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Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen II

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oh gehen an der TU Darmstadt drohe dann mal
einen schönen guten Morgen herzlich willkommen zu sein Teil gehört Insider partielle Ableitungen hatten letzten Vorlesung uns den Problemen zugewandt wenig mehr Funktionen hat die des ja danke erhalten also unsicher und ich so viel geschrieben und viel verpasst also wenn Sie eine Funktion haben die die Variablen hat RP geht bitte im Allgemeinen eine Teilmenge von RWE definiert aber einmal von der den Erwerb will lieber gesunden ableiten und als 1. sonderlich in die sogenannte partielle Ableitungen präsentierte bei der man eben seit gut wir können nicht nach neue haben gleichzeitig ableiten oder es ist zumindest nicht offensichtlich wie's geht und deswegen leiden einfach erst mal nach einer und das war die partielle Ableitung nach der Joppen Variablen der Funktion f an der Stelle x 0 und die hat mir definiert über den eindimensional Differenzen Quotienten sagen 0 f von x 0 +plus H war Elliott von x 0 ein kleines recht bisschen in Richtung des starken Einheitsvektor gelaufen -minus den Referenzwert an der Stelle x 0 durch Haar wenn der Grenzwert existiert ist den partiell ableitbar und diese Zahl da ist die partielle Ableitung so er kann jetzt steht hier immer noch Anne bilden ja das ist eben keine Zahl was ist das denn was Waigels steht er im Januar stellte Zahl das Haar ist einfach nur jede Zahl im Zähler steht die Differenz von 2 Bildern und Ehre er die der her also ist das sind Differenz von 2 Vektoren a p mir also als Grenzwert liegende legte der er und wir hatten letztes mal eben zum einen gesagt wie man so eine partielle Ableitung Kirk konkret ausrechnet das ist im Prinzip einfach sie machen das so wie jemand aus dem er gewohnt ist tun so als wären die Bälle restlichen mit die -minus 1 Variablen Konstanten ändern sich nicht und bleiben einfach nach der einen variablen XJ ab und das 2. was wir jetzt noch machen wollen ist diesen weckt oder auseinander nehmen der kommt jetzt als Ableitungen Vektor raus es liegt daran dass in dem der AP gilt die Koordinaten Funktion hat man ja den letzten einen Satz hingeschrieben der sagt sie können der Funktion man die nach RP geht also den Wert Direktoren sind ableiten indem Sie einfach jede Koordinate einzeln ableiten oder also vor wir haben wir eine Funktion aus dem Definitionsbereich geht in DDR das DIW immer offen also der Funktion von General P 1 und .punkt x 0 im gehe es sind die partiellen Ableitungen Vektoren in P e r p aber sie können feststellen ob es demnächst nur partiell differenzierbar ist in der sie sich die Koordinaten Funktion anschauen alles ging es genau dann partiell differenzierbar wenn jede Koordinaten Funktion das ist was sie kriegen die Ableitung als Vektor der Ableitung der Koordinaten .punkt und als die Corinna hatten Funktionen F 1 bis F G wissen jetzt Funktionen von den hat er aber wenn wenn die nix nur partiell differenzierbar sind alle die Stücke dann ist auch das 1. drängten partiell differenzierbar und Sie kriegen die
Ableitung der in dem sie die partiellen Ableitung der Koordinaten Funktionen ein einlegt setzen also DJs 1 von x 0 der JF 2 von x 0 ist der der dir von Excel und netto was steckt da dahinter Datensätze der Bart schon häufiger der angezeigt am Anfang als der Konvergenz von folgen immer mehr Raum angeschaut habe man sich Folgen des haben dann können wir geht die genau dann wenn die die Koordinaten Folge konvergiert werden Richtigkeit den gleichen Satz Funktion bestätigt genau dann alle coolen Datenfunktion stetig sind und das ist hier genau das gleiche Wort groß diese Eigenschaft folgen wir jeder Grenzwert wir hier betrachten und nicht aber ist auch nicht dessen Grenzwert sich irgendwie zurück auf den Grenzwert von Folgen und Grenzwerte von wollten die schöne Eigenschaft haben dass die Koordinaten leise wählbar sind haben wir das hier eben auch der ich wie sie sich ganz dieser Folge zurück sondern auf die entsprechende Aussage wird funktions Grenzwerte also die Funktion f ist in X nur partiell differenzierbar genau dann wenn nach
Definition der Grenzwert Differenzen Patienten existiert also den oben angeschriebenen Grenzwert er von x 0 +plus H E J 1 -minus f von x 0 1 geteilt durch a der muss existieren nicht der J von A 1 bis B 0 weder partielle Ableitung muss der ganze existieren aber das ist jetzt noch ein Vektor immer alle das Ergebnis dieses Grenzwertes ist ein weckte ein in R P und es wir beide bei beiden am 2. Grenzwerte sehen wenn sie .punkt nach RP haben dann existiert den Grenzwert an der Stelle genau daran wenn wir jede Kolben Atemfunktion das gilt das war Satz 4 6 5 1 4 8 4 Mehr also 4 6 5 ist der für die folgen 4 8 wie es der Film für uns Grenzwerte also Sie kriegen diesen Grenzwert existent genau dann wenn jede Koordinate konvergiert also wenn von diesem Ausdruck hier Evonik Schnur Adminis Evonik soll durch H die Karte Komponente und das ist jetzt ne Folge in R 1 also den sehr denn er existiert immer noch für alle J ich 1 bis eh nicht und alle K von 1 bis B aber eben nicht das ist der Traum wurden entfällt auf dem auf die Koordinaten von für herunterspielen was ist jetzt die Karte Komponente von diesen Brauch gut als durch H das der ganz rausziehen also Differenz von 2 Reaktoren stehen Vektoren sieht man komponentenweise ab wird also
ist die Karte Komponente von diesem Woche nichts als die Differenz der Karten Komponenten von dem er also wir haben da stehen die Karte Komponente von 11 an der Stelle x 0 +plus HI hat man das die Karte Komponente von 11 an der Stelle x 0 durch Haar muss existieren immer noch für alle J von 1 bis d und alle K von 1 bis 10 Dorners jetzt dastehen und es ein Cop ist der Differenzen konzentriert die partielle Ableitung nach x J oder der Koordinaten Funktion es kam nun also was jetzt da steht ist dass die Koordinaten Funktion K an der Stelle x nur partiell differenziere weiß und zwar für alle da von 1 bis B Ü und die Formel die man auch direkt da dran sie kriegen die keine die Ableitung von dem ganzen wegen eines Vektor der Komponenten und Masse damit es geschafft haben und es wir können die partiellen Ableitungen bestehen neben der Differenzen Patienten in einer oder dürfen die partielle Ableitung bestimmen jeder Koordinate einzeln was sie also machen müssen ist um partielle zu bestimmen dass sie müssen jede Koordinaten Funktionen nach einer Variablen ableiten und damit aber das ganze Problem der partiellen Ableitung vollständig darauf zurückgespielt nur Funktion von R nach R differenzieren zu müssen T und das ist das Rechnen gut weil Funktion von einer Herr differenzieren können mehr und mehr das ist das was ich am Anfang sagte wir brauchen hier keine neuen Ableitungsregeln wenn Sie partielle Ableitung ausrechnen können haben sie alle Werkzeuge sie dafür brauchen schon zur Verfügung also das als jene differenzieren was ist damit vollständig auf den 3 andere er zurückgespielt was also auf den wir müssen nur Funktionen von einer er differenzieren können und können dann jede Funktion wann ab denn ein RP partiell differenzieren ob der das kann im Einzelfall vom sagen sollen wir die Funktion langes und 4 Buchstaben enthält und man sich dann dauernd damit wird nach welchen man ein nicht gerade ableitet partielle Ableitungen ausrechnen er bestimmen ist zum Teil Konzentrations Arbeit aber es ist eben meine madig nicht schwieriger als Funktion wann er nach zu differenzieren ja da man in der partielle Ableitung haben werden so es geht diesen ganzen Wust von Ableitung in R 1 war das alles in er war das alles so einfach Herbstauktion und die Art der Ableitung des warmen zahlen immer gut und er mir jetzt eine Funktion von RWE nach RP haben für jede Koordinaten Funktionen für jede Variable der Ableitung das sind die mal die Zahlen ist und der Gemeinden Zeche wieder Ordnung reinbringen und dann nicht die Frau die Funktion mit der Variablen das reizvollen wie nach der zweidimensionalen ab Darstellung einer Matrix das war jetzt auch drohen diese ganzen Ableitung fasst man zweckmäßigerweise eine Matrix zusammen das wird sich noch seine also das hat
noch mehr Hintergrund als einfach nur praktisch das Sortieren bekomme Schweden zumute doch kredenzen dessen Name also wir haben unseres Standards Setting von der ganzen Zeit wir haben mehr offene Teilmenge des RWE wenn es funktioniert dieser Teilmenge definiert ist und nach RP geht und die sei an einer Stelle x 0 im gehe weiter differenziert war also die ganzen partiellen Ableitung existieren kann und dann passt man diese ganzen partiellen Ableitungen eine Matrix zusammen und jetzt wird die Frage Conventions mäßig kommt die verschiedenen Funktionen oder die verschiedenen Ableitungen die Zeilen und Spalten und die Konventionen der Stelle ist in die 1. Zeile kommt die Koordinaten Funktion f 1 nach allen Variablen abgeleitet also hier steht die 1. partielle Anwendung von F 1 an der Stelle x 0 dann kommt die 2. partielle Ableitung von F 1 an der Stelle x 0 und so weiter bis zur deten partiellen Ableitung von F 1 an der Stelle liegt nur und in jeder teile zählt man jetzt dass er vor ich habe also hier steht die 1. partielle Ableitung von f 2 an der Stelle x 0 2. partielle Ableitung von f 2 an der Stelle x 0 bis zur gegen partiellen Ableitung von f 2 an der Stelle x 0 und so geht das weiter und der letzten Zeile ist dann das SP drangen bis er P müssen Sie nach den 1. 3 Jahren ableiten lässt 8. 2. Variablen ableiten ist am Ende nach der gegen Variablen des SP abgeleitet werden wir sehen Sie die Ableitungen oder der gesamte Information über die Ableitung ist eine Funktion von R 15 nach A 23 relativ unübersichtlich aber man kann es sich so als Matrix vorstellen oder man sollte sich das als Matrix vorstellen und die kriegten nahmen und zwar heißt die Jacobi Matrix deswegen wird die mit J bezeichnet der Index er an der Stelle x 0 ist der Matrix von allen
