Definition des Maßintegrals

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Formal Metadata

Title
Definition des Maßintegrals
Title of Series
Part Number
16
Number of Parts
25
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CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2011
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Plane (geometry) Raum <Mathematik> INTEGRAL Real number Set (mathematics) Mass Function (mathematics) Sphere Number Expected value Field extension Natural number Zusammenhang <Mathematik> Measurable function Abbildung <Physik> Summation Length Partition (number theory) Flux Fiber (mathematics) Random variable
Area INTEGRAL Höhe Surface Real number Gradient Mass Subset Film editing ALI <Programm> Summierbarkeit Summation Girder Length Codomain Partition (number theory)
Logical constant Addition Partition of a set Product (category theory) INTEGRAL Mittelungsverfahren Set (mathematics) Mass Function (mathematics) Approximation Order of magnitude Null Feld <Mathematik> Index Measurable function Forest Measurable function Modulform Summation Codomain Factorization Partition (number theory) Social class
Point (geometry) Logical constant INTEGRAL Maximum (disambiguation) Moment (mathematics) Integrationstheorie Function (mathematics) Continuous function Approximation Rounding Number Cylinder (geometry) Sign (mathematics) Measurable function Measurable function Energy level Fiber (mathematics) Limit of a function
Zahl State of matter INTEGRAL Integrationstheorie Parameter (computer programming) Mass Exponential function Weight Physical quantity Number Expected value Average Number theory Modulform Summation Random variable Addition Infinity Set (mathematics) Mittelungsverfahren Variable (mathematics) Null Arithmetic mean Index Abbildung <Physik> Summierbarkeit Musical ensemble Flux Factorization
so wir sehen die Änderungen der immer so sein das verändert werden an der TU Darmstadt UMP ja begrüße Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung in der Einzelrichter hastig wir waren stehen geblieben beim Begriff des Erwartungswertes dabei ist einen mittleren Wert eine ist das Ergebnis eines Zufallsexperiment zu definieren dass das eine Delle Zufallsvariable X beschrieben wird und es dann zu definieren wir dann da als durch ein sogenanntes Maß Integral Erwartungswert ist e x also Efex ich Erwartungswert gleich in gerade bei XTP und dieses Maß unbegreiflich heute ein Herr Lehmann erstmal schon vorgestellt 1. Erweiterung von er wäre ich nehme die Zahlen plus minus unendlich dazu natürlich Rechenregeln wie der reelle Zahl Flüssen entließen endlich Mehrzahl größer 0 mal endlich gibt unendlich und so weiter und eine Besonderheit ich hab definiert 0 mal unendlich gibt gleich 0 ich hab dann eingeführt Raum den Begriff der sogenannten Mess Raumes oder nein ich hab eine für den Begriff des sogenannten Maßes wir hatten ein Raum also eine nichtleere Menge und eine Signalgeber drüber eine Abbildung mühevoll dieses Signal geht danach erklären also jetzt erweitert wertet das hat der weitere werd ich weil ich auch Sachen zulassen möchte wie das sogenannte Lübeck vor allem was das Leben in der Weise eine elementare Länge zuweist und damit dem eindimensionalen ganz er eben den Wert unendlich zuweist also Maß ist nie funktioniert werden in folgende 3 Eigenschaften Art Allerwertesten größer gleich 0 B er der lernen über die 0 zu gewissen diesen C das Dinge Stigma additiv und daraus können Sie dann alles weitere Nachfolgern was beim letzten Mal in die Definition noch mit reingeschrieben hat ja nur noch kennen gelernt den Begriff der AB messbaren Funktionen wir haben ein Misstrauen Omega an gerne Funktionen von Omega nach er die heißt es war es die Bereiche Signalgeber weiß das Urbild von jeder Menge aus wie aus der Bereichen Signalgeber Skript B ende bei FNA drin liegt im Zusammenhang mit den bisherigen begriffen ist besten Wahrscheinlichkeit maßgenau dann den Plänen Maßes und die von Omega gleich 1 ist und wie ein Wahrscheinlichkeit Raum zugrunde gelegt so sind die messbaren Abbildung von Omega nach er gerade die der allen Zufallsvariablen heute definieren wir dann das Integral über Omega HD bemühen im Falle dass wir einen allgemeinen als Raum mit zugrunde gelegt haben und eine ap messbar Funktion Hafen und Veganer haben anfang ich unmittelbar an der Definition des Integrals erfolgt in 3 Schritten der 1. Schritt ist der sogenannte einfache Funktionen das Funktion die nicht negativ sind unendlich viele Werte annehmen der englischen Definition 5 19 wir haben Misstrauen Omega an das heißt jede Funktion war wie die Bauart hat das ist die Summe I gleich 1 bis n kurz jenen Alter imer Indikatorfunktion zu Menge also jedes Haar gleich gleich 1 bis gesehen als immer 1 mitziehe er ist natürliche Zahl die 1 das also entsenden er will ok richteten die 1. einfachen Funktion sind im Jahr etwa 1 bis 1 1 sind mehr und die A 1 bis A N es sind aus anbieten der Partition von Omega und das letzte heißt dass die Vereinigung aller dieser die man und ist und dass sie paarweise disjunkt sind also wäre 1 ist ein