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Linearität des Integrals

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ja begrüßt Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung in der Einführung in die Stochastik wenn Sie freundlicherweise ihre Unterhaltung so weit einstellen könnten also kann auch noch ein bisschen weiterreden dann kann ich heute früher gehen ich hat also für so viel zu viel zu tun und so gesehen nicht schlecht aber Dankeschön gewann geblieben Definition des was Integrals habe ich ihn beim letzten Mal vorgestellt wir haben Raum und egal mit zu Grunde gelegt das heißt ohne geheißen nicht kläre Menge eines Signalgeber darüber Mühen Maß gleich Eigenschaften die Wahrscheinlichkeit Maß außer dass wir vom gesamten Raum eben nicht 1 zu 1 ja eine Funktion haben und danach er den 1. ist das heißt Urbild jeder Menge aus B ist mir sieht Margit war im Definitionsbereich von in Signalgeber an Definitionsbereich von H enthalten wir haben dann das Maß integral in 3 Schritten definiert 1. ist H nicht negativ einfach das heißt H lässt sich darstellen als Summe I gleich 1 bis n alter Email Indikator Funktionen zur Menge als 1 des Alter n sind nicht negative reelle Zahlen A 1 bis A 1 sind aus der sich die war A 1 bis dahin bieten eine Tradition von und er in diesem Fall setzen wir integral HD Mühe als Summe eh gleich 1 bis n alter immer viel von das heißt der dieses diese Funktion H können wir sagen es ist eine Art Rechteck Funktionen wir berechnen den Flächeninhalt zwischen zwischen der Onega Axel und der y-Achse von der Funktion in dem wir die Höhen der Rechtecke Multiplizieren mit dem Maß wird mit der Länge gemessen durch das Maß also ein von ist dagegen H nicht negativ messbar zu wählen wir nicht negative einfache H in die period Weise von unten gegen Haare konvergieren Schreibweise dafür ist H 1 weiter oben gegen H das heißt es gilt für jedes obiger aus ohne H 1 und Norweger kleiner gleich H 2 von ohne gar kleiner gleich und so weiter und von ohne Garconne geht gegen Hafenecker und setzen in dem Fall das integral über H Haidemühl ist der Limes entgegen endlich integral H in dem dann 3. allgemeiner Fall im H auch negative Werte an zu definieren wir positiv wie negativ Teil habe ablösen H minus habe Lust von ohne das Maximum von Hafen und wieder comma decimal 0 H Ministern Omegas das Maximum von minus Hafen sonniger comma decimal 0 wir haben den integralen gemäß 2 schon über habe müssen H minus sofern nicht beide gleich endlich sind definieren wir das integral HD als Differenz dieser beiden Integrale von Welle Zufallsvariablen X ist der Erwartungswert von Next integral über XDP und der Armen comma M 15 gesehen Es waren die Szenen mit 10. schützen da gilt der Erwartungswert von X X ist die Anzahl Überlebender Ente ist die zum LK gleich 0 bis 9 K mal Wahrscheinlichkeit phönixgleich gar und wir konnten es soll letztmalig auszurechnen weil eben diese Wahrscheinlichkeiten nicht elementar ohne weiteres berichten können okay da möcht ich heute weitermachen für wir
verwenden die folgende Ideen Beispiel von 15
diese Anzahl der Überlebenden internen bestimme ich so in dem ich für jede Ente die überlebt 1 1 auf aufaddieren und für jede Ente die nicht überlebt 1 0 aufaddieren also X die Anzahl überleben wenn ist gleich zum Inhalt 1 bis 10 x E wobei X E oder mit extrem ist 1 weiß die ite Ente überlebt 0 sonst diese Zufallsvariablen liege nie wenn nur die wasche Werte 0 1 an können Sie mir sagen wie welche Art von Verteilung diese Zufallsvariablen hat weil sie eine Zufallsvariablen nur die Werte 0 1 1 1 und wie sie verteilt Vorschlag soll ich ein paar Meter tiefen vorgeben und Sie raten gleich verteilt es gleich verteilt im Jahr verteilt normalverteilt okay gleich verteilt 1. wie loyal verteilt 1. normalverteilt okay wir haben wir klar nachweisen B 9 Jahre verteilte ist die 1 die verteilt der Binomialverteilung in der Tat was hat dazu auch bei nur die Verteilung die Verteilung ist eindeutig bestimmt durch die Wahrscheinlichkeit mit der die 1 auftaucht also Bestimmer mal dienen und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die die überlegt nun die und überlebt wenn der 1. schützen ich auf die den zielt der zweite Schütze zügig auf die der Ente und so weiter und der 10. auch nicht also ich kann das Umschreiben als Wahrscheinlichkeit von er verschüttete nicht auch in DE das dann genauso wie den zweiten und so weiter und genauso wie den 10. der sollte auch nicht drauf sehen kann das heißt ich habe so was und jetzt wenn sich wollen wir erinnern an unsere Modellierung oder unsere Aufgabe Dame gesagt die schützen entscheiden sich unbeeinflusst voneinander rein zufällig auf welche enthält Sie schließen wenn Sie sich aber unbeeinflusst sondern da entscheiden dann sind diese einzelnen Ereignisse also was da eine steht ist Schnitt von Ereignissen Schmidt vom Ereignis 1 1. Schütze sie auf in ihn die geschnitten mit Ereignis 2 2. schüttet sie laufende E und so weiter bis zum Schnitt Agnes 10. 