Ich brauche ein bisschen mehr Licht, vielleicht auch ein Tafellicht. Ich lasse mal die Aussage vorläufig noch auf der Folie und dann fangen wir mal an.

Ich brauche noch eine Tafel, eine Kreide wäre ganz schön, eine Tafel haben wir schon, aber eine Kreide wäre nicht schlecht. Also, wir wollen diese Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit hier zeigen. So, Bremung über F aus Skript F, Betrag von 1 durch n, i gleich 1 bis n f von x i mal epsilon i,

soll größer gleich Delta sein. Das, was da steht, ist ein arithmetisches Mittel von Zufallsvariablen. Beachten Sie, die x 1 bis x n sind ja fest. Arithmetisches Mittel von Zufallsvariablen, die unabhängig sind, einen Erwartungswert 0 haben. Und dann bilden wir darüber aber noch ein Supremo über einen Funktionenraum.

Und wir wollen eine Abschätzung der Bauart, kleiner gleich Konstante mal e hoch minus n Delta Quadrat durch C mal r Quadrat haben. An unseren Anwendungen später wird r Quadrat die Größenordnung von Delta haben, sodass wir das nach oben abschätzen können durch e hoch minus n mal Delta durch eine Konstante.

Das heißt, das wird noch gegen Null gehen, wenn Delta die Größenordnung von und ein bisschen größer ist als 1 durch n. Was die Sache hier ist. Oder was die Stärke hier ist. Gut, kommen wir zum Beweis.

OBDA setzt sich mal L größer gleich 1 voraus, weil L ist ja die obere Schranke für epsilon. Die kann ich natürlich, wenn sie mitten halb gilt, auch größer machen. Und die geht ja ansonsten nicht mehr groß ein. Also OBDA ist L größer gleich 1.

OBDA kann ich weiter eine gewisse Mindestgröße für r voraussetzen, nämlich r ist größer als Delta durch 2L.

Warum gilt das? Wenn das nicht der Fall ist, also andernfalls, dann gucken Sie sich mal den Ausdruck an, den wir abschätzen wollen. Das war ja sowas wie 1 durch n Summe i gleich 1 bis n f von x i mal epsilon i.

Und davon den Betrag. Und wenn das nicht der Fall ist, dann ist es automatisch kleiner als Delta. Und unsere Aussage ist trivial. Warum ist das so?

Sie nehmen die Cauchy-Schwarzungleichung. Ja, was sagt hier die Cauchy-Schwarzungleichung? Wir ziehen das 1 durch n vielleicht als 1 durch Wurzel n zu f und 1 durch Wurzel n zu epsilon i hin.

Und dann nehmen wir die ganz normale Cauchy-Schwarzungleichung für Punkte im Rn. Dann haben wir die kleiner gleich als die L2-Norm von f von x1 durch Wurzel n, f von x2 durch Wurzel n und so weiter bis f von xn durch Wurzel n. Also die euklidischen Normen davon.

Das ist einfach die empirische Norm von dem Ding fn. Und dann haben wir als zweites die Wurzel aus 1 durch n Summe i gleich 1 bis n epsilon i zum Quadrat.

Und jetzt wissen wir, unsere Norm fn war nach Voraussetzung 3.10 kleiner gleich als R. Das ist kleiner gleich R.

Das zweite, unsere epsilon i, sind betragsmäßig kleiner gleich L. Das heißt, das 1 durch n mal Summe i gleich 1 bis n epsilon i Quadrat ist kleiner gleich als L Quadrat. Wurzel draus ist kleiner gleich L. Dann kommen wir auf R mal L.

Und wenn jetzt R kleiner ist als Delta durch 2L, dann wäre das eben kleiner gleich als Delta durch 2L mal L. Das ist ganz klar kleiner als Delta. Also in dem Fall wäre die Behauptung trivial, weil wenn R kleiner gleich Delta als 2L ist,

dann ist dieses ganze Supremum eben kleiner als Delta. Und dann ist natürlich die Wahrscheinlichkeit, dass der Supremum Betrag größer als Delta ist, gleich Null.

Im Folgenden verwenden wir die sogenannte Chaining-Technik, der der Druck ist. Das Ding piepst hier. Ist aber interessant. Ah ja, es macht immer so ein On-Off, On-Off.

Kein Wunder, dass Sie eine Tonstörung haben. Ach so, es sieht nicht gut aus hier. Ich habe nichts damit zu tun. Aber okay, wir nehmen die sogenannte Chaining-Technik. Brauchen Sie nicht. Ist es bei Audio? Ist es bei Audio? Ja, eigentlich bin ich gerade auf Audio und das macht halt hier irgendwie On-Air.

Wir haben auch die Übertragung noch. Ah ja, das ist die Beamer-Anlage. Muss uns nicht weiter stören. Wahrscheinlich bin ich gerade live. Oh mein Gott, was vielen höher sehen hier.

Aber auch ganz nett. Also im Folgenden, ich schreibe es mal hin und dann erkläre ich es. Also wir haben ja ein Problem. Wir wollen so ein Supremum über alle F aus Skript F abschätzen von so einem Ausdruck.

Und da gehen wir eben von der Menge auf eine endliche Menge über. Also dazu approximieren wir F.

Aproximiere F in Supremum F aus Skript F. Das ist ja der Ausdruck, den wir, das ist eine Wahrscheinlichkeit, größer Gleichheit als irgendwas, wir abschätzen. Und wenn wir die Wahrscheinlichkeit, dass es größer Gleichheit als Delta ist, abschätzen wollen.

Dieses Supremum F auf S, da approximieren wir das F. Naja, wir könnten es im Sinne der Überdeckung durch eine einzelne Funktion, durch eine feste Funktion jeweils machen aus einer Überdeckung. Aber wir machen es stattdessen durch eine ganze Folge von Funktionen, die F immer besser approximieren. Durch eine Folge von F immer besser approximierenden Funktionen.

Von, nein, klein F, klein F, approximierende Funktionen.

Und was wir da machen, ist die sogenannte Chaining-Technik. Chaining für Englisch für Kettenbildung aus der empirischen Prozesstheorie.

Diese Technik stammt aus dem Jahr 1984 von einem Herrn namens Alexander.

Okay, dazu wählen wir jetzt nicht eine Überdeckung, sondern wir wählen ganz viele, die jeweils unseren Funktionenraum immer besser approximieren. Dazu, für S aus N0 wähle ich eine Überdeckung mit Genauigkeit R durch 2 hoch S

von dem Funktionenraum F auf den Punkten x1n. Also ich wähle, und die bezeichne ich mit f1s bis fnss.

