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ZV und Unabhängigkeiten

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oder im IE er die ja ich begrüße Sie
recht herzlich zur heutigen Vorlesungen in der ein für Stochastic oder sie bitten zu warten die Opfer zuzugehen und die Unterhaltung einzustellen ok danke schön sie war beim letzten Mal stehen geblieben beim Thema Zufallsvariablen da der Wahrscheinlichkeit Raum Omega geht zugrunde gelegt der beschreibt ein Zufallsexperiment mit Ergebnis kleinen Omega wir greifen einen Teilaspekt aus diesem Ergebnis heraus in wir uns eine Abbildung X von Omega in eine neue Menge Omega strich nehmen und statt omega X von Omega betrachten dann haben wir ein neues Zufalls Experiment mit Ergebnis x von Omega und wir beschreiben dessen Wahrscheinlichkeitstheorie Tischen Verhaltens und beachten Sie die Gründer in neue Kunden ist jetzt Omega strich das heißt wir wollen für Teilmengen von Omega strich die Wahrscheinlichkeiten festlegen durch x p Index X von A Strich also unser neues Wahrscheinlichkeit Maßes des Index X von einer Mark Menge A spricht der sei die Wahrscheinlichkeit dass ein klein und wieder auftritt wo X von Omega 1 ,komma drin ist das heißt es einfach die Wahrscheinlichkeit von der Menge aller klein und legalen Großanleger wo Excel Omega in Aalstrich ist das Ganze ist nur dann wohl definiert wenn diese Mängel die in der Definition und ja ich auf der rechten Seite bei PI steht wenn den Definitionsbereich von P drin liegt das heißt wenn diese Menge in das Geld liegt für alle möglichen Mengen Anstrich das heißt das Urbild x XO -minus 1 und A Strich muss in Art sein für alle möglichen Mengen strich die wir betrachten sie haben eine Abkürzung kennen gelernt den sogenannten Mess Raum ist ein paar Omega Strich ,komma Omega Striches nichtleere Menge A ,komma Sigmar Gepard rüber und der anderen die Bezeichnung Zufallsvariable eingeführt wir haben wahrscheinlich Omega P 1 Raum Omega strich er ,komma dann heißt jede Abbildung X von Omega nach Omega strich mit der Eigenschaft Urbild von nix Opel bei der Abbildung X von Menge A ,komma ist immerhin an für alle Aalstrich aus der Signalgeber es gibt ,komma heißt Zufallsvariable das sieht jetzt nicht unbedingt nach Variable aus oder ist die Frage was ist eine Variable also was hier steht ist Mehr würde man kann sich dabei eben vorstellen als ein mehr als 1 eine Schreibweise für einen zufälligen Wert in irgendeine Anwendung sie haben dann den folgenden Satz noch gelesen ist auch mega APN Wahrscheinlichkeit Frauen und egal strich ,komma Misstrauen und X von Oregano Rummel ,komma eine Zufallsvariablen dann ist dieses P X Abbildung von A ,komma nach R px von A ,komma ist P von X um -minus 1 von ,komma ein Wahrscheinlichkeit Maß und damit Omega ,komma A ,komma B X ein Wahrscheinlichkeit Raum ok der Begriff dann sind schwere Gefährt nach nochmal bisschen was dazu sagen also sie merken nicht viel langsamere Lehrkräfte ein wir gehen immer wieder in kleinen Schritten voran und morgen größeren Schritten der sind von dem Begriff liegt vielmehr darin das wir mit diesen Zufallsvariablen später Klasse rechnen werden können das heißt die werden später Klasse Ergebnisse von verschiedenen Zufallsexperimenten verknüpfen können stellen sich vor Sie führen 2 Glücksspielen dran und durch sie haben beim 1 zu verlegen die den X beim 2. ein zufälligen Gewinn y beides beschreiben sie durch Zufallsvariablen Grosics groß y und können Sie einfach sagen bei beiden Spielen zusammen hab ich den Gewinn X plus Y und betrachten die Abbildung wäre die an Kleinanleger Abbild auf ICS von OmegaPlus y Komiker und solche Sachen kann man eben mit Zufallsvariablen relativ einfach machen mit Wahrscheinlichkeit Massen aber nicht als Anwendung war Beispiel 5 1 waren sie stehen geblieben baten Abstimmung über 2 Vorschläge an B er gleich 3 Tausend Personen ich mag vielleicht ein bisschen hoch Ulrich macht mich hoch soll fürchte sehr viel mehr zu Abstimmung nur 2 Vorschläge an B er gleich 3 Tausend Personen stimmen für a n gleich 1 Million Person entscheidende Einfluss sondern da rein zufällig Wahrscheinlichkeit also die groß ist die Wahrscheinlichkeit dass
er angenommen wird ausgeht damit die Nummer aufsetzend bis Anwendung von den ganzen Beispiel 5 1 wir beschreiben erst mal
