst mal kurz was noch so 2 ich würde gerne die 2. Hälfte anfangen und wie gesagt das 1. Ziel ist jetzt diese Idee ihr zu übertragen auf den allgemeinen Fall worden .punkt von Differentialgleichungen getrennten veränderlichen also aber es ist das ist der Fernseher Gleichung der Form y Strich von Tee in die allgemeine Form ist immer ,komma konnte ist es von DIY die 1. Ableitung ist der Funktion von der war ja mit der der Funktion y und getrennte veränderliche heißt die können das es schreiben 1. funktionieren nur von t abhängt meine Funktion die nur und y abhängen einen WG die andere haben das kann durchaus versteckt sein also dass es keine kompliziert aus aussehen und wenn sie wissen um Frauen stellen sie fest die Krim dass er seine gezogen dort 1 er seine ziehen kann dann kommt jetzt der große Satz 2
2 Thema Trennung der Variablen der im Prinzip eine explizite Lösungsformel angeht für solche Gleichung warum sag ich im Prinzip wenn Sie an das Beispiel von vorhin erinnern was wir unterwegs machen mussten war zweimal integrieren wir muss diese Funktion konstant integrieren das war einfach und muss diese Funktion einzig x-mal 1 -minus x ,komma integrieren das müde 1 können Sie die Funktion g bei dem letzten Beispiel so total banal war das einfach alles andere war im Prinzip die Funktion aber je nachdem wie kommen sie der Nasen kann sein dass sie diesen die gerade nicht explizit schreiben können die Lösung also die die Stammfunktion dann haben sie dort in der Formel für die Lösung aber den Eltern noch diese integraler die sich auch aber es gibt eben Lösungen würden pro Integrale auch Integrale ausrechen Problem zu also wir haben wieder in der Valley und deren diese beiden Funktionen G und H und das geht nur von dir ab also es geht von ihm nach er und das habe ich nur von y abgeht und nach R bei bestätigt werden wer den Nullen IN der Mitte anfangs wird vorschreiben und wir haben anfangs wird y oder wenn Sie meine Gleichung 1. Ordnung Bissinger man nur eine anfangs werden aber wo und was man noch voraussetzen muss damit das ganze Verfahren funktioniert die Funktion h daran durch den Tag seit statt an der Stelle 0 nicht 0 sollen sie also an der Stelle y 0 muss die Funktion haben das Paar gleich 0 sein der habe bisher 0 0 ist das entspreche der unseren Fall dass ihre vom das y 0 also bei den beiden bei logistischen Wachstum das y 0 0 2 0 1 ist das sind die Stellen an denen die rechte Seite Nullstellen hat das sind sich der NWI sehen Sie das aus stationären Lösungen solche Dinge die kein Gesetz als nicht auf das er sah wenn Sie haben y 0 ungleich 0 haben ja dann kriegen Sie in eine Lösung und zwar sogar eine eindeutige weil sie eine Definition von Lösung erinnern dann heißt das was dann existiert ein offenes Intervall der je in das muss ich nicht ganz wie sein das kann ganz in sein muss aber nicht das diesen Anfangszeitpunkt 0 enthält und auf dem das Anfangswertproblem das wie ein Korken also es Landstrich von The leicht des von T meine Haare Zielland Phontäne die aus ihnen y von Tieren
nur gleich y 0 genau eine Lösung sind aber es ist das Schönste was in bei DWL oder bei Anfangswertproblem passieren kann eine Existenz und Eindeutigkeit sagt es gebe Losung und dies eindeutig und man kann in dem Fall das ist sozusagen das das Paradies auf Erden noch 1 noch eine Traume angeben in der Lösung trägt und 2. wenn man sie als auch -minus 1 nach dem Krieg große G und die Buchstaben die sollen brechen seien ja gesehen als sie wollen also wollen dass beide durch die Xtra haben was wir brauchen die Stammfunktion von Klein gegen die Stammfunktion von klein an dessen in stammen Großtieren großer also das groß G an der Stelle Ziel ist das Integral von T 0 bis T er von aber die Trauer und das große war an der Stelle y ist das Integral vom anfangs wird y 0 bis Y der Funktion eines durch Haare gesprochen man Integrations variable statt y wie gesagt wenn Sie jetzt endlich ich ersetzen kommt das meistens nicht dabei heraus also 1 durch haben etwa die Eltern also das groß G sich dann wohl so klein wie er das große heißt die Stammfunktion von einst durch kleine wenn Sie die Beine die GAL ausrechnen können kriegen Lösung in den Sie das große nochmal die Umkehrfunktion bilden und dann wird die verkehrte wenn man muss ein bisschen rechnen Muster integrale lösen und muss eine Umkehrfunktion bilden und 2 Funktionen einer einsetzen aber dann hat eine Lösung zu und es war einmal ein Beispiel wie Beispiel 2 3
