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Eigenschaften differenzierbarer Funktionen II

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am das jagen an der TU Darmstadt zu ordern mal ein herzlich
willkommen Beiträge zur Frau Absetzung wurde so wird Differenzierbarkeit von Funktionen der werden im 1. April über Differenzierbarkeit gesehen was das überhaupt ist eine Ableitung und wenn man die ausrechnet und ich ja das letzte mal angefangen mit dem Abschnitt Eigenschaften differenzierbarer Funktionen im wo wir sammeln dass wir setzen wir voraus damit differenzierbare Funktionen Samen Eigenschaften von denen und das Erste was ich Ihnen gezeigt aber der Mittelwert Satz das war der Satz to 1 a normale ich mundartlichen und wenn Sie der Funktion haben die stetig ist auf dem Intervall a b l und differenzierbar war im Innern also am Rhein muss nicht unbedingt differenzierbar sein aber stetig und in allen Punkten in dem stetig dann sagte man werde dazu dann gibts ne zeigt sie die zwischen A und B liegt zwar dass der Differenzen Quotient der die sie kannten Steigung zwischen A und B gleich E-Strich vereint fließt also diese Karten Steigung ist wird irgendwo unterwegs ist denke ich angenommen das war der Mittelwert sage ich und ich hatte ihn dann in der letzten Vorlesung eine 1. er eine 1. Stapel Folgerung aus dem Mittelwert Satz hingeschrieben aber die noch nicht bewiesen also was können wir aus diesem Mittelwert Satz der Honig ziehen das 1. war der Satz von Rolle der ist nichts anderes als Spezialfall des Mittelwert Satzes und der sagt wenn sie in der Situation vom Mittelwert satt sind und zusätzlich wissen dass die Funktionswerte in A und B übereinstimmen aber dann kriegen Sie für dieses dann kriegen Sie so und sie aus dem Intervall an denn die Ableitung 0 ist da brauch ich nachher in weiß überhaupt nichts dazu zu sagen das ist einfach das was oben steht werden wir gleich von ist diese sie kannte steigen längst nämlich 0 und dann steht das da was der Satz von Rolle ist ein dieser Satz von Rolle Spezialfall-von Mittelwert sagt der Sohn ich möchte das eine eigene Namen bekommen hat nur weitere soll Bauern sind folgende Dinge die sie sicherlich schon gehört haben und auch schon genutzt haben das Wahrzeichen der Ableitung gibt Informationen über die Steigung der Funktion also noch die gleichen Voraussetzungen sehr nicht differenzierter Funktoren auf mit der Wahl der und wenn sie wissen die Ableitung es auf dem ganzen Intervall 0 dann ist es konstant wenn Sie wissen die Ableitung ist auf
dem ganzen Intervall größer 0 dann bedeutet das dass die Funktion f streng monoton legst aber überlegen vielleicht was für die Diskussion ein Mittagessen wenn es differenzierter Ziel es denken Sie mal über die Umkehrung von dieser Aussage nach also die Frage ob hier auch der 2 die gilt er an wenn sie je kleiner nur haben dann kriegen Sie hier streng monoton fehlt wenn das 1. Licht größer gleich 0 ist da sie ablehnen darf man wohl sein aber muss immer größer gleich 0 sein dann kriegen Sie noch Monat ne also dann ist es monoton wachsen und in sehr kleiner gleich 0 haben kriegen Simone von Fall und der Zentrale von den Satz war schließlich wenn sie 2 differenzierbare Funktion haben deren Ableitung gleich ist sind aber dann unterscheiden sie sich nur mit konstanter also dann gibt es eine Konstante C aus er so dass er von x das gleiche ist wie die von x +plus c für alle x in die kann aber das waren die angekündigten Folgerung aus Mittelwert Satz sehen wenn man's anschauen wie wir die Außenwände wird das Ding kann eine
Tonart zum Satz von Rolle ist alles gesagt der ist einfarbige sagte Spezialfall also kommt B wie so können sie aus dem Osten Vorzeichen der Ableitung das über das Steigung Verhalten der Funktion rausziehen also wir interessieren uns für Monotonie der Funktion was nehmen wir uns also wir uns 2 Punkte aus dem Intervall der einer kleiner als der andere wenn wir zum Beispiel strengere monoton wachsen zeigen wollen müssen wir zeigen 1 er von wagten kleiner als er von B und wenn wir uns diese 2. Belebung der genommen haben sind wir genau eine Situation des Mittelwert Satzes der mir zur Funktion f die auf dem Intervall a b Referenz sie aber ist der dich in Arenen will und wir können jetzt in den Einsatz an Wänden und der Nebel uns jetzt zieh ist zwischen A und B liegt nicht so dass er von den -minus 11 von A durch B -minus A gleich f strich von ist beschreibt das Leben der anderen Form Estrich von XY mal wenn -minus aber das das zur die gleichen gewinnen mal auf die nächste Seite mehr also der Mittelwert salzen A und B hatten wir fest vorgegeben und Besen gegebene Zahl im Moment eine kleine an als die andere und dann sagt mir der Satz zu diesem fest vorgegebene Zahl a und b kriegen wir jetzt XY dazwischen mit dieser Eigenschaft also wir kriegen
und sie so dass er nicht weiß es ist das letzte was auf Foreign Blatt stand er von denen das erfahren das selbe ist strich von NY mal den -minus A und jetzt sehen wir schon was das Vorzeichen der Ableitung tot das ist kleiner als das des was das Gesetz das heißt das da es immer auf jeden Fall größer 0 und und jetzt sehen Sie ihn nach dem 1. Vorzeichen der Ableitung ist sehen Vorzeichen der Differenz war er von wegen dass er von Ar also beispielsweise die wenn es die Ableitung 0 ist auf I das war der 1. Punkt wenig wenn das er strich nicht des Estrich vor neue sondern wenn es der was dann W also wenn wenn die gibt es 2 1. Pommes wenn es .punkt Ableitung konstant 0 1 sehr sehr von sie 0 mehr sie sind auch nur nie dann kriegen Sie es von denen das erfahren aber gleich 0 und das heißt dass das heißt er von B gleich von aber es waren AB waren beliebig aus wie man sie also wissen die Funktion x =ist gleich egal ob ein 2. brennt gar nicht 2 Punkte sie nehmen dann bleibt ihr nichts anderes übrig als konstant zu sein das war der 1. Punkt also können Sie jetzt alle weiteren abhandeln wenn Sie wissen 11. richten ist größer als 0 auf die 1 dann schauen Sie sich die 1. Zeile auf der Seite 1 wenn das Eis immer größer 0 Stresemann immer größer 0 also kriegen Sie da oben raus dass er von dem -minus er immer größer 0 ist und das bedeutet genau erfahren wie es größer 11 von A was haben wir also jetzt den kleiner als ist ist er von kleiner ist er von das heißt es streng monoton wachsend beenden unsere Präsenz in den Medien wert als er mir die Information über das Vorzeichen Information über das Vorzeichen von f und wenn es erfahren an denen Monotonie aus sei nur so können sie einen Punkt in den Teil des alle weitermachen wenn Sie nur größer gleich 0 haben kriegen sie eben auch nur 11 von wenn das er von größer gleich 0 also nur Monotonie ähnlich strenge Monotonie und so weiter aber gut Wetter 10 Tage das war die Aussage vom 10. sei wenn sie 2 Funktionen haben identische Ableitung dann unterscheiden sich nur eine Konstante also seine F und G Funktion auf E ich nur dass es strich gleich G strich was ist zeigen müssen dann ist dann ist die eine die die nur eine konstante von Al verschieben und was wir da zu machen ist wir
gucken uns die Funktion haben die Differenz von den beiden ist in die Funktion ASF -minus G und schauen uns an was es mit der Ableitung von h Na ja ableiten es denn die haben wir gesehen also dass die Ableitung von Hal die Ableitung von f -minus Verwendung von gehen ob und wenn die beiden aber gleich sind dass die Anwendung von H konstant 0 wir waren gestern kriegen wir das machen Teile also ist nach B die Funktion h eine konstante Funktionen und das ist das was zu zeigen war nur die Differenz von F und G ist konstant zum Birmingham war ein 1. Erfolg aber sind Mittelwert Satz gezogen und jetzt passiert das das nur weil Martic oft passiert man hat einen Baustein ein machtvoll oder weniger machtvollen Satz aus dem sieht man werden welche Folgerungen aus der Folgerung wieder Folgerungen wieder Folgerungen und dann Mann ist man den hundertsten TAN-Listen und niemand weiß man dass weder den Mittelwert Satz steckt und so kann ich Ihnen jetzt ein Beispiel aus dieser Folgerung aus dem Mittelwert Satz in der weißen nachliefern der schon länger fällt nämlich der Beweis für den trigonometrischen Pythagoras den hatten wir damals also Sinus und Cosinus eingeführt haben aus der anschauen rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis geglaubt es das Quadrat Musculus Quadrat immer 1 aber werden sich bewiesen aber es können wir das tun und der Zuschauer nur uns einfach mal diese Funktion an F von X in weiß sie das Quadrat von x +plus Cosinus Quadrat von x in der Funktion auf einer besonderen Art zeigen dass sie konstant 1 also nahe liegende Idee wir wollen zeigen dass konstant 1 Seite doch mal ab und will erst mal fest dass Sie auf konstant das besiedeln die Funktion ableite soll's
