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Der Begriff des Wahrscheinlichkeitsraumes

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ich bin ich es wie hech fördert
daher in dem ich wird auf der Umfrage vom letzten Mal eingehen gelobt wurde das Steak und Beispiele wurde gut erklärt gut verständliche Erklärungen kam mehrfach das Tempo der Vorlesungen Einbindung der Studierenden ich hab's nicht alles aufgeführt war ich zu faul dann kritisiert wurde die stickige Luft ja dafür kann ich nichts sagen wurde schon gesagt heute ist es zu kalt der Zimmer was zu stickig aber ok da steht ich irgendwie nicht drin die Schrift das ist ganz klar das ist meine Schuld also haben sie auch vollständig reicht die 4. Kammer schon kritisieren ich nehm aber eines lässt sich wenn sie den Zusammenhang betrachten schon einigermaßen lesen will also das sollte und Umstände sind sinnvoll wenn sich immer überlegen was schreibt in der Kohle sah ungefähr und dann kam meistens so auf den zurückschließen auf die nicht deutlich sichtbaren Zeichen und es soll noch angemerkt ich hab ein extrem langes erklären von Beispielen gemacht die jeder aus der Schule kennen sollte das kann mag für einen Teil der Teilnehmer zu treffen das Vorwissen ist aber eben nicht einheitlich und deswegen hab ich das so ausführlich gemacht es ist klar wenn sie das in der Schule sauber gemacht haben oder wenn das eine Schule einig haben dann war gerade dieser naive Zugang genau das was in der Schule gemacht haben hätt ich mir eine sparen können aber es kann eben nicht allein der Schule gemacht ansonsten Wunsch war weiter so öfters mal eine wollte noch Gummibärchen also Gummibärchen gibt's nicht mehr weiter so mache ich das fragen kann keine dann stehen geblieben war beim Begriff der Sigmar Algebra eine Menge A von Teilmengen von Omega heißt Dietmar Algebra falls Sie folgende 4 Eigenschaften hat erstens die leere Menge und Omega ist drinnen 2. Wellenlänge drin ist ist Komplement trennen 3. wenn 2 Mengen drin sind dann sind die Vereinigung der beiden den schnitt der beiden Mengen Differenz der beiden Mengen Differenz der beiden eng ist die Menge aller XD in der 1. Menge drin ist aber nicht der 2. sind auch eine Menge System und vor Eigenschaft wenn eine ganze Folge von innen drin dass er sie haben einen für n aus aussendet dann ist die unendliche Vereinigung aller dieser in unendliche Durchschnitt aber diese am drin ja mittlerweile schon erklärten dass es richtig diesen Begriff könnte ich kürzer fassen aber ich hab ihn so also die Definition die hier steht ist redundant ein Teil der Bedingungen sind überflüssig aber ich es geht eigentlich gar nicht darum möglichst kurz und was ihn zu schreiben beziehungsweise überweisen einig keine Sätze über Sigmar mal getrennt insofern ist das nicht weiter wichtig und hab ich das nicht gemacht und mir geht es darum dass man das versteht und das ausgehend von der Definition eigentlich schon recht schnell sieht folgende Bemerkungen Sigma Algebra ist Systemen von Teilmengen von Omega war das zumindest mal die leere Menge und Omega enthält und das abgeschlossen ist gegenüber absehbar vielen der üblichen Mengenoperationen wir haben dann noch 2 Beispiele gesehen 1. wie von Omega wäre also Potenzmenge das heißt die Menge aller Teilmengen von Omega ist Signalgeber und zweitens ist die größtmögliche Sigmar gefragt und zweitens die kleinstmögliche Sigmar Gefahr bekommen Sie wenn Sie nur die beiden in nehmen die in jeder Signalgeber enthalten sein müssen nämlich die leere Menge Omega ok dann wollt ich hier glaube ich dass das Licht anmachen und ich mache dann direkt weiter mit dem Beispiel für 12 gibt sie durch eine nichttriviale Signalgeber ein die wir im Folgenden eilig immer verwenden werden wenn unsere Grundmenge gleich den ganzen Sandmann gleich der der reellen Zahlen ist nämlich die sogenannte welches Signal geht war das die kleinste Signalgeber über er die alle Intervall enthält also C die kleinste Sigma Algebra aber eher die alle Intervalle enthält ist Dietmar Algebra sogenannte Bereiche mal gibt HP es und die kleinste Signalgeber aber er hat die alle Intervall enthält ist Algebra und das ist die sogenannte welches Signal geht war die wenn Sie das genau 1 gucken dann sehen Sie das ist ein keine Definition ich hab nur irgendwie mit der Behauptung ich hab glaubt es gibt eine Signalgeber aber er die kleinstmögliche ist unter allen den 7. Mai geben die alle in der enthalten das heißt erstens das ganze Ding ist es nicht mal die paar 2. dieses in diesen Mengen System sind alle Intervall enthalten und 3. jede andere Sigma Algebra die alle Intervall enthält wieder anderes Dietmar Elger vor über er die allen warten derweil enthält umfasst dieses Signal gebracht und ich behaupte so etwas gibt es und das bezeichnet als B vielleicht nur zur Existenz warum gibt es sowas dahinter steckt die folgende einfache Beobachtung wenn Sie sich nur ergeben haben wie mit I aus einer Index Menge diese Index Menge ist nicht mehr als seien alle