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Allgemeine Algebra

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man hat an der TU Darmstadt ok wo
immer herzlich willkommen was kommen wir doch noch ein paar vielleicht werden wir die 100 Donna Ellen wir sind immer noch da im Kapitel über die Differenzialgleichung dass wir heute abschließen und ich hatte ihn letztes Mal als Abschluss der Reihe von Gleichungen der bei dem man konkret wirklich was rechnen kann die linearen Gleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten vorgeführt also was war das das ist die Gleichung der Form wir haben in der Summe der sehr Semlin ja Kombination der in im 1. Ableitung der Funktion die gleich 0 ist oder wenn der rechten Seite der nur das homogene Fall also dem DomU den Fall angeguckt also gleich 0 also in der Ableitung von y +plus ein Koeffizient 1 -minus 1 mal n das 1. Ableitung von y los und so weiter und am Schluss steht er einst y strich Phontäne USA 0 y von die gleich 0 das ist ne lineare Gleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten homogen also rechts gleich 0 können Sie auch inhomogen machen mit rechts wie von die wir müssen sie wieder die ganze Zeit dass sich ihre Führung homogen Lösung nehmen und weil wir konstanten man und ich hatte in der letzten Vorlesung ein bisschen was mit diesen sah ich um umgerechnet Einfluss den Satz gezeigt in dem diese Gleichung fasst das Einfachste sind was in den Bereich um mal das ist sozusagen ganz das klar Algorythmus wenn sie anwenden müssen 1. was immer man solle gleich und kriegen ist sie bilden das zugehörige charakteristische Polynom ist dies so war das eigentlich im Hintergrund ob dem Eigenwert Problemen kommt das aber in allen aber in dem Moment da mich interessieren muss und das könnte dass diese Proben Polynom kriegen Sie aus Vergleichung einfach indem sie des n e j der Ableitung der Landauer ersetzen also wenn dergleichen wurden anfragen dann steht Lander hoch enden +plus am -minus 1 haben auch in -minus 1 +plus und so weiter bis A 1 mal da bloß an 0 was Sie jetzt brauchen Sie die Nullstellen von dem Polynom nur das ist sozusagen das kritischste an der Sache die müssen sie es ausrechnen wir das Solomon Grad hat dann kann das unangenehm sein aber in der Theorie kann man schreiben also dieses Polynoms hat eben 0 stellen man mindestens also mit 7 komplex gesprochen natürlich man mindestens eine aber es müssen natürlich es könne höchstens in seinem es müssen nicht in sein sie können mehrfache Nullstellen haben das will nämlich nicht den Wallander eines bislang Dakar die Nullstellen davon und eben die können die verhalten haben die Größe eines sind und diese vielfach ich mal jeweils entsprechend M 1 es kaputt und so man sie diese Nullstellen sie halten haben sie fertig war dann können Sie das fundamental System indirekt hinschreiben fundamental System war was fundamental System ist eine Basis des Lösungsraum so die Theorie sagt Benson lineare Gleichung homogene lineare Gleichung haben ist die Menge aller Lösungen in meinem unter Vektorraum wenn also hinweg Vektorraum bekam machten von der Basis zu sprechen und ohne Basis nehmen fundamental System und die können setzt einfach hinschreiben eine Lösung Funktion ist für jeden Eigenwert die Funktion er wochenlang da mal täten es ist immer Lösung wenn sie immer wenn der ein die Nullstelle einfach ist dann ist das schon alles was sie von dem Eigenwert kriegen wenn die Nullstellen mehrfach ist dann nehmen sie noch dazu die Funktion Thema der Woche haben wir ja auch mal die mir nachdem ich wie vielfach die Nullstelle ist immer mehr Tempo Tänzen an wenig Nullstelle n Jahr traf es da müssen Sie das ZDF Potenz MJ -minus 1 gehen mal im Hochlande Lotterie und dass man sie für jeden Nullstellen also ihre wird von 1 bis K und auf die Weise da die die Verhalten der stellen sich natürlich TN addieren klicken Sie auf die Weise genau in Funktionen sind weniger unabhängig in die Vene Basis von Jungfrau und das war der Satz der 6 zum letzten Mal unter für es aber nur noch das Beispiel an dem wir das mal
durchrechnen und dann sehen Sie das ist wirklich kein großes Problem er 10 bei den ich damals meine Differentialgleichungen im Grundstudium gehört hab hat dazu gesagt das können Sie dem Schimpansen beibringen in 1 ist übertrieben aber das war immer selbst also gegeben und so eine Gleichung vor 4. Ableitung von y -minus 2 die 3. Ableitung von y +plus 2 Mal die 1. Ableitung von y -minus y gleich 0 ist der Differentialgleichungen was man der stehen das charakteristische Polynom auf siehe oben das wäre dann auch 4 -minus 2 auch 3 +plus 2 Lander der Tanana Quadrat gilt sie keine 2. Ableitung haben -minus 1 trauen Sie neue Stellen davon das ist wie gesagt schon fast das größte Problem dabei in dem Fall ist es sinnvoll ein bisschen rum zu raten und dann sieht man relativ schnell dass 1 1 ist nur 1 -minus 2 -minus 2 -minus 1 ist 0 und dann kann man anfangen und wollen um die Vision zu machen und zu dividieren und dann kommt irgendwie raus dass es -minus 1 noch 3 Wallander +plus 1 das heißt ein dreifache Nullstelle -minus 1 ne einfache und dann haben sie ihr fundamentales ist denn da stehen also was dann das Fundament dem wegen Eigenwert kriegen Sie erst mal ihre Hochland RTL also für dadurch 1 die Funktion die Wucht des gleich 1 ist dreifache Nullstelle also kriegen wir noch Thema er auch Tee und die Quadratmeile Hochtäler so und -minus 1 ist einfache Nullstelle also noch die Funktion -minus denn das was ja der letzten Übung glaube ich schon eine vom 7. Grad insofern ist das hier von einfaches Beispiel aber sie sehen es geht relativ zügig wenn man die Nullstellen das Problem sie Nullstellen von Polen natürlich zuordnen das ist die Abteilung wie rechne ich gibt es hier solche Lösungen aus und worüber ich mich bisher total aus geschwiegen habe und was ich jetzt am Schluss noch leider ein etwas kurzer Form nach schieben will ist die ganze Frage woher weiß denn überhaupt ob es Lösungen gibt und wenn ich genügend Anfangswerte vorschreibe wir uns am Anfang bei unser Wachstumsmodell überlegt dann ist es eben wie aus der musikalischen oder sonst wie anschauen natürlich wenn die Gleichungen 1. Ordnung haben die beiden Wachstumsmodellen und Sie sagen wie am wieder Startzustand ist beim erwarten Sie eigentlich ne eindeutige Lösbarkeit wenn sie wenn sie sich dem man das Richterin sein beschrieben ist und sie sagen sie lagen dem System ganz exakt wie sieht wie sieht es ist den zum Zeitpunkt 0 aus dann geht er wie unser Determinismus glaube der sagte die für sie kann mich nicht entscheiden sondern die muss irgendwie eine eindeutige Fortsetzung der Welt haben und dann dann werden solltest eindeutige Lösung geben das Problem warum uns das dessen Alltag nix nutzt ist das ist natürlich in keinem für Sie noch also in einem physikalischen System dass irgendeine Relevanz hat jemals schaffen den anfangs wird auf alle Nachkommastellen genau zu bestimmen will aber sozusagen die gesamte physikalische oder in gewesen sein die Weltanschauung geht davon aus wenn sie das theoretisch könnten könnten sie das gesamte Universum bis zum Ende durchfechten also ist die leichung haben die das Universum beschreibt dies nicht die man ich hab und wenn sie jeden polieren ein Türmchen und bin Imitat reichen zum Zeitpunkt 0 genau wissen was es gratuliert dann theoretisch könnten sie alles vorhersagt kann man aber das ist das was bei Geld und das ist die Frage der eindeutig eindeutigen Lösbarkeit von Anfangswertproblem und dazu will jetzt noch ein bisschen was erzählt das ist Abschnitt der Existenz und Eindeutigkeit Resultate war Graph 5 und da geht es