aber der lege die leitende Sinus Quadrat ab erst die äußere Ableitung des zweimal Sinus von X weil die innere Ableitung der Wärme vom sehen ist der aus also zweimal Sinus von Dietmar Koloss von x was aber leider von Kursen Quadrat ist zweimal Cosinus von x mal die Ableitung vom Cosinus es den -minus Dinge von nix warum man sich das genauer anguckt sieht man schon alles geht gut 2 Sinus Kosinus -minus 2 Sinus Kosinus ist nun also es es konstant mit wollen aber nicht nur dass es irgendwie konstante soll es soll bitte schön konstant 1 seien das schöne ist eine konstante Funktion haben den Wert der Konstante zu bestimmen ist meistens einfach weil sie suchen sich einfach irgendein .punkt einen Funktionswert aus den sie gut ausrechnen können in dem Fall ist das er von mir was ist etwa 0 11. 0 ist der Sinneswandel Quadrat wirft der Kosinus von nur Quadrat der Sinus von 0 bis 1 ist nur der Koloss von Rhodus 1 also ist die Funktion der stillen 0 ist die 1 und ansonsten ist die Konstanz also gilt er von x gleich 1 für alle reellen Zahlen gibt kann aber das ist jetzt Vierzeiler wenn das bei der Definition von Sinus und Cosinus versucht hätten zu beweisen hätten wir nicht anderes gab dass unsere Reihen Lösung Kursus haben wir Potenzreihe definiert und dann nachzurechnen dass Sinus das Quadrat des Kurses bereit 1 Design an der Reihe ist mühsam er sich nur mal vor Sie müssen siehe Produkt von Sinus mit dir reine der 7. Reihe bilden wenn sie schon mal lustige Sprüche Bodo Moscoso Markus muss weil 2. Kuschel Produkt das alles zusammenfasst unter eine Summe bringen und dann in dem Wust noch sehen dass bei 1 rauskommt wenn sich viel Spaß Differenzialrechnung hier liefert uns sehr einfachen beweist dass wegen aber den hab ich denn damals geschoben zu rauchen das waren zur 1. Dinge aus Mittelwert das Team gar nicht bringt gleich noch 1 mehr ich will nur an der Stelle noch eine Warnung oder ein beispiellos werden also ein Beispiel das als
Warnung dienen sollen weil
so Beispiele man 2 hier und zwar ist dass sie immer so wenn man Algen einen mathematischen Satz im Soft-Off benutzt werden und der so in Fleisch und Blut übergeht dann fängt man an der dann fängt er an sich abzuschleifen und man vergisst die Hälfte der Voraussetzungen bei der uns hier immer so gut und das ist bei dem mir auch der schön eingängig wenn die Ableitung positive ist die Funktion streng monoton wachsend und das kann man oft und mit viel Freude verwenden und vergisst dann dass es auch eine Voraussetzung dar die Voraussetzung ist das Ganze spielt auch mit dabei und ich Ihnen zeigen wenn das wenn sie diese Voraussetzungen Eifer des Gefechts vergessen ganz fürchterliche Dinge passieren können und sollen wir uns dazu an das Beispiel 1 16 wie sie wollen wir wie nachgucken was das ist das ist die Ableitung und Tangenten also Dame gezeigt dass die Ableitung von Tangens gegeben ist ich 1 +plus ins Quadrat von x wer sich dies anschauen dann stellen Sie fest das ist mir wunderbar positive strikt positive ablehnen die sogar immer größer als 1 ist nicht nur größer als 0 in dieser immer größer als 1 und das auf der gesamten Menge wurde Tangens definiert ist also auf er ohne die Nullstellen von Kursen aus also den und die heile verschobenen Vielfachen von pi auf dieser ganze Menge ist die Ableitung perfekt größer als 1 also sehr Satz oben völlig klar Dateien ist streng monoton wachsend auf der Menge ja innerhalb errangen sie sich streng monoton wachsend sich den Tagen sie nur den Tangens in 3 D ergänzen und wird einen Momenten 3 diese beiden 0 ja aber nur das kleine Eiszeit die also ist denn das nicht das Problem ist dass keine Wahl diese Definitionsbereich eher bissl Vereinigung wollen Wahlen aber der Dübellöcher auch unklar was macht drangen sein diesen Löchern springt wieder runter dann ganz kommt immer von ganz unten geraucht und dann springt er wieder runter und komm wieder hoch wir es auf jedem der Wahlen streng dalagst aber der Moment wo sie bei dabei Gänse überprüfen denn sie wieder ganz ganz da ganz ganz unten an ein es ist die Funktion von Sisyphos ja also darauf gefordert hat das heißt an der Stelle kommt diese Voraussetzungen die Funktion muss auch in mit der Wahl differenzierbar sein extrem Spiel und der sollte man nicht vergessen also die Voraussetzungen in der Wahl ist hier richtig weil ebenso bei 7 Lücken Definitionsbereich haben die Funktion nicht mehr der Kontrolle haben das heißt dass die Anmeldung es positiv dringt positiver als die Funktion muss an dieser Stelle wachsen sich werden dann muss Museen auch wir der Musik war sie kurz die Augen zumachen weil das den der es uns weil wir hat dann kann die Funktion als schneller und bringe das also ist das geht nur solange sie die Augen wenn rein auf das Tor des war das und was ich ihn jetzt als letzte Anwendung vom Mitteleinsatz noch zeigen will ist eine Anwendung wofür man extrem gut und häufig benutzen kann und das ist der Nachweis von der Stetigkeit der also Gruppe Erinnerungen nach was war bisher stetig wenn festgestellt dass es Stetigkeit Begriff der stärker ist als ich Tätigkeit als solche und den wesentlichen sagte der Abstand zwischen 2 Bildern der Funktion ist immer höchstens höchstens L mal so groß wie der Abstand Urwälder also etwa nächsten sehr von Apps sollen Betrages kleiner gleich L mein XP besitzt einen Betrag und was ihnen zeigen will ist das Fernsehen dass er erschien Stetigkeit automatisch automatisch folgt wenn Sie differenzierbare Funktion haben mit beschränkter Ableitung und das an einem Beispiel er und zwar gucken uns den Akkus Tendenz an 1 und 2 der Zahl X und Y und dann kriegen wir nach dem Mittelwert statt angewandt auf den Augusttagen Jens wischen X und Y und sie das zwischen X und Y legt Moses bisschen mühsam schreiben zieht sich XY wenig weiße Pixel kleiner ist als wenn keiner schreiben sie aus sie mit der Wahl also es gibt dem Ziel zwischen XY oder das der Augusttagen jenes von iX -minus per Augusttagen ganz von y also ist der Mittelwert Satz angewandt auf die Funktion Augusttagen das gleiche ist wie die Ableitung vom August den seiner zwischen ständig sie mal das Abstand mal der
Abstand der Urwälder der die Ablehnung eine vom August sangen seine ständig sie kennen aber die aber im August einen ist ein Stich 1 plus x Quadrat also steht hier einst durch 1 +plus C-Quadrat mal ins -minus y und jetzt sehen Sie sondern zur schreibt gemildert Satz gibt Ihnen einen wunderbaren Zusammenhang zwischen dem Abstand der Wähler und den Abstand der oder oder auf die Weise und können sie damit letztlich Stetigkeit nachweisen kann also was brauchen wir müssen den Abstand der Bilder durch den Abstand der Urwälder kontrollieren kann das ist das das ist der Betrag von 1 Pech 1 plus 10 Quadrat weil der Betrag von x widersetzen an und jetzt muss man sich diese Ableitung der sie anschauen und stellen Sie fest wenn Bruch mit Zähler eines 1 immer größer als ein wer gar das Ziel ist wenn man mal größer als 1 das heißt diese Boris garantiert kleiner gleich ein ich nun und damit kriegen sie 1. Argus
Tangens wird stetig ist wenn der Sitz konstante 1 Mehr aber wir sind stetig nehmen kann im Schnitt stetig mit L gleich 1 2 und das ist universell wann immer eine Funktion haben differenzierter mit beschränkter Ableitung können Sie diesen Abrechnung machen und wenn wir Stetigkeit und unter dem Aspekt muss man in den Sitz Tätigkeit auch sich vorstellen jetzt jetzt stetig bedeutet sie haben der Funktion die im Prinzip fast überall differenzierbar ist und deren Ableitung beschränkt Märkte und das ist die Stelle wo der Beständigkeit wie viel stärker ist als Dichtigkeit tja den als Beispiel für die nicht gezielt stetige Funktion gebracht x Quadrat auf der reellen Achse des gewahrte relaxter das Ableitung 2 x und das ist unbeschränkt wenn sie ist wir wollen zu lassen wir stetig impliziert insbesondere dass die Ableitung beschränkte nach oben beschränkt ist also oder und insgesamt beschränkt gut in aber das ist was ich damit sagen will sie sollten immer dann einen Mittelwert sonst denken wenn Sie Differenzen also wenn sie die Differenz Funktion von x -minus Funktion von y abschätzen sollen dann das ist und so Schlüsselreiz der bei Ihnen das Wort Mittelwert Satz auslösen sollte was nicht heißt dass bei in derzeit immer immer zum Ziel führt aber der ist auf jeden Fall was was sich lohnt mal drauf zu werfen und zu gucken was passiert also und da steht irgendwie komplizierter Ausdruck von X -minus komplizierter Ausdruck von y Betrag drum wir gucken Sie mal wenn der Mittelwert der 2. Hälfte Trauer und das war zum Thema Mitteleinsatz wird uns noch mal begegnen später wer etwas anderes einschieben und wir n Differenzierbarkeit auch von hohem Nutzen ist und zwar wenn sie zu einem Problem früher zurück wir hatten die schon Seligkeit Grenzwerte von Funktionen zu bestimmen hatten wir definiert werden erschienene welchen Wegen rausgefunden aber es gibt immer wieder funktions Grenzwerte die mühsam zu bestimmen sind und was man aus werden Differenzierbarkeit raus dienen kann ist ein wunderbares Hilfsmittel um solch schwierige Grenzwerte anzugehen und das ist der Satz von der Lobetal also
