Bestand wählen
Merken

Extremwertprobleme in mehreren Variablen

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
einer der Herren an der TU Darmstadt gut
dann meine herzlich willkommen und guten Morgen wir haben in den letzten 2 Vorlesungen und den Begriff der Ableitung von Funktion Variablen genähert wenn das partiell abgeleitet und dann die totale Ableitung kennen gelernt und damit sie wird an der Stelle an der wir sozusagen den Begriff der Ableitung vollständig rübergezogen haben wissen man sie ausrechnen wissen das Ableitung auch die Theorie passen müsste und der nächste Schritt ist jetzt wie der Eigenschaften differenzierbarer Funktionen zu sammeln und zu gucken dass es darauf beschränken zu gucken welche der Sätze die wir außen eindimensionalen kennen wir ins Meer in den Saal übertragen können das wir hatten damals für die differenzierbare Überfunktion inzwischen wird Satz werden denn wer einen Satz von Täler und dann entwickelt als Einsatz von Täler Aussagen über Extremalpunkte von Funktionen hergeleiteten das ist jetzt auch für das Programm also Mittelwert sagt Satz von Teller und dann extrem zu betrachten und wenn sie sich denn erst als Sommer vor Augen führen wir den Mittelwert Satz war verschiedene Voraussetzung 11 differenzierter und so weiter dann aber die wesentliche Aussage war es geht ein XI und das lag zwischen x und x 0 zur dass sie den Differenzen Quotienten alle dass diese kannten Steigerung dieses Wissen x 1 x 0 legen an der Stelle x sie es der Besteigung auf Drill war zwischen der Zahl und jetzt sehen Sie schon das wesentliche Problem das wir haben immer das ist mehrdimensional beitragen wollen das ist das Wort weil was heißt zwischen Besitz war .punkt ich im Raum haben was heißt inzwischen auf erst das einfach weil alles so schön sortiert er ist nicht so schön sortiert und das muss uns was einfallen lassen wie es könnte man sagen gut es ist wie mit und Ziele können Rn einfach nicht ordnen und des Weges den Mittelwert wird sinnlos ganz so schlimm ist es nicht es wird dann sinnlos wenn sie Funktionen betrachten die nicht Regel werde sondern legt da wird ist bewegte würdige Funktion und damit insbesondere Funktion von C nach C mit dieser 2 D der Mittelwert Saatchi bestimmter nicht und also da man L der Mann Gegenbeispiele und das ist das was sich durch die ganze Theorie auch der komplexen Funktionen zieht was man verschiedenen Stellen so gern mit letzter und die ihn nicht halten es geht auch noch gut wenn Serie gefunkt und anschauen also Funktionen von er nach R da könne den Mitteleinsatz retten wir können retten indem wir das Wort zwischen vernünftig fassen und letztlich einer Nation einführen und zwar zwischen dadurch retten dass wir uns die Verbindungsstrecke von 2 Punkten angucken müssen 2 Punkte Wohnraum an wen können Sie die gerade die durch die beiden Punkte läuft und jetzt wird das Stück zwischen den Beinen .punkt müsste Verbindungsstrecke und zwischen heißt gebe es geht ein .punkt auf diese Verbindungsstrecke alle muss erstmal die Verbindungsstrecke wenn 2 Punkte A und B in allen oder des und die Zwischenstücke Verbindungsstrecke bezeichne ich mit A B und strich drüber das ist einfach die Menge eben diese Linie die von A nach B geht der Teil der Geraden die durch A und B die wir zwischen A und B die in den kann man am besten durch sogenannte konvex Kombination schreiben also das ist wir gerade mit auf und Richtungsvektor B -minus aber nur sie jetzt alle Lande aus Ehre zu lassen haben Sie die gerade die durch A und B geht nur Bildungswerk das Minus an auch um ist aber wenn sie es nur diese Punkte zwischen A und B haben wollen wenn man sie nur die Länder zwischen 0 und 1 Uhr wenn sie dann da gleich 0 setzen kommt aus dann gleich 1 kommt aber es B -minus al-Sohbi raus drohte der Lander zwischen und 1 haben sie in die Strecke von A nach B es ist die Verbindungsbahn das nennt man dann ganz weniger weiß die Verbindungsstrecke von A nach B nun alt also was das ist ist es ganz anschaulich das was man erwarten würde also der 2 Jahre hier B der ist dieses Stück das er 2 Jahre die Verbindungsstrecke ABM also da steck ich hinter aber das ist eben unser Substitute zwischen mir das sind dies die Punkte die zwischen A und B liegen damit über dem Mittelwert Satz hinschreiben
und eben gleich Idee den eindimensionalen nur es wesentlich keine Differenzen Quotienten haben als wir können nicht so schreiben ist gerade geschrieben habe sondern der anderen Formulierung er von dem das er von ASF Strich von ximal denn das A und wie gesagt es geht nur für Funktionen die wir den er haben ganz wichtige Einschränkung also wir haben wieder eine offene Teilmenge formell des damit wir differenzieren können Funktion auf diesem Ge nach er wie gesagt nur da funktioniert und ich muss total differenzierbar seinen Gewinn gehen weiter und A und B sind 2 beliebige Punkte in gehen und ganz beliebig können wir sie nicht wählen gehen weil wir wollen ja nachher von zwischen sprechen also brauchen dass die Verbindung dass der Punkte der dazwischen liegt zwischen A und B auch noch in die liegt bei sonst ist er strich von ziemlichen berufen und deswegen müssen wir fordern dass die ganz Verbindungsstrecke auch in die also müssen 2 Punkte wären A und B für die die Verbindungsstrecke eine Teilmenge von G ist aber nur das ist nicht automatisch der Fall dann sehe ich mir die so aussieht Unsinn denn das hier Unsinn des Veda dann ist die Verbindungsstrecke Harding die nicht drin das ist gut denn er aber gesagt Intervall unternahm es die ganzen Probleme nicht gehabt aber in R 2 und R n ARD haben sehr viel mehr Möglichkeiten jährige mitreden zu wählen dass man kann auch wenn wir uns so passiert also waren wir die Verbindungsstrecke gehört auch zu die dazu und dann ist die Aussage aber im Prinzip dem eindimensionalen dann gibt es ein XI auf der Verbindungsstrecke also zwischen A und B das er von den
-minus erfahren aber ich kann es nicht eher von dem das er von A durch B -minus A schreiben wir also Vektoren also nicht die auf die andere Seite gegeben ist durch den gravierenden er von Xine das ist die Ableitung von f an der Stelle x 7 mal den -minus aber es ist genau der Mittelwert Satz wenn Sie alles richtig ersetzen und die Ableitung von f müsse ich den Agenten ersetzen und wir freien gravierende Jacobi Matrix weil die Funktion der Welt ist weniger die spezielle Jakobiner Texten den Tag und sehen auch Dimensions mäßig passt alles zusammen der von Bier und von sind Zahlen wir -minus als der Direktor Spaltenvektoren da die der Phonds diesen er Zeilen Lektor bei der damals beiden wird dort auch eine Zahl also ich die zeitgleich zahlt er ist schon mal gut so unter Beweis geht im Wesentlichen so war das wir die Sache und auf den eindimensionalen Fall zurückspielt was den 3. Sieg nach den 1. schauen uns die Funktion f auf der Verwendungszweck der an macht Überwindung Strecke zwischen A und B und dort ist eine eindimensionale Funktion und auf die werden wir den eindimensionalen letzter es ist die Ideen also machen wir das aber wir gucken uns 3 Funktionen an das 1. ist aber die Funktion die uns einfach diese Verbindungsstrecke liefert also seine Funktion g die auf 0 1 definiert ist und in die Menge geht und die von Landau sondern aus 0 1 ist genau diese konvex Kombination A +plus waren damals in -minus das ist die Funktion die wenn sie das Land auch nur noch einschicken genau einmal über Überwindung Linie entlang der Verbindungs gerade von unten und die 2. Funktion die wir jetzt für das folgende entscheidende ist nicht groß es auch auf 0 1 definiert nach R A besetzten Funktion eben von Ihnen dabei nach einer und das ist unsere Funktion klein nach B also die Funktion kleine 11 auf der Bindungslänge diese Funktion auf die können wir jetzt den ab wenn sie eine Mittelwert Satz werfen und sie sehen auch warum dieser weiß schief wenn das kleine erfüllte wird er die Hand wer den er das kleine werden erklärte das groß FAG das große von 0 1 HP und da man keine eindimensionalen damit er zumindest diese war es funktioniert nicht und wie gesagt der noch keine anderen finden einige Zeit zur Funktion hat es gibt aber wir können uns mit diesen trägt noch behelfen also das wir nur machen wollen ist den Mittelwert Satz auf diese Funktion groß es anwendet zu müssen die Voraussetzung prüfen wie groß es muss Differenz bei seiner auf mittlerweile 0 1 und so weiter ja dazu rechnen Einwohner die Ablehnung aus gute
