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Gesetz der großen Zahlen

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so ne werden so nimm WN SSH also wo sie
noch mal recht herzlich zu heutigen wurde in der ein für die Stochastic ich hab ne kleine wiederholen vorbereitet es ist man da gesehen geht der folgende Satz haben wir 2 unabhängige Quelle Zufallsvariablen da die unabhängig sind
müssen sie auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit Raum definiert sein sonst kann ich davon sprechen die war wohl jeweils der Rat wird vom Betrag kleiner endlich ist es so hab ich ihn vorgestellt ohne Beweis Erwartungswert Produkt das Produkt Erwartungswerte das ist ne Sache die wir Wahrscheinlichkeitstheorie im nächsten Semester anzeigen werden und Folgerung daraus andere bewiesen Varianz von der Summe ist dann die Summe der Varianzen das heißt bei Unabhängigkeit ist die Varianz der Summe immer gleich der Summe der Varianzen bei Erwartungswerten war es immer so bei Varianzen ist eben nicht immer so trauen Sie Zusatz Voraussetzung die Unabhängigkeit ich hab ihn dann mal den Ergebnisse zusammengefasst die wir eigentlich schon gesehen haben ende wir haben eigentlich im Wesentlichen abgesehen von der diskreten Gleichverteilung noch diese Wanderklassen Wahrscheinlichkeit Raum haben die ich jetzt nicht aufgeführt haben 5 Verteilung die Post Diepholz 2 diskrete Wasserverteilung mit sehr dichte Land auch gar gar Fakultät mal ihr offenes Lander da ist Erwartungswert Lande die Varianz ist auch LÃndern dann im Jahr Verteilung Parameter N und gehen Zelldichte is n über k mmert Karma mal 1 -minus PON K K zwischen 0 man Erwartungswertes n weitgehend Varianz es ändert die man 1 Sven die Gleichverteilung auf dem Intervall von ABI stetige Gleichverteilung Erwartungswert ist klar sehen Sie sofort dass es der Mittelwert ab halben können sie auch leicht nachrechnen wer Varianz ist ein bisschen schwieriger oder was heißt müssen schwieriger man sieht sich sofort um was ausrechnet bis combines A Quadrat 12. dann die exponential von Verteilungen wieder ne Verteilung Gedichte Dichte Islam Mario -minus Lander x Fixgröße gleich 0 0 sonst Erwartungswertes 1 durch bleibender Varianz ist einzig Quadrat und die Normalverteilung Parameter an Sigmar aber trat Erwartungswertes aber die Variante sieht vertrat Dichte ist diese Gaußsche Glockenkurve ich hab ihn einige Sachen blau gemacht das ist es was wir eigentlich normalerweise auswendig wissen würde also wurde auswendig wissen Erwartungswert von Post auf und nahm Land Erwartungswert von BNP ist einmal P Erwartungswert von der Gleichverteilung ist linke plötzlich dran .punkt halber halte Erwartungswert von X unserer Solander S 1 durch andere und Erwartungswert von der Normalverteilung ist der 1. Parameter man würde weiter eigentlich wissen Varianz von der BNP Verteilung des mal 1 -minus B können sich merken wenn sich im Garten wenn sie B 1 die verteilte Zufallsvariablen aufaddieren Endstück die unabhängig sind kommt näher der BNP Verteilung raus und dann rechnen sie relativ leicht elementar des die Varianz vor wie einst die Verteilung aus und ließen die BNP Verteilung hat in weil die Varianz von der B 1 B Verteilung beide wurden nicht auswendig wissen wer Verteilung 2. Parameter ist die Varianz die andern Sachen sollte man eines nicht auswendig nicht unbedingt auswendig wissen ok dann waren wir stehen geblieben ich hatte noch die Definition der identischen verteilt halt vorgestellt werde Zufallsvariablen X 1 X 2 und so weiter heißen identisch verteilt als eben die Verteilung in gleich sind also die Verteilung von X einstimmiger Verteilung von X 2 überein und so weiter beachten Sie dass es ein Unterschied zwischen identisch verteilt ungleich verteilt wenn das vom Deutschen näher vorstellen können sich vorstellen identisch verteilte sei nicht das gleiche die gleich verteilt aber das ist nicht gemeint gleichverteilt wir gleich verteilte Zufallsvariablen ist Zufallsvariable Bully dichte konstant ist auf einem Intervall ansonsten 0 das ist ne Gleichverteilung identisch verteilt sind Zufallsvariablen wenn sie die gleiche Verteilung haben 2 verschiedene Begriffe und wir andern eine abgeht eingeführt die Abkürzung unabhängig identisch verteilt Frauen Zufallsvariablen X 1 X 2 und so weiter heißen und Erträge den Tisch verteilt wenn Sie eben unabhängig und identisch verteilt sind also die Werte werden alle nach dem gleichen Prinzip erzeugt das ist identisch verteilt aber sie beeinflussen sich gegenseitig nicht dass die Unabhängigkeit und das Ziel heute bis zu argumentieren dass wenig unabhängige den Tisch verteilte Zufallsvariablen habe das dann so ein Stichproben Mittel also das Mittel der 1. n Zufallsvariablen in einem geeigneten sind ungefähr gleich dem Erwartungswert ist man n groß ist ok dazu
führt erst mal 2 Konvergenz Begriffe für Zufallsvariablen CD Definition 5 7 30 wir haben Wahrscheinlichkeit Frauen wieder
abnehmen und faire Zufallsvariablen C Z 1 C 2 und so weiter definiert auf Omega definieren richtig ich was heißt es dass die Zeit oder n für n geben endlich gegen Z konvergieren und das machen wir auf 2 verschiedene Arten das Erste ist die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit sagen ZN konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen Z auf Kürzung davon ist z ändern weil mit oben einen großen P nun ein Konzert also ZN konvergiert der Wahrscheinlichkeit gegen Z der den können wir Wahrscheinlichkeit gegen Z kurz ZN unseren Konvergenz Pfeil oben P dran dann z das gilt für alle Apps größer 0 konvergiert die Wahrscheinlichkeit das ZN von Z um Mehr als Epson abweicht also die Wahrscheinlichkeit dass Betrag von C-Terminus Z größer als selbst und es konvergiert gegen 0 4 hingegen endlich also beachten Sie diese Wahrscheinlichkeiten sind da ganz normale Zahlen und diese reelle Zahlen konvergieren 7 der Konvergenz der reellen Zahlen gegen 0 Grad hierbei steht dieses diese Wahrscheinlichkeit