enorme DDR von getrennten veränderlichen und diesmal eine wo das G und das Haar weil auftauchen aber zugegebenermaßen auch möglichst einfach wendet man diese wie rechnen muss also betrachten folgendes Anfangswertproblem y Strich von The ist denn mal Wiederanfahren des T SRY von 0 ist alt und es ist jetzt eins sozusagen Herr eher mehr als Heimat getrennten verinnerlichen ist er eh mal 10 und 7 noch Gleichnisses es gehen was das heißt also hier ist das und t =ist gleich t e das Haar von y das y ist die 0 ist 0 das Y 0 ist 1 und insbesondere haben wir damit schon mal die 1. Klippe umschifft weißes Haar von y 0 von 1 ist 1 und das ist nicht nur also uns Satz von oben können zurzeit ich ihn mal kurz denn das war die Reise nach Satz verloren 2 2 ist die Lösung also es kann auch wirklich jeder Song schreiben weil wir wissen dies eindeutig y ist die inverse also die Umkehrfunktion von Großhadern nach groß gehen und das große D ist die Stammfunktion von Klein gegen die an der Stelle T 0 0 T 0 0 ist und was groß aber ist die Stammfunktion von einst durch kleine aber der Stelle y 0 0 sind 2 spezielle war eine Stammfunktion und zwar jeweils halt nicht den ich entscheiden stellenweise sah also doch ausrechnen aber also das war gebrauchen groß gehen Großzahl dass es groß gehen und frei Integral von die 0 ist 0 Integral von 0 bis
D wir sind doch gerade eben noch mal System Teddy Tilda Tau die Tagung der alles kann man sie sehen die gerade das Einheiten Tao Quadrat in Grenzen habe welche nur ist habe ich geh eisenhaltig weitab der Gott dann das große H das ist meistens für aufwendigere Teile der das ist integraler von y 0 bis y ist durch H von Eltern Elterngeld da also was ist das hier y 0 war 1 1 +plus y 1 durch H von älter dabei älter und älter und es geht auch noch aber das ist der Lohn Rhythmus von Betrag älter in Grenzen 11. gleich 1 bis etwa gleich y aber haben und anfangs wert ist lang 0 gleich 1 also zum Zeitpunkt 0 wurde Anfang es unsere Funktion y 1 die Lösung der wichtige Funktion sei mal so richtig defensiver sein Wort dementsprechend wird Zeitlang größer 0 bleiben dort gibt und wir können ja davon ausgehen dass Y nur sein und es würde die 0 wenn sie wieder weg geht hat unsere Gleichung Probleme aber es liegt die also das wird nicht passieren und dann bleibt übrig wenn Kurt muss von y -minus Rhythmus muss von A 1 und das ist so muss man es auch tun damit aber das Haar y über Anna sehr sehr eigentlich brauchen es nicht das Haar Sonnen ist die Umkehrfunktion von Haaren aber die Umkehrfunktion Rhythmus keine Nation wird es uns ja DEU saisonales zusammen nahmen was ist
also y von Till y von TSH auch -minus 1 von die Container das Werk das besser als Abs 1 er Hof und die von diesen halt den Quadrat also in Wochen halte ich aber das sieht es so aus wie man die es war das 1. Mal nicht glaubt man rechne man sie seien nach wie gesagt das schöne bei der 1. Gleichung ist immer nachzuweisen dass was was man irgendwoher hat eine Lösung ist das eine doch noch die Lösung zu kommen das ist das mühsam also Dezember also und einem dubiosen Satz ja des Quadrat gekriegt Problem das aus und stehen also was ist mit Ihrer y von Nullen dieser auch 0 ist 1 das sieht gut aus was mit y strich der Million adäquat ableiten komm erstmal wieder ihren Halteklammer daraus weil die innere Ableitung hatte Quadrat abgeleitet die genau Terry Na und das ist die mal besser kennen also diese seit sie wird uns tatsächlich in dem keine Lösung und das ist kein Zufall sondern wie gesagt allgemein beigetreten veränderlichen so das ganze Verfahren hängt aber natürlich daran dass sich das groß gegen das große H ausrechnen können dass sie dicht und der Funktion bestimmen können wie es ist die nächste Frage das ja hübsch aber wir sollten es werden soll für den Quatsch Mehr und dann sage ich Ihnen bauen sich den Quatsch brauch ich werden weil meistens also ist das saubere und schöne Resultat und meistens ist es schneller und einfacher bevor man das Skript durchgewühlt hat bis man die würde fromme hat einfach selber noch mal die Rechnung zu machen die dahinter steckt er den ich gerne vor
