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Der Grenzwertbegriff

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so sehr viele n ja an der TU Darmstadt
guten Morgen und herzlich willkommen zum 2 wer Melanom bissen rum experimentiert alles dies mit der heißen Nadel gestrickt aber wenn es denn sich jetzt alles aufbaut wird es im Zusammenhang mit dem Ehlerding Center eine Aufnahme der Vorlesungen geben bin letztes Semester oft gewünscht wir haben heute möchte ich jetzt nicht wir haben heute bisher nur Senatoren und Mitschnitt von Bildschirm das mit der Kamera müssen wir noch klären das hat es nicht funktioniert aber immerhin ich denke heute wird in ungefähr ne halbe Vorlesung die Verspätung jetzt plus den organisatorischen Kram der zu klären ist lassen gar nicht mehr viel Zeit übrig gut ich habe ein bisschen so organisatorisches mitgebracht er sozusagen das
übliche Vorlesung Szene werden sie kennen dann gibt es eine komplette also gegenüber dem Mate 1 Werder dabei war eine komplette Neubesetzung überreichte Assistenten weil von den dreien die letztes Mal das gemacht haben also Benno Vandenberg Alex Katz und den ist frisch 3 die U 3 die Uni verlassen haben Sie diesen Semester das Xtra neue das ist ein gewerblicher Maxim werde ich nie und das ist habe Ihre Büronummer der geschrieben die wären auch Übungsgruppen haben also zumindest nahe daran danke auch einmal zum ja jetzt weiß man solltest durchlesen ich einfach weggehen sagt er an die 3 mögen Sie sich also bitte wenden in allen Fragen zum Thema Übungsbetrieb Übungs Organisation Übungsblätter Hausübungen und so weiter Übungs Termine werden sie beim anmelden schon gesehen haben sind diesmal quer über die Woche verstreut und auch Donnerstag Freitag und wir haben gestern angefangen weiß einfach noch auf vom letzten sogar so gut was Zügen gaben nicht schadet Überlegung Mehr das wär das nicht mitgekriegt hat ist es war kein Problem weil das haben bisher 2 Gruppen stattgefunden und es sind noch 16 19 frei die noch stattfinden werden und was er in den noch reichlich Plätze ja also die Gruppe sind weit von voll wer sich wer ist schon angemeldet oder besser nicht angemeldet aber so gehen dass sie da nicht so viele gehen Sie auf Druckern suchen sich die Gruppe aus und melden sich an die montags Gruppen sind erstaunlicherweise voll aber die anderen haben zu eigentlich glaub ich 3 dabei sicher wie donnerstags weniger mal noch Platz so dann was sich im
Ablauf nicht ändern ist alles was zum Skript zu sagen ist die sondern am Sonntag so hochgeladen ich hoffe die meisten schon gesehen und es wird immer wenn alles gut geht im Vorlauf neue Skript geben also in das was sie haben alle geht's dann lohnt sich mal vor so zu schauen ob es Nachschub gibt das kann wird mal geschrieben für die Vorlesungen dementsprechend er sind sie Versuchskaninchen kriegen die ganzen Fehler ab das lässt sich nicht ändern aber wenn sie an sich und ihre nach folgert denken West ist bin ich sehr froh wenn sie mir alles melden was den Fehler finden von groben mathematische Schnitzern bis zum fehlen ,komma und dann machen wir daraus langsam ein vernünftiges Skript er meine Sprechstunde ich beibehalten Dienstag 15 30 bis 16. 30 die 3 Assistenten Assistenten und die US-Gruppe weiter dann werden auch wieder natürlich Sprechstunden anbieten dass man Übungsgruppen aus und dann geht's wieder man auf und trug eine Liste aller Sprechstunden dass jeder und jede gehen kann am
Übungsbetrieb ändert sich eigentlich auch nix also der stellen das Übungsblatt ein paar Tage Verlobungsbild vor Beginn der 1. Übung ist Tukan es wäre schön wenn Sie das Zebu mitbringen können noch besser es wenn sie zum angekuckt haben es gibt Gruppen und Hausübungen R der Ausübung ist eine Woche später in der Übung abzugeben Korrektur letztes Semester 30 Prozent der Punkte das korrekte formal korrekte aufschreiben und berechnen daraus für den Klausur Bonus was sich auf der Folie gegen Gegensatz zum letzten Semester geändert hat ist das was im Sommersemester immer der zukommt oder Wintersemester nicht dass die Feiertage wir Übung montags donnerstags und freitags das ist Feiertags für sich perfekt wer Pfingstmontag Ostermontag Fronleichnam und zu Himmelfahrt und Karfreitag die dann auch mal und deswegen sagen wir befinden uns hier ja also ich weiß auch gar keine allgemeine Ansage wann welche Übung noch wo und wie sich ihr sie dass es sich verschieben können sich 10 Minuten und ist verwirrt lassen Sie sich von ihren jeweiligen Übungsleiter sagen was für Sie in Frage kommt was ich gleich sagen kann sozusagen der Ostermontag Termin jetzt in anderthalb Wochen für die beiden montags Gruppen fehlt einfach ersatzlos aus und danach sind also sagen zur Zeit ist die montags Gruppen sind immer die die das Blatt als 1. bearbeiten und danach sind seit ist es also danach es immer Donnerstag Freitag Montag eine Gruppe eine 1 bleibt sozusagen er und alle weiteren Regelungen kommt später aber das hat uns einiges an Hirnschmalz gekostet ich kann gut Thema
Klausurtermin steht schon zu 99 Prozent fest wird 8. September seien n auch da auch bald da hab ich versucht auf Kontinuität zu setzen was die Regelungen angeht also wenn wir eine Koffer Klausur schreiben was zum letzten Mal nicht bist du ganz allen vorgedrungen ist das heißt sie können alles mitbringt was aus Papier ist mich ja es gehört schriftliches was immer sie wollen und nicht zu seinen Siebert hält keine Taschenrechner kein Laptop können Großrechner ja also bei wir haben wir nein zwischen was zu essen mitbringen im Jahr dass die Regelung geht natürlich auch Jahre also keine keine lebendigen nützliche wer zur auch Daten leicht das Ganze im Schnelldurchlauf ich habe aus den Erfahrungen des bin das wir jetzt ja 1 2 Bonusregelungen hatten die so freilich kommuniziert waren weil ich davon ausging dass wir sie nicht brauchen diesmal alles hingeschrieben zur Sicherheit also die dies widerlegt also mit 60 Punkten aufzustellen womit mit 25 gestanden hat ja es geht bis zu 10 Punkte Burnouts der Bonus kann denn das würde das von bis zu einer Note besser wird das heißt auch von man kann mit dem Bonus auch bestehen aber mit dem Bund mit dem Bonus besteht ,komma dem nicht über 4 0 hinweg einer von 5 auf 4 ist eine ganze Note gehüpft ist dann das hat diesmal zu Verwirrung geführt der Satz dann aber jetzt mal genau so auf der Folie wer sich dazu geführt hat ist der unterste .punkt der Normalfall egal ist unter 15 aus und ein Viertel der Punkte ist die Klausur auf jeden Fall durchgefallen soll durch den Grenzwert 25 bleiben ist die 15 da irrelevant weil sie unter 50 über 25 kommen aber wenn man mit den bis ins kleinste darunter müssen wird der .punkt relevant und was nicht diesmal am Anfang festlegen will und auch großzügiger handhaben ist die Wohnungs wobei natürlich geht was immer geht es wird im Allgemeinen Fälle geben mehr als ich hab jetzt gesagt wird wir Runden auf volle 10 Prozent das heißt als Beispiel zwischen 25 , 0 und 34 , 9 Prozentpunkten gibt es 3 Bonuspunkte aber natürlich ist das wieder schließlich jemand der 24 , 9 8 hat aber das kann ich nicht verhindern in allen also zu werden drohen wie
