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Einführung in die Stochastik: Varianz

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Prochnow ohne Mühen muss ich ja nur wenn
ich ok am Rursee eifrig zur Einführung in die vollen Lohn sein für uns hastig ich werde ganz gern ein Programm hier Kurs zur er ankündigen den wir im Rahmen der statistischen Beratung haben machen der Welt in den Semesterferien stattfänden haben vielleicht soll ich erst mal sagen was er überhaupt ist 1. Programmiersprache mit statistischen Schwerpunkt das heißt man kann damit einerseits programmieren andererseits aber auch Daten auswerten destruktiv Statistik machen Histogramme anzeigen und so weiter oder Signifikanz Tests durchführen Konfidenzintervall berechnen und solche Sachen haben er es auch uns so was das heißt es ist kostenlos basiert auf der Programmiersprache 1. bzw. heute S Plus haben es los wird in vielen Unternehmen haben verwendet zum Beispiel vom Deutschen Krebsforschungszentrum in Heidelberg das heißt wenn ER programmieren kann es dann kann dir auch 1. programmieren und er benötigt auch bei vielen Bettler oder Masterarbeit gut
der Kurswert circa 20 Stunden in Anspruch nehmen wahrscheinlich sind es 5 mal 4 Vormittage oder 5 4 Nachmittage das da wär ich flexibel als könnten noch absprechen haben das ist meine Anfängern kurz das heißt es werden keine Vorkenntnisse benötigt und wenn sie an dem Kurs teilnehmen möchten dann können Sie sich einfach über das an ein Formular auf der Homepage für die statistische Beratung anmelden vielleicht erst mal kurz wer hat ein
Interesse an diesem Kurs teilzunehmen 2 5 gezählt ne für die die sich eben gemeldet haben welcher Termin von den 3 die
da stehen würde denn am besten passen also der 1. Termin 25. wird bis 29. 7. ist die 2. Woche in der vorlesungsfreien Zeit bevor ihr alle Klausuren schreibt und dann den 2. Termin des 19. 9. das 23. 9. und der letzte ist die letzte Woche in der vorlesungsfreien Zeit erst dann für den 1. Termin keine für den 2. 4 11 in jeweils Affen Meldung dann sind 5 4 oder 5 5 und wer für den letzten Termin 5 6 7 sehen 10 aber mehr als sich gemeldet haben also seine letzten Jahre gehen der letzten haben ja wie gesagt es wird
noch lange nicht um auf der Haut gehen und dann Winter einfach anmelden weil das Online-Formular danke vor und ist es hat an also Frage war gerade am Anmeldeschluss der gibt es genügend Plätze müssen Sie keine Angst haben es gibt keine Anmeldeschluss in dem Sinne also wir ebenso sehr erst kommen kommt und es aber momentan warne hier keine 24 Interessenten ok nur erreicht hat sich zur heutigen Vorlesung eintönig Stars Nick ich hab ne vor Umfrage ausgeteilt ich wollte diesmal der komplett Erhebung machen wir noch keine Umfrage Exemplar hat können sich vielleicht nach einer Pause von 1 nehmen es liegt noch er 1 davon denn ich wollte Ihnen eine eine
komplett Erhebungen machen wegen der 2. Frage auf die Umfrage also ich Frage 1. ob sie im Wintersemester voraussichtlich an der Wahrscheinlichkeitstheorie Vorlesung teilnehmen wollen ja oder nein und dann haben wir 2 Möglichkeiten wir können diese Vorlesung also ich werde sie voraussichtlich halten auf Deutsch halten oder auf Englisch halten Hintergrund werde ist das wir integrierte Studiengang haben deswegen Teil der Lehrveranstaltungen auf Englisch anbieten das soll ihn der möglichen eben schon mal neben der Mathematik gleich ein bisschen Englisch mit zu lernen und die entsprechenden Fachbegriffe mit zu lernen es hat natürlich nur eingeschränkten Nutzen wenn sowie bei mir dann jemand vorne steht der eben nicht Muttersprache es aber gut die Grundbegriffe bekommt man trotzdem mit auf Englisch es hat natürlich auch in großen Nachteil des legen und es hat Nachteile deswegen frag ich den Nachteil es einfach es gibt eben auch meine wurde zum Verständnis also sogar noch ein bisschen schwieriger und die Wahrscheinlichkeitstheorie ist die entscheidende Vorlesung die man nicht verstanden haben möchte immer und was in Stochastic anschließend weiter macht also alle weiteren Vorlesungen Stochastic bauen auf ihr Wissen E werden sie ihr Wissen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie brauchen das heißt es wissen was da Geld fehlt ihnen permanent es ist nicht ganz so schlimm weil ich zu meiner Vorlesung deutsche Skript hab mich Handys halten werde und es gibt auch eine deutsche Vorlesens aufzeigen dafür das heißt hätten einig die Chance meine Vorlesung auf Englisch zu hören und gleichzeitig könnten sich in deutsches gibt durchlesen und 7. 1. ok aber da möcht ich Sie einfach bitten also wenn Sie natürlich im Prinzip eine Auswertung ich nur die berücksichtigen die auf die 1. Frage mit ja beantwortet Abende die nein ist ja im Prinzip egal wäre dann sollten Sie bitte angeben ob es ob sie gar die Vorlesung auf deutsch hätten auf sie gerne die Vorlesung auf Englisch hätten oder ob es ihm egal wäre ok Gold dann zu dem
