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DGln Höherer Ordnung

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immer so ein das Gelände werden an der TU Darmstadt E 2 damals
herzlich willkommen heutigen Vorlesung und zur Fortsetzung des Abschnitts über Systeme von linear Differentialgleichungen und ich hatte letztes Mal gezeigt dass die Tiere Lösungs Theorie für Systeme wesentlichen sehr ähnlich aussieht wie die von den Jahren gleichen Systemen also brauchen eine Lösung des homogen Systems also rechte Seite gleich 0 und eine spezielle Lösung das inhomogen Probleme müssen dann können sich alle Lösungen der Gleichung der nur den gleichen zusammenbauen als die ich die PC-Lösung plus alle homogen und wir haben uns dann überlegt wie kommt dann die homogen Lösungen an und haben festgestellt also die homogen Lösung sind die Lösungen von der Gleichung y Strich von C gleich A Y von 10. y dann legte aber eine Matrix M wir sind jetzt im Fall konstanter Koeffizienten also das hängt nicht von The Artist alberne feste Matrix und dann hat man festgestellt der am Anfang etwas recht aussehende Trick die Martins Exponentialfunktion zu definieren tut das werden festgestellt die Lösung ist gegeben durch von zu 9 Nullen wobei y 0 der anfangs fällt es mir Fernseher zum Zeitpunkt 0 n sie ist das die gleiche die Lösung und dieses eher hoch aber war einfach definiert als die Matrix Exponentialfunktion also zum einen gleich 0 bis unendlich T hoch in aber auch einen durch n Fakultät das ist die Matrix wie hoch die und was jetzt übrig blieb war die Frage schön und gut theoretisch aber jetzt habe ich nie konkrete Matrix aber wie ich jetzt eher hoch und damit wir uns jetzt beschäftigen und ich die das Ganze an mit dem spielen an der mir das mal durchrechnen dann sehen was die allgemeine Struktur ist und das ist das Beispiel das war ganz am Anfang dieses Abschnitts hatten y 1 strich bis dreimal y 1 +plus y 2 Sie aus er und die 2. Gleichung ist y 2 ,komma ist y 1 von T +plus 3 mal y 2 von 10 das können Sie jetzt als in Matrix Formschreiben und dann kommt dabei raus also dann sieht das so aus y strich y s ist der Vektor sein einziges Land 2 mal die Matrix 3 1 1 3 mal Vektor y von Tilly und die Matrix ist eben das und es ist die Frage was ist ihr auch die ich kann wirklich anfangen Matrix nehmen alle Potenzen ausrechnen dass zusammenzählen das ist 1. unbefriedigend weil alle auch in ausrechnen bisschen mühsam ist das zweitens haben sie dann eben diese in jeder Komponente der Reihe 4 Reihen von dem wieder einen Wert ausrechnen da kann man nur Glück habe dass das gut geht das ist mühsam und da gibt es zum Glück über und wir wie man sich diese Arbeit sparen können und er und also in diesem Fall jetzt und der ist in dem Moment auszunutzen dass diese Matrix für symmetrisch ist und dass sie deswegen geben eine sehr weiß und mal die Eigenwerte von den Dingen zu bestimmen also das sind die Eigenwerte hiervon dass wenn ich ihn jetzt nicht noch mal vor ich auf Sie wissen noch wie das geht also die Eigenwerte von dem Ding sind 2 und 4 V und dann kann man auch die Eigenvektoren ausrechnen also mit Eigenvektoren 1 -minus 1 beziehungsweise 1 1 1 zum Frage wie verweist auf letztes Semester aber was das bedeutet ist dass die Matrix A Diagonale sie über ist und dass sie im 1. Basis 6. machen können wir Ihnen die was die Matrix an und am Start bringt das heißt dieses aber ist mit dem Basis Wechsel der gegeben ist durch die Matrix ist in der die in der die Eigenvektoren stehen also haben die Matrix 1. 1 -minus 1 1 1 mal die der Gundermann 6. der Eigenwerte mal die inverse von dem es muss mal ausrechnen diesen Hall -minus Inhalten habe was er oder sie ganz eigene Werttheorie wieder ein das wichtige ist diese Formel a lässt sich schreiben als 1. mal diagonal Matrix man es auch minus 1 wobei gegeben ein Matrix die Eigenwerte stehen und in dem der Matrix in der Basis Wechsel Matrix ist Eigenvektoren und warum ist das so so angenehm wenn man damit jetzt auch in ganz einfach ausrechnen kann oder relativ einfach was es auch in der nach wer wohl erst mal einfach formelles formales ersetzen auch allen ist es mal des Mannes auf minus 1 Woche und das muss man sich überlegen was stellt steht es mal des Mannes auf minus 1 man erstmal den man es auf minus 1 man erstmal den SMS ein Sonderfall fallen wird immer eine SMS um -minus 1 aufeinander und die fliegen alle raus also das ist es die 1. auch -minus 1 ist sie es noch minus 1 und so weiter es die es auch -minus 1 1 sehen Sie der kürzlich immer in der Mitte die Zeit weg und was übrig bleibt ist freundlicherweise St hoch NS auf minus 1 das ist effektiver damals beim Basiswert schon oft beobachtet haben wenn sie den Matrix haben und die potenziellen man kann sie entweder in jedem in jedem mehrere Faktoren Basis machen oder sie potenziell 1. Mal die Tiroler Matrix hoch und machen dann einmal im bastelt so und das ist jetzt aber nicht mehr so schlimm damit mit diesem Wissen können wir jetzt die Matisse Exponentialfunktion ausrechnen was ist damit er hoch A nach Definition so 1 gleich 0 bis unendlich die auch in auch in durch n Fakultät das ist die Summe n gleich 0 bis unendlich ren S die hoch MS auch -minus 1 durch ein verkohlte so als können sie das Essen das es auch -minus 1 den Songs rechts rausziehen in gleich 0 bis unendlich mal The auch Ende der Woche in der ich in Fakultät es auf minus 1 das ist nichts anderes als Rechenregeln für mit Matrixmultiplikation genutzt die Ohren ist es geladen kann sie dann ziehen also ich schreibt intern auf die nächste Seite also was jetzt hatten war ihnen gleich wird es unendlich ist das ist ihr auch Theater n gleich 0 bis unendlich es mal Theorien aber auch n durch n Fakultät ist auch -minus 1 es kommt wieder so Moment vom ausnutzen können dass wir hier Na wunderbar konvergent Summe haben dann ist das das Gleiche wie es gleich die Summe n gleich 0 bis unendlich die Woch en auch endlich ein Fakultät man es auch -minus 1 1. in
diesen ganzen Zahlen 2 genau der Gag sauer und das Versetzen der Mitte steht ist gerade wie hoch des also es ist nicht nur so dass sie wenn sie potenzieren 1. sie dir wohl eine Matrix durch potenzieren können und den Basis Wechsel machen sollen wenn sie die Exponentialfunktion von TA haben wollen dann können sie erst die von auch die ausgleichen und danach einmal für das ganze Ding übersetzen machen das ist sehr angenehm weil er auf CD ist einfach das war der Satz 13 die ich ihr auch die Diagonale Matrix kriegen sie einfach in dem Sinne auf der die auf den Diagonalen e hoch mal den Eigenwert nehmen also in dem Fall eher hoch 2 Ziele wie hoch 14 über die die 2 4 0 die über 2 0 0 4 und Villa Matrix kann man einfach exponentiellen Gemeinden Einträge exponentiell so und damit es ist jetzt nur noch eine endliche Rechnerei das erhoffte ja das ist mal wie hoch die mal es auch -minus 1 1 müsse halt 3 Matrizen multiplizieren SMS um das 1 haben wir wir CD haben wir auch und wenn sie 314 multiplizierenden kriegen sehen halt mal e hoch 4 T +plus er auch 2. wie hoch 14 -minus ORF 2. wie hoch 14 -minus in ORF 2 C und er hofiert +plus ihrer 2. so und dass was nutzt uns das hier das haben wir immer fix Exponentialfunktion von A und hatten gesehen immer das Gefühl wird der Funktion ist super weil die gibt uns sofort das fundamental System das heißt die Basis des Lösungsraum so und so ruhig in die Gleichung also haben sich fundamental System schon da stehen die Spalten von der Wucht TA bilden fundamental System das war die aus seinen letzten großen Salz also y 1 von TY 2 von ist das fundamental System der Stammsitz er gespalten die halt mal hoch 4 C +plus I auch 2. hoch 14 -minus er auch 2. und Nahal Neo 14 -minus wie hoch 2. wie hoch hofiert +plus ich auch zu der Hochzeit zur Prinzip ist es homogen ist denn damit komplett gelöst werden fundamental System das heißt diese beiden Funktionen sind eine Basis das Vektorraumes aller Lösung ist können Sie jede Lösung kriegen sie einfach die allen Jahr Nation bilden was ich hier noch anbietet wenn man mit dem Ding wirklich weiter rechnen will ist es denn bis hin zu vereinfachen das sind 2 Basis Vektoren wenn Sie 10 Basis Sektoren haben von dem Vektorraum und sie schauen sich das System y 1 +plus y 2 zu 1 1 -minus y 2 1 ist dass wir eine Basis fragt man sich warum man das tun soll was machen Sie es mal den Spezialfall der stellte fest das das deutlich leichter wird das dann nämlich aus Krieges hoch 4 mal 1 1 und wie hoch 2 C mal 1 -minus 1 auf das ist wer diese beiden da oben sind sozusagen ja Kombination von den beiden die beiden Vektoren da unten und die Beine oben erzeugen gleichen Vektorraum das heißt auch dass es fundamental System also das es ebenfalls eine Basis also fundamental System so und jetzt kann eines auffallen und das ist kein Zufall 