Satz 2 6 er und auch das ist ein Satz 1 der sehr gerne angewandt wird ich versprechen sie werden würden unter den surfte angewandt wird dass man dann man anfängt die Voraussetzung zu vergessen und der deswegen auch hier erhobenen Zeigefinger merken Sie sich die gute die werden den Satz noch in der 2. in einer 2. Schreiben finden wenig den Orbital ohne es zu müssen darauf ob wer wissen Französisch kann weiß das das Dach auf den Buchstaben dadurch entstanden ist dass es wegfällt unter Orbitale hat halt gelebt wo hat man das Erste in Dach ersetzt hat deswegen beide Schreibweisen erlaubt so also was haben wir hier jetzt kommt der Satz Voraussetzungen 1. einfach nur das sehr denn wir haben Intervall a b in R und an der Stelle will ich auch Krenz also wir wollen daher grenzwertigen an gegen die eine Funktion f auf aber wir wollen Grenze an wie betrachten und damit ich auch Grenzwerte gegen minus unendlich Landgrenze gegen plus unendlich hab wenn ich an der Stelle gleich minus unendlich oder wir gleich unendlich durchaus zu lassen also was damit gemeint ist die haben Intervall in er das kann auch ganz er sein und dann halt auch das als Einheit und diesen derweil im Intervall in offenes Intervall oder man 2 Funktionen f und g sind auf AB definiert und beide differenzierbar darauf das ist auch nicht kritisch jetzt kommt die Voraussetzung die Sie bitte net dass es jetzt kommt auch noch eine die Ehre ja die Seele automatisch mit prüfen ich verlange dass die Ableitung von dem G auf den ganzen nicht verschwindet was nur weil wegen eine Funktion keine Nullstelle der Ableitung auf denen der war das kann man mit zum Beispiel dadurch erreicht wenn man nachher Grenze gegen anschauen will und dass die hat 0 0 stelle weiter weiter rechts dane macht man das der Client namens an die Nullstelle der Doris jetzt kommt die Voraussetzung die nicht vergessen sollten was wir uns anschauen wollen nachher ist der Grenzwert von f von x durch die von XP müssen meistens hässlichen Grenzwerte Serben und auch Omon aus Computer und was Kompliziertes und wenn Sie jetzt meines 1. was man natürlich macht unsere Grenzwert kriegt das man setzt bei den Wert 1 guckt was passiert und den normal sei wenn sie das 1. Mal wenn sie zu erstellen der Zelle gegen 3 der Männer geht gegen 5 dann haben so gewonnenen kommt draußen alles vereinfacht gemeinerweise stellt man so Aufgaben selten weil die spannenden sind natürlich die wo wohl endlich auskommt und unendlich oder oben und unten am 8. und genau für diese Fälle ist der Satz gemacht weil dieser Satz aber behandelt Grenzwerte davor nicht durch ähnlich Umbrüchen und die Crux an der Sache ist er kann auch nur die wenn Sie diesen Satz ein Grenzwert der Form 5 durch 7 geben meist ein wenig gesehen haben das war 5 die 7 auskommen da die verbergen und trug er liefert der falsches Ergebnis und deswegen müssen sie vorher zu erkennen das Sie wirklich im Dom aber und das ist die Voraussetzung jetzt also brauchen entweder den Fall dass der Limes x gegen F von X und den Limes x gegen Art des von X beide 0 sind oder zumindest das der Grenzwert im Nenner also der Grenze Dix gegen AG von X das wär außerdem -minus dann endlich also brauchen ein in irgendeiner Weise spannenden Grenzwerten ende der immer neue oder unendlich durch unendlich oder Grad Nord ok 5. endlich er würde ich unendlich ist eigentlich irrelevant weil es ist so verdammt 0 das ist schon mehr unendlich durch 0 brauchen sie auch keine Orbital für bei damit ich nur besondere Frage Vorzeichen beim geselligen brummende so wenig immer man was damals extrem groß wird geteilt durch was was extrem kleine also nahe 0 geht dann explodiert in das ja in doppelter im Doppel wir ja also die sind diese gespannt spannendes wollen war nämlich durch erhältlich und genau diese beiden Fälle behandelt dieser Satz und die Warnung ist er dann genau diese Fälle und wenn Sie nicht in diesen Fällen sind dann lassen Sie die Finger von diesen Satz war dann gemeinerweise er durchaus mehr also wenn sie was damals durch 3 in die 7. um dies den dreien und gegen 7 und sie werden Satz an dann kann es passieren dass sie 5 rauskriegen er der machst dann falsch so also was aber jetzt und das ist das Schöne es ist wenn man so wirklich so ein Grenzwert hat gedoppelter eine sehr einfache Methode auszurechnen oder manchmal sehr einfache Methode aus den auszurechnen er sagt nämlich wenn sie den Grenzwert x gegen von F von X durch die von x bestimmen wollen dann schauen Sie sich mal den Grenzwert an den 7 Zähler ableiten und denen ableiten also nicht den ganzen Woche bleiben so nur den Zähler bleiben und Getreide denen ableiten und auch hier Meinig mit existiert wenn den uneigentlichen Sinne existiert also wenn der plus oder minus endlich rauskommt dann ist das ok das geht es in dem Fall auch als existiert also wenn Sie diesen Lämmer Six gegen Aalstrich von X durch die Strich von X in den sinnvollen Wert zuweisen können der kann auch ähnlich sein dann dürfen Sie den gleichen Wert in der ihren eigentlichen Grenzwert schreiben also wenn es
der Limes x gegen von von X durch die von x ebenfalls L also der Limes x gegen Art f strich von X ich Strich von ja also der Satz sagt was werden Sie ein und Pannen Grenzwert haben nur durch nun oder wenn ich denn endlich denn wir sind sie erst mal machtlos ist können wir versuchen oben und unten zu kurz oder Wasserfall kriegt man das nicht also um 0 und 0 dann dürfen Sie den Zähler und den Nenner getrennt arbeiten und das was da steht nochmal angucken und gucken ob sie jetzt nicht mehr nur durch 0 sondern 5 durch 0 darstellt wenn die haben sie gewonnen das sagt der Satz ich hab ihn jetzt durchgängig der X gegen formuliert das Gleiche gilt für
x gegen gehe also überall wo überall wo Bulimie Siegs gegen steht wissen Sie auch wenn es nix gegen B schreiben es hab ich alle Laub und ich genauso und sie haben damit kann wunderbar das Kriterium einen wunderbaren mit der ich mich an der Hand solche uneigentlichen Grenzwerte der Form 0 durch 0 zu bestimmen ich mach gleich Beispiele für nicht mehr noch für die jetzt schon dreimal angesprochene Warnung verschriftlichen auch also waren 2 7 ,komma dieser Satz kann nur Grenzwerte ganz mit der kritischen V-Mann also der vom nur durch nur oder unendlich durch unendlich also plus minus unendlich durch plus minus unendlich wer handeln aber der sich hin weil alle anderen sind einfach am Bein einem brauchen Sie gar keine sagt ja insofern ist es ein tolles Werkzeug nur man sollte ihn halt nur dann an wenn man ihn braucht das wie man Medikamente also der deshalb für die Krankheit oder wenn sie gesund oder lassen sich den Fragen der zur was können wir damit zum Beispiel machen eine ein 1. Beispiele 2 beliebig vorgegebene Zahlen alpha und beta größer 0 so betrachten wir folgenden Grenzwert den
Limes x gegen 0 +plus also von rechts er war hoch x -minus später auf hoch x ich X in Grenzwerte besitzen gleich rechtsseitiger Grenzwert der Satz um redet von Grenzwerten und ich hatte in dem Kapitel über Funk tions Grenzwerte gesagt ich werde alles in Zukunft nur für den Grenzwert formulieren alle Sätze gelten auch für Recht und linksseitige das Tonfall also die können Orbital aufrecht da die Grenzwerte linksseitige Grenzwert schreiben zur Ruhe was also der interessiert uns Ideen was kommt raus warum kommt das raus was passiere nichts gegen 0 schicken dann der Männer gegen 0 das ist relativ klar was macht der Zähler bei sehen beide positiv also es als auch 0 1 und bald auch 0 1 also besteht 1 -minus 1 gleich 9 um und steht nun das heißt es sind genau der Situation wo man nicht so recht weiß und mal nicht so recht weiß sie man jetzt das X daraus kürzen soll also es wäre Status und das ist jetzt der Moment Schlaubetal also was nehmen wir in den Satz 2 6 als Intervall a b nehmen wir das Intervall 0 1 wir wollen Grenze 0 als Funktion f ist die Funktionen Zähler das ist die Funktion als Frau hoch x -minus später auch X oder als Funktion gehen über die Funktion Länder also X 1 zur guckt man sich die Voraussetzung an ob die erfüllt sind nur 11 und gehe den differenzierbarer auf 0 1 ja sind sehr die sowieso war es auch und das ist der Sinn des wichtigen müssen sie checken das sie wirklich im Fall 0 durch 0 sind das hatten wir gerade schon überlegt also was ist denn das X gegen 0 von 11 von X das ist 0 und das ist das gleiche wie 1 x gegen 0 +plus er von X also sind tatsächlich im Fahrwasser von Orbital haben spann Grenzwert von der Frauen 0 durch 0 Thomas sagt uns jetzt damit Lobetal Lobetal sagt wenn wir den Grenzwert Auric also X legt -minus Peter Uhrig sich X berechnen wollen dann können wir statt des sind in diesem Fall jetzt in Grenzwert anschauen provinzieller ableiten wobei man habe mit dem sich schon dass es ganz denn einer ableiten wann ist da nicht mehr so hässlich DX gegen 0 0 also wenn Sie jetzt den doppelt Teil
