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Rechenregeln für Varianzen

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I O ja begrüße Sie recht herzlich zur
heutigen Vorlesungen in der Einführung in die Stochastik ich habe Ihnen die Umfrage vom letzten Mal mitgebracht da sollte ich hier auch oberhalb vielleicht gehen ja wäre also sehen teilgenommen haben 74 Leute oder Rückantworten habe ich bekomme von 74 Leuten davon haben 26 gesagt dass sie an der Wahrscheinlichkeitstheorie im kommenden Wintersemester voraussichtlich teilnehmen werden 44 angesagt das werden sie nicht und wir waren und wie unentschlossen oder haben keine Antwort gemacht ich habe dann die 26 Ja-Stimmen noch weiter unterteilt bezüglich der zweiten Frage ob die Wahrscheinlichkeitstheorie auf deutsch englisch oder egal abgehalten werden sollte ja also es war faszinierend vor allem auch bei den Einstellungen waren immer noch ein größerer Anzahl die ganz genaue Meinung dazu raten ganz offensichtlich dass ich hatte gedacht wenn jemand Nein ankreuzt uns alle ist mir egal ankreuzen aber nein es gab welche die haben Nein angekreuzt aber trotzdem genau gewußt auf welche Sprache sehr angeboten werden soll aber das ich nicht berücksichtigt und da gab es Sie sehen der Mehrheit für Deutsch alles waren 14 Deutsch 8 Englisch wieder sonstigen das Hasselblad lässt sich aber nicht richtig interpretieren weil die Umfrage natürlich weil sie verzerrt ist ich habe hier 24 oder 26 Teilnehmer von der Veranstaltung die über 100 Teilnehmer haben wird und habe eben die Teilnehmer nur gefragt die in diese eine Vorlesung anwesend waren und es ganz klar sein dass die restlichen Teilnehmer essen eine andere Meinung haben also da haben ja was würden Sie sagen haben sie in Sendling bei sondern was uns weiß auf Anfrage sein Thomas von ist beides oder keines 4 mögliche Antworten der in Sendling war es auf jeden Fall und sonst nichts das in Sendling weiße Weise die Befragung durch will durch Auswahl in die die ich gefragt habe aber da habe ich im Klaren sind Hinweis ok dann das Gesamtbild wegen der also ich weiß es auch nicht so recht was aus dieser Umfrage folgten mir aber es wird weit überlegen Gesamtbild wegen der Geschwindigkeit und Schwierigkeitsgrad sehen Sie hier wenn Sie mal die Punktwolke angucken was würden Sie sagen sind die Punkte oder was können Sie über die Korrelation dieser period Auslagen wer typische Klausurfragen geht in Punktwolke vor was können Sie über die Korrelation dieser period aus und die war es nicht zum Ankreuzen diesmal das sie müssen in ganzen Sätzen antworten hatte Vorschlag Welt irgendwas zu Coronation dieser Punkte ein als es sieht so aus als würde die Korrelation Regressionsgerade Gemüse durchläuft und wieso von links unten nach rechts oben verlaufen damit ich die steigen positiv die Korrelation hat das gleiche Vorzeichen wie die steigende wird das uns gerade als die Population wird positiv sein das ist ein ich klar kann es noch ein bisschen genauer eingrenzen größer als 7 kleiner als 7 wenn Sie jetzt nachdenken Unsinn Probleme die Korrelation man zwischen werden von nun einzelne jetzt die Frage kann sowohl sein man kann so oder nur ganz nicht an wo sie diese nicht ganz 1 1 Coronation nein sonst würden alle Punkte auf der gesund liegen ich kann es auch nicht sein also wir was sagt uns das Ganze wäre wenn wir in den Jahren Zusammenhang zwischen Schwierigkeitsgrad Geschwindigkeit suchen werden will dann wäre so das die wir dann wäre dieser 7 Jahre Zusammenhang einsteigen das heißt mitzunehmen Schwierigkeitsgrad würden auch die Geschwindigkeit eher als zu schnell beurteilen was unlogisch ist faszinierend finde ich die Punkte hier unten und die Punkte ganz da oben wir als gibt Leute der meinerseits gesagt die Vorlesung ist leicht davor zu schnell und es gibt Leute die haben auch gesagt die Vorlesung ist zu langsam aber zu schwierig wäre ich weiß nicht ob mich jemand auf dem Arm nehmen will ist die eine Möglichkeit die andere Möglichkeit war kann es natürlich wirklich getrennt sehen wir es kann sein das ist einerseits leichter Stoff ist aber ich schreibe zu schnell oder das ist andererseits mit dem Buch eigentlich viel zu langsam ist weil sie das Buch vor sich liegen haben aber der Schwierigkeitsgrad ist so aber so recht passt nicht zusammen wer was ich faszinierend finde an der Punktwolke wenn sie angucken also hier in der Mitte sind noch 14 bereit wenn sie die angucken dann sehen Sie eigentlich ich kann es jetzt also wenn die period als absolut nehmen und ich versuche die das Achsenkreuz so anzupassen dass es möglichst gut für alle ist dann sehen sich kann ich gar nichts groß ändern also ich kann irgendwie zwar schwerer machen aber dann wird's für die zu schwer ist ganz leichter machen und Wurzel für die noch viel schleicht sich dann schneller machen langsam machen also eigentlich schön und frage ich dann sage ich mache einfach weiter so konnte sie haben halten heterogenes Publikum es gibt Leute die schreiben alles mit und er schreiben vielleicht nicht ganz schnell für nicht für die ist es viel zu schnell es gibt Leute die lesen ein Buch mit und die wesentlich schneller als ich schreiben kann für dieses viel zu langsam von der Geschwindigkeit und dann gibt es eben die Leute die haben natürlich einerseits vielleicht 1. Semester für dieses tendenziell eher zu schwierig oder einerseits auch in der 2. Juli schon massiv gemacht für dieses Ärzten reicht aber das ist einfach ein heterogenes Publikum eine Vorlesung die können einig nie wäre ein Recht aber so ist es glaube ich gar nicht mal so schlecht aus ok kam anderen Anmerkung 1 fand ich nett zur Videoaufnahme die Pause sollte aus dem Video nicht entfernt werden damit noch bei dem Video schauen pause hat ich habe dann vorgeschlagen das wissen die Pause Taste zu drücken als er das ist ich weiß nicht gut dass selbst eine gewisse Selbstverantwortung voraus mehr Wasser die Pause drückt hinter wieder drückt und aber bitte ich glaube das ist glaube ich zumutbar wären würde die Pause wie die ohne das ist ja furchtbar so Fünf-Minuten-Pause Medium gehen ja dann lieber bei Vorlesungen die heute etwas streichen auf kompliziertere weiter eingehen das dacht ich einig mache ich immer schon also wird ok also das Bemühen ist schon da nächste
