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Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen I

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Automatisierte Medienanalyse

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haben an der TU Darmstadt so
ja das wird sich auch hier vorne gleich anders an also herzlich willkommen zur Vorlesung heißt der wir waren letztes Mal mal wieder mitten in den als ist stecken geblieben und es war ja gabenstellung die der klassischen Kurvendiskussionen das heißt der Funktion auf der reellen Achse oder auf dem Intervall der reellen Achse gegeben und suchen die maximal die minimal stellen wir zumindest für die Abteilung Wirtschaftsinformatik alltägliches Brot da wir ständig optimiert ob maximiert und minimiert tun das wir waren werden sie auch so aus der Schule im Prinzip nach einem Körper haben 1. Ableitung bilden Nullstelle der 1. Ableitung suchen die 2. ableiten überprüfen ob das den maximalen wie ob die den dezimale minimal Stellen sind genau das Programme wirklich jetzt auf der Basis unseres Wissens über differenzierbare Funktionen und wir hatten letztes Mal den 1. Teil das notwendige Kriterium gewesen das war der Satz bei dir in Kurzform der hat er an einer Stelle x 0 ein lokales Extremum na jetzt über sie jetzt nicht hingeschrieben lassen die Voraussetzung ja sehr es muss ich differenziere sein will muss differenzierbar seine x 0 und das ganz muss auf man derweil spielen aber wenn das denn dann ein lokales Extremum hat x 0 dann ist die Ableitung 0 und ich hatte letztes mal gesagt das sind stehen viele Voraussetzungen jetzt Fälle enden die aber alle ich sind und zu beachten also X nur muss immer .punkt sein und eine Jahnwiesen muss Excel herab und seine Frau Intervall gegeben dass ich so enthält und differenzierter x Rolle und aber wichtig ist normal hab ich auch drauf hingewiesen die Umkehrung gilt nicht und werden dann gesagt solche Punkte an denen die Ableitung verschwindet wenn wir kritische Punkte oder jetzt ist die Frage wenn wir so unkritischen brummt haben wie sie glauben Maximum oder Minimum haben oder doch nix von beidem unklar jeder wird sofort sagen 2. Ableitung und genau das kommt jetzt also wenn man uns der ML Lehrer wir setzen jetzt so sehr es die voraus dass das Ding 2 meist dicht differenziere ist das war dieser Raum C 2 von Li an der Raum 1 zweimal stetig differenzierbare Funktionen Ben dass es nicht so schön nutzt wenn das alles nichts was ich jetzt mache wenn ich nur einmal differenzierbar ist da müssen Sie die kritischen Punkte anders debattieren über eine gehen wir davon aus dass unser Essen ist ein Land das es dann ich differenziere und wir haben die kritische Stelle x 0 also heftig von x 0 ist nur und zwar an einem inneren Bogen so dass das Kriterium umzieht also für 1 x nur aus dem Inneren von dabei die die mit dem Grimme oben zur Erinnerung war das Innere des Intervall ist die Menge alle inneren Punkte also im Wesentlichen gesprochen alles was nicht anders zu und jetzt ist also nicht wirklich denn die Frage ist wie sehr an ob maximal Stelle ist und was unser Ziel ist es Wege der Satz von Tälern das ist die Sicht der Grund warum dieses Thema jetzt kommt der Satz von Täler liefert einen wir sehr schnell und elegant Jahrestage anhand der 2. Ableitung also Teller für K gleich 1 also Approximation der Funktion durch die gerade durch Einholung 1. Grades und dann sagte er wenn das Exil B existiert eine zeigt sie unser Verdeutlichung dieses XY ist natürlich eine der anders wird das ist ein Ziel von X und das liegt zwischen x nur liegt so dass in die Formel vom 1. Satz von Geld also Sie können es von X schreiben als er von x 0 die Ableitung x 0 Maliks -minus x 0 das ist das der Polynom 1. Grades die Tangente Detergentien die Funktion einer die bestmögliche lineare Approximation Untersatz Mandela sagt jetzt was wie das 1. Lied aus sieht nämlich 2. Ableitung von f an dieser zwischen Ziel durch 2 Fakultät III war wurde das 2 also Mildenhall Albert ,komma von Zielen mal den Abstand zwischen x und x 0 Quadraten es war Satz von der du es wissen aber x 0 müssen kritische Stelle das heißt die Ableitung x 0 zu 0 damit können wir den 2. Tag gesteht getrost gegessen bleibt also übrig f von x 0 +plus innerhalb der 2 ,komma sie nein X minus x 0 3 3 dran weil es strich von x 0 welche die Tangente einer an einem kritischen Punkt ist eben horizontales die konstante Funktion die den grenzt den Funktionswert entspricht zur ist erst einmal dass so ein bisschen um was uns interessiert wie wir wollen zeigen wir wollen ,komma kann 1 FAX 0 Maximum oder Minimum das heißt was uns interessiert ist ist es nix nur größer oder kleiner als er von nix also schauen uns mal die Differenz von den beiden anderen gucken ob die positiv oder negativ ist also was ist er von iX -minus f von x 0 der von XSL von x 0 ist wenn Sie einfach so nur auf die andere Seite bringen dann bleibt übrig innerhalb der 1. 2 ,komma von XY Maliks -minus x 0 Quadrat präsent sein wie es jetzt ist dem Quadrat von der von der zahlt das ist
immer größer gleich nur was interessiert es das Vorzeichen der Differenz das seine Differenz wird allein und einzig und allein gesteuert durch das Vorzeichen von der 2. aber dem ständig sie zu weil sie das Vorzeichen der 2. Ableitung einer stetig sie kennen wissen Sie Vorzeichen von f von x -minus Evonik soll der Teuro also das ist die wesentliche Erkenntnis aus dieser Gleichung das Vorzeichen von f von x -minus etwa 0 also die Frage welches von den beiden Größe ist bestimmt sich aus dem Vorzeichen der 2. Ableitung nahm und damit wären wir jetzt unser Problem also das Vorzeichen und der 2. Ableitung kann jetzt mit 2 1 2 mögliche Wahl eine sogar 3 Kanäle die positiv sein oder die 2. aber das du wirklich nur schauen uns erst mal den Fall an dass die 2. Ableitung an der Stelle x 0 bei der 1. ist ein bisschen schwierig denn das XY ich kenne alle wir können mit Nein ist das Wahrzeichen der 2. Ableitung x 0 angucken sie ist sich nix x 0 x soll Alex nur liegen sie liegt also nahe bei x 0 dann können was der Stetigkeit kriegen mehr wenn wir was das Vorzelt Wahrzeichen verletzt ,komma von x 0 wissen kriegen was ist wird sein wird ,komma und ziehe also bei uns den Fall an dass die Zahl der aber demnächst wird positiv ist der jetzt nutzen wir aus dass die 2. Ableitung der stetige Funktion es war sicher ausgesetzt ist dann möchte differenzierbar das braucht man auch nur so für das was wir machen es sich Stetigkeit der 2. Ableitung ganz entscheidend reicht nicht dass es einfach nur irgendwie zweimal differenzierbar ist ist muss 2 mal stetig differenzierbar für aber die 2. Ableitung stetig ist was bedeutet dass Zivilisten die 2. Ranges stetig an der Stelle x 0 sie strikt positive oder tätig Heistermann wenig am einer Variablen wackelt wackelt auch die Funktion nur wenig das bedeutet wenn die Abbildung einer wenn die Funktion einer Stelle nur strikt positive das sie an der aber Argument ein bisschen backen können nur die .punkt die Ablehnung bleibt tritt positiv na und das nutzen willst aus also weil es Zeit einen stetig ist er geht zum Weltall größer 0 zu dass die 2. Ableitung an der Stelle x positiv ist wenn Sie das x nah genug bei x 0 wählen also wenn X aus dem Intervall x 0 -minus Bilder bis zur brüstete er das Argument wurde das Bergwerk Ring aber oft wenn man ein paar Mal gemacht ist wieder besetzt war der der kriselnde Stetigkeit des niemals Ärzte dann den Betrag von F 2 Strich von x 0 eine und dann kriegen sie selbst an Delta dass die Werte nicht mehr als es reichte von Excel Heide der ,komma von Excel weg sind und damit können Sie sich über die Notrutschen er nahm zum Beispiel wenn sie's Argument suchen in der war es von der Quotientenregel Paris ausfindig gemacht gut also aber anschaulich sollte das sollte es deswegen klar sein wenn die Abmeldung Posen die gestern als echten Abstand zu 0 wenn sie wenig am Argument wackeln wackelt auch das Bild nur wenig und Sie können es mit dem Argument so wenig wackeln dass das Bild nicht bis zur wackelt das ist die ganze Idee dahinter was wir haben es ja mein ganzes Intervall um auf den die aber 2. aber negativ er positiv Trick positiv Tau man X jetzt aus diesen in der war es also zwischen x -minus der da nix wird später dann die Tricks sie das gleiche warum also ist die das ist die von nix ne dann ist das auch