Seiten her also von 11 an der Stelle x 0 1 wenn man sie jetzt Funktion ja ganz G partielle ist dann will gibt es viele der Funktionen nächstes J f von X zuordnet das ist dann die Ableitung Spacelab Leitungsfunktion aber Sie haben jetzt in dieser Matrix war zumindest alle partiellen Ableitung von allen Quallenarten Funktion zusammengefassten die sehen aus ist Konsistenz mit unserer ab Leistungsberechnung auf er und sie haben nur einfach nie gemerkt das wenn sie von der Funktion an der Stelle die Abmeldung ausrechnen konnte einig nämlich gar keine Zahl raus da könnten 1 Kreuz 1 Matrix Rocks das ist ihm deutlich aufgefallen war ja 1 Kurs 1 Matrizen kann man sich mit den Zahlen die die oder wenn sie eben nur einer zur mit einer variablen haben dann kommt jener 1 Kreuz 1 Matrix raus und alles passte zur wir angesehen aber sie lassen sich Probleme Funktionen ablegen auf .punkt Antiquariaten Funktion zurückspielen in dem Sinne sind und sollen in der Erde gehen die wichtigen Bausteine aus denen man sich dann Direktoren Vektorfunktion aufbaut und deswegen ist sie gleich ein wichtiger Spezialfall und wir hier gleich 1 hat sich aus historischen Gründen der andere Notation für die Jacobi Matrix eingebürgert und was ist mit der Jacoby Matrix wenn die gleich 1 wenn wir gleich 1 ist Jacobi Matrix nur eine Zeile richtig ist das eine 1 kreuzt des Vektor also einzahlen Vektor der Länge des und wie nennt man normalerweise nicht Jacobi Matrix also die Jacobi Matrix von 11 an der Stelle x 0 ist dann aus R 1 Kreuze D 1 D2 und Lektor und in dem Fall nennt man das Ding üblicherweise nicht Jacobi Matrix sondern den hier und der Welt notiert mit zu auf der Spitze stehenden Dreieck also auf der Spitze stehende Dreieck R von x 0 dieser das bezichtige 3 werden vor allem die Sieger den Angela Operator indes wo wir unterkommen aber er das ist einfach die Leute zur Ruhe Jacobi Matrix eben der Grund für seine denn er und das ist also das ist in dem Fall Jacobi Matrix und das ist einfach der Zeilen weg da Ableitung von erst nach der 1. Variablen bis Ableitung von f nach der Betten Variablen und das heißt das Ding heißt gerade jeden Träume nicht aber es kann Ihnen passieren also dieses breiiges relativ wenig der ein oder andere Autoren treibt das Ding auch als und da hat es auch das dürfte meine meine andern Buch finden gemeint ist damit dieser Rektor der die der des 1. partiellen Ableitungen Wirkung schon vor der dena habe was haben wir jetzt also wir haben die partielle Ableitung alles Matrix 1 also die der Kunde Matrix das Matrix einer partiellen Ableitungen Spezialfall des gerade gravierenden das können Sie den Zusammenhang zwischen gravierenden Jacobi Matrix relativ leicht sehen in jeder Zeile der Grube Matrix gegen gerade jenen in der 1. Zeile der Gobi Matrix jeder gravierend von F 1 in der 2. Zeile degradieren von F 2 und so weiter bis zum gravierend von MP ist 1. Bemerkung dazu es Bemerkung
werden was man sich so bisschen in diese Notation gewöhnen will und was muss man tun weil dies gängig aber das ist eine Sache die man sich klar machen kann die Jacobi Matrix von 11 ist eine Matrix mit P 2 1 und die 1. Zeile ist der gerade entronnen 1 2. 2. der Gradient von F 2 bis zum gerade jenen von der App über einen der gerade sie weisen die electoral Sachen Sinne DE kreuzt die Matrix die Jakobiner tricksen ist in einer Matrix aus dem des Kreuz des und wenn sie jetzt sich daran erinnern dass es eine Funktion von ARD innerhalb des dann kann man sich das fast perfekt merken also wenn Sie die Funktion von R den April haben da muss die ja ,komma wie Matrix in eine Matrix sei mit den gleichen Dimensionen aber leider anders also wozu offener der Rheinpegel will mehr Matrix in ab die Kreuzgänge und die beiden Buchstaben müssen wieder auftauchen nur in umgekehrter Reihenfolge nennen und du und jetzt will ich Ihnen noch ein bisschen was in gravierenden erzählen was anschauen Gesellen gravierenden was ich im Moment auch nicht beweisen kann aber ich denke es lohnt sich trotzdem schon hier drauf hinzuweisen und sie in das bringen weil der Begriff jetzt hier kommt weil sie nicht nach wenn wir die Theorie dafür haben er mir aber das ist fundamental also beim gravierenden einfach wichtig dass meine Frau Stellung der hat was der Verleger hinter eine ganz anschauliche Bedeutung der sich wieder ihre Augen zu vor 2 nach Erzgebirge und was der gerade jenen dann nachts wenn er was der gravierend also ich denn an einem Punkt im Gebirge und an seiner Stelle es keinen gravierenden ausrechnen und dann ist die Frage was gibt der ihn an und der gerade hier in gibt ihn an dieser Stelle da die eingesetzten Vektorräume indirekter Mrd also von gleicher Dimension wieder Definitionsbereich ihrer Funktion und dieser weckt der zeigt im Definitionsbereich der Funktion immer in die Richtung in wieder Hagen am steilsten Anstalten also der gerade Essen Vektor hatten Richtung und Betrag und die Richtung des gerade Händen ist die Richtung des dreisten Anstiegs nicht wenn sie irgendwann mal mit dem Mathematiker auf Bergwandern Wandertour sind kommt garantiert irgendwann der Spruch euer machen das nach der gravierenden Methode soll heißen immer die steilsten gekauft und der geht am schwersten es in deren Zeit ist aber der Spruch ist so der kommt ich immer er in eisiger gehend zeigt Ihnen immer die Richtung in dieser Behagen am steilsten steigt und der Betrag bis gravierenden ist halt dann die Größe dieser Steigung der also sie haben ein besonders will einen gravierenden wenn es in die Richtung des Stalls bei Anstiegs besonders steil rauf gehe wenn man besonders kurzen gravierenden in die Richtung des gestalten Anstiegs der aber relativ mager ausfällt und dass es zum einen gut sich klarzumachen dass Vorstellung für den gravierenden und zum anderen wenn sie später in numerische war an gehen die Grundlage für Unmengen Optimierungsverfahren n an verschiedensten Stellen war also wenn man kann ich wieder die Wirtschaftsinformatiker ansprechen Preise der Arbeit des optimieren welche Größen der er der aber ich kann auch die vormalige direkt ansprechen weil er n auch dies näherungsweise von leichung was für sie wichtiger Job ist auch solche mit wurde beruht wie viel Nummer kann zum Optimieren von Groeßen und das Problem Gleichungen zu lösen kann man auch als Optimierungsproblem aufpassen und hört man oft in die Gleichung lösen wollen wir lösen sie näherungsweise und optimieren und versuchen den Fehler den Sie dabei machen gegen 0 zu drücken also optimal die dabei mehr als es auch Optimierungsprobleme Gleichung zu lösen und eine der absolut stand damit werden etwas zu optimieren ist das ist sagen sie suchen den größtmöglichen werde den ist sich also Gebrechen Gewürge erhielten sie den 1. gravierenden Methode wir Stelle sehen Rennen sind Agenten aus der zeigen was am meisten Raum geben unseren klassischen Greedy Algorithmus ist das mal die richtige Richtung um ein Stück weiter zu laufen erlauben Sie Stück in die Richtung des gerade muss am steilsten und einen neuen Wert aus und gucken welche Rechte der Gradient jetzt zeigt und auf die Weise suchen sich im Gepäck das mit haben den man tradierten in und diesen Optimierung unserer Mirko weitverbreitet wenn sie wird und sie nachdenken sehen Sie die sind ziemlich stark die konvergieren sehr schnell die haben einen Nachteil die suchen halt irgendein mir ja die Rennen auf den nächstbesten gibt so und wenn es halt sie halt Pech haben dann ist dieser Gipfel als und kleinen Mittelgebirgshügel der landschaftlich liegt und weit weg vom ein Optimum der Funktion der also mit unseren menschlichen globale optimal finden die werden immer das nächste am Staat werden wenn Sie Glück aber der Staat wer lag schon in Nepal den also die Chance das auch mal über landen an wenn sich das Werk nun in Inselsberg legen dann landen sie halt auf und Erhebung Vogelsberg und das war nicht so ganz der höchste Punkt wäre aber dann trotzdem ganz wie Sie selbst nennen wird Ihnen und dann brach unter die Augen kommen und immer wenn Sieger der Mitose lesen denken Sie daran dass alles gut einfach auf diese anschaulichen Eigenschaft dass enden der in Funktion zeigen in die Richtung muss am Straßenrand oder können das ich kann Ihnen das an einem Beispiel plausibel machen wie gesagt Beweis geht jetzt noch nicht einig begründen auch bei weiß noch nicht gäbe es an uns die Funktion an den Grafen einfach die obere Hälfte der Gugl kapiert und so was ist das wir definieren das denen auf dem in der Einheit auf dem ihnen eines des Kreises mit Radius 1 R 2 also wir schauen uns an die Menge aller XY 2 Jens-Rainer Ahrens kleiner als 1 ist ist das Innere des eines Kreises und von da nach er also wenn es nicht mehr weiß die zwar enorme Wurzel