20 das Fundament Thema genau an was die da drinnen das steht den Lösungen der gleichen verstrich gleich Y drinnen und ganz viele charakteristische Größen von dem finden Sie hier wieder was man die Eigenwerte von die Eigenwerte waren 2 und 4 wo 4 TI auch 2. und was war der Eigenwert Vektor zum Eigenwert 4 der war 1 1 bei ihr auch 14 steht genau der Eigenwerte zum Eigenwert 4 und bei ihr auch 2 T steht genau der Eigenwerte zum Eigenwert 2 das ist kein Zufall freundlicherweise sondern das ist ein grundsätzliches wie grundsätzliche Strukturen grundsätzliches Theoremen und das schreibe ich Ihnen mal jetzt allgemein als 3 14 hin also was Sie brauchen damit es funktioniert ist das Ihre Matrix an deren eine sehr wahr ist sonst geht natürlich diese Methode über die die haben Trixi klar dass er nicht immer die sehen können ist die ganze Welt die wir geradegemacht haben nicht drin aber das Ding die aber eine sehr weit ist dann bedeutet das sie hat ende Eigenwerte dass es um große Linie also einander 1 bis Lander in sind die Eigenwerte die müssen jetzt nicht alle zwangsweise verschieden sein also die Willi Seba heißt ja nur es gibt was das Eigenvektoren das heißt nicht dass sie unbedingt n verschiedene Eigenwerte haben wichtig ist es gibt eben genug Eigenvektoren also Eigenwert noch haben der 3 unabhängige eigene Vektoren hat dann steht der diese Liste ist eben dreimal dran und dann kommt jetzt die 3 zugehörigen Eigenvektoren also sie haben in ihr unabhängige Eigenvektoren das ist das entscheidende so die Eigenvektoren nennen wir mal V 1 bis V N und wichtig ist eben dass es große en in der unabhängige davon gibt dann ist die Matrix der werde sie aber und wenn sie in der Situation sehen in denen dieser waren Matrix dann können Sie das fundamental System sofort hin schreiben Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechnen können denn dann ist die Menge die da enthält er Hochtälern der einstmals V 1 wir Hochtälern der zweimal V 2 bis er Hochtälern der einmal ein in mal VN dies dann fundamental System von der homogenen Gleichung also alle Lösungen der homogenen Gleichung y strich von The gleich A Y von sind linear Kombination dieser ein Vektor bei dieser in Funktion und das insofern ganz er an ganz schönes Resultat kann man eben gar nicht so viel ausrechnen muss um die Differenzialgleichung zu lösen wenn Sie mir also eine Gruppen der homogen in der Erde Franz ja gleich mit konstanten Koeffizienten haben nehmen sich die Matrix her und deren alisieren sie die unternahm sehr fundamental ist sie brauchen die Eigenwerte und Eigenvektoren gut damit ist das homogene Problem gelöst also es gibt jetzt nicht Kochrezept für Marix hernehmen geben alisieren Eigenwerte Eigenvektoren ausrechnen wurde mit heißt es in dem Schreiben fertig wenn man das hat dann ist jetzt natürlich Snack der nächste Schritt dass er morgen den Problemen
also noch mal was ist das inhomogene Problem wird so viel kriegen jetzt eben noch mehr rechte Seite also y Strich von Till =ist gleich a mal y von The das haben bisher angeguckt +plus Mehr Funktionen B von T das ist also der neue an wenn sich zurück erinnern an das was über lineare Gleichungen gemacht haben aber da endlich gearbeitet ganze das ist ,komma wiederholen gelöst und dann kam diese etwas älter in sich widersprüchlich Idee der Variation der Konstanten und genau das funktioniert hier wieder zeitlichen damals schon gesagt worden dass sie in den 1. Problem haben Sie können das homogene Problem lösen dann ist der richtig die richtige Idee um weiterzumachen Variation der Konstanten also was tun wir sie nehmen sich die allgemeine Lösung das Harmonien Problems gucken sich der allgemeinen ja Kombination an und die Konstanten diente der Kombination stehen die werden jetzt variabel gemacht die sondern variieren also wir haben gesehen die Spalten der Matrix Ehebruch T A wie kriegen Sie die können Sie die schreiben das ist er hoch C A G 1 bis er hoch a in allen und E 1 bis E 1 wieder sie dicht an der Basis Vektoren wenn die die Matrix wie auch CA mit dem Standard Basis Vektor multiplizieren kriegen sie genau die Datenspalte von der Matrix raus so als dieses diese n Vektoren diese dann fundamental Systemen von der homogen Gleichung also selbst Landstrich gleich einmal y also ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung also diese Gleichung x Landstrich gleich alt Zählern dies geben als y von TW ist in diesem Jahr Kombination davon eine Summe von 1 bis groß en werden welche konstanten CJ mal er auch CAI J so das können wir nur ein bisschen anders schreiben das ist so Million gleich 1 bis n was steht da skalaren mal Matrix mal Vektor das Gallaher dürfen sie auch nach hinten ziehen an der Matrix dabei jedoch TAC je Art jetzt ist die Multiplikation mit der Matrix ihr auch die adeligen Aktionen also ist es egal ob sie zur 1. Mut auch multiplizieren und dann summieren oder umgekehrt also die die sondern eher auf die vorbei er auch CA mal die Summe gleich 1 bis n c und hat und dieses diese Summe ja gleich 1 bis n c je J das nenn es aber mal den Vektor c wobei C eben der Rektor ist C 1 bis C N zarter also sehen sie die allgemeine Lösung darum gehen gleich und lässt sie schreiben als y von tätig mal e hoch TAZ mit und C aus allen ziel ist es im Prinzip eine beliebige Größe aus allen also was unser Ansatz für die partikulär Lösung für die spezielle Lösung des inhomogen Problems YPF von Tee das ist wieder da typische Ansatz bei Variation der konstanten sie nehmen ihre homogene Lösung ja allgemeine homogene Lösung besteht konstante drinnen und die konstante wird von The abhängig Variation der konstant so das ist der Ansatz und dann schau um meine nach wird es genauso wie letztes Mal wir setzen diese diesen Ansatz in die Gleichung ein und hoffen dass wir Differentialgleichungen für 10 prägen also einsetzen in die Normung in der Gleichung also an alle YPF von das Bier von T soll sein gleich YP strich von da dann setzen wir doch mal YPG normal und YPG einleiten sagte was passiert wenn sie ihn auch TA ableiten das ausgerechnet der passiert genau das was man will da springt ein darunter aber mal im Hoftheater mal von The jetzt das Produktregel und das war jetzt die Ableitung von dem Joch die zum so dass sie auf der A stehen lassen und ist sehr ableiten also IOC am weitsichtig von so auch hier auf der A 10 von e ist wieder YP Phontäne
+plus wie auch Teak Zielstrich Phonty also was wir jetzt wegen dieses kaufen und sich die ganze Gleichung an der Tarnzelt fällt mit dem Term weg das ist genau das weshalb die das Prinzip der Allianz oder konstanten Berlin Angleichung funktioniert und was übrig bleibt ist Merkel einfache Differenzialgleichung 14 nämlich Zielstrich von Till =ist gleich er hoch TA in der 1. also die inverse Matrix dieser Matrix weil wir von Termin Zielstrich aufgelöst und wir hatten bei Rechenregeln für die Matrix Mencia Funktion gesehen die inverse von der Wucht A bis er auch -minus TA also haben Sie diese Gleichung für das sie strich das ist jetzt wieder ne besonders einfache Differentialgleichungen war es nur eine Wahl ist C auf der rechten Seite gar nicht auftaucht das ist eine von der Sorte finde Stammfunktion von wir jetzt halt weg da werd ich aber das heißt wir können das wieder einfach integrieren das C können Sie also zum Beispiel haben Sie natürlich wieder nicht konstante drinnen werden wenn man meiner Stammfunktion aber sinnigerweise den sie von das Integral von T 0 bis T wie er Wochenminus Sa die von der des Decks das ist eine Stammfunktion von von dem von der rechten Seite auch -minus TAB von T nehmen Sie das einfach hoch und Krieg zu und damit am Sitz eine schöne Formel für das Y P also YPS war's YPF von Teva war nach Ansatz wie hoch CAC von T sie von The hatten Belgrad bestimmte Integral von T 0 bis T er hoch -minus S bevor es denn das das ist gut die partikulär Lösung und jetzt haben wir das wieder zusammenpacken der die partikulär Lösung +plus alle homogen gibt eine Lösung des inhomogen Systems und das gibt uns wie bei der im Fall einer Pleite einer einzelnen Gleichung wie der die Geheimnisse vorne oder auch Variation der konstanten vorne also das ist jetzt wieder eine fertige Formel zur Berechnung der allgemeinen Lösung eines Systems vom in Berlin ihren Systems von den Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten also auch da haben Sie die denn explizit Lösungsformel das Ding wirklich auszurechnen ist natürlich nicht aber es war viel Arbeit aber sie machen müssen dass sie müssen erst mal die Matrix Exponentialfunktion von bestimmen dann müssen Sie dies er jeweils der konstanten machen und so weiter aber aber es gibt das ist sozusagen viel viel Aufwand aber es ist keine theoretische Schwierigkeiten das ist klar was man tun muss also der Satz in Vollständigkeit als Voraussetzung Samen