dann die Frage Bonn oder Probeklausur brauchen oder nicht weiß ich nicht unsere Idee wäre wieder eine anzubieten schaden kann's nicht und außerdem können wir damit ein der Feiertags Übungs Termine etwas entschärfen und dementsprechend wird die Probe in Klausur stattfinden in der Woche wurde 2. Donnerstag wegfällt also das ist das Fronleichnam glaub ich also das ist die 11. 12. Semesterwoche da eine Probeklausur nahm genau organisatorische Dinge folgen dann sollte wie letztes Semester und zählt zähle das Ergebnis einfach als 11. Ausübung in den Bonus Berechnung 1 und sonst nichts gut nur gerade schon ich bin hoffe damit alle Fragen geklärt zu haben das hab ich sicher nicht das heißt wenn noch Fragen sind dann bitte jetzt Schluss damit wir wie ich kopfüber man aber im großen ganzen die ganzen Mathe für in Sachen auf jeden Fall die waren alle zweisemestrig dann hat sich unten nach den beides Paraden ja leider drauf der ist jetzt observed da kann ich nur gucken ob ich man Analysis Buch sind und dann ist wieder trivial den kann man auch immer der muss ich auch immer alle großen Ganzen können Sie diese übernehmen weich Buchsen Rahman weitere Fragen gut dann würd ich zum inhaltlichen übergehen kurzer Umbau hier kann an so war
das heute das sah ich
werden so war also nicht vielleicht ein kurzer ich normal wo standen wir wären im letzten Semester und in die Analysis eingearbeitet denn ganz zentralen Begriff der Konvergenz eingeführt also Konvergenz von folgen und er den damals gesagt hat in der Lage ist es geht immer darum dass nun endlich das unendlich kleine das unendlich große zu beherrschen oder zu beschreiben und zwar mathematisch exakt zu beschreiben weil man sich auch hoffentlich eindrucksvoll gezeigt habe nun endlich in die intuitive hält das endlich die Intuition oft versagt und diesen Konvergenz Begriff der das tut der Mathematik exakt die er an das unendlich große kleine beschreibt bin aber einmal verfolgen definiert es war jetzt an Definition und danach eigentlich immer nur wieder ausgeschlachtet übertragen auf andere Begriffe die Weise aber Konvergenz von Reihen auf Konvergenz von Folgen zurückgespielt und ich will jetzt zu sein das ist die wichtige Basis auf der man aufbauen folgen aber was denn alles ist eigentlich untersuchten Funktionen Funktionen von A nach war Bilder auch Funktionen von er denn nach RP also Funktionen die von mehreren Variablen abhängen und auch mehrere Ausgangs Parameter haben kann denn die Welt ist einfach nicht so das jede Funktion auf einem Parameter abhängt und eigentlich der Haupt Gegenstand Analysis Funktionen zu betrachten und deren Verhalten zu beschreiben das haben wir im letzten Semester schon in Maßen gemacht als wir in der ihren Algebra lineare Abbildung betrachtet haben aber den Jahre Abbildung sind eben sehr spezielle Funktion sehr sehr speziell und ob und wir wollen jetzt wissen allgemeiner Funktion anschauen also wenn Sie zum Beispiel Funktion von einer her denken wer sind die linearen funktionen genau die den Grafen Ursprungs geraten sind sie haben sicher schon andere Funktion gesehen als Graph mit Ursprungs kungsgraden und die wir uns jetzt anschauen oder zur und das ist immer der .punkt ein neues ein neues Thema haben also ein neues Untersuchungsgegenstandes die Funktionen dann ist das Erste was wir machen übertragen unsere Konvergenz Begriff wir wissen was es heißt in Folge konvergiert wir wollen jetzt Grenzwerte bei Funktionen anschauen und das müssen wir von den Folgen der übertragen das ist der Anfang also das Ganze steht unter der Hauptüberschrift Stetigkeit reeller Funktion das ist der Paragraph 7 vom Abschnitt 4 ich nun Maria schlichtweg weiter vom andere Formate ein Skript also Skript ist sozusagen ein langes das in 2 Teile wird ein 2. 2. fehlt das hat den Vorteil das man Berentzen kläglich hat und dass sie einen großen Index haben mit allem drin so also so zu sagen wir sind die Nummerierung einfach weiter und ich hatte gesagt das 1. was wir machen müssen ist den Grenzwert war für Funktionen übertragen ab was meine ich damit gut man uns meine funktionieren wie er mehr Funktionen immer Definitionsbereich da kann man sich alles möglich überlege ich wie meine relativ übersichtlichen Definitionsbereich Johnson Intervall und damit nicht ganz so langweilig ist immer noch ein Punkt dazu war also die 0 und das Intervall von 1 bis 5 war und jetzt kann die Funktion alles mögliche machen gute nun hat wer ja und dann geht ihr Sohn dazu ich auch mal springen davon Stück konstant sein wenn man jetzt so will es dieses Bild auch nicht besonders schön wenn man noch nicht so recht weiß was einen Sprung stellen passiert versucht es mal so anzudeuten an der Sprung stelle hier soll der Wert zu Konstanten Teil gehören anders .punkt Stelle hier zu den unteren und dann ich hier offene kann man dran so so kann man das grafisch versuchen an zu verdeutlichen aber dass wir so eine Funktion von einer Mehr die es nicht im Jahr ist für du deren Verhalten wir beschreiben wollen was wir jetzt machen können ist wir können uns ebenso Wert x 0 hier nehmen entweder ein einer Beratungsstelle oder Graz das umstelle und was uns interessiert und Grenzwertes das passierte der Funktion wenig X gegen dieses x 0 laufen lassen das ist die Definition 7 1 also Damen Definitionsbereich der ist jetzt erst meine Teilmenge von er war mehr Funktionen auf diesem Definitionsbereich nach Ehre definiert und nicht der Lehrer der ganze Funktion anschauen wollen nix nur ne ne so braun erst einen technischen Begriff im Vorlauf um den Grenzwert überhaupt zu definieren und zwar geht es darum