Also sei f1s, das sei eine R durch 2 hoch S Überdeckung.

R durch 2 hoch S Überdeckung von Skript F auf x1n.

Und das machen wir so, dass die Größe dieser Überdeckung minimal wird. Das heißt, dieses ns, die Anzahl der Funktionen, die ich verwende, ist gerade meine Überdeckungszahl. Mit ns ist meine Überdeckungszahl.

Radius ist R durch 2 hoch S. Ich nehme meinen Funktionenraum F, Skript F und meine Funktionen.

Und so eine, jetzt davon wähle ich nicht eine feste Überdeckung, sondern ich wähle für jedes S eine. Das heißt, für beliebiges S und für beliebiges F aus F

existiert eine dieser Funktionen f1ns bis fnss wo der L2-Abstand auf den Punkten x1n zu dieser Funktion F eben kleiner als R durch 2 hoch S ist jeweils. Wenn Sie jetzt speziell R gleich 0 setzen,

dann soll der L2-Abstand kleiner als R sein. Wir wissen aber, diese empirische Norm der Funktionen war kleiner als R². Das heißt, da könnte ich einfach die Nullfunktion als Überdeckung wählen. Also obda habe ich 0 gleich 1.

Das ist klar nach der Voraussetzung 13 und mein f11 ist gleich 0 nach 13.

Also 13 war die Voraussetzung. Ich schreibe es vielleicht nochmal drunter, weil Sie können es nicht lesen. 1 durch n, wie immer.

Das 1 durch n Summe i gleich 1 bis f und xi zum Quadrat war kleiner als R². Das heißt, wenn ich f11 gleich 0 nehme, dann ist einfach der Abstand zu dieser 0 zum Quadrat eben immer kleiner als R². Der quadratische Abstand in der Abstande selber eben kleiner als R.

Das heißt, das erfüllt meine Überdeckung. Dann wähle ich für ein f eine Funktion fs jeweils aus der esten Überdeckung. Also für f aus f, fs sei eine,

aber da wollte ich ein Index oben dran machen, sorry, fs, sei eine der Funktionen f1s bis fnss

und zwar diejenige, wo dieser Abstand,

also Wurzel aus 1 durch n Summe i gleich 1 bis n f von xi minus fs von xi im Klammern zum Quadrat, wo der kleiner als R durch 2 hoch s ist. Und ich habe hier kleiner als R durch 2 hoch s geschrieben.

Eigentlich könnte ich auch kleiner schreiben. Und jetzt habe ich also nicht eine Funktion, die man f approximiert, sondern ganz viele. Ich habe f1, ich habe f2, ich habe f3, ich habe f4 und so weiter, die das immer genauer approximieren. Ich mache das dann nicht unendlich oft, sondern ich höre irgendwo auf.

Ich höre an der Anzahl S auf. Die Anzahl S setze groß s sei das Minimum, klein s großer gleich 1, sodass R durch 2 hoch s soll kleiner als Delta durch 2l sein.

Ja, und es ist klar, so eine Zahl existiert, weil irgendwie R durch 2 hoch s geht ja für S endlich gegen 0. Und nach meiner Voraussetzung war aber R größer als Delta durch 2l. Das heißt, aufgrund dieser Voraussetzung

R größer als Delta durch 2l, sehen Sie, S wird nicht... Ach nee, gut, also R ist einfach größer als Delta durch 2l. Daraus sehe ich eigentlich,

dass, wenn ich R durch 2 hoch s minus 1 bilde und dieses...

Oder wollte ich plus 1? Ich bin gerade größer als 2 hoch groß s minus 1. Das wäre größer. Richtig, das wäre... Also, wenn jetzt das groß s größer als 1 ist, dann ist groß s minus 1 eine Zahl,

die nicht in der Klammer steht. Dann ist aber R durch 2 hoch groß s minus 1 größer als Delta durch 2l. Und jetzt ist die Frage, was ist, wenn S gleich 1 ist?

Wenn S gleich 1 ist, dann ist nach unserer Voraussetzung R größer als Delta durch 2l. Das heißt, es gilt auch für S gleich 1. Das werden wir irgendwann beweisbar benutzen.

Sie sehen es im Moment nicht, aber das war der Grund, warum ich OBDA R größer Delta durch 2l gemacht habe. Ja, was bringt das Ganze? Fangen wir mal an, dann gilt...

Ich mach mal den... Ich brauch doch mehr Tafel. Hat keinen Sinn. Wir machen mal den Tageslichtprojekt da weg.

Ich guck mir das an, sodass ich das Supremo-Bilde ohne Betrag, also 1 durch n,

mal f von xi minus epsilon i. Und da kann ich natürlich von dem f von xi einfach die Null abziehen. Und die Null war mein f11 von xi. Naja, das ist ein Tippfehler.

Das ist ein Schrittfehler hier, sorry. Also nicht mein f11, sondern der obere Index ist ja... Ich bin ja hier bei S gleich Null. Also hier bin ich bei f10. S gleich Null. Ich ziehe jetzt... Und damit ist es f0, auch Null.

Ich ziehe jetzt das ab. Das heißt, es ist 1 durch n. Da eben das...

Da f0 gleich Null. Siehe oben. Und jetzt mache ich daraus eine Teleskop-Summe. Ich schreibe das f von xi minus f0 von xi um als f von xi... Also ich fange an mit... Ich schreibe das minus f0 von xi um als...

Ja, ich schreibe das f0 von xi um als... Ja, ich bilde eine Summe über S. fs minus fs minus 1, oder sowas. Also ich mach's mal. Und dann überlegen wir uns, warum es geht.

Dann machen wir f von xi minus fs von xi. Das ist jetzt ein Groß S.

Und dann machen wir noch eine Summe. Plus S gleich 1 bis Groß S. fs von xi minus fs minus 1 von xi.

Dann schreibe ich das so um. Mal Epsilon i. Und wenn Sie jetzt gucken, was steht da in der Klammer... In der Klammer...

Ich summiere ja... Summe Groß kleines gleich 1 bis Groß S. fs von xi minus fs minus 1 von xi auf. Ist eine Teleskopsumme. Bleibt einfach f Groß x von xi minus f0 von xi übrig. Das minus f0 von xi hab ich. Und das f Groß s von xi hebt sich hier weg.

Mit dem hier. Dann spalten wir das auf. In zwei Terme. Also ich spalte die Summe hier auf. Und dann vertausche ich noch diese Summe. 1 durch n S gleich 1 bis Groß S.

Also das hier ist ein Groß S.