Intervall in er auf dem die Gleichung lebt das haben wir im Kreuz Matrix oder die Koeffizienten der Gleichung drinstecken und sie haben rechte Seite des das ist eine stetige Funktion auch mit dabei wie mit Werten immer n so oder Namen Startzeitpunkt T 0 der irgendwo in die liegt und anfangs Vektor y 0 der irgendwo immer liegt und dann ist die Behauptung des Satzes die eindeutige Lösbarkeit der gerade betrachteten Klasse von Differentialgleichungen also y strich mal gleich A Y +plus B diese Gleichung mit einem geeigneten Anfangswerte Schlammfontänen 0 gleich y 0 hat eine eindeutige Lösung und die Lösung ist sogar immer global also es kann hier nicht sowas auftreten wie wir schon gesehen haben dass die Lösung nach gewissen Zeit einfach aufhört zu existieren sondern so lange die Funktion des existiert solang gibt's auch auf jeden Fall die Lösung y also die eindeutige globalen Lösung und für diese Lösung die Zugabe Formel in die chemische Formel y von ist er hoch TA y 0 das ist die Lösung der homogen gleichen die anfangs Gedicht Umweltbedingungen richtig einstellen +plus hoch A Hetz kommt die Nummer die spezielle inhomogene Lösung T 0 bis T wie hoch -minus es aber viel von SDS und das ist die der Welt der Formel 1 und wird sie kann man es damit ausrichten die sieht man auch häufiger mal noch anders in in Büchern oder sonst wie man normal diesen ein Rechenschritt was sie noch machen können ist dieses EOF TA wissentlich von es oder nicht das können Sie das Integral rein und raus stecken wie sie wollen das wird eine Konstante die vor dem Integral steht und wenn sie das machen dann sie auch sehr aber ich mir dass es aber für die letztes Mal nur das schreit danach das zusammenzufassen als er auch T minus erstmal da die letztes mal gesagt sehr aufpassen weil diese schöne Formel I auch am +plus BSE auch aber B nur tut wenn die Matrizen konnotieren aber Thema ist und Thema und es mal die kommentieren weil er mit argumentiert das ist das schöne Fall es geht weil Sie können das auch schreiben als Integral von T 0 bis T er hoch T minus es mal a b von SDS in der Form findet man sie meistens männliche hat auch den Vorteil dass sie nur zweimal den machen 6 Bezahlfunktion drin stehen haben und nicht nicht dreimal allen das ist ein bisschen weniger Rechen aufwarten er gut damit diesem Prinzip dieses Problem gelöst eine fertige Formel diese reinprogrammieren kann und dann spuckt in der Rechner hoffentlich die richtige Lösung aus ich werde nochmal jetzt damit ein Beispiel vor Echsen oder genauer gesagt unser Beispiel von vorhin fortsetzen also wir hatten vorhin ja die Gleichung betrachtet also jetzt Beispiel 3 16 und wir hatten die homogene Gleichung folgende homogene Gleichung gelöst y Strich von Till gleich 3 1 1 3 y von T +plus 1 also der die bis dahin die Erde gelöster oder Service fundamental ist bestimmt was jetzt war wird ist die gleichen Normen der Inhomogenität anreichern also +plus E-Book 2. 0 zum Beispiel und nochn Anfangswerte zuschreiben y von 0 bis 1 -minus 1 1 wir dass wir sozusagen eine Verkomplizierung von Beispiel 3 13 doch Immobilie Teiles der gleichen sie damit anfangs wird dabei und wir haben noch mehr Inhomogenität so und jetzt sieht man gleich dass das im Bösen Rechenaufwand ausarten kann und ich werde mir auch ganz sicherlich nicht nicht in der jedes Detail vorrechnen sonst geschäftlichen also dass wir dort gesehen haben war werden dort die Matte 6 Meciar Funktion von aber ausgerechnet das denn jetzt wieder da und haben gesehen dass es eine halt mal das war dieses Ländliche den immer 4 Filthy +plus er auch 2 ja auch 14 -minus er auch 2. jedoch ihr Ziel -minus er noch 2. noch 14 +plus auch 2. wenn das bei den Mertens mit seiner Funktion und an der Stelle wenn sie diese der Mehr Formel anwenden wollen müssen sie auch wirklich mit der rechten also da er dann dort überlegt dass wir dieses ein einfacheres Fundamentalistin finden den wir da die bei durch die Lande kombinieren dieses fundamental System wo 4 Thema 1 1 und die auch 2. Wahl 1 -minus 1 aber das ist natürlich nicht immer ist wenn zum von also das ist halt anders von und anderes fundamental Systemen und die Formel hier wirklich mit dem er auch die berechnet das heißt die vom wird auch nur wenn es bei ihr auch Ta einsetzen das müssen wirklich mit den Dingen Rechnung Alternative wenn sie ist sagen gut ich mir ist Wahl konstant vom egal nehmen ihr anderes fundamental System das einfache und rechnet für das Ding zu Fuß neue zu einer konstanten durchgeht geht auch und so bestimmt wie dieses komplizierte Ding muss je nachdem
die Frage was gerade angenehmer so was brauchen wir für die Variation der konstanten darum steht sie noch wir brauchen einmal ich auch DAY 0 das ist der leichtere Teil dann brauchen wir dieses Ticketing gerade hinten also meine ehrlich erst mal ein paar mal klein an und rechnen ich auch tat über 0 aus Boostedt y 0 zu 1 0 ist dieser Sektor 1 -minus 1 der die Anfangswerte vorgibt gut das kann man ausrechnen was dann rauskommt ist na so was jetzt zu tun ist denn wirklich nur noch Matrixmultiplikation und Berechnung von Integralen alles was er schon können also das ist ein halb mal eben unser langes-i hoch Dingsda E-Buch 14 +plus ich noch 2 ja auch 4 -minus auch 2. ja auch 4 Termine auch 2. wo 4 C +plus I auf 2. und das wird multipliziert mit 1 -minus 1 der 1 -minus 1 ist schon sehr bewusst gewählt das war nämlich eine eigene Vektor zu dem Zeugnis für welche 4 weg wenn sie die 1. Zeilen den 1. Eintrag wie das den 2. Eintrag dann sehen Sie die auf 4 Titel für sich raus muss bleibt übrig 2 noch 2 T und zwar 2. man halte sich noch 2 T und wenn sie die untere Zeile 1. mindestens 2. Eintrag enthält auch das er hofiert weg und es bleiben -minus 2 auf 2. übrig also -minus er hoch 2 Zehen also doch kürzer geschrieben noch 2 T 1 -minus 1 aber was Sie hier sehen das ist jetzt nur so Anmerkung für die für die Neugierde diese Vektor 1 -minus 1 weil der eigenen Vektor zur Matrix an zum Eigenwert 2 also ich ihr hoch also aber 1 -minus 1 2 Mal ab also diese Werte ist der Eigenwert zum einen 2 und was wir hier sehen ist dieser Welt ist der Eigenwert von Ihnen auch die Art zum Eigenwert wie hoch in hoch 2. die sogenannte spektralen SPD steckt so Respekt spektraler Bildungs Satz also die Eigenwerte von Allah nicht die er hoch e hoch nehme kriege ich die alten Werte von ihr hoch aber ganz witzig Effekt gut aber das ist nur es ist jemandem auffällt dass es kein Zufall so also jetzt habe ich auch die Alzenauer 0 ausgerechnet und das 2. was das für die da jetzt der konstanten Formel braucht ist das Integral von T 0 bis zieht also hier von 0 bis 10 über er hoch 10 -minus Sa mal die von STS das ist der 2. Tag und die beiden muss Muntermacher zusammenzählen guten da bleibt nichts übrig als alles zu rechnen also was passiert hier sehen Integral von 0 bis 10 dann halt mal diese riesen Matrix von da oben jetzt aber auch noch an der Stelle t -minus S also hoch 4 -minus S +plus e hoch 2 Termine ist es eher hoch 4 -minus S R -minus er auf 2 T -minus S wird und hier wieder eher hoch 4 T -minus S -minus auf 2 T -minus S wo 14 -minus es bloß auch 2 T -minus es das ist eben auch Thémines SA das müssen Sie multipliziert mit dem P also mit ihr auch 2 S 0 und integrieren es und jetzt hab ich schon Xtra alles so gewählt das dann möglichst Einfachheit haben wir rauskommen also wenn Sie jetzt dieses Matrix Multi Matrix Vektor multiplizieren dann kürzen er auch 2 es ganz auf die hoch zu -minus 2 es weg und was übrig bleibt ist die hoch 4 t e hoch minus 2 S los er Hochzeit stehe auch ob es dafür natürlich viele T hoch minus 2 S -minus ich auch 2 und das muss man integrieren es wundern Sie sich was soll das integrales und deckte er damit ist gemeint dass integralen jeder Komponente und wenn man jetzt ab das gut ist aber wir müssen die 1. integrieren das in jeder Zeile taucht ein es auf wenn Sie das alles schönmachen dann steht am Ende da ein Viertel wie hoch ihr Ziel wenn Sie hier ist die rechte mit die zwischen plus 2 T minus 1 die Hochzeit wie hoch 4. ja -minus -minus 2 t +plus 1 wie hoch 2 T zur es kann alles zusammen nein also die Lösung dieser dgl ist eben eher hoch DAY 0 +plus Integral von 0 bis T er hoch T -minus S a b von ist die ist die Variation der konstanten Formel kann man sie jetzt intern verlogen und den von gerade eben zusammenzählen alles sortieren dann sollte hoffentlich rauskommen ein Viertel wir hoch 4 14 mal der Vektor 1 1 +plus ich auch 2 T meine Vektor 2 t +plus 3 -minus 2 T minus 5 ab jetzt ja wenn sie Spaß dran haben probieren Sie aus ob es stimmt ich aufstehen wären das ist die die Lösung das oben das ist denn das mit dem vom angefangen haben das ist viel Rechnerei aber das ist es wert weil man kriegt eben explizite Lösung ist klappt bei den wenigsten der Franz ja Gleichung und man