eben das ist der Theorieteil ist keine bilden sozusagen drum geht sie haben wir über die Differenzialgleichung im Allgemeinen komplizierten rechten Seite die so aussieht dass sie überhaupt keine Lust haben auch nur daran zu denken zu versuchen die auszurechnen die Lösung sondern es geht einfach um die Frage hat diese gleich überhaupt Lösung und wie sich das der Gleichung an ohne dass es ausrechnen und da geht's und das ist der Grund warum mathematisch gewöhnliche Differenzialgleichung so was recht schönes sind 2 ganz entscheidende und starke erzähle Ihnen sagen was ihre Existenz was über Eindeutigkeit aus und die wie ich in beide vorstellen ich will sie beide nicht beweisen was beim 1. leicht werden dem 2. Spieler aber ich hab einmal die mir die Zeit dazu er und ihn einfach nur zeigen was es da gibt und n da eigenen an welchen Stellen für welche Gleichung 7 die Chance haben es ist Lösung gibt und wenn man vorsichtig sein muss und wann sie sicher sein können dass die Lösung einer der Begleiter zu sein diese Frage der Eindeutigkeit der Lösung ist keine akademische sondern für Sie so weit in die also wenn Sie nie wieder mit dir seine so tun kriegen sich für sie relevant logisch aber jeder der mal irgendwie was modellieren will oder einen einen runden nährungs Numerik für ein Problem schreiben müssen deren Zahl Welten zu tun hat sollte sich tunlichst mit dem Begriff der Eindeutigkeit auseinandersetzen weil was macht man was macht ein Numerisches Programme sanieren vergleichen löst sie vielleicht in meinem suchen bei schreiben werden es mir diese Gleichung irgendwie an und macht im Normalfall daraus in ihr 1. eigenes System war das bin unendlich dimensionale WDR Probleme nämlich die man sich in den 1. 1 ist man und das löst man und dann kriegt man nur so raus und anhand der sieht man in die Richtung muss es gehen und verfeinert sein Dieter oder was auch immer und sucht dich klicken größeres Ninjas Trennsystem ist wieder und die Hoffnung ist natürlich dass diese intelligenten Lösungen der wie gegen die Lösung also die Lösung der Gelehrten Probleme gegen die sorgen das und Frivoles Comedienne und wenn sie wenn ich in Sachsen sollen gegen die Lösung des offenen Problems konvergierende steht das schon Eindeutigkeit drin aber wenn es gut wo wir 5 Lösung hat dann kann sie dem passieren dass ihre Näherungsverfahren sich nicht entscheiden kann und sozusagen zwischen diesen 5 Lösung erratisch hin und her springen und sie kriegen keine Konvergenz nur das heißt wenn sie in wenn Sie so Näherungsverfahren haben wenn es ganz wichtig zu wissen dass es möglich sei eine Lösung gibt bei denen brauchen Sie solche Gedanken vor schon nicht machen den sich ganz schlimm vor sie habe nicht nur 5 Lösung sondern sie einem Kontinuum von Lösungen Numerik überhaupt keine Chance mehr sich für irgendwas zu entscheiden wo soll sie denn in Berlin will ich viele Lösungen dicht nebeneinander da kann sie drauf und leitender kann sich alles mögliche einfallen lassen aber so wie ich komme die deswegen ist eine recht von Lösungen natürlich akademische Frage die aber hoch praktische Relevanz und Sie werden sehen würde würde die wenn tialgleichung ist das freundlicherweise sehr befriedigend gelöst und es gibt ein wunderbares Resultat dass ihnen die Eindeutigkeit und ganz allgemein in sehr allgemein fehlen die und wurde zur Eindeutigkeit kommen wann mit der Existenz an sozusagen die die verlegen oder die die zentrale Frage wann gibt es denn überhaupt Lösungen und da sie das sieht der gut aus im Prinzip haben alle die Differenzialgleichung ich bisher hingeschrieben hat und in der Vorlesung an Lösungen und das
liegt daran dass ich immer überall gefordert hat dass die Rechten seit stetig sein sollen und was dann zieht ist der Satz von Peano nach dem italienischen Mathematiker Giuseppe Peano der ein oder andere Peano Kurven kennen das ist der und sagt man sie einfach mehr über die Differenzialgleichung 1. Ordnung haben ich werde den ganzen Abschnitt nur 1. Ordnungs befreien tialgleichung weil sie Abschnitt hier Sie können jetzt die Wand sei gleich und höherer Ordnung in ein System von die Fenster Gleichung 1. Ordnung zurückspielen wenn sie also die Lösung Theorie für 1. Ordnungssysteme von 1. Ordnung kennen dann kennen Sie die auch gehöre auch so also das haben wir dann in der Valley wie immer auf dem unser Parameter Tele nach wir ableiten haben System von Essential werden das heißt den rechte Seite die auf i Kreuz allen definiert ist und er geht und die entscheidende Voraussetzung ist jetzt dass die rechte Seite der Differenzialgleichung stetige Funktion man sagt Besatzung Brian hoben ihre Gebühren tialgleichung 1 mit stetige rechte Seite hat und zwar in Tee und NY steht ich ja also von ihr Kreuz NAN stetig dann können Sie Ihren Anfangszeitpunkt den Nullen I wählen wie sie wollen und sie können ihren anfangs Wert y 0 wählen wie sie wollen dann hat das Anfangswertproblem damit immer eine Lösungen das sagt man überhaupt nicht wie Sie sie ausrechnen können und das sagt bin überhaupt nicht wir so aussieht aber es gibt immer ein als allgemeine Anfangswertproblem y Striches er von TY von denen ok und y s DDT 0 so y 0 sein hat dann immer eine Lösung dass der Satz vom Piano und damit ist das Existenz die Existenzfrage die mich weil räumlich geklärt wird zu sagen sie müssen sich nur dann Gedanken machen wenn die rechte Seite und stetig wird du da würd ich jetzt mal behaupten mit solchen Sauereien wenn sie wenig zu tun können also wenn Sie irgendwie ne Gleichung kriegen die aus einer naturwissenschaftlichen biologischen ingenieurwissenschaftlichen physikalischen sonst wie Anwendung kommt dann ist das zwar meistens stetig an und er ich werde mal kurz erinnern was es heißt das Ding hat Lösungen dass da keine Missverständnis geben das heißt nicht dass der Funktion y finden die auch ganz I definiert ist das Ding löst was mir ganz am Anfang mal das kann durchaus sein dass ihre Lösung nur einen kleinen Bereich unter 0 existiert und dann sofort explodiert das ist ja der sich später so wild angemalt oder Funktion es eine Lösung aber kurz nach den Anfangszeitpunkt verschwand die vor dem unendlichen Leid das keinen passieren das heißt was Lösung heißt es dass es ein Definition weiter vorne es gibt ein Intervall das ist auch wirklich offen also es nicht in die offene Punkte generiert oder sowas 10. offenes Intervall J das ne lebt und das in Anfangszeitpunkt enthält und eine Funktion eine Lösung die was muss in seinem Wissen Lösung sein kann er sollte stetig differenzierbar sein sonst ist es ,komma nicht sinnvoll wie auf J lebt nach in die und eine Lösung auf dem Intervall JS ja aber sie können im allgemeine keine globale Lösung erwarten also keine Lösung wie auch ganz liegt das wird nicht gehen da hatten wir einfache Beispiele aber sein sondern sagte man wann immer sie eine stetige rechte Seite haben können Sie sich denn nun y 0 beliebig zusammensuchen es gibt immer eine Lösung das ist ein ein 1 der den tralen wird sie aus der Theorie der ewigen Differentialgleichungen und eigentlich sehr befriedigende Antwort auf die Frage nach
Existenzen und es ist natürlich die Frage wer hatten bisher immer nur Beispiele wenn wir dann wirklich ausgerechnet haben Lösung zum Anfangswertproblem meine Lösung immer eindeutig und sie kann sie mal zurück erinnern in der Vorlesung auch in der ihren Übungsaufgaben den Fall dass sie zu einem Anfangswertproblem mehrere Lösungen hatten in hatten wir nie und das ist ja auch wie gesagt aus der Physik oder sonst wie anschauen ja eigentlich zu erwarten ist kann man hoffen vielleicht passiert das auch nicht also vielleicht gibt immer der eindeutige lösbar und da gibts ne gute und schlechte Nachrichten die schlechte Nachricht ist dass es nicht so das ist das Beispiel was jetzt kommen wie können durchaus relativ übersichtliche kurze einfache Differenzialgleichung anfangs die man schreiben will die Eindeutigkeit schiefgehen und die gute Nachricht kommt danach wenn sie die Voraussetzung nicht Voraussetzung stetig die rechte Seite f n bisschen verschärfen dann geht's wieder gut aber es ist die 1. schlechte Nachricht ich habe ihn ein Anfangswertproblem mitgebracht und zwar sogar der autonome Differentialgleichungen kurz knapp und problemlos wird Landstriches Betrag von y hoch 2 3. die können so dass er den y von 0 gleich 0 schon einfaches Anfangswertproblem autonome Differenzialgleichung also die rechte Seite endlich von The ab oder nur wir y von The aber nicht XP bekannt wie das heißt insbesondere Spezialfall von der Gleichung von getrennten verinnerlichen also könnte die Lösung ausrechnen warum gibt überhaupt ne Lösung warum die 10 Lösung Satzung sondern auch die rechte Seite Betrag von Apps 2 3. ist wunderbar stetige Funktion auf ganz R ja mit y auch in Frage stetig hoch 2 Drittel des steht diese Reise was Positives Anwender aber der Betrag ist positiv also wunderbar stetig das heißt ja nur sagt und sofort es geht auf jeden Fall Lösung mindestens ein also gewohnt frohgemut machen unser Verfahren getrennte veränderliche nochmal zusammenzusuchen es geht ja recht weil die ein Gleichungen relativ einfach ist also was ist die gleichen die gleichen des y strich =ist gleich also ich innerlich nun Geschwin Betrag y hoch 2. wie Mama das wie lösen wir das Mehr trennen veränderliche Integral über Betrag Y hoch minus 2 Drittel ihr y =ist gleich Integrale da nix oder über Eigentum lag und Gänse umrechnen dass kriegen Sie Integral ein Betrag von den 1. 2 3. ja wenn der Betrag nicht also Sarah wenn er da ist da ich komme Nagra positive Lösung ein gellendes weitere erlauben Sie mir sicher nachher ,komma positive Lösung also besser positive Lösung an