Element arbeitet Sohn von Omri gab es heißt Vereinigung die gleich 1 wissen gleich und AI geschnitten 1 =ist gleich leere Menge für die Ungleichheit jede solche Funktion heißt einfache Funktion ok Bewerbung da zum 1. klar die Funktion nimmt nur endlich viele Delegierte an maximal n also nicht genau ein weil die alle einzig sich wurde ja nicht dass sie alle vereint das Alter in alle verschieden sind also maximal n 2. Bemerkungen die Funktion ist messbar ist wollte aber ja daraus dass die Indikatorfunktion messbar sind und sollen in Jahr Kombination von messbaren Funktion wieder messbar ist die die Karte Funktion sind messbar weil die drin ist das heißt ich hab hier als einfache Funktionen er betrachte ich messbare Funktionen die nur endlich viele Bälle Werte annehmen also nicht erweiterte fertig sondern endlich viele reelle Werte ich hab gleich noch das Ganze ein bisschen komplizierter hingeschrieben ich hab gleich ne spezielle Darstellung ausgewählt für diese einfachen Funktionen nämlich da eine Darstellung wo diese zugrundeliegenden man bei dem Indikator Indikatorfunktion der Partition von Omega bilden als im folgenden der nicht mehr einfache Funktionen schreibt als zum Ei gleich 1 bis n Eifer immer 1 AE wird immer davon ausgehen dass die als ihn sind und die A 1 bis A N aus aber der Partition Partitionen ohne The zuzuschreiben ok 1. Schritt ist da eine solch einfache Funktionen ist also gleich gleich 1 gesehen als er ihm mal 1 AE eine nicht negative einfache Funktion als die als verließen alle größer gleich 0 ab zu setzen die ja ja die Definition es sei nicht klar wie sehr
ziehen Integral definieren also Integral Ademi an der Stelle wenn sich mal überlegen wegen welcher bisschen Platz gelassen die können auch woanders hin schreiben sie haben diese nicht negative einfache Funktion ich geh einfach davon aus die A 1 bis A N während der Wale bei Medizin zeichnen kann wenn die A 1 bis 1 dabei sind und eine schöne stückweise konstante Funktion die immer wieder springt vielleicht hier noch mal Intervall dann haben Sie vielleicht irgendwas es sich noch mal die X moralischer Felix dann sieht es vielleicht irgendwie so aus man sich hier vielleicht Sprung stelle wir konstant haben Sie vielleicht ohne Funktion und wenn sie überlegen ja wie würden Sie ein normales Integral was sie kennen als Riemann Integral definieren ja ich nehm einfach den die gerade der Flächeninhalt zwischen der Funktion der x-Achse das es Integral würde diese einzelnen Balken hier berechnen Flächen einer dieser beiden und mehr das wären Riemann Integral jetzt mach ich so was ähnliches nur ich habe es hier unten noch auf der x-Achse ein Maß zugrunde gelegt und dieses Maß der deutlich als Massenverteilung und mit diesem Maß der lässt sich die Länge von diesen Grundseiten hier das sei statt Grundseite mal Höhe mache ich wäre Maß von der Grundseite mal Höhe das heißt ich definiere das ganze Ding als Summe zum Sony gleich 1 bis n alter Email-Müll von an also Integral würden hier unten einfach schreiben ok das ist der Länge der Grundseite und ich anstelle von Länge der Grundseite gleichen allgemeines Maß zugrunde gelegt haben nämlich dieses Maß in die Länge der Grundseite zu messen ok fragen sollte fragen das ist der 1. Schritt einer Definition von unserem Integral wenn das Erste was wir auch noch warten müssen bis wenn Sie den Definitionen schreiben müssen sich immer überlegen jetzt Definition auch sinnvoll verspricht hier von wohl definiert was Sie können sich überlegen Sie Definition so wie ich sie gemacht habe wohl definiert das Erste was sich überlegen können das was recht spät steht überhaupt irgendwie generelle aus dem zuweise und dann 2. kann ich überlegen wenn die Funktion ist diese reelle Zahl eindeutig abhängig von der Funktion die darstellt ok 1. Bemerkung steht da wirklich nur reelle Zahl wehren sich überlegen ist eigentlich immer was soll da schief gehen da ganz einfach ich bin gerade in erklärt im Prinzip ich bin deswegen erklärt weil mein Maß ja auch zahlen will der den Wertebereich erklär hat da kann es insofern schief gehen dass ich ja auch mit plus oder minus unendlich rechnet und ein Problem wäre wenn in dieser Summe um vom unendlich minus unendlich auftauchen dann hätt ich irgendwas was nicht definiert werden ich sehe klar warum man diese Summe keine bloßen endlich wir müssen endlich auftaucht also warum keine Differenz zwischen ländlichen endlich auftaucht Vorschläge Maß überpositiven die alpha ist dann wie auch als positiv definiert das war der kleine trägt oder sich an der Stelle nicht negativ geschrieben wenn ich dieses nicht negativ weggelassen hätte hätte ich hier und Umständen ein Problem es könnte nämlich sein dass ich 2 Männer hab den nicht Maß werden endlich zu weiße und einmal mit plus 1 1 mit minus 1 zum Beispiel von etlichen Problemen aber da die Eifer E größer gleich alle größer gleich 0 sind tritt in der Summe oben eben nicht +plus nennt sich Minuten endlich auf also Bemerkungen integralen Schritt 1 ist wohl definiert ja 1. .punkt wegen Alter Ego sei gleich 0 3. dass du mir nicht der Fall unendliche müssen endlich auf weil