10. schüttelt sich nicht auf ein die Wände sich unbeeinflusst waren entscheidend sind die diese Ereignisse unabhängig das heißt die Wahrscheinlichkeit von so im Schnitt ist das Produkt eines Wahrscheinlichkeiten also ich kann hieraus schließen weil die schützen sich unbeeinflusst sondern da entscheiden werden period das das gleiche wie das Produkt eines Wahrscheinlichkeiten weil die gleiche Wahrscheinlichkeit mit 10 1. Punkt 2. period sie können wir sofort sagen wie groß diese 1 Wahrscheinlichkeiten sind unser Vorschlag jeweils 19. war der Schütze Peter rein zufällig eine der aus auf der schließt das heißt die Wahrscheinlichkeit dass er auf die Ente E zielt ist ein Zehntel die Wahrscheinlichkeit dass neben zieht das Kompliment als 19. also comma auf 19. Mal 19. wir am 19. Loch ziehen das kann ich jetzt aber auch den Erwartungswert von der Zufallsvariablen X I ausrechnen Münte Zufallsvariablen X E in nur die Werte 1 oder 0 1 das heißt ich kann sie darstellen als einmal Indikator dass die von der Menge wo sie die 1 1 und plus 0 mal Indikator von der Menge wo sie 0 1 sind dann sehen Sie diese Zufallsvariablen X I ist eine nicht negative einfacher Funktionen will der Erwartungswert hohes Maß integral davon ist dann einmal will die Wahrscheinlichkeit von der Menge wo sie 1 ist also einmal Schnelligkeit von ich sie gleich 1 abgelegt Wahrscheinlichkeit von ich die gleich 0 gibt genauso 19. hochziehen 10 und damit können wir was jetzt brauchen bis mich interessiert eigentlich der einzelnen Mittelwert mich interessiert der Mittelwert von der Summe also damit
Erwartungswert von EXIST Erwartungswert und diese Summe er und das entscheidende was ich Ihnen in der heutigen Vorlesungen zeigen möchte oder verweisen werde es Erwartungswert Nutzung ist die Summe Erwartungswerte ganz egal ob sie um welche zusätzlichen Vorausset- oder oder dass sie um welchen zusätzlichen Voraussetzungen die Zufallsvariablen das heißt ich habe hier das ist die Summe der einst Erwartungswerte ab dann sehen Sie da kommt ja aus die gleich 1 bis 10 19. oder 10 nur 19. es können den Taschenrechner als einzigen ausrechnen sie kommen auf ungefähr 3 comma decimal 4 9 also sehen dadurch dass
die schützen sich gegenseitig nicht absprechen treffen sie eben nicht alle enden sondern einzeln sondern im Schnitt werde nur dreieinhalb dieser enden getroffen ok Fragen so weit ok werden 13 Drainagen getroffen und überleben sie am vollständig recht im Schnitt überleben dreieinhalb in das heißt sechseinhalb werden getroffen das heißt statt 0 N überleben aufgrund der mangelnden Absprache jetzt halten steht danke sonstige Berechtigungen dann ist die Frage warum gilt diese Beziehung mir und das welche als nächstes begründen also das da gilt
wegen und das wird unser nächster Satz ist der Satz 5 22 wir haben was Raum ohne Garmin wir haben Funktionen FG von Anlegern ARD messbar sind ein nein er hat und ich gehe davon aus das integral F der Mühe existierte genauso sehen die Gral G Gemüt und jeweils reelle Zahlen sind bei der habe ich eine reelle Zahl dann gibt es folgen den 1. Beziehungen integral von S G der existiert und es gleich in die greifen es dem übelsten die 3 gegen und 2. wie das als aber die Funktion f ist die Funktion ebenfalls in der Firma ist das integral von einfach mal es ist der Mühe ist einfach integral F und drittens das gilt für alle und ich aus um egal dass er von ohne gar kleiner gleich die von ist also es und und Ja mehr das impliziert das integral es genügt aber gleich integral ist hat also unser allgemeines Maß integral
hat 3 Eigenschaften die sie genau vom Riemann integral schon kennen 1. beiden Eigenschaften sind liegen damit lädt also in die Grafen so ist Summe der Integrale integral von einem Vielfachen der Funktion ist es vielfach der integral Integrals 3. ist die Monotonie aus F und gar kleiner gleich die von obiger gar folgende gerade 11 den viel kleiner gleich in die 3 gegen nehme so was haben Sie auch schon Integrationstheorie gemacht zumindest diejenigen von ihnen dem vierten Semester sind ich weiß gar nicht ob es allgemeiner formuliert haben haben Sie die was mir allgemeiner formulieren könnte einen Satz also für diejenigen die schon Integrationstheorie hören man kann wenn ein dienen oder funktionieren aber das ist trivial dass sich allgemeiner das ist ja so richtig hingeschrieben habe ist eine Beziehung für Gleichheit von Integralen man kann es aber noch anders formulieren ich habe es mündlich dazu gesagt ich weiß beziehen aufgefallen ist ich habe mündlich mehr gesagt dass ich ihn geschrieben habe würde das integral als in den Jahren monotone Funktion interpretieren kann ja klar das kann ich daraus machen aber dass es sich um die allgemeiner von der Aussage des Satzes 1 ich kann so die abstrakt formulieren ist richtig