er habe diesen Stress mit dem Integral hab ich y -minus 2 Drittel der y =ist gleich Integral über die Titel zur also positive Lösung es zwar na ja das ist es nicht wert sind die gehen und nur noch -minus 2 3. ist vielleicht so mühsam sich zu überlegen aber geht einfach nach der Standardformel X auch X auch Alfa integrieren sie als 1 durch einfach +plus 1 2 X zu hoch Malik so alpha +plus 1 also 1 deutlich 1 -minus 2 Drittel mal y hoch 3. =ist gleich T oder wollen es zusammenfassen 1 -minus 2 3. ein Drittel also bleibt übrig 3 dreimal y hoch ein Drittel =ist gleich Tiere Tilp oder damals nach y auflöst y von ist ein 3. Martin plus 10 und daraus und das hoch 3 an also 1 27. G +plus c Buch keine es dir so es immer noch den anfangs werde man von uns nur y von 0 bis 0 also wenn wir dann mal 0 einsetzen dann kommt was y von 0 1 27. mal 10 hoch 3 und man das nur sein soll dann muss das C wohl sein sagen also haben wir y von The bis 1 27. die
hoch 3 wenn Sie ein können jetzt Probe machen funktioniert wunderbar 8 also das Ableiten kommt raus 3 27 bis 9. 9 Sitek Waran weil sie funktionieren nur noch 2 Drittel nehmen und kriegen sie erst die 3. Wurzel es T im Quadrat ist am 9. Tag verbracht haben wir wunderbare Lösung leider gibt es noch eine Version ohne Lösungen da sich die Gleichung ankommen immer noch wie früher drauf kommen können Sie mal konstant 0 und konstant Nones differenzierbar die aber ist 0 und von Thomas bei nur noch 2 Drittel es immer noch 0 also eine wunderbare Lösung den Anfangswerte führte auch also was wir kriegen ist tatsächlich der und 2. .punkt neue ist nicht dasselbe wie in 27 auch 3 macht das werden Sie mir zustimmen
also aber die Funktion y von The gleich 0 ist ebenfalls eine Lösung und jetzt haben sie tatsächlich 2 Lösungen also das Schreiben vor einer Stelle nur sollte nur sein und danach soll sich der Differenzialgleichung fühlen und es gibt eine Lösung die unten bleibt und es gibt eine Lösung 1 27 3. hoch 3 die hoch mache und sie sehen tatsächlich in dem Fall haben sie mir nicht Eindeutigkeit der Lösung und jetzt ist die Frage woran liegt das und die Antwort ist das liegt daran dass diese rechte Seite y noch 2 Drittel zwar stetig ist aber nicht Exit steht an wenn Sie sich noch mal kurz dann aber sehr hübsch tätig waren hab immerhin Olivet steht auf jeden Fall was stärkeres das stetig oder dazwischen spielt sich das was jetzt kommt ist der Satz von Kalender ist der 2. große wichtige Satz aus der Theorie der der gewöhnliche Gewinn tialgleichung der Theorie der Lösung also ob Lösungen die und der sagt wenn ihre Funktion nicht nur stetig ist also Saturn wir aber brauchen sich stetig dann haben Sie Existenz von einer Summe wenn sie nicht nur stetig ist sondern sogar wird tätig dann existierende Lösungen Wialow aber dann ist es die Lösung eindeutig also wie sieht das aus also wenn sie sie brauchen in der Wahlen er und das ich es Tiere wie die einfach halt der Darstellung mal kompakt voraussetzten da kann man von Becker oder Samsung komplizierter so wie vorhin setzten aber erstmal voraus unsere Funktion f von ihr Kreuz auch ändern auch eines stetig bis jetzt ist alles wieder Piano und sie nehmen Anfangswertproblem also nehmen sich irgendwie nur den IE und sie in sich
Anfangswerten an jetzt kommt die Tunnels Voraussetzungen Lizenz Tätigkeit eines also besser wenn sie das Zelt in dem man jetzt erst ,komma gleich 11 und TY y von dir etwa 0 anschauen sie Lösung erklären Sie wollen wissen wann die eindeutig ist und da kommt jetzt die Geschäftstätigkeit ins Spiel es kommt die sogenannte Lizenzbedingung an 11 wenn es eine L größer gleich 0 gibt so dass der Abstand von also die Funktion f im 2. Argument also dem Argument wo das y drin drinstehen besteht stetig ist das heißt es trauen sich lassen das TV fest wenn sich ein des und schauen sich Differenzen an 11 von TY 1 -minus 11 von TY 2 es geht nach allen also ist er von TY 1 man immer in der von dir und zwar auch und deswegen schreib ich dann Normen drum rum wobei das Vektoren immense weggenommen Sie nehmen es wirklich egal wenn wen so wen sie wählen sind in allen nur mittlerweile ein also nehmen sie ihre Lieblingssongs der sich durch die 2 nahm vor also sicher schauen sich den Abstand der Wähler an und der 1. und jetzt stetig bedeute die jetzt die können diesen Abstand kontrollieren durch den Abstand der Urwälder also ich allen mal den Abstand und y 1 y 2 und dieses L muss in dem Sinne universal sein dass sie mit dem gleichen L arbeiten können für alle T aus die und alle Wahlen von y 1 und y 2 aus allen also was das bedeutet ist eigentlich nur diese Funktion f muss im 2. argumentiert stets wichtigster und zwar am das kommt mit der Lizenz Konstante die unabhängig von Text also müssen eine Lizenz konstante nehmen die für alle die funktioniert das nennt man der Wildschütz Bedingung und das ist eben mehr als Stetigkeit des hatten wir beim der Stetigkeit am Anfang des Semesters eingeführt hat sind alle Kreise schließen sich gesagt der stetig ist mehr als nötig wie benötigte die Vorfreude stetig aber nicht umgekehrt ein Beispiel y 2 Welten und so also bei allen was wir jetzt da haben ist wenn sie nicht gegen die rechte Seite habe die mit 4 Bedingungen erfüllt nein kommt ist die
Aussage von die Kalender wird dann ist das Anfangswertproblem dass wir die ganze Zeit anschauen das Landstrich fand die Leiche von TY und die The aus und y von die neue gleich y 0 eindeutig lösbar an lösbar Gegensatz von Piano eindeutig lösbar ist das was jetzt dazukommt wenn Sie jetzt zurückschauen und immer wenn ich die Differentialgleichungen in die Welt der Vorlesung als Beispiele hatten diese Übung gerechnet haben dann waren das immer recht Seiten die waren zumindest in der Nähe von T 0 wird steht die rechte Seite und deswegen haben sie immer eindeutige Lösung ausgibt und auch im normalen 1 7 nicht völlig durchgeknallten Gleichung zu tun kriegen wenn die rechten Seite mit tätig ist meistens auch recht einfach nachzuweisen ist bezieht wird und das macht diesen Satz ist der 1. Punkte diesen Satz so wertvoll macht wir müssen eben 1. Tätigkeit nachweisen was meistens einfach ist können weiß nicht auch können sich auch daran erinnern vielleicht nützlich Stetigkeit kann am einfachsten über die Beschränktheit der Ableitung nachweisen in dem sich die Ableitung der Punkte und nach y zeigen dies beschränkt dann sind sie durch war der Gelehrte aber doch schreiben seit Twitter ist es einen Raum der Satz wertvoll ist und das 2. Untersatz wird wohl das kann ich Ihnen erzählen gar nicht zeigen das ist der Grund warum ich was traurig ich bin dass ich den Beweis nicht mehr schafft dieser Satz ist nicht konstruktiv in dem Sinne was ihnen nicht nur sagt es gibt eine Lösung und Energie den sogar ein iteratives Näherungsverfahren für diese Lösung an und es liegt daran dass der Beweis von dem Satz offenbar nach dem Krieg Arztberuf meinen Satz beweist wenn man meinen Weihnachten Fixpunkt an auf die richtige Abbildung und wenn sie sich jetzt wenden sie noch weiter zurückerinnern Ende vom 1. Semester dann würde man das es als bewiesen da ist der drauf rumgeritten dass das ein wichtiger Teil dieses Satzes ist dass er nicht nur die Einmaligkeit des Spektrums liefert sondern auch ein iteratives Verfahren mit Apriori und A posteriori Abschätzung des sagt wie gut ihre Währung ist um zur Bestimmung dieses Fixpunkt und das können Sie alles übertragen und sie kriegen durch den Regalen die sogenannten K Iteration Radziwill folge wie sie Hey Lösung annähern können aus den anfangs aus der Anfangsbedingungen heraus also insofern ganz wesentlicher sagt ich will an der Stelle jetzt nur eben wenig beweisen wenn schön werden danach normal auszuziehen sondern ich will entweder den lag einmal anwenden und nicht das muss ich schon deswegen habe ich ein Versprechen offen hat sich dann nicht erfüllen kann und das ist der Rest vom Beweis werden sagte mir schon immer weiter vorhanden von Salzbrei 3 jähriger Sie