sieht alles Sigma Algebren über der gleichen Menge und sie werden dann den Schnitt aller dieses Signal geben das heißt sie bilden die Razzien gegen ein System in dem alle Mengen enthalten sind die in allen diesen Mengen enthalten sind dann ist die Behauptung dass was da rauskommt ist eine Sigma Algebra also wollen die Behauptung wenn ich weiß dass e gewann über Olga sind mit wie aus einer Index eine Idee nicht die leere Menge ist dann folgt daraus ich bilde den Schnitt von diesen beiden Systemen also unendlichen schnitt die aus E über und behaupte das ganz ist ebenfalls man die Räuber R über Omega n ab haben Sie ne Vorstellung oder noch mal was ist das hier das sind der jeweils Mengen vermengen also Mengen süssen Mengen bestehend aus vielen Mengen und diese Mengen von denen schneidig das heißt das das auch ne Menge von Dingen die enthält alle Mengen die in jedem einzelnen dieser A enthalten sind fragen Antwort würde ok er sie an die anderen Frage vielleicht erst noch ne alle schon
gefragt hab ich 2. münden wird verpackt der will keine Ahnung wer also ich finde Meinung ich habe mich gefragt deswegen frag ich noch ne was ich weiß gibt es nicht mehr wird wird also die Frage der sehen Sie warum ist das alles sieht mal gefragt und sie haben einfach ok Sie haben eine Antwort die Antwort war in jeder sich nur Algebra ist die leere Menge und Omega das heißt in diesen Schnitt ist auch die leere Menge und Omega da stimmlichen Vollzug und ihre weitere Folgerung war deswegen ist dieser Schnitt genau die leere Menge und auch Omega ok der Einwand die das kann auch nur die beiden sein weil wenn und das ist richtig wenn ich jeden Schnitt über alle Signalgebern bilden würde das mach ich aber nicht ich gebe Ihnen hier eine gewisse Menge von Sigma Algebren vor ich habe noch nicht gesagt wie viele es sind sie haben recht es alle sind dann kommt in der Menge und um aus aber Sie haben schon am Boden .punkt weil sie haben schon mal damit gesehen die 1. Bedingungen von unserer Signalgeber Definition stimmt das Netz können sich überlegen wie sie jeder 2. Bedingung aus Wellenlänge zu Ministern auch ihr Komplement dann nehmen sie an eine Menge ist in diesen Mengen System hier enthalten dann sehen sie sofort diese Menge A ist in jeder dieser einzelnen enthalten nach Definition des Durchschnitts sie bis jede einzelne dieser Mengen System ist eine Algebra war also in jedem einzelnen dieser Mengen Systeme ist das Komplement der Menge enthalten ja aber wenn in jedem einzelnen dieser Mengen Systeme das Komplement enthalten ist auch im unendlichen Durchschnitt halten es sei 10 aus in diesen Schnitt folgt auch Komplimenten diesen steht und das machen sie genauso mit den anderen Rechenregeln diese für dich Signalgebern gefordert haben das heißt es können sie von den einzelnen hochziehen alles sehr einfach ich schreib mal nachrechnen dazu n das sehen sie relativ leicht und wenn sie so weit sind wenn Sie so weit sind dann kann ich wie eigentlich hinschreiben es ja ich suche die kleinste Signalgeber aber er die alle Intervall enthält und dazu mach ich folgendes ich schneide einfach alles sieht L Algebren über er die alle in der enthalten also ich würde einen großen Schnitt und sage dass mach ich überar Signalgeber über er enthält alle Intervalle also ich würde dieses System und dann hab ich verschiedene Behauptungen 1. Behauptungen was da rauskommt ist das Sigma Algebra 2. Behauptungen was da rauskommt enthält alle in der Wale 3. Behauptungen was da rauskommt ist die kleinste Signalgeber mit dieser Eigenschaft ok da hab ich 3 Fragen an Sie waren wir die 1. Behauptung 2. behaupten 3. beraubt und dann der 1. Ordnung an warum ist das eine Signal gebracht weil sie genau die formal vor angegeben haben vorausgesetzt die Index Menge die ich mir ist nicht die leere Menge also vorausgesetzt es gibt mindestens eine Signalgeber aber er die alle Intervall enthält wir sehen es klar dass es mindestens eine 7 Algebra aber er enthält gibt die alle Intervall enthält die potenzielle das heißt das ist nämlich nicht der Ausschnitt alles eine Signalgeber nachdenken gerade von den nach den von Grad geben 1. Punkt der 2. Punkt das Ding enthält alle in der Wale warum Vorschlägen alle Elemente aus dem Schnitt enthalten schon alle in der Wale das heißt wenn Sie ein beliebiges Intervall nehmen dann ist es in jeder einzeln diese Signalgebern enthalten also muss es auch in dem ländlichen Spitzer fertig 3. Eigenschaft oder 3. Aussage das ist die kleinste Stigma Algebra mit dieser Eigenschaft das heißt ich wenn ich hier eine beliebige Signalgeber Aalstrich nehme die alle Intervall über enthält dann ist das eine Obermenge von B sehen Sie das war ich war ok also 1 machten direkten Beweis wenn Sie eine beliebige zigmal Gefahr haben haben die alle strich die alle in der Wale enthält dann tauchte in diesen Schnitt auf und damit ist der schlicht eine Teilmenge von diesen Ausspruch fertig ok vielleicht noch 2 Bemerkungen dazu 1. dieses B enthält eigentlich alle ja eigentlich