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Ganzzahliges Analogon des Farkas-Lemmas: Totale Duale Integralität

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dem Pony ja wie Nelles so herzlich
Willkommen zur heutigen Vorlesung Reformer beginnen eine kleine was ist Ankündigung oder Hinweis wie Homer mich hat jemand von der Leiter der Akademie für Tonkunst angesprochen er hat ein kleines mathematisches Problem muss sich nicht sicher ist ob dessen Optimierungsproblem es geht letztendlich um die Zuteilung von Schülerinnen und Schüler zu Kursen und wie die diese Kurse müssen gewisse Preise festgelegt werden die dann irgendwie vom Magistrat verabschiedet wenn wir das richtig verstanden hat und was die bislang haben einig und sie bislang so wie ich das auch verstanden aber nicht wirklich fies und sie spielt einfach mal bislang anpreisen Drogen QC welche Auswirkungen hat das und welche Änderungen und ob man dort nicht nennen das mathematischen der hinterlegen kann und es klingt im Moment so ein bisschen ein Optimierungsproblem ich hab einfach mal gefragt ich hab ich ihm gesagt dass ich in der Vorlesung also mal fragen wie man Interesse hat bis für zu betreuen oder auch zu machen wenn so Anfragen kommen hier zählen aus Praxis denn es ist das 1. Mal nicht mehr Infos des was ich Klartext erzählt hat also es kann sein dass es am Schluss nur Dreisatz verhindern und er muss nächste Tabelle ausfüllen nun aber es kann auch so ein richtig schönes Optimierungsproblem sein wo man vielleicht auch eine Bettler Master oder die Büroarbeit machen kann das ergibt sich meistens erst im Laufe der Gespräche also falls von ihm da im Interesse hätte das mitzumachen das war einfach sehen natürlich wird mir das im Rahmen von Sony Vertrag dann auch bezahlen des Mehr essen Dreisatz ist und wir dann können Sie einfach mal überlegen ob sie das interessiert und vielleicht mehr bis nächste Woche Rückmeldung gegeben ich habe ihm versprochen dass ich ihn mit der nächste Woche antworten werde am Mittwoch bin ich jetzt leider nicht da der wird dann die Nicole Nowak die Vorlesung halten so dass wir da am nächsten Montag wenn sie nicht gleich ansprechen eine kurze Email schreiben dann würde uns mit dem einfach mal treffen und schauen was ist genau auf dem Problem ist und gegebenfalls je nachdem wird's spannend kann an das Problem der Preisgestaltung zum Beispiel es wirklich und Preisgestaltung geht es interessante Optimierungsprobleme was in der nächtliche Preise der Davignon Management und Sie klatschen wird von den Fluggesellschaften das stecken richtig Optimierungsproblem Mittelmeerinsel wenn sie auf sich die Preise normalen Internet oder so angucken die wie ok immer rauf und runter wo man denn dass kein System dahinter aber es häufig sehr wohl System dahinter und sagen dem Paar sich so zeigen die Preise so an dass ich die Kunden dann kriegen sie auch bereits in den Preis zu bezahlen dieses das gar keine so einfach wäre Fragestellung und das sind interessante auch ob den Jungs Aspekte der Toten gut dass bald sozusagen Exkurs außen vor aber ich habe immer gesagt so enden was wir machen das geht Optimierung ist immer sehr nah auch an der Anwendung und heute beginnt die Anwendungs Probleme doch aus mit Asthma so telefonische Anfragen und noch nicht genau weiß wo geht es denn genau hin aber das häufiges dann auch spannendes dabei rausgekommen vielleicht auch in diesem Fall gut zurück zum zum inhaltlichen was in der Vorlesung gemacht haben wir haben uns das letzte Mal nach Anwendungen von total ohne Modularität angeschaut hat einen eingerichteten Grafen uns diese Netzwerk Fluss Matrizen angeschaut und wir haben uns im ungerichteten Fall eben diese Charakterisierung über diese Biberti dem Grafen uns angesehen und ich das dann die Bemerkungen noch gesagt dass das auch im wesentlichen die einzigen Fälle sind das heißt wenn man total ohne Modularität hat resultiert die in der Regel aus Grafen oder Netzwerk Anwendungen und es gibt dann berühmten Satz in der eben genau dieses auch charakterisierte des zu beweisen Partner zu weichen einige Vorlesungen dazu und das hier ist aber auch dazu stellen denn es meint dressierter kann zum Beispiel in Buchform Sky über sie wie auf Linien in Problemen man nachlesen gut während eines wollen dann noch ein Schritt weg gehen wir mir gesagt total und ladet der diese Eigenschaft an die Matrix ist für jede beliebige rechte Seite wie jede beliebige Zielfunktionen wir wollten jetzt sozusagen die auch dahin gehen sagen die rechte Seite festzuhalten heutige sei die rechte Seite des uns investiert ein ganz konkretes Politiker welche Eigenschaft muss dann dieses erfüllen A X kleiner gleich B um automatisch Zeit zu bekommen und auf dem Weg dorthin aber noch einen kleinen Umweg gemacht über die damit Normalform wir haben das letzte Mal die Definition dazu angegeben wollen heute so Analogon zum Farkas Lämmer Beweisen für ganzzahlige Bedingungen und dieses Resultat wenn man dann auch nutzen um die City als Systeme dann einzuführen auch dort einige interessante Aussagen darüber beweisen zu können es von ihrer Seite als man noch Fragen ist dann gut wenn dem nicht so ist ja vielleicht noch mal ganz kurz werden das letzte Mal zum Schluss damit Normalform bewiesen definiert den Hamid Normalform die hat so ausgeschaut also Definition des die schreibt die gesamte Definitionen nochmal hin aber das wichtige war sozusagen wir haben eine Matrix aber dies überführbar endet elementaren in damit Normalformen schönsten so wären sozusagen die folgende Form hat B ,komma 0 ja das B selber solle obere 3 x 1 unter 3 Matrix B regulär nicht negativ und das war noch die weitere Eigenschaft unter 3 x Matrix und W s immer größer gleich B I J 4 J kleine II das heißt der größte Eintrag steht immer auf der Haupt der Kunden Hohn so genannte besser wäre damit Normalform genannt und der