wir uns mal den Punkt 0 anschauen da die Funktion hatte 0 den werden weil sie jetzt nicht 3 aber Grenzwert x gegen 0 ist schwierig weil alles was und worum es sich in Definitionsbereich aber gar keine Funktion ein Grenzwert für x gegen 0 von der Funktion zu definieren macht keinen Sinn ja weil ich kann nicht gegen 0 laufen und dementsprechend müssen was solche komischen Punkte gegen die wir gar keine Grenze definieren können wie ausschließen das nach der Begriff des .punkt also x 0 ist kein komischer .punkt also ist ein Punkt an dem man Grenzwert betrachten kann und das nennt sich Anhäufung muss .punkt von D ja das ist Eigenschaft das Definitionsbereichs und weil es im nächsten 3 Seiten oft vorkommt wird es der Vorlesungen HP abkürzen also x 0 das neue fungspunkt von der Menge wenn man eben auf diesen Punkt zu laufen kann in der Menge was heißt das das muss Erfolge geben also musste Folge am die in liegt man muss sozusagen auf den Punkt zu hüpfen können auf der Folge dieser Fall den US immer Verschieben von x 0 sein Nein natürlich kann ich die ganze Zeit auf x nur rumhüpfen dann werde ich mich auch x 0 aber ich bin ja von der Seite dran also braune Folge Dini x 0 ist aber gegen x 0 geht die man also konvergent ist und der Grenze des 6. Todesfolge muss es geben wenn sich das Bild von oben angucken für neue gibt es eine Folge eben nicht sie können aus der Menge der heraus den Punkt x 0 bin .punkt 0 nicht annähernd so wir nochmal fungspunkt haben dann können wir den Grenzwert x x 0 definieren also wir setzen jetzt voraus x 0 das neu fungspunkt von Dell und definieren was bedeutet es wenn X gegen x 0 geht dann geht er von X gegen Y Mehr an den Limes fix gegen x 0 F von X ist werden wir y was bedeutet das bei Definition das bedeutet ich glaube auch x 0 zu und will wissen was passiert mit den Werten f von x nur wenig X immer mehr x 0 wähle ich meine es begrenzte Werkbetrachtung und die können wir eigentlich nur verfolgen also müssen wir nicht mit dem XTX neurotischen sondern mit der Folge Gigs nur laufen und damit das von vernünftig der 4 der Grenzwert ist darf der Wert natürlich nicht davon abhängen welche Folge Sie Grad zufällig neben mir also dass das ohne Folgen x nur laufen aber jeder hier im Saal wer das alles weil der andere folgen denn die GX 0 geht und die müssen natürlich alle den selben Wert dann muss es von der folge natürlich den denselben Wert laufen sonst aber keine vernünftige Definition und deswegen brauchen wir hier eine Aussage für jede Folge also was auch immer sie sich seine folgen wir nehmen für jede Folge die die gegen x 0 geht aber nie selber x 0 ist alles musste Folge sein die nie selbst x 0 ist aber gegen x 0 Geld in dem es gehen wir endlich am muss x 0 sein und wer diese Folge muss gelten dass der Limes jetzt n gegen unendlich F von A in eine WM gehen er nicht laufen lassen wir daheim gegen x 0 also sollte Morales er von einem gegen F von x 0 gehen allein gegen den Grenzwert von f an der Stelle x nun und das war s y der es ist die Definition das Grenzwert und jetzt sieht man aber zu sie das Reibungspunkt brauchen wer nix wird keine Reibungspunkt S dann wählen Sie in denen allüberall quanto Aussage die leere Menge aber es eine Folge geht es dann gar nicht wenn es keine solche Folgen gibt dann ist die Auswahl natürlich war aber nutzlos weil dann ist er jedes y Grenzwert ja das war mein ich haben und deswegen brauchen wir das worum .punkt ist damit wir da nicht die leere Menge Arbeit so dass ist der Grenzwert des nix Neues gibt es noch die Möglichkeit dass sie sagen ich will aber was sie hier oben bei den Sprüngen gut brauchen können der Grenzwert von der Funktion x 0 wird definiert nicht existieren weil wenn jemand sich von links gegen x nur heranpirscht würde auf ein Wert haben und wer sich von rechts ein x 0 rannte wird auf dem andern landen und habe dort gesagt wenn der Grenze existieren so muss er für jede Möglichkeit sich anzutreffen der gleiche sein also existierte nicht aber irgendwie existiert ja die Sache wenn wir nur von links oder von rechts kommen und das wollen wir auch formalisieren also wenn sie nur von rechts kommen dann müssen Sie haben dass das X nur neue fungspunkt ist wenn sie von rechts kommen das heißt Sie schauen sich die Menge alle x aus D an die größer sind als x 0 1 bei der Stelle eines wenn sie darum gar einen Grenzwert von links kriegen weil von links sich nicht nähern können aber von rechts das bei die 1 Anhäufung .punkt der X ist in die die rechts von x 0 liegen also sie war mal was man von der +plus und dann definieren wir den rechtzeitigen Grenzwert also den
Limes für x gegen x 0 von rechts und mit der XG nix 0 +plus sagen der EDX 0 +plus 0 1 x 0 +plus was unendlich kleines und das ist eben das was von rechts kommt es geht nichts nur +plus F von X ist y jetzt genau das Gleiche sehen den sich eine Folge die jetzt aber von rechts gegen x 0 geht dann auch hier müssen sie jede mögliche Folge betrachten also für jede Folge 1 den +plus liegt also rechts von x nur noch im Definitionsbereich der Funktion die aber gegen x 0 konvergiert Na Na Na also eine Folge des Wahlrechts sich demnächst 0 Grad an beherrscht und dann muss gelten dass der Limes n gegen unendlich 11 von dieser Folge wird verlangt und wenn das für jede Folge funktioniert dann ist Y der Grenzwert und rechts die nächsten so wenn Sie jetzt B und C vergleichen fällt ein Unterschied auf in gefordert dass das am demnächst ungleich x 0 sein muss es werden denn es geht nicht es ist nur der Definition von E-Plus versteckt bei der bloßen alle die ich größer sind als 6. 0 und die Folge muss in den Fluss legen das heißt der frei kann gar nicht auftreten so das war der rechtsseitige Grenzwert und des ganze kriegen wir natürlich auch linksseitig also dazu brauchen Sie dass x 0 mal fungspunkt ist von den -minus das ist die Menge aller x in D die links von x 0 legen nein jetzt einer der gleiche Satz wie oben Na also müssen wir uns von links an X nur heranpirschen und kriegen genau die gleiche Definition für den linksseitigen Grenzwert kann noch mal nehmen also dann geht das der Limes von x gegen x 0 von links also x nix 0 -minus f von x =ist gleich y s wer bei der EM dort also
