Impulsbilanz
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Formal Metadata
| Title |
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| Title of Series | ||
| Part Number | 2 | |
| Number of Parts | 14 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/31316 (DOI) | |
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Content Metadata
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ForceHausdorff spaceMathematicianLecture/Conference
04:12
Mach's principleVolumeCoordinate systemHerleitungMass flow rateGAUSS (software)SurfaceIntegralsatzStrömungsgeschwindigkeitVolumetric flow rateGebiet <Mathematik>Lagrange-MethodeSurface integralMetreMathematical analysisTransformation (function)Conservation of energyMathematicianStrömungINTEGRALMomentumDerived set (mathematics)PhysicistMaß <Volumen>ZahlSquareFluidPartial differential equationElectric currentLecture/Conference
11:00
Group actionVolumeMomentumPartial derivativeConnected spaceSequenceVelocityProduct (category theory)Euclidean vectorEquationForceNichtlineares GleichungssystemMathematicianScalar fieldTermumformungPhysical quantityGAUSS (software)Vector graphicsMach's principleTransporttheorieIntegralsatzSurface integralEuclidean vectorMass flow rateTime evolutionSummationGebietsintegralLecture/Conference
17:49
Connected spaceFactorizationPartial derivativeSummationPhysical quantityEquationKontinuumDerived set (mathematics)Vector graphicsDot productVelocityEuclidean vectorTermumformungMathematicianDirection (geometry)ForceVolumeNichtlineares GleichungssystemScalar fieldMomentumGradientDifferential operatorTerm (mathematics)Lecture/Conference
24:38
StrömungMassenpunktForceQuantenphysikFluidConnected spaceKontinuumFrictionPhysicistLecture/Conference
28:37
ForceSeries (mathematics)VolumeInterface (chemistry)TangentFluidMetreContinuity equationMomentumEquationSummationVariable (mathematics)Nichtlineares GleichungssystemEquationSquareConnected spaceDirection (geometry)Euclidean vectorInflection pointField (mathematics)Integration <Mathematik>VelocityVector graphicsDerived set (mathematics)Lecture/Conference
37:26
Stress (mechanics)Connected spaceVolumeVector graphicsPlane (geometry)ForceEuclidean vectorTangentComputer animation
39:08
VolumeStress (mechanics)ForceFluidTangentialkraftDifferential equationDirection (geometry)EnergieFluid mechanicsFrictionEquationLecture/Conference
42:27
Direction (geometry)TensorForceAchse <Mathematik>Matrix (mathematics)Vector graphicsConnected spaceSpannungstensorMultiplicationMathematicianVelocityRotationNormal (geometry)PhysicistEuclidean vectorAngular momentumVolumeLecture/ConferencePanel painting
48:54
Matrix (mathematics)SpannungstensorNormal (geometry)MathematicianVector graphicsDirection (geometry)EquationForceMultiplicationLecture/Conference
52:48
Connected spaceSurface integralVelocityDot productEquationNormal (geometry)Partial derivativePartial derivativeSpannungstensorSummationVolumeForceINTEGRALMathematicianVector graphicsGradientDirection (geometry)Matrix (mathematics)Nichtlineares GleichungssystemPartial differential equationMilitary operationMultiplicationEuclidean vectorTensorWell-formed formulaHausdorff spaceCalculationLecture/Conference
01:02:21
EquationMultiplicationUniqueness quantificationScalar fieldMathematicianTube (container)Ende <Graphentheorie>ForceFluidVector graphicsSummationTensorMomentumVelocityMatrix (mathematics)Physical lawVolumePhysicistWell-formed formulaJacobi methodNichtlineares GleichungssystemFrictionDerived set (mathematics)GradientPolymorphism (materials science)SpannungstensorNichtnewtonsche FlüssigkeitPhysical quantityVariable (mathematics)MeasurementNavier–Stokes equationsSeries (mathematics)Lecture/Conference
01:11:54
