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Differentialrechnung

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Herr der Wagen an der TU Darmstadt zur
dann meine herzlich willkommen zur Vorlesung wir hatten letztes Mal ich Maximallautstärke wir hatten letztes Mal andere Fragen in den letzten 10 Minuten aus dem Begriff der Ableitung zuzuwenden aber das war war nach mir nur so wirken das Skript aufgetaucht ich hatte nämlich in Bagdad ich könnte denn in den Tagen zuvor war Nikolaus wir alle Cetin C definieren das war dann doch ein bisschen werden ambitioniert und deswegen jetzt hier also das Heimnetz überholen kurz nochmal mit korrekten Definitionsbereich es gehört stets auch noch falsch ist würde also demnächst Neuauflage der Rat alles gegeben wo das dann korrigiert wird und zwar ist der Tagen Cyber-Bully Kurs ja gegeben wieder teilen also alt analog zum Teil als der Quotient vom Sinus über wurde durch den Kunden ist dabei kurz zudem getroffen eintragen klatschen alle 3 Beteiligten Funktionen war hart dran und das geht natürlich nur solange der Kosovo begrüßt nicht nur das oder jenes der natürlich auch die haben wir 2 gesehen dass Weise Kettenlinie der sogar mal größer gleich 1 im realen aber an der Stelle ist die Welt symmetrisch der Kursus über Berlin ,komma das ist der und was auf der imaginären Achse wenn man sich den grünen Kurs auf den eigenen Achse anschaue wenn sie dann können Sie das es heißt die Nullstellen unsere sind die vom Cosinus aber auf den Bergen wie eine Achse und die müssen wir raus rausnehmen also alle der Zahlen der Morgen kam die Lust der halbe mit klar zählt Moment jetzt Mali nur also alle die komplexen Zahlen wie Sie denn aus das auf die eigene Achse legen stellen und Kosinus sind die in der Welt und dann haben wir unseren Kurs in seine eigenen wurde Kuss zur dessen Nachtrag wie gesagt der Rat und kommt in der nächsten Version von Skript wird das dann auch korrekt entstehen an zu hören wir hatten dann den Begriff der Ableitung angefangen im metrische vor stellen Sie haben Gratwanderung für und sollten die Steigerung des Grafen jeden prangt das kriegen sie dadurch indem sie die Tangente konstruieren und das war eben 3 Tausend Jahre lang unklar wie man das tut und 1. Grenzwert begrüßt ein Tangente würdig zu richten entscheidend ist müssen die Steigung der Tangente wissen nach dem gerade also ein Brand gerade haben 7 XFX aber sie müssen wissen die Steigung hat und das haben wir bei den Differenzen Quotienten als Grenze des Differenzen Quotienten gekriegt als Grenzwert diese kannten Steigungen das war die Definition 1 1 Mehr ich letztes Weihnachten den Anteil im geschrieben also eine Funktion f auf dem Intervall nach R und Bankix nur Idee und dann wenn man in diesem Punkt x 0 differenzierbar er man damit vernünftige Tangente Steigung definieren kann man der Grenzwert der der Steigungen also der Grenzwert von nix würde ich eher nichts durch x 0 -minus x Blix gegen X nur indes die nennt man Strich war nix wenn der existiert es ist ableiten an einer Stelle bis zum wie das bei der Stetigkeit auch schon hat man mir erstmal ableiten an der Stelle was einen natürlich in der nicht mehr interessiert ist aber noch im ganzen Intervall und dass man sagt man halt die dann wenn sie sehr dann also das Funktion Intervall nach eher nennt man differenziert
auf dem Intervall aber ich hatte letztes Mal als General Voraussetzungen für den ganzen Abschnitt gesagt wie bei dem ich jetzt hier schreibe ich nicht ist mein Schreiben SIE SIE in der Balearen ein ganz er sein kann und abgeschlossen werden Intervall aber ich dieses Intervall zu also Sie und wenn man sie auf dem Intervall differenzierbar weil sie eben in allen Punkten das Intervall ist also in allerdings nur die Differenz hier ist wenn man sie das dann also wenn Sie jetzt mal seine Funktion hernehmen der derweil wenn sie wahr ist dann kriegen wir zu Stelle die Ableitungen und diese zu denn Pandemie derweil die Ableitung der Funktion zu das Video und schauen und das ist die Ableitungsfunktion auch das wird Ihnen wahrscheinlich keine große Neuigkeit sein also die Funktion die auf die Weise kriegen strich ebenfalls auch Idee findet Nachahmer jeden extra den Wert der Ableitung an der Stelle x Dinge in meinem Leben die Ableitungsfunktion oder auch oft einfach nur Ableitung von n aber ganz sauber werde Ableitungsfunktion in und damit können wir jetzt so sein dass das sie weiter Wesen aus der Schule kennen Sie alle .punkt fahren wenn die jeweils wenn die glatt genug ist dann können Sie differenzieren können die Ableitung als Warnung hören er wird in diversen Konzerten definiert sind Differenzen 19. man also ableiten will im Prinzip jedes mal ausrechnen wir natürlich Bilder Rechenregeln machen mit dem man das nicht immer machen muss 13 ist der diese Differenzen Konzernzentrale und weil man den Ort ausrechnen was hat man sich natürlich viele Tricks einfallen lassen wie man Service weil sich das Leben leichter machen kann und dem billigsten ich zuerst gehen gern diesen Grenzwert
umschreiben aber andere haben je nach dem was alle machen wenn eine Sache ist also das ist der Differenzen Patienten mal setzt man kann es in Höhenlage größer 1 üblicherweise x 1 x würde also den Abstand von diesen 6 würden sie klein machen wollen und wenn sie X Gimmicks nur laufen lassen ist das das gleiche wie wenn sie Hagen laufen lassen und was steht hier steht er von X das ist x 0 das Haar er von nix 0 FAX 0 1 und Elena steht hat diese beiden Grenzwerte sind identisch wir die gleichen Ergebnisse wenn sie in einen kriegen sie auch den andern je nachdem welcher leichter zu behandeln ist spricht man von einem zum andern beide Grenzwerte sind spannende begrenzt werde nein zumindest es 11 tätig ist dann geht es nächsten sixclicks 0 jagen gegen er mehr das heißt entweder Zelda geben dagegen an und sie haben wirklich interessanten Grenzwert der sich mit den sich nun zu betrachten Lehrer der Freien und Bayer solange ich
doch so ich den Männer auch umdrehen ist das gleiche sie weiter auf einmal für mich doch
Moment sollten Sie bei darf einigte ich hatte ich gebe zu dass ist nicht Gewalt und sagte zu mir Bewohner der oberen aber ich habe nichts falsch gemacht ich hatte -minus 1 erweitert da er nur kann ich den jetzt so zu nutzen ihn zu sagen er an der Stelle muss ich exakt aufpassen sie können müssen sie das nicht mehr so egal wichtig ist dass die rein aber wurden die gleiche man kann wer also worden 1. 600 X kommt dann nach unten und wie wollen Sie das halten wenn Sie machen wenn nur ein wenig nass Aachener anders wichtige
sehen das ist nicht etwa nächsten das FAX 0 durch x würden das nächste wird es negative Bearbeitung zu haben aber danke für die Frage zwar also damit ich im Prinzip für alles was es zur Ableitung zu sagen wie gesagt wir ist danach Funktion als René natürlich nicht aber das ist eben die und damit kann man jetzt schon so ein bisschen rudimentär arbeiten man einfach an einfachen Beispielen das ist der einfachste Funktion die ein einstellt konstante Funktionen also wir geben unseren irgendwie konstante her C als er und betrachten die vom führen mein wir würden Intervall definiert ist nach Art und jedem x diese Konstante zuordnen wir müssen konstanter .punkt war er Felix gleich C und sie wissen alle was daraus kann ich damit rechnen was nach
