Ja, dann begrüße ich Sie mal recht herzlich zur heutigen Vorlesung in der Mathematischen Statistik. Ich habe eine Folie mitgebracht, was wir beim letzten Mal gemacht haben. Wir sind gerade im Beweis von Satz, ich glaube, ich muss das Mikro ein bisschen leiser machen.

Der Mann wollte lauter sprechen vor mir. Nee, ist schon auf Minus, okay. Ich kann es nicht leiser machen. Wir sind gerade im Beweis von Satz 2.10, eine untere Schranke zur Minimax-Konvergenzgeschwindigkeit,

bei der Schätzung von glatten Dichten in L1. Ich habe Ihnen dazu eine Klasse von Dichten definiert. Wir haben Zahlen PC größer Null. fpc sei die Menge aller Dichten f von RD nach R mit zwei Eigenschaften.

Erstens f ist PC glatt, also P ist gleich einem K plus S mit S echt zwischen 0 und 1 und K einer natürlichen K-Nerzahl aus N0. Und die alle partiellen Ableitungen der Ordnung K seien Hölderstätig mit Exponent S

und Hölderkonstante C, das heißt PC glatt. Also erstens f PC glatt, zweitens support von f ist Teilmenge von 0,1 hoch D. Dann gilt Infimum über alle Schätzverfahren, Supremum über alle Dichten f aus fpc vom erwarteten L1-Fehler von dem Schätzverfahren, also Erwartungswert vom Integral über RD,

Gn von x minus f an x dx. Das ist größer gleich einer Konstanten mal N hoch minus P durch 2P plus D. Für N hinreichend groß, und wie Sie den Beweis sehen werden, de facto werde ich auch brauchen, dass das Groß C hinreichend groß ist. Also N muss eine gewisse Mindestgröße haben und Groß C muss eine gewisse Mindestgröße haben.

Wobei mein Dichteschätzer Gn, hier Gn von x, ist eigentlich Gn von x, Zufallsvariabeln x1 bis xn. Diese Zusatzvariabeln sind innerhalb des Erwartungswertes unabhängig identisch verteilt mit Dichte f. Also wir schaffen es nicht, dass der erwartete L2-Fehler für alle dichten Simultanen,

die PC glatt sind, schneller gegen 0 konvergiert als N mit Exponent minus P durch 2P plus D. Ich habe Ihnen dafür ein technisches Hilfsresultat vorgestellt, aus dem wir das Ganze folgern werden.

Da haben wir Dichten speziell gebastelt. Und zwar haben wir A1 bis AR ist eine Partition von 0,1 hoch D. Für I zwischen 1 und R, also R ist eine natürliche Zahl zwischen I und 1 bis R, haben wir Funktionen Gi0, Gi1 definiert auf Ai. Die nicht negativ sind.

Und diese Funktionen sind derart, dass die Funktion fθ von x definiert durch, falls x in Ai ist, ist es Gi, und zwar mit 0 oder 1 entschieden, je nachdem welcher Wert in der I-Komponente von θ steht, von x. Oder 0, falls x nicht aus 0,1 hoch D ist.

Das Ding soll eine Dichte sein, für jedes θ gleich θ oben 1 bis θ oben R, aus 0,1 hoch R, also für jedes R-Tupel von Nullen und Einsen. Ich definiere dann für so ein Vektor θ den Vektor θi quer,

indem ich einfach alle Komponenten übernehme, bis auf die Ithe, und wenn da eine 1 steht, schreibe ich eine 0 rein, wenn da eine 0 steht, schreibe ich eine 1 rein. Also ich verändere die Ithe-Komponente. Es gelte dann der L1-Abstand zwischen fθ und fθi quer, der sei für alle θ größer gleich einer Zahl α.

Und zweitens, das Integral über Rd, Wurzel aus fθ von x mal Wurzel aus mal fθ quer und ein i von x. Also wenn Sie bei dem θ die Ithe-Komponente verändern und Sie multiplizieren dann die beiden Funktionen miteinander,

das sei größer gleich β größer 0. Und wenn wir diese beiden Eigenschaften haben, dann ist das Infimum über alle Schätzer, Supremum über alle f aus der Familie fθ, θ aus 0,1 hoch R, vom erwarteten L1-Fehler von unserem Schätzer größer gleich als ein Viertel mal R mal α mal β hoch 2n.

Da blieb noch ein Lemma übrig, und damit fange ich vielleicht mal an. Also im Beweis haben wir einen Lemma verwendet, das ich nicht gezeigt habe, das zeigen wir jetzt diesmal. Ich misse vielleicht das Licht wieder, das Ding hoch machen und das ausmachen.

Also was noch fehlt, um die Aussage zu zeigen, ist das Lemma 212.

Wir haben zwei Dichten fg definiert und oben R oben L.

Und die Aussage, die wir benutzt haben im Beweis, das Integral über Rl,

wenn wir das Minimum von f von x und g von x, also das punktweise gebildete Minimum integrieren, dann ist es größer gleich als ein Halbmal das Integral über Rl, Wurzel von f von x mal Wurzel von g von x zum Quadrat.

Also wir wollen diese Ungleichung zeigen, wobei überhaupt nicht klar ist, warum die gelten soll. Aber wie Sie gleich sehen werden, wir können es relativ elementar zeigen. Der Beweis ist, wir gucken uns eins minus die linke Seite an

und tun den Ausdruck auch noch quadrieren, also eins minus Integral über Rl.

Und den Ausdruck quadriere ich dann gleich auch noch und den werde ich nach oben abschätzen durch irgendwas. Dann werde ich bei der oberen Abschätzung noch die Wurzel ziehen. Nee, dann werde ich das Quadrat ausmultiplizieren. Das ist nicht so ganz klar, warum das hier der richtige Term ist zum Angucken.

Wenn Sie es ausmultiplizieren, dann sehen Sie mit der binomischen Formel, beim gemischten Term, bekommen Sie gerade minus zwei Mal die linke Seite hier und dann bekommen Sie noch zwei positive Zahlen. Wir schätzen das Ganze dann nach oben ab und daraus werden wir die Aussage schließen. Aber wie man da drauf kommt, sehen Sie auch nicht.

Aber der Rest vom Beweis ist eigentlich klar. Okay, was machen wir jetzt? Wir wissen, f und g sind Dichten. Da f und g Dichten sind, integriert f zu eins, g zu eins, also integriert auch f plus g halbe zu eins. Integral über f plus g halbe ist ein Halbmal Integral über f

plus ein Halbmal Integral über g. Das heißt, ich kann die eins hier umschreiben als Integral über f plus g halbe und dann kann ich das in das Integral reinziehen. Also weil f und g Dichten sind, kommen wir auf Integral über rl,

f von x plus g von x halbe minus Minimum g von x. Also ich bin hier.