Anmerkungen es wäre einfacher der Vorlesung zu folgen wenn die Nummerierung ist Tafel steht der des Buchs entsprechen wurde ja das habe ich auch schon gedacht dass wir nur so können wir eben die Nummerierung des Tafel steht schon sehr lückenhaft weil ich eben nicht das ganze Buch Vortrag deswegen mache ich das nicht ja Nummerierung der setzte den Übungsleiter mitteilen damit man diese in Übung anwenden kann das ein ganz prächtiger Vorschlag einerseits jeder sei nicht lieber sie dann nicht die Nummerierung der Sätze auswendig sondern die Eigenschaften die Sie beschreiben das heißt in den Transformationen Satz anwenden dann schreiben Sie Transformations hat und ich dazu und so wenn sie Jahre geht es Integrals anwenden schreiben Sie denn geht es in der Greis also die umschreiben die Sachen das ist ja das was sie ein wissen sollen nicht die Faxnummern aus aus dieser vorlesen als müssten sie auch eine Klausur entsprechen machen wer bei anderen wurde angemerkt dass sie eine Notiz über das Semester des Befragten fällt sonst würde ein Sendling Weise auftreten mit question mark ich dachte die Frage gebe ich an Sie weiter ja nein was würden Sie sagen wenn ich bei dieser Umfrage nicht das Semester des Befragten 3. 9 Sendling weist auf der Sendling bei Street so oder so auf das ist aber keine Antwort auf meine frage also meine Frage ist wenn ich dem wäre oder beziehungsweise man doch so sagen wenn ich das will das Semester nicht Abfrage wird dann der Sendling bei verstärkt ja oder nein und seine Begründung sie denken ja aber wenn ich wissen dass eine gleiche der Gruppe haben aber warum soll ich mir gleich Vorteile Gruppe haben ich weiß ausgewogenes aus 1. 1. 14 ist und so weiter aber das interessiert mich bei der Umfrage eigentlich gar nicht mich interessiert ja nicht nur die Hörer meiner Vorlesungen war ok ok ich verstehe was Sie meinen wenn Sie sagen ich habe sind in bei 2 leben will von denen die anwesend sind vielleicht die 14 1. über große Zahl sehen und damit es richtig da ich sagen sonst habe ich in Sendling weist aber eigentlich schon daran dem ich eine Befragung ich will ich nicht dass Fragen die sich im Zug an eingeschrieben haben so nicht nur nicht diese Fragen die Erde in eine volle so überhaupt gehen und damit habe ich nicht automatischen denn die weiß alles deswegen würde ich keinen Cent im Weißen dann der Frage kann man Wahrscheinlichkeitstheorie bereits im dritten Semester also ohne Integrationstheorie oder einer 4 hören Jahr allerdings habe weil sie kommen dann aber das später das heißt habe weil wenn sie dann im 1. 4. und ist sie können die Wahrscheinlichkeitstheorie problemlos müssen 3. Semester meines Aachens würde wäre ich hatte auch schon einen mindestens der die Wahrscheinlichkeitstheorie vor 2 Jahren im zweiten Semester gehört das allerdings denen Sie etwas wollen weil die Wahrscheinlichkeitstheorie und schon noch mal schwieriger aber ich hatte auch früher in also noch Saarbrücken unterrichtet habe Wahrscheinlichkeitstheorie gehalten hat hat ich gleichzeitig die Maßtheorie gehalten werden was der Integrationstheorie entspricht es gab aber auch genauso Leute die waren sehr guten Wahrscheinlichkeitstheorie und die haben diese Maßtheorie nicht gleichzeitig gemacht sondern das dann eben einfach geglaubt die wieder zitiert da das Leben und dann nur noch die Frage wie sollte ich mich auf die Klausur vorbereiten ich würde es so machen
1. sehe arbeitenden voll aufschrieb bzw. das Buch komplett durch und wenn dann noch mal alles 2. dann gehen Sie noch mal die Übungsaufgaben durch also müssen nicht unbedingt komplett durcharbeiten aber machen sich klar wie das Ganze gegen 3. sie gucken sich dann die Probeklausur an also wenn sie mit den beiden durch sind die Probeklausur ist das was die Leute in den letzten Streiktag schreiben sehr man auf die Webseite stellen denn sie einfach als richtige Klausur und Schreiben des 9. Klausur Bedingungen Sie können sich die werden auch noch hochladen oder am slawischen gemacht die alte Klausuren von mir also Sommersemester 0 9 auch die nachschreiben Klausur ich habe eine Klausur aus mehr ihr Amt als ich kann ihn aber alte Klausur hoch laden allerdings jeweils ohne Musterlösungen Lösungen müssen sehen dann selber machen dann sehen Sie welche Art von Klausuren ich stelle nicht empfehlen würde ich ihn mit irgenwelchen Klausuren zu arbeiten die Kollegen von mir gestellt haben weil das ist nicht relevant wenn ich die Klausuren der Stimme will und das würde ich in der Reihenfolge machen dafür brauchen sie ja je nachdem wie gut sie sind 2 bis 4 Wochen würde ich mal schätzen eine Woche wär ein bisschen knapp wenn die schon so sehr gut können die Wochen sollte dick ausreichen und dringende Empfehlung oder ich habe das immer so gemacht am Tag vorher würdig nichts mehr machen es bringt nichts mehr was sie am Tag vor noch der Kurzzeitgedächtnis Weintrauben das vergessen Sie bei der Prüfung genauso das geht nicht mehr Kurzzeitgedächtnis oder fangen Sie nicht an dass sie vor der Prüfung noch da sitzt nur noch hektisch und welche Sätze versuchen zu dann 5 Minuten vorher damit sie die auswendig wissen da machen sich nur nervös okay tragen so weit offen Klausur oder so oder Vorbereitung aber ich glaube Tipps sollten klar sein also bisher war es immer so dass die überwiegende Mehrzahl der Leute die Klausur problemlos bestanden hat bei mir das führt allerdings dazu dass mittlerweile auch Leute zu mir verstärkt kommen die über Probleme haben mit Klausur zu bestehen und das verzerrt an dieser diesen Effekt also Sie sehen in mir man sitzt hier 1 dann schön hinzukam sich 450 Leute zu dieser Veranstaltung angemeldet ich weiß wie Sie mitmachen der Faktor aber scheint er nur 200 ich bin aber sicher dass sie unter zur Klausur kommen werden oder vielleicht 250 und dann kann