gleich dran was das war also Bemerkung 5 5 1 4 und das ist der aus dem Detail vom beweist wahren Satz 3 3 n das war damals die Behauptung das war in der Behandlung von linearen System ja das ist wenn von Gleichung 1. Ordnung und da hatte ich ihn Erhard der also eine ja genau da ich behauptet wenn sie nen Jahres ist dem 1. Ordnung haben homogen ist wenn ja was ist denn das waren dann ist der warum der Lösungen Vektorraum der Dimension in also Matrix ist im Kreis ändern direkt davor sein in es war das 1. Resultat zum Thema Lösungsraum dessen und und da ich verschiedenes geschoben als die Behauptung damals war die Menge der Lösungen also die Menge der jetzt Zigarren aus C 1 mit werden in allen die die homogen lineare Gleichung erfüllen also y spricht ist dem ist ist dem Wohnen Angleichung erfüllen also ,komma von is a von t mal y von T also von t ist ne Matrix wertige Funktion für TSA Phontäne Madrid die Menge dieser Lösung ist SNN dimensionaler und Vektorraum und sie einst die mit werden in der das war damals die Behauptung bei in groß und das ihn damals gezeigt hatte war das Superpositionsprinzip ja den gezeigt wenn sie 2 Lösungen geben bei Elemente aus diesem L und bilden die wenigen ja Kombination davon dann bleiben sie in L das war direkt darum Kriterium 2 und was sich damals noch offengelassen hatte war 1. zu zeigen es gibt überhaupt Lösung das wäre das unter den Baum Kriterium 1 ja sowieso oder wird der Raum immer 2 Dinge nachweisen dass Dennis es nicht mehr und zweitens abgeschlossen und Traditionswähler munikation Abgeschlossenheit unsere Additions gelang wurde wieder zurecht damals gezeigt dass nicht der fehlte damals klar damals die ganze Szene zu wählen die Werte dass wenn ich jetzt aber Piano Gigaliner läuft das nicht leer wird mit einfach sein und da sich damals auch in gesagt da kann ich ihn noch nie zeigen auch noch mehr Theorie für ist dass die Dimension genau ist und die beiden Sachen welches nachliefern das 1. einfachen das ging es nicht lernen wo dran Na ja was ist wenn sie diese Gleichung was ist die Elf von TY was ist hier das er von TY ja das ist von Thema Y die rechte Seite der Gleichung und das ist sowohl im Tee als auch y die stetige Funktion weil der als damals stetig vorausgesetzt haben also das müssen Sie natürlich voraus setzen dass eine stetige Funktion ist aber wenn eine stetige Funktion ist 1 a von t mal y auch steht eine Funktion die YY zugeordnet ist dann stetig und wenn sie zweistellige Funktion mit einer sagt Schmidt oh also sind nicht die die rechte Seite und damit liefert Ihnen die Hanauer Existenz einer Lösung an ja nur sagt das was Anfangswertproblem aus Werne sagt hat jedes Anfangswertproblem hatte Lösung in Tegel einfach nur Lösung der Gleichung suchen dann hat das damit auch dass sehr stellen sie ihren anfangs wehrt denken sich ein aus und stellen den und es gut und sie ist zur was der schwierigere Teil ist ist zu zeigen dass die Dimension von diesen Lösungsraum wirklich genau n ist also das ist eben die Dimension der Matrix oder die Anzahl der Gleichung in den Systemen das hatten wir zwischen weil ja schon mehrfach verwendet er das und damit das System hatte immer genau die Länge die das System groß war und die zeigen wir jetzt dass die Dimension ist und das es eingehen würdest vertikale Müller und ich zeige Ihnen das indem ich ihn ein eine Abbildung angeben da die vom Raum L nach geht nicht dagegen dann das Wissen lineare jektive Abbildung ist also Isomorphismus und dann an so dass der Raum L isomorph zu Ende ist und wenn der Raum L isomorph zu Ennis bestehen insbesondere die Dimensionen überein also harte Dimension nur um diese diese Isomorphismus zu definieren wenn wir uns ein für alle Mal ein Tier 0 aus die das können sich beliebig aussuchen
und wir sahen uns folgende Abbildung 4 1 die geht von allen nach ein und ordnet jedem y in allen der die Lösung unseres Systems drin also den sich eben y aus L und den dazu y unter 0 also die habe ganz einfach sehen sichere Lösungen setzen Punkte 0 1 2 dann müssen wir wie gesagt 2 Dinge zeigen müssen zeigen dass es eine lineare Bildung und das ist ein Isomorphismus also das des Yeti dort wie Sie ja das ist ne einfache Standardrechnungen es ist diese Aktionen nehme die Funktion und setzte einen Wert ein beißt in der Algebra der Einsetzung von Amorphis muss und da heißt nicht umsonst einsetzt muss vom Orphismus eine Ebene Orphismus ist also was müssen wir tun will um zu zeigen dass das Denken des Jahres wir müssen uns 2 Elemente des Vektorraumes nehmen 2 Skalare also ist ein Einzelzimmer mit 2 aus allen Alphabet aus er und dann müssen uns anschauen was macht sie mit den ja Kombination wir müssen zeigen wie von linear ja Kombination ist es die ja Kombination der viel von also die von Alfa y 1 +plus B sie und 2 müssen uns anschauen oder muss gefälligst rauskommen als und einfach mal die von bislang 1 du später mal viel von y zwar was ist das da die was macht wie die selbst dem 0 1 also dass es nehme die Funktion Eifer y 1 muss später y 2 und in diese Funktion des 0 1 entstehen vorne bestellen ja Kombination von Funktionen wie hatten wir die Addition und von Funktionen definiert bewegt komponentenweise das heißt was da steht ist ein paarmal y 1 von T 0 +plus später mal y 2 von Themen und das ist nix anderes als ein Mahnmal für die von y 1 +plus später Amalfi die
bist abzwacken und dann sowas von durch also dieses einsetzen ist ziemlich schnell lineare Abbildung und was jetzt die schwierigere Variante ist ist so zeigen dass das Debilität wie sehr mir die Differenzial gleich überhaupt nicht verwendet er also ist ein 7. 1 Jahr Brust war es das alle alle Funktionen dem allen Lösungen der Gleichung sind aber noch nicht verwendet das muss jetzt kommt wenn man das Einsetzen von .punkt indem sie eine Menge von Lösungen und setzen wir im Bund eine und das soll wie tief sein das muss auch schon eine spezielle Eigenschaft dieser Menge seien wir also wenn sie sich in der Menge von Funktionsgraphen vorstellen und sagen die dürfen sich nie schneiden das ist schon relativ krasse an oder unter dürfen sie nicht schneiden es genau das werden sich 2 Funktionsgraphen schneiden nahm seine Stelle wo die beiden Funktionen im gleichen Wert an wenn ich sagten Sie das den subjektiv sein und da wäre das nicht passiert also was wir jetzt brauchen ist der Tigerländer dazu nehmen wir uns einmal am Anfang ein kompaktes Zeitintervall von I also wenn das eh schon kompakt war sind sie jetzt natürlich können Sie ja gleich in den aber weiß nicht nehmen Sie in Kontakt ist derweil von dem Niveau das den nur die wenn wir darauf die ich machen kann dort und dann beachte man nach Basel zum ist diese Bildung die dem Tee die Matrix AG zuordnet stetig wenn ich also diese Abbildung anschaue also ich schau mir ab und t an für die er sie dort wird es kompakt als stetig billige Menge auf Compact bestätige Abbildung noch kompakter Mängel bei muss Verbrauch noch klingendes beschränkt und dann ihr Maximum und dem Minimum an also existiert die folgende Zahl die ich in denen nämlich das Maximum der aus der übernommen a von t Norm a von t sind die stetig doch das kompakt ledige Männer auf kompakte stetige Funktion auch Compaq bemängelt Markt war das enorme gleich doch was wir nachweisen müssen ist unsere Rechte Seite von der Bonn der die den tialgleichung war von Thema y ist WZ stetig y also was brauchen und das nachzuweisen wir brauchen ein Tee aus sie hat und wir brauchen y 1
und y 2 R aus Rn und da müssen wir uns anschauen wie Lizenzbedingungen 11 von der y also ab und dem 1 bislang 1 zu 1 -minus 11 manchen y 2 als er von den Ball zum 1 zu 1 und daran dass wir die normalste a von t is ne lineare als Matrix also können sie das schreiben was er von Tilman y 1 -minus y weil wir bauen will dass die gleichen Jahres jetzt kommt besondere Eigenschaften der Matrix Norm sie können das Auseinanderziehen als die Norm von von mal Norm von y 1 -minus y 2 darüber habe ich mich in der Vorlesung nicht verbreitet die nicht zu das müssen Sie mir selber gerade glauben aber dieses von der Formel das Ganze durch abschätzen sollen wir gerade unser im gewählten war dass der Maximalwert in das annimmt auf der man J also diese Ungleichung die hier steht in gilt für alle die auswirkt war und damit damals nachgerechnet dass die Gleichung y Strich von T ich a von t y und w die Lizenzbedingungen aus Satz von Gigalinern das aktuelle und damit sagte das ist zugehörige ein Anfangswertproblem immer eindeutig lösbar ist also ist für alle y 0 aus allen das Anfangswertproblem y strich wanted gleich a von TY von T mit der Anfangsbedingung y von 0 und das ist es denn nun was oben gewählt haben gleich y 0 eindeutig lösbaren das ist legal in den und ich glaubte da steht und so die Aktivität von dem viel drin ist gut versteckt zugegeben steht da bei was heißt das immer Sommer anders formuliert das
heißt wir alle y aus n y 0 aus allen existiert genau 1 y Lösung dieser Gleichung was bedeutet das Lösung dieser Gleichung zu sein das heißt es wird in allen um also es gibt für diese selbst bislang nur genau eine Lösung genau 1 zu 1 aus L mit der Anfangsbedingung also mit y von T 0 gleich y 0 y von T 0 ist die von Y was da steht es für jedes unter 0 1 n gibt genau 1 zu 1 l dass die wird dann gleich Flandern es ist die Intimität von von die nur sich als normal in kurzen was da steht ist für jedes y nun aus allen existiert genau 1 y in L dass die von y welche bislang 0 ist und das heißt es geht tief in wie jedes y 0 gibt ein Urbild sollen die Mittel genau ein wenig zur was wir damit haben es SamMama damit dass diese Abbildung