was wir gerade machen wir waren stehen geblieben
Polar 5 26 wir unserer Zufallsvariable X für wir eine Funktion Hafen erlag er die messbar ist das heißt Bild der Erde von Mengen ausgelegt wieder die Tränen für alle man aus B erstens ist Excel diskrete Zufallsvariablen die nur einen der Werte mit Wahrscheinlichkeit 1 nur ein der Werte iclei nix 1 kleine 2 und so weiter an und das heißt X von der Menge Clients 1 kleine 2 und so weiter gleich 1 die klein X 1 kleines 2 paarweise verschieden zugeht Erwartungswert von Hafen X bekommen sehen in dem sie Rhein-Neckar gleich 1 wissen endlich Hafen X Gamer Wahrscheinlichkeit von X XK ausrechnen insbesondere den Erwartungswert von X bekommen Sie indem Sie die Rhein-Neckar gleich 1 wissen endlich Kleinkriegs gar mal die Wahrscheinlichkeit dass dieser Wert vorkommt Grosics gleich liegt es gar ausrichten 2. Formel ist stetig verteidigte S das heißt die Wahrscheinlichkeit für x den B können Sie immer schreiben als integraler B weil er von XTX für alle die auswählen so gilt Erwartungswert von H von X ist das Integral über ganz er von dem Produkt der Funktion H von nix mit sich der von X steht insbesondere Erwartungswert von X bekommen sie als integrale wer x-mal Evonik Steaks ok ok jeweils einschalten
gut wäre ich war noch ein Beispiel dazu machen Beispiel sind 28 die Lebensdauer X
einer Batterie seit vollen Saal verlangt verteilt Gott das heißt nix hat eine Dichte und diese Dichte können Sie hinschreiben das heißt vorsieht fertigte klein F mit wer dicht an der Stelle x =ist gleich Lander Mario -minus Lander XTX größer als 0 und 0 oder x größer gleich 0 0 sonst dabei Islam der eine vorgegebene konstante Größe 0 spätestens nach einer festen Zeit die größer 0 wird die Batterie war die Batterie erneuert weil sie irgendwie die bei der die Verdächtigen ok hätten schon als vielleicht besser sie auszutauschen also spätestens nach zeigt die Größe 0 wird bei erneuert wir gucken und selbst die Betriebszeit der Batterie an die Betriebszeit ist dann das Minimum von X und Herr das heißt eine Zufallsvariable die für Klein und egal den März Minimum von Excel Omega ,komma des annimmt und überlegen uns wie groß diese Betriebszeit im Mittel ist weil Betriebszeit die wird dies sei zeitgleich Minimum von X ,komma T beträgt im Mittel ok so ähnliche Sachen könnten Sie diese
Woche scheinen Übungen gemacht haben es deswegen nicht gleich schnell drüber Erwartungswert von Z
da brauchen wir den Erwartungswert von Minimum von X ,komma Themen und dieses Minimum von X die ist eben genau eine Funktion jetzt angewandt und X das heißt Sie betrachten die Funktion haarklein H die klein X Abbild auf Minimum von X ,komma T und dann steht an der Stelle einigt Erwartungswert von Haar von OS X und der war dass wir von Hafen groß X das war gerade das Kolar 5 26 was ich da dem ausgerechnet habe den bekommen Sie in dem Fall in dem sie H von klein nix mit der Dichte beziehen und über ganz er integrieren das heißt ich komme nie auf Integral über Jahre ha von Clay nächstes ist Minimum von 3 nix ,komma T mal dichte Evonik Steaks
Maja und dann steht noch besteht nur die Aufgabe das auszurechnen ok Zwangsarbeit fragen bis dahin als er sie mal in allgemeines Maß Integral stehen wobei sie bezüglich der im Gepäck Masters der elementaren Längenmessung integrieren und das behandeln sie einfach als ganz normales Riemann Integral wurde jetzt uneigentliches Riemann Integral Zivilisten die Dichte ist 0 für x kleiner als 0 das heißt ich muss nur von 0 bis endlich integrieren ich ,komma so oft Integral von 0 bis unendlich Minimum von X ,komma Tee und
