Fréchet-Ableitung

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Title
Fréchet-Ableitung
Title of Series
Part Number
7
Number of Parts
22
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Identifiers
Publisher
Release Date
2010
Language
German

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Subject Area
Abstract
Viele Optimierungsaufgaben in Naturwissenschaft und Technik lassen sich nur als Optimierungaufgaben in unendlichdimensionalen Funktionenräumen modellieren. Beispiele sind Aufgaben der Variationsrechnung, Energieminimierungsprobleme oder Optimalsteueraufgaben. Die Diskussion dieser Aufgaben erfordert andere analytische Techniken als im Endlichdimensionalen. Insbesondere funktionalanalytische Hilfsmittel spielen eine tragende Rolle. Im Laufe der Vorlesung werden wir sehen, wie man mit ihrer Hilfe qualifizierte Optimalitätsbedingungen herleiten und auf deren Basis optimale Lösungen charakterisieren kann. Die Ergebnisse werden anhand von Beispielen aus Physik und Technik illustriert.
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Process (computing) Abbildung <Physik> Function (mathematics) Derived set (mathematics)
Difference quotient Differentiable function Computer programming Haar measure Sine Direction (geometry) Partial derivative Parameter (computer programming) Matrix (mathematics) Continuous function Numerical analysis Continuous function Matrix (mathematics) Average Index Operator (mathematics) Abbildung <Physik> Normed vector space Vector graphics Operator Abschätzung Linie Partial derivative Derived set (mathematics)
Differentiable function Computer programming Norm <Mathematik> Haar measure Zahl Logarithm Direction (geometry) Square Function (mathematics) Rollbewegung Physical quantity Average Hilbert space Agreeableness Operator (mathematics) Supremum Modulform Abschätzung Derived set (mathematics)
Differentiable function Computer programming Dot product Norm <Mathematik> Haar measure Raum <Mathematik> Binomische Formel Direction (geometry) Square Function (mathematics) Complete metric space Number Connected space Operator (mathematics) Operator Abschätzung Absolute value Fiber (mathematics) Derived set (mathematics) Exterior derivative
Norm <Mathematik> Sine INTEGRAL Differential (mechanical device) Direction (geometry) Hidden Markov model List of anatomical isthmi Integrationstheorie Function (mathematics) Equation Continuous function Subset Number Term (mathematics) Average Operator (mathematics) Nichtlineares Gleichungssystem Absolute value Mathematical optimization Fiber (mathematics) Differentiable function Optimization problem Weight Exponentiation Square Set (mathematics) Charakteristische Funktion Rollbewegung Abbildung <Physik> Linearer Operator Abschätzung Factorization Derived set (mathematics)
Zahl Norm <Mathematik> INTEGRAL Element (mathematics) Function (mathematics) Mass Complete metric space Number Field extension Rand Abbildung <Physik> Summation Derived set (mathematics)
Computer programming Sine Haar measure Direction (geometry) Zeitintervall Function (mathematics) Zielfunktion Continuous function Theory Subset Average Integrierbare Funktion Vector graphics Valuation using multiples Convex set Summation Constraint (mathematics) Duplex (telecommunications) Content (media) Square Regular measure Sequence Connected space Cylinder (geometry) Vector space Abbildung <Physik> Dualism Parallelen Local ring Derived set (mathematics)
Computer programming Greatest element Raum <Mathematik> Direction (geometry) Element (mathematics) Total S.A. Perturbation theory Set (mathematics) Subset Abbildung <Physik> Optimum Bounded variation Local ring Derived set (mathematics)
Restriktion <Mathematik> Computer programming Direction (geometry) Valuation using multiples Optimum Set (mathematics) Linie Equation Absolute value Leak Limit of a function
so kann man mit Wiederholungen ich habe letzte Woche es Ihnen so dezent als verallgemeinerte die Fenster zu Konzepte eingeführt die freudige optimal stürmen gehört haben oder auch so nicht linear funktionalen die kennen das wahrscheinlich da geht's hier los mit der Richtungs- Ableitung man das ist wirklich ich ziemlich billig man überträgt das alles ist was nach außen endlichdimensionalen kennt er auf vor auf die auf die unendlich dimensionale Räume muss dann hat man ableiten kann man zwar mit den Prozessen zu tun an das einfach in den entsprechenden Räumen machen aber da ist ja wenn man wenn das länger normierte Unsinn sein Konvergenz Begriff definiert und ja denn der Teufel lauert und bis im Detail eigentlich wie sieht das unspektakulär aus wenn man vom ableiten Polis unendlichdimensionalen kommt aber wenn man dann versucht wenn man dann endlich konkrete Beispiele anschaut wenn das heute auch noch machen mit und sie muss zum Beispiel da denkt jeder sofort das Ding ist von zweimal 2. Fernseher aber und das ist aber nicht der Fall okay also die Nummer 1 unter mir die Arbeit der die Richtungs- Ableitung definiert in nicht mehr Funktionen Abbildung ist
Tradition gegeben X H Elemente aus X und ja wenn dieser den Zweck existiert dann heißt X in Richtung H Richtungs- differenzierbaren der die der Grenzwert ist einfach hier der Grenzwert dieses Differenzenquotienten wir taugen 0 Uhr damit dass es schon ganz nett und damit kann man auch für die kann man auch notwendiger Teil BDO formulieren aber richtig sinnvoll wird ein ich erst wenn die Ableitungen linear bezüglich der Richtung ist also wenn ich in diese Richtung so Ableitungen in beliebige Richtung H jetzt schreiben kann in der vor mit der mit in stetigen auch Berater von er nach Y S 1 x Gold soll für jedes x das denen man dann dato ableiten Beamten vor und dann noch schöner ist natürlich wichtig auch für hinreichende Bedingungen aber auch Numerik und so weiter wenn man dann wie man das außer außer endlichdimensionalen Welt kennt auch noch richtig Abschätzung hat wenn ich also so dass er von ich sozusagen Täler entwickeln kann und könne hier heißt der die entsprechende Ästhet Eigenschaft hat also der hier oder kurz Jens in den entsprechenden Räumen kann sich immer dann den gegen 0 wenn die wenn die Haare in X gegen 0 geht okay und dann haben zum Beispiel angeguckt unter anderem was ziemlich trivial es aussieht aber dann doch gar nicht so trivial ist oder nichttriviale Konsequenzen haben wenn man den Jahren operatum hat dann sieht man sofort aus der Definition wäre es versteht differenzierbar weder ist 0 und und die Ableitung von dem Dinge reichsten besaß er 11. aber es einfach selber ja und dann wenn man das einmal weiß da kann man auch so merkwürdige Sachen integral Operatoren Ableitung ob Radtouren differenzieren okay das ist ein bisschen ungewohnt aber einig alles genau im endlich die darum Marriott sollte
