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Zufallsvariablen

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das war Monate rohes is talle dem mit ok also
ich begrüße Sie herzlich zur Vorlesung Einführung in die Stochastic Herr Kohler kann heute leider nicht kommen daher der dich in vertreten mein Name ist Tina Fehler ich denke manche kennen mich vielleicht noch von der er 2 im letzten SS bei raus zumindest sich einige bekannte Gesichter ok dann fangen wir an wie üblich mit der Wiederholungswahl ist Vorjahr so er hat Vorlesung die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert Omega AP sein Wahrscheinlichkeit Raum AB Element Art mit P von mir größer 0 dann heißt es per von bedingt wäre gleich 4 von A geschnitten B geteilt durch P von will die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung des dann hat der in der zeigt aus dem nützliche Rechenregeln folgen und zwar wenn Anleger AG wieder Wahrscheinlichkeit Raum ist wie aus an mit der von mir größer 0 dann ist die Schlange als Abbildung von A nach ihr mit P Schlange von definiert als der von bedient werden ein Wahrscheinlichkeit Mars wir gesehen habt folgen da ab sätzliche Rechenregeln wie zum Beispiel Herr von Komplement wäre es
gerade 1 -minus hier von bedingt und P von A 1 vereinigt mit A 2 für den ist von A 1 bedingt B +plus b von a 2 bedingt B wenn A 1 und A 2 des Jungen er hat dazu dann noch ein Beispiel betrachtet und zwar wenn das Ereignis an ein Kind mit Down-Syndrom zu bekommen ist und wie ist das Ereignis das der Klöppel Test positiv ausgefallen ist dann bekannt war hier von das heißt die Wahrscheinlichkeit dafür dass eine schwangere Frau ein Kind mit Down-Syndrom bekommt und P von B bedingt also die Wahrscheinlichkeit dass der Diabetes Positives unter der Bedingung dass das Kind das Down-Syndrom hat und P von bedingt Komplement also die Wahrscheinlichkeit dass der Tögel Test positiv ausfällt wenn das Kind kein Down-Syndrom hat gesucht war dann von aber den Bären er hat das ausgerechnet heute werden in der Formel kennen lernen mit der man das auch am allgemeine berechnen kann und zwar wenn wir nicht nur 2 disjunkte Mengen A und A Kompliment hat sondern vielleicht disjunkte Mengen A 1 bis A N und man interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit von am bedingt ja und diese Formel die sagt der nächste Satz und zwar 1. Satz 4 3 3 ab ob megaaa sei wieder unser Wahrscheinlichkeit Traum n sei eine natürliche Zahl und wir haben B 1 bis B 1 aus an die paarweise disjunkt sein sollen das heißt der Schnitt von je 2 Mengen ist sehr paarweise disjunkt kürzlich am in dieser Vorlesung abnimmt brauchen wir noch öfter und zwar mit folgenden Eigenschaften wenn man die Mengen vereinigt soll ganz einiger herauskommen hier und die Wahrscheinlichkeit für eine Männer es größer 0 war für jedes einen von 1 bis groß ein so dann gelten folgende 2 Formen aha wir von ab hier von an ist gerade die Summe von n gleich 1 bis groß 1 von P von Arte den BND mal P von WM diese Formen und Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit das ist jetzt die Formel
