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Maximum-Likelihood-Verfahren

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teuere mir der allen so Sam Susi die
führt örtlich für
Grillfleisch zur Vorlesung Einführung in die Stochastic Herr Kohl als heute wieder auf der Fachbereichsrat das hab ich ihn heute wieder Vertreter wir fangen an mit Mehr Wiederholung Song hat letztes Mal Beispiel 6 2 kennen gelernt der Bank möchte wissen wie viel Geld sie für operationelle Risiken bei Seite legen muss sie hat in den vergangenen 5 Jahren in einen gleich 7 N 2 gleich 12 N 3 gleich 5 zu 4 gleich 15 und in 5 gleich 3 Schäden beobachtet mit schaden würden X 1 bis Xn wobei die X is die Einzelschäden so und die Höhe der einzelnen Stellen das heißt es ist die Summe der Schäden in den letzten 5 Jahren also 42 gut mit der Zufallsvariable X hat die dann den jährlichen Gesamtschaden wobei X eben die Summe der einzelnen stehen das wie viele Schäden an in einem Jahr hat es Zufall das weiß man vorher nicht das heißt dass unsere Zufallsvariablen mit werden in E 0 und die XI sind unsere hören darstellen die nicht negative reale Zufallsvariablen sind das Ganze hatte mit dem kollektiven Modell aus der Versicherungsmathematik modelliert dabei gab es 2 zentrale Annahmen die 1. war die Schadensfällen sind unabhängig und identisch verteilt die 2. die Anzahl der Schäden pro Jahr es unabhängig von der Schadenshöhe so und um die Verteilung von X nun festzulegen muss man geeignete Verteilung für ihn und für x 1 wären Herr Kohl hat in der letzten Vorlesung schon um die Wasserverteilung motiviert für n als Approximation für die Binomialverteilung und da machen wir heute weiter ab gut also fangen wir an mit bei
der Verteilung von N Themen ab Typ ab Wien das gut ein mögliches Modell ist die Verteilung das heißt wir nehmen an doch auch ab wir von n Gleichklang 1 es nannte hoch n durch eine Fakultät mal e hoch -minus Land dar wobei n aus N 0 ist und nannte ist unser Parameter der Wasserverteilung der ist größer 0 das gut das Problem an der Sache ist was das Land an das wir kennen einander nicht und er hat jetzt in den letzten Vorlesung schon Schätzer für den Erwartungswert kennen gelernt und auch für die Varianz aber noch keinen Fehler unter und was man hier klassischerweise macht dass man dem das Maximum Lagerort Verfahren stehen ab Gin und gut die Idee das Maximum leiten und Verfahrens ist das man verlangt denjenigen Wert als Scherz annimmt für den die Wahrscheinlichkeit das ist das Modell unsere beobachteten Werte tatsächlich ausgibt am größten ist also weder Parameter so er dass die beobachteten Werte bei dieser Wahl des Parameters mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit auftreten bei ob auf ab so was wir jetzt machen es erhalten Landtag fest und damit auch unser Modell und können dann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen dass die beobachteten Werte tatsächlich von unserm Hotel generiert werden also genauer wenn anders N 1 bis 1 5 unabhängig sind und Wasser verteilt mit dabei miteinander sondern es für Landtag größer 0 fest 11 von Land es
ist unsere Laiki Funktion die ist am in diesem Fall definiert als die Wahrscheinlichkeit das N 1 gleich in 1 ist bis 1 5 gleich in 5 da wie die N 1 bis N 5 als unabhängig vorausgesetzt haben ist die Wahrscheinlichkeit jetzt gleich das Produkt der einzel Wahrscheinlichkeiten ab da aus sollen der müssen wir nur noch hier unsere Wahrscheinlichkeit dafür einsetzen aus das heißt wir haben hier Land auch n 1 durch N 1 Fakultät mal EOB -minus und so weiter das Land auch in 5 durch ein 5 Fakultät III ihr offenes Land dar gut das kann Mehr zum bisschen schöner schreiben befassen will und das zusammen dann haben wir unter hoch n 1 +plus 1 2 und so weiter +plus M 5 geteilt durch eine 1 Fakultät und so weiter geteilt durch in 5 Fakultät mal e hoch minus 