mehr oder weniger alle Mengen aber eben doch nicht alle man also im Prinzip es ist ich kann ihn nicht einfach eine Menge hin schreiben die nicht in die dabei schon zigmal gebratenes ich kann eine Menge konstruieren bräucht das Auswahlaxiom der zu also ich bräuchten ziemlich starkes Geschützen sowas hinzubekommen das heißt die Schweiz nur so nen die enthält alle leicht vorstellbar man in allen Dingen die sich um die vorstellen können sind da drin wie enthält alle leicht Top vorstellbaren Teilmengen oder sagt vielleicht mal vorstellbaren und ich mir machen leicht alle leicht vorstellbar von er aber dieses B ist eben nicht die Potenzmenge wie ist das eine echte Teilmenge der Potenzmenge von an und das zu zeigen ist schwierig weil das geht nicht so ohne weiteres aber wenn Sie das so das sein was wir heute verwenden werden und immer dann verwenden werden wenn der Zufallsexperimente haben wo die er allen Zahlen vor allem Möglichen während zahlen als Ergebnisse vorkommen können gut haben Sie Fragen so weit also haben gesehen ich hab ne komische Signalgeber eingeführt ich hab mit dem abstrakten Zugang der eigentlich trivial ist aber trotzdem nicht ganz einfach zu sehen ist oder als doch von Schnitt von denen System von den Gästen das ist unschön diese Eigenschaft hat sofort gesehen ich ganz damit hinschreiben also eigentlich alles trivial weiß wie's geht aber er doch auf einem Niveau wo man bisschen Abstraktionsfähigkeit und braucht gut fragen so weit dann ,komma zur
zentralen Definition von den Abschnitt in welchem Definition der Wahrscheinlichkeit Maß ist der d'Étioles Wahrscheinlichkeit Maß kann ich relativ kurzen schreiben oder könnt ich relativ kurzen schreiben wenn sie nachsehen gibt den gibt es nächste Lemma beschreibend 1. ausführlichen damit wir sehen was es überhaupt ist das ist 4 13 Definition und eine nichtleere Menge A seine Signalgeber über jeder Abbildung P von A nach R mit folgenden Eigenschaften und kommen 7 Eigenschaften heißt Wahrscheinlichkeit Maß also jede Abbildung des von einer er ist der Abbildungen die weist jetzt jeder einzelnen nein aus dem Skript aber eine Elle zu salzen und diese reelle Zahl soll das sein was wir als Wahrscheinlichkeit von dieser Menge auffassen alle Fragen oder sie ohne meine Schriften das sind die das ist also ein gutes The wie Jahr Barmstedter P für Vorbild sie und was wir bisher aber wesentlich nein konnten tritt an er ok und für diese Zuweisung von wir Wahrscheinlichkeiten zu Mengen mach ich gewisse Forderungen 1. Forderung ist diese Wahrscheinlichkeiten sollen Zahlen zwischen 0 1 1 das ist klar wenn sich überlegen wie diese Wahrscheinlichkeiten haben wir ursprünglich motiviert über das empirische Gesetz der großen Zahlen sollten Grenzwerte von relativen Häufigkeiten sein seine relative Häufigkeit ist immer eine Zahl zwischen 0 1 wenn es der Grenzwert ist muss auch zwischen 0 1 liegen 2. Eigenschaft der 0 der leeren Menge wo die 0 als Wahrscheinlichkeit zugehöre wiesen der Gesamtrate den Gesamt Raum die 1 auch das ist klar wenn sie an relative Häufigkeiten denken relative Häufigkeit von der leeren Menge der immer die 0 kann nichts drin die da nichts drin der Grenzwert von diesen ganzen 0 ist auch 0 relative Häufigkeit des Gesamt Raum 7 1 weil alle Ergebnisse meines Zufallsexperiment liegen nach Definition eine Gesamt Raum relative Häufigkeit dieser sind der Grenze 1 ist auch 1 3. Eigenschaft wenn wir aus Kreta haben dann ist die Wahrscheinlichkeit oder b von a compliment gleich 1 -minus die von auch da machen sich klar relative Häufigkeit von komplementär 1 -minus relative Häufigkeit von der ursprünglichen Menge und sie gehen zum Grenzwert über sie sehen ja auch noch eine Sache ich hab gefordert dieses ist aus es gibt dieses Skript aber sie Algebra hat dann ist nach Definition dieses Kompliment auch in der 7. Mai Geppert reden das heißt den Definitionsbereich von P das heißt ich kann es dann Kompliment wäre hinschreiben und Sie sehen in dieser Abschluss Eigenschaft ANA daraus folgt kommt wenn man den war eigentlich sinnvoll bei wenn ich eben die Wahrscheinlichkeit von etwas kenne dann kann ich es auch gleich die Wahrscheinlichkeit von vor der Eigenschaft ist Monotonie wenn Arbil Arten sind als Teilmenge von B 1 die von Art aber gleich die vom Web auch das wieder klar wenn sie ein relative Häufigkeiten denken wenn eine Teilmenge von B ist ist die relative Häufigkeit von kleiner gleich der relativen Häufigkeit von W 5. Eigenschaft der haben 2 Mengen die nicht überlappen also A geschnitten B ist leere Menge dann ist die von der Vereinigung die Summe der beiden die Werte der beiden Mengen also aus mit geschnitten B gleich wäre daraus folgt die von vereinigt ist leicht diesen das Bild von den auch das ist wieder klar wenn sie eine relative Häufigkeiten denken wenn die beiden man nicht überlappen dann ist die relative Häufigkeit der Vereinigung geben die Summe von den beiden alle einzeln relativen Häufigkeiten anschließend machen sie den Grenzübergang 6. Eigenschaft