Spry dieser Einsetzung von war es muss von allen nachher ein Isomorphismus ist in 1. Linie eine Direktive Abbildung und das heißt insbesondere das diese beiden Vektoren diesen damit Sohn war und wenn Sie so möchten haben sie die gleiche Dimension als die Dimension von allen ist die Dimension von allen nein die kennen Sie alle diesen nehme er dass er die Karte in der Länge nach in 1 diesen Beweis komplettiert und wären also tatsächlich dass der Lösungsraum genauso die eines wie die Gleichung bleich und hat welches System Gleichungen gut das ist alles was ich zum Thema Differenzialgleichung sagen will besonders mein Bräuchen zum Durchschnaufen und dann machen wir ein Riesensatz und dazu gleich mehr zur ich würd gern in die 2. Hälfte einsteigen und aber noch leider eine schlechte Nachricht weiterzugeben so wie es aussieht hat uns nach 24 erfolgreichen vor paar anstaltung letzten Dienstag IT-Technik verlassen also die Aufzeichnung vom Dienstag ist so wie's aussieht werden er nicht auf das das jetzt wieder tot beim 1. Mal wenn ich eine von Simon Zoller 26 von 27 Westen weiter klappt ganz gut tut mir leid aber wir können setzen sich schlecht nochmal nachstellen er muss gut das ist das organisatorische und sowohl dazu weil zum innerlichen kommen als auch im inhaltlichen kann ich jetzt nur sagen im Auto samt den komplett die dürfen wir gehen lassen die ganz ein hinter uns wir schließen noch ein paar Bögen Mehr in der Veranstaltung und hier ganz zu den Wurzeln der Matte 1 zurück sozusagen ganz an den Anfang nicht ganz sondern natürliche bauen wir darauf auf oder bauen das oben unter Abschnitt der jetzt kommt ist das so genannte gab das ist das Kapitel 7 und das heißt
allgemeiner Algebra und das greift am 1. an einen Abschluss war das 2 und 3 das dämmerte 1 also es lohnt sich jetzt ein bisschen im Hinterkopf nochmal rauszukramen was man noch alles über Gruppentheorie und Lektor Rainer Ringe und so weiter weiß der unendlich tief rein es geht jetzt gar nicht darum normativer Gruppentheorie zu machen denn es geht darum wie wir Strukturen nachzudenken und zu sehen das eigentlich sehr viele Dinge und das hab ich auch schon damals immer wieder betont wenn sie jetzt Gruppen nehmen sie Vektorräumen nehmen sie geringen nehmen sehr vieles wiederholt sich wir immer wie spezielle neutral Elemente Sam immer homomorph Wissmann Töne isomorph Wissmann der nimmer und der Strukturen Untergruppen in der Region der Körper und der Vektor das auch wollen und wenn sie da man sonst erhalten hat ist natürlich die Frage stellt dann nicht mehr alle abstraktere allgemeine Struktur dahinter und das wird sich jetzt erst mal nach einer einen mathematischen Spinnerei an das ist auch aber nicht nur sondern sie haben an der Stelle denk ich sogar die Ängste Verzahnung von Mathematik und Informatik also zumindest und theoretische Informatik weil genau das Gleiche passiert in Informatik auch da haben sie reihenweise Strukturen die alle die verschiedene heißen und ganz viele ähnliche aber ne ähnliche Struktur haben und was ich Ihnen jetzt ein sind eben so genannten allgemeinen Algebren wie ein mathematisches abstraktes Konstrukt sind um einfache Strukturen zu beschreiben also sehr Meter Konstrukt und damit sie das wünsche ich in eine Gemeinheit können sind sie das sehr abstraktes weil sonst könnten sie nicht alle allgemeinen eine Struktur beschreiben wir das ergibt sich aus der Logik der Dinge sie könne nicht mit was ganz konkret etwas Abstraktes beschreiben während und ich versuche ihnen das jetzt 1. bis hin zu motivieren und dann aber ganz rigide zu definieren und zwar jeweils mit dem Beispiel aus der Informatik und damit dem Beispiel aus der Mathematik und in der Informatik ist der Mehr entsprechende Begriff der zur allgemeinen Algebra in der Mathematik wird der des abstrakten Datentyp ist es gibt das war schonmal Euro gefallen ist kann nur bei a meist damit gemeint ist es also denken sehr objektorientierte Programmierung denken Sie an Mehr Beschreibung von Algorithmen wenn sie einen Datentyp angeben interessiert sich der Nutzer eines Datentyps das kann ein verwendete Variable sein oder ein dickes Objekt in einer objektorientierten denn das Pausen Sachen kann interessiert sich der Nutzer im Prinzip nicht dafür wie das programmiert ist sondern er will wissen um was für Objektes da drinnen geht also ich was Objekten hat man es zu tun dann brauchen sie um den abstrakten Datentyp zu definieren die Operationen wie man auf diesen Objekten ausführen kann also wenn sie einen banalen Datentyp wenn endete war ja in endlicher Zeit denken ja dann sind die Operation hat addieren wurden die aber man kann sich eben auch viel viel Dinge einfallen lassen da ist die Operation die auf die Objekte wirken und das allein reicht noch nicht weisen es nötiger wissen wie dieser Operation würden also waren noch gewisse Regeln Axiome wie diese Operation wird zur und ein Beispiel daf ich also meines Kanone der Beispiele machen und wie üblich macht man irgendwas möglichst übersichtlich ist das vielleicht nicht ganz so banal es viel einfacher endete Größe und was ich hier mitgebracht habe ist ein Speicher 1 weg speichern wenn ich nicht erklären müssen Leckerli über allgemeine Algebren also aber man was drauf legt und immer nur den obersten runterziehen kann ohne sie sollen wenn Bett Speicher als abstrakten Datentypen definieren dann müssen Sie 3 Dinge tun sie da oben sie müssen definieren beglichen Sorten mit diesen Objekten die seit der Datentyp arbeiten ich Operationen es gibt und die Axiome die Regeln nach denen das abläuft und die sagen sie bei Sonsbecker haben sind die Menge aller Elemente die auf den Zweck drauf können also wenn sind auf dem Speck natürliche Zahlen sprechen dann sind das war natürlich Tal aber sie können dann natürlich auch wieder irgendwelche anderen abstrakten Datentypen auf dem Set speichern wir also egal also endlich Elemente und damit die Menge aller möglichen Sex haben das ist Beck bezeichnete es im Folgenden die Menge aller möglichen Bewegungen ihre speichert Tor das sind die beiden Sorten mit denen sie zu tun haben es gibt es für Operationen in schlanksten einfachsten Fall ob deren einmal die Operation die ihnen ein neues Element auf das Bergung draufsteht wie wird üblicherweise so man zumindest nicht das Überblick der pro genannt was ist das für eine Operation brachte den Formaten wie der Mathematik ist die funktionale Sprache also schreibt es das Funktion das Porsche ist eine Funktion die kommen die sich an einem Ende nimmt und ein Steak und daraus einen neuen Zweck macht nämlich den man vorhatte plus dass eine Meldung dort aber das schreibe ich also nicht in Brushes erstmal einfach irdenen Funktion von Elemente Kreuzweg nach der könne noch irgendwas sein nimmt die Operation tropft die ihn einfach das ist das Umgekehrte die in das oberste Element vom Zweck zurückliefern also was denn dies ist eine Funktion die sich einst wegnimmt und kommt aus wenn ist weg also eine mögliche Bewegung Ihres Speichers aus denen es wegnimmt und in einer man zurückliefern dann brauchen Sie das was
wir Weise Support genannt wird und was einfach das oberste Element Kunstwerk weglöscht also dieses taub liefert nur zurück aber noch nicht runter um das löscht das oberste Element vom Steg und ist dann in der Abbildung des Baus eines weg 1 Beckmeyer und was sie jetzt für die Initialzündung noch brauchen ist einen speziellen Existenz eines speziellen zwecks nämlich des Lehrens zwecks in sie fordern dass es der leeren Speck geht eine späte ersichtlichen Grund freilich die Matten Operationen also das ist der Herr des Berges Empty das billige Respekt und wir werden nachher später feststellen dass es den ich dieses Bild Element als Operation zu führen damit alle noch kein Zweck definiert weil zum Beispiel ihre Actiontheater taub könnte er auch derzeit noch bis 7. Oberst man zurückliefern dadurch aber nicht verboten wir es Abbildung von Zwecke hätte man was die macht ihr wenig dar sehen enorme so die Axiome um das Deck werde zu definieren und das ist in dem Fall 3 egal wenn sie sich ihren Elementen DMX aus den Elementen und sie dem sich irgendeinen vorhandene also den derzeit vorhandenen Zweck also sehen sich es Ausweg und nix aus allen man und das man sich freuen dass sie packen das x oben auf den Zweck drauf per muss von X und es da ist nix brauchen dann fordern Sie das wenn Sie jetzt von diesen stellt den obersten sich zurückliefern lassen dass das bitte schön immer schön X zu sein habe hatte extra vergine das oberste der Welt nichts in volles auf 8 erhalten damit verbieten sie den traut er das sieht oberste zu liefern kann 2. sagst Jo indessen noch des das Pop dem Pop richtig erzählen das ist alles richtig machen soll also egal wie sehr man sie nehmen egal welchen Zweck sie nehmen denn sie das X auf den es Beck drauf schieben und danach das oberste Element wieder löschen leider muss wieder der Ursprungs wird es rauskommen mit macht auch das Paar das was es soll und das muss sowieso und das einzige das mir 2 Axiomen der besagte brauchen 3 und das 3. ist wie sich das die verhält und das ist das übersichtlicher Aktion wenn sie das Empty und das oberste Element vom EMD die Vektoren dann kann er das nicht machen und dann wird das in der Tat wenn sie sich diesen SAD von denen wir nehmen dann haben sie damit ins weltweite definiert um welche Dinge geht das was kann ich mit dem Ding machen und wie verhalten sich diese Operation Todesliste ist abstrakter Datentyp hat überhaupt nicht immer sie zu tun aber wenn Sie sich das angucken stellen sie fest so was Ähnliches werde meinte einst laufend gemacht in der ganzen Gruppentheorie Rinker aber das war immer so Zeug Sie haben wir Grund Mängel auf deren Sinn Operation oder 2 oder 3 endlich Operationen für die gelten gewisse Axiome was in der Richtung Gruppe anderes als sie an Mini E er also sicher zu sein die Gruppe der Gegenstellen also das man abstrakte Datentypen es nehmen sie als eine algebraische
