## Wahrscheinlichkeitsräume mit Dichte

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 Title Wahrscheinlichkeitsräume mit Dichte Title of Series Einführung in die Stochastik Part Number 11 Number of Parts 25 Author License CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license. Identifiers 10.5446/34027 (DOI) Publisher Release Date 2011 Language German

 Subject Area Mathematics
Raum <Mathematik> Höhe Finite set Index Finite set Set (mathematics) Summation Multiplication table Subset
Position Zahl Relationalsystem Summation Set (mathematics) Termumformung
Statistics Direction (geometry) Maximum (disambiguation) Supremum Binomial distribution
Addition Zahl Binomial theorem Binomial distribution Mass Parameter (computer programming) Summation Sequence
Logical constant Energie Binomial heap Binomial distribution Numerical analysis Approximation Number
Series (mathematics) Logarithm Direction (geometry) Exponentiation Binomial distribution Continuous function Number Exponential function Population density Index Term (mathematics) Well-formed formula Multiplication table Factorization Limit of a function Derived set (mathematics)
Population density Mass Parameter (computer programming)
Area Series (mathematics) Raum <Mathematik> INTEGRAL Set (mathematics) Mischung <Mathematik> Mass Function (mathematics) Sequence Number Mathematics Population density Summation Length Limit of a function
Area Series (mathematics) Population density INTEGRAL Interface (chemistry) Modulform Mass Summation Open set Sequence Absolute value Entire function
dort LF Höhe und ihm nie woher hör am mln ja begrüßt Sie recht herzlich
zur heutigen Vorlesung für die Stochastic das freut mich sehr dass sie auch schon da sind stündlich sagen sie sehr gut ab ich dann immer mit einer Wiederholung vom letzten Mal an oder noch besser ich erzählen wird Zeugin und die hat wir Wasser wie ich weiß nicht ob Ihnen schon aufgefallen ist ist mir neulich passiert und ich las in einer Sitzung zur forschungsorientierten Gleichstellung von sollen dir die Gleichstellung da geht es darum dass die Universität sich bemüht mehr Frauen in die Forschung zu bekommen und da hat eine Psychologin einen Vortrag gehalten und der Vortrag dienen mehr zum Thema wäre Frauen als Vorbildfunktion für weibliche Studierende und ich weiß nicht ob Ihnen schon aufgefallen ist dass ich als Vorbild für weiblichen Studierenden eigentlich gar nicht so ganz geeignet bin also es wird schmerzlich bewusst geworden aber ich kann dann noch folgende geniale Idee ich bin nächsten Freitag nicht dar sie soll sich die nächsten Freitag schon da aber ich muss nächsten Freitag den Fachbereichsrat immer wieder die Interessen der Stochastic dort zu vertreten sollte anwesend sein ich hatte einigten Doktoranden von der gebeten die Vorlesung für mich zu halten dann ist mir aufgefallen ich hab 1 3 Doktoranden 2. Orte an denen er sie werden dort von 2 Doktoranden betreut und ich bitte auch noch einen Doktoranden die Ehre Vorlesung zu halten was vielleicht nicht so ganz schlau ist im Hinblick auf weibliche Vorbilder und ich kam auf die geniale Idee den nächsten Freitag also sind ein starker sitzen was an sich nicht hätten nächsten Freitag hier hin eine Doktorandin vorbei die er die Vorlesung dann sehen Sie mal so ob da ich bin froh dass es wirklich aufgetragen wird weil über die Aufzeichnung sehen ok ich kommentiere das nicht ich bin aber sicher ok jede Belästigung von vortragen wird vermutlich zu unmittelbaren Exmatrikulationen heutigen Klima für also gesehen wurde bis mich außerdem noch mal überlegen ok also ich schicke ihn in der nächsten Freitag ne Doktoranden von mir vorbei als weibliches Vorbild und also allerdings für die weiblichen Studierenden nicht für die männlichen ok Audi ,komma zu wiederholen zu wollen ist auch wieder ungleich 0 1 endlichen eine ungleich der leeren Menge eine endliche Menge so wird durch Omega A B von Omega P mit viel von A ist die Anzahl der Elemente in einer durch ein Seil den Omega Eisen Teilmenge von Omega war der sogenannte Wahrscheinlichkeit Raum definiert dieser beschreibt ein Zufallsexperiment bei dem jedes der endlich vielen möglichen Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt 1. Möglichkeit einfachste Möglichkeit zur Definition eines Wahrscheinlichkeit Raumes 2. Möglichkeit dieses 1. und sind umfasst wenn sich dabei auf ländliche Menge zurückziehen wisst Omega gleich x 1 x 2 und so weiter abzählbar unendlich und PKK aus n eine Folge mit die Kassen zahlen zwischen 0 1 und weniger der zu mir und zu 1 auf eine sogenannte Zelldichte so wird euch eure Daten die von und mit AP mit P von Art ist die Summe aller bekannt wurde X liegt der sogenannte Wahrscheinlichkeit Frau mit sehr dichte DPK definiert und dann sehen Sie das Ganze kann ich analog zur endlichen Mengen machen beziehungsweise ich könnte die Pk gleich 0 setzen ab einem gewissen Index und Seele wenn