drauf werfen dann kriegen sie der Limes x gegen 0 von rechts er war auch Ex -minus später auch x welch EX ist das gleiche wie Voraussetzungen satt sind erfüllt das heißt dieser Grenzwert ist der gleiche wie der von also auch X -minus B auch XP abgeleitet durch x abgeleitet ich hab das jetzt mal so wissen schlampig also X mit Strichlisten endlich die schrägere gemeint ist die Funktion Evonik stellt x abgeleitet also das Ganze diente der Voraussetzung dass der Grenzwert rechts sich jetzt als du wirklich raus stellt das tut er aber erst als sie den welche ableiten dass ist der Limes x gegen 0 von Recht das ist die Ableitung von als auch X die haben wir irgendwann mal vorbei und der Woche oder so ausgerechnet das war also auch x-mal allen von Alfa entsprechendes die Ableitung von wird auch Experte o mal allen von Wetter und wenn sie X ableiten weil das wie schwierig kommt einfach so der Grenzwerte sind deutlich freundlicher was passiert jetzt wenn wir also wenn wir x gegen 0 schicken angeht als auch x gegen 1 also hier oben bleibt allen von Alfa stehen -minus 1 mal 1 von Wetter durch 1 also allen von Alfa -minus allen vom Wetter wir sehen will das hätte man in den Sinn nicht unbedingt angesehene und Orbital dessen starkes Werkzeug umso Grenzwerte zu berechnen 1 und 2. Beispiel also der Kurden und an den Limes x gegen unendlich und allen X durch x das was ich gerade mal 3 gemacht habe -minus alle Voraussetzungen aufgelistet ob sie auch halten will es sind es gute wenn man den Satz kennenlernt und sich das klar zu machen wird man natürlich im Allgemeinen wird 25. Anwendung nicht mit Hohn aber sie sehen Axt inständig bitten möchte ist wenn bevor sie Orbital anwenden prüfen Sie dass sie wirklich in der Situation Sie den anderen zu dürfen das heißt prüfen Sie es ist ich nur dann endlich den ähnlich ist und nichts anderes und das ist das 1 zu prüfen und das andere ist wenn Sie das in einer wie auch immer gearteten Weise tun die irgendjemand anders korrigiert oder nachschauen muss also eine Klausur oder eine Übungsaufgabe 1 7 korrekt damit dass sie darüber nachgedacht haben wenn Sie das nicht mitteilen dass sie darüber nachgedacht haben kann das nicht bewerten da ja also man sie irgendwie mit kenntlich dass sie sich dieser Falle bewusst waren und untersuchen Sie mal den Zähler in einer von den Grenzwert einzeln was passiert hier wenn x gegen unendlich geht dann geht der Logarithmus von x gegen unendlich ja langsam zwar aber er kommt irgendwann einer kommt da nicht an aber er geht gegen unendlich und wenn sie nix gegen endlich jagen dann ist der Grenzwert im von X nicht so schwierig das auch unendlich das heißt wenn es tatsächlich vornehmlich durch oder nicht es war sich jetzt mehr das ist die Mindestanforderung an eine an eine Bearbeitung dieser Aufgabe wäre also alles was sie noch dazu schreiben es gut aber das ist mal die mindest Menge um klarzumachen lieber korrekt durch hat dran gedacht dass der Opel weil er draußen zum hat also den sie in der Situation sehen das das Ding unendlich durch unendlich geht dann dürfen sie es Ober-Roden differenzieren der Rhythmus differenziert geht 1 belegst x differenziert geht 1 also bleibt übrig der Limes x gegen unendlich von 1 durch x währenddessen dessen und also sehen es muss geht gehen wenn ich denn nun endlich aber dann langsam drohen wenn sie durch x teilen können Sie ab der nach 0 wenn Sie die Rechnung machen normal saubermachen können sogar raus nicht nur dem X wenn Sie und nix auch Epsilon schreiben wieder zusammen die ich kleiner größer 0 es dann ganz anderer Art und das man zusammenfassen es gibt diesen Spruch Exponentialfunktion wächst schneller als jede 3. und das bietet wiederum heißt log wächst langsamer als jedes Hotel mir dann meine immer man ein neue mathematischen Satz dient der zivile Anwendung davon auf die man nicht sofort automatisch kommen dann deswegen wenn ich in eine zeigen wie man oft nutzen kann und das ist halt und trägt der mal gesehen haben muss dann erst Grenzwerte wir können mit dem ob Italiens Grenzwerte davor nur durch nur wenig durch wenn endlich behandeln und es gibt noch ein paar andere Formen von Grenzwerten die einwerfen einer unendlich minus unendlich wer also ein was das gehen endlich Ziege -minus was was gegen ehrlich Täterwissen war nix da wird es auch derbe keine nix da muss man mit anderen Techniken ran aber was noch so was blödes ist ist wenn Sie was haben was gegen 0 geht mal was was gegen endlich geht dann ist auch die Frage wer ist wer zieht schneller ja dann das ist ein Fall wo ein doppelter helfen kann obwohl der Wolkenbruch darstellt und ein Beispiel ist das folgende und das Grenzwert der oft auftaucht ja den Grenzwert von rechts gegen 0 von x-mal allen von X was ist und falls es gen 0 schicken NGX gegen 0 unter allen die 0 ginge so nennt mir freigesetzt sind stärker also x mal x sicherlich der Grenze des ganzen kleiner gleich 0 ist positiv Rechtsrahmen andere ist negativ aber nur zwischen und endlich er aber und das kann mit Orbital lösen indem wir halt sehr kreativ der Sache umschreiben aber Orbital brauchten vorziehen aber kein Name ein er den von ich einzig XP Essen Purcell tun ist das gleiche wie vorher so checken ob wir Orbital Fahrwasser sind wenn sie gegen 0 gehen dann geht der innere Rhythmus gegen minus unendlich wenn sie von Rechts wegen nur kommen geht einzig x gegen unendlich damals tatsächlichen
und eigentlichen Grenzwerte Form oder nicht ich endlich also -minus wenn eigenhändig das auch okay und wir dürfen differenzieren also dass wir diese inzidentiell aber differenziert Männer und an der Stelle denn jetzt Aldi gekniffen die zu viel nachdenken und sie sagen das kann er gar nichts bringen wenn ich jetzt differenzierter mit aus dem einzig Ex-Piloten Jan 1 lief Quadrates wir rüber immer ja und nein also welches differenziert mit aus dem allen XO man 1 durch x zur und unten raus wir tatsächlich -minus 1 richtig Skandal aber das schöne jetzt aber kürzen also das es Limes x gegen 0 von Recht mal diesen dabei hochauflösend von minus x Quadrat durch IX also Lemmers x gegen 0 von rechts bei minus x und nicht zugeben 1. aufgeteilt die Suche des Grenzwertes vereinfacht ja also den Kreml zur damit den Grenzwert 9 X mal X X gegen 0 und dann das ist zum einen schönes Resultat und zum andern aber daraus noch ne weitere Rendite und zwar kann ich Ihnen da man diesen Grenze aus rechnen wir mit Orbital erstmal gar nix mehr zu tun hat auch gegen 0 von rechts und diese Funktion x hoch x wirkliche Funktion braucht normalerweise erst an der Uni auf einer nie gesehen aber so Funktionen zu gehen und die Frage ist was macht diese 0 und es ist auch deswegen relevante Frage weil ich hab ich ja immer in sie immer wieder mit Fragen kommen völlig berechtigt warum ich denn meinen Potenzreihen nun hoch 0 bitte schön 1 gesetzt hat das dann doch reine Willkür ja dass es erst natürlich wirklich aber jetzt kommt die Begründung warum das eine sinnvolle willkürlich weil was ist dieser Grenzwert hier nach Definition der allgemeinen Potenzen sie x auch x was das ist ich x nein F von X ist die Terrormiliz nein nix und vor dieser Grenzwert x gegen 0 das Hamburger ausgerechnet was wir jetzt nutzen es das die Exponentialfunktion stetig ist er was hat Stetigkeit damit zu drohen wenn Sie sich erinnern Ehrlichkeit war im dort Tätigkeit war das wenn Sie sehen Funkturm den Wert x 0 meine nähern nähern sich die Funktionswerte f von x wird er von x 0 und er dann eine ständige sagt dass man das zunächst einmal fungspunkte hat sie so vorstellen kann dass das bedeutet der Limes XX 0 von F von X ist ja zunächst nur bei Evonik Neues ist es schon Limes x 0 x an und dann er hat mir geschrieben und gesagt Tätigkeit bedeutet im Prinzip dass sie die Punkte und Auswertung und den Grenzwert vertauschen dürfen also ist meine Funktion stetiges egal ob sie 1. Grenze aus dann die Funktion auswählen und ob sie in jedem Punkte funktions auswerten und dann den Grenze der Funktionswerte machen wir das war mir jetzt hier was im Moment stehen Name ist der Grenzwert von der .punkt und Auswertung in den Vertauschen der zum gelten zu lassen tions Auswertung von Grenze das bedeutet Stetigkeit Stetigkeit heißt sie könne die müssen die Funktion per ein schien mir steht der Grenze wir gerade ausgerechnet haben also der war