das Abstimmungsverhalten von dieser eine Million Personen von dieser in Personen die sich rein zufällig entscheiden das sagen wir eben dieses ganze Abstimmungsergebnis ist ein n Vogel von Nullen und Einsen und jedes einzelne dieser möglichen in die gleiche Wahrscheinlichkeit es gibt nur endlich viele Entrup leise kann Kanichen nachlassen Wahrscheinlichkeit Raum nehmen das heißt ich mache Grundmenge Omega als 0 1 hoch n ich hindern als Signalgeber die Potenzmenge davon und es lag die Wahrscheinlichkeit von einer Menge A ist die Ethik von durch Canetti zum Omega als der verkabelt von durch 2 hoch N dann definiert hier meine Abbildung X den Teilaspekt ausgereiftes ist sagt mich interessiert eigentlich gar nicht wie die einzelnen Personen genau gewählt haben mich interessiert nur die Anzahl der Stimmen für Vorschlag ja für Vorschlag an diese Anzahl der Stimmen für Vorschlag A sein X und Norweger bis X geht an von der Menge Omega eine neue Menge Omega sprich dieses unwiderstehlich ja das die möglichen Werte die x annehmen kann also mögliche Anzahl der Stimmen für Vorschlag A zwischen 0 und in das heißeste Zahl zwischen 0 n das heißt Omega strich wer die Menge aller Zahlen zwischen 0 nennen als Dietmar Kälberer nämlich weißen endliche Menge ist einfach die Potenzmenge und der Welt der sinnlich meine Abbildung X von Veganer Omega strich und X seine n Tobel Omega 1 des wieder n auf die ein Star der 1 drin auf und da kann ich einfach die Omega I aufaddieren es gibt die Anzahl der einst ok das Ganze hatten sie eigentlich schon Mutlu der Tatsache dass ich glaub ich ,komma nicht eingeführt die 1. Frage die sich stellt
warum ist dieses X eine Zufallsvariable sehen Sie das also warum gilt das Urbild vor einer Menge ja strich aus Skript Aalstrich bei der Abbildung Access immerhin den Signalgeber A enthalten weil er dieses einfach die Potenzmenge ist das heißt es die Menge aller Zahlen und die Urbilder sind natürlich Teilmenge von Omega ganze gar was die Abbildung ist also X ist Zufallsvariable wäre da aber gleich die von Omega ist oder schreiten Montreal da gleich viel von Omega und jetzt interessiert es die Wahrscheinlichkeit dafür das Vorschlag angenommen wird der Vorschlag aber wird angenommen genau dann wenn das geht nun wenn die Anzahl der Stimmen für aber größer als die Anzahl der Stimmen für den Vorschlag des ist die Anzahl der Stimmen für an das Beispiel war so werden eine kleine es lud die Minderheit von 3 Tausend er gleich 3 Tausend Personen die Stimme für das heißt schon die er Stimmen und dann ist die Anzahl kommen auf die Anzahl der Stimmen bei diesen allen Person die unentschieden sind dazu das heißt die Anzahl der Stimmen für ist auflöst Xtra Norweger X 5 also schadet es klein und den Lektor Omega 1 des Omega in mir den Tisch waren es wäre also Anzahl Stimmen für und soll im größer sein als die Anzahl Stimmen für wen ja was sie die Anzahl der Stimmen für wen in dem Beispiel n -minus x Norweger also einfach von den n Person alle außer die die für das gestimmt haben ja das können Sie jetzt etwa lehnt umformen dann sehen Sie zweimal X von Omega muss größer als n des er sein oder Excel Omega eben größer als Inhalte -minus erhaltet das heißt von Omega muss ein wird Zahlen Inhalte die erhalte Inhalte -minus 1 bis 1 und so weiter bis in sein also X von Omega ist in der Menge der Zahlen ein bezahlten Inhalte -minus erhalte Inhalte -minus erhalte bis 1 bis n also x Norweger mit müssen der mehr drin sein Gua damit können wir jetzt die Wahrscheinlichkeit hinschreiben das Vorschlag wird angenommen also Wahrscheinlichkeit dass Vorschlag angenommen wird was daraus folgt das jetzt eben gleich Na ja die Wahrscheinlichkeit dass x ein Wert größer als in halbe -minus Erfolge annimmt ich schreib das mal so Herr von mit eckigen Klammern gehen also x größer als ein heilendes erhalte das ist so eine intuitive Schreibweise also gemeint ist wäre die Wahrscheinlichkeit dass ein zufälliger wert so auftritt das X von Omega diese Bedingungen oder das Excel und oder das Omega dann diese Bedingungen in dieser recht ergeben in der eckigen Klammer erfüllt das heißt das X von Omega eben größer als Inhalte -minus erhalte ist alles das Gleiche wie wie wollte schreiben wie von der Menge Omega Omega also des von der die Menge aller Kleinanleger Großanleger UX von Omega größer als Inhalte -minus erhalten ist Xtra Norweger als größer als enthaltenes erhalte haben wir oben gesehen in X von Omega einiger Zahlen in Halle -minus erhalte in Halle -minus halbes bis 1 und so weiter ist schwarzen die Tafel noch die von der Menge aller Omega in kleine
Meter groß und wieder zu das X von Omega jeden in der Menge der Zahlen Inhalte -minus erhalte in -minus R 1 bis 1 und so weiter ist und das wir jetzt nicht anderes als die als dieses Wahrscheinlichkeit Maß von eben dieser Menge und das können Sie jetzt umschreiben diese
Wahrscheinlichkeit wenn diese endliche Menge ich kann die endliche Menge einfach darstellen als Vereinigung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Vereinigungen der einzelnen ein drin sind dann die zigmal sivität vom Wahrscheinlichkeit Maß ausnutzen dann kommen Sie auf die Summe der ein Einzel Wahrscheinlichkeiten das heißt sie kommen hier auf die Summe K gleich in -minus erhalten bis Ende Text von der Einkommen Promille ab diese eine Frage ok auf der rechten und Tafel hab ich geschrieben x Omega ist größer als ein halber erhalte der auf der linken oberen Tafel ist enthalten dass er halt alles wird aber noch drin sie sehen das gleiche Problem tritt aber der Faktor schauen zum 2 Zeilen weiter drüber auf also hier hab ich noch die Bedienung zweimal X von Omega als größer als in das er das heißt x und Omega ist größer als in Inhalte -minus erhalte dann soll Excel Norweger natürlich nicht mehr gleich halben erhalte sein weil 1 +plus 1 und an der Stelle Inhalt des erhalten plus 2 und so weiter entsprechendes diese da wieder richtig aber an der einen Tafel müssen wir