das war schon mal gut zweitens was kann auch schief gehen noch kann schief gehen ich 4 Grad ein das Integral in Abhängigkeit der Funktion oder das Integral der Funktion ich definiere das in Abhängigkeit der obigen Darstellung hier und jetzt ist klar die gleiche Funktion kann mehrere Darstellung dieser Bauart haben sie können eine dieser Mengen unterteilen und die entsprechen also es gleich groß werden dann haben sie aber hier nicht einen wirklichen Wert zur vielen möglichen Werte und sie müssen nun zeigen alle diese möglichen Werte stimmen überein das heißt sie müssen sich zeigen wenn sie H 2 Darstellung von Hafen dieser Bauart haben kommt beides Mal der gleiche Wert raus also ist für mich vielleicht 1 bis in alter immer 1 a gleich mich obgleich 1 ist in der 3. 1 Bj mit jetzt wo ich die ganzen Voraussetzungen also die n alter e müssen die Voraussetzung erfüllen von der einfachen Funktion genauso mit den J Bj was N ,komma im Element in also 1 ist Alter n und alt war bei der 1 bis wird am 10. reelle Zahlen noch nicht negative reelle Zahlen und A 1 bis A 1 aus A und B 1 bis B 1 10 Partitionen von Omega also ich kurz das von mit Frau ab Mittwoch hin passt Tradition von Omega so gilt wer diese Summe die gleich 1 bis n alter ihm von A E ist die Summe J gleich 1 bis das Jodmangel von DJ
und das muss ich im folgenden begründen ok wie machen wir das ja ich würd erstmal aus also ich schreibe beides es um eben komplizierter und ich nutze aus B 1 bis B 1 der Partition deswegen kann ich die es entsprechenden B 1 bis B im aufteilen also B 1 bis B 1 Partition von Omega e =ist gleich wer kommt das Gleiche was eine schon weil beweist Sonderform von der totalen Wahrscheinlichkeit gesehen haben ich schreib das Ali um als einige Stepp mit Omega A ist eine Teilmenge von Omega Omega schreib ich um als Vereinigung der DJs und sie dann im Schnitt 3 also a =ist gleich eingeschnitten Omega Schnittpunkt J =ist gleich Hey geschnitten wird und hierbei sind diese Mengen die dastehen die sind paarweise disjunkt weil die B 1 bis B M paarweise disjunkt sind daraus freut Yvon Übermaß Maße tief insbesondere sehen auch endlich tief will von ist die Summe der Mühe werde von den Mengen A die geschnitten Bj damit leben Basis und damit kann ich den 1. Jahren denn ich hab sowie gleich 1 bis n als er in Malmö von e kann nicht umschreiben in dem ich für viel von Ali einfach die Summe einsetzt und dann können Sie das als in diesem Bereich die Beziehung Sie sehen verschiedene doppelt so Mehr zum IT-Leiter gleich 1 bis n manche steht am Schluss die Summe leicht 1 bis n j gleich 1 bis als ihm von AI geschnitten wird ok ist es klar oder und sie fragen gut wenn Sie mir das so weit glauben dann können Sie mir sicher auch sagen ich entsprechen die Summe doch gleich 1 bis n werde Jodmangel man von Biotopen schreiben kann also welches analoge macht komme ich auf wird gleich 1 bis Ende wenn ich auf komm ich aufsummiert leicht 1 bis n Wetter hört man von DJ wenn Sie jetzt einfach die Rolle von Armin des vertauschen auf was kommen Sie dann Vorschläge ok das der Punkt wo sie was sagen können bitte die genau also wäre die Summe J gleich 1 bis M sprechen die Summe I gleich 1 bis n dann wird er laut nein wir von BJ geschnitten wenn Sie einfach systematisch alle als mit es alle Alfas mit der das eng mit dem vertauschen kommen Sie mit den genau gleichen Argumentation auf diese Formel und das können Sie jetzt genauso in eine Summe von i gleich 1 bis n umschreiben J gleich 1 bis n weil das ist ja eine endliche Summen das Spiel mations Reihenfolge keine Rolle was sich vertauscht diesen mations Reihenfolge und dieses PJ geschnitten ist das gleiche wie es stehen wird das heißt ich kann man auf genau die gleiche Formel wieder oben nur als ersetzt durch Peter J also ich komm dann auf gleich zum I gleich 1 bis n ja gleich 1 bis n dann kompletter J man von Ali geschnitten Bj und dann sehen sie wenig zeigen möchte dass diese beiden Summen gleich sind dann genügt es zu zeigen diese kommerziellen und diese ja so meinten auftauchen better Jodmangel von Ali gestiegen immer mit Alfa Email-Müll von Ali geschnitten wird über einstimmen und das machen die im Folgenden also folgende argumentiere ich dass für jedes J die zwischen 1 und ändert zwischen 1 und Ende dieses Alfa Email-Müll von AI geschnitten BJ gleich dem Wetter dort mal wie von Ali gestiegen des Ortes ok wir machen