dürfen die prägenden Grenzwerte von links gleich y der Preis wieder für jede Freude die die Definitionsbereich ist aber links von x 0 also in den -minus die sich gegen x 0 heranpirscht also es entgegen endlich AN muss x 0 sein und wenn Sie jetzt die Folge F einsetzen das LG versehen belegt also die Folge 11 von AN anschauen dann muss das selbst in grenzwertigen y geben kann zur damit er weder den infolge Grenzwerte hergenommen und damit den funktions grenzwertig Linie war wie er war und das letzte gebraucht haben ist dieser Begriff des Walfangs .punkt des wie gesagt hinter dem steckt nicht viel denn braucht man da also der ist was heißt der nicht wieder das ist ne echt nicht nur wenige Definition an der Stelle haben man braucht eben diese Voraussetzung um überhaupt in die Grenze definieren zu können also geht man der Voraussetzungen Namen trotzdem ja also das anschaulich sollte man sich vorstellen x 0 9 fungspunkt von D bedeutet das sie werden dass sie das den .punkt x 0 aus der Menge die ohne x 0 also in dem aus dem der 6. 0 weg und dann müssen sie immer noch diesen Punkt x 0 annähern können aus der heraus es ist Alfons fungspunkt windig die Menge die muss sich in der Nähe des Punktes X nur häufen deswegen Häufung Bruch man sieht sich aber mal konkrete Beispiele anschauen was sind die heute fungspunkte und halboffenen Intervall also den deshalb auf mit der Wahl von 0 bis 1 ist klar es Impfungen halbe rausnehmen können Sie denn immer noch ist mit dabei wären jeden Punkt im Intervall können Sie aus dem Intervall heraus lernen dass mit dem Rand Punkten 1 geht auch aber es geht auch 0 also die Menge der Häufung .punkt ist das abgeschlossene derweil 0 1 man sieht es gibt kann auch Reibungspunkte geben die nicht mit der weiteren liegen wenn Senden funktions Grenzwert kennen sind vielleicht der Schule auch Garten ist es auch was man ganz oft macht für gucken ganz oft an was macht der Funktion für x gegenüber den Rand des Definitionsbereichs ihr Mitgefühl zum Stück oder was das heißt wir wollen auch dass Reibungspunkte dazukommen die gar nicht zur Menge der zu gehören noch ein anderes Beispiel was in die EU fungspunkte und der Menge der Wert eines durch allen also die Menge ein 2. 3. 4. 5. 6. und so weiter jedes Element der Menge ist keine Häufung .punkt welchen ein 5. nehmen dann kriegen sie aus den andern Einstig ins ein 5. nicht gemerkt aber es gibt eine neue fungspunkt nämlich die 0 also ist die Menge aller Reibungspunkte nur die 0 wobei Folge sehen die in der Menge der einzig Ende liegt und gegen 0 geht und eben aber ohne 0 zu sein natürlich ne so im Skript steht ist normal B man beachte die Betonung auf jede folgende Definition habe ich vorhin gesagt und was ich jetzt noch machen will ist ein Auffangtatbestand weil ich in beiden nicht nämlich nicht stundenlang schreiben wäre alles was ich jetzt nach in diesen Abschnitt na freilich nur auf bei dem Grenzwert x gegen x 0 aber sobald solange den der sie nicht ist ja gelten alle Dinge die ich jetzt erzähle ja auch für die gegenseitigen und rechtzeitigen Grenzwerte also wenn wir's Grenzwert machen Rechenregeln für Grenzwerte dann können Sie über da X gegen x 0 steht X gegen x 0 +plus und x gegen x 0 -minus einsetzen und es geht trotzdem noch na sagen ich will ich alles kann ein Schwein ist so ein Beispiel den gucken und sehen solle etwas verkorkste Funktion wie gerade eben an also mein Definitionsbereich es das schon angesprochen halboffene derweil von 0 bis 1 ja und meine Funktion 11 wie ist x Quadrat Na zwischen 0 und 1 beides ausgeschlossen ist 1 für x zwischen eineinhalb und 1 auch Einheit eingeschlossen und meinetwegen 7 oder den man besser zeichnen kann vielleicht 2 30. gleich 1 wollte meine Funktion dabei was es sich meinen also is 1 damals 1 in der 1 ist da ungefähr eine halbe bis zu einer halben für das Ding aus Vinyl Parabel also muss es ja wissen Viertel gehen nur dann ist es konstant 1 war und an der Stelle 1 ist 2 N die so gemacht das man dann so ein paar Subtilitäten dieser Grenzwert Begriff für Sie und das Erste worauf ich sie also das was sie es so war wie sie hinweisen will dass man sie auch gleich sehen ist der Grenzwert für x gegen x 0 und so ist es definiert hängt nie davon
ab was f von x 0 ist also wenn sie der jetzt von links gegen 1 gehen dann werden sie als Grenzwert 1 rauskriegen und das ist völlig unabhängig davon ob das denn in Einzel sind 7 oder 13 oder 0 oder 1 oder 5 ist also der Grenzwert für x gegen x 0 ist immer unabhängig von F von X und das ist dadurch erreicht dass in der Definition wir explizit ausgeschlossen haben dass das ein irgendwann mal x 0 sein dar war das am mit dem wir das 6 und 0 wären eben dem ist strikt verboten grade explizit verboten x 0 anzunehmen das heißt es darf den Wert Evonik soll eben nicht Art hast so was kriegen wir jetzt in dem Fall raus ich bin ich für jedes x zwischen und einstige entweder Ausrede wenn sie mir zu lang beschäftigt ich nehme mal an und interessante und repräsentative raus also erstmal den 0 was passiert wenn man sie nun von rechts wären von rechts an die 0 waren Sie die Parabel dar wenn Sie Mehr glauben oder nicht in sei selber zu Hause als Übung nachrechnen er kommt nur was um und das Gleiche gilt auch bei den Grenzwert x gegen 0 in dem Fall sind alle Folgen die in die gegen 0 gehen von welche den D +plus gegen 0 gehen Glase können können nicht von längst einen .punkt insofern sind die Folgen sie betrachten ungerecht sei den Grenzwert zu bestehen und die Folgen sie dachte man entsetzlich den einfach die Leichen der beiden kommt 0 raus und der Liebe Sex gegen 0 -minus F von X also der Grenzwert von links gegen 0 erst einmal nicht definiert weil diese Menge des -minus alle x aus D in die links von x 0 liegen dieses leer und das kriegen Sie auch keine Folge darin nur den 0 annähert also der ist nicht definiert nein das liegt daran dass nur ein Kanal fungspunkt von den die ist ne so ausgemalt dann halt es noch ein interessanter Punkt weil die Funktion der springt also was passiert in einer halben Sie von links kommen am 6. Quadrat Kriegs x 0 x gegen ein halb von links kommt ein Viertel aus das ist jetzt unser 1. Mal der Fall der Funktionswert ein halbes Einzeller ergänzt Wert von x für x gegen halb von links Viertel der Grenzwert billigst gegen Reihe von rechts ist besonders einfach man sich ne Folge ja denn die +plus liegt also in die aber rechts von einer Halle um den Erhalt konvergiert dann kann sein dass die Folge von Zeit zu Zeit mal 1 ist aber wen Sie denn gerne ein konvergieren ist irgendwann es echt Sicherheit und 1 und 1 er von einem 1 haben sie also die konstante Folge 1 die konvergiert und zwar gegen 1 also es der Grenzwert 1 Samson Linzer den vollen Vierteln rechtzeitigen von 1 und der Situation braucht man sich um den Grenzwert für x gegen halt keine Sorgen machen beide existiert er nicht warum nicht er Limes existierte heißt für jede Folge die gegen innerhalb des denn im Definitionsbereich und nie innerhalb 1 muss der Grenzwert er von allen der gleiche sein messen sie alle von links dagegen geht ein die von rechts dagegen geht und kriegen verwischen die Grenze daraus und dann kann das nicht existieren so der nächste gabunische .punkt wer 1 aber ich will wenigstens ein zwischen Ost greifen was passiert wenn sie sind 2 Drittel angucken dass die Lage ganz besonders einfach der existieren alle 3 Grenzwerte und sind alle gleich also von 2 Drittel von links und 2 Drittel von rechts wer von X oder insgesamt nix gegen 2 Drittel der immer 1 und jetzt mehr noch die Frage was da