nur und sie sehen was dass der Grenzwert für x gegen 0 von X O X 1 ist und das ist die Begründung dafür warum es irgendwie sinnliches zu sagen nur so dass ein ist die stetige Fortsetzung der Funktion x hoch x das Gegenargumente müssen wir auch aufpassen ist wenn Sie sich die Funktion nicht X auch x und die Funktion x hoch y angucken das funktoniert zweier Jahre danach die in der Umgebung von dem Punkt 0 0 wer den spricht an einer Stelle 0 0 hat die Funktion den Wert 0 hoch 0 hätte macht die fürchterlich Unfug der Aldis da in keiner Weise stetig fortsetzbar dies hässlich werden aber die Form von zunächst auch XP kündigte die vor und nur die und das ist die etwas wackelige aber die Begründung dafür dass nur 0 gleich 1 den macht also wenn sie nur noch neu definieren wollen dann müssen Sie es einsetzen weswegen was anderes macht keinen Sinn mehr dann lieber sagen ich bin es einfach gar nicht ich der gut sobald zum wie gesagt ein sehr sehr wichtiges Hilfsmittel der Berechnung von Grenzwerten ich bin mir sicher wenn sie mit dem Listen zu tun hatten mit eines ihre Lieblings Methoden seines indes dass die Erfahrungen immer mal grenzwertigen wirft den Winprop quer in Prozenten Strich drin hat dann wird meistens zuerst nur betreut aufgeworfen meine bitte bleibt überprüfen Sie wenigstens war ja das ist das Ende so an der Stelle bin ich mir noch Italia auch zum als von Täler kommen das wegen der ideale Momente ein kurzes Preuschen also bis in 10 Minuten vor so ich würd
dann gern in die 2. Hälfte ansteigen und mit dem Satz Wandteller anfangen das seiner differenzierbare Funktionen und dann alle die die mit dem groben Zweifel im Kopf setzen ob sie jemals was von dem was ich Ihnen hier erzähle mal brauchen werden sei jetzt der Appell gerichtet es lohnt sich Ghost aufzutauchen wenn Sie Ihren Mann damals aus diesem Kurs brauchen dann wird das was jetzt kommt dazu auf jeden Fall ehrlich es mich viel anschaulicher als alles bisherige ich versuche so anschaulich zu machen aber es hat eine ziemliche Relevanz weil es der Satz von Teller einig der Hintergrund vor so gut wie jeder Näherungen wer Funktionen ist und wenn Sie einen Rechner oder an sonst was denken wenn sie irgendwas wirklich ausrechnen wollen werden sie nie umhinkommen das Zeug zu nähern und die Frage ist wie immer man gut wenn der Mann effizient und wenn er mir möglichst wenig Fehler und vor allem und das der Satz von Tele unschlagbar wie immer man so dass man den Fehler kontrollieren kann was man in der Schranke angeben kann ich bin sicher meine Näherung ist allerschlimmsten so und so viel daneben soll und worum es geht es vom Zorns annähern und im Prinzip wenn differenzierbare Funktionen und der Ausgangspunkt ist und so ist die Diskussion über schon mal hatten über Differenzierbarkeit von Potenzreihen das war das Beispiel 1 22 Ziel darin gezeigt wenn sie eine Funktion haben die durch Potenzreihe gegeben ist ob dann ist die beliebig oft differenzierbar und wir können die Ableitung ausrechnen aber wir hatten aus dieser Ableitung eine die Schlussfolgerung gefährden der wichtig ist und die war wenn Wende Funktion über den freigegeben ist dann ist die Wahl der Koeffizienten eindeutig bestimmt und wenn das Denken über den freigegeben ist dann muss gelten das jedes AN gerade die n-te Ableitung der Funktion f an der Stelle x 0 ist durch n Fakultät und das für jedes enden in eine wobei jetzt Zelle die Konvention gilt dass die 0 der Ableitung die schon selbst also das würde ist der Funktionswert an der Stelle x 0 es wenn sie es nicht verbergen finden wenn Sie es zunächst nur ausrechnen dann kommt da nach dem alten werden Muster es 1 kommt da nur raus aber die Aussage ist der damals gefunden hatten jedes AN lässt sich aus stritten sich die in der Ableitung von f und jetzt kommt das was ich gesagt hatte zum Thema die ,komma nach die reine von Sinus wenn ich weiß wenn es über den frei dann muss diese so aussehen dann kann ich ja umgekehrt anfangen wenn ich mir eine Funktion wenn ich hatte wenn eine Funktion habe von der ich weiß Sie es beliebig oft differenzierbar ich habe der endlich Funktion auf in der Wahl und ich haben .punkt x 9 wie dann kann ich die Ableitung dieser Funktionen des Stilmix nur ausrechnen und die sie einst ausrechnen und weiß werden vom Winde patentfrei diese Funktion darstellt dann diese und hat damit ein Kandidat beliefert Trends freie also dann kann ich einfach nicht seine Funktion hat dann setze ich ein die in der werden an der Stelle x 0 durch interkulturell und dann schau ich mir an die Potenzreihe die gegeben ist mit diesen einen also schau ich mir an die Reihe in gleich 0 bis unendlich A 1 x -minus x 0 hoch n also die Reihe in gleich 0 bis unendlich in der Ableitung von f durch x 0 von x 0 durch n Fakultät weil x 1 x nur noch äh wenn meine Funktion der Potenzreihe hat dann die und hab ich am Anfang Vermehrung gesprochen dass es mit zu tun wenn sie würde Funktionen Potenzreihen Darstellung haben ist das der perfekte keine diese Funktion näherungsweise zu bestimmen was ist eine Potenzreihe ist mehr als nur ein langes Polynom dass das gleiche Sie die Funktion und dann ist Mehr nur berechtigt wenn ich jetzt nicht unendlich lang so mehr sondern nur bis zum 5. so man dann hab ich schon dass ich gute Näherung an oder auf die Weise arbeitet so ziemlich alle was machte Taschenrechner sinus ausrechnet werden die Silos Reihen rechne die 1. 5 Summanden Zusammenhalt wird auch 7 oder 3 keine Ahnung aber oder 100 egal ab Fall das ist das was er macht er mehr die Funktion durch den Anfang der den sei und das Wesen der Sohn wollen diesen Mann macht dann Sinn wenn man lieber dass wir gute Mehr an und und das ist das tolle kann man diese Mehr und kontrollieren können wir ob aus den Daten also aus dem Kenntnis von f von x 0 unterwegs nur wissen wie viel liegt und sehr gut genährt dass er von nix von waren es von x wecken und das können wir und das kommt jetzt aus dem Satz von Tele mit dem man sitzt passen wollen aber erstmal am jetzt der Funktion f gegeben dazu diese Reihe bestimmt und ich braucht es meinen Namen das ist die Definition 2 9 also wenn neben uns offenes Intervall der auf dem unsere Funktion definiert ist ja die Stelle x 0 denn die die Ableitung von unserm 1. komplett ausrechnen und wir haben ne beliebig oft differenzierbaren Funktion auf und dann nennt man diese Reihe die wir da gerade in geschrieben haben also die Reihe gleich 0 bis unendlich in der Ableitung von f an der Stelle x 0 durch n Fakultät Maliks -minus x nur noch enden die nennt man die Täler Reihe von der x 0 bitte was hat er damit nur ihr relevanten ist wenn sie Zweifel Moment davon ausgehen dass die Welt gut ist und das tatsächlich erst durch Potenzreihe gegeben ist dann geht er von X gleich dieser Reihe und warum ist diese Reihe Treue zum ausrechnen von F von X kann sie was sie brauchen um ihren nix dieser Reihe auszurechnen da sie brauchen das 6. 6. 0 8 aber und sie brauchen es mit allen Ableitung an der Stelle x 0 aber nur und ausschließlich an der Stelle x 0 gebrauchen keine Information über eher von der Stelle x wenn sie also eine Funktion an einer Stelle x 0 also das was sich den sie nach dem 0 1 ich kennen das Wetter dabei 0 7 0 und die Ableitung des 1 und die hat 2 werden müssen 9 und 3. werden bis -minus 1 da werden wir nun und immer unter der Decke gehen alle Stelle von Sinus also gerne wenn sie was das hinschreiben und über diese Reihe was herauskommt ist Potenzreihen Sinus Sinus von x ausrechnen jeder andern Stelle nur aus dem Kenntnis der Wert einer Leiharbeitern erstellen und das ist die das ist das gut ernährt Hehlerei zur was dann aber natürlich macht es immer