hierbei Betrag von Seiten des Z größer als Epsilon in rechteckigen Klammern das ist meine übliche Abkürzung gemeint ist die Wahrscheinlichkeit dass ein klein omega auftaucht wo eben z von Omega und Set von Omega diese Bedingungen erfüllen das heißt die Wahrscheinlichkeit auf n dass die Wahrscheinlichkeit von der Menge
aller klein und legalen groß Großanleger sodass Betrag von Zn von Omega -minus Z von Omega selbst ist das heißt sie ganz egal wie klein die Abweichung ist die Sie interessiert für ihn gegen endlich tritt eine so kleine eine größere Abweichungen eben nur mit einer Wahrscheinlichkeit auf die gegen 0 konvergiert das der 1. Begriff es geht letzten Endes in der Wahrscheinlichkeitstheorie 4 Konvergenz Begriffe ich stellen hier davon nur 2 vor der 2. ist die Konvergenz fast sicher der den konvergiert fast sicher gegen
Z kurz schreiben wir dafür ZEN dann freie Zetteln dahinter und es kommt es für fast sicher genau dann wenn anschaulich mit Wahrscheinlichkeit 1 konvergiert der Wert von Zn gegen den Wert von Z das heißt wenn ich die Menge aller klein Omega betrachten und Zn von Omega gegen Z von Omega konvergiert beachten Sie meine Z 1 und Z waren ja Abbildungen von Omega nach er das heißt wenn sie daran und einsetzen dann sind ZN von Omega und Z von Omega einfach nur ehrlich zahlen also die Wahrscheinlichkeit dass ein klein Omega auftritt so dass die der Zahl 1 von Omega gegen Zeit von Omega konvergiert für eingeben endlich die =ist gleich 1 weil die Wahrscheinlichkeit von der Menge alles leider in Großanleger für das Z 1 von Omega gegen Z von Omega konvergiert zählen gegen endlich diese Wahrscheinlichkeit sei gleich 1 ok 2
Definitionen ich weiß nicht ob Sie sehen dass da ein Unterschied ist zwischen den beiden Begriffen also sollen wir immer gut man sieht vom als es um verschieden aus der aber nicht mehr anschaulich sie können so ein bisschen Unterschied sehen hier das heißt er irgendwie wenn Sie die Werte von z 1 sich angucken entlang eines festen Omegas also halten es Omega fest und bilden dann sukzessive Z 1 von Omega 2 von um ganze 3 von Omega und so weiter dann kommt der letzten Endes der Grenz ja draus Z von Omega für n gegen endlich zumindest mit Wahrscheinlichkeit 1 also für alle Omega bis auf Omega den bis auf kleinräumiger sie nur mit Wahrscheinlichkeiten auftreten das im Prinzip was anderes als wenn sich hier sagen ich halte n fest guck mir dann an wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass man z n von Z um 1 kleines Äffchen abweicht und fordere dass diese Wahrscheinlichkeit immer kleiner wird und der Faktor können sie zeigen machen im nächsten Semester Wahrscheinlichkeitstheorie PS ist starker also B impliziert also Bemerkungen aus ZN konvergiert gegen fällt fast sicher da folgt immer ZN konvergiert gegen Z nach Wahrscheinlichkeit wie aber aus ZN konvergiert gegen Z nach Wahrscheinlichkeit folgt im Allgemeinen nicht das ZN gegen Z sicher konvergiert und wer weiß davon machen wie er n Wahrscheinlichkeitstheorie da insgesamt 4 Konvergenz aber vorstellen und dann der mal Zusammenhänge zwischen den untersuchen aber die fast sichere Konvergenz ist im Prinzip die stärkste der Konvergenz raten diesen Stochastic gibt ok also 1. Sache ohne Beweis 2. Sache mit weiß mit der fast sicheren Konvergenz aber relativ elementar rechnen die mit reellen Zahlen folgen also wieder versichern Konvergenz kann man rechnen die mit der Konvergenz realer Zahlen mit der fast sicheren Konvergenz kann man recht denn wie mit der Konvergenz der Zahlen zum Beispiel geht dann von realen Zahlen wissen Sie wenn dir der Zahlenfolge am gegen konvergiert jeder Zahlenfolge gehen konnte geht gegen B dann wollen wir jetzt reale Zahl als am +plus 2. der Saal Wetter mal PIN gegen Eifer aber später B das gleiche haben Sie hier auch Wennigsen GX korrigiert was sicher konvergiert die 10 gegen X fast sicher iPS-Zellen gegen y fast sicher daraus folgt einfach mal die 10 später mal ob einen konvergiert gegen als Peter y fast sicher für alle Alphabet aus Screens sein ok das möchte hier sterbe Gründen also ohne Begründung nun ist es
klar man nix von Omega geht nix einarmiger konvergiert Ibsen von Omega gegen von Omega dann konvergiert also mal sind von OmegaPlus Bettermann sind von Omega gegen Alphamann Xtra Norweger bis wir dann mal weg sind und weniger das heißt ich hab so was X so oder gar konvergiert gegen X von wenn Szenen von Omega ohne gegen 10. ohne gar daraus folgt einfach mal nix denn das bei mal ein Kunde geht gegen Eifer X von Sony gab es bei der Produktion von Omega das ist einfach eine Eigenschaft Rea zahlen also einfach beachtet das Dell X und y in X den von Omega Lotseninsel Omega einfach er sein Volk sind wir daraus folgt jetzt und vielleicht kann man es wenn jemand ihn begründen wenn ich mir die Ereignisse an .punkt das X Senne gegen X konvergiert und beschneide wie dem Ereignis das Entzünden gegen y konvergiert dann ist das was da raus kommt ein Ereignis und diese eignisses mitteilen vom Ereignis das einfach mal nix wenn das Wetter mal 10 n gegen Alzheimer X das Wetter mal dem kandidiert ok kann mir vielleicht übertrieben begründen wie komm ich da raus oder was meine ich damit vorschlagen kann ich die Frage wiederholen