Sie dann diese PKS alle gleich 1 durch die Anzahl der PKS nehmen die ungleich 0 sind dann kommen sie oben zum Abmarsche Wahrscheinlichkeit auf oder beim Beschreiben Sie das gleiche Zufallsexperiment ich hab ihn dann Beispiel dazu gemacht es was Beispiel 4 22 Bayern Umfrage werden in Personen rein zufällig ausgewählt wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass der relative Anteil der SPD unter den Befragten um nicht mehr als ein Prozent vom entsprechen Anteil wie in der gesamten Bevölkerung abweicht ich bin ein genialer Weise mit einem Beispiel stehen geblieben also kann ich alles noch mal machen wir machen folgende vereinfachende Annahmen zu beginnen der Anteil der SPD Wähler in der Bevölkerung ändert sich nach Auswahl eines Befragten nicht das ist dann plausibel wenn die Anzahl der Leute aus der die Befragten auswählen wenn sie groß ist wenn Sie dann ein ausnehmen und des nicht mehr weiter betrachten dann wird sich der Anteil der SPD-Wähler im Rest nicht groß verändern und wir gehen davon aus ändert sich gar nicht wir machen ein One-Modellen wir haben und damit einen coolen n ist die Anzahl der Wade groß ist die Anzahl der wahlberechtigten in der Bevölkerung davon seien groß einmal Pierrot das seien die SPD-Wähler groß Einmaleins 1 -minus Design glaubt ist ein die Wähler der anderen Parteien und bei der Umfrage werden jetzt wenn dieser Kugeln aus das heißt wir ziehen n Client von diesen groß en Kugel heraus und wollen dann wissen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass der Anteil der fragten oder wir gucken uns erst mal an wie groß die Wahrscheinlichkeit dass sie dabei genau K SPD-Wähler bekommen das heißt wie groß die Wahrscheinlichkeit dass genau klein K diese Kugeln rot sind eigentlich ist klar dass einziehen will ohne zurücklegen und naheliegenderweise mit das mit oder man kann es mit mit Betrachtung der Reihenfolge machen damit was sicher ist dass alle Elemente Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben also ziehen ohne Zurücklegen mit Bedacht in der Reihenfolge aber unter dieser vereinfachen da oben ist es so nachdem sie eine Kugel rausgezogen haben ändert sich einig die Anzahl der roten zu den blauen Kugeln das Verhältnis der Roten zum blauen Kugeln in der ohne nicht und deswegen kann nicht so tun als ob es ein ziehen mit zurücklegen und mit der Achtung der Reihenfolge ist :doppelpunkt war am Mittwoch noch unklar ne Ansicht nach ihren ziehen mit zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge Recht davon ausgeht nachdem ich eine Kugel ausgezogen hat dann hat sich dieser Anteil der roten und blauen Kugel gar nicht verändert man kann es auch genauso gut sie wieder zurücklegen und neu durchmischen und mit dem Ziel mit zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge wo die ganze Wahrscheinlichkeit zu berechnen einfacher nämlich die Wahrscheinlichkeit dass genau K SPD wieder unter den Befragten ist entspricht dann in diesem und dem Modell der Wahrscheinlichkeit dass genau Client K K rote Kugeln dabei sind und das kann ich jetzt gleich mit an sei günstiger Fälle durch Anzahl möglicher Fälle Anzahl günstige Fälle ich ziehe aus groß en Kugeln klein mit zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge habe ich groß hoch kleinen viele Möglichkeiten Anzahl der günstigen falle ich sie einerseits aus diesen mal groß einmal P wurden Kugeln Stück
raus will für die Auswahl dieser Kugeln gibt es sei diese Kugel also einmal P Hochkar viele Möglichkeiten aus den verbleibenden N -minus innerhalb wie Kugeln sich -minus K oben raus er einzahlt Möglichkeiten dafür ist n -minus ändert die hoch in den klar und dann habe ich für die Anordnung dieser Kugel hab ich noch n über k viele Möglichkeiten weil ich hab n Position wo ich die Kugeln in tun kann und will davon wenig K Stück aus für die roten Kugeln das gibt bei beim diese Positionen werden ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen ausgewählt es geht n über k Möglichkeiten wenn sie's ausrechnen kommen Sie und umformen kommen
sie aus allen hochkam IP Hochkar bei 1 -minus PON des K ok haben Sie so weit Fragen gut dann würd ich an der Stelle weiter machen und versuchen es vorläufig dann zu machen und weiter versuchen es wollen fitter zu machen und das vor wesentlich erfolgreicher machen und das war schon ok gut wenn man meine unmittelbar weiter wenn es hier tun das Jahr Anzahl der SPD-Wähler unter den Befragten kleine gleich vom relativen Anteil P in der Gesamtbevölkerung und weniger als wäre 0 Komma 0 1 abweicht ich guck mir an die Bedingungen K durch n ist ja der Anzahl der SPD und den Befragten wenig K SPD-Wähler hat -minus P anders betragsmäßig kleiner gleich 0 Komma 0 1 ist und wegen kann ich N -minus B klar gleich mit und betrat aber gleich 0 Komma 0 1 können Sie auflösen also minus 0 Komma 0 1 kleiner gleich die Zahl kleiner gleich 0 Komma 0 1 wurde daraus ich möcht's auslösen in welchem Bereich