die uns eigentlich interessiert Herr von B 1 bedingt an oder Moment haben wir eigentlich in K stehen also B von BKA bedingt es gerade die Wahrscheinlichkeit von A bedingt BK mal P von Becker geteilt durch die Summe von n gleich 1 bis groß ein hier von bedingt B 1 ab nein wir von GM und zwar für jedes K als einziges groß ein und wir das an aus der Siegener Algebra so wem wenn sie die 2. Formel mal mit der 1. vergleichen dann sehen Sie dass wir Männer gerade die von von der Formel A steht das heißt 5 Teilen hierdurch P von das heißt die Wahrscheinlichkeit für muss natürlich streng größer 0 sein damit wir nicht durch 0 teilen und das ist die Formel von der ist gibt es Fragen gut dann kommen wir zum Beweis so da die Mengen B 1 bis B 1 aus paarweise disjunkt vorausgesetzt wurden sind auch B 1 geschnitten A des BND geschnitten paarweise disjunkt also wenn Sie sich vorstellen sie haben hier ne Menge Omega SHP teilnehmen und in der in disjunkte Mengen wie einst in 2 B 3 B 4 und man hat jetzt eine andere Menge darin zum Beispiel Menge A .punkt dann sieht man das jetzt auch geschnitten mit B 1 Jugend mit der Menge A geschnitten B 2 und
A geschnitten B 3 Na geschnitten 4 und so weiter Geld Ayse dar er 1 bis EN paarweise disjunkt sind auch die Mengen A geschnitten B 1 bis A geschnitten werden aus paarweise disjunkt der Schnitt der beiden Mengen liegt in Arbeit an die Algebra ist und für je 2 Mengen die in einigen mit dem auch der Schnitt in Haar soll man diese Menge hier vereinigt kommt ganz heraus den Armen wir betrachten die Vereinigung von n gleich 1 bis 1 von A geschnitten B 1 jetzt müssen sie aus der Menge aber dass dies hier das gleiche ist wie am geschnitten mit der Vereinigung von B 1 die Vereinigung von B 1 war nach Voraussetzung gerade ganz Omega das heißt wir haben hier geschnitten mit Omega und das ist kann dir das Leben und das heißt wir können jetzt hier von ausschreiben als P von der Vereinigung n gleich 1 bis groß 1 von A geschnitten mit 1 haben Sie ne Idee wie man jetzt weiter macht PS Jan Wahrscheinlichkeit Mars statt das heißt das gilt zum Beispiel die Sigmar Additivität die man hier diesen paarweise disjunkt das heißt wir können das hier schreiben als Summe von n gleich 1 bis n hier von beschnitten werden wir teilen jetzt dieses per von A geschnitten B 1 durch Pi von D 1 und D mit P von werden wieder mal so und jetzt müssten sie aber nie Idee haben vor wenn Sie sich hier vor den Faktor mal anschauen ist es gerade die bedingte Wahrscheinlichkeit und das ist das was wir zeigen wollten gibt Fragen so weit gut dann beweisen noch schnell B wir schreiben erst mal die Wahrscheinlichkeiten hier von bekannt bedingt 2. Handy das definiert das also gerade als der von an beschnitten BKA geteilt durch P von BKA wir machen wieder den gleichen Trick wie bei das heißt erst mal tauschen wir die beiden Mengen das heißt wir schreiben hier für die von bekannt geschnitten dann teilen wir nicht die von A und mit 4 von wieder mal ja genau richtig danke ich war schon ein Schritt zu weit also durch die von A ich hab es genau richtig hingeschrieben eigentlich steht ja auch viel von Becker geschnitten nur es können wir umdrehen und die hier von jetzt sein ich der von BKA und dem mit P von Becker wieder mal das heißt er steht hier von A geschnitten B bekannt geteilt durch P von bekannt mal 4 von und alles geteilt durch P von das hier ist jetzt die bedingte Wahrscheinlichkeit von bedingt bekannt mein Telefon bekannt das heißt um im Zähler steht schon