Und das hier ist ein Groß S. Die anderen S sind klein. fs von xi.

Ach so und ich hab das 1 durch n vergessen. Sorry. Nicht gut.

Okay, ich glaube so weit könnte es klar sein, oder?

Jetzt gucken Sie sich mal den Betrag von dem hier an. Also wir gucken uns den Betrag von dem ersten Term an. Wenn ich argumentiere, der erste Term ist kleiner als Delta halbe.

Betragsmäßig. Also Sie sehen hier der Betrag von dem Term hier. Das ist gleich dem Betrag von dem Term hier. Kann ich mit der Dreieckstumengleichung reinziehen. Ist kleiner gleich Betrag vom ersten plus Betrag vom zweiten. Beim zweiten kann ich auch noch die Beträge direkt innen reinziehen. Werden wir nachmachen.

Alles. Und dann ist eben die Wahrscheinlichkeit, dass das Supremum hier von dem Betrag großer gleich als Delta ist kleiner gleich die Wahrscheinlichkeit, dass das Supremum von dem ganzen Ausdruck, der dann hier steht kleiner gleich Delta ist. Und da wird der erste schon mal kleiner gleich Delta halbe sein. Für alle f. Also wir gucken uns mal Betrag von 1 durch n der Betrag.

Wir nehmen wieder die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Alles jetzt Cauchy-Schwarz. Ich nehme Betrag von epsilon i kleiner gleich l fast sicher. Dann sehen Sie, ich kann es abschätzen durch Abstand zwischen f und fs in der empirischen Norm mal Wurzel aus 1 durch n Summe i gleich 1 bis n epsilon i zum Quadrat.

Das war l. Und dann nehmen wir die Definition von fs. Das war R durch 2 hoch s mal l.

Und dann gucken wir uns an, was hat s ausgesagt. S war so gewählt, dass R durch 2 hoch s kleiner gleich Delta durch 2l ist.

Also es ist kleiner gleich als Delta durch 2l. Das ist Delta halbe. Das heißt der Ausdruck ist schon mal kleiner gleich Delta halbe, was gut ist.

Also soweit klar, was ich gemacht habe. War glaube ich bisher nicht schwer, ein bisschen technisch, aber nicht schwer. Wenn Sie angucken. Und Sie sehen noch nicht, warum ich es mache.

Daraus folgt die Wahrscheinlichkeit, die uns interessiert. Das ist Supremum f aus f. Betrag von, ich gucke mal diese Ungleichung an.

Eigentlich interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, dass es größer gleich Delta ist. In der Behauptung wollen wir eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit größer gleich Delta durch irgendeinen Term Exponentialfunktion von was von Delta. Die rechte Seite ist aber stetig in Delta.

Das heißt, wenn ich zeigen kann, für beliebiges Delta, gilt das für größer Delta, habe ich es auch für größer gleich Delta. Also ich kann hier mit einem Schlag von, also entweder ich könnte in der Behauptung, größer schreiben statt größer gleich, wäre aber im Prinzip egal, weil es eben von der Behauptung her das gleiche ist.

Wenn Sie es für größer gezeigt haben, haben Sie es auch für größer gleich. Das liegt so ein bisschen an der Monotonie der Wahrscheinlichkeit. Sie können das Delta ein bisschen kleiner machen, dann können Sie die Wahrscheinlichkeit mit größer gleich Delta nach oben abschätzen durch eine Wahrscheinlichkeit mit größer als ein bisschen kleineres Delta.

Dann beprägen Sie die obere Schranke, und aber die obere Schranke lebt stetig von Delta ab. Deswegen kommt dann im Grenzen wieder die gleiche obere Schranke raus. Okay, also ich fange hier mit dem Größeren an. Jetzt nehme ich das von gerade eben, setze ich ein, also ich ersetze den Ausdruck, der hier im Betrag steht, durch das, was ich da umgeformt habe,

nehme dann die Dreiecksungleichung, ersetze dann die linke Seite durch einen größeren Ausdruck, und da ist ein Term kleiner gleich Delta halbe, dann ersetze ich den Term auf der linken Seite durch Delta halbe, und dann ziehe ich mit der Dreiecksunggleichung den Betrag noch einmal rein, und dann kommen wir auf einmal auf Betrag von P von Supremum F aus F,

Summe S gleich 1 bis Groß S. Ach so, und ich will gar kein Supremum schreiben, ja, ja.

Okay, lassen Sie mich vielleicht das Supremum noch wegmachen. Ich schreibe gar kein Supremum. Die Frage, warum wollte ich auf einmal zum Größeren übergehen, vom Größeren gleich, hat natürlich einen Grund. Der tiefere Grund ist, dass ich auf ein Existenzquantum hinaus möchte.

Der Supremum ist größer, genau, wenn eine Funktion existiert, die Größere, die es annimmt, also sie sind hier.

Klar, wenn das Supremum größer ist, dann ist das Supremum ein ganzes Stück größer, dann finden Sie irgendeine Funktion, die um ein kleines Stück noch größer ist als das Delta. Umgekehrt, wenn Sie eine Funktion finden, die größer ist, ist das Supremum natürlich auch größer. Fertig. Aber deswegen brauchte ich ein Größer statt ein Größergleich,

um das hinschreiben zu können. Dann machen wir das mit der obigen Abschätzung. F aus F. Jetzt haben wir, also ich setze das Ganze ein, nehme dann die Dreiecksunggleichung ab, tue den ersten Term durch Delta halbe abschätzen,

bringe das Delta halbe da rüber. Beim zweiten ziehe ich auch noch den Betrag rein, dass gleich eins bis groß ist,

muss jetzt eben größer als Delta halbe schreiben.

Okay, ist das soweit klar? Also Sie haben diese innere Summe ersetzt,

durch das, was da auf der linken Tafel steht, dann mit der Dreiecksunggleichung den Betrag munter reingezogen, den ersten Term durch Delta halbe abgeschätzt, beim zweiten den Betrag noch ein bisschen reingezogen und das Delta halbe auf die andere Seite gebracht. Und da wir die linke Seite von der Ungleichung durch was Größeres ersetzt haben, oder Größergleich wird die Wahrscheinlichkeit höchstens Größergleich.

Jetzt möchte ich die Summe loswerden, genauer gesagt möchte ich die Summe aus der Wahrscheinlichkeit rausziehen. Das geht so, dass ich Konstanten Etta 1 bis Etta Groß s größer als Null wähle,

die eine Summe kleiner als 1 haben.