5 Land dar auf zu sollen dieses 11 von Land dar es jetzt gerade die Wahrscheinlichkeit dass bei diesem Wert von Land da unsere 5 Beobachtungen N 1 bis N 5 aufgetreten sind das heißt dann ist für Landtag größer 0 fest 11 von Beamter die Wahrscheinlichkeit das bei diesem Wert von nannte er die N 1 bis 1 5 als Beobachtung auftreten der sollen wie schon gesagt wenn wir jetzt verlangt er den Wert für den dieses 11 von Land da maximal wird aber die ab also wir werden nun als letzter verlangt dar dasjenige Land das nach außen 0 bis unendlich für das L von er maximal ist das Zeit das Land da das ist gerade das Argument des Maxi mum also AG mag von 11 von Land dar zu ich weiß nicht ob die 1. Semester den Ausdruck schon kennen das ist einfach das Argument das Maximum das von allen von nannte das heißt man maximiert L unter und für den Wert verlangt dafür denn das maximal ist das ist dann und sagt ich kann sehr oder zu sparen mehr ok wenn
wir maximieren wollen ist klar wir brauchen die 1. Ableitung wir ziehen dieses 1 durch N 1 Fakultät mal 1 durch in 5 Fakultät was und müssen jetzt nannte aber auch n 1 +plus 1 5 mal EU -minus 5 flammte ableiten das heißt wir brauchen die Produktregel waren wir leiten zuerst nannte hoch n 1 +plus 1 5 ab dann bekommen wir in 1 +plus und so weiter +plus 1 5 mal nannte er hoch Exponent minus 1 also hoch n 1 +plus n 5 minus 1 mal die rechte Funktion mal e hoch minus 5 Land dar +plus haben jetzt nannte hoch in 1 und 2. +plus M 5 Mal die Ableitung von e hoch minus 5 nannte Ableitung von Georg -minus 5 Landtag bis minus 5 mal er hoch minus 5 Land dar statt mehr so und auch das Schreiben jetzt noch ein bisschen schöner aus wenn Sie das Land aber auch n 1 +plus 1 5 minus 1 raus genauso des EOC -minus 5 Lanther was bleibt dann noch übrig n 1 +plus und so weiter +plus 1 5 n das haben daraus gezogen ihr bleibt noch eine unter übrig das heißt -minus 5 während der so wird Fragen bis hier her gut ja wir haben jetzt die 1. Ableitung bestimmen müssen die noch 0 setzen zu ab mach ich vielleicht mal hier weiter so wandert haben L strich verlangt er gleich 0 der Ausdruck vor der Klammer wird nicht nur die Funktion kann die 0 werden wir müssen also gucken wann wird die Klammer 0 das ist klar wenn gerade 1 1 +plus und so weiter +plus 1 5 Röcheln fest so an dieser Stelle könnte er das Maximum vorliegen müssen noch die 2. Ableitung prüfen ob die wirklich kleine 0 es wir sehen allerdings auch sofort das Wendland war ein bisschen kleiner als dieser Wert zum einen die durch 5. dann ist die 1. Ableitung positiv wenn man da bisschen größer ist als dieser Wert ist die 1. Ableitung negativ das heißt die Ableitung hat an der Stelle ein Vorzeichenwechsel vom positiven in den negativen Bereich und daher wissen wir an der Stelle an der das mit tatsächlichen Maximum vor ab der in unserem Beispiel haben war ein 1 +plus und so weiter +plus 1
5 42 das heißt wir haben hier 42 5. und das ist 0 Komma 8 4 der ab soll diese Stelle ist maximal Stelle und damit unser schätzen für unser Modell mit der Poisson-Verteilung wie wird das ja hoch her danke also hier kommt natürlich 8 Komma 4 Ports übrigens der tritt der Fehler den ich in Herrn Kohl das Skript gefunden hat da muss ich immer er gut dieses England an ist die sogenannte Laiki und Funktion leidlich urteilst Wahrscheinlichkeit haben ihr könnt Euch das Verfahren also schon vom Namen her eigentlich ganz gut merken Maximum bleibt und Verfahren man versucht die leiten und funktionieren zu maximieren und der Wert für den Parameter der dann dabei rauskommt ist ein Unterstützer gut also Bemerkung aber er ändern da ist die sogenannte leidlich und Funktion n ab und die 2. Bemerkung ist wenn diese Nike und Funktion echt größer 0 ist dann kann man statt 11 von Land daher auch dem Logo Rhythmus von 11 verlangt der maximieren weil die Log Funktion monoton wachsend