nächste Satz sagt uns jetzt eben wirklich Schaffens tatsächlich jede Matrix in zur in solle Form zu bringen ist Quelle das ist der Satz 2 25 ab so ase an außen der nationalen Matrix mit vollem Zeilen an wird von gleich dann kann in damit Normalform gebracht werden aber mit elementaren gespaltene Ziesel Zeilen Operationen in mit Normalform gebracht also nochmal zu Wiederholungen elementare Zeile Spalte um als Nation waren ohne Beziehung mit plus oder minus 1 addieren eines ganzzahligen Vielfachen ist und einer Zeile oder Spalte auf die auch eine andere Zeile oder Spalte und Vertauschen von Zahlen beziehungsweise von Spalten also alles Operation die Ganzheitlichkeit erhalten tolle Frage schaffen wir das jetzt sozusagen gegeben sondern Matrix alles in diese Form zu bringen so mischen wie machen wir das also wir können erstmal BDA annehmen das außen der doch im Kreuz ist warum sonst die beziehen mit allen Ländern du 8 Jahren am Schluss die die dir wieder doch alle nenne also wir jetzt machen bleibt unabhängig davon ok wir in Indien und wichtig ist nur dass man nicht verwechseln das ist arm an sich das Geld immer für nationale Matrizen wenn wir das machen möchte muss er mit allen Ländern doch beziehen diese Operation doch und dann das Ganze wieder zurück machen ok so also an wir haben das und wenn eine haben das schon mal Zeitlang gemacht also gefangen sind ähnliche Bike außerdem Nation oben an und wir haben schon mal sei aber bereits in der Form soll aber und das soll so aussehen wie wir haben wir schon den Nullerjahren A C und D und B bei der Seiten das fordern wir von Wehale spielen BEI soll größer gleich 0 sein größer 0 und und B J gleich 0 4 J größer e r also das sei schon eine unter der Dreiecks Matrix wobei der Eintrag auf der auf der Haupt diagonal positiv sein ja mehr wollen erst mal nicht und was wir zeigen wollte ist dass mir die Gesamtmatrix sie genau in 1. mal Struktur kriegen ok so was machen wir mit der also müssen und setzt diese diese des Matrix anschauen und wie man den Mann an der mit der Arbeit schon alles gemacht was nur möglich ist um sozusagen genau diesen Effekt versuchen diesen Effekt zu erzielen also sei seit des alle bringen die 1. Zeile von Willi in der Form das G 1 1 größer gleich den D 1 2 ist größer gleich und so weiter denen B 1 klar dann wenn wir nicht das sind seine Dimension ist der Matrix ist oder gehe auch davon aus dass die eine größer gleich 0 sind so warum können wir das tun mit haben also erst mal warum kann sollten dass die positiv sind ja wir können ja einfach was in der müssen davon elementare Zeilen und Spalten Operation sind erlaubt also müssen den in jede Spalte 1 -minus 1 Mol beziehen Reuß war sozusagen der Eintrag in dieser falls dieser negativ ist wurde Witz über die spannende Mehr Vereins also bei mir haben auf jeden Fall schon mal das das alle positiv sind näher und der Reihe nach sortieren können auch ja wir dürfen wir Zeilen Spalten vertauschen also der das auf jeden Fall hin wir das was man noch zusätzlich wohl der Mond so stark eingeschränkt dass dieses Summe möglichst klein ist ja so das die Summe eh gleich 1 bis klar der einst die minimal ist so was man wissen kann es uns passieren dass alle das alle hier 0 sind kann nicht passieren ja warum ja mehr angenommen dass immer vollen Zeilen Rang haben das heißt dann muss sozusagen diese Matrix Ziele auf diese und dann hat es auch vollen ragen haben wir also kann keine 0 Zeile drin stecken ja das heißt die 1 1 ist sicherlich größer 0 ja da da daran von gleich zur Smits behaupten ist dass die andern alle 0 sind Behauptung je 1 i =ist gleich 0 4 wie gleich 2 ist
klar zu nehmen wir an das wäre nicht so also wenn zum Beispiel der wenn wir so sortiert ist der D 1 2 angenommen der der größeren soll also bei den dann machen also was können wir dann machen elementare Ovation bedürfen die weiß von einer auf die andere drauf an die in der Nähe mir folgende Situation der D 1 1 ist sicherlich größer gleich den D 1 2 und der ist größer als 0 was machen wir ziehen die Zeile von der ab Januar dann gehen wir hin in jedem Spiel ist er dann immer noch größer als der dann können wir die Reihenfolge so lassen wenn der dann was nicht größer sei als der Einkauf wir mal an die entsprechende Stelle aber insgesamt eine Summe wenn mal kleine Mehr kann also nicht sein also das kann nicht sein angenommen das wäre ein Widerspruch zur minimale Test wir die wir angenommen haben okay also einig diese Operation sind wer dies sind wir was wir machen ist einfach wir schauen uns die Zahlen an bringt sortieren die einfach und ziehen von den immer so lange es ab bis den glaubt Nullrunde geht oder was übrig bleibt dann tauschen und machen das Spielchen so weit er ist eine recht einfache Operation es heißt wir das zu ändern haben so das heißt wir haben dann tatsächlich wenn wir das gemacht haben und an der Stadt andauernde diagonal was positive stehen hier alles nur ja und ich das nach in Schritten Hammer genau Foren nach erstellten sie deswegen so aus ja hier stehen immer wieder wonach alle Einträge die sind alle echt größer 0 ja stehen oder und hier steht irgendwas und so weit sind wir jetzt soll es aber noch nicht ganz fertig wir müssen nämlich noch wir müssen eigentlich noch Hamid Normalform steht noch das wir alle diese Eigenschaft wird uns noch mehr sind regulär zumindest eine glaubwürdige und Nahles sind schon nicht negativ ja wir ohne Dreiecks Magix immer diese Eigenschaft fehlt noch also bleibt III größer die J J der kleine E herzustellen .punkt sowie Klima das hin erst mal wieder genauso müssen wir schauen uns einfach der ist sicherlich in Ordnung aber nix zu zeigen was ist denn hier angenommen dieser Eintrag wäre das Erste was man also noch nicht haben ist dass er es kann auch sein dass sie negative Einträge das ist aber kein Problem ja die in einfacher den Eintrag hier beliebig oft auf dem drauf wenn der negativ ist ja wenn der Eintrag größer ist als der hier und sie mir denn allweil entsprechend oft ab morgen und damit kriegen wir denn in dem Bereich zwischen 0 und dem Wert ok so damit der der in Ordnung jetzt müssen aufpassen dass man wenn man in die nächste Zeile gehen dass wir hier nix kaputtmachen aber wir machen nix kaputt wenn wir genau in dieser Reihenfolge operieren ja wenn man es denn dann machen wir denn dann ist der in Ordnung und dann noch mal mit dem denn hier und damit geht aber hier nix kann nix mehr kaputt muss es gab ja es geht nix kaputt weil hier die 0 stehen ja das als wenig gegen die die biopsiert an dir passiert nix und bin dann ich oft hier passiert auch nicht alle Kinder Reihenfolge doch den mach ich zuerst dann den an den dann den und so weiter und da doch da ich überall nur leer stehen hab schaff ich das immer sozusagen die Sie diese Zahlen hier genau einen wissen eigentlich aber nix anders als modulo Operation wir man der Eintrag hier und schauen dass wir die Zahlen hier zwischen 0 und diesen