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Einführung in die Stochastik: Beispiele (Fortsetzung)

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ich die KEF ja
ich begrüße Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung nein für mich das nicht wird sie wird die Unterhaltung einzustellen danke schön wir waren stehen geblieben bei Behandlung dreier Beispiele 2. Beispiel was Beispiel 4 9 ich habe ihm erzählt es gab von Oktober 50 bis Dezember 2000 7 4 Tausend 599 lautet ziert Beziehungen in diesen 4 Tausend 599 Lottoziehungen wurde naturgemäß eine Zahl am häufigsten gezogen und zwar die Zahl 38 nämlich 6 Uhr 14 Mal wenn man 4 Tausend 599 mal 6 Zahlen sieht und die gleichmäßig verteilt auf die 49 erhält man ungefähr 563 das heißt die 6 und 14 sind und die größer als die 563 und die Frage vom Dienst in Beispiel 4 9 geht ist das so viel wo dass man daraus schließen kann dass der Mutter aber war defekt ist oder ist dieser Effekt reiner Zufall die Grundidee in der Statistik der Beantwortung dieser Frage ist ein dreistufiges Vorgehen 1. wir machen die Annahme dass die 6 Zahlen rein zufällig gezogen werden das heißt jede Zahlenkombinationen die gleiche Wahrscheinlichkeit dann 2. wir berechnen unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit das dann eine 1. Tag beobachtet wird das so stark gegen diese Annahme spricht wie das tatsächlich beobachtete und 3. weiß die Wahrscheinlichkeit den 2. klein ist historisch macht meistens zu vergleichen mit 5 Prozent also zum Beispiel kleine gleich als 5 Prozent dann verwirft man die Annahme in 1. andernfalls nicht ich möchte vielleicht noch ein Beispiel für die Schlussweisen an Zusammenhang angeben ich bin vor Jahren mal von Stuttgart nach gewonnen gefahren wollen das ist Belgien ne nette kleine oder größere Universität die vor Jahren neugegründet wurde mitten auf der Wiese es ist eine richtige kleine Stadt wo nur junge Menschen wohnen das heißt oder durchläuft sie hat er nicht alles Geschäfte Restaurants Cafés aber und zieht überhaupt keine älteren Menschen zwar nur junge Menschen wollte recht futuristisch und er wissen sind dann damals von unsrer Stuttgarter Gruppe aus mit mehreren Personen gefahren und ich hatte mir den Vorteil überlegt machende gemeinsame Reservierung wenn eine gemeinsame Reservierung machen und eine gemeinsame Fahrkarte kaufen dann Zeit eben eine die Fahrkarte um einen der andere nicht mitkommt dann hat uns Probleme den Stornokosten regte die zurück deswegen aber gesagt nein wir wäre wir kaufen die Fahrkarten separat das war dann ein großer ICE wo Sie mitgefahren sind ich weiß nicht 200 Leute passen da vielleicht rein und erstaunlicherweise also werden separat gebucht erstaunlicherweise hatte ich und ein Kollege von mir dann Sitzplätze nebenan auch von zunächst von Stuttgart nach Köln und oder Aachen Dance umgestiegen in den nächsten Zug und erstaunlicherweise nächsten Zug hatten wir wieder Sitzplätze neben danach dann können sie erschließen ja wie macht die Bahn ihre Reservierungen ja einerseits können Sie sagen die zu Sitzplätze werden wohl rein zufällig zugeteilt dann würden sie aber so etwas eigentlich so gut wie nie beobachten das ich so etwas aber jetzt beobachtet haben könnten Sie daraus schließen vermutlich macht die Bahn das nicht rein zufällig was für ein Beispiel für diese Weise und diese Art von Schlussweise möcht ich jetzt in dem Beispiel hier an den ok ich mach meist nicht wieder an ich versuche das Licht anzumachen ich mag erfolgreich das Licht wieder an ich weiß nicht immer ich einfach unverbesserlich gesehen
haben wird sich überhaupt sein Plan vorstellte er wollte man es dann ich auf der Toilette der das so ähnlich ja ich wollt dann noch vor einer Woche wollte schon Umfrage und aus zur Vorlesung wird immer vergessen ich glaube es war vergesse nicht das heißt geben Sie das nur so ein bisschen durch in irgendwelchen zufälligen man man hier aber sie nehmen sich jemals einen der sie gänzlich und Coach reichen sie wieder komplett wieder so war das nicht geplant ok dann mach ich mit dem eigentlichen auf wir weiter wir kommen dann zu Bestimmung der Wahrscheinlichkeit dass bei allen gleich 4 Tausend 599 Ziehungen die 38 mindestens 6 Uhr 14 Mal gezogen wird
sich also im Folgenden Bestimmung der Wahrscheinlichkeit dass bei allen gleich 4 Tausend 599 Ziehungen die 38 mindestens 6 Uhr 14 Mal gezogen wird also Bestimmung der Wahrscheinlichkeit dass bei allen gleich 4 Tausend 599 Ziehungen die 38 mindestens 6 Uhr 14 Mal gezogen wird dazu machen wir folgende Ansatz diese Wahrscheinlichkeit dass bei den N Ziehungen also ich wenn ist diese 4 Tausend 5 90 38 mindestens 600 14 Mal gezogen wird also Schalter für P und dann schadet es in eckigen Klammern weil ich die Bedienung im Klartext angeben die von eckigen Klammern bei Entziehung in 38 mindestens 6 14 Mal diese Wahrscheinlichkeit möchte ich bestimmen dahinter steckt die Vorstellung ich hab ein Zufallsexperiment bei den ich eben unter Einfluss n mal 4 Tausend 599 mal die Lottozahlen Ziel und dann als Ergebnis Betrag meines Zufallsexperiment des betrachte ich die Anzahl Ziehungen wo die 38 auftritt also ohne Zahl zwischen 0 und 1 bis n also und einer Zahlen 0 1 bis n und mich interessiert jetzt die Wahrscheinlichkeit dass diese Zahl größer gleich 614 ist also entweder 14 6. 15 6. 16 oder und so weiter bis zu diesen 4 Tausend 599 und analog zur letzten Vorlesung setzt sich diese Wahrscheinlichkeit einfach als Summe aller Wahrscheinlichkeiten an dass die Zahl genau 38 genau Kammann auftritt wobei klar jetzt eben läuft und 6. 14 bis zu Ende das heißt ich setze das daher