Struktur aus der Mathematik und ich mal was ich hoffe offen was der meisten gemacht haben was an sich noch am ehesten erinnern sie denken Sie an die Gruppen der Narrenkappe den Vektorraumes Linie aber doch aber auf die gemacht denen Sie vielleicht ein Vektorraum wenn sie eine algebraische Struktur auch dort haben Sie irgendwelche Objekte also Vektoren Gruppen Elemente dabei Elemente der Operation da drauf Na ja uns ja nicht nur ne Operation soll sie am regen sie an die Axiome in sagen wir diese wie diese allen Operation wirken ist genau die gleiche Struktur man das neue Strukturen gibt irgendeinen ach Datenstruktur Begriff der in das Berlin das L und der ist vielleicht ermöglicht man warum macht man das der sie noch dann ermöglicht zum ein Ergebnis aus der Gruppentheorie rüberzuziehen dafür der starken Datentypen umgekehrt aber auch Denkweisen ja also wir können dann so Denkweisen vereinheitlicht und Dinge die vorher völlig verschieden aus mit gleichen Methoden behandeln und deswegen sucht man sozusagen die Struktur die dahinter steckt das dass es sie für die Gruppe normal explizit mache was meine ich damit also in die Gruppe was sind da die Objekte die Operation und die Axiome der Gruppe haben sie nur eine Sorte nämlich die Menge auf der das spielte Mini des UN-Mandats weil die Elemente und ins Bett ich werde nachher zeigen dass es tatsächlich ein fundamentaler Unterschied also dem sind ist schon ein einfacher buckliges Beck Speicher was komplizierteres 1. Gruppe das erzählen Sie mir nicht dass ich immer nur so komplizierte Sachen abgeliefert hat Gruppen sind einfach Aspekt weich bei der nur eine Sorte 1 dort natürlich auch nicht sendeten an dieser Stelle sind sie leichter zu modellieren als Netzwerkspeicher sowas haben wir auf der Menge gehen Darmoperationen ein und an der Stelle kommt jetzt ne gewisse Willkür 1 die können das wenn ich ihn nachher oder nächstes Mal erzählen 3. Gruppe auf verschiedene Weise modellieren können sagen dass 40 das Naheliegendste ist es gleich zu sagen er solle Gruppen Gruppe hab ich nur 1 Operation nämlich unsere Gruppen Verknüpfung ja mich am Anfang meistens mit Stern bezeichnet also der Verknüpfung die 2 Gruppen Elemente dem Ton in der 3. Liga also 1. Beispiel für die Gruppe die ganzen Zahlen Z los bei mir das Kreuz eben werde Sternchen denn das bloß wenn sich 2 ganze Zahlen machte 3. draus es ist aber in dem Zusammenhang ist sie nicht sieht klar zu machen dass wir eigentlich noch mehr Operationen hatten auf eine Gruppe haben sich irgendwie zwangsläufig ergeben aus den Axiomen zum Beispiel hatten wir eine Operation die am Werk geschrieben mit mir über Streichung und das war das inverse Element bilden um das waren G und aus der wir dann geht wir gemacht sind also schon die seine Operationen wie ein Gruppen in denen dann ein anderes Gruppen man draus macht und sah dich um diesen diesen ist weg als konstanten Wert den es geben muss was aber den Gruppen auch das war das neutrale Element das schreibe ich immer noch bei den Operationen mit dazu also wir haben ein Ende das neutrale Element der Gruppe also deren die Sorte die Menge gehe gern die Operationen Stern inversen Bildung und das neutrale Menden ist ,komma noch die Aktionen und ich hoffe Sie sich aber
ich schreibs normal denn es ist doch ein paar Tage her mit den Gruppen also man dessen Gruppe genannt wenn die Verknüpfung ein paar Dinge für die wir so aus alltäglichen Dingen wie z und erkennen also es 1. ist die Verknüpfung so assoziativ sein egal was die A oder Tee aus den nehmen nur die Verknüpfung von A und B das verknüpft The dasselbe sein wie mit der Fakten mit nolens Assoziativität dann haben wir noch gefordert das ist ein neutrales Element geht die Existenz hab ich so gut über die Operation abgesichert werden Operation steht es gibt und was ich jetzt hier noch klären muss es wie dieses wirkt und das wird nur dass wir alle ausgehen Stern in das gleiche ist wie in Stern aber und das ist er die Existenz von er muss sie nicht mehr fordern die steht oben und Operation besonders der Vater dieser Sichtweise sind werden alle Existenz konturlos Jackson war nur noch Allquantor Rohr das 3. Axiom eine Gruppe war das inverse die Existenz ist in der sich nie wieder oben weil wir haben gesagt wir haben auch die der Operation quer Yasemin gehen die quer machen muss oder sagen wir gehen die die quer zusammen also ich muss noch fordern dass wir alle aus die gilt das wenn ich das an mit dem Stern verknüpfe beziehungsweise das AG quer mit dem verknüpfe das dann das neutrale Element Endoskopen dran die 3 die 3 Axiome die man für Gruppe brauchte man zwar aber hier und da sie ihm damit sein will ist gut damit bin ich sie 1. noch davor sich keiner der Masse Gruber und zweitens will ich ihnen damit zeigen das ist eine ganz enge Parallelen gibt zwischen Daten mit Informatik und algebraische Struktur in der Mathematik was sie jetzt zeigen mindestens schon mehrfach angekündigte allgemeine Konstrukt das diese beiden Dinge beschreibt und das ist die sogenannte 1 sind die so genannten allgemeinen Algebren und das ist jetzt der 1. Abschnitt Blick von diesen Kapitel gibt unser angesehen wenn es mit welchen Dingen zu tun wenn wir die Sorgen der die Operation die Axiome und ich will jetzt erst normal die Operation ganz sauber definieren was es mathematischen Operationen interessiert schon umgesehen Operationen sind Abbildungen also Funktion die sich ein 2 3 oder 7 Bonn den Elementen von den Sorgen nehmen immer miteinander verarbeiten und wieder etwas von den Socken aus .punkt und ich kann das kann ich jetzt ja auch gleich sagen ich macht aber jetzt nur noch einen möglichen Zeit haben die ganze Theorie jetzt nur ein so artig also so was wie den Speck mit Elementen und zwecks können wir dann noch nicht mal handhaben und Gruppen gehen aber wenn ich jetzt wir sage ich mache die Sache einfach und das ist nicht wirklich kompliziert es wird nur noch dazu Mehr noch komplizierter also wenn man nur eine eine Klasse von Objekten lassen zu möchte vor das ist nach einfach die Menge aber die Menge A kann jetzt alles mögliche sein ja das kann die Gruppe sein das kann man alle mögliches Beck Belegung sein das kann eine Menge na das ist jede Sorte ihr Dinge mit denen sie hantieren weil sitzen Operation Operation nimmt sich eine gewisse Anzahl von Elementen dieser Menge und macht daraus ein neues Element dieser Menge und diese Anzahl von Elementen die 7 ältesten bezahlen ich es immer mit allen also in das natürliche Zahl und der Funktion f die sich Ende Elemente aus ahnen also von Kreuz kreuzt er kurz einmal das hatten wir auch immer schön kurz und griffig abgekürzt wird auch da auch n leben wie sie wollen Truppe von allen Elementen aus A dem das stehen und macht daraus Element aus und so was nennt sich eine endständige Operationen naja nur also Operation weil sie Elemente zu einem netten verknüpft und stelle ich weiß es mit allen in ihnen tut also eine entstehende Kooperation auf wenn ich mich jedes Mal inständig
Operation auf schreiben muss wenn man sowohl ein ob mit Index von ist die Menge der einstelligen Operation auch machen Gott und das ist jetzt wieder so bei abstrakt nie gesagt dass ich es ein Christoper abstrakt weil es eben im gesamten algebraische Strukturen bloß alle abstrakten Datentypen umfassen soll aber darum ist Einigung so banal war also sowie extrem abstrakt werden wird gleichzeitig irgendwie aber im was sind jetzt solche Operationen ist er weg denken Sie sondern Beispielen schreiben was er zum Beispiel das gerade hatten das Sternchen auf der Gruppe ist mit zweistelliger Operationen also in 2 Gruppen Elemente nimmt und daraus unsere das macht ja alles mit zweistellige Operation auf aufgehen die sieht man nicht mehr auf dem also der wenn Sie das Beispiel nochmal vorbei spielen wollen das bloß auf zählt ja wie sie eben in zweistelliger Operation auf 10 sich 2 ganzen Zahlen macht Betrieb auch braunen Juni grobe Struktur sie könne der aus +plus ab Ende entnehmen keine Gruppe mehr weiß ist in das ich unbedingt die aber diese Operation wo verwendest Operation 3 jede Operation auch in wenn das man zweistellige Operationswunde fehlt um eine eigenständige sehen wenn Sie zum Beispiel den Betrag ist einstellige Operation auf er war einstellige Operation ist einfach nimmt sich Element aus R und geht wieder ein so dass er raus was dem machten egal andere einstellige