Eintrag eines einzigen gekommen waren also ich schreibe mir gleich ganz kurz hier auf also also doch entsprechendes addieren ganzzahlige Fahrer von einer Spalte und Spalte wie auf ja das kleine E n erhält man Einträge jeweils zwischen 0 und genau diesen Eintrag B I n die Reihenfolge in der die Operation durchzuführen sind durchzuführen sind ist nur 2 1 kommt zuerst sowie würden dann 3 1 als er ist jedoch anders und viel ablehnt 4 2 und so weiter was ich hab sie so rum hier 2 3 4 5 6 und so weit nur .punkt gut zur damit damit haben wir also jeder Matrix als Ergebnis gegebene rationalen Matrix weglegen jede Matrix in diese Form unter Dreiecks Matrix alle Einträge nicht negativ regulär die aus uns man lieber auch regulär und diese Eigenschaft hier dass diese Einträge ich größer sind als die Wände müssen am Schluss wird wir doch alle Männer dividieren und zum falls mir vorhin mal ist es leider nicht ganzzahlig war ok für die Operation selber scheinen jetzt mal vernünftig zu sein also auch leicht implementierbar allerdings muss man aufpassen mit Polen und Egalität wer sind diese Operationen tat sich wirklich alle polynomial da muss man wissen auf Basis Beispiel nur überlegen was in Übungen machen wollen wo diese Zahl daraus explodieren können wenn das Ungeschick
macht er kann es sein dass Sie zu viel Operation notwendig sind ja wenn Sie nämlich entsprechend oft was ganz sei gezielt drauf wenn Sie wenn Sie hier eine Operation drin haben ist von der Größenordnung Zahl mit also wenn jetzt eine konkrete Zahl steht GBI und sie müssen Operation doch führen diese BEI oftmal durchführen müssen dann sind sie schon exponentiell da muss man aufpassen weil B i selber sehr Computer in der Größe log der Zahl abgespeichert deswegen wenn sie BEI Operationen durchführen müssen dann sind Sie erst mal einmalig Experten nicht mehr polynomial und das ist das was man vor 2 Vorlesung ausführlich diskutiert haben es geht aber trotzdem polynomial zu machen da gibt's ein Algorithmus wird auch Interesse hat kann auch meinen Skrei nach gucken wir Theorie der linearen und ganzzahligen Programmierung das auch Polen eine Variante sozusagen diese Hamid Normalform angeben gut 2 Bemerkungen vielleicht noch dazu und dann kam auch schon das Farkas den Mörder zu beweisen Bemerkung 2 26 also die ganzen wenn man sich das mal überlegt was wir dort gemacht haben haben solche Operationen lassen Sie mal Matrizen auch beschreiben multiplizierenden skalaren vielfachen des Marek beschreiben Tauschen von von 2 spaltet sein lässt sich als Matrix beschreiben na und und genauso Ganztages Vielfalt agieren auf der andere die auch in Matrix von beschreiben es heißt das Ganze können auch in Form von der Matrix beschreiben und die dann um die modular ist nun also die Operationen können auch durch nur eine Uni modulare Matrix ausgedrückt werden ja das heißt also dieses B 0 können allenfalls stören auch als aber Mao das hilft uns später wir brauchen wir in diese ganzen Operation dürfen ist diese Matrix und dem modular die hier kriegen zwar noch um die modularen Matrix wir waren die Matrizen der anderen mindernde alle also nicht es waren und modularen total tarnen und laden und die modularen warte Madrids mit vollen Zeile rangen wenn jede Matrix der Unternehmer oder Matrix M Kreuz Matrix der Demminer 1 plus oder minus 1 hat und müssen uns erst mal überlegen eine wenig eine elementare seine Operation alle auch was passiert mit der der nannte an der Stelle wenn Sie besonders 1 Mule beziehen bleibt bezieht die Mehr an der Winter mit -minus 1 mit seiner Spalten Tausch wie wird sich auch höchst wie das einzelne Ganztages viel versorgen anderer war der ändert sich da werde der man den nicht mehr das heißt daher auch diese doppelte begrüßt es genau das selbe Begriff der die elementaren Operation über haben in den Niederlanden an bis aus Vorzeichen nicht das heißt alle diese Operation sind tatsächlich um die modulare Operationen ja und wenn wir jetzt und und wir können diese Matrix da gibts ja nix anders als Produkt wenn ich jede Eis Operation kann es Matrix beschreiben die Gesamtmarktes ergibt sich als Produkt eines der Matrizen an für die Determinante ergibt sich natürlich von der Liebe immer eine von den 1. Produkt der Determinanten der einzelnen Matrizen nachdem die alle werde man 1 +plus -minus 1 muss auch diese Matrix der dominante plus minus 1 ok können also wissen wir dass es nur um die modulare Matrix so was noch gibt aber das wollen wir nicht beweisen ist dass die eindeutig ist also gibt es eine Fehde wir mit schöner mal vom es eindeutige also für jede rationale Matrix mit vollem Zeilen gibt es eine eindeutige mir normal und damit auch eine eindeutige und modularen Matrix und damit auch eine eindeutige modular der Matrix also wer das nachschauen will auch wieder ins Gleiche die wir auf in der Chat Programming ist ein schöner Beweis dazu führte gut so weiter erst mal zu mit Normalform und das wollen wir jetzt anwenden um dieses Analogon zum Fahrgast immer zu beweisen wer weiß noch wie das ursprüngliche Farkas Lämmer laut in der Linearen Programmierung ich n kann so immer so schöne Farkas Länder er ist vergaß Länder waren nach Aussage über
Lösbarkeit von Kleidung so viel ungebetene und System wenn es existierten X mit A X gleich B x größer gleich 0 oder nicht mehr hat das nur das alles ist den lautet das Vorschlag eine der zentralen Lemmata aber wenn ich das Lemma in Einführung zurückblättern im Skript stets auch ich also wollen ein Widerspruch er hier erzeugen wie ihr Zeug meinen Widerspruch unseren Gleichungen und Gleichungssysteme der skaliert die so oder so auf der einen Seite was 0 rauskommen auf der einen Seite immer so ungleich 0 war also die Skalare sind Ypsilons ja y transponiert aber gleich 0 und y transponiert B kleiner 0 1 Tilgung muss sie anders rum oder machen was größer gleich 0 und der kleine so dass es nur bemerke gerade folgende wenn ich hier gleich als Beschränkung hat ist die war die zugehörige Variable dort drüben für eine freie Variable wenn ich eher vorzeigen Geschenke war jahrelang ist es Umlagensystem dir es ist in dem gleichen System ja und warum es es Banken nie beide gleichzeitig seine was passiert diese y sind meine skalar mit wenig die Zeilen eskaliere ja also ist kann die Zahlen so oder so auf der linken Seite was größer 0 steht ja und auf der rechten Seite was kleine nur wenn wenn auf der