jedes Jahr wir betrachten erst mal den Fall dass diese Menge die da steht nicht leer ist alles an geschnitten DJ ungleich der leeren Menge und wir ich nehme noch vielleicht eine andere Bezeichnung für ihren J schreibt die Nullen J 0 alles gleich an ihren Verbrauch also ist ein ihn 0 beschnitten Bj 0 ungleich der leeren Menge so fündig ein Elemente aus so existiert und Kleinanleger aus der Menge wollen mit und jetzt hat sich dieses oder gar in die Darstellung von A 1 aber ja alles einig diese das ist mein H unersetzliches Omega 1 und dann sehen Sie dann bleibt eben auf der linken Seite einig ist nur die Indikatorfunktion zudem Index die 0 gleich 0 alle andern sind gleich 0 das heißt hier bleibt als ihn um rechts bleibt die Indikatorfunktion zum Index ist nur die Indikatorfunktion zum Index auf 0 ungleich 0 das heißt der rechts kommt bei der nur raus das heißt ich hab gesehen als er ihn 0 =ist gleich J 0 und ich sehe dieses Mittels überflüssig so existiert Omega und das gilt für dich hier schreiben also wenn sie als er ihn 0 angucken dann ist es eben das gleiche wie wenn sie dieses auch Omega in dieses Summe I gleich 1 bis n alter ihn mal 1 an die einsetzen und das geht eben weil dieses Omega dann in dem I 0 drin ist bei den Omega 1 0 gestiegen B J 0 drin ist muss in Stunden A 0 drin sein weil die ist eine Partition sind ist es dann keine anderen der drin das heißt nur noch diese eine Indikatorfunktion mit XI 0 =ist gleich 1 1 1 sind gleich 0 es kommt also als ihn noch aus nach Einnahme ist es aber das gleiche und Voraussetzungen also diese Funktion sowie gleich 1 bis n alter immer 1 AE stimmte überein das zu mir gleich 1 bis n Wetter J mal 1 Bj und es ist weder J 0 ja damit sehen sie aber ist insbesondere wir als er ihn nur weil viel von der in 0 geschnitten Bj 0 gleich später J 0 Malmö von AVI 0 geschnitten werden damit sehen Sie wie zum einen um O diese Menge nicht leer ist die Stimmen schon mal über ein jetzt ist nur noch überlegen was ist mit den Summanden nur Menge befragen können sie und was sie lesen doch sie können was lesen verkehrt oder Fragen so weit bei dem Eifer es 0 herzlichen Dank also keine Fragen soll Kulturen Foto Vorschlägen ok war einzige ja gut er wird sehen Sie im Fall dass die Menge ungleich 0 ist schlimm diese man überein aber was ist wenn die Menge gleich der leeren Menge ist dann ist das es gleich das Maß gleich 0 also war Voraussetzung bei unserm Maß der leeren Menge wird die 0 zugewiesen das heißt wenn die Menge gleich der leeren Menge wird ist das Maß gleich 0 das heißt Stimmen die so meint er diese beiden Produkte natürlich auch trivialerweise überein bei der 2. Faktor er gleich 0 ist als letzter das gilt auch für 0 geschnitten Bj 0 gleich leere Menge da dann von ich 0 geschnitten wird will nur ist damit haben und Behauptungen ok Fragen so weit zu dem Beweis also was ich machen will ich möchte ein allgemeines Maß integraler einführen Integral HD bemühen und ich hab selbst schon mal für eine spezielle Klasse von Funktionen mit diese Klasse von Funktionen die nicht negativ sind unendlich viele Werte annehmen und alle will und noch Fehler der annehmen dass es meine 1. Klasse von Funktionen die ich habe jetzt möchte weiter noch mehr Funktionen sie kennen es vom wie man Integrale da haben Sie Ober und gebildet die die hier ist eine andere die hier ist wir approximieren also wenn wir Integral kann sagen sie am oberen und das umgebildet damit haben Sie auch diese Integrale von diesen simplen einfachen funktioniert hier erweitert auf allgemeine Funktion so was machen wir jetzt auch wieder weit diesen in die gerade von den einfachen Funktion hier auf auf allgemeiner Funktion indem wir eben diese allgemeineren Funktion mit diesen einfachen Funktion approximieren machen Sie beim wie man Integral auch nur machen wir jetzt eine andere Art der Approximation ja vor 10 Jahren jetzt 1. nur von unten das heißt sie werden nur mit Funktionen approximieren die alle kleiner gleich sind und zweitens die approximieren so dass eine punktweise Konvergenz vorliegt das heißt ich nehmen Funktionen folgen wo für jeden einzelnen Punkt die Funktionswerte immer näher rücken und drittens ich mach das monoton das heißt für jeden einzelnen .punkt sollen die Funktionswerte der approximieren Funktionen über mehr einsteigen ließ sie sich dem wahren Wert über mehr annehmen das geht die Konvergenz von unten der Nierchen Definition 5 20 5 20 Definition eine Folge FN von Funktion f in Omega nach er konvergiert von unten gegen 11 von Omega nach eine
Folge S von Funktionen der Film von Omega noch er konserviert von unten gegen FC und kurz schreibe ich dafür es ändern frei nach oben gegen S genau dann den gilt für alle Omega aus oder gar ist es 1 von Omega kleiner gleich F 2 von Omega und so weiter und weiterhin der Limes für n gegen endlich von FN von Omega zur gleich 11 von ohne dass sein ok man kann jetzt zeigen das zu jeder nicht negativen messbaren Funktion f von Omega nach er existiert wenn ich es von und mit einer er quer existiert eine wir wollten auch er und die er von Omega lag er existiert eine folge von nicht negativen einfachen Funktionen mit FN mit Fn konvergiert von unten gegen F man kann zeigen zu jeder nicht negativen messbaren Funktion f in Omega nach R existieren nicht mehr negative einfache Funktionen sollen FN von Norweger nach R mit E 10 konvergiert gegen 11 also als ein Kunde gibt .punkt weiß es gibt unten gegen F der konnte gefunden gegen heftigst definiert hat ok also ich kann den jetzt der Formel hinschreiben indem ich es einfach hinschreibt er sich ganz einfach zum Beispiel F 1 gleich besteht die Definition an wir eine Möglichkeit ja ja Wirklichkeit machen wir so ok also meine Leber ist gerade mein Platz geht unter ein ich will jetzt noch ganz gerne Fiktionen schreibt und dann würd ich Pause machen es der ideal und