analog zu 4 1 Schreiber vergleiche 4 1 unter an als 1 Summe K gleich 6. 14. n bin von der Wahrscheinlichkeit dass bei Entziehung die 38 genau kam mal auftritt und dann sehen Sie wenn ich das so mache dann muss ich eben hab ich das Problem jetzt reduziert ich muss statt einer Wahrscheinlichkeit viele berechnen mich n -minus 614 +plus 1 viele das des 38 eben genau Karmal Auftritt Kanal von 6. bis in und die bestimmen wir jetzt alle das heißt wir bestimmen Sie im Allgemeinen für dazwischen wäre 6 Uhr 14 n und wenn mir und sie dann auf sind fertig haben die Wahrscheinlichkeit ok Fragen so weit ja dann fangen wir an elementarer Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen dazu als 1. überlege ich mir wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die 38 bei einer einzigen Ziehung auftritt je also I Wahrscheinlichkeit dass die 38 bei einer Ziehung gezogen wird das kurze Wahrscheinlichkeiten wieder mit W K .punkt auf die Wahrscheinlichkeit dass die 38 bei einer einzigen Ziehung auftritt an am Vorschlag dazu also entweder Lösung oder wir noch besser rechnen mit dazu sie betrachten eine einzige Lottoziehung 17 6 Zahlen aus 49 wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass eine feste Zahl zum Beispiel die 38 dabei auftreten wir nehmen an dass es so billig ist also ein 49. er das wäre richtig wenn Sie eine einzige Ziehung wenn sie eine einzige Zahl bei der LRH Ziehung der Lottozahlen ziehen aber sie ziehen ja 6 Zahlen bei der Ziehung der Lottozahlen deswegen ist die Wahrscheinlichkeit vielleicht ein bisschen größer okay jetzt also die machen eine einzige Ziehung wo sie 6 Zahlen ziehen aus diesem 49 wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass sie die 38 bekommen bitte 48 über 5 durch 49 über Sex wie kommen Sie darauf Formel 1 vom aus Schule wäre ja gut die Formen haben Sie im Prinzip auch schon hier gehabt oder zur n über k aber man sie 14 wir machen die Anzahl der Möglichkeiten die uns interessieren die schweife mit Anzahl günstiger fehle durch die Anzahl der möglichen Fälle und dahinter steckt einiges Dmitry Überlegung jeder der einzelnen möglichen Fälle also jeder einzelnen der 49 über 6 möglichen Fälle tritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus wenn die Förderung also 2 unsere Grundannahme dass die Leute Maschine richtig
funktioniert denn die Anzahl der günstigen Fälle und dann gucken wir uns an wie viel Fälle gibt es will wo die 38 auftritt jede dieser einzeln hat diese Wahrscheinlichkeit 1 durch die Anzahl der möglichen Fälle das heißt die gesamt Wahrscheinlichkeit ist dann die Summe der einst Wahrscheinlichkeiten dass wir die Anzahl der günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle ich schreib mal die Anzahl einfach abgekürzt mit Kreuzchen 2 günstige Fälle und die Begründung dafür dass ich das machen kann der Ebene Symmetrie also aus Dmitry ist jeder einzelne 6. Kombination gleich wahrscheinlich und dann betrachten wir hier Ziehen von 6 Zahlen aus 49 Zahlen uns war machen wir es wie beim Lotto eben ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge ziehen von 6 aus 49 Zahlen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge an und dann ist klar die Anzahl der möglichen Fälle wie sie haben wenn sie 6 aus 49 Zahlen ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge das war diese Formel aus der Kombinatorik n über k n ist die einzahlen der zahlen Sie haben mir neuen 40 K ist die Anzahl der Zahlen die ziehen also ,komma 49 über 6 raus und jetzt noch die Frage sie haben schon gesagt was rauskommt für die Anzahl der günstigen Fälle der Vorschlag war 48 über 5 wie kommt man auf 48 über 5 war ok ich hab die 38 schon als feste Zahl als die 38 ist fest der muss sich nur die verbleibenden also eine Zahl schon fest da muss ich noch 5 weitere Zahlen ziehen und für die 5 weiteren zahlen sich eben jetzt nicht mehr aus 49 Zahlen sondern auch aus 48 zahlen das heißt ich kann auch so begründen ich macht das Ganze hier ohne Beachtung der Reihenfolge wenn ohne Beachtung der Reihenfolge macht kann ich sagen ich mach als ich geh davon aus als 1. steht die Zahl 38 dafür hab ich nur eine Möglichkeit also 1. Zahl 38 und dann hab ich noch 5 weitere Zahlen aus nur aus 48 hab ich 48 nur 5 Möglichkeiten also die 1. Zahl ist die 38 und da sie hier noch 5 weitere Zahlen vor aus 48 zahlen und dann müssen Sie das ebenfalls ausrechnen dass gibt den 48 Fakultät durch 43 Fakultät mal sind gratuliert Zähler und 49 Fakultät durch Texten Fax 14 Fakultät als 6 Fakultät und dann sehen Sie dann können Sie der nein die 46 Fakultät war falscher 49 -minus 6 Fakultät ist ist auch 43 Fakultät dann sehen Sie können die 43 Fabelwelt komplett auskotzen sie können die 48 geht gegen 49 vorgelegt kürzen gibt ein 49. und Sie können diesen Faktor 1 durch Filmfakultät gegen 1 6. Fakultät kürzen gibt 6 gibt 6 insgesamt das heißt sie kommen hier auf 6 9. 40. und mir geht der Platz aus das ist bitter aber ich machs auf der anderen Seite also hier kommt dann 6 49.