Etta Groß s, und das wird später unsere zentrale Voraussetzung sein, dass diese Summe, Etta 1

ist die Summe der Etta s, dass die kleiner gleich 1 ist. Und dann ersetze ich das Delta halbe einfach durch Delta halbe mal die Summe. Und die Summe ist kleiner gleich 1, deswegen wird die rechte Seite kleiner gleich und die ganze Wahrscheinlichkeit wird größergleich.

Wer also größer als die Summe, kleiner ist gleich 1 bis Groß s, Delta halbe mal Etta s,

wir sind an der Stelle.

Also wieder triviale Umformung. Und jetzt nutze ich aus, wenn die Summe von Zufallsvariablen größer als einer anderen Summe ist, dann muss zumindest ein Summand größer als einer dieser anderen Summanden sein. Wenn für jeden einzelnen Summand der Ausdruck hier kleiner gleich

entsprechenden Summanden hier wäre, dann wäre es insgesamt die Summe auch kleiner gleich der Summe. Kann also nicht sein. Das heißt, das kann ich eigentlich nach oben abschätzen, dass irgendein Index s existiert zwischen 1 bis s, wo der erste Summand links größergleich dem ersten Summand rechts ist.

Und diesen Existenzquantor, eine Vereinigung von Ereignissen, ziehe ich als eine Summe von Wahrscheinlichkeit heraus. Komme ich also auf kleiner gleich Summe s gleich 1 bis Groß s,

die Wahrscheinlichkeit existiert f aus f, sodass der erste Summand links, also Betrag von, dass das Ding hier größer als delta halbe mal eta s ist.

Okay, also ich habe Summe a i ist größer als Summe b i, dann muss, das ist sicher, oder Summe a i größer als Summe b i, dann muss eines der a i größer als b i sein. Das heißt, Summe a i größer als Summe b i impliziert, es existiert ein i, wo a i größer als b i ist.

Dieses Existenzquantor fasse ich auf als eine Vereinigung von Ereignissen. Und die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung ist dann der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten steht hier, wobei de facto habe ich a s größer als b s. Also mein Index ist s. Ist das klar?

Ja, Sie sehen überhaupt nicht, was es bringt, aber das werden Sie gleich sehen. Also wir sind demnächst soweit, dass man sagen kann, wir sind fertig, aber dann kommen halt noch eine Menge technische Schritte, dass wir wirklich fertig sind. Das ist gerade der nicht technische Beweis, das Teil, das du weißt.

Weil es Ihnen schon aufgefallen ist. Jetzt überlegen wir uns, also was mich so ein bisschen stört, ist dieser Existenzquantor. Aber dieser Existenzquantor, das ist ja jetzt eigentlich eine endliche Menge. Also der Existenzquantor geht zwar über alle f aus Skript f,

aber was der Faktor eigentlich nur eingeht, sind ja die Funktionen f s und f s minus eins. Und wenn Sie sich überlegen, wie viele Funktionen sind das? Also gucken Sie sich mal an, die Kardinalität von der Menge aller Tupel f s, f s minus eins,

sodass f, ist auch Skript f, also dieses Existenzquantor ist eigentlich, ich habe nur endlich viele Fälle. Und wie viele sind das? So viele, wie ich eigentlich Möglichkeiten für die erste Komponente

und die Möglichkeit für die zweite Komponente habe. Das ist n s mal n s minus eins, war die Anzahl in der ersten Fälle. n s minus eins war die Anzahl in der zweiten Fälle. Das heißt, das ist irgendwie was Endliches. Und n s mal n s minus eins,

wenn Sie sich nochmal überlegen, was war dann dieses n s? Das war eine Überdeckungszahl. Der Radius war R durch zwei hoch s, im einen Fall. Also bei der ersten war R durch zwei hoch s, und dann f x 1 n. Und der zweite war das mit dem Radius R durch zwei hoch s minus eins,

aber R durch zwei hoch s minus eins ist größer als R durch zwei hoch s. Das heißt, wenn Sie den Radius der Überdeckung größer machen, dann wird die Überdeckung kleiner. Das heißt, auch der zweite ist kleiner gleich dem. Das heißt, ich kann das Ganze abschätzen durch das Quadrat hier. Also ich habe nur so viele,

also eigentlich habe ich, betrachte ich hier nur so viele verschiedene Fälle überhaupt, diese Wahrscheinlichkeit. Also ich kann diese Wahrscheinlichkeit wieder aufspalten in eine Vereinigung von Ereignissen, wo ich für jedes einzelne Paar f s f s minus eins die Wahrscheinlichkeit hinschreibe.

Okay, soweit. Damit habe ich hier eigentlich stehen, wieder eine Vereinigung von endlich vielen Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeit schätze ich nach oben ab durch die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten schätze ich nach oben ab durch die Anzahl der Wahrscheinlichkeiten, obere Schranke hier, mal der maximalen Wahrscheinlichkeit.

Das ist also kleiner gleich s gleich eins bis groß s. Dann kommt die Anzahl, das ist unsere Überdeckungszahl,

zum Quadrat mal der maximalen Wahrscheinlichkeit und da schreibe ich wieder Maximum f aus f

mal epsilon i größer als delta halbe. Sollte man so nicht machen.

Das ist der Punkt, wo Sie eigentlich das Ende der Tafeln als Dozent im Auge haben sollten. Aber da links, da rechts steht dann delta halbe mal eta s. Das ist von vorhin.

Jetzt wenden wir die Ungleichung von Hoeffding an. Auf die innere Wahrscheinlichkeit.

Wir beachten, was da eigentlich da steht, sind ja unabhängige Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null. Also die epsilon eins bis epsilon n waren unabhängig mit Erwartungswert Null. Also sind auch fs von x i mal minus fs minus eins von x i mal epsilon i für i gleich eins bis n sind unabhängig. Haben natürlich den gleichen Erwartungswert Null.

Für Hoeffding brauchen wir jetzt eine obere und untere Schranke. Wir gucken uns mal an. Wie sieht es aus mit einem Betrag? Betrag von fs mal x i minus fs minus eins von x i

mal epsilon i. Was weiß ich darüber? Naja, das ist der Betrag des ersten Faktors mal Betrag des zweiten Faktors. Der Betrag des zweiten Faktors war L.