es natürlich nicht mehr mir sicher sein dass da 90 oder 95 Prozent der Leute die Klausur besteht darin die sich nicht vorbereiten bestellen Sie also eben nicht aber wenn Sie hier sitzen bin ich eines nicht alles sollte es kein Problem sein aber sitzen auch ich dort Definition Wiederholung vom letzten Mal ist x reale Zufallsvariablen EX existiert so heißt Varianz von X oder V von X Erwartungswert von Betrag von x 1 x 10 betrat die Varianz von X und die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung zwischen dem zufälligen wertvoll von Aids und seine Mittelwert wir haben Rechenregeln kennen gelernt 1. Rechenregeln Varianz von X lässt sich überschreiten als Erwartungswert vom Quadrat von Aids minus dem Quadrates Erwartungswert es von X 2. Rechenregeln Varianz von als X dickstes Wetter für als Arbeiter reelle Zahlen ist Alltag gerade mal Varianz Felix wenn Sie so was setzen Übung zitieren zitieren Sie es nicht mit sagt sollen sie würden einfach dazu schreiben vielleicht Rechenregeln für Erwartungswert das ist okay dann kommt Satz 5
33 wenn Sie eine wähle Zufallsvariablen Xtra haben mit X existiert Epson größer 0 dann Geld 1. die sogenannte Marco Ungleichungen die Wahrscheinlichkeit dass Betrag von x großer gleich Epson ist lässt sich nach oben abschätzen durch Erwartungswert von Betrag für die zog er durch Epson noch er für alle er größer 0 größer gleich 0 2. Spezialfall davon die sogenannte Geschäfte Gleichungen die Wahrscheinlichkeit dass X minus IX Betrag größer gleich Epson ist es immer kleiner gleich als Varianz von X durch Y vertrackt da waren wir stehen geblieben und das wollte ich jetzt weit beweisen also kommen zum Beweis von Satz 5 33 teil ich kann wieder das integral und schreiben diese Wahrscheinlichkeiten integrale weiter abschätzen oder ich für sehr Zufallsvariablen 1 mache ich jetzt hier setzen ich nehme die 1 zu was variabel so dass deren Erwartungswert gerade die Wahrscheinlichkeit links ist das heißt y von ohne gar ist gleich 1 falls Betrag von x von wieder große leicht Epson ist 0 sonst und dann machen wir noch wir machen die zweite Zufallsvariable so dass deren Erwartungswert gerade die rechte Seite ist also Z von um Ärger ist gleich Betrag von x und mich auch er durch Apps wo er und die entscheidende
Beobachtung ist dann das Y immer kleiner gleich das Z ist dann gilt kann es jemand von Ihnen begründen warum ist y plane gleich Z vorschläge genau also wenn Ypsi machen Fallunterscheidung wenn Benutzung von Amiga gleich 0 ist dann ist natürlich die 0 kleiner gleich das Z von und mit aber wir wissen nicht negative Zahl okay wenn y Formel und wieder gleich 1 ist dann steht hier 1 dann ist aber Betrag von x einiger größer gleich y damit es Betrag von Text von Only dadurch etwas größer gleich 1 und damit ist auch diese Zahl hoch er größer gleich 1 das heißt der von um als größer gleich 1 und damit habe beide Fälle und sind fertig ok ja das ist klar daraus folgt jetzt die Behauptung war jetzt haben wir die Wahrscheinlichkeit die uns interessiert ist gerade Erwartungswert von y und da hatten wir einen Satz über die Monotonie des Integrals wenn es klare gleich G ist das integral über F die Mythen aber gleich integral den Mühen daraus folgten dem Monotonie der Erwartungswerte wenn y kleiner gleich Z ist in dem Sinne von da unten y von verkomme Geist gleich Konzept von komme gab dann ist Erwartungswert y klamme gleichen Erwartungswert von Z ich weiß gar nicht ich mehrere Nummer aufgeschrieben habe alles wäre nicht also Übung Richtern Ferienmonaten des Erwartungswert runterzuschreiben und dann sehen Sie Zeit ist genau der Erwartungswert von Betrag von x aber das wird vom Betrag von XOR durch Epson noch er aufgrund der Länder richtig ist aber ist und sie sind fertig b zahlen wir folgt unmittelbar aus wenn wir X ersetzen durch X minus IX und ja gleich 2 sehen wie folgt aus Art für X EX statt X und er gleich 2 fragen so weit also sehen Satz zwar eigentlich trivial hat trotzdem nahm das liegt eben daran dass es schon relativ alt ist damals kommt mir seinen Namen auf relativ triviale Sachen aufschreiben 1. Teil 2. Teil könnt ich natürlich Probleme solche Beweise auch einer Klausur fragen also was könnte ich die weißen sieht der Geschäfte Ungleichung oder auch die ganzen Sachen die wir dem Abschnitt machen oder auch Transformations als integrale künftig der Klausur schreiben Frage und so weiter sind lauter so kleinere Beweise ruhig davon ausgehen würde die kriegen Sie ihn ok dann kommt der Satz 5 34 wär es nicht trivial dann erst in der Wahrscheinlichkeitstheorie machen nicht brauchen aber jetzt als Befolgung auszuziehen bei den Beweis also dem 34 beziehungsweise Satzes auch trivial wenn ich ein bisschen tiefer in Abhängigkeit einsteigen würde aber das mache ich hier nicht also wir haben x 1 x 2 unabhängige werde Zufallsvariablen den Erwartungswert von Betrag von x die klein unendlich also x 1 x 2 unabhängige Quelle Zufallsvariablen mit erwarten zum Betrag von x die klein unendlich wenn die unabhängig sind müssen Sie oder ist implizit schon Ausdruck sind auf den gleichen Wahrscheinlichkeit von definiert anders kann ich die Unabhängigkeit kann ich nicht und dann ist die Aussage wäre dann existiert auch der Erwartungswert von Produkt und Erwartungswert von Produkt das Produkt Erwartungswerte und beweist machen wir dann in der Wahrscheinlichkeitstheorie mit das ist doch da gibt es ein relativ einfachen und eleganten Beweise es gibt nicht so einfache nicht eleganten weißen könnt ich auch machen in dem ich die Dixie sukzessive approximieren zunächst recht oder gemäß den Aufbau des Integrals vorgeht zunächst mit einfachen Funktion Anfrage und dann das hochziehen für das einfache Funktion wollen Sie noch sehen bis 15 bräuchte ich integral Konvergenz hat aber dass wir auch kein schöneres Aussage ist Erwartungswert von Produkt ist Produkte Erwartungswerte bei Unabhängigkeit frage an Sie kann ich die Unabhängigkeit der weglassen beziehungsweise blöde Frage weil wissen sofort kann ich weglassen und ich den Umsatz allgemein gelten würde wäre aber sehen Sie warum man die Zufallsvariablen abhängig sind warum dann unter Umständen Erwartungswert von doch nicht gleich dem Produkt Erwartungswert ist oder können Sie mir Ordener Zufallsvariablen den 2 Zufallsvariablen die abhängig sind und nur der Erwartungswert von Produkt und gleich dem Produkt Erwartungswerte sind ok sie nehmen 2 Zufallsvariablen die immer nur die Werte 1 0 annehmen die einen den Wert 1 an wenn die andere den Wert 0 annimmt das heißt sie nehmen einfach eine B-1B verteilte Zufallsvariablen X 1 und wählen als X 2 als 1 minus X 1 dann der X 1 X X 2 identisch 0 aber die beiden Einzel Erwartungswerte der nicht ist richtig wir noch einfacher sie nehmen die gleiche Zufallsvariablen X 1 gleich x 2 entsteht hier der Erwartungswert von X 1 zum Quadrat hier steht der Erwartungswert von X 1 Klammern zum Quadrat können Sie mir sagen für welche