ja die Frage ist wie er warum folgt es aus der obigen Beziehung wie komme ich darauf also haben ihn 1. Zeilen geschrieben waren Faktor 2 Zeilen und behauptet dass es sei nicht trivial weil es einfach eine Eigenschaft reeller Zahlen Folgendes und ich hab dann behauptet ich übersetzt das 2. in andere Schreibweisen dann steht das da und will ich möchte von Ihnen wissen warum das warum diese mit der Zeile Seitz gilt Gott okay Sie wollen und was für ein Vergleich und werde alles machen nämlich ein Vergleich 0 und Werder gleich alle ein Vergleich Einzelwerte gleich 0 wäre dann steht rechts einig die SEC den Fall gegen externe unten und anderseits kann ich auch mal vergleichen 0 denn der da gleich 1 dann steht es andere da aber was hilft inwieweit Hilfe es weiter dass sich nicht der Schnitt von den beiden es klein und Jahr also ich würde ihm Recht geben wenn ich auf der rechten Seite oben in Quantor hätte es existierten Alpha-Beta sodass aber das ist nicht gemeint sollen gemeint ist er die rechte Seite ist mit Teilmenge von der linken Seite für alle möglichen Werte von Alpha-Beta also insbesondere nicht als gleich 7 will wird da gleich 2 ein und das wollen wir begründen oder das möchte gegründet haben okay also nächste Vorschlag wir greifen uns einfach ein Element 4 links raus das heißt die neben ein klein omega also müssen beachten was sie einig steht ist meine übliche abkürzende Schreibweise das ist eine Menge von klein Omega die 10 von Omega gegen X von Omega konvergiert das da ist ne Menge von klein Omega ruhig sondern von Omega gegen Gibson von Omega konvergiert ich greife mir ein solches klein wieder heraus dann gelten die beiden drüber den Zeilen dann weiß sich aufgrund der rüberziehen Beziehung das gilt auch dann weiß ich wieder dann ist dieses kleine Omega in der rechten Seite das heißt was ich da gemacht habe ich hab nur das was ich will was wir drüber geschrieben haben mit Ereignissen hingeschrieben das also wäre die gleiche Aussage also dass da sagt das obige gilt für alle Omega ist etwa Länder dazu und das obige haben wir schon oder hab ich schon gesagt das ist klar aufgrund von Eigenschaften von reellen Zahlen vor ok oder Fragen sie immer auch schon begeisterte kuckten aber ok ich mach weiter lassen und sie nicht stören sie haben schon mal sorry die Rechenregeln von dem Morgen gehörte ich glaube dass es im 1. Semester waren 7 Rechenregel von den Morden wird nicht bei mir in dieser Orientierungswochen Vorlesung wäre das heißt sie machen direkte von den Morden er das heißt ich nehme
das Kompliment von also ich weiß dann Teilmenge B 1 trivial des Komplimente sind einige von nennt das heißt dieses Komplement hier konnte man von den hier davon das Kompliment bisher Teilmenge vom Komplement der linken Seite und die linke Seite schreib ich mit dem morgen um essen Kompliment von Schnitt dass es die Vereinigung der beiden Einzel Komplimente macht ok also sicher 2 Rechenregel gefakte ausgenutzt ich hab ausgenutzt Art Teilmenge Gebet aus folgt B Kompliment des Teilmenge von A compliment dann hab ich Komplement zu einer Vereinigung von A 1 entsteht von A 1 und A 2 mit dem Morgen umgeschrieben als er A 1 Kompliment was sowieso sollte kann beschreiben eine Vereinigung Entschuldigung 1 Kompliment vereinigt er 2 Kompliment
zum 18. ok das heißt es aber ich möchte gerade zeigen ja das einfach mal nix denn bloß bei mal y n gegen Alfa X Flußbette y fast sicher konvergiert das heißt ich möchte zeigen dass die Wahrscheinlichkeit dass einfach mal nix wenn du später mal y n also mal Ex-Angestellte mal einen gegen Eifer X das bei der Wahl y konvergiert dass die Wahrscheinlichkeit davon gleich 1 ist ich guck Muschelessen die komplementäre Wahrscheinlichkeit ein zeige dies gleich 0 sei es der und die Wahrscheinlichkeit das er als Hammer XM des bei damals er nicht gegen Al verhextes werde mal 10 konvergiert diese Wahrscheinlichkeit das ist ja
gerade die Wahrscheinlichkeit von dem Kompliment auf der linken Seite die Wahrscheinlichkeit von kommt wenn man von der linken Seite ist Mehr Teilmenge von der Menge rechts unten die Wahrscheinlichkeit rechts unten ist ne Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung oder Wahrscheinlichkeit wird Vereinigung zweier Ereignisse ist kleiner gleich als die Summe der Einzelereignissen 1 Wahrscheinlichkeiten sie oben es zu vaditis dann ist das kleine gleich dass die Wahrscheinlichkeit dass nicht gegen X konvergiert wird die Wahrscheinlichkeit dass es den in nicht gegen Upson konvergiert und die letzte Wahrscheinlichkeit letzten Wahrscheinlichkeiten sind beide gleich 0 falls x denn gegen X konvergiert und y gegen Symphonie geht jeweils fast sicher und damit sind sie
fertig bei jetzt haben Sie gesehen die beim Ekzem gegen X konvergiert fast sicher y komme gegen uns sind was sicher dann ist die Wahrscheinlichkeit dass einfach mal x n +plus y in nicht gegen Alfa Express bei y konvergiert für Ende endlich diese Wahrscheinlichkeit ist gleich 0 das heißt die Wahrscheinlichkeit dass es doch dagegen konvergiert musste ich 1 1 und dann haben sie die definierende Eigenschaft aus der Konvergenz was auf nachgerechnet ok Fragen so weit fragen Fragen nur können wir darauf schließen dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung gleich der Summe der einzel Wahrscheinlichkeiten ist das gilt im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung wäre bei einer endlichen oder abzählbar unendlichen Vereinigung gleich der Summe der einst Wahrscheinlichkeiten er wenn die Ereignisse disjunkt sind aber es ist und das sind sie aber nicht ich besitze aber auch nicht die gleichzeitig findet ein kleiner gleich die Wahrscheinlichkeit