Das heißt, ich kann sagen, meine Zufallsvariablen nehmen Werte an im Intervall minus diesen Ausdruck bis Intervall plus diesen Ausdruck. Also im Intervall von minus L mal fs von x i minus fs minus eins von x i mal L oder minus L mal Betrag von fs von x i minus fs

minus eins von x i und plus. Und weiterhin kann ich noch ausnutzen. Ich schreibe es mal drüber. Sie könnten es auch drunter schreiben. Sie haben vielleicht drunter mehr Platz. Dann mache ich so ein a i minus b i oder b i minus a i, größere Grenze minus untere Grenze zum Quadrat, gucke ich mir an. Da sehen Sie, das L spielt eigentlich

gar keine große Rolle. Ich bekomme letzten Endes als Differenz zwei L mal das Ding. Beim Betrag gibt es dann vier L Quadrat mal das hier. Das heißt, mich interessiert eigentlich nur Summe i gleich eins bis n fs von x i minus fs

minus eins von x i. Das ist das, was mich eigentlich interessiert. Und das, also bei Höfding kriege ich eine Summe i gleich eins bis n b i minus a i zum Quadrat. Spielt noch eine Rolle im Exponenten.

Bis auf den Faktor zwei L Quadrat stimmt es mit dem Ding überein. Das Ding schätze ich jetzt nach oben ab. Das ist die empirische Norm zum Quadrat von fs minus fs minus eins. Ich schreibe es mit der Dreiecksungleichung direkt um. fs minus

f empirische Norm plus f minus f s minus eins. Empirische Norm zum Quadrat. Also ich habe da eigentlich stehen, das ist gleich die empirische Norm von fs minus fs minus eins.

Da gehört auch noch ein n dran. Ja, und dann sehen Sie, die erste war aber kleiner als r durch zwei hoch s. Die zweite war r durch zwei

hoch s minus eins. Das Ganze zum Quadrat. Das gibt dann dreimal r durch zwei hoch s, also neun r Quadrat durch zwei hoch zwei s.

Ja, und ich schreibe die Wahrscheinlichkeit jetzt da nicht rein, weil das sieht man nicht mehr.

Also soweit klar. Abschätzung hier. Sie wenden jetzt Höfting an. Auf dieses arithmetische Mittel, das ist ein arithmetisches Mittel von unabhängigen Zufallsvariablen. Die haben Erwartungswert Null. Bei Höfting brauchen Sie eine

Unterschranke, Oberschranke. Also Sie brauchen ai kleiner gleich Zufallsvariable kleiner gleich bi. Und uns interessiert dann bi minus ai zum Quadrat aufsummiert. Und geteilt durch n. Das taucht bei Höfting noch im Nenner auf. Also wir haben eine Abschätzung Höfting war die Wahrscheinlichkeit.

Ja, also wir schreiben es vielleicht nochmal hin. Was war denn Höfting? Z1 bis Zn sind unabhängig.

Zufallsvariable mit ai kleiner gleich zi kleiner gleich bi. Und dann schätzen Sie ab. Betrag von

Betrag von eins durch n summe i gleich eins bis n zi minus e zi. Größer oder größer gleich. Größer als ja, meistens epsilon. Ist kleiner gleich zwei hoch.

Mal e von minus zwei n epsilon Quadrat durch eins durch n summe i gleich eins bis n bi minus ai zum Quadrat.

Das war die Ungleichung von Höfting. Die Sie aus der Wahrscheinlichkeitstheorie wenden. Die wenden wir jetzt an. Und können dann die ganze Wahrscheinlichkeit. Ich lasse die Summe stehen.

S gleich eins bis Groß s. Die Überdeckungszahl durch zwei hoch s f x1 n zum Quadrat.

Dann die maximale Wahrscheinlichkeit ist zwei mal e hoch minus. Also jede Einzelwahrscheinlichkeit schätzen wir ab durch zwei hoch minus zwei n epsilon Quadrat. Epsilon Quadrat ist die rechte Seite.

Also epsilon Quadrat ist Delta halbe mal eta s. Und jetzt können Sie sich überlegen, was ist eins durch n summe i gleich eins bis n bi minus ai zum Quadrat.

Mein bi ist l mal Betrag von fs von xi minus fs minus eins von xi. Mein ai ist minus bi. Das heißt bi minus ai ist zwei l mal Betrag von fs von xi minus fs minus eins von xi zum Quadrat. Bekomme ich die zwei l erst mal quadriert. Jetzt gibt es vier l Quadrat.

Und dann kommt noch der andere Ausdruck, von dem ich noch das arithmetische Mittel ausrechne. Das steht aber drüber. Das war neun l Quadrat durch zwei hoch s. Zwei hoch zwei s.

Okay, Fragen soweit? Ich könnte mal gucken, ob ich mich irgendwo verrechnet habe. Das wäre jetzt peinlich.

Nee, das war das, was ich hier auch habe.

Und das war es eigentlich. Also jetzt sind wir eigentlich fertig. Jetzt kommen nur noch so ein paar kleine... Also was jetzt eigentlich fehlt, ist die Wahl von eta s. Wir wählen jetzt die Wahl von eta s. Wir müssen eine Wahl von eta s so

wählen, dass sich alles in Wohlgefallen auflöst. Also irgendwie dieser Vorfaktor sollte verschwinden. Punkt eins. Die Summe sollte verschwinden. Punkt zwei. Und hier sollte so ein e hoch minus n Delta Quadrat durch r Quadrat stehen. Das heißt das Ganze mit s und so weiter sollte verschwinden.

Und die eta s müssen eben noch so gewählt sein. Fiese Nebenbedingungen. Mein größer gleich Null brauche ich nicht mal unbedingt. Aber ich glaube, wir haben irgendwo größer gleich Null verwendet. Aber es macht doch nur Sinn mit größer gleich Null. Aber vor allen die Summe muss kleiner gleich eins sein. Das heißt, ich kann die Dinger nicht beliebig groß wählen.

Und dass der Vorfaktor verschwindet, wird letztendlich darauf hinauslaufen, der ganze Ausdruck hier wird irgendwie klein sein im Vergleich zur Größe von dem. Und das wird unsere Bedingung an die Überdeckungszahl sicherstellen. So werden wir eta s wählen. Und dann, dass das Ding noch summierbar ist,

das ist dann unser Integral. Also eigentlich bekommen wir eine Bedingung über die Summe von solchen Überdeckungszahlen. Aber das tun wir abschätzen durch eine Bedingung über das Integral. Und dann steht es da. Okay, Fragen soweit. Wenn nicht, mache ich fünf Minuten Pause. Und dann machen wir um

12 Uhr 47 weiter. Ja, würde ich ganz gern weitermachen. Also wir sind soweit diese Wahrscheinlichkeit, dass das Supremum f aus s vom Betrag von 1 durch n Summe i gleich 1 bis n f von x i mal epsilon i größer als delta ist, haben wir nach unten abgeschätzt durch diese

Summe hier. Diese Summe schreiben wir jetzt noch mal ein bisschen anders hin. Ich lasse mal die Summe stehen. Klein ist gleich 1 bis groß ist. Ich nehme den Faktor 2 nach vorne. Und dann schreibe ich diesen Überdeckungszahl zum Quadrat einfach in den

Exponentialterm rein. Die Überdeckungszahl zum Quadrat ist ja eh von dem Logarithmus zu einem entsprechenden Ausdruck. Also ich schreibe was dessen hin. Exponentialfunktion angewandt auf den Logarithmus. Logarithmus vom Quadrat ist zweimal der Einzellogarithmus.

