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Kombinatorik und Beispiele

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so käme man nie woher hat er ein ñ Beck ja begrüße Sie recht
herzlich zur heutigen Vorlesungen der Einführung in die Stochastic ich war wie immer mit einer kurz Wiederholungen von Inhalt und letzten Mal an Zentralbegriff letztes Mal Dennis eingeführt aber der Begriff der Wahrscheinlichkeit zugrunde gelegt wurde ein sogenanntes Zufallsexperiment kurz sein Experiment mit vorher unbestimmten Ergebnis das im Prinzip unbeeinflusst von einander beliebig oft wiederholt werden kann das entscheidende daran ist dieses unbeeinflusst von einander beliebig oft wiederholt werden kann das unbestimmte Ergebnis ist im weiteren Sinne des Wortes zu fassen weil das Ergebnis kann und bestimmt sein es könnte im Prinzip auch bestimmt sein also ich fast auch jede deterministisches Situation er hat ich mit in diesen ganzen Rahmen des Zufallsexperiment mittragen also mich würde es nicht stören wenn man Zufallsexperiment immer das gleiche
ausgehen ich wüsste genau was ausgehen ich würde es trotzdem das Zufallsexperiment bezeichnen wir andern eingeführt Menge aller möglichen Ergebnisse des Experiment heißt Grundmenge jede Teilmenge diese Grundmenge heißt Ereignis und ein solches Ereignis tritt ein das Ergebnis des Zufalls 6. Ereignis liegt wir haben
eingeführt den Begriff der relativen Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses gegeben konkrete Ergebnisse von Zufallsexperimenten sind klein x 1 =ist gleich x n die beim wiederholten durchführen das Zufallsexperiment auftretenden Werte so ist die Anzahl der 1 klar gleich die klare gleich n o x sin
Alex geteilt durch n die relative Häufigkeit das Eindringen von und damit konnten wir dann das zentrale Ergebnis formulieren wir Beobachtung aus der Praxis so genannte empirische Gesetz der großen Zahlen das besagt Folgendes für ein Zufallsexperiment unbeeinflusst von einander immer wieder durch so nähert sich für große Anzahl von Wiederholungen die relative Häufigkeit des Eintretens eines beliebigen Ereignisses aber einer Zeit die von Element vom Intervall von 0 bis 1 1 und diese Zeit des von heißt Wahrscheinlichkeit von A und was es in der dieser Vorlesung geht ist die Bestimmung von solchen ist die Bestimmung von solchen Wahrscheinlichkeiten beziehungsweise Rückschlüsse aus solchen Wahrscheinlichkeiten als 1. Hilfsmittel dazu hab ich ein bisschen was erzählt zur Kombinatorik wir betrachten das Ziel von K Elementen aus einer Menge mit Mächtigkeit und überlegen uns wie viele Möglichkeiten gibt es für die auftretenden Ergebnisse und dann können wir nicht uns überlegen entweder nachdem wir was gezogen haben und legen es anschließend wieder zurück das ist sie nie zurücklegen dann können wir das gleiche Element mehrfach ziehen oder belegen es nicht mehr zurück und zweitens bei dem was wir ziehen können sagen wir die Reihenfolge
spielt eine Rolle dass Erziehung mit Beachtung der Reihenfolge oder die Reihenfolge spielt keine Rolle sie ohne Beachtung der Reihenfolge einziehen mit zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es n Hochkar Möglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es n Fakultät durch n gar verwaltet Möglichkeiten beide Formen machen sich zuckt wäre sofort klar in dem sich überlegen wie welche Möglichkeiten haben Sie für das 1. für das 2. Element für das 3. und so weiter und das Ganze auf multiplizieren wenn Sie nach wie vor ohne zurück ziehen aber die Reihenfolge nicht beachten dann gibt es n über k das sind n Fakultät durch n s k Fakultät Maika Fakultät viele Möglichkeiten das machen sich klar in dem sich wenn sich hier alle möglichen Ergebnisse auf alle K Fakultät vielen weißen neu anordnen bekommen Sie alle Stichproben aus dem Feld rüber und das einen eigentlich was noch fehlt ist mach ich jetzt mal gleich und das ist die Formel die eigentlich irgendwie schwer zu merken ist und wo auch ein bisschen was zeigen müssen für ist es zurücklegen und ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge da gibt es ein Quiz kann -minus 1 übertragen viele Möglichkeiten aber das mache ich gleich noch ok dann sind wir bei den
Beinen ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge bei ach ab also des Ancien mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge geht die Anzahl der Möglichkeiten n ist endlos kamen S 1 über K also ich vermute mal Sie können doch noch so knapp lesen von ganz hinten aber ansonsten wären wir davon auch noch einige Plätze frei es ist erstaunlich dass bei einer Vorlesung mit 450 angemeldeten hören Hörsaal mit 250 Plätzen weniger als halb belegt ist aber er hat natürlich wieder Vorlesungsaufzeichnungen so tun nicht aber an der Stelle schon mal darauf hinweisen wir also für die Aufzeichnung geh mal in die Kamera dafür eine für die Aufzeichnung also für die die Aufzeichnung sehen die Schwierigkeit ist natürlich sie müssen auf zeigten sich wirklich angucken es reicht nicht auf dem Rechner runterzuladen und die Gemeinde bekommen dass das gar nicht mit weil es mich angucken ja aber die Schwierigkeit ist wirklich mal so umformulieren die Schwierigkeit ist die Aufzeichnung zu Ende zu sehen also ich wurde die 1. paar Minuten klafft noch problemlos und wir sind noch so die 1. 12 Minuten geschafft meinen auch die 1. Viertelstunde auch oder Leistungen Aufmerksamkeit nach wird ja kauerte begründet von Dingen das die der 1. Dreck ist das Ganze unter formulieren und die Behauptung einigermaßen schlau schreiben was eines gesucht beschreibt das gesuchte als Mächtigkeit einer Menge also ich schreib sowas den N =ist gleich geht von einer Menge Omega wobei Omega alle möglichen Stichproben sind beim Ziehen von K Elementen aus einer Menge vom Umfang n nicht zurücklegen ohne