raus und diese 6 49. kürzlich im Folgenden dpa also nicht klein T fragen so weit fragen ja sie haben keine Frage dann hab ich ne Frage wenn man sich mal überlegen ich hab mir gerade eben einziehen ohne Beachtung der Reihenfolge gemacht er dich an der Stelle auch und sich zwar ein Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gemacht wenn ich das auch anders machen können er Stadt ohne Zurücklegen auch mit zurücklegen können ehrlich ohne Beachtung Stadt ohne Beachtung der Reihenfolge auch mit Beachtung der Reihenfolge nehmen können was würden Sie sagen also 1. Antwort ob man die Reihenfolge beachten so nicht sollte keine Rolle spielen wenn ich kann es genauso gut mit der Achtung der Reihenfolge machen das ist richtig und was sieht da oben bei und wenn mit Beachtung der Reihenfolge machen würde hätt ich eben für beides mal 6 Fakultät zu viele Möglichkeiten weil ich die 6 möglichen Zahl im Zähler und im Nenner auf alle möglich K A 6 Fakultät möglichen Arten weisen einordnen könnte und dieser Faktor 6 Fakultät wird sich Intel und deren auskotzen das ok wie sieht ohne Zurücklegen aus kann es auch mit zurücklegen machen ok also die 1. Antwort war nein da stehe ich voll zu dann die Begründung war wenn sie irgendwo zweimal die 38 ziehen dann das Sorgen waren das weniger geben beziehungsweise ich würd sei nicht oder ich weiß ich hab ich vielleicht nicht ganz akustisch richtig verstanden ich war nicht so formulieren wenn Sie irgendwo zweimal die 38 in ihrem Apparat aus ,komma Abende bei nicht kommen das gründlich schief wird also dieses Team der lautet sie anziehen ohne zurücklegen also ohne Zurücklegen sehr festgelegt wird das ist klar sie könne zwar die gleiche Zahl ziehen also dann wissen sicher überlegen ob der Rat und die defekt ist oder nicht mehr also ok 1. Wahrscheinlichkeit jetzt noch ein bisschen fortgeschritten als 2. interessiert mich jetzt einig die Wahrscheinlichkeit oben steht wenn ich die Wahrscheinlichkeit dass die 38 bei allen gleich 4 Tausend 599 aufeinanderfolgenden Ziehungen genau kamen auftritt die Wahrscheinlichkeit dass die 38 bei in aufeinanderfolgenden Ziehungen für genau ok auftritt unter im Prinzip wir machen sie gerade eben wir überlegen uns was die möglichen Fehler lassen sich günstige Fälle in die Differenz also wieder so wird wie Überlegung werden den Konzern Anzahl der günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle ja es fangen munter an wir machen wieder einziehen von ja so so viel zahlen und zahlen mit oder ohne zurücklegen oder mit und ohne Bart der Reihenfolge also wir überlegen was wir machen Ziehen von das können sich überlegen dabei die Frage nach wir mit ohne zurücklegen mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge ja ja wird können wir aus
vorschlagen wie wir sagen würden wir sie für Sie sie wurden 6 mal n aus 49 mal einen Zahn ziehen ja wäre sie müssen sich ja überlegen wenn wir diese Formel hier anwenden sollen dann sollen alle möglichen Fälle gleich wahrscheinlich sein und ist das bei Ihnen also den Bericht aber die günstigen verloren die ablesen kann also 14 bisschen detaillierter machen mit Show suchen die Ziehung möglichst genau zu beschreiben also wollen der gerade n aufeinanderfolgen Beziehungen beschreiben und wie schreiben Sie in aufeinanderfolgenden Ziehungen mit n aufeinanderfolgende Lottoziehung ja gut Sie haben vorgeschlagen durch die Ergebnisse sie haben mal 6 zahllose einmal 49 zahlen mehrere sowie an dem bei einer einzigen Ziehung da haben Sie 49 Möglichkeiten aber es ist dass man sie einmal den sie aber einzigen Ziehungen nicht viel mehr Möglichkeiten also andere Vorschläge wenn sich mal überlegen gerade eben da hatten wir bei einer einzigen Ziehung hatten wir 49 über Sex mögliche Fälle wie für mögliche Fehler haben wir dann bei allen Ziehungen oder wollen sich Verkehrslawine mögliche Fehler haben Sie dann bei 2 Ziehungen 49 über 6. Quadrat das heißt bei Entziehung haben sie 49 über 6 hoch n also die Anzahl multiplizieren sich miteinander also ja wir haben 4 49 über 6 Uhr n beziehungsweise
ich muss anders sagen wäre also beziehen ja eben mal müsse so entscheiden wird sie allen mal aus 49 nur 6 zahlen als ein einziges Mal 7 aus 49 wir 6 aber das machen die in sondern auch weil sie es 49 über 6 über
in der schon die mögliche Zahl für die Anzahl der möglichen Fälle kommen aber gleich dazu also wird sie einmal aus 49 über Sex zahlen jetzt machen wir's nicht zurücklegen oder ohne zurücklegen sie machen's mit zurücklegen bauen war das eben ohne gemacht haben ok Begründung ist nicht wirklich überzeugend Vorschlag jetzt wird sie immer wieder aus dem gleichen 49 zahlen das heißt nachdem wir 6 gezogen haben wenn wir zurück das heißt diese 49 0 6 möglichen Kombinationen der kann natürlich auch in der einen Woche das gleiche Auftreten in den nächsten Wochen alles kann dann eine in Woche =ist gleich auftreten deswegen ist ganz klar sie ein mit zurücklegen ja und jetzt 2.