Also sehen Sie umgekehrt, wenn Sie eben das Integral hier unten auseinander ziehen, dann integrieren Sie einerseits f plus g von x halbe, was eben gerade eins ergibt. Und Sie ziehen davon ab das Integral, was da oben auch abgezogen wird.

Okay, jetzt sieht es sich aus, wenn Sie für reelle Zahlen a plus b halbe minus, also a plus b halbe

minus den Minimum von a und b angucken. Und Sie stellen sich mal das auf einen Zahlenstrahl vor. Dann haben Sie irgendwo auf dem Zahlenstrahl, wir haben irgendwo a, wir haben irgendwo b

und einer von beiden ist halt das Minimum. Dann a plus b halbe ist die Mitte. Und dann, was Sie hier betrachten, wäre in dem Fall der Abstand von der Mitte zum linken Rand. Aber der Abstand von der Mitte zum linken Rand ist ein Halbmal der Abstand von a und b.

Das ist ein Halbmal Betrag von a minus Betrag von b. Also Sie brauchen es ohne Beträge, wenn b das kleinere ist. Aber allgemein gilt es eben mit Betrag. Also auch die Ungleichung ist trivial. Dann sehen Sie, was hier eigentlich steht,

ist ein Halbmal Betrag von f an x minus g von x. Wenn ich es punktweise anwende, den halb ziehe ich mit, ach nee, ich lasse sie, ich ziehe die ein halb mit einem Viertel, nee, ich lasse die ein halb mal stehen. Wir machen nicht zu viele Umformungen auf einmal. Dann haben wir ein Halbmal Betrag von f an x minus g von x zum Quadrat.

Wir sind so weit. Also auch der Schritt war absolut trivial

und Sie verstehen aber nicht, worauf ich hinaus will. Ich auch nicht, abgesehen davon, dass ich weiß, dass der Beweis so geht. Aber es wird am Schluss dastehen. Jetzt zieht man es ein halb aus dem Quadrat raus, gibt ein Viertel, dann haben Sie es integral über rl. Dann habe ich hier als Integrant stehen,

eigentlich Betrag von f minus Betrag von g. Ich schreibe das jetzt mit der dritten binomischen Formel um zu Wurzel aus f an x minus Wurzel aus g von x mal Wurzel aus f an x plus Wurzel aus g von x. Betrag lasse ich stehen.

Und ich habe noch das Quadrat.

Einfach weil a minus b mal a plus b gibt a Quadrat minus b Quadrat. Kennen Sie auch. Jetzt habe ich ein Integral über ein Produkt.

Also ich kann den Betrag auch zu den einzelnen Produkttermen reinziehen. Nehme ich die Cauchy-Schwarzungleichung. Integral über f mal g zum Quadrat ist kleiner gleich als Integral über f Quadrat mal Integral über g Quadrat. Wir nehmen die Cauchy-Schwarzungleichung,

schätzen nach oben ab. Kommen wir auf ein Viertel mal. Kommen wir auf das eine Quadrat. Wir haben eigentlich, die Produkte haben jeweils noch so einen Betrag drin, aber nachdem ich quadriere fliegt der Betrag sowieso raus.

Und ich komme, das Ganze ist kleiner gleich als ein Viertel mal Integral über rl Wurzel aus f an x minus Wurzel aus g von x zum Quadrat dx mal Integral über rl Wurzel aus f an x plus Wurzel aus g von x zum Quadrat dx.

Ich bin so weit. Das sieht noch nicht so aus, als ob wir dem Beweis der Aussage irgendwie ein bisschen näher kommen werden. Aber das sehen Sie erst am Schluss.

Jetzt kommen wir auf die geniale Idee und nehmen die binomischen Formeln und multiplizieren aus. Und ich weiß nicht, ob ich es auf einmal machen kann, aber Sie sehen vielleicht, dann kommt das Integral, also hier, das gibt ja f plus g minus zweimal Wurzel f mal g. Hier ergibt es f

plus g plus zweimal Wurzel f mal Wurzel g. Und das Integral über f ergibt aber jeweils eins. Integral über g ergibt auch eins. Ja, wir machen es nicht auf einmal, wir machen es auf zweimal. Sie gucken so begeistert.

Viertel mal Integral über rl f an x minus zweimal Wurzel aus f an x Wurzel aus g von x plus g von x.

Dann machen wir das gleiche nochmal. Nur diesmal haben wir plus zweimal Wurzel aus f an x plus g von x.

Dann ziehen Sie das Integral auseinander. Weil Sie ja wissen, Integral ist ein Jahr. Und jetzt haben wir wieder f g dichten.

Wir lassen die ein Viertel mal stehen. Dann gibt das Integral über f eins, das Integral über g gibt eins. Also steht hier eigentlich zwei minus zweimal das Integral über Wurzel aus f an x Wurzel aus g von x.

Und das zweite gibt genauso zwei plus zweimal.

Okay, so weit? Oder fragen?

Dann steht hier zwei minus a mal zwei plus a oder zwei minus zwei a mal zwei plus zwei a. Dritte binomische Formel gibt vier minus vier a².

Machen wir das noch. Ein Viertel mal vier minus vier mal das Quadrat. Vielleicht schreibe ich die beiden Würzeln zusammen, so wie die Behauptung auch.

Wir kurzen noch mit dem ein Viertel.

Dann steht da eins minus

ja, und das sieht ist jetzt zumindest so was wie

eins minus zweimal meine rechte Seite. Das sieht gar nicht mal so schlecht aus. Und ich habe Ihnen ja vorhin gesagt, die andere Seite, die linke Seite, die wir haben, hat auch was mit der linken Seite zu tun. Und damit haben Sie es eigentlich. Nur Sie sehen es noch nicht. Wir lösen es vielleicht auf.

Also statt zu zeigen, dass Integral über Rl Minimum von f von x, d von x größergleichen halb mal Integral über Rl, Würzel aus f von x mal g von x dx, das Integral zum Quadrat ist. Kann ich auch zeigen, das Integral da zum Quadrat ist kleiner gleich als zweimal dem Integral über xg von x.

Also fangen wir mit dem Integral zum Quadrat an. Das Integral über Rl davon zum Quadrat.

Jetzt eins minus dem Integral größergleich irgendwas, das heißt, das Integral ist kleiner gleich als eins minus die linke Seite. Das ist kleiner gleich als eins minus die linke Seite. Die linke Seite steht da. Die steht irgendwie links. Das haben so linke Seiten so an sich.