Beachtung der Reihenfolge wäre ich repräsentiere dieses klar oder dieses klar Elemente die dir als ein paar Tupel wenig X 1 bis 6 Grad ich sage weiter diese Elemente seien also meine ursprüngliche Menge hatte ein Elemente die neugierig obige von 1 bis n durch dann sind das als natürliche Zahlen das heißt es ist ein Kartoffel natürlicher Zahlen in oben Grad genauer eigentlich nur Zahlen zwischen 1 und n aber das kommt gleich noch und dann da ich das Ganze ohne Beachtung der Reihenfolge macht sag ich sie erst die Zahlen und dann sortiere sie um der Größe nach aufsteigend und das mit Zurücklegen des können zweimal die gleichen vorkommt das heißt ich hab sowas 1 ist dabei gleich das X 1 kleiner gleich als ich 2 Name gleich und so weiter kleiner gleich n und der 1. Trick ist also zusehen gesucht ist eigentlich die Mächtigkeit von dieser Menge kann stark zu entscheiden also jeder einzelne Stichprobe die auftaucht wird dass dies durch eine Kartoffel natürlicher Zahlen zwischen 1 und n auch solche sollte noch x entstehen die es Ermittler gleich in also 1 kleiner gleich x 1 kleiner gleich x 2 klar mit leichten kommt .punkt lange gleich Xn kleiner gleich in vollständig rechtliche sollte XK stehen dessen Kartoffeln Xtra kleiner gleich mit ok das der 1. trägt das klar so weit ich sehe keine Proteststürme wer solche einmal Viren der Zürcher 2 Menge einen Omega strich von der ich dann zeigen wird sie hat genau so viele Elemente wie Omega und die dadurch ganz einfach abzählen können und strich das er auch wieder Kartoffel die nämliche Trübsinn 1 y k wobei die es diesmal echt einsteigen sind also 1 ist klar gleich y 1 kleine und sind 2 und so weiter aber dafür dass ich als obere Schranke was größeres zu wenig Einfluss K -minus 1 ab und dann der Dinge ich eine Abbildung F von Omega nach unwiderstehlich und zeige diese Abbildung ist dir tief und daraus folge ich dann die Behauptung also der meine Abbildung bei dem nach f von x 1 bis x k und die Idee ist einfach ich lass das 1. Eintrag unverändert beim 2. der die 1 dazu am 2. 2. und so weiter ist beim Partner Dierig kann -minus 1 dazu und was ich jetzt zeige im Folgenden ist dass diese Abbildung wie aktiv ist damit mal Stern es wir tief ja das heißt die Abbildung ordnet jedem Element aus Omega genau ein Element aus und Strich zu also hier steht K und dann behaupte ich bin ich fertig weil daraus kann ich dann folgern das was uns interessiert n weil die Mächtigkeit von Omega jetzt auch da es eine endliche Menge sie wir haben wir diese Abbildung in eine 2. endliche Menge hinein das heißt von jedem Element aus gar könnten sie eine Linie ziehen zu ein Element aus Omega strich dieses diese Linie wurden an das Element berühren sie können nicht nur spannend und dann wäre wurde ein Leben Elementen den ,komma wurde also von jedem Omega wurde stritt ich nur ausgehen und von jedem Elementen Omega Strich würde genau eine Schnur landen dann sind es eben gleich viel das heißt aufgrund von Sternen wissen wir die Karten haltet von Omega Stimme die Aufgaben erzählt von Omega strich überein und die Karte leitet von Omega strich das können Sie jetzt unmittelbar hinschreiben auch weil man sich überlegen was ist das das ist ein da haben Sie auch wieder der brachten 8. nochmals ziehen Sie haben K Elemente gezogen und zwar aus einer Menge vom Umfang n Pescara -minus 1 sie haben das diesmal ohne Zurücklegen gemacht weil es gleich eine man kann ja nicht zweimal und sie haben es ohne Beachtung der Reihenfolge gemacht weil sie an dem der Elemente anschließende Größe nach umso ziert das heißt das da ist der Fall aus See Unfall sie kennen wir was da rauskommt das wäre nämlich die Anzahl der Elemente in der Menge entriß gar -minus 1 übertragen und wir sind fertig Sache dass wir diese bidität noch zeigen müssen ok haben sie soll fragen fragen war auch also sie kommen als die verweist an wir sie hatten ein alternatives Vorschlag wie ich mir ein alter tief weiß überlegen könnte der Vogelgrippe er vor in kommt ein hochgradig K-Frage geht deutlich einfacher vor als endlos Games einzu wird aber das Problem ist auch es ist nicht das Gleiche also gesehen wenn sie mit den noch NOK starten im kommen sie nicht auf dieses endlos kam 1 also dass die dass die Schwierigkeit der Beweis ist sie erstmal kompliziert aus aber von der vom Prinzip her so ganz einfach mit sie ändern einfach die Elemente ab beim 1. Mal gehen sie nicht dazu beim 2. 1 von 2. 2. und letzten kamen es einst das ist der Trick den sich einig werden müssen wenn sich die Formen werden müssen dann können Sie das