korrigieren also hier kommen +plus 1 bis 2 entsprechen muss ich hier konnte Control und hier auch herzlichen Dank für den Hinweis naja ok was mich jetzt interessiert und die Wahrscheinlichkeit weiter auszurechnen so können es die Steaks von K komm uns einmal genauer einen Text von K hierbei Text von K ist nach Definition entweder P von X so -minus 1 von Cap oder eben wie von der Menge aller Omega so das wäre von Omega gleich er ist diese ohne Gas in die Omega 1 bis Omega in das heißt ich bekommen die Menge von P von dem man alle Omega 1 n enthoben Omega 1 bis Omega n aus 0 1 zu 1 so das X von Omega A 1 bis A in gleich klar ist dieses X und Omega aber die Summe der Omega E also Omega 1 plus und so weiter ist und wieder ein 12 gleich klar sein das heißt
mich interessiert hier die Wahrscheinlichkeit von dieser Menge P war das klar Wahrscheinlichkeit Maß vom nachlassen Wahrscheinlichkeit Raum dann sehen Sie wäre ja dieses Wahrscheinlichkeit Maß gibt einfach zu jedem einzelnen Punkt die Wahrscheinlichkeit eines durch char geleitet von Omega als 1 durch 2 Uhr en das heißt mich interessiert letzten Endes welche Elemente sind in diese Menge drin ja es überlegen wir uns wie sie diese Menge aus diese Menge besteht aus allen enthoben von Nullen und Einsen wo genau K 1 sind entzündet also diese Menge besteht
aus allen enthoben mit genau K 1 sind ok also hier Kleinstädte die Menge besteht aus allen enthoben mit
genau K 1 und wir überlegen uns wie solche Entwürfe gibt es also wie viel n Tupel haben sie bestehen aus 0 0 1 1 mit genau K 1 sind n über k wir haben Begründung dafür ok begründet ist sie habe ein Topf mit allen Zahlen und zwar das sind die möglichen Ziffern nur die einzustehen und daraus ziehen sie K und an den Karl gezogenen Ziffern schreiben Sie die 1 unser da sie an einer Ziffern nur über maximal eine Zahl reinschreiben können ziehen sie ohne erzählen Sie ohne zurücklegen und da ihnen die Reihenfolge wo sie die einzelnen Ziffern reinschreiben welche Reihenfolge die Sie anschreiben da die egal ist ziehen sie auch ohne Beachtung der Reihenfolge das heißt Sie ziehen K Elemente aus allen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge beim 10. n über k viele das heißt sie hat mir n über k und sie müssen noch
teilen bei Snap lasche Wahrscheinlichkeit Raumes durch die Karte von Omega und dann sehen sie gar geleitet von Orry gar Anzahl n Tobel bestehend aus Nullen 1 in Essen 2 auch n das heißt wir haben n über k durch 2 auch in also auch nochmal Definition P 1 und das gab uns letzten Endes dieses geteilt durch Kabel von Omega ok ist
es dann so weit oder Fragen also habe Ihren Wahrscheinlichkeit Maß das weiß jeder der Zahlen klar zwischen 0 und n die Wahrscheinlichkeit n über k durch 2 Uhr en zu wenn die Zahl größer als 1 welche Wahrscheinlichkeit wird dann zugewiesen das sind reale Frage verantwortlich vielleicht selber 0 1 bei mehr als in konnte nicht auskommen das heißt sie haben Wahrscheinlichkeiten war es den zahlen von 0 bis N werden die Zahlen sukzessive K zwischen in Bern die Wahrscheinlichkeiten in überkam mal 2 hoch minus n zugewiesen ansonsten die Wahrscheinlichkeit 0 um welche Art von einem Wahrscheinlichkeit Maß an die sich dann wenn Sie diese Art Unwahrscheinlichkeit Maß oder anders ausgedrückt kennen sie überhaupt Wahrscheinlichkeit Maße welche Arten von Wahrscheinlichkeit Massen gen Süden ok also meiner Wolkow landen sie erinnern sich vielleicht dafür dass ein guter Witz über Demenz ein was ich sagen der hab ich neulich gelesen was eine Kellertreppe unter der Kellertreppe war beschriftet mit 1. Achtung trete alle möglich unter stolpert und zweitens wenn hinunter gehst vergiss nicht warum was 17. 10. geht wenn sie nicht so gut auf ich habe Gold und ok also jetzt Wahrscheinlichkeit Maße was gehen Sie oder wenn man uns einfach ab ich lass sie raten sie doch bei jeden vorgeschlagenen was sagen ja oder nein 1. Vorschlag es handelt sich um eine Vorsor Verteilung nein es handelt sich um eine Normalverteilung ja auch nicht es handelt sich um eine Exponentialverteilung ne S alles 7 eine Gleichverteilung vielleicht vielleicht wäre ja über erst alle Antworten habe ok also Gleichverteilung erkennen Sie daran dass alle Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind ist dir n über k durch 2 ON dessen konstanter werden kann nicht direkte es keine Gleichverteilungen kann Gleichverteilung sein bei der der ändert sich ja je nachdem welches Casey einsetzen er und sie ja dann das letzte sein was wir noch warten was war das letzte was wir hatten Binomialverteilung der Klassik ok und was ist Binomialverteilung mit Parametern N und eine Ehre n gleich 1 und und die gleichen halt daraus folgt dieses Text ist