linken Seite ist sondern es wird größer geselliger wenn das mit x größer gleich 0 weiß ich's auch größer gleich 0 ist auf der linken Seite soll was kleinen durch denn es kann nicht sein wir gut dass eine genau 1 und über bei Lösung hat das war ein bisschen kniffligen in der Einführung hat nach eine algebraische beweisen jetzt hat man der voll ist immer auch ein mit mit Hilfe der Vollmacht Erziehung immer so besonders Farkas Lernende in der realen Welt wie sie das Farkas Lamar Wiener ganzzahligen Welt aus das der folgenden Satz Satz 2 27 ganzzahliges verloren haben das Verkehrslärm also wir haben irrationale Matrix Q 1 war aus dem Chor ein Kreuz und am Vektor aus dem Kobold dann wird genau eines der beiden Folgen System eine Lösung genau 1 dabei folgen Systeme einmal A x vielleicht B X aus hoch n oder y transponiert aber aus dem Zelt Woche enden y transponiert wir nicht aus Z und wirksame soll aus dem Kursbuch ändern zur steht hier aber das ist mal vergleichen also erst was steht die 1. Aussage war ganzzahlige Lösungen wir haben wirklich was wir besteht das X Gülle gleichwohl anreisen X aus ZUM gemacht und entsprechend was sozusagen das das das Grauen das ist alles anders ist denn dazu ist was dem was wir hier die Vorzeichen argumentiert haben versuchen würden Widerspruch vorzeigen zu bekommen Armenien Widerspruch die ganzzahlig kann dann eskalieren die die Zahlen so oder so auf der linken Seite das ganz sei geschehen auf der rechten Seite nicht an das praktisch Links zum Vorzeigen rechts ganz Einigkeit ja und entsprechen würden auch sehen können dass ein ich genau das Verfahren was wir hatten diese damit Normalformen müssen kolonialer Zeit haben kann uns hier im folgenden Jahr Zeit auch eine Lösung liefern wir das genau dieses System und gerne Charakterisierung wann es denn so eine Lösung gibt oder nicht ich steht genau hier gewann Farkas vermarkten beim Orginal das war der Ursprung für Polen lität letztendlich dieses auch ist war aber auch immer sozusagen in ein vereister delikater nicht Optimalität hat und genau so braun hin ein fast Zertifikat in ganzseitigen .punkt hat und das ein paar Zertifikat steht hier das steht selbst nicht im Widerspruch zu dem was Mehr gesagt haben Anzeige denn endlich schwer zu lösen hier steht das Zertifikat wir damit Normalform und wollen ein Algorithmus also ist doch alles erlebt oder nicht oder ob ich irgendwie schon Argumentation also mehr Beweise sondern weiß auch korrekt ob modern legt es die Schwierigkeit kommt mir ist immer die Frage des Blickwinkels den man haben möchte ist das Ding es tatsächlich Polonia lösbar allerdings ist aber hier Entscheidendes weggelassen entscheiden weggelassen x größer gleich 0 ja oder ich kleiner gleich beginnen 1. gleichen wenn sich überlegen den Beweis immer geführt haben war gibt es ein ganz sein .punkt für A X kleiner gleich bin ja sobald ich Ungleichung Systeme auch wenn ändert sich die Welt solange jeder gleich im für nur Klarheit Systeme hat ist es Polen alles bei die Schwierigkeit kommt Ungleichung oder ein der Ungleichung ganzzahlig bis sich für die Kombination Ungleichung allein es in Ordnung wobei das ja auch schon in das überlegen was in Berlin Algebra gemacht haben wir eingepreist einig Rechnen mit Gleichungen nur ja das war letztendlich daraus Algorithmus also dass man gebrauchte im gleichen System zu lösen wenn man schaut mit und das ist den war der Aufwand schon etwas höher und genau sein wird aber in der Eingangshalle Kader zumindest es auch noch ist auch noch machbar aber die Kombination ist die Schwierigkeit es so intuitives Argument warum es gab diese Kombination schwieriges warum soll x größer gleich 0 wird diese Schwierigkeit bedeuten der mich hier x größer gleich 0 da dazu nehmen oder den kleiner
gleich mal am Barren wird es warum wir das beste schwierige wir also bewiesen hat mir dass es schwer ist wenn ich ihr kleiner gleich macht oder wenn ich jetzt hier sage ich mal warum Lust daran sehr praktisch dasselbe warum wird es schwer werden wir intuitiv wenn uns das mal überlegen was heißt den x größer gleich 0 das heißt wir wollen am Ende sehen nur für den postet positivem abhanden Mehr will wie viel Uhr Tanten gibt es denn auch in 2 hoch N 2 wenn viele das als wenn das uns für einen von 2 Euro entfielen abhanden sein es heißt interessieren uns für 1 2 Enkel sozusagen an das heißt wir suchen die Nadel im Heuhaufen wir wollen Dimension an also das ist wirklich Mehr auch wenn so simpel aus den Männern nicht mehr geliebt werden was soll's aber es ist nicht gepreist ich Einschränkung des Lösungsraum es ja und das ist das was hier passiert hier sind Sie morgen über eben ist es was mir schon mal gesagt habe ich mir ne gerade anschaut also das Wiesn-Wirt Rezession gegen hatten war Mister ganzzahlige dazu es ionsg dasselbe wieder wieder rationale ich kann die Grey glauben irgendwann ich wenige wenn man mal Richtungsvektoren rationaler Rektor ist bereitwillige laufender kommt um mein ganzer Lieder .punkt Mode wird sie einfach mit allen Ländern doch und dann kommt irgendwann ganz Eilige .punkt das heißt auf jeder Geraden auf jeden Strahlen auf jeder Geraden für immer ganz anzeigen .punkt das heißt ich bin auch auf jedem einen ganzzahligen .punkt Jan als gleich bis nix anders als im Durchschnitt von von über Ebenen das heißt ich bin auch solchen auf Lillian runterrollen immer ganzzahlige .punkt es gar kein Problem ich musste beliebt Karriere und wie weit ausgehen dann klappt es aber sobald ich sozusagen mich jetzt hier einschränken versehen sein dass genau in diesem Sektor keine liegt oder zumindest des schwieriges nach zur ist nur deswegen passt es schon alles noch mit mit mit der Theorie über überein oder mit dem was das sozusagen dabei lacht über gut also die Beweise denn dieses wie das wenn man alles erst der Mahnung können weil beide gleichzeitige Lösung haben also beide wenn nicht gleichzeitig auch ja weil wir haben uns das anschauen y transformiert x ja mit dem ein Argument der das ist gleich y transponiert wie wir wenig Müll Lösung hab x erfüllt das gleich gehen soll zahme hier einerseits das Ding ist nicht aus Z andererseits wissen aber als ganzzahlige x ist ganz sagen wir wissen dass es ganzzahlig und das ist gar nicht so eilig also wer das Ding hier ganzzahlig gehen und das kann nicht sein durch das richtig was bin ist 1. aus dem erhoben was soll ich nun viele werden oder stimmt