Matrix (mathematics)Vector graphicsFluidNichtlineares GleichungssystemForceEuclidean vectorStrömungDirection (geometry)GradientVelocityLogical constantFluid staticsSet (mathematics)Normal (geometry)Scalar fieldHypothesisEquationPhysical quantityNichtnewtonsche FlüssigkeitTangentialkraftTerm (mathematics)NullSpannungstensorEquationDerived set (mathematics)Sign (mathematics)Lecture/Conference
01:19:49
Logical constantDerived set (mathematics)MomentumSummationFactorizationSquareIndexNullHausdorff spaceMatrix (mathematics)FluidSet (mathematics)Vector graphicsVelocityDifferentiable functionDifferentiable functionTerm (mathematics)Moment (mathematics)Continuous functionSummierbarkeitLecture/Conference
01:27:44
SummationDerived set (mathematics)Vector graphicsIntegration <Mathematik>Euclidean vectorTerm (mathematics)Differential calculusGradientConnected spaceLecture/Conference
01:30:25
SquareVector graphicsEquationFluidGradientConnected spaceVariable (mathematics)Vector fieldMathematicianKontinuumMomentumNichtlineares GleichungssystemScalar fieldNavier–Stokes equationsDivision (mathematics)StoffwertVolumeLecture/Conference
01:34:55
Uniqueness quantificationMomentumSequenceEquationMathematicianLösung <Mathematik>HerleitungHausdorff spaceNichtlineares GleichungssystemMathematical analysisLecture/Conference
Transcript: German(auto-generated)
00:07
So, dann nochmal. Hallo, ich begrüße Sie zur Vorlesung. Was wollte ich sagen? Scheint, ich habe niemanden verschreckt letztes Mal. Okay, das kommt noch. Paar noch organisatorische Sachen.
00:24
Wir haben jetzt diese Videoaufzeichnung im Netz. Sind auf der Homepage der Vorlesung verlinkt. Können Sie sich dort angucken. Dann wollte ich noch zum Übungsbetrieb was sagen. Ich habe jetzt auf diesem Infoblatt geschrieben, Mathematiker und Ingenieursübung.
00:46
Es ist nur eine Empfehlung und es impliziert auch nicht, dass diese Übungen total unterschiedlich sind. Die sind eigentlich ziemlich gleich. Zum Beispiel diese Woche wird es nur ein Aufgabenblatt ohne so eine Auswahlübung geben. Und die Übungen werden auch komplett identisch sein.
01:00
Das heißt, ich bitte Sie, also die Ingenieure, weil die waren hier eindeutig in der Mehrzahl, auch die Dienstagsübungen zu besuchen. Ich hoffe, das wird sich so regeln. Wenn jetzt sich rausstellt, dass in der Dienstagsübung zehn Leute sind und in die Freitagsübung 50 Leute gehen, dann werde ich das brute force vorgeben, wer wohin zu gehen hat.
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Aber ich hoffe, das kann ich mir sparen und appelliere jetzt auch mal an die Ingenieure, wenn ihnen das auch besser gelegen kommt, im Stundenplan und so gehen sie auch mal in die Dienstagsübungen. So unterschiedlich sind die nicht.
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Wir werden in der Übung jetzt dieses für das Problem ist, dass ich nur zwei Stunden die Woche habe. Das ist viel zu wenig für Parzelldifferenzen und dafür sind die viel zu wichtig. Und deswegen mache ich in der Übung zum Teil mit dem Stoff weiter. Aber wir werden es immer so halten, dass natürlich die Vorlesung auch verständlich
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bleibt und gut nachvollziehbar bleibt für die Leute, die nicht an der Übung teilnehmen. Es wird dann eben so sein, dass die eine oder andere Nebenrechnung in den Übungen gemacht wird. So werden wir das organisieren und dann auch mehr durch selbstständige Zuarbeit und Mitarbeit von Ihnen. Wir werden das diese Woche sehen, wie das laufen wird.
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Es wird dann auch immer mal wieder eine Gruppenübung. Die heißen halt Gruppenübungen, die dann in den Übungen gemacht werden. Aber alles, wo ein H vorstellt, machen sie zu Hause. Wenn Sie jetzt in den Übungen, wenn es da Gruppenaufgaben sind und Sie sind ganz schnell damit fertig, dann können Sie natürlich auch da schon mit den Hausübungen anfangen.
