Ja, begrüße ich Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung in der Einführung in die Stochastik.

Ich fange wie immer mit einer Kurzwiederholung vom Inhalt vom letzten Mal an. Zentrale Begriff letztes Mal, den ich eingeführt habe, war der Begriff der Wahrscheinlichkeit. So grundgelegt wurde ein sogenanntes Zufallsexperiment, kurz ZE.

Es ist ein Experiment mit vorher unbestimmten Ergebnissen, das im Prinzip unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholt werden kann. Das Entscheidende daran ist, dass unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholt werden kann. Das unbestimmte Ergebnis ist im weiteren Sinne des Wortes zu fassen.

Das Ergebnis kann unbestimmt sein, es könnte im Prinzip auch bestimmt sein. Ich fasse auch jede deterministische Situation, packe ich mit in diesen ganzen Rahmen des Zufallsexperiments mit rein. Mich würde es nicht stören, wenn beim Zufallsexperiment immer das Gleiche rauskäme, und ich wüsste genau was rauskäme. Ich würde es trotzdem als Zufallsexperiment bezeichnen.

Wir haben dann eingeführt, Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments heißt Grundmenge. Jede Teilmenge dieser Grundmenge heißt Ereignis. Und ein solches Ereignis tritt ein, falls das Ergebnis des Zufallsexperiments im Ereignis liegt.

Wir haben eingeführt den Begriff der relativen Häufigkeit des Eintrittens eines Ereignisses, gegeben konkrete Ergebnisse von Zufallsexperimenten sind klein x1 bis klein xn, die beim Wiederholten durchführen des Zufallsexperiments auftretenden Werte. So ist die Anzahl der 1 kleiner gleich i kleiner gleich n, wo x in a liegt, geteilt durch n,

die relative Häufigkeit des Eintrittens von a. Und damit konnten wir dann das zentrale Ergebnis formulieren, eine Beobachtung aus der Praxis, sogenannte empirische Gesetze der großen Zahlen.

Das besagt Folgendes. Führt man ein Zufallsexperiment unbeeinflusst voneinander immer wieder durch, so nähert sich für große Anzahlen von Wiederholungen die relative Häufigkeit des Eintrittens eines beliebigen Ereignisses a einer Zahl p von a Element vom Intervall von 0 bis 1 an. Und diese Zahl p von a heißt Wahrscheinlichkeit von a.

Und um was es in dieser Vorlesung geht, ist die Bestimmung von solchen Wahrscheinlichkeiten bzw. Rückschlüsse aus solchen Wahrscheinlichkeiten. Als erstes Hilfsmittel dazu habe ich ein bisschen was erzählt zur Kombinatorik.

Wir betrachten das Ziehen von k Elementen aus einer Menge mit Mächtigkeit n und überlegen uns, wie viele Möglichkeiten gibt es für die auftretenden Ergebnisse. Und dann können wir uns überlegen, entweder nachdem wir was gezogen haben,

legen wir es anschließend wieder zurück, dann ist es Ziehen mit zurücklegen, dann können wir das gleiche Element mehrfach ziehen, oder wir liegen es nicht mehr zurück. Und zweitens, bei dem was wir ziehen, sagen wir, die Reihenfolge spielt eine Rolle, das wäre Ziehung mit Beachtung der Reihenfolge, oder die Reihenfolge spielt keine Rolle,

Ziehung ohne Beachtung der Reihenfolge. Beim Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge gibt es n hoch k Möglichkeiten. Beim Ziehen ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge, gibt es n Fakultät durch n minus k Fakultät Möglichkeiten. Beide Formeln machen sich sofort klar, indem sie sich überlegen,

wie viele Möglichkeiten haben sie für das erste, für das zweite Element, für das dritte usw. und das Ganze aufmultiplizieren. Wenn sie nach wie vor ohne Zurücklegen ziehen, aber die Reihenfolge nicht beachten, dann gibt es n über k, das sind n Fakultät durch n minus k Fakultät mal k Fakultät, viele Möglichkeiten.

Das machen sie sich klar, indem sie sich überlegen, wenn sie hier alle möglichen Ergebnisse auf alle k Fakultät vielen Weisen neu anordnen, bekommen sie alle Stichproben aus dem Feld rüber. Und das eigentliche was noch fehlt, das mache ich jetzt nachher gleich, und das ist die Formel, die eigentlich irgendwie schwer zu merken ist,

und wo wir auch ein bisschen was zeigen müssen für, ist das Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge, da gibt es n plus k minus 1 über k, viele Möglichkeiten. Aber das mache ich gleich noch. Okay, dann sind wir bei D, beim Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.

Also D, beim Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gilt, die Anzahl der Möglichkeiten n, ist n plus k minus 1 über k.

Also ich vermute mal, Sie können es auch noch so knapp lesen von ganz hinten,

aber ansonsten werden weiter vorne auch noch einige Plätze frei. Es ist erstaunlich, dass bei einer Vorlesung mit 450 angemeldeten Hörern der Hörsaal mit 250 Plätzen weniger als halb belegt ist, aber hat natürlich mit der Vorlesungsaufzeichnung zu tun.

Ich möchte aber an der Stelle schon mal darauf hinweisen, also für die Aufzeichnung, gehen wir mal in die Kamera, also für diejenigen, die nur die Aufzeichnung sehen, die Schwierigkeit ist natürlich, sie müssen die Aufzeichnung sich wirklich angucken. Es reicht nicht, sie auf den Rechner runterzuladen.

Die meinen, die bekommen das jetzt gar nicht mit, weil sie es nicht angucken. Ja, aber die Schwierigkeit ist, okay, ich muss umformulieren, die Schwierigkeit ist, die Aufzeichnung zu Ende zu sehen. Also ich vermute, die ersten paar Minuten klappen noch problemlos, und wir sind noch so ersten zwölf Minuten, da schafft man eigentlich noch die erste Viertelstunde auch, aber dann lässt irgendwann die Aufmerksamkeit nach. Okay, gut.