kommt nicht drum rum nein ja gut der Versuch es versuchen Lösung zu also die Struktur kann man dann relativ bald raten wenn man mal weiß was die eigenen Werte sind müssen sehen diese 2 und die 4 der Exponentialfunktionen ziehen sich durch aber was da noch so hinter den Experiential steht muss man einfach ausrechnen so das war der Abschnitt über er eine ist die ihnen von dem Differentialgleichungen wer hat angefangen einzelnen Gleichung das man System und das System Erde gesehen wir wirklich das explizit rächen wollen müssen wir uns schon sehr spezialisieren also sind gleich dazu übergegangen nur lineare Systeme anzuschauen und dann auch bei den ihren Systemen gab es schöne Theorie aber keine Lösungsformel zu den Lösungsformel gibt erst hier wenn sie jetzt auch noch die kostet die danach ist konstant halten er also da gibts viele viele Gleichung die man nicht explizit lösen kann aber eben wichtige Spezialfälle wie den hier los geht und das ist auch einer der viel auftauchte und wie letztes Mal schon gesagt selbst wenn es den komplizierter ist was man dann macht ist wenn man sucht sich ne liegen ja das ist in der Nähe ist das und darauf müssen denn die meisten nährungs betont so ich gehe jetzt zurückhaben auf was was ich ganz relativ am Anfang diese Betrachtung wie von tialgleichung gesagt hat Differenzialgleichung ist eine Gleichung wo der Funktion y zusammen mit ihren Ableitungen drin steht die Ordnung der Gleichung das ist die höchste Ableitung die vorkommt und wir haben uns bisher auf Ordnung 1 beschränkt also Angleichung angekuckt Rotschlamm sonst richten auftauchten ,komma schon y 2 Strich können wir nicht mehr also schon die einfache Differentialgleichungen y gleich y 2 Strich habe bisher nicht behandelt aber er will das kann so nicht bleiben weil zumindest Gleichungen 2. Ordnung 100 Stellen auftauchen und einer der Hauptgründe warum zugleich und 2. Ordnung so wichtig sind ist das Grundgesetz den Juden schlich Hahlweg Kraft ist Masse mal Beschleunigung das ist die Beschleunigung die Beschleunigung ist die 2. Ableitung des Orts also also die die wissen das Teilchen ist zum Zeitpunkt t an der Stelle x von T dann können Sie die Geschwindigkeit in dem sie einmal auf derzeit ableiten und ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit also dass die Abende Geschwindigkeit dass die Beschleunigung geschlagen ist enorm der Geschwindigkeit also die 2. Ableitung der Funktion und dementsprechend wann immer sie in der
klassischen Mechanik in deutschen ich haben die von tialgleichung auf den die Teilchen durch Kraftfeld fliegt kriegen sie Kraft ist Masse mal Beschleunigung und sag kann 7 2. Ableitung Vergleich also weitere ankommt ob ich um dementsprechend ja das heißt sie die Bewegungsgleichungen gekleidet in der Robotik oder wo jeder sich Bewegungsgleichung bis die gleichen 2. Ordnung das heißt sie müssen uns irgendwie auch ungleich und wir Ordnung körperlich hat dem am Anfang gesagt was man macht Angleichung höherer Ordnung zu behandeln ist man führt sie auf die Gleichung 1. Ordnung zurück das es gibt dem Träger mich jetzt vorführen wie man Gleichungen höherer Ordnung zu Gleichung 1. Ordnung machen kann das sehr wie Zauberei an und wenn das so genau so wäre dies jetzt sagt es auch seltsam weil es ein ein Verstoß zu sein scheint gegen des empirische Beobachtung dass ist dass er halt von der Komplexität des Rechenaufwandes geht also etwas kompliziert ist dann kann man sich durch Umformung wirklich einfacher machen werden das ist auch so das heißt müsse Preis zahlen der und der Preis den wir zahlen müssen es wenn Sie die Gleichung Enter Ordnung haben das umschreiben in Gleichung 1. Ordnung aber in Stücke also eine gleiche Ente Ordnung wird ein System von Gleichung 1. Ordnung wird wenn es heißt will werden und das gleich wieder im Bereich des ist die immer wieder finden und das es dahinter steckt eben dieses in diese empirische Beobachtung dass das vom ein Gehalt der Komplexität des Rechenaufwandes also sich jetzt zeigen will ist der Trick wie sie ganz allgemein die gleichen Enter Ordnung in ein System von Gleichung 1. Ordnung umwandeln und das ist der Abschnitt 4 von diesem Differenzialgleichung es Kapitel also des überschrieben Differenzialgleichungen höherer Ordnung und das Programm hab ich ihn gehört beschrieben so und ich erzähle Ihnen noch was die Idee ist schreiben uns noch mal hin ganz allgemein das ist ne DGL Ente Ordnung das ist jetzt ein Rückgriff auf das eine 1. Motivations Kapitel zu den Abschnitt die GdL Ordnung war der Gleichung der Form die Ente Ableitung von y ist eine Funktion die davon The selbst abhängen von y von y Strich von Estland ,komma und so weiter bis zum Ende des 1. Ableitung von y für Tee aus einem Intervall I und damit wir wirklich etwas Neues haben es jetzt also größer gleich 2 ist mit Heine von der und dem Intervall und diese Funktion f das eine Funktion die es auf I definiert und hat noch in weitere Variablen die man eben die Werte von y von Ted verschrieb von Tipps und so weiter diese entwertet der Ableitung von y einsteckt und geht nach R und dieser steht das das hier ist wieder eine Gleichungen eine Gleichung Unterordnung und die wollen wir jetzt schreiben in ein System von Gleichung 1. Ordnung ok ja und ist ja aber mehrfach betrachtet wenn das groß F nicht von t abhängt Bands autonome Gleichungen und so weiter so und der ganze eklig ist das ist die Folge Besetzung der definieren uns ein Vektor v von T die mit in Komponenten also vor 1 von TV 2 von Tilly Frau 3 von TSV Infanterie und wie definieren wir uns gehen V 1 von The ist ein Verbot das y also V 1 ist das so wie wir hier sind was wir haben wollen dass y sie kleine und löst und alles was ist und drunter kommt sind Hilfsgrößen was interessiert ist die 1. Komponente von Frau so und die 2. Komponente von Frauen in Wels Landstrich von Tee und die 3. dem wird ganz ,komma von Phonty und so weiter bis Ende des 1. Ableitung von T also das Frau enthält nicht nur das Y sondern eine Ableitung von y bis Ende des 1. Ordnung so was wir jetzt machen ist wir schauen mal welche Gleichung für dieses Fach könne Fachfrau ableiten das TV nochmal ableiten können sollten ist klar damit das Y Lösung von unserer Gleichung Enter Ordnung ist sollte sollte natürlich neben der Ableitung von y existieren der Lösung von dergleichen in Ordnung sollte einmal differenzieren sein sonst wirds schwer mit Lösung das heißt wir können dieses Frau da noch einmal ableiten und wie leitet man Sohn Vektor ab in man jede Komponente ableitet was passiert also was ist Frau ,komma von The jeden der werde von jeder Komponente also vereint Strich vor 2 ,komma und so weiter das V einstrich steht oben drüber was das ist V 1 y also das Frau ein Strich y strich vor 2 Sitzen Anstrich also des Forts ,komma y 2 ,komma und so weiter und die unten taucht dann y n auf Mehr wenn Sie im das ist aber normal bleiben kriegen sie die Ente so und das es ist natürlich das Ziel wollen der Fernseher gleich für Frauen haben also so aber alles wieder dich V auszudrücken y Strich ist was in Frau Landstriches einfach vor 2 y 2 weichliches vor 3 ein und so weiter y n -minus 1 Strich ist was das in der letzten Zeile das YT stehen y entstehen dass die in Ableitung aber es die n-te Ableitung ist das wissen wir besteht noch hier die Ente Ableitung ist gegeben durch 11 Frauen y solch eine Lösung sein also steht hier erfahren The YY strich und so weiter aber was ist y y ist V 1 er zu ,komma V 2 und so weiter es verändern wenn Sie jeweils von T 1 zu 8 und was wir damit da haben es also wenn unser Y diese gleich wieder darum löst die gleichen Ordnung dann löst das Frau diese Gleichung hier unten ,komma =ist gleich vor 12 aber bis vor n und 11 und in der letzten Kolumne hatte und das ist dem 1. Ordnung untertauchen Frauen noch mehr 1. Ableitung auf und das ist dem 1. Ordnung sogar relativ einfach ist ja die zumindest die 1. N -minus 1 zeigen sind einfach Frau ein Strich gleich v 2 v2 strich gleich v 3 V Strich glich V 4 und so weiter die ganze Komplexität steckt der letzten Zeit also wenn nervig ist weil was uns interessiert ist er nicht nur die 1. Zeile was wir wollen ist vor allem für vor 5 es uns völlig egal wollen vor 1 haben aber um vor 1 auszurechnen braucht man vor 2 und vor 2 ausrechnen braucht man vor 3 oder vor als vor 4 und dem Mann so muss man sie hat alle alle ausrichtet ,komma nicht ob ja das ist wieder Gesetz von der Art des Rechenaufwandes aber immerhin kann man das denn umschreiben im System 1. Ordnung und es ist auch genau dann wenn also wenn Ihr Fall auch dieses System hier und löst dann ist insbesondere siehe letzte Zeile VA die Ableitung von v n ist dann diese rechte Seite der von vns aber die 2. Abrundung von Fall -minus 1 und so ist am Ende die Verwendung von VN die der Ableitung von V 1 und dann haben sie das Einzellösungen ist also wichtige Beobachtung ist dass hier ist 1. Ordnung und das 2. wichtige ist das ist mir genau dann wenn Beziehungen y löst die gleichen Enter Ordnung genau denn wenn Frau dieses System von Gleichung 1. Ordnung löst das das Erste was ich Ihnen jetzt gleich noch formal sauber beweisen will er davon machen erst mal kurz aus ich war damals der 2. Hälfte loslegen wie gesagt das Programm des 1. mal nachzuweisen dass diese um Frauen hier tatsächlich das den Problem äquivalent umformt also nennen wir die Gleichung die wir eigentlich lösen wollen hier oben