von einer Vereinigung ist immer kleiner gleich als der Summe der einst Wahrscheinlichkeiten wenn die Vereinigung höchstens abzählbar unendlich viele was ist absehbar vielen Ereignissen besteht und das war die so genannte ist sID Masse tivität hier wenn ich eine endliche Variante davon ist die sogenannte Super entwickelt allgemeine Eigenschaft des Wahrscheinlichkeit was ist also Wahrscheinlichkeit Maß ist eine Wahrscheinlichkeit ist die war er Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung zweier Ereignisse immer kleiner gleich als die Summe der beiden Einzel Wahrscheinlichkeit ok noch ne Frage gut dann möchte ich hinstellen schwaches Gesetz der großen Zahlen vorstellen dass Satz 5 38 0 und zwar möcht ich argumentieren wir haben unsere identische Teile Zufallsvariablen das das arithmetische Mittel der 1. in Zufallsvariablen nach Wahrscheinlichkeit gegen den Erwartungswert konvergiert und zwar unter der Voraussetzung dass die Zufallsvariablen quadratischen für Wasser und also sein oder x 1 x x 1 x 2 zeigen erwäge den Tisch verteilt die Pläne Zufallsvariablen mit Erwartungswert von den ganzen Zufallsvariablen zum Quadrat ist kleiner als unendlich da sie lebendig verteilt sind genügt es dazu schreiben dass der Wartungs ja zunächst parat klein endlich ist dann ist die Aussage 1 durch einmal Masomi gleich 1 bis N X E korrigiert der Wahrscheinlichkeit gegen den Erwartungswert von X war also unter Gesetz der großen Zahl der sterben muss aus sagen dass ich irgendwelche arithmetischen Mittel gegen Erwartungswerten annähernd mal hier vom schwachen Gesetz der großen Zahlen weist jene mit der Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ist nicht den staerkeren Konvergenz Begriff Konvergenz nach der Konvergenz fast sicher ok Beweise schnell was muss ich zeigen ich muss zeigen selbst größer 0 beliebig konvergiert die Wahrscheinlichkeit dass Betrag von diesem arithmetische Mittel -minus x größer selbst wenn ist gegen 0 4 gegen endlich wenn beliebige selbst im Großhandel dann gilt die Wahrscheinlichkeit von zu die Wahrscheinlichkeit von Betrag von 1 durch einen Igel zum IT-Leiter 1 bis n x die -minus EX größer als y das wird jetzt angucken wir hingegen endlichen zeigen wir den endlich Kunde geht diese Wahrscheinlichkeit gegen 0 Grad ich nutze als 1. aus der Erwartungswert von x stimmt aufgrund der identischen Datei teilt mit den Erwartungswert der XI überein deswegen ist Erwartungswert von dem arithmetischen Mittel gerade Erwartungswert von X das heißt hier steht eigentlich Zufallsvariable -minus ihrem Erwartungswert so wir sehen Sie dass Erwartungswerten arithmetische Mittel war der Wartung 14 x ist oder könnten Sie argumentieren warum ist der Rat unseres arithmetische Mittel gleich dem Erwartungswert von X welche Sätze aus der Vorlesung bräuchten sie dafür also welche Eigenschaften die behandelt haben sie bräuchten die in des Erwartungswertes aufgrund der lineare die des Erwartungswertes es können Sie Erwartungswert ist es egal ob sie Erwartungswert hierin stehe schreiben oder da in rein man sind da in reinschreiben würzen sie eben die identische verteilt aus und sehen der Erwartungswert von X die stimmigen Erwartungswert von x überein und wenn sie es arithmetische Mittel betrachten gleichen Term kommt der Term selber aus ok richtig jetzt das ganze schätzen wir hat mit der sogenannten che Recherchen Ungleichung der Beschäftigung Gleichungen hat gesagt wenn wir die Wahrscheinlichkeit uns angucken das eine Zufallsvariable dass im Erwartungswert größer als Epson ist könnte es nach oben abschätzen durch die Varianz der Zufallsvariablen durch Apps im Quadrat eine Folgerung aus der Mark huschen Gleichungen aber vor einer Woche behandelt also wenn Manager Recherche Ungleichung und ich kann es auch die Satz nur hinschreiben aber so spannte sich nicht wenn man mit der Beschäftigung Gleichung dann kommen wir auf die Varianz Varianz von dem arithmetischen Mittel Detail durch Erziehung vertrat also Varianz von der Zufallsvariablen interessiert
getadelt Erziehung vertrat jetzt durch die Varianz von dem arithmetischen Mittel rechnen wie mach ich dass Gott ist also wie können Sie diesen Ausdruck vereinfachen Varianz von Einzelfällen durch Masomi gleich 1 bis n XI Gott wenn sie überlegen dass sind 2 Operatoren 1. ich multipliziere diese Summe mit 1 durch einen 2. ich will diese Summe betrachten wir es mal dieses multiplizieren wie verändert sich der Varianz wenn Zufallsvariable mit einer konstanten multiplizieren kann einzig ein Beirat aus ziehen die Varianz ändert sich so gut dass sie das Quadrat der konstanten aus können dass liegt daran weil der Varian 2 eine mittlere quadratische Abweichung um den Erwartungswert durch dieses Multiplizieren mit den konstanten ändert sich der Erwartungswert um das um den gleichen Faktor das heißt wenn sie die Abweichung angucken haben sie eine den Faktor mal die alte Abweichung wenn sie das ein quadrieren kommt das Quadrat das Quadrat können sie ausziehen das heißt wir haben mir 1 durch ein Quadrat einzig ein Quadrat mal Varianz