Kommen wir zur Begründung von dem hier. Der erste Trick ist, das Ganze umzuformulieren

und die Behauptung einigermaßen schlau hinzuschreiben. Was ist eigentlich gesucht? Ich schreibe das Gesuchte hin als Mächtigkeit einer Menge. Also ich schreibe sowas hin, N ist gleich Katalynaltät von einer Menge Omega,

wobei Omega alle möglichen Stichproben sind, beim Ziehen von K-Elementen aus einer Menge vom Umfang N mit zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Ich repräsentiere dieses K-Elemente, die ich ziehe, als ein K-Tuppel,

nenne ich x1 bis xk. Ich sage weiter, diese Elemente seien,

also meine ursprüngliche Menge hat ja N-Elemente, die nummeriere ich OBDA von 1 bis N durch. Dann sind das alles natürliche Zahlen. Das heißt, das ist ein K-Tuppel natürlicher Zahlen. N oben K. Genauer eigentlich nur Zahlen zwischen 1 und N. Aber das kommt gleich noch. Und dann, da ich das Ganze ohne Beachtung der Reihenfolge mache,

sage ich, ich ziehe erst die Zahlen und dann sortiere ich sie um, der Größe nach aufsteigend. Und da es mit zurücklegend ist, können zweimal die gleichen vorkommen. Das heißt, ich habe so etwas, 1 ist kleiner gleich als x1, kleiner gleich als x2, kleiner gleich usw., kleiner gleich N.

Und der erste Trick ist also zu sehen, gesucht ist eigentlich die Mächtigkeit von dieser Menge. Ich kann es abstrakt so hinschreiben. Also jede einzelne Stichprobe, die hier auftaucht,

repräsentiere ich durch einen K-Tuppel natürlicher Zahlen zwischen 1 und N. Ach so, hier sollte noch xn stehen. xn kleiner gleich N. Also 1 kleiner gleich x1, kleiner gleich x2, kleiner gleich usw., kleiner gleich xn, kleiner gleich N.

Vollständig richtig, hier sollte xk stehen. Das ist ja ein K-Tuppel. xk kleiner gleich N. Okay, das ist der erste Trick. Ist das klar soweit?

Ich sehe keine Proteststürme. Soll ich hier einmal halbieren?

Jetzt führe ich eine zweite Hilfsmenge ein. Omega-Strich, von der ich dann zeigen werde, sie hat genauso viele Elemente wie Omega. Und die werde ich ganz einfach abzählen können. Omega-Strich. Das sind auch wieder K-Tuppel. Die nenne ich jetzt y1 bis yk.

Wobei die jetzt diesmal echt ansteigend sind. Also 1 kleiner gleich y1, kleiner y2 usw.

Aber dafür lasse ich als obere Schranke etwas Größeres zu, nämlich N plus k minus 1.

Und dann definiere ich mir eine Abbildung, f von Omega nach Omega-Strich. Und zeige, diese Abbildung ist bietiv. Und daraus folge euch dann die Behauptung. Also definiere ich meine Abbildung.

f von x1 bis xk. Und die Idee ist einfach, ich lasse das erste Eintrag unverändert. Beim zweiten natürlich 1 dazu. Beim zweiten 2 usw. Bis beim k natürlich k minus 1 dazu.

Und was ich jetzt zeige im Folgenden ist,

dass diese Abbildung bietiv ist. Das nenne ich mal Stern. f bietiv.

Das heißt, die Abbildung ordnet jeden Element aus Omega genau ein Element aus Omega-Strich zu. Also hier steht k. Und dann behaupte ich, bin ich fertig.

Weil daraus kann ich folgern, das was uns interessiert, n war die Mächtigkeit von Omega. Jetzt Omega ist eine endliche Menge. Sie haben eine bietive Abbildung in eine zweite endliche Menge hinein.

Das heißt, von jedem Element aus Omega könnten Sie eine Linie ziehen zu einem Element aus Omega-Strich. Diese Linie wird ein anderes Element berühren. Sie könnten eine Schnur spannen. Und dann würde an jedem Element in Omega-Strich

von jedem Element in Omega eine Schnur ausgehen. Und von jedem Element in Omega-Strich würde genau eine Schnur landen. Dann sind das gleich viele. Das heißt, aufgrund von Sternen wissen wir, die Kardinalität von Omega stimmt mit der Kardinalität von Omega-Strich überein.

Und die Kardinalität von Omega-Strich, das können Sie jetzt unmittelbar hinschreiben auch. Weil wenn Sie sich überlegen, was ist das? Das ist ein, da haben Sie auch wieder, wir brachten es nochmal als ziehen, Sie haben k Elemente gezogen.

Und zwar aus einer Menge vom Umfang n plus k minus eins. Sie haben das diesmal ohne Zurücklegen gemacht, weil das gleiche Element kam ja nicht zweimal. Und Sie haben es ohne Beachtung der Reihenfolge gemacht, weil Sie haben die Elemente anschließend der Größen nach umsortiert. Das heißt, das da ist der Fall aus C.

Und einen Fall aus C kennen wir. Was da rauskommt? Das wäre nämlich die Anzahl der Elemente in der Menge n plus k minus eins über k. Und wir sind fertig.

Modell oder Sache, dass wir diese Biaktivität noch zeigen müssen. Okay, haben Sie so weit Fragen?

Fragen?

Also Sie kommen mit dem Alternativbeweis an. Sie hätten einen Alternativvorschlag,

wie ich mir einen Alternativbeweis überlegen könnte. Ihnen kommt n hoch k durch k Fakultät deutlich einfacher vor als n plus k minus eins über k.

Das Problem ist auch, es ist nicht das Gleiche. So gesehen, wenn Sie mit n hoch k starten, kommen Sie nicht auf dieses n plus k minus eins. Also das ist die Schwierigkeit. Der Beweis sieht erst einmal kompliziert aus, aber vom Prinzip her ist er ganz einfach. Sie ändern einfach die Elemente ab.

Beim ersten addieren Sie nichts dazu. Beim zweiten eins, beim zweiten zwei, beim letzten k minus eins. Das ist der Trick, den Sie sich eigentlich merken müssen. Wenn Sie sich die Formel merken müssen, dann können Sie das eine auf das andere zurückführen. Also so gesehen ist es eigentlich einfach. Ich weiß jetzt nicht, ob es noch einen einfacheren Beweis gibt. Das könnte ich jetzt nicht sagen.

Okay, jetzt kommen wir zum Nachweis von Stern. Können Sie mir sagen, was muss ich denn zeigen? Wenn ich zeigen möchte, diese Abbildung ist biaktiv.

Sie muss subjektiv und injektiv sein. Das heißt, ich brauche einen Beweis Schritt eins. Die Abbildung ist injektiv. Beweis Schritt zwei. Die Abbildung ist subjektiv. Und dann sind wir fertig. Okay, sind alle einverstanden?

Das heißt, die Behauptung ist, was hier eigentlich ausführlich steht, ist die Behauptung, F ist eine biaktive Abbildung. Und ich zeige, F ist injektiv. Es ist subjektiv und ich bin fertig. Anders gefragt, was fehlt?

Ja, das ist ein bisschen schwer zu sehen. Da braucht man ein gewisses ...