also das sind die Ableitungen von diesen Funktionen des 1. der Funktion gehen aber er sich immerhin die von Lander ist aber es klang dann mal den -minus A aber ja das ist dann die Ableitung von diesen geht es diese Funktion von 0 1 nach die von er nachher des die Ableitung ist also der des Spaltenvektoren also der Kugel Matrix von G an Stelle lahmender ist nicht arg schwer lineare Funktion ist die ableiten wie konstante Caterham fällt weg und übrig bleibt aber dieser Welt der weniger an was Tor damit es gehen Detig dich partiell differenzierbar und das heißt es total differenzierbar das haben wir gesehen wenn sie die partielle Ableitung ausrechnen und die sind stetig mehr die vom konstante Funktion des -minus Adis denn ich Demicheli dann haben wir das Heil Differenzierbarkeit dass man sich mit der untere Teil Differenzierbarkeit das heißt die ist total differenzieren 0 einst und jetzt gegen einen der Kettenregel dass auch das Großeltern ja total differenzierbar dass in dem Fall jetzt ein bisschen überkandidelt weil das groß er ist eine ganz uns gewöhnliche Funktion von 1 ha des total partiell und sonstige Differenzierbarkeit alles das Gleiche das ist einfach Differenzierbarkeit also es groß ist differenzierbare sie über im Intervall 0 1 dass es einfach keine billige Uhr können auch die Ableitung hinschreiben der Strich von Amber bedürfen wenig unterstrich schreiben es geht von 1 A er ist nach der Kettenregel gerade von 11 an der Stelle die von Lamm war mal und wir Grobi Matrix von gehen und Tom wie wir jetzt leben wenn wir den Mittelwert Satz wie wir ihn in einer Dimension in denen gelernt haben und auch 11 an auf große F groß er diese Funktion zu und von einer Reihe haben man mit derweil nach aber differenzierbar also die den Mittelwert sagt in den in letzter Zeit wieder es gibt und und das Ziel dass wenn ich jetzt aber leichtes das XY nachher noch brauche Malta und alles geht und habe zwischen 0 und 1 dort dass sie eher von 1 minus 11 Uhr 0 durch 1 -minus 0 kriegen SF strich er letztlich Tara war 1 -minus 0 Großevent für den Mittelwert damals so hinschreiben überlegen uns was da auf beiden Seiten stehen was ist er von 1 -minus groß von 1 -minus groß er von 0
groß es sagt es kleine nach D also dass es eher von dir von einst war -minus von wir von 0 wie sieht man nicht mehr die eines Verbindungs gerade an der Stelle 0 ist das Ge an einer Stelle 1 ist dass die B also hier steht er von B -minus 11 und A also längst wieder von B -minus er von aber steht rechts die Ablehnung von Großeltern war dann ausgerechnet die wurden der 3. Fund hauen ist das was da steht also er strich von Tau ist der gerade in von 11 an der Stelle des Fanta auch mal die Jakobiner Tricks von G erstellter um es mal 1 -minus 0 das weg S 1 und S ist das hier ist es der Charlie und er von die von Tau und die Jacobi Matrix von war genau konstant bin -minus aber das sind dann nicht mehr und hau ab wird sehen Sie tun wenn Sie meine Gleichung von ganz links nach ganz rechts durchlaufen wer von den er von als gerade einer Stelle mal die -minus das sieht schon gut aus sondern sich was man jetzt als XY nehmen muss dass sie nehmen wir einfach die von Trauer darüber zwischen 0 1 irgendwo wo die läuft wenn sie denn das Argument nur noch 1 laufen lassen die die Verbindungsstrecke von A nach B ab also ist das daraus ganz sicher eine Verbindungsstrecke von ABl und damit haben sie Eksi Unsinn wir sind also einig waren Trick das Ganze auf in eindimensionales Problem zurückgespielt dort den eindimensional wird dazu angewendet um auf die Weise sehen Sie eigentlich die zu den eindimensionalen und den kann man in diesen hoch werden aber danach ist Schluss da kann pro Jahr oder wir sehen Sie diese Mittelwert Satz des ganz hübsche hat eben den einen schon genannten Nachteile in der Funktion der Funktion die nach gehen und der andere war der Sohn würde technische Bedingungen im in der Voraussetzung das er nur funktioniert wenn zu den 2 Punkten die Sie sich ausgesucht haben A und B die Verbindungsstrecke auch in die auch das können wir nicht abschalten das ist wichtige Voraussetzungen sagt aber wir können uns Mengen angucken wo wohnst würde Voraussetzung keine Gedanken machen müssen weil sie immer erfüllt ist also das wird jetzt auf die Definition 5 17 sehr gesehen für den Mittelwert Salz und damit für alle seine Derivate ist es wichtig zu wissen dass die Verbindungsstrecke zur Menge dazugehört und jetzt die wir uns einfach in die Mengen als schön für die das immer der Fall ist eine Definition Menge heißt schön oder anders also prägten Namen wenn die Verbindungsstrecke C 2 .punkt immer zu mir dazugehört welche Mengen man konvex also eine Teilmenge des R D konvex und wenn Sie sich mal ein paar Bilder wenn man versucht habe man in zu malen die Eigenschaft haben dann sehen Sie auch warum das komplexer ist ich mag man dahin also sich konvex wenn egal welche 2 Punkte A und B sie aus dem raus
ziehen die gesamte Verbindungsstrecke AB eine Teilmenge von EMD man so konvexe Menge als haben dann brauchen sich um diese Voraussetzung Mittelwert Satz keine Gedanken zu machen weil dann ist Verbindungsstrecke in Madrid für Thomas in komplexen man Wahlen mal 3 konvex und reinlich konvexe konvexe Menge also die schönste klarste komplexe man diesen Kreis dem sich zur Punkte des Verbindungsstrecke gehört dazu und aber das muss sich klar sein es kann auch Ecken haben so das Quadrat ist auch konvexen sich 2 beliebige Punkte da draußen Verbindungsstrecke gehört dazu auch die ganzen sonstigen regulären und sonst nicht viel sind alle auch konvexen Ecken sind 23 er also wegen regelmäßiges Sechseck 1. natürlich problemlos nicht konvexes Sechseck hinein Alters wenn konvexe man man nicht was wenig Kontexten man was wie ich vorhin schon ein gemalt habe also Sonne Mond zum Beispiel um es nicht konvex man sich .punkt oben in der Ecke Verbindungsstrecke es draußen ja oder irgendwas anderes was mir passen Eindellungen hat sowas nicht konvex wenn sie .punkt hier und da Verbindungsstrecke fliegt raus ja das 1. Loch hat also ohne Menge her zwar nicht konvex in Sicht .punkt links und ungerecht wenn die die Verbindungsstrecke des noch also konvex bedeutet insbesondere nie Löcher welches immer nicht konvex M wenn wir sehen sie auch eher konvex ist ja die Tür rund konvex bedeutet anschaulich dass die Menge über rein nach außen gebogen ist am Rand keine Eindellungen hat du irre und ab jetzt wenn ich den Mittelwert als brauch wenn ich mich nicht mehr damit abplagen wird zu fordern dass die Verbindungsstrecke drin ist was wir so keine überprüfen will sondern ab jetzt arbeiten einfach auf komplexe man weil ich will ihn jetzt in der sich 2 große Folgerung aus Mittelwert präsentieren die 2. wird wieder der Satz vom Teller seien Besatz von auch im eindimensionalen schon Befolgung aus Mittelwert da und dann will ich noch den Schranken Satz zeigen der ISM eindimensionalen zieht er direkt aus dem Mittelwert Satz raus in so ein bisschen arbeiten in hat eindimensionalen gar nicht gemacht war das so banal aber hier ist ein ganz wesentliches Hilfsmittel ich danach in einem längeren Beispiel hoffe Ihnen zeigen zu können so also das Schranken Satz hat