es das heißt allen Logarithmus von 11 von Land es genau dort maximal an der Stelle an der auch 11 von dann maximal ist und oft ist es eben einfacher mit dem Logo Rhythmus davon zu rechnen so empfahl allen Landtag größer 0 für alle und an kann man statt 11 von Land da auch den Log davon ab ab ab gut bei das ist manchmal einfach war und warum es ist einfacher wir hier vorne gesehen hat berechnet man wenn man die Maximum Nike und Funktion auch stellt das Produkt der einzel Wahrscheinlichkeiten man muss dann das Produkt ableiten wenn man den Logarithmus jetzt darüber hätte würde aus dem Büro Rhythmus der einzelnen Faktoren eben die Summe der einzelnen Logo wurden und werden das heißt man leitet dann nur noch eine Sommer ab was manchmal einfacher ist so hat er noch Fragen zu
dem 1. Teil könnt ihr noch fragen gut ja dann haben wir mit Ihnen weiter das Modell für unser Ende März aufgestellt dass es die Wasserverteilung mit dem Wert verlangt da gerade die Summe der in East durch 5 jetzt müssen wir das Gleiche noch für die Verteilung von X 1 machen hier haben wir gesagt X 1 ist unsere Schadenshöhe die Höhe der Schäden kann natürlich nie negativ werden trotzdem nehmen wir hier ja zur Normalverteilung an als Vereinfachung in der Praxis müsste man sich hier um was anderes überlegen um das Maximum Leittiere Verfahren zu erklären ist das aber völlig ausreichend wenn wir mit der Normalverteilung weitermachen gut dann B bei der Verteilung für X 1 ab wir passen vereinfachend eine Normalverteilung an The das heißt eine Verteilung mit Dichte das so passen vereinfachend eine Normalverteilung an das heißt eine Verteilung mit dichte 11 mit den Parametern Mühe und Sigma Quadrat von X was ist einst durch kurze 2 Ki durch Siegmar mal e hoch minus x -minus Mühlen zum Quadrat durch 2 7 a zum Quadrat soll hierbei ist die Wahrscheinlichkeit das unsere Zufallsvariablen die beobachteten Werte annimmt aber für jedes Mühe und jedes Signal Quadraten 0 3 er so das heißt bei stetig verteilten Zufallsvariablen wie hier bei der Normalverteilung mach das absolut keinen Sinn die leiten und Funktionen wie hier unten weil diskret verteilten Zufallsvariablen zu definieren Beweis für jeden Wert als Wahrscheinlichkeit 0 rauskommt das heißt wir müssen uns hier was anderes überlegen haben bei den diskret verteilten Zufallsvariablen habe die Wahrscheinlichkeit berechnet dass unser Modell die beobachteten Werte erzeugt und jetzt schauen wir uns nicht die beobachteten Werte sondern Umgebung davon an das heißt wir berechnen die Wahrscheinlichkeit dass unsere Zufallsvariable in seiner Umgebung von dem Wert liegt das heißt wir brauchen dafür die Dichte Ideen definiere die Leipziger Funktion so hatte das abgeschrieben die letzte Zeile das jeder umschreibt noch jemand führt ok dann habe ich
kurz runter ideal ab ab soll definieren die Nike und Funktionen durch L von der Werte Palmyra Siegener Quadrat als das Produkt ob von gleich 1 bis 1 der dichten und zwar ausgewertet an unseren Beobachtungen seit setzen wir hier noch die Dichter ein dann bekommen wir das Produkt von die gleich 1 bis n ab von einst durch muss soll 2 Pi durch 7 a der mal im Hochgenuss XI -minus zum Quadrat durch 2 Siegener Quadrat kann man das eigentlich gut lesen wir stehen noch -minus ok ab mehr gut also ich glaube ich muss erst die Tafel wischen bevor wir weitermachen ich würd Gott die Tafel wischen und dann machen wir sollen 5 Minuten weiter gut dann machen wir weiter wie schon gesagt es ist manchmal ein den Logarithmus von der Laiki und Funktion zu betrachten und das machen wir jetzt hier wohnen n steht so dazu das Geld auf ab der natürliche Logarithmus von unserer leiten und Funktionen von Müü Sigmar vertrat ist gerade denn da wurde es von dem Produkt darum an das Produkt von 1 durch Wurzel 2 Pi und zwar einmal es ja gerade 1 durch 2 pi Hochenheimer das Gleiche machen