Ja, je nachdem, wie vertraut Sie mit Mathematik sind. Das Erste, was ich ja nicht zeigen muss, ist, das Ding ist überhaupt wohl definiert. Also ich muss zeigen, das Ding ist eine Abbildung. Also in der Behauptung hier, F, biaktive Abbildung, steht insbesondere drin, das ist eine Abbildung. Jetzt müssen wir uns überlegen, was war denn eine Abbildung? Eine Abbildung war eine Zuweisungs- oder eine Vorschrift,

die ein Element aus Omega, eine Abbildung von Omega nach Omega Strich, ein Element aus Omega, ein Element aus Omega Strich zuordnet. Muss ich da jetzt noch irgendwas zeigen?

Die Eindeutigkeit der Abbildung, was meinen Sie mit Eindeutigkeit der Abbildung? Ich muss hier eigentlich nur zeigen, es wird in eindeutiger Art und Weise ein Element zugeordnet. Also dieses Element ... Also ich kann nicht zwei Elemente gleichzeitig zuordnen, diesen einen hier. Aber ich habe ja nur ein Element zugeordnet.

Rein formal, ja. Aber sehen Sie sonst irgendwas, was schiefgehen könnte?

Es könnte passieren, dass man auf ein Element abbildet, das gar nicht ein Omega Strich ist. Genau, was schiefgehen könnte, ist, das, was hier steht, ist nicht ein Omega Strich. Also ich muss eigentlich zeigen, dass wenn das in Omega ist, dass das dann ein Omega Strich ist. Und das machen wir am 0. Beweisschritt. F ist wohl definiert.

Da, wenn wir uns überlegen, x1 bis xk ist aus Omega.

Nach Definition von x1 bis xk gilt dann dieses 1 kleiner gleich x1, kleiner gleich x2 usw.

Und ich schreibe jetzt nicht hin, dass die x1 bis xk natürliche Zahlen sind. Dann sehen Sie, wenn ich jetzt statt x1, x1, x2 bis xk, x1, x2 plus 1, x2, x3 plus 2 usw. betrachte, dann steht hier auf einmal ein kleiner. Also hier steht ein kleiner gleich,

aber hier steht dann ein kleiner. Weil x1 ist kleiner gleich x2, aber x1 plus 1 ist dann kleiner als x2 plus 1. Und genauso wäre x2 plus 1 jetzt kleiner als x3 plus 2,

weil x2 war noch kleiner gleich x3 usw. Und ganz hinten addiere ich k minus 1. Das heißt, die Zahl ist kleiner gleich als n plus k minus 1.

Ja, und dann sehen Sie, dann ist aber dieses k-Tuppel x1, x2 plus 1 usw. bis xk plus k minus 1 eben in Omega-Strichen teilen.

Okay, das war der, ich würde mal sagen, Nulltepeweisschritt. Das war eben das, womit ich zeigen möchte, die Abbildung existiert überhaupt, ist wohldefiniert. Jetzt brauchen wir das bijektiv. Da haben wir schon gesagt, wir brauchen zwei Sachen. Injektiv und subjektiv. Also erstens, f ist injektiv.

Was muss ich dazu zeigen?

Noch mal ein bisschen lauter. Dass einem x ein y zugeordnet wird und umgekehrt. Dass einem x ein y zugeordnet wird, das haben wir hier eigentlich schon.

Einem x aus Omega wird ein y aus Omega-Strich zugeordnet. Und jetzt wollen Sie eben zeigen, einem y ist höchstens das Bild von einem x. Wie könnte ich das noch umformulieren?

Genau, also ich zeige, wenn f von x1 bis xk gleich f von x1-Strich bis xk-Strich ist, dann möchte ich daraus folgern, x1 bis xk ist gleich x1-Strich bis xk-Strich.

Ich mache es gleich ein bisschen abgekotzt. Wir sparen uns einmal dieses f von x1 bis xk gleich f von x1-Strich bis xk-Strich, sondern wir schreiben direkt die Definition hin. Dann haben wir x1 plus 1, x1 und x2 plus 1.

Das ist jetzt gleich der entsprechende Ausdruck mit x1 quer.

Ja, dann sehen Sie aber, dann ist x1 gleich x1 quer. Die erste Komponente muss übereinstimmen. Die zweite Komponente muss übereinstimmen. Also x2 plus 1 gleich x2 quer plus 1 bis xk plus k minus 1 gleich xk quer plus k minus 1.

Ja, und dann sehen Sie, dann ist jetzt eben x1 gleich x1 quer, x2 gleich x2 quer, xk gleich xk quer. Und damit ist dieses x1 bis xk gleich x1 quer bis xk quer.

Und wir sind fertig.

Fehlt noch ein Schritt, nämlich zweitens f ist subjektiv.

Was ist hier zu zeigen?

Also Ihr Vorschlag ist, ich definiere gleich die Umkehrabbildung.

Und nachdem ich die definiert habe, setze ich die in die Funktion ein. Und dann muss x1 bis xk rauskommen. Ich würde es ein bisschen anders formulieren. Also man könnte es ausführlicher formulieren, was Sie gesagt haben. Ich zeige wirklich die Umkehrabbildung.

Ich definiere f oben minus 1 von Omega Strich nach Omega. Zeige f verkettet mit f oben minus 1. Ist gleich die Identität. Und die eine Richtung reicht hier, weil es endliche Mengen sind. Richtig? Aber man kann auch direkt auf die Definition zurückgehen.

Dann würde ich gar keine Umkehrabbildung definieren, sondern ich würde einfach zeigen, wenn ich ein beliebiges y1 bis yk aus Omega Strich herausgreife, dann finde ich ein x1 bis xk aus Omega, sodass f von x1 bis xk gleich y1 bis yk ist. Also machen wir das. Also ich greife mal y1 bis yk aus Omega Strich heraus.

Was wissen wir dann? Dann wissen wir nach der Definition von dem Omega Strich,

dass 1 kleiner gleich y1 kleiner y2 kleiner und so weiter, kleiner yk kleiner gleich n plus k minus 1 ist.

Und was ich jetzt suche, ist ein x1 bis xk, sodass f von x1 bis xk, also x1 bis xk in Omega, sodass f von x1 bis xk gleich y1 bis yk ist. Haben Sie einen Vorschlag, wie dieses x1 bis xk aussehen muss?

Also Vorschlag, wie sieht ein x1 bis xk aus, sodass f von x1 bis xk gleich y1 bis yk ist? x1 ist gleich y1, x2 ist gleich y2 minus 1,

weil nachdem ich 1 dazu addiere, soll ja y2 rauskommen. x3 ist gleich y2 minus 2 und so weiter bis xk ist gleich yk minus k minus 1. Also minus in Klammern k minus 1. Okay, und dann muss ich jetzt argumentieren, dann ist es klar,

f von diesem x1 bis xk ist gleich y1 bis yk. Ich muss argumentieren, dass dieses neue x1 bis xk dann in Omega drin liegt. Ja, aber das sehen Sie, weil wenn ich das jetzt hier mache, dann sehen Sie, 1 ist klarer gleich y1.