beider das müssen wir ausrechnen und die Ableitung dieser konstanten Funktion auszurechnen müssen den Grenzwert von Differenzen Patient anschauen also Siegs gegen neue er von nix mit dass er von x 0 durch x Müssig war was ist das das ist dann immer nichts gegen x 0 und umgestellt 10 -minus d durch X -minus x 0 das heißt das ist ziemlich einfach Grenzwerte wenig der Grenzwert von 0 nix gegen Nick soll es Nullen und das ist auch schön nicht anders zu erwarten gewesen also wissen wer konstante Funktionen sind differenzierbar und er verlegt strich von X ist normal wir alle x in ihnen man später noch die Umkehrung von Satz kennen lernen wenn die Ableitung konstant ist die Funktion konstanter der Bauer und bisschen Theorie daran das keiner nachmachen in den Ibis ganz Intervall R x 0 gleich 0 und die Funktion Betrag X in Bremen bei schweren gezeigt die Differenz ist jetzt kommt natürlich leicht der Funktion die es nicht ist um ihn zu zeigen dass das tatsächliche qualitative Eigenschaften und soll es dir auch schief gehen kann also was passiert in dem Fall wenn sie Betrag X nehmen was ist jetzt der Differenzen Konzern der von Exminister von nur durch X minus 17 Uhr Mehr nächstes Betrag X es war dann ja also haben sie Betrag würde es ist ja nicht nur und Orden steht Exner soll also steht der Betrag X durch x was ist Betrag X durch x 3 Fälle passen die dann steht da links durch x da nicht jeder einst also sind die wir X ist das 1 und für negative x ist das -minus 1 meiner steht der -minus x durch x 1 ist minus 1 man sie jetzt waren den Grenzwert für x gegen 10 Uhr Thomas Stein also dem Fall nichts gegen 0 es war nichts Näheres erfahren wir da jetzt nicht nur dann kann Sender war war das Unrecht links kann das einzelne -minus 1 ist das heißt der existiert nicht wenn nun meinen woran es liegt ist alle Betrag sieht so aus der hatte recht der hat auf der Seite rechts von Ursprung bei den 1 links und 1 der Steigung -minus 1 und der andere nur einen Kick enthalten sind da können Sie nicht eindeutige Tangente anlegen wer also an dieser Stelle ist das deine Tangente und das ist der Tangente und das
ist der Tangente im Prinzip ist jede gerade Besteigung zwischen minus 1 zu 1 der Tangente wer das Theater nicht ein da die Länder nicht definiert das ist der Betrag an der Stelle 0 nicht differenzierbar dass sich darin ausdrückt dass dieser Grenzwert gar nicht existierte und existiert nicht damit ist er in würde nicht differenzierbar weil eben ja was dahintersteckt ist es gibt keine eindeutige Tangente und damit ist es ein keitsbegriff holen was sie an der Stelle aber beachten sollten ist weil das ist ein das einfachste schönste übergeben Beispiel für eine oft getrunken über Batman er soll sogar stetig wer der Betrag ist nur stetige Funktionen er sich den neuen Herren desto mehr nähern sich die Funktionswerte dem Funktionsweise einer Stelle 0 4 so Stetigkeit aber sie ist nicht differenzierbar also wann immer Ihnen jemand versucht den Bären aufzubinden dass jede stetige Funktion differenzierbar ist am 7. betragen die Rolle der wird am USA geboren also das ist relativ häufiger Fehler aber zur Bestätigung oder eines der weißen Riesen lesen der und das wird ist dass wir diesen Abstand nie sehen liegt einfach daran dass wir leben hier zu 8 Bit differenzierbaren und Toren zu tun haben aber vielleicht so es so drastisch wird wenn Sie mal ein Gedankenexperiment vorstellen sie packen alle bestätigen .punkt für eine Kiste und sie jetzt aufs Geratewohl zufällig eine raus dann ist die Wahrscheinlichkeit dass die an einer einzigen Stelle differenzierbar ist 0 ja also dort sein die generische stetige Funktion des Wirkens differenzierter und zwischen drin gibt so paar Mündchen so ein paar besonders schöne Funktion die bisschen deren sie weisen aber weitere 10 stetigen Funktion sind unseren Zimmern B also Rechte nur den Alltag kann was den Ermittlern sind schon zu tun und deswegen aber das Gefühl es ist eh alles glatt ne und der Betrag ist sozusagen das einfachste Gegenbeispiel sind so ich will Ihnen jetzt aber zeigen das zumindest die Umkehrung gilt ich Grazern implizit erwähnen aber wenn Sie alle differenzierbaren eine stetige Funktion einen Sack stecken das alles steht die alle differenziert man dabei also wenn sie irgendwann auch mit der Wahl haben nach er denn eine Stelle x so differenzierbar ist dann ist sie da stetig besser heißt differenzierbar Essen stärker Begriff als Tätigkeit bevor man sie Differenzierbarkeit haben Sie auf jeden Fall Stetigkeit umgekehrt ist es Sache wie gesagt fertig betont die Begründung ist höchst einfach ich bin das Volk direkt aus der Existenz und Differenzen Patienten was müssen wir zeigen um nachzuweisen dass er schädlich ist er wird zur Bestechlichkeit zumindest ja denn es sollte nicht der Gegenwart Lager hatten gesehen wenn unser Brand indem wir das Ankommen Eröffnungsprogramm Definitionsbereich ist da aus dem funktions Grenzwert anzuschauen hier sind auch mit mittlerweile jedes jeder Beamte mittlerweile verworfen und Formen der Wahl also geht das was wir zeigen müssen ist das den Limes x
gegen 10 Uhr es X dass der nächsten ist wie das da eigentlich an das man sich im nächsten Jahr 6 0 gehen das dass er am nächsten Dienstag geht dann haben sich ständig morgens .punkt und dann das zu zeigen was es damals anders ist die Differenz eine er von nix kann wie es dieser zu zeigen dass es gleich mal dann haben dass Berlin =ist gleich F von X wird da es kommt eine würde trägt das sich Rensing geschrieben was ist der Grenzwert x gegen X nur von Evonik soll von Excel hängt von X nicht aber ist er selber Excel die können dass er Felix würde den Grenzwert ziehen da tut sich nix zur und kann jetzt kommt zielgerichtetes rechnen wir waren was können diese Differenz ist 0 und das einzige Tor was wir wissen ist er unser war das einzige Mal das wissen es also Differenzen Quotient das heißt brauchen wir gute Differenzen Quotienten über den zu arbeiten man gerne das noch herstellen also wenn man uns als dem 1. Eisen Differenzen Konzern weiter Mediziner 6 0 waren wurde die Ziele mit einer harten 1 müssen so die Stellen sollen und weil man immer denkt er ja dann Träger bekannter drauf warum es kann damit als den gerade Gesagten und sie müssen das erscheinen lassen oder Sie das wissen wir wissen was wir Pressekonferenz also nahmen sie gehören zum Hotel zu saugen was passiert jetzt da man Grenzwert von Produkt Differenzen Konzern man 6 0 wir wissen beide Faktoren konvergieren der 1. wir bremsen Konzern konvergiert weil er über sie weiß und zwar gegen den Strich 1 stellt vor bist die Zahl der Ableitung wer das war die konvergiert aber Six ging nur laufen lassen können jede gegen 0 und 1 2 vom beide oder 2 Fragen beide konvergieren ankomme geh doch das rüber in das Produkt der Grenzwerte und das wurde der Grenzwerte sind im Fall verdammt wurde das haben wir die nur wir haben erhalten wenn sie jetzt das FAX 0 auf die andere Seite bringen 7 6 gegen 10 Uhr von x =ist gleich F 1 zu 1 in tun dass es genau stetig kalten neue Songs .punkt also dass man hier machen muss es nur einmal in dieser ganzen Konzern nicht viel bringen und war darin weil ich die dem sie waren .punkt führen sind also eine Teilmenge der stetigen und damit wirklich nochmal klar bleibt es