Zufallsvariablen Erwartungswert von Quadrat gleich den Vertrag der das Jawort wer das ist wir können Sie die um die anders charakterisieren wenn die Varianz gleich 0 ist weil die Varianz war Erwartungswert von vertraten das den Quadrates Erwartungswert ist wenn die Varianz gleich 0 ist und mit müssen die Nations Theorie sehen Sie dann dann muss sie zu weit variabel selber mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich 0 sein das heißt letztenendes gerne Verteilung die und die wir nur darum konzentriert mehr als das wär er sie nehmen ohne Zufallsvariablen nicht trivial ist die nicht auf konzentriert ist mit sich selber dann ist die Hölle ende des diese Beziehung auch nicht ok das ist Satz 5 34 ich möchte aber genauso Satz 5 35 ich betrachte jetzt ende unabhängige Quelle Zufallsvariablen mit Erwartungswert von von x Siedlern endlich und die Aussage ist die Varianz von der Summe ist in dem Fall die Summe der Varianzen also bei Unabhängigkeit haben sie den Vorteil Varianz von der Summe ist die Summe der Varianzen Sie wissen der Erwartungswert von der Summe ist immer die Summe der Erwartungswerte ganz egal ob die Zufallsvariablen unabhängig sind oder nicht aber damit dass auch für die Varianzen Geld müssen die Zufallsvariablen mehr unabhängig sein das sehen Sie zum Beispiel in dem sie an gleich 2 nehmen und die gleiche Zufallsvariablen X 1 gleich x 2 nehmen wer die Varianz von der Summe der die Varianz Fans von 2 einer Zufallsvariablen nach Einreichen werden ist viermal die Einzel Varianz während die Summe der Varianzen der zweimal die einzubringen und 4 Mal die einst Varianz gleich zweimal die 1-LIVE über ganz könnte nur sein wenn die Varianz identisch wäre 0 ist das heißt allgemein nicht der Fall also diese auch dieser Satz gilt und Unabhängigkeit frostig gut comma zum Beweis auch der Beweis ist einfach eigentlichen einfaches durchrechnen wir fahren mit der linken Seite Anschreiben meine Definition hin Varianz von der Summe ist nach Definition der Erwartungswert von der Zufallsvariablen Minus im Erwartungswert zum Vertrag also Varianz von gesungen das ist das was da steht stören sie sich nicht dass ich irgendwann mal eckige Klammern Streit geschweifte Klammern oder runde Klammern ist alles das gleiche ich schreibe mir die verschiedenen Schreibweisen und das Ganze ein bisschen und nicht immer die gleiche Klammer zu damit er besser sieht von wo bis wo welche Klammer geht die deutsche Schreibweise ist sind eines eckige Klammern die international Schreibweisen zunehmend klar vielleicht beratungswilligen ok ich nutze diese Jahre geht es in der Erwartung sehr das aus also erwarten Sie von der Summe ist die Summe die Erwartungswerte werde und dann sehe ich die Summe noch aus da steht ja eigentlich da ich schreibe statt Betrag zum betrat nur beitrat zum einen dann steht eigentlich der Erwartungswert von der Betrag von Summe die gleich 1 bis n x 7 des XI alles war die
Genialität des Erwartungswert ist ab dann rechnen sie sollen somit zum Quadrat aus das mach ich in dem ich das einfach als große Summen schreib und Winter und zwar in schreibt jedes mitgeben multipliziere dann sehen Sie zu bekommen erst mal die Quadrate der einzeln Terme das weiß ich wie komme zu die gleich 1 bis n x 7 des XI zum Quadrat plus die gemischten Therme Gemischen Therme also ich bekommen solle zum über die nun J von X 7 Liebeselixier X X wird mir SEX J U I Ungleichheit ist und dann kalt doch die Genialität des Integrals auseinander ausmerzen und das Ganze aus unterziehen weil sie so geschickt steht man muss einem Schritt das heißt ich comma 4 Summe I gleich 1 bis 1 Erwartungswert von die ziviles ich zum Quadrat Fürst dennoch mit doppelt so viel wie comma ja gleich 1 bis n wie ungleich hat den Erwartungswert von X jenes E X I X X J meines Lebens wird ich habe einfach aus multipliziert die Summe aus modifizierter verdrahteten ausgerichtet dann sehen Sie wie Schwarz vielleicht nur noch darüber ich habe doch ich habe einen Platz konnte ich keine Taufe einfach so unterschieden noch
untersucht was hier eigentlich steht ist nach Definition gerade die Varianz von X I das heißt der 1. Term ist gerade die Summe der Varianzen und Sie sehen wir zeigen ist eben dieser 2. Termes identisch 0 ok Fragen so weit das kommt drauf an spielt dann ist die Summe voller Varianz das kommt drauf an wo diese Klammer endet also wir Klammer sollte hier enden ansonsten nur die Varianz zur von aber ganz wie es richtig noch mehr Fragen ist zum 1. und 2. Schritt der Betrag verlorengegangen Jahr deswegen habe ich ihn habe ich kurz gesagt weil Betrag zum Quadrat ist gleich die das war dieser Trick also ob sie minus 1 1. Betrag ausreichen einzelnen portieren oder minus 1 direkt Partien gibt es gleich das heißt dieser Betrag Striche in der Definition der Varianz sind primär kosmetischer Art das sieht ein bisschen schöner aus mit vertical bar statt beklagen okay dann fragen also unter dem Sonnenzeichen steht sie comma das Gleis 1 bis n und drunter steht noch die Ungleichheit gut ich glaube damit aber die Fragen durch jetzt sehen Sie er zu zeigen ist dass dieser Erwartungswert von den Produkten gleich 0 ist