beschreibt das gleiche noch den nur nicht mit 2 Mengen mit einem in das heißt wenn A 1 bis B sind paarweise disjunkt das heißt geschnitten 1 =ist gleich der leeren Menge für die gleich wird dann ist die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung gleiche Summe der 1 Wahrscheinlichkeiten also A 1 bis A in USA paarweise disjunkt dann folgt die von Vereinigung gar gleich 1 bis NAK =ist gleich Summe gleich 1 bis n von Agrar n auch das sehen Sie sofort wieder für relative Häufigkeiten mit Grenzwert aus war die Beziehung hier und nochmal ich weiß so bis um RWE für den Tag analog zu freuen wir wissen wieder als Signalgeber deswegen ist diese Vereinigung hier oder auch die Vereinigung der oben automatisch auch im Definitionsbereich von P enthalten ok jetzt kommt noch eine 7. Beziehungen ich war das ganze jetzt nicht nur
endlich viele Mängel sondern sogar für eine unendliche man Folge dann die sogenannte Signalgeber Sigmar Additivität das heißt wenn A 1 A 2 und so weiter aus paarweise disjunkt sind dann ist die von der ländlichen Vereinigung der AK die Summe und ihn in die Reihe der besten Alter also P von der ländlichen Vereinigung K 1 das man dich AK ist unendliche Summe K Gleis 1 bis unendlich viel von AK die sogenannte Sigma Additivität als diese Eigenschaft also warum es Additivität heißt es vermutlich klar oder auch die Beziehung 5 und 6 Sommer schon alle tivitäten sieht tivität wenn wir hier sieht man schreibt man weil man hier sogar unendliche Zungen und Vereinigungen zulässt ok und das waren die 7 Eigenschaften und jede solche Abbildung heißt Wahrscheinlichkeit Maß kurz weh was gut fragen so weit vielleicht aber Erklärung dazu 1. sah sich haben gerade klärt 1 ist 6 sehen Sie sofort gilt für relative Häufigkeiten als Grenzwert weil er dann wenn sie den Grenzwert von relativen Häufigkeiten dann ist es plausibel dass es auch für die Wahrscheinlichkeiten die einig definieren wollen gilt bei 7 es schwieriger wenn sich mal überlegen Geldsegen für relative Häufigkeiten das sehen sie gar nicht also ich sehe es aber sie sind nicht so gesehen macht auch nichts und setzten zu relative Häufigkeiten gelten würde sie könnten keine Grenzübergang machen das klappt dann nicht mehr das heißt diese 7. Sache ist eine Sache die mir axiomatische zunehmend damit nur eine sinnvolle Theorie aufbauen kann und stellt sich dann raus das ist wirklich will sinnvoll das so zu machen 2 Bemerkungen zur also wenn Sie Unterhaltung so weit einstellen könnten wer ich doch sehr dankbar also weiter tief könnten Sie auch ausgehen und sich draußen Urwald unterhalten und fertig ich so dazwischen und sie quatschen ja dieser zwischen den ok 2. Bemerkung was ich machen wollte zum Definitionsbereich wenn Omega ist das heißt endlich oder abzubauen endlich dann werden wir immer an gleich die von Omega Omega gleicht er ist werden wir aber gleich wie also das nur ich als Bemerkungen ich hab ich auch hin was wichtig ist Bemerkungen ist abziehbar zu werden wir überall gleich die von Omega wählen und dann werden wir problemlos Wahrscheinlichkeiten für alle Teilmengen von Omega festlegen können so werden wir überall gleich die von Omega wählen und damit Wahrscheinlichkeiten für alle Teilmengen von Omega festlegen und damit Wahrscheinlichkeiten schwarzen Wahrscheinlichkeiten aller Teilmengen von Omega festlegen ist dagegen Omega gleich aber werden wir häufig nicht die Wahrscheinlichkeiten für alle Zahlen von eher sinnvoll festlegen können ist dagegen oder gar das Jahr werden wir häufig nicht die Wahrscheinlichkeiten aller Teile Mengen sinnvoll festlegen können und in diesem Fall werden wir dann aber gleich also Bemerkung ist auch mega abzählbar zu werden wir immer gleich die von Omega wählen und damit Wahrscheinlichkeiten aller Teilmengen von Omega festlegen ist dagegen ob sie gleich er werden wir häufig nicht die Wahrscheinlichkeiten aller Teilmengen sinnvoll festlegen können in diesem Fall Art leicht B ok woran liegt das ja Beispiele betrachten Sie das rein zufällige ziehen eine Zahl aus dem Intervall von 0 bis 1 es mal so als könnte da im Prinzip eine beliebige reelle Zahl rauskommen das heißt meine Modellierung willigten Wahrscheinlichkeit Raum mit Grundmenge Omega gleich ab bis ein bisschen widersprüchlich ab ich habe noch die Wahrscheinlichkeit mit dem ich es korrigieren kann halt einfach sagen kann die Wahrscheinlichkeiten von denen die nicht in dem Intervall von 0 bis 1 sind es eben sind dem gleich 0 dann wirklich besorgen irgendwie mathematisch