Binomialverteilung uns unser auf kurzen dafür war der B M ,komma Einhalt verteilen die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir dann noch hinschreiben ja sie müssen nur einsetzende dann kommen sie auf gar gleich in -minus erhalte bis 1 bis Ende n über k mal 2 auf Wiedersehen sie haben jetzt n gleich 1 Million er gleich 3 Tausend Sie können sich vorstellen wenn sich numerischer ausrechnen wollen ist mit der frommen bisschen schwieriger und bisschen schwierig wir werden wenn der 3. 10 Wochen von der Erfurter 10 Wochen von der Vorlesung er letzte Woche ungefähr von der Vorlesung werden den Satz kennen lernen der uns ermöglicht das ganze Ding der numerisch auszurechnen als numerische Berechnung kommt später gut haben Sie Fragen so weit zu dem Beispiel fragen ok ich war nicht der Fall zu sein dauerte Definition dem 5. das Wahrscheinlichkeit Maß
PXN den Satz 5 4 heißt Verteilung der Zufallsvariablen X ja ein das Thema Steaks Einsatz für die als Verteilung der Zufallsvariablen X wählen Sie haben schon gemerkt die ganzen Wahrscheinlichkeit Bezeichnung ich eingeführt habe Gleichverteilung Wasserverteilung Binomialverteilung Normalverteilung Exponentialverteilung waren die 5 die wir kennen gelernt haben haben alle mit dem Wort Verteilung geendet was ich habe niemals er wahrscheinlich das Maß dafür sagte und immer schon die bezeichnen Verteilung ist liegt daran weil die Begriffe Verteilung Wahrscheinlichkeit Maß synonym verwendet werden nächste Bemerkung Begriffe wie Umverteilung vor die 3. Wahrscheinlichkeit Massenverteilung werden synonym verwendet und das hat einen Grund und der Grund ist das 1. jeder Verteilung an Wahrscheinlichkeit Maß ist und das 2. jedes Wahrscheinlichkeit Maß auch als Verteilung angesehen werden kann das 1 ist klar das waren vor der Satz denn der Verteilung wissen Wahrscheinlichkeit Maß nach Satz 5 4 jede Verteilung ist nach Satz 5 4. Wahrscheinlichkeiten als und wie es geht dem auch die Umkehrung Wahrscheinlichkeiten was kann ich als Verteilung einer geeigneten Zufallsvariable auffassen jedes Thema ist kann als Verteilung alle Geigen Zufallsvariable aufgefasst werden und sie machen vielleicht mal wie gehen kann Verteilung einer der eigenen Zufallsvariable X X aufgefasst werden und das geht ganz einfach ja also ich muss jetzt sagen was mein nix wir müssen Wahrscheinlichkeit Raum definieren Omega AP den hab ich im Prinzip schon gegeben war ich aber das Wahrscheinlichkeit Maß gegeben die wenn ich genau diesen Zufalls in diesen Wahrscheinlichkeit Raum Omega wieder dann muss ich sagen was ist mein obiger strich was man Bereichen was ist meine Abbildung und als Abbildung nämlich einfach die Identität das heißt als Omega spricht nämlich auch das Omega weil die setzen und ich ,komma gleich Omega ,komma ist an wobei Omega HD wären wobei unwetterartige geben oder um und dann will die Flexibilität als letzte X von Omega Excel oder gar gleich Omega dann gilt er meine Behauptung ist jetzt dieses
px für mit dem P überein sie dass jemand von Ihnen also glaubte die Verteilung von dieser Zufallsvariablen stimmt in dem Fall dass es für das Ganze ist die Zufallsvariable das ist klar weil das Urbild weil Identität von Menge ist da die Menge selber und eine Menge eben Art Relikt ja ,komma Delikte ausschließlich an liegt auch in Atem weil die entscheidende Frage ist jetzt warum es Text gleich B ok also die Frage zu
begründen ist dann der Text leicht drehen und da müssen wir sagen was ich da ist dahin schreiben soll wir
hatten Text definiert als P von X um -minus 1 von einer Menge A Strich mit ,komma aus Signalgeber tritt ,komma richtig und ich so -minus 1 bei liegt die identische Abbildung ist ist das Urbild von der Menge über die Menge selber also wenn sich überlegen zumindest ein von einer Menge A Strich es wäre die Menge aller klein Omega in Großanleger UX von Omega ein Strich findet aber das Excel =ist gleich Omega also Anstrich das heißt es ja ,komma da eben px eine Menge
Strich ich wie von Dixon -minus 1 von Aalstrich es wäre die Menge aller Omega in Großanleger ab sodass Excel Norweger Einar spricht liegt ist die Menge aller omega in Omega sodass Omega legalen Anstrich gelegt und das ist ,komma wenn Strich wäre ist außer sich
mal Gefahr aber Sie sich mal die Frage ob wir als das eine Teilmenge von helle Omega ok das ist sind sie legal ob ich von Zufallsvariablen Rede oder ich schon Wahrscheinlichkeit Fragen dazu also px leicht Pedal X von A ,komma =ist gleich P von X so -minus 1 von A ,komma gleich liefern von A
Strich da eben dieses so -minus 1 von A ,komma gleich dem Arsch ist Felix die Identität ist ok Fragen so weit ist ja damit kann ich die ganzen Bezeichnungen und die ganzen Begriffe die ich nicht eingeführt habe Wahrscheinlichkeit Maße besprechen für Verteilungen formulieren und das sei nicht das übliche also der Wahrscheinlichkeitstheorie spricht Bereich nicht von Wahrscheinlichkeit Maßen sollen die entscheidende Zionist immer die von der Definition der Verteilung und das machen wir schnell also also folgenden übertragen wir die Bezeichnung für Maße vor Verteilungen wir am 1. Mai Schreibweisen ich erstmal 2 Schreibweisen ein die Wahrscheinlichkeit von