nein ich meine was anderes was sie eigentlich auch steht ist ein Existenz Satz der Existenz hat gesagt ich existiert dieses integral und existiert dieses integral dann existiert auch das integral links um diesen Existenz als reines allgemeiner formulieren ich kann ich diese beiden mit und die man das integral F in er ist integral gegen er ist weg lassen dann ich kann nur sagen ich fordere nur integral 11. mehr existiert integral gegen existiert dann können die beiden auch plus oder minus unendlich sein und ich fordere noch weiter hier drin dass die Summe von den beiden existieren das heißt ich einer ist müssen endlich und andere es müssen endlich und daraus könnt ich dann folgern dass auch dieses integral von FSG bemühen existiert wenn Sie das machen machen normalerweise nur Maßtheorie vorlesen ich weiß nicht was jene Integrationstheorie auch machen würde der brauchen Sie noch so klein ist der nur mit rechnen mit plus minus unendlich wir brauchen Sie so eine Viertelstunde und weisen was völlig kritisches Publishing müssen endlich war ist mir ganz nette Sache aber ich mach dir nichts ich habe sehr starke formulierten und ich werde auch nicht groß auf dem Existenz eingehen okay dann Corolla entsprechend für Erwartungswerte ist klar ich kann das ganze jetzt sofort formulieren mit Erwartungs werden für den legalen kommt aus Corolla 5 23 ich habe Wahrscheinlichkeit Raum ohne gehen werde Zufallsvariablen X x 1 x 2 und danach nach er ich fordere x x 1 x 2 sind als er also mit x x 1 x 2 mehr das und ich haben eine Frau er das ist die Aussage an der Erwartungswert von x 1 bis x 2 nun diese Erwartungswert ist nach Definition des Integrale weil x 1 plus x 2 DP ich gehe in den Satz 5 22 a rein weiß dieses integral von der Summe ist die Summe der Integrale das heißt ich bekomme über das auf das integral über X 1 TB plus integral bei x 2 DP und wollte sie das Erwartungswerte steht Erwartungswert von X 1 ja und wird von X 1 des Erwartungswert von x 2 solche des analog Erwartungswert von 1 X X ist einfach mal Erwartungswert von X sie analog aus X 1 von galt lange gleich x 2. einiger für alle und folgt Erwartungswert von X 1 kleine gleich Erwartungswert zunächst 2 also Mittelwert von Nutzung ist die Summe der Mittelwerte Mittelwert von vielfachen es ist die Farbe des Mittelwerts und wenn man einen Zufallsexperimente mal was rauskommt was kleine gleich ist es der beim 2. Zufallsexperimente dann kommt auch die Mittel beim 1. Zufallsexperimente was raus was kleine gleiches dass das was im Mittel beim zweiten Zufallsexperimente auskommt also intuitiv nicht klar von der Formulierung her mit x 1 plus x 2 meine nicht die Zufallsvariable die ja ich
sage es diese Zufallsvariablen X 1 x 2 sind Center für mich immer Funktionen also x 1 x 2 sind Funktionen von ohne danach R und solche Funktionen recht indem ich sie funkt in dem ich jeden einzeln Funktionswert addieren das heißt ich meine die Funktion die eigentlich kleinräumiger abbildet auf x 1 zu 1 gab es 6 2 5 Meter entsprechend mit alter X X X nicht die Funktion des wieder Abbild auf Eis und einzelne ich glaube ich muss mich entscheiden das könnte klar seine gute weiße einfach Satz 5 22 also Beweise folgt aus Satz 5 22 in Definition des Verwaltungsrechts
also schreiben die Aussage mit Hilfe der Definition des Erwartungswert ist als eine Aussage zum als integralen um und die entsprechende USA geschieht Satz 5 42 gut fahren so weit fragen keine Fragen dann Beweise Satz 5 22 beweise und Satz 5 22 a Teil ist ein typischer Beweise wie man den macht um Eigenschaften des Mars Integrals zu zeigen wie wir doch immer wieder machen werden gemäß das Aufbau des der Definition des Mars Integrals in 3 Schritten beweist man diese Behauptung in 3 Schritten separat für den Fall dass er von G nicht negativ einfach sind dann für den Fall dass er von G nicht negativ sind und dann für Allgemeine Funktionen üblicherweise mussten dabei nur im Schritt 1 das F und G nicht negativ einfach sind wirklich was zeigen der Rest folgt völlig mechanisch das mache ich jetzt einmal vor USA wenn man mal davon aus dass er von G nicht negativ einfach sind sind also F und G gleich nicht negativ einfach ich schreie gleich die entsprechende Bauart also es ist die Summe es ist somit die gleich 1 bis n Eifer immer 1 A E und G 1 B PJ ziehen die nicht negativ einfach und in dem Fall weil sich die Behauptung ich spare mir jetzt hinzuschreiben das heißt und M sind natürliche Zahlen als 1 bis Alfa in sind reelle Zahlen A 1 bis A in USA ist mit Addition von gar B 1 bis B in USA ist ebenfalls der wieder das meine ich ist implizit ausgedrückt mit dieser Sache nicht negativ einfach und diese Darstellung alles sind der nicht negativ einfach dann möchtest integral von 11 ausrechnen es ist klar wenn es nicht negativ einfach ist also nur endlich viele nicht negative Werte annimmt und gehe auch nicht negativ einfach ist also nur endlich viele nicht negative Werte an und dann sind auch die Summe nur endlich wieder nicht negative Werte an und ist also ebenfalls nicht negativ einfach damit kann ich auch das integral von FSG unmittelbar hinschreiben ich fordere nur die entsprechende Darstellung diese Darstellung bekomme ich wenn ich mich erinnere auch dann