das was wir haben wollen was machen wir mit den Nenner genau wir verwenden die Formel aus aber durch P von an und mit der Formel aus an folgt dann die Behauptung so und das ist das was wir zeigen wollten wenn Sie sich noch mal anschauen was wir eigentlich benutzt haben in den Beweis das war nur die sieht Additivität haben der ist wir also wir haben hier benutzt dass die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung von disjunkte Mengen gerade die Summe die eigentliche Summe von der Wahrscheinlichkeit von den einzelnen Menge ist diese Eigenschaft gilt natürlich auch wenn n unendlich ist oder dass ist gerade die Siegener Additivität das heißt dieser Satz gilt eben ganz analog auch wenn n gleich unendlich ist ab Satz 4 3 3 gilt analog für einen gleich unendlich gut an dieser Formel von Wales hat ziemlich viele Anwendungen bekannt ist zum Beispiel des Gefangenen Paradoxon oder auch diese Aufgabe mit den 2 Ziegen und im Auto also wenn da wenn ihr den Film 13 Semester kennt sagt das wurde hier in Darmstadt gedreht da ging es auch um dieses Beispiel und zwar wenn euch in Showmaster fragt welche Story eröffnen wollte hinter einem dessen Auto hinter den anderen beiden Toren sind 2 Ziegen dann wählt er zum Beispiel Tor 1 der Showmaster öffnet dann entweder Tor 2 oder Tor 3 und fragt euch danach ob er nochmal um entscheiden wollte also ob wir jetzt lieber das andere Tor Bild und ja diese Aufgabe gibt auch in den Übungen da kann man eben ganz gut diese Formel benutzen so gibt es noch Fragen zu diesen Satz oder zum Beweis gut dann würden wir jetzt mit dem neuen Kapitel anfangen das heißt Zufallsvariablen und ihre Eigenschaften 1. Unterkapitels Zufallsvariablen oft interessiert man sich nicht für die Ergebnisse eines Zufalls Experiments sondern nur für Teil er Teilaspekte davon also zum Beispiel wenn er würfelt und ihr gewinnt wenn eine gerade Zahl würfelt und verliert wenn eine ungerade Zahl würfelt dann interessiert euch eigentlich nicht ab jetzt die 2 4 oder die 6 gefallen ist sondern eigentlich nur die Zahl gerade oder ungerade war und Sam das kann man mit Zufallsvariablen moderieren wir nehmen folgenden wieder an das Omega AP unserer Wahrscheinlichkeit Traum ist oft interessieren nur Teilaspekte wie geht oft interessieren nur Teilaspekte des Ergebnisses Omega 1 Zufallsexperiment statt einiger betrachtet man daher X von Amiga für 1 X von Omega nach obiger strich so man betrachtet daher statt dem Ergebnis des Zufallsexperiment das der Omega ist 1 x von Omega für eine Abbildung X die Omega nach Omega strich abbildet und bevor wir die Zufallsvariablen jetzt formal definieren betrachten erst mal ein Beispiel baben ja man möchte sich zwischen 2 Vorschlägen A und B entscheiden eine resolute Gruppe sagen wir mal von 3 Tausend Personen entscheidet mit Sicherheit für wobei sich die anderen allen Personen unbeeinflusst von einander und rein zufällig für A oder für B entscheiden das das Beispiel 5 1 Abstimmung über 2 Vorschläge A und B er gleich
3 Tausend Personen stimmen für und n gleich 1 Million Personen entscheiden sich unbeeinflusst von einander rein zufällig er wir wollen jetzt die Wahrscheinlichkeit bestimmen das Vorschlag aber angenommen wird gut ich würde jetzt vielleicht erst 5 Minuten die Tafel wischen und dann sagen wie wir das Beispiel modellieren ok dann machen wir weiter mit der Modellierung von diesem Beispiel das Abstimmungsverhalten der eine Million Personen kann man beschreiben durch einen Vektor mit 1 Million Einträgen das Abstimmungsverhalten der n eine Million Personen wird beschrieben durch den Vektor Omega gleich Omega 1 bis Omega n wobei jeder einzelne Eintrag Amiga I nur 0 oder 1 annehmen kann das heißt insgesamt ist es aus 0 1 Woch en so einiger I nimmt jetzt den Wert 1 1 wenn Personen I für den Vorschlag aber störend und 0 wenn Person I für den Vorschlag be stimmt 1 wenn Item Personen stimmt für A B und 0 ite Person stimmt für B aber ab so diese eine Person die Stimmen wie gesagt unbeeinflusst von einander und rein zufällig ab das heißt wir können das Ganze durch hinablassen