dann ist er er von Felix leicht EU-Ministern damit dann haben Sie das Problem dass da er das Indikandum wie komisch aussieht weil das Minimum von X ,komma T drin steht das Ganze ist aber eine abschnittsweise definierte Funktion diese Funktion Minimum von X ,komma TSX für X-Plane gleich die und des Felix größer als die sie Spalten Integrand gemäß diesen Abschnitten der Funktion auf komm dann aus Integral von 0 bis 10 x-mal andermal dabei eher um den Islam da X versehen die greifen die wissen endlich Lander Mario -minus Lander X das ist an die Stelle wo sie feststellen dass sie unter und Hafenrand sind und leider nicht mehr die Parzellen der Integration drunter schreiben können deswegen schreib ich die ganze Tafel zahle nochmal drüber genau so ab alles die Stelle wo ich feststelle dass und dann
daran bin oder wo sie sehen dass ich um und und auch an den wir leider Pech gehabt hat was soll ich hab 2. natürlich dass die vergessen das Erste brechen sie mit Hilfe von partieller Integration sie leiten X ab und das 2. auf das heißt ich mach das X als das 2. als Frau Strich strich ist dann 1 Stammfunktion sowie um -minus Islam Mario Ministern der X ist -minus EU-Ministern Deix dann komm müssen die Stammfunktionen Produkt der beiden und gestrichenen auswerten anstelle Nullen endlich das heißt wir haben -minus x mal um Islam da X und davon müssen wir auch ziehen das Produkt von der unteren Zeile integriert wegen der -minus hier gibt es insgesamt plus und es sei denn der Gral können Sie ich Leischner elementare integrieren da kommen sie auf minus Thema EU-Ministern X als als Stammfunktion Felix leichte wissen endlich die Frage müsse das Integral von x gleich 0 bis T gehen das heißt die Stammfunktion ausgewertet vollständig richtig muss natürlich ich muss mich an meine oberen ja also ich hab hier X gleich Integral von 0 bis D soll natürlich um es gleich abschreiben vollständig richtig Dankeschön damit hab ich auch in weitere Korrekturen ja dann setzen sie beim 1. setzen Sie jeden T 1 sehen Sie da kommt -minus Thema EU -minus Landert heraus und dann müssen sie auch die untere Grenze abziehen aber die untere Grenze x gleich 0 eingesetzte gibt 0 dann müssen Sie noch -minus X auf leiten das gibt -minus 1 durch EU-Ministern der Xtra Stammfunktion aus gewährt Grenzen x gleich 0 bis die und dann er wissen Sie noch das hintere auswerten für Argument gegen unendlich geht er auch -minus Glander x gegen 0 des wenn es dieses Minus die Obergrenze gleich 0 und dann bekommen Sie die untere Grenze noch mit minus Wege -minus davor insgesamt bisschen Plus in +plus Thema EU-Ministern der T dann sehen Sie der 1. Term der letzte Term neben sich auf sie setzen in der Mitte noch einen kommen auf ja untere Grenze kommen sie auf 1 und von der oberen Grenze wurde und EU-Minister Natty abgezogen und das wäre wirklich seit die Mittel
ok Fragen so weit fragen Gott also sehen und Vorgehen sie brauchen eben eine Formel aus der Vorlesung müssen die entsprechenden deuten können und das ganz offen Problem erst dann alles ist Gott ok wenn sie keine Fragen mehr haben die mich zum nächsten Abschnitt Varianz einer Zufall Abschnitt 5 4 Varianz einer Zufallsvariablen alle 17. Tiere die Varianz einer Zufallsvariablen der bisher eingeführte
Begriff des Erwartungswertes beschreibt wie groß der Wert des Zufalls Experiments im Mittel ist die waren ganz ist nun einmal eine Größe die uns hilft zu beschreiben wie stark denn dieser mittlerer Wert um diesen Wert im Mittel schwankt es geht um die Frage wie stark schwanken ICs und ECs sie können sich die meisten
vorstellen jemand verspricht ihnen eine den Profit bei einer Geldanlage und wer sagt denn wie viel Profit sie Mittel machen und das ist sehr viel sie machen vielleicht das Zehnfache vom Einsatz bekommen sie Mittel zurück aber das beschreibt das Ganze noch nicht komplett war das 2. was sie interessiert ist wie stark schwankt es und das Mittel kann es unter Umständen sein dass es Geld vielleicht ganz weg ist und sowas könnten sie mit Hilfe der Varianz als Schwankungen des Mittelwertes beschreiben die Varianz selber beschreibt die mittlere quadratische Abweichung zwischen dem zufälligen Wert X von Omega und dem Mittel wert geht Definition 5 29 wir haben reale Zufallsvariable X für die EQS existiert dann heißt Frau von x definiert als Erwartungswert von X -minus EX zum Quadrat der Bau nix gleich Erwartungswert von in geschweiften Klammern jetzt Betrag von x -minus extrem beitrat die Varianz von X also 1.