gilt das hatten wir als wir gezeigt haben dass integral eindeutig definiert ist ist kann jetzt aufspalten in die Mengen A 1 A I geschrieben B 1 bis A I geschnitten WM Spalte entsprechen Indikator Funktion es der die damals über die entsprechende die Karte Funktionen und kommen dann auf F es ist wie gleich 1 bis n J vielleicht 1 bis Alfa E X 1 eingestiegen Billard oder sprechen für G das war die Bemerkung zu wohldefiniert halt des Integrals ok erinnern Sie sich daran noch so weit das klar Allah steht F ist gleich um die gleich 1 bis Ende für mich auch vielleicht 1 bis Alfa X Indikator Funktion zur Menge A I geschrieben DJ und des ist leicht II gleich 1 bis n dort gleich 1 bis Wetter J x Indikator Funktionen zu Menge gestellten DJ und dann den klaren vergleiche Bemerkungen zur wohldefiniert halt bis in die Gras heute dabei sollten Sie nicht sagen ich konnte es dann gilt nicht lesen will gut gut wir sind so weit also ich nehme sie nicht protestieren sie erinnern sich hatten wir schon mal wenn ich das habe kann ich auch FSG bilden der Frisbee spielen die beiden Firmen dann kann ich die beiden zum Zeichen ja ausziehen also ich kann die einzeln wenn man auf aufaddieren dann kann es in die Karten aus dann sehen Sie dann kommt ein ich die Summe I gleich 1 bis Ende ja gleich 1 bis Alfa Idriz bei der J Indikator Funktion vor was ich komme darauf damit sehen Sie noch mal es B ist nicht negativ einfach damit kann ich aber das integral von 11 bis G unmittelbar ausrechnen integral 11. G Gemüse ist nach Definition des Integrals gleich will zumal der Koeffizienten mal Maas werde von den Mengen das hat nein also ich kaufe sowie die gleich 1 bis n zu mich obgleich 1 bis Alfa Ebersberger J Malmö von AI geschnitten wird sie haben endlich Firmen ich kann dieses auseinanderziehen ALDI Einzelgemeinden sind ja alle ihn mal von geschnitten BJ Plus der J Malmö von geschnitten wird ich kann die diese wenn man in einer beliebigen Reihenfolge aufaddieren ich ja dir erst alle Alfa Ina wie von Ali geschnitten wird auch von dann alle bei der J man wie von 3 Beschwerden wird das heißt ich komme auf die Summe von 2 Summen also ich komme auf das hier und dann wenn ich nochmal zweimal die Definition des Integrals an zusammen mit den Darstellung von F und G die vorher geleitet habe und bekomme der Definition des Integrals auf ja integral über 11 das integral übergeben mehr und damit habe ich überhaupt im 1. fall bewiesen okay fahren sogar zum ersten fallen also wie Sie sehen im Falle der Definition dass die oder war das die Funktion nicht negativ einfach sind liegt der Trick eigentlich in der Umschreibung der Funktionen spezielle Darstellung und dann ist es eigentlich nur noch die Definition des Integrals insgesamt dreimal angewendet sowie einmal eine endliche somit kann ich in der oder endlich wieder jemanden kann ich nur beliebige Reihenfolge auf erklären dass alles was dahinter steckt sie sehen auch das Ganze ging nur deswegen so einfach weil wir die Definition so kompliziert gemacht haben das ich eine Definition gemacht habe wo ich eine beliebige Darstellung werden konnte für 11 1 stückweise konstante Funktion wenn ich das an der Stelle nicht gemacht hätte er früher nicht gemacht hätte hätte ich damals keine wohldefinierter zeigen müssen aber hätte jetzt viel größere Schwierigkeiten gehabt diesen Beweis zu führen gut 1. fallen dann 2. fallen sind F comma G nicht negativ denn führende zurück in dem der
F und G durch nicht negativ einfache Funktion approximieren also dann werden wir nicht negativ einfach AFN comma G N dann werden wir erfahren comma G R nicht negativ einfach mit F approximiert er von unten und gehen approximiert F G von unten also etwa falls und es und gehen bei führenden G also es gehen konnte ihren period Weise von unten gegen F 1 beziehungsweise gehen wir haben gerade eben schon gesehen dass für F und G nicht negativ einfach auch f plus gehe nicht negativ einfach sind also den Fall sind auch 11 Plus gehe nicht negativ einfach dann sind es ein Plus gehe nicht negativ einfach siehe oben und das Geld und ich habe noch mit kurzer wenn sie überleben es ein Plus gehen und ich behaupte mal F 1 Plus gehen konserviert period Weise von unten gegen 1. gehen kann jemand von Ihnen