mal Sternchen und das ist den weiter unten und dem nicht zeigen würde dass es das gleiche 2 Sternchen und der Satz 4 1 ist dann kurz formuliert also y ist sorgen von den ursprünglichen gleich und es interessiert von der allgemeinen gleichen Ente Ordnung genau dann wenn Pharao Lösungen von dem System 1. Ordnung 2 Sternes können und SV natürlich so gesetzt und der das Ziel warum man das macht es klar immer die gleiche Ente und lösen will löst man die Gleichung das ist dem 1. Ordnung oder das ist dem 1. Ordnung hat dann hat man n Lösungen in den in Koordinaten die 2. bis Ende interessiert keinen kein meterdicken sind Mülleimer werfen was wir dem ist das vor 1 2 des Vereins ist es y das schwarzweiß einfach so ,komma das ist dann also dann von dem Frau interessant es ist nur die 1. Komponente so weisen wir das die eine Richtung haben beim Prinzip bei den Überlegungen geradegemacht werden y Lösung von Stern ist also von der Gleichung von der allgemeinen Gleichung enden in der Ordnung dann muss nachdem unsere Definition von Lösungen das Y Quatsch das y n mal stetig differenzierbar sein kann wenn das y n mal stetig differenzierbar ist das ist die Argumentation von gerade eben dann ist die Funktion Frau der ist y y strich SYN -minus 1 die ist dann noch einmal stetig differenzierbar unter Umständen auch mehrere mal mindestens noch einmal ja jetzt vor es ist die Rechnung von oben bis diese Funktion die Rechnung noch da steht die Lust an 2 Stellen so dass 2 Stern gemacht die spannende Richtung ist die Umkehrung also dass wir zeigen wollen es wenn Sie Frau haben ein ,komma differenzierbar dass diese Gleichung erlöst dann ist die 1. Komponente von Frau das ursprüngliche Problem oder muss man es ein bisschen mehr argumentieren weil sie zum Beispiel von dem Frauen wir wissen dass es einmal ,komma differenzierter ist als Lösung von dieser Gleichung sie müssen dabei den der 1. Komponente von Frauen nachweisen dass sie in reichlich differenziert ist sonst kann sie keine Lösung der ursprünglichen Gleichungen sein das hier brauchen ein 2 Argumente Mehr also andere
Richtung 2 also Frau der Lösung von unserem das ist dem 1. Ordnung dann sind alle Komponenten von V 1 bis vor in jeweils ein ,komma differenzierbare Funktionen auf wie nach Definition von Lösung das ist dem 1. Ordnung also ist die Lösung auf jeden Fall einmal so geht es natürlich die Behauptung der dass das V 1 das ich mal y das dass die ursprüngliche Gleichung löst und was wir erstmal nur wissen ist dass das den C 1 ist und y löst die 1. Zeile unseres Systems das bedeutet y strich was da ist V 2 also was der S y 1 strich das ist vor 2 Verein strich das ist vor 2 wir das ist die 1. Gleichung von dem System und damit ist man V 2 wissen wir es nicht einmal stehe ich differenzierbar das ist hübsch weil das bedeuten dass Landstrich noch einmal für die Fans jeweils mit das heißt also dass y sogar zweimal sich jeweils über ist wir sehen Sie so kann man sich da langsam hochhangeln sein möchte ich differenzierbaren das mit y zweistellig bepflanzt ,komma ist siehe oben falls ,komma aber vor 2 ,komma ist nach unserm System genau vor 3 vor 30 richtig differenzieren klar zu werden können Sie sich jetzt das gleiche Argument immerhin schreiben nein ich kenn loszueisen kürzt des A dann ist Y Aust in meist ich differenzieren das Argument immerhin geschrieben haben und was ist mit der Enten Ableitung die ist dann die Ableitung von v n und jetzt kommt die letzte Zeile von unserm System die Ableitung von vns 11 von V 1 vor 2 es das war die letzte Zeile vom System so und jetzt können sie gar die alles rückwärts einsetzen das ist eh von The was ist V 1 2 1 2 nach Definition y was ist vor 2 von 2 Sitzen Anstrich vor 30 zu uns ,komma und so weiter bis y N -minus 1 was jetzt dasteht ist y des ,komma differenzierbar und die in der Ableitung er für die gleiche also kommen sie auch zurück also ist y der Lösung vom ursprünglichen Problem Sternchen SAD bekannt das ist ein ganz allgemeines Verfahren für beliebige Gleichung in Ordnung das heißt man immer müssen die Gleichungen Enter Ordnung haben können sie auf die Weise zum System 1. Ordnung machen und das der Grund warum ich ihn am Anfang von dem Abschied gesagt hat wir gucken uns erst mal nur 1. Ordnung an weil alles andere folternder draus internes seinen hohen Rechenaufwand also wenn wenn es n groß ist kriegen Sie hier eben die Größe des Endes der größere das ist denn das ist klar kriegt nichts geschenkt aber man kann ebenso wie des für die Theorie sich auf 1. beschränken und er ja auch auch für die Frist für die Berechnung sobald man weiß es dem 1. Ordnung berechnen kann kann man damit auch Gleichungen Ämter Ordnung brächte sodass man sieht dass das gut funktioniert schauen wir uns mal wie vorher auch ein Spezialfall an nämlich wieder Spezialfall lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten Vorteil davon ist da kann man alles ausrechnen und es ist keine große Überraschung dass man sie lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten in Ordnung nehmen dann fallen sie wenn Sie die Reduktion auf es ist den 1. Ordnung machen auf ein geniales System mit konstantem Koeffizienten zurück wir werden sehen dieses dem ist sogar nicht irgendeines und das hat eine ganz spezielle Struktur hat und ist damit noch einfacher zu lösen und dann kriegen Sie einen für diese Gleichung wirklich sehr einfaches Verfahren raus immer gelöst nun das zeige ich Ihnen jetzt also was es sind die Gleichungen die wir hier betrachten allgemeine Form das jetzt kein System seine Gleichung Begleichung Enter Ordnung ist tauchen die Ableitung von dem y der in Ordnung auf aber alle nur linear und die Koeffizienten davor sind konstant also was sie kriegen ist mir gleich in der Form in der Ableitung oder so +plus würden konstante Koeffizient 1 -minus 1 mal die N -minus 1. Ableitung +plus und so weiter in konstant konstanter Callcenter A 1 weil die 1. Ableitung großen konstante Koeffizient an 0 mal die Funktion selber ist gleich der rechte Seite die von TG also es wäre die ganz allgemeine Form einer linearen Gleichung Enter Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann die ganze Theorie wieder anwerfen also wenn das die Phontänen und das haben sie homogene Gleichung ist die da heißen sie in homogene Gleichung der also die ganzen Begriffe ziehen ja auch also die gleich 0 nennt man die Gleichung um umgehen und für die ungleich 0 die Normung gehen das ist den gleichen Begriff für so wie vorher auch und was wir jetzt machen wollen ist diese Gleichung wie sind gerade skizzierten Verfahren umschreiben System 1. Ordnung was passiert dann also was müssen wir tun wir ja die ihn gesagt dieses ganze umschreiben im System 1. Ordnung beruht auf einer Idee und da
es das einen für diese Funktion V auch also definieren V von als diesem Vektor y von TY Strich von T jetzt ganz ,komma von t e n s y n -minus 1 TI und dann schauen Sie nach was bei die gleichen Effekt dieser Welt und in Monteverde der Annahme y löst die Leichen Unterordnungen können sie einsetzen was kriegen wir daraus also rechnen sie vollständig aus ,komma weiter Vektor von y 1 sein Ableitung also es steht jetzt der 1. Koordinate steht y Strich in der 2. Stadt jetzt Landstriche Zimmern zweistellig und so weiter dann kommt irgendwann y n -minus 1. Ableitung unterdessen Komponente die n-te Ableitung und der wissen wer was wann y ja die naja dir Ursprungs Gleichungen löst außerdem ist in der 1. Komponente steht da geht y strich was y strichen voraus Frau ist ,komma und so weiter das heißt es ,komma es einfach vor 2 zu uns ,komma ist vor 3 dass die gleiche Struktur wie von ihm y n -minus 1 SVN so und es kommt y n und es müsste die Gleichung einsetzen also eine gleiche noch meinen zu Erinnerung gleichen war in der Ableitung von T +plus 1 -minus 1 N -minus 1. Ableitung von T nur so und so weiter +plus A 1 1. Ableitung von y +plus 1 0 Funktionen gleich die von Till um das war die Gleichung wenn Sie das 1. einsetzen wolle müsse den ganzen Lohn der mit ein -minus 1 anfängt auf den linken auf die rechte Seite bringen und dann bleibt er stehen -minus 1 0 mal y was y des Vereins -minus A 1 man y strich das ist vor 2 -minus und so weiter bis 1 -minus 1 y n -minus 