wir mit den sieht fragen doch nicht okay das gleiche mit dem Widmer 1 durch Siegmar Quadrat auch in halbe sie jetzt muss nur noch das Produkt von der Idee Funktion nehmen das ist gerade die Funktion hoch die Exponenten addiert also mal e hoch minus die Summe von ihm gleich 1 bis n von 7 -minus Mühe zum Quadrat durch 2 Quadrat ok haben jetzt handeln über Rhythmus von 3 Faktoren das heißt es ist das Produkt das ist die Summe von 3 nahm als 1. Summand n von einst durch 2 pi Hochenheimer jetzt wollen wir haben 1. dieses n halbe vor den aus und des Siegener Quadrat nach oben neben -minus schreiben und haben wir Block natürlich erlaube Rhythmus und es funktioniert sich auch das heißt wir haben hier
-minus die Summer wann die gleich 1 bis n von x 7 -minus Müll zum Quadrat durch 2 Sigma Quadrat ok Ziel ist ja wieder unsere Parameter Müh und Sigma Quadrat zu schätzen indem wir die Laiki und Funktion maximieren das heißt wir maximieren jetzt den Logo Rhythmus davon müssen also wieder ableiten 0 setzen der partiellen Ableitungen liefert zuerst den wir die partielle Ableitung nach Mühen Apps und was kommt dann raus wenn wir noch Mühe ableiten die 1. beiden Summanden fallen weg was passiert mit dem zwar mit dem 3. ja die Summe aber bleibt stehen und unten das 2 Siegen aber daran auch Netz fahren wir die Kettenregel 2 Mal schickt ihn das kühl weil die innere Ableitung ist -minus 1 gut dann sieht man die 2 kürzen sich weg und das wieder sind es Minus wird Plus und wir erhalten 1 durch Siegmar Quadrat mal die Summe der XI -minus in Malmö also das Menü haben wird aus der Summe rausgezogen gut wenn wir das jetzt 0 setzen welchen Wert welcher welchen Wert muss man annehmen damit das ganze 0 wird die Klammer muss neu werden das heißt es Mühe muss gerade die Summe durch einen sein Buch so hat also mühte ach es einst durch einmal die Summe der XI gut wir müssen jetzt noch die 2. Ableitung bilden und gucken ob das wirklich Maximum ist sehen aber wieder die 1. Ableitung hantieren Vorzeichenwechsel und wer mir unsere maximal stelle das Ganze müssen wir jetzt noch für Sigmar Quadrat machen wenn wir die Leiter Pilotfunktion nach Sigma Quadrat ableiten fällt der 1. Summand wieder weg der 2. Summand is n halber mal LN von Sigma Quadrat Ableitung von allen ist gerade 1 durch das Argument das heißt wir halten hier ne halbe mal 1 durch 7 Quadrat und jetzt müssen wir noch die Sonne durch 2 Sigma Quadrat ableiten Sigma Quadrat einst durch Sigma Quadrat kann man ja auch schreiben als Sideman Quadrat hoch minus 1 das heißt wir haben hier 1 durch Siegener Quadrat hoch 2 9 -minus 1 als Ableitung sie gut jetzt können wir hier noch die Einheit und des einst durch Stigma Quadrat ausklammern dann haben wir hier -minus n und hier das -minus 1 bis Minus gibt wieder +plus so und jetzt sieht man
was Quadrat an welchen Wert 7 R-Quadrat annehmen muss damit das Ganze 0 wird das hier vorne ist .punkt erreichen wollen müssen also wieder gucken wann wird die Klammer 0 n bringen das Stigma Quadrat auf die andere Seite und es einen auch das heißt wir haben dann hier 1 durch mal die Sommer der XI -minus Mühe zum Quadrat also und für das Mühen setzen wir natürlich sagen vorher geschätzten Wert für Mühe ein hier des bemüht auch die P es Fragen hierzu ja ja so ist die weitere Funktionen eben definiert was würden Sie statt dem Produkt nehmen ja und das Produkt kommt wieder daher dass man die Wahrscheinlichkeit für x 1 gleich X 1 und so weiter bis 6 n gleich X rechnen würden durch die Unabhängigkeit wird es wieder das Produkt der dichten das ist analog zu aber dem kann ja deshalb kann ein aus dem Grund muss man ja auch die Unabhängigkeit voraussetzen ja ach so ja danke das muss ich in Geld machen .punkt also hier leiten wir natürlich den Logo Rhythmus von dem ganzen ab genauso wie auch wir bei der Varianz ich so also heimwärts unsere Maximum