aus x Quadrat bislang Quadrat nur unter ganz gewöhnlicher euklidische Abstand der und als dann auf dieser Menge nämlich die Funktion Wurzel aus 1 -minus x Quadrat -minus y kann aber das wäre .punkt stören aber was die eine ganz anschauliche Grafen Herr Graph ist einfach sozusagen die konnte die obere Halbkugel über der über den mit der Ebene kann und man sie jetzt sie die Gruppe vorstellen dann ist irgendwie klar an welcher Stelle übernehmen zeigt immer die Richtung des stärksten Anstiegs egal wo sie sind ich ganz egal wo sie sind wenn sie nur stehen sie ganz oben auf der Kuppel drauf dann haben sie keine steilsten Anstieg der Träger der 0 seien und ansonsten muss der Stall ist der Anstieg in den zum Mittelpunkt eigentlich versucht man es denn zum einen eine also um die x-Achse y-Achse
z-Achse Index y-Achse haben wir die den Einheitskreis auf dem ist die Funktion definiert und der Gra dass sie es eines das minus 1 das 1 1 -minus 1 O und der Graph ist eben diese Halbkugel die oben drüberlegt zur zweidimensional zu schrecklich war also sollen dann halt Grad da oben drüber und wie sollte jetzt der gerade hier in der Nähe der Stelle aus sehen Sie dass ich an dieser Stelle hier sind und im Gebirge in welche Richtung es am steilsten Straßenraub gilt immer radial symmetrisch auf dem .punkt vor hören und das wollen wir rauskriegen also wer einmal gar die Enten aus alles der Garnelenfang dieser Funktionen gravierendes bewegt oder partiellen Ableitungen gesagt hat partielle Ableitung ausrechnen ist nix Neues und wie schwer es ziehen sich die vom so oder dem leiten Sie einmal nach x ab leiten sie eine noch y ab und schreiben das dann weg da also Sie rechnen erst die partielle Ableitung nach x aus und dann die partielle Ableitung nach y und schreiben Vektor was kommt das kommt raus wenn wir diese Wurzeln nach x ableiten die Ablehnung der worauf einst durch 2 die Wurzel also bleibt erstmal übrig aber seine Wurzeln Zähler in den der und aber noch die innere Ableitung was passiert wenn sie einzelne Sixt daran dass Y war nach x ableiten kriegen sie -minus 2 X RAS in der jetzt nach y und gibt den gleichen man er weiß es nur die Arbeit der Wurzel ist und wenn sie in der Armee noch y bilden gibt es -minus 2 y also wir diesen was er sagt oder was es verkürzen sich die zweier und dann aber diesen 1. Faktoren beiden Komponenten in können also vor 10 1 durch Wurzel 1 -minus 6 Quadrat 17 Ankara und der zumindest zeigen sie war auch vor dem weil legte XY da was ist das für Vectra setzt der gerade in der das schöne sehr setzt man sie sieht den Betrag im Prinzip sofort der was über den Betrag der wenig 2 3 +plus y Quadrat 1 wird also wenn sie am Rand auf der Einheitskreis Scheibe sind dann wird der Betrag beliebig groß über die Steigung unendlich groß das passt weil am Rand kommt die CallYa senkrecht aus dem Boden wir wenn große steigern wenn X und Y Bayern 9 sind da ist der Kanäle würde auch nicht verwunderlich wenn sie oben auf der Spitze stehenden ist die Richtung des dreisten Anstiegs in keine Richtung weiß kein Anstieg mehr gibt und dass den hatten die ab nur stellen wo und wann immer sie immer zwischen sind dass das ein Vektor mit Betrag der zunehmend abnimmt je mehr sie die Mitte kommen und dessen Richtung -minus XY -minus x -minus y ist das heißt eben genauso wie erwartet einer der auf den Ursprung zeigt und zwar umso länger je weiter wir draußen sind Mehr also so sehen die Gardinen aus dem zur Welt das radial symmetrisch auf den Ursprung Zeug passt also zu dem was ich Ihnen gesagt habe ist natürlich so kein Beweis beim setzen ein Beispiel für die Ziele das der gravierend in die Richtung des dreisten Anstiegszeit und seine dann betragen ungefähr der Größe dieses Anstiegs entspricht oder ich ja wie gesagt dieser das nach und wenn ich jetzt damit beschäftigen ihnen zu zeigen warum es im Moment nicht beweisen kann und das erlegt Anlass war sie auch schon erwähnt haben bisher sehen die partiellen Ableitung gut außer also hat unser Problem partielle eine Funktion von der innerhalb des Bonner differenzieren den diversen Konzern direkt übertragen läuft ins Leere wir leiten hat man nach einzelnen Variablen ab kriegen diese Ableitung aus und ihn jetzt zeigen wir dass das ist natürlich schön funktioniert das Problem ist nur sie kriegen keine schöne Theorie damit drohen ich werde jetzt ein 2 abschreckende Beispiele zeigen an dem man sieht dass ökonomische Dinge passieren können wenn sie partiell ableiten und das insbesondere Erwartungen die man an diesen aber ganz begriffen hat wie ich 10 und des 1. Gleisbett zeigt dass sie unter Umständen Funktion partiell differenzieren nämlich mal stetig sinken das ist in in starken Widerspruch zu dem was wir von den Differenziation Begriff erwarten 1 solle differenzieren was da seines Tätigkeiten und das 2. sieht man an dem Beispiel gleich auch noch mehr haben am Anfang definiert alle Richtungs Ableitung wer also Ableitungen nie die Richtung und abends dann Fergus jedoch die partiellen Ableitung richten der Kölner hatten ACS warum macht man das wer die Idee ist wenn ich jede Korrelaten Achsenrichtung differenzieren kann dann kann ich ja mal die goldenen weil die Standard die Koordinatenachsen so Basis gehöre ich kann jeden Vektor NRW wieder Richtung sozusagen nicht an der Basis der Legende von nun ist sah man die Abmeldung alle Steiner war Richtung kennt beim da man damit die Ableitungen alle Richtung ausrechnen bei meiner die Welt bereist Jahr Kombination der Standard beim Schreiben haben das es eine naheliegende und sehr wichtige Vermutung und die funktioniert im Prinzip auch nur partiell differenzierbar nicht sie mit seinem Beispiel wir das ist es ,komma je
12 und die Funktion wie ganz anschauen die aber schon mal gehabt dazu mitgebracht ein also ,komma jetzt höre ich mir an der Funktion von R 2 nach R damit man sich in einem kann also eher von XY das ist mir was steht weil sie definiert bis x mal y durch x Quadrat +plus y Gerard wenn XY nicht 0 ist und 0 wenn ich sitze dann gleich 0 0 ist kann die andere Zeit ,komma ich hab's den Gasen nochmal mitgebracht das war dieses fürchterlich unstetige Teil das auf der auf der Menge X gleich y ist die Funktion konstant halten auch der Menge X gleich -minus y ist die konnte Funktion konstant minus 1 dazwischen windet sich in dieser Runde und in der Nähe der neue kriegt immer mehr Schwierigkeiten das sich hinzukriegen steigt dann auch die Nummer ich hier aus in die Zukunft Zacken also eigentlich ist und natürlich zum Beispiel keine Lücke über die hatten es keine wirkliche Lücke also das ist die Lücke genau beim 0 alle werd ich es immer der Wert -minus -minus erhalten wir an der Stelle nun ist natürlich genau danach springt sofort wieder auf dessen hat das kann ich mir gar nicht auf deswegen die Lücke dort so was hatten wir über diese Funktion gelernt das war das Beispiel 4 8 6 ,komma 4 8 6 da haben wir gesehen was man ja auf dem Bild unschwer erkennen die .punkt Sohnes nicht stetig in 0 und ich will ihn jetzt zeigen dieses Monster das trotzdem partiell differenzieren und wir und das ist ein ganz banalen Grund aber wenn Sie sich die schon in 0 anschauen wir was passiert da gucken sich den in der Punkt für uns Überschrift ein was bedeutet partielle Ableitung partielle Ableitung bedeutet wir machen nicht mit der funktionalen entlang der x-Achse war also nicht hier aber da x gleich 0 ist also ein Volvo X gleich 0 ist es so und da schon gleich 0 ist dass wir so und leiten nur nach dieser Funktion ab was ist denn mit der Funktion auf der x-Achse also auf ist aber dass man gleich 0 ist selbst wenn 0 einsetzen Handels Sommers konstant der Funktion ist also auf der Achsel konstant wohl ist mir wunderbar differenzieren zur mit werde nur 1 dementsprechend haben die partielle Ableitung Bereichen gleich noch aus aber das Ding ist noch immer nicht nur stetig also das ist die Ableitung von der Funktion der nein da wohl über Inhalte aber XY nicht nur neue ist ist das ableiten wieder Fleißarbeit können wir einfach ausrechnen das ist der 1 er von XY wie 1 aber nach der 1. Koordinate also nach x leitendes den X ab die mir Quotientenregel Ableitung nach dem oberen also unsere Zähler abgeladen Alex geht y multipliziert mit dem Länder -minus den Zähler mal Ableitung von Männern Mareks gibt 2 x geteilt durch den Nenner Quadrate über ob zusammenfassen 1. ist X war y +plus y hoch 3 -minus 2 x Quadrat y wird zwar noch 3 -minus x Quadrat y durch x Quadrat +plus y Quadratgrad an und was ist die Ableitung von den Dingen nach der 2. Koordinate noch y s können Sie den wieder genauso ausrechnen oder macht sich zunutze dass die Funktion in Excel bislang komplett symmetrisch ist als wenn Sie XY austauschen ändert sich eine Funktion mal gar nichts und insofern ist auch die Länder für die Abmeldung gleich was rauskommt die Sikhs hoch 3 -minus y Quadrat X durch extra 3 +plus y Quadratgrad an dass es außerhalb von 0 0 und jetzt was ist in 0 0 also das ist die Ableitung nach der 1.