Frage machen Sie's mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Beachtung der Reihenfolge der wobei die Faustregel wird mit Beachtung weil das Fohlen ohne Beachtung gemacht haben aber wir machen's ohne Beachtung der Reihenfolge weil ins egal ist wenn die 38 auftritt und wollen können es ohne Beachtung und mit 8 in der Reihenfolge machen es wäre die Frage können wir es jetzt auch ohne Beachtung nicht ohne Beachtung der Reihenfolge machen und das können Sie diesmal leider nicht im Untergrund ist schwer zu sehen der Grund liegt da aber darin wenn die 38 vorkommt dafür gibt 48 über 5 mögliche Ziehungen wenn die 38 nicht vorkommt da gibt es 49 über 6 -minus 38 nur 5 mögliche Ziehung das ist eine andere Zahl also je nachdem es gibt verschieden viele Ziehungen wo sie und wo sie nicht vorkommt je deswegen also wenn Sie sagen ohne Beachtung der Reihenfolge werden Sie das Problem haben dass die einzelnen elementarer Ereignisse für Unterschied also das ist jetzt schwer zu sehen dass die einzeln elementarer Ereignisse für unterschiedlich viele Beziehungen stehen und deswegen nicht mehr können Sie nicht mit 7 Metrik und argumentieren dass das die gleiche Wahrscheinlichkeit hat das heißt wir müssen an der Stelle mit Schweigen und da spielt wirklich eine Rolle normalerweise können sich merken wer wenn sie wenn es ohne Beachtung der Reihenfolge geht geht es auch immer mit Beachtung der Reihenfolge aber wenn es mit Beachtung der Reihenfolge geht muss es nicht immer auch ohne Beachtung der Reihenfolge gehen und wenn sie es wenn sie auf 8. ob sie ohne Beachtung der Reihenfolge machen können müssen sich überlegen sind die einzelnen elementare Ereignisse die einzelnen möglichen Fälle noch gleich wahrscheinlich ja oder nein und wenn sie hier ohne Schreiben sind sie nicht mehr gleich wahrscheinlich ok das war schwierige
Teil dann 7 n Zahlen aus 49 nur 6 Zahlen mit zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge 1. Frage also einfache Frage wäre wie für Möglichkeiten gibt es dafür Vorschläge welche Möglichkeiten gibt es ja sie können sich auch überlegen welche Möglichkeiten gibt es gar Zahlen aus Enns anzuziehen mit zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge das war die einfachste Formel die Daten beim 9. Cyber-Sex so n was die Anzahl der Zahlen der Anzahl der zahlen die sie ziehen also er aber 49 über Sex oder in und jetzt müssen wir müssen arbeiten wir jetzt wo man die günstigen fehle und wie machen wir das während machen zu er machen sei nicht mit Beachtung der Reihenfolge aber ich könnte die Reformen leichter hinschreiben ohne Beachtung der Reihenfolge das heißt ich mache meine spezieller Reihenfolge von mein Ziehungen ich geh davon aus ich habe erst alle Ziehungen wo die 38 gezogen wird das sind sind K Stück also kann man hab ich diese Ziehung Modi 38 gezogen wird die für die Anzahl der Möglichkeiten der zieht der Ziehung wurde 38 auftaucht hab ich das es 48 über 5 welches Karmann hat dann hab ich 8. 40 Uhr 5 ok wissen Beziehungen mit 48 mit 38 danach ist die Ziehungen ohne 38 da hab ich noch n -minus K viele davon gibt es 49 über 6 -minus 48 über 5 jeweils hoch ne ist klar und dann überlege ich mir diese Calcium Ziehungen wo die 38 auftaucht die müssen ja jetzt nicht ganz zu Beginn stehen die können und wo in dieser Sequenz der in aufeinanderfolgenden Ziehungen stehen das heißt ich kann den und wo anordnen und ich überlegte mir wie für solche Anordnung gibt es die Anordnung ist eindeutig bestimmt wenn ich die Positionen festgelegt hat vom eine Ziehungen auftauchen wo die 38 vorkommt dafür kann ich muss sich klar von den Position auswählen und zwar ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge ich kann jede Position noch einmal auswählen und die Reihenfolge spielt keine Rolle und komm ich ja noch offen sagte n über k das heißt der das 1. ist die Anzahl der möglichen Ziehungen wo die der K möglichen Ziehungen wo die 38 auftaucht dann die Anzahl der in -minus K möglichen Ziehung wo die 38 nicht auftaucht und dann die Ehre Anordnung der Reihenfolge der Ziehungen ich kann es leider nicht vorschreiben Chef zu wenig Platz ok und damit
haben das fragen müsste der Stelle fragen gut ,komma das nun bisschen um ich lasse das n über k stehen dann freilich dieses 49 über 6 hoch n im Nenner heilig auf ihn ein Faktor 49 über 6 hoch K malen Faktor 49 über 6 N -minus K und die beiden Faktoren durch mit dem 1. Faktor im Zähler verknüpfen und den 2. Faktor im Zähler das heißt ich Teil den 1. dieses 48 über 5 hoch gar durch 49 über 6 Hochkar und nicht Teil des 2. hier durch 49 über 6 Wochendende K dann kann ich es beim 1. Besuch gar ausklammern und da steht noch 48 über 5 durch 49 über 6 der 48 er gut ich schreib sehen dann sehen Sie es vielleicht besser 48 über 5 durch 49 über Sex und dann heißt es 2. durch auch durch 49 über Sex und ich kotz gleich wieder 49 über 6. 1. Jahren es gibt dann 1 -minus 48 über 5 durch 49 über Sex Buch -minus klar und wenn sich überlegen was haben im 1. Fall ausgerechnet da haben wir gesagt dieses 48 über 5 durch 49 über Sex es waren die 6 49. sah mein dann komme ich hier auf das dann komme ich auf n über k mmert Yoga mal 1 -minus to n -minus gar mit P gleich 6 49. ok Fragen so weit wie komme ich auf der 6. 9. 