ist ne echte Teilmenge die Umkehrung des falsch als Tätigkeit können sie nicht Differenzierbarkeit vergangen das differenziert Vagheit Stetigkeit zu damit ist der die Beziehungen zwischen den Begriffen differenzierter stetig erklärt drängen nach 2 Ableitung zu sei es in werden ich erinnere viel allen zur das aus weil ich davon ausgehe das Ableitung Verbreitungswegen auswendig ausrechnen ihre Hände wesentlich noch gar ja da muss der Körper auf hier machen das würde das Rückenmark dran war also wenn Wi-Ing Produktregel Quotientenregel unserer kommt gleich alles nach aber ich die 1. Tage haben allen wann gegen direktes ausreichen würde bremsen Prozent ihr was ist was vielleicht nicht so ist immer hin bisschen mehr und ein bisschen weniger wir diese gar nicht hat also ich wiederhole es alle mach jetzt gleich kostet mich war diese ganzen regeln was komplett trotzdem werden wir natürlich hier in dem in denen wir ja und auch weil wir da auch nicht halten haben nicht diese Masse an übernehmen das teilte dieses eine Handwerkszeug Betonung stellen können wie man das der Schule hat oder so wer sich da unsicher fühlt ohne das dringend dringend nach schnappen sie sich sich Funktionen schreiben sich gegenseitig künftig auch andere sehen die durch Härte das ist das ist das ist so wie am Anfang oder während des Mittagsschlafs auch in späterer ja das muss man aber machen also wir differenzieren noch sei Funktion da ich es 1. er exist x gerade und was müssen danach Andersen Differenzen Patient bestellen anschauen und den Limes ausrechnen also das ist der Differenzen Konzern in dem Fall immer noch 11 von XP dass Evonik soll durch XPS soll er x Quadrat er war nix Neues 6 nur Quadrate durch X minus 17 Uhr wenn er kommt dann Differenzen Patient was wir da haben durch nur war so muss sich überlegen wir damit umgeht in dem Fall ist es einfach zumindest unsicher 3. normale nannte das können faktorisieren X -minus x 0 Express x 0 und dann sehen wir dass verkürzen kann ich bin nun das ist wenn Sie deren sind 14 haben immer die Aufgabe in der haben das in Celle also wenn das unser nicht gegen 0 geht dann meine Funktion stetig an stellen aber unsere Wohnzimmer kann ich nachdenken das heißt normalerweise wird das gegen 0 gehen und was sie machen müssen Sie mir würde aus dem Zähler den herauskitzeln der gegen 0 gehen und denen kürzen beim 1. Wort versteckt Besonderheiten gut versteckt aber wenn man das geschafft hatte die Männer gekürzt hat ist die Sache durch was ist die Ableitung an der Stelle x nur das ist der Grenzwert für x gegen x-mal vom Quotienten also von in den Augen X Quadrat -minus 6 0 Quadrat durch X minus 17 Uhr also der Grenzwert für x gegen 10 Uhr von X plus X nur der nicht mehr schwer wenn sie Gigs nur gelassen mit X gegen 10 Uhr und X-Server 6 nur sind 2 sollen gpg und eine Dame die Ableitungsfunktion dann werden die sie jetzt wahrscheinlich nicht überraschend finden die Ableitung von der Parade von X Karat zeigst bevor allgemein für die Ente Potenz ist das
im Prinzip genau so also wenn sie von X gleich X auch n haben und dass ist in allen aber nicht also in ein Stern ich gerade nur dann ist auch dass mit der Ware differenzierbare Funktion auf aber um die Ableitung man sie aber auch Strich von geht es Ende noch Frauen und um reduzieren immer hoch N minus 1 er das kann man im Prinzip genauso nach ich gebe Ihnen noch einen Querverweis auf den Satz 4 2 9 wäre wenn ich da an er wird da das zu wenig was sie kürzen müssen und dann kriegen Sie das auch ab ein ganz dann Gesamtverbund und angesehene Betrag dort nicht mehr haben wir werden damit Nummer 1 und dann gibt es noch weitere Leib und Magen vom Zuhören in der Mathematik ob sie vielleicht bald nicht mehr sehen die Exponentialfunktion auch die können wir mental differenzieren was passiert da es wenn dem unseren nix nur aus er her und an der Stelle will jetzt mal die andere Formulierung vom Differenzen forcieren verwenden also eher von x 0 Brusthaar -minus Ericsson durch aber das war diese aus Bemerkung weil die alternative Formulierungen Unterlagen nachher sehen auch gleich warum das hier schon alles er war nicht nur das Haar ist Ericsson oder Star 11 nix Neues Ericsson ohne Internet ich ha zu erwerben können mehr als Generics wird das Haar Ericsson oder ihr Haar machen und dann Ericsson ausklammern und dann bleibt übrig er habe -minus 1 durch H A und diesen hinteren austreten aber schon mal gesehen der war aber perfide vorbereitet im Beispiel 4 9 16 das war am
Ende der Potenzreihen Berlin gezeigt das sie nicht billig diesen Satz das waren B Patents stetige Punktion leben dass man damit Grenzwerte ausrechnen kann man Daten ich X minus 1 durch x ausgerechnet und festgestellt dass der 1 S und damit kriegen wir dass der Limes gegen 0 waren unsere Differenzen Quotient also eher von x 0 +plus haben dass er von x 0 durch Haaren das dass noch x 0 mal 1 ist also ich x 0 und kriegen das was Sie erwartet haben wir sie als so ist ihre eigene Ableitung die Ableitung von Ericsson ist jedoch X Teil in dem Fall ist er strich von nix gleich erfahren auch eine dieser zauberhaften Eigenschaften tja anzuhören und das können Sie auch darüber definieren als man könnte auch sagen der Definition ist exponential vom für und die stetige und fördern wir diese Gleichung gilt wenn er unter ich habe ja ich ein Jim damit können wir jetzt soll man war .punkt schon differenzieren kann und ich will ihn jetzt noch eine 2. nur 2. wenn Sie waren einmal wie wir Definition ich würde wenn sie Vagheit hinschreiben Braumann bringt sie dann nicht mehr meine wir werden sie noch brauchen und das ist die Idee die Idee bei dieser weiten Definition der Semantik Ersatz kommt als
Charakterisierung gehören sierbarkeit ist noch mal zurück zu auf diese Idee von auch dieses Bild von der Tangente also über eine Funktion f an der Stelle x 0 differenzieren das die Funktion haben die ich an der Stelle x 0 1 Tore die Tangente in weil es bis 7 Sekante gewann also das sei die Tangente was ist die Basis die Gleichung der Tangente kann wenn wir das nicht gerade wir gerade hatte einführen deutlich steigern und in dem Fall können Sie die schreiben ist es gar nix ist es nix nur dass er strich von x 0 Magix Videos sieht nur muss wenn es sehen kann man sich überlegen wo sich da immer mit dem ist mir gerade mit dem Achsen Abschnitt und steigern sich einmal ablesen strich Königsnamen sollte wohl so sein unsere Tangente muss die aber leider meist Steigung haben und jetzt also noch sicherstellen das auch durch die bunte geht durch die was haben wir einen setzte sie Maliks 0 1 wenn Sie es gleich zu ersetzen den 3. Welt und sie haben nix mehr als Werte was da sich der Name ist die gerade die durch den Brand x-mal er 6 nur geht Besteigung erstellt und es wurde Südtangente und was man jetzt machen kann ist man schaut sich den Unterschied an also die Tangente man schaut sich den Unterschied an die Differenz zwischen der Funktion und der Tangenten wenn man er XR R wie es mit der Idee die Tangente ist sowas wie ne näher an der Funktion in der Nähe von x 0 war es werden das wäre zur namens können die nicht so genau drauf an wenn es die Tangente an den Ball und die beste linearer Näherung ist die sie an die Funktion mit anlegen können nur und dann können Sie den näher Rahmenparameter gerade statt davon zu Unrecht nur machen wenn Kleinbildern wir gerade mit der sie den kleinsten Fehler machen bis die Tangente und das ist die Idee kommt einen Satz also wenn sie nur Zuhören offenen derweil nach er haben wir die ganze Zeit dann es GMX 0 differenzierbaren mit Ableitung aber nur so ist wieder sie war hat dann werden wir nicht alle anderen werden werden nicht was genau dann wenn alles kommt Charakterisierung genau dann wenn diese eben durch die Tangente so gut merken können dass der Fehler schon klein wird also genau daran wenn die Funktion f gegeben ist durch den Tangente nix 0 also eher von x 0 +plus Ableitung x 0 also aber mal X minus x wollen und das ist dass die Tangente am besten .punkt soll es gegeben durch die Tangente Posten lässt besiedeltes wird steht noch nix wirklich da man so können das immer schreiben egal was die Funktion 1. oder gar was alles uns wichtige ist jetzt dieser der aus klein werden und zwar schön klein wenn sie mit dem Lied San XXX 0 gehen und das heißt wenn Sie mit dem X gegen x 0 gehen dann muss nicht nur der 1. kleine werden meint dass Bruders jede gerade wieder durchgehend sondern er muss war klein werden wie es mit mir gerade nicht besser geht das heißt er muss schneller klein werden als der Abstand von XX 0 also mit Mehr was schneller klein werden dass der Abstand von XCX 0 und das dort würde dann den ist das was da steht also das Ding ist differenzierbar genau dann wenn sie schreiben können als Tangente und der Rest wird schneller als wir ja klagen das ist äquivalent so der zum über den Differenzen Patient das kann ich auch zeigen ob