anschaulich das Ganze ist sie gucken sich an die Abweichung zwischen den zufälligen Wert klein nix von OS X von Omega und dem Mittelwert EX die Abweichung ist X -minus EX ich hab sie als Betrag geschrieben und anschließend quartieren sie das und von dieser Abweichung von dieser quadratischen Abweichung gucken sich der Mittelwert an als die mittlere quadratische Abweichung zwischen ICs und ECs 2. ich hab wieder betraten geschrieben ich könnt aber genauso gut auch runde Klammern schreiben weil es das Gleiche ist auch sie den Betrag einer Zahl Quartieren oder die Zahl selber Patrioten also diese Betragsstriche hier sind wir dazu da damit man sie besser von den klammen unterscheiden können aber es ist nicht wirklich eine Drag zum Quadrat von einig ist nun vertrat drittens das Ganze ist ne quadratische Abweichung der Grund dafür dass der Beitrag oder Bäcker Tratsch Abweichungen ist es deshalb weil man wie sie nach einem Lauf der vorlesen sehen werden für diese quadratische Abweichung relativ einfache Formel hinschreiben also aufgrund dieses Quadrat ist aber das Ganze relativ schön das ganze dieser ganze Ausdruck relativ schöne Eigenschaften aber man sieht man kann sich genauso auch angucken wie gut groß ist der mittlere Abweichung zwischen XIX einfach ohne vertrat und den Betrag hoch 3 oder sonst was ok Fragen so weit fragen sieht nicht aus dann mach ich Ihnen mal ein Beispiel Kommunen und waren wie groß ist die Varianz von einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Parametern an sich aber trat das gibt 5 30 beispiele XNA Sigma Quadrat
verteilt das heißt die Zeit Gedichte er von X gleich und da Standardformel Führung des Vereins durch 14 2. die meist Sigmar mal -minus in Klammern X -minus Arten wird dadurch 2 Sieger Quadrat es war eine der Formen von dem ich ihm gesagt hab müssen Sie nicht auswendig wissen bei einer Prüfung die dänischen im Zweifelsfall immer vor naja wir haben beim letzten Mal gesehen wäre das wie groß EX Service anbietet weiß immer die größte Erwartungswert waren
wir normalverteilten Zufallsvariablen ok ich dir den Tipp wenn Sie überlegen wie seine Dichte aus sie haben Zufallsexperiment beschrieben deutschen Wahrscheinlichkeit Maß mit aller Dichte von der Form die Dichte ist der Gaußsche Glockenkurve konzentriert und den Punkt A und komplex symmetrisch und ab jetzt die Frage wie groß der Wert im Mittel der auskommt es war genau also allgemein können Sie auch sagen wenn sie wirklich der haben die komplett symmetrisch um diesen Punkt A ist dann kommt da immer raus mit dem gleichen verweist wie beim letzten Mal ok das
heißeste =ist gleich das war bei Spielen 5 27 dann sehen Sie Erwartungswert von die Varianz von X ist der Erwartungswert von Exil 10. Draht und dann sehen Sie ich hab Grosics hat ne Dichte klein ist und ich voll will den Erwartungswert von große X -minus a zum Quadrat ausrechnen wie können sie das mit Hilfe von der Dichte F ausdrücken Vorschläge wie können Sie erst mit Hilfe der Dichte 11 ausdrücken der Vorschlag war Grazer -minus lehnte diesen endlich von dem was hier steht also x Lesarten parat zur X is a zum Quadrat mal X wie kommen Sie auf das Magix gute Frage ok andere Vorschläge in mal dichte das heißt es wird das ist richtig wir machen genau die vor die Formel die ich ganz zu Beginn der Vorlesung aufge er aufgelegt hat wir fassen das Ganze auf als ein Erwartungswert von H von X mit klein x =ist gleich x Lesarten parat ja und dann war es das
Corolla war hier wie auch immer das Cola 5 26 das heißt sie ,komma auf
dem die greife -minus nennt diesen endlich Hafen x-mal Felix Text ja und dann setzen sie eben auch ein also have nix war x -minus aber zum Quadrat und er von X ist die voll von davor in also wir ,komma sind die Grazer -minus nämlich wissen endlich XTS Art Silberdraht mal 1 durch Wurzel 2 sich Mama EU -minus in Klammern nix is a zum Quadrat durch 2 Siegburger Draht zu Gott
jetzt will ich diesen wir gerade ja ausrechnen 1. Frage zieht immer der Stammfunktion Gelächter 2. Frage was machen Sie dann wenn Sie keine Stammfunktion sehen ok Sie haben den Vorschlag substituieren das Exil der Kodex aber Sigmar vermutlich das sie weg dann sehen Sie dass Integrals dass der Freund schon hatten je glaube ich ihn nicht aber ich vergesse zu drehen ich wenig substituieren kommen meine kleine Tafel an nämlich das am Anfang so substituierende ok andere Vorschläge außer zentrieren was halten Sie von partieller Integration sie halt nicht zum Verzehr Integration sie halten was aber Zellen der Aktion er vielleicht nicht bei diesem Beispiel nur oder ok also wie sehen Sie das ist ein Kandidat partielle Integration es wer überlegen Sie mal die Ableitung von dem was da in extremen steht steht einig was davon nämlich dann wenn ich diesen Faktor X -minus a zum Quadrat um als X-Files aber nix -minus Art also machen alles das heißt ich schreib das Ganze nochmal