Wahrscheinlichkeit Raum definieren da jeder jedes einzelne Tube dieser 2 noch allen möglichen Tube immer mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftritt auftreten kann wir modellieren ist durch einen klassischen Wahrscheinlichkeit wir müssen jetzt noch sagen was Anleger A und PS was ist die Grundmenge Omega Grundmenge Omega besteht aus einem möglichen Vektoren die auftreten können das heißt die Grundmenge und der ist gerade die Menge aller Vektoren mit allen Einträgen aus 0 1 hoch n und es ist gerade 0 1 zu 1 ab ok was will mehr als sie eine Gefahr 1 der klassischen Wahrscheinlichkeit Traum ja genau warum ja genau weil die Grundmenge abzählbar ist wenn wir als unser Signal Gefahr die Potenzmenge und unser P 1 der klassischen Wahrscheinlichkeit Traum bildet eine Menge an aus gerade auf Kardinalität von A ich Kardinalität von Omega was ist unsere Kardinalität von Armee war ja genau 2 Rennen so wir sind jetzt aber nicht daran interessiert wie jeder einzelne Person abgestimmt hat vielleicht können wir das gar nicht mehr nachvollziehen auf jeden Fall wollen wir nur wissen ob Vorschlag überhaupt angenommen wird das heißt wie viele Stimmen überhaupt für aber abgegeben wurden auf also interessiert sind wir an der Zahl der Stimmen für es gibt bei diesen Herrn Personen
das heißt wir sind wir sind an der Zahl der Stimmen für bei diesen n Person interessiert das heißt an der Sommer der Omega I weil diese Summe der Amiga I gerade angibt die für einen der Vektor Omega hat und die Anzahl der Einsen in dem Wetter ist gerade gleich die Anzahl der Stimmen für Vorschlag A hier ist 6 Ärzten Abbildung von Amiga nach Omega strich und Amiga strich zu muss man sich überlegen welche Werte x omega annehmen kann das sind gerade alle zwischen 0 und n so hier auf der Tafel kann man es schlecht lesen glaube ich hier X das Abbildung X von Omega nach einiger strich und einiger Strich ist aber die Menge von 0 1 und so weiter bis in ok die Frage ist jetzt wie man Wahrscheinlichkeit Raum bestimmt der das Zufallsexperiment mit dem Ergebnis x von Omega beschreibt Frage wie bestimmt man eine Wahrscheinlichkeit Raum wie bestimmt man ein Wahrscheinlichkeit der ein Zufallsexperiment mit dem Ergebnis x von Omega beschreibt ok die EDS für eine Menge an Strich aus Anstrich setzen wir px von Anstrich als gehen von X aus Anstrich dieses P kennen wir das ist unser Wahrscheinlichkeit Smart aber was hier steht kennen wir eigentlich noch nicht also X ist wie schon gesagt ne Abbildung was bedeutet dass das eine Abbildung in der Menge A Strich liegt Abend ist im Moment noch gar nicht definiert ok daher definieren wir das Herz als Abkürzung für per von der Menge Omega aus und wieder an für die X von Omega in Aalstrich legt so wir benutzen das dir als Schreibweise für das das hier können aber auch schreiben als die Wahrscheinlichkeit für X minus 1 von Aalstrich also per vornehmen Urbild von A ,komma wie schon gesagt diese Wahrscheinlichkeit die kennen wir also dieses Wahrscheinlichkeit Maß damit der Ausdruck hier aber überhaupt definiert ist muss natürlich diese Menge in unserer eingetragen ob und ab also damit dieser Ausdruck definiert ist ok muss diese Menge X minus 1 strich ob was definiert war oder was wir jetzt definieren als die Menge aller Omega aus einiger für die X von Omega n A Strich liegt diese Menge muss in unserer 7 eine Gefahr ab ob so und Abbildungen X die diese Eigenschaft für jedes Aalstrich erfüllen nennt man Zufallsvariablen so bevor wir die Zufallsvariablen einführen kommt noch eine kurze Definition vorher und zwar Definitionen 5 2 wenn