das X also stimmt schon ok mehr also einerseits hätten wir hier mit dem ein Argument ganz Alkalien mit dem gleichen Argument nicht ganz sei kein kann nicht sein dass ein Widerspruch wir so sollte einfach an angenommen das System hat keine Lösung also angenommen aber es existiert 3 y mit der Eigenschaft y transponiert Ar aus der Bruch M und y transponiert die nicht erst seit das heißt nur das für verneinen für alle y mehr y wird aus Zeit doch n folgt y transferiert B ist auch ganz ich und das heißt es ist so dass man das ausnutzen zwar wollen es müsse eine Lösung wir konstruieren so immer mehr dass das Erste was wir wissen ist 1. also als gleich be enthält zumindest im enthält auf jeden Fall meine Lösung möglicherweise rational also a =ist gleich b hat Lösung möglicherweise nationalen woran erkenne das wenn man es nicht so wäre dann das was einmal in der Algebra angucken am in der das System der Lösung oder aber andernfalls existieren y so dass y transponiert aber gleich 0 ist und ob es dann transponiert B gleich 0 nein das ist aus allen Nationen sicher denen was macht daraus Elimination zur das mochte seidenen 0 zu 1 gegen das ist das Ziel eskalieren so die Zeilen und Spalten also links seine Nutzer steht und auf der rechten Seiten ungleich 0 das war der Indikator das keine Lösung hat aber wenn wir wenn wir das hier hätten dass wenn widersprochen oder zudem hier oben warum bei erhält man so y ist das Y ist 2. für rational aber Kammer skalieren wir besonders viel bleibt es eskalieren wird einfach ganzzahlig ja so dass zu dass dieses Ding immer ungleicher er auch nicht aus der ja das ist ungleich 0 ist können jederzeit in kommen also Widerspruch zu alles kann nicht sein das heißt bis Alex gleicht der zumindest schon mal so kann so was noch annehmen können vollen Zeilen an und würde aber da wir und aber gleich warum wir hier um mit der Lösung des Falles rationale Lösungen das wenn werden dann die gleichen dabei werden können wir die wegschmeißt es tut sind an der Stelle nix zur Sache soll es einmal so nennt man nationale Matrix die hatten daran und wir haben Lösung des können uns Ansatz über damit Normalform anwenden also das Volk mit Satz 2 25 des können so Form bringen mit wir in Hamiten
damals worden ok mehr mehr dort ich zwar schon fast fertig Wettskandal von links des Berges 1 dann beziehen also wo mir is A 1 wir 0 da kommen da gerade das raus und können zur dann folgt auch damit das wer mit der Annahme das auch Bio -minus 1 ganzzahlig das ist ganz wahr Grausen entsprechen also so und so ist auch das ganze denn das genau die Annahme der oben die alle zur mit ist sondern es wird aus ZUM soll sondern zum geht ganz allein will als y einfach immer die die wie einige Zeile von dieser Bar wo man es einst mit in die 1. Zeile hier man das als Kandidat für y das Bier 1 B 0 ist ganz zahlt also muss auch noch unser Annahme oben besonders wie dann zeig sein als die 1. Zeile gemäß 1 B auch ganz allgemein für jede Zeile doch also hab ich dieses dieser ganze Welt der ganz an ist .punkt so offensichtlich löst dieser Vektoren uns das anschauen sei X wenn man jetzt einmal diesen der Dauer der immer alles in diesen 1. Komponenten genau diesen es offensichtlich ganzzahlig nahm und der löst X löste offensichtlich hier 0 x gleich B und damit A X gleich B wir werden alles falsch wenn es ein ziemlich kostspielig stimmt nun ja dieses Ding haben ja nur aus elementaren und Form erhalten es aber zu den hier und nachdem das X das offensichtlich löst er sich einsetzt muss auch das lösen kenne und das DS ganzzahlig nahm damit eine ganz eigene Lösung gefunden aber letztendlich steht hier auch der Algorithmus bestimmt wir müssen eine damit Normalform ausrechnen dass aber geben das ist alles was wir gebraucht haben wir werden damit Normalform aus und und kriegen damit sozusagen hier eine Lösung über den Wert der von dem ja ausrechnen die ganzzahlige Lösungen wir also ausrechnen ,komma um also mir nicht meine Charakterisierung sondern auch gleichzeitig einen Algorithmus um ganz gepunktete wie sie oben steht für 1 gleich b auszudehnen kann also da jetzt sozusagen bis in einzelne Kapitel der einfachen Fälle jetzt nebenbei noch einen weiteren einfachen wie im Fall als Nebenprodukt sozusagen erzielt wenn wenn ich nicht nur wenn die Matrix als total ohne modulares sondern auch wenn man nur gleich als Bedingungen haben wir auch dann können wir das Ganze über eine einfache müssen ja und als kleines Beispiel dass es den Sims Skript warmen Übung auch ein 2. für den Rucksack Probleme daraus sozusagen auch einfach einfach lösen kann unter speziellen Voraussetzungen gut so weit damit Normalform und und deren an Anwendungen "anführungszeichen ist es das ist gelebte oder des ganzzahlige Analogon von Fahrgast lernen das wenn gerade nächsten Unterkapiteln auch später
immer wieder mal Bezug darauf nehmen Bitzer noch Nachfragen dazu n gut wenn dem nicht so ist dann kommen wir jetzt zu dem MoMA wo ja schon versprochen hatte dass wir hin wollten das ist totale Dual Integrale zählen also ich fange wieder an Definition an und sagt dann was dazu Definition 2 29 also an seine rationale Matrix B nationaler Rektor das System A X kleiner gleich wie alles total Dual Integral integralen für alle ganzzahligen mit Vektoren sie aus dem ZOM ja für die das Minimum endlich SPD Minimum lehnte y Arte y gleicht sie endlich eine ganzzahlige optimale Lösung bestimmt also falls für alle für die das sie endlich ist er eine ganzzahlige Optimallösung y Stern gibt y Stern aus der es gibt zur steht hier also erst mal zur Begrifflichkeit 1. das 1. was mir mal aufpassen müssen ist hier steht dass ihr Leben von dem System erst mal also in a x kleiner gleich besten Umlagensystem Moment wenn wir nichts tun von Politikern und wir werden auch sehen naja das Verschiedenes ist denn das gleiche Polyera beschreiben können aber nur auf 1 oder einige von denen die die Ei sind und andere nicht das heißt es erst mal eine Eigenschaft von dem Umlagensystem nicht von Pro Lieder die sowohl jetzt dieses total Loral integralen und das kommt beim Anschauen duale ich was steht denn hier 1. das duale der zu machen zu mehr als wär das ehemalige maximiere CTX 1 kleiner gleich B 100 x ganzzahlige das ist das was mir eigentlich lösen wollen ok wir das es ist den Ball in werden immer minimiere bitte y aber es schon gleich zählt Gesellen nur an so das ist das duale zum dem was man eigentlich lösen wollen ganz zahlen zwar von denen Scharon setzt wir schauen dass es alle Zielfunktion andere dass es immer noch offen wer Wert Mehr bei total ohne modular Zielfunktion rechte Seite auch in der Mehrzahl würde es besser ist das bissfest aber jetzt tut es wegen des total für alle Zielfunktionen Dual natürlich wenn uns auf die 1 für das dieses Ding hier endlich ist ja also das heißt für das tat sich zulässigen .punkt hat und unendlich optimales und wenn wir wissen ja zum System kann entweder gar keine Lösung haben oder unbeschränkt die 2 völlig diesmal aus als in den USA ECS wie ist das wenn man die optimale Lösung gibt und wenn man sie optimale Sinn gibt es unter den gibt es auch mindestens eine ganzzahlige ok an so