ich verdiene Formen ich sie meinen dass es völlig egal ist eines beiden machen ja ist eine gute Idee aber sie habe es Probleme nicht gesehen oder alle man Sie wischen Tafel war furchtbar ja was kann halten Sie mich jetzt machen wird sie wissen wir zu gut über die Tafel Mehr was unser Geld mehr Witze folge also bei dem Angebot was mir galt anders übrig als alles hinzuschreiben also beschreibe mal FN hin auch ich habe noch gar nicht alle Alternativen aufgelisteten können also bevor man mit der eigenen es 1 der Standard der 1. Sterne der mögliche Definition also Standardformel sie wäre es wenn ich sehen was ich mache aber danach wenn es vielleicht sehen mal Indikator Funktion von der Menge aller omega in Omega wo er von Omega größer gleich 1 dann kommt der Summe von Karl gleich 0 bis N mal 2 hoch N minus 1 dann nämlich als Funktionswert K durch 2 ON und das mache ich auf den die Karte Funktion von der Menge aller omega in Omega wo F von Omega größer gleich als Karl II. und ein bisschen kleiner gleich gab es einst nichts verloren also kann ich 2 n Werner gleich ist und Omega dabei gleich K +plus 1 durch 2 Tore kleiner als gab es 1 durch 2 Tore ok was machen wir hier in das 2. was erklären kann 1 erklärt was wir besser mit dem Bild für die 2. Option gewesen ich auch hätte machen können statt der Formel also machen wir es ja nicht negativ messbare Funktion ich machte maroden wieso das Juli modales das heißt ein hochkommen kann es leicht bezeichnen ich Unterteil jetzt hier den Wertebereich Mengen der Größenordnung 1 oder im Abstand von 1 durch 2 hoch N und das mach ich bis Ende was wir machen es mal hier wir unterteilen den Wertebereich dann guck ich mir die zugehörigen also und dann aus der Menge war sich über ihn und ab dieser Menge ist konstant ist die Funktion da wurde Druck größer gleiches approximiert einfach durch n dann Partitionierer ich meine Omega Achse die Wälder und Äcker ja eher von ein ich habe zu mir meine Omega Aktie entsprechend den Mengen oh die Funktion Werte in diesen einzelnen dabei in einem das heißt ja nicht das 1. von hier bis hier mach ich ne Partitionierung wenn wir ich hier noch unter das 3. gehen hier und da 4. wir gehen hier und und genau so die hier runter ok und jetzt will ich auf jeden dieser Einzel in der Wahlen konstanten Funktionswert und ich mach den konstanten Funktionswert so dass er einerseits kleiner
gleich dem Funktionswert ist im ganzen Intervall 2. maximal groß und 3. nur als Wert 1 dieser die da wirklich das heißt sie machen einigte Rundungen sie machen Abrundung der Funktionswerte zu diesem blauen Punkten also man sieht mal ganz anschaulich vorstellen ich Runde überall diese Funktionswerte zum nächstgelegenen blauen Punkt an der darunter legte das heißt ich bin hier ja hier bin ich da hier bin ich da und da bin ich auf konstant 0 mit den Übergängen würde ich mir nicht genau wo ich auch wo ich positiv und negativ wenn er oder wo die Punkte angenommen werden das war der Moment dann hab ich diese Approximation und dann ist sie aussagen 1. was da rauskommt ist eine nicht negativ einfache Funktion also meine Gelder Funktion ist eine nicht negativ einfache Funktion ja aber das ist trivial Modelo wenn sich ein bisschen mit Messbarkeit auskennen oder sei nicht klar diese ganzen Mengen Zylinder Signalgeber enthalten weil Urbilder bei dem 1. er vermisst war wir damit sind haben wir hier ne die Indikatorfunktion sind messbar dann Hamelin Jahr Kombination von messbaren Funktion des messbar an das ganze Ding ist messbar und den sofort bis man nur endlich viele Werte an alle größer gleich 0 ok also nicht negativ einfache Funktion haben wir der 2. Sache ich behaupte und das ist etwas schwierig zu sehen ist die Funktionswerte wachsen .punkt weiß jeden einzeln .punkt wachsen sie aber das machen sich einig auch klar das gibt er vom ein Schritt zum nächsten Schritt was ich hier mache wird einfach halbiert 4. bisschen größer wird halbiert und wenn ich dann bezüglich seiner halbierten geht auch eine Abrundung machte Funktionswerte dann wird diese abgerundete Wert größer gleich sein als wenn ich das bezüglich dem größeren wieder machen also ich und wir immer ab gegen 1 Funktionswert und ich ab zum nächsten wieder .punkt darunter liegt aber wenn es geht es eben halbiert ist dann ist dieses abrunden Lindhorster gleich das heißt in der Tat es größer gleich und werden falls sie auch sehen ja wie es entgegen endlich FN von Omega =ist gleich E von Omega ja klar wurden waren wenn sie in Omega festhalten dass er von Omega kleine gleich n n genügen großes heißt sind in diesem Tal und da haben Sie einen Abstand zum Funktionswert von Clara gleich als 1 durch 2 auch in und dieser Abstand etwa in indem endlich gegen also in der Tat nur sieht diese nicht mehr diesen einfachen Funktionen das sind sie existieren ok oder Fragen gut jetzt wollte ich die eigentliche Definition hinschreiben das ist Schritt 2 und dann Pause machen schrittweise ist er von Omega er nicht negativ messbar zu wählen wir nicht negative einfache Funktion f n mit Fn gegen 11 und setzen das Integral über Omega 11 demütigst Limes in endlich