argumentieren warum das richtig ist also warum folgt aus F 1 konvertiert period Weise gegen unten gegen F und gehen konnte der period Weise von unten gegen geht das auch erst ein Plus gehen period Weise von unten gegen FSG konserviert Vorschläge also nochmal Frage war es den period Weise von unten gegen F gehen konnte period Weise von unten gegen G wie sehe ich das dann auch FN Plus gehen period Weise von unten gegen FSB konserviert vorschläge ok 1. Antwort F 1 Plus gehen ist dann monoton bei dem FN und ganze beraten monoton sind das heißt monoton in dem Sinne dass für jedes einzelne ohne gar FN vernommen gab es gehen von Norweger monoton wachsend ist weil eben für jedes einzelne Norweger FN von Onmeda monoton wachsende in und gehen von Monika Monet und wachsen ist wir Ihnen richtig und das ist durch F plus G beschränkt das meinen Sie nicht also man kann Beschränktheit zu Sie meinen Konvergenz so unsere Konvergenz und wie ja also F 1 weil oben gegen es ist ja diese Folge F 1 von einvernommen muss wachsen sollen und eben period Weise gegen er von Onmeda konvergieren das heißt es in Form einiger Kunde gegebene von Amiga aber es ist klar wenn hier das ist einfach nur mega gegen 11 und Norweger konvergiert die Einkommen von sonniger konnte geht gegen die von gab dann kommt wieder die Summe gegen die entsprechende Summe der Grenzwerte also so noch nie gab es okay weil die Sache ist klar wenn wir das haben wir den Rest aber
einig mit der Definition und den 1. Fall erledigen integral 11. gehen will ist nach Definition das integral über 11 riskieren die Mühe nach dem obigen im Fall von nicht negativ einfachen Funktion haben wir schon untersucht wie integral und dann das so mündlich negative einfach Funktionen die Zunge der Integrale dann wird sich aus der Limes von 1 Summe von 2 Folgen ist zumal der beiden limites sobald die Einzelfolgen konvergieren unternehmen sind aber die Definition von integral und sie kommen aus integral über 11. wird das integral des ok Fragen so weit im 2. Teil dann mache ich den Teil noch schnell fertig im
allgemeinen Fall im allge- freien Fall gilt erst G kann ich schreiben als
positiv Teil von 11. G minus den negativ teilte FSG und weiter kann ich FSG auch analog Grundformen in dem ich F von beraten ihren positiv negativ Teile der lege das heißt es der positiv Tal von 11 minus positiv da negativ Teil von der plus geben man das gegen die beiden Ausdrücke sind gleich nun bringe ich vor ist so um dass über eine noch zum entstehen das heißt ich habe dann F FSG Plus dass die beiden negativ Teile von der unteren Tafel ist gleich erfüllt G minus plus erfasst das EEG als ich habe diese Gleichheit der Funktionen das heißt ich habe mehr Funktionen dargestellt auf 2 verschiedene Arten und Weisen gleiche Funktionen als Summe von jeweils 3 nicht negativen Thermen wenn ich den positiv und negativ Tal der jeweils nicht negativ sind dann sind natürlich weil es die gleiche Funktion ist auch die integral ist integral links gleich dem integral rechts es war integralen habe ich jetzt eine Summe von mir nicht negativen Funktionen dann kann ich im obigen Fall Out annehmen und ausnutzen dass die integrale mehr dass die Summe das integral die Summe gleich die Summe der Integrale ist
also mit siehe oben folgt daraus integral über 11 FSG geht los das integral minus dem das integral ginge es denn ist gleich integral bei 11. G Minis das integral weil Fristen das integral die es mehr okay China Schritt
Fragen dazu also Trick war Zerleger G auf 2 verschiedene Weisen in positive negative Teile schreibt das alles um sodass sich lauter Summanden von positiven Funktion habe Mütze aus den Fall weiß ich schon dabei sich in die greifen Summe ist sowohl der Integrale ich habe das zwar nur für 2 7 gezeigt aber zieht es ja mit Induktion sofort wo auf 3 7 alles wird durch zweimaliges an den egal wäre damit habe ich die Beziehung und daraus folgt jetzt die Behauptung war es damals integral die gerade 11 Mühe ist
gleich mehr nach Definition ich nenne die Beziehung der vielleicht mal stammen dann vom Sie diese Beziehung stammen formen etwas um dann steht da das integral über integral minus Integrale minus der will das integral gebe es den Willen wie das integral bei dem man will sie nehmen noch die Definition jetzt eingewandert und kommen auf Integrale 11 der möglichen die gerade g Gemüt und damit das sie Jahr gezeigt ok Fragen so weit
fragen alles ganz ein ganz typische Beweise aus der Integrationstheorie diese Beweise von Eigenschaften von diesen Maß die integralen zeigen sie den entsprechen in 3 Schritten vor sie sehen vielleicht jetzt oder ganze Weise darstellt in der Tat eigentlich gezeigt haben wir noch was in aller 1. Teil der Rest war mehr oder weniger schematisch als gab 4 diesen kleinen Trick wieder Zerlegung es gibt hier diesen kleinen Dreck zu sehen dass er finde es gehen auch nicht negativ einfach sind aber das ist nicht alles und Sie sehen vermutlich auch damit habe ich gezeigt und wenn ein Fall größer als 0 ist ich genau gleich auch B für Alfa größer als 0 für Alfa gleich 0 ist wie trivial steht nun gleich 0 4 Als hat dann müssen sie nur für alter kleiner als 0 zeigen wir müssen sie sei nicht primär für ein Vergleich