Variablen in 0 0 ist Dennis wieso nennen sonderbaren definiert wer ,komma sich drohen den diversen Patienten direkt drauf zu werfen also 7 sei gegen 0 1 11 und H 0 -minus er von 0 0 durch aber das ist die partielle Ableitung nach der 1. Variablen in in was ist das in dem Fall wenn das Hagen 0 er hallo war haben wir 0 durch H Quadrat plus 0 Rückwanderer 11 von 0 0 ist nur durch haben entsteht Hammerdull 0 seit 0 das ist der Limes war gegen 0 9 Uhr und der ist nur der also das Ding wunderbar denn war nach der 1. war ja nun auch in X darin 0 das gleiche passiert für die 2. Ableitung es genauso 0 also die ich die 2. werden die partielle aber nach der 2. Variablen und damit ist die Funktion partiell differenzierbar auf ganz R A er ganz er 2 eine Aura der gravierend nicht
von 11 müssen Funktion sondern 2 nach Ersatz einen gravierenden der gerade von der der es was da oben steht also y hoch 3 minus x gerade durch x Quadrat +plus y Quadrat Quadrat und x hoch 3 minus y Quadrat X ich extra +plus y Quadratgrad ahnt dieser weg da wenn XY nicht 0 ist und der Vektor 0 0 nicht y gleich 0 0 der aus dem Vereinigten erwähnten Grund verwunderlich dass die .punkt neulich bei stetig ist postete sie wunderbar partiell differenzierbar und jetzt können auch das 2. was ich vorhin sagte er Behörde in die Haufen oder erwarten oder wollen das werden sie alle partiellen Ableitungen haben dass sie dann auch alle Richtungs Ableitung haben und dass sie die Rettungsarbeiten in Richtung 1 1 in 1. Richtungs Ableitung Richtung 1 0 und in Richtung 0 1 kombinieren können und dann was das geht ja auch viel und das geht sogar richtig grundsätzlich jeder als wir schauen uns mal an der
was ist mit den Richtungs Ableitungen 0 1 also was wir bisher wissen ist die Richtungs Ableitung in Richtung der Koordinatenachsen also ich dann direkt 1 9 der Vektor 0 1 existieren sind nur und die Frage ist was ist mit den andern wenn man uns also Richtung her das ist legt eine 2. nicht den 0 weg da es der und schauen uns an wann existiert die entsprechende Richtungs Ableitungen was ist das Leben des heiligen nur ja es schon nur Hama V -minus 11 von nur mehr da ich ja also ich habe meine Frau es war es war es war ein vor 2 und dann haben wir die von war XY also 1. Komponente mal 2. Komponente ist es HV 1 mal HV 2 geteilt durch 1. Komponente Quadrat +plus 2. Komponente Quadranten also H Quadrat V 1 Quadrat +plus H Quadrat von 2 Grad minus es Uhr nur 11 von 0 ist 0 und das Ganze geht halte ich eher dich unübersichtlich aber es also Team ist das ein bisschen zusammen aber der Inzeller ich Namen nahm als 1 mal vor 2 und den Männer also der 1. denn er hat Quadrat trennen H 2 ist und trug die weißen Haar Quadrat es kürzen und das andere H 1 schreiben damals war eines meiner Frau 2 ich habe mal vor 1 Quadrat +plus V 2 Koffer Turniers ist ist die Frage wann existiert dieser Grenzwert also für welche aber dieser irgendwelche sie nicht aber als Präsident war gegen 0 geht wenn gegen 0 geht dann das H und die Sache unangenehm das Haar und sorgt dafür dass der doch es dir das heißen dass in den Zähler dafür sorgen dass der Bruch nicht allzu sehr explodierte wir müssen also da wir sagen es in Hagen nur geht 10 auch gegen 0 geht das ist schwierig weil Intel teilhaben deswegen ist es sehr schwierig mit denselben Mitteln Fehler wieder habe ich einen zu kriegen und wir nur eine einzige Chance diesen Grenzwert zum konvergieren zu bringen und das ist sie müssen ins Weltall ganz 0 setzen also wenn wir 1 mal vor 2 gleich 0 ist dann klappt das natürlich und dann immer ein Fahrrad 2 nicht nur is t da eine konstante mal 1 durch Haar und das hat aber sagen wir und das heißt ein 2. Mal 2 gleich 0 das heißt entweder vereint ist Nummer 2 ist 0 also nur Willi Richtungs Ableitungen in Richtung der Koordinatenachsen er und das heißt genau die partiellen Ableitungen existieren und keine andere Richtungs Ableitungen andere Richtung Jan Meise alle Webnutzer Ableitung die existiert ausgerechnet 1 1 gibt es nicht und das bedeutet insbesondere nicht dass ich nicht nur dass sie sich aus der dem Wissen der partiellen Ableitungen nicht den Wert der Richtungs Ableitungen in 1 1 zum in Richtung 1 1 zum Beispiel ausrechnen können Sie können in die Richtung der 10 nix dir noch nicht mal daraus folgern dass die Rettungsarbeit die Einrichtungen existieren es ist jetzt lieber damit einen behielten aber wenn sie nicht oder gar deren Achsen Namen haben Sie das dann nur dann ist alles gut und wenn sie irgendeinen Richtung laufen dann haben Sie immer den Sprung an der Stelle nur wenn jeder Einrichtung also ich der Richtung 1 1 laufen also auf der Diagonalen hier unten dann ist die Funktion auch konstant für das die Funktion konstant -minus erhalten aber eine Stelle 0 springt sie auf 0 wie konstant minus halt 0 und wieder müssen halt das ist nicht differenzieren wir haben dementsprechend haben sie also nur diese beiden Rettungsarbeiten richtender Prälaten Achsen und man sieht daraus dass nur wenn sie nur wissen .punkt es partiell differenzierbare dann wissen Sie erst Kansas den partiellen Ableitungen nichts in die Richtung Ableitung wolle denn sie können daraus kann ich Tätigkeit weigern die können wir sind wenn sie gar nichts es könnte sein dass Sie so ein hässliches Entlein vor sich haben ab und dementsprechend ist das das ist das was ich am Anfang sagte partiell aber so leicht auszurechnen aber sie kann keine ständige Theorie wer was wann im
Hinblick auf das weitergehende beachten kann man nur dann wenn sie sich diese Ableitung von der Funktion nochmal genauer anschauen dann stellen Sie fest das Ding ist zwar partiell differenziert war aber die partiellen Ableitungen sind nicht stetig er war also Sie können es sind nur nur partiell differenzieren aber die partiellen Ableitungen selber rauskriegen wenn sie auch noch die partielle Ableitung aus seit oder zu nehmen denn er auch keine stetige Funktion wir werden feststellen dass das der wesentliche Defekt an der Stelle ist zeitliche bestätigt partiell differenzierbar benutzt benutzen niemals ein Begriff und den zu definieren also Definition 4 13. er wir haben wieder unsere Teilmenge G Definitionsbereich da doch ich hab steht als jeweils über von definierte ab den Anfang machen also Tag als sehr differenziert war als der als er Begriff auch relativ klar partielle Fernseher war und die partielle Ableitung sind stetige aber was ich jetzt machen will es würde der Ableitung definieren also 2. 3. oder 5. partielle Ableitung ist jetzt relativ nahe liegende Frage Erweiterungen er also aber da bin 1. partielle Ableitung gezeigt ich habe gezeigt das aber Unsinn die noch nicht das Gelbe vom Ei aber wenig müssen anfragen ob der Verband der Frage zuwenden wie jetzt die partielle Ableitungen zu was in einer runden Theorie abholen können wenn ich nach dem Thema partieller oder werd ich machen und das heißt müssen halt auch 5 man ableiten können das ist jetzt der nächste Schritt aber davor Mama kurzes Preuschen so ich mir denke in der 2. Hälfte machen und wie gesagt das Thema höhere partielle Ableitung anschneiden der Wege sind relativ klar aber wenn sie so hören man muss mal langsam von der den haben und sie leiten die partielle hat dann kriegen Sie den gravierenden Besserung zu der nach RWE und degradieren sind immer noch von den gleichen Variablen ab hat dies aber die Komponenten jede partielle Ableitung der und in diese Funktion innerhalb des können Sie natürlich wieder ableiten Drohungen und das ist dann aber es wieder den 2. partielle Ableitung kann bekommen es die ganze Menge Donnerstag deren Stück raus weil sie natürlich jede Kombination ableiten können dass sie könne die 3. ableitet die 3. Jahre nach der 5. neue haben ableiten oder sie können auch die anderen nach der 2. Variable nochmal der 2. Reihe haben am leiden und so