in die omega f in ist es von Omega er nicht negativ messbar zu wählen wir nicht negativ einfache Funktion f n FN mit Fn konvergiert von unten gegen Aids und setzen Integral oder da es bemühen S =ist gleich letztendlich Integral Omega ist in den ok vielleicht bevor ich die Tafel wischen noch ein Hinweis auf die 1. Definition müsste Oromo stehen oder beziehungsweise um über die 1. Definition rechts ja heute dem herzlichen Dank auf der gleichen trafen sie haben gesehen ich hab diese Definition schon ungemein kompliziert gemacht indem ich nämlich nicht gefordert hat dass die Alfa 1 bis Alter in paarweise verschieden sind wenn ich gefordert werde dass die alte 1 bis Alter in paarweise verschieden sind dann wäre die Darstellung eindeutig gewesen der A 1 bis A 1 und dann hätt ich mir den ganzen Begründung darin einig sparen können also ins sollen die Zahlen als heilig Orbital ich mir sparen können habe ich nicht gemacht weil er man mit dieser allgemeinen Definition später die Beweise einfach führen kann genauso hätt ich hab ich hier jetzt auch wieder ein Problem weil eigentlich muss sich zeigen dass die wohl definiert um zu zeigen dass es wohl definiert ist gleiche Trick sie müssen zeigen diese Limes existiert überhaupt wie es existiert sie müssen gewisse Eigenschaften haben von dem Integral von nicht negativen einfachen Funktionen nämlich Monotonie wenn F und G nicht negativ einfach sind es ist kleiner gleich soll es Integral von 11 -minus G größer gleich viel Integral über es klare gleichen Integral über überdies an das Erste was sie zeigen müssten das machen wir nicht also wenn man intuitiv klar und 2. Hauptteil sie müssen zeigen diese ist der auskommt ist unabhängig von der Wahl der Folge 11 n das hätt ich mir eine sparen können wenn ich gesagt hätte ich nehm einfach dieses Fn denn das eindeutig gewesen fertig aber wieder die ganzen Beweise später werden schwieriger geworden das heißt aber nicht dass ich eine freie Wahl der Folge hat den später nächste Vorlesestunde die Weise deutlich einfacher aber was wir in dieser Vorlesung nicht machen werde ich werde nicht an diesen Schritt 2 zeigen wo definiert ich möchte zeigen eine gewisse Monotonie Eigenschaft dass es noch relativ einfach da wir die entsprechenden Hilfsmittel auch im nächsten vorlesen nicht haben aber was wirklich aufwendig wäre ja zu zeigen der Grenzwerte herauskommt ist unabhängig von der Wahl der Funktionen Folge 11 n die nicht negativ einfach ist und die das Druck von unten approximiert von unten gegen F konvergiert das eine Vorstufe zum Satz von der monotonen Konvergenz den ich in der Vorlesung nicht behandelt kriegen Sie mal in der in der Integrationstheorie da wären Sie so was vormachen wenn ich an ok Fragen so weit keine fragen dann würde ich wischen wir machen dann um 10 Uhr 50 weiter ok also das was Bemerkung versickert gesagt hat man kann zeigen der Grenzwert um existierten hängt nicht von der Wahl der findet er F ab man kann zeigen Grenzwert um existiert und hängt nicht von Wahl von 11 n mit 1. konjugiert und gegen ab und damit ist auch der Schritt 2
wohldefiniert den entsprechende Beweis will ich hier aber nicht für mich so sogar eine Zeitstunde kosten bis zu machen oder eine Vorlesestunde ,komma sagen wir ungefähr versteht 2 brauchen wir sauber völlig macht ,komma nach zum abschließenden Schritt 3 an neben Dean messbare Funktion f in Omega nachher auch negative Werte zu zerlegen definieren positiv und negativ Thailand als im Tal der Größe gleich 0 es mentale kleiner als 0 ist den Teil der kleiner als 0 ist ziehen mit minus 1 102 nicht negativ messbare Funktionen von beiden bilden Integral und definieren dann das Integral von 11 als Differenz der beiden Integrale also Schritt 3 neben die messbare Funktionäre von ohne Gaia auch negative Werte an Butter legen wir 11 gemäß es ist leider Fluss -minus 11 -minus mit er flüstert ohne Gas das Maximum von 11 von Omega und 0 es -minus als sehr negativ Teil aber den positiven Vorzeichen das heißt ich macht das Maximum von -minus er von Omega und 0 in 2 nicht negative messbare Funktionen der messbar sag ich nur gleich noch was Funktionen ab und im Falle Integrale wonniger Einfluss im viel kleineren endlich oder echten entsprechen Integral über -minus den Müll kleine endlich setzen die integrale Omega 11 Mühe =ist gleich gerade ohne Geist plus das Integral und egal ist -minus und dem Fall Integral Integral Wahlurne frisst klar endlich oder Integral und ist -minus mittlerweile endlich setzen wir es Österreich Integral OneDrive wüsste man das Integral und egal ist -minus die Schreibweisen dafür sind die Schreib morbider es ich lass unter Umständen einfach das Omega weg in die gerade erst die Mühe ich schreib unter Umständen Integrale gar es und Omega müde Omega und auch bei der Schreibweise lass ich essen will des den Integrationsbereich Omega weg ok vielleicht noch ein kleines Bild zum Verständnis mal sehen wir hier rein bei uns nicht mit mal wenn ich jetzt hier drin E-Plus-Netz -minus einmal Müll also es dann hätt ich gern 11. und ich hätte gern F -minus wie sieht es dann aus kann mir jemand sagen was der