Lassen wir stehen. Wenn y2 größer als y1 ist, dann ist sicherlich y2 minus 1, weil es eine ganze Zahl ist, größer gleich als y1. Dann haben Sie, y3 ist kleiner als y2.

Dann ist eben y3 minus 2 größer gleich als y2 minus 1. Und genauso können Sie hier auf yk minus k minus 1 übergehen. Und das ist dann kleiner gleich als, weil Sie haben von dem größten ja k minus 1 abgezogen, es ist kleiner gleich n.

Damit sehen wir, dieses y1, y2 minus 1 bis yk minus k minus 1 als Vektor ist in Omega drin. Und es ist klar, f von diesem Ding ist gleich y1 bis yk.

Und wir sind fertig.

Okay, Fragen soweit?

Fragen? Keine Fragen. Kommen wir zum Beispiel 4.7. Ich nehme mal die Formel der Kombinatorik und begründe Ihnen

den sogenannten binomischen Leersatz.

4.7. Beispiel der binomische Leersatz. Binomische Leersatz besagt, wenn Sie reelle Zahlen a und b haben,

ein n aus n, dann können Sie a plus b hoch n schreiben als eine Summe von Termen a hoch k mal b hoch n minus k, wobei k zwischen 0 und n läuft. Und der Vorfaktor von dem Thermo ist n über k.

Also Aussage ist für reelle Zahlen a, b, natürliche Zahl n, gilt a plus b hoch n, ist gleich der Summe k, gleich 0 bis n, n über k,

n über k mal a hoch k mal b hoch n minus k.

Sie sehen sofort, für n gleich 1 stimmt es. Und dann können Sie es mit Induktion hochziehen. Standardbeweis aus der Analysis erklärt Ihnen aber nicht, wie Sie auf die Formel kommen. Sie können sich auch überlegen, folgende Begründung.

Wir schreiben dieses a plus b hoch n mal aus, also a plus b mal a plus b mal a plus b usw.

Und da haben Sie insgesamt k Faktoren.

Da ist was dran, das sind n Faktoren. Wenn ich a plus b hoch n mache, dann habe ich, herzlichen Dank, dann habe ich n Faktoren. Und dann multiplizieren Sie sukzessive, dann multiplizieren Sie aus.

Und beim Ausmultiplizieren bei jedem dieser einzelnen Faktoren entscheiden Sie sich entweder für a oder für b. Das heißt, also ich mache es nicht so, dass ich erst a plus a mal den einen plus b mal den anderen hinschreibe und dann noch weiter ausmultipliziere, sondern ich multipliziere so aus, dass ich mir überlege,

ja, das gibt ja so eine Summe von Termen a hoch k mal b hoch n minus k, wobei ich mich eben k mal für a entschieden habe und n minus k mal für b. Und k kann laufen zwischen 0 und n. Und das kann ich jetzt verschieden oft machen. Das heißt, ich komme auf sowas.

Summe k gleich 0 bis n. Irgendeine Anzahl ck mal a hoch k mal b hoch n minus k. Und dann überlege ich mir, was sind die cks? Wie groß sind die?

Also wie oft taucht hier ein Faktor a hoch k mal b hoch n minus k auf? Na ja, damit so ein Faktor a hoch k mal b hoch n minus k auftaucht, muss ich mich hier genau k mal für a entschieden haben und n minus k mal für b. Das heißt, von diesen n möglichen Faktoren,

wo ich mich für k entschieden habe, habe ich k herausgegriffen. Dabei kann ich jeden einzelnen Faktor nur einmal nehmen, weil sobald ich mich für a entschieden habe, kann ich ja nicht nochmal a von dem Faktor nehmen oder b. Das heißt, ich betrachte das jetzt als Ziehen von k Faktoren aus n.

Und das ist dann ein Ziehen ohne Zurücklegen. Und zweitens, mir ist es völlig egal, in welcher Reihenfolge ich mich für die Auswahl der Faktoren entscheide, ob ich erst den ersten, zweiten, dritten nehme oder erst den dritten, dann den zweiten, dann den ersten.

Für a, beides mal käme insgesamt a hoch 3 mal b hoch n minus 3 raus, wenn ich mich beim Rest für n entscheide. Deswegen bei dem ck.

Also hier betrachte ich ein Ziehen von k Faktoren aus n. Ich mache das Ganze ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Und dann sehen Sie, dann haben Sie eben n über k Möglichkeiten, diese Faktoren auszuwählen.

Okay, Fragen soweit?

Dann würde ich fünf Minuten Pause machen zum Tafelwischen. Und wir machen dann um 10.35 Uhr weiter. Okay, wir kommen zum Abschnitt 4.3. Da möchte ich Ihnen einige Beispiele vorstellen zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Und wir werden das einfach mal ad hoc mit Symmetrieüberlegungen machen. Und was man eigentlich prima damit sehen soll, dieser ad hoc Zugang ist nicht so ganz genial. Also das ist nicht alles so straight forward oder das ist nicht alles so offensichtlich, wie man das schließt. Und deswegen werden wir danach keinen ad hoc Zugang mehr machen.

Aber ich möchte Ihnen einfach mal vorführen, dass wir auch eine Möglichkeit, wie man es machen könnte. Aber es ist vielleicht nicht unbedingt die effizienteste oder auch nicht unbedingt die verständlichste. Also wundern Sie sich nicht, wenn Sie ab und zu etwas wundern, wie ich auf einzelne Überlegungen komme. Okay, 3 Beispiele.

Ich mache Ihnen 2 Beispiele. Die sind eigentlich mehr Spielzeugbeispiele. Und ein Beispiel, um Ihnen real zu zeigen, was man damit überhaupt anfangen kann mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit. Das erste gibt Ihnen mehr ein Spielzeugbeispiel.

4, 8 Beispiele. Ein echter Würfel wird so lange geworfen, bis er zum ersten Mal mit 6 oben landet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Würfel gerade ist?

Ob das ein Beispiel aus dem Buch ist? Vermutlich, aber eigentlich sind alle meine Beispiele aus dem Buch. So gesehen, sage ich mal ja.

Ein echter Würfel wird so lange geworfen, bis er zum ersten Mal mit 6 oben landet.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Würfe, wobei der letzte Wurf mitgezählt wird, gerade ist?

Also wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl Würfe, ich schreibe vielleicht in Klammern, einschließlich letzten Wurf, gerade ist?