40. Fragen sind wohl nicht das Ohr einer entfernt hab ich hab dieses wenn wir die Zahl mal ich hab dieses auch in umgeschrieben als Hochkar mal a hoch n -minus K also ich schreib hier das als 49 über 6 hoch 49 über 6 un -minus K oder ich mach's einfach es ist ich schreib das sie um als 49 vor 6 Uhr kamen 49 nur 6 Rennen ist und dann falls ich das hier zusammen die beiden und nicht was die beiden zusammen und dann kann ich von Exponenten ausklammern ich habe nach dem 48 5 durch 49 über 6 Hochkar und ja ich genau sind Exponenten ausgeklammert und das n über k bestehen lassen ok sonst noch Fragen ok damit erreicht hat ich ne weit hab ich alles um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen daraus folgt diese Wahrscheinlichkeit da kommen Sie jetzt auf die Summe von K gleich 6 und 14. n und da müssen Sie doch diese einst Wahrscheinlichkeiten aufaddieren NOK Mateo Karlheinz -minus PON klar und dann setzen sie alles ein also NS 4 Tausend 599 P ist 6 49. und haben Probleme und wie bekommen sie von der Summe von klar gleich 614 bis er 4 Tausend 599 je über diese Marken sind 4 Tausend 599 über Kar mal 6 49. Mittwoch gar mal 1 -minus 6 49. hoch 4 Tausend 599 -minus gar wenn sie damit ihren Taschenrechner anfangen können Sie gleich aufhören will das machen sie natürlich die am Rechner mit Augen Statistikprogramm wo solche Sachen vor implementiert sind und recht leicht berechnet werden kann dass heißt machen sie ungern Rechnung und wenn das ausrechnen kommen sie auf lassen Sie mich noch recht nachgucken sie kommen auf 0 Komma 0 1 und 0 Komma 0 1 ja was würden Sie sagen was jetzt als Ergebnis wo worden war also sind und unser vorgegebenen Fehlerwahrscheinlichkeit von 5 2. oder wieder Toleranz und 5 Prozent das heißt was wir beobachtet haben es extrem unwahrscheinlich das heißt wir können und wir sagen ja die Maschine ist ein ich kaputt das wäre nun geschehen und es übliche statistische Rückschluss es ist aber ein Denkfehler an der Stelle nämlich der Denkfehler ist mal drin ich hab am Anfang gesagt wir bestimmen die Wahrscheinlichkeit dass etwas auftritt was mindestens so stark gegen das gegen diese Hypothese spricht wie das was wir tatsächlich beobachtet haben jetzt die Frage was spricht gegen die Hypothese wer gegen die über diese spricht natürlich wenn sie die 38 statt 6 nur 14 mal 6 Uhr 15 Mark oder 6. 16 Mal beobachten aber gegen die über diese wurde auch sprechen wenn Sie die 12. 700 Mal beobachten oder wenn sich die 3 12 wenn Sie 3 800 mal beobachten das heißt das Problem ist momentan bedürfen einig die 38 nicht fest halten also eigentlich interessiert uns nicht die Wahrscheinlichkeit das bei Entziehung die 38 mindestens 6 nur 14 Mal auftritt soll und sind es ja die Wahrscheinlichkeit dass bei den ein dass bei diesen ins Beziehungen eine der 49 zahlen mindestens 600 Vorzimmer auftritt ok es gibt kann
aber auch Wahrscheinlichkeit dass allen Ziehungen eine der 49 Zahlen mindestens 6 4. 14 Mal auftritt ja das ist klar diese Wahrscheinlichkeit wird um die Größe sein Ende sie können sich nur überlegen wie sie diese Wahrscheinlichkeit bestimmt worden und wir werden dann recht schnell feststellen diese Wahrscheinlichkeit würden sie gar nicht bestimmen weil diese Wahrscheinlichkeiten irgendwie zu schwierig ist also man kann es nicht mehr so mit leichter Kombinatorik bestimmen deswegen hab ich die auch nicht gemacht was sie aber relativ einfach machen können Sie können diese Wahrscheinlichkeit approximativ bestimmen indem sie einfach ausnützen Jahr diese Wahrscheinlichkeiten am Mehr definiert als Grenzwerte von relativen Häufigkeiten das heißt wir führen einfach immer wieder neue Beziehungen durch und gucken uns dann an in welchem Prozentsatz ist dabei angetreten den wird es sehr oft vielleicht 100 Tausend mal solche was waren dass sie es waren ja n gleich 4 Tausend 599 Ziehungen also Ende vielleicht 100 Tausend Mal 4 Tausend 599 die jungen durchführen es ist klar sie nicht an ihre Maschine 1 Tausend Mal laufen werde das ist auch nicht nötig die wollen auch nicht wissen was bei der Maschine rauskommt und wir wollen alles wissen was ausgehen wenn die Zahlen nicht gleichverteilt gezogen werden und das können sie dann dem Rechner machen also hier wo unseren Computerprogramm sie sogenannte Monte-Carlo-Simulationen und dann geben Sie aus doch erstaunliche 47 Prozent und das wäre natürlich nicht leiden alle Computerprogramm rechnet also ungefähr Nachmittag für 100 Tausend sie jungen und dann werden sie nach 20 30 Tausend junge es tut sich nicht weg oder nachdem sie 20 bis 30 Tausend Mal diese Brücke Sequenz wiederholt haben werden sie es tut sich nicht mehr groß ist schließlich so einigermaßen ein bei den ungefähr 0 Komma 4 7 und sie lassen so ,komma 11. laufen und sehen dann ok das wird wohl so ungefähr die Wahrscheinlichkeit sein und dann sehen Sie das kann in der Tat relativ häufig vor was wartet jetzt also jetzt Schlussfolgerung wir können die Annahme dass es zufälliges nicht vorwerfen also Fazit die Annahme in 1. kann nicht verworfen werden ab das heißt natürlich auch nicht dass die
Zahlen wirklich zufällig also Sie wissen jetzt auch nicht dass die Zahlen wirklich zu Felde gezogen worden aber sie sehen zumindest mal das was sie da beobachtet haben spricht eine nicht unbedingt dagegen was sie daraus schließen können ist das ist er nicht sinnvoll ist auf solche Zahlen zu setzen die in der Vergangenheit relativ freundlich gezogen wurden weil sie können davon ausgehen dass das relativ viele Leute machen und dann im Falle dass diese Zahlen doch wieder gezogen werden der ausgezahlte Gewinn kleiner ist als wenn die sonstige zahlen also gesehen dass ihr der Tipp offen zahlende von der Vergangenheit zu setzen kontraproduktiv ist ansonsten die ganze Sache ging ja auch weiter das waren der Beziehungen bis wir das hab ich gesagt Dezember 2007 Dezember 2000 7 es gibt im Internet finden Sie hier jede Menge Seiten wo die US-Statistiken zu NordLB Lottoziehungen zusammengefasst sind dann sehen sie mittlerweile ist nicht mehr die 38 die am häufigsten gezogene Zahl essen andere Zahlen weil davon und die 38 spielt da keine besonders große Rolle mehr das heißt auch auf die auch die danach durchgeführten Beziehung aber nicht sagt ja es war wohl nicht nur die 38 die um die es und das ist jetzt ok haben Sie so weit waren also vielleicht noch kurz was wollen Sie hier mitnehmen wenn sie sollten diese statistische Schlussweise mitnehmen weil das