nähern will man nämlich die ganze Reihe sonst würde rechnen lang brauchen sondern man neuen Abschnitt der weil wie gesagt wir wollen mit dem Ding nähern also wird man nicht die ganze Reihe ausrechnen sondern nur die 1. Tage wir die 1. K Summanden nehmen das hat auch einen Namen also für jedes K aus allen kann man sich anschauen die Währung die sie kriegen wenn sie eben nach den Karten Summanden auf mit der Reihe also in der Ableitung von f an der Stelle x nur durch ein Fakultät Maliks -minus x nun hoch allen ist klar dass es jetzt Video und das Ding heißt das ten aber enorme Karten Grades von 11 um nix nur das ist Normen das wird natürlich nie dass die Funktion f exakt darstellen es sei denn die Funktion f besessen Polo aber es ist wenn wir Glück haben über den er auch mit und wenn Sie mich noch Notation verpassen und zwar werden The Teller Polynom der Ordnung K der Funktion f Entwicklungsstelle x 0 an der Stelle x nun ist er eine Notration hin das ist jetzt keine hundertprozentige standen Mutationen der dieses Buch sein eigenes Kürzel ein er dann ist einfach gucken wenn Sie mich anschauen wie das der Bedienung bezeichnen aber wichtiges dass wir dazu und dafür hat also das was da steht ist es währungsbedingt um 1 Krater K in nix mit Entwicklung Stehlik soll was to und was man jetzt erst mal feststellen kann es das der Polynom ist in einem Sinne auf jeden Fall die bestmögliche Approximationen 11 wenn die Frage so der Sinn so besonders gut gewählt ist also was ist dieses Täler Polynom nur was auf jeden Fall mein geht ist es der Ball noch an der Stelle x 0 =ist gleich FAX 0 weil das sehr wohl ohne Stelle x 0 hat nur einen Summanden nämlich die Mulden und bevor es war und ist damit wir durch wir der wenn sich jetzt anschauen was die Arbeiter vom Teller Brüno müsste man sie verstehen die aber unter der wohl noch an der Stelle x 0 =ist gleich f strich von x 0 also dass der wollen wir kommen und so weiter dass der Bund nur müssen Polynom das mit der Funktion f der Funktionswert und die Werte aller Ableitung an der Stelle x 0 gemeinsamer bis Dortmund haben und da kann man zeigen dass es sogar das einzige das ist tot also dass der Wohnung weil durch diese Werte Funktionswert muss alle Ableitung des Zuordnung K ist das Bemühen um eindeutig festgelegt also ist das eindeutige Pronomen Karten gerade ist
nur unter Einbindung kannten Grades gibt es nur 1 das an der Stelle x 0 Uhr mit 11 in den Mulden bis Karten Ableitung übereinstimmt wir gehen wollte aber ist der Funktionswert in der 0 Karten Ableitung übereinstimmt der was in dem Sinne ist dass der Polynom Karten gerade an der Stelle x 0 die beste Approximationen R im Ball er ist Approximationen es natürlich aber die beste Approximation diese bringen leisten können in diesem Sinne dass alle Ableitung an der Stelle ein stehendes ist der bringe das heißt wenn sie auf Karten Volume Karten Grades einschränken ist irgendwie was wie die beste Wahl und die natürliche fragen die jetzt natürlich kommt ist naja zum Beispiel wenn nur und beim Kursus wir gesehen immer die ganze Reihe neben dann ist die nicht nur immer um sondern ist die gleich der Funktion man Sinus Reihe =ist gleich denn zum führen Sie das auf ganz R die geometrische Reihe ist wirklich gleich der Funktion als sich 1 -minus x auch mit der Wahl von minus 1 bis 1 also die Frage ist wenn wir so unendlich oft ich auf die wir uns über Funktion haben und jetzt diese Teller Reihe bilden gibt es dann ein Intervall J indem mal bescheidene wollen nicht gleich auf ganz er aber gibt es denn meine auch kleine sind derweil J um den geht 0 so dass sie tatsächlich kriegen dass er von X gleich den Teller Reihe also in gleich 0 bis unendlich wenn der Ableitung von f x nur durch ihren gut Herr X minus x 0 hoch n wir alle x 7 J ist wir das ist die Frage er also können wir tatsächlich wenn wir unsere von einer Funktion f an einem und alle Ableitungen kennen dann können wir das der Behinderung der Telefon vom und Hehlerei bestimmen und können wir dann sicher gehen dass zumindest in der Nähe von x 0 unsere Funktion gleich der Potenzreihe ist nein sagt dazu
wenn das so ist dann sagt man dass es durch dieses Teller durch deinen Teller Reihe dargestellt wird dass es wohl Sprechweise also er würde seinen Teller weil dargestellt und beißt gilt um Roman Wahl wurde Teller Kellerei exakt gleich der Funktion ist wenn Sie das haben dann ist natürlich irgendwie auch naheliegend zu sagen dann ist das der Polynom sich auch ne gute Näherung vor allem Währungen bei der ich jetzt je nachdem wie viel Rechenaufwand die ich hier bereit bin zu investieren immer bessere Näherung kriegt man ist dann so und einen Abwägungsprozess mir dass sie länger brauch ich da die immer genauer so unter die Seele Frage hat eine klare Antwort und diese klare Antwort ist ein klares manchmal funktioniert leider nicht immer funktioniert sehr sehr oft im realen Leben brauchen wahrscheinlich wenig Verlauf auf muss nicht funktioniert aber rein mathematisch betrachtet wäre ein Jahr liege und ich zeige Ihnen das Standardbeispiel bei schief geht an den sehen sich an das Standardbeispiel ist richtig und gleichzeitig konstruieren also was machen wir ich gebe Ihnen eine wunderschöne Funktion an wir werden sehen wie es wirklich wunderschön und trotzdem ist sie der Spielverderber .punkt und auf ganz R A Entwicklungsstelle möglichst einfach 0 und unsere Funktion f sieht folgendermaßen aus dies auch -minus 1 durch x Quadrat dadurch natürlich Sommer ist ungleich 0 wenige können wir die stetig aber hat Antwort ja was passiert wenn Siegs gegen 0 gehen lassen den GX Quadrat auch gegen 0 geht 1 durch x Quadrat gegen und in diesem Fall gegen plus unendlich also -minus 1 Quadrat gegen minus unendlich egal von welcher Seite sie gegen 0 gehen jetzt gegen das nämlich dass in das Quadrat das heißt eben auch wieder so ähnlich geht gegen 0 das heißt X gehört er von x gleich 0 Klicks gleich 0 so sehr sinnvolle Sitzung der die Funktion stetig mehr nur war es die mal hell vor mir wir sehen dass es eine wirklich wunderschöne Funktion nur ein bisschen träge aber ansonsten sehr schön also wenn hier 1 ist funktioniert überhaupt nur zwischen 0 und 1 weil sie egal was sie für x einsetzen sie haben immer Ihr was Negatives und oder was negatives wird sich nun 1 Siegs groß machen den plus oder minus 1 Handy schicken also den Betrag groß dann geht der Frage w wollen gegen 0 also die dann die Funktion gegen 1 wir und hier also ja Mann also Tote bei 1 ende ist ja nur mal festgestellt und die sie dann an so aus wenn nur wir also wovon ein 0 zu 0 Toren in meiner so offensichtlich ist ist das die Funktion
beliebig oft differenzierbar ist da wahnsinnig 0 sind nur so lernen sie nicht nur sind die Hunde sein Steaks Fahrer können Sie beliebig wählen differenzieren wenn auch nur in natürlich nicht so einfach und nur müssen wir Berentzen Patienten laufen auch dort also was passiert eine Stelle nur nicht wie ich meine 1. Ableitung vor was brauchen wir brauchen den Differenzen Quotient also wir brauchen F von X dass von und durch X minus 0 das ist was er von X ist er hoch minus 1 durch x Quadrat er von 0 bis 0 durch EEG lassen Sie mich das irgendwie immer noch bisschen sortieren ist der 2. hier gleich 1 durch x dann steht da er auch -minus dem Quadrat durch 1 durchgehen oder anderes T durch ihr hoch die Quadratur Droge wollen einig X gegen neue anschauen wollen Differenzen Quotient aber nichts gegen nur machen es gegen 0 entspricht die gegen plus oder minus unendlich nur wenn sie es gegen 0 gehen lassen geht 1 durch x den plus und Minus unendlich das heißt sie müssen jetzt tägigen plus oder minus unendlich gehen lassen also was ist denn Mysterien im Plus oder Minus unendlich von The durch ihr auch C-Quadrat Zähler geht gegen unendlich Werner geht gegen unendlich er also wenn Mobilteilen Fahrwasser auch
Nachsatz von Orbital ist dass der Limes T gegen plus oder minus unendlich von 1 durch 2 TDI hoch die Quadrate nur der abgeleiteten abgeleitet werden Sie jetzt die gegen unendlich laufen lassen wenn wir die auch den Charakteren und endlich der gegen unendlich das Produkt geht gehe verdammt gegen unendlich und durch was was gehen oder nicht geht geht gegen 0 ja also kriegen Sie die Funktion f ist differenziert an der Stelle 0 und die Ableitung ist 0 und da sie ihn jetzt sagen was in dem Moment einfach glauben müssen ist so kann man weitermachen also man kann jetzt den Differenzen ,komma kann sich jetzt die Funktion ableiten Divergenzen Konzern für die Ableitung hinschreiben und Seegras die Funktion des so normal differenziert war an einer Stelle 0 ist die Ableitung 0 und das macht man einen Fluss per Induktion und diese Induktion ist verdammt mühsam weil die Funktion warum es Dinge sagen die brach eine Darstellung für die Karte Ableitung von EU-Rat -minus 1 durch x Quadrat wenn sie zum 1. Mal ableiten kriegen sie aus der inneren Ableitung von dem Jungen seines Siegs Quadrate vor Faktoren Polynom ein Stück also in der rationale Funktion vor dass sie da man sie jetzt zweimal bleibende Produktregel da man ja weil man die Produktregel immer schlimmer und das macht kein Spaß das wegen schenke ich dass mir hier und da gehen was rauskommt es komm raus diese Funktion ist tatsächlich obwohl sie so komisch stückweise definiert ist und war sie nur obwohl sie 0 eigentlichen durchschnittlich fortgesetzt bis wie ich auch differenziert bei 0 also diesen als glatte 0 und besiegte nicht mehr ich hab ich hab sie gut gezeichnet dass sie
da auch wirklich glatt ist also obwohl sie denn ich fortgesetzt in alle Ableitungen 0 existieren und dann das ist das besonders beklagten sie sind alle 0 also die
Ente Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 ist 0 für alle NNN Funktion so dermaßen schnell in die Nummer 1 das Stelle 0 alle aber leicht um 0 7.