Okay, wenn Sie so eine Aufgabe lösen wollen, und wir wollen das mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit machen, dann, also hier ist ja das Zufallsexperiment beschrieben.

Zufallsexperiment besteht darin, dass Sie eben den Würfel so lange werfen, bis zum ersten Mal eine 6 oben landet. Und das erste, was Sie sich überlegen, was kommt denn raus beim Zufallsexperiment? Das ist die Grundmenge. Also hier ist die Grundmenge. Was würden Sie sagen ist die Grundmenge hier?

Was sind denn mögliche Ergebnisse? Die zahlen 1 bis 6.

Das wäre, wenn ich fragen würde, der Würfel wird geworfen, und das Ergebnis ist die Zahl, die oben liegt. Aber was ich ja jetzt hier mache, ist, ich werfe den Würfel, und wenn ich dann eine 6 habe, höre ich auf, dann habe ich nur einmal geworfen. Aber wenn ich keine 6 habe, wurfele ich nochmal, und ich wurfele nochmal, und ich wurfele nochmal. Es kann auch sein, ich brauche 10 Würfel bis zur ersten 6.

Also es gibt mehr. Okay, Alternativvorschläge. 6 oder keine 6. Da haben Sie recht, wenn Sie sagen, Sie betrachten nur einen einzigen Wurf.

Aber hier betrachte ich ja nicht nur einen einzigen Wurf, ich betrachte ja viele verschiedene Würfel. Also ich werfe ja wiederholt. Okay, noch ein Vorschlag. Irgendeine natürliche Zahl außer die Null,

also 1, 2, 3 und so weiter. Das heißt, der Würfel landet entweder beim ersten Mal mit 6 oben, beim zweiten Mal mit 6 oben, beim dritten Mal mit 6 oben und so weiter. Und das sind alle möglichen Ergebnisse.

Im Prinzip der Vorschlag wäre, ich beschränke das Ergebnis auf eine gerade oder eine ungerade Zahl von Würfen. Das heißt, ich sage einfach, die Anzahl der Würfe war gerade und die Anzahl der Würfe war ungerade. Ist richtig, nur dann kann ich die Wahrscheinlichkeit nicht mehr berechnen. Also manchmal macht es Sinn, die Grundmenge komplizierter zu wählen,

sodass Sie anschließend die Wahrscheinlichkeit einfacher bestimmen können. Okay, aber ist das alles, was passieren kann? Oder kann noch mehr passieren? Es kann sein, dass niemals die 6 gewurfelt wird. Vollständig richtig.

Dafür nehme ich das Symbol unendlich. Ich könnte im Prinzip die Grundmenge auch größer wählen. Ich könnte auch sagen, die Grundmenge sind die reellen Zahlen.

Nur so und so viel treten halt nicht auf. Aber Sie können ja nicht 1,5 mal würfeln, aber das könnte ich auch in meine Wahrscheinlichkeit reinstecken. Bietet sich hier aber nicht direkt an. Werden wir aber später offenbar machen bei Situationen, dass manchmal ist es zur mathematischen Beschreibung

später wird es manchmal einfacher sein, Sie machen die Grundmenge ein bisschen größer, als de facto Werte auftreten. Und gleichen das dann durch Definitionen der Wahrscheinlichkeiten aus. Okay, was ist gesucht?

Gesucht ist Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis A. Was ist dieses Ereignis? Nur die geraden Zahlen, also 2, 4, 6, 8 und so weiter. Und die unendlich gehört nicht dazu.

Und das wollen wir bestimmen. Der erste Trick ist, wir sagen diese Wahrscheinlichkeit von dieser

Menge ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller elementar Ereignisse, die drin sind. Also wir setzen P von A als Summe K Element A P von, und das wollte ich glaube ich mit Formel

bezeichnen, nämlich das ist Formel 4, 1. Also ich sage, die Wahrscheinlichkeit von so einer Menge ist einfach die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten von allen möglichen Elementar Ereignissen. Warum ist das

sinnvoll oder plausibel? Naja, nehmen Sie mal an, die Menge wäre endlich. Wenn die Menge endlich wäre und betrachten Sie relative Häufigkeiten. Dann würden Sie sofort sehen, von der relative Häufigkeit gilt es. Die relative Häufigkeit von A ist dann die Summe aller K aus A Relative Häufigkeit von den Einpunktmengen da drin. Und dann lassen Sie

den Grenzwert Anzahl Elemente, die Sie betrachten oder Anzahl Durchführung des Zufallsexperiments gegen endlich gehen. Dann geht die linke Seite gegen die Wahrscheinlichkeit. Die rechte Seite ist eine endliche Summe, wo die einzelnen Summanden auch gegen die Wahrscheinlichkeit gehen. Dann steht die Formel da. Das heißt, für eine endliche Menge ist es klar.

Für eine abzählbare und endliche Menge können Sie sich überlegen, gilt es dann für relative Häufigkeiten, aber Sie sehen es nicht mehr. Ich könnte es zeigen, aber das machen wir nicht. Und insbesondere deshalb nicht, weil wir dann auch Probleme hätten mit dem Grenzübergang. Es wäre nicht mehr klar, dass wir diesen Grenzübergang

hier können wir zwar noch machen, aber wenn das eine unendliche Summe ist und dann machen wir auch noch den Grenzübergang wird es ein bisschen unschöner. Und es wäre nicht mehr klar, wie das gehen soll. Sondern da ist es dann einfach mehr eine intuitive Forderung für die Wahrscheinlichkeiten. Werden wir später auch als Grundprinzip von den Wahrscheinlichkeiten kennenlernen, dass so analoge Formeln gelten. Ich verwende sie einfach mal intuitiv.

Die Wahrscheinlichkeit von dem gesamten Ereignis ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Das ist der erste Schritt, den wir machen. Und damit sehen Sie, was ich jetzt machen muss. Ich muss diese Wahrscheinlichkeit

von so einem Elementarereignis bestimmen. Also ich muss für eine natürliche Zahl K, eigentlich nur eine gerade natürliche Zahl, aber ich kann es gleich für alle natürlichen Zahlen machen. Für eine natürliche Zahl muss ich bestimmen, dass der Würfel genau beim Kartenwurf zum ersten Mal mit der 6 oben landet.

Also für K aus N bestimmen wir P von K.

Dazu betrachte ich das K-meilige Werfen eines echten Würfels.

Und überlege mir, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau beim Kartenwurf zum ersten Mal mit der 6 oben landet.

Also wir betrachten ein zweites Zufallsexperiment. Wir nehmen echten Würfel, wir würfeln genau K-mal.

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es denn bei diesem Zufallsexperiment, wenn Sie einen echten Würfel K-mal würfeln?

