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Fourier-Motzkin Elimination: Satz von Weyl

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so e-HR in Soria erahnen wer
es so herzlich Willkommen zur heutigen Vorlesung vielleicht von weggenommen aber ich hab so das Gefühl in bislang findet allerdings wenig Diskussion statt Frage ich hoffe es hat niemand schreckt vor den Kameras die hier laufen ich glaube Sie sind sowieso nur
auf mich ausgerichtet das heißt es wenn sie sich melden kommt höchstens der Thron wenn überhaupt drauf also brauchen Sie keine Angst haben auf der einen Seite der sich ganz nett wenn es irgendwo Fragen oder oder Probleme gibt es einfach auch zu sagen sich gleichen Stückweit trotz dieser beiden laufenden ,komma Laster einzubringen was anderes sich gerne an sich am Anfang war es normal in 2 3 Sätze 1 2 Minuten wiederholen was das letzte Mal gemacht haben da bietet sich auch die Möglichkeit noch mal nachzufragen was das letzte Mal waren wir das alles richtig verstanden wenn sie das hoffentlich natürlich in der Zwischenzeit nach gearbeitet haben dass das letzte Mal gemacht haben dann Kleid was noch offengeblieben ist dass wir das dann durchaus noch mal am Anfang der in der nächsten Stunde dann jeweils noch mal diskutieren können wer also vielleicht ist sie auch tot sein als Möglichkeit falls sie das gleich nach nacharbeiten ist hier sozusagen nochmal die Gelegenheit noch mal nachzufragen es war zu schnell zu ungenau oder es falsch was ich erzählt habe also wir haben das letzte Mal wir sind gerade dabei Projektion von Politikern anzuschauen denn das ist ein wichtiges Instrument wenn zum Problem der Theorie an sich geht auch nachher wenn es um das Lösen ganzseitige Programmen geht es einfach die Grundlage ein vernünftiges Verständnis von diesen Politikern die zugrunde liegen und wie damals setzte man angefangen mit diesen Projektionen am auf diesen 1. Algorithmus dazu kennen gelernt den wir heute noch ein ein Stück weit spezialisieren wollen aber die Grundidee dazu ist alles da wir schauen uns den Politikern wir projizieren das auf dem
anderen Raum und was dann entsteht und die Hauptaussage des entsteht ist dass das Wasser raus kommt nichts anders ist als der Raum geschnitten wieder mit einem neuen Politiker
und insbesondere wenn mal sehen wir nur auf das was man projizieren selbsten Polly das dann kommt wieder ein Politiker aus
dass eine der Eigenschaft die man damit automatisch geschenkt bekommen also von daher diese Aussage in Sie die Wichtigkeit die 2. Aussage die da drinsteckt diese Koalition ist algorithmisch und das Interesse an der dieser Projektion ist das wenn man uns Ungleichungen anschauen müssen immer nur maximal Paare von Ungleichungen anschauen und liegen damit sozusagen dass das neue raus ja und das war natürlich der Beweise setzt mal für ein bisschen technische diesen Philander Sohn L und so und was die abschätzen immer stimmt aber rein vom Bilder nicht mal vielleicht gleich nochmal bilden wir wieder reinkommen sozusagen was dahintersteckt Intuition das Eichamt Bild immer klar wenn man seinen algebraisch nachrechnen will es es vielleicht an der ein oder an der Stelle etwas technisch aber da muss was sozusagen einfach doch gibt es bis dahin fragen was wir das letzte Mal gemacht haben gut wenn dem nicht so ist dann nehme nämlich ich mal noch Bilder zu und wir schauen uns dann gleich von dem Algorithmus vom letzten Mal Spezialisierung an nämlich Art dass wir jetzt nicht meine beliebige Richtung nehmen sondern Einheit Sichtung und wenn wir das tun und als blind auf den Raum dem projizieren wollen einfach eine Menge mehr über Ebene neben daran nennt man das ganze Verfahren Foyer Motz gehen Elimination des waren die beiden Herren Folie muss gehen jedes Jahr das Ende Anfang des 20. also Ende 9. Anfang 20. Jahrhunderts entwickelt haben und das bis heute noch in der Form einig seine Gültigkeit hat und auch was die algorithmisches Seite betrifft letztendlich ist es bis heute kaum möglich bessere Verfahren gibt als das was die die beiden damals entwickelt haben gut also schauen was normales Bild vielleicht dazu an ich hatte das das letzte Mal schon einige Gemahl Moses in einer 2 anschauen wenn wir hier manchmal zum Paar so n bisschen mehr Nebenbedingungen rein so wie hier ja und wir wir wollen sozusagen in diese Richtung projizieren ja das ist unsere Richtung C 1 soll der intuitiv rauskommen dass haben waren Sie das letzte Mal schon sozusagen darauf geeinigt ist im im Wesentlichen der also das ist unser ihr wenn man diese Richtung projizieren dann sollten wir hier landen und hier lernten also das heißt diese beiden dieser Bereich das soll die Projektion ergeben also ja immerhin Gemahl des H wenn dieser Beruf blaue Bereich war das Haar hier in dieser Weise Bereich war P A B kann und der gelbe das soll das neue System P die sagen also nie diese 2 und die Erinnerung an ja und der Mond diesen Satz vom letzten Mal nochmal anschauen was da letztendlich stand die zwar auch Hauptaussagen die die wir bewiesen haben war er es hier noch mal hin das weisen Satz 1