minus 1 zeigen da geht aber einfach da vertauscht sich einfach der positiv teilen negativ teil wenn sie funktioniert ein Vergleich minus 1 wenn Sie ein vergleichendes einfach also des schreibe ich nach anderen analog erforderlich sagen nach nur 5 Minuten Pause und ich mache dann 15 Uhr 23 weiter weil ich ganz gern weitermachen wenn Sie erklären sich in ihre Plätze zu begeben ich hatte gerade noch mal jemand gefragt was ich hier überhaupt machen also ich dachte ich sage vielleicht für die jenigen 1. Semester mal kurz was machen überhaupt im Unterschied zu ihrer Nahles ist ja leises integral kennen gelernt integral heftigste waren Sie gerade da integrieren so dass sie sagen wenn Sie auf der x-Achse messen Sie ja nicht die Länge von einem Intervall einfach mit der elementaren Länge das heißt die in war Länge von 2 bis 5 es einfach 5 minus 2 also 3 was ich jetzt hier neue mache ich messe die Länge auf der x-Achse mit einem abstrakten Konzept das nennt sich Maß dieses Maß weist und dann daneben in der Wahl eine gewisse Länge zu hat unter Umständen nicht zu tun mit der elementaren Länge und ich erkläre Ihnen wie Sie damit ein integral definieren es aber der letzten Vorlesestunde gemacht diese Vorlesestunde wiederholt und zu Zeit gerade Eigenschaften von diesen integral wenn Sie dieses Maß speziell die sie zivilen an der Stelle des sogenannte Bergbau Vellmars dasjenige Maß das ein Intervall seine elementare Länge zur Open würde dann würden sie für eine Funktion die wie man integrierbar ist als Maß integral genau das den Wertes hätte dieses Maß Integrals genau den wer das wie man die Gras das wird später auch ein Trick sein die wir solche integral dann in dem Fall rechnen allerdings wird diese Funktion dieses Maß integral unter Umständen noch existieren selbst wenn alle die integral nicht mehr existiert einfach Verfall im Vergleich zum Riemann integral werde Indikator Funktion zu den rational zu den ja mach nur in die Karte Funktion zu den rationalen zahlen Intervall von 0 bis 1 also in dem alle rationalen Zahlen in der Ehe Intervall von 0 bis 1 und sie nehmen die Karte Funktion der davon wenn Sie versuchen diese Funktion zu zeichnen werden sich scheiternde also einig wären es 2 Striche nämlich eine senkrecht bei 1 also senkrecht bauen 0 aber es stimmt natürlich nicht aber es ist klar von der Definition her jede einzelne Ober Summe wir mindestens bei jeder einzeln Ober- Summe wären sie beim Intervall von 0 bis 1 größer gleich 1 bei jeder einzeln unter so wären sie beim Intervall von 0 bis 1 kleiner gleich 0 das heißt ihre Klima denn sie greifen in der von der Funktion Nation vom Intervall von 0 bis 1 2 nicht in die existieren weil das Ober Integrale einfach 1 und in die geraden wenn Sie das jetzt in der Bäckerei was machen da hätten sie ein Maß das wurde in der Wahlen seine elementare Länge zuordnen dann diese rationalen Zahlen 0 1 wären eine Menge aus den Bereichen Sigmar geht vor den abziehbaren Menge wenn Bereichen Signal Gefahr das heißt sie hätten einfach Indikator Funktion das heißt die integral können Sie sofort hinschreiben schreiben wir integral der rauskommt ist in die Grand also einmal leer Vektoren Maß von dieser Menge die Menge ist abzählbar wäre das Maß von war absehbar Menge ist die oder die diese abzählbare Menge können sie darstellen als absehbare Vereinigung aller ihrer ein Punktmengen Maß von der auf 10 waren Vereinigung ist die Summe der Mars Werte Maß von 1 period Menge der gleich 0 wenn Sie in der war in Maßnehmen des elementaren das in dabei ihre elementare Länge zu zuweist dann treten ein period Menge können Sie beliebig kleines Intervall darum wegen das die Massen das heißt da hätten Sie integral 0 würde noch interessieren er oder existieren andere in den integral griff existieren unter Umständen nicht mehr das heißt ich machen integral es existierten allgemeineren Fällen hat auch schöne Eigenschaften des es hat hier eine große Verallgemeinerung Möglichkeit das nutzen wir aus zur Definition des Erwartungswert des und gerade dabei diese nächste und übernächste Vorlesung Leitlinien notwendigen setzte er damit das Erwartungswerte bucklig ausrichten können das ist der Sinn von der Vorlesung okay fragen so weit keine Fragen ich mach weiter mit GPS analog Berater es aber es geht auch in der Tat analog