eine auf das andere zurückführen also gesehen sei ich einfach ich weiß es nicht ob es noch einen einfachen Beweis gibt das können jetzt nicht sagen ok es ,komma zum Nachweis stammt können Sie mir sagen was muss ich denn zeigen wenn ich zeigen möchte diese Abbildung ist sie muss würde die Windenergie sein das heißt ich brauche nur bei Schritt 1 wer die Abbildung ist in der Tiefe bei Schritt 2 die Abbildung ist so tiefen dann sind wir fertig ok sind alle einverstanden das heißt die Behauptung ist er was ja nicht ausführlich steht ist die Behauptung es ist eine Direktive Abbildung und ich zeige es ist in der tief es ist so tief und ich bin fertig anders gefragt was fehlt ja das ist ein bisschen schwer zu sehen wir verbrauchen ungewiss ist ja je nachdem wie Vertraute in Mathematik sind das 1. was ich ja nicht sagen muss ist das ging es überhaupt wohl definiert also ich muss sagen das Ding ist eine Abbildung Reisende behaupten ja es geht wieder Abbildung steht insbesondere den das ist eine Abbildung jetzt müssen wir überlegen was seien eine Abbildung eine Abbildung war eine Zuweisung ist oder eine Vorschrift die ein Element aus und jeder eine Abbildung von Omega noch Omega strich ein Element aus A Bigger ein Element aus Omega Strich zuordnet muss ich da so etwas zeigen die Eindeutigkeit der Abbildung was meinen Sie mit Eindeutigkeit Abbildung ich muss ja nicht nur zeigen dass es wird in eine eindeutige haben weiß ein Element zugeordnet diesen eine als ich kann ich 2 Elemente gleichzeitig zuordnen diesen einer ne aber das habe ich aber nur einen zugeordnet ein zumal ja aber sehen das als irgendwas was schief gehen könnte ist es könnte passieren dass wir alle L auf ein Element abbildet das gar nicht nur mit ,komma ist genau was schief schiefgehen könnte ist das was hier steht ist nicht nur ,komma also muss ein zeigen dass man das denn auch legal ist dass das dann auch wieder Strich ist und das machen wir Mulden dabei Schritt so definiert ab da haben wir uns überlegen x 1 bis x Kaiser sonniger der nach Definition von x 1 bis x AK die dann dieses 1 kleiner gleich x 1 glaube gleich x 2 und so weiter bei auch und ich schreibe es nicht in das die x 1 bis x k natürliche Zahlen sind dann sehen Sie wenn ich jetzt statt x 1 x 1 x 1 x 2 bis 6 K x 1 x 2 +plus 1 x 2 x 3 bis 2 und so weiter betrachtet dann steht hier auf einmal ein kleiner also hier stellten klare gleich aber hier steht ein kleiner weil x 1 =ist gleich gleich X 2 aber x 1 +plus 1 ist ein kleiner als x x 1 ist ein kleiner als x 2 +plus 1 und genau so wäre x 2 +plus 1 jetzt kleiner als x 3 +plus 2 Felix II. war noch kleiner gleich x 3 und so weiter als und dann sinken Argerich ha -minus 1 das heißt die Zahl ist aber gleich das Industal -minus 1 ja und dann sehen Sie dann ist aber dieses Kartoffel x 1 x 2 +plus 1 und so weiter Witeczek bis kam -minus 1 eben in obiger strich enthalten ab ok das war der ich würde sagen würde bei Schritt war das eben das ich zeigen möchte die Abbildungen existiert überhaupt ist wohldefiniert des formales blieb die damals angesagte brauchen 2 Sachen in der geht und so geht es also erstens etwas in die Tiefe vor was muss ich dazu zeigen noch Leute das 1 x 1 y zugeordnet wird und umgekehrt das 1 x 1 10 zugeordnet wird das haben wir eigentlich schon ein Mix aus Amerika oder Ypsilons unwiderstehlich zugeordnet und jetzt wollen sie eben zeigen einen y ist höchstens das Bild von 1 X wie können Sie so umformulieren genau also ich zeige wenn er f von x 1 bis x k gleich F 1 x 1 Strich bis x k Strich ist dann möcht ich daraus folgern x 1 bis x k =ist gleich x 1 spricht sich Scar strich ich mach gleich ein bisschen abgekürzt wir sparen uns mal dieses f von x 1 bis x k gleich F von X 1 Gespräch XK gar strich unterschreiben direkt die Definitionen dann haben wir x 1 bis 1 x 1 und x 2 +plus 1 jetzt wir gleich sprechen Ausdruck mit x 1 quer er Recht ja dann sehen Sie aber 1 x 1 gleich einst klären die 1. Komponente muss übereinstimmen die 2. Komponente muss übereinstimmen also x 2 +plus 1 =ist gleich x 2. quer plus 1 bis 6 1 6 Grad bis gar -minus 1 ja und dann sehen Sie dann diese demnächst 1 30. 1 Square x 2 gleiche Zweigwerk gar gleich Jizchak wäre und damit ist dieses x 1 Witeczek gleich X 1 4 bis 6 Grad werden
und wir sind fertig wir noch ein Schritt nämlich 2. es 0 die was ist hier zu zeigen also Vorschlages ich definiere gleich die Umkehr Bildung und nachdem ich die definiert hat 40 dienende Funktion ein und dann was x 1 bis x herauskommen ich wird müssen anders formulieren also wir kann das ausführlicher formulieren was Sie gesagt haben ich Zeit wirklich die umgab Bildung definieren F um -minus 1 von Omega Strichen und gar zeige er verkehrte mit 11 um -minus 1 =ist gleich die Identität und die eine Richtung reicht jeweils endlichen Mengen sind richtig erachte aber wir können auch direkt auf die Definition zurück gehen dann würd ich gar keine und die Abbildung definieren soll würde einfach zeigen wenn ich ein beliebiges y 1 bis y K und sonniger strich Ausreise dann finde ich 1 x 1 bis x gar und Omega so dass f von x 1 bis 6 Grad gleich 15 1 bis 17 Grad also machen wir das also ich greife mal beziehen 1 besitzen Chaos Omega Stricher aus was wissen wir dann dann wissen wir nach der Definition von dem Omega ,komma das einst gleich y 1 kleine sind 2 klein und so weiter kleine SIM-Karte aber gleich in das gar -minus 1 ist ab ab und was ich jetzt Juristen x 1 bis x k so dass er von X 1 bis 6 Grad also x 1 Witeczek und so dass er von X 1 bis 6 Grad gleich y 1 bis 17. Paris haben den Vorschlag wie dieses x 1 bis x k aussehen muss kann also Vorschlag wie sieht 1 x 1 bis x k aus dass er von X 1 bis 6 Grad gleich ob sind 1 bis y ist x 1 =ist gleich y 1 x 2 =ist gleich y x 2 =ist gleich y 2 -minus 1 nachdem ich 1 dazu dir solle ihre Beziehung 2 auskommen x 3 =ist gleich y 2 -minus 2 und so weiter bis x k =ist gleich y k des Kamines 1 also -minus in Klammern Grammys 1 ok und dann muss sie jetzt argumentieren dann ist klar er von diesen x 1 bis x k =ist gleich Epson 1 besitzen gar ich muss argumentieren dass dieses y 1 bis dieses neue x 1 bis x Kadern in der Omega drin liegt ja aber das sehen Sie aber nicht dass es mache dann sehen Sie 1 ist klar gleich y 1 man y 2 größer als y 1 ist dann sicherlich y 2 -minus 1 weiß eine ganze Zahl ist größer