von der Summe geht durch Erziehung betrachtet das war die Rechenregeln Varianz jetzt hab ich es immer von der Varianz von Varianzen wie kann ich die vereinfachen Gott weil die einzelnen XD unerwähnt sind ist die Varianz von der Summe gleich der Summe der Varianzen sie haben obgleich der zugesagt und die einzel Erwartungswertes in Klein endlich uns nach Nummer überlegen wer also ich lass dir weh die Rechenwerke an den oder die Voraussetzung aber deckt wegen Unabhängigkeit wissen wir Varianz von der Summe ist die Summe der Varianzen also Unabhängigkeit der ,komma auf 1 durch ein Quadrat Varianz von X sie durch 1. parat jetzt müssen Sie noch die identische Parteitag aus Sie wissen die x 1 x 2 und so weiter haben die gleiche Verteilung wie X insbesondere stünden auch weil die Varianz eindeutig bestimmtes durch die Verteilung die Varianz der X 7 der Varianz von X überein das heißt nur so besteht da ich jeweils die Varianz von X dann sehen Sie diese einmalige Summe der Varianz von X gibt einmal die Varianz von X das heißt wäre wir können mit dem einst durch ein Quadrat noch kurzen bekommen auf Varianz von X ich in meiner Zeit aufgrund der identischen verteilt hat durch Apps für Quadrat herzlichen Dank hab ich mich verschrieben also ich komm zu mir der Varianzen ist einmal weil die einst Varianz wäre ich kurz das Ende mit dem einzig ein Quadrat und selbst den Berater bestehen ja erzählen Sie wenn Sie in dem endlich gehen lassen wir dieser Ausdruck gegen 0 und dessen fertig wir müssen noch überlegen Jahr
ist in der Tat sinnvoll oder in der Tat geht dagegen 0 das könnt ja noch der Fall auftreten dass die Varianz von X gleichen endlich ist damit ein Problem also müssen auch argumentieren warum ist die Varianz von X an der Stelle kleine unendlich sehen Sie das oder Fragen gut da hab ich ne Frage also sehen Sie warum ist an der Stelle einmal letzten Schritt die Varianz Felix Klein und endlich bei den Satz vorausgesetzt haben das Erwartungswert Felix Gottwald klare endlich ist und warum impliziert dass der Erwartungswert Felix Magath kleine endlich ist wäre dass die Varianz kleiner endlich ist weil Formel hatten dass die Varianz von X leider war dass wir zunächst verraten SEX in zum bereit ist genau richtig ok 1. Sache des 2. vielleicht ein bisschen fieser Frage also hier wurde gerade schon angemerkt sie haben auch die Voraussetzung dass die einzelnen Erwartungswerte von den Beträgen klein endlich ist hat ich einig in der in dem Satz drin beziehungsweise wenn sich hier schon überlegen ich schreibe hier so ganz gelockert ein Erwartungswert hin warum existiert diese Erwartungswert in dem Satz 5 38 überhaupt je also bei den Voraussetzungen ich habe ich hab unabhängige den Stadtteile Zufallsvariablen die quadratisch integrierbar sind also Erwartungswert von X kleinen endlich warum muss ich mir dann keine Sorgen mehr machen kann dass der Rat wird Felix gleichen entlässt Vorschlag ja das ist eine Gemeinheit die hat man wieder mal gesehen hat zur nie gesehen sie haben sehr wohl noch nicht gesehen wir wenn sich angucken ich Cooper Erwartungswert von X an also brauchen sie nicht
mitschreiben und wendet sich einfach aus das nix ist immer kleiner gleich als 1 plus x Quadrat also ich schätze das ab durch 1 bis x Quadrat und er für jedes Spiel der Zahl kleine ist X-Plane glaube gleich 1 bis 6 parat wir wie komm ich drauf wer ein wieder X ist betragsmäßig kleiner gleich 1 1 Betrag von x sich kleiner als 1 oder ist betragsmäßig größer gleich 1 dann ist der Betrag von x sicherlich klar gleich als X verbracht das heißt der Betrag von x immer klarer gleich dass eines das dort dann sehen Sie das ist 1 plus Erwartungswert Felix Quadrat klein endlich und damit sehen sie Erwartungswert von Betrag von x ist auch kleinen endlich wenn X der Erwartungswert von x Quadrat klare endlich ist und Sie sehen weiter natürlich kann es gleich auch man positiv und negativ Teil machen positiv Teil ist kleiner gleich als 1 plus x Quadrat der negativ teils auch kleiner das 1 bis X parat das heißt beide Teile wären beide Erwartungswerte vom positiv negativ werden den Fall endlich das heißt ich muss mir keine Sorgen machen über Existenz auf uns werden ok fahren so weit her fragen wenn ich machen wir 5 Minuten Pause ich machte und so leben ja 3 Uhr 18 bis 20 ungefähr weiter ok völlig Ganzger weitermachen ich hatte gerade meine Frage wegen der vorgezogenen Klausur für diejenigen die ins Ausland gehen also der Stoff der auch an der eigentlichen an der vorgezogene Klausur drankommt der wird aus nächste Woche Freitag mit der Vorlesung das heißt die letzte Vorlesung mittwochs können denn der eigentlichen Klausur noch mit Verständnis Fragen dazu ankommen da wir wahrscheinlich noch einige werde noch statistische behandeln aber kommt kommt sicher nicht in der Probeklausuren das heißt Sie mindestens ne Woche Zeit sich vorzubereiten der 2. sich würde gefragt wozu brauchen wir diese ganzen Konvergenz Begriff überhaupt ja ich möchte ja nicht gerade wäre ich betrachte Zufall oder der Betrachtende Wahrscheinlichkeitstheorie immer wieder Zufallsexperimente die aufgebaut sind aus der Vielzahl von kleinen Zufallsexperimenten also zum Beispiel sowie in den Satz 5 38 er der mittlere Wert von diesen ganzen Vielzahl von kleinen Zufallsexperimenten betrachtet wird und Satz 5 38 sagt dieser Mittelwert verhält sich aßen tote Schwäne Konstante dieses verhält sich aßen tote Schwäne konstante wäre kann ich jetzt zum Beispiel beschreiben also da wo ich oben Konvergenz Begriffe Folgen von Zufallsvariablen ich nur so viel sagen wann verhält sich eine Zufallsvariable die für ihn ab von den abhängt für große in Assen Infotisch wie eine konstante das kann ich zum Beispiel mache mit der Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit haben den Satz 5 38 gemacht ich kanns auch bisschen starke machen konnte Zeichensatz 5 9 30 Satz 5 9 30 GB hin ohne beweist es starke Gesetz der großen Zahlen von Kolmogorow waren