XNA also wenn ich er lahm und schreibe dann meine ich immer die Wahrscheinlichkeit von allen Kleinanleger ein großer die diese Bedingungen erfüllen das heißt die Wahrscheinlichkeit von LG (klammer auf X-Element AED )klammer zu ist die Wahrscheinlichkeit von Mengen (klammer auf kleinräumiger groß omega X und Omega entsprechend die Wahrscheinlichkeit dass X gleich gleichbleibend ist ich schreib genauso in die Wahrscheinlichkeit der Menge aller kleine legalen großräumiger u x und Omega gleich groß X und Omega gleich X ist dann gibt es 1. haben wir die beiden Begriffe Wahrscheinlichkeit Maß mit sehr dichte Unwahrscheinlichkeit Maß mit dichtet das Übertrag ich auf dem Weg auf die Begriffe diskrete Zufallsvariable und stetig verteilte Zufallswahl damit ich die F es gibt Definition von Sex wer Zufallsvariable X das heißt an diskreten Zufallsvariablen und das Ding heißt diskrete Zufallsvariable falls eine absehbare Menge existiert so das px von dieser absehbaren Länge gleich L 1 ist also ich schreib so jedenfalls für abzählbar unendliche Menge A des Adels setzt sich an als x 1 x kleines 1 x 2 und so weiter Teilmenge ergeht Pécs war gleich 1 falls absehbar dass gleich x 1 x 2 und so weiter gilt X von a =ist gleich 1 und diesen Fall heißen diese ganzen Wahrscheinlichkeiten P von Gross X gleich bleiben X K K läuft in dem Index Bereich der Menge die das ganze Ding ist dann die Zelldichte in diesem Fall heißt das es sind in diesem Fall heißt er die volle folge aller Wahrscheinlichkeiten P von Grosics gleich XK Zelldichte nichts der 2. Begriff stetig verteilte Zufallsvariablen Gedichte F weiß eben F die Dichte von Wahrscheinlichkeit Smart Specs ist das heißt falls gilt px Menge B lässt die schreiben als integrale B e von XTX für alle des aus der Bereichen sieht Maikäfer B also steht totale Zufallsvariable dichte F genau dann wenn für alle des aus ausgehen das Integral über oder px von B dieses Integral über B von XTX und in diesem Fall halt 11 Dichte von X mehr
ok ich soll noch 2 Definition schnell hinschreiben Feuerpause dann wäre nicht der richtige .punkt um Pause zu machen wenn man da mal was Neues und es ist einfach die Bezeichnung für Verteilung werden übertragen das heißt ich spreche von einer Binomialverteilung Zufallsvariable falls die entsprechende verteilen die Binomialverteilung ist Gespräch von aber sofort Zufallsvariable weiß die Verteilung von Post sofort ist ich vielleicht von einer Ehe gleich verteilten Zufallsvariable falls die Verteilung mit Gleichverteilung ist und so weiter es gibt 1. Definition 5 7 Merle Zufallsvariable X mit Wahrscheinlichkeit dass ich's leicht K ist es n über k mal p mal 1 -minus PON ihres gar heißt Binomialverteilung mit Barmitteln und die kurz BND verteilt wer Zufallsvariable X mit Wahrscheinlichkeit dass nichts leichter als das heißt ich mag vielleicht mal kurz vorm BNP verteilt allein sehr ausführliche Bezeichnung Binomial verteilt mit Parametern N und P und die Kurzform der BNP verstärkt und also man sich natürlich den Exponentialverteilung es Wasserverteilung was aufeinander Verteilung und das Gleiche machen wir für Gleichverteilung ja wer Zufallsvariable X nötigte Definition 5 8 er von x =ist gleich 1 durch den -minus
A wenn X zwischen liegt 0 sonst das heißt gleich verteilt auf Abwegen und die Kurzformel wieder AB verteilt zu kurz und Luft machen sich viele Experten Yale und der sofort in der Normalverteilung ok fahren so weit fragen für viele tiefer Landesnatur Verteilung das heißt die Zelldichte gelangt auch grade starb verbietet Mario BundeslÃnder für Chaos N 0 Sequential verlangen da steht würde ich nicht in der vom Lande mal EU-Ministern der XTX größer 0 und 0 sonst des NAS Sigmar war steht für die normal verteidigte also 1 durch Wurzel 2. die Basic Mama EU-Minister in Klammern X 1 alten betrat durch 2 Siege hat zwar die dichten wieder eingeführt haben beide Bezeichnungen oder bei Einführung von Wahrscheinlichkeit maßen PC dichte und Gedichte als sie haben hier in der Vorlesung 3 diskrete Verteilung kennen gelernt nämlich die Gleichverteilung außen ablauschen Wahrscheinlichkeit Raum und die beiden Binomialverteilung Osdorfer verteilt und wir haben 3 Verteilung mit dichte kennen gelernt ich 4 die Gleichverteilung die ja etwa 1 Jahr Fernanda Verteilung die Normalverteilung ich hab ihm gesagt wissen müssen Sie ja nicht nur auswendig Dichte beziehungsweise Zelldichte von der Gleichverteilung mehr nicht noch Fragen dann hätt ich noch ne Frage wenn Sie meine Definition 5 7 angucken dann sehen Sie ich hab nicht nur die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen von 0 bis N festgelegt und nicht für die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen größer als in warum ist die Verteilung sind eindeutig bestimmt also ich geben ja nicht Wahrscheinlichkeiten also insbesondere schreib ich nicht denn die Wahrscheinlichkeit =ist gleich 0 4 in größer für K größer als in der Frage der Raum muss ich das nicht gesehen ist klar bei die Summe der Wahrscheinlichkeiten von 0 bis N schon gleich 1 ist und damit ist klar jede Menge außerhalb von den Zahlen gesehen hat die Wahrscheinlichkeit für die Wahrscheinlichkeit Masse 0 richtig gut da wird jetzt 5 Minuten Pause machen und wir machen dann um 3 Uhr 3 Uhr 23 weiter völlig Ganzger weitermachen wenn sich so weit in der Plätze beginnen könnten und die Unterhaltung einstellen für die 2. bitte ok ,komma zu neuen Abschnitt nächsten begrifflich einführen möchte ist der Begriff der so genannten Unabhängigkeit hier geht es darum dass