K was ich machen Umformens für K ungleiche für K durch nur die Bezieher mit einem durch und dir beide Seiten mit einmal P dann steht da Inhalt des minus 0 Komma 0 1 kleiner gleich K +plus 0 , 0 1 ja wegen den ganzen gilt oder geht die gesuchte Wahrscheinlichkeit =ist gleich ja dass die Wahrscheinlichkeit P das LKA von 0 bis N auftaucht viele Fragen muss man 0 Komma 0 1 nicht mit einem Male beziehen vollständig richtig wenn ich schon durch Mode mit Ziele sollte richtig durch und beziehen danke schön also K aus Müll bis Ende so dass diese Bedingung gilt ich sage die Wahrscheinlichkeit von der Menge her ich bin Wahrscheinlichkeit Raum ist die Summe der einst Wahrscheinlichkeiten das heißt ich ihre über alle solchen K ist die Wahrscheinlichkeit von genau K .punkt als ich will die Summe über K aus nur bis Ende alle diejenigen Kaste die obige Bedingung erfüllen und dann die Wahrscheinlichkeit von kam bestimmt das war n über k mal PUK mal 1 einziges PON ist aber wir können es ganz normal abschreiben und sie kommen auf die diese Wahrscheinlichkeit wenn Sie saß ankucken was verdienen
daran auf oder was ist hier ein bemerkenswert wir sehen Sie irgendwas was eine bemerkenswert ist was man intuitiv nicht unbedingt erwarten würde also des Wahrscheinlichkeit ausgerechnet dass der Anteil der SPD Wähler bei unserm Befragten um weniger als ein Prozent vom ein Teil der Gesamtbevölkerung abweicht rein zufällige Auswahl und wir haben diesen Wert herausbekommen alles irgendwie mehr Wahrscheinlichkeit dass uns Umfrage eigentlich genau ist bis zu 1 Prozent denn an irgendwas auf am Ergebnis sie ist unabhängig davon wie viele unten unter wie vielen Personen groß en wie diese Umfrage überhaupt machen es heißt in einer Wahlumfrage in einem sehr großen Staat machen dann brauchen wir nicht unbedingt mehr Befragte damit die genau wird als eine Wahlumfragen ein Kleinstaat können Sie mir sagen wann sie erhängt es gilt nur wenn die Anzahl groß genug wir nur genug ist damit wir das mit zu als mit zurücklegen modellieren können das ist richtig das liegt daran weil wir gesagt haben nach Auswahl einer Person ändert sich der Anteil der relativen befragten wäre der SPD und den relativ Befragten nicht aber Sie können sich vorstellen ob sie jetzt ohne Umfrage in nur einem Bundesland vielleicht mit 5 Millionen oder 1 Million Wahlberechtigten durchmachen oder in der ganzen Bundesrepublik Deutschland das wird beides mal eine stimmen und dann sehen Sie das hängt eben nicht von der Anzahl groß in der Befragten ab das sei das eigentliche faszinierende für dich also Bemerkung Wahrscheinlichkeit hängt nicht von großen ab der 2. sehen vielleicht auch n so richtig zufrieden stellendes Ergebnis hat sein ich gerade nicht mehr weil ich kann zwar sagen werde wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass dieser Anzahl und das diese relative Anzahl der SPD will unter den Befragten vom waren Anzahl um nicht mehr als ein Prozent abhängt das hab ich ausgerechnet aber die Handhelds von den ein Teil der SPD-Wähler in der Bevölkerung ab denn ich habe der Umfrage gerade ermitteln aber das ist natürlich ein bisschen unschön dran aber es könnte sagen okay Sie wissen ungefähr der Anteil der SPD-Wähler sie können Sie wissen vielleicht nicht genau was es ist aber Sie können mir gewiss Intervall angeben es wird irgendwas sein größer als 0 Komma 2 und vielleicht kleiner als 0 Komma 6 sich immer sicher und könnten Sie das Maximum über alle P solche es ausrechnen und dann hätten Sie eine zwar und obere Schranke für diese Wahrscheinlichkeit die nicht mehr vom Anteil der SPD wieder abhängt und können sich das nächstes überlegen wie groß muss jetzt mein in sein damit diese Wahrscheinlichkeit Kleinod beziehungsweise Grußworte alles damit diese Wahrscheinlichkeit groß ist so muss ich sagen sehr groß werden soll ich und das dann immer von den Kindern der Richtung Statistik das Leben wäre ja in dem Fall die könnten so sich überlegen wie viel Personen muss sich befragen damit Umfragen Aubert wenn ich die Person rein zufällig aus ok Fragen so weit keine Fragen dann dass es auskommt als Wahrscheinlichkeit für die 1. tätig der sogenannten Binomialverteilung ein es geht die Definition der 23 sei ein Element 1 und P 1 0 1 das gemäß Satz 4 20 durch er gleich und 1 0 und die Zelldichte BNP K K aus n 0 mit Beeren K ist eben dieses n
über k mmert Newcomer 1 -minus -minus gar für K klare gleich den Müll sonst festgelegte Wahrscheinlichkeit Maß heißt Binomialverteilung mit Parametern in die also das gemäß Satz für 20 durch omega gleich 1 0 und deren Pk also meine Folge von Wahrscheinlichkeiten bezeichnet jetzt wer mit B also Kate Element ist des wenn Pk Reißaus R 0 festgelegte wie auch so ist dazu zu