Omega Strich nicht mehr ist und Anstrich essen Sigmar Algebra über Omega ,komma dann den man Omega strich Anstrich Misstrauen ja viel danke also Anleger Strich ist eine nichtleere Menge und Anstrich ist Sigmar Algebra über Omega strich dann nennt man Omega ,komma ,komma Misstrauen gut und mit dieser Definition können wir jetzt unsere Zufallsvariablen definieren das ist Definition 5 3 Omega AP dass unser Wahrscheinlichkeit waren und wieder strich Anstrich eines Raum so dann heißt die der jeder Abbildung X von Anlegern nach und wieder strich mit der Eigenschaft dass X minus 1 A Strich in a liegt für jedes Anstrich aus an Zufallsvariable dann heißt die Abbildung Ex von Amiga nachahmen strich X minus 1 Anstrich ja ich kann seine hinschreiben das war definiert als die Menge aller Anleger aus der für die Ex von Omega in A Strich liegt diese Menge sollen Art sein und zwar für alle Anstrich aus Anstrich ok denn heißt siehe Abbildung X mit dieser Eigenschaft für alle Zufallsvariable das kürzen wir ab mit ZV ok jetzt Fragen so weit ok dann falls Anstrich die rellen Zahlen sind und strich ist die Bereiche Signal Algebra dann nennt man X auch reell Zufallsvariable ab gut dann kommen noch 3 Bemerkungen 1. Bemerkung diese Eigenschaft hier X minus 1 A ,komma aus an für alle ,komma aus strich nennt man auch Anstrich Messbarkeit also diesen Begriff aber werden sie in der Maßtheorie auch noch mal kennen lernen oder Anstrich Messbarkeit der Abbildung X 2. Bemerkung falls er die Potenzmenge von Omega ist es fehlt jede Abbildung diese Anstrich Messbarkeit und zwar bei X minus 1 A Strich immer Teilmenge von Omega ist und wenn er am gerade die Potenzmenge von Omega ist was ja gerade alle Teilmengen von Amiga enthält ist diese Eigenschaft immer erfüllt ab also falls an die Potenzmenge von ist ist die Eigenschaft Sternchen immer erfüllt ob 3. Eigenschaft falls Anleger an gleich einiger strich Anstrich gleich E ist kann man nur schwer Abbildung konstruieren für die diese Eigenschaft nicht erfüllt ist falls
Anleger aber gleich Omega ,komma Anstrich gleich er B ist kann man nur schwer Abbildung konstruieren für die Sternchen nicht Geld also das es analog dazu dass man eben auch nur schwer Teilmengen von er konstruieren kann die ich in liegen zum Beispiel kann man zeigen dass sie das stetige Abbildungen diese strich er die BB die BEB Messbarkeit erfüllt genauso wie jeder .punkt Weise Grenzwert von BB messbaren Abbildung auch wieder wie messbar ist und auch die Summe die Differenz das Produkt die Verkettung und so weiter von DB messbaren Abbildung ist auch wieder die messbar das heißt sie werden in diesem Fall die Eigenschaft Sternchen einfach ohne Beweis voraussetzen oder ich habs mir vielleicht mag es noch hin ob so werde ich die Tafel wischen kann ich euch vielleicht schon erzählen dass wir im Sommer in den dem 1. Ferien nach diesem Semester im Kurs über er anbieten also 1. Statistikprogramm mit dem man aber eben sehr schöne Sachen programmieren kann und da wollt ich mal fragen wer überhaupt Interesse hat unseren Kurs teilzunehmen schien ok sID also dieser Kurs wird wahrscheinlich am Anfang der Semesterferien stattfinden ist freiwillig wird auch nicht benotet haben will ich Euch aber wirklich empfehlen vor ihr weiteres Studium weil ja auch oft in den Diplomarbeiten oder eben aus der arbeiten oder auch wenn in der deutschen Arbeit bangen Cola schreiben wollte da braucht man meistens oder oft Programmierkenntnisse und dieser Kurs ist eben nicht verpflichtend aber man hat da die Möglichkeit geben