in diesem Winter weil die zur wie das Bertelsmann muss will er aber dass sie sich nix und nix neues wenn man das also wurde sie zum war wir wissen es gibt eines in der Warnung des 6. 0 in dem unsere 2. Ableitung strikt negativ bleibt immer dass ich sie mit Intervall wählen liegt auch das Ziel den Winterwald wir es also haben wir an meinem ganzen Intervall die 2. Ableitung strikt positiv ist dass sie auch in XY strikt positiv will jedes x aus denen der welche dabei kann verdammt klein sein wenn die 2. Ableitung x 0 kleines aber es ist immer da zur was bedeutet dass die Ärzte die 2. Abbildungen und zieht strikt größer 0 es erinnern wir uns an das was gerade noch zum Glück oben lesbar ist die 2. Ableitung und sie strikt größer 0 ist n dann bedeutet das dass die rechte Seite strikt größeren ist wohl größer gleich 0 ist wenn X gleich X nur dass es in dem gleich 0 Mehr wer sich trägt oder sein und dass wir beide die Differenz von 11 man nix mehr FAX 0 ist weg was er wolle oder gleich 0 wenn gleich wird also kriegen wir ja das bedeutet erfahren nix man etwa x 0 ist größer 0 für alle x aus dem Intervall x 0 -minus der der X wird bewusst Delta na ja außer jetzt gerade genau den Punkt die 10 und mehr Album x 0 ist Rechte gibt zu auch wenn die Differenz größer 0 ist dann heißt das wenn Sie das Evonik soll wieder auf die andere Seite
dann kriegen Sie F von X größer als er von Nixen und den er von nix größer als er von Micks neue Wege Wahl von oben X aus den kleinen der war nicht nur um der das nicht baldigst Wallace in der also was steht jetzt da er vor nix würde es in dem Intervall x 1 des Geldes nicht stellt da der kleinstmögliche Funktionswert und das ist genau die Definition von relativen Minimum er dieses wegen es geht ein Geld da da das nehmen wir mal die Zeugen das werde das wird muss der deiner Stelle x nur der kleinste der angenommen also das bedeutet was da steht ist nicht anders als die Definition von er wo er erwarte nichts nur ein relatives Minimum über wenn wir gesehen wenn die 2. aber ständig so positives dann können wir sicher sein dass ein Minimum vorliegt einfach über diese Vorzeichen Betrachtung dass der Westen das können Sie genau die gleiche Argument das war machen wenn sie voraussetzen dass die 2. Ableitung von x 0 kleiner 0 ist damit wie den ganz sind Tag Mix 0 wurde 2. Ableitung von x 0 Klein von die von bei anderen X kleiner 0 ist und dann kriegen sie die gleiche Betrachtung mit umgekehrten Vorzeichen und kriegen deswegen in 0 ein relatives Maximum zur was fehlt noch hat könnte natürlich sein dass die 2. Ableitung an der Stelle x 0 gerade auch nun ist es gewohnt war darin kritischen Punkt haben heftig wenig soll es war aber die 2. es auch nur als Mama Damen dann 7 erst mal ratlos nein na dann mit der Behörde nichts als trägt weil sie dann einfach nicht mehr in der Grube aber war der Beweis gefunden der Weisheit darauf Fuß das wenn Sie das Vorzeichen kann der Ableitung x 0 kämen derzeit 1 x 0 dann geben Sie das Wort seine 2. aber dem ganzen der Wahl wenn Sie wissen Sie Punkte ab 2. aber nix 0 0 dann kann die Sicherheit dann wissen sie nicht wie sich die entscheidet die positive die negativ ist auf einer Seite negative seine positiv ist vielleicht sogar konstant 0 keine Ahnung das heißt wir können das Argument so nicht durchziehen und was dann der Ausweg ist sie gehen in der Ordnung und der Ruhe nur braucht weil alles was ich mir dieses Argument gebraucht haben und das ist nur noch um einen Kopf er mir der Bürger
2. 1. Ordnung in der Mitte des die 2. Ordnung wenn sie jetzt voraussetzen setzen die 1. 23 Ableitung x 0 7 1 0 des Teller behindern 23. Ordnung relativ banal ist nicht immer noch etwa nun er war die 1. weisen sie aber sage Angaben 24 Dortmund-West liege und dann haben sie die gleiche Zahl wie unten also wie jetzt die Förderer worden nur statt der 2. Ableitung steht da die 24 da wohnt sie und steht externe 6 Uhr 24 mehr da sie genau die gleiche Argumentation machen es für 6 nur noch 24 wieder positiv und die 2. des Braut sein der die Instanzen Erbleiden entscheidet ob das denn auch ohne gehen und den entsprechend sehe also wenn 0 ist
den die mit ab ist der Bildung raus und sein auch wenn gerade Ordnung bei einem auch auf der ungerade Ordnung aber also dann muss man das der nun 3. 4. 5. und 2. Ordnung anschauen sie müssen das der anschauen und die 1. Ableitung aus auf die nicht nur nicht mehr wenn sie das machen dann kommt jetzt der Satz raus wenn ich es hinschreibe dass es dort sozusagen die Zusammenfassung von gerade gemachten n und der wichtige Fall Satzes der in gleich 2 das ist den wir gerade durch die EG also wir haben eine mal differenzierbar stetig differenzierbare Funktionen in größer gleich 2 liebe bezahlt stellen sich Moment mal in gleich 2 war dann kommt denn der Satz bekannt vor also eine Ende stetig differenzierbare Funktion auf dem Intervall wir haben die kritische Stelle im Innern das Intervall ist also .punkt x 0 in dann an denn die Ableitung von F verschwindet und was sie jetzt sind ist das nicht nur die also das ist sozusagen der Fall wenn gleich 2 und wenn noch mehr Ableitung verschwinden setzen ein setzen wir voraus dass auch die Ableitungen die 2. die 3. und so weiter bis zur -minus 1. Ableitung an der Stelle x nur sehr schwer wenn sie ihn gleich 2 setzen dann heißt es einfach die 1. aber für der Satz der Handel dem 8. Mai dass die 1. 23 Ableitungen Unsinn also wenn Funktion der 1. Ableitung wohl sind aber die n-te Ableitung ist an der Stelle x 0 diese ungleich 0 sein also treiben solange sie denken solange die andere Hälfte Stilmix nur aus bis 7 Ableitung haben Sie nicht bei 0 ist haben und an dieser Ableitung sehen Sie jetzt was passiert in der Stelle der 1. Fall des Endes ungerade wer also die 1. Meldung dass nur die 2. Ableitung ist 0 aber die 3. Ableitung ist nicht nur dann hat er in x 0 keine extrem hoch wenn das passiert wenn die 1. Ableitung die nicht nur dies ungerade ist dann sind sie in so einem Fall die Welt hoch 3 6 Uhr 3 nehmen 1. haben 3 x Fahrrades 0 2. Ableitung 6 6. 0 3. Ableitung 6 nicht neue und dementsprechend also den Fall kein extremer wer das ist die eine Möglichkeit und wenn das das bei dem die Ableitung zum 1. Mal nicht nur das gerade ist also im Fall in gleich 2 zum Beispiel der dann haben Sie da ein relatives extrem um The können auch sagen was den Kriegen relatives Maximum der