gleich 1 dann haben Sie y 3 ist leider als y 2. das eben y 3 -minus 2 größer gleich als Lektion 2 -minus 1 und genau so können Sie hier auf y k -minus kam -minus 1 übergehen und das ist ein kleiner gleich als weil sie am vom größten ja -minus 1 abgezogen wird ist leider gleich in damit sehen wir dieses y 1 x 1 2 minus 1 bis y k K -minus 1 als Vektor ist auch drin und das ist klar er von diesen Dingen =ist gleich y 1 bis 17 Grad und wir sind fertig ok Fragen so weit und fragen keine Fragen ,komma Beispiel für 7 ich nehme ich schwer ich nehme die Formel der Kombinatorik und begrünt ihnen so mit sogenannten binomischen Lehrsatz 4 7 Beispiel der binomische Lehrsatz binomische Lehrsatz gesagt wenn sie reale Zahlen a und b haben ein n aus N dann können Sie a +plus b hoch n schreiben also eine Summe von der man auch Kramer Halbierung wobei Grat zwischen 0 und n läuft in der Vorfahrt war von dem Term ist n über k also Aussage ist für reelle Zahlen a b natürliche Zahl n geht A bis D o n ist gleich der Summe gar gleich 0 bis N n über k The n über k mal auch Kammer wo 1 kam sie sehen sofort wenngleich einstimmt und dann können Sie es mit Induktion hochziehen Steiner beweist dass dann alles ist erklärt ihn aber nicht wie sie auf die Formel kommen Sie können sich auch überlegen folgende Begründung wir schreiben dieses a +plus b um einmal aus also a +plus b mal a +plus b mal a +plus b und so weiter und da haben sie insgesamt K
Faktoren bei bei der Stadt als 1. Andersen in Faktoren wenn ich A bis D o n nach dann habe ich herzlichen Dank habe ich in Faktoren und dann multiplizieren sich sukzessive dann multiplizieren Sie aus und er beim aus modifizieren bei jeden dieser einzelnen Faktoren entscheiden sich entweder für A oder für B das heißt also ich machs nicht oder sie erst ab aber den 1 +plus b mal den andern schreibt nur noch weiter aus multipliziere soll nicht nur dem Ziel multipliziert so aus dass ich mir überlegt ja es gibt also die Summe von der Rahmen auch wo man Minister wobei ich mich eben kam mal für entschieden ab und das Ende des )klammer zu B und er Kaka laufen zwischen 0 und n und das kann ich es verschieden aufmachen das heißt ich kann auf so was Blumenthal gleich nur bis Ende um mir Anzahl mal auch gar mal wo ein Minister und dann überlege ich mir was Seegras wie groß sind ist die also wie oft taucht hier ein Faktor auch Kramer wo er -minus gar auf Na ja damit zum Faktor auch Hama wo man -minus K auftaucht muss ich mich hier genau kann mal für entschieden haben und das kam also wie das heißt von diesen allen möglichen Faktoren wo ich mich für K entschieden hab hab ich ka herausgegriffen je dabei kann ich jeden einzelnen Faktor nur einmal gehen weil sobald ich mich für ein China könne den ich noch mal Affenvater leben oder das heißt er ich betrachte setzt als von K Faktoren aus aussendet und das ist dann ein Ziehen ohne Zurücklegen und zweitens mir ist es völlig egal in welcher Reihenfolge ich mich für die Auswahl der Faktoren entscheide ob ich erst den 1. 2. 3. Ehe oder erst im 3. und 2. und 1. für er beides mal kommt gehen insgesamt aber auch 3 mal wie hoch in den 1. Reihe aus Venedig wenn Rest für entscheiden deswegen bei den C-Kader also ihre traf sich anziehen von K Faktoren aus allen ich macht das Ganze ohne zurücklegen er wird und ohne Beachtung der Reihenfolge und dann sehen Sie dann haben Sie eben eine weitere Möglichkeiten diese Faktoren auszuwählen mehr die ok Fragen so weit ok dann würd ich 5 Minuten Pause machen sind haben wir schon und wir machen dann um 10 Uhr 35 weiter Herr ok wir kommen zum Abschnitt der 3 da möcht ich Ihnen einige Beispiele vorstellen so Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und wir werden es einfach mal mit Symmetrie Überlegungen machen und was meine immer damit sehen solle dieser Art Hauptzugang ist nicht so ganz genial also dass das nicht alles so stellt fordere dass nicht alles so offensichtlich wie man da schließt und deswegen werden wir danach keine Abdruck Zugang wir machen euch mit den mal vorführen dass wir auch eine Möglichkeit dem was machen könnte aber es vielleicht nicht unbedingt die effizienteste wohl auch nicht unbedingt die verständlichste also wundern Sie sich nicht wenn sie ab und zu etwas wundern sich auf einzelne Überlegungen kommen ok vor 4 3 3 Beispiele ab ich mache in 2 Beispiele die sind ein nicht mehr Spielzeug Beispielen und ein Beispiel um einmal mehr alte zeigen was man damit überhaupt anfangen kann mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit das Erste gibt man Spielzeit Beispielen wir 8 Beispiel ein echt geworfen wird solange geworfen bis er zum 1. Mal mit 6 Ohm landet wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Anzahl der Würfe gerade ist ob das beispiellosen Boris oh vermutlich aber einig sind alle meine beispiellosen Buch so gesehen wir sag ich mal ja ein echter Wochen wird solange geworfen bisher zum 1. Mal mit 6 oben landet n er an wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Anzahl der Würfe wobei der letzte Woche mitgezählt wird gerade ist er also wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Anzahl hoffe ich war vielleicht in Klammern einschließlich letzten Wurf er gerade ist ob ok wenn diese Aufgaben lösen wollen und wir wollen es mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit machen dann also hier das Zufallsexperiment beschrieben Zufallsexperiment besteht darin dass sie in den Würfel so lange werfen bis zum 1. Mal eine 6 oben landet und das 1. was sich überlegen was konnten aus beim Zufallsexperiment das ist die Grundmenge also hier ist die Grundmenge was