schreiben mit deren bekannt ist eben n über k mmert 1 -minus to ren dieses K 0 für K größer n festgelegte Wahrscheinlichkeit Maß heißt Binomialverteilung mit Barmittel in die also das gemäß Satz 4 20 durch omega gleicht der 0 und deren Pk Kreis aus 1 0 also been Pk ist die Wahrscheinlichkeit von Zahl K dies gegeben durch n über k mmert Newcomer 1 -minus Priorin -minus K für 0 kleiner gleich kalt aber gleich n 0 circa Größe einen festgelegte Wahrscheinlichkeit Maß heißt Binomialverteilung mit Parameter die es ein bisschen komisch dass es ausgerechnet diesen Namen hat insbesondere was es Verteilung heißt muss doch Wahrscheinlichkeit Maß ist das kommt später noch in circa 2 nächste übernächste Woche welchen eine vorstellen was eine so genannte Verteilung ist und diese Verteilung wird ein Synonym für wahrscheinlich mehr der Nationen für Wahrscheinlichkeit Maße verbinden deswegen verwenden wir die ganzen Begriffe Verteilung ok waren so weit ja ich hab ne Frage was war die Voraussetzungen Satz 4 20 wissen das noch wenn ich Satz für 20 Anwender sollte auf der Voraussetzung erfüllt sein und stellt sich die Frage ist die Voraussetzung erfüllt bzw. was muss denn für diese tätigte gelten damit wird des sie haben es gesteckt was muss Internet-Delikte gelten damit hinfällig ist oder was ist eine dichtet ok es muss gelten dass die einzelnen Folgen wieder zwischen 0 1 liegen und dass die Summe aller Folgen wieder gleich 1 ist das heißt wenn sich überlegen die Folgenglieder sind alle größer gleich 0 ist und es einst dann habe die 3. Bedingung einig Geschenk dass sie kleiner gleich ein sind das heißt ich rauche nicht mehr Aktivität und ich war auch zu mir zu 1 nicht Negativität ist klar sich die Frage warum es zu 1 firmiert das sehen sie aber auch wie folgt Bemerkungen wegen folgt aus dem binomischen Lehrsatz wenn sie sich überlegen 1 kann ich schreiben als 1 -minus oder P +plus 1 -minus B also 1 =ist gleich P +plus 1 -minus P und da ist natürlich auch 1 zu 1 das heißt 1 =ist gleich P +plus 1 -minus B vom Ende März kann ich diese Formel mit den binomischen Lehrsatz umschreiben das ist dann die Summe von K gleich 0 ist n n über k 1. Summand Hochkar 2. Summand wo man in gab die neben den
liegt die Definition der 23 oder ist per EC-Karte Gedichte ok als nächstes möchte ich Ihnen eine Approximation dieser Zelldichte durch ne andere Zelldichte vorstellen der approximieren die sogenannte Binomialverteilung durch die sogenannte Post auf Verteilung wenn sich die Zelldichte angucken dieses n über k mmert Newcomer 1 1 p 1 gab dann können sich vorstellen wenn eben sehr groß ist dann ist dieser Binomial kompetent eine sehr schwierig auszurechnen auch numerische Domian Taschenrechner es wird und schön in dem Fall aber wenn n großes sind die Kleinen können Sie das Ding approximieren brechen andern Ausdruck und das macht das Lemma besagt das Lemma hier 24 wenn man 4 24 sagt PIN aus 0 1 mit NAT hingegen langsamer wobei ich weiß besser auf die Tafel war für den Beweis der schöne mehr besonders breite Tafel hatte also ich schreib mir hier drauf wir 24 Lämmer für PS aus 0 1 mit Energien gegen Lander gilt für jedes Paar aus 1 0 die Aussage n über k mal p noch Kabel 1 -minus hier noch einiges konservierte eingeben endlich gegen Land auch gerade Strafakte -minus Land weil sie einen K fest lassen dann gegen endlich gehen gleichzeitig geht es die gegen 0 dann konnte geht der ganze Ausdruck und den Ball und zwar so dass mal gegen die konstante konvergiert und von der gedeckte ganz ausdrücklich diese Konstante hochgradig wird mal offenes Land auf Beweis ist elementarer alles ist machen wir schnell wir überlegen und seit 1. wenn einmal mehr Land der jetzt muss gehen gegen 0 konvergieren warum Na ja ich überleg mir PIN kann wieder schreiben als wenn bei vielen geteilt durch ein wenn man Landtag konvergiert konservierte Zähler gegen die Konstante der Nenner gegen endlich Mehr der Patient gegen 0 n weiter überlegen wir uns das ausreicht um vom wollen dieses n über k mmert Kino kann man als spielen ein gab ich schreib dem Binomialkoeffizienten ausführlichen
das ist einmal ein Minus 1 und so weiter bis in des Kabels 1 durch katapultiert den Rest schreib ich einfach ab und jetzt dieses verbietet es schon ganz gut es tauchte auch einen Grenzwert auf den wir haben wollen das heißt es lassen beistehen diese K Faktoren N N -minus 1 bis Ende des Cafes 1 multipliziert ich indes gehen Hochkar 1 das heißt auch dieses gehen hoch Karten der K Faktoren mit PIN das heißt ich bin erst einmal PIN 1 -minus 1 werden und so weiter bis Ende des Kabels einstmals werden dann dieses ab 1 -minus P 1 hoch n -minus K nicht sie erst mal das Einmaleins -minus PIN -minus kann nach vorne und dann bleibt noch ein einziges wäre nur 1 übrig weshalb das 1 -minus P mal ab und des hoch Ende schreibe ich um als hoch PIN mal n geteilt durch P 1 wäre dann wird sich aus aber B weil sie es auch b hoch c das heißt ich mache sie erst hoch 1 durchqueren und dann mach ich noch hoch in mein Leben ok und wenn sie so weit sind sind Sie eigentlich fertig für den Beweis jetzt müssen sie nur die 1 sind