den mehrspaltig X -minus a nächsten es aber nix wie los auf dann nämlich das 1. gleich dann ist die Aufladung gleich 1 das war einfach wenn das 2. gleich strich und dann dürfen sie mir Stammfunktion sagen Vorschläge Stammfunktion ja Vorschlag beschreiben also wo es hin lassen vielleicht eines Wurzel zweit die stehen und schreiben exponential der wonach ab und überlegen uns
dann auf die Ableitung der Term oben ist was würden Sie sagen wie Sie das aus wenn ich 1 durch Wurzel 2 Thema EU -minus x Arten Beitrag durch 2 Apparat ableite komm ich davon ein V strich Wasser drüber steht was nein ich komme nicht auf mein Frau strich vollständig richtig aber was muss ich machen damit auf ein V strich komme alle sehen vielleicht ist wenn ich das dann ableite sieht es schon ziemlich ähnlich außerdem vor strich da drüber das heißt dass es nicht mehr allzu viel Vorschläge Wetter und Sigmar sagen Sie das kann gut sein weil ich hab da aller kommt da der Vater bleibt stehen der so geht der doch wird auch aus stehen es auch okay dem Euroländer Ableitungen dann kommt da er ein zweimal also es -minus bleib stehen 2 mal x -minus A wieder 2 durch Sigma vertrat steckt dann sehen Sie ja hab ich um den Sieg nur 3 zu viel und ich hab mir so noch zu viele und glaube ich Ihnen das jetzt ja doch ich glaube indes ok das heißt die einiges darauf machen -minus und Sigma und dann stimmt Funktionen gehen ja aber damit habe das eigentliche weil
jetzt kriegen wir ja Produkte ungestrichen aus Grenzen also X-Men -minus mal -minus zig mal durch wir 2. die mal e hoch minus je mal EU -minus x a zum Beitrag durch 2 Siege aber trat und dann muss ich noch abziehen mit minus auf und das innere andere -minus kann ich ja beim Plus machen komme ich auf das Integral ich zieh noch das Signal raus ich sie vielleicht gleich mein raus warum werden Sie gleich sehen mal Integral von minus unendlich wissen endlich entschieden nämlich 1 durch nur zu zweit wie Sigma Marie -minus x 1 a zum Quadrat durch 2 Gott
sehen auch warum ich in Ziffer bei 3 rausgezogen abstatten Sigmar dadurch steht in dem eleganten genau meine ursprüngliche Dichte er ok Fragen so weit fragen müssen sowas einer Klausur ableiten können natürlich je aber sind 1. Semester sowas einige macht aber es zu Klausuren sowas gemacht für das würde also ich meine von sowas nicht mehr Schule macht nur so also also gut ich geh zurück sie müssen nicht ableiten können aber eigentlich im Prinzip also was sie nicht machen können müssen sie müssen nicht Niederlage sein das Ding auf zu leiten sie müssten aber in der Lage sein das V abzuleiten das ist eigentlich schon Stoffen also sich meinem der Kettenregel ableiten oder so also wenn wir gucken was ich je gemacht hab ne geschaffene Kettensäge angewandt der Faktoren sich ist stehen geblieben die Exponentialfunktion abgeleitet gibt sich selber und dann wissen Sie noch die Ableitung hinschreiben ableiten wissen wollen und können Sie ableiten und dann bauen sie natürlich 2 Zwischenschritte und das hinzuschreiben nur ich kann nämlich 2 Zwischenschritte hinschreiben bei der kleinen Tafel ok ansonsten müssen Sie der Klausur Lagesein Drogen-Substitution durchzuführen also gleich Exynos aber Sigma auch das durch eine voraussetzen können und aber das ganze müssen einfacher dann kommen Sie mich auf dem Fall dass er gleich 0 ließen sich mal gleich 1 und dann lässt sich das einfach ausrechnen wenn Sie mal schneller hab ich auch nicht gemacht weil ich mir die Zeile gespalten ok noch Fragen fragen um welche Art naja und nachfragen kann was machte erst was machen der vor der von Gott mit Ihnen diesen Vortrag Übungen oder oder beendete Thorium ja stochastische worum es für eine gute Sache oder nicht so'n bisschen integrieren und setzt man sich mit Zufallsvariable ja nicht also bis integralen hingerichtet so ein bisschen die klären ohne aber nicht so sowas nur so gut geht wirklich wirklich gut also wenn man selbst wenn dies ausführlichen schreiben ist einfach aber ich sich ganz ausführlichen geschehen weil trafen müssen ist war in der ganzen Zeit in der ich jetzt rüber Sopran ausführlichen schreiben AG wird aber eher glauben Sie mir einfach mal die Umformung so weit vermehrt so weit sind was gibt das 1. was geht der 1. Ausdruck was gibt der 2. Ausdruck beim 1. Ausdruck Westensee sukzessive X gegen küssen endlich gehen lassen und x gegen minus unendlich gehen lassen und die Differenz der beiden Grenzwerte Markt betrachten was kommt dann raus Gott da kommt 0 raus einfach weil das Polynom hier vorne viele langsamer für x gegen plus oder minus ländlich Text als diese Exponentialfunktion die dann in besteht gegen 0 geht das heißt der 1. Term bis 0 dann kommt Sigmar beitrat was es der