5 18. und wir ist dass das was wir schon eine immensen Mittelwert gemacht haben der Mitteleinsatzes wunderbar dazu geeignet Lipchitz Tätigkeit von Funktionen nachzuweisen weil er ihnen sagt Abstand der also die Differenz der Bilder =ist gleich Wert der Ableitung mal die der Urwälder zu leisten Sinn Betrag über Intrigen Sinn Abstand der Bilder ist kleiner gleich Ableitung mal Abstand der wurde der wenn Sie wissen aber ist beschränkt die Herzlichkeit war die Wüste und genau das sagt dass Schranken Satz der also wir gehen davon aus dass die Ableitung beschränkt ist das müssen Sie erst mal definieren also wir haben wieder eine Teilmenge B des RWE offen und wie gesagt setzen jetzt raus dies konvex wenn es uns und die Verbindungslinien keine Sorgen machen also wenn Sie Zeit und da haben wir die Verbindungsstrecke mehr dazu und wir haben der Funktion f auf diesem Ge Isartal Differenz der weiß es und dann sagen ist die Aussage des Satzes wenn sie mir beschränkte Ableitung haben also beschränken Agenten wenn 7 Konstante L größer gleich 0 haben wir das den Namen von gravierenden F von X denn er gleich L ist wenn nämlich 2 Namen wenn sie irgend nen Sie wissen dass irgendein beschränkt ist weil sie auf die 2 nahm beschränken kann die sein dass sich die Konstanten und bisschen ändert aber alle Nommsen etwa lehnten also wenn die 2 Norm beschränkte ist ein mit mir gleichmäßige Schranke für alle x ausgehen kann und dann kriegt man wird stets Tätigkeit das heißt der Abstand von F von X der von y um 11 Uhr die der und nur Beträge weil Evonik System zahlen geht nach R kann nur nach ergehen uns gemildert Satz nicht anwenden jagt dann der Beträge ist kleiner gleich allen mal der Abstand der der Bilder mit 2 Normen wie egal welche Wahl XY ausgehen im Skript stehen da glaub ich keine 2 unten angenommen in der korrigierten nächsten Version Werner zweier stehen also das ist ein als aus könne und die letzte Zeile kann man es eben anders formulieren und sagen es ist steht und der Satz ehren ,komma lisiert was was ist am Anfang zum Thema Lebenstätigkeit dachte ich es stetig heißt im Wesentlichen Energie die aber das beschränkt es muss jetzt wichtige Funktion nicht differenzierbar sein müssen vorsichtig sein aber wenn Sie differenzierbar ist dann ist die Geschäftstätigkeit Ableitung ist beschränkt er gut wie folgt der Schranken Satz aus dem Mittelwert sagt in wenigen Zeilen wir sie sehen die Struktur Mittelwert dazu an da er von X bis er von y =ist gleich f gerade 11 von CSI Maliks muss y unwissender den Betrag drauf werfen und ausnutzen dass Sie wissen dass die Ableitung beschränkt ist das nahmen vor allem den uns 2 Punkte XY aus Gera dann wissen wir dass es die Voraussetzung konvex dass auch die Verbindungsstrecke Teilmenge von g ist deswegen hat mir vorausgesetzt dass G konvex ist und sehen sie auch sie brauchen konvex für diesen Satz Rivalität stetig haben also wohl dieser Abschätzung für alle x y aus B haben meine frei heißt müssen für jede Wahl von XY Milchersatz anwenden dann brauchen Sie für jede Wahl von XY die Verbindungsstrecke lassen sie automatisch bei komplexen dort kommen wird dann zum gerade eben
anwenden er sagt uns es geht ein ständig sie auf der Verbindungsstrecke von XY damit insbesondere Xin gehen was soll das F von X man dass er von gleich gerade während er von XY Maliks -minus y ist das war der Mittelwert sagt was wir interessieren uns nicht der wie Sie gleich als den Interessen des Beträge davon am Ende zeigen leisten sie auch die Beträge gleich zur was machen müssen ist die linke Seite sieht dann so aus wir sie haben wollen und auf der rechten Seite müssen wir jetzt irgendwie dieses Produkt auseinander kriegen das steht gerade Maliks -minus y und die wollen wir wollen in Einzelhandel haben enorm und Werte zu immer was ein das was steht da drin teilen der damals bei weg da es können Sie schreiben auch seiner Skalarprodukt und gerade jene mit X an weil dabei so Betrag vom Skalarprodukt und wenn man das abschätzen will dann gibt es dafür ein den der waren dass die große schwarz Ungleichung das ist ganz ganz weit weg in der Weg über normierte Räume Nasen malte 1 also was wir da stehen haben ist Abstand von etwa nächste er von y als normal so suggestiv Skat gesagt hat das steht das Skalarprodukt von gerade Enten mit X -minus y ist ganz dabei haben wollen sollten Sie in transponiert hinschreiben bei der KDS in sein Lektor und Gelabere bewussten 2 Spaltenvektoren zurücknahm große schwarz können Sie das einschätzen als die 2 enorm und gravierenden mal die 2 enorm von iX -minus y ja und jetzt wissen wir aber wer gerade Handys egal was da drin steht immer kleiner gleich L und damit so würde ich gerne Gebiss des Einsatz der direkt aus Mittelwert Satz raus purzelten aber eine ganz wesentliche Rolle spielt wenn Sie versuchen werden wie jetzt es Tätigkeiten Brennfunktion rauszukitzeln gut doch ich will das jetzt einmal ein Beispiel machen kann er man dieses Beispiel ist mal ausnahmsweise 1 1 dann kannst verschieden freundlich formuliert man kann sagen ich hab ich schlichtweg übernommen ist sehr sie länger an aber dafür hat auch ne überlassen das Endergebnis der und sie sehen wir haben also das sie auch mal sehen dass in der Vorlesung ist man immer er besucht möglichst kurze Beispiele zu machen weil das so viel Zeit frisst und dann sind sie meistens banal es war einmalig Banales vor
ich gebe in der Funktion dann auf die wollen wir genau in dem Sinne von gerade eben den Schranken Satz darauf werfen nur also Funktion groß 11 die geht von A 2 auf A 2 und es würden der von x 1 x 2 2 Argumente und 2 Ergebnisse und das 1. ist Augusttagen Jens von X 1 durch sinus von x 2 +plus 3 umklammernd war dran erzählt der ein oder anderen Diskrepanzen Skript feststellen und sich daran eisig die vor so vorbereitet hat sie der sich jedes Denkfehler aufgefallen da muss es ,komma nochmal bisschen anpassen also das ist jetzt die richtige Version hÃufig ist aber alle wieder diese jetzt noch wenn er ist auch in den neuen Skript Version 2. Komponente ein Viertel des hoch die Nuss von x 1 +plus x 2 Drittel die Wände zugehende so Funktion von A 2 nach 2 und Na EKH bleibt und so gegen bisschen viel das aber das muss uns nun nicht stellen es könne man aber noch ein sehr berechtigten Einwand vorbringen Gesetze die Nase das soll die ganze Zeit das Leitsatz nicht funktioniert wenn die Funktion nach Mehr der geht ja ich hab mir gesagt du brauchen .punkt wonach er uns ,komma der mildert das an wenn es gibt sagte dass die ganze das verblüffend sogar 2 Jahre und ich will dabei auch zeigen immer noch da wieder tricksen kann und trotzdem gemildert Salz anwenden und zwar wenn man halt auf jede Kohle Nathan auf die 1. Granaten Funktion auf die 2. Kontendaten Funktion die den Ball nach also wenn wir mal den gravierenden aus da wird schon lustig was es gerade jenen von F 1 wenn das kleine kleine Übungen Quotientenregel und Ketten Kettenregel und was noch alles so nur also was wir machen wir müssen F 1 2 X 1 ableiten F 1 x 2 1 x 1 ableiten dann ist dieser ganze Länder zum Glücke konstante lieber einfach vollziehen können weil der hängt nur von x 2 ab also 7. x 2 +plus 3 in Klammern Quadrat und Wasser ableiten dass Mr August von x 1 das geht ganz gut dass es einst durch 1 plus X 1 ab wir sehen das Monster es gar nicht so schlimm bei x 1 x 2 schön multiplikativ sogar sein ist da gibt es jetzt 1 x 2 ableiten der Augusttagen ganz da oben ist nichts als eine Konstante also der armen Länder den August 1 x 1 stehen wir den einst durch den Sinus Quadrat ableiten da kriegen wir zunächst mal den Exponenten runter das ist minus 2 wenn bleibt das Ding da unten hoch 3 stehen soll das war die Ableitung von 1 x geeiste Gibson geraten ist kommt die innere Ableitung also müssen Sie nur x 2 +plus 3 noch ableiten die 3 fällt weg aber der Sinus kippten Kosinus also bleib Cosinus von liegt bei über China so dass es die Ableitung von F 1 jetzt kommt die Ableitung von f 2 ein gut die ein Viertel ist ein Viertel des ist ok ableiten nach x 1 E Funktion abgeleitet reproduzierte die Funktion er hoch Sinus von x 1 +plus x 2 drücke mal Ableitung von Sinus .punkt Koniks also 6 2 Drittel nach x 1 geht es mal das 3. und 7. von X 1 Sinus abgeleitet gibt den Cosinus sehen dass es 1. Ketten Ringe von der Kettenregel und dem Prinzip jetzt noch die Ableitung von x 1 +plus x 2 nach x 1 um dies alle das gleiche exakt das gleiche passieren der