aber noch scharf angucken fragen so weit keine Fragen es gebe die einzelnen Terme durch und für jeden einzeln gegen was Kollege der 1. Frage als einziger Vertreter bestehen n mal deren konvergiert gegen Namen da wissen Sie denn alle Voraussetzungen ende des 1 konvergiert gegen Vorschlag auch gegen andere warum genau korrigiert ist eigentlich gleich einmal PIN -minus werden aber wenn es eine neue Folge also konnte wird genauso gegen der laggt Gegend den gleichen Grenze wie immer gehen also gegen Abend auch alles ist gleich einmal sehen -minus PIN und konvergiert gegen Land -minus 0 für im Blick durch man sehen Sie genauso dieses Ende des Kabels 1 Mark werden konnte es eben wenn mal PIN -minus -minus 1 mal der Faktor kann aber der Term kamen das 1 markieren konnte Gateway wieder gegen 0 des Index werden gegen da geht also gegen genauso gegen andere ok dann sehen Sie der ganze 1. um denn wir wir haben da haben Sie K Faktoren jeder einzelne konvergiert gegen Landrat dessen endlich das Produkt von Kollege dieses eigentliche Produkt gegen Land auch klar und sie sehen wir
haben schon das Land auch gar durch Garbage getätigt jetzt wo mir noch das ich ab was halten Sie von 1 -minus Pilot -minus gab konvergiert gehen konnte gegen 1 13. gegen 0 geht es ja 1 durch ein spielen Hochkar gehen geht gegen 0 also 1 -minus spielen wäre geht gegen 1 1 7 Spielen hochgradig auch gegen 1 1 durch 1 ist uneins dann sehen Sie da oben der Exponent den ich hier habe sie einmal klären den kann ich auch der Kunde geht auch gegen andere jetzt wissen Sie wenn Sie ein Hochbeet haben werden konnte gegeben haben da oder Bärenhunde geht gegen B 1 kombiniert gegen dann konvergiert am notwendigen gegen aber wie das heißt was letztenendes noch brauchen ist wir müssen das untersuchen 1 -minus werden hoch 1 durchqueren für eingeben endlich soll das Ganze gegen e hoch minus 1 konvergieren und dessen fertig ok überlegen und das also gucken und das 1 -minus 1 Buch 1 durchqueren an ja das ist gleich E Exfreund Funktion von dem Logarithmus dieses Ausdrucks das heißt es ist die Exponentialfunktion angewandt auf Log von diesem Ausdruck Rechenregeln für log log und auch B ist wie immer log und der also 1 durch PIN mal will fehlen von 1 7 spielen und dann sehen Sie aber wissen Sie die etwa 1 Jahr Funktion ist eine stetige Funktion wenn ich jetzt wüsste das Argument konnte geht gegen das 1 dann würde er hoch dieses Argument gegen die hoch minus 1 konvergieren und wir werden wieder fertig das heißt wir gucken uns das Argument an brachte das eingeben endlich das der allen von 1 -minus WM getadelt gehen mehr wissen gehen konvergiert gegen 0 ich ich setze mal voraus dass der Limes für x gegen 0 von 1 -minus x durch einen von 1 für x Felix existiert dann wäre es gerade dieser Limes das heißt die Kinder lieben es nix gegen raus von allen von 1 X durchwegs oder 2. Frage wie ich nicht diese jenes und ich möchte zeigen wir ist wie es einst sind fertig ableiten gegen die richtige Richtung was genau meinen Sie damit sie meinetwegen von denen bezahlt das heißt wir haben ihren Ausdruck ja eine Funktion durch die 2. Funktion für x gegen 0 geht die 1. Funktion gegen Logarithmus von einst das der 0 die 2. Funktion geht genauso gegen 0 das heißt wir haben den Fall wo 0 durch 0 steht die Funktion sind die differenzierbar dann gibts ne Rechenregel für solche wenn es werde ist die Rede von der Lobetal wenn noch nicht haben kommt noch ändern alles ist er die besagt in dem Fall können Sie Zähler und Nenner ableiten und wenn dann der Grenzwert der Ableitung existiert existiert auch der ursprüngliche Grenzwerten stimmt mit diesen Grenzwert überein das heißt in dem die sogenannte Regel von der ,komma offen ist x gegen 0 das Erste abgeleitet von 1 7 6 wer gibt wenn Sie Ziele ableiten kommen sie auf Ableitung ist 1 durch einzelne 6 ohne der Vorschlag man jedes einzelne Ableitung also die Kettensäge Seitengassen log Art gibt durch das Argument mal die innere Ableitung gibt -minus 1 das X abgeleitete gibt 1 und dann sehen Sie jetzt können Sie den Ausdruck den Kanzler wegen der Grenzwert der aus kommt es einfach der Wert denn sie bekommen sie x gleich 0 einsetzen also -minus 1 mit dem und dem Volk Behauptung also wenn sie nur durch den das ganze vordere Teil des gegen Land auch gar durch K Fakultät dennoch noch gegen 1 das ging gegen die -minus 1 wechseln gegen Landtag geht den EU-Ministern dar das heißt es kommt der gewünschte Grenzwerte aus fragen so fragen 2. ok ich habe auch keine Fragen dann nochmal 5 Minuten Pause sind aufmischen und ich mach dann um 10 Uhr 38 weiter wir hatten gerade als Grenzwert bei der von der zierliche der Binomialverteilung für den großen wie kleinen die Werte Landau kann ich dafür gewählt Mario Wislander wäre das natürlich werde größer gleich 0 zu mir noch zu 1 auf damit das Ganze auch eine dichte also wegen das Ganze ist größer gleich 0 und wenn sie so mal drüber bilden Rhein-Neckar gleich müssen endlich dann können Sie den Faktor EU-Ministern ausklammern dann bleibt noch die Reihe gar gleich 0 bis unendlich Ladenlokal gar durchgearbeitet übrig und da wissen Sie aus dann alles ist EOX ist die Reihe x sogar durch gar verwirklicht ich sogleich Exokarp ich dafür gewählt das heißt da kommt gerade Jugend aus das heißt insgesamt begibt sich 1 wegen gehen ist die Folge der Grenzwerte ihnen mal 4 24 1 Dichte ist die Folge der Grenzwerte Lämmer 4 24 Ärztedichte und diese