Die Seiten, ich verwechsel mal wieder links mit rechts. Die linke Seite rechts. f von x mal g von x.

Das war jetzt die Umformung oder die Ungleichung, die wir gerade eben hatten, eigentlich nur aufgelöst. Also wir nehmen den Term ganz links oder ganz zu Beginn. Der war kleinergleich als der Term ganz zu Ende.

Und lösen diese Ungleichung auf. Nach dem, was Sie am Schluss abziehen, sind wir da. Einverstanden? Und jetzt wenden wir noch einmal die binomische Formel an.

Also dann steht eins minus eins zum Quadrat. Fällt weg. Und dann in der Klammer steht noch minus zweimal das Integral. Aber mit Minus davor zweimal das Integral.

Und dann steht in der Klammer noch plus das Integral zum Quadrat. Ziehe ich wieder ab. Also ziehe ich mit Minus ab.

Und dann sehen Sie natürlich, was ich am Schluss abziehe,

ist ein Quadrat. Deswegen ziehe ich was ab, was größer gleich Null ist. Kann ich bei einer oberen Schranke weglassen. Das Ding hier ist größer gleich Null. Und deswegen bin ich fertig. Deswegen habe ich nämlich gezeigt, dass das Integral links klarer gleich als zweimal das Integral über Minimum von f an x, g von x ist.

Und das wollten wir zeigen. Fragen soweit. Die naheliegende

Frage wäre, wie kommen Sie auf sowas? Ich habe keine Ahnung. Aber es stammt aus der Informationstheorie. Leute, die machen so komische Abschätzungen. Aber irgendwie komplett trivial. Wenn Sie wissen, welche Reihenfolge Sie die Schritte machen.

Ja, dann kommen wir eigentlich zum... Ich laufe mal in die Kamera, dann sieht man mich sogar.

War zu hoch, keine Chance. Machen wir nochmal. Okay. Okay. Dann kommen wir zum eigentlichen Beweis. Jetzt habe ich gesagt, ich formuliere also einen Satz. Und aus dem Satz folge ich den Beweis. Jetzt haben wir den Satz bewiesen. Den Hilfsatz. Und jetzt müssen wir den Hilfsatz eigentlich anwenden. Jetzt ist mir dummerweise beim Beweis, vom eigentlichen Beweis

aufgefallen, dass der Hilfsatz gar nicht geeignet ist. Das ist natürlich so ein bisschen blöd. Aber nur ein bisschen. Macht nicht wirklich was. Es liegt daran, ich habe an einer Stelle nicht aufgepasst. Wenn Sie gucken, wie habe ich denn meine Dichte gebastelt. Ich habe meine Dichte so gebastelt. Also wir hatten ja so eine Klasse.

Also in dem Satz, den wir vorhin in der letzten Vorlesenstunde bewiesen hatten, das war glaube ich Satz 2.11. Da haben wir so eine Funktion fθ definiert. Und für dieses, wenn wir das Supremum bilden, über alle f aus dieser Klasse fθ, dann war der erwartete L1-Fehler größer gleich irgendwas. Was ich natürlich letztendlich

machen möchte, ich bilde das Supremum über f aus meiner Klasse fpc, von pc glatten Dichten. Und das möchte ich nach unten abschätzen. Das geht ganz einfach, wenn diese fθs, diese Klasse fθ aus 0,1 hoch R, wenn die alle in fpc liegen.

Was müssten sie dazu sein? Sie mussten dichten sein. Ja gut, das habe ich der Definition so gefordert, den Satz 2.11. Und zweitens, sie mussten pc glatt sein. Wenn Sie angucken, wie habe ich meine Dichte gebastelt. Ich habe meine Dichte so gebastelt, dass ich von 0,1 hoch D ausgegangen bin. Das habe ich partitioniert in kleine Würfel.

Dann habe ich auf jeden Würfel eine andere Funktion gewählt. Und außerhalb habe ich es gleich 0 gesetzt. Warum ist das schwierig? Na ja, es ist insofern schwierig, weil ich gleich anfange mit einer Funktion, die ist erst mal konstant 1. Und dann gehe ich so ein bisschen nach oben oder nach unten, immer wieder.

Solche Funktionen werde ich nachher basteln. Wenn die aber auf 0,1 hoch D konstant 1 ist und außerhalb gleich 0, dann ist die nicht mehr so ganz stetig. Und schon gar nicht pc glatt. Das war also keine so gute Idee. Das habe ich noch vorgestern gemerkt, aber das ist ja kein Problem. Kriegt man hin. Das ist ja begart. Auch wenn man sonst... Na ja, gut.

Also Beweis habe ich selber gemacht. Das war gut. Das ist ganz einfach. Sie können sich überlegen, wir brauchen 0,1 hoch D eigentlich gar nicht. Also dass es der Würfel 0,1 hoch D ist, spielt keine Rolle. Und das zweite, wir brauchen auch nicht, dass die Dichte außerhalb gleich 0 ist. Haben wir beweise gar nicht verwendet. Wir könnten uns außerhalb auch irgendwie anders setzen. Und genau das mache ich jetzt

als Bemerkung. Also Bemerkung, was aus dem Beweis folgt, Bemerkung Satz 2,10 gilt auch, Satz 2,11 gilt auch

für. Ich definiere, ich muss die Definition von f theta von x abändern. Ich mache f theta von x immer noch, das ist wenn x aus a ist,

es ist eben das g i theta i von x. Und dann setze ich aber es nicht gleich 0, sondern gleich ein h von x für x.

Das ist die Nichtelementmenge a. Wobei, jetzt mein a ist eine Teilmenge von Rd, muss nicht 0,1 hoch D sein, völlig egal.

Mein a1 bis aR ist eine Partition von a und mein h ist einfach eine nicht negative Funktion.

Aber letzten Endes ging unsere, konkret wie unsere ais ausgesehen haben, ging nirgends ein. Und es ging auch nirgends ein, dass deren Vereinigung 0,1 hoch D war. Und es ging nirgends ein, dass die Dichte f außerhalb von

der Vereinigung der ais gleich 0 war. Und was wir dann machen, wir wählen den Satz, den Beweis von Satz, Beweis von Satz 2,10.

Wir machen es uns mal klar für D gleich 1. Ich versuche es mal zu skizzieren. Hier ist irgendwie mein f theta von x. Wir haben den Fall D gleich 1.