2. Herren der gut hab ich ihn schon verraten Ihnen steht eine dichte wenn sie denn sie ihren kommt immer 1 raus das heißt ist 0 flüssiger Beitrag mal 1 ergibt sich bei Conrad und damit sehen Sie bei Normalverteilung mit Parametern an Sigma Quadrat ist der 1. Parameter Erwartungswert und der 2. Parameter die Varianz noch Fragen so weit ok aber die 5 Minuten Pause machen zum fahrerischen und wir machen dann um 3 Uhr 14 weiter ok ich ganz gern weitermachen wenn Sie so freundlich wären die Unterhaltung einzustellen willkommen zur 1. Eigenschaften der Varianz das Erste ist Satz 5 31 wir haben eine reelle Zufallsvariable X für die X existiert also X gelle Zufallsvariable mit X existiert dann geht 2 Eigenschaften 1. Eigenschaft die Varianz lässt sich streiten als Erwartungswert von x vertrat -minus den Erwartungswert von X in Klammern zum Quadrat ich 2. Eigenschaft die Varianz von einem vielfachen als war mal der Zufallsvariablen X plus 1 2. konstanten Wetter ist das gleiche wie Ihr alter Beitrag mal die Varianz von E x für als beendet zahlen letzte
Rechenregel besagt insbesondere wenn sie die Zufallsvariable dahin gehend abändern dass ich Sie um eine konstante verschieben je dann ändert sich die Varianz gar nicht das ist klar weil der Erwartungswert ändert sich um die gleiche konstante und die Abweichung bleibt deswegen gleich werden wenn sie sie multiplizieren dann um einige weitere Konstante alt war dann ändert sich die Erwartungswert wie gleichen Konstan nach unserer bisherigen Rechenregeln damit ändert sich die Abweichung zwischen Zufallsvariablen Erwartungswert um die gleiche konstante und die Varianz als vertraglich Abweichung ändert sich um der Quadratur des betrat der konstant ok Beweis allzeit ist einfach es
was ist einfach da eigentlich einfaches ausrechnen Gesetze Definition ein Varianz von X ist ja nach Definition der Erwartungswert von Betrag zunächst wieder Seks zum Quadrat Stadt betrat schreib ich diesmal runde Klammern also X -minus EX Silberdraht dann multiplizieren Sie dieses Exil Seks zum Quadrat einfach aufs wegen binomischen Formeln sie ,komma auf x Fahrrad -minus 2 x mal x 5 x zum Quadrat ich dann kommen unsere Rechenregeln für Erwartungswerte Erwartungswert von einer Lenya Kombination ist über die linear Kombination entsprechenden Einzel Erwartungswerte ganz ohne weitere Voraussetzungen das heißt das Ganze ist der Erwartungswert von x hat dann haben Sie als nächstes den Faktor -minus 2 x mal die Zufallsvariable Erwartungswert davon ist -minus zweimal IX meine Erwartungswert von X und dann kommt noch der Erwartungswert von x zum Quadrat ja ich lassen lassen da ich lasse nicht stehen also Erwartungswerte legst übertrat wenn sich überlegen ist eine Konstante Exempel beitrat er war das er von der Konstante ist die Konstante selber das Ganze hatte er wurde nur das war Cola 5 23 was sich dann habe Gott und dann sehen Sie wenn Sie es ganze zusammenfassend steht Erwartungswert von x Quadrat -minus zweimal Erwartungswert von X in Klammern zum Quadrat plus 1 Erwartungswert wird Felix übertrat also steht Erwartungswert Felix Quadrat -minus Erwartungswert Felix in Klammern zum vertrat und das war die Formel die zeigen wollte als
normale weiß werden Definition einfach aus multiplizieren und dann kommen die Standard Rechenregeln für Erwartungswerte das Ganze ist mir dem Jahr kommen Nation die linear Kombination von Erwartungswerten bis oder Markt Erwartungswert einer im Jahr kommen Nation von Zufallsvariablen ist die lineare Kombination der entsprechenden Einzel Erwartungswerte also 1. Einzel Erwartungswert +plus 2. Einzel Erwartungswert vor Faktor und der 3. die 3. Zufallsvariable es konstant deren Erwartungswert ist dann der Wert die konstant ist selber ok Fragen so weit Gott also weiter Klausur Aufgaben gefragt haben oder Klausur Relevanz also natürlich würde Klausur er machen mit stochastischen Inhalten wie zum Beispiel Ihr sowas fragen als Schwerpunkt auf einer alles Sachen zulegen die Annales Sachen denn sowas geht mit Integralen ausrechnen geht dann natürlich könnt auch vorkommt geht aber nicht dafür .punkt den Schwerpunkt in der solche Sachen wie zum Beispiel ok Gold dann vital Varianz von Maliks später
sie immer wieder die Definition als ich auf den Erwartungswert ja ich schreib ersetzen Zeile drunter weiter und was ist nicht mehr hin Erwartungswert von ja Zufallsvariable selber -minus ihrem Erwartungswert ab zum Quadrat das unmittelbar der Fiktion dann nehmen sie Dir das Karola 5 23 und den inneren Erwartungswert unterschreiben der 1. lassen wir stehen einfach mal nix das Wetter dann kommen -minus und dann wissen Sie Erwartungswert im Jahr kommen der Zionisten Kombination Erwartungswerten das heißt hier steht einfach mal Erwartungswert liegt und das weil hier eine konstante das heißt Erwartungswert selber ist Wetter da ,komma das Quadrat ich ja dann sehen Sie wenn ich die Klammer hier auflöse dann hebt sich das Plus später mit dem Flussbett der -minus davor hier weg das heißt es bedarf nicht aus da ich kein anschließendes einfach ausklammern komme ich auf Erwartungswert von als er Quadrat mal gibt -minus Wegs zum Quadrat ich kann noch den Faktor Alltag beitrat wieder mit dem Corolla 5 23 rausziehen und auf Altweiber trat mal Varianz von X wir sind fertig