eine sollten sie gelernt haben sie sollten so ein bisschen in der Lage sein diese einfachen kombinatorischen Sachen die sollten sie hinkriegen er die Sache ab hier waren schon langsam ein bisschen schwierig das ist klar wie sollten es nachvollziehen können nicht unbedingt müssen es sich unbedingt traut seinen wird jetzt nicht sofort das selber gesehen haben das ist schon das eben alles trickreich diese Kombinatorik Aufgaben kann man beliebig schwermachen diesen relativ elementar und das werden wir hier in der Vorlesung und ich schwerpunktmäßig machen was ich stellen Rat mal was vor was man mit den Begriffen machen kann wir das ist gar zum alles ein bisschen ja und systematisch eigentlich aber es soll auch und systematisch sein damit sie einigten damit sich jeder freuen wenn ich mit einem langweiligen systematischen Zugang den Anfang ok ich wird 5 Minuten Pause machen sind verwischen und wir machen dann um 15 Uhr 19 weiter ok wenn sie ihre Unterhaltung freundlicherweise weil einstellen könnte oder alternativ mein Hörsaal fluchtartig verlassen würden und sich draußen weiter unterhalten die 3. Möglichkeit wäre dass sich fluchtartig den vor richterlichen sagen sollen sie in den ok durch 2 und 2 Bildbeispiele kommt es 3. Beispiel Beispiel 14 eine Zahl wird rein zufällig aus dem Intervall von 0 bis 5 bezogen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass sie zwischen 2 und 4 liegt wir vom 10 Beispielen eine Zahl wird rein zufällig aus dem Intervall von 0 bis 5 gezogen ich weit dieses Intervall als in eckigen Klammern also von linke Grenze das Rechteck klärt ganz in eckigen Klammern der gegen Klammern deuten an dass die Endpunkte dazugehören wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die zwischen 2 und 4 sind ja in dem Beispiel Öl die Kunden länger als die Menge aller möglichen Zahlen die auftreten
kann ist jedes Intervall von 0 bis 5 gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von Intervall von 2 bis 4 also Omega gleich 0 bis 5 besucht Wahrscheinlichkeit von A und ich was dieses zwischen mal auch was sie echt zwischen 2 und 4 legt man deswegen ein offenes Intervall bei den bisherigen Beispiel habe das so gemacht also beim bisherigen beiden Beispielen das wir uns eigentlich für jedes mögliche elementare Ereignis weisen elementare Ereignis ist hier eine Zahl kleine Omega wissen Intervall von 0 bis 5 und überlegt haben wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau diese Zahl auftritt und dann diese ganzen elementare Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten diese elementare Ereignisse oder der elementar Ereignisse die in den gesuchten Ereignis die adeligen aufaddieren das ist an der Stelle nicht sinnvoll wie sofort sehen weil wenn sich jetzt der Summer bilden würden über alle Omega aus 2 bis 4 dann hätten sie eine Summe über eine überabzählbar viele froh über eine überabzählbar Menge als die Menge kann nicht mehr durchnummeriert werden und dabei gar nicht klar wie die Summe überhaupt definieren soll also der Ansatz geht nicht den Einsatz chemischer dessen machen ist das und sagen ok im Prinzip wenn die Zahl rein zufällig aus dem Intervall von 0 bis 5 gezogen wird dann sollte jeder Teilbereich das Intervall es eigentlich gleich wahrscheinlich sein das heißt die Wahrscheinlichkeit von so einem Intervall sollte naheliegenderweise nicht von den Grenzen so nur von der Intervall länger abhängen und dann sagen wir weil die Wahrscheinlichkeit von dem gesamten dabei gleich 1 sein soll setzen Sie die Wahrscheinlichkeit von diesen unseren Intervall als Intervall Länge Zeitintervall Länge des gesamten 1 also geteilt durch 5 also hier sinnvoll oder hier sinnvoller Einsatz die Wahrscheinlichkeit von sollen Intervall von A bis G Grenzen gehöre nicht dazu für 0 kleiner gleich Art ich die lange gleich 5 setzt sich eben an als in der Bar Länge -minus geteilt durch 5 und die intuitive Vorstellung eben jeder einzelne Bereich soll gleich wahrscheinlich seien deswegen mach ich es proportional sind aber länger ja aber damit sind sie fertig also damit an eine syrische so schön geschrieben also daraus sollte man das so machen dann wissen wir auch sofort was rauskommt wir nicht lieferbar der gleich 4 -minus 2 5 5 2 für gleich 0 Komma 4 alles kommen geraten oder ein Mann was ist denn wenn ich das Intervall von 0 bis 5 habe dann sind die Grenzen von 0 bis 5 nicht dabei aber die Wahrscheinlichkeit das ich mehr zahle zwischen habe also die Ehre zwischen 0 7 bis 1 das heißt die ganzen ,komma nicht gar nicht vor wir können uns mal überlegen wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit das die 4 wurden eine feste Zahl zum Beispiel 3 ,komma 5 ziehen für schon 0 aber warum ok sagen der Mann so unendlich viele Punkte drin und deswegen wenn der einheizen .punkt treffen muss es nur seine ja gut aber ich könnte schon unendlich viele nehmen und schwarze unendlich viel und die Wahrscheinlichkeiten immer kleiner werden lassen Probleme noch vermissen ist gleich groß sie sind aber auch Bemerkungen hierbei gilt für jedes x