daher dieses total praktisch jedes will für alle ist und du albernes sozusagen aus duale schauen um zu zeigen ganzzahlig Kay dem dualen fordern und jedes ist das kommt vielleicht etwas verblüffend warum vor der jetzt plötzlich
ganz eilig keine dualen warum soll es einfacher sein das war gleich der nächste Satz dann sehen nämlich das ist in gewisser Weise genau das richtige Konzept ist nämlich wenn ich zusätzlich vor dass dieses
B ganzzahliges dann weiß ich auch dass es Polyeder ganzzahlige ist wenn ich die die eine hat n also wirklich mit diesem eig Konzept an der Stelle wo man wo genau die Brücke zu nicht ganzzahlig kalt da ist ist das ist das Geld erst mal allgemein
sobald ich jetzt auch von dem B ganzer vor der Krieg automatisch dass man Politiker ganz an das ok das war uns auch in den den nächsten Satz einmal anschauen vielleicht noch mehr das schauen uns an der in der in der folgenden folgen Satz dann an die die letztendlich kann man es ja auch wieder eine geometrische Interpretation reinstecken wenn ich hier sehen wir ja wenn wir hier haben eine Kombination der Zahlen komische Kombination der Zahlen von Ar aber was heißt hier die 1 wenn ich mir die chronische Kombination der Zahl von anschaulichen reinschaut mindestens 10 diesen Kegel drin liegt da muss ich dieses der auch ganz kombinieren können doch nicht nur das sondern und allen Minimallösung bezüglich wenn muss in ganzzahligen .punkt finden nun also immer das als zum mitschleppen wenn man hier müssen größer gleich 0 haben haben immer ein Kegel ja das heißt dieses Ding hier von den zeigen aber dem Kegel aufgespannt Jahren geschah es die Minimallösungen an diese in diesen Kegel erzeugen und Danone mussten ganzzahliger .punkt gut also jetzt der Zusammenhang das ist der Satz 2 30 er X 2 als der gleich B der wie eh und je ganzzahlig dann folgt das Polyeder A X kleiner gleich die ist ganz zärtlich ok gut fangen wir an also müssen wir dann beweisen falls mal ganz seines er 2 Vorlesungen sehr 3 werden 4 Charakterisierungen und Polyeder ganzzahliges nur mal wir gleich nie genau das war der Definition ja das heißt wir kommen wir jetzt die konvexe Hülle nehmen da sie anstatt 1. soll die vielleicht dann dazu Schönheiten X aus an Wochenenden in Summe jetzt schreibt kommt X Auszeit Woche enden A X kleiner gleich B nein das war s p i und die beiden sollen gleich sein das war die Definition werden paar Charakteristik das ein bisschen charakterisiert was es heißt weil die Ovationen ganz einfach immer doch zu für das mal alle ganz eigenen konvexe Hülle dazu sondern es dann keine attestierten dem Mann wenn wir sagt ok die optimale Lösung gegabelt 7 zunächst nehmen was man ganzzahligen endlich auch wieder in die optimale Lösung von linearen Programm musste ganzzahlige optimale Lösung haben oder auch jede minimale Seitenfläche mussten ganz allein .punkt Inhalten oder beziehungsweise dann auch jede Seitenfläche Ansicht müssen ganzzahligen .punkt enthalten ja und da wollen jetzt drauf wenn wir wollen dass zeigen dass jede müsse ein ist es leicht sich auf die minimalen Seitenflächen zu besteht beschränken wir müssen alle Seiten wegen anschauen es reichen die minimalen ok sondern müssen erst einmal zeigen dass diejenigen ganz Alençon enthält also es sei denn gleich unser Politiker hier X außen auch n externer gleich B und es minimale Seitenfläche mit um gleich wieder der Menge und gleich den gesamten Liter n lagen bei soll müssen wir zeigen dass dieses seit dem ganz sein .punkt enthält was machen wir da als wir wie lässt sich diese Seidenfäden beschreiben also erstmal sei gerade Sieg wolle dies selbst aus der Einführung also wir haben immer gesagt wenn es welche X hat wenn der mir das System A X kleiner gleich Bellinis Seitenfläche ist letztendlich dadurch charakterisiert dass ein paar von diesen ungleichen mit Gleichheit erfüllt sind andere nicht also die Punkte ich nehme alle die Gleichungen raus die auf dieser Seite mit Gleichheit erfüllt zu haben also hier Beispiel ja wenn ich hier ist das ist es Seitenfläche von P das sind genau die Punkte drauf die genau diese Wand beginnen mit Gleichheit erfüllen Williamson .punkt geht es den genau diejenigen die diese mit Gleichheit erfüllen und diese Klarheit also in dem Fall wäre die dieses Seitenfläche F 1 was genau er Geselle Securitys Z gleich mal ne Nummer der über die einfach mal doch 1 2 3 4 5 ja wir das Oldies Z 1 und 2 für dieses Ding hier für F 2 werde Securities selbst das und schreiben :doppelpunkt Eckholdt listet von F 2 wer gerade die FIA also ich nehmen genau die Ungleichungen raus die auf dieser sein Vermittler erfüllt ja das heißt ich kann dass er auch so schreiben es nix anders als die Menge aller x in Innenpolitiker Eder die genau diese Corliss der erfüllen aber die korrekt ist wird von 11 X gleich B E-Call Gesetz von 11 aber das normale Bild hab ich dem alle .punkt aus dem Politiker wie Kohl listet von FBI erst mal diese hier ich die ganze Linie wieder Mix aus P nämlich genau sozusagen diese Seiten wir sollten sie noch in der Einführung eigentlich so weich gemacht haben ok so was wir jetzt machen können es weil zu dessen Einführung auch gemacht haben wir können auch hier einfach schreiben X aus an hoch n warum können wir denn das machen und es ist eine Führung gemacht also laut Bild passt es überhaupt nicht mögen weil ja hier sozusagen denn hier und wenn ich für eine ausgeglichene viel größere Mengen also das Geld nur da es minimal ist sowieso ausnutzen warum ist er so wie eine Richtung ist klar ne bildet das ist eine Einstellung gegenüber den das es in Ordnung was wir anderen Richtung immer mal an wir hätten einen Punkt