ok Fragen so weit fragen um welche Art keine ,komma zum Beispiel 5 32 ich betrachte aufeinander verteilte Zufallsvariablen das war eine diskrete Zufallsvariablen Zelldichte war Wahrscheinlichkeit Phoenix gleich K Island auch grade Strafakte tät mal EU-Ministern dar für K aus der 0 da die Wahrscheinlichkeiten die hier angegeben hat alles Land auch habe ich gar Fakultät Mario kann das Land ab zu 1 summiert ist damit die Verteilung vollständig spezifiziert saß ich weiß automatisch wäre Werte außerhalb von der 0 werden dort wird nur mit Wahrscheinlichkeiten auf wenn Sie das wissen dann gilt e x =ist gleich haben Sie Übung ausgerechnet wenn ich recht informiert bin ich will sie dicken dass Wallander vergleiche geboren mich interessiert die Varianz ich möchte jetzt die Varianz aus nämlich erstmal Erwartungswert von x Quadrat ausrechnen ok meine Frage an Sie
wie berechnen Sie hier den Erwartungswert von x vertrat wenn Sie Zufallsvariablen mit sehr dichter haben Vorschläge Ex-Soldat mal ich sogar mal die Dichte und dann und dann integral drüber was ist die Dichte der See kann also kleines Problem an der Sache ist Werner tätig der mit also der Misskredit Zufallsvariable wir sind andernfalls ok die Summe von gar gleich 0 bis unendlich K Quadrat mal die Zelldichte an der Stelle gab genau richtig also ich komm nie auf die unendliche Reihe also ich kann das weder schreiben weißen Haar nix das Haar von klein nächste Xtra parat in sie die Formel aus dem Krola ja Nummer hab ich auch vergessen nur möchte ich raten weil die aus dem Corolla ganz zu Beginn der Vorlesungen und dann kommen Sie auf die Reihe da gleich 0 bis unendlich also eigentlich gar gleich
1 bis unendlich x gar aber Inkscape hier jeweils also x 1 WER 0 x 2 der 1 und so weiter dann hätten Sie ja nix also nix gar das Mehr ja ich hab noch anders indiziert also bei uns ist gibt es gar Quadrat und dann kommt die Wahrscheinlichkeit scheinlichkeit zunächst leichter denn dann müssen Sie das ausrechnen also K Quadrat lokale starr vergütet Mario das Lander und das wollen die ausrechnen n das können Sie so nicht sofort ausrechnen oder nicht wie es gehen sollte in den Übungen hatten Sie wenn Sie nun Faktor K haben das kam einfach mit dem einst durch Kaffa betätige kotzt das heißt Sie haben intern Paar gleich 0 weggelassen da verschwindet ja sowieso und dann das K mal 1 durch K Fakultät umgeschrieben als 1 durch kam -minus 1 Fakultät einen Faktor landen rausgezogen Steinbecks wenn zahlreiche dar das gab es natürlich diesmal auch noch aber wird man immer noch ein K übrig der Trick ist jetzt hier umzuschreiben Carter trat als Karmal K -minus 1 in Klammern +plus K das heißt die Streites um als mal -minus 1 Priska mal dann auch gar durch Gaffer wird mal EU-Ministern dar und dann die Summe auseinanderzuziehen komm ich auf 2 Reihen Rhein-Neckar gleich 0 wissen endlich Karmakar -minus 1 meine jungen Islam der +plus weil gleich 0 bis unendlich er kam Alando habe gar Fakultät bei ihr offenes Land an Gott ok sich offensichtlich warum ich das mache warum werden Sie gleich sehen weil jetz geh löst sich alles in Wohlgefallen aus er als nächstes kürzlich hier ich kurz das Karmakar -minus 1 mit dem eines durch char Fakultät das kann ich natürlich nur machen wenn kam mindestens 2 ist aber man kann nicht 2 ist dann also gar gleich 0 oder 1 alles so wurde dieser Faktor Karmakar -minus 1 gleich 0 das heißt ich kann hier problemlos von 2 los in die addieren und von summieren und hier problemlos von 1 was im Iran dann kürzen sie entsprechend nicht sie noch bei der 1. Summe den Faktor Lander Quadrat raus komm mich aufflammender Quadratmeile EU-Ministern da 7 vielleicht noch aus dann kommt die Reihe er gleich 2 bis unendlich Lander vertrat mal EU-Ministern da mal Rhein-Neckar gleich 2 bis unendlich er Gott haben wir wochenlang auch kam es weil ich kann das 2 Fakultät und dann die ich noch als beim nächsten an sich Nero -minus Landau im Lande raus dann bleibt nur der Rhein-Neckar gleich 1 diesen endlich Land auch K -minus 1 durch kam es 1 Fakultät übrig ok oder Fragen so weit ja dann will die 1. Reihe es eigentlich die Reihe von L gleich 0 bis unendlich nannte auch er durch eine Fakultät einfach wenn sie K -minus 2 als er schreiben genauso die 2. Reihe wenn sie K -minus 1 als schreiben dann sehen Sie da steht jeweils die exponential Reihe dar das heißt die 1. Heilige des IOC Mann der 2. Reihe gibt auch Joglland ab das heißt Fernseher gibt Lander Quadrat Miles weil die oben dar Lander aber um das aber EU-Plan ab und dann sehen Sie übrig bleibt dann aber trat das Amt ab das heißt wir haben CX wir möchten Erwartungswert Felix Quadrate EX Wallander EX vertrat Islam der Quadrates Landauer ja dann sehen Sie wie groß die Varianz ist nach Satz 5 31 Mehr nach Satz 5 31 ist es gerade Erwartungswerte x Quadrat wir Wegs in Klammern zum Quadrat sie setzen ein sehr geplanter Rates wie )klammer zu übertrat bleibt Lande übrig zu sehen Sie Wasserverteilung hat