wir formal beschreiben wollen wann sich 2 Ereignisse und darauf aufbauenden Lauf an sich 2 Zufallsvariablen gegenseitig nicht beeinflussen es die folgende der Wahrscheinlichkeit Oromiyaa mit 2 Ereignissen beides und größer als 0 an also deren Wahrscheinlichkeit Raum oder gar 2 Ereignisse AB mit Stefan A. größere Gefahren des größer 0 und der sagen A und B beeinflussen sich gegenseitig nicht falls gilt also
an des beeinflussen sich gegenseitig nicht nun die beeinflussen sich dann gegenseitig nicht wenn die Kenntnis über die eintreten weil das Eintreten des einen Ereignisses nicht die Wahrscheinlichkeit von Eintreten des 2. Ereignisses beeinflusst das können wir mit Hilfe der bereits eingeführten bedingten Wahrscheinlichkeiten formulieren das heißt weiße bedingte Wahrscheinlichkeit von gegeben B gleich die von ist und falls die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben Art leicht von also bedingte Wahrscheinlichkeit von Art gegeben B soll gleich die von sein und bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben aber gleich die von B da können wir jetzt Definition einsetzen dann sehen Sie das heißt wir von A. Schmidt des durch die von Wesley Stefan A. und das 2. ist die von PI steht also genau so tiefen Einschnitt B durch aber gleich die von B ja und jetzt können Sie mit Herr von B beziehungsweise Kiefernart durch Multiplizieren und sehen beide Bedingungen führen auf das gleiche wenn ich aufstehe von A geschnitten B gleich die von aber des und die letzte Bedingungen können sie nun eben auch formulieren falls die von gleich 0 oder falls die von dir gleich 0 ist wir brauchen jetzt die Voraussetzungen das die Größe nur wissen wir von Diego soll es gar nicht kann ich Mehr die letzte Bedingung kann auch im Falle ein wie von gleichen oder von den gleich formuliert werden ja und damit haben Sie die Definition der Unabhängigkeit 2 Ereignisse 2 Ereignisse an der heißen unabhängig falls eben die von A geschnitten B vielleicht viel von Ramadi von ist es gibt Definition 5 9 der Wahrscheinlichkeit ruhiger abnehmen A ,komma B A heißen unabhängig genau dann wenn er von A geschnitten B gleich werden Arbeiten von B sie sehen unmittelbar aus der ja Motivation Herleitungen falls die von A und B von B beide größer als 0 sind geltender hin weil etwa ins
Beziehungen sind an die genau das um aber nicht genau dann unabhängig bin irgendwie von gegeben B gleich die von ist und von B gegeben gleicht die von den ok dichtmachen Beispiel dafür gibt es beispiels 15 wir dachten das werfen 2 echte Würfel also echte geworfen das war es den Beginn 6 Seiten durchnummeriert von 1 bis 6 und komplett symmetrisch also jede Seite her die gleiche Wahrscheinlichkeit dann formuliere ich 3 Ereignisse A B und C ist erst verworfen hatte 6 B 2. Dorfladen 3 sie Summe der Augen sein größer gleich 1 da also ich formuliere sollen "anführungszeichen gleich 1. Wurfe für 6 was soll denn das Ereignis beschreiben wurde 1. wo des 6. bei den Werften dieser bei dem Dorfe des 2. Würfel 3 und sie zu müde Augen Zahlen größer gleich 11 und was nicht interessiert ist sind A B unabhängig oder nicht abhängig und sind an sie unabhängig oder nicht unabhängig das heißt
beeinflusst beeinflussen sich die beiden Ereignisse AB gegenseitig in dem Sinne das wenn Sie wissen dass eine 3. ein dann verändert sich die Wahrscheinlichkeit des 2. und umgekehrt und die gleiche Frage für A und C was würden Sie sagen beeinflussen sich die Ereignisse an Bill gegenseitig und beeinflussen sich sahen sie sich gegenseitig bitte ok also die Antwort des 1. an B beeinflussen sich gegenseitig nicht das A und B sind unabhängig und zweitens an sie sind abhängig und der ich gehe gleich ne formale Begründung dafür ok dann gilt ,komma B
unabhängig A ,komma C nicht unabhängig und
das ist heute schon wie begründen sich noch mal in den ok ok um es zu begründen der das sauberste beschreiben und einfachen Wahrscheinlichkeit Raum in Omega wo wir diese Ereignisse angeben können ABC und Woche dieses P ausrechnen können und reichen daneben P von A geschnitten B und B fanatischen C D von AP von BNP von sich aus und gucken auf die Bedingungen aus Definition 5 9 erfüllt ist oder nicht wenn Sie jetzt überlegen Sie wollen eine Wahrscheinlichkeit Frauen haben der das Werfen zweier ich geworfen beschreibt wie machen Sie das also die beschreiben Sie das Zufallsexperiment werfen 2 echte Würfel mit Hilfe eines wahrscheinlich so naja Omega =ist gleich ihren je 100 Leute 1 bis 6 das heißt deren Schuhe die Ergebnismenge und dann der Rest Signalgeber unwahrscheinlich Maß sie müssen weiter lesen also mein in 7. Ansatz mal überlegt sich was von draußen ja sind zu 1 2 Zahlen zwischen 1 und 6. fast den Truppe zusammen oder ein paar zusammen sei nicht logisch aber sie können Sie müssen einfach machen nach dem ganzen dazwischen haben sie können der Wahrscheinlichkeit sommerlich ein Begriff rasch erschlagene mit einem weiteren begrüßt verhindern lassen Wahrscheinlichkeit Raum war bei den echten Waffen sind in jeder einzel Zahlenkombination 3. mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf also nachlasse Wahrscheinlichkeit Raum