also wir gehen davon aus sie setzten auf einer einsamen Insel an das Geld vergessen ist aber noch da war irgendwas da irgendwas mit dem abgetrennten verinnerlichen aber die Farbe fehlt ihnen hat ein dar also danach Anfrage nicht schwierig oder jetzt kommt ist wirklich also an denn je zum wir keine Mathematik Anwesen also dass es die Gleichung die schreiben Sie sich mal ein bisschen laxien y Strich ist die mal das an ja und einer der und es gab diese andere komischerweise für die Ableitung des y noch Thema ist sind soll ich benutzen gar keine Folgen Mehr wer was jetzt kommt ist und er das heißt nämlich DIY ist das gleiche wie die mal y er war und ist die Medien das y auf die andere Seite 1 bei YY ist das selbe wie nur es ist jetzt einfach mal an dass es keine meine nötig das ist Quatsch aber das tolle ist die der weil was sie jetzt machen es Wasserflasche gesprochen wieder Quatsch aber das können Sie ganz leicht wieder zu fassen und machten mir ja das was er versteht es würde ganz sinnvoll meinen manche gleich mit rechnen Sie weiter was können wir aus dann kriegen wir aus allen voran betrage 10 und Modellen von y ist innerhalb des Quadrats muss konstant und Sie sehen dass sie es auch wenn sie genau die die gerade oder auch ausgerechnet der Name sehr wir machen müssen ist habe das einst bilden die Umkehrfunktion aber dass sozusagen aus dem Lobe Russell also was kriegen wir da wir kriegen y von ist er auch dem Quadrat halbe +plus konstant damit Arbeit alle Lösungen von der Gleichung nur sehen sondern man müsse es den anfangs wild einstellen der anfangs werden so es war als 1 soll derselbe sein y von 0 was selbst von 0 mit unserm Ansatz er auch 0 +plus c also ich auch zähle weil das heißt ist 0 1 wenn wir auch 10 gleich ein sein soll dann muss die wohl hoffentlich nur sein was kriegen wir kriegen die Lösung y von The ist er hoch Inhalte Quadrat war jetzt Text als das ganze Skript durch höhere Gebühren vorne suchen und sie waren Formen er da was machen müssen ist sie müssen halt die Trauernden mit GTX hier was im 1. Moment etwas dubios ist ja aber die Methode ist mir sogar Schnee Rechnungen die Wut ist das denn ist tot und dabei kommt was raus das einzig absolut wichtig ist wenn sie das machen dann ist der Bruder welcher
weil natürlich ist das was allerdings man keine saubere natürlich und niemand garantiert Ihnen dass das was Sie da machen zum Ziele der also zu ist kein Beweis dass das dass das immer so ist es einfach Orakel ohne Lösung her kriegt er das heißt wenn sie auf diese Weise kriegen dann setzte sie am Schluss in Umfragen noch schnell in 2 zeigen warum das Minus weil das ist immer das gleiche Weidemann tialgleichung woher sie ihre Orakel haben woher Sie Ihre Lösung haben sich Ihr Problem wenn sie eine haben dann ist es ganz leicht nachzuweisen tut machen Sie sind sehr alt aber ohne Drogen geht bei der Schnee Rechnung tragen ja die Branche gemacht und schon festgestellt das den zur zur es war das 1. Beispiel noch ein 2. das weiß das einfach möglich hier übt der bisher Striches Thema Y das ist die einfachste nichttriviale von Trendwende nicht also keine noch so ,komma gleich 1 ist auch von getreten veränderlichen aber das ist dann endgültig das war ein bisschen komplizierter aussieht der Besuch Funktion von der Natur das ihre Ableitung das Gleiche ist wie der Koloss von Terry mal er die Funktion unsere müssen nachdenke stellte fest zum mit minimalen Mitteln also mit relativ großen 1 sei Gleichung keine Chance irgendwas zu raten was hin und her zu rechnen ist da braucht man wirklich mit da braucht man Ideen der braucht man im Einsatz über die Trennung der variabel ,komma und anfangs während der sucht man natürlich vor der Vorlesung so aus dass die Konstanten nachher nicht 3 17. sind also schon von uns 3 und dann muss die Gleichung an und stellen das ist wieder eine Frau getreten veränderlichen nur Funktion Kosovos Phontäne meine Funktion und also Mama Trennung der Variablen also was haben wir unsere Gleichung schreiben was wir gleich in der Schmiede Version des y