die Eigenschaft das der Erwartungswert gerade so groß ist wie die Varianz oder umgekehrt die Varianz ist gerade so groß wie der Wartungs wird beide sind gegeben durch den Parameter das wir zu Problemen der Versicherungsmathematik da verwenden Sie die Wasserverteilung heutig um Schadenszahlen zum wurde wurde leeren das heißt Anzahl der Schäden die vom versicherten kollektiv in gewissen Zeitraum gemeldet worden und wenn sie da Leben eines Versicherten das Kollektiv haben des was sehr viele Schweden meldet Mittel dann schwand auch wenn sie es wieder Post so Verteilung modellieren entsprechend diese Schadens sei sehr sehr stark und das wollen sie essen derselbe Rat zu modellieren und dann es Modifikationen von der Post auf Verteilung ist der anwenden können ok Fragen so weit fragen keine fragen dann kommt der nächste Satz Satz 5 33 der Satz zeigt das Varianz in der Tat zur Abschätzung der Abweichung zwischen X von Omega und IX verwendet werden kann den Satz 5 33 ich seine Wähler Zufallsvariable für die es existiert also XL Zufallsvariablen existiert weiter selbst wenn größer 0 dann geht das 2 Abschätzung des 1. sogenannte Marker Gleichungen die Wahrscheinlichkeit das X betragsmäßig ein Wert größer gleich y und Gott das können sie nur abschätzen nach oben durch Erwartungswert von Betrag von x hoch er aber selbst noch eher zu eher größer 0 beliebig er größer gleich 0 Werk die sogenannte Markov schon Gleichungen und Teil des es sei diesen Spezialfall davon sie setzen ersetzen X durch x -minus EX und nehme er gleich an 2 dann ist die Wahrscheinlichkeit das X -minus x den Betrag größer gleich nichts über kleiner gleich als den Erwartungswert von der Zufallsvariable hierzu zum Quadrat als Erwartungswert von Betrag von x -minus x zum Quadrat des gerade die Varianz von X durch Erziehung Quadrat und das ist die sogenannte der Recherche Ungleichung um mit Hilfe dieser thermisch Taschen ungleichen sehen Sie eben wenn sie eine kleine Varianz haben dann
können Sie auch diese Wahrscheinlichkeiten das X von der oder bekommen sie auch einige kleine obere Schranke für die Abschätzung der Abweichungen oder zwischen die Abschätzung der Wahrscheinlichkeit dass X um mehr als Epsilon von abweicht ok Fragen so weit sie erinnern sich vielleicht noch an diesen absoluten Wucherzins denn die letzte Woche verlangt haben es waren 100 Prozent mehr wir sind jetzt 12 Minuten früher dran also ich hab 6 Minuten überzogen insofern wäre heute 12 Minuten früher auf verdeckt
Statistische Beratung
Statistik
Histogramm
Statistischer Test
Konfidenzintervall
Statistische Beratung
Mathematik
Datenerhebung
Wahrscheinlichkeitstheorie
Erwartungswert
Menge
Spieltheorie
Zufallsvariable
Integral
Polare
Mittelungsverfahren
Zufallsvariable
Minimum
Lebensdauer
Dichte <Physik>
Erwartungswert
Minimum
Integral
Dichte <Physik>
Minimum
Ruhmasse
Normalvektor
Dichte <Physik>
Integral
Mittelungsverfahren
Stammfunktion
Zufallsvariable
Partielle Integration
Supremum <Mathematik>
Term
Varianz
Integral
Null
Mittelungsverfahren
Quadrat
Erwartungswert
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Zufallsvariable
Schwankung
Varianz
Parametersystem
Erwartungswert
Quadrat
Homogenes Polynom
Betrag <Mathematik>
Zufallsvariable
Mittelwert
Luftreibung
Zahl
Varianz
Mittelungsverfahren
Quadrat
Erwartungswert
Große Vereinheitlichung
Punkt
Zufallsvariable
Ruhmasse
Varianz
Dichte <Physik>
Quadrat
Faktorisierung
Quadrat
Stammfunktion
Partielle Integration
Gruppenoperation
Ableitung <Topologie>
Integral
Quadrat
Biprodukt
Term
Ableitung <Topologie>
Integral
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Ziffer
Faktorisierung
Exponentialfunktion
Termumformung
Term
Dichte <Physik>
Quadrat
Polynom
Erwartungswert
Normalverteilung
Kettenregel
Zufallsvariable
Varianz
Ableitung <Topologie>
Grenzwertberechnung
Konstante
Faktorisierung
Quadrat
Erwartungswert
Betrag <Mathematik>
Zufallsvariable
Integration <Mathematik>
Gesetz <Physik>
Varianz
Weg <Topologie>
Quadrat
Faktorisierung
Erwartungswert
Zufallsvariable
Inhalt <Mathematik>
Varianz
Integral
Summe
Erwartungswert
Quadrat
Zufallsvariable
Reihe
Varianz
Dichte <Physik>
Parametersystem
Faktorisierung
Versicherungsmathematik
Entscheidungsmodell
Reihe
Gleichungssystem
Summe
Mittelungsverfahren
Erwartungswert
Quadrat
Weg <Topologie>
Zeitraum
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Zufallsvariable
Abschätzung
Landau-Theorie
Varianz
Promille
Supremum <Mathematik>
Abschätzung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Einführung in die Stochastik: Varianz
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34026
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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