ohne dazu Vorschlag ja also naheliegenderweise wenn sich überlegen wenn ich Satz dem 34 vorher zitiere ohne Beweise und brauchte den brauche ich zum Beweis von Satz von 35 dann wäre das vielleicht die Stelle wo wir Satz 5 34 anwenden könnten und Sie werden sehen wenn der Erwartungswert von Produkt Wasser steht gleich dem Produkt der Einzel Erwartungswerte sind dann bin ich eine schon fertig weil die Einzel Erwartungswerte von den beiden X 7 minus EXE hat Erwartungswert 0 das heißt ich muss nur noch argumentieren nach Satz 5 34 sind die kann nicht auf die Zufallsvariablen X minus EXE X X wird minus XJ oder ich kann Satz 34 auf die Zufallsvariablen X 1 gleich XI minus EXE und x 2 gleich Ex-Dortmunders das X wird an den haben Sie da einen Vorschlag Vorschlag wir haben nach Voraussetzung dass XIX J unabhängig sind für die Ungleichheit richtig und dann also wir haben XIX Jahrzehnt Erwartungswerte die betragsmäßig endlich den stimme ich auch zu ändern dann werden die Cineasten der Zahlen übst XJ minus der Zahl immer noch unabhängige Zufallsvariablen warum woher wissen Sie das sind 2 Zufallsvariablen unabhängig sind und sie ziehen dann reelle Zahlen davon ab dass sie dann immer noch unabhängig sind ok Fragen an das was wissen Sie Unabhängigkeit sie kennen die Definition wo sie könnten Definition keine rund 1 was wissen Sie über Eigenschaften für Unabhängigkeit ok wird sie können und ich habe ihm erzählt von 2 Sachen eine Sache habe ich bewiesen andere Sache habe ich nur zählt die andere Sache kennen sie noch nicht aber die eine Sache sollten Sie so gut kennen dass auch eine Klausur beweisen soll sollten alles auch so ne Sache zum kleiner Satz wer erinnert sich noch wie der Satz hieß x 1 bis x N 1 unabhängig da haben Sie und was damit gemacht und das was dann aus comma auch unabhängig was haben Sie damit gemacht als sie würde vorschlagen haben Geld Zahlen abgezogen ja aber das der richtig das richtig wenn sie Wählerzahlen abziehen dem die unabhängig vollständig richtig Allianz allgemeiner formuliert wir haben und welche messbaren Funktion auch angewendet das heißt sie haben x 1 bis x N und basteln neue Zufallsvariablen y 1 bis 17 N in dem sie und welche Funktionen darauf an den und das Resultat war die dann waren die neuen Zufallsvariablen auch unabhängig ganz egal dass diese Funktion sind so lange diese Funktion messbar mal Satz Nummer Satz nur Satz Nummer nähe Lämmer sind 14 nachlassen 14 sind mit X E wie das Wegsehen und XJ weisen sind für die ungleich hat mit x 7 sexy und mit Blick sie und XJ auch x 7 das Exil X wird man das XJ unabhängig und daraus folgt mit dem Satz von gerade eben Satz 5 34 der Erwartungswert von Produkt ist gleich Produkt Erwartungswerte und dann sehen Sie aufgrund der Linde AG des Erwartungswert es steht hier dann Erwartungswert von X 7 SE Erwartungswert von X Sie mal aber das wird verlegt wird mir selber Konzerte
gleich 0 und dessen fertig sie hätten das Ganze auch einfacher machen können oder wenn sie dieses Lemma 5 14 nicht anwenden wollen dann hätten Sie hier drin auch bei dem Produkt aus multiplizieren können die Licinius X X wird SEX wird aus multiplizieren gibt eine Summe Differenz von 4 Thermen und wäre dann müssen Sie nur auf den bei diesen Produkten können Sie jeweils ein Wartungs- werden unterziehen bei 3 davon ist trivial er mindestens einen auf eine Konstante ist beim oder beim 1. XJ minus mal XJ X I X X wird Volkswirt Satz 5 34 aber so wurde Schreibweisen bisschen weniger werden auch gleich noch mal Satz wiederholt also was bis jetzt gelernt haben sollten wäre Unabhängigkeit diese es gibt 2 Rechenregeln das eine war die Sache die ich nur erklärt habe wenn sie mir Zufallsvariablen haben und sie kopieren die neu zusammen so dass die Gruppe nicht überlappen dann bleiben diese kopierten Zufallsvariablen unabhängig wenn die ursprünglichen Zufallsvariablen unabhängig sind habe ich in der Vorlesung nicht die wie wir diesen machen denn der Wahrscheinlichkeitstheorie das zweite was sie aber wissen müssen ist wenn sie unabhängige Zufallsvariablen haben Sie werden auf jeder einzelne eine und Umständen andere Funktion beste Funktion an die musste messbar sein das heißt Urbild messbare Mengen oder Opel von denen aus dem es wieder in die liegen es war mehr oder weniger alle Funktionen habe ich ihm gesagt dann bleibt auch die Unabhängigkeit erhalten das 1 von diesen kleinen also Wahrscheinlichkeitstheorie besteht aus vielen kleinen regeln die sie eigentlich wissen müssen oder wissen sollten gut Fragen so weit wenn ich mache ich 5 Minuten Pause zum Tafel wischen Ungemach und dann um einen Verzicht weiter ok würde ich ganz gern weitermachen ich mache Ihnen noch ein Beispiel und stelle die Legende Methode vor um Erwartungswert und Varianz ferner Binomialverteilung zu berechnen auch Beispiel von 36 ist XP verteilt das heißt X den Wert K zwischen Nullen N mit Wahrscheinlichkeit n über k mal PUK mehr als des BUND des garen so gilt Erwartungswert ist n Varianz ist ändert man 1 der wahre Erwartungswert haben Sie im Prinzip nach gerechten Dehnübungen das machen wir jetzt aber nochmal geht alles ein bisschen einfacher mit der folgenden Eigenschaft nämlich sind Z 1 bis Z 1 unabhängig B 1 die verteilt Zufallsvariablen so ist die Aussage dann ist die somit zu mir dieser Zeit die BNP verteilt Aldi folgt aus und die Beziehungen nicht mal stammen sind Z 1 bis Z 1 unabhängig B-1B verteilt so ist selbst als Summe der Z 1 bis Z 1 so ist es der BNP verteilt und jetzt machen wir 2 Sachen 1. ich begründe den Ausstand Folgen in der Tat das was ich da vorne behauptet hat relativ einfach und 2. wäre ich zeigen das Sternbild alle Sterne Sachen Interpretation von der Viren Interpolation von der Binomialverteilung nämlich sie haben so genannte Bernoulli versuche dann nur die Versuche ist eine Folge von versuchen die unbeeinflusst sondern der stattfinden jeweils mit Wahrscheinlichkeit p tritt Erfolg wird Wahrscheinlichkeit 1 minus die Drittmittel Misserfolg ein einzeln Versuch auf es dann führen Sie n dieser Bernoulli Versuche