weiter dass ich diesen getrennt dazu uns begrüßt komplettiere mit alledem was man ihm aus unendlich dimensionalen so kennen so schöner Handwerkszeug was man für Ableitung hat na ja was ist das das sind die Transaktions- regelt hätten Wilson Regel Mittelwert Satz Alters wären wir brauchen und kommt dann halt auch wenn wir dann einmal diese sehr zum Konzept verallgemeinert haben dann kann man Goethe und Optimierung einsteigen einsteigen okay wir wollte und oder wir gucken wo ich je wieder anfangen Solana 3 5 spare ich mir das heißt aber wenn es versteht differenzierbar ist dann auch und frische und Pastor Ableitung stimmen überein ich wollte nur noch eine Mutation angeben das heißt also daraus folgt sofort frische ist natürlich mehr als Gatto differenzierbar Merck will Gatto ist Richtungs- Ableitungen die muss dann noch in alten steht die dort Berater frische differenzierbare heißt Gatow plus westlich Abschätzung okay und die Notation ist eben an in den in den Kapitel jetzt nicht aber in den folgenden Kapiteln wir schreiben oft für die Gatto Ableitung V einfach 11 strich er wenn keine Verwechslungsgefahr besteht dass sich jetzt schon mal andeuten ich habe aber keine Lust gab in Index G wollen zu aber aber jetzt in den Kapitel nicht weit Silizium-Die ableiten dezidierter oder unterschreiben so kann man sich jetzt noch haben uns immer Öl in die die an angeguckt was die ob was die Ableitung von operatum bezüglich der Richtung ist mir und stetig im Fall von Gatow und die Frage ist man kann aber natürlich auch sich den Operator anschauen als als Opfer Observator auf X der auf der oder die die Abbildung die auf X weg ja sie eben X das er strich von X zuordnen ich hatte schon gedacht dass es eine Abkühlung von von X auf auf der aus den Raum der Stettin an unser der man dich diese Abbildung anschaut dann liegt es natürlich nahe wo was sie stetige Differenzierbarkeit zu definieren das kommt es eine Abbildung 11 und nichts Altes Lager ab heißt bestätigt bestehe differenzierbar in X wenn man Text Zeitz 11 in eine Umgebung vorliegt Vorschäden fand sie aber ist und die Abbildung ja so appellieren comma werden ob bitte zugeordnet Strich von X und jetzt noch mal was ist das man sich das nur mal ganz deutlich macht er Strich ist dann ob auf an einer Appel 1 x Innenraum der stetigen Funktion an Wall das ist der Fischer Pleite ist mir stetiges wenn der stetige Operatoren waren immer wieder wenn man das sieht man muss sich das klar machen immer über den Vergleich zum endlichdimensionalen ASF strich ja zahlen Vektor das heißt ich habe hier in der Nähe in Abbildung von allen nach N oder werden wenn man genau wenn wenn X und Y R und sind dann ist das nur Abbildung von N in den Raum R n Kreuz enden die der Gobi Matrix wird den zugeordnet und das ist natürlich linear steht die operatum Matrizen ja Stichwort Boston das handelt das immer wieder deutlich macht wie sagt später bei der zweiten Ableitung ist das verwirrend falls diese Abbildung wie sollte man als unter ach ne Art die ist natürlich erst mal nur weil ich habe jetzt nicht gefordert dass das auf den ganzen Raum er frisch die fremd war ist sondern nur in der Umgebung das heißt das Dings und Umgebung definiert dann würde ich das auch entsprechend aufschreiben Bildung strich X Obermenge Buchung X als die er stetig ist stetig in X aber das sind ja alles normierte Räume kann Ihnen den Stetigkeit Begriff ein ist es in jedem Punkt steht der der stetig welche war schreiben Sie wie genau im endlichdimensionalen auch 11 Element C 1 gibst ja und dass dieser Begriff der stetigen der France des wichtig wenn man wer comma Petite Funktion und so was da kommen die Stetigkeit diese dieser frischer bleibt und es nach dem Sommer Beispiele für die frischer Ableitung angucken werden jetzt setzt es war schon das triviale beispiels- Ländern Operators und jetzt kommt mal nicht trivial ist comma greift das genau auf was bei uns in der letzten Woche schon mal angeguckt haben es war die Sinus Beispiel und das was ist kommt so ein bisschen Stiel geben also da muss man das ist jetzt ganz interessante eine Wort noch dazu gesehen schon wieso Konzepte außen endlichdimensionalen tragen stetige Frischi Differenzierbarkeit genauso kann man natürlich so was die partielle Ableitung beitragen der partielle frischer Ableitung männlichen Abbildungen von X Kurt Ibsen nach Z dann kann ich in Excel 10 ableiten dann ich spreche partiell partielle Ableitungen definieren Denker des jetzt man nicht auch okay so und das erste Beispiel hat schon was aber dieser Linie Operator und das zweite Beispiel ist ist jetzt wieder ich gleich y der Raum der stetigen Funktionen und es und und des ist einfach der sie muss auch noch warten stetige Funktion wenn dann Sinus darauf an nach Bilder von der dich wieder stetig das ist die hat definiert okay so wir hatten schon gesehen Gatto Ableitung wichtig für Richtung H ist Cosimo S X von mal aber wenn ich von TR des T Zimmerdecken aus ja in der Richtung und natürlich auch beschränkt weil ihr so als ok zwar nur zeigen dass das auf frische dort gucken bei die Elemente 0 1 beliebig kann lieferten jetzt wieder weiters genau wie in der letzten Stunde da sich das Beweise in dem ich das Ganze period auf period Weise Argumente zurück für und da kann ich einfach ganz normal die setzen nämlich aus der an die von zahlreichen alle so Jones das an was ich mir mal anschauen muss ist diese Respekt Abschätzung und in der Ästhet Abschätzung versteht der Männer drin es zunächst niemals der von X