2. Komponente wenn Sie jetzt noch y ableiten 1 x 2 ableiten denn sie genau die gleiche Ableitung gleich sein zu +plus x 2 da so schön symmetrisch steht also kriegen wir auch hier ein Zwölftel der Woche Dinos von x 1 +plus x 2 Werte mehr mal Cosinus von der Sonne nur dort das Schreiben als normale anders sehen beide Komponenten von dem Wetter haben nämlich sehr sehr viele gemeinsame Therme wie können Sie als Gallaher wollen Vektor ziehen also ein 12. wie hoch sie muss von der Summe der 3. der Kosinus von x 1 +plus x 2 steht auch in beiden also eigentlich alles was übrig bleibt es bewegte 1 ein wird der gerade von 11 2 hat immer die Richtung 1 1 egal wo sie stehen mit den sich wandelnden Vorvertrag zur was ist so Schranken seines Torrunde müssen für den Schranken Salz kriegen dass die Ableitungen beschränkte Funktion sehr wenden die morgen von den Ableitungen aus also nehmen wird nicht einzigster außer 2 wir müssen wir den Schranken setzt leider die 2 nahm aus werden das macht die Sachen die Sie mir sagen wo also das ist die 2 Namen komm Geranien von F 1 ändern das muss man machen 3 Namen und muss die 1. Komponente könnte nur und die 2. Komponente Quadrieren und addieren und dann aus dem ganzen ziehen ich will keine große Wurzeln schrappen deswegen habe ich ihm geschrieben werden die 2 Norm Quadrat aus dass mir die Worte bekämen also hab ich jetzt nur 1. Komponente Quadrat +plus 2. Comandante Quadrat 1. Komponente über 1 durch sinus von x 2 +plus 3 Quadrat mal 1 durch 1 plus x 1 Quadrat und und das
wieder zum Quadrat und die 2. Komponente war es geht nicht mehr um dann schreib es in normalen 2 Akkus Tangens von X 1 Cosinus von x 2 bis Sinus von x 2 nicht 3 in Klammern hoch 3 EL 2 das exakt ausrechnen wollen wir gar nicht wir wollen nur wissen dass die Ableitung beschränkt ist also kommt jetzt der große der große Abschätzung muss Brocken mit denn sie sehen die dieses Beispiel ist an der Stelle daraufhin konstruiert ist alles schön beschränken also was passiert hier schlimmstenfalls drin sich den 1. Bruch angucken einschließt -minus x 2 +plus 3 nein das Essen die Nuss von x 2 +plus 3 1 der du dieser Siemers immer nur zwischen 1 und -minus 1 Franken es heißt dieser Ausdruck Sinus von x 2 +plus 3 der schwankt zwischen 2 und 4 also das Quadrat zwischen 4 und 16 das Ganze also der ganze Bruch also zwischen 4. und 1 16. und sie sehen damit schlimmstenfalls ein Drittel also den größtmöglichen fallen der Anwender Sinus -minus 1 ist klar dass man so kann also andersrum überlegen wir brauchen möglichst groß wenn der Nenner möglichst klein wird und den Männern mit möglichst kleinen wenn der Sinus also wenn das der Eintrag von dem Quadrat möglichst klein ist und dieser Eintrages müsst Leinwände Sinus -minus 1 1 also bleibt das übrig 1 durch 1 plus x 1 Quadrat ist immer kleiner gleich 1 weil der Männer immer größer als 1 ist und oben steht nur ein also haben sie für den 1. Summanden diese Abschätzungen jetzt kommt der 2. Summand was wir da brauchen ist wieder das wir cosinus lustig -minus 1 1 2 1 und wir müssen uns noch mal einen Augusttagen erinnern der Argus Tagen 20 -minus wir halbe und die halbe also bei mir sein ich bin ist gehörlos und kriegt dann unendlich langsam auf plus wie Heidelberg MOS ähnlich hoch das heißt aber lange sind nur werden diese -minus halben Gehalt an das Quadrat das Minuszeichen egal und wir kriegen hier dass das hier größtenteils wird zweimal die halbe weil die einst für den Cosinus und im Nenner passierte das Gleiche wie vorhin der weltgrößte möglich also der Bruch mit größtmöglicher denn der kleinste möglich wird und den Ermittler ist möglich wenn der sinusförmigen -minus 1 Thors Hammer alles grob großzügig nach oben abgeschätzt der gesamte aus vom wird natürlich niemals so groß wie das bei uns sie werden keine X ab kein Pärchen x 1 x 2 finden wo tatsächlich diese Werte oder rauskommen Werner jeweils an ganz verschiedenen Stellen optimiert ja also in der Name möglichst klein gekriegt indem -minus 1 eingesetzt haben in Celle aber ich X 1 aber meiner großen auf minus unendlich geschickt wo man auch nur verordneten maximal Telefon Kosinus und so also da werden diesen Wert kriegen aber für alle Paare x 1 x 2 ist das Oberschrank über die müssen zusammenfassen also was ist das das ist -minus 1 +plus 3 bis 2 also das stecken führte also Quadrates dann führte aber der 1. Summand das also 1 durch 4 Quadrate und der 2. Summand der könnten sich oben mal die zweier weckte nahm sie dann wie und nahm sie mit 2 auch 3 also 8 die 8. Quadrat kann er sich das noch mal auf der nächsten Seite zusammen was wir haben
wir haben die zwar enorm vom gerade jenen von 11 einst Obst an der Stelle x 1 x 2 zum Quadrat ist kleiner gleich ein Viertel Quadrat Lust die 8. Quartal nur zu häufig noch das Kilos werden weiße unhandlich ist also das ist kleiner gleich ein Viertel Quadrat immer aber dass die größere seit na ja dies kleine gleich hier nur und das ist das das ist dann ein Einstig 4 Quadrat +plus 1 nicht hier also 1 16. über seinen 4. und dass es sichtet wir zur und ja sie haben und wenn umnähen wendet wird
und wir uns hier und wenn sie da und aus der ganze 2 Quadrat ist hier und da kommt das gerade um noch dazu ja es ihn aber wirkliches Verständnis wie gesagt ich hab die ganze Rechenfehler auch
als man zweimal gefunden so aber jetzt wieder die sie müsste für 16 rauskommen zur Sonne das Quadrat weg also dieses gereiche um weil eigentlich wollten wir ja haben in Abschätzung für den gerade jenen von F 1 10. 2 Norm ohne Quadratur und damit gegen weitere Wurzelziehen kleiner gleich zu Viertel und das nenn ich mal L 1 2 das ist bis 11 vom F 1 trinken doch das ganze TF 2 EL also wir gucken den gravierenden von 11 2 an Banken in der 2 Namen was weist 2 wenn sich erinnern ich schreibe hin das war ein langer langer vor Faktor ein Zwölftel hoch Sinus von x 1 +plus x 2 3. dann kamen Cosinus bin muss ich es wenn ich in der Faktor vorziehen Betrag schreiben und der Vektor waren und er war nur der Vektor 1 1 das war der Galeeren von F 2 also ich setze das ab das ist auch nicht das ist aber relativ freundlich abzuschätzen die 12. 7. 12. der Sinus oben in der Exponentialfunktion wackelt wieder zwischen -minus 1 und 1 rum der Lentia Funktion des streng monoton wachsen das heißt die wird am größten wenn das Argument am größten ist Argumentes am größten wenn der Sinus bei 1 ist also mehr mehr als ne Ohren 3. kommt er nicht aus der Kosinus gestellten +plus der Kosinus es mal wieder durch 1 abschätzbar um was es die 2 um vom Vektor 1 1 1 +plus 1 Quadratwurzel drüber 2. 2. zur noch das gerne wieder einschätzen und spielen mit glatten natürlichen Zahlen rechnen also wie ich das er die Wurzel 2 los werden es werden sehr brutal er jedes Ei loswerden ist eine Zahl das Erhabene und das ist die nächste 3. Wurzel 8 also es kleiner als 8. und Wurzel 2 ist 1 gleich 2 ja also das ist das sind jetzt bleiben die brutale Abschätzung der das müssen muss man nicht so machen aber droht 3. Wort was 8. 2. mal 2 ist 4 also kriegen sie mit der gleichen tritt und das ist das L 2 zur 1. wollten wir den Schranken Salz anwenden also den Satz 5 18 Uhr der ist sowohl auf die Funktion f 1 als auch auf die Funktion f 2 da wir anwendbar 1. sind die total differenzierbaren in Gera ausgerechnet aber stetig also ist es total differenzierbar 2. ist die Menge auf der das angucken offen und konvex ist nämlich der ganze Raum und der 2 sowohl offen als auch Kontext bei man sich 2 Punkte Herr Minister Wendung Strecke der also die beiden konvex und F 1 F 2 total differenziert das sind die Voraussetzungen um schreiben AG zu also