wenn Alfa große 0 ist für Ende Fall vergleiche minus 1 müssen Sie wissen was überlegen aber ich lasse es weg okay wir machen sie hätten wir haben es dann ohne gar klare gleich die von gar für alle und mich aus und Ärger daraus folgt wenn sie 1 1 geht gehen das es bilden alles geben was F eine nicht negative Funktion war gestern ohne gaben dass er von ohne Gas immer größer gleich 0 für alle ohne gar wenn sich erinnern an die Definition des Integrals 1. Schritt in die greifen nicht negativen einfachen Funktionen das was eine Summe Eifer E Malmö von die Alfa Ivan größer gleich 0 die Mühe von das Maß Werte auch größer gleich 0 die sehen gerade sind alle größer gleich 0 2. Schritt bisher die Situation hier die Funktion ist größer gleich 0 dann approximieren Sie das oder das integral ist eine Folge von integralen von einfachen Funktionen die integrale einfacher Funktion habe ich gerade eben gesagt sind alle größer gleich 0 ist klar das integral was da daraus kommt es auch große Bleichen also nach Definition des Integrals wissen Sie wenn die Funktion größer gleich 0 ist ist integral größer gleich 0 ja jetzt kann ich aber A und B anwenden und weist integral gegen wie das integral 11. Willen ist ja das gleiche wie die greifen gehen das F bemühen das und das war größer gleich 0 was ich schreiben in gehen das integral 11. als integral G plus minus 1 x integral bemüht den Faktor minus 1 ziehen Sie beide Vereine haben Summe darstellen integral von das zumal von Integralen ist die in ist das integral der zum meinen und damit am PC bei jetzt sind gerade
gegen sind gerade am 11. viel größer gleich 0 alles integral G große Bleichen die gerade okay Frauen so weit fragen umgeschaut wir kommen zu Satz 5 24 schreiben vielleicht auf neue Taufe weil er so schön ist es gibt den so genannten Translation Satz für Integrale als er zum 24
Transformations Satz für integral wir haben Wahrscheinlichkeit Raum ohne gab wäre Zufallsvariablen X und begann er und dann noch der messbare Funktion Hafen er nachher also wir ohne gab die reelle Zufallsvariablen X oder nach er Hafen er nachher messbar die Aussage ist dann gilt ich will sehen Sie gerade ohne gar über Hafen nächste Norweger und wieder Mitglieder um Ärger also Integrale wurde von X die ohne gar so was machen Sie zum Beispiel wenn sie den Erwartungswert Großrechner von Zufallsvariablen X dann haben sie das integral über x DP und das kann ich aufweisen als der Funktion H das einfach die Identität die Funktion H von klein X ist gleich X angewandt auf X BP ich schreibe jetzt dieses integral um als ein integral bezüglich der Verteilung von X das heißt ich integriere bezüglich dem Wahrscheinlichkeit Smart Specs sagen wir hier an wenn Sie überlegen wir Zufallsvariablen Handel werde Zufallsvariable diese Wähler Zufallsvariable hatte Verteilung die Verteilung war es so dass die PX Menge aber P von X um minus 1 von also dass wir hier noch Platz schreibst runter und das ist die Verteilung von Aids diese Verteilung dessen Wahrscheinlichkeit Smart auf er das heißt ich in die Quere hierüber R und ich endlich wieder dann anstelle von H von Xtra Norweger integriert ich war von klein X und die Behauptung von dem ganzen Nation Satz ist die beiden Integrale 10 gleich das heißt ich kann das integral über Umwege H von X Norweger P Onega umschreiben als integrale bei ihr Haar von X die Index XIX S steht ein integral bezüglich
1 Wahrscheinlichkeit Mars das definiert ist für Teilmengen von er genau auf der Bereichen Signal gehe war hier rechts steht ein integral bezüglich einem Maß das definiert ist auf dem er Sigmar geht war von Wahrscheinlichkeit Raum und wieder abgeben Behauptung ist bei den Sie gerade sind leicht bekannt überhaupt noch ein bisschen verschärfen werde ich hier nicht drauf eingehen genaue gilt das integral links existiert genau dann wenn es integral rechts existiert er okay fragen so weit also ich gebe zu der Satz es wirklich um die komischen sieht komisch aus abstrakt und so weiter sie können sich einfach merken sie haben so H von X dieses X 1 dazu den P verbunden und dann machen wir müssen sie alles andere noch so abwandeln dass es Sinn macht weil sie jetzt bezüglich Text unten integrieren muss hier erstehen und dann brauchen sie Integrations- Variablen das war's oder umgekehrt sie haben integral bezüglich PX dann kann dieses X an einer einwandern sie integrieren bezüglich des P aber dann darf mir nicht mehr Integrations- Bereich von er sein sondern muss die Definitionsmenge von der Abbildung H verkleidet mit X stehen und dies um damit das ganze syntaktisch Sinn macht und die beiden Formen sind gleich und das der schöne Transformations hat findet an okay ich habe letzte Viertelstunde und Reemtsma zu unterziehen die geradezu zeigen werden ich bin nicht dafür dass ich es versuche allerdings kann ich eine Viertelstunde vor auf hören ist auch klar sie eine Frage was bedeutet die von der ja wäre das ist einfach die Integrations- variabel ich konnte ich können die einfachen DP schreiben Anleger weglassen wir hatten mehrere Schreibweisen für Integrale also damals als ich integrale eingeführt habe habe ich das integral über x DP hingeschrieben dann habe ich gesagt ok wir machen gleichzeitig integral über und gar nix und haben wir über integral über 11. Mühen ich guck mal noch mal nach kann ich denn genau sagen es gibt mehrere Schreibweisen für den für das Maß integral und ich hatte den Sie gerade ohne 11 die Mühen und gleich weit zu zeitig abgekürzt als integral