Logarithmus, dann schreiben wir es ab. R durch 2 hoch s f x 1 n. Und dann kann ich eigentlich die Klammer zumachen und

den nächsten Logarithmus, den nächsten Exponentialterm dran multiplizieren. Aber e hoch a plus b ist e hoch a plus e e b. Deswegen kann ich auch direkt mit dem Minus im Exponentialterm. Da tue ich das ganze Ding so ein bisschen noch umformen, dass ich das ganze separiere in Zähler und Nenner. Dann zählt im Zähler irgendwie

n Delta Quadrat eta s Quadrat 2 hoch 2s. N mal ich bringe vielleicht das eta s mal ganz nach hinten, Delta Quadrat mal 2 hoch 2s mal eta s.

Eta s war auch ein Quadrat. Und dann ist noch die Frage, was steht im Nenner? Was steht noch im Nenner? Sie haben die 2 und das ist ein halb, zum Quadrat war ein Viertel, also gibt es einen Faktor

2. Kommt noch ein Nenner zusätzlich, dann haben sie 2 mal 4 macht 8, mal 9 macht 72. 72 L Quadrat R Quadrat. Also triviale Umformung.

Nichts passiert. Und jetzt stört mich der erste Term in dem Exponentialterm, dem möchte ich los werden.

Das mache ich so, dass ich statt dem Minus dem Term einfach schreibe, minus ein halb mal den Term, minus ein halb mal den Term. Und dann sage ich, wenn ich jetzt mein eta s so wählen kann, dass minus ein halb mal den Term das größer als dem Logarithmus ist, dann kann ich das Logarithmus, minus ein halb mal den Term durch Null nach oben abschätzen. Das heißt, ich kann das Ganze abschätzen nach

oben durch Summe s gleich 1 bis Groß s 2 mal das Exponent von minus ein halb mal den ganzen Term, also N Delta Quadrat 2 hoch 2 ist jetzt ein halb, also 144

mal L Quadrat mal R Quadrat mal eta s zum Quadrat. Falls eta s so groß ist, dass ein halb mal das ganze Ding größer

gleich ist, das was da steht, N mal Delta Quadrat mal 2 hoch 2 ist durch 144

s zum Quadrat, falls es größer als 2 mal mein Logarithmus ist.

Also falls ich das habe. Klar, soweit. Weil Trick war, wir haben also

diese Überdeckungszahl in den Exponentialterm reingeschrieben, da tauchte sie auf einmal noch logarithmisch auf. Und dann wollten wir loswerden, dann tun wir einfach den Term mit dem Minus umschreiben, minus ein halb mal, minus ein halb mal den entsprechenden Term, minus ein halb mal den Term ist größer gleich dem Term vorne, deswegen können wir es weglassen.

Das bedeutet, das gibt jetzt eine gewisse Mindestabschätzung für unser eta s. Das heißt, das kann ich jetzt nach eta s auflösen. Eta s muss dann was sein.

Ja, sieht nicht unbedingt schön aus. Sie bringen halt alles auf die andere Seite bis auf eta s und ziehen die Würzel. Dann sehen Sie, dann kommt schon mal so ein Würzel aus dem Logarithmus von der Überdeckungszahl, da wollten wir ja sowieso irgendwie hinaus. Eta s ist größer gleich.

Und dann kommen irgendwelche Vorfaktoren, da habe ich zum Beispiel die 144 mal 2, die 144 ist 12 zum Quadrat, wenn ich die Würzel ziehe, gibt es also 12 mal Würzel 2. Dann habe ich ein L Quadrat R Quadrat auf der anderen Seite, ziehe ich die Würzel daraus, gibt ein L mal R.

Dann teile ich durch delta Quadrat 2 hoch 2s, ziehe die Würzel daraus, gibt einen delta Quadrat durch 2 hoch s, dann habe ich die Würzel aus n, gibt einen Würzel aus n noch im Nenner. Und dann kommen wir noch auf,

ich glaube jetzt habe ich alles so weit verarbeitet, bis auf den Logarithmus von der Überdeckungszahl, das gibt den Logarithmus von der Überdeckungszahl

und das ein halb. Das heißt, wenn eta s mindestens so groß ist, dann war meine letzte Umformung zulässig und diesen ganzen rechten Seite hier definiere ich mir als ein eta s Quadrat. Der ist quer, nicht eta s Quadrat.

Und dann komme ich auf die schöne Abschätzung kleinergleich Summe s gleich 1 bis groß s 2 mal e hoch minus n Delta quadrat mal 2 hoch 2s durch 144r quadrat r quadrat mal eta s zum Quadrat.

Wir müssen uns nachher klar machen, das geht. Also, wir haben ja irgendwie eine Nebenbedingung, unsere eta s dürfen ja nicht zu groß werden. Die Summe der eta s muss doch kleinergleich 1 sein, insbesondere, was wir uns nachher klar machen werden, ist, dass die Summe der eta s zum Quadrat von diesem eta s quer, dass die kleinergleich in halb ist. Und das wird auf eine Bedingung an das Integral von dem Logarithmus, von der Wurzel vom Logarithmus

von der Überdeckungszahl. Ich schreibe dann hier nachher eine Summe drüber und diese Summe wird sich irgendwie auflösen in den Integral, einfach indem ich das Integral durch eine Riemannsumme approximiere. Dann sehen Sie, die Summe wird auf einmal ein Integral geben. Weil Sie sehen, ja, hier habe ich einen Wert, wo ich auswerte und hier habe ich

auch irgendwie so etwas wie den Wert, wo ich auswerte und das wird miteinander zusammenhängen. Das wird also schön werden. Jetzt ist die Frage, was machen wir noch mit unserem eta s? Ich mache mal eben mal eta s noch weiter so, dass nachdem ich das eingesetzt habe,

also ich setze jetzt, was machen wir, ich mache ein Maximum. Ich nehme einerseits das eta s quer, das wird irgendwas sein, was zu in halb aufadiert und jetzt nehme ich was Zweites, was auch maximal in halb ergibt. Und das Zweite wähle ich so, dass ich das 2 hoch 2 s weghebe, das will ich ja nicht

mehr drin haben und das, wenn ich das ganze Ding dann summiere, auch noch die Summe verschwindet. Ich mache das so, dass wenn ich eta s quadrat quadriere, dass dann s durch 2 hoch 2 s rauskommt.