sie den 1 zu in 1 können wir den Grenzwert für x von links gegen ein sehr von x bestimmen auch da wieder die Funktion ist da in der Nähe konstant 1 das heißt jede Folge die gegen 1 konvergiert bis irgendwann immer zwischen Zwischenhalt uneins und der Funktionswert es kommt dann immer 1 das heißt die er von allen geht dann gegen 1 das ist also 1 und das Gleiche gilt für den Grenzwert x gegen 1 F von X auch hier der gegenseitige Grenzwert und der Grenzwert betrachten die gleichen Folgen kommt also nix dazu und den Grenzwert von rechts gibt es wieder nicht weil die +plus leer ist was so wie in dem Beispiel also er jeden Fall mal gehabt werde tja nach übliche Wege sollten besser sein Pause machen werden also dann 19 10 Minuten weiter aber wenn ich da so ganz würde ich gerne die 2. Hälfte einsteigen wir haben jetzt viel Grenzwert Begriffe funktionieren X Genicks nur von 11 von X und wir hatten gesehen werden folgen als der Grenzwerte ausgerechnet haben ein ganz ganz wesentliches tun war die Grenzwert setzte die uns sagen wenn verfolgen konvergieren komme jedoch die Summe gegen die Summe der Grenzwerte dann komme die das Produkt denn das Produkt der Grenzwerte und so weiter und damit konnte man eben komplizierte große Folgen kleine folgen Zeiten und nur die Einzelteile betrachten na das gleiche gemeint Hilfefunktion schon und das schöne ist jetzt leider funktions Grenzwerte über den Flug folgen Grenzwert definiert ist ist das doch überhaupt kein
Problem also Sie können diesen ganzen Grenzwert Satz nehmen oder Funktionskreis werden schreiben und mit relativ wenig Aufwand beweisen indem Sie es auf den Grenzwert Satz verfolgen zurückspielen und das ist der Satz 7 4 also dessen die Grenzwert Sätze haben für funktions Grenzwerte was brauchen wir eine gute brauchen Funktion Roman Definitionsbereich also brauchen in die Teilmenge R der Bahnen half uns .punkt von D damit der funktions Grenzwerte bestimmen können und nicht die nach 3 Funktionen vor alle auf die definiert nach A und die sollen so seien und dass wir schon wissen dass die Grenzwerte für x gegen x 0 von 11 und der Grenzwert für x gegen würde von existieren was und dann begann kann man jetzt die ganze Litanei Bonn Grenzwert setzen schreiben was passiert denn mit der Summe von 11 Produkt von 11 kurz werden von 11 es gibt hier nur Toni Satzes gibt Sandwich Theorien genau über Folgen also Reimers alles sehen Summe von Grenzwerten also wenn sie in der Situation sind dann existiert auch automatisch der Grenzwert der Funktion f +plus GFX gegen x 0 und es kommt das raus was man erwarten würde was rauskommen soll nämlich die Summe der Grenzwerte also Grenzwert von 11 +plus Grenzwert von gehen wir dann das gleiche das Produkt also wenn Sync X gegen x 0 gehen und die Funktion f von x mal gehe von x anschauen ja dann existiert der wieder wenn die einzelnen existieren und dass der Grenzwert ist das Produkt der Grenzwerte wir 3. hatten dabei den Folgen wenn ein konvergiert komme jedoch Betrag und zwar den Betrag an genau das gleiche kriegen Sie hier auch also Limes x gegen x 0 von Betrag F von X existiert dann auch und der Gewinn der wert ist der Betrag von Grenzwerten dann hatten war ja ob da ja ja ja nein bedang geht auch aber danke aber an Frage war ob dieses gleich darum ernstgemeint ist die Antwort ist nein also brauchen dass die beiden Grenzwerte existieren ja die müssen und es wird nicht leicht sein wie danke das hat eine einen bösen Patzer herausgenommen in so was man sich noch fehlt ist der Quotient ja wenn sie ganz pingelig sind fehlt auch noch die die Differenz aber die können sich selber zusammenbauen eine Funktion konstant minus 1 neben dem Produkt und damit Addition aber der Quotient nach der ist wirklich kompliziert weil dieses dieses blöde Problem gibt das nicht durch 0 teilen dürfen der kommt gleich extra es kommt noch Monotonie des Grenzwert von Sandwich Theorem also wenn sie wissen dass die Funktion f immer kleiner gleich der Funktion g e für alle x in deren jetzt kommt wieder .punkt für die Grenzwerte ist der Funktionswert an der Stelle x 0 total egal also was die beiden Funktionen in iX 0 miteinander spielen es wurscht aber überall sonst muss dass es gerne gleich denn die seien dann dennoch die Grenzwerte dann überträgt sich der des ungleichen auf die Grenzwerte als dass der Grenzwert von f BX gegen 0 kleiner gleich den Grenzwert von der Felix gegen x 0 an der Stelle die die gleiche Warnung ich sie gebracht hat beim entsprechen Satz verfolgen ein solcher Satz mit kleiner gilt nicht also 11 immer echt kleiner also des ist dann kann der Grenzwert trotzdem gleich seien immer am Grenzübergang macht ihn aus strikten ungleich den ne kleiner gleich größer gleich lang und gleich meine muss sich so in einen sieht man es schon 2 Funktion hat er 6 0 die eigentlich immer unterhalb der anderen und können seit dem Grenzwert trotzdem gleich sein aber er ne so das war das Monotonie des Grenzwerts was jetzt kommt Sandwich Theorien was war das dann weiter in der Folge zwischen 2 eingequetscht wir wissen dass die beiden die eine einquetschen konvergieren und zwar jetzt wirklich ging das gleiche dann muss auch die dazwischen konvergieren also hier brauchen jetzt dann fehlt die Voraussetzung dass der Limes x gegen x 0 F von X gleicht dem Limes x gegen x 0 gehe von Access und die volle Funktion h jetzt brauchen Weise die soll immer zwischen F und G liegen und auch das wieder für alle x 10 des außer x 0 weil was nix wird passiert ist uns egal dann ist auch H A von X existiert auch der Grenzwert für x gegen x 0 H von X und ist derselbe wie der von 11 und damit auch das selbe wie der von dir ein Thema was ist das denn Mitschülerinnen Funktionen wie gesagt ich weiß es immer der gleiche kommen will Grenzwerte existiert heißt für jede Folge von schreiben sich die entsprechenden Folgen hin nutzte den Grenzwert dazu folgende stets dar zwecks Übungsblatt die die Möglichkeit das zu trainieren an so jetzt habe ich ihn noch den Konzernen versprochen das ist dir denn es wird