nachdem Till ist Cosinus von Phontäne Major muss bei der Rechnung ist man müsse aufpassen dass man daran denkt dass y 1 einig von The aber das vergessen wir momentan also was machen wir denn wir trennen die Variablen Neigung der Name auch hier wir schmeißen alles was mit y zu tun hat auf die linke Seite dass was mit dir zu tun hat auf die rechte Seite also kriegen wir ihr auch -minus y y gleich Cosinus von die Idee damit alle Mal ehemalige wieder einschalten können tragen integraler vor und der kann alles was davor steht der 2 und dann ist wieder was da was sie gemacht haben so eine suchen wir müssen diese beiden die Grey lösen Integral errungenes YY gleich in die 3 großen musste die Täter und dann kommt das was bei Bildern tialgleichung immer ist die Berlinerin tialgleichung Böses Fluss integraler ausrichten so egal wie die Gleichung wird wieder auf Integral dieser Rabinowich Sie haben mit der Aussage wir das Landstrich und dann eine Pflanze kommen es sei denn die Krähe Do alarmiert sein die gerade nicht als sie schrecklich sehen ich dann Funktion von ihrem des selbst ist -minus er widersetzen waren und weil er da aber die deren Besitzer dann vom schon vom Cosinus was funktionieren aber der Koloss ist mir das ist sinnlos und die Integrations konstante nicht vergessen wird also wenn man die sich Rechnung getrennt Marianne besser man üblicherweise erst mit unbestimmten der Greiner sowie dessen Schreibweisen für die Stammfunktion an sich Integrations kommt dann kann ein und der dann am Schluss an der Integrationskurs baten anfangs bereit jede dieser Funktion wie das C Kombilösung raus aber natürlich nur eine dieser Lösungen anfangs werden das kann man dann am Schluss einstellen dass das richtige Ziel für warum Kommentar sie würde hier natürlich eigentlich müssten hier 2 Konstanten kriegen auf der linken Seite auf der rechten Seite 1 wir 2 um bestimmte Integrale aber die können Sie natürlich zu der neuen 3. konstant zusammenpasst also wenn der steht wieder sehen wir sind sie dabei aus den Gleisen muss und ich muss gehen setzen Sie C Hightech-Industrie es war bereits der eine hinzuschreiben so sie jetzt oder machen müssen ist das denn nach y auflösen das wird wieder ganz gut also -minus y ist der Rhythmus von minus aus von Terminus zählt viele viele Minuszeichen wird nur das eine -minus können Sie dort drüben schieben und dann kriegen Sie y von The ist -minus den Rhythmus von -minus Dinos von T minus 10 dass die Lösung der damalige Ton nicht unbedingt beworben Tom Buhrow die Lösung was jetzt wildeste anfangs werden und wie gesagt das ist aber jetzt wenn man die y von The Abhängigkeit Ma hat man kann man gut jetzt anhand er es anfangs jetzt die konstante einstellen das ist der nächste Schritt also schreibe immerhin was unsere Lösung war also die Lösung der DGL
ohne anfangs wird man y von die ist -minus natürlichen Rhythmus von -minus Venus von den Ministerien und wird stellen wir den anfangs werde ein also der Anfangswerte ich muss man sich das nicht mehr dran erinnern ich schreibe noch mal hin der die gefordert y von 0 soll 2 1 1 das sondern wir da oben stehen setzt man 0 1 -minus log der nur von 0 7 Uhr also -minus Rhythmus von -minus zählen also bisher allen von -minus 10 gleich -minus 2 und das heißt er hoch -minus C gleich e hoch minus 2 ja was stimmt nicht -minus 10 gleich ihr auf minus 3 Orte da und das heißt jetzt wiederum hat C gleich -minus e hoch minus 2 ist es darum einsetzen haben Sie die endgültige Lösung y von gleich -minus allen von -minus Sinus und die los wie hoch minus 3 und damit das Anfangswertproblem und wobei 8 Daumen Jahren wieder unerlaubte Dinge getan also auch jede Probe zu machen wir sehen Sie Differentialgleichungen ist ein wunderbares Thema um alles ab zu prüfen was man prüfen will weiter müssen sie integrieren so differenzieren dass alles was wir letzte Woche gemacht habe er also werden sie wie wir da wieder um die Krieges differenzieren warum Probe zu machen das Erste ist für die Probe der anfangs werden muss stimmen aber sowas geradegemacht als wenn sie nur einsetzen kriegen Sie den Rhythmus von ich auch -minus 2 -minus über unsere wo -minus 2. 