modellieren und macht dafür so eine Zuweisung möchte Zuweisung machen wollen wo ich Mengen Wahrscheinlichkeiten zuweise und ich mir machen wir naiv ich möchte jeder Teilmenge von eher mehr Wahrscheinlichkeit zu beißen wir haben gerade gesehen ich hab die Definition 4 13. und sinnvolle Eigenschaften das heißt ich möchte ein scheinlichkeit Maß finden dieses Wahrscheinlichkeit Maß sollte jetzt beschreiben dass ich eine Zahl rein zufällig aus dem Intervall von 0 bis 1 raus auswählen wenn diese Zahl rein zufällig aus dem Intervall von 0 bis 1 auswählen und sie brachten ein Intervall des in dem Intervall von 0 bis 1 enthalten sind das ist klar diese Wahrscheinlichkeit würde proportional sind aber länger sein das heißt für die sind aber alle ist die Wahrscheinlichkeit schon festgelegt als Intervall weiterhin wollen wir haben diese Eigenschaften hat die eigene diese Abbildung wir die Eigenschaften eines ist sie 7 aus Definition 4 13 und 3. diese Eigenschaft diese Bildung soll definiert sein auf der ganzen Potenzmenge von der und dann können sie eben zeigen zu einer Abbildung existiert nicht sie finden keine Abbildung die jeder Teilmenge von eher eine ideelle Zahl zuweist die die Eigenschaften 1 bis 7 Grad und die zusätzlich jeden in der Wahl des offenen dabei von 0 bis 1 enthalten ist die als Wahrscheinlichkeit dessen Länge zuweist gibt es leider nicht und dann haben sie Probleme was sie aber jetzt machen können sie können dieses Konstrukt von und sie können sich angucken was hatten wir hier werden sie die Bereiche deswegen haben wir im Prinzip aber man könnte sagen dieses die Signalgeber wurde erzeugt indem wir nämlich zunächst einmal ein ein Mengen ein Menge System hatten die Menge aller in der Wale und dann die kleinste Signal Gefahr betrachtet haben die alle diese Intervall enthält und da gibt es jetzt eben Fortsetzung Satze für Maße und sie zeigen können oder für Wahrscheinlichkeit Maße und sie zeigen können wenn sie Wahrscheinlichkeiten schon sinnvoll schon festgelegt für die der Wale sodass die Eigenschaften eines ist 7 für die Intervalle gelten und das können sie zeigen wenn sie einfach dem im Zeitintervall von 0 1 zu elementare Länge zuweist beißen dann gelten die Eigenschaften 1 bis 7 dann können Sie diese Abbildungen die sie ursprünglich haben fortsetzen auf die von dem System erzeugte sollte sich mal die war also die Bereiche die Algebra und Sie finden eine ein Wahrscheinlichkeit Maß definiert auf der moralischen Sigma Algebra das die Eigenschaft hat hier können Zeitintervall von 0 bis 1 wird seine Länge als Wahrscheinlichkeit zugewiesen und deswegen machen wir das ganz sicher diesen Vater zum dazu Maße endlich in der Vorlesung nicht wenn sie im 4. Semester sind wir und ist wahrscheinlich eine Integrationstheorie wir gehen noch mal ein bisschen auf einen der Wahrscheinlichkeitstheorie wäre aber hier glauben einfach in der voll ist durch Fragen dazu er die Frage ist nach den normalen nach den geschwungenen Aas und ist das heißt es gibt hier ein einziges geschwungenes aber dass es passieren immer wenn eine Menge daraus ist ein geschwungenes aber es gibt ein einziges geschwungenes B das ist das von der bürgerlichen Sigma Algebra ansonsten gibt es hier nur normale als normale auf der Tafel das heißt das Ganze hier sind normale Arzt und das hier sind ist normale spielen ok Sie mal nie auch was würden Sie denn sagen vom Zusammenhang her das 1. Mischung des Sigmar geht war richtig die letzten Wahlen sind normal in diesem Fall werden wir als länger an gleich stehen das man System aber die wollte sich mal gefragt das heißt auch dass es geschwungen vergehen bitte noch Fragen ok dann hab ich jetzt eine Frage an Sie was würden Sie denn vermuten ich habe ja die Jungen sie sehen vielleicht diese Bedingungen sind redundant also so und so viel kann ich aus dem andern fordern zum Beispiel 5 heute ganz klar aus 6 wenn sie in gleich 2 einsetzen und wenn ich jetzt anfangen möchte ich möchte möglichst wenig Bedingungen haben und dass es sinnvoll war der später mal zeigen möchten das gewisse man Systeme Wahrscheinlichkeit Maße sind ich habe kurzes das Lemma entsprechend hin damit sie sehen auf was hinausläuft und dann kommt die eigentliche Frage das ist 4 14 Lämmer ich habe nicht der Menge gerne Signalgeber wo mir gar die Behauptung ist dann gilt ja Bildung P von A nach reisen Wahrscheinlichkeit Maß geschwungenes A nach einer und jetzt möchte ich möglichst wenig Bedingungen hinschreiben was würden Sie denn sagen was kann ich denn alles weglassen 6 können Sie weglassen was vor aus 7 dann können Sie 5 auch noch weglassen was verpasse 6. ok 5 und 6 lass ich weg was noch bei dem 2. brauchen die leere Menge oder Omega warmes Essen 3. folgen kann also immer bei dem 2. OP von Omega gleich 1 die leere Menge das war weg und die Folge wird außen rettende ok also wir haben 3 5 und 6 gestrichen und vom 2. viel von der leeren Menge gleich 0 genau verstreichen 3 und 4 wurden sie streichen 3 und 4 streichen ja wir sprechen da sie auch noch alle einverstanden naja sie wollen alles streichen aber dann können wir nicht zeigen also ich leider schon nicht leicht weil sie auch noch aber ich 3 Vermisste Mehr aber ich als wir die Streichung müssen 1 zusammen also ich weiß immerhin ich fordere 3 Sachen erstens die Wahrscheinlichkeiten sollen größer gleich 0 sein zweitens ich fordere sie von Omega gleich 1 das und werden sich ich fordere noch die