Tor und das macht uns jetzt die Idee mit der Teller weil komplett kaputt Na was ist jetzt die Teller eine was ist jetzt die Teller Reihe
dieser Funktion mit Entwicklungsstelle 0 Souvenirs die Funktionen seine Stelle 0 beliebig oft differenzierbar ob also können da sie dort Ende der Reihe entwickeln sich und was kriegen wir raus die Teller Kellerei ist die Reihe von 0 bis unendlich in der Ableitung der Funktion an der Stelle x nur durch n Fakultät Magix 6 0 auch die Arbeit an einer Stelle nur Sinn alle sammt und sonders 0 also hier bleibt es nicht wie 0 übrig ja das ist noch ein Schritt mehr das ist die Reihe in gleich 0 bis unendlich über 0 mal X minus 6 nur noch und das ist konstant absolut wohl aber das heißt aber wenn ich auch mal zum Bild vom gerade eben zurück gehen
und jetzt in dieses Bild die Teller Reihe einzeichnen aber immerhin gründet Hehlerei rein weil die Täter eher die Funktion wie der Reihe darstellte dann leg dir erfassbar und stellt in keiner Weise doch es gibt ein paar wurde vom Sohn über einstimmig den Rückruf das ist real aber das ist leider der einzige also meine Zeit und die 2 Punkte aber das ist falsch ja also das damit heller Reihe denn wurde wurde das Stück muss eine Funktion übereinstimmende seines bunteste das wollten wir eigentlich haben aber das kann eben passieren und deswegen braucht man Kriterium Manson ist nicht das Ziel man braucht ein Satz der einem sagt welche Funktionen sind brav welche Form Funktionen passiert das nicht und sie sehen man musste sich in unserem Beispiel zu produzieren wollen was schief gehen kann dann bisschen strecken er also die Funktion darum dass es keine weltweit in diesen Funktionen sollen dies 30 zusammengebastelt und wie so oft ist es so dass man den wahren Hintergrund warum was schief geht im reellen ich sie zum 1. das komplexe gilt also auch an der Stelle einfach so Hintergrundinformationen diese Funktion es tatsächlich als nicht vorgeführt das können Sie mir glauben ich auf Differenz Funktion von nach am Tor jetzt Sie die vom mit komplexen Argument dass einzig C-Quadrat und wenn man sich diese Funktion als komplexe Funktion an .punkt dann fällt man stärker kann man feststellen das ist kaum eine da dass die 0 Punkte ein unendlich hässliches Verhalten hat einen komplexen Sinne ist die von differenzierbar esse ich weit weg ja deine nee die an der Stelle nur nur Unstetigkeit stelle die schlimmer ist wohl damals 17 er gar nicht da also wir in den er gibt Sprünge und und und und und ohne und was Schlimmeres gibt's German dessen gibt was Schlimmeres sogenannte wesentliche Singularität richtig hässlich ist und das hat nur die liegt eben nur in komplexen und wenn sie sich in der komplexen Ebene genau die wir die so ist die Welt des Winzigen laufen laufen sie in nur sozusagen über den absolut fürchterlichsten die Williams natürlich ließ sich der darüber dazu sagen den Abgrund links und rechts von sich gähnend aber es gibt halt das man gerade bei den sieht rüberkommen so leise die komplexe eben ich kennen sehen Sie nicht dass Sie links und rechts welche runterfallen und alles ist und deswegen weil diese Funktionen 0 1 war die schöne so unendlich hässlich Prozessfinanzierer solche Sauereien die Produzentenländer wohl ganz er sich keine komplexen also so sie diese Funktion in macht uns die Illusion kaputt dass wir auf die Weise über die Kellerei jede funktionieren können und trotzdem sage ich Ihnen das reale Leben oder für wie viele Anwendungen man in diesem Zweig ist die Kellerei das Mittel der Wahl und der
funktioniert der sehr auf der war also das was wir hier rauskriegen ist die Teller weil ein da diese Funktion ist ungleich F von X für alle x ungleich 0 ob noch Glück grünes auch nicht seine Farbe tun danke Herrn und was wir jetzt das ist was wir jetzt brauchen ist wie Gesagten Kriterium das uns sagt wann passiert sowas nicht und der folgende Satz ist nicht nur ein Kriterium der dafür wann passiert sowas nicht sondern der geht noch viel weiter liefert das was ich vorhin schon angekündigt haben er wird uns eine quantitative Abschätzung der für wenn ich meine Funktion wird Hehlerei wäre egal ob ich ob die ,komma ob die diente .punkt und da sind wir nicht billig die Funktionen die der reinen Lehre wie und ich breche nach dem 23. Summanden ab damit wird dieser Satz sehr viele Abschätzung der Fehler den wir dadurch macht es allerhöchstens .punkt schon so groß DEU schreiben noch hin also des von das ist der Satz von Tela völlig und er an unvermeidbarer in jedem Kurs vor der Sieker und Ingenieure die braunen Stellen nicht aber auch hier der zu werben würden auch wir Intervall die wir können schon drauf schon oft hatten wir 2 Punkte x und x 0 n e x 0 ist die Entwicklungshelfer unsere Hehlerei X ist die Stelle an der die Funktionäre wollen also denken Sie an das Beispiel vom Sinus ist hat man auch dass man davon von einer Stelle sehr gut kennt aber wir sie jetzt wenn wir sicher sie dass von nun an 7 von 0 Komma 5 und also dann wäre x 0 0 und x 7 , 5 Tore haben eine natürliche Zahl K und wir haben unsere Funktion 11 von ihm nach Aachen und die Funktion sei eben K +plus einmal differenzierbar ist das K 1 also haben K +plus einmal Differenz Überfunktion sind im einfachsten Fall ein Kanu lässt das ist einmalig und Silber und dann sagt der Satz von Tälern damit wieder so XI über Mittelwert Satz geht eine ständig sie zwischen x und x 0 weg so das sie den Wert an der Stelle x bekommen in sie durch den das Teller Polynom an der Stelle x gerade Carnegie ja Zwist dasteht das PK 11 von x x 0 ist das Teller Polynom wollen vom Grad K Bewilligungsstelle ständig soll an der Stelle x also unsere angedachte Näherung der Funktion f 1 wollten Funktionären in der wir Potenzreihe nehmen und wir die 1. K Summanden nehmen und so ist natürlich jetzt falscher die Funktion ist nicht gerade der Polynom dann und es gibt noch jetzt kommt der Fehler den und der Satz Wandteller sagt diesen Fehler Ernährung können Sie ausdrücken durch die K +plus 1. Ableitung von f das wie muss gab es 1 mal selber sein für das der Polynom hier bräuchten sie nur beste Karten Ableitung des K +plus 1. Ableitung von f an dieser Stelle die XI durch K +plus 1 zwar gut hält mal X -minus x nun auch kabellos an also der Summe der Term da wie dem Prinzip genau so aus wie der K +plus 1. Summand vom Teller Polynome statt x 0 steht und die ich beschreibe normal dass der Bulle aus also sie kriegen