14 die Aussage CE nämlich dass die Projektion ja Ph nichts anderes ist als ja geschnitten jede Idee also genau wie hier weil das BGB ist natürlich die ganze wie nie einer also also diese ganze Streifen nun ist es unser PDD und das Weise als vielleicht doch dabei sein wir dann wenn mir das unterscheidet hier dieses Weise ist BAB so das war das war ich die Hauptaussage der Gebrauch Daten werden dann noch so ein sollen so ein technisches Begleitprogramm nicht mal einfach so in er einmal bewiesen haben dass die einst das wenn ich in icq Square aus BDB habe er dann folgt das X quer +plus Lander C Elemente die AB ist für alle Lander in diesem in der Wahl der und um und die umgekehrte Richtung wenn ick Square +plus Lander C Element P A B ist ja dann folgt das X quer aus ist und das L kleiner gleicht dem ist das war diese 2. Aussage die wir hatten und mir das einbilde nochmal anschauen ja wenn ich mir in speziellen .punkt draußen in der man hier so X quer aus diesen PDD hier haben wir den heute schon auf dieser Hype in hier ist und ich Square ja rechnen denn da oben so was müssen wir denn jetzt tun was steht hier für ne Aussage SX Klehr aus dem BGB ist also aus diesem gelben Streifen dann finden wir Anlagen dar so dass x +plus Landert sehen diesen Pulli ist also wir schauen uns sozusagen diese Linie hier an ja und wie er die Aussage ist wir finden einst Skalar S Vielfaches so dass wir wenn wir x +plus Lander C also in diese Richtung laufen dann treffen wenn das Polyeder ja und das ist mir zu machen wir schauen uns alle über Ebenen an ja die hier 1 einen spitzen Winkel oder nicht mit mit der Projektions geraten haben alle die sich hier ja und von denen müssen wir das Maximum des alles war das L wir müssen die nehmen die sozusagen am dichtesten an diesem Politiker dran es also in dem Fall diese da also wurde Abstand von mir zu der Geraden am größten ist nun von anderen Richtung Scheich natürlich auch alle Überlebenden an die die Welt also die dieser Stahl trifft und wenn unter den den minimalen beides ist der relevante Markt und hier in diesem Bereich wenn man leider nur 2 fahren oder gibt 3. jetzt es nicht grün wer bei gelten auch okay Gelb und Blau mischen des grünen auskommen schauen wir also diese dieser Bereich hier das ist genau der Bereich L und nein in wenn ich so und das ist das Minimum an Skala aber sich eskalieren muss x +plus wandert sie damit ich da rein kommen und dass das maximale was ich tun können ja da sie immer genau die Aussage die ist ja also wenn ich wenn ich ein Skalar hat dann musste es in diesem Bereich sein ja dann muss der Punkt in diesem Streifen gewesen sein das ist das und es allen muss klar gleich dem sein werde wenn ich hier außen bin ich kann es mir passieren dass die dass ich keine und dann ist es eh größer als dem weil da ist der Bereich unzulässigen genau siehe oben als bestimmt genauso Zusagen über eine an dem Punkt wie hier oben kann es natürlich sein dass es nur genau ein Punkt ist das denn er gleicht dem ist also ich eigentlich nur vielleicht nochmal als Erläuterung zu dem was mir algebraisch das letzte Mal vielleicht etwas mühselig entwickelt haben ist eigentlich hier recht einleuchten an Bill oder geometrisch eigentlich klar was passieren muss gut also schauen wir uns den Spezialfall von dem Algorithmus an das Wort Algorithmus 1 13 Spezialfall davon ist der Algorithmus 1 15 und der hatte eben den speziellen Namen vorjammert Scan Element Elimination vorliege Elimination also wir haben eigentlich genau die gleiche Situation wie das letzte Mal also ist praktisch alles wie wie Algorithmus 1 13 Spezialfall ist jetzt das das C gleich in Einheitsvektor ist also gleich CJ und des H man muss vielleicht doch das untereinander bringen daher das genügend also das C gleich ne Art des Haar ist jetzt nix anderes als die Menge alle x sodass XJ gleich 0 ist was nichts anderes ist als die Menge aller XC transponiert X gleich 0 also die Situation genau wie in diesem Bild war die Projektions Richtung sie ist sozusagen auch der Normalenvektor zu dieser Hype eben auf die wir projizieren wollen mehr Output ist wieder genau so also in dem Fall Klima damit die Menge aller x außen am Wochendende mit der Eigenschaft des X kleiner gleich die dass es unsere also und pro oder konstruierte Matrix des und groß die kleinen des und jetzt geschnitten mit H lässt sich jetzt einfach ausdrücken indem wir hier XJ gleich 0 einfach dazu schreiben wir also so wie wir das hier hatten dass genau das Ziel ha geschnitten gehe die also das heißt es genau das XJ gleich 0 dass Schreiber hier dazu aber und das ist die ob orthogonale vornehmen BAB auf diese Ebene H und was sie immer war warum der Name Elimination ja was wir nicht tun doch diese Projektion was passiert ist wir es wir projizieren das auf auf den Bereich wie hier wenn das X 1 so dass x 1 gleich 0 ist also wir eliminieren sozusagen die Variable M also wenn wir uns das Eisen Optimierungsproblem vorstellen wie wir eine Reihe von Nebenbedingungen wir schauen uns das so waren wir eliminieren wir schauen so dass diese Variable x XJ gleich 0 ist das heißt ab da brauchen Sie diese variabel nicht mehr zu interessieren haben die aus dem System eliminieren gut der Rest ist es eigentlich genau wie im anderen nur das ist ein bisschen vereinfacht wie in 1 13 ja in dem Fall des Ende jammervoll das Skalarprodukt ausgerechnet in dem Fall brauchen man nur auf den Index schauen ab ob sozusagen der Matrix Eintrag ihr habt 3 0 es war Ghana sozusagen die Idee Zeile Molly beziehen damit denn sie jedes dieses genau der Einheitsvektor also steht an der Stelle genau das der J der Eintrag der Matrix ja und Z entsprechend steht hier gleich 0 und die positiven steht hier größer 0 ja 2 ist wieder gleich es ist die 7. Direktion lieber hatten und 3 ist auch wieder für eh gleich 1 bis er dann machen wir genau das gleiche nur das ist es eben vereinfacht aber das ist genau das gleiche wie ihn einst 13 und B setzen das Ei