Preis die Ente Ableitungen von der sie wissen dass sie nicht 0 ist heißt die strikt kleiner 0 ist und Sie kriegen oder diverse Minimum das ist genau die Rechnung von oben heißt die in der Ableitung stritt größeren und denn gleich 2 wenn Sie den Satz gut kennen aber der geht eben auch Ordnung in was dahinter steckt ist nicht das ist der Polynome weiß wenn gleich 2 siehe oben Beweis für Willi gesehen nicht viel komplizierter ist das Joe das bei den Abschnitt nicht wie gesagt davon aus dass sie das weiß ich schon gesehen haben und dass ihnen die Technik in dem die Wiener gebrannt ist trotzdem natürlich ein Beispiel zumindest mal vorgerechnet da also Beispiel 3 7 die schamlose Funktion an ist auf der positiven reellen Highlights Achse also von 0 bis unendlich 0 eingeschlossen hatte er erfahren X gleich x-mal hoch -minus x und des 3 GS habe maximal stellen minimal stellen wie sieht der Funktion Scar war es also wenn Sie so wollen er sie kommen Diskussion wir Mehr also was man sie als 1. sie sehen sich die Anleitung aus eine und geht die ich Warnung bei solchen Kursen Diskussions Aufgaben der Aufgabe sind und 7 Tagen damit dann ein Jahr ganze zu rechnen und das geht Minuten wo sich bei dieser Aufgabe wirklich konzentrieren müssen der keine größeren misst er sich bei der 1. Ableitung zu suchen und dann in der solche Gleichung rauszukriegen und nicht mehr weiter zu kommen also die 1. Ableitung 3 mal nachrechnen und sich da einfach da mal kurz wirklich konzentrieren ob ich hab das jetzt auch also leiden x-mal -minus 6 a Produktregel 1. nichts ableiten die nur 1 multipliziert mit der 2. funktionierendes das X muss das X stehen lassen SR 1 x ableiten ja -minus ich irgendwas abgeleitet dass er auch das gleiche also ich 1 x meine innere Ableitung von der Funktion x geht -minus x dies -minus 1 also bleibt übrig ließ zusammenfassen dreht übrig 1 -minus x war ich auch -minus der der X aus dem Intervall 0 bis 1 es so war das als nächstes machen da brauche erstmal die kritischen würden wir müssen wissen an welchen Stellen kann unsere Funktion überhaupt nur extrem stellen haben im Inneren also welchen inneren Unsinn extrem Stellen möglich das sind die Nullstellen der 1. Ableitung also was
wir als nächstes machen es wirklich stimmen alle versuchen zu bestimmen alle Lösungen der Gleichung f strich von x 0 gleich 0 wenn sich irgendwie hässliche funktionieren nehmen kann an der Stelle schon Schicht im Schacht sein weil natürlich dann die Frage wie bestimmt man die nullstellen also einfaches aber effizientes Beispiel nehmen sie als vom 23. Grades am 11. 11. welches Wohnung 22. Grades und von dem -minus stellen exakt zu bestimmen seine Aufgabe sein die sich im Allgemeinen das unlösbar erweist er aber in dem Fall ist das Beispiel natürlich so gewählt dass man kann also 1 die 1. Ableitung 0 das war die 1. Ableitung die 1. Ableitung war 1 -minus x 0 mal ich auch -minus x nur das heißt während die Gleichung zu lösen das ist freundlich weil ich doch irgendwas ist nie 0 also das würde ich das ja auch irgendwas teilnehmen wegen Rasse waren das einzelne Sixt 0 gleich 0 ist und das kriegen wir aufgelöst also nur eine kritische Stelle eine Krise stellen x nur gleich 1 das geht gut hier war er auch -minus x nur egal was x 0 ist nicht nur das man also wissen wenn irgendwo im Innern ein relatives Maximum oder Minimum gibt einen 1 und was wir brauchen um festzustellen ob seines ist und was es bei uns ist die 2. Ableitung also dass die 2. Ableitung unsere Funktion die 2. Ableitung ist die 1. Ableitung die 1. Ableitung ist 1 -minus x -minus x ab ab der Produktregel 1 -minus x abgeleitet ist -minus x mal e auch -minus x 1 Min es 1 -minus x 0 stehen lassen als wir das nicht stehen lassen und ich -minus x ableiten die wieder jung -minus x mal minus 1 zusammengefasst also ja auch -minus x mal -minus x -minus 1 was dann ist es sehr war zu seiner stimmt das nicht bei man als -minus x aber ist ist nicht -minus x 1 -minus 1 2 wir sehen schon Konzentration ist wichtig sind also -minus 1 mal errungenes X +plus 1 -minus x mal junges x-mal minus 1 also eher -minus x mal -minus 1 -minus 1 plus X jetzt sieht besser aus also X minus 2 meine Sex hat die 2. Ableitung dennoch jemand wäre gut aber stimmt jetzt sowieso mit dem überein was sich im Stillen wohl rechnen Tag aber also was brauchen wir brauchen gar nicht die 2. Ableitung überall Sonne waren sie an der kritischen Stelle 2. jetzt neue also 2. Ableitung an der Stelle 1 und das ist 1 -minus 2 das ist minus 1 mal auch -minus 1 wenn es sich um das einzige Mal dass ein so positiv weil Exponentialfunktion immer positiv ist wie das was Positives was Negatives also ist es kleiner als nur ein paar das heißt da mein lokales Maximum er hat an unsere kritischen Stunde Stelle x 0 gleich 1 an jetzt ist aber die Frage der wie sieht's mit lokalen minimal aus und die falsche Antwort ist jetzt sie kein Trost bringt also wird kleinsten ich es geht ein lokales Minimum aber das ist halt nicht immer deswegen findet ihre Mitte oder nicht wenn Sie mit der Methode auch ein Optimierungsproblem losgehen müssen sie immer und immer den Rand des Definitionsbereichs anschauen deren wird wenn das Intervall auf dem sie sehen offenes Intervall ist oder ganz er auch diese Gewalt dann gibt es kein Land wenn es hier brennt immer kommt und dann ist die Methode hier erst alles ab aber in dem Fall und Definitionsbereich nur einen 2. Definitionsbereich war das abgeschlossen derweil vom wurde so wenig kann also der schauen aus dem Rennen die Ränder des Definitionsbereichs an ob das gar nicht wollte was passiert Stelle nur
das ist wer eine an der wir tionsbereich x-mal der -minus x also das ist nur einmal jung -minus 0 das ist nur eine Mehr lesen denn wir kennen den Wert einer Stelle 1 oder wir können ausrechnen 1 mal jung -minus x es als wichtige er 1 2 junge das 1 ist einzig Ehen und dann sehen Sie um klar von 1 nehmen wir also eine Seele von einsetzen lokales Maximum an einer Stelle nur kommt 0 raus dazwischen muss die Funktion nur Morde und fallen bei den dazwischen nochmal umdrehen würde dann hätte diese normalen Maximum und Minimum das heißt 0 ist wahrscheinlich auch so was wie Minimum und so ist es auch was also wer noch ist dass er die eine Beobachtung und das andere ist wir können uns jetzt noch fragen einsitzende lokalen maximal stelle aber ist auch eine globale das lieber den das Kriterium auch nicht die Frage ob es für globale maximal Stelle ist die müssen anders beantworten und dem Wege zum Glück sehr einfach die schauen Sie mal anders Brasilien und ähnlichem also das ist der Limes x gegen unendlich von etwa legst Termine Siegs gegen unendlich von X R 1 X das schreiben uns wenn man den Opel teils sehen können als Quotient also SWX durch ihr auch X in San Siro was was gegen unendlich zieht Union und was was dem unendlich ziehen wird liest man dann auf den Bearbeitung der Kommentarfunktion geht viel schneller gehen endlich als das nomics und deswegen geht es gegen 0 Essen hat da weg aber das ist kein Beweis also meinetwegen so ok wenn Sie so wollen oder zu formulieren da es keinen Sinn machen er nun also aber mich einfach Soloshow beschwor oder das geht die schneller wenn sie das waren dann haben sie dafür nicht mehr und das ist auch mitteilen doch betreiben ist genau das viel schneller beide gegen unendlich also leiten ab und wenn sie jetzt beim ableiten da sehen Sie schon wieder Orbital das misst wenn Sie wer da wir hier Funktion haben und so getan werden dann sie wir jeder aufgetan Anwendungen in dem Polynom oben ein Grad und selbst wenn das man nur mit 23 Wache Nullstelle hat bei 23 Uhr da in 3 Instanzen Grades ist und also wie dort die nun endlich aus wenn Sie und da bleiben sie gar nicht die Funktion setzt das Polynom einfach aus wir tickern wenn Sie oben die Richtkrone Vollnomaden sie alle 3 plus 1 mal ab es ist weg und die Funktion des immer noch dachte er wäre es genauer das ist die Malware exakte Formulierung von der Funktion des schneller am Leben zu erhalten war die Rissbildung auszusetzen bei den Wahlen waren am 1. Grades das ist schnell erledigt wenn Sie es oder wurden ableiten dann steht und 1 und Leiter der Funktion sitzen wird damals noch ganz so wie es die schreiben das ist Berlin das x gegen unendlich auch -minus x und den Gamer schon daran dass wir uns auf die Weise brauchen Sie keine Schwobe Satz ist irgendwie schneller als er damals aber damit es einig gezeigt unsere so 0 0 immer ehrlich geht sind gegen 0 oder zwischen hat sie eine einzige Mark maximal Stelle liegt der 1 alle könnte da zwischen den Innere brannte wenn da irgendwo noch eine maximale oder minimale stellen die vor dann damit können Sie jetzt verschiedene Dinge sagen erstens muss damit x 0 gleich 1 sogar eine globale maximal Stelle sein nein die Funktion nur anders mal größer wäre dann muss sie irgendwann wieder runter dazu muss sie umdrehen und maximal stelle kann also kann es nicht sein alles muss oder eine globale maximal Stelle sein und wir haben noch eine lokale minimal stellen 0 warum die lokale und globale minimal stellen 0 1 0 ist die Funktion wohl aber die Funktion Sommerkurse gleich