funktions an der Stelle x indem sie f von x 0 die 1. Ableitung von f wenn x 0 mal X -minus x 0 das ist jetzt der Anfang vom Teller wollen um +plus 2. Ableitung an der Stelle x 0 alle Malik -minus x 0 los und so weiter ist Kater Ableitung an der Stelle x 0 durch K Fakultät wir bestimmt war mal X -minus x 0 Quartet Hochkar ist nur aus den und den Fehler der mir also Sie müssen die Aussage so verstehen können wenn sie die Funktion f durch das Teller würden Kaderordnung wären also wenn sie statt 11 diesen ausborgen der 2. und 1. Zeile ausrechnen dass wir mehr um den sie kriegen Sie das Kartellamt Polynome dann machen sie natürlich ein Fehler und für diesen Fehler gibt es analog zum mit derzeit eine zwischen Stelle irgendein Ziel zwischen XX 0 dass sie diesen Fehler ausdrücken können durch die K +plus 1. Ableitung an der Stelle x die durch und so weiter Kommentare dazu ich bin dieser dieses sich ständig sie ist deswegen total wertvoll weil sie auf die Weise wann immer sie irgendwas über die K des 1. Ableitung von f wissen kriegen Sie daraus Information über dem Meer umspült der das C-Leg zwischen x 1 x 0 und was dann daraus wurde sehr tief logisch das heißt je mehr sie das x 1 x 0 wählen umso weniger Auslauf hat das XY war das muss dazwischen bleiben das heißt umso genau erkennen Sie das XY umso genauer der Dinge werden sie die 1. Ableitung wissen immer XX 0 ist umso präziser wird ihre Fehler Abschätzung werden so präzise ist ihr Wissen über diesen Fehler hat auch logisch natürlich kann zu Entwicklungen Polynom wenn Sie in iX 0 das Normen das nx 0 mit dem er gut übereinstimmt in der X wird was man Wunderdinge und nicht schlecht sein aber es wird das ist alles noch ganz gut und ernten das und danach als weiteren wesentlichen Kommentar zu dem XI die Bedeutung des Satzes ist nichts wenn ich erst ausrechnen wäre nämlich dass der Polynomen dann rechnet das XY aus und setzt einen hat man es das Ziel den 7 allgemein nicht ausrechnen können ist es logisch ich meine also das heißt dass dieses Problem nur dazu bestimmen wenn Sie mal die Kellerei haben ist einfach dass einsetzen die Funktion des ist beinahe dabei sie müssen ja das X noch nicht meint es einsetzen wenn sie dass der Ballon bestimmen wollen da stehen er geht nur an der Stelle x 0 1 Excel dieses Polynom einsetzen ja das ist einfach das auszurechnen ist simpel also verglichen mit der Ausbreitung von Aids aber das heißt die ganze Komplexität von 11 die steckt dem XI muss ich wird muss er sein Gesetz ohne mal des Rechenaufwandes es darf man es kann schlecht möglich sein dass man wie die Berechnung der Funktion f darauf zurück und Polynom Auszubil Pixel höher .punkt allgemeine Funktion zu komplizieren Volume zu einfach wenn man muss die Komplexität bleiben und die stecken im XY trotzdem ist die Information dass der Fehler sich so schreiben es wiedersehen werden Gold wert weil es ihnen immer möglich Informationen über die Karte K +plus 1. Ableitung Information über die weder Goethe zu übersetzen man sie kriegen also wie gesagt das ist die Lesart des Satzes man berechnet indem man es durch das Bilder Polynom approximiert das es einfach weil das ist nun prüfen und was man dabei würde Fehler macht kann man ausdrücken über dieses Klüber die gab es 1. Ableitung an der Stelle XI und wenn man die ist eignet abschätzen kann kriegt man der wieder abschafft werden wir an Beispielen in der nächsten Vorlesung machen ich will jetzt noch eine Bemerkung nachschieben die 1. ist Fehler in der einfachsten Form nämlich für K gleich 0 Sie mal einen Satz von denen da oben K gleich 0 dann steht da wenn man einmal differenzierbare Funktion hat dann geht sind sie zwischen x und x 0 so dass er von nix gleich erfahren x 0 ist das entspricht maximal X minus 6 0 das der Mittelwert sagt nicht und nichts anderes als der Mitteleinsatz also Ferkah gleich 0 aber nicht weiß gewann zu mit letzter formaler stehen aber wir K gleich 1 gleich 2 gleich 3 gleich 4 1. Teller so zusammen sie wollen mir immer weitere Verbreiterung des Mittelwert wird wird es nur und dann den neuen Namen einführen der
halt Fehler sind von der Leis wäre es durch Polen so lässt dieser Respekt auch noch im Namen ich dieser 1. war es also das ist der weder den wir machen wenn wir es ich dass der Polynom Karten Grades von 11 an der Stelle x mit Entwicklungs .punkt x 0 ernähren das Hamann Ansatz von Teller gesehen ist die gab es 1. Ableitung von f an der Stelle x seh ich da bloß 1 Fakultät Maiks -minus x 0 hoch K +plus 1 und das wer dich in Anlehnung an das T 11 bezeichnet wird er K 11 er Videos Erika F von X X nur ist also der 1. der Fehler den Sie machen wenn Sie das die Funktion f an der Stelle x durch ihre Täler Polen um Carter Ordnung um die Stelle x 0 nähern man das Ding nennt man auch üblicherweise das es die der T-Labs der Tälern Entwicklung es geht um Summen von dieser Summe von zum Nations geht also der Leiste können die Funktion immer weiter in immer mehr Fehler Polynom Summanden entwickeln und wenn Sie an Karten aufhören kriegen Sie als K +plus 1. hat immer das restliche zur wie gesagt das ist der Satz wir werden denn dann nächste Vorlesung erst beweisen und dann Außenraum 10 und ich werden zeigen wie wir damit nähern können und wie wir damit erstaunliche Dinge bewerkstelligen können die vielen Dank für die Arbeitsinhalte
Punkt
Quotient
Mittelwert
Differenzierbare Funktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Funktor
Konstante
Momentenproblem
Vorzeichen <Mathematik>
Mittelwert
Differenzierbare Funktion
Umkehrung <Mathematik>
Zahl
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Konstante
Kosinusfunktion
Quadrat
Punkt
Mittelwert
Vorzeichen <Mathematik>
Machsches Prinzip
Einheitskreis
Dreieck
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Differentialrechnung
Punkt
Reihe
Cartan-Ableitung
Konstante
Summe
Quadrat
Mittelwert
Reelle Zahl
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Zusammenhang <Mathematik>
Momentenproblem
Menge
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Stetigkeit
Theorem
Differenzierbare Funktion
Nullstelle
Zahl
Ableitung <Topologie>
Dichtheit
Differenzierbare Funktion
Stetige Funktion
Zahl
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Stetigkeit
Vorzeichen <Mathematik>
Nullstelle
Schnitt <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Funktion <Mathematik>
Betafunktion
Zahl
Grenzwertberechnung
Logarithmus
Homogenes Polynom
Menge
Momentenproblem
Theorem
Exponentialfunktion
Ableitung <Topologie>
Zahl
Grenzwertberechnung
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Punkt
Exponent
Momentenproblem
Stetigkeit
Uniforme Struktur
Berechnung
Stetige Fortsetzung
Potenzreihe
Exponentialfunktion
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Sinusfunktion
Approximationstheorie
Momentenproblem
Summand
Differenzierbare Funktion
Machsches Prinzip
Eindeutigkeit
Reihe
Norm <Mathematik>
Gradient
Polynom
Rechenbuch
Koeffizient
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Approximationstheorie
Total <Mathematik>
Reihe
Beste Approximation
Gradient
Negative Zahl
Quadrat
Polynom
Geometrische Reihe
Betrag <Mathematik>
Potenzreihe
Volumen
Ableitung <Topologie>
Divergenz <Vektoranalysis>
Faktorisierung
Polynom
Quadrat
Momentenproblem
Rationale Funktion
Quotient
Charakter <Topologie>
Integration <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Zahl
Reihe
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Summand
Natürliche Zahl
Komplexe Funktion
Reihe
Term
Gradient
Summe
Mittelungsverfahren
Singularität <Mathematik>
Komplexe Ebene
Polynom
Mittelwert
Unstetigkeit <Mathematik>
Abschätzung
Potenzreihe
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Gewichtete Summe
Summand
Differenzierbare Funktion
Berechnung
Entscheidungsmodell
Norm <Mathematik>
Gradient
Summe
Polynom
Leiste <Technik>
Mittelwert
Abschätzung
Volumen
Ableitung <Topologie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Eigenschaften differenzierbarer Funktionen II
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 09
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34543
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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