Und ich habe irgendwo 1. Und was ich dann mache, ich wähle die Dichte auf alle Fälle außerhalb von 0,1 gleich 0. Dann gehe ich irgendwann im mittleren von dem Intervall, ich mache mal

ein Viertel bis drei Viertel. Dann mache ich so eine Partition. Und da starte ich dann irgendwie auch mit 1. Ich starte hier mit 1. Ich bin hier jeweils an dem. Ich unterteile hier mal nur mit zwei

Mengen. Und dann mache ich eben von der 0 zu 1 einen glatten Übergang. Das kann ich ja. Sie finden ja eine C0-endlich-Funktion, die ist 0 für x kleiner gleich 0, 1 für x größer gleich ein Viertel. Mache ich irgendwie sowas. Und hier mache ich einen C0-endlich-Übergang von 1 auf die 0

runter. Das ist dann mein H. Also was wir hier eigentlich rot haben, unser H. Und was wir dann machen, wir machen unsere GIs. Und

da fange ich im Prinzip, mache ich das konstant 1. Aber ich mache nicht konstant 1, sondern ich fange mal mit konstant 1 an. Und dann gehe ich so ein kleines bisschen nach oben. Bleibe wieder bis zur Mitte konstant 1. Und dann gehe ich eventuell auch ein

kleines bisschen nach unten. Oder ich mache es genau umgekehrt. Das wäre irgendwie mein G 1. Ich nenne das vielleicht G1 0. Es kann sein, dass es nachher genau umgekehrt. Und dann brauche ich noch eine weitere

Farbe. Ich habe noch eine weitere Farbe. Also mein G1 0 wäre sowas, mein G1 1 wäre das genau an der gerade Y gleich 1 gespiegelt. Das heißt, wir gehen hier erst nach unten und dann gehen wir hier nach oben.

Das wäre mein G2 1 in dem Fall. Und dann ist klar,

ja, was ist klar? Also wir werden das hinterher glatt machen, so dass es hier eine PC-glatte Funktion ergibt. Die ganzen Übergänge. Wir müssen eine Dichte konstruieren. Diese Auspulstung nach oben oder nach unten werden komplett

symmetrisch sein. Das heißt, das Integral über diese blaue oder Integral über diese gelbe Funktion im entsprechenden Definitionsbereich ist jeweils das gleiche wie dieses Integral über eins. Das heißt, hier werden wir gerade Masse in halb hinlegen. Das heißt, hier müssen wir den Übergang irgendwie auch glatt machen, so dass Masse in halb,

so dass jeweils Masse ein Viertel ist. Dann haben wir insgesamt eine Dichte. Also Dichte haben wir. Dann werden wir eine PC-glatte Funktion haben. Und dann müssen wir uns eben angucken, okay, von zwei solchen Funktionen, wo ich an irgendeiner Stelle einer dieser Funktionen umgedreht habe. Wie groß ist der L1-Abstand?

Das wird gerade der L1-Abstand entspricht der gerade dem, also der Unterschied ist ja gerade, wenn Sie beide hinmalen, ist, dass das einmal nach oben geht, einmal nach unten. Das gibt gerade zweimal den Flächeninhalt hier plus zweimal den Flächeninhalt hier. So einen kleinen Flächeninhalt gehen, den wir mal ausrechnen. Und dann müssen wir noch dieses Integral über

die Wurzel aus f Theta von x mal f Theta i quer von x ausrechnen. Das ist eigentlich das Integral über diese Funktion, wo Sie eben irgendwann einmal die Funktion selber, andererseits die genau gleiche Funktion, wo Sie an einer Stelle die Sache umdrehen. Und das müssen wir nach unten abschätzen.

Und das sehen Sie auch fast, weil wenn Sie die Funktion, die Wurzel aus der Funktion mal die Wurzel aus der Funktion nehmen, dann bekommen Sie einfach die Funktion selber. Das Integral gibt eins. Dann haben Sie aber einen kleinen Fehler gemacht, nämlich auf so einem Intervall, und den können wir abschätzen. Dann werden Sie sehen, was

rauskommt. Okay, aber das Problem, also wie ich eigentlich ansetzen wollte ursprünglich, ich wollte bis hier Null gehen und ab da eins anfangen und das ganze Intervall unterteilen, das geht aber schief, weil es hier eben nicht mehr PC glatt ist. Jetzt können Sie sich natürlich nehmen, okay, dann tun wir eben unsere

Klasse FPC abändern. Sollte ja eigentlich auch kein Problem sein, wenn die Dichte eben am Rand einen Sprung hat. Macht aber ein Problem beim sogenannten Bias der Dichte. Wenn Sie da das Integral abrechnen müssen, da müssen Sie eine Korrektur dann vornehmen. Das ist unschön. Also das klappt nicht, deswegen habe ich mich entschlossen. Okay, wir machen zu.

Gut, nachdem Sie den Beweis jetzt verstanden haben, sind soweit Fragen. Dann würde ich vorschlagen, ich wische mal die Tafel, wir machen 5 Minuten Pause, und danach kommt der eigentliche Beweis.

Ja, würde ich ganz gerne weitermachen, kommen wir zum Beweis von Satz 210.

Also ich will PC glatte dichten, davon den erwarteten L1-Fehren nach unten abschätzen.

Das PC glatte hatten wir das P zerlegt in der natürlichen Zahl einschließlich der 0K plus einem R. Aber das R selber taucht auch nachher in dem Beweis von Satz 211, oder Beweis Satz 211 auf als Anzahl der Partitionen. Deswegen sage ich jetzt hier, P ist gleich K plus S.

Also P gleich K plus S. Mit K aus N0, S zwischen 0 und 1.

Ich werde später definieren ein M index N und partitioniere dann meine Menge A in Mn hoch D kleine Würfel. Also irgendwie Mn aus N.

Mn wird später ja, ich könnte es jetzt auch hinschreiben. Ich könnte es eigentlich auch hinschreiben. Aber dann fällt es so ein bisschen von Himmel, wenn ich es jetzt hinschreibe. Mn wird später gegen Endlich gehen. Dann setze ich R gleich Mn hoch D. Und jetzt

partitioniere ich. Und für A nehme ich jetzt den Würfel von ein Viertel bis drei Viertel hoch D. Dann partitioniere ich

hoch D in R Würfel.