weiter und sie sehen es gibt kombinatorisch schnell irrsinnige Mengen Ableitungen und es wird unübersichtlich ein weiterer Nachteil der partiellen Ableitung aber definieren wir das mal also wir haben mehrere Funktionen dafür aufwenden Definitionsbereich D wir wollen Ende partielle Ableitungen bestimmen also nehmen n aus allen Stern größere zwar gleich 2 1. partielle Ableitung Hammer Schauern der und wir nämlich Deluxe Nullen die an der wir die Ableitung bestimmen wollen so eine Funktion waren auch die definiert nach April aber und man die an der Stelle x 0 n mal partiell differenzierbar beziehungsweise in mal stetig partielle sollen sie aber pro also in der Definition ist das gleiche beides der dass es stetig also alles was in Klammern steht bezieht sich auf die Definition von stetig partiell differenzierbaren EU der Text ohne Klammern ist die Definition für mal partiell differenzierbaren was müssen wir dazu haben aber wir müssen haben das es erst mal n -minus 1. partielle Ableitungen liegt das können wir nicht sonst aber keine -minus 1. Ableitung zum differenzieren also dass es muss N -minus 1 mehr da ZielDifferenzierbare oder stetig partiell differenzierbar seien so und zwar so dass das gleiche Thema wie schon bei allen Ableitungen einer Variablen das wirft den nichts wenn die Funktion nur in x 0 das 1 mal stehen also in das 1 mal Fränzi über ist waren aber dazu bestehe müssen Diverenzen Quotienten bilden das heißt sie müssen sich den x 0 nähern können von wie und dazu brauchen Sie die in das 1. Ableitung in einer ganzen Umgebung von x 0 nicht einen Band an aus den Wert 1 und an einem Brunnen kann man nie seine Ableitung bestimmen wenn sie nur wissen an wenn Sie nur wissen dass sei hier weiß ich nicht nur 90 Meter über NN liegt dann wissen allein ich in welche Richtung es aber das bergauf geht also sieht dann aus den vom Fernsehen allein niemals nach Kleidung bestehen und deswegen brauchen Sie dass diese das 1. werden diese wieder differenzieren wollen wirklich anzuhören ist in der Umgebung von x 0 im Prinzip würde kleine Umgebung von diesen Bereichen und ich setze 2 gleich voraus das sie auch ganz
die partiell gehören sie jeweils wenn es nicht so dass man sie in die kleine und die Sache ist erledigt also bei Siemens hier bei Ihnen wie und alle diese E -minus 1. partiellen Ableitung sind jetzt ziemlich viele aber die müssen wieder partiell differenzierbar seien nur alle wieder partiell oder stetig partiell differenzierbar sein der an wenn sie die Enden des 1. Ableitung wieder partiell differenzieren können dann haben sie in die Ente partielle liefere die Patente partielle Ableitung er das ist man als Mann das schreib ich jetzt gar nix allgemeine sind und nur wahnsinnig und ich mach in schreiben ein ,komma Beispielen werden einem partiellen Ableitungen in 3 verschiedenen Notationen die gezielt natürlich alle auch noch rum also zum Beispiel könnten Sie folgende partielle Ableitung bilden D 1 D 3 D 1 l was heißt dass immer mehr leiten nach der 1. Koordinaten ab das Ergebnis laeßt nach der 3. ab und das daraus kann der nach der 1. dort ist zu lesen ist sehen Sie wie Sie dies einfach als Operatoren die sie auch dass er drauf werden immer älter erst die 1 drauf dann die 3 drauf dann der einst auch ist es sozusagen die Prozedur gesteckt 1. Ableitung ausrechne das Ergebnis kommt in die Prozedur 3. Ableitung ausrechnen also drehte er an partielle Ableitung ausrechnen und dann das Ergebnis wieder 1. partielle Ableitung ausrichten Tore was man auch häufiger sieht wäre Sony Schreibweise des 2 hoch 3 die 1 was ist damit gemeint damit ist gemeint erstmal einmal nach der 1. 9 ableiten und dann 3 mal nach der 2. also das wir führte partielle Ableitung einmal der 1. Bayern abgeleitet und dreimal nach der 2. in den andern Moderation zum Beispiel so wir hatten noch die Notation im Bauch und würden man schreiben die 3 11 zum Beispiel nach B X 1 nach x 2 Quadrate der was ist damit gemeint oder haben an dem er sich an den den Zählern notiert man wie ich die insgesamt abgeleitet wird das ist gut denn der dazu ohne sieht man sofort dass es unter partielle Ableitung und unten steht differenziere zweimal nach x 2 und 1 und danach einmal nach x 1 also erst nach x 2 differenzierender nochmal nach x 2 und danach x 1 und hat nur noch die 3. Notation an der x 1 x 2 x 3 wäre die partielle Ableitung von f 1. Mareks 1 danach X 3 danach Xtra 1 diese letzten Worte zu hören ist der Mann 17. partielle Ableitung ausrechnete xDDD ärgster unangenehm zu schreiben dann wird sie immer mehr benutzen also sein 1. Indizes dranhängen müssen dann sieht das ganz häuslich aus da kann man sich dann je nachdem miteinander helfen so gut so gut der Ableitungen können jetzt ausrechnen diesem Prinzip auch nix Neues müssen halt die Ableitung der ableiten ein Beispiel hab ich mitgebracht
aber ein Beispiel an dem man hat man diesen ableitet aber an dem man dann hinterher der auch was sieht also betrachten mal wieder was nicht allzu vielen Variablen über also die können diese partiellen Ableitungen ganz schnell in die völlige Unübersichtlichkeit treiben klaren Sinne funktioniert 7 Variablen und 10 Ausgangs Parlament also 10 von R 710 haben wenn man sich ansieht dann haben sie schon 70 partielle Ableitung 1. Ordnung und wenn sie jetzt belegen diese Möglichkeiten kombinatorisch gibt die Dinger mit verschiedenen jetzt dreimal abzuleiten dann das sowohl Tausenden liegen deswegen rechtlich in einer der 2 nach aber dann säßen im Juli und zwar nehmen wir an dass ist es ziemlich egal ich 3 y los XD Rübsen waren gut im Prinzip ist das Natur messen was ist P 1 er von XY er nach der 1. Variablen partiell differenziert also nach x partiell differenzierte lassen das y als Parameter stehen differenzieren nach X gibt 3 x Quadrat y Rübsen an das ist die 2 F von X Y das ist die 1. das ist die partielle Ableitung 1. aber nach der 2. Variable differenzieren Sie das denn und dann kriegen Sie x hoch 3 das x-te an kommt die 2. partiellen ableitet was müssen wir machen wir müssen die 1. partiellen Ableitung wieder ableiten dass gibt es hier Möglichkeiten in Köln die 1. partielle Ableitung nochmal also bei der nach der 1. Variablen noch nach der 1. Variablen ableiten also nochmal nach x differenzieren was kriegen sie dann 3 x Quadrat mit 6 X X X Y er wird danach x differenziert es gebe es viele die können aber auch die 1. Parzelle aber nach der 2. Variablen ableiten dass gibt dann die 2 D 1 er von XY was passiert wenn zweimal Jahren ableiten damit der 1. 1. Summanden 3 x Quadrate und der 2. bleibt Rübsen wollen weil und so noch y differenzierte Sirups immer dann können sie die 2. Ableitung die partielle aber nach der 2. Mai haben von erst nach der 1. ableiten was kommt raus dass in dem neben den austoben differenzieren x die 3 x Quadrat plus Erotische lauern und was sie noch machen könne sie differenzieren den Ausdruck der 2. der Patient aber der 2. noch mal nach der 2. Variable dann ist das X noch 3 Nord und differenziert 0 und es bleibt übrig XI OY also sogar der 2. Mann soll die 3. partiellen Ableitung ausrechnen das heißt sie müssen von jeder dieser 4 2. partiellen Ableitungen jeweils die aber nach die 1 nach 2 ausrechnen gibt es 8 Stück ich ihn auch noch alle also was passiert wir fangen an die Ableitung die 2. nach der 1. Variablen nochmal nach der 1. Variablen abzuleiten gibt die 1 die 1 3 von XY wenn Sie das nach x differenzieren kommen 6 y raus die Chöre das gleiche denn auch nach den 2 ableiten wenn sie das tun was passiert wenn sie die 2. Ableitung nach der 1. 