noch war ja zum guten Einstieg er zu finden gut dann machen wir weiter mit Satz 5 4 so als wir jetzt gesehen hab Zufallsvariablen heißen zwar Zufallsvariablen sind aber im mathematischen Sinn keine Variablen sondern Abbildung wir gerade kennen gelernt hat also man kann sich einer Zufallsvariablen zwar als Variablen vorstellen in Anwendung deren Wert annehmen der vom Zufall abhängt aber mathematisch gesehen sind es Abbildungen gut und Satz 5 4 sagte wenn Omega AP Wahrscheinlichkeit zu warm ist ab und Amiga ,komma Aalstrich essen waren und X von Anlegern auf einiger strich Zufallsvariable dann ist auch mega ,komma Anstrich PX an Wahrscheinlichkeit Raum verschreiben es noch mal hin wird P X wie wir es eben definiert haben px von Anstrich die also wenn auch mit APN Wahrscheinlichkeit haben es Amiga Anstrich essen Amiga strich er strich ist Misstrauen X von Amiga nach Omega strich eine Zufallsvariable dann ist mir strich Anstrich P X mit p x von A Strich Clients P von der Menge Omega aus einiger für die Ex von Anlegern aus A Strich ist für alle ,komma aus strich ein Wahrscheinlichkeit Frauen gut was müssen wir dafür zeigen Omega ,komma ist eine nichtleere Menge A ,komma 1. Signal war das heißt wir müssen nur noch zeigen dass die wirklichen Wahrscheinlichkeit Smarts ist gut zuerst zeigen wir das haben wir das n sinnvoll definiert haben also das px wohldefiniert ist warum es das woll definiert vielleicht habt ihr ne Idee vor ob oder wann werden 1 px nicht wohldefiniert ja ja ja das zeigen wir noch als Text von Amiga Strich 1 ist das zeigen wir noch die anderen beiden Eigenschaften auch also p x wäre nicht wohldefiniert wenn die Menge X minus 1 A Strich nicht in A liegen würde warum liegt sie aber in Art ja genau weil Excel Zufallsvariable ist ob ob ob da externe gesagt haben es eine Zufallsvariable es X minus 1
A Strich aus an für Anstrich aus ansprechen gut und jetzt zeigen wir die anderen 3 Eigenschaften und zwar die 1. Eigenschaft ist das px von Anstrich größer gleich 0 ist für alle Anstrich in Anstrich ob das sehr Meyer definiert als P von X minus 1 A Strich das hier ist jetzt Elemente an das heißt das Tier ist größer gleich 0 weil unser P Jan Wahrscheinlichkeit Maß ist das heißt für alle Mengen an den ist hier von größer gleich 0 so die 2. Eigenschaft ist die die schon genannt wurde px von Amina strich soll einst sein beschreiben dieses Specs wieder um zu P von X minus 1 kommen strich und ja ich behaupte jetzt dass das hier das gleiche ist wie P von Omega gut warum ist das Spiel von Omega diese Menge hier X minus 1 von Omega strich ist gerade diese Menge also die Menge der Anbieter aus Omega für die Ex von Au aus Menga Strich erst X ist mit Zufallsvariable als Abbildung von Amiga nach einiger strich das heißt jedes Omega aus einiger wird in Omega strich abgebildet das heißt das hier es immer erfüllt gilt also für ganz Omega können also dass der schreiben als P von Omega und viel von aber egal sein die 3. Eigenschaft ist die Signal Additivität dazu nehmen wir an wir hätten paarweise disjunkte Mengen Arsch Strich 1 bist ,komma 2 und so weiter sein A 1 Sprechart ,komma und so weiter paarweise disjunkte Mengen natürlich aus ,komma da Echsen Zufallsvariable ist es auch X minus 1 A 1 strich X minus 1 A 2 ,komma und so weiter paarweise disjunkt ab ab um also der Ex Zufallsvariable sind auch die Mengen X minus 1 A 1 ,komma A X minus 1 ab aber 2 Striche und so weiter USA und sie sind auch paarweise disjunkt denn wenn wir annehmen dass wir ein auch Männer aus X minus