aus 0 bis 5 die Wahrscheinlichkeit dass sie genau dieses x ziehen Na ja ja die kann ich sicher nach oben abschätzen wenn ich je sage ich möcht die Wahrscheinlichkeit wissen dass sich im Intervall habe wo dieses extrem liegt wie sicher größer gleich und das Intervall nämlich einfach im Intervall von iX -minus Apps führendes x +plus Erdwürmer sich gegen kleines bisschen nach links ein kleines bisschen nach rechts wobei sie eine kleine Zahl Sales und dann sehen Sie diesen der hat nach der Formel oben zumindest wenn er X -minus Epson x +plus selbst noch bei den Intervall von 0 bis 5 hingegen davon gehen wir jetzt mal aus dann hätte das Ganze die Wahrscheinlichkeit Länge des Intervalls 2 y durch 5 und das was hier steht geht es aber wiederum gegen 0 selbst gegen 0 da sie anderseits aber auch wissen wie diese Wahrscheinlichkeit ist dass die meisten Wahrscheinlichkeit ist immer größer gleich 0 dann müssen Sie die Wahrscheinlichkeit dass einerseits größer gleich 0 anderseits kann seine obere Schranke die immer kleiner wird wir alles letzteres wenn sie es dann gegen 0 gehen lassen muss sie auch kleiner gleich 0 sein das heißt die Wahrscheinlichkeit muss gleich 0 sein die Wahrscheinlichkeit für jedes 1. x =ist gleich 0 für alle x auf 0 bis 5 das heißt die Einfuhrmengen über Wahrscheinlichkeit 0 und damit haben sie auch keine Probleme mit den Standpunkten wir weil die beiden an .punkt am einfach Wahrscheinlichkeiten und das auch ihr egal ob ich ein offenes oder ein abgeschlossenes Intervall betrachtet und Sie sehen an der Stelle sie haben zwar das Problem wenn ich sagen würde die Wahrscheinlichkeit von einer Menge ist die Summe der einst Wahrscheinlichkeiten bei dir ich könnte mich wieso ich doch entscheidend weil die einzel Wahrscheinlichkeiten alle 0 sind und diese unendlich vielen Nullen aufsummiert wäre natürlich und wie 0 König naheliegenderweise einsetzen ok sehen aber bisschen des unangenehm war ich hab die Lösung ein nicht vom Himmel fallen lassen direkte je also ich aber nicht die so wirst hingeschrieben allgemeine und dann noch eingesetzt aber das ist irgendwie und sie sehen auch das Ganze war Ihr Sohn wie ganz anders als die bisherigen beiden Beispiele also ich grade und wie jedes Beispiel Marie separat und dann sehen Sie das Problem ist eben diese obigen Ansätze sind unsystematisch und die Frage wäre es auch gibt es ja auch einen systematischen Zugang Problem obige Ansätze und systematisch ein gibt es hier auch einen systematischen Zugang und das ist genau das was
den 1. Vorlesung dann machen werden was ich wird ab sofort mit einem systematischen Zugang in haben Sie noch Fragen so weit fahren scheint nicht der Fall zu sein dann komme ich zum Abschnitt 4 4 dafür den Begriff des Wahrscheinlichkeit zu kommen Raumes sein im Folgenden werden wir jetzt sinnvolle Eigenschaften der Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten zum einen uns überlegen das wir dann damit werden wir axiomatisch den Begriff des sogenannten Wahrscheinlichkeit Maß des Begriffes Wahrscheinlichkeit Raumes einführen oder kennen lernen anschließend Lande dann Modelle kennen bei denen dieser Eigenschaften erfüllt sind wer sich eine Reihe von Standardmodellen vorstellen und separat leiden wir jede Menge Folgerungen aus diesen Eigenschaften mehr die dann simultan für alle diese Modelle gelten also bei seiner Anwendung hat mit uns mit verschiedenen Modellen hab ich eben auch abstrakt einmal Eigenschaften der geleitet und es geht dann simultan für alles je das Erste was sie herausstellt ist das ist nicht immer möglich sein wird die Wahrscheinlichkeiten für alle Teilmengen der Grundmenge sinnvoll festzulegen also für in dem Beispiel 14 da würden Sie ganz gerne Wahrscheinlichkeiten festlegen für alle in der Wale oder für alle Teilmengen von Intervall von 0 bis 5 und zwar so das eigentlich für Inter Wale diejenigen wo bei von 0 bis 5 enthalten sind diese Beziehung gilt und dann stellt sich aus wenn Sie einerseits fordern diese Zuweisung von Teil der Grundmenge zu den Wahrscheinlichkeiten soll gewiss sehr sinnvolle Eigenschaften haben die bei der nächsten Vorlesung kennen lernen werden und anderseits aber folgen es soll so eine Art Gleichverteilung auf einem dabei sein das geht nicht beides gemeinsam und der entscheidende Trick und der trotzdem weitermachen zu können ist denn Definitionsbereich dieser Wahrscheinlichkeiten einzuschränken das heißt wir werden nicht mehr die Wahrscheinlichkeiten von allen Teilen der Grundmenge festlegen sondern nur von einem Teil und das Erste was ich bemerken möchte oder hinschreiben möchte also manchmal können wir nicht die Wahrscheinlichkeiten aller Teilmenge der Grundmenge sinnvoll festlegen und daher schränken wir den Definitionsbereich die Wahrscheinlichkeiten ein also manchmal können wir nicht die Wahrscheinlichkeiten für alle Teile in der Grund für alle Teilmenge der Grund sinnvoll und sinnvoll festlegen und daher schränken wir den Definitionsbereich der Wahrscheinlichkeiten ein er und das 1. was ich deswegen einführen sind Mengen bestehend aus Teilmengen von der Grundmenge oder Mengen System von Teilen aus der Grundmenge für das wir dann später die Wahrscheinlichkeiten festlegen werden dieses Mengen System wird gewisse Abschluss Eigenschaften haben das heißt wenn 2 Mengen drin sind und ich die Bilder aus neuen Mengen dann werden die ebenfalls drin sein und das was mir zusammen in den Begriff der sogenannten zigmal Algebra es gibt Definition 4 11. die 11 sei und wieder eine nichtleere Menge eine Menge an schreibt für so ein geschwungenes an von Teilmengen von Omega heißt siegten Algebra über Omega falls gilt eine Menge A von Teilmengen von Olga heißt Whitney vor geworden wonniger als gilt was ich hier mache also ich schnappe mir Teilmengen von Omega und steckt die dann eine Menge das heißt was rauskommt ist eine Menge bestehend aus meinem das Erste was ein bisschen komisch ist anschaulich wird so sein werde ich werde fahren dieses Mengen System enthält schon mal mindestens 2 Mengen nämlich die leere Menge und ganz ohne gar und wenn sie und welche Mengen aus diesen Mengen System herausgreifen und zwar höchstens abzählbar viele also entweder endlich viele oder so viele dies natürliche Zahlen geht und sie werden aus diesen neue Mengen mit den üblichen Mengenoperationen also schnitt Vereinigung wäre Differenzbildung dann soll das Resultat die Menge die dann aus kommt auch wieder in diesen in diesen geschwungen Arten sein und das schreibe ich jetzt ziemlich ausführlichen also falls gilt 1. nach 4 Bedingungen 1. Bedingung die leere Menge und Istrien ob egal ist drin die leere Menge schreib ich nur 0 durchgestrichen 2.