Und dann unterteile ich eben jede der Komponenten. Die Komponenten sind ja jeweils ein Intervall von ein Viertel bis drei Viertel. Im Nn gleich große Intervalle. Die Komponenten haben die Länge ein Halb. Das heißt, die Intervalllänge ist ein Halb durch Mn, also eins durch zwei N. In Würfel mit Seitenlänge eins durch

zwei Mn. Und das sein dann meine A1 bis AR. Jetzt muss ich

diese Ausbuchtung nach oben und nach unten irgendwie systematisch basteln. Dazu wähle ich mir erstmal

eine PC-glatte Funktion, genauer eine PC-quär-glatte Funktion. Das C-quär werden wir später geeignet wählen. Also wähle nicht negative PC-

quär-glatte Funktion. Das ist da jetzt G.

Deren Support sollte nicht zu groß sein. Ich werde nachher sehen, was ich brauche. Es sollte nicht größer sein als von Minus ein Achtel bis ein Achtel. Jetzt gehört von G die Teilmenge vom offenen Intervall von Minus ein Achtel

bis ein Achtel hoch D. Dann wähle ich aus meinen Würfeln A1, A2 und so weiter jeweils zwei Punkte.

Wähle für Ielement R. Wähle für Ielement 1 bis R. Wähle ich Punkte A1, Hi0 und Hi1.

so. Das wenn ich von Hi0 ein Achtel nach, nein 1 durch 8 mal mn nach links gehe und 1 durch 8 mal mn nach rechts gehe. Und genauso, dass ich das in Ai1 mache, dass ich noch innerhalb von meinem Würfel Ai lande.

Ai war ja ein Würfel der Seitenlänge 1 durch 2mn, aber dass diese beiden Teilmengen noch disjunkt sind. So, das. Also Ai hat die Ai0, Ai1 hat die

Komponenten, sind ja jeweils Punkte aus Rd. Ai0 oben 1, Ai0 oben 2 und so weiter. Wir machen AiJ oben 1 minus 1 durch 8 mal mn und genauso AiJ

oben 1 plus 1 durch 8 mal mn. Und das mache ich mit dem offenen Intervall in jeder einzelnen Komponente.

Und dass diese beiden Mengen für J gleich 0 oder 1,

für Jelement 0,1, das soll zwei disjunkte Teilmengen von Ai sein.

Ich mache es mal in einer Skizze. Machen wir eine Skizze vielleicht für D gleich für D gleich 2. Wenn ich hier irgendwo

mein Ai habe, wie mache ich das dann? Die gesamte Seitenlänge, hier ist ja 1 durch 2 mal mn, richtig, und

ich kann zum Beispiel einfach die beiden, ich kann das unterteilen in vier Quadrate und irgendwie zwei davon nehmen. Weil da oben stehen

ja Rechtecke, aber die Rechtecke sind offen, deswegen selbst wenn die aneinanderstoßen, sind sie disjungt. Und die Seitenlänge von den Rechtecken, das ursprünglich ist 1 durch 2 mn, dann das Rechteck hier, dieses kleine Quadrat hat die halbe Seitenlänge, also 1 durch 4 mn, und wenn ich eben vom Mittelpunkt

1 durch 8 mal mn nach links und nach rechts gehe, bekomme ich so ein Quadrat mit Seitenlänge 1 durch 4 mn. Also ich könnte das hier als Ai0 definieren, das hier als Ai1.

Man kann es nicht richtig lesen, nicht gut. So, hier haben wir Ai0 und hier haben wir dann Ai1. Okay, damit kann ich meine

Gi0, Gi1 definieren. Ja, durch.

Und das erste ist Gi0, Gi0 von x. Ich habe erstmal prinzipiell Konstant gleich 1, dann von diese Konstanten 1. Ich addiere erst etwas dazu.

Was ich dazu addiere, ist mn hoch minus p mal g von mn mal x minus Ai0. Das heißt, ich re-skaliere meine ursprüngliche Funktion

g, die ja einen Support von minus einen Achtel bis einen Achtel hatte, indem ich sie neu zentriere um den Punkt Ai0 und dann aber in der x-Achse stauche

und in der y-Achse auch irgendwie strecke oder stauche. Beides. Und als zweites, ich ziehe sie später nochmal ab, nämlich an der Stelle Ai1. Mal g von x minus Ai1.

Das ist mein Gi0 und mein Gi1 macht es genau andersrum. Also da wo Plus steht von der Funktion steht ein Minus, da wo Minus steht, steht ein Plus.

Und damit kann ich meine F-Ketter definieren. Also ich erkläre es Ihnen nachher nochmal langsam. Wir schreiben erst einmal alles an und dann gucken wir uns, ob das wirklich Sinn macht.

Gucken wir mal an, ob das wirklich Sinn macht. Damit können wir jetzt meine F-Thetters definieren und definiere für Theta gleich

Theta oben eins bis Theta oben R aus 0,1 hoch R. Wir haben jetzt unsere Funktion F-Theta von x und da nehme ich jetzt eben die Version aus dem Lemma vorhin oder aus der Bemerkung vorhin, das heißt ich mache zwar immer noch Gi0 oder Gi1

ich nehme GiThetaI für x aus Ai aber ich nehme eine feste Funktion H von x, wenn x eben nicht in der Vereinigung der Ai drin liegt. Das heißt nicht in

Intervall von, wie haben wir gesagt, ein Viertel bis drei Viertel hoch D. Und jetzt muss ich noch sagen, was das H ist. Wobei H ist von RD nach R.

Die sei, oder wir machen sie schon mal nicht negativ, R plus sei PC glatt mit den folgenden Eigenschaften H sei 0, wenn x nicht aus

0,1 hoch D ist. H von x sei 1 auf diesem inneren Wurfel

ein Viertel bis drei Viertel hoch D. Und viertens brauche ich noch, dass H insgesamt eine Dichte ist, also zu 1 integriert.

Ganz RD sei gleich 1.

Und das, wobei sollte ich noch sauber schreiben.

Und das, was ich Ihnen da gerade hingemalt habe, das sollte eigentlich diesem Bild von gerade eben entsprechen. Das sollte also genau diese Konstruktion hier sollte genau diese Konstruktion hier für D gleich 1 sein.

Das heißt, Sie nehmen das Intervall hier von ein Viertel bis drei Viertel. Sie partitionieren es in eine equidistante Intervalle. Ich habe hier nur 2 genommen. Also ich habe hier Mn gleich 2. Kann ich auch noch dazuschreiben. Beispiel wäre Mn gleich 2.