Das heißt, wir wählen Wurzel s, s durch 2 hoch s und jetzt müssen wir, also hier ist ein s, kann man nicht lesen, könnte auch eine 5 sein, ist aber ein s und das fiese ist, gleich kommt die 5, weil jetzt brauche ich noch irgendwas, das ist, also

es ist klar, das Ding ist summierbar. Das sehen Sie sofort von s gleich 0 bis ein Endlich, weil es ist ja mehr oder weniger so ein 1 durch 2 hoch s, ist eine geometrische Reihe. Aber da kommt irgendein Wert raus und der Wert wird natürlich unter Umständen größer als 1 sein, aber wenn ich noch ein Fünftel dran modifiziere, kommt da ein

Halb raus, wie Sie nachher sehen werden. Also falls dann gilt, wenn ich das jetzt so mache, falls dann gilt, dass die Summe, also sie sind ganz klar größer als 0, s gleich 1 bis groß s von

eta s kleiner als ein Halb ist und das ist das, was wir im Folgenden später noch nachrechnen müssen. Ich nenne es mal Stern, dann folgt, ja und jetzt kann ich eigentlich die

Wahrscheinlichkeit wegwischen und wieder hinschreiben, ja gut, das mache ich eigentlich, ich schreibe jetzt die Wahrscheinlichkeit weg und schreibe sie wieder hin, also wische die Wahrscheinlichkeit weg und schreibe sie

dann wieder hin, was hat der Kohler heute gemacht, der hat die Wahrscheinlichkeit weggewischt und dann wieder hingeschrieben, das ist schon gut. Auf die Idee muss man erst mal kommen und Sie haben sogar noch ein Video zum Beweis, dann folgt, also jetzt schreibt er die gleiche Wahrscheinlichkeit wieder hin, aber ich lasse den Pfeil vorweg, sehen Sie schon,

hat schon Sinn. Wenn wir das machen, dann kommen wir eben auf, dann ist

diese Wahrscheinlichkeit, also unser eta s größer, eta s quer sehr erfüllt, wir kommen auf diese Summe von da oben bis groß s, 2 mal exponent von minus n mal delta Quadrat mal 2 hoch 2s, 144 per Quadrat mal

r Quadrat und jetzt muss ich mit eta s zum Quadrat multiplizieren, aber da kann ich jetzt natürlich auch eine untere Schranke in den Exponenten einsetzen,

dann wird der Term höchstens größer und ich wähle genau dieses Wurzel s durch 2 hoch s hoch ein Fünftel als untere Schranke, s durch 2 hoch s mal ein Fünftel zum Quadrat und dann sehen Sie, wenn Sie das machen, hebt sich

das 2 hoch 2s weg und hier ist eine 5, alles andere was aussieht wie eine 5 ist ein s, das heißt wir kommen auf oder wir können es auch direkt auf s

gleich eins bis und endlich abschätzen, s brauche ich gar nicht mehr, 2 mal e hoch minus n delta Quadrat durch das 2 hoch 2s weg, dann habe ich noch die 25 mal, von dem Fünftel habe ich 25 mal 144 mal l Quadrat mal r Quadrat

und dann bleibt noch ein s übrig und was ich jetzt behaupte, das ist

z mal e hoch minus n delta Quadrat durch z, sehen Sie das?

Ne, also n delta Quadrat durch r Quadrat, z mal r Quadrat, r Quadrat lassen wir auch noch stehen, also was uns gerade passt, ich glaube ich hier Farben, uns passt der Exponentialterm, die 2 stört uns eigentlich gar nicht und uns passt

dieses r Quadrat, auf sowas wollen wir hinaus und dann haben wir noch eine beliebige Konstante, die wir einsetzen können und sehen Sie, warum das gleich eine Konstante mal e hoch minus n delta Quadrat durch z mal r Quadrat

ist? Das ist eine blöde Frage, aber jetzt gucken Sie in den Skript und sehen Sie es. Also der Trick ist, das ist ja e hoch diesen negativen Exponent mal 1 plus e hoch diesen negativen Koffizient mal 2 plus e

hoch minus negativen Koffizient mal 3, Sie klammern den ganzen Ausdruck einmal aus, das heißt wir kommen auf ein Exponent minus n delta Quadrat durch 25 mal 144 mal r Quadrat mal r Quadrat, einmal ausgeklammert, dann

fängt das Ding mit e hoch Null an, dann kommt e hoch eins, also e hoch minus Null, e hoch minus eins, e hoch minus zwei, e hoch minus drei und so weiter, gibt eine geometrische Reihe. Das heißt, das Ganze ergibt 2 durch 1 minus den Exponenten hoch 1 minus n delta Quadrat durch 25 mal 144 mal

l Quadrat mal r Quadrat, richtig? Und wenn ich jetzt ausnutze, dass

das, was da im e hoch minus im Exponenten steht, in dem Bruch unten,

dass das, dieser Exponent, größer gleich eins ist und das Vorzeichen, dann bin ich fertig, dann habe ich einen Exponentialterm. Also das Ganze ist kleiner gleich als 10 mal Exponent von minus n delta Quadrat durch 10 mal r Quadrat,

insofern eben mein zum Beispiel n delta Quadrat, delta Quadrat durch 25 mal 144 mal l Quadrat mal r Quadrat, größer gleich eins ist und das können

Sie jetzt nach delta auflösen oder ich weiß gar nicht, wie wir es hingeschrieben hatten, das war die Bedingung, das war die

Bedingung, die ist ja größer als 10 mal r. Mit C, da kämen Sie jetzt Nebenbedingungen an C heraus. C muss zum Beispiel größer sein als die Wurzel aus 25 mal 144

mal l Quadrat. Das heißt, das wäre 60 mal l. Aber Sie bräuchten auch hier, bräuchten gewisse Mindestgröße für C, C müsste größer sein als 25 mal 144 mal l Quadrat und hier müsste C größer

sein. Aber das sind alles Schranken in Abhängigkeit von l. Okay, Fragen so weit?