sagt uns P A aber wann immer sie was immer sie als X oder Y nehmen und exhumiert XY sind Vektoren also x x 1 x 2 y ist es ein y 2 aus A 2 denken Sie dass der Abstand von 11 von X tuell von Y in der 2 normal ich nehme die 2 Norm Quadrat das ist und das ist das Gefühl das es die 1. Komponente F 1 von X minus 11 1 von y zum Quadrat ich schreib hier mal Beträge drohen auch wenn die ohne diesen im Quadrat los 2. Komponente vom Rektor -minus 2 von y zum Quadrat und für die 2 Norm eigentlichen wurde große Wurzel war alles kann und die große Wurf über alles die steckt hier drin und als es länger wie auf der linken Seite quasi damit ich hier keine riesigen Wurzeln auf die Leinwand projizieren muss dort ist die 2 1 jetzt kommt der 5 18 der 5 18. Schranken satt sagt diese Differenz Beträge von den Differenzen können sie abschätzen durch GLS mal die Abstände von X und Y also hier L 1 Maliks -minus y zum Quadrat plus L 2 mal x -minus y jeweils 2 Name Tom Quadrat Mehr das haben wir jetzt aber die ganzen ist
hatten wir explizit das N 1 war wozu von Viertel also das Quadrat 5 16. X -minus y 2 zum Quadrat SR 2 wandelte leise kommt noch ein Neuntel dazu X -minus y 2 Namen zum Quadrat an er kann man natürlich in wieder gut es kann man Anfang 16. 9. rechnen und oder kommt fürchterliche Bruch aus oder man macht sich wieder klar mich interessiert der gibt es 16. 9. war ja auch schon eine der Schranke also aber sie noch größer und anders leichten nun rechnen der in der 9. ist kleiner als je 16 was 1 4 16 sind 2 Achtel und es ist die am 1. 9. also schon 1 8. Vermessenheit 9. allen aber mal x 1 y 2 Namen Quadrat was es da stets 16. ist -minus y 2 Namen zum Quadrat wenn sich die ganze gleich nochmal anschauen sehen Sie warum ich auf 9 16 raus will müssen aus der gleichen noch die Wurzel ziehen also das wir jetzt haben ist der Abstand von 11 von Text der von der 2 nahm ist kleiner gleich 3 Viertel weil der Abstand von XTO 202 auf die ganze Mühe 2 Seiten Rechnerei viele Möglichkeiten sich zu verrechnen für diese lumpige Zeile und trotzdem steckt da drin einige Sprengkraft und setzen Sie es wenig Glauben Dornen Rechnung ist durchaus alltagsrelevant und kommen hohe Weihwasser sammelst damit gezeigt haben jetzt Ziel Franken Satz die Funktion groß wird stetig ist ja mehr Selbständigkeit mit dem konstante 3 und der entscheidende das entscheidende was man bedenken muss bis das 3 Viertel weniger als einst banal aber entscheidend war jetzt müssen wir mal kurz so an das Ende des 1. Semesters zurückdenken da haben wir uns mit der stetigen Abbildungen mit konstante kleiner 1 beschäftigt und ich hatte in den Bann naschen Fixpunkte hat gezeigt was sagt der banalste Fixpunkt Satz wenn sie sogenannte strikte Kontraktionen haben das heißt mehr Bildung für die der Abstand wird wieder Abstand der Bilder deren er gleich Koroma der Abstand der Urbilder ist mit dem Q Strickkleider ein in Situation hier dann hat diese Funktion genau einen Fixpunkt erinnert sich dann noch einen Stadtplan der eine Rolle gespielt hat also das wir jetzt rausgekriegt haben an Weihnachten Fixpunkt Satz es also
erstmal heißt diese Ungleichungen unsere Abbildung 11 ist nicht trägt der Kontraktion auf R 2 sagen wir das damals genannt also selbsttätig mit konstante kleine einst oder solche Funktionen kann man den bei naschen Fixpunkt Satz anwenden und der hat gesagt wenn sie soll ab Bildung haben dann hat die genau einen Fixpunkt also erstens die hat einen und zweitens wird genau 1 und was die sogar auch noch der Fixpunkt seines auch noch geliefert hat da hab ich damals drauf rumgeritten sie können denn auch iterativ bestimmen wenn sie ihren Staat und setzen den in F 1 wenn ergebe so setzt es wieder 1 F 1 und so weiter dann wird diese Folge sehr schnell und sehr effizient gegen den Fixierung konvergiert zu was heißt jetzt hier also fix .punkt was heißt hier hier Vix .punkt Fixpunkt heißt es ist mit .punkt x 1 x 2 für den x 1 x 2 =ist gleich gleich f von x 1 x 2 ist das heißt Tricks .punkt wenn sie den Mund in die Funktion einführt dann kommt der gleiche Boot wieder raus er von x 1 x 2 ist schon lange schreibst normalen war dieses Monstrum von wollen also Argus von X 1 durch sinus von x 2 +plus 3 in Klammern Quadrate und ein Viertel ihr hoch Sinus von x 1 +plus x 2 Drittel also diese Gleichung jetzt gestellt werden so dass es in der Mitte wenn man sie einfach mit Gleichung x 1 x 2 Gleisen Gleichungssystemen nicht direkt den Jahrestages ist müssen komplizierteres kleines ist denn was das ist denn und der veranlasste Fixpunkt satt sagt uns das Ding hat genau eine Lösung also er garantiert uns dass harte Lösung er garantiere und weiter diese Lösung ist eindeutig und 3. SV und Unsinn erfahren die wir sehr schnell diese Lösung iterativ bestimmen und jetzt hoffe ich nur dass Sie mir
zugeben werden wenn ich ihnen die Aufgabe einfach so gestellt habe zeigen Sie es gibt genau ein Paar x 1 x 2 im R 2 du das Sinus von x 2 +plus x 3 Quadrate mal x 1 gleich Argus Tangens von X 1 ist und gleichzeitig 4 mal x 2 gleich er hoch Sinus von x 1 +plus x 2 Drittel bedecken sie gesagt wir Himmels willen sondern das Zeichen der Essig derer die ihn niemand von ihnen schafft oder ich halte sehr dass jemand von den schafft diese Gleichung explizit aufzulösen dass das wirklich von Hand auszurechnen wünsch ich Ihnen viel Erfolg aber ich hab's nicht probiert kann sein dass es zufällig geht also welche nicht festlegen aber die Wahrscheinlichkeit ist gering beim 1. Mal so wenig in die Aufgabe gebe man sich dass das ist dem und zeigen Sie mir Existenz eine eindeutige Lösung dann kann man daran ziemlich verzweifelt sondern jetzt auch hier zweieinhalb Seiten gerechnet das ist nicht hübsch aber mit nur 200 Seiten Aufwand rauszukriegen deswegen hat genau eine Lösung er 2 ist es alle Mal wert da also mit einfach ausrechnen ist das nicht und auch mit nunmehr gestern nicht weil ihre Numerik insbesondere wir stecken wird in das natürlich eine Lösung ausspucken wobei haben es will wissen Sie dass das die einzige ist das kann nur mehr wenig liefern bei den Amerikanern kann immer nur endliche Teilbereiche des er 2 ausschöpfen und niemand weiß ob es nicht doch noch irgendwo ganz weit draußen Lösung gibt wo sie aber nicht gesucht haben um das heißt solche Fragen der Eindeutigkeit können Sie immer nur theoretisch also einmal Glück haben aber es steckt eine Theorie meistens wegen darum zu klären dass das eindeutig lösbar ist und ein ganz wesentliches Hilfsmittel dafür es bei nasser Fixpunkt war wohl ein ganz wesentliches Hilfsmittel um den unser zum Laufen zu bringen ist das Schranken sollten das wollte ich damit zeigen nicht auf das sich die zweieinhalb Seiten gelohnt haben 1. Tag ja und da ist das bisschen eindrücklich ist was man damit also für Lösbarkeit Aussagen zeigen kann zur damit lass erst mal die Pause und danach weitere 2 ich würde dann gerne in der 2. Hälfte einsteigen und die schon angekündigte besteht jetzt als 1. Block in dem Kapitel der Satz von Tälern an und egal wie sie es wie man es dreht und wendet und ich hab das beim Vorbereiten länger gewendet Ersatz von Teller ist wenn man ihn vollständig macht alle Notation Schlacht vom übelsten man kann das Verschieben machen und die Notation deshalb verstecken aber da muss man halt 15 Schreibweisen einzuführen und ich habe mich dafür entschieden ich bringe ich den Satz von Teilen der allgemeinen kommen soll ich sagen wenn sie ihn brauchen dann brauchen Sie in der Physiker Ordnung also bis zur Ordnung Nehrung bisher Polynoms bis zum Grad 1 Abschätzung durch den Fehler zu haben von Grad 2 und nur so weit bringe ich ihn auch und das ist auch das was wir dann brauchen wir die Extremwerte also der L sie im Wege deutlich wie es nur gleich am Anfang sozusagen ehrlicherweise sagen wenn sie weiter brauchen ist das auch kein Hexenwerk aber dann muss man ließe sich im entsprechenden bruchfest wenn