der nicht nimm Polyeder liegt an also machen habe dieses Bild hier haben wir haben also wenn man jetzt einen der das erfüllt aber wenn er also meine Stadt in der die Welt in Ordnung angenommen eine enorme an ein .punkt der liegt auf den die mir sagen hier ok so was was bedeutet das nämlich nur ein Punkt auf dieses Seitenfläche X hier drauf der mal y was pasiert wenn ich jetzt diese Verbindungslinie an Cook zwischen den beiden der 1. nicht zulässig der es nicht in P als wann der hier rein irgendwann muss sich zulässige werde meine nicht Richtlinien Lauf wenn irgendwann zu lästig irgendwann komme ich aber hier an der Randbedingungen wie vorher wie ich die hier jetzt erfüllen die volle nicht erfüllt habe ja das heißt die würd ich mit zu Meinig wollte ist selten nehmen das kann aber nicht sein dass so ein noch gibt weil es die minimale Seitenfläche war und das heißt sie als sie einen Bild das Ding eine minimale sein wer sobald ich jetzt hier Richtung y Bande 30 irgendwann darauf dass sich alle um die noch nicht erfüllt hat viel und an dieser Stelle Machnig Stopp und dann habe ich einen dann hab ich eine Seitenfläche Teil die die eigentlich von dieser Fläche es kann aber nicht sein bei GF minimal gewählt also auch dieser Fall sozusagen Orten an diesem träglich weisen auf der Einführung haben wir den ein glaub ich auch schon an eine andere Stelle gebraucht aber dass ein ganz netter Trick sozusagen was erstmal ungleiches ist auf 1. Blick aber wenn man auf die malität geht n der schönen bekommt und deswegen macht so häufig sind diese Beweise wenn auf der die minimalen Seitenflächen geführt gut jetzt müssen wir nur an wir zeigen dieses F ja in dieser Form hatten ganz in Velden ganzzahligen .punkt ok an so wie machen wir das dass man wieder das gleiche Spielchen Dilemma Wirkung erst mal morgen es Entschuldigungen einig dass gleich die hier immer wenn man jetzt nämlich unser Farkas Lammerant ja also angenommen 11 enthält keine ganzzahligen .punkt so es kommt unser Parkers Ländern 2 27 ja dann existierten y aus CO K mit folgender Eigenschaft y transformiert aber IQ von 11 ist das Z Woch en und in y transponiert B ECU von 11 ist nicht ganzzahlig und war genau das war nehmen wird angewandt auf die Zahlen IQ von 11 diesen Wert denen mal 10 und wenn wir unten denn einmal Gamma so wir können ohne beschämende allgemeiner das war noch brauchen das ist y was wir hier haben größer gleich 0 ist wann können wir das machen wenn es nicht so ist er wir eine Wanne große Ganze Zahl drauf er andernfalls 2 Bilder an andernfalls werde es groß genug es aus groß genug so das y +plus S größer gleich 0 ist also 20 hat immer ein feines Zahl so drauf dass es größer gleich 0 ist das 2. ist y dann zwar mir y +plus S dann zwar aber ganzzahlig bleibt das auch kein Problem immer wenn ich so dass wenn vor ganz sagen es ist auch ganz so sind aber als andere aber gesagt ganzzahlige Matrix nehmen nicht gesagt aber das dass das kann wir jederzeit hinbekommen dass dieser Anteil ganzzahliges es das wird er ja auch wenn sehr rationale Zahl es und das andere eben gerade nicht ganzzahlig bleibt um hören also man macht bei dem eine entsprechend große Ganze zahlt drauf an dir zu nur baumelt ist so groß dass sowohl bis die 1. will be ganzzahliges also erstens wird aber ganz dann vertut dann tun wir uns den wir verschieben das Ganze nur etwas nach oben ok so wird so was wir jetzt da es wolle man die Eigenschaft anwenden und zwar genau auf unsere Max c't iX als kleiner gleich die ja soll dieses wegen des 1. mal endlich und zweitens wird von allen X aus es angenommen warum es denn so wir Regel einfach nach in den die das Bild X ist ja nichts anders ist sehr mager hier so definiert y transponiert Crew von 11 x soll das können wir 2. einsetzende sicherlich kleiner gleich ja wir A X kleiner gleich B selbst wenn es größer gleich 0 also kann ich das sie abschätzen y transferiert wie IQ von F und das wiederum des IQ von F wir sind ja die Menge die alle X aus dem F mit Gleichheit erfüllen wird so wie 1 Manhagen Silber S =ist gleich y transformiert ja IQ von f x quer ja und das ist jetzt rückwärts gerechnet da kann jetzt wieder meinen C das ist nicht anders als C transponiert X quer 4 X Quelle aus 11 ja das war als für alle beliebigen C mit X ist also immer kleiner gleich nur das mal gucken ist immer kleiner gleich sind Cedras will X wer Hoden ist es genau damit ist sozusagen alle Punkte x quer auf F erfüllen ich das ja es ist dem sondern lösen dieses lineare Programm zu Optimalität soll es hat wir brauchen wir diesen zwischen mal bisschen lästig weil wir sozusagen bei tv 1 die steht dann nochmal wir dürfen uns nur auf solche CDs festlegen wurdest nur dieses duale lineare Programm endlich ist er Unendlichkeit vom Dualen (klammer auf verschiedener Arten zeigen wie man zum Beispiel zeigen dass das wie mal endlich ist bewiesen dass binaurale hatten endlich optimale so gesagt dass der starke Dualität Satz das und auch des dualen endlich optimale werden beide Werte sind klar ich ja mit dieser Eigenschaft impliziert dass das dieses lineare Programm hier das duale endlich ist und damit wissen wir dieses lineare Programm war geben die die Eigenschaft hat hat auch ein ganzzahlige Lösungen und wir wollen jetzt ausnutzen um mit der passende und sozusagen dann die ganzzahlige Lösungen der Seitenflächen also wir wissen
also a x bei Weltbild tv eine extrem impliziert sozusagen das dann das Minimum drehte y Y gleich Z Y größer gleich 0 eine ganzzahlige optimale Lösung ein Stern hat so viel wissen aber auch dass das dieser als Voraussetzung war von unseren Satz zur Vermischung mit gemischter will Voraussetzungen war man a X kleiner gleich wie die A 1 und B ganzzahlig dann impliziert dass das also wissen auch ob aufgrund von der Voraussetzungen der B ganzzahlig das vor bin auch Penetranz bindet y ist ganz zahlen y Stern an so das muss aber übereinstimmen aufgrund des Dualität Satzes dieses Ding hier y andererseits der Dualität Satz ist better y Stern entspricht genau dem dem Minimum hier also Max CTX als kleiner gleich B 1 einmal mit der man bezeichnet das ist steht hier ja es gleich den Gamer ok und dieses Gamer war aber wie hier steht nicht den zählt und damit der wieder Widerspruch keine also muss und Annahme vereidigt dass das keine ganzzahligen .punkt Inhalt hier um damit ich angenommen enthält keine ganz sein .punkt denn es leider ist dieses Kapitel