wo wir ja gleich alle paar E ,komma J ja 13 von 1 bis 6 das heißt unser ist es wie von Norweger alles kriegt aber wir von Omega wie von einer Menge A es Kardinalität für dadurch kann von Omega also an Elemente in arg geteilte 36 klar das Ganze beschreibt und so Zufallsexperiment jetzt vor mir die Ereignisse A B C können Sie mir
vielleicht sagen was ist an in dem Fall also was hier anschaulich was 1. Woche 6 Welt identifizieren eine Menge von solchen toben wird haben alle Fahrer 6 Wörter 6 1 6 2 bis 6 6 wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von aber das auch klar zählen am 6. durch 36 Jason 6. der von Web klar analog in 2. Kommunen geschieden 3 also wären die 1 1 3 2 3 und so weiter bis 6. der von C welche dieser Paare ist die Summe der Augen Zahlen größer gleich 11 6 6 6 5 5 6 also 5 6 Jahre 6 6 und ja gut ich weiß auch nicht welcher Reihenfolge sind schreiben soll ich mache mir 6 6 6 5 5 6 aber ganz überlegenes 1. muss mindestens 5 seien und dann kann das 2. musst muss als wirksame das 6. damit auf 11 kommt und das 2. kann es 1. kann auch 6 sein dann kann eben das 2. 5 oder 6 was in der Tat alle ja jetzt welchen sie einfach nach also gucken sich die Verlage geschnitten hier von A geschnitten B Mehr das einzige ist jetzt der einzige war was übrig bleibt ist die 6 3 diese eine lebendige Menge hat ist die Wahrscheinlichkeit 1 36. ja wenn wir uns überlegen wie von Arbeit den dann kommen wenn beim erst noch 6 36. beim 2. auch auf 6 36. macht ein 6. an 6. geht auch 1 36. und dann sehen Sie die beiden sind gleich und die angezeigt anwesend unabhängig weiter wenn sich überlegen von geschnitten C ist Wasser gibt geschnitten sehen 6 5 1 6 6 also deren 2 Elemente was es davon die Wahrscheinlichkeit 2 36. also Anzahl der Elemente des 6. 30 und da war viel von Arbeit sie ausrechnen dann ,komma beim 1. ja Gutscheines immerhin aus 6 36. mal des von alle 3 Elemente gibt 3 36. das ergibt das sehen sie auch nicht mehr noch 1 Komma 5 36. raus als 1. und 6. und die kleine 6 durch die 3 gibt 1 Komma 5 dann sehen Sie dieses 1 5 es ungleich der Mehr 2 das heißt in der Tat es verschieben und wir haben am Tresen sind nicht unabhängig ok Fragen so weit
fragen als 6 36. würden 6 Tore und sie mein ich hab falsch gerechnet ja in der Tat also also ich der diese 1 Komma 5 ja so ein bisschen wenn ich da nur ,komma 5 schreiben würde wenn Sie einverstanden allerdings ändert nichts am Gesamtergebnis aber nach vor ungleich aber sie erreicht war so nicht richtig ok noch Fragen genau der gleichen Satz ok jetzt die Frage wozu brauch ich die Unabhängigkeit der weil wenn ich mir vorstelle ich forsche zum Wahrscheinlichkeiten zu berechnen dann bringt natürlich nicht so arg viel weil ich ja erst die Wahrscheinlichkeiten berechnen muss und nach welchen das unauffälliges Mehr Wege werden diesen Begriff jetzt erweitern auf also die Unabhängigkeit von Ereignissen wir ja sie können so allgemeine Sätze machen wenn an die unabhängig sind dann ist auch Komplimente des unabhängig solche Sachen können sie mit einem Schlag machen wir würden diesen helfen aber kommen Sie nicht so arg weit aber der Unabhängigkeit Begriff das ist 1. mal die primitivste Form davon und diese die Sache werden wird alles mögliche hoch ich fange zum Beispiel in der Vorlesung machen das noch mit Zufallsvariablen da wird sehr nützlich sein weil sagen können wenn 2 Zufallsvariablen unabhängig sind dann werden den allgemeinen Satz kennen lernen das wenn ich sowas wie Mittelwert ausrechnen will dann kann ich einfach vom Produkt dann kann ich einfach die Mittelwerte Einzel ausreichten und miteinander multiplizieren das den Anwendung von Unabhängigkeit und welche Stars sagt wissen möchte wie stark schwankt die Summe dann kann ich die beiden Einzel Schwankungen im Sinne der sogenannten Varianz kommt da noch auf und das sind einig Folgerung die aus die Unabhängigkeit Sachen die 1. Unabhängigkeit aus auskommen herausfallen oder sie können sich zum Beispiel überlegen Sie an 2 Zufallsvariablen wie verhält sich dann der Zufalls Sektor wo sie in der 1. Komponente die eine Zufallsvariable einschreiten und der 2. kommen in die 2. zu versorgen hat und das ganze Ding können Sie relativ einfach beschreiben wenn sie wissen die beiden Zufallsvariablen sind abhängig und so weiter aber in der Tat noch sehen sie sich freut was braucht ok noch ne Frage als das Ganzes zentraler Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde immer wieder begegnen der Wahrscheinlichkeitstheorie oder vieles war vorleben und Unabhängigkeit annahm wir machen jetzt Erweiterungen auf Zufallsvariablen die des ist Zufallsvariable X und Y sind und Mike unabhängig falls alle Ereignisse der Form x liegt den Arm zulegten den B für beliebige Mengen an die unabhängig sind also Ideen Zufallsvariablen X Y sind unabhängig falls alle Ereignisse X-Element in eckigen Klammern damit meine ich wieder die Menge aller klein Omega wo Excel Omega die Bedingungen oder diese Bedingung erfüllen also Excel Norweger Einar liegt das heißt es wäre einfach exogenes 1 von und eine man D wer Y -minus 1 von den unabhängig sind