Berlin seinem Sinne es kostet mich keine 3 Gestammel also was müssen wir uns anschauen müssen auf diesen Rest anschauen er hat oder so haben bei der 1. EM und X minus 11 und x 0 wie das an meinen 10. 6. oder das auf diesen Herrn R man X durch x 1 x nur bringen weil von X durch X -minus x 0 das war's wir sehen sich scheinen Differenzen Quotienten am Horizont auftauchen ist er von nix ne sehr von nix würde ich X minus 6 wird das A 1 A an B 1 bis weiß bisher nur eine 3 schon gehört ich bin selbst sein was es gibt Äquivalenz glauben also müssen zeigen wenn differenzieren sind es Differenzen Konzern dann geht diese Bewegung da unten in der Würdigung und gilt dann differenzierbar sind dass Differenzen konnten aber schön als an anderen also von links nach rechts und sehr da differenzierbaren Brief an der Stelle x nur haben und die Ableitungen an der Stelle x 0 Länder an dem da müssen wir zeigen dass dann der Abstand zwischen Funktionen und Tangente Beschwerde gegen 0 geht als da XX 0 also müssen uns anschauen was ist der Limes x gegen
x 0 von er man X durch 6 0 n beten dass Waigel die Mauern wir müssen zeigen dass es nur gut was wissen wir wird da aber nix gleich -minus 6 0 kennen war =ist gleich ne 1 x gegen 10 Uhr FAX -minus erstmal nix nur deutlich x Minus 17 Uhr -minus an eigentlich also mit Klammern das Ganze denn aber der Liedes von XP x würde eine konstante A ist ziemlich aber also gerade daraus ziehen dass sind seine steht es der Differenzen Patienten also 11 Striche sollen und dass es an das und ist 0 also wenn ich so differenzierbar ist dann ist der Rest kann sie nach der werden Sie machen wenn Sie die Funktion der eingehenden wir Leergehäuse dies schneller als den jagen und oder umgekehrt Gott wir haben jetzt und guckt dass der 1. schneller als im Jahr den 0 gilt also das gelte überein der Ende des A je 1 x gegen 10 Uhr erfahren jetzt durch X minus x 0 den Betrag gleich 0 wir dann müssen wir zeigen das die Funktion des differenzierter ist nicht mit Ableitung an 1 1 1 1 Jahren wir schauen uns an den Abstand von Differenzen kurz hinzu aber
nur so wir schauen uns einen den Abstand weil er von X etwa nix würde durch x 1 x 0 zu wir müssen zeigen wenn X denkst 0 geht dann geht dieser Abstand liegen würde damit es dann gezeigt dass der Grenzwert von dem kurz NAS kann bei der der ganze Grenze gleich 0 ist dann haben Sie das an die andere Seite ja was ist das das ist geschickterweise genauer nach unserer urigen rechnen nächste ich x 1 6 0 wer des nur nach aus der zu bieten also haben sie tatsächlich F Strich von links nur gleich an und damit zum Nachteil man wegen der Beweis steckt überhaupt nicht wahnsinnig viel Substanz drin das einzige was man nicht gemacht hat ist diese durch jetzt ein bisschen umformuliert in der man eben den Rest den um ein wir sind ein männlich Spielerei und dann sind seit 3 Wochen hochgradig aus der ziehen zur ja Bemerkung 1 8 hatte ich Ihnen jetzt gesagt dieser Satz bedeutet anschaulich das eben die Tangente lineare und zur ist die dass Eltern in der Nähe der Mix 0 am besten Probe aber sinniert ich bin keine andere gerade die Erbes approximiert dass die Tangente du Tangenten Gleichung also vielleicht nochmal der Vollständigkeit halber und Tangenten Gleichung ist gegeben durch das rheinische eingeschriebene eigentlich eher von Links 0 geht als ich den Bund XL von x 0 und die Steigerung strich von x 0 halten und das ist die bist Approximation es war wenn sie nur geraten zu lassen bin wir diese Rage wir ich 1 zu angesiedelt und sagen approximieren können unterhalten wir uns noch ein paar einiger Zeit ist die einfachste wurde sie als Proxy rechne grade und die Frage wieso sie gerade maximieren können das ist Prinz die gleiche Frage Nachbearbeitung deswegen ist diese Art das Becken obwohl er eigentlich erst mal rein geometrische Frage ist die wo man sich fragt wieso hat das endlich aus der mathematischen was wir können deswegen ist es so wichtig weil eben wer Approximation Wirklichkeit ist unter den Frauen alles was durch funktionale Zusammenhänge gegeben das Unterfangen ist die Naturwissenschaften hat mich der Wissenschaft noch Informatik reicht und wann immer sie was tun wir haben ob sie mir aber darüber dass Änderungsfall was wissen wollen kommt der Ableitungen spielen vom Teuro wir hatten ja Zeit dass man Ableitung über dem Grenzwert definiert werden damit differenziert aber sie können sich vorstellen wenn ich ihn jetzt der Aufgabe geben geben Sie mir die Ableitung er auch Argus Tangens von Sinus und Cosinus Anixe X dann sagen Sie viel Spaß ich mach's nicht ich mach's auch nicht in den Sinn keiner ausrechnen kann wahrscheinlich auch so wie man ausrechnen es sind aber andere welchen wegen der Ableitungen dass der nächste Abschnitt also im Prinzip die gleiche Frage wie wir sie schon Seiten eintragen das einmal ist es teils stellen Damenwahl Begriff wärmender Rechenoperationen offen fahren also wissen wir wollen das mit .punkt schon tun wir daraus ableiten aber es die dich gerne besuchen darf aber da einer Konvergenz untersuchen oder folgen Abkommen Konvergenz die Frage die gleich eine komplizierte Frage wer Funktion haben wir hatten sie diente Einzelteile wie kriegen Sie aus der Grenzübergang Stetigkeit Konvergenz von kleinen Teilen das gleiche für die Großen .punkt und jetzt bauen uns auch hier wieder alles zusammen also die Frage ist was mit seinen Produkten Quotienten wir dann Ausführungen Umkehrung hat und so die ganze Reise was beschäftigt und sie zum ganzen Abschnitt lagen wie schon bei der Stetigkeit und so weiter belehrende was dazu aber der Stetigkeit brauchten sie nur Sätze von der Art wenn es um die stetig danach es losgeht oder mal geht es können wir den Satz machen wenn es um die differenziert dann auch erstmal und dann fragen Sie mich so was ist leider also die Sache wird kompliziert aber muss man das aber jedem Tor jetzt kommt erst mal die 1. 3 davon bleibt also wenn jemand 3 funktionieren sein differenzieren an einer Stelle x wo sie brauchen und wir wollen wissen was es damit würden Produkten Patienten in der Kombination und so weiter würden ja Kombinationen muss noch 2 x gerade hier