1 y n die Ebene des 1. Ableitung von y des VN und bplusg von T ab ok so das sieht jetzt ganz ganz furchtbar aus ist aber eigentlich nicht was darstellt ist im System er muss ist sie tief in die Nacht nach diesem über diesen Sektor aus und alles aber was die ist System von Gleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und die Matrix die dahintersteckt ist hat gerne sehr einfache Gestalt also das 1. Mal ist wichtig sich klarzumachen dass ganze hat die Form konstante Matrix mal auf und wie +plus b von Phontäne 1 ist die Frage was es an was ist B von T für sowas ist ja ok die ihnen Frau Sprichworts ,komma weiter gleich mal also müssen diese Rechte Seite schreiben als an einen Vektor v 1 V 2 Fahrer vor 4 und so weiter ok also in der 1. Zeile muss stehen mit was müssen sie den Vektor v 1 v2 v 3 und so weiter multiplizieren damit V 2 rauskommt wir müssen multipliziert mit der Spalte mit der Zeile 0 1 0 und so weiter 0 1 wenn Sie diesen Sektor die sieht die sich Zeilen multipliziert mit 2 zwar 2 fordert vieles verändern wird vor 2 aus so 2. Zeile muss vor 3 herauskommen wie kriegen Sie davon 3 aus 0 0 1 und dann kommen wir bei der manuellen und so weiter also was sie kriegen es sollen neben der Wunderheiler Eigensinn wir Kinder 0 3 da oben dieser auch 1 0 das einzig sie der letzten Zeit so es ist die letzte Zeile Frau entspricht es dieses Riesending und das ist aber nicht linear Kombination oder das ist auch von der Form Koeffizient mal vor 1 +plus zehnmal vor 2 +plus +plus +plus Koeffizienten EVN also was hier Krieges einfach -minus 1 0 -minus A 1 -minus A 2 und so weiter bis -minus 1 -minus 1 und dann gibts auch das Bier von C so Bier von The ist die Inhomogenitäten auch dies nicht irgendwie sondern die hat oben oder 0 und der letzten Zeilen die von also wir kriegen aus dem System 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und ich mit irgendner Matrix oder der ganz speziellen Matrix die dieses Format und damit extrem viele Nullen das es gut wenn wenn sich dran erinnern was müssen wir tun um das System 1. Ordnung zu lösen müssen Eigenwert und Eigenvektoren von der Matrix ausrechnen und er auch die bestehen und da können Paare 0 immer drohender drin und so angenehmer und auch die rechte Seite des ist man nachher Variation der konstanten machen will relativ freundlich weil das in viele Nullen drin so also das ist das System die lineare Gleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten also in der typischen Art die man dem Mathematiker nachsagt was neues kompliziertes auf was bekanntes zurückgespielt das Problem gelöst können heimgehen er im Prinzip ja aber es lohnt sich da noch mal drauf zu gucken weil diese gleich diese Matrix aber hat eben diese spezielle gestalten sich das länger anguckt und ich will die Rechnung jetzt nicht vorführen ich sage Ihnen oder oment war wenigstens nicht Noel doch dort machen noch er sie können zusammen diese Matrix zu weil sie so schön einfach ist eine Blut voraus das charakteristische Polynom durchrechnen allgemeinen Fall und kriegen dann raus wo sie die Eigenwerte herkriegen ohne dass sie jedes Mal die Matrix aufstellen ist das man noch aber sie zuerst machen will es ja Na ja was man macht wenn man Wasser was bekanntes zurück gespielt hat also dieses gleich die Sie da oben der Klammer noch steht diese Gleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten linear und konstant gute 10 ist damit meinte man sich gleich schwierig wie sie es denn den 1. ist dem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten das heißt alles was wir sozusagen zum Thema Lösbarkeit und einer Lösbarkeit gesagt haben gilt hier 1 zu 1 und das fast normalen Satz für 2 zusammen also das ist sozusagen die Lösbarkeit Theorie zu diesen Gleichungen und dass man sagt wenn man es wirklich rechnen also sagen wie den Intervall wie sie haben diese Koeffizienten a 0 1 bis A 1 -minus 1 ist einfach wieder eine Zahl die vor dem Funktion stehen und sie haben die Inhomogenität das ist ne Funktion auf nach ergeht und stetig ist zur und dann gilt brachte für die gleichen die wir gerade hatten also für die Gleichung schon normalen in der Ableitung von T +plus A 1 -minus 1 N -minus 1. Ableitung von y +plus und so weiter A 1 mal zu ,komma von T +plus 0 mal y von täglich von Till also das ist die allgemeine Gleichung in der von seinem Konzern 1. Ordnung und jetzt können sie einfach alles was das Systeme von die Angleichung Wissen übertragen also wenn sie den Humor den Fall haben also wenn wir gleich 0 ist dann ist die Menge aller Lösungen in Vektorraum man das war die schöne Eigenschaft Superpositionsprinzip wenn Sie 2 Lösung von homogen in Angleichung haben es diesen Jahr Kombination immer auch Lösungen also das ist dann ein unter Vektorraum in dem Fall jetzt vom Raum CN wir und sie wissen auch was Dimension von den Raum ist nämlich in also die gleich in der Ordnung und wenn er mit Kunst sein Koeffizienten homogen hat immer als Lösungsmenge Lösung einen Raum ein Vektorraum in dem von Dimension N und klar das heißt am Ende der unabhängige Lösung wieder wieder fundamental System und wenn sie jetzt anfangs werde dazu haben dann können Sie mit den in die konstant eliminieren Fluss eindeutige Lösung und zweitens auch das gilt hier
über überträgt sich von den Systemen wenn Sie das in der Moderne es ist dem anschauen also wenn Sie eine partikulare Lösung YP haben eine Lösung des mobilen Systems dann kriegen sie alle Lösungen des inhomogen Systems so ist jede Lösung gegeben in sie sich diese einen nehmen und alle Humor den Lösungen drauf ID El also des Landes bislang P +plus y H wobei y eine Lösung des Homo geben Sie es dem System das ist da genau wie vorher genau überlegen wie ein Gleichungssystem wieder die gleiche Struktur wer gesehen haben sowieso eine Gleichung Ente Ordnung ist nichts anderes als Unsinn also ein spezielles System mit konstanten Koeffizienten erst dort so es kann als die gleiche Begriffsbildung machen Definition 4 3 also wenn sie wieder den Raum diese Menge L aller Lösungen jene in denen wir gesehen dass es ein Vektorraum und jede Basis dieses Vektorraumes denn wieder einen fundamentalen stehen Situation wie vorher zu haben diesen ihre Lösung denen Vektorraum und dann ist natürlich interessant nicht den ganzen Vektorraum auszurechnen sondern der Basis dann hat man ihn und das geht immer nur für die homogene Gleichung und dieses B dieses YPG P das nennt man nur spezielle oder partikulare das Gleiche einfach den Nomenklatur überträgt sich zwar wie schon da nur ein Beispiel und anhand von den sieht man schon so mies wie der Hase läuft nach Mitternacht 1 droht voraus der allgemeinen es also das müssen wir tun was hab ich für Beispiel dabei wie gesagt der interessanteste Fall von einer Gleichung höherer Ordnung seine gleichen 2. Ordnung wir das das das meiste vorkommt und also den wenn man das verallgemeinert halten in dem man sich erst mal den Next einfallen Spezialfall als wenn eine Gleichung 2. Ordnung y 2 ,komma von T +plus y Strich von T -minus 2 y Phontäne gleich 0 also das ist in dem Fall der homogene Gleichung homogene Gleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten das A 1 ist ein 10. 1 0 bis minus 2 The ist jedes Intervall ihn immer ganz R Zonen und sie Anfangsbedingungen will Anfangsbedingungen brauchen Sie brauchen 2 mehr aber gerade festgestellt der Lösungsraum wird die Lösung diese Gleichung hat ein Lösungsraum sehr homogen ja gleich und so also sind die Lösung ein Vektorraum des Dimension 2 und wenn Sie diesen Weg hat eine eindeutige Lösung haben wollen dann brauchen Sie 2 Anfangsbedingungen nämlich eine für die Funktion selbst und eine für die Ableitung der
Funktion können Sie setzen setzen also also wir suchen Lösung die Stelle 0 3 1 und der Steigung so und jetzt können wir unser Verfahren durchziehen das müssen wir tun wir definieren uns diese Funktion Faro das war der ganze trägt seine die ganze Idee mir passiert nichts und dies y von TY strich von Till und dann guckt man mal ich Gleichung dass Frauen ist also für alle die für die das jetzt bisher zu viele Symbole waren die 1. ganzen ein Spezialfall ich hoffe das sieht man wirklich was passiert also Frau strich es war es ,komma ist y strichen y ,komma y Anstrich bis V 2 und y 2 ,komma ist nach nach dem y 2 strich die Gleichung oben löst zweimal y von T -minus y strich Phontänen ich kann Sie ganzen Frauen formulieren dass vor 2 hier oben y des Vereins zweimal vor 1 von T minus vor 2 von 10 so und das ist jetzt unser System mit konstanten Koeffizienten schreiben Matrix Schreibweise das steht da da steht 0