durch und wir zählen anschließen die Anzahl der Folge dieser Anzahl der Erfolge ist dann diese Summe der Z 1 bis Z 1 wenn sich in Erfolg durch 1 ja mit 1 bezeichnen Misserfolg 0 und dann ist die Aussage diese Anzahl der Folge ist dann Bildung in im Jahr verteilt ok jetzt machen und den ja 5 überlegen und die SEX also wenn wir schon gezeigt haben dass dieses der BNP verteilt ist dann stimmt Erwartungswert von X-Men Erwartungswert von Z über war bei der die gleiche Verteilung haben das heißt die X ist gleich Zeit nach Sternen EZ ist die Erwartungshaltung auch Summe ist die Summe der Wartungs- nach Genialität des Integrals und dann sehen Sie diese Z 1 bis Z 1 haben alle die gleiche Verteilung das deswegen stimmen die einzel Erwartungswert über überein das heißt er kommt in meine Erwartungswert von Z 1 und und wir müssen uns noch überlegen wie groß ist Erwartungswert von einer D 1 D verfallen also hier statt vielleicht auch mal drüber liegen ja heutiges Erwartungswert
ok und wir brauchen jetzt den Erwartungswert von dieser 1 verteilten zuweist variabel Z 1 diese B 1 viel verteilte Zufallsvariable Z 1 nimmt nur die Werte 0 und 1 an mit Wahrscheinlichkeit 1 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 minus P 1 mit Wahrscheinlichkeit p wie groß ist dann Erwartungswert dem Zufallsvariable 2 Werte der 1 0 3. Wahrscheinlichkeit eines 1 angenommen der 2. 1 2. Wahrscheinlichkeit wie angenommen wie groß ist Erwartungswert oder wie kommen Sie auf den Erwartungswert ein zweitägiges Nummer 1 minus die das heißt hier steht einmal ein weitgehend bis 0 x 1 minus Birgit MLP das was ein das zweite die Varianz von X natürlich auch die Varianz hängt nur von der Verteilung ab bis ein Charakteristikum der Verteilung also wenn x unter die gleiche Verteilung haben bestimmt die Varianz Felix der Varianz von Z überein dann steht hier die Varianz Z ist ja die Summe und aufgrund der Unabhängigkeit der Varianzen wissen wir die Varianz von oder aufgrund der Unabhängigkeit und der Z I wissen wir die Varianz des mit der Z ist die Summe der Varianzen so die Unabhängigkeit beziehungsweise den Satz 35 war das dann ist diese Varianz von Z 1 bis Z 1 die Summe der Varianzen und dann kommt wieder das gleiche Spiel die einzelnen Z I haben die gleiche Verteilung deswegen ist die Summe der Varianzen gleich einmal die einzelnen ist und was sie jetzt nur ausrechnen müssen ist die Varianz von einer D 1 die verteilten zu versorgen ok wie bekommen wir die Varianz von einer Bilanz des verteilten Zufallsvariablen also was schlagen Sie vor die berechnende die Varianz comma B 1 Lieferzeiten Zufallsvariablen Vorträge also wir neben dem Erwartungswert von dazu falls variabel zum Quadrat minus den Erwartungswert close bracket sogar hat alternativ könnte unmittelbare Definition verwenden aber das wird hier ein bisschen einfach also wir mal dann habe den Erwartungswert von Z 1 zum Quadrat wir Erwartungswert das wird von Z 1 10 close bracket zurücktrat jetzt den 1. Erwartungs den zweiten Erwartungswert können war das war P wie bekomme den Erwartungswert von Z 1 zum Quadrat Vorschlag ok was ist wenn einmal Erwartungswert Z 1 überbraten Bereich nicht wie 1 zum Beitrag mal B plus 0 Quadratmer 1 wenn das Bild das war diese Formel Sie haben so eine Funktion H von Zeit oder Ja sagen von Z 1 der Hafen Klein Z 1 quadriert einfach und dann den Erwartungswert bei einer diskret vertreiben Zufallsvariablen siehe kommen nur so mit dieser Art von X gar die Werte die auftreten mal die Wahrscheinlichkeit dass sie auf der wie wäre die auftreten sind hier 0 1 das heißt kommen auf Quadrat weil die Wahrscheinlichkeit dass es 0 mal eines Liedes P plus 1 Grad mal wie minus B Quadrat und 2. dann sehen Sie dann steht ablehnendes P Quadrat einmal mal cremiges B Quadrat oder was ich eben auch in der Form in maximal 1 bis die Schweiz die fertigen alternativ ich sagen können Z 1 Quadrat ist das gleiche wie Z 1 wenn sie Zufallsvariable haben die nur die Werte 0 1 an nehmen dann stimmt der Werte quadriert immer mit dem ursprünglichen der zurück über ein Ende sofort gesehen Erwartungswert von Z 1 Quadrat ist auch okay weil das war einfach und das war relativ elegant und das auszurechnen oder Fragen so weit dann comma zum Nachweis von Sternen ich mache das mit nur Mengen wiener Hilfsfunktionen der sogenannten erzeugen Funktion der meine Wahrscheinlichkeitstheorie noch mal ausführlich behandeln ich schneide sie immer ganz schnell an die Idee ist ich gucke mir unmittelbar dem Erwartungswert von Klein S hoch x 1 für es feste Zahl zwischen minus 1 und 1 also DSL mit minus 1 1 Tsetsegee der als Erwartungswert von also genau ich suche Z fruchtet ist eine so genannte erzeugende Funktion wir Sie können sich vorstellen für diejenigen die schon immer alles ein bisschen weiter sind es nach außen vor je konzentrierte was sich hier an und auf Eigenschaften von diesen Erwartungswert und er sucht hat schließlich auf Eigenschaften der Verteilung zurück
diesen Erwartungswert von es Hochzeit kann ich einerseits ausrechnen wenn ich die Verteilung von Z keine haben Vorschlag also wenn ich Ihnen schon sagen oder keine B R n B fertig als Uhrzeit werden wenn sie schon wissen würden das Wasser zeigen wollen Z der BNP verteilt wie könnten sie den Erwartungswert von des Hochzeit ausrichten also merken vielleicht was ich ja nicht mache ich Beweise in lauter kleine Sachen nun Schluss wenn nicht alle auf einmal also und wie wenn sie Sachen von vergangenen vorlesen natürlich nicht parat haben haben Sie ein Problem diese Wahrscheinlichkeit oder so wie ich das präsentiere ist ist die machen viele kleine Schritte und am Schluss könnte ganz viel auf einmal herleiten aber aber das so eine Sache das haben wir ich weiß nicht vor 2 Wochen gemacht wurden 1 Satz wie das bekommen wir haben auch gerade eben angewendeten 2. war der Satz den wir hier angemeldet haben bei der war das wird uns vertrat den Senat und der Transitvertrag ausrichten können können Sie eigentlich Erwartungswert von es Hochzeit ausrichten ok also die bekommen Sie