Ich habe dann eine Funktion H genommen. Diese Funktion H, die ist 0 außerhalb von 0,1. Diese Funktion H ist konstant gleich 1 auf ein Viertel bis drei Viertel. Diese Funktion H hat insgesamt

Flächeninhalt 1 zwischen x-Achse und Funktion. Das heißt, integriert zu 1. Wir haben hier schon mal Flächeninhalt einen Halb. Das heißt, ich habe hier noch einen Halbplatz und ich muss den Übergang glatt machen. Aber das können Sie sich vorstellen. Das kriege ich eigentlich hin. Wenn es mir irgendwie Probleme macht, dass ich das hier einerseits glatt machen muss,

aber andererseits der Flächeninhalt so schön eins wird, dann müsste ich halt offenbar einmal so einen Spenker nach oben noch machen extra. Aber das kriege ich eigentlich auch hin. Und wenn dann mein C groß genug ist, dann wird mein HPC glatt sein. Deswegen brauche ich hier ein C groß genug. Und dann definiere ich mir hier die Funktion abschnittsweise. Hier habe ich zwei Intervalle.

Ich starte immer mit einer Funktion, die ist konstant gleich 1. Und dann addiere ich auf den einen Teil was dazu und subtraiere es auf den anderen Teil ab. Und das, was ich addiere, ist so ein Schlenker nach oben. Das, was ich subtraiere, ist so ein Schlenker nach unten. Diese Schlenker und bei der anderen Funktion mache ich es genau andersrum. Ich gehe erst nach unten, dann nach oben.

Und diese Schlenker konstruiere ich mir systematisch. Ich muss vor allem auch achten, dass die Funktion ja hinterher PC glatt wird. Also auch dieser Übergang hier muss PC glatt sein. Ich mache das erstmal so. Sie sehen, ich habe hier eine Funktion mit einem kompakten Support. Ich starte mit dieser Funktion G, die hat einen Support von minus ein Achtel bis ein Achtel.

Und dann reeskaliere ich das X-Argument. Ich verschiebe es um irgendeinen Punkt. Hier wäre mein AI 0. Nein, hier wäre mein A 1 0. Hier wäre eigentlich A 1 0. An der Stelle,

am ersten Hochpunkt. Und hier wäre A 1 1. Hier wäre A 2 0. Hier wäre A 2 1. Ich wähle diese Punkte, um die ich die Funktion zentriere und dann tue ich hier einen Support zusammenstauchen. Das macht dieses Faktor MN

innerhalb des Arguments der Funktion. Und dann mache ich noch einen Vorfaktor, der mir sicherstellt, dass der PC glatt wird. Warum werden Sie später sehen? Warum dieser Vorfaktor das Richtige ist? Ja, und damit haben wir unser Funktionenraum. was wir uns jetzt eben klar

machen müssen, das sind PC glatte Dichten. Erster Punkt. Zweiter Punkt. Wir müssen die beiden Integrale ausrechnen, die bei der unteren Schranke auftauchen. Und das dann in unsere Abschätzung einsetzen und es muss das Richtige rauskommen. Dritter Punkt. Okay, haben Sie Fragen soweit?

Fragen? Keine Fragen. Dann fange ich mal mit ein paar Vorbemerkungen an zu dem, was wir letztendlich zeigen. Ja, das kann man vielleicht noch hier drauf schreiben.

Wir gucken uns erstmal diese Reskalierung an. Also wenn ich G abbilde auf die Funktion, die X abbildet auf MN auf Minus P mal G von MN mal X minus einen festen Wert A. Okay, der Support von

X wird abgebildet auf MN auf Minus P mal G von MN mal X minus A. A sei jetzt fester Wert. Später sind es meine A

I0, A I1. Können Sie mir eine Aussage treffen über den Support? Also über die Menge à la X, wo die Funktion ungleich Null ist. Bei G wissen Sie es. Es ist eine Teilmenge von Minus einen Achtel bis einen Achtel hoch D.

Was kann ich jetzt über die Funktion aussagen? Also ich möchte eine Aussage haben, ist Teilmenge von...

Also wenn Sie jetzt in den Rechner reinsprechen, dann bringt das nichts. Wenn Sie es online sehen. Aber die Zuhörer hier, die Zuhörer hier, könnten theoretisch was sagen.

Soll ich mal irgendwas hinschreiben? Und wenn Sie es nicht merken, können wir es auch stehen lassen. Das Intervall mit 1 durch MN skalieren und A verschieben.

Das heißt, wir haben eigentlich... Jetzt muss ich auf die Komponenten von A vielleicht rausgehen. Dann komme ich auf A1. A1 minus 1 durch 8 mal MN. A1 plus 1 durch 8 mal MN.

Bis zur D-Komponente. Also wir haben sowas. Und damit sehen wir die Funktionen, die wir oben

dazu addieren, abziehen und so weiter, die haben alle des Junkensupport. Weil so habe ich meine Ais konstruiert. Sodass das steht hier oben diese ganzen Mengen waren ja desjunkt.

Und da sind die Supports der Funktion

X wird abgebildet auf MN hoch minus P mal G von MN von X minus und da habe ich jetzt meine Aij. Und

I läuft von 1 bis R und J von 0 bis 1. Oder wir können hier auch nur J von 0 bis 1 laufen lassen. Die Supports sind desjunkt.

Ich habe nur noch desjunkte Teilmengen, sogar das Inneren von Aij. Teilmengen des Inneren von Aij schreibe ich mal hin. Braucht man glaube ich später nochmal.

Und auf was ich jetzt ganz gerne hinaus will, ist, dass wir uns klar machen, dass die Funktion Fteta, die ich hier konstruiert habe, dass das in der Tat eine Dichte ist. Für eine Dichte näher Messbarkeit lassen wir unter den Tisch fallen. Aber was wir zumindest Messbarkeit ist auch kein Problem. Unsere Funktion

sind die, auf denen wir es konstruieren, sind ja alle schön glatt. Deswegen messbar. Und dann haben wir sie irgendwie stückweise zusammengesetzt auf schönen Intervallen. Oder aus schönen Würfeln. Also Messbarkeit ist nicht das Problem. Aber wir brauchen nicht negativ und integriert zu 1. Was sagen Sie denn zur Nichtnegativität? Ist es klar, dass die Funktion, die ich da

hingeschrieben habe, das ist ja die Definition von dem Fteta hier, ist dieses Fteta nicht negativ.

Sehen Sie das?

Na ja, wo kann es schief gehen? Die Funktionen könnten nicht negativer Werte annehmen, oder die? Aber bei H haben wir ja so gewählt. H habe ich gesagt, steht auf der Tafel so runter, H habe ich gesagt, H ist eine Funktion nach R plus.