Sigma Additivität das heißt A 1 A 2 und A paarweise disjunkt dann ist die von der Erde unendlichen Vereinigung der gleich die Summe der 1 sind die Werte alles sehen es deutlich weniger was bringts ja ja wir werden später damit beschäftigen und ich werde mich wieder Beispiele für Wahrscheinlichkeit Masse geben und gewisse Modelle hinschreiben jeweils behaupten dass Wahrscheinlichkeit Maß und da muss ich eben nicht 1 bis 7 aus Definition für 13 Nachrichten sonnig muss nur 1 bis 3 aus der Ausländer 4 14 nachweisen 1 bis 2 wo trivial sein das heißt ich muss dem Konzept noch meistens trivial sein das heißt ich muss noch 3 Nachrichten was denn die weiße erheblich verkürzt ja fragen das war Bedingung 1 bis 7 überhaupt in geschehen denn das auf diese 3 zurückführen können damit sie sehen was dieser Begriff eigentlich ist also was dieser Begriff einig bedeutet anschaulich ich kann natürlich den Begriff so hinschreiben und 4 kürzere Definitionen wenn wir verstehen ja gar nicht was seine steht es bestimmte Verdeutlichung genau als Mathematiker würden wir versagen ja schreib 1 bis 3 der und mit aber als angewandte Mathematiker wollen sich darüber legen wir machen ne gewisse Modellierung weiß welche Eigenschaften hat unser Objekt und das dort womöglich schon der Definition sehen aber natürlich jetzt auch anders rum machen können der Definition hinschreiben können mit 1 bis 3 und einen Satz hat die folgenden Eigenschaften der aber ausgleichen ausgelaufen nur ich weiß Definitionen ok noch Fragen oder war ich ein bisschen tafel wischen machen 5 Minuten Pause und ich mach dann um 10 Uhr 41 weiter willkommen zum Beweis wir 4 14 sie sehen (klammer auf der 14 ist mir genau dann wenn Beziehungen das heißt ich mit 2 Richtungen zeigen 1. aus dem oberen freut und zweitens aus unteren 1 bis 3 folgt liefern diesen Wahrscheinlichkeit Maß sie sehen sofort 1 bis 3 ist enthalten in I bis VII aus Definition für 13 das heißt eine Richtung ist real das heißt da wir gleich fertig ,komma zu anderen Richtung .punkt das was sie wahrscheinlich erstaunen wird wenn sie die Beziehungen 1 bis 3 angucken ist das sich nicht gefordert hat dass wir von der leeren Menge gleich 0 ist und damit kann ich dann sofort aus den 3 die ganzen Additivität und so weiter und daraus dann auch wieder die Erde diese Eigenschaften Komplimente III und so weiter also Wochenanfang dass die das der Menge die Wahrscheinlichkeit 0 zugewiesen wird das schon da argumentieren wir wie folgt ist es Algebra dass die leere Menge drin es gehe die leere Menge sind und zweitens die leere Menge kann ich darstellen also endlich der Vereinigung von sich selber das heißt wenn ich die leere Menge womit wieder mit sich selber einige gekommen die leere Menge aus und es ist klar diese unendliche Folge von Lehren ist paarweise disjunkt sie 2 leere Menge miteinander schneiden kommt die leere Menge aus jetzt wenn ich darauf 3 an und kann daraus folgern also mit 3 die von der leeren Menge ist die von der leeren Ränge Lust wie von der leeren eine das heißt das diese Zahl diese die Wahrscheinlichkeit ich der leeren Menge zugewiesen hat hat die Eigenschaft wenn ich sie mit sich selbst unendlich oft addiere dann kommt die Zahl selber aus und da kann sie nicht viel zahlen diese Eigenschaft haben also im Prinzip noch unendlich Minuten endlich aber die habe ich zugelassen und wenn es wäre eine Zahl ist muss die leere Menge sein also den des von der Menge damit er folgt die von erlernen ist gleich 0 ja damit mir was gezeigt damit will der II gezeigt zu noch so geschwungen Fall also II Hammer um jetzt sagen wir vielleicht nur V wenn wir wo es mit geschnitten leichter leere Menge dann ist die Ehe von Ava 1 GBit leicht liefern habe es viel von dem das machen wir einfach in dem Jahr vereinigt B umschreiben als vereinigt die Vereine klären wie und so weiter dann habe ich nun endlich Erfolge und aufwendig 3 an es ist aber aus an mit a geschrieben die gleich leere Menge so geht wie von AV eine gehen n =ist gleich die von vereinigt des vereinigt leere Menge Vereine klären und so weiter jetzt hab ich ne Folge Fahrweise disjunkte Mengen alle aus der Signalgeber ich wende 3 darauf an dann komme ich auf die von A bis D von den wir müssen endlich auf die leere Menge hier von der Menge dazu addiert dann werden sie die obige Beziehung auf einen gewissen die von der Menge ist gleich 0 damit haben wir römisch 5 gezeigt sie