aus sondern kommt erst mal ja Kombination was ist mit einer war er +plus Peter G also was passiert wenn Sie den Konfirmanden skalare replizieren oder in einer Funktion addieren und die gute Antwort ist alles ist brav das Ding ist differenzierbar in x 0 und auch die Abmeldung lässt sich leicht ausrechnen weil nämlich die Ableitung und das ist das was ich Ihnen jetzt hier im Raume hinschreiben ableiten also Gesellen lineare Operationen also Sie können aber durchaus verstehen das lineare Abbildungen zwischen richtigen Rollen ziemlichen Vektoren es ist Abbildung und das heißt 1. Jahren dazu und dann ableiten ist das gleiche wie ableiten dann ja Kombinationen natürlich natürlich nicht nur im Beruf also ableiten dass Linie an aber die Alicia kann was nein Noé .punkt die differenzierbar sind was ist beim Produkt auch das Produkt des brav differenzierbaren wird es die Regel nicht mehr so einfach was ist das die Abberufung brodelt bei dem jeder sofort in die Feder diktieren können 1. Funktion ableiten mein 2. Funktion stehen lassen das Erste Funktion stehen lassen mal 2. Funktion ableiten lässt die Produktregel sollte wie gesagt jede Minute haben wer das nicht hat arbeite dran ich habe die Produktregel das ist mir ganz totale Seiten Bemerkung aber kann vielleicht irgendwie mal interessant werden ganz bewusst so hingeschrieben in dieser Reihenfolge werden seine sehr oft lesen endlich mal geht auf den Strich Meyer das ist völlig okay weil wurde vigation ist kommutativ oder zur langen wieder kann oder tief ist und wenn sie irgendwann mal in die Verlegenheit kam zu ändern werde Matrizen sind abzuleiten lassen Sie auch ja wenn die Funktion der Matrizen werde aber sein dass er die Frage wie wir das tun und dann ist die Reihenfolge wichtig und das ist die richtige Reihenfolge also 3. steht schon so da wie man sie sich am besten wehrt leiser stehen 2 Matrizen zur daran das Produkt
an der Kopf lehnt es natürlich nächster beim müssen immer aufpassen was ist wenn sie nur stellen den haben dann wird das dann ist die Funktion der nicht definiert dann ist das mit dem differenzieren um einiges schwieriger geht einfach nicht also schließen wir das aus wir brauchen dass wir an der Stelle x 0 nicht nur das und eigentlich reicht das nicht weil wir müssen ja um dir zu differenzieren Differenzen Konzern zu betrachten also der Differenz nur 10 von 11 durch die anschauen wollen dann müssen wir auch X in der Nähe von Excel einsetzen dürfen und ich wäre es durch die von x 0 nach einem durch den von X die ganze Konstruktion gebrauchen wir sie kannte und die Tangente zu werden die Frage ist also was ist mit den x und Mixturen derart dass die auch nicht nur sein und das schöne ist dass kriegen wir geschenkt bleibe aber setzen diese Mixtur differenzierbar also es geht es nun stetig 9 GMX und stetig ist dann passiert folgendes diese missverständlich und nicht nur dann gibt es ein ganzes Intervall das nämlich mal das in ihm drin liegt das den x 0 an und enthält was und so dass die von x ungleich 0 ist für alle x in die Art und Weise in ihrer Funktion an der Stelle x 0 nicht 0 ist unter deren Ziel war es reicht stetig dann ist in der ganzen Umgebung nicht nur es heißt wir können nach denen der Maya hat ich jetzt die Funktion f durch die definieren ließen seine sei ich auf ihn definiert dann nur 4 hat sich die dir nur 1 Nullstelle haben sich aber auch dort ist die definiert und hörte man x 0 das heißt wir können und über Differenzierbarkeit Gedanken machen und tatsächlich ist die Funktion dann differenzierbar und sie kriegen die bekannte Quotientenregel also was die kurzärmelige arbeiten und einen einfachen
zu den komplizierten Rechenregeln vor also was passiert wenn sie mit Quotienten von der Funktion ableiten dann müssen sind selber denn Männer und den Zähler ableiten mit dem Nenner multiplizieren man aus denn zu erstellen lassen mit dem abgeleiteten Männer multiplizieren und dann werden wir die Funktion quadriert dass die Quotienten Trauben damit haben wir schon mal Satz regeln zum Produkt Quotient wo ich hingehen nämlich alle 3 beweisen dass wird sonst bisschen Zelle aber ich bin so frei überweisen die schwierigsten also lassen aber weg oder genauer gesagt wir sollen am besten gute Übung und ich beweisen die schwierigste dann unsere Blaupause also für die anderen also man unser geregelt gibt bei einer Patienten Rede ist die eine Schwierigkeit dass ist die komplizierteste Regen ist aber die andere ist das wir uns dieses Intervall dort Gedanken machen müssen ja gesagt besitzen nur das das das wir dass der Links 0 nicht 0 ist und müssen daraus die Existenz von diesem Intervall J was rausziehen das das die in der ganzen Umgebung von x nun nicht nur müssen sich durch alle gesagt dass wir gar nicht so sehr Differenzierbarkeit und das liegt an der Stetigkeit also diesen differenzierbare Funktionen x 0 alles G insbesondere stetig Hynix Norden das ist das Protokoll war das Einziehen Tag ist nur dieser nämlich waren an die eine etwas was wir über richtig geil gesagt haben das war die y Delta Charakterisierung der Stetigkeit das war so Satz in Kapitel Stetigkeit der Tätigkeit charakterisiert hat im Prinzip nur das was auch die anschauliche Bedeutung ist wenig wackeln Mix die wenig wahrgenommen bin schreibst nochmal im Kurzfilm jetzt der Charakterisierung sagt es stetig in x 0 genau dann wenn wir jedes Epsilon größere nur für jede zulässige es zu beste gebackenes Funktionswert S ein Delta größer 0 die so dass man das X nur nah genug bei x 0 ist also wenn das X Comics nur nicht weiter als bis später weg ist der Funktionswert an der Stelle x nicht mehr als Erzähler und von den .punkt uns werden Stelle 0 der Gäste in die zur und jetzt wissen ob es täglich das heißt dieser könnte man aber auch Geld selbst herangezoomt wählte angesehen war also ein spezifisches Ärzte
war und jetzt nutzen aus das wir wissen dass die von x 0 nicht nur lässt das heißt der Mix 0 Betrages auf jeden Fall positiv oder nicht dass er dir bleibt es positiv Blue also ist das unzulässige selbst über das ist die Idee die diese wissen die wenigsten dass nicht nur damit ist es irgendwie weg von nicht Abstand die Stetigkeit sagt bei uns in der Nähe des ganzen einer von x 0 dann das gehe nicht weit weg von der Verwechslung liegen also uns nennt man muss nicht weiter als gehe von 0 halbe Welt die ein und dann bei einen Sicherheitsabstand von nun an von Lexware Senioren in den 1. Wahl der von Xtra 1 dazwischen und die stetig und hat deswegen so dabei wo sie den Münchner Gruppe Weiße zu diesen Ärzte sagen die zum Welttag USA andere was sag ich Tätigkeit so dass der Abstand von den von X zu geben nix nur kleiner als dieses Erbsen waren also kleiner ist als der Wert von die von x 0 Betrag halte wann immer wieder das X nehmen was dem Intervall x 0 -minus Delta X nur Verluste da und zur Sicherheit sollten wir das noch mit I schneiden bei außerhalb ist unsere Funktion nicht definiert und diesen dann meinen wir ja das ist der Sinn der Waljagd war da und damit dann der 1. natürlichen dass der Hund x 0 in JS ist und jetzt müssen wir zeigen dass für alle x D J gilt dass das geht nicht nur das ist es irgendwie klar für jedes x da drin ist der Abstand zum Betrag von dir nix 0 kleiner als der Betrag von GMX nur halbe ja das bis 0 ist aber bereit die von X 1 nicht mehr es gebe es nur eine abweichen kann kann sich nicht bis zu mir kommen beide so wie verzichten es kann aber auch nachrechnen und was das ist im Wesentlichen die geschickte Dreiecksungleichung umgekehrte Dreiecksungleichung haben die nächsten das können Sie sich kompliziert schreiben es gehe von x 0 -minus geht von X -minus geht von x 0 nur leisten was nicht wir von x 0 1 geht von X jetzt ist stellen an deren Folgen es geht nix Neues neu und -minus -minus geht von X ist gibt es geht von Sachen etwa nur hier Dreiecksungleichung im Gott und die G 3 ist ungleich und war die Betrag differences größer gleich 3 Tore Differenz der Beträge also Betrag von der jetzt Nino ist die von x 0 -minus geht von x Betrag Betrag zu dass Mama jetzt brauche es Gröhes