leicht Videochats dafür Mühe und für Sigmar Quadrat gefunden also sind Maximum leiten und kürzlich sich jetzt ab mit NL The also sind Maximum für Mühe und siebenmal Quadrat hier müder ach es 1 durch einen mal die Summe der XI und sie kann einen Vertrag dar es einst durch einen mal die Sommer der XI -minus Mühl doch zum Quadrat gut jetzt haben wir unser Ziel erreicht wir wollten Verteilung für unsere Anzahl der Schäden für das N und für die Höhe der Schäden für das X 1 wählen die Verteilung von dem X also von den jährlichen Gesamtschaden kann man jetzt mit Methoden aus der Versicherungsmathematik wir leiden zum Beispiel mit den Formen von Garnier das werde dann in der Versicherungsmakler ab Verteilung von X lässt sich aus Verteilung von N und X 1 ab Verteilung von X lässt sich
aus Verteilung von N und X 1 wird Verfahren des Schadens Versicherungsmathematik näherungsweise bestimmen so zum Beispiel mit den Formen von Familie so auch noch eine 2. wichtige Bemerkungen wie man einen Schätzer für Siegener Quadrat zieht und wir letzte Vorlesung kennen gelernt hat es dieser Maximum Leid Videochats dafür Sigma Quadrat nicht Erwartungs Treue oder müsste hier einst durch N -minus 1 stehen das heißt Maximum-Likelihood-Schätzer müssen dich Erwartungs treu sein es wie man ein Sigma Quadrat sieht sind maximal to Jet sei nicht immer erwartungsvoll gut gibts noch Fragen zu dem Maximum Laiki und und sieht das wie gesagt einfach es gibt die 2 die Zufallsvariable kann diskret oder stetig verteilt sein je nachdem wird man dann seine Laiki und Funktion und die versucht man dann die maximiert machen und den Wert den man daraus bekommt es dann sein Maximum erklärt Scherzer ok wenn keine Fragen mehr sind würde ich jetzt mit dem nächsten Kapitel anfangen das heißt statistische Testverfahren das Kapitel 6 3 er er aber ab hier zu betrachten wir auch erst mal ein Beispiel n ob ok um festzustellen ob teurer Schokoladenaufstrich besser schmeckt als billiger Nestmann N Personen beide Produkte probieren und fragt sie dann welches Produkt hat euch besser geschmeckt wenn Sie sagen das teure Produkt hat besser geschmeckt nennt unser Wert für die Zufallsvariable es dann 1 wenn Sie sagen nein das billigere Produkt hat besser geschmeckt dann ist unser Wert neue wir wollen dann anhand dieser Beobachtung oder anhand dieser Testpersonen entscheiden ob man auch allgemein sagen kann das ein teures Produkt besser schmeckt als ein billigeres oder eben nicht ok um festzustellen ob teurer Schokoladenaufstrich besser schmeckt besser schmeckt als billiger lässt man n Person beider Produkte probieren und setzt dann den Wert für x i ab entweder 1 oder 0 1 genau daran falls die Person
das teurere Produkt als besser entwendet falls die Person teures Produkt besser schmeckt falls die Person ab und 0 sonst die geht dann natürlich von 1 bis n so die Frage ist welche Rückschlüsse zieht man dann aus diesen X 1 bis Xn kann man also allgemein sagen dass das teure Produkt besser schmeckt Frage oder nicht ok der welche Rückschlüsse ziehen wir dann aus 6 1 besiegt werden ab ab ab ja jetzt steht hier noch ein Zahlenbeispiel Zahlenbeispiel angenommen wir haben n gleich 30 Personen befragt und der Mittelwert der XI war 21 30. also 0 Komma 7 gut die Frage ist jetzt ob man aus diesen Beobachtung mir eben sagen kann das teure Produkt schmeckt besser gut wenn wir das Ganze wieder stochastische modellieren wollen fassen wir die kleinen X 1 bis Xn als Realisierung von Zufallsvariablen auf auf wird die Zufallsvariablen sollen unabhängig und identisch verteilt sein und sinnvollerweise wie wir schon gesehen haben es X nimmt X 1 entweder den Wert 1 oder 0 an so der X 1 sinnvollerweise 0 1 fertig ist es die Verteilung die wir zugrunde legen der haben Bernoulli Verteilung ist die Verteilung von X 1 wenn Univ nur Bernoulli Verteilung Küh gebt Parameter p für ein P aus 0 1 stehen den Parameter p