ich habe Ersatz 5 9 30. starr Gesetz der großen Zahlen von von Rohr ich hab oder wegen verteilte Dell Zufallsvariablen x x 1 x 2 und so weiter sein oder Back identisch verteilte werde Zufallsvariablen und ich fordere dieses Mal nur das Erwartungswert von Betrag Felix Klein endlich ist das ist die Aussage dann geht arithmetisches Mittel der EG sie also 1 durch in gleich 1 des nx E ohne Geld gegen den Erwartungswert von X und diesmal sogar fast sicher also ich sehen ich hab aber weniger Voraussetzungen als in Satz 5 38 ich brauch nämlich nicht dass die Zufallsvariablen dass der Rauch ja zunächst Vertrag leider endlich ist es genügt dass der Wartungs wird vom Betrag zunächst lange endlich ist und ich hab eh eine starke raus Aussage ich habe mich sogar Konvergenz fast sicher Stadt Wien Satz 5 38 Vermögens nach Wahrscheinlichkeit Beweis waren wir gegen Ende von Wahrscheinlichkeitstheorie Vorlesung im WS also weiß ,komma Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie Wintersemester 11 12 sie werden auch im Buch finden Sie einen elementaren beweist es gebeten es gibt verschiedene Arten des verweisen Buch finden Sie ein
elementaren Beweis wäre können sich auch mal angucken wenn sie wollen wir nur feststellen auch also die 1. schon deutlich tiefer gehen als das was sie sonst machen wo schon bisschen komplizierter aber kann es relativ also aufs aufgrund des Kenntnisse die wir schon haben können wenn ich den Satz man sie beweisen wird aber ne ganze Vorlesestunde zu brauchen und es eben meistens ist deutlich schwieriger zu der fast sichere Konvergenz zu zeigen als die Satz 5 38. Konvergenz nach wahrscheinlich je was ich jetzt machen möchte ich möchte ihn mit Hilfe von diesen Grad vorgestellte schauen Gesetz der großen Zahlen einig argumentieren dass der Erwartungswert denn die abstrakt als wir Maß Integral eingeführt haben dass der in der Tat eine Art Mittelwert beschreibt beziehungsweise genau möchte ich zeigen das in der ganzen Theorie die ich abstrakt eingeführt hat war die ganze Wahrscheinlichkeitstheorie die Kinder mal aus von einem Begriff der Wahrscheinlichkeit den ich intuitiv definiert habe mit den empirischen Gesetz der großen Zahlen und ich möchte zeigen dass in dieser ganzen Theorie genau so einem tierisches Gesetz der großen Zahl geht also grüß
Gott wir unser mathematischen Theorien des Zufalls gilt ein also Angaben zum empirischen Gesetz der großen Zahl wer weiß das jemand von Ihnen was
besagte dass empirische Gesetz der großen Zahl die relativen Häufigkeiten von einem Ereignis nähern sich immer irgendwann der Wahrscheinlichkeit des Ereignissen an ist richtig markant bisschen genau formulieren bin ich wenn sie ein Zufallsexperiment haben das sie unbeeinflusst von einander immer wieder durchführen so nähern sich die relativen Häufigkeiten eines beliebigen Ereignisses einer für ihn gegen endlich also Anzahl der Wiederholungen gegen endlich 1 festen Zahl an die von diesem Ereignis abhängt und diese Zahlen die Wahrscheinlichkeit das Ereignis so das wird jetzt bei uns auch zeigen als 1. hab ich Zufallsexperiment dass sich immer wieder unbeeinflusst von einander durchführen das machen sie in den See Zufallsvariablen betrachten die oder Fell identisch verteilt sind und die ende Zufallsvariable soll beschreibt das Ergebnis beim enden durchführen an also wir haben x x 1 x 2 und so weiter sein in der Welt identischer teilte Dell Zufallsvariablen der Bank darüber welche
Menge Fördermenge des aus oder vielmehr aus überreichen 70 Mal geht er setzen wir 1. müs von Arles sei die Wahrscheinlichkeit für war die
definiere ich als nämlich die Verteilung von der Fähren Zufallsvariable X eine Menge AAUs aus Werte und zweitens wenn Sie mir ich mir relative Häufigkeit einmal Mühlen von Art da gucke ich mir einfach an wie viele der IG Sie sind drin von 1. n Stück und Teil durch n das heißt ich gucke mir an die Anzahl vor die Anzahl der einst aber gleich die klamme gleich in x die Element a geteilt durch den und wie was jetzt argumentieren möchte ist dass diese relative Häufigkeit die hier ab das jetzt eine zufällige relative Häufigkeit weil meine Ergebnisse meiner Zufallsexperimente hier sind ja zufällig saß nur zufällige Zahl dass diese zufällige Zahl für ihn geben endlich sich über Mehr dieser Wahrscheinlichkeit ernährt und zwar für jede einzelne Dinge aus den falschen Signal und dann sag ich wenn ich das gezeigt habe dann habe ich ein Analogon zum empirischen Gesetz der großen Zahlen in meiner Macht mathematischen Theorie des Zufalls ok das machen wir indem wir uns erst mal überlegen wie diese Anzahl kann nicht anders hinschreiben ich diesen Faktor 1 durch je nach vorne und dann zu mir ich einfach um 0 0 1 auf ich zu mir ne 1 auf jedes Mal wenn das x-ten A ist nur 0 sonst das mach ich nämlich die Summe ja ich 1 bis n werden von der Indikator Funktion Menge ausgewertet da der Zufallsvariable X die die Sie in die Karte Funktion ausgewählte dieser Zufallsvariable ergibt 1 falls der werde Zufallsvariable in Arte legt um 0 sonst okay und jetzt wird es ganz gerne argumentieren das für ihn geben endlich das den gegen das obere konvergiert also mögen von ar konvergiert gegen die von wenn Sie gucken