0 wie man durch einfaches drauf gucken Sie also haben globales Minimum 0 denn da sie erst mal nichts wer von XXI -minus x damals die Funktion nur nach denen der Wein und endlich einen und X na ja der sich sagt weniger weisen aber sei gleich 0 also für Alex aus dem Intervall 0 endlich ist die Funktion größer gleich 0 stellen 0 ist sie 0 also da der Minimalwerte erreicht werden Johanson wer das weiß zugegebenermaßen ein gutes Beispiel für das Thema aber ich denke wie gesagt er habe von allem Park wurde diskutiert der ständig die Zeit eben andere Dinge zum Beispiel in das was jetzt kommen dann und was jetzt kommt es tritt der lässt uns seiner gemacht haben wir haben Funktionen einer Marianen differenziert werden und mit deren Eigenschaften aus gesetzt wären gekochten wenn sie eine Ableitung ausrechnen kann was für schöne Dinge machen mit den zu gern zum Beispiel Minions Abgabe sind dann an wenn sie jetzt an Natur denken dann ist dir nicht eindimensional in den seltensten Fällen und so wie man es Maises dreidimensional und wenn sie an Anwendung als der Wirtschaftstheorie Denkens dann wird auch da häufig die Dreidimensionalität gesprengt es gibt genug Modelle die 27 Eingangsparameter haben von dem man drehen kann oder die man gleichzeitig und optimieren kann das heißt was wir eigentlich bräuchten ist ein ja also denken Sie an Wirtschaftsweise also werden Optimierungsproblem als der als 1. Ökonomie die 25 traut man den sie drehen können und heraus rauskommt kommt kommt der dann meistens die realisiert welche Kosten alles für den Posten der umgerechnet und an allen Schrauben drehen einen rauskommt wenn Sie das so einstellen kostet das uns und so viel oder geht das nur gewinnen das das kann man so die wenn es die Serie die gekostet n da ist haben sie aber jetzt kann man entweder wenn man nur einen weiteren ziehen will die deren genutzt Variante wählen dass Kinder des Palais muss sprich verlassen 24 von 25 Größe stabil und drehen wollen eine gehen davon aus dass dass das nichts macht da also das dass die alle von 100 nicht ehren wir sind dass man ein gleichzeitig drehen und Funktion von 25 Variablen dieser wir müssen also mit maximal eine funktionieren und so Jahren Anhänge in der Sendung will das gleiche Problem wie wir uns immer und Sie werden und wir werden feststellen die Lösung ist genau die gleichen was rauskommt es exakt derselbe die rechnen die Ableitung von der Funktion aus und so Nullstellen zieren die 2. Ableitung aus man könnten wird die positiv oder negativ ist der Begriff halten und so und ich war dann aber und so die ist im richtigen Sinne dann ist Minimum ein 2. wenn Max negativ ist das Maximum die können das genauso übersetzen die 2. Frage die eigentliche Frage ist was ist bitte die 2. Ableitung einer Funktion einfach schweige und der fragen wir uns jetzt da also die 1. Frage ist erstmal bei dieser Gramm umsetzen können die leitende sowas ab wir sind dann dann ja auch bei der Konvergenz und Stetigkeit immer 1. einen Einfall gemacht und eine mehrdimensionale Sprung machen es auch wieder das einen seine Funktion differenzierten ist wenn 7 mehrdimensionale und Sie werden sehen dass die Sache leider etwas mühsamer werde ich versuchen zu zeigen woran das liegt ich versuche ich werde zeigen das ist zum einen sehr mühsamer ist aber zum einen den Vorteil hat dass wir eigentlich nichts Neues lernen müssen also ich werde Ihnen keine neue Differenzen zu präsentieren weil die einen erreichen wo Nachrichten und wir werden uns dann am Schluss dieser Fragen werden wie maximiert wie optimiert man Probleme mit mehreren Variablen das ist das Ziel auf das man sozusagen denken sollten das das in Art die Natur leider eine ziemliche Theorie gepackt und wie wenig rumkommen und da werden sollten es Kräfte sammeln dass wir aber jetzt Pause unterliegen oft so ich würd gern die 2.
Hälfte einsteigen und ich habe sie ein bisschen Kraft getankt ehren wenn das ganze und ganz langsam also es jetzt geht ist der Paragraph hier von den Abschnitt der weil Funktion von mehreren Variablen differenziert dazu ist es erst mal wieder hat dich ja in eine Funktion von mehreren Variablen warm zu halten und sie zu belegen ich denen sie soll denn überhaupt wo war ein für mich die richtige Vorstellung ist und bleibt der und 102 nachher noch was anderes kann man sich vorstellen also an jedem Punkt der Ebene der zur und den tragen Sie also eher auf der Zeitachse Arm organisiert Funktionsgraphen ins Siebengebirge überlegen und diesem Gebirge war einiges differenzieren dass es nicht in das völlig absurdes ist sieht man schon daran dass im Gebirge der Begriff steigern und eine ganz relevante grüßet wenn sie übrige sind haben Steigung zu tun 200 Haltung werden also ja das ist eine Funktion macht das er die sehen wir differenzieren zu reden und er an das Problem auf das wir stoßen werden ist das unser eine Differenziation es begriffen wenn wir so den ganz naiv zu übertragen 1 auf die Nase welchen gleich zeigen funktioniert nicht mehr und das noch was anderes einfallen lassen und es gibt im Wesentlichen 2 Möglichkeiten an dieses Problem anzugehen die 2. 3. 2 erstmal grundverschiedene Zugänge das Problem zu lösen das eines der Begriff der partiellen Ableitung das 2. ist der Begriff der totalen Ableitung wir machen wenn man wie bei den 3 der weg man muss auch beide machen es völlig ausgeschlossen nur einen der beiden zu machen Untergründe in der es die partiellen Ableitung immer zuerst also 1. Schrittes die partielle Ableitung der partiellen Ableitungen haben eine unschlagbare Vorteile gegenüber den totalen man kann sie ausrechnen Männer sie sind anschaulich und sie lassen sich einfach ausrechnen und wie gesagt er werde keine neue aber unsere lernen müssen mit allem was sie jetzt ableiten können können Sie alle partieller werden aus der Nacht eine partielle Ableitung ist die Gemeinde saumäßiges Strukturen eine mäßige Theorien es ist General gar keine Theorie da also schon so einfache Sätze wie Gerichte die jede passt weder ableitbaren stetig sind ich in gezielt darüber Einarbeitung ja der Partei 700 Theorie und den hatte sie so abstrakt dass keines aus also ganz alleine wenn sie mal wieder Teil ab QC anguckt dann und das brauchen beide man war total Ableitung damit irgendwas noch gilt und die partielle Ableitung dann auszurechnen Zauberer mit dem zugänglicheren Teil 1 der partiellen Ableitungen also jeden Tag etwas rechnen kann und am Fluss von übergaben zeige ich Ihnen dann warum das das Konzept partielle Ableitung die Rede ist aber wir werden dann sehen ist es nicht Marx im kompletten seines Sohnes ist nur dass die Wahl keine schöne Theorie aber es liefert die Methoden die man braucht um die total Ableitungen der auszurichten das sehen Sie beide Teile komplett wichtig und damit ihre Bewandtnis sie werden in der ganzen Zeit nur partiellen Ableitung rechnen aber damit sie ihren Satz anwenden können müssen sie immer sicherstellen dass trotzdem total Ableitbarkeit vorliegt dort ist beim jetzt der Arbeitsweg Paks ist jetzt dieser Welt ein so also das haben wir gerne .punkt gehören in die Variablen mit P Ausgangswerten also Funktionen von der Teilmenge von A den ARD