kennen wir nicht des unbekannt haben wir wollen uns dann zwischen den beiden Hypothesen H 0 P ist kleiner gleich 0 Komma 5 das heißt das teure Produkt schmeckt nicht besser und der Alternative Prothese H 1 wie ist größer als 0 Komma 5 das heißt das teurere Produkt schmeckt besser entscheiden die liegen ab er n wie interessiert man sich also für Abweichungen in eine Richtung deshalb nennt man dies ist das Problem auch einseitig ist das Problem ab bei zweiseitigen Test Problem würde man sich abweiche für Abweichungen in beide Richtungen interessieren das heißt die könnte dann zum Beispiel stehen H 0 p =ist gleich 0 Komma 5 und 1 PS ungleich 0 Komma 5 bei zweiseitigem Test Problem gut was wir jetzt machen oder abstrakt ist damit gemeint begeben oder zu einfach und schränke die Klasse verteilt der Verteilung eine Vermischung gemacht mit der Binomialverteilung gegeben ist Parameter Menge Täter also gegeben ist Parameter Menge Täter und Klasse W Täter Mittäter aus Tätern von Wahrscheinlichkeiten Nasen auf er mit einem diese Parameter Menge jetzt in 2 anderen Mengen auf die nicht leer sind und die disjunkt sind mehr ich also es gelte Täter ist die Vereinigung von Tätern 0 und 1 wobei beide Mengen Tätern und Halter eines nicht leer sind und die sind disjunkt das heißt der Schnitt ist leer die X 1 bis Xn sein
unabhängig und identisch verteilt reale Zufallsvariablen mit X 1 gleich wird Täter für einen Täter aus Täter G A R dieses kleine Täter ist natürlich unbekannt man kennt die Verteilung nicht bitte so ausgehend von den Realisierung klein x 1 =ist gleich 1 x n wollen wir uns nun zwischen den beiden Hypothesen H 0 Täter ist aus unserer 1. Menge Täter 0 und der Alternative Prothese H 1 Täter ist aus der 2. Mehr entscheiden ab in unserem Beispiel ist Täter das Intervall von 0 bis 1 also unser Parameter Täter ist bei uns das P was kann im Intervall 0 bis 1 liegen Täter 0 ach so hier Täter 0 ist das Intervall von 0 bis 0 , 5 und Täter 1 es ist halboffen Intervall von 0 Komma 5 bis 1 und unsere unser W Täter war bei uns die Bernoulli Verteilung das heißt dieses kälter als bei uns das Beben es Agenda Fragen so weit ok des Weinzelt ganz kurze Einführung dann in der nächsten Vorlesung fand der dann mit statistischen Tests an da werdet ihr sehen das Test einfach eine Abbildung vieles von der Erde nach 0 1 je nachdem wie dieser Test ausfällt entscheidet man sich dann für die alternative Prothese oder kein Jahr 0 Prothese nicht vorwerfen gut dass nach der nächste Vorlesung
Summe
Kollektivmodell
Zufallsvariable
Versicherungsmathematik
Höhe
Binomialverteilung
Parametersystem
Erwartungswert
Maximum
Varianz
Schätzfunktion
Parametersystem
Summe
Faktorisierung
Logarithmus
Exponent
Maximum
Poisson-Verteilung
Vorzeichenwechsel
Ableitung <Topologie>
Parametersystem
Faktorisierung
Summand
Exponent
Maximum
p-Block
Natürlicher Logarithmus
Dichte <Physik>
Summe
Quadrat
Normalverteilung
Logarithmus
Zufallsvariable
Höhe
Schnelle Fourier-Transformation
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Summand
Versicherungsmathematik
Maximum
Partielle Differentiation
Vorzeichenwechsel
Summe
Quadrat
Homogenes Polynom
Kettenregel
Höhe
Partielle Ableitung
Ableitung <Topologie>
Varianz
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Quadrat
Homogenes Polynom
Mittelwert
Versicherungsmathematik
Zufallsvariable
Maximum-Likelihood-Schätzung
Fünf
Maximum
Biprodukt
Schätzfunktion
Parametersystem
Menge
Drei
Zufallsvariable
Statistischer Test
Abbildung <Physik>
Klasse <Mathematik>
Binomialverteilung
Schnitt <Mathematik>
Statistische Hypothese
Richtung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Maximum-Likelihood-Verfahren
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34022
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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