würden Sie sagen es die Grundmenge hier was in mögliche Ergebnisse die Zahlen 1 bis 6 das wäre wenn ich fragen würde wäre der Würfel wird geworfen und das Ergebnis ist die Zahl die oben liegt aber ist als hier mache ist ich wieder auf den Würfel und wenn nicht dann wir Sex haben durchaus für mich noch einmal geworfen aber ich keine 6. beruflich noch mal ich wollte nochmal mich nur noch war es kann auch sein auch 10 Wochen bis zu 1. 6 es gibt Mehr die Alternativvorschläge 6 oder keine 6 eigentlich ja da haben Sie recht wenn Sie sagen Sie betrachten nur einen einzigen Wurf aber hier betrachtet ja nicht nur einen einzigen worauf ich wieder auf der viele verschiedene Berufe es also ich werde ja wiederholt ok Vorschlag und der natürliche Zahl aus 7 0 also 1 2 3 und so weiter das heißt geworfen landete der nach dem 1. Mai mit 6 oben beim zweitenmal mit 6 oben beim 3. Mal mit 6 oben und so weiter und das in alle möglichen Ergebnisse im Prinzip der Vorschlag werde ich beschränkt das Ergebnis auf eine gerade oder eine ungerade Zahl von verworfen das heißt ich sag einfach die Anzahl der Würfe war gerade um die Anzahl der Würfe ungerade ist richtig nur dann kann ich die Wahrscheinlichkeit nicht mehr berechnen also man macht sind die Grundmenge komplizierte zu zu wählen so dass sie anschließend die Wahrscheinlichkeit einfacher bestimmen können ok aber er ist das alles was passieren kann oder gar noch mehr passieren es kann sein dass niemals die 6 geworfen wird vollständig richtig und dann nehmen wir noch dafür nämlich dass im Boden endlich ich können und sich die Kunden auch größer denn ich kann doch sagen die Gründe sind die reellen Zahlen nur so und so viel treten hat mich auf aber sie können nicht 1 Komma 5 Mal lassen aber das kann ich auch meine Wahrscheinlichkeit reinstecken hielt sich aber nicht direkt an werden die aber später helfen wenn man machen beim Situation dass also man heißt es zur mathematischen Beschreibung spätere dass man einfach sein sie machen die Grundmenge bisschen größer als einig die Faktorwerte auftreten und gleichen das dann durch Definition der Wahrscheinlichkeiten auf ob aus ok was gesucht ich kann gesuchtes Wahrscheinlichkeit von ein Ereignis an was es Ereignissen nur die geraden Zahlen also 2 4 6 8 und so weiter und die Unendlichkeit nicht dazu und das rollende bestimmen Verträge ist wir sagen diese Wahrscheinlichkeit von dieser Menge ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller elementare Ereignisse die drin sind also wir setzen von Al Zunge gar Element fahren klar und das wollt ich durch mit Sonderzeichen mich dass es Formel 4 1 alles sei die Wahrscheinlichkeit von so einer Menge ist einfach die Summe der einst Wahrscheinlichkeiten von allen möglichen elementare Ereignissen warum ist das sinnvoll oder plausibel na ja nehmen Sie war die Menge der endlich wenn die Menge endlich wäre und Drachen Sie relative Häufigkeiten dann würden Sie sofort sehen viele relative Häufigkeit gilt ist die relative Häufigkeit von ist dann die Summe aller K aus eine relative Häufigkeit von den ein .punkt länger drin und dann lassen Sie den Grenzwert Seele Anzahl Elemente die Sie betrachten oder wäre Anzahl Durchführung des Zufallsexperiment gegen endlich gehen dann geht die linke Seite gegen die Wahrscheinlichkeit die rechte Seite ist endliche Summe wo die einzeln so man auch gegen die Wahrscheinlichkeiten gehen verstehe die Formel der das heißt eine endliche Menge ist klar für abzählbar unendliche Menge können sich überlegen geht es dann für relative Häufigkeiten aber sie sehen es nicht mehr ich kann es also ich bin zeigen ausmachen ich und insbesondere deshalb nicht weil wir auch Probleme mit dem Grenzübergang zwar nicht mehr klar dass wir diesen Grenzübergang hier ,komma zwar noch machen aber wenn das Unendliche so müssen dann machen auch den Grenzübergang wo das ein bisschen und schöner und wer nicht mehr klar wie das gehen soll sondern da ist es einfach mehr einnehmen intuitive Forderung für die Wahrscheinlichkeiten werden wir später auch als Grundprinzip von Wahrscheinlichkeiten kennen lernen das analoge Formeln gelten ich wenn sie einfach mal intuitiv diese ANC wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit von dem gesamten Ereignis ist die Summe der einzu wahrscheinlich ok das der 1. Schritt den wir machen bei und damit sehen Sie was ich jetzt machen wir das ich muss diese Wahrscheinlichkeit von zum elementare Ereignis bestimmen also ich muss für natürliche Zahl K eigentlich eine gerade natürliche Zahl durch ganz gleich alle natürlichen Zahlen machen für natürliche Zahl muss sich bestimmen die Wahrscheinlichkeit dass der Würfel genau beim Karten mal wäre mit beim tatenlos wieder 1. mal wieder 6 oben endet also circa aus Ende stimmen wir per von K dazu betrachte ich das damalige werfen eines echten Würfels und überlege mir wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er genau beim Karten Wurf zum 1. Mal mit der 6. ja um landet er will also dem betrachten 2. Zufallsexperiment genehmigten nur wofür genau Krawall wie viele mögliche Ergebnisse gibt es denn bei diesen Zufallsexperiment wenn Sie ja nicht nur für Karl Würfel es gibt 1 bis K Na ja wenn ich das gleiche Experimente dieser machen ich dass ich sage ich ja nach kann man davon auf aber das mach ich jetzt nicht da nicht betrachteten 2. Zufallsexperiment ich neben den Gruppe und Würfel einfach immer Karmal ganz egal was passiert das heißt Fernsehgala beim 1. Mal