zierliche und zugehörige Wahrscheinlichkeit Maß heißt war Frau Verteilung es Definition 4 25 Salander größer 0 das gemäß Satz 4 20 durch oder gar gleich 1 0 die Zelldichte wie verloren da ,komma K Gleichklang noch gar durch Gaffer wieder Mario EU-Ministern da festgelegte Wahrscheinlichkeit Marshalls Ressortverteilung Parameter landen ich schreib ein bisschen kürzer denn das durch die sehr dichte die Fernanda ;strichpunkt H gleich dadurch K Fakultät festgelegte heißt wo Ressortverteilung Ressortverteilung damit der Landtag ok ,komma zur letzten Art
und Weise Wahrscheinlichkeit Maße zu konstruieren und das sind sogenannte Wahrscheinlichkeit Maße mit Dichte wie in Abschnitt 4 7 ein CIO in diesem Abschnitt ist die Gründe überabzählbar zum Beispiel Omega gleich an hierbei ist dann das was wir bisher gemacht
haben was er bisher gemacht haben war ich hab gesagt die Wahrscheinlichkeit für eine Menge ist die Summe über alle mental Ereignisse die in der Menge drin sind die Wahrscheinlichkeiten von elementarer Ereignissen die ne Menge drin sind also die von A =ist gleich die Summe über Umwege Eigenart Efeu von Mehr eine Omega das ist nicht sinnvoll da haben Sie Vorschlag oder sehen Sie um Problem wenn ich das so einsetzen würde wenn Sie warum das problematisch ist die Summe nicht definiert wird überabzählbar ist also erstens so mögen überabzählbar viele Elemente ist nicht definiert wenn Sie überlegt haben so viel wirft wie somalischen Mathematik einführen unendliches um dann machen sie eben als Grenzwerte verfolgen und die Folgen sind notwendigerweise absehbar sonst aber ändern .punkt also ein .punkt zum über überabzählbar viele Elemente nicht definiert es gibt noch in weiteren wenn ich es kann sein dass diese ganzen elementare Ereignis aller Wahrscheinlichkeit 0 haben das haben sie mal gesehen in dem ein Beispiel Zylinderzahl rein zufällig aussenden dabei raus jeder einzelne Bereich 3. mit der Wahrscheinlichkeit auf proportional zu seiner Länge und die Wahrscheinlichkeit dass ein fester Punkt auf der trat die Konsole um beschränken durch die Wahrscheinlichkeit von beliebig kleinen dabei darum und die wir deswegen gleich 0 also essen weil es die von Omega gleich 0 für alle umgebracht und das war Beispiel vergleiche Beispiel was wir stattdessen jetzt machen wir approximieren diese Summe durch ein Integral das heißt entstellte summieren integrieren wir die zu mir über die Menge A integrieren über die Mehr also stattdessen approximieren sowohl durch Integral es gibt einen Satz 4 26 Satz 26 ist er von er war er eine Funktion mit f von x größer gleich 0 und in die gerade bei Phoenix Text gleich 1 sogenannte Dichter hatten wir schon kennen gelernt sowohl durch oder gar AP mit Omega gleich er aber gleich B und die von den gleichen die gerade stehen der nächste 1 scheinlichkeit Raum definiert Ersatz für 26 ist es von erlag er Funktion mit der Phoenix größer gleich 0 Felix er und in die gerade bei Phoenix Text leicht 1 das ist gleich um 4 2 so wurde ich auch wieder abgeben zur durch und wieder abnehmen mit Omega ist sind die realen Zahlen also Omega ist das ganze Jahr ist über welches Signal geht auf er und das definieren wir als die von ist das Integral über der von XTX integriert über die Menge A für alle B eine Wahrscheinlichkeit von definiert also dass es wäre eine Funktion mit f x Exkurse gleich 0 für alle x aus er und in die gerade bei Phoenix die x =ist gleich 1 zu durch Omega nämlich egal was er aber gleich B und P von heißt es gerade bei AFN XTX eine scheinlichkeit Raum befindet das heißt Wahrscheinlichkeiten wäre ich nicht hier in dem ich diese Funktion f die sogenannte dichtes Wahrscheinlichkeit Raums er wahrscheinlich Fördermenge Bereich nicht hier nämlich die Funktion f die sogenannte dichtes Wahrscheinlichkeit über die diese Menge integriere also wie an Kubas ist der Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse im Bereich dieser Menge das ist man wahrscheinlich auf ok ich hat im Prinzip werden müsste hier ein bisschen also werden es gleich beweisen wir ich scherze in der entscheidenden Stelle beweisen bisschen Schummeln beziehungsweise Mischungen sonnig Datensatz nehmen denn sie nicht unbedingt alle kennen mehr und ich verwende hier einig auch Integral Begriff den Sie momentan noch gar nicht kennen also was hier steht oder zum Teil zumindest nicht kennen was hier steht ist nicht das klassische Riemann Integral ist das sogenannte Siebeck Integral und sie brauchen auch hier eine gewisse Voraussetzungen damit diese Funktion ab überhaupt integrierbar ist damit sie dieses Integral überhaupt hin schreiben können das sogenannte Messbarkeit was sie brauchen auch das lassen denn der Vorlesungen Tisch fallen diese sprechen Integral der sich in 3 Wochen sogar genau einführen weil das kommt noch also momentan glauben Sie es mir einfach mal dass der Sohn Integral sinnvoll definieren kann nur das es vorgibt ok Fragen so weit gute waren beweist mir geht es eigentlich klar