Operationen dass Poppers erfreuen hatten er das aus einem nach möglichen Belegung des Bergs eine andere mögliche Billigung des Decks macht bauen einstellen es Aspekte Banken oder wenn sie noch nicht stellige haben wollen dann meistens also die Realität ist schon das war meistens ist man bei 0 1 oder 2 1. zweistellige Operation sind schon verdammt selten aber vor sie werden ,komma die Sicherung würde irgendwann kennen lernen ich bin einfach Analytiker mir ist folgendes eingefallen nehmen sie zwar enorm von der andere aber war was macht die nimmt sich Änne reellen Zahlen macht daraus eine also sehr inständig Operation auf er wichtig für die Oper bilden operations Begriff ist das was sie reinstecken und das was sie rauskommen rauskriegen muss von der gleichen Sorte sein also Funktion von innen nach Ehre nehmen dann gibt das keine vernünftige Operation das ist Kreis Kreuz Kreuz nach ohne den ich jedes Mal an und ich was verschieden Gott Zeus hatte ich gerade gesagt habe ich im Normalfall hat man 2 1 0 1 und zweistelligen Operationsmethoden N 1 zweistelliger ich Beispiel gebracht und was soll bitte schön eine Nullstelle Kooperation sein das ist richtig vorstellen sie an einen Account zu also was sind nur ständige Operationen weil es wird ja wohl schlecht Mehr Bildung seinen dass man nicht reinsteckt und dann kommt was raus doch genau das ist es nur der Wald soll seine muss nichts reinstecken und kommt was raus und sehen das ist ein bisschen Haarspalterei was jetzt kommt aber es ist ungemein praktisch wenn man sind die Nullstellen Operation das sind die Abbildung von auch nur nach Art und das soll auch 0 sein das ist will eine Antwort die genauso viel sagte die Frage vorher also und 0 dazu ist es gut sich erst mal zu überlegen was ist auch n und AOL hatten war eine Sichtweise von gerade eben das ist einfach dass man alle Tupel mit in Elementen drin können aber man kann
auch anders sehen auch entspricht nämlich auch der Menge aller Funktionen Treugast Funktionen aufgefassten ist super weil die Menge aller Funktionen von der Menge der Zahlen von 1 bis n wir können Sie so Äpfel Birnen reinschreiben wichtig ist nur dass es in NL man Mängel also die Funktion der Weine in denen man die Menge definierte und gehen also dass man auch ihn zu tun was ich machen ist identifizieren eine man was auch n ist den siehst dann weckt vor wird identifiziert mit dem weckt er gehe von einst die von 2 ist die von allen was kann man sich mit man so Funktion von 1 bis er nach AG geht dann ist das wie Elemente von A auswählen 1. Plänen 2. werden 3. Welt mit dessen in das man kann das genau das gleiche normalen Mann zur sie dann kommt man mit dem auch nur ein bisschen mehr was ist denn dann auch 0 damals einfach hin was da steht das ist die Menge aller Funktionen und der Menge aller Zahlen von 1 bis 0 das ist nicht viel ohne leere Menge nach haben und Ton auf der leeren Menge was kann auch nur dann Informatiker einfallen aber das nach tatsächlich sehen und ist auch nicht nehmen an dass haben sie schon paarmal also in Informatik gesehen und Werner Mathes vielleicht weniger waren ,komma Grundlagen vielleicht da definiert man sinnigerweise dass es einigen und 2 sogenannte wäre Abbildung ist die Funktion des auf der leeren Menge definiert ist und die im Wesentlichen nicht sondern weil sie nicht schlucken kann aber die nicht Teil ist es ein abstraktes Cop Konstruktor das kann man sehr viel Zeit ich mit seine 7 Omega zwar nur Sie es damit die Menge aller Nullstellen Operationen auch war das ist ganz ,komma nach Definition die Menge aller Abbildungen die von auch 0 also von der Menge das Omega enthalten nach AG und die Länge aller Funktionen auch eine ein Element die man nach Art der Omega was da drin Schiffe die wusstest 1 in die Menge und Art so und jetzt behaupte ich diese Menge die können Sie wieder mit identifizieren die Helden hält genau die gleichen Formation wie die Menge A selbst weil was soll denn ein Name Funktion machen die auf einem einzigen man definiert ist der Sieger dieses Element im hohen abbilden also nach Hause gehen meine Ansicht zu tun wäre allen und wie finde ich keine dazu das den abzubilden da sie kann sehr viel Sinn wenn von Arten wie wir Funktionen hält also diese Menge genauso wie wie eine Winter hat nämlich über die Funktion des Omega auf diese Menschen würden Sie die Menge SAR bis auf Identifizierung und das ist also ich besucht das noch zu verbalisieren besser als mit nach Hause gehen also für jedes aus aber gibt es genau 1 denn das mal 11 a aus dieser Menge der Nullstellen Operationen auf nämlich genau das gerade erwähnte das Element 11 aber wer das kann ja eh nur die Lehrerbildung schlucken und das auf Arschty dieses wenn Sie da drin genau eine Abbildung nicht die Idee des Omega auch dieses bildender nach Hause gehen im und damit macht sehen und das macht man auch zu sagen diese Menge ob er ob 0 die entspricht der Menge armer und diese Elemente dieser Menge obwohl
er der nennt man Konstanten und identifiziert die mit den Elementen aus A also mal identifiziert dieses F a nur Gott und das ist das was ich vorhin bei dem es weg gemeint habe bisher gesehen ich es diesen im Kies stecken als Operation zu definieren wie sehr ihm dies Werk ist eine Nullstelle Kooperation auch des Werks eine Konstante ist einfach das ist einfach die Forderung ist die IG ein die ein bestimmtes Element mit dem Namen im Titel oder auch beide Gruppen hat dich dieser 3 Elemente dem Operation untergebracht als Konstante als Nullstelle Kooperation sowie ein in der in der Gruppe was aber das tut das bei Beiräte die Operation Liste nicht was es den Grund verraten die Axiome also beispiele dafür wären eben während die von vorhin und das neutrale Element also also des NT gehört aus der auch zu der Menge der Nullstellen Operationen Ausweg und das Ende wer zur Länge der neue Stellen Operationen auf E in die Gruppe und wenn sie jetzt noch mal meinen würde Spruch von vorhin hernehmen ehrlich gesagt der ist Nullstelle Operation dass es eine die nichts schluckt und was ausspuckt genau das macht die können sie nicht einsetzen und sie spuckt in was aus mir werden wenn wir das Vertrauen gewinnt oder was auch immer ich .punkt Inhalt ein Element aus ohne dass irgendwas wird dann müssen der 10. der der die leichten halt hab Haltung Aufstiegstrainer kommt was aus so das ist also also nur Stilelemente bevor und jetzt definiere ich Ihnen zum Abschluss noch Wasser allgemeine wandern das wie Sie sagten und schauen uns nächstes Mal Beispiel an also die der allgemein eine war es wie gesagt und das ist immer mit behalten Winde ein Konstrukt das diese dass dieses diese Struktur Objekt der Operation Axiome allen zeigen verallgemeinert hält und n die Möglichkeit jeden abstrakten Datentypen jede algebraische Struktur der Mathematik als allgemeine Ei gebraucht hat so und das 1. Mal ob ich brauch dazu um die allgemeine Algebra dann zu definieren ist 1. Anteil noch eine hilfst Definition der allgemeine Algebra ist genau das was wir schon die ganz sagen ohne Mängel mit dem Stab Operation darauf und die Menge ist irgendwas und die Operation sind irgendwas und dann das durchstarten Axiome aber die eigene Brase erstmal die Menge mit Operationen und das Ganze natürlich Algebren definieren mit eine Operation ende muss mit einer Bensberg freuen 4 Operationen und keiner der ein definieren den 17 Operationen Operation des Internets Signalgeber er und diesen dann von ganz verschiedenen Typen also diesen ganzen der völlig verschiedene Dinge und diese dieser Typ den definiere also weil dieses Wissen falschrum
aber andersrum gesehen gar nicht wie wir mal den Typ einer eige braun dann die Algebra duldet weder eingebracht also vom um was für ein Ding es sich und was für Dinge sich darin dabei handelt was diese Algebra beschreibt und so wird gegeben durch ein paar kalligraphisch 11 und 7 a wobei das es einfach ne Menge ist und unter den 11 sollten sie sich vorstellen die Menge der Operation Symbole also die Menge der abstrakten Operationen die sie auf ihrer Mengen auf ihren Grund auf ihren Gebilde machen wollen uns SMS manche jeder Operation noch wissen ja nun wirklich stelle ich sie ist wahr und diese Information nicht ständig die Operation ist die codieren wenn 1 in der Abbildung Sigmar ist ist Abbildung die jedem Element von diesem jeder Operationen dem eine natürliche Zahl zuordnet und dieses genau die Fragen die Schnelligkeit Schwierigkeiten also das Ding die Stimmigkeit Abbildung mit der ordnen sie in jedem und jeder operations Symbol in den bis 11 sowie die spärliches ist und also das ist ständig den Bildung und die gesagt hat ich gerade schon gesagt aber nicht geschrieben sein wenn er mir mein Operationsteam wurden in den Zoo immer mehr Beständigkeit Innovation Symbolen und dann kommt jetzt hält