6 Uhr völlig offen weiter Woche insgesamt kam und Frage diese mögliche Ergebnisse gibt es hier 6 auch gerade weil sie ziehen K Zahlen aus einer guten Wege vom Umfang 6 mit zurücklegen weil sie könne zwar die gleiche offen und mit Beachtung der Reihenfolge wenig sagt brechen 1 2 hoffen dass es so anders ob also bitte 2 1 2 5 hab ich 6 ok also Anzahl möglicher Ergebnisse 6 ok sehr ziehen von Cat seien aus gutem vom Umfang 6 mit zurücklegen mit Achtung der Reihenfolge jetzt überleg ich mir mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein solches er betritt eines diese Ergebnisse auf also wenn Sie ganz genaue zieht man sich angucken eine mögliche wer zum Beispiel zu Worte kam mal die 1 wie groß ist die Wahrscheinlichkeit auf 2. Möglichkeit sie laufen am absetzen die 1 die 2 D 1 2 Kammern sind Vorschlag wie groß diese Wahrscheinlichkeiten für eines dieser möglichen Ergebnisse hat ein Sechstel hochgradig kommen Sie drauf und die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis als eine dieser Zahlen verworfenes ein Sechstel und der wenn Sie ne Folge machen multiplizieren Sie dann ist die Frage warum beziehen Sie weisen der schulischen modifiziert haben rechtlich Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert sich addiert oder so kann man so sagen aber ich möchte ich hier nicht machen andere Vorschlag wie ich auf ein 6. Lokal kommen kann wir ok ich betrachte die 30 Mark betrachte die Menge oder alle möglichen Ergebnisse bedachte davon ein einziges und sage das 3. ein mit 1 durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse eines durch 6 ok ist richtig gesprochene Begründung dafür Begründung dass Symmetrie und Symmetrie Gründen sag ich jedes dieser einzelne Ereignisse tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein die ganzen ereignet die ganzen Wahrscheinlichkeit müssen zu 1 aufaddieren weil es die relativen Häufigkeiten tun würden wie man leicht sieht und der deswegen muss diese zur gleichen große Wahrscheinlichkeit 1 bis 6 noch krasser also wegen Symmetrie 3. jedes dieser möglichen Ergebnisse mit Wahrscheinlichkeit er auf oder ein und jetzt überlege ich mir was ist die Anzahl der Ergebnisse bei den genau beim Karten wofür zum 1. Mal eine 6 kommt doch was würden Sie sagen wie groß diese Anzahl die also wie gibt es davon diese Sequenzen von diesem K also Kartoffel von diesen Zahlen 1 bis 6 gibt es wo genau an der stelle zum 1. Mal steht und sonst immer steht keineswegs also an den Positionen 1 bis kamen Einstieg keineswegs eine Karte Position steht der 6. ob groß 2 6 ok sie wollen direkte Wahrscheinlichkeit ausrechnen nicht weiter kann ich nach der Wahrscheinlichkeit ich war Anzahl also nicht einfach mal nur abziehen ich möchte absehen wie viele solche Sequenzen von Zahlen von 1 bis 6 gibt es also die Kartoffel von 1 bis 6 wo die 1. K -minus 1 zahlender da steht keineswegs an der Karte Stelle steht der 6. also 1. kann man das einstellen steht keineswegs Karten stellen steht der 6. diese Sequenzen gibt es dann 5 ok -minus 1 weil sie haben der haben -minus 1 stellen mit einer Welle Zahl zwischen 1 und 5 jeweils an der 5 Möglichkeiten und beim letzten Mal steht schon fest das heißt der Konzern vorkam Miles 1 3 1 aus also er haben sie kamen -minus 1 Woche mit nur 5 mit es war das 1 bis 5 dann ziehen sie eben K -minus einzahlen aus der Menge von 1 bis 5 mit zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge und setzt darauf dass die 6 er etwas ab ja und jetzt können und das nix überlegen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür dass genau beim Karten die 1. 6 kommt und ich sage diese Wahrscheinlichkeit ist ein ist das was uns interessiert diese Wahrscheinlichkeit es ist eh von K also ich tue so als hätte ich meinen wo viel Ergebnis eigentlich um dieses Telefonkarte berechnen als hätt ich meine werfen hier gar nicht abgebrochen bei die 1. 6. für völlig einig immer fortgesetzt bis sich mindestens Kammer geworfen hat und dann hab ich nämlich den Vorteil dass jedes dieser möglichen 6 Aufgabe Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1 bis 6 ok hat und dann überlege ich mir bei wie viel davon von diesen 6 noch gar 3. genau beim Karten auf die 1. 6. auf andere Netze und die Wahrscheinlichkeit an den Vorschlag ist der Kehrwert von der Anzahl der also 1 durch den Vorgaben des 1 er das wäre richtig wenn ich insgesamt 5 hoch haben dass eines möglich Ergebnisse bei meinem Zufalls Experiment hätte das für die GUI Grundmenge hätte Umfang 5 ok -minus 1 und alle hätten die gleiche Wahrscheinlichkeit und die Frage nach der nach der Wahrscheinlichkeit von einem einzelnen Element aber ich frag Erziehung war nach aus anderen sonnig aber insgesamt 6 Hochkar mögliche Ergebnisse und die Frage wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass eines dieser 5 hochkamen -minus 1 auftritt ok Vorschlag also ich hab 2 Möglichkeiten ich könnte sagen Menge der künstlichen ärgerte sich Menge der möglichen Ereignisse die Formeln richtig geraten und ich verwenden sonder argumentieren hier einfach mit der Anzahl wir haben werde 5 Hochkar -minus 1 elementar Ereignisse die für uns günstig sind und jedes einzelne hat