ich wird nichts anders als j mal .punkt war es .punkt -minus aber es wird mal aber T-Punkt verlängern können gehen soll statt meinen und dann haben wir das DIE es genau das Gleiche nur mit den echten Seiten J s -minus es wird wie The wir und das war's 4 ist wieder Dieb aus also wie in 1 13 wir schauen uns das noch mal an also wenn Sie vergleichen was das letzte Mal gemacht hatten der einzige Unterschied im letzten Mal im allgemeinen Fall stand die weißen Skalarprodukt wenn transponiert mit der jeweiligen Zeile beziehungsweise hier auch entsprechend hier mit dem Ziel transponiert also des gerade sowie der Projektion Sichtung des vereinfacht sich hier dieser Plan jetzt einfach auf den entsprechenden Eintrag in der Matrix also eigentlich würde super Einfall ist Verfahren mehr Blick sagt das Nachteil und das nur beim Augenübungen wichtig sehen bis sie zwar einfach aus aber wenn's dumm läuft ist das Verfahren insgesamt wenn ist für mehrere Variable hintereinander an den will hochgradig eben exponentiell weil es dumm bläht sich mein Gleichungssystem in jeden Schritt quadratisch auf es nicht so schön wie hier also der zweidimensionale verlesen irreführend weil die meisten Bilder schön sind die meisten Fälle auch schön in höheren Dimensionen sie die Welt da leider anders aus gut also Korrektheit und so haben wir alles schon mit dem vom letzten Mal war es ein Spezialfall ist aber dann aus wichtiger Spezialfall was man damit jetzt eigentlich haben ist und das wollen uns nochmal herleiten ist ein die Eigenschaft was nicht daran sehen gibt es Stehplätze nochmal hier oben wenn nicht wir können nicht an mit dieser Methode in einfache Aussage sehe direkt den ich wenn es Politiker selber und nicht leer ist dann muss auch das projizierte nicht wer sein Name das haben wir das aber sozusagen letztendlich hier indem sie falsch und drin und es ginge hier nochmal direkt und das wollen uns auch beweisen aber das aber sofort letztendlich mit dem was mir schon haben bewiesen das einer der Eigenschaften nicht gerade wenn zum Zulässigkeitsfrage geben die sind häufig nicht ganz einfach zu beantworten ist ein poli denn er hoch 387 Tausend ist leer oder es ist nicht leer wir haben die Frage lässt sich einfach beantworten Dimension 1 oder 2 lässt sich so was einfach beantworten und was dieses Verfahren und sagte können diese Frage der oder nicht leer einfach zurückführen mit einer Projektion immer um eine Dimension reduzieren also wenn sind die mention 387 Tausend nicht lässt ist Sound Emission 386 Tausend 999 nicht leer und entsprechend weiter und das wenn wir das iterativ anwenden ,komma da sie auf den eindimensionalen Fall um einfach auf der Geraden gucken müssen ist es leer das ist nicht die er vom das ist das was man so zum anschauen damit Klima interessanterweise an alternativen beweist zudem Farkas Lämmer wer sich noch schwach dran erinnern mag außen letzten Semester eine der zentralen Sätze die wir benutzt haben um den Dualität Satz zu beweisen also schauen uns als diese Folgerung an alles die Folgerung 1 16 die Aussage ist die AB ist ungleich leer genau dann wenn wenn es PDD ungleich leer ist so beweist also wenn man einen faulen Trick was passiert wenn der das Polly Eder auf sich selbst projizieren was kommt dann raus er betreut tionsrecht um 10 ich hab mein Polyeder PA B ich Policies auf mich selber was sollte intuitiv rauskommen also wenn ich das weiße oben auf sich selber projizierte dann sollte es wieder rauskommen auf was ich ursprünglich hatte man sollte wieder das Weise auskommen es denn auch so ist sondern C noch mal schauen ja ich Bräute steht würde dann stehen wenn es ha ist sozusagen PRB selber ja der Hammer PHB auf sich selber abgebildet dann können wir hier sozusagen interessante Beziehungen ableiten also die Projektion Frauen sie Abi auf sich selbst ist wieder PHB ja und damit folgt mit unserm oben ja das P =ist gleich P b geschnitten und soll damit die mir die eine Richtung geschenkt nämlich werden P die die leer ist dann folgt offensichtlich dass auch PA Bilder ist nur das Hammer direkt aus dieser Beziehung und umgekehrt ist P die ungleich länger anschauen und nochmal auf das des einst hier oben dann gibt's 1 x aus eingipsen X aus dem P die die dann folgt daraus dass X quer +plus Landert sie das Element P ABS für alle Lander kleine gerne für alle Lande zwischen allen nahm und damit muss es mindestens einen Punkt geben der in der NP ABS also mit D 1 ja Klima der der das P wie auch ungleich leer ist also wie gesagt das was sich gerade in gesagt damals also ist einer die Eigenschaft die wird sozusagen nur die mathematisch nachgewiesen haben nicht einmal vereinfacht formuliert hat irgend Polyeder und setzt die Politik des irgendwo hinten haben dann wird es dort auch Schatten den was nicht leer war man immer nur was Projektion als Sonnenstrahlen die irgendwohin Schale und ich hab hier einen Vieleck dann dürftest es sozusagen auch im Schatten an entsprechenden Band wir wo nicht zwar kann kein Schatten sein und was war muss Augenschatten sein das sozusagen mathematisch was hier steht von Quellen so das interessante was wird aus diesen aus dieser Folgerungen ziehen können was wir jetzt machen wollen es mit dieser Aktion hier nochmal schauen habe die Orte variable eliminiert war mal wieder runter das ganze Spielchen und eliminieren der Reihe nach alle Variablen um was uns erhalten bleibt ist diese Eigenschaft ins Feuer nicht wer weiß danach auch nicht mehr das heißt wir können nach allen Schritten haben alle Variablen eliminiert ja das heißt auf der linken Seite steht jetzt ich mir 0 Matrix und dann kam einfach ablesen ob die rechte Seite größer 0 des kleinen ähnlichen können damit sehr einfach entscheiden ob Politiker leer ist oder nicht und das machen wir jetzt mal nochmal also wenn wegen mir das noch immer aber letztendlich steht alles schon da also was wir sehen ist mit aus aus dem Satz dass wir gerade hatten aus Satz 1 14 und dieser Folgerung 1 16 auf angewandt auf die 1. Wahl auf je 1 mach mal so mal so ja wie folgt einmal die 1. Eigenschaft diese 1. Matrix des 1 dieses was passiert die eliminiert die Orte Variablen also sei es die 1 E die 1 ist gleich 0 so ist die 1.