die jetzt nehmen wir sagen bei ist eine Menge an das ist jetzt die Menge auf der wir nach operieren wollen also ist die Menge aller möglichen zwecks oder den das die von der Gruppe also die wurde das Rauchen beraumte die man auf der sie operieren wollen und sie haben mein Typ gegeben also eine Menge von Operationen und Operation Symbolen ist noch keine Beratung arbeiten und Symbolen Bestechlichkeit war mehr reitet auf diese Operation Symbol und portions Unterschiede und weil zum Beispiel wenn sie 2 Gruppen wenn sie wenn sie die Gruppe haben dann können sie die Operation hatte mit Sternchen schreiben oder mit Kringel oder mit Mare +plus sowieso immer lustig sind aus es trotzdem eine Verknüpfung von Europa machen und alle diese in den geschwungen 11 identifizierten geschwungen 11 ist das Verknüpfung von in Gruppe ob die jetzt deren Kreuz muss ist das entscheidet sich jetzt da sich die Schreibweise deswegen macht man da ein zweigeteiltes denn daraus dass der Typ ist das abstrakte wie wirkt also mehr ich habe sich Innovationen gerne Stetigkeit mehr haben noch nicht Dollar nicht gesagt wie die wirken wenn es gibt Oberalster Beständigkeit wie wirken kann jetzt also jetzt fordern wir jedem abstrakten 11 aus dem geschwungene eine sieht von elfstellige Operation zu und die Mehr nicht 11 Millionen Index an und das ist Operation Beständigkeit Dietmar von auf dieser Menge Aachen um jetzt haben wir für jedes ich bin gesprungen F 1 Operationen so so so viele Operationen ist geschworen er man hat und jede Operation 11 a die Stetigkeit wiederholen Tor wenn man das hat dann komme ich zur Algebra dann heißt es gesprungen aber das ist wieder ein tobendes das geschieht Truppe glatt AG Blatt glatt als die man auf der bearbeiten glatt hab ich ihn noch überhaupt nicht definiert und noch machen was es glatt ist dass in dem alle Operationen die sie auf dem haben also alle die FAS lieber so definiert haben wobei der Osten gesprungen ist und das bin meiner allgemeiner mitgebracht wobei ich im Folgenden das allgemeine weglassen werden weil damit keine eigene keine anderen alle gebunden am rumlaufen also und Algebra .punkt will Exit machen also wieder geschwungen FC zur weitere Begriffe des also die Menge auf der wir da hantieren auf der wir operieren wenn sich die Grundmenge von aber und die Sohn 11 unten hat man sich in eine Operation auf wie gesagt das ist jetzt unendlich abstrakt und wichtig ist sich klar zu machen gesteht gesprungen Abgrund Menge von geschwungener wichtige sich klar zu machen dieses ganze Brimborium dient einer einzigen Sache und so muss man sich so allgemein Gebrauch vorstellen das ist ne Menge von Objekten mit der Anzahl von Operationen die diese Objekte manipulieren Westerich alles andere es meinem Mann ist Bohrium du Monde nach alles passt ja aber ja ne Menge von Objekten auf den und diese Menge von Objekten ist dass das Blatt an also wenn glatt sind die mit dem sie was tun können das können Zahlen sein das können wir dass jedes Element von diesem kann ein noch so komplex ist Objekte deren objektorientierte Programmierung seiner Ansicht dass also direkt auf den sie arbeiten und das Blatt er sind die Operation mit dem sie auf dieser Servietten hantierten und dann immer ein paar haben von Objekten Operation nennt man das eingebrochen ist super allgemeines Konzept wo 1 Reinfeld was wir die ganze besprochen haben jeder abstrakte Daten werde die Lage Preisstruktur der Mathematik Bewohner aber trotzdem obwohl dieses Konzept so allgemein abstrakt also allgemein ist normalerweise sind vom Allgemeines Konzept habe müsste super dann können wir fast nichts Konkretes drin zeigen wir so allgemein ist werden wir sowie des ganzen ansetzen weil ich ja natürlich jetzt nur ganz wenig davon zeigen kann denn dass man viele Dinge die wir dann ist der Mann bei der mathematischen Seite her in Gruppen Ringen Kapern dauern jeweils einzeln gelesen haben ganz allgemein zeigen können dass wir den jeder war und also zum Beispiel so Sachen und wenn sie in einer und namens in einer Algebra kommt alles noch aber nicht mehr unter Algebra haben also was eine Untergruppe der Gruppe und noch fließendes dann ist das Bild von dem Untergruppen mit dem Humor fristwahrende und eine braune Orphismus wieder untergebracht sein so grob überlegt dass Hamas Vektor das können sich geringe Lehmann verkörpern das können sich auch für jeden möglichen abstrakten Dante überlegen weil es gegen jeder Algebra und solche Dinge wenn ich ihn versuchen jetzt nächsten eineinhalb Vorlesungen noch zu zeigen aber wichtig ist dass mit sind also trauen sich die Definition daraufhin noch mal an die Wiege und und sich klar zu machen worum es hier geht es ja Müllmenge glatt und starben von Operationen die auf dieser Menge wirken und versuchen Sie dieses diese Philosophie der Definition zu finden und wenn Sie das mal langen Diskussion der Cafeteria geschafft haben ganz viel verstanden gut das ist das was Ihnen heute zeigen wollte während am Dienstag wieder ein erst manch schönes Wochenende und wenn dann wird 5. kann hab ich hab
Algebraisch abgeschlossener Körper
Momentenproblem
Reihe
Lineare Gleichung
Gleichungssystem
Vektorraum
Gleichung
Differentialgleichung
Lösungsraum
Gradient
Summe
Lösung <Mathematik>
Polynom
Ungleichung
Menge
Eigenwert
Koeffizient
Nullstelle
Ordnung n
Landau-Theorie
Charakteristisches Polynom
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Numerische Mathematik
Graph
Eindeutigkeit
Fortsetzung <Mathematik>
Anfangswertproblem
Physikalisches System
Gleichung
Differentialgleichung
Zahl
Gewöhnliche Differentialgleichung
Richtung
Gradient
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Eigenwert
Differentialgleichungssystem
Nullstelle
Näherungsverfahren
Kontinuum
Charakteristisches Polynom
Grundraum
Ableitung <Topologie>
Autonome Differentialgleichung
Parametersystem
Kurve
Physik
Eindeutigkeit
Gleichungssystem
Positive Lösung
Anfangswertproblem
Stetige Funktion
Gleichung
Differentialgleichung
Integral
Null
Peano, Giuseppe
Lösung <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Existenzsatz
Differentialgleichungssystem
Ordnung n
Offene Abbildung
Mathematiker
Globale Lösung
Ordnung <Mathematik>
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Positive Lösung
Gleichung
Ableitung <Topologie>
Integral
Konstante
Lösung <Mathematik>
Summe
Stetigkeit
Eindeutigkeit
Windkanal
Anfangswertproblem
Norm <Mathematik>
Differentialgleichung
Kreis
Länge
Matrizenmultiplikation
Spektraltheorie
Iteration
Anfangswertproblem
Gleichmäßige Beschränktheit
Superposition <Mathematik>
Lösungsraum
Energie
Stetigkeit
Näherungsverfahren
Abschätzung
Lineares System
Ableitung <Topologie>
Addition
Abbildung <Physik>
Lineare Gleichung
Stetige Funktion
Isomorphismus
Vektorraum
Gleichung
Lösung <Mathematik>
Anfangsbedingung
Menge
Differentialgleichungssystem
Fixpunkt
Ebene
Zeitintervall
Addition
Algebra
Abbildung <Physik>
Maximum
Vektorraum
Isomorphismus
Stetige Funktion
Gleichung
Skalarfeld
Zahl
Lineare Abbildung
Lösung <Mathematik>
Differential
Menge
Minimum
Graphische Darstellung
Funktion <Mathematik>
Mittelungsverfahren
Matrizenmultiplikation
Ungleichung
Anfangsbedingung
Abbildung <Physik>
Anfangswertproblem
Urbild <Mathematik>
Gleichung
Algebraisch abgeschlossener Körper
Länge
Natürliche Zahl
Betrag <Mathematik>
Gleichungssystem
Differentialgleichung
Lösungsraum
Linie
Untergruppe
Allgemeine Algebra
Variable
Schnittmenge
Meter
Struktur <Mathematik>
Bogen <Mathematik>
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Gruppoid
Isomorphismus
Vektorraum
Gleichung
Sorte <Logik>
Vektor
Objekt <Kategorie>
Menge
Gruppentheorie
Mathematiker
Axiom
Zusammenhang <Mathematik>
Vektorrechnung
Gruppoid
Abbildung <Physik>
Gruppenoperation
Inverse
Ähnlichkeitsgeometrie
Vektorraum
Element <Mathematik>
Linie
Richtung
Objekt <Kategorie>
Algebraische Struktur
Menge
Gruppentheorie
Ganze Zahl
Mathematiker
Struktur <Mathematik>
Axiom
Punkt
Natürliche Zahl
Gruppoid
Abbildung <Physik>
Klasse <Mathematik>
Element <Mathematik>
Objekt <Kategorie>
Index
Algebraische Struktur
Betrag <Mathematik>
Menge
Ganze Zahl
Parallelen
Mathematiker
Axiom
Ebene
Kreis
Tupel
Länge
Menge
Reelle Zahl
Nullstelle
Gruppoid
Abbildung <Physik>
Element <Mathematik>
Hausdorff-Raum
Zahl
Funktion <Mathematik>
Algebraisch abgeschlossener Körper
Länge
Algebra
Natürliche Zahl
Stab
Abbildung <Physik>
Gruppoid
Element <Mathematik>
Konstante
Allgemeine Algebra
Algebraische Struktur
Menge
Nullstelle
Mathematiker
Axiom
Objekt <Kategorie>
Index
Menge
Stetigkeit
Algebra
Gruppoid
Mathematiker
Vektor
Zahl
Untergruppe

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Allgemeine Algebra
Serientitel Mathematik II für Informatik und Wirtschaftsinformatik
Teil 25
Anzahl der Teile 27
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34536
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Informatik

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