wer sie sehen wohl auf worauf es hinausläuft ich werde wohl Satz 5 39 erhöhen da hab ich ja gerade so ein arithmetisches Mittel ich muss mir also überlegen diese Zufallsvariablen auftauchen statt X ließen das jetzt die 1 A von X sie erfüllen die Voraussetzung als sind oder identisch verteilt mit Erwartungswert von Betrag leider endlich und b der Erwartungswerte auskommt ist der richtige wer gleich rauskommen soll bin ich mir von ok haben Sie dazu Vorschläge sehen Sie wie ich Satz 5 9 30 auf diese spezielle zur daneben kann je wenn ich die Dekade Funktion auf die Zufallsvariable Einwände hab ich ne messbaren Funktion richtig und weil die Zufallsvariablen X E unabhängig sind heute noch dass diese neuen Zufallsvariablen abhängig sind das heißt klar mit x 1 x 200 Hektar folgt auch 1 A von X 1 1 A 5 x 2 und so weit es Unabhängigkeit wahren Satz aus der Vorlesung geworden doch ist identisch verteilt ist auch klar wenn x 1 x 2 identisch verteilt sind und so weiter und sind auch 1 A von X 1 1 A von X 2 und insoweit identisch verteilt sehen Sie das ja ich würd sagen das sehen Sie zumindest dann wenn sich überlegen was heißt identisch verteilt identisch verteilt heißt die Werte werden nach dem gleichen Prinzip erzeugt weil die Werte bei dem ich sie werde nach dem gleichen Prinzip erzeugt wenn ich dann eine feste Funktion drauf anwendet dann werden diese beste Funktion von diesen Werten werden auch nach dem gleichen Prinzip erzeugt das heißt ich hab folgendes mit x 1 x 2 unauffällige wenig ich verteilt sind auch die mit oder Reggae der Tisch verteilt sind auch
1 A von X 1 1 A von X 2 und so weiter und trägt identisch verteilt es es hat weiter wissen wir wenn wir uns den Erwartungswert vom Betrag angucken Na ja dann ist klar wer die Zufallsvariable selber dieser steht ist immer klarer gleich 1 des Weges Erwartungswert klare gleich als Erwartungswert von 1 kleine endlich also mit Satz 5 neuen 30 folgt das wenn Sie unser Mühen fatalen gucken dann konvergiert es fast sicher werden gegen endlich wegen n Einzel Erwartungswerte also den Erwartungswert von jeder einzelne dieser Zufallsvariablen als Erwartungswert von 1 A von Orten von 1 a Phoenix was jetzt noch fehlt ist die Begründung dass diese Erwartung sehr viel Leid Felix der darstellt ist auch das ist was ich interessierte mich es mir von da haben Sie dazu ein Vorschlag also stimmen Sie diesen Erwartungswert von wir Indikator Funktion von der Menge angewendet auf x wenn sich überlegen was dafür Zufallsvariable steht ist die diskret oder diskret verteilt oder stetig Gedichte was würden Sie sagen es ist Geld her warum denn nur die Werte 0 1 an wenn Sie nur die Werte 0 oder 1 annehmen können Sie mir sagen was wir Verteilung es sich handelt ist es mit jedem Jahr verteilen mitfahren wieder in gleich 1 mit B 1 die vertreiben da wissen wir Erwartungswert ist die Wahrscheinlichkeit dass sie gleich 1 ist das heißt Erwartungswertes hier die Wahrscheinlichkeit dass XNA ist ja ja das ja nichts anderes als Text nach also in der Tat wenn er unser mathematischen Theorie des Zufalls hielt ein Analogon zum empirischen Gesetz der großen Zahlen als relative Häufigkeiten korrigieren hier fast sicher den Wahrscheinlichkeiten ein ok Fragen so weit
fragen keine fragen dann ,komma zum letzten Abschnitt aus der Wahrscheinlichkeitstheorie da möchte ich Ihnen einen der tiefer liegenden Sätze aus der Wahrscheinlichkeitstheorie vorstellen den sogenannten zentralen Grenzwert Satz nochmal Satz ohne Beweis gibt Satz 5 6 oder gibt Abschnitt 5 6 der zentrale Grenzwert Satz wir haben Wahrscheinlichkeit Raum wieder abgeben ich betrachte Zufallsvariablen X X 1 und so weiter darauf definiert die Seiten-Airbag identisch verteilt mit Erwartungswerten Betrag von x kleinen endlich also Wahrscheinlichkeit Traum gar HP wären Zufallsvariablen X x 1 x 2 und so weiter die gehen von Omega nach er Design oder Back identisch verteilt also unabhängig und identisch verteilt datumu IV ab mit Erwartungswert von Betrag Felix Klein und endlich nach Satz 5 neuen 30 gilt dann wenn ich das das arithmetische Mittel der XD -minus dem Erwartungswert betrachte dann korrigiert diese Zufallsvariable fast sicher gegen 0 nach Satz 5 9. 30 ab ich definiere neue Zufallsvariable Z denn das arithmetische Mittel der 1. NX ihn daran sie deren Erwartungswert von X ab dann kommen meine Rechenregeln für das sich der Konvergenz der 1. Ausdruck hier konvergiert gegen Erwartungswert fast sicher der 2. Ausdruck ist konstant konnte geht natürlich auch den Erwartungswert fast sicher die Differenz konvergiert dann gegen die Differenz fast sicher das heißt die Differenz ,komma geht gegen 0 fast sicher wenn Sie jetzt angucken möchte mal genauer angucken wie groß ist Erwartungswerten Varianz von Z 1 hierbei Gott überlegen sich für etwas erreichen Schlange Tafel wie groß ist Erwartungswerten Varianz von dieser Zufallsvariable zn haben den Vorschlag die große Erwartungshaltung Zettel wie groß die Varianz von Zellen als Erwartungswert wäre 0 weiß niemand der Rechenregeln für Erwartungswert das Werk Erwartungswert vom 1. wie Erwartungswert vom 2. des 2. Mehr konstante also nur Erwartungswert von 1. wie es erwarten für vom 2. dann haben wir ja heute des Erwartungswertes dann kommen sie auf 1 durch den 7 E Gleis 1 bis n Erwartungswert von X E wie das Erwartungswert von X meinen Sie jetzt beachten dass Erwartungswert von x sie habe den Erwartungswert Felix übereinstimmt auf Grund des identischen verteilt halt kommt hier nur raus weil das ist einfach bisher schwieriger Virus ist die Varianz also
ich möchte wissen Varianz von diesen arithmetischen Mittel -minus der konstanten jetzt bauen sie Rechenregeln für Varianzen wie verändert sich die Varianz wenn sie von einer Zufallsvariable eine konstante abziehen jetzt gar nicht mehr das heißt welche steht die Varianz von dem arithmetischen Mittel und dann was