Definitionsbereich wenig aus Gründen die sich in 2 Vorlesung klarer geben jetzt nicht mehr die sondern dienen aber das ist keine große den also diese Teilmenge von der eine auf der ISS unsere Funktion definieren und geht in den er P während des irgendwelche natürlichen Zahlen größer gleich 1 ist und was uns interessiert ist was ist die Ableitung von Sohn den n wenn man so was machen Sie dann für eine Variable und mehrere dann wenn man wirklich erst mal den Weg des geringsten Widerstands zu versuchen und zu sagen wenn man die Definition die wir schon haben wird und übertragen die alte als 1. Versuch wäre ja logischerweise sagen die Ableitung an der Stelle x 0 von der Funktion ist nichts anderes als der Limes von Differenzen Quotient warum nicht also der Limes von F von X minus 11 von x 0 durch X -minus 6. an und jetzt kommt der Hammer auf die Nase fallen ist das dasteht Geld macht überhaupt keinen Sinn und was das Problem das Problem liegt hier wenn die Funktion auf dem er definiert ist und dies nicht allein wenn Sie XXO Lektoren Pektorale Dinge geht und Gesetz in 7 mal richtig den Weg Dateien soll nur wir können durch Lektor nicht teilen was ist 3 5 geteilt durch 2 8 1 die ist das wird auch nicht denn es gibt einen Teil von Victor der Vektorraum kann addieren und kann Gala multiplizieren oder gar nicht Teil wird keine Körperstruktur wäre die können einen weg das skalieren mit der reellen Zahlen ja die können legte sich durch 2 Element na dann teilen Sie Vektor durch Körper Element der Vektor also in dem Fall 5 8 bis halte ich hier das geht das steht sie aber nicht im Zähler steht Vektor in RP das ,komma dazu wirklich schlimmen empfehle den wird dabei immer NRP der Männer steht auch ein
Vektor und keine Zahl wenn den weckt außer die also hätten 3 5 8 geteilt durch 2 7 3 danach durch 2 geht noch aber 3 5 8 1 2 7 ich bin die König der Tour nicht einmal das wegen der Differenzen Quotient nur 12. das ist zu einfach gedacht und daran wenn Sie das ist das Wurzel alles über das er in diversen Konzernmarken sehen wir müssen uns was anderes einfallen lassen eine wie gesagt es geht jetzt 2 Grund verschiedene Ideen an dieses Problem anzugehen einen dramatischen an abstrakten wie gesagt der pragmatische wird auch leicht berechenbare Ableitung die keine schöne Theorie liefern abstrakte für auf schöne Theorie aber nicht mehr ganz schnelle Berechnung also überlegen wir uns was wir mit der Ableitung wenn man sie wolle Steigung dessen ab und hier sieht man an wir haben die wieder ein bisschen naiv war wenn braunen Gebäude stehen dann hat der Bruder also das Gewürge eindimensional ist dann hat der ein hat das eine Steigung ablegen das ist mehrdimensional also wir diese R 2 nach R und heißt es in dem Band der stehen dann ist es eben in die Richtung in die sie gehen andere Steigungen da bergab laufen oder als auch am Hang entlang mit Steigung 0 oder so schräg Raum also je nach der Richtung in die sie laufen und sie verschiedene steigen wenn um wenn ein Hund sich umdrehen gucken Sie einmal ins Tal und einmal rauf und dementsprechend macht und wenn sie dann sagen einem Punkt ist der hat das der Graph die Steigung sondern er hat er einen Bruder But Richtung Westen die Steigung und Richtung Osten Steigung 3 nein in Richtung Osten hat da -minus und in Richtung Westen n aber Richtung werden könnte er 3 haben war dementsprechend müssen Sie sagen Sie nicht wir wollen die Ableitung einer Stelle bestimmen sondern wollen die aber wir stellen eine Richtung bestimmen das ist die Idee 1. Einsatzes und was bedeutet das was macht man belgische man stellt sich an den runter und guckt die Dichtungen die Abendmeldung und dann hat das Ding nicht und eine Steigerung bisschen ist jene schematischer also ich haben Jürgen Stücke würde mitgebracht er wird zu entfernen 2. er also dieses traf hat jede ging es also liegt und man sie die Ebene der SMS-Dienst Erzählern Ebene eingeleitet und das Gras rangierte Linie ist die ist ja an wird aber durch den Ursprung auf dem Hagener also sich dem in dem Punkt hier auf dem man will alles fast an den da und was es war es sicher und eine Dichtung und diese Richter gab ich es mal durch diese eben hier markiert also durch diese Ebene das in dem Fall einfach die er y r des XZ Ebene also ungleich 0 schauen Richtung x-Achse aber was sie dann sehen ist diese Ebene schneidet ihn aus ihrem Grafen aus dem zweidimensionalen geraten in eindimensionalen Grafen aus und wenn der Schnitt der Ebene mit dem Grafen ist jetzt eindimensionale vom so n gesichtet Linie hier und die Ableitung dieser eindimensionale Funktion an dieser Stelle die denn die Steigung an dieser haben sie die Richtung noch haben will und der Frage n und das ist die Idee der der genannte Richtungs Ableitung jetzt kommt also was Sie machen ist es den sich prangt tun sich Richtung aus und leiten diese eindimensionale Funktion ab wie man das macht ist ihre Funktion von einer können wir ableiten und kriegen dann die Steigung des Grafen in diese Richtung wie gesagt aus der Anschauung doch klar Mehr als also mehr Steigungen 1 passen macht keinen Sinn sie können ohne Steigung ein .punkt Richtung angeht zwar das ist die 1. mit wird später die Definition der Ableitung in eine Richtung es ist also was haben wir dann unsere Funktion auf der Teilmenge die vom der des und für alles was mit differenzieren zu tun hat tut man tunlichst 1. Tag Englisch Taktdichte taktischen Überlegungen am Ende nur der Menge nehmen also Unsinn des sei offen differenzieren Banken eine innere Punkte sind es ist also mehr eine Funktion die es auch normale Menge gegeben und gilt nach wie vor und jetzt nehmen wir uns ein paar und neuen gehen an denen die Ableitung bestimmt waren und wir geben Richtung vor oder kann sie die Richtung vor neben der Funktion hier ist definiert auf der auf der auf dem A 2 Eon ich denen nur an die Richtung des einfachen Vektor hier und in der Richtung zeigte also weg 1 2 Vektoren Definitionsbereich legte er des CPU und die Richtung sollte bitte schön nicht nur seiner ich ist nicht der nur der das kann ich doch mehr also sie geben sich die Richtung vor das ist weg damit die Idee nicht da nur wenn ist und wenn jetzt die Ableitung der Funktion in dieser Richtung existiert und das schöne ist das ist jetzt der eindimensionale Ableitung immer wieder das Bild das ist ne Ableitung von eindimensionalen zu holen die können aber Differenzen Quotienten schreibt also wie Sie diese Differenzen Quotient aus das müssen wir machen wir
müssen Inventions wert also müssen wir Vergleiche mit dem Funktionswert eine Stelle x 0 so weit ist die Sache klar was wir sonst werden ganz in der Nähe eines Musikanten Steigung bilden aber in der Nähe nur in Richtung auf wie machen wir das wir gehen demnächst 0 heraus und ein kleines Stückchen H in Richtung wir schauen uns FAX 0 das haben alle Bauern also irgendwann x 0 ein kleines Stückchen in Richtung warum ist sozusagen das Stückchen dass wir gegangen sind man dass er gar nix weil das ich das Stückchen dass wir gegangen sind durch haben dass der Differenzen konzentiert für wenn der existiert dann nennt man das dann den heißt sagt man dass er es in x 0 in Richtung Tal differenzierbaren also jetzt 2 Größen sendet die Stelle x 0 und die Richtung vor und diese Größe hier nennt man dann ist bezeichnet man dann mit Ableitungen in Richtung Wahrung von allen an der Stelle x nun dieses und geschwungene die werden wir noch oft sehen dass es in D drohen geschwungenes D steht für differenzieren im mehrdimensionalen landen stört das Frau dran geschrieben damit man weiß in welche Richtung man differenziert und hinten die das 6 0 also diese Größe D A N von x 0 das nennt man dann die Richtungs Ableitung wenn von an der Stelle x 0 in Richtung war und das ist eine Zahl um das verlorene Tal Weise ganz anschauliche zahlen das ist die wenn sie sich Funktion Nachweis Gebirge stellen dass die Steigungen diese laufen wenn sie Text nur in Richtung Laos auf wenn der es gebe es entlang des 1. nur definierte Ableitung einigte er ja die nach den Weg gezeigt dass man das Ganze im als Ableitung von Gesicht mit geraden da sehen kann was hier tatsächlich es ist einige Male anders sehen was hier abgeleitet wird ist die eindimensionale Einschränkungen von 1. auf diese gerade also ich schränken F 1 auf die gerade die sie kriegen wenn Sie von der Stelle x 0