Also bedenken Sie, wir sind nicht fertig, wir brauchen noch Sternen. Aber abgesehen davon sind wir fertig. Sie müssen sich nur noch klar machen, dass das der kleiner gleich als ein Halb ist. Wir wollten kleiner gleich eins haben, kleiner gleich ein Halb wäre auch ausreichend,

aber wir wollen natürlich kleiner gleich eins haben, sorry. Und ich zeige, dass die Einzeltherme, die ich hingeschrieben habe, bei Maximum kleiner gleich ein Halb ist. Okay, hierbei gilt, da kriege ich das noch hin, also hierbei gilt, machen wir einfach so Sternen.

Da, erstens, wir fangen mal S gleich eins bis Groß S mit dem zweiten Term an,

Nutzel S durch zwei hoch S, oder fangen wir mit dem ersten Term an, der ist der schöner, S quer. Das ist ja gleich S gleich eins bis Groß S. Jetzt müssen Sie das Ganze abschreiben,

zwölf mal Wurzel zwei mal L mal R durch Delta mal zwei hoch S mal Wurzel N.

Jetzt kommt der Logarithmus von R durch zwei hoch S, f, x, 1, N, das Ganze hoch in Halb.

Möchte ich nach oben abschätzen. Wir lassen mal die Reihe stehen, weil das in die Summe steht, das ist eins bis Groß S. Ich ersetze den Logarithmus durch ein Integral

über die Wurzel aus dem Logarithmus von der Überdeckungszahl, dann machen wir ein Radius u rein, f, x, 1, N, u in Halb du. Jetzt ist die Frage, welche Grenze mache ich? Ich mache die Grenze so, dass das Ding immer

kleiner als R durch zwei hoch S ist. Also ich mache als Obergrenze R durch zwei hoch S. Dann komme ich auf eine Untergrenze, da nehme ich die Hälfte R durch zwei hoch S plus eins.

Dann sehen Sie, dieses Integral ist sicherlich größer gleich als dem kleinsten Funktionswert des Integranten. Der kleinste Funktionswert des Integranten ist das, was hier oben steht. Mal die Länge des Intervals. Die Länge des Intervals ist

R durch zwei hoch S minus R durch zwei hoch S plus eins. Das gibt also R durch zwei hoch S plus eins. Das heißt, das hebt sich hier weg. Nur brauche ich noch einen Faktor in Halb. Also ich würde einfach sechsmal Wurzel zwei mal L durch Delta mal Wurzel endschreiben.

Dann haben wir irgendwo an der Tafel stehen, was R hoch zwei hoch S minus eins ist. R hoch zwei hoch S minus eins. Also R hoch zwei hoch S plus eins habe ich eigentlich. Das ist ja gleich ein Viertel mal R hoch zwei durch zwei hoch S minus eins.

Und R hoch zwei hoch S minus eins war aber größer als Delta durch zwei L. Also Delta durch acht L. Das heißt, wenn ich jetzt die ganzen Integrale aufsummiere,

dann höre ich ja auf bei R halbe. Also ich komme auf R mal Wurzel sechs mal Wurzel zwei mal L durch Wurzel n mal Delta mal Integral von Delta durch acht L bis R halbe mal

Logarithmus n u f x 1 n auch eine halbe du. Und nach drei zwölf ist das hier aber

kleiner gleich als, ich schreibe es mal so hin, weil wir sind ja schon am Ende nach drei zwölf. Der Punkt ist kleiner gleich ein halb, wenn Sie das zehn drei zwölf

groß genug wählen. Also das Integral, das jetzt auftaucht, ist genau das Integral, was in drei zwölf drin steht. In drei zwölf dieser Voraussetzung sollte dieses Integral nach oben beschränkt werden oder eine Konstante mal diesen Integral durch

Wurzel n mal Delta. Also das da ist, ich kann jetzt hier Wurzel n mal Delta durch die Konstante stattdessen schreiben, dann komme ich auf R mal Wurzel zwei L durch L durch die Konstante und wenn ich die Konstante entsprechend groß wähle, ist es kleiner gleich ein halb. Und ich weiß gar nicht, ob Sie mir verzeihen, wenn ich Ihnen den

Rest noch ein bisschen mehr überziehe. Ich bin ja der, der jede Woche länger macht, weil der Begründung, dass er in der vorigen Woche früher aufgehört hat, das kennen Sie schon. Der Witz ist gut, jetzt habe ich Sie, das schreiben Sie mir nie wieder rein. Also wir machen noch ganz kurz das Zweite, dann gilt

das Stern da, das ist das eine und das Zweite, das ist nämlich eigentlich trivial, wenn Sie S gleich eins müssen endlich angucken. Wurzel S durch ein Fünftel mal Wurzel S durch zwei hoch S. Es ist ja nicht kleiner gleich als ein

Fünftel mal S gleich eins bis unendlich S durch zwei hoch S und das deuten Sie jetzt als Ableitung der unendlichen Reihe. Ja sehen Sie das? Also machen

irgendwie ein halb hoch S, ne? Halb hoch S und dann brauchen wir glaube ich, also ich will auf sowas hinaus, S gleich eins bis unendlich S mal ein halb hoch S

minus eins, dann habe ich die Ableitung von der geometrischen Reihe, dann habe ich aber irgendwie einen halb noch vergessen, dann brauche ich noch ein Zehntel vorne, dann kommen Sie auf ein Zehntel Ableitung nach X von S

gleich null bis unendlich X hoch K für X gleich ein halb, dann sehen Sie, das ist ein Zehntel, diese geometrische Reihe für Betrag von X ist eins durch eins minus X, die Ableitung ist eins durch eins minus X in Klammern zum

Quadrat, kommen wir auf hier Zehntel, eineinhalb. Dann sehen Sie woher eigentlich die ein Fünftel kam vorhin, ne? Fünftel hätte ich gar nicht genau gebraucht, nur, weil

es kommt ja sogar ein bisschen noch zu wenig noch raus. Aber das ist trivial, Sie müssen irgendwie S gleich Summe, Reihe S gleich eins bis unendlich ein Fünftel mal Wurzel S durch zwei UR S abschätzen, aber das ist Analyse S eins.

Oh, Sie haben eine Frage? Irgendwas unklar? Dann habe ich nach der Uhr sieben Minuten überzogen, nach der Uhr fünf Minuten überzogen, dann kann ich nächste Woche fünf Minuten länger machen, weil ich als fünf Minuten zu lang gemacht habe oder so, ne? Also ich gucke mal, dass sich am Freitag ein bisschen was zurückgeht, ne? Okay, gut, dann wäre ich für heute fertig und

wir sehen uns am Freitag, ne?