minus die vermeintliche was immer mir zu zeigen ist frischer ableiten so und das ausgehen die da durch die Norm von Hagens gegen 0 gehen in Hagen sollte ich das sehe period Weise was kann ich dann machen einen Mittelwert sagt ja einmal dann krieg ich ihren großen USA zwischen Stelle in Richtung war minus Kursen ist Xtra nein wenn ich den noch immer ein immer man muss sich vergegenwärtigen Tennisfest fest das heißt das sind feste Zahl okay und dann kriege ich hier die 2. Ableitung eineinhalb hier natürlich X von den jetzt in einer zwischen Stelle war a von t und dann habe ich ihr den Quadrat denn wir ein lange wirklich das habe eine noch mal für die Großen ist Differenz glich das Hacker Quadrat so in das natürlich kleiner miteinander und zwischen Mittelwert und das ist natürlich kleiner als Inhalt warum Firma T Vertrags so haben sieht man schon jetzt bin ich fertig meldet kann nicht das Supremo nehmen ich steht tauchten in Bolanden mehr auf das dann Mittelwert Satz wieder steckt ist egal bei der Abschätzung von da da nämlich das Supremum da drüber und dann krieg ich hier genau schon die Subprimes noch eine ist daraus folgt jetzt 11 von X plus als schon geleistet Abschätzung nochmal richtig in minus 11 strich er minus F von X minus comma von X in Richtung H 1 ich das in den richtigen Rollen machen er und das war mein Weltraum und der wir nochmal mal der derselbe zunächst wird okay 2 das sieht man jetzt schon das ist jetzt kleiner als Heidelberg noch empfohlen 1 Draht und das ist alle gleich innerhalb habe aber geht gegen 0 okay für Hagenow er habe ich tatsächlich diese nette recht Glied angeschafft und damit die frische Differenzierbarkeit so Welt Kongos Achtung bin Achtung der Beweis funktioniert analog für er ja also oder schreibe ich so für x gleich y gleich wenn nun endlich mal 1 warum ganz einfache Pi mal Daumen Erklärung weil die enormen dieselbe ist das ist das essentielle Supremo was macht keinen Unterschied also das ist nun sparen aber ja f von x gleich die minus X ist nicht beschädigt war vor L 2 nach der 2 so der ist natürlich definiert von L 2 nach at L 2 Funktionen Rheinstrecke der in Siemens ist global beschränkter kommt wenn man einen endlich Funktion Messbarkeit überträgt sich auch das ist und das ist schon wohldefiniert was da rauskommt in L 2 aber differenzierbar ist er nicht in L 2 ja und das obwohl er da definiert der sie sind wunderbar unendlich klagt global beschränkt wo kann man da was passieren und was passiert ist dass die festeht Abschätzung nicht mit durchkommt weil das mit der Norm nicht mehr passt die Rechnung bis wie kompliziert muss sehen wie mit integral umwerfen muss halt jeder nicht die Norm des Primus Formen wie etwa ein waren und wie ich das mache dann sieht man sehr schnell man kriegt es nicht hin er war hier unten steht der L 2 nur und hier oben verliert man die aber Städte schwächeren war kann man in einer schwächeren und egal was man macht jetzt nicht weiter ausführen weil wir wir das hier auch nicht brauchen das ist sehr wichtig und das gilt nicht nur für sie muss das gilt allgemein für alle man denn solch opportun Nimitz geopfert worden sind ob Operatoren wo ich denn nicht in ihrer Funktion Art Funktion hat von sich sagt etwa von er nach er und dann stecke ich hier eben und in eine andere Funktion frei Beispiel des iPhone zur stetig und immer wenn ich dem Apparat dort dieser Bauart und was ist könnte auch sein zum Beispiel die an die Funktion X dir quadriert hoch 3 irgendwas oder Logarithmus davon was auch immer ich will kriege ich nie die frische Differenzierbarkeit in solchen Gebäck und es sei denn er nun endlich da geht es doch nein das ist tragisch wenn ich irgendwas was differenzieren will und da kommt dann nichts Beispiele dann sieht man hier schnell da muss ich Ihnen in allen endlich da muss ich Ihnen in Halle steht die Funktion durch das gut machen kann da er da ist ja im Prinzip wird erst mal nichts Schlimmes dabei das Problem ist das das ist natürlich kein Hilbertraum ist L 2 ist ein Hilbertraum da möchte wird man das gelbe man gerne arbeiten als Verrat Produkt alles schön aber es geht in aber das ist wirklich wie kritische Stellen an der Bemerkung aber noch man kann zeigen dass es da gleich sehen von der die nach Q denkbar ist Einfall weiter mit gut kleiner P wenn das das geht ja nun da sowas nennt man Normen gelb nein in unterschiedlichen Rollen ableitet dann kriegt man recht Westedt Abschätzung geben er die Rechnungen sind wissen auf wenn ich da bin ich mir jetzt mal sparen so hoch Netz kommt aber am Ende noch ein schönes Beispiel was für mich wichtig ist aus Sicht der Optimierung war einfach viel Optimierungsprobleme irgendwie diesen gern beinhalten sei war es gleich H Hilbertraum oder auch der 2 wurde war gibt der Bildraum ist er und 11 es ist aber die Norm von X die Haare Quadrat sonst das und nicht nur er zurück zunächst schlangenartiger Gatto Differenzierbarkeit zogen wir gucken uns denn Differenzen Prozent an aus der Richtung Leitung und das ist so billig schon wieder Spaß macht so wird
sie aber für E 10 für für F 1 setzt sich der F 1 Einigkeit ich direkt in Betrachtung machen ach so Quatsch weil ohne Makatsch friedlich und mit und und hier aber binomische Formel Aldi geht er nach wie geht der völlig analog mit der sehr weichen Hand Skalarprodukt habe auch in in unendlich dimensionalen wollen und dann kriege ich hier alles cremig X-Bar Bart für das zwar Heltau IX A ja Glos er wieder her wichtig Taugwalder Adha Förderer Nienhaus es Waldrand durchtauchen ja ich jetzt hier zu grenz G das kennt wird sich aus das Tau kürzlich weg und hier bleibt ein Tau über H ist fest ich zur Grenze bleibt nur noch das das H Skalarprodukt und das natürlich dann mein Kandidat oder das ist eine Richtung Verbreitung da sieht man für Xtra beliebig existiert dieser Grenzwert kein Problem und der ist das natürlich länger und stetig in Haar es Skalarprodukt aber nicht das ist weniger es ist klar und ich wir auch noch mal die Normen schreiben mit waren 11 strich Gatow und X in wer bitte komm ich über mein Platz 30 in an nächste die Probleme einfach 11 durch die von Blix in weltweit China an also ausführlich L H R gleich 11 strich gehen von X in Haar Sternen und das ist ja das ist stören hier ich bin in einer Gruppe nicht zurück aber elementar ich kenne außer vor dem Satz von Ries zitieren aber lassen wir das jetzt mal hier Chuschi schwarz die das auseinander das ist kleiner gleich 2 9 x H kürzen heraus und Richter X also habe ich das das beschränkt operates linear damit Gatow okay und jetzt muss ich wieder sagen sich wieder die Abschätzung machen für Frischi und einmal jetzt wieder ein weiteres die Abschätzung und das ist genau so banal das Museo aber wieder nur ausklammern soll er auch Quatsch aus multiplizieren und ich sofort die ist die Leidenschaft okay mehr er habe mehr noch dort mal auch noch eigentlich nur schön sind sie nicht so konzentriert okay wie viel für Ableitungen mit Willi Westedt Abschätzung keinen Kandidaten also oder ist nicht bloß H minus F von X minus 11 strich man es ja nicht Cato Ableitung H im Weltraum ist darunter in Zahlen durch die Namen Urbild Raumes war die selber