Eigenschaft bis folge man direkt aus dem aus dem vorigen Satz wo man gesagt haben das ist der B fallen alles Satz 4 1 B sollte hier zu schreiben nämlich dass die Matrix senkrecht auf der Projektions auf auf der Projektions sich steht und war Satz 1 4 der steht da dass jede Spalte senkrecht zu zur Projektion Sichtung C ist einmalig denn er 1 Pretzien dann steht das D 1 bis D 1 Ei 1 gleich 0 das ist die eine Eigenschaft die 2. Eigenschaft die Waben es existiert der Matrix U 1 die ist nicht negativ werden weil wir nur chronische Kombination erlauben mit mit der Eigenschaft dass 1 aber genau dieses des ergibt und das U 1 b genau das kleine geben wer das genau das was wir hier besteht hier haben sei dies letzte Mal schon erwähnt dass lässt sich ein Matrix Form aufschreiben vom ich nur her nichts anders als dass sich die 1. Spalte nicht jede Spalte konisch kombiniert das heißt einmal mit ATJ skalieren seine wahre -minus ASJ uns kann ich genau so als Matrix aufschreiben wie CSS weg Matrixmultiplikation dann alle diese deckte Matrixmultiplikation Gefahr sich zusammen in diesen weckte wir und dann kommen wir nicht den U 1 auf das anwende kommt genau dieses die einzige aus nein das ist die 2. Eigenschaft und die 3. Eigenschaft die wir haben es aus dieser Folgerung dass P A B ist leer genau dann wenn das P die 1 T 1 leer ist soll die 3 Eigenschaften haben da solls Kamelle Spielchen fortsetzen also ich gibt den man leben oder Script ist es läge 1 1 zur zahm neues System ja es sei es Rechner weiter als Rechner mit dem System weiter ja anstatt mit dem AX kleiner gleich Pärchen der 2. mit B X kleiner gleich B 1 Mehr und und wiederholen das Ganze was kommt dann raus also machen wir das noch mal also nur ein Element Elimination folgen x 2 was liefert das ja einmal eine Matrix des 2 E 2 gleich 0 wir brauchen eine abschreiben die 2. Eigenschaft ist es existiert wieder ich war als so'n quer drüber und quer 2 werden gleich sehen warum größer gleich 0 mit quer 2 so jetzt haben wir natürlich anstatt alles D 1 stehen das kommende Matrix P 2 raus und das gleich UK wäre 2. kleine D 1 gibt es steht zwar ja das genau das gleiche wie eh und je die 3. Eigenschaft wie wir sie oben hatten ist das das P die 1 D 1 ist leer genau dann wenn das P B 2 2 gleiche S so ist ,komma das Ganze noch zusammenbasteln indem wir sagen das U 2 definieren einfach alles und quer 2 1 Jahr und damit kriegen auch raus das wenn ich 2 auf E 1 anwende also D 2 auf E 1 ja dann kommen nur einsetzen ist quer 2 B 1 mal E 1 die 1 mal ernst aber 0 das heißt sie kommt 0 raus das heißt die das B 2 steht dann auch senkrecht auf den 1. Blick zu uns weckte und wir sammeln weiter verwunderlich wenn man nochmal ins um unser Bild schauen ja dass die die die beiden gelben über die stehen senkrecht während die Sie hier ist er eine dieser normalen Lektoren der steht senkrecht auf diesen 10 weil ich dieses Projektionen 2 der für dann bleibe ich diese Eigenschaft erhalten wenn er 2 Dinge die jetzt schon am Ende wir mention bleibt der dicht der komplett der Raum der senkrecht auf den ja und das ist genau das was ich hier bestätigt ja und Vereine haben wir folgende Eigenschaften ja das wenn ich mir das U 2 Anschauungen zweimal an mich das aus der aus der sich Zählern ist es Zweig der U 1 mal an 1 mal arm aber nix anders als das G 1 aber was stehen U 1 mal als genau das D 1 also steht die U 2 quer 1 und U 2 quer d 1 ist gerade das die 2. ja das heiße ich des U 2 auf das an den endlich des D 2 kann so das heißt mit anderen Worten also bis wiederholt sich sozusagen jede Dimension ist bleibt diese Eigenschaft erhalten ja wenn wir den Nieren 1 2 geben ein insgesamt hier sozusagen diene der Eigenschaft erstens das Bild 2 E 1 gleich 0 ist und B 2 2 gleich 0 während des 2. Eigenschaft ist es existiert eine nicht negative Matrix U 2 mit 2 gleich D 2 und O 2 B gleich kleinen D 2 und die 3. Eigenschaft ist sie Abi gleich leer genau dann wenn PT 2 kleinen D 2 auch gleich leer ist um Sonde Spielchen Kamel Zülow holen das heißt am Schluss ja nach allen Schritten I ist vielleicht nach allen Schritten die genau was raus im Matrix die senkrecht steht auf allen Einheitsvektoren n also nach allen Schritten Folgendes haben der Matrix DIN besteht auf allen ja gleich 1 bis n also eliminiert alle Einheitsvektoren DM von Georg Laich gleich 0 die 2. Eigenschaft ist wenn man es in dann aus wenn es existiert der Matrix dies nicht negativ un mit der Eigenschaft en a =ist gleich 0 =ist gleich Tschulligung =ist gleich DIN und n d
=ist gleich DIN kleines DIN und die 3. der Eigenschaft ist das BAB wer ist genau dann wenn wie groß die einen kleinen wer ist nur so und damit sind wir was haben wir jetzt besonderes an der Stelle alle Variablen eliminiert es soll jetzt schauen uns mal dieses System an eine Matrix hat Wahlen Einheitsvektoren senkrecht steht es kann es nur wenn Matrix sein ist die 0 Matrix seiner also wären bleibt nichts anders übrig als die 0 Matrix er soll wenn des ne 0 Matrix ist ne steht hier 0 ja dieses Ding hier ist nix anders als die Menge aller x dann sozusagen 0 mal X kleiner gleich DN so dass das was hier steht so ist es offensichtlich ganz einfach festzustellen ob dieses Polyeder leer ist oder nicht ich musste überprüfen sind die ist die rechte Seite nicht negativ wenn ja dann geht's offensichtlich zulässigen .punkt wenn ein nicht um das heißt hier ist Zulässigkeit ganz einfach überprüfbar was vorher am im ursprünglich fallen Dimension 3 80 Tausend war nicht so einfach war können wir hier unten in Dimension zu seiner in Schweden Invention 0 sehr einfach entscheiden ja also ist also folgt hier sozusagen B die NDR 1 ist ungleich länger genau dann wenn diese DEN WEG Dauer größer gleich 0 ist so nett Sommer die Eigenschaft an die hier steht ja also gilt ein kleines d i sozusagen von den DNS kleiner 0 dann existiert da müssen wir schauen das heißt ja nix anders sie konische Kombination der das heißt es existiert nach dieser Eigenschaft 2 ist also auch nach dieser Eigenschaft 2 hier wir drüben haben existierten das mit Zeile aus dieser Matrix existierten größer gleich 0 mit der Eigenschaft dass transponiert aber genau sozusagen die wird Zeile von dieser Matrix INS ist also nix anders ist als 0 oder gar gesagt die Matrix ist die 0 Matrix und das 