9 Jahre nach der 2. ableiten kriegen 6 x so jetzt können wir den Ausdruck des Rechts D 1 D2 E einmal nach der 1 zu 1 nach 2 ableiten die 1 Quadrat den 2 R von XY also das ginge das ginge nach nochmal nach x mit 6 X die können aber auch nach der Tod nach der 2 ableiten also die 2 D 1 D2 oh je was kommt da war es wenn Sie das man ableiten dann kriegen Sie wieder ihre 10 er aber was aber noch Möglichkeiten mit 7 Jahren in 2 D 1 11 nochmal nach der 1 ableiten also D 1 D2 D 1 von XY den Ausdruck also unten links nach x abgeleitet die 6 x dann den Ausdruck nach den 2 abgeleitete 2 Quadrat B 1 er von XY denn und seine abgeleitet geht er und jetzt kommt der rechts unten die 2. Ableitung nach der 2. Variablen nochmal nach der 1. abgeleitet also D 1 D2 gerade von XY ist er auch y und Schluss endlich dreimal nach der 2. Variablen ableiten die XI wenn Sie sehen wenn jemand es aber in ein Fass möglichen freigenommen von A 2 nach eher wenig von den der Klausur Verlage partiellen Ableitungen seien Sie mir zu welchem Vogel das werden nicht viele und jetzt will ich Ihnen sagen zeigen warum es doch nicht ganz so schlimm ist und zumindest ein Art 3. und 4. abladen Leitung durchaus im Bereich des Möglichen liegen schauen Sie sich die Ergebnisse noch mal an und Sie werden feststellen da tauchen manche Dinge verdächtig oft gleich auf also zum Beispiel gibt es unten bei der letzten 8 bei den 3. 8. 3. partiellen Ableitungen kommt 3 mal 6 x raus wir und zwar ja ja und hier was in 1. Ableitung des ist D 1 D2 D 1 die 2 D 1 B 1 und der 1 D 1 D2 also immer zweimal nach der 1. neue aber nun einmal nach der 2. ein in allen Reihenfolge in alle möglichen bis gleich haben Sie hier wenn Sie die 2 Quadrat D 1 anschauen D 1 D2 Quadrat und der 2. 2 D 1 D2 also zweimal der 2. aber nach der 1. kommen immer der gleiche aus wenn sich die 2. partiellen Ableitung anschauen es ist leider auch passiert ob sie erst nach der 2. und dann nach der 1. variabel differenzieren oder erst nach der 1. und danach der 2. scheint irgendwie egal zu sein bin Gott ich das gleiche raus und das ist tatsächlich so zumindest unter der wichtigen Voraussetzung der hölzerne ab und dieses Ergebnis ist fundamental würde wir die ganze Arbeit
allein nach mehreren Variablen und heißt dazu von Schwarz nach den nach aus schwarz der gleiche große schwarz Ungleichung der Name taucht häufiger mal auf der und der sagt wenn ihre Funktion nicht nur partiell differenzierbar ist und stetig partiell differenzierbar über das es tatsächlich nur herrscht in welcher Reihenfolge sie differenziert dann ist immer so dass wenn Sie dass Sie die Reihenfolge der partiellen Ableitung vertauschen würde und der Wert ändert sich nicht mehr 2. mal so Mehr in Textform also Sie haben der Teilmenge von die offen der eine Funktion auf der Teilmenge des nach RP und es ist die wesentliche Voraussetzung mal stetig partiell differenzierbar an aber und das stetig lassen Sie bitte nicht weg da kommt gleich das warnende Beispiel und wenn sie das haben dann ist die Reihenfolge der der partiellen Ableitungen bis zur Ordnung Ende der also klar Mehr sondern in ist nicht weil das Ding ist bisher nur einmal per Telefon und sehr war also bester Ordnung wer Tauschware das heißt wenn die Aufgabe ist berechnen sie mir alle 2. partiellen Ableitungen wenn sie zweimal als 1 also zweimal x differenzieren Zuwanderer entziehen und einmal nach x 1 und dann differenzieren aber das einmal aber bis man 1 x differenzieren können sich sparen das ganz gleich aus bei diesem 3. partiellen Ableitung was hätten Sie tun müssen wir man der dreimal nach der 1. ,komma nicht vom dreimal nach der 2. auch klar und dann noch die beiden Varianten zweimal nach der erst einmal nach der 2. und die Variante einmal nach der 1. nach der 2. also es sind nur hier und ich 8. man berechnen muss man sie sehen insbesondere wenn die Ableitung sordnung würde wird kann man sich damit sehr sehr viel sparen und Bütow aber wie gesagt kein Satz ohne Warnung vor das Ganze funktioniert nur solange sich stetige partielle Differenzierbarkeit haben wenn die Patient aber ich möchte diesen kann das schief gehen das heißt sie Satz von Schwarz anwenden gucken Sie mal kurz auf die Funktion im Normalfall wird die Funktion beliebig oft bleibt sonst nie sein werden sID Sinus ernten irgendwas wo sie sowieso wissen das ist wunderbar differenzierbar werden nur dann können sie den schwarz an den also war aber ich will Ihnen sagen dass es schief gehen wenn das Ding nicht denn ich bei Ziel ist und dazu gibt folgendes Beispiel wie eine Funktion von 1 2 1 R E von XY ist
x-mal y Maliks Quadrat -minus y Quadrat durch x Quadrat +plus y Quadrat wenn das X nicht gerade der Ursprung ist sehen das ist immer so die gleiche Bauweise und an der Stelle 0 0 setzen wir das Thema 0 n nicht nur wohl so was auch wieder so dass unter anderem was gebrochenrationale müssen y und am Ursprung nur so so und das ist jetzt ein Beispiel ab bei den Ersatz von was schief gehen kann ich wird sie nicht komplett VOX war müssen wir einiges ausrechnen aber ich gebe Ihnen die 1. partiellen Ableitungen an die können Sie selber nachrechnen also was die 1. partiellen
Ableitung von den Dingen die 1. Ableitung nach x stellt sich raus ist y mal x auch wir plus 4 x Quadrat y gerannt -minus y hoch wir durch x Quadrat +plus y Quadrat Quadrat indes XY nicht 0 0 ist und 0 1 Uhr Frauen also diese diese waren und welche bei denen durch x besitzen ein Quadrat und über den Ursprung des ist er an damit können sie so ziemlich jede benötigt der Aussage das Gegenbeispiel konstruieren sind alles was schiefgehen kann geht schon bei den Chinesen und die 2. partielle also aber nach der 2. Wahl Variablen partiell ist von der Form X mal X suchen wir -minus 4 x Quadrat y Quadrat -minus y hoch wir durch x Quadrat +plus y Quadrat wenn sie außerhalb vom Ursprung sind und auch nur im Ursprung so total anders beim sozusagen wenn Sie noch ein bisschen differenzieren Wallace Übungsaufgaben mitnehmen und wir schauen uns jetzt an was ist mit den gemischten partiellen Ableitungen D 2 D 1 11 und der 1 2 E und den schwarz würde dann müssten die beiden gleich seien also rechnen wir aus den 2 D 1 er von Excel bis Telefon 0 0 was ist das nach Definition niemals sagen 0 E 1 EL 0 Haar -minus T 1 l und 0 0 geteilt durch Haaren sie müssen die 1. partieller werde nach der 2. partiell differenzieren also dem sie die 1. partielle Ableitung und stecken das Heil die 2. war ja wohl der mir Trutmanns einsetzen wir einseitig da die
1. PC der andere verschwinden lassen in
er stets in Aachen was kommt da raus X ist wohl y Nissan also haben wir ja also wohl erst mal durch H unten zur F D 1 l und 0 Haar setzen also in die Ableitung in 1. partielle Ableitung x gleich 0 Y gleich Haar ist die Haare mal x sowie ist 0 der 2. Summanden wird auch ein X ist auch 0 also -minus heraus wie er ich einen Zähler steht in mehr steht X ist 0 bis man das Haar auch hier -minus D 1 11 1 Stelle 0 0 das ist nur also wie man sagen nur was es alles zusammen kürzt steht oben -minus habe ich habe das Minus 1 also die 2. die Ableitung des 2. 1 erfahren dass am Ursprung des minus 1 und jetzt rechnen wir die 2. partielle alles Reden über
die andere gemischt aus wie einst die 2 11 an der Stelle 0 0 das ist der Limes Hagen 0 über die 2. partielle der wohl aber nach der 2. Mai Jahren patzten als je nach der 1. Marianen ableiten also nehmen sie sich das denn 2 EL mehr trauen sie seine Stelle H 0 und 0 0 1 und keine Differenz welch ha was kommt raus USA Bruchstrich durch Haar um die 2 E und H 0 also in der 2. partiellen ableiten in der Ableitung wird in der Ablage nach der 2. Variable X gleich Haar und Y gleich 0 setzen Witham am X ist Hagen Taro wieder y ist nur das macht die beiden anderen Summanden oben Zellen wurde nur ich auch viele Männer -minus es war 11 Uhr 0 0 bis 0 wenn sitzt hier zusammenkürzen dann wird sich alles raus kriegen sie habe ich ja kommt 1 raus wird es und
wir haben sie die eine partielle gemischtes
-minus 1 die anderes 1 Untersatz und Schwarz die hier nicht kann und das liegt daran dass die 1. partiellen Ableitungen also die hier oben