1 2 -minus 1 mal Frau Phontaine kann und das ist die Matrix A 10 verstrich =ist gleich an meine Frau und da oben links diese 0 ist kein Zufall sondern das ist in der Version von System der Ordnung und schreiben dann kriegen Sie in diese vielen Nullen das ist der große Vorzug davon zur was muss man tun wir müssen wir auf die ausrechnen also schauen wir mal wie das den Eigenwert ist die Eigenwerte von da muss man kurz rechnen die sind 1 und -minus 2 und die zugehörigen Eigenvektoren sind 1 1 und 1 -minus 2 gut und wenn man das hat 2 wichtiger normal umgehen also muss man mal gut sieht also die Eigenwerte waren 1 und -minus 2 und die zugehörigen Eigenvektoren 1 1 und 1 -minus 2 die schreibt das nochmal so hin das man sieht wenn Sie zu zeigen dieses System von Gleichungen lösen wollen dann ist es schwierig alle sehr anstrengen Teil der Rechnung der bis hier und wenn sie die Eigenwerte die Eigenvektoren haben dann können Sie es fundamental System sofort hinschreiben so es ist es fundamental den 5 V und für Frauen ist dann sie neben ihren Eigenwert er Wochen Eigenwert mal also ich auch einmal Tee und multiplizieren das mit den zu wegen einem Vektor dem sind Zeiten Eigenwert er hoch Eigenwert mal er sie auch -minus 2. wir multiplizieren das dem zugehörigen Eigenvektoren und schon steht Fundamentals ist in da das sind immer diese 1. Zeile haben das ist nicht mehr schwer das Fundamentalisten schreiben was bedeutet dass das ist das fundamental System ist eine Basis des Lösungsraum also können sie es hinschreiben was alle Lösungen sind Frau von The ist eine Konstante C 1 mal er auch die mal 1 1 +plus eine Konstante C 2 weil er auch -minus 2. Spiel mein 1 -minus 2 Uhr was ist aber Frau ist es wichtig sich zu erinnern Frau sozusagen von Tweets ,komma von Tilly das heißt die 1. Komponente von Frau ist das was wir wollen ist es jetzt dass die ursprüngliche Gleichung löst das heißt sie können jetzt direkt ablesen was eine Lösung für y sind nämlich genau die 1. Zeile also C 1 er hochziehen +plus C 2 wie hoch -minus 2 Kiew ich ja oder mit haben sie ihr fundamentales ist denn das es fundamental System für Y steht damit auch da wenn Semester oben die 2 Basis Sektoren stehen er auch die und ich auch -minus 2. es könnte noch die Anfangswerte einstellen also ich den 1. anfangs wird kriegen sind gleich war 3 =ist gleich y von 0 das y von 0 1 von 0 ist C 1 mal die UG 0 SC 1 mal 1 +plus C 2 dass die 1. Gleichung brauchen weil das Landstrich von 0 dazu brauchen wir erst mal zu ,komma von The was es ist ,komma von C des SC 1 mal wie hoch die -minus 2 C 2 e hoch minus 2 T also Landstrich von 0 das sollte sein gleich 0 das ist dann C 1 -minus 2 C 2 was auf die Weise kriegen ist also ein Gleichungssystem C 1 +plus 10 2 gleich 3 und C 1 -minus 2 C 2 gleich nur dass Linie ja Australiens ist denn ich hoffe das kriegen Sie noch hin das ist sie sehen das ganze Kapitel geadelt aus zu einer wilden Wiederholung ein merkwürdig denn Algebra nicht umsonst wie sie die ja immer gemacht bevor man Differenzialgleichung macht und da man das löst dann kommt raus C 1 ist 2 und C 2 S 1 also haben sie jetzt endgültig die Lösung des Anfangswertproblem ist gegeben als y von T gleich zweimal in die hoch T los einmal EU -minus 2. Sarah damit ist das gelöst mittels dieser Methode Reduktion auf mir vom auf gleich offen System von Gleichung 1. Ordnung und ihr denn schon gesagt und das sieht man ja auch von dass es sich vielleicht lohnt mal zu versuchen das allgemein durch tricksen weil in diesem fundamentalen stehen für die Lösungen der Gleichung Ente Ordnung stehen immer noch penetrant diese Eigenwerte von anderen rum die Eigenwerte von Aral 1 und -minus 2 und der mir als fundamental System juchzt einmal Theorie auch -minus 2 täglich gekriegt das kann natürlich Zufall sein aber es gibt immerhin die Hoffnung dass vielleicht da nicht und Polen hintersteckt und das ist auch so also es gucken uns mal den allgemeinen Fall an der sich vor meinen geschrieben wie sie die Matrix A im allgemeinen Fall aus wir hatten wir schon mal stehen die schwarze noch mal hin die
halten 0 0 Diagonale bis auf die letzte Zeile daneben stehen ein sehr das obere 3 bis 0 hier drunter ist auch am 0 3 der ganze Murks steht in der letzten Zeile der stehen die Koeffizienten drin -minus 1 0 -minus 1 und so weiter -minus 1 -minus 2 -minus 1 -minus 1 also die kleine Martens hat eben diese Formen der letzten Zeile stehen die Koeffizienten also -minus die Körbe aus der Gleichung nahm sie noch die einst auf der neben Diagonale und das ist alles und was wir brauchen um jetzt irgendwie an auch die also das fundamental System für zu kommen und damit dann auch an das fundamental System für Y bis Eigenwerte und die Eigenvektoren vor allem dieser Matrix und das geht zum Glück relativ gut was müssen ausrechnen wir müssen die Determinante jetzt kommt wieder Erinnerung genial gebracht wie gesagt einmal durch wir rechnen wir die Eigenwerte von seiner Matrix sie sollen sich die Matrix an Islam der Identität als armes Land Einheitsmatrix an und berechnen dafür die Termin nannte den Zinsen Polynom raus und die Nullstellen von dem Polynom sind die eigenen Werte also soll man müssen sie Termin nannte ausrechnen wo diesen riesen Ding da oben wobei ich der lieber nein jetzt nicht mehr nur steht zumindest -minus Lande die einzige hierbleiben Eigensinn zwischen bleibt freundlicherweise Nummer 3 wenn wir ein paar Nullen eingebüßt aber sind noch genug da und die letzte Zeile deshalb die große Sauerei -minus 1 0 -minus 1 -minus 1 -minus 2 -minus 1 -minus 1 -minus Land das sah das die gleiche Masse von oben auf den diagonal über Land abgezogen und jetzt muss man sich da einmal durcharbeiten und das nach der letzten Zeile entwickeln das ist das was ich ihnen sag was normalerweise als allerletztes machen würde er also wenn man das Ding geführt werden soll würde man natürlich jede Zeile der jede Spalte neben außer der letzten aber in dem Fall ist ein da nicht die letzten 10 wenn Sie das machen was passiert dann in 7. Rang Sie hier vorne an es kommt darauf an wie groß die Matrix ist er sie kriegen sollen -minus 1 hoch intern je nachdem ob das eben mit gerade oder ungerade Anzahl 2. gibt es -minus 1 und +plus 1 dann haben sie den -minus aber nun und dann was man was Böses multiplizieren das müssen Sie multipliziert mit der Matrix die übrig bleibt wenn sie die 1. sein 1. Spalte die letzte Zeile streichen das wenn Sie die 1. Spalte und die letzte Zeile streichen kann Frings mir wirklich sehr übersichtliche Matrix in der sie einst auf der Diagonalen und in der oder der Wohnhalle -minus Lander das Regal ist obere Dreiecks Matrix mit 1 auf der Diagonale und das ist einfach 1 können also steht hier einfach an so wenn sie nach A 1 entwickeln dann gibt es da wieder mich Vorzeichen auf Dichtigkeit nicht einmal die passen zusammen was passiert dann ganz Spray streichen Sie die 2. Spalte und die letzte Zeile wird sehr einfache Matrix übrig die hat oben ein -minus Lander und danach Note 1 also da kommt ein dabei heraus +plus und so machen sie das weiter aber noch den allerletzten dahin wenn Sie nach der letzten wenn Sie ganz hinten sind müssen sie letzte Zeile die letzte Spalte streichen bekriegen Sie unter 3 Zimmer obere Dreiecks Matrix aufgegeben alles steht überall -minus Landauer also dieses am noch -minus 1 mit langen auch im -minus 1 multipliziert und am Schluss der wochenlang Ende übrig also ein minus 1 man dann auch ein minus 1 +plus Land auch in scheint es meine Ruhe hin das ist einfach nur entwickeln nach der letzten Zeile zur was ist der Vorteil davon was sie brauchen für diese ganze Rechnerei mit der Matrix gehen Sie einen Baum interessiert war nach interessieren sie nur die 1. Zeile von dem würden Vektor ist die brauchen die Eigenwerte von dieser Matrix und die Eigenwerte sind die Nullstellen von dem Polynom und das schöne ist das Polynom das kennen Sie sobald sie ihre Differenzialgleichung kennen haben die mit von seinen gleichen schreibt dann kamen Sie die Zahlen 1 0 bis N minus 1 und genau mit den Frances Polynom hin und dann haben Sie das denn sofort da stehen das heißt dieses Polynom können sie auf den oder die Matrix jemals gesehen zu haben denn ist jetzt in dem Moment gar nicht dass es dieses Polen umso wertvolles Hinrichsen an das die Definition 4 5 also haben wir Immobilien ja gleich mit konstanten Koeffizienten also die Gleichung y in der Ableitung von T +plus 1 -minus 1 y n -minus 1. Ableitung von T +plus und so weiter an sind ,komma von T +plus 1 0 y von Terry homogene Gleichung gleich 0 nur mobil lineare Gleichungen in Ordnung mit konstanten Koeffizienten das sind die Dinge die wir uns gerade angucken und dann nennt man dieses Polynomen und ich schreibe jetzt ganz bewusst mal direkt dadrunter gelangt auch in +plus 1 -minus 1 nahmen auch n -minus 1 plus +plus Länder 1 Quatsch +plus A 1 lärmender +plus 1 0 das also können sie auch sollen schreiben