ihm aufpassen ich habe das von von 11 durch die an und jetzt ist ja das Problem diese Funktion f durchgehen muss überhaupt nicht definiert sein auf ganz des er fortgehen so auf die definiert Abend an den Nullstellen von G die zu Problemen und wenn 7 krassen Fall die Funktion des konstant 0 nehmen dann gibt es ein ziemlich globales Problem das heißt es müssen wir ausschließen und das geht folgendermaßen wir schauen und wer mir gesagt der Grenzwert für x g x 0 g von X der existiert nach voraus wer denn nun ist aber sowieso verloren weil dann kann auch grenzwertig grenzwertig existieren also ich habe für den Fall an dass der Grenzwert von wenig 0 ist und das schöne ist das reicht schon weil wenn der Grenzwert von die nicht 0 ist was heißt das das heißt die Funktion egal wie sie sich ein x 0 an deren geht gegenüber dem y dass nicht nur das das heißt dann der Welt können keine Nullstellen liegen die Funktion gegen 7 gehen soll dann kann sie nicht direkt nebendran 0 sein also Sie kann sich sehr schnell wachsen werden kann die nächste nur Stelle kann Millionstel weg sein aber dann haben sie wenigstens den zweimillionste wo sie nicht nur mit also es gibt dann immer eine kleine Umgebung von x 0 1 der die ganze Funktion nicht 0 ist ob dieses die Größe von dieser kleinen Umgebung eigentlich von der Funktion ab und die nicht immer Delta alles gibt dann größer 0 so dass die der Betrag von dem die von x mindestens Betrag halbes du betreiben halte sich strikt größer 0 weil y nicht 0 war also das gilt für alle X in D wird Scotts kompliziert für alle x in D die nahe bei x 0 liegen also die gleichzeitig im Intervall x 0 -minus stellt Excel der daneben und der der Obi aus nicht in x 0 X wurde so zu mir egal und diese Menge den ich jetzt mal kurz hier die Delta 2. Täter sagte der schwer pro meint y der Delta so also sind alle DX den gegen höchstens Geld davon x 0 wechseln und ich x 0 7. so und auf der Menge wissen wir dass unsere Funktion g keine Nullstelle hat und jetzt können wir also auf der Menge ja der Funktion f durch die definieren wir alles können sich die Funktion f durch die anschauen als Funktion von des Delta nach R und da sie aus dem D D D warf X 1 war vom vom von der und sie schauen sich die ganze Umgebung von x 0 an also 6 0 7 noch immer fungspunkt von der Delta also besser macht die Funktion sehen und sie können auch den Grenzwert angucken was und man kriegt jetzt tatsächlich n dass der Limes X gegen x 0 vom kurz 10. also eher von X durch von X der ist der Grenzwerte der der Quotient der Grenzwerte also niemals Siegs gegen x 0 ja von x geteilt durch den Limes x gegen x 0 gefärbt oder sich 0 deswegen macht das das in Jhdt wo ist einfach ein Riesenaufwand dafür sicherzustellen das man eben keine Nullstellen Männer hatten in der Anwendung ist der Satz dreimal einfacher als in der Formulierung also einfach bedeutet es wenn sie .punkt Funktion haben wollen die Grenze ausrechnen und der Grenzwert und ist nicht nur dann können sie ganz weit oben durch ganz rechnen was zum damit haben wir den Serverfunktionen Grenzwert Sätze für Funktionen und was jetzt noch passieren kann das bei folgen auch ist die Funktion kann gegen unendlich streben dann sagt man gern aber wie ist das definiert das ist die eine Frage und die andere ist ich will auch das Verhalten für Funktionen anschauen wenn sie wenn Sie wenn ich x gegen unendlich oder -minus nämlich laufen lasse auch das ich bisher nicht definiert dieser Wegs Gimmicks neue möglichst nur aus die also ich kann nur x 0 im welche der zahlt man aber noch nicht nach unendlich das ist demnächst Definition Definition 7
5 also übliches Setting während Definitionsbereich wir haben Funktion auf diesem Definitionsbereich war das x 0 seine Rolle fungspunkt von unsern Definitionsbereich und was wir jetzt definieren wollen wir es erst mal der Fall dass wir weiterhin in dem es 6 Gimmicks 0 anschauen aber was heißt es dass dieser Grenzwert unendlich ist beziehungsweise was heißt es dass dieser Grenzwert -minus unendlich ist die dies wieder Konvergenz habe verfolgen definiert von da müssen was holen also was müssen wir tun wir müssen uns wieder Folge hernehmen die gegen x 0 geht aber nix neues und was kommt muss für jede Folge gelten also wenn für jede Folge auch wieder Betonung auf jede sie nehmen sich ne Folge also jede Folge einen Deal die Milliarden die nichts 0 ist also am ungleich x 0 für alle in uns allen die aber gegen x nur konvergiert ob er sie -minus n gegen unendlich am möglichst 0 sein so und für jede solche folgen muss was gelten müssen uns den Limes n gegen unendlich er von AN anschauen und wann ist der Liebe Sex Kinks 0 F von X gleich unendlich nein wenn dieser Grenzwert unendlich ist bzw. wenn der -minus hinweg wobei dies die das voller Freude soll endlich hatten Schreibweise dafür eingeführt dass die SEC Folge sogenannt bestimmt noch oder nicht divergiert 1 der Definition von Konvergenz das ist der eine Frage also einen Grenzwert noch unendlich also Grenzwert von 11 unendlich oder -minus nicht und jetzt kommt das andere angesprochenen Grenzwert x gegen unendlich und damit den Grenzwert für x gegen unendlich anschauen können muss natürlich der Definitionsbereich erstmal geeignet seien Sie die Funktion auf 0 1 haben auch wenn der Ball 0 1 da dessen Grenze Dix geben die schwierig also Bari Fahrersitz und das der Definitionsbereich nicht nach oben bzw. nach unten beschränkt ist also ich mache wieder Plus und Minus nämlich in einem Aufwasch nach oben oder unten beschränken wenn ich selber habe unendlich annähern können aus dem befinden unendlich annehmen werden also damit der Falke nehmen können die die bestimmt gegenwärtig divergiert im Definitionsbereich wir schauen uns nur Funktion f auf die an und das Y der Wert vom Grenzwert der sei jetzt zugelassen wenn die reale Zahl oder auch plus minus unendlich dann kriegen Seele also dann definieren wir nehmen das X geben unendlich wenn von Texten gleich y y immer Generäle Zahl oder Plus oder Minus unendlich genau wie vorher wenn für jede Folge AN in was haben immer gesagt 1. 1 der wichtigsten 0 sein gut 1 darf mich unendlich sein dass es ok das nie und es muss gegen x 0 konvergieren also in dem Fall bestimmt divergieren also mit Limes n gegen unendlich ein gleich unendlich muss gelten dass der Limes n gegen unendlich der Funktionswerte er von allen gleich y ist genau die gleiche Definition wie vorher nur dass unsere Folge jetzt eben die Treppe also die Diepold auf der wir testen nicht gegen 10 Uhr geht sondern bestimmt nach unendlich divergiert und das Gleiche für minus unendlich schmier mein Gründe zu das ist nämlich keine große Änderung ist x gegen minus unendlich die Daumen kriegen sehen wenn Sie sich der folgenden gegen minus unendlich bestimmt divergiert also müssen auch hier -minus reinsetzen und das was es gibt so die Macht der am Parkring gedrungen nun die zudem Fragen wir jetzt vom und zum Beispiel an an dem ich jetzt nix rechnen will aber einfach die Begriffe mal plausibel machen wir mir noch Grüne Bombe und zwar gut mit alten relativ bekannter einfache Funktion von x gleich 1 durch x was den Definitionsbereich der maximale sind alle reellen Zahlen die nicht gerade 0 sehen den Graph hat wie wir sie kennen ein die proportionale Zuordnungen also Library Rummel der an