wir nehmen nehmen unser Lämmer glaub es war 4 14 müssen wie immer 3 Eigenschaften zeigen 1. die Wahrscheinlichkeiten sind größer gleich 1 2. die Wahrscheinlichkeit von gesamt Raum =ist gleich 1 und 3. dieses P und diese Wahrscheinlichkeit Maß oder was wir da als Wahrscheinlichkeit Maß eingeführt haben ist sieht die also wie sie zu den 1. beiden Bedingungen aus warum sind die Wahrscheinlichkeiten größer gleich 0 und warum es geht von der Gleichheit auf Herr von 1. 1 nach Voraussetzungen steht hier und weil er von x größer gleich 0 ist für alle x ist diesen gerade auch große fehlten das heißt wenn 4 2 gilt wir von gleich Integral war größer gleich 0 und Peter Mehr gleich in die gerade über ganz ereifern XTX gleich 1 als nach über 4 14 genügt es zu zeigen sind A 1 A 2 und so weit aus B paarweise disjunkt dann ist viel von dieser Vereinigung der is die Summe über alle Yvonne C ein 10. A 1 A 2 und so weiter aus B paarweise disjunkt dann angeht Herr von Vereinigung die gleich 1 bis unendlich e ist Leichen in dieser Reihe die von der wie von AI und dem wollt ich die Nummer 4 auf 4 und dann soll sich auch eine Nummer 4 3 haben wir nicht nur für viel Geld hat mir von Schule dafür auch nur sie 1 hatten durch das hatten wir mal also die Beziehung ihres 4 3 und die wird sich nur dann für 4 ok kommt muss mal genauer an wir waren vielleicht man also schreibe meine rechte linke Seite hin ich war mit der rechten Seite von 4 4 an vor und ich jetzt einfach mal die Definition ein dann bleibt die Reihe stehen dann sehen Sie dass ist die unendliche Reihe die gleich 1 bis unendlich Integrale war er für nächste Text Gua als wo er die CIA gleich 1 endlich Integral über einer von X und ich schreibe noch dieses Integral über die Menge um als würde mit jeweils Integral über ganz erhaben Integral über ganz er der x-mal Indikatorfunktion von der Menge das heißt das da ist das Gleiche wie in dem ich einig über ganz in die Quere aber anstelle von F von nix ja setze in bekannten neben außerhalb von der Menge am gleich 0 dann gucken wir uns die linke Seite von 4 4 an da habe ich denn von dieser unendlichen Vereinigung das heißt ich komme das Integral über diese unendliche Vereinigungen ich mach das Gleiche wie gerade eben dazu außer sie sind die gerade über eine Menge ist eben Integral über ganz eher integriert über die Funktion mal Funktion der Menge dann überlege ich mir diese Indikatorfunktion von dieser Menge ist entweder 0 oder 1 sie is A 1 genau dann wenn das Argument in dieser unendlichen Vereinigung das heißt wenn dieses Element in einer der Mengen drin liegt da die Mengen nach Vorrausetzung paarweise disjunkt sind wird sah und höchstens eine dieser Mengen drin und ich kann diese Indikatorfunktion darstellen als Summe aller Indikatorfunktion von allen einzeln Mengen dann kommen sie auf in bei er er von X mal weil die Gleis 1 bis unendlich Karte Funktionen der einzelnen Mengen also überlegen sich ist die Indikatorfunktion hier links unten gleich 1 dann ist das nichts in genau einer dieser Mengen drin dann ist genau einer dieser so meinten gleich 1 alle andern sind 0 das heißt diese ländliche Reihe ist auch 1 umgekehrt ist diese Indikatorfunktion hier unten gleich 0 dann sind eher dann ist X in keinem der drin das heißt die Seele Karte Funktion die Sie hier auf aufaddieren sind alle gleich 0 es kommt genau so nur noch aus als sie Gleichheit stimmt auf betonte er Felix noch ist einen ziehen und es kommt das Integral über die unendliche Summe die gleich 1 wissen endlich eher von x mal 1 Ei Felix Text heraus ja jetzt sehen Sie die behaupten es eigentlich Wallis 4 4 besagt eigentlich mehr was sie an dieser