lernen auch in +plus K gleich 0 bis N minus 1 kann auch keiner das nennt man das charakteristische Polynom der Differenzialgleichung dieses Polynom ist deswegen wichtig weil es ihnen die alten Werte geht der zugehörigen Matrix die sie von der sie die Konzerten zum bestellen wollen wenn sie auf dem System 1. Ordnung beziehen und die ich auf das ist jetzt suggestiv genug untereinander steht und so sehen diese der Übergang von dieser die die Eltern die auf dem Blatt steht zudem Polynom ist der denkbar einfach möglich was sie einfach machen müssen ist immer die Karte Ableitung von y durch Land auch K ersetzen ja auch also das heißt es dass das was durchgestrichen ist der ab doch in 1 bis 1 und 1 ist 1 plus 1 Lander +plus 1 0 0 aber Menge das ist durchgestrichen da das Land aber das ist das gibt es nicht ob wenn dann was sie wirklich machen ist sie nehmen ihre Gleichungen lassen und ersetzen immer die harte Arbeit und durch die Karte Potenz von Land also wirklich das ist das ist da ein fast möglich wäre und dann haben sie sofort und ohne ohne zu rechnen wirklich nur durch ersetzen sofort das charakteristische Polynom und wenn dieses charakteristische Polynom haben gut dann haben Sie wenn Sie Glück haben die Nullstellen an der Stelle ist die liegt da sind wir natürlich wenn das Polen um 17 Grad das ist dann das nicht mehr so einfach nur schwer zu bestimmen aber egal während wenn Sie Nullstellen haben dann haben sie sofort die Eigenwerte zugehörigen Matrix und und das ist jetzt die Hauptmesse sie kriegen sogar sofort das fundamental System und sie
müssen diesen Spezialfall die Matrix an nie auch nur die Marx andressiert sie nicht sie wollen sie auch nicht aufstellen sollen sie kriegen out nur aus den Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms im Prinzip eine kriegen Sie wirklich sofort das fundamental zur also wir sind in der Situation in der die ganze Zeit sind Sie haben Intervall auf die die Gleichung lebt Endes größer gleich 2 sie haben ihre Koeffizienten der Gleichung und wenn Sie jetzt die Nullstellen vom Charakteristischen Polynom haben an der A 1 bis B K nur stellen vom Charakteristischen Polynom also verlangen auch +plus L gleich 0 bis N minus 1 A L einander hoch in das wir das charakteristische Polynom das ist wohl vom Enten Grades das hat natürlich n Nullstellen aber Achtung die können natürlich vielfach seien deswegen besteht der Neuland 1 bislang Dakar also das sind jetzt die verschiedenen Nullstellen schreit meine noch verschiedene Zone mit dass er sie verschiedene neue Stellen von den Dingen ja ende sein und die vielfach halten die nenn ich mal M 1 bis M K also im 5 ist die Zahl die auf der 5. eigen werden eigene ist also die auf meine die auf denen nur Stille von dem Polynom ist muss man sagen und dann können Sie das von den System sofort hinschreiben und zwar ist es fundamental Systemen immer im Hochlande J t also eher Hochland 1 dies auf jeden Fall meine eine Lösung hat und dann das Ganze natürlich von und gleich 1 bis K also für jedes für jedes J ist er hoch Eigenwert Mahlzähne Lösung ist die Frage was passiert wenn sie neigen doppelt haben nein das wird folgendes dann kriegen Sie noch dazu die Funktion Themenwahl Andreotti und sie neigen wir 3 haben also erst Nullstelle dreimal haben kriegen Sie noch C-Quadrat in Andreotti und so weiter bis The Who Vielfachheit -minus 1 er Hochlande jz also für jeden eigenen für jedes Nullstelle des Polynoms schauen Sie nach wie oft Sie die haben und dann kommen in's fundamental ist dem er hoch Nullstelle c Thema jedoch musste die T C-Quadrat solange bis sie eben in die Vielfachheit erreicht haben das oder 1 weniger als die Vielfachheit erreicht haben und diese Menge die enthält jetzt auf jeden Fall die enthält auf jeden Fall n Elementen aber weil für jeden Eigenwert sie so viele enthält Vielfachheit hat das heißt die Anzahl der Elemente ist die Vielfachheit der Nullstellen alle aufaddiert und weil das dem Polynom ist also hat das in komplexen Nullstellen das heißt dieses Ding hat auf jeden Fall Elemente und das ist ein fundamentales ist denn der Gleichung also das ist ein fundamentaler System von unserer Gleichung Enten Ordnung in der Ableitungen der mit schon hundertmal hingeschrieben am -minus 1 y 1 -minus 1 von T +plus und weiter +plus 1 y Strich von T +plus 1 0 y von The gleich 0 das ist fundamental System der homogenen Gleichung und wenn sie jetzt mehr Mobilität haben ist natürlich weiter zu einer konstanten machen aber vor Mittal System können Sie direkt ablesen am Charakteristischen Polynom im Moment wo Sie die Nullstellen bestimmen können nur Stimme die vielfach weit mehr brauchen Sie nicht das heißt die brauchen sich um diese Matrix A eigentlich gar keine Gedanken zu machen das sollte die gute Mehr sich jetzt hier zum Abschluss sein ich danke Ihnen für die Geduld und bei bezogenen Minute und für die Aufmerksamkeit und wir sehen uns dann nächste Woche wieder schönes Wochenende
Einfach zusammenhängender Raum
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Exponent
Momentenproblem
Reihe
Fortsetzung <Mathematik>
Exponentialfunktion
Gleichung
Vektor
Physikalische Theorie
Eigenvektor
Lineare Differentialgleichung
Null
Konstante
Lösung <Mathematik>
Summe
Eigenwert
Koeffizient
Inhalt <Mathematik>
Diagonale <Geometrie>
Mathematische Größe
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Vektorraum
Exponentialfunktion
Gleichung
Differentialgleichung
Vektor
Lösungsraum
Eigenvektor
Linie
Lösung <Mathematik>
Multiplikation
Menge
Eigenwert
Ganze Zahl
Koeffizient
Theorem
Struktur <Mathematik>
Diagonale <Geometrie>
Funktion <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Klasse <Mathematik>
Berechnung
Exponentialfunktion
Norm <Mathematik>
Differentialgleichung
Term
Inverse Matrix
Last
Multiplikation
Vollständigkeit
Globale Lösung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Vektorrechnung
Lineare Gleichung
Stetige Funktion
Gleichung
Vektor
Zahl
Integral
Konstante
Lösung <Mathematik>
Summe
Bose-Einstein-Kondensation
Stammfunktion
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Bestimmtes Integral
Koeffizient
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Geschwindigkeit
Einfach zusammenhängender Raum
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Kraft
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Berechnung
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Träger
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Termumformung
Gleichung
Differentialgleichung
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Integral
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Variable
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Differentialgleichungssystem
Ordnung n
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Einfach zusammenhängender Raum
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Differenzierbare Funktion
Berechnung
Lineare Gleichung
Gleichungssystem
Gleichung
Richtung
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Lösung <Mathematik>
Elementare Zahlentheorie
Ende <Graphentheorie>
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Ableitung <Topologie>
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Matrizenmultiplikation
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Superposition <Mathematik>
Lösungsraum
Eigenwert
Ordnung n
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
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Eindeutigkeit
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Gleichung
Zeitzone
Vektor
Eigenvektor
Zahl
Null
Konstante
Dimension n
Lösung <Mathematik>
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Menge
Koeffizient
Mathematiker
Charakteristisches Polynom
Koordinaten
Einfach zusammenhängender Raum
Matrizenmultiplikation
Algebra
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Gleichung
Differentialgleichung
Vektor
Eigenvektor
Lösungsraum
Linie
Null
Konstante
Lösung <Mathematik>
Eigenwert
Koeffizient
Sierpinski-Dichtung
Mathematische Größe
Dichtheit
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Gleichungssystem
Rang <Mathematik>
Differentialgleichung
Gradient
Homogenes Polynom
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Nullstelle
Ableitung <Topologie>
Exponent
Determinante
Lineare Gleichung
Gleichung
Vektor
Zahl
Eigenvektor
Null
Polynom
Menge
Koeffizient
Charakteristisches Polynom
Diagonale <Geometrie>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Element <Mathematik>
Gleichung
Zahl
Gradient
Polynom
Elementare Zahlentheorie
Ende <Graphentheorie>
Menge
Eigenwert
Koeffizient
Nullstelle
Charakteristisches Polynom
Ableitung <Topologie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel DGln Höherer Ordnung
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 24
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34538
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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