die Wahrscheinlichkeit eines durchweg sogar das heißt wir kommen auf 5 ok des 1 was einst durch 6 ok das wäre ein 6. Mal 5 6 Kilogramm -minus als und dann die Wahrscheinlichkeit n also im Prinzip hab ich noch mal sowas gemacht wie Formel 4 1 nur diesmal eben er mit einem andern Zufallsexperiment eigentlich nämlich beim Zufallsexperiment durch den Würfel werde über K mal geworfen hat ok haben Sie Fragen so weit ok damit immer war ich fertig wir müssen nur das eine Ergebnis in das andere einsetzen daraus folgt in der Nähe von A bis jetzt die Summe K L 1 Ar ich schreib vielleicht als K Element einfach L aus allen und nehmen dann setzt K gleich 2 dann nicht mehr Reihe L gleich 1 bis unendlich und waren 2 EL der mein K inhaltlichen P von 2 entstehen wir setzen wir unsere obige Formel 1 ein L 1 wissen endlich ein Sechstel mal 5 6 log 2 EL -minus 1 und sie sehen ich hab das Ganze zurückgeführt auf eine Aufgabe die Annales ist soll unendliche Reihe auszurechnen und diese unendliche Reihe rechnen sie relativ einfach aus wenn sich überlegen da steht fast so was wie ne 1 x hoch n auf summiert dann kommen Sie auf die geometrische Reihe ich ziehe meinen Faktor ein Sechstel raus die auf den Faktor 5 Sechstel aller raus dann hab ich 5 6 LO 2 EL -minus 2 also ein 6. Mal 5 6. mal wir gleich 1 bis unendlich dann komme ich auf 5 Sechstel ab hoch 2 1 2 1 2 und -minus 2 schreibe ich 5 6. zum Quadrat wo -minus 1 und dann sehen wir was sicherlich aufsummieren ist was ja nicht ist die ist 25 6. Luc 0 +plus 25 6. 6. 25 36. hoch 0 +plus 35 20 36. Loch 1 plus 25 36. noch 2 und so weiter das ergibt die geometrische Reihe wissen 3 in gleich 0 bis unendlich x so 1 bis 1 durch 1 -minus x oder wissen Sie vermutlich ne wissen Sie und sehen Sie mir der geometrischen 1 kommen wir hier auf 5 6. 5 36. 1 durch 1 -minus 25 36. bei sie Bezieher mit der 36 denen durch dann kommen sie auf 5 durch 36 minus 25 also 5 11. wenn Sie an die gesuchte Wahrscheinlichkeit ok Fragen so weit ok es sehen das Ganze war ein paar Stellen so bisschen unlogisch hier was nicht so ganz klar was ich mache hier welche Farbe das Zufallsexperiment gewechselt und dann ging's dann schon wieder fällt vor durch aber sie sehen es war so ja wir wer weiß wie es geht geht ganz schnell wenn Sie nicht wissen wie es geht es irgendwie so bisschen unschöne als nicht so ganz systematisch die sehen auch es hat keine wirklichen Bezug zur Anwendung wir also man sowohl die interessanteste Frage nicht mehr die Anzahl der Würfe gerade oder ungerade ich mach ihn deswegen nächstes Beispiel nächstes Beispiel wir steigen einfach den Schwierigkeitsgrad noch ein bisschen aber dafür kann ich dann Bezug zur Anwendung erstellen also Überlegung wäre noch eine gegen die gleiche Richtung habe ein bisschen komplizierter noch mal so ein Beispiel was im Prinzip wie dieses Beispiel diskret ist das heißt es gibt nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele möglichen Ergebnisse meines Zufallsexperiment am Beispiel der neuen es sind noch spielen erläutert kennen sie alle erst primitiv aber ich ganz lustiges war dabei Beispiel und zwar zu tun mit den Checkpoint aus beim Lotto und der vor einigen Jahren eingeführt wurde und der bis heute höchste Jackpot aller Zeiten in Deutschland beim Lotto 6 aus 49 traten Dezember 2007 als auf das waren 43 Millionen Euro also Jackpot beim Lotto 6 aus 49 im Dezember 0 7 als statt die Sieger werden sie so was immer dann wenn plötzlich ihr Telefon klingelt und morgen schon alles dran ist und von Ihnen Tipps zum will beziehungsweise Tipps auf welche Zahlen sondern setzen und in den Medien war damals in der große Spekulation was sind vielversprechende Zahlen beim Lotto in Medien was sind vielversprechende Zahlen dann er und eingeht die sie damals aufgestellt wurde war eben ja einer also eine die Sie damals aufgestellt wurde war eben ja um viel versprechende Zahlen zu finden ja ist es vielleicht sinnvoll einfach mal anzugucken was waren die Leute Ergebnisse in der Vergangenheit und insbesondere sich zu überlegen welche der 49 Zahlen kamen denn in der Vergangenheit besonders häufig vor Vergangenheit bei Luther
heißt seit Oktober 55 gibt Beziehungen seit Oktober finden würden wenn 50 bis Dezember 2 Tausend 7 gab es 4 Tausend 599 Ziehungen und die dabei am häufigsten gezogene Zahl war die 38 die kann nicht 14 mal vor während wir erwarten unser sie sowas wie 563 also Beobachtungen auf in 4 Tausend 599 Ziehungen bei von Oktober 55 bis Dezember 0 7 wurde die 38 am häufigsten gezogen nämlich 614 mal und zum Vergleich ist diese 614 jetzt groß dann können sich überlegen ja es gab 4 Tausend 500 allen 4 Tausend 599 Ziehungen bei jeder dieser Zahl werde Ziehungen kam 6 Zahlen vor das heißt es wurden insgesamt 4 Tausend 95 mal 6 Zahlen gezogen und wenn sie die jetzt gleichzeitig gleichmäßig verteilt auf die 49 dann bilden sie leben 4 Tausend 599 mal 6 durch 49 und das ist 563 ab zum Vergleich wenn der 4 Tausend 599 das ab ab bei 6 durch 49 bin kommen sie auf 563 dazu gibt und klar 563 es irgendwie kleiner als 6 14 und jetzt stellt sich die Frage ist deswegen sinnvoll wenn diese 38 Vergangenheit zu häufige zum wurde das meine Zukunft auf die 38 sitzt selbst also kann ich meine Gewinnchancen beim Lotto erhöhen indem ich mein Geld oder speziell zahlen Kombination Kreuze wurde