Es gibt 1 bis K. Naja, wenn ich das gleiche Experiment wie bisher mache, nämlich dass ich sage, ich höre nach K-mal werfen auf. Aber das mache ich jetzt nicht. Sondern ich betrachte jetzt ein zweites Zufallsexperiment.

Ich nehme den Würfel und würfel einfach immer K-mal. Ganz egal, was passiert. Das heißt ganz egal, ob am ersten Mal schon eine 6 würfelt, ich würfel weiter. Ich würfel insgesamt K-mal. Und frage, wie viele mögliche Ergebnisse gibt es hier? 6 hoch K,

weil Sie ziehen K-Zahlen aus einer Grundmenge vom Umfang 6 mit zurücklegen, weil Sie können ja 2-mal die gleiche würfeln. Und mit Beachtung der Reihenfolge, wenn ich sage, ob ich eine 1-2-Würfel ist, ist anders als ob ich eine 2-1-Würfel. Dann habe ich 6 hoch K. Also, Anzahl möglicher Ergebnisse,

6 hoch K. Wir ziehen von K-Zahlen aus Grundmenge vom Umfang 6. Mit zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge.

Jetzt überlege ich mir, mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt eines dieser Ergebnisse auf. Also, wenn Sie eine ganz genaue Sequenz sich angucken, eine mögliche wäre zum Beispiel, Sie würfeln K-mal die 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Zweite Möglichkeit, Sie würfeln immer abwechselnd die 1, die 2, die 1, die 2 K-mal. Haben Sie einen Vorschlag, wie groß diese Wahrscheinlichkeiten für eines dieser möglichen Ergebnisse sind? Ein Sechstel hoch K, wie kommen Sie darauf?

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, also eine dieser Zahlen zu würfeln, ist ein Sechstel. Und wenn Sie eine Folge machen, multiplizieren Sie. Dann ist aber die Frage, warum multiplizieren Sie? Weil Sie in der Schule schon multipliziert haben?

Richtig. Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert, nicht addiert. Oder so, kann man so sagen. Aber möchte ich hier nicht machen. Anderen Vorschlag, wie ich auf ein Sechstel hoch K kommen kann.

Okay, ich betrachte die, ich unterbreche Sie mal, ich betrachte die Menge oder alle möglichen Ergebnisse, betrachte davon ein einziges und sage, das tritt ein mit 1 durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse 1 durch 6 hoch K. Ist richtig, ich brauche aber eine Begründung dafür. Begründung wäre Symmetrie.

Aus Symmetriegründen sage ich, jedes dieser einzelnen Ereignisse tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein. Die ganzen Wahrscheinlichkeiten müssen zu 1 auf addieren, weil das die relativen Häufigkeiten tun würden, wie man leicht sieht. Und deswegen muss diese gleiche große Wahrscheinlichkeit 1 durch 6 hoch K sein. Also wegen Symmetrie tritt

jedes dieser möglichen Ergebnisse mit

K auf oder ein.

Und jetzt überlege ich mir, was ist die Anzahl der Ergebnisse, bei denen genau beim Kartenwurf zum ersten Mal eine 6 kommt.

Was würden Sie sagen, wie groß ist diese Anzahl?

Also wieviel gibt es davon? Wieviel Sequenzen von diesen K,

also K-Tuppel von diesen Zahlen 1 bis 6 gibt es, wo genau an der Kartenstelle zum ersten Mal eine 6 steht und sonst immer steht keine 6. Also an den Positionen 1 bis K K-1 steht keine 6, an der Kartenposition steht eine 6.

Ok, Sie wollen direkt eine Wahrscheinlichkeit ausrechnen? Ne, ich frag noch gar nicht nach einer Wahrscheinlichkeit. Ich frag nur nach einer Anzahl. Also ich möchte einfach mal nur abzählen. Ich möchte abzählen, wieviel solche Sequenzen von Zahlen von 1 bis 6 gibt es. Also so ein K-Tuppel von 1 bis 6, wo die ersten K-1 Zahlen

da steht keine 6, an der Kartenstelle steht eine 6. Also erste K-1 Stellen steht keine 6, Kartenstelle steht eine 6. Wieviel Sequenzen gibt es dann? 5 hoch K-1 weil Sie haben K-1 Stellen mit einer Zahl zwischen 1 und 5.

Jeweils haben Sie 5 Möglichkeiten und beim letzten Mal steht es schon fest. Das heißt da kommt 5 hoch K-1 mal 1 raus. Also hier haben Sie K-1 Würfe mit Zahlen

aus 1 bis 5. Dann ziehen Sie eben K-1 Zahlen aus der Menge von 1 bis 5 mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge. Und letzter Wurf ist die 6.

Und jetzt können wir uns als nächstes überlegen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau beim Kartenwurf die erste 6 kommt. Und ich sage, diese Wahrscheinlichkeit ist eigentlich das, was uns interessiert.

Diese Wahrscheinlichkeit ist das P von K. Also ich tue so, als hätte ich mein Würfelergebnis eigentlich, um dieses P von K zu berechnen, als hätte ich mein Werfen hier gar nicht abgebrochen bei der ersten 6.

Sondern als hätte ich eigentlich immer fortgesetzt, bis ich mindestens k mal geworfen habe. Und dann habe ich nämlich den Vorteil, dass jedes dieser möglichen 6 hochk Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1 durch 6 hochk hat. Und dann überlege ich mir, bei wie viel davon von diesen 6 hochk tritt genau beim Kartenwurf die erste 6 auf haben wir und jetzt brauche ich die Wahrscheinlichkeit.

Haben sie einen Vorschlag? Das ist der Kehrwert von der Anzahl der Ereignisse, also 1 durch 5 hochk minus 1.

Das wäre richtig, wenn ich insgesamt 5 hochk minus 1 mögliche Ergebnisse bei meinem Zufallsexperiment hätte. Das wäre die Grundmenge hätte, Umfang 5 hochk minus 1 und alle hätten die gleiche Wahrscheinlichkeit. Und ich frage nach der Wahrscheinlichkeit von einem einzelnen Element. Aber ich frage jetzt hier nach was anderem.

Sondern ich habe insgesamt 6 hochk mögliche Ergebnisse und ich frage, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser 5 hochk minus 1 auftritt? Okay Vorschlag?

Also ich habe zwei Möglichkeiten. Ich könnte sagen Menge der günstigen Ergebnisse durch Menge der möglichen Ereignisse. Die Formel möchte ich gerade mal noch nicht verwenden, sondern wir argumentieren hier einfach mit der Anzahl. Wir haben 5 hochk minus 1 elementar Ereignisse, die für uns günstig sind und jedes Einzelne hat die Wahrscheinlichkeit 1 durch 6 hochk.