kriegen Sie da auch den der Lehre wir warten im Prinzip ist die Idee vom Satz von Teller genau die die wir am eindimensionalen hatten den der ihre Funktionen von der sie annehmen dass sie beliebt also es 10 auf differenzierbar in den See wollen nur jetzt wohl nominieren Najaden nehmen und darauf 8. dass die Polynome neben den einen partiellen Ableitungen bis zur Ordnung kam mit der Funktion übereinstimmen und man sich überlegen seine Funktion haben was sie rechnen aller Art partiellen Ableitung der Ordnung 23 ausnutzen dass ziemlich viele und dann sehen Sie schon wo die vielen Notation Herr Cook und wenn wir uns auf die Ordnung der Ordnung einzuschränken dann brauchen wir nur alle Ableitung des Zuordnung 2 diese lassen sich noch einigermaßen übersichtlich darstellen und deswegen muss ich immer eine Notation einzuführen ich nahm eine 2. Einschränkung die aber keine ist sich für in den Teller nur Vorwürfe zur und von der nach er und ich von der den des und da gilt das Gleiche wie gerade im letzten Beispiel der Funktion von Erde innerhalb des haben dann teilen wir halt jede Koordinate wenn man sie mit der Entwicklung dem 1. Collagen der 2. der 3. das dann kriegen sie auch mit der Entwicklung vor Funktion von der denn er hat das heißt dass es keine wirkliche Einschränkung die Haut Einschränkungen die ich mach es ich arbeite nur mit Ableitungen bis zur Ordnung 2 oder brauchen nur Notation um die 2. Ableitung in Griff zu kriegen das ist Definition 5 20 Uhr also was haben wir an Wärme Funktion nach er auf RD des also auf den Teilmenge gehe von allen die -minus wieder offen sein es von die nach des in einer Stelle x 0 aus die zweimal partiell differenzieren war aber der dass
es auch Stelle vom Skripten viele ist der 4. dreimal also dreimal partiell differenzierbarer um diese 2. Ableitung will ich jetzt ein bisschen sortieren oder werden jetzt alle möglichen 2. Ableitungen der 1 D 1 11 D 1 D2 E der einst Getreide und so weiter wie 5. 8. jede Kombination und die kann man in der Matrix vom darstellen und diese Matrix wird normalerweise mit H Index 11 bezeichnet werden hier Kobe Matrix J Indexwert Ybbs kommt immer das der 2. Ableitung der heißt H Index es und das ist die Matrix in der alle 2. Ableitung drinstehen also DJ EKH eher von der Stelle x 0 und J und K in von 1 bis d oder wenn sie es explizit wollen oben links steht die einst die 1 f von x 0 n kommt die 1 die 2 f von x 0 und am Ende die einst die DDR in der 2. Zeile leiten Sie alles das ist die 2 D 1 die 2 1 2 1 ist die 2. den und so weiter und in der letzten Zeile die einst wie die D 2 bis hin in der letzten Ecke des DWD also die Quadrate man x 0 im )klammer zu da also die Matrix aller 2. partiellen Ableitung bereits bestehende zierte und diese Matrix nennt sich die Hessen Matrix von es wegen des Han Essen Matrix von 11 an der Stelle x nur weil das der einzige attention die ich brauche um in den abgespeckten zu zeigen was sie machen ist sie rechnen alle 2. Ableitung aus als einen partiellen Ableitungen das gibt eh Quadrat Stück und die schreiben 7 Madrid und sie sehen immer Texte schon ein paar wesentliche Eigenschaften an aber diese dessen Matrix ist immer quadratisch aber sie haben die Möglichkeiten die 1. Ableitung zunehmend die Möglichkeiten die 2. und zumindest solange der Satz von Schwarzgeld also wenn das Ding stetig partiell differenzierbar ist sie auch immer symmetrisch der Satz von Schwarz sagt ja wenn sich billig partiell differenzierbare Funktionen haben dann ist die Reihenfolge in der sie differenzieren egal wenn sie jetzt angucken also zum Beispiel an der Stelle 2 1 GByte 2 die 1 11 und an der Stelle einstweilig die D 1 D2 wir sind gleich wenn das nicht geliefert werde wird jeweils und sie kriegen also der Satz von Schwarz sagt der nichts anderes als diese Mathe symmetrischer also die beiden Erkenntnisse sind die Bemerkung 5
21 also die Hessen Matrix ist immer Quadrat dich es geht grundsätzlich Weise einfach beides mal gleich viele Variablen zum Ableiten haben und das 2. ist man es an der Stelle x 0 zusätzlich stetig weiter differenzierbar ist und damit natürlich auch total ansieht der Satz von Schwarz und dann das H a f von x 0 in eine symmetrische Matrix das ist einfach eine Umformulierung von Satz von schwach und könnte die 1. Matrix auch anders einführen oder man kann sie auch anders sehen 1. Matrix ist die Matrix der 2. Ableitung der Funktion würde Funktion von Eldena er so oder so Funktion er vom zum von erinnert er haben dann ist die 1. Ableitung in Vektor oder gerade weg damit die Einträgen besessen hat wenn Sie so wollen die Funktion von generell wie oder immer das ist deren Ableitung also die 1. Matrix ist die Jacobi Matrix von gravierend von Inge bekommen so auch sehen und jetzt sehen Sie die Funktion selbst geht nach er die 1. Ableitung ist der Funktion von Erdinnere RWE die 2. Ableitung ist es Funktionen diesen Punkt den er in die wir ganze Matrix zuordnen nämlich 1. Matrix also vom zur von den nach Erbil Kreuz des wir sehen Sie dass Teller mit Mehr Ordnung langsam uninteressant wird die 3. Ableitung ist eine Funktion von RWE nach Aldi kreuzt gekreuzt des haben Sie schon dreidimensionale Madrid sozusagen sogenannte Sensoren und die wahnwitzige 17. Ableitung vorstellen deswegen lassen was bewegen und schreiben Satz von Täler Ferkah gleich ein 10 also Satz 5 22 dazu und hält würde Spezialfall K gleich 1 also wenn er nur mit einem sehr Polynom 1. Ordnung danke zu war dazu brauchen wir eine Teilmenge gehe Vollard die offen ist und der Funktion f von General er wie das die ganze Zeit hatten und von der wollen wir dass sie zweimal stetig partiell Differenz jeweils nur bei der 8. damit es die Funktion auch automatisch total differenziell Bayern ich erzähle sie weiß mehr aber wir brauchen die stetige partiell Differenzierbarkeit damit der dazu von Schwarz du sorgen und zwar in ganz G es zu und dann sagte Fehler wie vorher auch sie können es von X nähern durch interne Polynome an der Stelle x nur los das restliche und das restliche war die 2. Ableitung in dem Fall an der Stelle an einer ständig sie in der richtigen Verwurstung also Sie haben
wieder eine Stelle ne Entwicklung x 0 wurden .punkt X an den sie nähern wollen und für jedes solches Pärchen gibt es einen ziehen dass die Bilder auf der Verbindungsstrecke zwischen x 1 und x so dass sie erfahren von X nähern können durch das der Polynom 1. Ordnung ist der Polynom 1. Ordnung und das ist es alles genau an einen immensen 1 ist der Funktionswert muss Wert der Ableitung durch 1 Fakultät Maliks -minus x 0 wird der Ableitung ist Ableitung müssen den Saal der gerade lehnt also gerade jenen von f von x 0 durch 1 Fakultät lass ich mal weg mal X -minus x 0 wie es kommt dass sie weiter was war wird haben die 2. Ableitung von der von ständig sie durch 2 Fakultät mal x 1 x 0 Grad war 2. Ableitung von 11 es ist der 1. Matrix an der Stelle x sie damit 2 Fakultät die Gebühren halten und jetzt kommt minus 6 nur Quadrat das X 1 X soll Quadrat müssen wir jetzt in der richtigen mehrdimensionalen Aufteilung hinschreiben das ist X -minus x 0 transponiert vor die Matrix X -minus x 0 ohne transponiert hinter dem Brand also mal würden lassen was da steht ist der von Access Evonik soll muss f strich von x 0 Maliks -minus 6 0 -minus nahe der 2. Ableitung möchte Lixil durch x 1 x 0 geraten aber einmalig 7 6 0 Quadrat nur eben richtig aufgeschrieben damit mehrdimensional passt und das ist passt kann man sich auch kurz überlegen ja was es in welchem Raum spielt diese Gleichheit hier F von X ist mehr reelle Zahl also diese ganze Gleichheit muss jetzt gleich und von Zahlen sei jeder Summand musste Zahl sein sonst wird das nichts mehr von ist Zahl von x 0 ist zahlt das ist ok so was aber jeder der gerade jenen FAX 0 ist ein teilen Vektor der Länge des also aus R 1 Kreuz des X minus 6 0 sein Spalten Vektor der Länge des aus er die Kreuz 1 das Produkt ist 1 Kreuz 