2 und was wir da noch machen müssen diesmal bislang ableiten dass wirklich besteht also Minuszeichen Abmeldung vom über Rhythmus ist 1 durch das was drin steht -minus Linus von Tele +plus i auch minus 2 EL und dann aber doch und dem was drinsteht sehen ableiten den Cosinus aber -minus am 7. ableitenden -minus Kosinus und zum Glück wenn Sie das EU -minus teuer bleiben kommt nichts mehr dazu also das was ein Minuszeichen jagen oder bleibt übrig Kosinus und die ich -minus Genuss von t plus wo Minus 2 und das soll jetzt einen gleich großen Rosmarie Rübsen an also sei aus was Kosinus von
weil die Rücksendung von Terry ist dann haben Sie da oben noch dass es große muss schon die Idee heuer auch das y also in der Woche wir hinaus natürlich ohne Rhythmus von minus Sinus und die muss ich auch -minus 2 Na ja und jetzt hoch -minus irgendwas ist 1 durch ihr auch das er was und das er ohne Rhythmus sich weg und es bleibt und bestehen -minus Dinos Phontäne muss er auch wenn es 2 und wenn man mal Scharping QC was das tatsächlich an so dass und das da ist das Gleiche ist der nur an und wir sind fertig eine an dieser Lehre sollen wenn ich jetzt noch mal zurück ,komma was was ich vorhin gesagt habe an sich die Differenzialgleichung nochmal an die Differenzialgleichung war Landstrich von T gleich Cosinus von TI noch y und die sowas nehmen sie es ja als Intervall die der normalerweise nehmen so dass die rechte Seite natürlich Sinn macht der auf der rechten Seite wird von The steht dann sollten wir die Negativität nicht erlaubt sein wenn sie wird sie die rechte Seite angucken die Macht für jedes dieser die martiges y sind die Macht im sind ja die rechte Seite ist beliebig oft differenzierbar Aufgang ganz Kreuzberg kann überhaupt nichts passieren also immer sofort in die aus er habe ja es eher bei als schöner kann die rechte sei dir gar nicht mehr sein keine Definitionslücken keine Kohle keine statt der hat und überall definiert und jetzt an sich der sondern man steht noch dauern wir behalten uns vor -minus in Tempos EU 2 ihrer -minus 2 es relativ kleines positive relativ klein Mehr also erst 2 Komma 7 die Quadrat ist dann irgendwo wobei 8 nur wer so mit den 8. April von diesem Achtel sehen Sie jetzt die Videos von The aber dass ok aber dann wenn sie nur Rhythmus und dann fängt die Sache angeht und das geht nur solange gut wieder kleiner ist als das um -minus 2 bei der Sinus größer wird als die Summe 8. gegen das Ding um die Ohren und das ist tatsächlich so also wenn sich die Funktion wahrgenommen sie diese aus der Siegersong von der
Gleichung wir sehen das passt gut 1 bis Kommune super ja also der anfangs würde sehr wohl dass die gleich das haben wir gerade auch ausgerechnet und die Funktion existiert einfach noch ein bisschen weiter unten als minus 3 bis 7 bis 10 über 0 und danach ist die Funktion der und das ist der Weg den ich vorhin angesprochen habe es kann passieren dass sie eine noch so schöne Gleichung haben und die wir haben existiert nur männlichen dabei glaubt dass mit Heine gefunden haben und das ist das was hier passiert auch unter worauf man immer wieder 8. und das ist eine Gleichung die Hand nach der Salzwiesen verinnerlichen genau eine Lösung als anfangs sehr wohl genau Lösung aber diese Lösung ist nicht global sondern sie explodiert nach Wiener binnen 7 0 anfangen und in der Zeit vom laufen dann Mehr haben Sie eine Lösung nicht lange was hat es denn nach 0 Komma 1 Sekunden ist die Nirvana verschwunden nein nicht das das liegt daran dass