dran deutet sich das wieder ein ist das hier X Quadrat plus 2 a x Skalarprodukt aber gerade da sind minus x mal dran minus die Ableitungen alleine sehen wir 2 A X trage Striche Tumoren durch H Quadrat ja ja für große raus nein ich habe Menzel ist einfach nur Quadrat und das erst und das geht gegen 0 für im war gegen 0 daraus folgt tatsächlich das 11 es 11. ist klar für alle x Ausfahrt eine ich zweier beliebig vom Aleixo okay aller welche die frische gewöhnte Frage ist das auch stetig frische differenzierbar ja und wir sehen das die Ableitung der Strich von Aids in Richtung H es ich kann die auch ein ich wieder nicht mehr ohne die Richtung schreiben aber wir sehen sofort an der Struktur die es linear in X ja jetzt ich strich von X 1 zu 6 war in Richtung und einigte sich auseinanderziehen Skalarprodukt völlig klar das heißt der Held sein dass man auf also 11 strich ist also ein längerer ob das zur 1. ein Herr Hirschmann ja auch immer ich auf X dafür genannt länger ob Radtour auf und als Bild hatte die Ableitung also auch in ihren Operator nach er also ein L habe Sternen kann man auch mit habe
identifizieren wenn er möchte okay Nummer so dass man sich das immer wieder klar machen okay also linear um man sieht ihn ja auch und stehe die Wände beschränkt er Striches beschränkt sondern mal angucken also 11 spricht wir haben fast Sternen was ist das Operatoren sog X gleich 1 und dann die Haare Sterne und wird es auch sog haben gleich 1 und jetzt von dem Opfer von denen die am Apparat also 2 X war ich Guschi schwarz das ist kleiner gleich oder aber direkt dem Betrag mit 2 und nichts um aber die sind beide gleich 1 also ist das gleich 2 kleiner gleicht verlangt leicht zu das falls er strich ist ja und stetig daraus folgt Element C 1 frage ich Sie in Richtung er nur gut nur mehr so genau stetige Differenzierbarkeit vom Quadrat im Norden geht das natürlich die ich immer an war er er selber ist dass der Betrag ist natürlich die okay also nicht ich Cato die Ableitung ist nicht linear ja so und jetzt neu Handwerkszeug und das habe ich alles ohne Beweise und wer wen das interessiert wie man das beweisen kann und so weiter den möcht ich immer an das Buch von Ruth Zizka Vorwahl eines echten ziemlich gut Buch Proposition 3 9 einfach so munkelt man zum gelten in dem 1 X Y Z 1 im statt der Vollständigkeit brauche man schon ich weiß nicht ob Visumregelung nicht aber für die Ketten Ringe mir noch nicht ganz sicher sind es XY oder nicht habe ich an es gehe X Y verstehe differenzierbar nein dann auch alles da ist bloß der Tag G alle alles sollen das Wetter Element er und völlig klar die Ableitung ist mit Alfer bloß der Tag des Ableitung frischer Ableitungen das alle formal bestrebt plus später mal die ich strich ich werde in der Kombination der der frischer platt und die Türken 11 aber jetzt noch mehr Räume sind es X A Y die innere Funktion und die von Y nach Zweck die äußere Funktion an den stellen das wär man X und F von X er nennt y frischer defensiver daneben auch die Verkettung in x und die Ableitung ist jetzt kommt Georg hätten genannt außen endlichdimensionalen kommen können also gehe verbietet es strich wo an der Stelle x ist größter Ableitungen äußere Ableitung von der inneren Funktionen angewendet auf in Ableitung das genau die Technik und jetzt muss man sich wieder gucken wir legen kommt das denn jetzt alles mit den neuen hin also da wo sie mir ich mache meine so klein dass gesetzlich mitschreiben also die geht voran y macht Z das heißt die strich von y er hat ja wissen denn der ob dazu und bitte und macht Z so es geht von X nach Y also haben wir genau so eine Struktur die Strich an der Stelle und das der Nähe Operator von Yps danach zählt US geht von X nach Y und er strich von X ist dann Lehrer ob Radtour von es nach y was meinen was jetzt passiert ist diese ganze Ableitung offen H aus X anwende dann bedeutet das sehe wenn der Strich von links Prato auffahren da kommt dann Element und y aus oder auf das wenn ich da noch mal diesen in einfach mal klar machen was das bedeutet wo machte dort am Beispiel dazu so man kann zum Teil dieser ging es auch auf Gott Schober tragen das gelobe bei Gatow und wir brauchen dann das einst eine Komponente Frischi differenzierbar ist aber diese gab dieser Unterschied Garthof der ist würde ich jetzt mal sagen in für viele Anwendungen gar nicht so entscheidend wenn der Ableitung Gators ist da habe ich fast oder oft auch immer es geht Abschätzung was Sicht Optimierung viel entscheiden auf ist ist dass die Abend Ableitung nicht Gatto sind das bedeutet dass meiner meiner Arbeit ich kann zwar differenzieren in gewissem Sinne und ich habe auch es geht abschätzen weil die dass die Ableitung können auch Beratungen in der Richtung das passiert wesentlich häufiger Beispiel Indikator Funktion period ja gut dann locker als die Stadt wir gehen Besuch war dafür ein Beispiel wird das ist so bis ins Spiel was man da sieht wie man sowas immer beweist den Funktionen um dann muss man sie einfach immer nur an die Definition an Beispiel 1 x ist L 3 und 0 1 und y ist der er
und meine Ehre von nix es integral 0 1 Kriegsfront T gut 3 BT so dass man Abbildungen in von L-3 er ja anders funktioniert aber ich kann 3 Funktionen einstecken weil irgendwas hoch 3 L 3 Funktion hoch 3 ist aus der 1 so jetzt kann ich eigentlich diesen das Programm direkt für die Funktion durchziehen wie man das eigentlich auch außer der normale verzeichnen kenne ich kann auch jetzt hier schön die Ketten immer anwenden und dass wir jetzt machen 11 ist nicht genannt wenn wir die 2 verkittet G 1 mit G 1 wird von L 3 L 3 0 1 nach L 1 0 1 die 1 von X von T ist da einfach der Integrand dort wenn Sie einfach überlegen dass das der 1 Funktion des wenn X L 3 ist und die 2 weg dann ist aber das integral am Tätigkeit okay und das beides nötig dann diese entsprechende Verkettung so die 2 ist im Jahr ja wegen der Genialität des Integrals stetig kann natürlich hier das Ergebnis diese die Schulen dieses sich die damals durch die L 1 Norm von X abschätzen weil wenn ich das ja einfach dichter betraglich führen wird das integral höchstens größer und dann habe ich dort die L 1 Dom steht und das liefern sofort die Stetigkeit von geht und damit weiß sich sofort automatisch 11. war über alles also das ist billig alles einfach Nummer ich vergegenwärtigen und wurde so Snack Gysi Integrals ist viel einfacher zu diskutieren als die 1 ja es ist wieder so Nimitz geht den also unseren linear Operator irgendwie