1 also er alles gut innerhalb des dass er dies auch ok es wir 6 Uhr transponiert diesen Zeilen Vektor der Länge des 1. Matrix ist eine Matrix aus dem er die Kreuzwege quadratisch dessen Matrix und das Ding da hinten ist er die Kreuz 1 was Sie sehen so passt er wird 10. das Maß des Produktes das Doppelte auswerten konnten wieder eine Matrix aus 1 Kreuz 1 raus und das ist ein Matrix denn er weiß dass er seine Zahlen er also so wie es dasteht macht zumindest von daher sind unwichtig ist Sicht überlegen Sie müssen sich eigentlich gar nicht merken weil der Täter sieht genau so aus wie in einer Dimension und es ist auch wenn man 2. strikt so also auch wenn sie den Täter 17. Ordnung hinschreiben zwang Sie alles richtig interpretieren hatte die gleiche Form war das der Ableitung von f 1 der Text nur mal x 1 x nur 5 durch Fakultäten wobei man sehen richtig interpretieren muss naja durch Apps Umsatz von Täler bei den als wenn er meine Mensen ein gemacht haben ein Stapel Anmerkung losgelassen Uve gut ist was die Gefahren sind es geht alles hier auch das wiederhole ich jetzt nicht an bei einer sich jetzt damit machen will es wieder in die Frage einsteigen der Extremwerte von Funktionen also der haben zusammen einen funktionalen Zusammenhang zwischen mehreren Größen in ein Ergebnis aus .punkt untersuchen jetzt die Eingangsparameter für die das Ergebnis maximal wird ein Glas Optimierungsprobleme und das also mir jetzt anzugehen und wer das schon gelöste Variablen für Funktionen einer Variablen wir hatten sie sind es die Sonderschule gelöst und jetzt ganz neu in Frage wenn sie was Eingangsparameter Mann den sie gleichzeitig umdrehen können wie kriegen wir Extremwerte aus und das ist der Abschnitt 6 also extrem der Probleme in mehreren Variablen und deren jetzt alles Handwerkszeug was wir dafür brauchen zusammen wenn Sie sich erinnern wie wir das einer Dimension gemacht habe da wir erst die es das notwendige Kriterium gezeigt wenn sie inneren nur Extremum haben dass die Ableitung an der Stelle 0 und danach hatten nur den Satz vom Teller genommen und Kriterien über die 2. Ableitung gefunden nein Maximum Minimum oder so weiter vorliegt genau das war Meciar R eine also wir nehmen uns wieder eine
Menge die Teilmenge er denn immer wieder offen dann habe inneren vom und kein Ärger dann sind nicht alle Punkte innere Punkte und der Funktion von die R A und das Ziel es wenn einer Dimension finde die globalen und relativen extrem stellen von dann zur und dann ich hab jetzt hier wieder nur 11 mit Werken er hingeschrieben und wenn den gleichen das Problem wollen erwartet bei wenn sie halte Funktionen mehr mit mehreren aus Parametern haben dann optimieren sei jede Koordinate bedingt aber kurz drüber nach weil der kommt jetzt nicht nur ernten sondern die Belegung was heißt denn optimiert das heißt den extrem Stellen finden das heißt Sie suchen den größten Wert den die Funktion 1 wenn ihre Funktion nach A 3 geht aber wenn man sich wie ich sich schwertun zu sagen was der größtmögliche Wert ist in die annehmen kann bei 30 geordnet ja 3 gibt es die Frage größten Wert nicht mehr weil sie die Objekte räumlich ordnen gehören Extremwert Aufgabe machen überhaupt nur sehen wir Funktionen nach ergehen nur Funktionen den Gärten erliegen denn irgendwie geordnet und das ist der 1. er gerade so würde die Macht den Extremwerte zu betrachten ist der Grund alle ein Grund warum in allen Wirtschafts Wirtschaftlichkeit Berechnung immer gern alles in Geld umrechnen der Wiegard Arbeitsstunden oder leben von wollten oder was es alles in Geld umgerechnet war dann hat die Funktion einen ausge eine Ausgangsgröße dem optimieren kann immer also die alles was wir jetzt machen macht überhaupt nur sehen wir Funktionen nach ergeben wenn Sie die Funktion an der 3 ging die Fragestellung sinnlos gut also wollen lokale und globale Maxima und
Minima bestimmen das ist erstmal wieder definieren das lokale und globale maximal minimal sind die Definition ist aber 1 zu 1 genauso in einer Dimension aber leider viel mehr an den denn die die Kopie und des Punktion also schreiben was noch mal hin und die vom er die und der Funktion von Gene hat er vor und dann sagen wir genau wie vor paar Wochen also eher x 0 aus die ein globales Maximum wenn man an der Stelle x 0 der größtmögliche Funktionswert angenommen wäre also wenn er von nix kleiner gleich Evonik Smules für alle x in gehen da ein globales Minimum immer größer gleich still und da ein relatives oder lokales Smint Maximum Minimum hatten wir damals auch so definiert also etwa den nächsten ausg ein relatives Maximum wenn nicht unbedingt für alle x in die die Funktionswerte kleiner sind aber doch zumindest in der Nähe von x 0 also falls es einen der da größer 0 geht nur so dass er von X kleiner gleich f von x 0 müssten aber der alle için gehen die nahe bei x 0 liegen also für die der Abstand Tricks 0 kleiner Delta ist man dennoch steht wieder keinen Dextran das Lied das nehmen Sie welche sie wollen Smigal aber das ist das relative Maximum und relatives Minimum in größer gleichstellte und auch wie letztes Mal das der Begriff globales oder relatives Extremum in verwendet man dann wenn sein Minimum oder ein Maximum ist wann ein ist was davon also das entspricht einem globalen oder relativieren Maximum oder Minimum doch dass es einfach koppeln per Definition von vor 2 3 waren nur jetzt leben wir den RWE das heißt der Unterschied ist der hohe Freibeträge stand stehen jetzt warum es zur und dann hatten als 1. die notwendige
Bedingung sind eine extrem stellen die sie in mehreren Variablen genau so aus wie in einer der muss nur die richtigen Dinge ersetzen aber den muss notwendige in der jungen einer Variablen war die Ableitung an der Stelle x 0 muss 0 sein aber und genau so ist es ja auch also sei Gene Teilmenge von der das x 0 wieder ein Inder .punkt wollen die er wichtige Voraussetzung wäre uns als eindimensionale in .punkt von gehen dass er von dir nach R total differenzierbaren x 0 Zoltan gilt da wenn er danke also das Wissen in der Leitindex nur ein relatives Extremum danke daraus folgt dass die Ableitung von f wenn X 0 0 ist was ist die Ableitung von f in dem Fall dass es sehr gravierend aber also wenn sie mir wieder die 6. suchen müssen Sie alle Stellensuchenden der gerade hier in der Funktion verschwindet an den 1. aber ich würde es genauso in eine Dimension und Sie müssen halt selbst richtig bei den 11 ersetzen aber Thomas wir machen um das zu beweisen ist
auch Rüger Mittelwerte als ich bin das auch die eindimensionale Situation zurück eine Mensa Situation kennen und uns aus und in der eindimensionalen Situation ist mir wie das geht also wir haben das und 6 Nullen innerer .punkt ist das bedeutet was bedeutet in der Werbung das bedeutet es gibt ne ganze Gruppen es gibt Radius Epsilon größer 0 dass die Comics 0 1 3 selbst noch ganz gehen es ist einfach nur Umformulierung von Ihnen .punkt war sichtbares 1. um folgende Funktion zu definieren ich dachte jetzt geh Funktionen also für J von 1 bis B betrachten wir jeweils die Funktionen wie J die definiere ich auf dem Intervall -minus YY nach R A und B J von Terry ist es von x 0 Verlust T ab also was nahm er wenn nehme die Stelle x 0 wegen der den Einheitsvektor dran und laufenden bisschen Darling Sommer laufen denn bisschen entlang mit dem die ja das die mir selbst aber selbst waren also demnächst 0 und laufen so stünden allerdings ohne Stimmrecht rechts entlang des J 1 trägt und Mehr als Apps werden dass es dann können sie nicht laufen weil sie nicht sicher sind dass sie danach nur in diesem gewissen nur dass die Kugel mittlerweile selbst übernehmen die könnte sein dass wenn sie weiter in Richtung Elliott laufen dass aus dem die rausrennen deswegen beschränken wir die Funktion die Jagd auf dieses kleinen dabei wobei des EAD der Jr Standard Basis weg dort zwar unsere diese Funktion des Ortes ist wichtig zu sehen dass in dieser Funktion von R nach R oder von diesen kleinen der Wahlen er nachher eindimensionale Funktion und die sind in der Stille 0 differenzierbaren Normen jene Stelle 0 differenzierbar die Art von 0 x 0 und hat es nix 0 differenzierbar x nur das Thema Marriott das offensichtlich nach also nach der Kettenregel sind differenzierbar und die 2. wichtige Beobachtung ist daraus bis die Voraussetzung ist f von x 0 also eine Stelle x 111 allen lokales Extremum die Funktion g Art bildet nur die Funktionswerte von f ab auf dieser Linie das heißt auch die Funktion Georg muss an der Stelle nur ein lokales Extremum haben nur weil die Art von 0 von X sondern das der größtmögliche der kleinstmögliche Wert der angenommen wird in der Umgebung also ich einmal die beiden Sachen mal zusammen