dieser Differenzialgleichung einen extremen Wachstumseffekt hat eine extreme Verstärkung der wenn Sie mal schauen was passiert wenn das wenn die Größe y starten die ich sehr sehr groß wird dann also wenn in ihrer Funktion groß dass es sich auf dem Weg nach rechts wird sicher groß was passiert damit ihre Ableitung der Kursus macht da irgendwas aber die Ableitung der Größe ist einen wesentlichen wie immer auch diese Zahl das heißt man y sehr groß ist dann ist die Ableitung noch viel größer weil exponentielles Wachstum wenn die alle sehr groß die Funktion schnell größer berechnete noch größere für aber noch größere funktioniert muss die werden das habe sich auf und die Funktion machten ab wir bei dieser das sie haben sein extremer Resonanzeffekte je größer die Funktion umso exponentiell größere die Ableitungen das den explodiert die um die Ohren dass das was hier das gilt nur der Tod das war das Thema getrennte veränderliche ein Beispiel von Tonnen von Gleichungen und explizit was ausrechnen kann und das ganze Kapitel sind gleich die man explizit ausrechnen kann und die nächste Sorte die ich Ihnen zeigen wir sind so genannte homogen Differenzialgleichung und deren ergeben sind was was man jetzt auch die getrennten veränderlichen zurückspielen kann er lange nicht so wichtig wie die getrennten veränderlichen aber ich will sie machen um ihnen zu zeigen alles einfach nicht denn ist ein Beispiel dafür das Substitutions Methoden oft helfen aber was ist eine homogene Differentialgleichungen ja mit einer
Gleichung y strich von 10 bis 11 von y von Till nicht und was man von homogen braucht es dass das nur vom Quotienten der beiden abhängt also hängt nur von y der Pont durch die ab also was soll das heißen es geht der Funktion die wir von A nach er wie sehr des tätig es sie ihre Gleichung ist ,komma Phontäne ist es Phontänen y von The treiben können als die von Y von The durch die das nennt man eine homogene Differentialgleichungen unternahm er kommt keiner die also also wichtig ist der haben kann sehr komplizierten funktionalen Ausdruck auf der rechten Seite aber dem steht immer nur y konnte durch Tim überall da wo da das Land und es stehen stehen in dieser Kombination in war und ist das was schön das weil sie es substituieren könnten wir also die Lösung sie die er es
Substitution und die Gleichung liefern die richtige Substitution gleich mit das seinen G 7 Narren Signalfunktion O und das ist genau die Sätze dann von die richtige wenn Sie jetzt wieder vorstellen ihr y seine Lösung von der Gleichung also jetzt ist Lösung von werden von y Strich von The welche die wir wollen der ich gehe von y von Tillich T 1 bei unsere gleich ohne was geht dann so wenn sie die gleiche wie sie gehen davon aus sie haben und guck mal wie sie die dann aus jetzt kommen Sie mal wenn Sie so zu haben so definieren dass USA bislang durch den geht dann würde so dann schon manchmal anders für den gleichen so löst mit mal aber das ist jetzt die Quotientenregel alles müssen wir machen ableiten mal unten Thema ist ,komma Phontäne -minus oben mal unten ableiten -minus y Phontäne die ableiten kommt ein raus durch Männer Quadrat was ist das das es merken Sie erst mal von den Tieren kürzen das ist ,komma von The den wenn das y und die Geldgeber O also hier steht von die richtige weil täglich die es ohne das Land von der Welt des Quadrates wenn und die nicht also was ist das dass es einst durch die mal y strich y Striches ist aber gehe von y von Tillich den er -minus U Fronte der also dass es einst wichtige weil die von von -minus UV und nicht dass sie diese als man ihn am großen Gewinn aus ist an Gewalt Sergei wird wenn setzen durch gewann seine Führung lösen kann dann setzen Sie nehmen sie Uni-Thema Ärzte noch an Leben wie soll man es lieber sollte lose noch schlimmer aus wieder vor wenn nein die sieht nicht schön aus ich will einfach aus muss nur genau angucke ist angetreten für eine linke diese Funktionen gehe man davon schon im UKE das ist der ganze Trick bei der Sache wenn auf diese Weise Funktion nicht von getrennten fällt mir ja gleich nicht angetreten veränderlichen ist verwirrt ,komma gleicht dem von dem kurz es ist keine wenn das Produkt seiner ziehen