in der kleinen über den äußeren Betrag weglassen wir von x 0 -minus gehe von dings nur das Genfer nächsten Betrag und Bezahlsender kleiner gleich im eigenen betragen Gott und jetzt 1. was er wissen dass es gehe von nichts Neues und der Abstand haben der zu zudem und X ist eben kleiner als gewöhnlich so halte das der Mann jeweils 0 1 abziehen aber die Sache kleiner Neffe in betreibt und das ist Betrag die von x nur einmal und das ist groß Blumen wird also mehrere Fragen wir von X ist der große 0 man damit es geht es nicht nur denn da das war sozusagen das Vorgeplänkel Gott was uns erst mal die Möglichkeit hat ward es durchgehen ab in der Wahl und Excel anzuschauen und erst dann können wir bald über diese Frage Differenzierbarkeit verhandeln weil es dann wir den Grenzwert anschauen und ist der 2. Teil der Reise die
Quotientenregel in und jetzt ist es im wesentlichen noch den und den Differenzen Patienten der eigene betrachten weiß was müssen wir können müssen die Funktion f durch die anschauen und der Differenzen Quotienten also die Funktion f von x durch den von X -minus f von x 0 durch von x 0 Tore ich X -minus x 0 hässlich aus in der oder auch erst mal keine Lust auf weiteres macht ja wir man das machen haben ja was soll man sonst auch tun um ja da oben ist von x-mal mal die von x 0 Übrige oder sorgen Hauptmänner man x-mal geht von x 0 wenn das er von nix Maikäfer nächsten 0 und das Ganze durch x 1 x mal in tja das ist die normale die einst durch geht von x-mal geht von x 0 vor das ist noch einmal auch von X geht von x 0 -minus F von X geht von X durch x -minus sitzen die einst durch die nix geben nix nur werden nachher die als sich die gerade nennen brauche nicht mehr anschauen was uns interessiert ist der hintere Patienten also die bleiben ja vorne stehen die sind schon gut aber danach X Gigs nur laufen lassen geht es gegen 1 durch die Quadrat zunächst nur das wo man was es werden denn da hinten der Gerichte das rechnen wir brauchen Ableitung von deren Ableitung wir brauchen Differenzen Quotienten Verehrung die und die kriegen wir wenn wir die richtigen Therme dazu nehmen wieder abziehen also ich lass den er von nix geht von x 0 stehen und jetzt wirklich einen Winter er von x 0 geht von x 0 denn bisher nicht im Raum Basel Konzerten wenn ich in der muss sich abziehen und auch wieder zu rechnen natürlich und dann kommt der Tag an dem es schon oben steht das immer schief gegangen ist wie man gesehen haben sehen ich brauch also hier oben stehen und nur holen und hier kommt zielt Noel großer langer ,komma X minus 6 Uhr so wir nur den harten die jetzt aber das war die das entscheidende weg ,komma auseinander wenn sich die 1. bleibt bis 14 die von x 0 ausklammern können und es bleibt übrig erfahren X -minus erfahren x 0 ich X minus x 0 nein geht von links 0 das sie doch schon sehr gut aber das und in den 3. und 4. Summanden Wahnsinn er 19. und was übrig bleibt ist die Rede von x 0 -minus gehe von X durch X -minus x Neuerungen sorgen jetzt kommt ist mindestens so Mann in den besten denn genau das passiert worüber ich ein gewarnt hatte wer morgen geht nichts ohne das G 1 X und unten die Excel sechsmal das war mir das zeigen rauszuziehen also das ist
einst durch die von nix wie von x 0 mal von X minus 11 von x 0 durch extreme 17 Uhr weil von nix oder er von x 0 bis jetzt abgeschrieben ich hier kommt jetzt Minuszeichen hin und hinten gibt das geht von x wenn es geht von x 0 durch x 1 x Zusage sollen Grenzwert von dem ganzen sehen so wäre durchstehen Strich an der Stelle x nur ist der Grenzwert Herr X gegen 10 Uhr und für Wohnraum der bin und das schöne ist es jetzt so weit es jetzt so weit das bei den Grenzwert überall bilden können oder was passiert mit GMX wenigsten x 0 geht es täglich also die die man nix gegen die wir nichts nur also die X nur weiß die ganze weiß also geht geht von x gegen von x 0 wenn sie hielt 1 durch die von x 0 weil die von x 0 stehen was Präsident der Klammer der 1. kurz jenes der Differenzen Prozent vom 1. wenn Sie Ihr XP Mix 0 gehen lassen die das -minus von x nur weil er differenzierbar ist wenn Sie XX 0 jagen ist das denn gehe von X nur reichlich egal wer von x 0 och und der Differenzen hinter geht gegen den Strich von links und was sie jetzt dastehen haben es die Quotientenregel ersticht von x 0 die von x 0 -minus er von x 0 die Stichwahl nix 0 durch die Quadrat mixen und haben uns was was da war wenn es richtig und schieben das schwierige passt für Extras war sind war ja zu kriegen 3. diese lange lange Pause betrogen so wird ganz schnell nach 2 ich würd
gern B 2. Hälfte einsteigen lerne der derweil die Rechenregeln versah bleiben zusammenzutragen wir haben so Protokoll sind hinter uns natürlich kann man damit Funktion noch mehr tun man kann sie und das was uns noch fehlt ist man kann sie noch verkehrten man kann sie denn es geht umkehren und wir beide wir haben gibt es dann jeweils auch aber los Rechenregeln das mag uns jetzt sehr mühsam erscheinen aber die ganze Vorlesung nicht das Rechenregeln macht wir werden diesen Zustand den wir später integrieren herbeisehnen klappt das nicht mehr so schön also der nahm der mit dem Satz Regeln wie differenziert sich komplizierte Funktionen und der nächste also was wie gesagt noch fehlt ist die Frage was es mit der Verkettung von Funktionen mit deren Ausführung und was es mit der Umkehrung und Grady Vergeltung miteinander als Führung ist ganz wichtiges denn was man auf braucht ist es in den so genannten keine Regel was wir dazu brachen 2 Funktion wenn einer einsetzen kann also wir brauchen 2 Definitionsbereich hier beides Intervall I und J in Wahlen er dann war meine innere Funktionen die sei auf ihn definiert oder habe ihre Werte in J musste der den J haben damit wir nachher etwas erwiderte das auf die Werte anwenden können und die setzen wir voraus dass an einer Stelle x nur die Differenz die aber da meine 2. Funktion auf JPG wonach er anfang der setzen das das 10 y 0 was sein soll genau das geht von x 0 differenzierbar ist was und die hat man es natürlich wenn wir jetzt nichts tun es gern setzten und y 0 raus und dann können wir es drauf an werden wir erfahren die von x 0 und wenn die jeweils eine richtige Stelle differenzierbar sind dann hoffen wir dass dann auch f nach die differenzierbar ist und das ist ja also die keine Rede sein dann ist er nach des MX 0 differenzierbar und wir brauchen wir die Ware für die Ableitung was ist die Ableitung von der Verkettung an der Stelle x nur äußere Ableitung bei inneren also in die äußere Funktion leiten die ab setzen Sie Ihre Funktion ein und dann multiplizieren Sie mit der Ableitung der inneren Funkturm ja das ist die Leichenrede sowie gesagt dann noch 2 braunen antiken Rädern wir Angermünde Umkehrfunktion auch hier mit den Beweisen eine Nachricht an mach ich nicht die Ketten regeln Nachrichten vom und um die Gene legen zu beweisen dass es sie nicht sicher Hilfsfunktion anzugucken die 1. 11 kommt ich nenne mal 11 ruht also 11. auf J definiert Flut aber auch und gut ist im Wesentlichen der Differenzen Quotient x 0 also der 2. von y bis er von Y das er von Y 0 durch y -minus y 0 will y aus hat aber nicht gerade y 0 nur bei Apple bislang nur können wir so nicht definieren aber wenn sich über die die Funktion der Roman könnten was passiert wenn sie y gegen y schicken erstellten alle Differenzen Patienten werden vorausgesetzt er y 0 stetig also es sicher stetige Fortsetzung sinnvolle Setzung Zusagen für Y gleich y 0 Bezner das so deftig von der das war nun bin