2. ist dass transponiert B muss genau dieser Eintrag kleinen DIN sein und es kleiner 0 eine soll das heißt wenn man das jetzt alles aufschreiben entweder ist diese Matrix hatten will also dies dieses Polly des ungleich leer also entweder daraus folgt entweder A X kleiner gleich Piraten Lösung ja oder meine Landsleute ein bisschen damit er es existierten X ja mit A X kleiner gleich B oder aber es existierten größer gleich 0 mit transponiert aber gleich 0 und transponiert B kleinen nahmen sie erinnern dass es genau das Farkas schlimmer also wir haben hier praktisch wird sich weisen die sind Einführung gewesen habe ich wenn ich die Einführung halt mal das mit zum Rhein algebraischen Beweis so muss sich die Matrix anschauten dies ist nicht komplementäre Spalten sozusagen Lucia die nicht komplementären Spalten macht die ein 2 Meter kurzer Beweis von halben Seite aber was die einzig betrifft ist eher dünn ist haben wir hier ein schönes geometrisches Argument haben und letztendlichen geometrischen Beweis geführt von diesem Farkas Lämmer und der auch irgendwie intuitiv einleuchtend ist nur mit dem Bild sozusagen und nichts ist kann auch keine Schatten sein und wo was ist muss auch im Schatten sein das aber letztendlich hier durchgeführt es nicht nur mit einem einen Schatten projizieren sondern eben entsprechend Mentions oft gibt es da Frage noch dazu zu diesem Komplex bis dahin weil jetzt wird mir dann paar Früchte ernten wollen aus dem was man sozusagen und sitzt hier erarbeitet haben und wir fangen vielleicht gleich mal mit ein paar netten Eigenschaften an nämlich das eben wenig wenn das Haar wieder Empoli Polly wenn es H auf das sich projizieren es kommt wieder und wieder raus das zum Beispiel eine dieser netten Eigenschaften die man auch öfters brauchen werden um die vielleicht nicht ganz so offensichtlich ist aber zumindest live von der Intuition auch noch gleich das heißt wenn ich wenn ich Abbildung der Discokugel Rumänen und ich projiziert die auf Mehr an der Discokugel ,komma wieder der Discokugel aus warum die Aussage die wir haben ja da kommt wieder eine aus wenn das haben und sitzt hier praktisch direkt arbeitet also schauen uns das an das ist die 1. folge mir daraus haben Feuerung 1 17 also ist aber ist Hagen ich ein Polyeder aber stetig -minus ein Polyeder dann folgt Projektion von P a auch vor ist auch ein Politiker er warum mehr das ist die Aussage des Satzes 1 14. nämlich die Projektion ist nix anderes als die die DEG geschnitten mit Haar und heißen den von Polyeder also Durchschnitt von 2 zweipolige das wiederum Politiker mal mal Umlagensystem Ashley X gleich B Strich ja Mainz ist dem Text der gleicht die bepacken einfach zusammen also Polyeder war definiert Durchschnitt von endlich vielen Heilbronn Jahr ähnlich viele endlich bis endlich viele bleibt endlich viele also damit ist es wieder ein Politiker haben und als Spezialfall der Projektion von P B auf den eine hoch Hochkran also wenn ich jetzt sozusagen auch diese dimensionalen Fall projizieren will für Kara kleiner gleich n ist auch ein pro Liter ja das Volk direkt aus dem Abfall nämlich der ok ist auch ein Politiker werden würde X kleiner gleich 0 das bestimmte 0 nix vergleichen ist also ein Politiker und damit projizieren wir sozusagen das Polyeder auf Polyeder und eines meiner war es auch wiederum Politik wir haben also damit haben wir diese Folgerung 2 noch eine Bemerkung an der Stelle noch über wo 1 18 also die Projektion humorvollen BAB auf ein hoch ist für das Ziel immerhin gut ist die Menge alle x aus dem Hochkran mit es existierten y aus einem hoch n Minusgrade mit der Eigenschaft x y =ist gleich ist Element TAB er das ist
eigentlich Definition die Positionen von K also ist das das nach Folgerung 1 17 ein Politiker ist ja so warm ist in mir so dass es genaue Definition wenn sicher denen Projektionen wir projizieren auf den Anouchka also es die Menge alle x aus diesen Hochkar sodass es ein Lander gibt das und das x +plus da mal die Sichtung Element dem P A B ist und die Projektions Richtung sind dem Fall die Einheitsvektoren genau diese n n -minus K Einheitsvektoren und vor welchen Lander China missionieren y China wissentlich genau das Gleiche tun gut so so mit der 1. Teil weitere folgen sozusagen sogleich eine der Folgerungen und
also die nächste Folge und über brauchen ist wir uns auf jene Bilder anschauen also wir haben pro Leder ich meine 4 Transformation das kommt dann raus das war nochmal affine Transformation was wir lineare Transformation schon bisschen und lineare Algebra in der Algebra ist alles linear also der Transformation es einfach in der Matrix Rauch wurde wie das der linearen Abbildung darauf multipliziert sich Piëch mit Matrix auf 10 A 4 ist nicht vom konstanten deckt sozusagen verschiebt also zur Linderung sozusagen affinen Abbildung sei 11 außen eine Woche Wochenende in den Arm hoch K das heißt .punkt das existierten Matrix des Außen da hoch K Kreuz enden die Außen ein hoch K mit der Eigenschaft f von x =ist gleich aus x +plus +plus das kleine des so und der nächste Satz sagt wenn ich eine Abbildung auf dem Politiker anwende kommt wiederum Politiker aus also auf jene Bilder von Polly sind wieder Polyeder so des Kremls einig dies einfach geschenkt wir nicht mit allem was wir schon haben wir schauen uns an und wir starten die schauen und sagen das ist das A Fine Bild von Polyeder P der wir vielleicht zum Schreiben von P B an ist die Menge aller x außen oder man müsse y im Skript Hochkar mit der Eigenschaft es existiert nun X aus er hoch in mit der Eigenschaft das es in den Polyeder ist also 1 kleiner gleich B und das y =ist gleich X +plus d das genau das was wir haben ja also viele hier stets nochmal F von X das heißt wir haben X wenn ich das Polyeder Projektziele Leben X aus diesem Polyeder das heißt müssen X das Ei-Vergleich B erfüllt und als Bild muss rauskommen Steaks plus die so ist können wir jetzt aber auch schreiben alles die Menge aller y Hochkran mit es existierten X aus er hoch kam mit der Eigenschaft um ja Schatz mal so B x y ist kleiner gleich weg wäre wobei jetzt das würde das einfach spezifizieren des B selber sieht so aus am 0 der -minus i -minus d die Einheitsmatrix und das weg quer sID aus B -minus die lustig also deren das kann nur jetzt in eine Form geschehen mehrmals Variablen x und y ja und wir haben also hier wird sogar das X und jedes y das heißt hier steht nix anderes A X kleiner gleich B und hier steht nichts anderes als DX -minus y =ist gleich -minus die es genau diese Gleichung nur einmal mit kleiner gleich einmal mit größer gleich und dabei habe die Gleichheit modelliert und wenn Monster sind sie anschauen alles genau die Form mir von diesen Coup war das heißt dieses Ding ist nach Bemerkungen 1 18 in ihrer an also einig relativ einfach haben aber wenn man die vorher einigen Aufwand betrieben