Das heißt wir kommen auf 5 hochk minus 1 mal 1 durch 6 hochk. Das wäre ein Sechstel mal 5 Sechstel hochk minus 1 und wir haben die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet.

Also im Prinzip habe ich noch mal so etwas gemacht wie die Formel 4.1. Nur diesmal eben mit einem anderen Zufallsexperiment eigentlich, nämlich bei dem Zufallsexperiment, wo ich den Würfel immer k mal geworfen habe.

Okay, haben Sie Fragen soweit?

Okay, damit sind wir aber eigentlich fertig. Jetzt müssen wir nur noch das eine Ergebnis in das andere einsetzen. Daraus folgt unser P von A.

Das ist jetzt die Summe k element a. Ich schreibe vielleicht aus k element a einfach l aus n und setze dann k gleich 2. L, dann hätte ich eine Reihe l gleich 1 bis unendlich.

Und wenn 2l wäre mein k, dann hätte ich hier ein P von 2l stehen. Wir setzen unsere obige Formel ein. L gleich 1 bis unendlich, ein Sechstel, mal 5 Sechstel hoch 2l minus 1.

Und Sie sehen, ich habe das Ganze zurückgeführt auf eine Aufgabe der Analysis, so eine unendliche Reihe auszurechnen.

Und diese unendliche Reihe rechnen Sie relativ einfach aus. Wenn Sie sich überlegen, da steht fast so etwas wie ein x hoch n aufsummiert, dann kommen Sie auf eine geometrische Reihe.

Ich ziehe mal den Faktor 1 Sechstel raus, ich ziehe auch den Faktor 5 Sechstel auch noch raus. Dann habe ich 5 Sechstel hoch 2l minus 2, also 1 Sechstel mal 5 Sechstel, mal l gleich 1 bis unendlich. Dann komme ich auf 5 Sechstel hoch 2l minus 2 und das 2l minus 2 schreibe ich 5 Sechstel zum Quadrat hoch l minus 1.

Und dann sehen Sie, was ich eigentlich aufsummiere, was ich eigentlich bilde, ist 25 Sechstel hoch

0 plus 25 Sechstel hoch 0 plus 25 Sechstel hoch 1 plus 25 Sechstel hoch 2 usw. Das ergibt die geometrische Reihe. Sie wissen, Reihe n gleich 0 bis unendlich x hoch n ist 1 durch 1 minus x. Oder wissen Sie vermutlich, oder?

Wissen Sie, dann sehen Sie mit der geometrischen Reihe, kommen wir hier auf 5 Sechstel 5 Sechstel 36, mal 1 durch 1 minus 25 Sechstel 36.

Sie multiplizieren mit der 36 den Nenner durch, dann kommen Sie auf 5 durch 36 minus 25, also 5 Elftel. Und Sie haben die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Ok, Fragen soweit?

Fragen? Ok, Sie sehen, das Ganze war in ein paar Stellen so ein bisschen unlogisch.

Hier war es nicht so ganz klar, was ich mache. Hier habe ich auf einmal das Zufallsexperiment gewechselt und dann ging es eigentlich schon wieder straight forward durch. Aber Sie sehen, es war so, ja, wenn man weiß, wie es geht, geht es ganz schnell.

Wenn Sie nicht wissen, wie es geht, ist es irgendwie so ein bisschen unschön. Also nicht so ganz systematisch. Sie sehen auch, es hat keinen so wirklichen Bezug zur Anwendung. Also ich meine, so wirklich interessant ist die Frage nicht, die Anzahl der Würfel gerade ist oder ungerade.

Ich mache Ihnen deswegen nächstes Beispiel. Nächstes Beispiel, wir steigern einfach den Schwierigkeitsgrad nochmal ein bisschen, aber dafür kann ich dann Bezug zur Anwendung herstellen. All die Überlegungen gehen in die gleiche Richtung, aber werden ein bisschen komplizierter. Nochmal so ein Beispiel, was im Prinzip wie dieses Beispiel diskret ist. Das heißt, es gibt nur endlich viele oder abzählbar und endlich viele möglichen Ergebnisse meines Zufallsexperiments.

Kommt Beispiel 4.9. Es ist ein Lotto-Beispiel, also Lotto kennen Sie alle.

Erstmal primitiv, aber eigentlich ein ganz lustiges Lotto-Beispiel. Und zwar hat es zu tun mit dem Check-Pot beim Lotto, der vor einigen Jahren eingeführt wurde. Und der bis heute höchste Check-Pot aller Zeiten in Deutschland beim Lotto 6 aus 49 trat im Dezember 2007 aus. Das waren 43 Millionen Euro.

Also Check-Pot beim Lotto 6 aus 49 im Dezember 2007.

Als Statistiker merken Sie sowas immer dann, wenn plötzlich Ihr Telefon klingelt

und irgendein Journalist dran ist und von Ihnen Tipps zum Lotto will. Beziehungsweise Tipps will, auf welche Zahlen soll man setzen. Und in den Medien war damals eben eine große Spekulation, was sind vielversprechende Zahlen beim Lotto.

In Medien, was sind vielversprechende Zahlen beim Lotto.

Und eine These, die damals aufgestellt wurde, war eben, um vielversprechende Zahlen zu finden,

ist es vielleicht sinnvoll, einfach mal anzugucken, was waren die Lottoergebnisse in der Vergangenheit. Und insbesondere sich zu überlegen, welche der 49 Zahlen kamen denn in der Vergangenheit besonders häufig vor. Vergangenheit beim Lotto heißt, seit Oktober 55 gibt es diese Ziehungen.

Seit Oktober 55 bis Dezember 2007 gab es 4599 Ziehungen. Und die dabei am häufigsten gezogene Zahl war die 38. Die kamen nämlich 614 mal vor, während erwarten würden Sie eher sowas wie 563.

Also Beobachtung, in 4599 Ziehungen von Oktober 55 bis Dezember 07 wurde die 38 am häufigsten gezogen, nämlich 614 mal.

Und zum Vergleich ist diese 614 jetzt groß, dann können Sie sich überlegen, ja es gab 4599 Ziehungen.

Bei jeder dieser Zahl, bei jeder dieser Ziehungen kamen sechs Zahlen vor. Das heißt, es wurden insgesamt 4599 mal sechs Zahlen gezogen. Und wenn Sie die jetzt gleichmäßig verteilen auf die 49, dann bilden Sie eben 4599 mal 6 durch 49 und das ist 563.

Zum Vergleich, wenn wir 4599 mal 6 durch 49 bilden, kommen Sie auf 563.