machen Sie mit dem Faktor 1 durch eine bei Varianz Berechnung könnte quadratisch aussehen was ist die wahre was machen Sie mit der Varianz von der Summe Gott ist die Summe der Varianzen warum grade recht Leihgebern allgemeine Rechenregel Varianz der Summe ist immer diese Varianzen bei Unabhängigkeit ok da brauchen sie die Unabhängigkeit das heißt auf vor der Unabhängigkeit wissen wir hier hier steht eines durch ein Draht dieses Summe ein Versender Variante X nie ja dann wissen sie aufgrund der den verteilter halt die Varianzen der XI sind alle gleich groß und die Varianz von X aus das heißt es einmal die Varianz von X durch ein Quadrat also kommt die Varianz von X durch in aus Spiele das heißt Sie sehen die Varianz der Zufallsvariable dich überdachte wird immer kleiner was ich jetzt mache ich Herr normalisiere die Zufallsvariable so dass der Rat und gleich bleibt aber die Varianz zu 1 fort das geht so in dem ich die Zufallsvariable mit oder durch die Wurzel aus der Varianz ihrer Varianz Teile also daraus folgt wenn ich z denn durch und Words Laus Varianz von Z den will Dell wenn sie das machen dann müssen Sie eben dieses ganze allmählich mittels Erwartungswert Multiplizieren mit der Wurzel aus allen Beteiligten was los Varianz das heißt wir haben Potzler Sender schutzlos Varianz von X mal an das Mittel der Exil -minus den Erwartungswert von X wenn ich diese Zufallsvariable betrachtet dann hat diese Zufallsvariable jetzt Erwartungswert 0 kann mir Italien begründen warum dass der Fall
es normal Z geteilt durch die Wurzel aus Varianz von Z 1 Erwartung Viertel ist der nach der Rechenregel einfach Hersteller bei diesen Faktor aus diversen Erwartungswert in der Mitte des Erwartungswertes das heißt ich hab 1 durch Wurzel aus Varianz von Z 1 eine konstante bei Erwartungswert von Z den aber das hört unter den haben wir schon gesehen haben ok und visuelle Varianz aus da muss ich mir angucken ZN durch Wirtshaus Varianz von Z 1 davon die Varianz wie groß ist diese Varianz des einst warum wir können als quadratisch rostige 14 Faktoren quadratisch aus das heißt er steht Varianz von Z 1 getadelt Varianz von Z 1 es ist gleich 1 immer vorausgesetzt ich habe ursprünglich nicht Varianz gleich 0 sind ich ein Problem gehabt wenn die Varianz X gleich 0 gewesen Mehr ja aber sie sehen vielleicht auch Varianz von X gleich 0 da ein bisschen langweiliger Fall wie sieht eine Zufallsvariable aus die Varianz gleich 0 hat der Kunde es aus ja wir sind jetzt vielleicht nicht sofort bräuchten sie müssen Integrationstheorie ganz Wahrscheinlichkeitstheorie aber auf alle Fälle sehen Zufallsvariablen mit Varianz gleich 0 sind konstant P fast sicher dass mit Wahrscheinlichkeit 1 ich kann nur Aussagen machen wenn ich Werte betrachten von Zufallsvariablen wir über bis auf man vormals 0 weil man vom 1. 0 machen Sie was aus also die sich Zufallsvariablen auf Mengen von Massen verändern dass wir ein Fest natürlich nicht die Varianz oder Erwartungswert und so weiter ok das eher langweilige Fall der die Zufallsvariable einfach identisch schieren Erwartungswert will das schließen wir aus und der zentrale Satz von dem paraphiert 6 5 besagt nun dass sich dieses ZN durch nutzlos Varianz von Z 1 a sind tote Schwäne Standard normalverteilt Zufallsvariable fehlte es der zentrale Satz dieses Abschnittes besagt dieses Z Ende schutzlos Varianz von Z 1 verhält sich wie ein großes ungefähr wie der Standard normalverteilte Zufallsvariable als den 3
Aussage ist dieses wird's Lendenschurz über Varianz Felix von arithmetische Mittel der X 7 SEX verhält sich wie ein großes annähernd wie eine Insel 1 verteilte Zufallsvariablen ok das machen wir am Freitag ab und aber wenn ich diese Vorlesung
Parametersystem
Wahrscheinlichkeitstheorie
Gauß-Funktion
Dichte <Physik>
Mittelungsverfahren
Summe
Quadrat
Erwartungswert
Normalverteilung
Stetige gleichmäßige Verteilung
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Varianz
Stichprobe
Gleichverteilung
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Zufallsvariable
Zahl
Gradient
Große Abweichung
Ende <Graphentheorie>
Betrag <Mathematik>
Menge
Schnittmenge
Wahrscheinlichkeitstheorie
Menge
Abbildung <Physik>
Zahl
Folge <Mathematik>
Faktorisierung
Zusammenhang <Mathematik>
Ende <Graphentheorie>
Reelle Zahl
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zahl
Teilmenge
Komplementarität
Faktorisierung
Menge
Reelle Zahl
Quantor
Schnitt <Mathematik>
Teilmenge
Summe
Menge
Ebene
Faktorisierung
Obere Schranke
Ruhmasse
Gleichungssystem
Gleichung
Term
Zahl
Gradient
Arithmetisches Mittel
Summe
Multiplikation
Quadrat
Erwartungswert
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Zufallsvariable
Varianz
Summe
Erwartungswert
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Zufallsvariable
Klein, Felix
Varianz
Arithmetisches Mittel
Konstante
Quadrat
Erwartungswert
Folge <Mathematik>
Total <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Mittelwert
Zufallsvariable
Klein, Felix
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zahl
Erwartungswert
Mittelwert
Ruhmasse
Physikalische Theorie
Zahl
Wahrscheinlichkeitstheorie
Gradient
Integral
Menge
Zufallsvariable
Zahl
Arithmetisches Mittel
Summe
Messbare Funktion
Erwartungswert
Faktorisierung
Betrag <Mathematik>
Menge
Zufallsvariable
Mathematiker
Zahl
Arithmetisches Mittel
Mathematische Größe
Weg <Topologie>
Erwartungswert
Menge
Betrag <Mathematik>
Zufallsvariable
Klein, Felix
Wahrscheinlichkeitstheorie
Varianz
Zahl
Arithmetisches Mittel
Mittelungsverfahren
Summe
Quadrat
Multiplikation
Erwartungswert
Faktorisierung
Zufallsvariable
Berechnung
Varianz
Arithmetisches Mittel
Integrationstheorie
Faktorisierung
Erwartungswert
Total <Mathematik>
Zufallsvariable
Aussage <Mathematik>
Wahrscheinlichkeitstheorie
Varianz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Gesetz der großen Zahlen
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/34017
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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