Fluss wäre also Zeit von 11 der über der x-Achse liegt und damals unter der x-Achse wird einfach und fanden das richtig sei sich mal den Teil von 11. über der x-Achse liegt dort an dabei ist und da ist es einfach mit 0 fort des weltgrößten ok wie sie der -minus aus bei der Funktion da wo es größer 0 ist Konstante 0 richtig also Wahl 0 daraus kleiner 0 es er gespiegelt an der x-Achse das heißt ich nehme einfach -minus den Funktionswert und ich muss es also ohne spielen können der kann es nicht spielen man irgendwie so ungefähr so genau gespielt sein werden sie auf minus dann sehen Sie da haben Sie 2 nicht negative Funktion die integrieren sie getrennt und dann das ein Integral ziehen sie Positives an den sie gerne geht damit beim klassischen 12 welchen gleichen mit der x-Achse wollen sie sich zwischen Funktion x-Achse und sah genauso machen der Teil der unter hat nur das wollen sie negativ zählen das heißt ich kann in 3 Spielen im positiven Flächenland ausrechnen und dann noch mit -minus 1 multipliziert das gleich ok 1. Bemerkung 2. Bemerkung darum habe ich geschrieben wird der legen es in 2 nicht negativ messbare Funktionen das die Funktion nicht mehr das sind die es sind klar und sich auch klar machen dass sie messbar sind nun dafür mache man sich klar machen die sich etwas von Omega können sie 1. Verkettung von Funktionen schreiben sie nehmen wir den 1. Funktion die Omega auf 1. Norweger abbildet und dann bilden nehmen sie die Funktion die ein Uhr auf das Maximum von ,komma 0 abbildet er wenn 2 Funktionen messbar sind sehen Sie eigentlich sofort ist auch ihre Verkettung messbar Frage wäre noch warum ist dieses Funktion die das Maximum die auf Maximum von ,komma 0 abbildet wäre messbar das in sie war aber so diese Funktion ist sicherlich der stetig sie sehen sogar lieblich Tätigkeit sofort weil sie stetig und alle stetigen Funktion sind messbar eine der
Grundlage aus der Integrationstheorie die sie an der Stelle der Furcht dann sehen Sie das als Verkettung von des Warnfunktion messbar analog argumentieren sie ok und der und ich hatte mehrere Schreibweisen alle Staaten Integral Omega 11 die Mühen und Umstände lass ich das Omega weg und dem die Schreibweisen abzukürzen und wenns aus Argument ankommt weil die Funktion vielleicht mehr Argumente hat schreib ich eher von Omega Mühle die Omega was unter Umständen genauso das große Omega ok Fragen so weit keine Fragen ,komma den eigentlichen Wahrscheinlichkeit vom definiert den Erwartungswert definieren wir haben Wahrscheinlichkeit Raum und der Zufallsvariable der Wahrscheinlichkeit Raum 1. beiden Kommunen des Misstrauen den Namen noch in maßlosen sogar Wahrscheinlichkeit Maß wir haben messbar Abbildungen nämlich X Omega nach er mit definieren dann einfach EX als Integral über x DP die Definition 5 21 der Wahrscheinlichkeit Raum ohne Garantie wir haben X und Omega nach 1. erlitt Zufallsvariablen dann reißt EX definiert als integrale Omega XDP unter Integral XDP dieses Integral existiert sofern existent Erwartungswert von X was mein ich hiermit sofern existent man kann es in die gar nicht existieren ja es definiert als Differenz von 2 der 3 Flüssen der mir und wenn beide unendlich sind ist nicht definiert was ich habe das daher nur gemacht im Falle das das Erste Kleidung ländliches ohne das 2. kleine endlich das heißt es kann sein der Erwartungswert existiert nicht wenn das Integral über x +plus d P gleichen Endliches und Integral über x -minus Mitglied werden ok ich ja das ganze motiviert mit dem Beispiel 5 15 Daten Medizin perfekten schützen 10 enden für die Schützen haben unbeeinflusst sondern eine Ente ausgesuchten auf die geschossen und ihn auch getroffen und die Frage war wie viel Enten überleben und deren schon gesehen es die überleben zwischen 0 und 9 n also im Beispiel 5 15 gilt für die Zahl X der überlegenen enden dieses Text Norweger Na ja wenn Sie überlegen X in der nur die Werte 0 1 bis 9 an das heißt wir eine Funktion dienen nur endlich viele verschiedene positive Werte nicht mehr die Werte an aber das ist nicht negativ einfach Funktion ich kann schreiben als nicht negative einfache Funktion dem ist einfach schreibst du mir paar gleich 0 bis 9 März Cavalier Indikatorfunktion das angenommen wird und weil ich X obiger Schreibtisch Reichweite Indikatorfunktion ist nicht die gleiche Variable im Omega quer das heißt ich habe diese Darstellung dann sehen wir ja nix ist nicht negativ einfache viele Zufallsvariablen und daraus folgt nicht wie WX angucke was mich interessiert den Erwartungswert damals nach Definition des Integrale und das jetzt unmittelbar hinschreiben kann mir jemand von Ihnen sagen dass das rauskommt als Erwartungswert als Formel also wie kann ich dieses Integral jetzt also sprechende zum beschreiben was muss ich jetzt hier machen also haben wir einfache Zufallsvariablen sie haben gleich sehen als er 1 für 0 also 2 oder 1 und so weiter und die Menge A 1 haben Sie hier Wellenlänge mit K gleich 0 hat 2 werden nämlich gar gleich 1 und so weiter was ist dann das Integral nach Definition Vorschläge also brauche die Definition des Integrals für nicht negativ einfahren Immigranten und beginnen zum Mittag leicht 0 bis 9 Kamal el man also Maß von der Menge die bei beide die Funktion mit dem Index steht oder bei der in Garstedt will aber hier nicht wir nehmen die das heißt sie neben die auftretenden Funktionswerte waren gewichtetes Mittel die Mittel sind die er Maß werde von den Mengen muss angenommen werden das heißt wir kommen auf wäre Summe war gleich 0 bis 9 Karmal Wahrscheinlichkeit von der Menge aller damit erklärt aus Omega Excel Uredat gleich K ok also unmittelbar nach der Definition zwar Definition Schritt 1