dann ist das vor stetige Funktion und das Geld wenn Sie es gut multiplizieren selbst sagen dass Y 0 kann dann kriegen Sie es von y wenn es eher von der bisher nur das sieht man in 1. Fall wenn es wird sonnig y 0 sofort her wenn wir einfach nur dass selbst wenn sind nur 0 hoch multipliziert aber ich beharrte diese Gleichung gilt jetzt für alle y in J also auch y gleich y 0 warum setzt es einfach ein er steht einfach nur gleich 0 wenn sie links y zur 0 setzen damit Unrecht auch so die Gleichungen wo man nachher noch den ich mal stören also es 10. 0 differenzierbar das war die Voraussetzung also es es danach stetig in NY 0 zu halten was gerade gesetzt an der Stelle y 0 B und das bedeutet B y gegen y 0 11. 8. von y bis eben E-Strich von y 0 nach Voraussetzungen aus dann das dem stetig es ist gleich dem Funktionswert 1. y nur und das ist er strich von Y 0 der Strich von Y 0 SR davon y 0 das ist die Stetigkeit und jetzt setzen wir noch mal das Trauma nachher auch ein wissen wir Landes gehe von Excel zur die es in x 0 differenzierbar also es geht nichts nur noch stetig das ist wieder der Satz 1 4 differenzierter impliziert stetig zu und damals alles zusammen was wir brauchen sind Differenzen
Konzerten zusammenzusetzen nur nicht ganz alles was passiert wenn man mit x x 0 gehen und es danach von der von X anschauen und blindes 11. 8. von Y wenn die von nix gegen wenn X ging es nur geht gehen nix gegen die von X oder 7 y 0 das heißt da kommt er von y s von jetzt an nur raus oder genauer gesagt 11. 8. von die von x 0 und das ist nach Definition f strich und gehe von X immer das ist die Gleichung 2 Stern und er sie sogar den Differenzen Facetten aus Echsen was brauchen wir brauchen legen das X gegen 10 Uhr wir werden Patienten einer Verkettung also erst nach der von x 0 von also von geht von X -minus 11 von gehe von X nur durch X -minus x jetzt setzen wir die Gleichung Stern einen dennoch ja er irgendwas mit dass er von Y 0 ist er daran irgendwas von Y -minus y 0 also ja Mehr Männer stehen er was -minus sehr y 0 kann das hier so und nun also nach der Gleichung Stern ist das Dach von dem hören was also 11 davon die von x mal y -minus y 0 oder dass eine so dass wir ein neues gehe von X-Men es gehe von x nur durch extremes 6. um sah es ganz weiß dann alle Ministerien 3 Stern sagt der Limes x ging's nur so kann es daran geht gar nix also von den vorderen Teil ist ,komma von deren x 0 ist der hintere Teil der von iX -minus gehe von X soll ich für 6 0 ist einfach der Differenzen Patient werden also steht hier mit 2 Sternen richtig von G von x 0 Komma 1 E-Strich von Nixon und das war die Kellnerin also damit auch die ich hab ich sie mit lauter Ableitungsregeln traktiert rechnen auch an ein Beispiel nehmen und was wir
ausrechnen wollen ist die Ableitung unserer allgemeinen Potenzfunktion bilden sich werden wir lange lange Zeit immer nur rationale Exponenten und das war total albern welcher Dauer doch rumgeritten bin und dann aber irgendwann jetzt vor kurzem die den Rhythmus kennen gelernt damit konnten wir endlich auch X dass er definieren und es gibt es eine Funktion also beginnen aber vor unsere Basis ist fest er größer 0 und wir betrachten Funktionen die wir andere aber und die es gegeben wie von X ist auch extrem an den könnt ihr Sieg sein Essen mittlerweile für und und die Frage ist die differenzierbar und wenn ja was ist die Ableitung und das schöne ist das können wir beantworten jetzt mit der kecken Rede bieten wir hatten wir den AUX definiert aber X war er hoch x weil das war die Definition was jetzt sehen wir diese allgemeine Potenz ist einige Verkettung von 2 Funktionen nämlich unter Exponentialfunktion mit der Funktion x wird abgebildet auf X wollen aber und in dem Sinne können wir sehr auch differenzieren nach der keine hier also den Delphi Strich Na ja wir dem wenn die äußere und die innere Funktion im Satz 11 und gilt also eher von Y ist die äußere Funktion des Rübsen an und gehe von X ist der Exponent ist x-mal allen von A und dann das unsere Funktion dann ist wie genau die Verkettung der beiden also fließt dann 11 macht gilt nur bis nach des sehe doch gehe von exist EOX fallen A und wir können die Ableitung in schreiben was ist wichtig von X also 1. ist damit die differenzierbar bei F und G differenzierbar sind welches diese Lentia Funktion ist der Rhythmus NEG ist x-mal Rhythmus an und das ist Mehr Funktion oder werden konstante Mareks wirklich nicht vorgeführt über die die auch elementar doch ich habe ich hingeschrieben allgemein exogen können Sie ableiten als einmalig 2 1 -minus 1 und dann kriegen Sie in dem Fall raus was fest einfach und die konstanteste davorstehenden sich also wie strich von X ist was ist die Ableitung von 11 an der Stelle des von X mal gerichtlich von X ist die Ableitung von f ist der Klage von Exponentialfunktion ist Exponentialfunktion selbst also ich auch gehe von X mal Strich von etwas ist Gespräch von X nicht welches allen von A wie auch der von X ist er auch x-mal allen von Ar mal allen von an und das kann jetzt wieder anders schreiben EOX allen ist auch X auch x-mal allen von also die Ableitung der allgemeinen Potenz ist die allgemeine Potenz mal allen von der Basis und sie sehen dass passt würden sie als aber allen von es einzeln können sie aber nur von EU Rix ist EOX dort auf die Weise kann man 100 Tausend 100 heftig andere Funktion differenzieren wenn wir noch immer wieder brauchen an allen möglichen Stellen seit Samba ohne Differenz Produkt in der Tube Differenz sowieso O-Quotient Produktkette jetzt die Umkehrung es die letzte große Ableitungsregeln als 1 12 Ableitung der Umkehrfunktion wunderbare natürlich als Voraussetzung dass die Funktion sich umgehen lässt was aber das kriegen wir sehr strenge Monotonie also war
gegeben und der Funktion f r von der formal voraussetzen dass sich stetig ist was auf Intervall I und dort sei sie auch streng monoton man sich den Motor nach mit der Wales hatten wir gesehen dann ist sie umkehrbar subjektiv richtigen CEO Definitionsbereich in unumkehrbar der geformt so dass wieder widersteht wieder monoton und ich sage Ihnen jetzt ist im Prinzip auch wieder differenzierbar außer wenn also wir setzen voraus dass das 11 in einer Stelle x 0 aus die differenzierbar ist und die wesentliche Bedingung ist diese ableite und darf nicht 0 sein also da saß kommt es die Umkehrfunktion wenn Sie von von 11 differenzierter Weise auch die Unterfunktion solange die und die Ableitung der Funktion nicht und also wenn die Ableitung von f nicht 0 ist dann ist die Umkehrfunktion ich die existiert wegen der strengen Monotonie mehrfach -minus 1 ist der Funktion von 11 von ihnen nach wie vor dann ist die differenzierbar Bild .punkt also in y 0 gleich f von x 0 und sie kriegen der für die Umkehr vom Ableitung der Umkehrfunktion die Ableitung der Umkehrfunktion an dieser Stelle Y 0 kriegen sie dann als 1 deutlich er strich von X wird sich also sehr höchst einfache Raumes in dem sich die Ableitung der Funktion her B und dem die einst durch und dann haben sie aber eine Umkehrfunktion müsstest aufpassen Ängste der bislang nur 16 x 0 also wenn Sie das in der Formel für eine Variable bringen wollen dann schreiben Sie es einst durch f strich und x 0 bis 11 Wochen das 1 von y wird dann haben Sie das dann sind beide intern von y ich will jetzt nicht beweisen so ich will noch am Bild ausmalen warum das eigentlich ganz anschaulich ist dass die vorne rauskommen