warten surfen es Hochzeit vorstand nein aber sie können trotzdem sagen nein die 1. was sich überlegen es gab 2 zu so von Zufallsvariablen über behandelt haben Zufallsvariablen Gedichte und zuvor war ja mit sehr wichtig was liegt hier vor bei Z Zufallsvariablen Gedichte ohne zuvor zwar ja mit sehr dicht ist genau welche Werte den Z mit Wahrscheinlichkeit 1 nur an wenn überlegen Definition Konzert als sowohl der Z Z 1 bis Z 1 nehmen anders welche werden uns an 0 also und zwar genau dieses geben 0 1 2 bis kommen wir auch nur vor okay jetzt haben Zufallsvariablen nehmen wir die Werte 0 1 bis Ende 1 natürlich mit Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit dass der gleich 0 ist wahrscheinlich das Deckblatt 1 ist und so weiter die Wahrscheinlichkeit dass der gleich in ist und dann wollen sie den Erwartungswert von es Hochzeit ausrechnen wie machen Sie das bei Agudat der Vorlesung Form aus der Vorlesung der Erwartungswert von Z selber würden Sie machen indem sie werde die angenommen werden 0 bis Ende nehmen mit dem Wahrscheinlichkeiten multiplizieren und auf addieren die Erwartungswert von der Funktion von Z nehmen sie indem sie diese Werte zuckte sie wenn die Funktion einsetzen mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten multiplizieren aufaddieren aber das müssen Sie so weit Wissen das heißt was Sie hier machen wir sprechen die Reihe oder bekomme auf die eigentliche Summe K gleich 0 bis Ende K gleich 0 bis Ende so kam mal Wahrscheinlichkeit von diese Funktion gucke ich mir an das ist ein Polynom dessen offiziell in gerade die gesuchten von mir gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind die Verteilung von Z vollständig beschreiben und dieses Polynom Bereich mich jetzt noch mal auf andere Art und Weise es wird die von es war der Erwartungswert von Entzug Z Z war die Summe der ZEIT Erwartungswert von es zog Z 1 plus und so weiter bis der N dann kommt mir Rechenregeln für Potenzen es hoch so eine Summe ist das Produkt der einzelnen es hoch die einzelnen Gemeinden das heißt hier steht eigentlich es auch Z I jetzt habe ich mir Wartungswerk vom Produkt wir hatten vor in den Satz ja den Satz 5 34 da zum 34 besagte Erwartungswert vom Produkt von 2 unabhängigen Zufallsvariablen dass das Produkt vor der beiden Erwartungswerte genau das gleiche gilt auch für n unabhängige Zufallsvariablen jetzt überlegen Sie sich sind diese Zufallsvariablen es zog Z 1 bis es Hochzeit ein unabhängig dann würde ich gern schreiben Erwartungswert von Produktes Produkt Erwartungswert aber die Begründung der Fed ist warum sind diese Zufallsvariablen es Hochzeit 1 bis es Hochzeit in unabhängig weil wir auf diese Zufallsvariablen Funktionen in die messbar ist das heißt die die Z 1 bis Z N sind unabhängig dann sind auch die es trug Z 1 bis es auch zu finden nicht also wo schreibe ich es Ihnen ja brauche ich eine neue Tafel wir wollen immer sehr den Satz für 34 und eben die Bezeichnung mit Z 1 bis Z 1 sind auch es suche Z 1 bis es auch Z 1 unabhängig und dann komme ich auf das Produkt Erwartungswerte dann sehen Sie die Z 1 bis Z 1 haben alle die gleiche Verteilung nämlich jeweils mit B 1 die Verteilung deswegen haben stimmen auch diese Erwartungswerte von Esssucht Z 1 bis es Hochzeit in überein also auch diese Zufallsvariablen es 15 1 bis es 15 in haben die gleiche Verteilung das heißt ich kann dir zurückschließen ich habe den Einzel Erwartungswert hoch N 1 dastehen Unrecht Herzen 1 labbert wird aus ok überreichlichen
Erwartungswert von es Hochzeit Z 1 also was kommt da raus wenn Z 1 mit wie einst die verteilte Zufallsvariable ist als ich weiß Z 1 ist die 1 4 verteilt die Bereiche denen Erwartungswert von S sog Z 1 wie man es 1 bis 1 das Thema ist suche 0 in der gleichen Art wie hier von hier gerade Ebene also diese gleichen Arten Formen in dem die beiden auftreten Werte 0 1 setzen sehen die Funktion es Hochzeit Z 1 und wurde Bezieher mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten das heißt wir kommen hier auf es hoch 1 x Free Louis S suchen 0 x 1 wie das das ganze hoch Wochenende dann sehen Sie insgesamt steht da ja ja 1 minus oder es mal Kleves 1 minus P hoch N okay und damit habe ich diesen das Polynom was ich ursprünglich hatte was dessen kommerziell und gerade die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind habe ich jetzt in anderen vom ausgerechnet es genau dieses Polynom und jetzt würde ich gerne aufgrund von dieser Darstellung zurückschließen auf die korrekte in da oben das ist aber einfach sie tun dieses es 1 minus P fassen Sie auf Abriss B dann haben Sie aber wie hoch er wenn binomischen Lehrsatz an also wir haben jetzt von der binomische Lehrsatz noch leichter von neuen Tafel also nach dem binomischen Lehrsatz konntet raus die Summe K gleich 0 bis Ende dann n über k mal 1. Tuch K ich schreibe mir dass es sogar ganz nach unten reden die ok mal 1 minus wo einiges klar mal gesucht was eine steht an dem es mal hoch und das habe ich umgeschrieben als PUK mal es kam und es so kalt einfach in Stich ansonsten was direkter binomische Lehrsatz ja was haben Sie jetzt ja jetzt habe diese Funktion von es Sie haben dafür 2 Darstellungen daraus folgt für alle S aus minus 1 bis 1 gilt diese eine Darstellung Paar gleich 0 bis N NS ok mal wie von ZUK ist gleich der 2. Darstellung also K gleich 0 bis N zu mir degree gleich 0 bis n n über k mal PUK x 1 wie das PON ist klar dann haben Sie ein Polynom mit 2 Darstellungen was können Sie dann bitte korrekt sagen die kurze müssen gleich sein weil die kompetenten beim Polynom eindeutig sind das sehen Sie zum Beispiel wenn sie hier also ist 2 identische Darstellung auf den ganzen dabei brauchen Sie nicht nur vereinzelt period unserer wir ganz in der Wahl wenn sie hier ist gleich 0 1 DZ würzen dann sehen sie sofort dann stimmt der 0 dekorierten überein dann können Sie wenn die Funktion übereinstimmt auch einmal ableiten die Ableitung Stimme auch über ein dann setzen Sie sie da ist gleich 0 dann bestimmte 1. Gorizia überein und so weiter also können sich zum Beispiel