Stelle das Integral mit der unendlichen Reihe vertauschen offen weil die eigentliche Frage ist wissen wir oben woher oder könnte um die argumentieren dass wir so ein Integral mit so einer unendlichen Summe vertauschen können vielleicht für diejenigen aus den von ihnen aus dem 4. Semester wenn Sie und entsprechenden Satz der ihnen glaubt Integrale mit zum zu vertauschen sie keinen Satz von der Pole W monotone Konvergenz und doch sehr genau der richtige Satz das heißt was sie ja also was ich jetzt die anwenden ist der Satz von der wohl Satz 1 Monat und Konvergenz in der sogenannten freien Formen der besagt wenn sie nicht negative Funktion haben dann ist diese Beziehung bei Lübeck integralen immer gültig also sind die größer gleich 0 gilt nach dem Satz von der Monat nach dem so genannten Satz von 9 Monate und kann nirgends mehr rein vom das sind ja gerade weil er mir freilich gleich 1 endlich G von X ist immer gleich denn Integrale der Reihe der Integral über einer von dir von nix Felix und damit haben Sinn die Behauptung sie sehen vielleicht auch wenn Sie es genauer angucken es geht hier eigentlich nicht darum eine ganze Reihe zu vertauschen diese Reihe ist ja der Grenzwert der partial zum Folgen es geht eigentlich nur darum dass sie den Limes ausziehen können diese endliche Summe können Sie über dem Integral vertauschen das ist kein Problem und das sah ich die Aussage von dem Satz von der monotonen Konvergenz wenn diese entsprechende Funktion folge hier vorliegt .punkt Weise monoton konvergent konvergiert das heißt für jeden einzeln .punkt werden die Funktion immer größer und konvergieren gegen einen festen Wert bei jedem einzeln .punkt dann doch Sie diesen die das rausziehen sie eine Frage der Nachbarin alle Fragen während eine Frage oder ja oder sie bewunderte die Schönheit meiner Schrift es gibt Redaktion München aber das trifft ja es auch immer wieder schöne Nacht hat wird ok ich weiß ja nicht was sie da wundern aber ok wird Fragen so weit gut das war der Satz das geht dann Definition 4 27 die Funktion f von er in den Satz hier 26 heißt Dichte von den dem Satz für 26 der 27 Definition die Funktion von erlag er mit diesen beiden Eigenschaften der Phoenix ist größer gleich 0 und in bei iPhone Text leicht 1 heißt Dichte bezüglich des jeder bereiten was ist von dem die Wahrscheinlichkeit Maßen Satz für 26 also bezüglich des so genannten der Bäckerei Maßes kürzlich ab mit LG was ist das Wahrscheinlichkeit Maßen Satz für 26 alle Daten dazu bei den Satz wieder 26 gilt immer die Wahrscheinlichkeit von einer Einfuhrmenge ist immer gleich 0 Bemerkung ist wie das zu einer Dichte f gehörende Wahrscheinlichkeit Maß zu blöd für jedes x er Wahrscheinlichkeit für eine Domäne x =ist gleich 0 ist wie das zu einer Dichte f gehörende des Maß sie wird so für jedes x als er die von der Domäne nur bestehend aus der x =ist gleich 0 das heißt alle Einkommen haben wäre Wahrscheinlichkeit 0 mehr anschaulichen Prinzip klar wenn sich überlegen Sanierung oder Gedichte sie interessieren sich für die Wahrscheinlichkeit von Drogen Intervall wo bekommen wieder zeichnen diese Wahrscheinlichkeit also wenn Sie jetzt die Wahrscheinlichkeit das die Dichte was sie da sehen weil wir so aus ich hab hier sorgen in der Wahl ich möchte Wahrscheinlichkeit von diesem Intervall bei diesen Wahrscheinlichkeit Maß wissen wofür nicht in der Dichte ist das ist der Fläche und zwar die Fläche zwischen der x-Achse der Unterfunktionen diesen Bereich das heißt es für die entsprechende Wahrscheinlichkeit dann sehen Sie wenn Sie jetzt ein .punkt aus dann wollen sie welche nur zwischen dem .punkt oder funktionieren konnte diese Fläche hat Flächeninhalt 0 sehen Sie wie folgt ein Herr Fallex es sicherlich leider gleich als wenn ich ein kleines nehmen von X nach Comics nach wie vor ist nach links geht und Nation nach rechts gehen dann nach Definition von der Dichte hätten sie in dem Fall das Integral Felix Nina selbst hören es X +plus Epsilon über die Dichte und sie sehen wir es sofort wenn sie an diese Dichte wäre scheint in einer Umgebung von x dann den selbst ein klein genug macht es ganz was der Integrationsbereich beschränkt das heißt Integral maximal diese maximale Integrationsbereich Male mehr Intervall länger denn der Wahlen ist 2 Epsilon Apps wenn sie in der Wanne gegen 0 gehen lassen die das Ganze gegen 0 wenn sie formal sehen wollen können Sie so umschreiben
als Integral über ganz R über von mal Indikatorfunktion von vom offenen Intervall Felix -minus Epsilon bis nächstes Epsilon von O wo dann schreiben Sie mal nicht ab können Sie sowieso kaum lesen also formal hätten sie in sie gerade weil er eine von mal ne Karte Funktion von x lieber selbst besiegst du selbst von die diese diesen in die Granden denn sie gaben wäre er mal in die Karte Funktion von Excel selbst und das nächste selbst von wenn Sie da Epson gegen 0 gehen lassen dann konvergiert der eine für jeden einzelnen Punkt gleich nichts gegen 0 wenn es klein genug ist und sie haben ein .punkt ungleich legst dann sind sie irgendwo in dem Bereich wo die Indikatorfunktion hier gleich 0 ist das heißt den die Grand korrigiert ihn einig .punkt Weise gegen 0 bis auf eine einzige Stelle wenn mich eher für gleich X der integralen betragsmäßig Fisch beschränkt durch den Betrag der Funktion f oder durch f es integrierbar und können Sie mit dem so genannten Satz von der meine ist Konvergenz schließen dass die folge der Integrale oder folge gerade gegen das Integral über die ganz Funktion und begehrt was identischen oder was der ok also fragen so sobald dann wären wir für heute fertig und sehen uns am Mittwoch