sowas hoch 3 das ob auf er definiert wer mit stecke ich aber nicht mehr der Zarensohn Funktion und Teile der Rechnung ich mir zwar sparen analog zu Beispiel 3 3 2 finde als Kandidaten wer es strich ja ich habe da oben mal weiter derzeit die 1 zu schreiben aber ich spare mir das mal jetzt noch zu bescheiden das das 1. Kandidat ist bei den Sinus war das ich habe den einfach abgeleitet und dann das X gesteckt und dann mit der Richtung multipliziert und genau so mache ich das jetzt auch ich leite das X auf 3 ab das ist 3 x 3 Quadrat und dann steckt die Funktion der ein Rat und das ich dann einfach period Weise mal mit dem H von denn ich mag das sei jetzt mein Kandidaten jetzt gehe ich direkt auf die REST Krieg Abschätzung ein wenig F die 1 ist dass der die innere Funktion an okay dann nur das man machen reichte es geht Abschätzung er wächst aber im Bild das ist der in Nummer 1 sorgen auslöst F von X plus bloßer sich auch 3 minus F von X X ob 3 wo ist mein Kandidat für die Ableitung 3 es Drahthaar und das ist der einzige gut ein besorgen was ist das integral 0 bis 1 ist sie L 1 Toren ja jetzt der Betrag von ganz Kladderadatsch muss ich das nur mein nee also jetzt mache es entsteht die sowas wie X von T plus H von Theo Trail das sind für jedes testet T also man zahlen und verwende ich einfach hier binomischen dazu das heißt also Ort glich das sind X von T O 3 plus 3 X und C hat Art mal vom plus 3 x von T aber von des Quadrats minus X und die hoch 3 minus 3 X von T Quadrat H V und T Betrag strich und die These das Differenzial oder sieht man jetzt da der Stich jede Menge aus und was dann über bleibt Hmm Entwurf noch was ich die nun ist so brennen sie mit dem 6 Wochen jetzt sehe ich das integral auseinander muss auch was und ich Probleme bei der Frage die brauche ich noch wenn es habe nur linear hätte dann würde ich dann sehen Abschätzungen können okay so wenn sich die einmal direkt vor er X von mal und die vertrat denn die und dann hinten wird doch der Art und da steht das integral 0 1 überhaucht 3D-TV und das ist genau die ältere aber hoch 3 rein und würde bedeuten nicht hin und die dritte Wurzeln die habe ich hier nicht also ich die Enteignung so und jetzt mal hier hier und da schon Gleichung Heller mit ein Drittel plus 2 Drittel vielleicht einst mehr also das Produkt aus erstmal G integral erst mal geht gar nicht abschätzen durch L 3 Normen von die bloß L 2 Drittel Norm von F und das mache ich jetzt es ist dann also kleiner gleich wo doch Mal dann habe ich hier genau ja da sich die Rosinen für ihre das ist mein meine einer Faktor da kriege ich dann genau diese Welt ein nur ja und hier kriege ich die L 2 Drittel und von den Dingen ja dass ich mein bisschen aufschreiben L 2 Drittel waren da steht jetzt hier wie das mehr 2 die 3 halbe L 3 halben Ohr L 3 halbe das sind ja ja die Kernwerte die T hoch Herbert 2 Drittel okay aber steht hier besteht H auch T Quadrat sie war sehr schön wie sich das daraus kürzt ja und den habe ich dann noch die L 3 Normen hochtreiben was ist das hier besteht H auch 3 also auch 3 T und die wo steht ein Drittel Quadrat also das ist genau in der L 3 Mohren zum Quadrat dann kann ich ausklammern was ist 3 dann bleibt die X in der L 3 Normen Blues noch ein Haar in der L 3 Normen mal und was habe ich ausgeklammert genau das die L 3 von H Quadrat das ist irgendwie festlegt zwar fest und der das Haar geht gegen 0 in der ne andersrum muss er noch durch teilen sie überwiegt wieder Death Abschätzung fertig bin das heißt wenn ich das durch Haarteile kann ich das abschätzen durch den Term durch H geteilt dann bleibt ja noch ein H über und das reicht um für die für den Grenzübergang zum wohl kann nicht vielleicht auch der schreibe ich jetzt diese knapp dahinter also ja in der L 1
durch in der L 3 nur ist eine gleiche konstante nämlich gerade das A L 3 und das geht gegen 0 ja gegen 0 in der L 3 1 Uhr damit habe ich dafür steht Differenzierbarkeit Gewicht so so macht man das muss man sich dann noch durch Brücken und gemahlene Perón ist dann weiß man immer irgendwo kommt ab allgemeine sowas wird Betrag hat und dann dann habe ich da immer Arbeit er Quatsch wenn ich was mit Betrag da bin ich mir mit nur mit solch wenn ich vor die frische Differenzierbarkeit von Potenzen Arbeiten beweisen will so etwa diejenigen mit Sinus Ge sagen damit er endlich da muss man aufpassen und in der 2. zu mir das alles nie und so ist es injiziert habe ich ja hier frische Differenzierbarkeit in solchen Rollen gewesen und ich war nicht mit allen endlich aber ich habe der trivialerweise praktisch schon morgen der Wahl allein zwischen Urbild Traumbild Bildraum habe ich also des das G 1 bildet ja nur ab von L 3 in Halle 1 das Bild der nochmals ab von L 3 Inhalt einer ganz natürlich auch nicht differenzierbar sein und allein der durch die mit den Eigenschaften von dem Opper hat er selber habe ich dort nahm der gebe ich verliere also L 3 nach 1 1 Uhr war in den Räumen ist daneben auch differenziert okay der auch so ein jetzt diese ganze brauchen integral Nummer da freilich Antwort so keltische viele aber schon ne Menge Zeug was war ein Rüstzeug was wir benötigen um Optimierungsaufgaben zu diskutieren wenn man jetzt Aufgaben 2. Ordnung machen würde weil ich leider Gottes in dieser Vorlesung geschaffen werde was ich gerne gemacht hätte aber das Lenin ist dann brauche man natürlich weiß nur hier Optimierungen Jahr oder der Schule schon schon hinreichen optimal der SPD euch 2. ableitet da muss ich jetzt eben genau hier wie ich das hier gemacht hat 2. Ableitung definieren der zweite frischer ableiten dass kann man auch machen ist ja dann echt etwas verwirrend weil ja das er gestern bedeute die 2. Ableitung in der Richtung in der Opera Tore mit Bildraum länger Operatoren wird kann ein bisschen unübersichtlich aber 1 ist das Feld vor brauche man dafür eben auch die entsprechenden Westedt Abschätzung und damit auf das auf Basis dessen kann man dann in leicht optimal Test bedienen herleiten das wär ich nicht schaffen es waren mehr mehr wir berichten so habe auf also wenn jetzt von minus 1 die des unendlichen Tag würde auch sein ja an der wir ja gar nicht weil wir ja gar nicht die für definiert von El danach L 1 oder im ganzen Raum Land er ich könnte mir gut ich kann man Domäne raus und so das er definiert ist wenn ich also eine so weit ich ihn wegen man an auftrat oder nur auf Teile von L 3 siehe Tätern die Abschätzung Tod durch das wäre nicht schlimm aber mir nix sodass das funktioniert