in nicht die in Dosen und dann können Sie den Satz von 20 Time Donau das ist die Abteilung partielle Ableitungen partielle Ableitungen den einfach zu berechnen und bisher aber keine schöne Theorie aber trotzdem waren sich die partiellen Ableitungen Herzen weil wie gesagt mit dem ich Ihnen jetzt wahr wäre was zur Filmtheorie das kann man nicht recht also nicht wirklich real rechnet er nicht und deswegen braucht man beide ich weiß es jetzt nahm Wahlen
es die mathematisch puristisch richtige Definition der Ableitung in dieser schönen Theorie wir dich denn nicht is en oder an die Brücke zu den partiellen Ableitung schlagen und ich werden zeigen das was sie wirklich können müssen ist partielle Ableitung wenn sobald sie anderen ausrechnen können dann haben Sie mit der richtigen Theorie dahinter den gesamten Ableitung begriffen in mehrdimensionalen gehört deswegen der partiellen angefangen ist sind das was man gerade dieses Dan Werkszeug das wichtig ist und wenn man die partielle im Griff hat dann kriegt man auch die jetzt kommenden totalen Ableitung in den Griff aber ohne die fatalen Ableitungen bleiben die Patienten auch so weil sie keine irgendwie im wunderschön geartete Struktur kriegen oder irgendwelche schönen Aussagen wären sie waren zum beweisen könne so und das ist er nur unser Ziel also so'n bisschen dort weil man ihnen den Tag haben wo wir hinwollen sind extreme Probleme in mehreren Variablen und da werden wir wenn man sich überlegt wie man zu einer Dimension gemacht haben dann wird das notwendige Kriterium bewiesen und dann aber den Satz vom Teller benutzt um mir Reiches Kriterium für maximal minimal stehen zu beweisen der Satz von Zelda brauchen und nur partiellen Ableitungen keine Chance also jetzt kann der Abschnitt 5 das ist normal differenzieren von Funktionären Variablen aber jetzt eben der Begriff der totalen Ableitung in und im Prinzip wenn wir wieder dahin und schon bei den partielle Ableitung angefangen haben eine des Ausgangs Problem war wie ich verallgemeinern werden Differenziation spielen aber auf Funktionen mehreren Variablen und werden festgestellt die naive Variante nehme den Differenzen Quotienten aus der eindimensionalen Theorie nur und übertragen geht schief weil wir eben nicht durch Vektoren teilen kann er an das Problem ist das X minus x 0 Männer die für 6 0 setzen Vektor unter dem gewöhnlich Teil vor und werden das im 1. Schritt zugelost dass wir gesagt haben gute differenzieren halten nach einer Variablen und reduzieren das auf die Weise auf eindimensionale Probleme oder mit anderen sind zwar von partiellen Ableitung eingehandelt und die Hoffnung ist jetzt ich will nicht so und so ich will eine Ableitung ich will irgendein Objekt ein Ding ist und die ganze Ableitung beschreibt er und was man dazu macht ist man muss sich nur mal ein bisschen daran erinnern das war so die anschauliche Bedeutung von ableiten ableiten hat das mit Steigungen zu drohen aber nicht mehr mit Steigerungen sondern wenn Sie 1 denn am einfachsten Fall oder der Mittelwert denken die grundsätzliche Idee einer Ableitung ist die wollen ihre funktioniere komplizierte Funktion durch eine grade approximieren wollen lineare Approximation der Funktion machen und suchen dafür die Tangente weil die Tangente die bestmögliche Approximation die durch die gerade eine Funktion unterstellen der und dem Zusammenhang hatten wir diesen schon vorbei und eingebauten Satz 5 1 7 wenn nicht dass jetzt jeder sagt er das war der Schreiber noch mal kurz hin oder wenn Sie der Funktion auf in Intervall nach er haben dann ist die NX 0 aus I differenzierbaren und die Ableitung an der Stelle x 0 ist gerade aber nur genau dann wählen ihre Funktion schreiben können als die gerade mit Steigung durch durch die er von x x 0 FAX 0 das dass es die Tangenten Gleichung der Form x 0 +plus Maliks 7 6 0 ist natürlich die Funktion nicht gleich der Geraden wenn Sie die pro zur richtig die gerade approximieren Wahnsinn sind weder will er von und ist dann die richtige Steigerung ist dann die Tangente Steigung wenn dieses er schön klein ist und das kann man über dem Grenzwert
ausdrücken wenn der Grenzwert von dem er derzeit durch den Betrag von X -minus x 0 gleich 0 ist wenn das er also wenn sie mit dem X ging's 0 gehen besser als linear Tellereisen Jahren gegen 0 hält das war der Satz 5 1 7 hat mir damals bewiesen manche Zeilen Z etwa in die Definition der Ableitung so wird schauen wir uns die mal an aber die 1. Zeile ist weg mäßig sich völlig unkritisch bei der Stifter Quotient der steht noch Summe nahmen sie jetzt also wenn X Vektor ist und er von X auch ein Vektor dann ist er nichts Vektor x 0 auch X 1 6 0 über das reden wir noch und das er muss halt auch ein Werk das sein funktioniert alles wer und was der dauernden leicht wieder den kommerziellen zunächst aber der geniale dauern bis dieser Quotient ist jetzt ein Quotient von Beträgen wer was wir jetzt machen ist das Schreiben mal ganz frech statt betragen warum wir das der betragen warum schreiben dann steht da eine Zahl durch Zahl das ist okay wir werden feststellen dann funktioniert das ist die der 1 was wir also machen ist übertragen nicht du musst nicht dem Differenzen Quotienten von eindimensionalen Funktion weil das nicht geht sondern übertragen dieses äquivalente Definition der Ableitbarkeit aus dem Satz 5 1 7 über also Definition 5 1 zu 1 aber so üblich ist sehr denn wir haben eine Teilmenge G des offen wärmen .punkt x 0 da drin und eine Funktion er die diese die auch den Besitz soll ich mir das nach April und die nehmen wir jetzt total differenziert war das total steht da um das Ganze vom partiell zu unterscheiden in 3 Sorten total den sie aber im Sinne von Ehen nicht partiell so total wenn man dann länger mit dem Zeug hier stellt man fest total jeweils der richtige Begriff und irgendwann verschwindet dann das total aus dem Sprachgebrauch also wenn ihn irgendjemand im Büro kommt die Funktion f von 3 nach es sei differenzierbar wenn es damit immer total gemeint aber also wenn jemand nur differenzierbar schreibt dann meinte damit total differenzierbar wenn jemand partiellen selber meint schreit es explizit in der so ist die eigentlich einige Konvention der aber ich werde jetzt hier versuchen einiges darauf zu 8. zumindest in den nächsten Stunden noch immer total oder partieller zuzuschreiben also wenn unsere seine Funktion total differenzierbar x 0 zwar muss gelten muss diese gleichen da oben gelten jetzt damals die nochmal der Dimensions mäßig an und das weiß dass sie wenn sie mit diesem neben den sein aber zu tun haben ganz oft werde auch tun sollten die Gleichung dastehen schauen Sie erst mal ob das was dasteht die in sie uns mehr sie sie nicht ist dass sie also nur Rektor das gleiche RD addieren und sich plötzlich ein Direktor mit einem er Direktor addieren so kann man auch sein eigenes wieder gut auf die Schliche kommen also was wir was wir uns anschauen worden was wir Definition übernehmen wollen ist diese Gleichung her was steht er wenn er von Aldi innerhalb des geht ist es von x in R P R ich würde es in der P X minus 6 0 7 n wie ja X ist in Definitionsbereich er zunächst im Bildbereich SR X -minus in RP sein sonst aber keine Stars mehr weil das muss ich aufs FAX 0 eingehen können was muss das sein das aber steht NRW war und an mal -minus x würde müssen er Direktor werden sonst kann ich so nicht an dir das heißt dass hat überhaupt keine andere Wahl das aber so sein dass es aus einem er Direktor einer Direktor macht und das wird Stachel und zwar also das muss sowas sein in der Abbildung von RD nach und das schöne ist es nicht irgendeine sondern die Ableitung ist muss soll man sich daran erinnern was ist die Ableitung eine lineare Approximation dementsprechend wird das ja eine lineare Abbildung werden und wir sollen uns es sich die gesamte gebraust dem 1. Semester wieder einen also es muss eine lineare Abbildungen geben einen Jahre Abbildung nicht man mal ganz wie damals groß wie die muss von ARD nach RP gehen er und die muss erfüllen dass er von x das