also dann gilt für das Georg das DJ-Tisch war normal Leben von T war er von x 0 +plus Thema Leonard erst muss das GG Art ist an Stelle 0 differenzierbar Musizieren nicht diesen Patienten Dahl differenzierbar unterscheiden weil es die Atteste Funktion von R nach R das ist die Ketten einfach und zwar ist das die Art bei den 0 lokales extrem wurden nur weil er X 0 1 hat und die hat man die die F 1 in der Kugel an also auf der Linie zur und damit haben wir jetzt für das GG Art alle Voraussetzungen erfüllt vom eindimensionalen notwendigen Kriterium das war der Satz 3 hier die härteste Funktion von dem mittlerweile nach er die eine Stelle 0 und lokales Extremum hat und eine stille differenzierbar ist und dann wissen wir dann ist die Ableitung von GJ an der Stelle 0 ist =ist gleich 0 doch was ist denn die Ableitung an der Stelle die J 1 stellt 0 von DJ nach der Regel ist das der gravierend von 11 weil x 0 +plus 0 mal mal die Ableitung von diesen inneren Funktionen also von x Exodus des Marriott aber diese Ableitung ist einfach Elliott wenn Sie diesen Ausdruck hier macht des differenzieren hält das x 0 weg und es kommt raus muss die Kette Nägel Tor und das ist das das ist der gerade gravierend von 11 an der Stelle x 0 mal J keine Jens ist der Corinna Natrix nein hat ist ist die Richtung Ableitungen Richtung Elliott und das war dort 15 oder sowas wie Ort eher von der Stelle x 0 und die war jetzt dass es nix 0 das das Felix soll total 1. sonst geht das an der Stelle sie aber die Richtung werden nicht und er hat es nicht mehr gerade die Orte partielle Ableitungen und das Ganze haben wir jetzt durchgezogen für alle die optischen 1 und die also dass es werden gerade jenen von 11 an der Stelle x 0 wer gerade jenes der Vektor der Gral die partielle Ableitung an der Stelle x 0 enthält ja das ist es den unwägbar gezeigt jede partielle Ableitung der Stelle ist 0 indem wir sie dann sozusagen die uns den jetzigen Namen und sind in ein kleines Stück über den Gipfel gelaufenen Richtung wieder Koordinatenachsen westlich der Richtung der Kurden hatten Axel Ahmad einem Maximum also wiederkäuen nahten Achse die aber 0 also ist die der und damals auf den eindimensionalen Fall zurück die Spiel und haben damit die notwendige Bedingung Pommes 1 in seiner Situation 1 zu 1 übertragen extrem stellen können Ihnen oder auftreten oder gerade er nun ist der gravierend als Ersatz für die Ableitung ich hatte damals beim ja immer bei diesen Satz meinen Sohn einen Stapel Warnung losgelassen wie können ja auch alle 1 zu 1 in Kopie ist übertragen also erstens das den gilt nur für innere Punkte waren maximal findet das Ding nicht an maximal so ein weiteres spannendes Thema das in dieser Vorlesung Tisch will 2. es ist nur ein notwendiges Kriterium auch im mehrdimensionalen gibt es Sattelpunkte gibt es Funktion die Nullstelle der Ableitung haben wo kein Extremo wolle wenn eine Mensa die Klinik sucht reichen Gemahl Punktionen mehrere Jahren haben viel mehr Freiheiten als Funktionen einer Variablen weil im Raum mehr Platz ist die nutzen die ausgiebig da könne noch viel absurdere Dinge passieren also wenn Sie so ohne kritische Stelle haben oder daher nur das schließen Sie nie und niemals daraus dass bei junge auch es sehr ja irgendwie n ein sehr nahe liegender unangenehmer Schluss ist aber es reicht eben nicht gut meist jetzt weiter kommt es klar wir brauchen jetzt eben hinreichendes Kriterium um sicher zu gehen wenn die Gerichte lahm ist das Maximus ist -minus dass nix davon da uns der Satz von Teller geholfen es wird auch diesmal wieder tun und wir werden nicht mehr den versuchen zu zeigen dass das Kriterium was rauskommt auch das ist das sich dann kennen man muss nur richtig lesen deren aber das ich habe natürlich in 3 Minuten also am Seil auch wieder Glück unter wir sehen uns dann am Freitag bis dahin vielen Dank aufweisen ab
Punkt
Quotient
Differenzierbare Funktion
Komplexe Funktion
Aussage <Mathematik>
Zahl
Linie
Gegenbeispiel
Strecke
Variable
Weg <Topologie>
Menge
Mittelwert
Ableitung <Topologie>
Gerade
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Strecke
Vektorrechnung
Menge
Mittelwert
Quotient
Konvexer Körper
Zahl
Ableitung <Topologie>
Dimension
Linie
Funktion <Mathematik>
Teilmenge
Punkt
Matrizenmultiplikation
Kugel
Menge
Kettenregel
Mittelwert
Differenzierbarkeit
Partielle Ableitung
Reihe
Lineare Funktion
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Kreis
Norm <Mathematik>
Sechseck
Teilmenge
Konstante
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Energie
Menge
Strukturgleichungsmodell
Mittelwert
Abschätzung
Ecke
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Schranke <Mathematik>
Konvexe Menge
Einfach zusammenhängender Raum
Sinusfunktion
Parametersystem
Kosinusfunktion
Exponent
Gesetz <Physik>
Monster-Gruppe
Konstante
Skalarprodukt
Elementare Zahlentheorie
Quadrat
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Kettenregel
Normierter Raum
Diskrepanz
Ableitung <Topologie>
Schranke <Mathematik>
Sinusfunktion
Einfach zusammenhängender Raum
Summe
Kosinusfunktion
Quadrat
Obere Schranke
Summand
Abschätzung
Vektor
Ableitung <Topologie>
Richtung
Schranke <Mathematik>
Quadrat
Rechenfehler
Einfach zusammenhängender Raum
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Parametersystem
Faktorisierung
Vektorrechnung
Natürliche Zahl
Exponentialfunktion
Vektor
Zahl
Strecke
Quadrat
Menge
Betrag <Mathematik>
Abschätzung
Integration <Mathematik>
Schranke <Mathematik>
Sinusfunktion
Quadrat
Ungleichung
Abbildung <Physik>
Gleichung
Kontraktion <Mathematik>
Urbild <Mathematik>
Fixpunkt
Stetige Abbildung
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Matrizenmultiplikation
Numerische Mathematik
Extrempunkt
Differenzierbare Funktion
Eindeutigkeit
Aussage <Mathematik>
Partielle Differentiation
p-Block
Gleichung
Gradient
Teilmenge
Index
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Polynom
Abschätzung
Fixpunkt
Ecke
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Schranke <Mathematik>
Mathematische Größe
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Extremwert
Punkt
Matrizenmultiplikation
Summand
Extrempunkt
Fakultät <Mathematik>
Differenzierbarkeit
Ruhmasse
Maximum
Biprodukt
Vektor
Zahl
Symmetrische Matrix
Gradient
Teilmenge
Variable
Polynom
Quadrat
Reelle Zahl
Minimum
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Extremwert
Extrempunkt
Stellenring
Berechnung
Maximum
Teilmenge
Objekt <Kategorie>
Menge
Minimum
Koordinaten
Innerer Punkt
Funktion <Mathematik>
Radius
Extremwert
Punkt
Norm <Mathematik>
Linie
Richtung
Teilmenge
Variable
Kugel
Kettenregel
Mittelwert
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Extremwert
Maximum
Partielle Differentiation
Vektor
Richtung
Linie
Variable
Kugel
Kettenregel
Gleichgewichtspunkt <Spieltheorie>
Nullstelle
Partielle Ableitung
Innerer Punkt
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Extremwertprobleme in mehreren Variablen
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 14
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34545
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

Ähnliche Filme

Loading...
Feedback