ich kann kurzer schreiben dass wir einfach wäre aber die Wahrscheinlichkeit dass X denn wir tragen und von Karl gleich 0 bis 9 aufsummiert also sie bilden ein gewichtetes Mittel der auftretenden Werte die beim Zufallsexperiment auskommen die Gewichte sind die Wahrscheinlichkeiten die wäre vorlegen also allseitig unmittelbar plausible Formen wir merken darf zu diese Definition von Erwartungswert als Mittelwert ist plausibel denn diese Definition von EX als Mittelwert ist plausibel und das können Sie aber das eine Definition als Mittelwert können Sie wie folgt herleiten indem man davon an an der die Diener davon aus wir haben von dem Zufallsexperiment unbeeinflusst sondern Werte erzeugt n Werte kleines 1 bis =ist gleich Csendes das heißt das Zufallsexperiment immer wieder durchführen lassen die Schützen schießen lassen und die überlegene enden gezählt und das nächste Mal gemacht und so weiter alles sind X 1 bis Xn werde von x bei ehemalige unbeeinflusst Wiederholung des Zufalls Experiments 10 X 1 bis Xn Werte von Exper ehemaliger unbeeinflusste Wiederholung des Zufallsexperiment zur gilt wenn ich mir einfach das Mittel dieser Werte ankurbeln alles arithmetische Mittel dieser Werte angucken und für die große Anzahl an Wiederholungen würd ich sagen ok das plausibel Näherung für meine Mittelwert Erwartungswert dieses aramäische Mitteln gar nicht umschreiben ich war das 1. Mal diese Summe um ich hab n Zahlen die ich auf aufaddieren die Zahlen nehmen jeweils einen der Werte von k gleich 0 bis 9 an anstelle diese Zahlen 10 aufzuaddieren zähle zunächst von jeder einzelnen dieser Zahlen K K gleich 0 gleich 1 gar gleich 2 und so weiter wie oft kommt sie vor und multiplizieren der Anteil und deren Anzahl mit dem Wert das heißt ich bilde hier Zunge war gleich 0 bis 9 mal Anzahl der 1 kleiner die klare gleich Envoy XD gleich klar ist anders ausgedrückt ich bin Ordner des oder ich er ich ändere die Reihenfolge der Summation ab ich agiere erst alle Nullen auf die ich alle einst auf dem die ich alle 2. auf alle 3 und so weiter bis alle neuen und wenn ich alle ein zum Beispiel auf addiere dann mach ich es so ich zähle diese 3 gibt es immer Bildern dreimal diese Anzahl und der eigentliche und nicht von ihrer Formations Reihenfolge abändern ist =ist gleich ich bin Formations abhängiges =ist gleich ok wenn sich den Faktor 1 durch Innereien wenn ,komma mal diese Anzahl geteilt ich einen und dann wird sich aus diese relative Häufigkeit die hier steht steht ja für ihn gegen endlich gegen die entsprechende Wahrscheinlichkeit Pio das Gesetz der großen Zahlen das heißt das Ding ist für ein groß ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit und damit sehen Sie diese ganze so dasteht ist ungefähr gleich zu Mittag gleich 0 bis 9 K mal die Wahrscheinlichkeit dass Sixt gleich klar ist für ein großes ok Fragen so weit ja damit aber die Formel von Erwartungswert jetzt müssen nur noch ausrechnen sie sehen aber sofort was jetzt ausreichen müssen ist die Wahrscheinlichkeit wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das 0 1 überleben wie groß die Wahrscheinlichkeit dass eine Ente überlebt und so weiter bis sie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass 9 Enten überleben als Beispiel wie groß die Wahrscheinlichkeit dass 3 jeden überleben dann müssen wir überlegen wie groß die Wahrscheinlichkeit dass die 10 schützen wenn sich unbeeinflusst fördernder entscheiden genau auf 7 verschiedene enden sie und ich Mehr und das Problem ist eben diese Wahrscheinlichkeiten ziemlich offensichtlich so man kombinatorische Problem sieht nicht schön aus also blähen in Beispiel 5 15 die Wahrscheinlichkeiten sind schwierig bestimmbar die Wahrscheinlichkeit dass ich's gleich klar ist es schwierig bestimmbar Ausweg dafür wird sein dass wir diese Zufallsvariable die uns interessiert als eines zu viel von Zufallsvariablen darstellen endlich Summen von jedem einzeln Summanden elementare die Wahrscheinlichkeiten dann ausrechnen können und was sie werden einfach auf addieren die Anzahl der überlebende enden sie erklären einfach eine 1 auf als die Ente überlebt und 0 falls die NTI nicht überlebt und und das auch für die gleich 1 bis 10 wie kommen Sie auf die Anzahl überlegen enden dann zeigen wir allgemein Erwartungswert von der Summe ist die Summe der Erwartungswerte wird Inhalt Hauptinhalt der nächsten Vorlesung seien entsprechende Satz wird auf Einsatz für vermaßen sie gerade zurück zurückzuführen sein und dann reichen sie einst
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