es gibt laut Definition 5 11 wir haben Wahrscheinlichkeit warum gar AP wir haben dann des Räume omega X a x omega y a y oder sprechende Zufallsvariablen X Y belehrten ihn omega x omega y und wieder aktivieren omega X A X und ohne sind als sie und sind Mess Räume und die andern Zufalls Zufallsvariablen X von nach omega X und y Salome darum egal ob sie in sein Zufallsvariablen und dann ist die Aussage XY sind unabhängig genau dann wenn Preis für alle Mengen A aus das Signal Signalgeber X für alle B 1. Signal geht war A Y soll gelten die Wahrscheinlichkeit das XNA ist und gleichzeitig YB ist es Produkte 1 Wahrscheinlichkeit ok was meine ich damit das ist die Wahrscheinlichkeit von der Menge omega in Omega sodass Nixon Omega 1 S und 17 von Omega in Bremen und das ist klar ist die Wahrscheinlichkeit von der Menge also omega in Omega sodass dass Excel Omega das XO -minus 1 von und das letzte ist die Wahrscheinlichkeit dass von Y minus 1 von und wir das eigentliche was Sie vielleicht nicht sofort sehen was aber einig auch klar ist wenn sich sich die in der Menge angucken diese Menge aller Omega ein Großanleger dass Nixon Norweger A ist mit von Omega geht die kann ich schneiden als still Schnitt zweier Mengen darstellen nämlich als die Menge aller omega in Omega wo Excel ohne ist geschnitten mit der Menge aller Omega ein Großanleger Wulffs und Omega ein PS und die einzelnen sind dann XO -minus 1 an y jedes 1 geht das heißt hier steht einig die Wahrscheinlichkeit von exogenen das 1 von geschnitten y minus 1 von B das heißt jeder der Nation auch so hinschreiben können die Wahrscheinlichkeit dass ich zumindest eines von A geschnitten zumindest 1 für soll immer gleich Produkt der beiden Einzel Wahrscheinlichkeiten sein Wahrscheinlichkeit dass sich zumindest ein von A S O Y ist 1 von des in dieser anschaulichen Notation eben die Wahrscheinlichkeit dass die Zufallsvariablen gleichzeitig die Liste mit den Gefühlen ist wohl doch der Einze Wahrscheinlichkeit sie sehen an der Definition damit ich von unabhänigen Zufallsvariablen sprechen kann müssen die auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit Raum um ab definiert sein das heißt sie müssen die gleichen Definitionsmenge ist aber sonst geht schief Punkt 1 und Punkt 2 anschauliche Bedeutung des Begriffes ist werden Sie nächste vorlesen noch ein Beispiel zu kennen lernen die die Zufallsvariablen sind unabhängig falls sich gegenseitig nicht beeinflussen ok haben so weit Frage noch dann wäre ich für heute fertig und wir sehen uns am Freitag
Teilmenge
Index
Variable
Multiplikation
Menge
Zufallsvariable
Abbildung <Physik>
Klasse <Mathematik>
Ruhmasse
ALI <Programm>
Urbild <Mathematik>
Wahrscheinlichkeitstheorie
Entscheidungstheorie
Endliche Menge
Menge
Abbildung <Physik>
Potenzmenge
Zahl
Null
Teilmenge
Menge
Zufallsvariable
Abbildung <Physik>
Meter
Potenzmenge
Ruhmasse
Inhalt <Mathematik>
Urbild <Mathematik>
Zahl
Summe
Faktorisierung
Menge
Endliche Menge
Ruhmasse
Inhalt <Mathematik>
Promille
Punkt
Ende <Graphentheorie>
Menge
Ruhmasse
Null
Ziffer
Tupel
Ende <Graphentheorie>
Raum <Mathematik>
Zahl
Null
Parametersystem
Exponentialverteilung
Numerisches Verfahren
Normalverteilung
Ruhmasse
Binomialverteilung
Zahl
Gleichverteilung
Exponentialverteilung
Normalverteilung
Menge
Zufallsvariable
Abbildung <Physik>
Ruhmasse
Umkehrung <Mathematik>
Urbild <Mathematik>
Binomialverteilung
Gleichverteilung
Menge
Abbildung <Physik>
Urbild <Mathematik>
Teilmenge
Menge
Zufallsvariable
Mathematische Größe
Länge
Total <Mathematik>
Ruhmasse
Wahrscheinlichkeitstheorie
Dichte <Physik>
Integral
Teilmenge
Index
Unendliche Menge
Menge
Zufallsvariable
Übertrag
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Summe
Parametersystem
Exponentialverteilung
Binomialbaum
Normalverteilung
Punkt
Menge
Zufallsvariable
Binomialverteilung
Zahl
Dichte <Physik>
Gleichverteilung
Multiplikation
Multiplikationssatz
Herleitung
Zufallsvariable
Summe
Würfel
Zahl
Würfel
Ruhmasse
Zahl
Summe
Menge
Zahl
Einfach zusammenhängender Raum
Summe
Erweiterung
Punkt
Menge
Mittelwert
Zufallsvariable
Schnitt <Mathematik>
Biprodukt
Varianz
Schwankung
Wahrscheinlichkeitstheorie

Metadaten

Formale Metadaten

Titel ZV und Unabhängigkeiten
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34030
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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