wir aber wir müssen die Gleichung umgeschrieben die sind auch Produkt auseinander ziehen kann und die man dann lösen kann also ein wie sie die GLS von getrennten fände nicht das ist die Idee für Wohnmobile und was man da den normalen muss die wieder von getrennten verinnerlichen lösen ja aber ohne immer nur mit dem anderen und dann macht man warf eine Probe war über den getrennten verinnerlichen sowie geschmiert hat das ich das Wort das war mein 1. mal einem Beispiel ich diese nette Substitution und damit der Zurückführung auf ein anderes auf der andere gleich in die man schon kennt ist eine weit verbreitete ich mach dieses nach dass in diesem Eis Bilder homogen wo man das glaub ich noch Bernoulli-Gleichung zu auf sowas also das nehmen Sie das so als ein Beispiel für die ganze Gruppe Möglichkeiten wenn Sie die Gleichung habe während ein haben besonders oft auftaucht dann versuchen Sie immer so substituieren schauen ob die gleichen deutlich freundlicher wird wir schauen uns das eben am nächsten Dienstag noch mal genauer an bis dahin das Wochenende vielen Dank für die ernste das kommen trotz guten Tag und vielen Dank die Aufmerksamkeit Mehr
Konstante
Lösung <Mathematik>
Menge
Momentenproblem
Gleichung
Differentialgleichung
Maßeinheit
Funktion <Mathematik>
Lösung <Mathematik>
Momentenproblem
Asymptotische Entwicklung
Stationäre Lösung
Gleichungssystem
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Lösung <Mathematik>
Anfangsbedingung
Nullstelle
Mischung <Mathematik>
Stationäre Lösung
Ähnlichkeitsgeometrie
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Gleichung
Differentialgleichung
Natürliche Zahl
Anfangswertproblem
Gleichung
Differentialgleichung
Zahl
Gradient
Teilmenge
Freiheitsgrad
Variable
Anfangsbedingung
Differentialgleichungssystem
Höhe
Ordnung n
Offene Abbildung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Große Vereinheitlichung
Momentenproblem
Klasse <Mathematik>
Anfangswertproblem
Gleichungssystem
Gleichung
Sorte <Logik>
Differentialgleichung
Lösung <Mathematik>
Differential
Differentialgleichungssystem
Globale Lösung
Grundraum
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Dicke
Klasse <Mathematik>
Stellenring
Formation <Mathematik>
Gleichung
Differentialgleichung
Term
Mathematische Logik
Desintegration <Mathematik>
Integral
Konstante
Mittelungsverfahren
Lösung <Mathematik>
Variable
Differentialgleichungssystem
Haar-Integral
p-V-Diagramm
Funktion <Mathematik>
Summe
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Substitution
Gleichung
Differentialgleichung
Integral
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Gleichung
Zahl
Ableitung <Topologie>
Mathematische Größe
Eindeutigkeit
Anfangswertproblem
Gleichung
Desintegration <Mathematik>
Integral
Null
Lösung <Mathematik>
Variable
Stammfunktion
Umkehrfunktion
Nullstelle
Stationäre Lösung
Haar-Integral
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Stammfunktion
Umkehrfunktion
Betrag <Mathematik>
Anfangswertproblem
Gleichung
Maßeinheit
Integral
Lösung <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Quadrat
Umkehrfunktion
Momentenproblem
Homogenes Polynom
Betrag <Mathematik>
Mathematiker
Inhalt <Mathematik>
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Null
Konstante
Lösung <Mathematik>
Kosinusfunktion
Variable
Stammfunktion
Bestimmtes Integral
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Integral
Desintegration <Mathematik>
Variationskoeffizient
Sinusfunktion
Mathematische Größe
Kosinusfunktion
Quadrat
Differentialgleichungssystem
Anfangswertproblem
Differentialgleichung
Graph
Homogene Differentialgleichung
Gleichungssystem
Substitution
Gleichung
Differentialgleichung
Zahl
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Quotient
Homogene Differentialgleichung
Substitution
Gleichung
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Getrennte Veränderlichen
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 21
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34547
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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