aber jetzt sozusagen können wir reichlich ahnten sozusagen was doch aus nicht so offensichtlich ist wenn wir das auf direktem Wege beweisen möchte gut machen wir weiter mit solchen Folgerungen das ist der Satz Satz von weil wir jede beliebige Matrix Abe außen aber auch Kreuz ändern gilt folgende Operation sind alles Polyeder in die Jahr Höhlen wählen wenn ich die wäre wenn die konvexe Hülle will und wenn die komische wann ist danke alle diese Eigenschaften erhalten die diese Politiker Eigenschaft klären neben klar nochmal was linear Kombination affinen Kombination konvex und chronisch bedeutet oder erweisen nicht alle allerhöchstens wunderbar also interessant wie viel mehr wir beweisen jetzt mal einen von diesen Fällen den einen die andere machen eine Übungen aber sah die interessanterweise damit haben ist wir haben da sozusagen ursprünglich in der Einführung poliert definiert als der Durchschnitt endlich viele halb rollen nur das entscheidende weil die auch mit diese Endlichkeit diese Endlichkeit hält sich auch über an den Operationen nicht nur Durchschnitt von Heilbronn sowie wie in dem Fall sozusagen affinen Kombination konvex Kombination chronische Kombination das heißt immer wenn wir Kombinationen welcher Art auch immer für ähnliche Art durchführen halt nur Politiker waren besessen Stück weit ne andere Herangehensweise ist das Argument überdurchschnitt Bildung mehr und wir werden damit auch sehen das ist das was man Einführung kurz angedeutet haben dass wir damit auch eine andere Darstellung von Politikern bekommen ist das was wir uns jetzt auch im Laufe der Vorlesung dann nochmal herleiten wollen nämlich dass mehr pro Lieder auch als konvex Kombination endlicher Mengen auffassen kann oder als chronische Kombination endlicher Mengen ja und das wär mal sozusagen mit den Dingen die wir uns hier arbeiten sozusagen noch als zentralen Satz bekommen das nur Polly auf verschiedene Arten darstellen kann wenn man später beider Optimierungen sehen das einfach von O wichtig ist in der Darstellung des sind und die meisten Algorithmen Arbeit der Eigendarstellung ist schwer die andere zu bekommen und umgekehrt also schauen was das mal an Beweis also deren Eichel alles zusammen wenn ich mir kommt wir schauen sie mal für den Kon anders heißt noch mal chronische Kombination ja das ist die Menge aller X im UNS existiert in y größer 0 mit der Eigenschaft x =ist gleich mal y nur also nochmal komische Kombination heiß ich meine Kombination linear Kombination der Spalten aber ich fordere dass alle Escalade nicht negativ sind ist es komisch nur so hier steht ja es wieder genau von diesem Typ was mehr hatten unbedingt das kann das ,komma locker als ne Weile sitzen affine Abbildung was hier stehen ja Ende des Tales 0 wir schauen uns hier noch mal und das große des hier ist es und da Mal das Essen also mit Charme der Sommer auf mit wenn ich geh gleich war -minus die Einheitsmatrix nehmen und rechte sei 0 f von x gleich a x dann ist er von P gleich diese Korn von Ar und mit Millet Satz 1 19. immer gerade hier hatten ist aus Satz 1 19 folgt sozusagen kommen ist den Politiker wir so die anderen 3 Fälle schauen sah man Übung an wenn der nette wir weiter der nette Folgerung sozusagen ist wenn ich mir die Summe von 2 Politikern anschaue kommt auch
wieder ein Kollege aus also hier 1 P 2 Polyeder daraus folgt P 1 plus Aidswaisen Poldi Eder in also letztendlich so seine Frau auslösen wenn immer wir endlich Operationen machen bleiben sozusagen der Welt in der Welt von Eder wir schauen uns das an das können auch recht einfach herleiten aus dem was wir schon haben über es also müssen auch weisen P 1 +plus P 2 das ist nichts anderes als die Menge alle x 1 +plus x 2 aus auch allen mit A 1 x 1 kleiner gleich B 1 wenn es sozusagen das A 1 B 1 7 1. Polyeder gehört und des A 2 x 2 zu den 2. so das können wir jetzt auch schreiben alles die Menge aller Z in einer Woch en mit der Eigenschaft H 1 x 1 kleiner gleich B 1 A 2 x 2 kleiner gleich B 2 und Z soll nix anders sein als X 1 +plus x 2 an sondern sehen wir dass es wieder genau das Gehör wieder als affine Abbildung schreiben dass Dinge so offensichtlichen affinen Abbildung aus diesen beiden Politikern und und wir sind fertig also muss das Ganze nur um 1 erhöhen und damit folgt also ich schon der Schweiz weiterhin seinen mit P gleich filmischer mitziehe A 1 hier ab 2 hier jeweils 0 ja schon einmal P 1 und B 2 um mit F von x 1 x 2 Schreiben Einheitsmatrix X 1 +plus x 2 Meinungen folgt mit ja wieder unseren 1 19 die Behauptung ok so und damit haben wir ein ,komma schon in die Richtung nur dann noch wollen hat mich auf diese alternative Darstellung Kompo Liedern die wir uns es nur arbeiten wollen alle die letzte Folgerungen formal an so den kommen was schon angekündigt habe ist und das von der 1. Schritt in diese Richtung wenn ich 2 Matrizen hat aber aus erhofft im Kreuz N und aus in einem Buch im Kreuz n Strich ein folgt das gleichkommt von A +plus das Grauen des ist ein Politiker zur warum ist dem so das müssen wir kombinieren tja seiner Travel hilft n hier also können wir auch auch wichtig ist so aber wenn dann dass wir sehr viel mehr Bildung angeben muss wir können auch einfach zitieren kann weil wir ich die Arbeit mit diesen auf den Bildern schon gemacht dann einfach die Ergebnisse die Teilergebnisse kombinieren die an der Tafel stehen ja genau also einmal die Aussage Polyeder bis Polyeder gibt Polyeder na das "anführungszeichen sowieso nur wissen ob das sinnvoll ist und das das wir mit dem hier weisen Folgen 20 bis Mehr das Politiker und das ist ein pro Lieder und mit der letzten Folge 1 21 wissen wir das auch die Summe Empoli ist also ist muss insgesamt rauskommen kann also einer der beiden letzten Folgerungen richtig kombiniert aber so ich richtig letztendlich stecken dahinter affine Abbildungen der Folgen eines Wahnsinn als 21 haben wir ja genau so bewiesen dass er das als eine affine Abbildung dargestellt haben ja interessante jetzt an dieser Stelle ist und das ist das was wir den nächsten Kapitel oder als Abschluss in diesen einführen Kapitel 1 ,komma Grundlage wird wo die arbeiten wollen uns doch herleiten wollen ist dass das immer so geht das alles nicht mehr so zu sagen ich hab das A und B dann ist sozusagen das Tempo Lieder sondern auch umgekehrt ich haben Polyeder find immer A und B mit dieser Eigenschaft an und das ist dann wirklich diese eine andere Sichtweise auf Politiker ja wenn uns das nämlich