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Also nochmal der Appell an alle Ingenieure, weil Sie in einer absoluten Mehrzahl sind. Weil es gibt ja im Freitagsraum gar nicht so viele Plätze. Ich mache mir ab da mittlerweile, also da gibt es gar nicht so viele Plätze, dass da jetzt irgendwie 50 Leute hingehen könnten deswegen oder 40 oder was. Nutzen Sie auch die Dienstagsübung.
03:01
Das zweite, was ich noch anmerken wollte. Ach so, genau. Da steht die Übung, die sollen in Zweiergruppen bearbeitet werden. Ich würde sollen durch müssen ersetzen. Also bitte bilden Sie Zweiergruppen.
03:20
Keine Einzelabgabe, keine Dreiergruppen, keine Vierergruppen, Zweiergruppen. Zweiergruppen wäre gut. Das ist fair. Alle bilden Zweiergruppen. Nur in ganz bestimmten Ausnahmefällen möchten wir was anderes zulassen. Wenn ich jetzt jeder Einzelabgabe gebe, haben wir 50 Hausaufgaben zu korrigieren. Dann machen meine Doktorandien, macht dann nichts anderes mehr als Hausaufgaben korrigieren. Das will ich auch nicht. Also bilden Sie Zweiergruppen, finden Sie sich irgendwie zusammen, kriegen Sie es schon hin.
03:45
Wie gesagt, ich vertraue darauf, dass Sie sich das selber so ein bisschen organisieren. Wenn das nicht läuft, dann drücke ich das alles. Kraft meiner Autorität nach zwei Wochen durch. Was soll ich noch sagen? Na, was war es eigentlich?
04:00
Habe ich irgendwas vergessen? Videoaufzeichnung, Netz, Übungsbetrieb, das war es. So, ich fange jetzt eine Vorlesung immer an mit einer Wiederholung der letzten Vorlesung. So kurz, ein paar Stichworte. Die Sachen schreibe ich immer auf Folie. Es kann sein, dass Sie das auf dem Video dann nicht so gut sehen.
04:21
Aber es ist ja auch nur eine Wiederholung. Und Sie finden das ja eh alles im Skript. Und auch in der Videoaufzeichnung der letzten Vorlesung. Was haben wir kennengelernt? Wir wollten die Grundgleichung der Continuous-Physik herleiten, also Massenerhaltung, ja?
04:41
Nö, um Gottes Willen, keine Gedanken. Wäre es gut, das möglichst bald festzulegen? Dann stimme ich das am besten mit sämtlichen Fachschaften ab. Und finde keinen Termin. Ja, nee, mache ich. Okay, habe ich mir noch nie gar keine Gedanken darüber gemacht, aber kann ich mich in dieser Woche nicht,
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weil ich auch noch am Workshop, aber nächste Woche mitbefassen. Mach ich. Okay, wir wollten die Grundgleichung der Continuous-Physik herleiten, also Masse, Impuls, Energieerhaltung. Und haben uns dafür meine Strömung angeschaut. Fluid, was irgendwie durch ein Kanal strömt.
05:20
Wir haben uns einfach so ein Teilchenpaket rausgesucht, ein beliebiges Teilchenpaket, auch ein Fluidteilchen, was da durchströmt. Dadurch, dass das Teilchen sich bewegt, ist das Volumen, was das Teilchenpaket einnimmt, natürlich von der Zeit abhängig. Und die Masse des Teilchenpakets kann man berechnen. Wenn man die beliebige Flüssigkeitseigenschaft zur Dichte setzt, ist das dann das entsprechende Volumenintegral die Masse.
05:46
Jetzt wusste man Massenerhaltung, Masse kann nicht entstehen, verschwinden. Das kennt man aus alltäglicher Erfahrung. Also ist dieses Integral gleich, wenn hier die Masse steht, gleich null. Und dann war eben der Punkt, dass hier eine Zeitableitung außen steht und die Integrationsgrenzen zeitabhängig sind.