irgendwas wo wo wo das wo das entsprechend gegen den die 0 ich stark gegen 0 Abfälle und würde ich denken dass das geltende also um zu aber wer macht schon was auf beschränken also würde ich jetzt denken dass durch gilt ja also ich habe jetzt keine ist mit kein Beispiel geläufig aber wenn man so guckt würde ich denken dass es funktioniert der was soll ich denn sagen und zwar genau weiter machen ich brauche zum Begriff des ist der Begriff des Buchner Integrals wenn Breuer nicht nur an einer einzigen Stelle nicht für Mittelwert Satz Netz wollt ich Sie einfach mal rumfragen einen kennt jemand den Begriff des Wochner Integrals wer jetzt alle period jemand in die parabolische von Zahlen macht abstrakte Funktion und Räume dann bin ich das dann kann ich sie jetzt aus Honig entlassen geben was ich jetzt mache ist ich ich ich habe den Begriff des Seebeck Integrals ja und Amen ich nehme jetzt ich ich habe jetzt die die ganze auch schon irgendwie mal sowas von X von T gehabt und dann und wann er sollte das anders weil es ist das ist schlecht was ich jetzt was ich jetzt mache ist ich bohre ja den Begriff des Lebeck Integrals auf und was ich dort integriere sind im allgemein oder sind sind ja erst mal so Abbildungen von er nach er modulo n nach N oder was und was ich jetzt mache ist ich ich fasse selbst nicht mehr genügen würde trachte nicht mehr Abbildung von Erna er sondern von er in irgendwelche war nachholen und da kann ich 1 zu 1 den Begriff des Lübeck Integrals Hochstiften und das kommt ist anrufen aber von uns nur von nachrangiger Wichtigkeit aber wenn sie noch mal mit NET parabolischen Gleichungen zu tun haben also PDS die Zeit der Billigkeit aufweist dann kommen Sie da einige nicht dran vorbei da Treppen Funktionen und das ist jetzt genau das wie sieht das aus der Integrationstheorie ihre anderes ist Vorlesungen gehen sie sind A und B im Intervall gegeben kleiner Bär so ich in bin jetzt auch hier wieder beschränkt auf eine das hängt alles und Excel ein Banachraum nächste und danach das heißt die Funktion f A B nach X Abbild ich sage gleich was dazu heißt Treppen Funktion heißt retten Funktion wenn Sie sich so folgendermaßen schreiben lässt wenn die Menge messbaren Mengen I existieren und Elemente aus den Banachraum X X gilt B I die charakteristische Funktion mal XII werden mit XI wenn Klicks weil ich Waldemar und wie sind mehr aus D er des Junk messbar das sind ja ganz normale Teilmengen aus dem eindimensionalen Intervall das heißt da ist Messbarkeit genau definiert wie sie das
aus ihrer ist okay Vorlesung gehen mit Beckmann S in Berlin ist und zuvor das brauchen wir endlich oder erhalten kleine endlich sprich doch während egal und es ist einfach letzten Erweiterung das Gebäck Integrals er viel Sonne Funktion und ist ist gegeben beschreiben eben auch wieder A B es von T die IT und das ist einfach nichts anderes als die Summe die gleich 1 bis Ende für mich diese XI sind diese Kohle 10. war das Maß von PI dieser disjunkte Mengen und jetzt übersehen wir das sind welche Zahlen das also linear Kombination aus Elementen von X das sind Element aufregt sehr sehr bin dass das der Wert dieses Integrals Essen ist nicht wie man das sonst kennt nur eine Zahl sondern Element aus X das ist genau und das ist eben diese Erweiterung des das Leitbild des Begriffes dass Lübeck Integrals für Abbildungen die ich in in ihrer Zahlen abbilden sondern für Abbildung in und okay habe jetzt für die Fischer Ableitungen ziemlich viele an Beispielen wird das wenn hier sparen weil bei uns spielt das nur ganz am Rande eine Rolle aber ich will der Vollständigkeit halber dass nahebringen das wäre dann das auch kein bis für große entwickeln wir einfach sehen das ist so völlig analog zum Gebäck integral dann ist das völlig aus Definition 3 2 wird habe ich das erstmal führten für nur vertreten Funktionen und jetzt muss ich Wochner integral muss ich das es muss sich das für allgemeine Abbildung unter der er zwar nächsten nach auch bringe natürlich erstmal Messbarkeit gut es doch nur messbar heißt doch nur messbar wir sind jetzt genau die die warme Decke integraler weil normaler Messbarkeit falls eine Folge von Treppen Funktion existiert der der einen existiert wird 11 Ellen von T gegen es von Zielen und das sind jetzt ist ist was ist das für Konvergenzen die Bilder sind in X das heißt also sie Konvergenz in X erfasst alle musste über 8 nicht sehr die nur 1 in einem Intervall so und man nennt diese Funktion brauchen wir integrierbar falls also so eine treten so eine weil doch messbar ist und zudem Geld integral Art des es von T minus 11 n von T in der iX Normen die Themen Geld geben und das sind normale Integrale weil die enormen da drüber die ist natürlich die die das natürlich endet in eine andere eine Zahl das heißt das ist normal für der Kritiker vor sie war wie wir das so hoch aufgeschichtet hat und das Rede und oder zu schreiben eine des geht hier weiter er ohne integral definiert durch und wie er fand die die Dietegen und völlig analog zum Lübeck integral einfach machen hinweis in gegen
unendlich integral aber wie ist n von P die T und das sind diese trennen Funktion wo die wo das integral einfach diese diese Summe dort war da die Verlierer Look zum Gedeck Integra das ist damit auch ein Element aus X die waren allen Element aus X und der Grenzwert das ist eben wo sich die Konvergenz in X betrachten Druck man kann zeigen ist die Definition abgeschlossen zeigt das der fromme Nummer 3 4 dass der Grenzwert wir existiert falls noch nach messbar und Wochner integrierbar und nicht nur das und des unabhängig haben Gesundheit von der jeweiligen Folge mit ein nicht mehr betreten Funktion hat dieser gegen Folgen vertreiben Funktionäre hin konvergieren dann machen sie das auch und da sah ich auch hier und die gar keine Bilder diagonal vor 7 1 unabhängig von der vor so ermittelt und nicht ganz so im luftleeren Raum für mich noch 2 Beispiele geben man kann jetzt natürlich denken wenn das alles schon so losgeht Müller-Beck und diese ganzen an aber Parallelen zu Lübeck da sich dann alle das was ich außen LP kenne ich auch machen kann also es laut LP Räume definieren LPI Räume für Wochen integrierbare Funktionen und so weiter dann muss ich die mit entsprechenden Norm versehen weil das geht auch alles man kann das aber weiter aufbohren ich kann dann auch so wolle es Räume für 4 Wochen integrierbare Funktionen definieren das heißt ich habe hier schwach Ableitung bezüglich dieser dieser dieses Zeitintervall