Essen bisschen technisches dem an diesem 1. beweist das Argument weshalb wir müssen immer ins duale mit dem Ziel die wir haben jemals Probleme so meint löse Wahlaussage spielen eines virtualisieren und es müssen es noch die als für alle CDs duale endlich ist das heißt es wir was dass dieses Endlichkeit Argument führen was wir hier gemacht haben ja und als wenn ich das alles zusammen hat dann kann ich jetzt den ganzzahligen .punkt nämlichen Dual aber mit dem muss ich jetzt wieder was kostet 11. blieben alle also müssen sagen ist war der wechseln was nachweisen dass was man dort dann bekommen wieder zurück transformieren deswegen sind die beweisen da beginnen noch noch ein 2 solche über oder 3 sogar in dem Kapitel die von der von der Art her genauso aufgebaut sind aber halt leider bisschen technischen versuche mal dass man sagen dass technische dann einfach mal weglassen uns immer so sauer auf die die Reichsidee dann konzentrieren vielleicht zum Abschluss für heute dass der Begriff vielleicht schon mal Stätten ist das was man auch jetzt dann beider brauchen werden viele für diese sie die 1 ist die Idee von Hilbert barsten und wir wissen ja von Kegeln was wir bei Kegeln haben ist erzeugen Systeme von Kiel war es kaum dass nur die extrem mal Strahl ja wenn ich mir so ein Kegel anschau ja das ist sozusagen das Korn jedes sind aber gerade die die hier sozusagen an an diesen extrem liegen was ist wenn denn jetzt nur für die ganzzahligen .punkt interessiert ja kann ich dann ja auch so ein System überlegen was mir alle ganzzahligen .punkt Summen Kegel erzeugt da gibt es so eine Art Basis für die alle ganz sein .punkt den kegelten und das führt uns auf diesen Begriff der Hilbert barsten und das ist das was man noch als nächste Definition festhalten wollen und dann am Mittwoch damit arbeiten wollen also seit C ein rationaler heute Kegel eine endliche Menge Tor wir mal H 1 bis H @at Teilmenge von c't das heißt Hilbert Basis falls wir alle Z aus 10 geschnitten zählt doch n gilt es existieren Lander II aus als N-JOY gleich 1 das drehen wird Z =ist gleich Summe Lande E die gleich 1 bis 10 und die über was es heißt will Basis heißt ganzzahlig es aber selbst ganz so ist also vor der Teilmenge ZUM ist so war steht jetzt hier was wir haben wollen wir ist genau das was wir hinnehmen beliebigen ganz sein .punkt in es steht hier und möchten den gerne ganzzahliger Zeugen aus diesen Elementen von Diesel wird Bares Einsatz eines ganzzahlige Analogon was mir hier hatten für chronische Kombination Na also hier lange I bleibt nicht negativ nur die natürlichen Zahlen die 0 10 erlaubt alle beschränken ist auch alle ganz noch ganzzahliges Callahan in die Frage gibt es überhaupt so eine Menge so was zu machen das Mahnmal könnte die alle ganz sagen .punkt in nehmen den Kegel Na ja eine ganz wohingegen habe und sich alle erzeugt ja aber da aber eine Bedingung verletzt nämlich diese Endlichkeit ja die Frage die mir das wirklich jeden mit endlich vielen Mängeln das kann man tatsächlich in gediegene werden es aber nicht beweisen was wir nicht tun muss es ist letztendlich nur dieses 1. zum Bottrop hier sozusagen anschaulich sagt es vielleicht nur als kleiner Hinweis gewisse hier irgendwo kommen ganzzahliger Punkte sind wieder =ist gleich Argumente rationaler Fall hier umgekommen ganzzahlige .punkt auch hier kommt irgendwo ein ganzzahliger .punkt dort oben verwendet dieses 2 gemessen parallel wiped anschauen kann alle ganz sein Kunde da drin Netz kann ich diesen Kegel Pflaster mit diesen Parallelitäten ich man das hier sprechen oft jetzt hier dann wird sie obendrein und so mit kann nicht den ganzen Kegel aus pflastern während aus pflastern heißt mit positiven skalare multiplizieren das heißt intuitiv reicht zu zahlen alle die in diesen Einheits palvelee oder aber es heißt auch zur Not-OP zusammen zu betrachten also geknackt hat sich diese Endlichkeit hin bestand aber das nächste mal ein Beispiel an und dieses Bilder Basen werden uns dann helfen um tv 1 auch tatsächlich zu charakterisieren Dankeschön für heute
Dreisatzrechnung
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Total <Mathematik>
Momentenproblem
Tabelle
Optimierungsproblem
Aussage <Mathematik>
Computeranimation
Normalform
Vorlesung/Konferenz
Mathematisches Problem
Zielfunktion
Optimierung
Normalvektor
Sierpinski-Dichtung
Matrix <Mathematik>
Wald <Graphentheorie>
Matrizenmultiplikation
Physikalischer Effekt
Gruppoid
Reihe
Linienmethode
Rang <Mathematik>
Gleitendes Mittel
Zahl
Summe
Normalform
Rationale Zahl
Ganze Abschließung
Vorlesung/Konferenz
Folge <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Punkt
Matrizenmultiplikation
Determinante
Gruppoid
Ganzzahlige Optimierung
Gleichungssystem
Optimum
Rechnen
Vektor
Ganzzahlige Lösung
Skalarfeld
Zahl
Entscheidungstheorie
Lösung <Mathematik>
Variable
Ungleichung
Normalform
Vorzeichen <Mathematik>
Lineare Optimierung
Uniforme Struktur
Vorlesung/Konferenz
Größenordnung
Optimierung
Ebene
Einfach zusammenhängender Raum
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Algebra
Lösungsraum
Ganzzahlige Lösung
Lösung <Mathematik>
Normalform
Rationale Zahl
Vorlesung/Konferenz
Durchschnitt <Mengenlehre>
Gerade
Matrizenmultiplikation
Total <Mathematik>
Punkt
Momentenproblem
Vektorrechnung
Minimum
Vorlesung/Konferenz
Zielfunktion
Integral
Minimallösung
Polyeder
Zusammenhang <Mathematik>
Punkt
Konvexe Hülle
Gleichungssystem
Zahl
Linie
Richtung
Summe
Charakteristik <Algebra>
Ungleichung
Menge
Vorlesung/Konferenz
Inhalt <Mathematik>
Mathematische Größe
Algebraisch abgeschlossener Körper
Punkt
Gewichtete Summe
Natürliche Zahl
Element <Mathematik>
Optimum
Dualität
Ganzzahlige Lösung
Richtung
Endliche Menge
Spieltheorie
Minimum
Stützpunkt <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Ganzzahlige Matrix
Parametersystem
Polyeder
Endlichkeit
Fläche
Randbedingung <Mathematik>
Zahl
Maßeinheit
Unendlichkeit
Teilmenge
Summe
Menge
Ganze Zahl
Rationale Zahl
Strahl
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Ganzzahliges Analogon des Farkas-Lemmas: Totale Duale Integralität
Serientitel Diskrete Optimierung (Optimierung II)
Teil 08
Anzahl der Teile 26
Autor Martin, Alexander
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/31780
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2009
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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