anschauen die würden das Sinnbild denn aus sehen mit man mal hier mal rot und alle nass hier ist leer hier Sohn Polyeder hier so unser unserer Welt x 1 x 2 es wäre unser Polyeder AB angenommen werden die Aussage schon was wäre denn dann das kommen vor aber es kommen also vom erziehen wollen ist dass sie das Polly das Polyeder Song an Sony gibt werden Vorschlag für als in dem Fall müssen natürlich dann wenn mir das jemand quer ok also was wäre das A und das B also ich muss mir jetzt .punkt finden nur an darf nur endlich viele auch wieder das wegen des den jeweils endlich viele so dass wenn ich die konvexen Berater anwenden würden auf die eine Menge plus den chronischen die an wirklich den gesamten Bereich wer hat Vorschläge aus einem anderen steht hat man einfaches Beispiel noch einfacher dass mein Kollege gab eine gerade ja das sind meine 2 halbe Räume was wäre dieses und dieses spielen Verbräuche aus dem demnächst Wasser das ja dass so viele Möglichkeiten gibt seine es unwahrscheinlich dass irgend .punkt in damit ist nein also forschen halt wenn mal die 2 im Land ja was ist nämlich wenn ich die konvexe würde von diesen beiden Punkten im Gericht genau die Strecke über das ist Schulmappe oder glaube ich so ungefähr also wenig ich je 2 Punkte ab wie dich die gerade in die mich einfach deswegen affinen zu mir der Lander I sozusagen gleich 1 W danke ich genau diese gerade wenn ich sozusagen jedoch positiv will mich genau die Strecke dazwischen war also wenn das der .punkt A 1 und A 2 ist des Conf von A 1 A 2 das genau diese Bereiche keine Werner wirklich Fähigkeiten des ist ruhigen melden weil es hilft nix also aus sie sind es mit d'Argenson müde ist ist okay gut aber wenn Sie es nicht verstanden haben und tun uns aber jetzt dann richtig schwer der Vorlesung ja also wenn es da Probleme gibt deswegen lieber jetzt melden wenn sie sozusagen alle Kunde Mittagsmüdigkeit weil entweder bauschen vorlesen oder Hunger so groß immer konzentrieren kann es ok aber wenn gewöhnlich innerliche Probleme gibt sollte man lieber klären also das wegen mir das jetzt übertragen ja dann sein offensichtlich die wichtigen Punkte von sollen denn diese Ecken zu sein also konvexe Hülle diese Ecken gibt genau dieses Ding ja so ist aber das ist dann brauchen wir das chronische noch nicht das gleiche Spiel ist wie ich jetzt hier machen und einfach die Ecke nehmen ja dann würden wir das Dreieck hier kriegen das können wir die Versuchungen sozusagen dieses Dreieck aus zupflastern hier also diesen dann Polyeder mit diesen 3 Kenia aus pflastern das hilft uns nur möglich weil wir brauchen Endlichkeit ja hier geht's ins Unendliche das heißt wirken wir würden es nie hingegen mit endlich vielen diesen Bereich aus zupflastern er deswegen diese Conf Operation alleine reicht nicht wenn ich die Konformation alleine haben möchte dann bei kann es sein dass ich unendlich viele bräuchte und damit völlig dieser Ähnlichkeits Eigenschaft die über Politiker haben ja aber wir können ja noch chronisch kombinieren das ist hier ja nicht was es komische Kombination chronische kommerziell nix anders als gegen Mehr soll er sehr genau das Wort dafür er was wir sollen nicht aufnehmen ja genau diese Punkte die in diese Richtung zu erhalten so nicht denn hier nehmen und wenn also sozusagen das hier Nullpunkt diese 2 Vektoren anschauen kann wer von diesen beiden erst wenn es kaum von mir ja und hier das ist mein Conf von aber für mich die beiden hab ich dann 1. ganze Weise Höhe +plus Operation kriege ich sind ja ich brauche jetzt nur weil ich hab schon mal den im blauen Bereich habe ich und wir jetzt diesen Kegel hier an jeder Stelle sozusagen hier dranhängen nur ein wenig genauer und seinem gesamten Bereich und damit kann ich jeden .punkt wenn ich mir 1 auswählen kann ich darstellen als mit konvex Kombination von den dreien +plus Ebene chronische in dem Fall aus diesen beiden Mehr kriechen .punkt so
dass das tatsächlich immer so geht das wollte ich noch beweisen dass es nicht nur an diesem Bild sozusagen funktioniert denn wenn wir heute aber nicht mehr ganz schaffen aber wir machen uns mal auf dem Weg dorthin gut als das nächste unter Kapitel 1 ich kann ich war es das nächste Unterkapitel 1 2 2 Darstellung setze also nochmal vielleicht zunächst ein Blick auf das Farkas Lämmer ich weiß normal wenn entweder was wir heute bewiesen haben es existierten x größer gleich 0 mit der Eigenschaft A X gleich B oder aber es existierten y mit der Eigenschaft y transponiert aber kleine ja ich 0 und y transponiert B der oder oder umgekehrt nein können die auch hier größer gleich schreiben wir kleine weiße zwar als nicht vorzeigen bescheren ok so bei mir das jetzt als Äquivalent schreiben und hier steht der entweder das hat Lösung oder das hat ne Lösung wir haben genau nur eines von den beiden soll es heißt wächst sagt das haben die Lösungen der Sitzecke killen dazu das für alle y wo sich dass die Aussage er verneigen wir also außen existieren würden für alle die alle y mit der Eigenschaft dass Y transferiert kleiner gleich 0 ist folgt auch das sind sondern so will be kleiner gleich wenn sie von einem von der Aussage also das heißt es existierten X größer gleich 0 A X gleich B ist äquivalent zu der Aussage für alle y mit und wenn es um Dread transponiert y kleiner gleich 0 folgt y transponiert B kleiner gleich 0 so was steht denn was steht hier das sehr sehr nichts anderes als es existierten x größer gleich 0 so dass als gleich besser ist nix anderes das B in dem Kevelaer ist der von aufgespannt