in Richtung Frau weiterlaufen also nicht gerade durch x 0 gehen mit Richtungsvektor Trauer auf diese gerade schränken sie F 1 und auf dieser Geraden ist dass er vom wieder Funktionen er gerade er dann vom sollen er und die leiten sie ab die kann man jetzt als Funktion in der einen Variablennamen auch was müssen zur Funktion im Prinzip nur Wallander abhängig wie weit sich Auge in Richtung Frau gelaufen sind also das was sich diese Ebene hier dargestellt sein soll also die diese gerade ist eben die in dem Fall die x-Achse und die Einschränkung dass genau diese eindimensionale Funktion die Konto die leiten sie ab dieses Bemerkung ,komma umformuliert ist die Übungsaufgabe hier 2 wir wir ob man kann diese gut diese Einschränkung also diese einnehmen seine Funktion auf der Geraden darstellen wenn man sagt dass es eine Funktion die Frau die von habe hängt diese definieren als er von 6 0 ich habe mal waren es Mixturen jetzt wenn Sie H laufen lassen weil ich's nur das HV auf diese Geraden rum wobei sie das Haar aus dem kleinen der weinende selbst sei es dann wählen müssen warten das es ist mich auch ganz R definiert Sonderaufwendungen gegen das 6. 0 SNG wir wissen auch dass Excel ist die innere an das heißt um 6 Uhr die Sonne ,komma die ganzen gelegt aber die kann klein sein wenn Sie sehr großes kann sie übersehen dass Exodus habe aber auch in Definitionsbereich liegt man kann ewig drauf an aber es gibt immer so ein kleines Intervall muss du das reicht wenn Differenzen Quotienten haben und dann kann man sagen dass es hier die Übungsaufgabe ist die Richtungs Ableitung von f an der Stelle x 0 in Richtung V das gleiche ist sehen Sie diese aber diese Funktion GV Präses ist eine Funktion von einer eher ganz normal ableiten reellen Sinne unter 0 einsetzten Tor das ist die Richtung erweitern wichtig dabei mitzunehmen es einfach diese anschaulich Richtungs Ableitung ist die Steigerung in die Sirenen 7 Sprung los in Wetzlar in Richtung natürlich wird auch die wie war ein Ableitung Videofunktion Funktionen von nix sein wo man wo sie losgelaufen sehen keine haben der in der Richtung so ansteigt damit natürlich die Richtung Saab leider auch immer groß wir zur es gibt des in Paris diesen uns gleicher als andere und zwar die Koordinatenachsen er also die dann das in dann alles ist wird man im Normalfall immer die Steine Basis wählen weil es keinen Anlass gibt die Zigarren andere zu nehmen kann 2 geben da muss man sich umgewöhnen aber für diese ganze Betrachtung er den Standard Basis und die Richtung Verbreitung in Richtung der Koordinatenachsen also zum Beispiel die dem Bild er thematisiert wäre das wäre genau die Hinrichtung der x-Achse die SPÖ eine besondere Rolle es hingegen den besonderen Namen das ist die
Lektion 4 3 also Galilei Situation wie gerade eben Definitionsbereich unserer Funktion g es wieder auf den Mehr in Funktion f auf die definierten werden er Herr und jetzt können wir in NRW ich Standard Basis wär nicht wenn die Mali 1 bis wie viel in unternehmen wo es noch 1 x nur den G zu merken jetzt bisher einfach definiert wenn dieser Grenze um existiert dann werden wir die Funktion er wenig sowohl in Richtung fort der war es kann zu man aber unter jener Richtung mal so mal so ausgehen und wir schauen uns ganz speziell die Richtung an in Richtung der Einheitsvektor also gut weg ab LX wird Ableitungen in die Richtung aller Einheitsvektoren existieren es egal in welche Richtung der Koordinatenachsen sie laufen begrenzen Quotient darum Conni geht immer also in alle Richtungen einzige 2 Idee also war nicht dass in alle Richtungen existiert aber in die der Kontendaten Achsen dann nennt man das an der Stelle x 0 partiell differenzierbar das ist der Begriff der hat klären Arbeit und man kann nicht unbedingt am ganzen X definieren Intimität differenzieren aber kann nach jeder Richtung nach der Koordinatenachsen Richtung man kann nach x 1 differenzieren 1 2 3 nach XP ist es partiell differenzierbar zur und jetzt fängt das ein unangenehmes aus einem Pastell Differenzial einen partiellen ab differenzieren an den es gibt 3 andere sich verschiedene Schreibweisen für partielle Ableitung in also nach unserer derzeitigen Nomenklatur wäre das die Richtungs Ableitung von f in Richtung J nur an der Stelle x 0 das werden die partiellen Ableitungen Richtung einer Sektoren der und da gibt's jetzt je nachdem wo eine Theorie über irgendjemand herkommen zumindest 3 höchst verbreitete Schreibweisen und weil die alle 3 x verbreitet sind und in manchen Büchern alle 3 Kreuz durcheinander benutzt werden also so oder so verbreitet dass es Straßen dass es Bücher gibt wo alle 3 drin vorkommen wir muss ich sie in allen zeigen bringt jetzt nichts wenn ich auf eine zu kaprizieren mach ich gerne weil ich hab einen die zivilen Schreibweise aber dann ändern überlassen Sie sie ihrem Schicksal weil es geht die einen Aaron ist mal gesehen haben also wie kann man diese partielle Ableitung schreien eine Möglichkeit ist immer wenn ich immer die JF und so weiter sondern eines man ist es eh weg also die Haut es war nix neues wenn man häufiger sehen Ableitung nach den Worten Einheitsvektor ja in Richtung des haben 1 Zweck dass man es an der Stelle x 0 dann gibt es die beiden im Sieg und Ingenieursbereich daran verwendet die Schreibweise partielle Ableitung des differenziert nach des XJ von x 0 gewählt werden noch zeigen warum das entsprechende Notation ist an der man dieser dies Interwiki und sie ist leider wahnsinnig gefährlich weil sie im falschen Zusammenhang nicht gewollten mehr wissen will und dann geht's nach die am Ende dieses war Mathematiker Notation das ist die kürzeste sie schreiben dass er uns schreiben das XJ nachdem sie differenzieren einfach in die nächste sind die 3 aber es gebraucht wissen dass wir damit bewenden lassen wir werden sind 95 Prozent der Bücher durchkommen ab 90 Prozent der Vorlesungen als ich Garantie der Vorlesung wird bei der partiellen ferenziert wird wieder braucht Blutsbande schon ist gewachsen wäre mal ne Namen Mehr es aber nicht geben also dieses gehen der pro dafür gibt es zu viele partikulare Interessen Augen zu und immer noch aber verschiedene Steckdosen er dieses Ding nennt man die partielle Ableitung es nach der Jackenkragen hat das er ist der Kurden ist der Einheitsvektor in Milliarden Koordinaten Richtung und das ist die partielle Ableitung Millionen Koordinaten ist nichts anderes als die Richtungs Ableitung in Richtung das hört man derzeit aus zur jetzt das war der Anteil der Detail ist es wenig überraschend ich