T R das meiste Zeit hier und und dann ist man schnell bei parabolischen oder zeitabhängigen PDS er ist der X darstellt die Orts- Abhängigkeit drinnen und die Ortswehr Polarität und in der Abbildung hier steckt die kann man denn die Zeit Abhängigkeit zu getrennt betrachten das so die die bei bei Zeit ab bei diesem bei diesen doch integrierbar Funktion und der Witz dabei ist das dass sich das eben ich will auch noch mal die Motivationen dass ich das oft anbietest verpaarte Differentialgleichungen hyperbolische parabolische wie die so Zeit Abhängigkeiten haben weil man oft eine andere zur Zeit Regularität also noch Raum Regularität hat und das man hat dass sie so gesplittet ich keine direkt Raumzeit Zylinder definieren dem Funktion Räume die Augenbrauen erleben das bietet sich aber oft nicht einmal die Zeit in der PDS anders auftritt als sie Ort 2 Jahren so dass man das mal als Motivation hat ja wir werden hier an der Ziele sehr sehr sich da viel mit befassen möchte der muss bei den Experten entsprechen Vorlesungen und 2 mal 2 Beispiele das eine ist immer und die bekannte Welt X ist sehr eng dann ist das doch mal integral mehr in seiner Funktion aber wie nach allen folgt definiert und noch mal das ist jetzt einfach nur einen Wert in in X in in dem Bildraum dieser Abbildung ja und das ist deshalb hier einen Vektor aus allen das heißt ich nehmen die Komponenten von denen I von dem 1. es bildet ab in den Innenraum der R hat also in WN Komponenten und genau die nämlich hält und die in die kann ich da und das sind ganz normale Beck entdeckt worden aber es kommt eben Element aus dem Bildraum R Kruse soll auf bis sich Heiko ab so dass man nur die bekannte Welt und jetzt noch mal ein Beispiel hier ganz konkret an der stetigen Funktionen es und des ist einfach sowas wie die weil sie von irgendwas haben viel Zeit hier steht jetzt er wie meine also eigentlich mehr man man sieht jetzigen Ich muss dir Zeit und Ort Abhängigkeit nicht trennen ich kann auch direkt schreiben F die es ist gleich Thema Sinus S ja und dass es läuft der 2 0 bis 1 und das feste T was von A bis W läuft kriege ich hier in der Nähe stetige Funktion aus wie T geht der Wert von dem mal den sie okay die Konstruktion es dann das Bochmann integral ohne das war jetzt irgendwelche Integrations- und das wird in welche Integrationsräten dafür bewiesen dann schreibe ich das jetzt einfach mal an wird es aber völlig klar was das ist dieses integral der war deshalb diese bisschen merkwürdige Schreibweise ist ein Element aus X also eine stetige Funktionen und damit hängt die von es noch ab denn es ist das der damit der hier zwischen über die Wahl habe zwischen 0 1 und das ist dann also hier in integral nur von T E R 0 A bis B von den Dingen ja das ist die DET X 7 ist von S und das ist einfach nur halb Inhalte die Minus Quadrat die nur vom S und das ist in der Tat eine stetige Funktion für AP fest ist das der E stetige Funktion zwischen 0 und 1 so sieht das aus also da diese Konstruktion Wochenende gerade noch sieht ein bisschen gewöhnen das mutet ich denken bisschen merkwürdig an gerade man vom Schreibweise
sieht hier aber wenn man Name in Parma gearbeitet hat ist es eigentlich mir schwer aber wir brauchen das auch nicht wir brauchen das nur für folgenden Satz nein ich habe in der ich wollte da drauf wird sich das alles zu machen ich brauchte weil wir uns rächen sagt sie formulieren Proposition 3 40 ich brauche nämlich den Mittelwert mehr die an den Mittelwert Erzieher bei den Beispielen die vorgerechnet hat immer für reellwertige Funktionen angewendet und da gibt dann immer so zwischen Stelle am Salzwiesen 1 und so weiter man weiß aber schon wenn ich diese Situation habe der sich eine Abbildung in der N habe dann kann ich nicht mehr einfach den den Mittelwert Satz so formulieren Mittler zwischen Stelle und so weiter dann muss ich den integraler vom formulieren es wird manchmal so den in den Annales es wurde so ein bisschen verschluckt es aber sehr wichtig um die bei der Seuchen bei bei bei Funktionen allgemeinen Banner holen frische differenzierbar da ist es genauso was kommt jetzt weil ich sie integraler Form brauche brauche ich in dieses gesprochen richtig war XY-Bande ohne X haben Clement X gegeben Mann soll es Abbildung X y für alle Tau Element 0 1 das heißt sie Füllung Moderation in man anderen dann ist so lange Alarm bei denen 1 an oder ihn an der Stelle im X lange H bestellte Fritz dann gilt eben mir dieser Mittelwert Satz integraler vor F von X losfahren minus F von X bis gleich und es geht man da in in wenn das Abbildungen er werden würde man jetzt hier einfach nur es spricht an der Stelle X plus nein da in Richtung Haare kriegen mit denen man da zwischen 0 und 1 und sobald es aber schon Abbildungen in der n ist zum Beispiel dass dem Beispiel die zur NS jetzt ab Löhne 1 geht das so nicht mehr da muss ich da geht der bildet Satz noch in integraler Form und ich muss über Landa integrieren okay so und was ist das mehr das ist genau ihr von Wochen integer ich habe hier eine nach Abbildungen die Ort mit dem Namen der zwischen 0 und 1 was ist das für ne wenn man Tiere werde man das y zu und dafür bräuchte brauchen integraler ich weiß überhaupt was das es so ist das ist das doch ein tiefer okay das besondere Folge der das überhaupt diese Funktion f Strich von und so weiter Wochen integrierbar ist das ist sie aber man dann auch zeigen frischer Ableitung so unser Weg zum guten Schluss noch eine ach nee erstmals wieder weit dann was brauche und also ich brauche wirklich diesen Begriff der Bauch meinte Greis nur für dieses für diese für diese Formel die werden wir brauchen wenn meine den Satz über die in der also Abbildung den Bau und der Existenz von gleich Multiplikatoren war unklar er bei nicht Nebenbedingungen herzuleiten weiter aber alles zum Schluss ist man Wochenende Gewalt wissen sehr knapp aber wie gesagt wir werden nicht benötigen nur dass man in der Vorstellung hat was sollen das finde ich also ein das ist ein Element aus Y das ist halt braucht die Bahn nach Umwelt diesen gebracht es habe alles definitiv funktionalistischen Definition zusammen und können endlich in die Optimierung einsteigen und das geht jetzt ziemlich trivial los trivial besser war alles was wir jetzt erst mal machen im nächsten beiden Vorlesungen mehr ja schon so ziemlich alles endlichdimensionalen bis eine kleine Ausnahme so wie es kommt jetzt das Kapitel 3 konvexe Problemen mehr unser sei unser Hauptziel ist für komplett konvexe