über 11 dem beides ausgleichen dann habe ich die zweite Schreibweise eingeführt integral über ob da es von klein und egal müde um egal oder einfach nur integral ohne um egal er von ohne gar müde und Niger und genau das ist die zweite Schreibweise das integral über und Jäger wir oder gar ist die Abbildung Haring Text von Only gar möglichst P die Amiga ok das heißt in der Schreibweise möchte ich nur deutlich machen das 4 einig das Argument eingesetzt wird alternativ hätte ich auch schreiben können integral über Haring X die Pflege oder vielleicht nur integral und egal nächstes okay aber Sie haben Recht ich habe die Schreibweise bisher nicht groß verwendet gut dass der ei eine entscheidende Satz den ich brauchen damit kann ich jetzt Erwartungswert von X umschreiben als integral über er klein XTX Text und für diese Integrale wollten auch noch eine Berechnungsformel und das ist auch der zweite Satz noch hinschreiben denn der nächste vorlesen stundenweisen werden das ist Satz 5 25 der Wahrscheinlichkeit trauriger
abgehen ja in der Regel Zufallsvariablen X und Oregano er und wir haben gehe von er nachher messbar 1. Teil ist Excel diskreten Zufallsvariablen mit Text von der Menge her klein X 1 kleine 2 und so weiter gleich 1 wobei eben die kleine 1 klar x 2 und so weiter paarweise verschieden sein sollen so gilt das integral RG 1 x B x T x kann ich umschreiben als eine
unendliche Reihe reihe gleich 1 wissen endlich G von X K mal Wahrscheinlichkeit dass Grosics x gleich x ist 1. voll 2. Formel die wir haben Oliver nächste mal zeigen werden ist Steaks ständig verteilt Gedichte F mit der erste gilt das integral BRG 1 x B x T x bekomme ich indem ich integren mit der Dichte multipliziere und das Ganze einfach bezüglich Text integriere als normales wie man integral bildet uneinig über Borrell deckt integral also unser der Decke integral mit in die Charts will mit Integrations- Maße der Maß als integraler G von X mal von nichts Felix Anwendung die stellen sich Ziele reichen das einfach in den Systemen
die gerade erreichen ok wenn Sie beides zusammen ankucken dann sehen Sie wenn ich beides hintereinander schalte dann habe ich Formen wie ich so Integrale gar von X ohne gab wieder wieder allgemein ausrichten können ich würde mich erst für den ganzen Nation Satz zurück auf gerade bei Hafen von XP Text und den 2 Spezialfällen nämlich das X gelte Zufallsvariable ist höchst zurück auf eine unendliche Reihe B das X steht Vertrages mit ich der F vielleicht zurückkaufen ganz normales der Beck oder Riemann integral ganz normales integral DX wie sich's von der Schule her kennen sollte noch dazu sagen Satz auf Platz 5 25 bis einigten Existenz Satz mit drinnen das heißt Aussagen sind jeweils die linke Seite existiert genau dann wenn rechte Seite existiert wer sich aber in der Vorlesung ich genau zeigen folgt beim Teil folgt Clausen beweist 1. Teil dessen bisschen schwieriger zu sehen okay fahren so weit keine Fragen wären
das 7 zu früh auf was kann sie den weißt anzufangen gemachen am Freitag in Greifswald
Länge
Welle
Rechteck
Ruhmasse
Maximum
Integral
Summe
Negative Zahl
Erwartungswert
Multiplikation
Flächeninhalt
Menge
Zufallsvariable
Reelle Zahl
Stochastik
Höhe
Haar-Integral
Urbild <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Summe
Erwartungswert
Menge
Mittelwert
Zufallsvariable
Höhe
Ruhmasse
Schnitt <Mathematik>
Binomialverteilung
Funktion <Mathematik>
Summe
Erwartungswert
Zufallsvariable
Schnitt <Mathematik>
Integrationstheorie
Mittelungsverfahren
Summe
Erwartungswert
Monotone Funktion
Mittelwert
Zufallsvariable
Reelle Zahl
Ruhmasse
Maßtheorie
Integral
Funktion <Mathematik>
Addition
Summe
Erwartungswert
Reelle Zahl
Zufallsvariable
Natürliche Zahl
Meter
Integral
Funktion <Mathematik>
Summe
Gewichtete Summe
Menge
Koeffizient
Funktion <Mathematik>
Integral
Summe
Folge <Mathematik>
Massestrom
Gleichmäßige Beschränktheit
Integral
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Summe
Integral
Funktion <Mathematik>
Ausdruck <Logik>
Summe
Positive Funktion
Summand
Zerlegung <Mathematik>
Integral
Mathematische Größe
Länge
Vektorrechnung
Ruhmasse
Zerlegung <Mathematik>
Integral
Punktmenge
Integrationstheorie
Summe
Erwartungswert
Menge
Rationale Zahl
Verallgemeinerung
Mathematische Größe
Summe
Faktorisierung
Translation <Mathematik>
Ruhmasse
Funktion <Mathematik>
Integral
Teilmenge
Index
Variable
Erwartungswert
Messbare Funktion
Homogenes Polynom
Zufallsvariable
Abbildung <Physik>
Ruhmasse
Koordinatentransformation
Integral
Menge
Zufallsvariable
Reihe
Ruhmasse
Dichte <Physik>
Homogenes Polynom
Zufallsvariable
Reihe
Aussage <Mathematik>
Verträglichkeit <Mathematik>
Integral

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Linearität des Integrals
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34021
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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