38 vorkommt und es dann im Prinzip so weitermacht jeweiligen Land was ist die zweithäufigste Zahl die 3. häufigste Zahl und Kreuz vielleicht alle 6 am häufigsten gezogenen Zahlen an und hatten deutlich höhere Gewinnwahrscheinlichkeit als beim andern das Ganze funktioniert natürlich dann nicht wenn das ganze Jahr ein reiner Zufall 6 der Effekt wäre also damit es funktionieren kann sollte das kein Zufall sein und die Frage wäre dann ist das Zufall mit ab ja stellte die Frage was wäre es wenn es kein Zufall ist also klar wenn sie 4 Tausend 599 mal 6 Zahlen aus 49 ziehen dann wird und alle geben bekomme häufigsten vor es werden wohl nicht alle genau 563 mal gezogen werden zumal es gar nicht aufgeht also manche kommen häufiger vor als andere ansehen Vorschlag hatte die Alternative zu Zufall warum soll es kein Zufall sein wenn ich um genau also es könnte erstens könnte präpariert sein alles diese ganze Sonderziehungen sind einig geführt oder es kann sein die die Kugel sowie abgenutzte Kogels wissensch schwerer als Kunde sein diese Maschine die eine gerade Zahl soll dieser nicht futsch alle tut nicht richtig und dann ist natürlich das Ende er sich ja vor Jahren mal eine Geschichte gehört vom kanadischen das ist die Gelehrten erzählt er wäre seltene Spielern gehabt und wird auch so eine Art Glücksspiel und da hat einer Ehe an 2 Morden hintereinander den Hauptpreis abkassiert die war natürlich nicht so ganz begeistert darüber dass über den Hauptpreis App-basierten genau auf die richtigen Zahlen setzt aber es hatte sich herausgestellt dass die Batterie für ihren Zufallszahlengenerator er war kaputt gegangen und deswegen hat diese Zufallszahlengenerator jeden Morgen die gleichen Zahlen gestartet und als Konsequenz hatte der Mann der sich in genau die Zahl notiert hatte vom jeden Tag gemerkt das gemerkt und konnte jeden Morgen auf die richtigen Zahlen setzt aber ok also hier gibt es keine Batterie aber wird auch im Design die die Maschine sowie kaputt und er ist die Frage um die es jetzt geht ist können wir entscheiden dann ob das Zufall ist oder ob das kein Zufall ist man natürlich Zufall ist das irgendwie gar nicht sinnvoll auf die 38 zu setzen wenn es kein Zufall ist können wir sagen Jahr überlegt was ich das ok das ist die Frage wir entscheiden wir sowas und ja ich hab noch 6 Minuten es garnicht Rapperin schreiben die Grundideen der Statistik zur Beantwortung dieser Frage und die gewohnte denn der Statistiken Zuwanderung dieser Frage ist ein Vorgehen in 3 Schritten 1. wir machen die Annahme es der Zufall das heißt die 6 Zahlen wären rein zufällig gezogen 1. mache das die 6 Zahlen rein zufällig gezogen werden der also rein zufällig gezogen heißt ja jede der möglichen 49 über 6 Zahlenkombination mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf wenig 1 geteilt durch 49 übersetzt zweitens unter dieser Annahme berechnen wir anschließend die Wahrscheinlichkeit das ein Resultat beobachtet wird oder ein Resultat auftritt das so stark gegen diese Annahme spricht wie das was tatsächlich beobachtet wurde 2. unter dieser oder berechne unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit ich das Wahlresultat beobachtet wird das so stark gegen diese Annahme spricht wie das tatsächlich beobachtete ab der also beachten Sie mit der Annahme in 1. hab ich eigentlich die zugrunde liegende Struktur völlig festgelegt ich weiß die Zahlen gezogen werden und damit kann ich eben solche Wahrscheinlichkeiten ausrechnen ich muss sich überlegen was heißt es oder lassen die Resultate die so stark gegen diese Annahme sprechen das tatsächlich beobachtete er beim tatsächlichen beobachten wohl die 38 ihre 6. 14 Mal beobachtet also ich könnte jetzt sagen wenn die 38 6. 14 Mal auftritt oder 6 Uhr 15 Mal auftritt oder 6. 16 mal auftritt und so weiter dann spricht sprich das mindestens so stark gegen die Annahme wie das was ich beobachtet haben ab und dann die eigentliche Schlussweise ist weiß die Wahrscheinlichkeit im 2. kleines historischen und meistens sowas wie kleiner gleich 5 Prozent verwerfe Annahmen 1. andernfalls nicht ab bei ok was da steht ist ein ich solle eine der grundlegenden Möglichkeiten zur statistischen Schlussweise zu kommen wenn ich das was auch in der den Begriff der statistischen Tests steckt der also wir wollen wissen ob die Maschine kaputt ist und vereinfacht gesprochen wenn Sie ein Ergebnis beobachten worden dass bei ordnungsgemäß gemessen werde Betrieb eines gar nicht raus würde alle stellen sich vor Sie haben Leute Maschine gezielt gegen 6 Zahlen aus 49 und anschließend die 14 7 Zahlen größer als 50 und wenn Sie und mir sagen die Leute Maschine ist kaputt weil das das geht nicht so was machen wir nicht sondern hier kann eben alles mögliche auf treten haben wir immer was sagen was nur was sehr sehr unwahrscheinlich ist dass auftritt und die haben das tatsächlich beobachtet dann sagen wir dann wahrscheinlich unsere Annahme in 1. falsch ok ich hätte es beim nächsten Mal noch ein bisschen ausführlicher dann für Wasser sprechen durch ist am Mittwoch
Teilmenge
Kombinatorik
Menge
Element <Mathematik>
Zahl
Menge
Rechenbuch
Homogenes Polynom
Element <Mathematik>
Umfang
Leistung <Physik>
Stichprobe
Einfach zusammenhängender Raum
Tupel
Obere Schranke
Mathematik
Natürliche Zahl
Eindeutigkeit
Abbildung <Physik>
Tiefe
Element <Mathematik>
Zahl
Umfang
Linie
Gradient
Menge
Endliche Menge
Homogenes Polynom
Spieltheorie
Stichprobe
Faktorisierung
Natürliche Zahl
Abbildung <Physik>
Berechnung
Reihe
Vektor
Term
Zahl
Gradient
Richtung
Summe
Kombinatorik
Endliche Menge
Würfel
Reelle Zahl
Ganze Zahl
Binomischer Lehrsatz
Position
Welle
Natürliche Zahl
Stellenring
Zahl
Umfang
Unendlichkeit
Summe
Unendliche Menge
Menge
Endliche Menge
Symmetrie
Würfel
Reelle Zahl
Gerade Zahl
Verträglichkeit <Mathematik>
Promille
Summe
Faktorisierung
Quadrat
Geometrische Reihe
Würfel
Reihe
Inhalt <Mathematik>
Zahl
Richtung
Statistik
Kugel
Statistische Schlussweise
Statistischer Test
Physikalischer Effekt
Statistische Analyse
Zahl

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Kombinatorik und Beispiele
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34019
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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