Also, wir müssen uns überlegen, kann es sein, dass unsere g i theta i, also unsere g i 0, g i 1, nicht negative Funktionen werden? Ja, irgendwie, ich fange ja mit der 1 an, dann addiere ich irgendwo was dazu, und ich addiere irgendwo, ziehe irgendwo anders was ab. Das, wo ich dazu addiere, und wo ich abziehe, sind das Jungte-Bereiche, weil die bemerken von gerade eben,

weil die beiden hier haben das Jungte-Support. Das heißt, ich habe dann ein Problem, wenn ich hier was abziehe, was größer als eins ist. Kann der Fall auftreten, dass ich was abziehe, was größer als eins ist?

Es hängt von dem g ab, ganz klar, es hängt irgendwie von der Supremumsnorm vom g ab, aber andererseits habe ich einen Faktor davor stehen, und ich habe Ihnen ja vorhin mal gesagt, der Faktor geht asymptotisch gegenendlich.

Also wenn ich den so wähle, dass der wirklich groß wird, und ich muss mir klarmachen, ist dieses g klar beschränkt? Natürlich ist es g beschränkt, weil es war ja eine glatte Funktion mit kompakten Support. Also g ist beschränkt, das heißt, für m n genügend groß ist mein f theta von x nicht negativ. Das erste, was ich beobachten kann,

also, und ich schreibe vielleicht eine Begründung noch dazu, da also irgendwie die Subnorm von g klein und Endliches, ich könnte auch alle schöner schreiben, sind alle g i j,

alle g i j und damit auch f, f theta, für m n hinreichend groß, nicht negativ.

Also ich habe die erste Bedingung für Dichte, jetzt brauche ich zweitens, es soll zu eins integrieren. Weiter gilt, und ich würde ganz gerne jetzt argumentieren, dass dieses f theta von x auch zu eins

integriert, und damit habe ich in der Tat eine Familie von Dichten konstruiert. Was ja die erste Voraussetzung von Satz 2, 11 war. Wenn Sie sich mal dieses Bild angucken noch mal, hier haben wir ein Beispiel, ist es klar, dass, wenn ich das richtig sauber gezeichnet hätte,

also hier sieht man es nicht unbedingt, aber wenn ich das richtig sauber gezeichnet hatte, ist es klar, dass es dann eine Dichte ergibt, dass der Gesamtflächeninhalt gleich eins ist?

Genau, das, Sie haben genau recht, also ich müsste es natürlich symmetrisch gezeichnet haben,

das heißt diese Delle nach oben und diese Delle nach unten, die müssten jeweils genau gleich sein, nur verschoben, oder hier in dem Fall noch gespiegelt, und dann sehen Sie, dann entspricht das Ganze eigentlich, das Integral hier, diese Teile, die ich zu viel habe, oder mal zu wenig, die gleichen sich genau auf. Das Ganze entspricht dann gerade dem Integral über H, und H habe ich so gewählt, dass Integral eins hatte.

Okay, also ich habe hier einfach das Integral über R D, ja, ich könnte es entweder hinschreiben, indem ich aufspalte über, naja, wir machen es kürzer, nach Konstruktion, entspricht einfach ein Integral über H von x dx, und damit haben wir unser f,

f theta, theta ist Dichte, ist theta, also Sie sehen es eigentlich hier,

Sie würden eben das Integral aufspalten von Minus und Endlich bis ein Viertel, dann würden Sie von ein Viertel bis drei Viertel gehen, dann von drei Viertel bis ein Endlich wieder,

und bei ein Viertel bis drei Viertel gleichen sich eben diese Dellen nach oben und Dellen nach unten jeweils aus, deswegen können Sie da genauso die eins integrieren, aber dann integrieren Sie insgesamt genau H, und das war vielleicht Inhalt eins. Dann haben Sie das hier. Und jetzt können wir uns überlegen, was müssen wir jetzt noch zeigen,

oder beziehungsweise ich schreibe Ihnen mal hin, was wir jetzt im Folgenden zeigen, wir zeigen im Folgenden, und wir zeigen drei Sachen,

und ich mache es römisch eins, römisch zwei, römisch drei, römisch eins ist unser f theta ist p c glatt,

und natürlich, ja vielleicht schreibe ich es noch dazu, der Support von f theta, f theta war ja null außerhalb von 0,1 hoch d auf alle Fälle,

also es ist eine Teilmenge von 0,1 hoch d, und dann brauche ich die beiden Bedingungen, die wir drin hatten in

in unserem Satz 2.11, das eine, wir haben uns angeguckt, das Integral über f theta von x minus f theta i quer von x, d x über r d, und das wollten wir nach unten abschätzen, das sollte ein Alpha geben,

das sehen Sie vielleicht fast, wenn ich das Integral über,

ich kann noch ein bisschen mit der, mit der Zeichnung rumspielen, vielleicht noch ein grün nehmen, was passiert denn, wenn Sie von f theta zu dem theta i quer übergehen,

dann wählen Sie sich irgendwo ein Intervall aus, und dann tun Sie da die Funktion gerade umdrehen, also ich nehme vielleicht das erste, dann gehe ich gerade nach unten symmetrisch, ups, und hier gehe ich komplett symmetrisch nach oben, also grün habe ich dann mein

g 1 1 noch hingemalt, und dann bilde ich die Differenz zwischen den beiden Funktionen, dann sehen Sie, die beiden Funktionen stimmen ja überall überein, bis auf diesem ersten Intervall, und die Differenz der L1-Abstand ist geschickterweise gerade der Flächeninhalt dazwischen,

das gibt den Flächeninhalt von diesem Huppel hier, und eigentlich die Huppel sind alle gleich groß, den kann ich zerlegen in vier Teile, gibt viermal den Einzelhuppel, ich muss sich nur überlegen, was ist der Einzelhuppel, der Einzelhuppel ist gerade mein Integral über so eine reskalierte Funktion,

Integral über rd, über mn hoch minus p mal g von mn von x minus aj, aber das können Sie direkt hinschreiben, Sie machen noch einen Vorfaktor, 1 durch mn hoch d, und substituieren das dann innen drin weg, dann kommen Sie auf, das ganze Ding ist viermal mn hoch minus p minus d,

richtig, ja ich muss noch einen Vorfaktor mn hoch d eigentlich dran knallen, damit ich von der Substitution wegkomme,

mal, und dann bleibt noch das Integral über g übrig, g von x dx, rd, und an der Stelle hätte ich irgendwo dazuschreiben sollen, dass die Funktion g in Integral größer als Null hat,

aber es ist eigentlich klar, sobald die Funktion nicht identisch Null ist, weil das habe ich glaube ich ganz am Anfang, also so wie ich die ganze Konstruktion hingeschrieben habe, hätte ja meine Funktion g auch identische Nullfunktion sein können, hätte natürlich nicht viel gebracht, aber ich brauche jetzt hier eben, dieses Integral muss größer als Null sein,

habe ich zu Beginn des Beweises dazuschreiben müssen. Aber das rechnen wir am nächsten Mal nach, und das ist unser Alpha. Und dann kommt das Dritte, was brauchen wir noch? Wir brauchen das Integral über rd,