Bewegungen wenn eine Menge Arbeit drin ist dann soll auch ihr Komplement Rinnsalen sollen also USA aus es gibt folgt immer Kompliment und Komplimente sind Definition es gemäß gleich den Omega oder an als die Menge aller derjenigen Elemente in Omega die nicht in drin sind das sei aber auch es gibt da unterhalten 3. Bedingung wenn ich 2 Mengen der 1 a und b dann soll auch die Vereinigung der Schnitt und die Differenz von den beiden innen drin sein und 2. und letzte Bewegung wenn ich eine ganze Folge von denen die drin sind also a n bisschen aber für alle in aus allen dann sei auch die vor unendliche Vereinigung aller dieser in der unendliche Schnitt alle diese ANA A enthalten ja die Bedingungen 2 und 3 sind äquivalent das würde heißen O 2 kann ich 3 Folgen aus 3 kann ich 2 Folgen aber sie meinen was anderes sie meinen eigentlich ich kann 2 streichen und es gilt nach wie vor mir zum Beispiel weil ich könnte 2 Folge und indem ich sag ich hab 1 und 3 dann wäre weiß ich aber Kompliment ist drin weil ich setzte aber als Omega und die als Arme nein Differenz ist richtig wäre ich hab's ausführlichen geschrieben weil ich hab mich die kurz die kürzestmögliche Versionen geschrien ich hab's ausführlichen geschrieben damit er versteht was eine hinter dem Begriff steht also im Prinzip als Mathematiker können wir sagen ja ich geb für die möglichst kürzeste Variante 1 ansehen Vorschlag als die kürzeste Variante der sie wollen 2. Glas nicht wieder viel mehr weit lassen also was die kürzeste Variante wenn Sie mich schon provozierende dann richtig in 1. lassen wo Regalen Alec 2. streichen wir komplett ein um bei der 4 wollen sie was schneit reichen steht und es waren sie ausstreichen waren sie da Straßen also noch viel 3 streichen ja ok also Sie lassen 0 leere in drehen sind nehmen für also Kompliment drin sie nehmen auch ein Element a Vereinigung in L nder n n n n n einnisten es richtig wäre die Standarddefinition des Sigma Algebra immer sie kurze definieren würde aber dann sehen sie nicht so richtig was dahinter steckt machen wir das wegen der volle nicht mehr meine nächsten Vorlesung machen oder wären Sie kennen der nächsten Vorlesung der Wahrscheinlichkeitstheorie wenn sie darauf drin sind ok aber hier mächtig ja nicht wollte seine so hinschreiben das so mit einem Schlag die nächste Bemerkung sieht nämlich die nächste Daten ist eine Sigma Algebra ist dann nennen Sie es denn dass die leere Menge Omega enthält und abgeschlossen ist bezüglich abzählbar unendlich vielen der üblichen Mengen Operation Bemerkungen eine Signalgeber ist den System das wir einen Omega enthält und abgeschlossen diesbezüglich abzählbar unendlich vielen der üblichen Mengen Operation und abgeschlossen ist bezüglich Schrei besser nur abzählbar vielen der üblichen Mengenoperationen also diesen abgeschlossenes gemeint sie schnappen sich eben endlich oder abzubauen endlich viele man darauf aus dieser Signalgeber aus und bilden eine neue indem sie die mit den üblichen Mengenoperationen verknüpfen zum Beispiel Sonderrente Vereinigung wilden endlich mit bilden oder auch davor und welche Städte Vereinigung wilden Komplimente und so weiter und das was rauskommt ist wieder das Signalgeber denn je ok haben Sie Fragen so weit kann Fragen keine Fragen immer nur kurz 2 Beispiele für mich die real Beispiele das eine offensichtliche Beispiel es wenn die Menge aller Teilmengen von Omega bildet dann bekomme ich mal gefragt weil die Menge aller weil wenn Sie Teilmengen aus von Omega annehmen und die und die verknüpfen kommt natürlich wieder Teilmenge von Omega heraus diese Menge aller Teilmengen bezeichnet P von Omega B für Potenzmenge Herr Omega gleiche Menge aller Teilmengen von Omega also 1. Beispiel das ist die größtmögliche Sigmar geht weil diese immer bilden können also jeder andere sich mal Algebra ist denn von der sind alle Mengen dieser zigmal geweint halten dann gibts auch ne kleinstmögliche Sigmar geht war Wahnsinn Vorschlag was ist die kleinstmögliche Signalgeber dich bilden kann die leere Menge und und Omega das heißt wenn ich ist man System betrachten nur bestehen aus der leeren Menge und oder gar dann ist es ebenfalls sich geht vor und das müssen sich mit Mütze klarmachen nachrechnen sie gehen einfach die viel Bewegung hier vor die 1. klar dies erfüllt und 2. wenn es Komplement von Menge und Omega bilden dann kommt eben Omega beziehungsweise deren Menge aus ist auch wieder drin drittens wenn sie 2 Mengen werden wovon die in der DDR oder wenn und Omega sind und die um die verknüpfen kommt auch wieder die Lehre und wenn Omega aus genauso bei diesem unendlichen Vereinigungen die versteckt ok waren noch ja das irgendwie Tafel vorgeschrieben ich kann jetzt noch 4 Minuten mischen und dann 1 oder was hinschreiben aber das sagen wir mal einfach für früher aus und ich sehen uns am Freitag
Statistik
Zusammenhang <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Zahl
Summe
Betrag <Mathematik>
Zahl
Summe
Faktorisierung
Kombinatorik
Homogenes Polynom
Ebene Symmetrie
Zahl
Quadrat
Faktorisierung
Zahl
Zahl
Position
Zahl
Summe
Faktorisierung
Kombinatorik
Rechenbuch
Exponent
Monte-Carlo-Simulation
Zahl
Grenzwertberechnung
Summe
Zeitintervall
Länge
Punkt
Kombinatorik
Statistische Schlussweise
Menge
Rechteck
Zahl
Summe
Länge
Obere Schranke
Menge
Zahl
Null
Algebraisch abgeschlossener Körper
Komplementarität
Folge <Mathematik>
Standardmodell <Elementarteilchenphysik>
Algebra
Natürliche Zahl
Potenzmenge
Reihe
Ruhmasse
Wahrscheinlichkeitstheorie
Teilmenge
Menge
Mathematiker
Schnitt <Mathematik>
Raum <Mathematik>
Gleichverteilung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Einführung in die Stochastik: Beispiele (Fortsetzung)
Serientitel Einführung in die Stochastik
Autor Kohler, Michael
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/34011
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2011
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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