wird nur ist es das genau die gleiche aus sagen wir das eben noch mal klar hier wir nichts anders als chronische Kombination der Spalten und diese Kombination der Spalten das heißt des is ne Lösung lakonischen Kombination der Spalten von also BIS Element von A 1 soll das heißt ja aber Monsters Farkas jetzt anschauen Werke immer folgendes formulieren Reisenden Bemerkungen gilt wenn wir diese Erkelenz anschauen kommen von A ist nichts anderes als die Menge aller b auch y transponiert B ist kleiner gleich 0 für alle y Element ja 0 1 ist nur normal das Hearing geschehen was hier stehen wir also wie synchron es genau das Gleiche das für alle y die das Ziel erfüllen das als Polyeder aufgeschrieben erfüllen will be kleiner gleich 0 das heißt was hier steht was steht denn hier die zulässigen rechten Seiten wer diese B jedes in der die zulässigen rechten Seiten von diesem System AX vielleicht wie wobei ich nur komische Kombination erlaubt ist nichts anderes als das sich hier am stumpfen Winkel bilden mit einem Lektor aus diesen Pulli was das was hier steht steht stumpfer Winkel steht mit allen Vektoren aus damals ist dann zu mir genommen sozusagen die sich aber kombinieren lassen aus den Zahlen von Ar wie aus dem Ke gesünder von Zahlen von aufgespannt ok an so das wollen jetzt ein bisschen also ist vielleicht diese Sichtweise nur vielleicht ein bisschen daran gewöhnen 1. waren Messnorm bisschen allgemeine aufziehen aber letztendlich steht zu zeigen dass es schon schön weiß dieser diese Alternative Sichtweise die wir hier haben ok und die Werte die wir auch brauchen um dann diesen Beweis führen zu können gut also schauen wir uns das mal an dem eine etwas allgemeinere Definition dazu Definition 1 24 sei es wir beliebige Teilmengen des er hoch n also die Menge aller Vektoren ja einen stumpfen Winkel mit allen Metro an aus es bilden heißt Polar dagegen mit allen Vektoren ist Polar Bergkegel also in Zeichen machen wir sollen keine oben dran also es Kringel das nicht anders als die Menge aller y aus K hoch n mit y transponiert X kleiner gleich 0 für alle x aus S ja und wenige
Matrix in der Matrix A aus er noch im Kreuz n schreiben einfach Kringel ist die Menge aller y im K hoch n mit y transformiert aber kleiner gleich 0 wobei muss sehr aufpassen dass man unter den n Kreuz enden in also eine endliche Menge heißt einfach so definiert finde Matrix sozusagen das ins Land das Bild kleine gleich 0 ist kann so und damit lässt sich jetzt diese Eigenschaft die mir da gerade formuliert haben in Kurzform aufschreiben das ob also mit dieser Definition die wir jetzt gerade haben was was steht wie kann man dann die Bemerkung 1 23 schreiben statt als Folgerung also Kronen an ist nichts anderes als an transponiert 0 Klänge ja oder wenn es andersrum will so wissen skypt stellt steht 4 Jahren P 0 Klänge also mit wenn wir das mal anschauen was was steht denn hier was hier in Kurzform steht der Polar weggehen von A X kleiner gleich 0 da hier das ist der die Menge aller x a x kleiner gleich 0 der Saum Kegeln wir sicher den aus der Einführung die lassen sich gerade so beschreiben dass immer so wenn man in dieses Eis kleiner gleich 0 ja aus das in Kegel über normal das was in PDS was der Definition wenn weg dann entgegen haben soll jeder positive skalare werden also wenn ich hier ne Xavas Eis daher gleich 0 erfüllt offensichtlich jeder positives K leider wieder drin da also ein Polier dagegen ist die man sagen alle hier endlich erzeugt das also mit dem Chinesen politische Kegeln nun wieder politische Kiwi lässt sich so beschreiben dass man Einführung glaube ich am Anfang gemacht haben oder müssen sie gemacht also der Polar Denkeli dieses geht es ist nichts anderes als die komische Kombination der Zahl so bleiben wir ein bisschen sich setzen lassen wenn also wenn ich sozusagen polarisierte so wie es hier steht also ich schau mal alle Vektoren an im stumpfen Winkel bilden mit den hier es ist nix anders als die konische Kombination der Zeilen also das lassen mir vielleicht mal setzen und schauen uns dann nächste Woche noch ein Beispiel dazu an damit man mit den mit den Operationen bisschen besser umgehen können bedanke mich und wünsche noch einen schönen Tag
Verweildauer
Besprechung/Interview
Projektion <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Computeranimation
Ebene
Nebenbedingung
Ungleichung
Menge
Besprechung/Interview
Koalition
Vorlesung/Konferenz
Richtung
Ebene
Quelle <Physik>
Nebenbedingung
Matrizenmultiplikation
Punkt
Gruppenoperation
Besprechung/Interview
Projektion <Mathematik>
Formation <Mathematik>
Maximum
Gleichungssystem
Polygon
Skalarfeld
Dualität
Richtung
Linie
Index
Variable
Hyperebene
Minimum
Vorlesung/Konferenz
Gerade
Polyeder
Reihe
Optimierungsproblem
Skalarprodukt
Betrag <Mathematik>
Menge
Normalvektor
Matrizenmultiplikation
Polyeder
Algebra
Abbildung <Physik>
Besprechung/Interview
Projektion <Mathematik>
Komplex <Algebra>
Zahl
Negative Zahl
Variable
Rechenbuch
Menge
Meter
Durchschnitt <Mengenlehre>
Monster-Gruppe
Lineare Abbildung
Variable
Polyeder
Matrizenmultiplikation
Menge
Algebra
Abbildung <Physik>
Lineare Algebra
Projektion <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Affine Abbildung
Richtung
Algebraisch abgeschlossener Körper
Matrix <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Polyeder
Endlichkeit
Gruppoid
Konvexer Körper
Konvexe Hülle
Oval
Affine Abbildung
Richtung
Summe
Endliche Menge
Menge
Globale Optimierung
Vorlesung/Konferenz
Durchschnitt <Mengenlehre>
Ebene
Polyeder
Punkt
Vektorrechnung
Endlichkeit
Konvexe Hülle
Ähnlichkeitsgeometrie
Zahl
Dreieck
Unendlichkeit
Richtung
Monster-Gruppe
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Strecke
Menge
Höhe
Vorlesung/Konferenz
Ecke
Polare
Matrizenmultiplikation
Endliche Menge
Vektorrechnung
Menge
Gruppoid
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Polare

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Fourier-Motzkin Elimination: Satz von Weyl
Serientitel Diskrete Optimierung (Optimierung II)
Teil 03
Anzahl der Teile 26
Autor Martin, Alexander
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/31778
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2009
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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