hab ihn definiert was es heißt an einem Abend partiell differenzierbar zu sein denn was heißt partielle werden sie aber auch eine ganze Menge Leben .punkt also ist in 1 x 0 G partiell differenziert war ist und weil zumindest das Wort differenzierter in nächster Zeit oft vorkommt wenn ich mir die nicht benutzte Abkürzung dies war er nie erlauben die in Zukunft es geht so weit dass man leider sagen dass Patient lieferbar ob man häufiger mal werden also wenn 10 1 x 100 g partiell Differenz jeweils eine dann nennt man es als Ganzes partiell differenzierbar G und wenn sie essen Definition des Schreiners normal aus und dann dann Sie natürlich wieder die Funktion an jeder Stelle differenzieren was rauskommt ist die Ableitungsfunktion also die Funktion die man schreibt der Jr oder je nachdem wo man herkommt und was man will Vorbildung hatte was welcher Fachrichtung DER nach den Zielort oder auch mit Index XJ und das ist jetzt an jeder Stelle der Wert der Ableitung des ist eine Funktion und die macht er der 8. die partielle Ableitung ist in eine Richtung sehr breit und das heißt dass ausgemistet Zahl das ist dann die Grazie der Ableitungsfunktion wir dass es wie immer einen Ableitungen wir sind jedem Band hat definiert die Ableitung wieder neue Funktion wenn körperlich sprechen auch wieder wieder auf Ableitungen und das war hatten tonnline Ableitungen war die Frage der stetigen Differenzierbarkeit auch das passiert hier wieder also wenn sie es haben das geht partiell differenzierbar ist wir in und die partiellen Ableitungen wir alle die Stück also die 1 11 ist die er dann mit Funktion an einer Stelle jetzt immer die partielle Ableitung kann in jeder Koordinatenachsen Richtung ein also dieser Art an der Stelle 0 2 partielle Ableitung Richtung x-Achse Richtung Y-Achse also und wenn die alle in DE Stück tätig sind also stetige Funktionen auf dann nennt man das das ist
auch keine verwirrende Definition stetig partiell differenzierbar dass es keine da wird in der Definition aber das ist eine sehr sehr zentrale nur noch sehen werden ich so was ich Ihnen jetzt an Stelle nicht ein für die zurückblättern zur Definition der Ableitung der nördlichen ableitbaren ein .punkt aber auf Mängel Ableitungsfunktion stetig differenzierbar dann kam der C 1 ist der Raum C 1 alle steht Verwandlung Funktionen und ich werde Ihnen der aber nicht die dich Patientenzimmern Funktion einzieht weil das ist überhaupt nix an Raum das ist schrecklich wie gesagt diese Dinger dazu keine schönen Theorie könnte man unter Wasser abgeschlossen heißen ich würde fürchten dass der das das einmal Vektorraumes müssen darüber nachdenken ich würde fürchten dass die 2 partiell ja das sie können 2 Funktionen schreiben diesen partiell differenzierbar er mit stetig könnte man es machen also ich des zurück bestätigt es gebe ok insgesamt kann der Firma hier hier das ist das was ich vorhin schon zum Notations Chaos sagte mir sie leihen weich berechnen also dann jetzt den Begriff der
Richtungs Ableitung des Weges der partiellen Ableitungen dieser partielle Ableitung ist nichts anders als Richtungs Ableitungen in spezielle Richtung in die Richtung der Koordinatenachsen IDS sollten einfache funktionieren differenzieren die mal ist also das ist ne einfache Funktion in nur er 3 nach der 3 es war nix gleich X die Identität die soll dich aber bitte schön differenzierbar sein also differenzierter ist über die ganze dann über das ganze Konstrukt und schmeißen sind nun einmal den und was Neues aus also was brauchen wir um das Ding um die Rettungsarbeiten davon zu dem zu definieren wir brauchen Herstellern der da bleiben wir brauchen Richtung also wir brauchen eine Stelle x 0 an der der ableiten wir brauchen die Richtung aber und diese Dichter und definitorisch natürlich nie 0 sein neues keine Richtung zwar was ist dann die Ableitung von f also von unserer Identität in Richtung Frau eine Stelle x 0 wenn sie mal 3 gleich einsetzen das Ganze also von einer nachher dann ist die Antwort natürlich klar was ist die Ableitung von f 1 der legst dies einzige was kommt jetzt hier raus also was müssen wir tun einfach rein wenn wir nicht oder vorstellen können was sie zur umsetzen eilen wir müssen uns den Differenzen Konzern von Richtungs Ableitungen hernehmen also wir müssen wir nix nur ein kleines infinitesimale Stück in Richtung Frau laufen von x 0 abziehen und Teilen durch die Menge die wir in Richtung Frau gelaufen sind und dann gegen 0 gehen das ist der Differenz Patient in 7 kleines Stück zur Seite gucken Sie sich die Änderung an dieser ein kleines Stück zur Seite rücken hatten und teilen durch diese Seite gerückt die TF von also Abstände der Täter Air von X verspätet Tag was kommt da es immer die Werte einsetzen und es macht einfach nichts also eher von Exodus HV ist oder habe war von x 0 6 0 geteilt durch h die das hier natürlich noch an was kann das x 9 1 6 0 0 am Frau durch vor also kommt aus der Ableitung des die Richtung seiner Einrichtung Frauentitel das einfach auch also wenn Sie jetzt speziell für die partielle Ableitung machen das ist die partielle Ableitung an der Stelle x 0 partielle Ableitung also in Richtung des eines Vektors Jurte partielle Ableitung war die Richtungs Ableitung von f nicht und er hat und abgewogen Ergebnis ist dass ich auch bei so in dem Fall wird gleich 1 2 das kommt nicht 1 raus aber es stimmt in gewisser Weise schon es kommt halt entsprechend Einheitsvektor raus in die Richtung es kommt 7 er auch weil 1 ist der Einheitsvektor in Richtung der reellen Achse der 1 die Steiner Basis in der also das passt zusammen 13 relativ akademisches Beispielen Tomasini jetzt zeigen will es wie Sie wirklich ganz praktisch partielle Ableitung ausrechnen und man kann schon die Hoffnung haben dass partieller eine aus nicht so schwer ist meinen dass wir da drüben sehen partielle Ableitung ausrechnen ist wie bei Ableitungen er ausrichten Na zu diese Schnittfunktion differenzieren Funktion von einer der das ist nicht wirklich schwieriger Partner mit Mehr stammen Indizes zu kämpfen also was ist die praktische Berechnungen der partiellen Ableitungen Lassalle real tun muss wenn sie davon zum Umfang des variablen haben und sie wollen nach der Daten nach der Einheitsvektor differenzieren je partielle Ableitung machen dann
tun sie so als wären die anderen Variablen also x 1 x 2 als ich wie die partielle Ableitung DJs ausrechnen dann tun sie so als wären die anderen Variablen X 1 bis 2 bis 6 Jahre -minus 1 x J +plus 1 und so weiter bis in die fixe Parameter man denn sind einfach weg über stammen die sich nicht bewegen und leide wie gewohnt nach XJ aber in ausdrücken in Ozons Ausdruck der stetig seit Seitenzweig Freight lieben drin und wenn sie es nach dem 3. Einheitsvektor differenzieren wollen dann suchen sie sich eiligst rein aus und differenziert nach X 3 und alles andere sind irgendwelche Aas also welchem festen Parameter an den Support es ist er nicht kompliziert ich Zeit um das zuerst einmal wir gleich alt ist also was ist denn die 1. partielle Ableitungen eine Funktion die von x 1 bis x aber hängt er das ist nach Definition der sei gegen 0 er nichts nur also eher von X 1 Musik spielen wir uns ganz genau und transponiert unsere Vektoren sind nur noch Ihnen was Hamadi Richtung muss einmal die Richtung der Richtungsvektor ist jetzt der 1. Einheitsvektoren -minus f an der Stelle wo ich die Ableitung bestimmen also f von x 1 bis x stehen geteilt durch habe dass die Definition der Richtungs Ableitung der vor müsste sie solle Richtungs Ableitung f der stellen das Hama Richtung -minus eher von der Stelle durch hab da jetzt was mir das mal in dem zusammen was
steht dann da besteht wie das Haar gegen 0 er von x 1 +plus h x 2 x 3 bis XP -minus F von x 1 x 2 besitzt gehe durch Hage übersetzen Differenzen Quotient ganz normaler eindimensionale Differenzen Quotient schon eher oder x 2 bis XP konstant lassen x 1 x Besen Konstanten der er von x 1 +plus H -minus er X 1 durch haben dass wir in 10 Prozent in einer Bäuerin also aber das einmal an einem ganz praktischen Beispiel so es