sehen auch sofort VI ist analog dann machen Sie es einfach nur mit n Stück und Vereinigungen die auf die leere Menge dran dann ist die Frage was fehlt noch was muss sich noch zeigen III zum Beispiel ja und IV ich mag vielleicht IV zuerst so IV sein Abi aus an Mitarbeiter gegeben dann kann nicht es schreiben als B ohne vereinigt an wobei ohne geschnitten mit die leere Menge ist und weil sind beide in enthalten dann kann ich jetzt V anwenden was wir schon gezeigt haben und ,komma Aufträge von wegen =ist gleich ohne der Whisky von Art böse auf weil die Form des Iran als eine reelle Zahl das heißt sie kann es auf beiden Seiten abziehen wenn sich die von ohne A =ist gleich die von den -minus war wie viel nicht auf falsch sondern Würdigung ich sag jetzt dass es größer gleich als 0 +plus b von a nach 1 und damit haben wir auch IV gezeigt erzählt noch 3 ja das sehen Sie jetzt machen sie analog sie setzen einfach die gleich Omega weil folgt aus der ich setze gleich Omega ich weiß dann nie von Omega =ist gleich 1 ja 2 also 1 =ist gleich von Omega das Beispiel von Omega ohne vereinigt klar und mach es wie oben sie oben es hier von Omega ohne Abriss es sind sie diesen ab Mittwoch Wesen Rohregger ohne a =ist gleich 1 -minus die von und damit habe 3 je zweimal 2 gewesen 3 gewesen hier gewesen 5 für diesen Zweck für diesen sie auf ausgesetzt will nur 1 wir wissen schon wie von als größer gleich 0 wir brauchen auch dort aber gleich 1 sie mal warum die Verlag lange gleich 1 ist in der 3 wird gerade bewiesen haben 1 -minus die von als leicht wie von Komplement es große gleich 0 nach der 1 mit also 1 -minus lieferbar wer siehe oben wer von Kompliment und das ist größer gleich 0 nach 1 zur Behauptung und das ok Fragen so weit beim Beweis von IV meine ich rechts unten in der Ecke ja aber 1 oder I ich meine Arabisch 1 Dankeschön NAP-I geschrieben noch Fragen oder zwischen mal hier solange sie können sich darüber überlegen Sie noch Fragen haben noch Fragen so weit wenn ich Definition für 15 einfach normalen Sprachgebrauch verletzt die Signalgeber definiert wir haben das Wahrscheinlichkeit Maß definiert und dieses Trippel bestehend aus Gründen der jetzigen Algebra und Wahrscheinlichkeiten was ja heißt wahrscheinlich Heizraum Raum also ist Omega ungleich der leeren Menge als Signalgeber Omega und wie von A nach R ob ein jemals so heißt Omega ab wie ein Wahrscheinlichkeit ist Omega ungleich der leeren Menge A Signalgeber über Omega und wie von ARD Maß so heißt dieses Drittel trippeln Omega abnehmen das ein Wahrscheinlichkeit Raum kurz der Raum und in diesem
Fall ist die von Wahrscheinlichkeit für es dann ab Mitte des großen des kleinen K .punkt UCK Wahrscheinlichkeit von also Wahrscheinlichkeit Raum hat 3 Elemente der Grundmenge die gesagt aus aus welcher Menge stammen die Ergebnisse von Zufallsexperiment wieder betrachten das hätte nennt des dieses ist die entscheidenden dass die Wahrscheinlichkeiten festlegt und das 2. Element diese ist
nicht mal die verbrauchende eben weil wir häufig nicht die Wahrscheinlichkeiten für alle Zeiten der Grundmenge sinnvoll festlegen können und dann würden wir es an der Stelle einschränken und da tauchen wieder Definitionsbereich von 4 auf gut wandte den Begriff dann machen wir jetzt noch
in Lämmer 4 16 weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeit Maß ist ich zeige noch mal 3 Sachen 1. hat mir eine schon Omega sein Wahrscheinlichkeit Frauen die 1. Beziehung ist will aber ,komma ist mit A 3 wenige von gehen dann ist Herr von B ohne gleich die von den Industrie von Art 2. Beziehung ist die sogenannte Super Additivität beziehungsweise die Validität wenn Sie A 1 A 2 und so weiter als haben dann ist wie von der Vereinigung der Ali kleiner gleich Summe der einzelnen die Werte und das gilt sowohl für endliche Vereinigung als auch für eine
unendliche 2 Stefan Vereinigungen gleich 1 bis n der und wie von wenn diese
Vereinigung gar gleich 1 wissen endlich AK klar gleich zum Neckar gleich 1 sich viel von AK das letzte bezahlt man als sogenannte Sigma zur Qualität und wieder Teil wenn Sie 2 Mengen A und B aus A haben dann ist die von vereinigt billig leicht wie von A +plus B von B -minus B von A geschnitten B ok so weit dann weiß man es zahle aber im Prinzip wollen schon mal gemacht ich Schweiz mal schnell gehen wir uns sein nicht hier also 12 wir haben aber aus mit Teilmenge B dann wissen wir dieses B können schreiben als wir be ohne auf eine klare und die ohne und Sendesignal gibt also des ohne deshalb weil er eine Signalgeber ist und die ist wissen wir dann die von D =ist gleich die von ohne ABE Stefan aber und dann lösen wir aus ziehen wir von ab ist mir Zahl dann ist die von B und A gleicht die von den Liebesbriefe nach ok also den Teil hat morgen schon dann noch ein 2. Teil haben den Vorschlag wie Spiele weisen kann also das würde mit Gleichheit gelten wenn die Mengen paarweise disjunkt sind aber es sind sie überlappend und die Behauptung ist dann bis sie zumindest immer eine klare gleich Beziehung sie würden erst 7 Weisen und daraus wird erst dann folgen mit dem was ich gerade gesagt habe wäre es wer aus sekündlich problemlos den 1. Teil von den folgern aber nicht den 2. also auch aus C sehen Sie wenn ich zähle bei diesen habe dann habe ich die von A vereinigt B =ist gleich Kiefernart ist wie von den -minus von A geschnitten B bei wir von A geschnitten B größer gleich 0 ist es ist klar gleich das Telefon hat es wie von B dann machen Sie Induktion dann haben Sie den 1. Teil von wie jetzt aber will man sollte im 2. Teil und der und es im Prinzip klar der 1. Teil folgt aus dem 2. Teil weil sie können ja so und so viele der AG erst mit der leeren Menge setzen aber haben Sie dafür in den mehr da man kann die Menge des Junkies die sie wir dass die Vereinigung gleich gleiten wie machen Sie das es richtig weh