gleiche ist wie er von x 0 1 blu das wie von X -minus x 0 1 ist Macht und setzt aus Mrd legte eine elektr ist wie das was oben das aber das erfahren X was bei den Rest übrig X ausgehe und dass er muss Funktion sein wollen die nach AP er war von X muss Abrede seines kann es nicht addieren und jetzt übernehmen wir den letzten Tag wurden dieser Grenzwert muss nur sein dass er das schneller als linear gegen 0 gehen wir nix gegen 10 Uhr geht also die 1 x gegen X nur Betrag aber nix in dem Fall Norm er von X durch Normen von X -minus x 0 gleich 0 es ist aber nicht der Mission von wurden übernommen werde ich die Anpassung für das zu belegen das wie alles richtig modifizieren wollen dann müssen wir das durch Abbildung von Eldena P ersetzen und das verrate ich Ihnen jetzt was richtig das was die Sache richtig macht ist sie müssen eine lineare Abbildungen dominieren das oben war die Ableitung von f ja aber der Satz umformulieren der FSX Leute uns hier war die Abmeldung ist an wenn diese Gleichung gilt er
also das 4. wie die Ableitung und so ist auch der
also in diesem Fall aber wenn dieses existiert so dass das er schnell genug gegen 0 geht dann nennt man dieses sowie die Ableitung und schreibt dafür WDR von x 0 ja das ist sie und das ist die totale Ableitung oder eben späteren Sprachgebrauch die Ableitung weil er demnächst nur in das DER die Schreibung dafür die wie differenzieren denn die Differenzial groß PR ist die Ableitung von f Wandel begrüßte er von x 0 ist die Ableitung von f 1 Stelle x 0 ist die 3. Ableitung ist die 7 Jahre Abbildung in diesen Satz da oben in diesem Satz 5 1 7 zum Laufen bringen ehe er dann gut dann kommt jetzt der üblichen Nachsatz weil Differenzierung ist der Definitionen werden so die Funktion nicht nur an einer Stelle x 0 sollen einstellen x 0 von geht unter referenzierbar ist dann nennen wir sie eben total differenzierbar auf G und die Funktion des 11 es geh geht das lass ich mal krank noch offene das ist die Ableitungsfunktion eine also Sie können jetzt jedem x 0 und die seine Ableitung zuordnen da was ist jetzt die Ableitung F 1 stellen würden wegen der lineare Abbildungen von die innerhalb des also die Ableitungsfunktion geht die in die Menge der linearen Abbildungen also der Abbildung von RWE nachher P 1 in diesem Jahr sind nur und da sehen Sie es denn 1 hat der Mann das Einkommen an sehen es gibt viele Vorteile dieser Definition wenn sie den passt ein Vorteil ist ja mit die Ableitung und nicht mehr 35 partielle der Nachteil ist dass denn wissen ziemlich abstraktes Konzept der die Ableitung einer zu hören ist nicht mehr irgendwie ne Menge von Zahlen sollen das lineare Abbildungen insofern ist das was ich Ihnen vorhin sagte einig noch schlimmer Mann hat in der Schule nicht nur belogen und behauptet die Ableitung Wände Zahl und es in Wahrheit gar keine Zahl sondern als Kreuz 1 Matrix es ist in Wahrheit und ich meine 1 trotz eines Matrix sondern die Ableitung einer Funktion von A nach er ist die lineare Abbildung von erlag er das hat man ihn aber so ich erzählt sind die sinnigerweise nicht erzählt weil die linearen Abbildung von R nach R identifizieren sich mit 1 Kreuz eines Matrizen und deshalb mit den Zahlen und das ist es völlig ok wann er Art zu sagen ja wir müssen zahlen hier sie das ich mir immer so jetzt da durch die Ableitung einer Funktion von Adele HP an einer Stelle ist eine lineare Abbildung von der Generalprobe ist die lineare Abbildung und so muss man sich mal sehen er seine Funktion nur an eine Stelle x 0 dann ist die aber in dieser Funktion an der Stelle x 0 die lineare Abbildungen die das 11 am besten linear approximiert im gleichen Sinne wie die Ableitung eindimensionalen diejenige Tangente beschrieben hat die besten Jahre Approximation des Grabens und hier haben Sie auch die lineare Abbildung die dem er am nächsten Tag in der innigst 0 zur dass es Definition der totalen Ableitungen ehren das passt ganz gut dass sie die Vorlesung zu Ende ist können Sie den Begriff ein bisschen sagen lassen bisschen drüber nachdenken und er hat vielleicht schon mal überlegen wie können Zusammenhang zu den partiellen Ableitung aus sehen baldmöglichst damit bewenden lassen und danke Arbeitsamkeit hab
Vektorrechnung
Quotient
Partielle Differentiation
Vektor
Zahl
Richtung
Teilmenge
Konstante
Variable
Kugel
Dimension 1
Partielle Ableitung
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Folge <Mathematik>
Vektorrechnung
Partielle Ableitung
Partielle Differentiation
Vektor
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Einfach zusammenhängender Raum
Variable
Matrizenmultiplikation
Partielle Ableitung
Konzentration <Wahrscheinlichkeitsverteilung>
Partielle Differentiation
Rechnen
Vektor
Zahl
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Länge
Matrix <Mathematik>
Punkt
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Partielle Differentiation
Vektor
Dreieck
Zahl
Vektorfunktion
Teilmenge
Index
Variable
Operator
Partielle Ableitung
Ableitung <Topologie>
Standardabweichung
Funktion <Mathematik>
Ebene
Mathematische Größe
Radius
Kreisfläche
Punkt
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Machsches Prinzip
Träger
Optimierungsproblem
Gleichungssystem
Optimum
Vektorraum
Gleichung
Vektor
Richtung
Gradient
Quadrat
Menge
Betrag <Mathematik>
Mathematiker
Halbkugel
Optimierung
Einfach zusammenhängender Raum
Faktorisierung
Punkt
Momentenproblem
Graph
Differentiation <Mathematik>
Scheibe
Partielle Differentiation
Vektor
Zahl
Gradient
Richtung
Monster-Gruppe
Index
Variable
Elementare Zahlentheorie
Quadrat
Menge
Betrag <Mathematik>
Rundung
Partielle Ableitung
Einheitskreis
Inhalt <Mathematik>
Halbkugel
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Variable
Punkt
Partielle Ableitung
Partielle Differentiation
Vektor
Ableitung <Topologie>
Richtung
Einfach zusammenhängender Raum
Turnier <Mathematik>
Erweiterung
Quotient
Reihe
Formation <Mathematik>
Stetige Funktion
Partielle Differentiation
Vektor
Zahl
Null
Richtung
Gradient
Teilmenge
Variable
Quadrat
Verbandstheorie
Menge
Achse <Mathematik>
Meter
Höhe
Partielle Ableitung
Diagonale <Geometrie>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Nichtlinearer Operator
Variable
Quadrat
Summand
Art 3
Ende <Graphentheorie>
Partielle Ableitung
Partielle Differentiation
Zahl
Ableitung <Topologie>
Koordinaten
Sinusfunktion
Teilmenge
Quadrat
Variable
Ungleichung
Differenzierbarkeit
Partielle Differentiation
Ableitung <Topologie>
Gegenbeispiel
Variable
Quadrat
Partielle Ableitung
Partielle Differentiation
Ableitung <Topologie>
Variable
Summand
Partielle Ableitung
Haar-Integral
Ableitung <Topologie>
Zahl
Zusammenhang <Mathematik>
Vektorrechnung
Differentiation <Mathematik>
Quotient
Aussage <Mathematik>
Partielle Differentiation
Gleichung
Vektor
Zustandsdichte
Variable
Mittelwert
Partielle Ableitung
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Gerade
Funktion <Mathematik>
Punkt
Quotient
Abbildung <Physik>
Norm <Mathematik>
Gleichung
Sorte <Logik>
Vektor
Zahl
Teilmenge
Lineare Abbildung
Summe
Betrag <Mathematik>
Ableitbarkeit
Ableitung <Topologie>
Dimension
Ableitungsfunktion
Lineare Abbildung
Differential
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Menge
Abbildung <Physik>
Partielle Differentiation
Tangente <Mathematik>
Zahl
Ableitung <Topologie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen II
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 12
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34541
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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