Und es ist klar, 563 ist irgendwie kleiner als 614. Und jetzt stellt sich die Frage, ist es deswegen sinnvoll, wenn diese 38 in der

Vergangenheit so häufig gezogen wurde, dass man in der Zukunft auch auf die 38 sitzt? Also kann ich meine Gewinnchancen beim Lotto erhöhen, indem ich meine Geld- oder Speziellzahlenkombinationen angreuze, wo die 38 vorkommt?

Und das dann im Prinzip so weitermach. Ich überlege mir dann, was ist die zweithäufigste Zahl, die drithäufigste Zahl und kreuz vielleicht alle sechs am häufigsten gezogenen Zahlen an und habe eine deutlich höhere Gewinnwahrscheinlichkeit als beim anderen. Das Ganze funktioniert natürlich dann nicht, wenn das Ganze hier ein reiner Zufallseffekt wäre.

Also damit es funktionieren kann, sollte das kein Zufall sein und die Frage wäre dann, ist das Zufall?

Ja, stellt sich die Frage, was wäre es, wenn es kein Zufall ist? Also irgendwie klar, wenn Sie 4599 mal 6 Zahlen aus 49 ziehen, dann wird es irgendeine geben, die kommt am häufigsten vor. Es werden wohl nicht alle genau 563 mal gezogen werden, zumal das gar nicht aufgeht.

Also manche kommen häufiger vor als andere. Haben Sie einen Vorschlag, was wäre die Alternative zu Zufall oder warum soll das kein Zufall sein?

Genau, also es könnte, erstens könnte präpariert sein, also diese ganze Lottoziehung sind eigentlich getürkt oder es kann sein, die Kugel ist irgendwie abgenutzt, die Kugel ist ein bisschen schwerer. Also es könnte sein, diese Maschine, die eigentlich die Lottozahlen erzeugt, die ist eigentlich futsch.

Also die tut nicht richtig und dann ist es natürlich klasse. Also ich habe vor Jahren mal Geschichte gehört vom kanadischen Statistiker, der hat mir erzählt, ja, Sie hätten eine Spielbahn gehabt und da gab es irgendeine Art Glücksspiel. Und dann hat einer an zwei Morgen hintereinander den Hauptpreis abgasiert

und die war natürlich nicht so ganz begeistert darüber, dass du immer wieder den Hauptpreis abgasiert und genau auf die richtigen Zahlen setzt. Aber es hatte sich dann herausgestellt, die Batterie für ihren Zufallszahlen-Generator war kaputt gegangen und deswegen hat dieser Zufallszahlen-Generator jeden Morgen mit den gleichen Zahlen gestattet.

Und als Konsequenz hatte der Mann, der sich eben genau die Zahlen notiert hatte, vom jeden Tag das gemerkt und konnte jeden Morgen auf die richtigen Zahlen setzen. Okay, also hier gibt es keine Batterie, aber es könnte auch irgendwie sein, die Maschine ist irgendwie kaputt. Und die Frage, um die es jetzt geht, ist, können wir entscheiden, ob das Zufall ist oder ob das kein Zufall ist?

Und wenn es natürlich Zufall ist, wäre es irgendwie gar nicht sinnvoll auf die 38 zu setzen. Wenn es kein Zufall ist, könnte man sagen, ja, überlegt man sich das. Okay, dann ist die Frage, wie entscheiden wir sowas?

Und ja, ich habe noch sechs Minuten, das kann ich gerade noch hinschreiben. Die Grundidee in der Statistik zur Beantwortung dieser Frage

und die Grundidee in der Statistik zur Beantwortung dieser Frage ist ein Vorgehen in drei Schritten. Erstens, wir machen die Annahme, es wäre Zufall, das heißt, die sechs Zahlen werden rein zufällig gezogen.

Erstens mache Annahme, dass die sechs Zahlen rein zufällig gezogen werden.

Also rein zufällig gezogen heißt hier, jede der möglichen 49 über 6-Zahlen-Kombination tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf,

nämlich eins geteilt durch 49 über 6. Zweitens, unter dieser Annahme berechnen wir anschließend die Wahrscheinlichkeit,

dass ein Resultat beobachtet wird oder ein Resultat auftritt, dass so stark gegen diese Annahme spricht, wie das, was tatsächlich beobachtet wurde. Zweitens, unter dieser oder berechne unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit,

dass ein Resultat beobachtet wird, dass so stark gegen diese Annahme spricht, wie das tatsächlich beobachtete.

Also beachten Sie, mit der Annahme in erstens habe ich eigentlich die zugrunde liegende Struktur völlig festgelegt. Ich weiß, wie die Zahlen gezogen werden und damit kann ich eben solche Wahrscheinlichkeiten ausrechnen.

Ich muss mir noch überlegen, was heißt es oder was sind die Resultate, die so stark gegen diese Annahme sprechen, wie das tatsächlich beobachtete. Naja, beim tatsächlichen Beobachten wurde die 38 614 mal beobachtet. Also ich könnte jetzt sagen, wenn die 38 614 mal auftritt oder 615 mal auftritt oder 616 mal auftritt und so weiter,

dann spricht das mindestens so stark gegen die Annahme, wie das, was ich beobachtet habe. Und dann die eigentliche Schlussweise ist, falls die Wahrscheinlichkeit in zweitens klein ist. Historisch nimmt man meistens sowas wie kleiner gleich fünf Prozent Verwehr für Annahme in erstens, andernfalls nicht.

Okay, was da steht, ist eigentlich so eine, eine der grundlegenden Möglichkeiten, zu einer statistischen Schlussweise zu kommen. Nämlich das, was auch hinter dem Begriff des statistischen Tests steckt.

Also wir wollen wissen, ob die Maschine kaputt ist und vereinfacht gesprochen,

wenn Sie ein Ergebnis beobachten würden, das bei ordnungsgemäßen Betrieb eigentlich gar nicht rauskommen würde. Also stellen Sie vor, Sie haben eine Lottomaschine, die zielt Ihnen sechs Zahlen aus 49 und anschließend liefert sie Ihnen sieben Zahlen größer als 50. Dann würden Sie irgendwie sagen, die Lottomaschine ist kaputt, weil das geht nicht.

Sowas machen wir hier nicht, sondern hier kann eben alles Mögliche auftreten. Aber wenn wir eben was sagen, was nur, was sehr, sehr unwahrscheinlich ist, dass es auftritt und wir haben das tatsächlich beobachtet, dann sagen wir, dann war wahrscheinlich unsere Annahme in erstens falsch.

Okay, ich erkläre es beim nächsten Mal noch mal ein bisschen ausführlicher. Dann führen wir es auch entsprechend durch und wir sehen uns in der Mittwoch.