1 Ai strich geschnitten mit X minus 1 a j Strich haben dann können wir das zurückführen auf den Schnitt von A I und J die der Partner der die leere Menge ergibt also ist aus X minus 1 am Nil strich geschnitten mit X minus 1 ab eine Art strich was äquivalent dazu ist das Omega in X minus 1 AE ,komma S und ob und auch ist in X minus 1 1 J strich das kann man umschreiben zu X Amiga ist in e strich und X Amiga es in ein J strich und das ist das gleiche wie die Aussage dass X Anleger in AI geschnitten 1 J so müssen da für I ungleich J in dieser Schnitt die leere Menge hergibt muss auch hier oben die leere Menge rauskommen das heißt die Menge X minus 1 a 1 Strich X minus 1 A 2 ,komma und so weiter sind paarweise disjunkte Mengen ich hat ob auf gut außerdem weiß man das X minus 1 von der Vereinigung von einstrich das gleiche ist wie die Vereinigung von X minus 1 Anstrich gut an diese Beziehung die kann man auch so ähnlich wie hier zeigen man nimmt eben an auch mega kommt aus X minus 1 vereinigt von diesen ein Strich haben und führt es dann zurück auf einer gleich Vereinigung von X minus 1 einstrich soll ich das noch machen ja gut wir nehmen an Omega kommt aus X minus 1 Vereinigung der AN strich das ist äquivalent dazu dass X Anleger aus dieser Vereinigung kommt ok und das bedeutet aber gerade das ein Ehen 1 existiert aus den natürlichen Zahlen haben so X von Omega in einen Strich liegt jetzt schreibt man diesen Ausdruck wieder um das heißt das Ganze ist äquivalent dazu das enden aus n existiert mit der Eigenschaft und wieder aus X minus 1 a n Strich ab .punkt ob und das ist äquivalent dazu dass Anleger aus der Vereinigung von X minus 1 am Strich kommt ob ist es klar geworden gut und jetzt sind wir schon
fast fertig so eigentlich wollten wir die Siegener Additivität für Text zeigen das heißt dass die Vereinigung dass die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung von des jungen kann man eben gerade die Summe ist der Insel Wahrscheinlichkeiten diese Vereinigung von den nja oder das hier schreiben erst mal um zu P von X minus 1 Vereinigung die Menge X minus 1 von der Vereinigung von einen Strich kann man wie wir gesehen haben schreiben als Vereinigung von den X minus 1 Strich ab
P dessen Wahrscheinlichkeit Maß das heißt für P gilt bereits die Siegener Additivität wir können das also schreiben als Sommer n gleich 1 bis unendlich P von X minus 1 einstrich und schreiben das wieder um als unser P X fertig gut also der letzte Schritt war nur die Definition ja es doch Fragen zum Beweis ja ach so fühlt gut danach das nächste Mal cooler wieder weiter
Komplementarität
Multiplikationssatz
Abbildung <Physik>
Summe
Komplementarität
Momentenproblem
Menge
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Algebra
Natürliche Zahl
Gleitendes Mittel
Schnitt <Mathematik>
Summe
Faktorisierung
Multiplikationssatz
Menge
Algebra
Schnitt <Mathematik>
Zahl
Summe
Vektorrechnung
Paradoxon
Menge
Zufallsvariable
Abbildung <Physik>
Potenzmenge
Vektor
Zahl
Teilmenge
Summe
Momentenproblem
Menge
Zufallsvariable
Algebra
Abbildung <Physik>
Potenzmenge
Ruhmasse
Maßtheorie
Urbild <Mathematik>
Vektor
Zahl
Teilmenge
Summe
Lag
Variable
Punkt
Menge
Messbare Abbildung
Zufallsvariable
Abbildung <Physik>
Stetige Abbildung
Menge
Zufallsvariable
Natürliche Zahl
Abbildung <Physik>
Ruhmasse
Schnitt <Mathematik>
Summe
Menge
Ruhmasse

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Zufallsvariablen
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34029
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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