Probleme genau das auch Herr zu sagen was Sie vielleicht aus der nicht erst in ihren Optimierung noch kennen nämlich Dualität Handke haben Sie müssen das Problem hergeleiteten das war sehr sinnvoll und zum Beispiel machen so was den Simplex aber muss dort zu diskutieren und das ist nicht unser Ziel hier wir auch solche Dualität Eigenschaften er oder ist er der Dualität Theorien herzuleiten so und wir gehen erst mal der einfach los in und diskutieren konvexe Nebenbedingungen Zielfunktion wir müssen jetzt erst mal die die Funktionen und minimierenden Funktionen müssen jetzt erst mal noch nicht konvex sein sondern nur die Nebenbedingungen wir halten sie mir Bedingungen sehr allgemein und das geht jetzt erst mal noch gar nicht darum lag und Multiplikatoren Bonität eint okay mehr das haben Sie los mit der Definition was ist überhaupt optimal ja das ist genau das wie das wie man das in im endlichdimensionalen kennt also sein X ein Vektorraum in der Teilmenge von X und es Nachbildungen von Xtra er geben bezieht einige auf definiert sei aber dass wir das machen das heißt ich Square und das wird immer meine Schreibweise sein für für optimal Element lokales minimieren also ich unterscheide ich zwischen minimal Stelle um minimal werden so beim ESX wer der Input des ist das lokale man fertig period von 11 auf falls es existiert ein er cool sein wollen und
das er von XP kleiner gleich F von X alle x die irgendwie in um kleinen in der Umgebung um das X liegen unnatürlich zulässig sind also aus dem auf auf der auch es kommen an ist ja für alle zulässigen habe ich dann ihren höheren Funktionswert als striktes ok alles nehmen falls die Ungleichung 11. ist man hat für alle GX Element WDR ist der geschnitten M geht ungleich Ex-Vereine durch da kann sie nicht echt war so und entsprechend sagt man ich Square Christ globales nehmen falls wer von nichts mehr kleine F von X für alle x wenn man und hatte ich analog striktest globales Minimum der Finalserie versprach striktes dabei hinnehmen wissen so was nehmen was gleichzeitig steckt lokales okay so ja comma direkt den aber versichert mehr kann ich direkt die einfachsten Notfällen Optimalität Bedienung angehen für die für eine bei konvexer nehmen wir wissen außer nicht der Optimierung wenn die Menge über die ich jetzt in die optimieren will wenn die konvexe ist dann ist alles Easy und genau das kommt jetzt ich versuchte sitzt immer und sagenhaft möglichst allgemein zu formulieren aber eigentlich ja auch egal eine konvexe Teilmenge nur eines Raumes Teilmenge von X Jahr nominiert und es wenn X ich habe es auch ganz X definiert und eigentlich immer noch nicht weniger mein funktional was mache ich denn das ist totaler Humbug Julia funktional also eine Abbildung R weil weiter noch Xtra lokales nennen von auf C und 11 Richtung Stil vor über das uns definiert haben 11 Richtungs- definierbar ihn es schwer alle Richtungen nicht ja mit H lässt sich darstellen als Differenz X minus x quer mehr mit einem X Element sie sich die alle Haas die ich in Word Sonne Differenz darstellen können die Richtung soll es Richtung Stefan sein man es aber nur in in x Gatow SX Kleidertruhe reicht das ja schon mal da was Richtung ist Street war dann geht die Variations gleich die da lautet der ist XGA X minus X der es größer gleich 0 das ist die Richtung Ableitung gerade izt in dem genau so das ist alles genau der Beweis ist genau wie unendlich dimensionalen denn bitte ich jetzt am Ende nur mal kurz runter und es ist ist des des also einfach für uns weil uns das nötige Rüstzeug zurechtgelegt Winde Fränzi Waghals Begriff verallgemeinert und so weiter an und man ihm das vorher gesagt hätte dann wenn sie auch nicht Bescheid gewusst was es machen müssen okay aber jetzt wenn wir wissen wo wir die die entsprechen Arbeit und Begriffe zu handhaben ist das ist der Beweis der erfasste sie alle völlig analog zum Ende also an 1 bei XM C beliebig dann folgt das gucken wir ich die definiert Anke X der Plus Tau es minus x pro Jahr ich gleich schwarzen aus 1 Linus Tau wie früher Plus V x das Element C für Tau Element 0 1 warum ich alte Kontextes naja Küpper noch heftige konvex Kombination von 2 Elementen aus aus wie aus der also ist das auch wieder da drin so da dies der bloß Tau X minus X Element WDR Square als Zhao hinreichend klein August 1 0 hinreichend klar ja habe ich hier eine kleine Störungen in der Norm von X und also wenn ich jetzt auch zum Beispiel kleiner
wäre als erhält als er durch Betrag X minus x quer dann komme ich genau in die Umgebung der lokalen Optimalität mehr und das hier ist der lokal Optimalität von X quer daraus folgt das ab verändert es von
dieser in der Kombination die ist zulässig und in der Umgebung der Linie in der lokalen Optimalität dass das größer ist als als der die Funktionswerte im lokalen Optimum also minus F von X wer größer gleich 0 es sind nicht die ganze Gleichung und die noch durch Tau für Tau größer 0 hinreichend klar Althaus größer 0 kann ich durch teilen Herr Peters es geht also für alle Tau größer klein wird man einfach nur den Grenzübergang ist taugen 0 und dann sehen wir haben gefordert dass es Richtungs- differenzierbar in Richtung x Windows sich Square ist dann folgt der älter ist und kommen wirklich dem Sie wenn sie aber ganz genau so definiert dass das der der dass das er dass der Grenzwert dir das des Quatsch dass diese Differenz sind konvergiert und den Grenzwerten haben wir eben mit diesem sowohl bezeichnet bei Arbeiten beim Grenzübergang Blatt das größte gleich 0 natürlich über halten und damit bin ich fertig also völlig jagen Undichtigkeit jeweils rund und also ganz einfach so ist period es genau so einfach wie ich immer sage es weitergeht na ja was macht dimensional Optimierung aber weiter Gleichung wenn das es konvex ist auch noch konvex nicht um die Menge konvex dann ist sie sogar hinreichend und was kommt als nächstes das ist auf vielen endlichdimensionalen dann gehen wir über zu und wolle und freier Optimierung auf endlichdimensionalen dann gucke ich mir mal an was passiert wenn 10 Kegel ist da Kindern 1. hat aus Multiplikator das geht auch wenn endlich die Winsener und dann kommt aber ein anderer period nun heißt es die dann kommen andere period ja und zwar wenn die Menge C durch mir gleich ins Restriktionen beschrieben wird und aber in 1. Unterschied zum um endlich die er zum endlich die okay also der Rest dann am nächsten Mittwoch bis dann ich möchte
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