Tatzeit ansonsten also weil die kompetenten bei vollem Lohn sind eindeutig da kursieren in der Wohnung eindeutig sind Folge die Wahrscheinlichkeit von zeitgleich K bis gleich n über k mal ist der Karte korrekt sind rechts also Ende k meine PUK Vereinsliedes jedoch des klar für Carsten bis und damit den Bestand gezeigt die Fragen zu weit fragen warum gibt es nur für S aus dem Intervall von minus 1 bis 1 also warum habe ich es aus minus 1 bis 1 beschränkt wäre ich könnt es wär es aus er es genauso machen es richtig ich habe es für es aus minus 1 bis 1 gemein und das auch mit allgemeineren Zufallsvariablen machen zu können also allgemeine in 0 wertige Zufallsvariablen dann hätten hier eine unendliche Reihe stehen alle davon K gleich 0 bis unendlich gehen und dann müssen wir überlegen konvergiert diese Reihe und dieser Reihe wurde konvergieren weil sie diese komplizierten sind es dabei gleich 1 und sie ist dann majorisiert betragsmäßig durch die geometrische Reihe damit kommen und beginnt aber das eben nur richtig für es aus minus 1 bis 1 an der Stelle hätte es genauso viel es was er machen können weil
Z nur Werte von als letzter Werte von 0 bis Ende und es vollständig richtig allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie werden diese sogenannte erzeugende Funktion eben nur einführen für Argument aus minus 1 1 aus dem Grund um sicher zu sicherzugehen dass die entsprechende Reihe konvergiert ok noch Fragen gut dann komme ich eigentlich viel chronischen in rein so gesehen dass wir das noch weitermachen keine Chance abschnitt 5 5 Gesetze der großen Zahlen in diesem Abschnitt wollen wir begründen dass der Erwartungswert in der Tat eine Art mittlere wert der Zufallsvariablen X ist in diesem Abschnitt wollen wir begründen das X in der Tat in Anführungszeichen ein mittlerer Wert von X ist dazu gewichen Wahrscheinlichkeit Raum und mit wie vor und ich betrachte dann wähle Zufallsvariablen X x 1 x 2 und so weiter die auf ohne gerade definiert sind das seien Zufallsvariablen mit die folgenden Eigenschaften 1. diese Zufallsvariablen die Zufallsvariablen X 1 x 2 und so weiter sein unabhängig 2. die Verteilung von diesen Zufallsvariablen X 1 X 2 stimmen überein weil es wird vielleicht die für gleich der Abschied Abkürzung 1 x 1 x 2 und so weiter sein identisch verteilt und damit ist gemeint dass die Verteilung über ein stehen also zwecks 1 weil das eine neue Definition die ich hier gleich mit einführen und drittens die Verteilung von X 1 Stimme mit der von iX überein 3. TF 1 recht Text 2 und für 1. und 2. wir werden wir auch die Abkürzung x 1 bis x 1 x 2 und so weiter sein Interpret identisch verteilt oder kurz V für 1 und 2 Sätzen wir oder besser für ein sinnfreie schreiben wir x 1 x 2 und so weiter sein unabhängig identisch verteilt um kurz ich kurz durch die 3 Anfangsbuchstaben ab IV englische bezeichnen wir dafür wer ALDI die für bei den Tag Independent er den Tiger wie das blöd außerdem wird die konnten Deutsche IV und im folgenden begründen dann dass sich diese das arithmetische Mittel eines durch einen zumal die gleich 1 bis 1 X E immer mehr für großes N E X also wie wir gründen im folgenden 1 durch Ende Mai Summe I gleich 1 bis n X nähert sich immer mehr an als ich habe links dann eine von Ihnen abhänge Zufallsvariablen und behaupte für gegen endlich mehr diese sich immer mehr er dem Konstanten der Text an und diesen konstanten wert was sich denn auch als Zufallsvariable auf geben auf eine Konstante konnten die meine konstante konzentriertes dass nur diese Konstante als wird annimmt und ich hatte ich diese Aktion Ich habe Zufallsvariablen Z 1 und Z und behauptet Z nähert sich immer mehr Zeit an und das müssen wir eben der nächste Vorlesungen sprechen definieren mit Konvergenz betreffen für Folge von Zufallsvariablen also 1 konvergiert die eine Zufallsvariablen gegen eine andere da werden wir 2 Begriffe kennen lernen in der Wahrscheinlichkeitstheorie folgender noch einige weitere Fragen so weit keine Fragen dann bin ich für heute fertig und wir sehen uns am Meer
Geschwindigkeit
Zusammenhang <Mathematik>
Korrelation
Vorzeichen <Mathematik>
Stochastik
Geschwindigkeit
Wahrscheinlichkeitstheorie
Faktorisierung
Physikalischer Effekt
Maßtheorie
Nummerierung
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zahl
Integral
Integrationstheorie
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Erwartungswert
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Reelle Zahl
Zufallsvariable
Koordinatentransformation
Varianz
Gleichungssystem
Biprodukt
Zahl
Wahrscheinlichkeitstheorie
Integral
Negative Zahl
Erwartungswert
Quadrat
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Zufallsvariable
Koordinatentransformation
Auswahlaxiom
Varianz
Summe
Erwartungswert
Quadrat
Gewichtete Summe
Verschlingung
Betrag <Mathematik>
Fächer <Mathematik>
Zufallsvariable
Term
Varianz
Integral
Folge <Mathematik>
Messbare Funktion
Biprodukt
Term
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zahl
Integral
Null
Konstante
Summe
Erwartungswert
Quadrat
Bernoulli <Familie>
Interpolation
Betrag <Mathematik>
Zufallsvariable
Reelle Zahl
Unabhängige Zufallsvariable
Binomialverteilung
Urbild <Mathematik>
Varianz
Funktion <Mathematik>
Exponent
Erzeugende Funktion
Reihe
Biprodukt
Zahl
Wahrscheinlichkeitstheorie
Gradient
Summe
Polynom
Erwartungswert
Quadrat
Wiener-Hopf-Gleichung
Zufallsvariable
Unabhängige Zufallsvariable
Varianz
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Ebene
Darstellung <Mathematik>
Stochastische Abhängigkeit
Erzeugende Funktion
Gruppenoperation
Reihe
Gesetz <Physik>
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zahl
Konstante
Arithmetisches Mittel
Summe
Polynom
Erwartungswert
Geometrische Reihe
Homogenes Polynom
Zufallsvariable
Binomischer Lehrsatz
Ableitung <Topologie>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Rechenregeln für Varianzen
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34023
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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