das ist schwer zu erklären und aufzuschreiben wir wollen Sie es mir diktieren ok sie definieren neue Mengen BND als oder die Vereinigung aller der weniger davor sind und dann sind eben diese B 1 paarweise disjunkt ok also machen wir haben A 1 A 2 aus wird aber ich schreibe Ziele Vereinigung um Karl gleich 1 wissen endlich AK ich nehme es nur 1 und dann vereinige ich noch von Tag gleich 2 bis unendlich und immer wenn man leicht in gleich 2 müssen endlich in ohne die Vereinigung von Karl gleich 1 bis in -minus 1 8. das heißt ich schreib das Ganze so ok also den 1. Menge A 1 dann anstelle von ganz A 2 nehmen Sie nur den Teil von 2 dazu der nicht nach 1 ist dann anstelle von ganz A 3 nehmen Sie nur den Teil dazu der nicht bereit für 1 1 2 drin ist das heißt die das Ganze wieder ab und so weiter und kommen Sie hier auf das gleiche und dann sehen sie werde diese ganze Menge dir steht es in A enthalten weil das ganze eine zigmal geht vor und sie sehen weiter diese Mengen sind paarweise disjunkt durch die vielleicht Farbe Station wieder Farbe drüber und dann wenn ich sie mal die Liquidität an und da Bildsignale tief ist bis die von dieser ländlichen Vereinigungen gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten von einzelnen hier ab wir erfahren wenn die Vereinigung Kagels 1 diesen endlich AK =ist gleich hier von A 1 +plus Summe zahlen die Summe von n gleich 2 wissen endlich von A 1 ohne diese Vereinigungen Vergleich gleich 1 bis N -minus 1 ok und dann sehen Sie diese Menge die hier stellt ist natürlich der Teilmenge von allen wir wissen dass die Wahrscheinlichkeit Maß ist als solches ist monoton das heißt wenn Teilmenge von B ist dann ist die von Al kleiner gleich wie von B dann ist es ganz sicher kleiner gleich ist Herr von A 1 Zimmer in gleich 2 wissen endlich es tun und der 1. Teil geht analog also entweder analog oder sitzen einfach AK gleicht leere Menge werde ab einem ab dem 4 K größer als ich dann können wir zum Ziel Mal beim Filtern haben der aber ,komma aber überlegen Sie dass man Bild wenn Sie dieses die Eisflächen da
deuten dann wirst klar der Flächeninhalt von Wüstenflächen Flächeninhalt von B das ist eben der da bekommen Sie einen Teil doppelt dieses geschnitten die und dann sehen wir auch schon fast nur
Beweis die des wenn ich zerlege einfach diese beiden Mengen Vereinigung dieser zwar beiden Mengen 3 disjunkte Mengen dem A geschnitten ohne Bild oder ohne A geschnitten B und ja analog wo ne geschnitten des weil die DSS gilt vereinigt W =ist gleich a ohne geschnitten wie vor allem die Bionade geschrieben die Vereine dargestellten werden und wie sehen die 3 nennen die auftauchen Siegen in der sich bei Gefahr bei seiner 7. Mai geht weiß und es sind auch paarweise disjunkt sie dann verwenden wir die Wahrscheinlichkeit Maß damit auch endlich tief das also wenn ich 3 aber es disjunkte Mengen habe dann ist die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung welche Summe der 1 Wahrscheinlichkeiten ja und dann gehen wir mit den Zahlen dieses A geschnitten B ist eine Teilmenge von A auch dieses gestiegen ist eine Teilmenge von B das heißt die Wahrscheinlichkeit einer Differenz ist die Differenz der Wahrscheinlichkeiten und damit sehen sie gar nicht wollen ohne geschmissen B geschrieben habe nicht A ohne B und können sind der ständig dann haben wir hier viel von -minus geschnitten Mehr das gleiche für RWE und Schluss noch viel von A geschnitten B und die Behauptung steht er und wir sind fertig der fragen in Fragen dann sind wir fertig Leute und wir sehen uns dann am Mittwoch wieder
Teilmenge
Index
Komplementarität
Zusammenhang <Mathematik>
Menge
Reelle Zahl
Algebra
Potenzmenge
Durchschnitt <Mengenlehre>
Schnitt <Mathematik>
Algebra
Algebraisch abgeschlossener Körper
Komplementarität
Punkt
Algebra
Abbildung <Physik>
Potenzmenge
Ruhmasse
Relationalsystem
Zahl
Gradient
Teilmenge
Summe
Index
Spitze <Mathematik>
Menge
Reelle Zahl
Durchschnitt <Mengenlehre>
Schnitt <Mathematik>
Auswahlaxiom
Grenzwertberechnung
Zeitintervall
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Algebra
Abbildung <Physik>
Mischung <Mathematik>
Potenzmenge
Reihe
Ruhmasse
Fortsetzung <Mathematik>
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zahl
Unendlichkeit
Gradient
Integrationstheorie
Teilmenge
Summe
Menge
Reelle Zahl
FOL
Summe
Komplementarität
Menge
Reelle Zahl
Angewandte Mathematik
Algebra
Mathematiker
Ruhmasse
Rang <Mathematik>
Ecke
Zahl
Richtung
Unendlichkeit
Menge
Summe
Validität
Ruhmasse
Art 2
Teilmenge
Summe
Filter <Stochastik>
Menge
Ruhmasse
Zahl
Teilmenge
Summe
Flächeninhalt
Ruhmasse
Zahl

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Der Begriff des Wahrscheinlichkeitsraumes
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34014
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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