und zwar wenn man sich doch mal überlegt wie könnte man denn Ableitung ist die Steigung des Grafen wenn der Graph einer Funktion der Graph der Umkehrfunktion zusammen die Spiele gehalten ja also wenn Sie den Graph einer Funktion haben wie der von der X X was dann kriegen sie den Grafen der Umkehrfunktion wie sie den sich die Winkelhalbierende Jahre bekannt und spielen dieses Bild eine Winkelhalbierende nur der hier der geht das schon ganz weit raus was da herauskommt ist dann neues ja das ist der Graph von f auf minus 1 von y er auch von X Quatsch von bin daran Funktion und darunter Funktion sind einfach Spiegel billiger werden und jetzt sehen Sie was passiert wenn die Spiele mit der Ableitung wenn die Ableitung von f besonders klein war Rechtsaußen wird die Ableitung von e vom bezahlt besonders groß und umgekehrt wie sind genau durch die Länder wehren durch der Wert von einander wenn Sie eine Ableitung so haben ist sehr klare Ableitungen dann entspricht das diese Stelle hier und eine sehr steil Ableitung und das übersetzt sich genauer mit Einstig x also 1 durch den Wert an die Steigung der Tangente hier oben beim 1. es 1 durch den Wert eine entsprechende Stelle beim erhoben das einst wir sieht man aber auch warum das Ganze schief geht wenn die Ablehnung des Mondes ja also wenn ich hier ich hab hier paar sichtlich gezeichnet dass die Funktion nicht mit Steigungen nicht an bei mit nun das die würden nur Steigung hat wenn verstehen darf weiter dann irgendwann 0 Steigerung das vom ZDF beiderlei Steigung 0 dann der Krieg der vom wieder seien 7 steilere Steigung und hat dann ohnehin nicht also ist da nicht mehr differenzieren sieht man auch an den Bild dass das nicht funktionieren kann man ganz aber auch rechnen das ist Bemerkung 1 13. wie mal zeigt dass diese
Voraussetzung ,komma von x ungleich 0 nötig ist also sehr Strich an der Stelle x 0 ungleich 0 ist möglich sonst gibt's hier und das Beispiel das klassische ist die Schlagerparade und die Wurzel also wenn immer alles in der Wahl der positiven reellen Zahlen indem er von X gleich x Quadrat das ist streng wurde vom wachsend auf diese Intervall und sie kennen auch die Ableitung der Vorname wollen ausgerechnet die ist 2 x und das heißt wir haben jetzt hier den Fall den ich auftreten darf Estrich von 0 bis 0 ja das dass sie das wieder unter .punkt Stelle 0 was ist die Umkehrfunktion war der Normalparabel auf den positiven reellen Zahlen das ist die Wurzel geht an die es eben tatsächlich in iX 0 gleich 0 nicht differenzierbar also an dieser Stelle an der die Ableitung von 0 bis 0 also wäre die Ableitung der Umkehrfunktion der 0 wäre einst durch die Ableitung der Funktion an der Stelle 0 die ab .punkt und Ableitungen eines schnell über 0 1 durch 1 durch 0 ist schlecht und es funktioniert auch nicht was passiert wenn sie versuchen Gewürze 0 abzuleiten wie also wir schauen uns an den Grenzwert von 0 gegen Rechts wie Bonn etwa -minus 1 von X -minus er vom -minus 1 von 0 durch X -minus 0 das ist der Grenzwert für x gegen 0 von Recht von Wurzel x -minus 2 zu 0 und es nicht nur durch x wir können ein bisschen kürzen der Grenzwert für Links gegen 0 von 1 durch Wurzel x und sie sehen werden endlich groß was dem entspricht das eben die der Graph der Wurzel Funktion nur wenn sie die das ist die
Parabel es werde Wege halbieren spielen kann sie gar von der Wurzel Funktionen unser Leben hier in den würde der senkrechte Tangente wir Unendliche steigern und es dann nicht differenzieren sie daran dass die Parabel Besteigung 0 hat und das übersetzt sich in unendliche Steigung der Umkehrfunktion gut und damit man mehr Fingern so jeder Satz hinter uns wir können jetzt und das ist ein wunderbares Filter das Differenziation Begriffs sie können jetzt im Prinzip jede Funktion und sei sie also genügend Zeit und Konzentration vorausgesetzt können Sie jede noch so komplizierte Funktion die aus Meilenstein Standard Basisfunktionen Polynom der Funktion Rhythmus Sinus Kosinus Cosinus Stangen sonst über wohl groß und allem was er sonst noch einfällt zusammengesetzt ist dann wird alles differenzieren das Denken über 3 Seiten die in der Umgebung zu Vorschrift das ist mühsam aber es geht der sind wunderbar dass hinter der Differenzialrechnung ihr also es geht um stückweise um stückweise definierte Funktion werden wenn sich derweil sie jede Funktion an dann können Sie in meinem Stück muss definiert das natürlich ganz normale entziehen oder den Nahtstellen kommen sich da man sich den Differenzen Wurzeln anzuschauen und ich habe da die ablehnen zusammenpassen nun also den Nahtstellen was muss natürlich darf kein Krieg sein wenn ein keckes dann ist er nicht der einzige war das heißt das muss man dann Differenzen von 10 Handys machen aber auch den Stücken waren sie mit dem wäre Satz alles differenzieren was ihm unter die Finger kommt das wie gesagt sollten Sie auch mal getan haben damit die Hand das von selber kann ein ja dazu gibt es da noch ein 2 Beispiele aber die restlichen eine gequetschte soll man am nächsten Dienstag bis dahin frohes Wochenende und wie dann wer auf Messen Bub
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Punkt
Momentenproblem
Quotient
Zahl
Komplexe Ebene
Stetigkeit
Nullstelle
Kettenlinie
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Ableitungsfunktion
Punkt
BAYES
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Konstante
Punkt
Momentenproblem
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Gegenbeispiel
Homogenes Polynom
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Umkehrung <Mathematik>
Stetige Funktion
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Null
Grenzwertberechnung
Faktorisierung
Große Vereinheitlichung
Exponent
Quotient
Differenzierbarkeit
Träger
Zahl
Ableitungsfunktion
Teilmenge
Quadrat
Arithmetischer Ausdruck
Stetigkeit
Umkehrung <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Betrag <Mathematik>
Quotient
Differenzierbare Funktion
Mathematiker
Potenzreihe
Exponentialfunktion
Gleichung
Stetige Abbildung
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Quotient
Äquivalenz
Achse <Mathematik>
Gleichung
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Quotient
Gleichung
Biprodukt
Vollständigkeit
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Umkehrung <Mathematik>
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Matrix <Mathematik>
Total <Mathematik>
Vektorrechnung
Rollbewegung
Abbildung <Physik>
Gruppoid
Differenzierbarkeit
Linie
Lineare Abbildung
Nullstelle
Tangente <Mathematik>
Raum <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Folge <Mathematik>
Einfügungsdämpfung
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung
Stetigkeit
Quotient
Differenzierbare Funktion
Differenzierbarkeit
Zahl
Mathematische Größe
Quadrat
Länge
Betrag <Mathematik>
Quotient
Prozessfähigkeit <Qualitätsmanagement>
Differenzierbarkeit
Ableitung <Topologie>
Quadrat
Umkehrfunktion
Quotient
Umkehrung <Mathematik>
Stetige Fortsetzung
Ableitung <Topologie>
Cartan-Ableitung
Funktion <Mathematik>
Stetigkeit
Gleichungssystem
Stetige Funktion
Gleichung
Variable
Umkehrfunktion
Exponent
Minimalgrad
Umkehrung <Mathematik>
Exponentialfunktion
Raum <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Quadrat
Punkt
Umkehrfunktion
Graph
Reelle Zahl
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Basisfunktion
Differentialrechnung
Polynom
Umkehrfunktion
Differentiation <Mathematik>
Tangente <Mathematik>
Unendlichkeit
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Differentialrechnung
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 07
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34539
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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