war es auch mal so wie es die x-Achse das wir von Dexter was ist die Grenzwerte die man hier betrachten kann in diesem einen Sinne die wir vorher nicht hätten betrachten können wir können den Grenzwert x gegen unendlich von 1 durch x betrachten des 0 wir können den Grenzwert x gegen minus unendlich von 1 x betrachten wenn Sie X immer kleiner werden lassen wir müssen endlich laufen komm so von unten den Astra auf wie wir das immer negativeren der sich genauso 0 und der andere mir andere ergänzt werden wir mit dem er an mit denen Instrumentarium der Definition 7 1 nicht hätten angeben können 10 die 0 also das bisher wenn sie Grenzwert gegen 0 anschauen von 1 durch x dann ist der erstmalig definiert weil wir dafür muss rechts und von links kommt was hinten dabei verschiedene Dinge aber wenn wir das unterscheiden dann klappt das also der Grenzwert von rechts von 1 durch x des plus unendlich wann der Grenzwert von links wann Einstig x 0 dessen des nennt das sind die Grenzwerte die Sie jetzt angeben können mit der neuen Definition dienen 7 1 nicht enthalten sind so 9 2. Teil von dem Beispiel betrifft die Links Funktion der dann alles ist ja auch schon mehrfach betrachtete Exponentialfunktionen also schwarz Sommer Hinweise doch bisschen ist genannt groß es von R nach R und wir hatten wir die definiert werden wir sogar für komplexe Argumente definiert aber das ist mit Maria bleiben EU EOX wobei er die Eulersche Zahl ist und werden festgestellt die eine schöne Darstellungen nämlich über wenn Reihe wie jedes x aus er ist dass die reine x hoch allen durch n Fakultät wenn sie von 0 gleich bis unendlich summieren und wir haben festgestellt was immer sie als X nehmen dieser Reihe ist absolut konvergent und definierte damit Funktionen ist der sich immer raus die Funktion ist jedoch X und was ich jetzt hier anschauen will ist die Frage was ist wenn es x gegen plus oder minus unendlich und Exponentialfunktion weiß man aber den Grafen in den Sie mal was raus kommt und dann überlegen wo und warum das rauskommt also das macht Exponentialfunktionen an der Stelle nur dass sie einst wir auch negative Zahl wird immer kleiner und wenn sie dann mal ich die einst durch sind dann geht es denn dieser aber naja er also so ungefähr Diana bei dass es Firmen Fehler drin an ja ja ja ok da Busina gucken danke gut 2. was also so wie Sie es hier steht dieses gemeint so also interessieren die Grenzwerte Felix Genn plus und minus unendlich am Bild sehen was rauskommen sollte der plus unendlich verdammt ähnlich und Windows unendlich 0 also welche über das Meer warum ist das so Name 1. große X also wir schauen uns mal an was für positive x passiert da gibts kann man das Ganze ich meine sehr sehr grobe Abschätzung machen was nehmen wir nehmen uns die ihre Funktionen der also die Reise in gleich 0 bis unendlich x sollen durch n Fakultät und jetzt jetzt aber dass er rund nach und sagen diese Funktion ist mindestens so groß und zwar auf eine sehr sehr grobe Weisel wir das nun endlich -minus 1 zumal wir also das war man übrig nämlich der 1. der in den 2. liegen aber den 2. und alle andern schmeißen Manama also das ist größer gleich X doch einzig ein Fakultät bestimmter Links positiv ist das heißt also man so positiv wenn Sie alleine wegschmeißen unsere Kleider das ist X der und jetzt geht die Monotonie vom Grenzwert x gegen unendlich von Borneo RECs an ist dann auch größer als lebendes x gegen unendlich von X nur das ist die Monotonie von Grenzwerte die man wenn man es ganz saubermachen müsste jetzt endlich auch für die ohne eigentliche nochmal hinschreiben müsste aber die geht auch Na ja und damit kriegen sehr der ist jetzt nicht mehr so schwer also kommt dann endlich raus doch wenn sie dem an und wenn sie auch den Sex gegen minus unendlich geschenkt weil was ist der Grenzwert von links gegen minus unendlich von Leo Relax war das 1. was n bisschen umgeschrieben der Grenzwert x gegen minus unendlich von 1 durch er hoch minus x 1 durch als durch ist wie das vorherige und das schöne es wenn x gegen minus unendlich geht dann geht -minus x gegen plus unendlich also dass der Grenzwert für The gegen unendlich von einst sich auch die n wenn x gegen unendlich geht -minus wenn nicht geht dann geht halt -minus x gegen unendlich und das ist 1 durch unendlich und das ist 0 n so kann man durch die schön Eigenschaften der Funktion das man weiß sie auch -minus x ist einzig Lyrics der ein Grenzwert auf dem andern zurückspielen Jo das war sozusagen der technische vorbei denn wir brauchen um mit Funktionen hantieren zu können einen Grenzwert Sinne meiner lettischen 7 und denn wenn wir jetzt eifrig nutzen um den nächsten 1. großen wichtigen Begriffen der Warnung von Funktionen zu definieren dass die Stetigkeit und ich Tätigkeit hat die ganz alltägliche Deutungen und bis ihn ein lieb und
teuer weil sie alle mögen Stetigkeit Sie dass es noch nicht ich ich der ich keine heißt anschaulich wenn Sie eine Funktion haben und es kann jetzt irgendein Zusammenhang bedeuten ja also Funktion im allgemeinsten Sinne sehr was an dem Sie drehen können ,komma raus dann bedeutet Stetigkeit wenn sie am Argument nur wenig wackeln also mit dem Argument der Funktion ein bisschen was verändern das kann sie sein dass keine äußere Störung sei das Argument der Funktion verschiebt sich ein bisschen dann verschiebt sich auch im Ergebnis nur bisschen das es Stetigkeit wenn sie am Argument nur wenig wackeln wackelt auch die Funktion nur wenig und damit ist stetiges Verhalten eine absolute Grundannahme unseres Lebens der Mensch denkt in stetigen zusammenhängen und ist immer dann perplex und verblüfft wenn irgendwas und stetig ist also zum Beispiel wenn Sie kochen dann nutzen Sie ständig Stetigkeit weil was bedeutet Stetigkeit wenn sie an der Menge sei diese reintun ganz bisschen wackeln dann ändert sich am Geschmack auch nicht hin wenn sich vor dass wir nicht so dass sich der mit Apotheker vage dastehen und das Salz für die Suppe aber messen weil da das manchen zu viel Macht sofort diesen Ausschlag dass wir nur stetiges verhalten und die klassische wird oder beim Kochen für Bahrain schon passend wäre ohne Stetigkeit ziemlich üben umgekehrt und das ist ein Versprechen das ich einlöse aus was letzten oder vorletzten Vorlesung den letzten Plätzen Semesters gibt da habe ich ihm gesagt ist Evaluations Auswertung meine und ganz sicher nicht mehr als halbe Minute daneben geht weil ich dort Bus und Bahn nutzen er hatte gesagt es habe mathematischen Grund unter meinem eines Grundes Stetigkeit gelagert und Stetigkeit weil Bahnfahren