ist das Beispiel hier sie gehen und wenn ich vorgeführt hab brach ich das sie gesehen haben dass partiell differenzieren vielleicht bisschen anstrengend ist wenn man sich konzentrieren muss aber nicht wirklich wieder bei sich haben .punkt von A 3 nach R n von 3 Variablen aber ich schreibe es mal nicht x 1 x 2 x 3 Summe XY zählt unter kann man irgendwas nämlich hat jetzt x mal e hoch x mal +plus y geraten kann zu in 3 Varianten wir werden er und also langfristig könnte die Abgabe seien keine maximal stellen von der Funktion welche Werte XYZ wird den wachsen also minimal aber wenn er etwa es 1. mal wissen was überhaupt ableiten also was habe ich gesagt wenn wir die 1. partielle aber haben wollen nein 1 3 partielle Ableitungen in Richtung der x-Achse riechende Verlags in Richtung der z-Achse eine tun die partiellen Ableitungen die 1. die nach der in Richtung X 1 was wir also machen müssen es wird so erzählt der Sex und der Leitner Werner Egks auf dem also ihre Forderung haben und leiten die ganze uns gewöhnlich ab als Felix die 3 Variablen ab sondern setzte die Buchstaben Lichte konstanten was kommt da war in der Ferne so Produktregel anwenden müssen erst x ableiten dass geht 1 mal wie hoch x Z +plus y Quadrat ist das X stehen lassen und ihre Funktion ableiten der Funktion abgeleitet reproduziert sich und dann kriegen Sie doch die innere Ableitung von dem der morgen und wenn sie den Wintermonaten x Z +plus y Quadra nach x ableiten dann bleibt einfach nur Z übrig also ist das was hier rauskommt 1 +plus x Z mal eher hoch liegt was y Qual dass sie gemacht haben es einfach nach dem X abgeleitet und das selbst sein und zählt Kopfband gelassen wir können sich mit den andern auch machen was ist die 2. partielle Ableitung von f es ist die nach der 2. 3 nein Richtung also nach y erleiden das Ding aber bislang ab in 10 x und z wechseln kommst y ist die freie Variable nach der der ableiten müssen dann ist das X einfach eine Konstante die vorne stetig schreiben warten was wir die Funktion differenzieren es gibt wieder die Funktion der und die innere Ableitung von intern XZ besitzen ein Quadrat nach y ist 2 dann also ihr Contras 2 X Y mal e hoch x Z +plus y Qual und die 3. Ableitung die 3. partielle Ableitung ist die Richtung Z ist XY Texte Konstanten und sie leiten nachdem Variablen z ab dann bleibt übrig x-mal wie hoch x Z +plus y Quadratmeile innere Ableitung nach Z I bis X also x Quadrat wir hoch zurück die waren sind keine weiß ich nicht alles was sie machen müssen ist differenzieren nach einem Buchstaben und die andern dabei ignoriert er gerne durch dann als konstant ansehen und jetzt sehen Sie auch warum diese Schreibweise für der partiellen Ableitung so sprechend ist wenn sie das 1. nach X als dass man sie leiden die Funktion f nach dem Buchstaben X aber und hier leiten Sie die Funktion f nach den Buchstaben und ab und leiden sie funktioniert nach dem Buchstaben Z aber da kommt dation her da und zur also der gehören zumindest solche Funktionen von A 3 nach Ehre auf die Weise partiell differenzieren ohne Schwierigkeiten um alles Ungemach mit einem aber das regeln die sie kennen kann sie dadurch was jetzt man bisschen kritische ist die Frage wie sie der Funktion von A 3 nach Hannover immer und das schöne ist dass wir schon bei stetig beide bei Konvergenz der weil sich leicht zurück spielt auch Funktionen von der 3 nach er was sie machen müssen der vom Fachmann A 3 nacheifern in von 3 Variablen aber es kommen daraus und das hat wir schon bei der Stetigkeit aufgefasst als der Funk mit 5 Graden Funktion also wenn es von einer 5 geht dann haben 5 zu das ein 2 3 4 5 wir 2 3 nach er und was rauskommt ist die können die einzeln differenzieren und die wieder zusammensetzen dass der Satz 4 8 differenzieren die Koordinaten Weise also den Sinn der Funktion f a viele Teilmenge G wann er die haben ist wirklich offen 1. auf die definiert ist und daher Geld und x 0 gehen er ist dann gilt das an der Stelle x nur partiell differenzierbar ist genau dann wenn alle Koordinaten Funktionen von 11 ist und wären also die Funktion f 1 bis 11 geh
also F 1 ist die 1. konnte Gold Komponente von und so weiter das sind jeweils Funktionen von gehen nach er wenn die nix nur partiell differenzierter sehen das es jetzt wirklich wie genau dann wenn Aussage also Sie kriegen partielle Differenzierbarkeit der Gesamtfunktion F wenn Sie sie jeder Komponente kriegen und die partielle Ableitung von f an der Stelle x 0 die Latte partielle ist einfach die partielle von jeder Koordinaten Funktion also die JF 1 x 0 DJF 2 x 0 ist DJs X nur und das wird bei den Genossen eigentlich gar nicht .punkt führen also nur wenig Funktionen von RWE nach Nacherbe ziehen können das sofort auf Funktion kann die nach der OP differenzieren einfach komponentenweise der unter reicht das was wir gesehen haben komplett aus um partielle Ableitung zu bestimmen als Ableitung bestimmen Sie im Prinzip die eindimensionale Ableitungen in den sie Variante nacheinander differenzieren wenn man also wieder Ableitung diese Variablennamen und wenn sie wenn Funktionäre mit mehreren Ergebnissen haben dann müssen Sie halt jede Komponente einzeln die gut ich werde ihn jetzt den Beweis nicht man 2 Minuten rein würden das man der demnächst als gute Wiederholungen klare sich die letzte der 3 bestehende wundervolle so gut an auf das bauen wir jetzt auf das sind die fundamentalen Definitionen für die nächsten 2 Wochen und dann können wir Dienstag da weitermachen wo wir vielen Dank aufweisen
Extremwert
Differenzierbare Funktion
Stellenring
Maximum
Gradient
Quadrat
Kritischer Punkt
Menge
Nullstelle
Minimum
Umkehrung <Mathematik>
Tangente <Mathematik>
Kurvendiskussion
Ableitung <Topologie>
Innerer Punkt
Variable
Punkt
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Vorzeichen <Mathematik>
Abbildung <Physik>
Stetige Funktion
Rang <Mathematik>
Gleichung
Zahl
Ableitung <Topologie>
Kritischer Punkt
Vorzeichen <Mathematik>
Minimum
Maximum
Ableitung <Topologie>
Momentenproblem
Ende <Graphentheorie>
Differenzierbare Funktion
Maximum
Relationalsystem
Zahl
Ableitung <Topologie>
Lösung <Mathematik>
Negative Zahl
Polynom
Extrempunkt
Vorzeichen <Mathematik>
Nullstelle
Minimum
Lokales Minimum
Optimierungsproblem
Maximum
Exponentialfunktion
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Gradient
Quotient
Kraft
Optimierungsproblem
Maximum
Gradient
Polynom
Variable
Spieltheorie
Stetigkeit
Minimum
Nullstelle
Dimension 3
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Ebene
Punkt
Differentiation <Mathematik>
Natürliche Zahl
Berechnung
Formation <Mathematik>
Physikalische Theorie
Linie
Richtung
Variable
Reelle Zahl
Ableitbarkeit
Graphische Darstellung
Struktur <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Graph
Vektorrechnung
Quotient
Kraft
Vektorraum
Partielle Differentiation
Vektor
Zahl
Strömungswiderstand
Teilmenge
Menge
Partielle Ableitung
Schnitt <Mathematik>
Innerer Punkt
Mathematische Größe
Ungleichung
Zahl
Ableitung <Topologie>
Richtung
Ebene
Differential
Zusammenhang <Mathematik>
Quotient
Achse <Mathematik>
Partielle Ableitung
Partielle Differentiation
Koordinaten
Gerade
Ableitung <Topologie>
Mathematisches Zeichen
Funktion <Mathematik>
Richtung
Differenzierbarkeit
Formation <Mathematik>
Vektorraum
Partielle Differentiation
Stetige Funktion
Zahl
Richtung
Ableitungsfunktion
Index
Menge
Partielle Ableitung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Variable
Weg <Topologie>
Menge
Vektorrechnung
Partielle Ableitung
Berechnung
Partielle Differentiation
Ableitung <Topologie>
Umfang
Richtung
Quotient
Partielle Differentiation
E-Funktion
Richtung
Teilmenge
Konstante
Summe
Variable
Quadrat
Stetigkeit
Dimension 1
Partielle Ableitung
Normalvektor
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Partielle Ableitung
Differenzierbarkeit
Koordinaten
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen I
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 11
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34540
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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