Wurzel aus f theta, mal f theta quer i von x, und das soll jetzt auch, müssen wir irgendwie abschätzen, größer gleich als irgendwas sein,

und das ist jetzt nicht so offensichtlich, das ist der Teil, der uns wirklich, also wir brauchen das Integral über rd, Wurzel aus f theta von x, mal f theta quer i von x,

das ist der Teil, der uns wirklich Arbeit machen wird. Wenn Sie überlegen, was passiert ist hier, dann nehmen Sie die Funktion, die hat einerseits diese blaue Darstellung und das gelbe lassen Sie, oder einerseits die grüne Darstellung, und modifizieren Sie mit sich selber,

und dann ziehen Sie die Wurzel draus. Die Funktion stimmt fast überall mit der, also wenn der grüne Teil nicht wäre, sondern wenn der grüne Teil auch der blaue Teil wäre, dann hätten Sie einfach die Funktion mit sich selber modifiziert, und dann die Wurzel gezogen, und dann gibt die Funktion selber, geben 1 raus. Das heißt, ich kann eigentlich sagen, das Ganze ergibt 1 minus den Fehler, den ich hier gemacht habe,

und den Fehler muss ich eben dann noch irgendwie abschätzen, und wenn wir das machen, dann kommen wir hier auf, aber das muss ich nachschlagen, oder das muss ich abschreiben, wenn wir das beim nächsten Mal machen, das gibt 1 minus eine Konstante,

die nenne ich mal klein c, mal mn hoch minus 2p minus d. Das erste war richtig, das erste war richtig,

und das ist mein Beta. Und was wir jetzt zum Abschlussgrad noch uns klar machen können, dies impliziert die Behauptung,

und dann können wir, ja, freie Tafel wäre schön,

und wir müssen noch mn irgendwie wählen,

mit mn gleich, aber wir überlegen uns gleich mal, was der richtige Wert ist, ich lasse hier noch eine Lücke, impliziert dies die Behauptung,

denn wir wollen ja abschätzen, das wissen Sie noch, was Sie abschätzen wollen, Infimum über alle Geen, Suprimum über alle F aus Fpc,

vor allem erwartet man ja 1 Fehler, jetzt wissen wir, unsere Klasse Ft, da sind alles Pc-Dichten, also unsere Ft, da sind alle in dem Fpc drin, also aufgrund von 1 ist es sicher größer gleich,

Infimum über alle Geen, Suprimum über alle F aus Ft,

und dann können wir den Satz 2, 11 anwenden,

dann wissen Sie noch, was die untere Abschätzung war, ich glaube, ein Viertel R mal Alpha mal Beta hoch 2n, wenn ich es recht weiß, korrigieren Sie mich, wenn ich etwas Falsches hinschreibe, ein Viertel mal R mal Alpha mal Beta hoch 2n,

dann setzen wir ein, was wir haben, also ein Viertel, lassen wir stehen, R war mn hoch D,

also wir haben mn hoch D noch nicht gewählt, dann was war Alpha, Alpha war 4 mal mn hoch minus P minus D, und was war Beta, Beta war 1, 1 minus eine Konstante C

mal mn hoch minus minus 2p minus D hoch 2n,

ja, und jetzt müssen Sie mn schlau wählen, und dann steht es da, und ja, Sie haben vollständig recht, also ich müsste hier noch ein Integral über G von X, Dankeschön, mal multiplizieren,

aber es ist ja nur eine Konstante, und es muss dann eben eine Konstante große Null sein, aber Sie haben vollständig recht, habe ich gerade verwechselt, vergessen, ja, was wählen Sie jetzt, Sie wählen das so, dass dieser Term asyntotisch gegen eine konstante große Null läuft,

dann können Sie den vergessen, wenn Sie das machen, ja, wenn ich es hinschreibe, sehen Sie sofort, Sie wählen n hoch 1 durch 2p plus D und machen irgendwo eine Grausklammer drum herum,

und dann ist das gleich Viertelfeld weg, dann haben wir ein mn, ich kann vielleicht das Integral mal hinschreiben, hier von X, D, X, gibt unsere Konstante,

dann haben wir ein mn hoch minus p, dann haben wir also ein größer Gleich, wenn ich die Grausklammer auflöse, ein n hoch minus p durch 2p plus D mal 1 minus C mal,

und ich vernachlässige mal irgendwie die Grausklammer, ich bin mir gerade nicht sicher, ob sich die eine Richtung und die andere Richtung auswirken, aber ich könnte hier ein C quer draus machen, dann macht das nichts mehr, dann haben wir 1 durch n hoch 2n, und das geht gegen e hoch minus C²,

also wir quadrieren das ganze Ding, e hoch minus 2C größer Null, und damit haben Sie die Behauptung, wenn jetzt konzentriert ist gegen etwas, was größer als Null ist,

dann ist es irgendwann größer gleich ein halbmal dieser Term, und für große N brauchen wir ja nur eine Aussage, und irgendwie, ich war mir nicht ganz sicher, ob ich an der Stelle jetzt die Grausklammer einfach weglassen kann, also Grausklammer sind immer so ein bisschen unschön, das ist halt noch ein plus eins, minus eins, aber da ja der Ausdruck sowieso gegen endlich geht,

können Sie es dann leicht abschätzen durch ein halbmal den Ausdruck oder zweimal den Ausdruck, das stört Sie nicht. Ja, und dann sehen Sie, wir haben noch drei Sachen zu zeigen, nämlich eins, zwei, drei,

diese PC-Glattheit wird uns ein bisschen Kopfzerbrechen machen, aber folgt eigentlich aus der Konstruktion, geht ganz schnell, ein bisschen technisch, das Zweite ist fast trivial, wird sofort dargestellt, das Dritte ist noch ein kleiner Trick, wird dann auch dastehen, dann haben wir es, und auf wundersame Weise kam genau das Richtige raus,

also Glück gehabt. Gut, haben Sie Fragen soweit, Fragen? Sonst machen wir, also Freitag ist Tag der Arbeit, ist zwar Tag der Arbeit, aber wirklich kommt es trotzdem nicht,

dann sehen wir uns am nächsten Mittwoch wieder, Dankeschön.