ist leider und stetig oder Bus fahren das wenn sie alle auch nur einmal erlebt haben Weise setzen den Zusammenhang der die Funktion die Funktion ist wenn sie von zu Hause weg gehen es der Eingangsparameter unter Ausgangs Parameter ist an Sidonie ankommen und wenn sie jetzt nein wieder optimierte seine Wege das heißt sie geben so 20. grundlos bevor es absolut spätes und wenn Sie jetzt an einem Tag halt da unten das sind knapp dran sind dann reicht das sie 2 Millisekun zu spät los das Denis Buss weg ist eine ganze Stunde später dort gibt das so richtiges Verhalten war ein kleines bisschen Eingangsparameter drehen wir das Grab noch Schlüssel vergessen sagte er dass er hinten ganz ganz viel schief geht er ohne Stetigkeit ist Mist und das will muss man versuchen sie zu vermeiden oder muss ich für eine Person zu erkennen und wie gesagt der Mensch lebt widerständigen Grundannahme dass alles stetig ist und klicken Riesenproblem wenn das nicht mehr so ist und wenn sie sich mal überlegen was Klassiker das vom Szenarien sind sind es üblicherweise unstetige Dinge auf die man nicht vorbereitet war und zwar vom Körper von der kleinsten Katastrofe er ihren Haushalt bis zur großen Naturkatastrophen er auch in der Grammatik sind absolut angewiesen auf Stetigkeit sobald sich irgendwas simulieren ja dann wenn sie dann ein Zusammenhang simulieren wenn sie den garantiert in Form von der Funktionen schreiben zu und jetzt am See Eingabedaten die Simulation das im 1. Messdaten die garantierten Fehler haben dann ab zweitens muss ihr Maschine weisen leider nur endlichen Speicherplatz hat mit Maschinen seine arbeiten wir das heißt sie waren kleine Fehler aber das ist auch völlig ok normalerweise sind fast alle natürlich Zusammenhänge tätig das heißt in den kleinen Fehler den Eingangsdaten machen dann kommt das Ergebnis schon ungefähr richtig aus bei kleiner Film Eingangsdaten die kleinen vielmehr ist Stetigkeit wenn Sie denn und ich den Zusammenhang simulierenden sitzen 7. 10. beides können denn passieren dass durch den kleinen Rundungsfehlern anfangen gelten Tracht was völlig anderes draus .punkt also Tätigkeit ist fundamental und sie so fundamental dass sie üblicherweise wieder vergessen und erst dann draufkommen wenn es mal nicht klappt nein aber deswegen ist dass der 1. Begriff Mitte nicht einsteigen will so vieles Motivation dazu also was wir was wir sauber modellieren wollen es diese Anschauungen wenig wackeln am Eingangsparameter sorgt für wenig wackeln am Ergebnis und das kann man jetzt nicht für alle Funktionen pauschalieren und sagen wenn der Eingangsparameter 19. wackelt aber das Ergebnis nun 10. wackeln weil es gegen mögliche Zusammenhänge gibt ja aber wir müssen wie diese Idee haben modellieren ganz sauber mathematisch fassen wenn der Eingangsparameter ganz in der Nähe von einem bestimmten Wert liegt dann liegt der Funktionswert ganz in der Nähe von Funktionswert bestimmt wird das Definition der Stetigkeit der schreib ich noch hin dann können Sie die er die Woche ne bis Freitag verdauen und dann schauen uns die genau an also das ist Definition 7 und wenn wir eine Funktion auf er also im Definitionsbereich Funktion auf den Definitionsbereich die gegeben und wir haben 6 Nullen des bei befindlichen was stetig ist wir können Sie mal drüber nachdenken wie dieser Begriff mit diese warum diese das ist ein gutes Thema für die Diskussion beim Mittagessen warum dieser diese Definition diese Intuition bin ich war Eingangsparameter wackelt wenig am Ausgang Ergebnis deshalb also wir sagen es heißt ich an der Stelle x 0 wenn es kommt wieder für jede Folge und auch hier für jede Folge ist die Betonung zudem sich ihre Erfolge in der Ehe die gegen x 0 konvergiert also jeder darf sich der andere Wellen Folge gegen nehmen die den x 0 geht und was sie dann kriegen müssen ist dass der Grenzwert der Funktionswerte der Folge also eher von 1 bis jetzt die Folge der Funktionswerte und dieser Grenzwert muss das gleiche sein wie er von x 0 dass
es Tätigkeiten nix 0 dann heißt wie kann man spricht man häufig davon dass der Funktion auch im ganzen Definitionsbereich oder auf einem ganzen Dorf eine Menge ganze Menge stetig ist was heißt dass er stetig auf die das heißt einfach nur es besteht nicht in jedem Punkt von des also wenn es stetig in iX 0 der jedes 6. 0 ausdehnen also sie fundamental Definition des Tätigkeiten ein .punkt Uneinsichtigkeit in diesem Punkt haben der man das eben stetig auf der Menge und das 3. was ich einführen will es einfach Schreibweise und zwar C von des das ist einfach die Menge aller Funktionen die stetig sind auf die also die Menge aller Funktionen nach von den so dass es der stetige Funktion auf die ist das CD das große C vorne kommt vom englischen Wort konnten die es versteht ich also das ist die Menge aller stetige Funktion dies ist einfach die Bezeichnung manchmal nützlich und das ist die international übliche Notation dafür gut also diskutieren sie die Definition wir sehen uns am Freitag wieder für heute als ich dann wieder auf kann
Zusammenhang <Mathematik>
Gasströmung
Mathematik
Zugbeanspruchung
Gesamtdruck
Uniforme Struktur
Mathematik
Punkt
Rundung
Mathematik
Schlussregel
Berechnung
Mathematik
Analysis
Parametersystem
Folge <Mathematik>
Punkt
Graph
Algebra
Abbildung <Physik>
Mathematik
Nummerierung
Lineare Abbildung
Teilmenge
Spezielle Funktion
Index
Variable
Stetigkeit
Mathematiker
Lineare Funktion
Ganze Funktion
Reelle Funktion
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Analysis
Folge <Mathematik>
Punkt
Menge
Gradient
Summe
Folge <Mathematik>
Quadrat
Punkt
Menge
Reihe
Hausdorff-Raum
Linie
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Teilmenge
Summe
Addition
Folge <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Quotient
Orbit <Mathematik>
Physikalische Theorie
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Weg <Topologie>
Graph
Betrag <Mathematik>
Menge
Reelle Zahl
Quotient
Nullstelle
Gleitendes Mittel
Ganze Funktion
Zahl
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Parametersystem
Darstellung <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
E-Funktion
Reihe
Exponentialfunktion
Gleitendes Mittel
Hausdorff-Raum
Null
Negative Zahl
Menge
Rundungsfehler
Stetigkeit
Abschätzung
e <Zahl>
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Punkt
Menge
Stetige Funktion
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Der Grenzwertbegriff
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 01
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34537
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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