06:02
Und das kann man, dieses Problem kann man umgehen oder knacken, indem man das Reynolds-Transport-Theorien anwendet. Ich hatte das kurz motiviert, wo das so ungefähr herkommt. Eine rigorose Herleitung habe ich mir gespart. Und das Reynolds-Transport-Theorien führt eben so eine Zeitableitung über einen Volumenintegral mit zeitabhängigen Integrationsgrenzen zurück auf Integrale,
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ein Volumen- und Oberflächenintegral mit einem ortsfesten Volumen. V ist das ortsfeste Volumen nicht mehr mitbewegt, was das Teilchenpaket zum Zeitpunkt T einnimmt. So ist dieses V definiert.
06:40
V von T wird mitbewegt, das ist ortsfest und das ist sozusagen das Volumen. Dann mache ich einen Zeitpunkt T, mache ich so einen Snapshot, eine Aufnahme der Strömung und dann sehe ich, das ist das Volumen, was das Teilchenpaket einnimmt. Dann kann ich hier tatsächlich diese Zeitableitung reinziehen. Ich kriege hier die partielle Zeitableitung dieser Flüchtigkeitseigenschaft, zum Beispiel der Dichte, hatten wir gesehen. Ich muss aber berücksichtigen, dass ich das Volumen nicht mehr mitbewege.
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Neue Fluidpartikel ins Volumen hineingehen, die, die ich eigentlich beobachten wollte, das Volumen verlassen. Und das wird modelliert durch oder durch so ein Oberflächenintegral. Das kann man auch, wie gesagt, regelgroß herleiten über eine Koordinatentransformation. Auf ortsfeste Koordinaten, also von den Lagrangischen auf die Eulerschen Koordinaten für Leute, die sich in Continuous-Physik auskennen.
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Und dann kriegt man diese Formel auch. So jetzt stört uns noch dieses Oberflächenintegral, um hier eine partielle Differenzallgleichung herleiten zu können. Und da hilft immer der Satz von Gauss. Den werden wir jetzt vielfach anwenden.
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Ja, klar kann ich machen. Also so kann ich das schlecht machen, weil Vieh irgendeine Flüchtigkeitseigenschaft war. Nehmen wir also an, das sei die Dichte.
08:00
Dann haben wir wirkliche Eigenschaften. Das sollen Massenstrom über die Oberfläche sein. Teilchen kommen rein, andere gehen raus. Massenstrom, was kommt rein, was geht raus. N hat keine Einheit. Da ist das infinitimale kleine, differenzielle Oberflächenelement.
08:20
Was hat Flächen für eine Einheit? Meterquadrat. Meterquadrat, das ist die Strömungsgeschwindigkeit. Mit der Strömungsgeschwindigkeit mal genommen. Meterquadrat mal Meter pro Sekunde ist Meter auch drei pro Sekunde. Das ist Volumen pro Zeit. Das ist schon mal ein Volumenstrom. Wie viel Volumen pro Zeit geht rein und raus. Jetzt wird das mal der Dichte genommen. Volumen mal Dichte ist Masse, also Masse pro Zeit.
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Wenn Sie das einem physiker theoretischen Ingenieur, das wird jetzt hier alles aufgezeichnet, sehr schön. Das ist natürlich nur so Pi mal Daumen brute force. Aber dass man sich ein bisschen Gefühl dafür kriegt für die Leute, die das noch gar nicht gesehen haben. Wie gesagt, wenn ich jetzt eine Vorlesung machen würde, Mathematische Modellierung, würde ich das natürlich viel genauer alles machen.
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Aber nur, dass Sie einen Eindruck kriegen. Dann gibt es den Integralsatz von Gauss. Den kennt hoffentlich jeder aus der höheren Mathematik oder Analysis oder was auch immer Vorlesung. Wer den nicht kennt, jetzt kennen Sie. Den brauchen wir, um das Oberflächenintegral hier wegzuschieben. Ich habe hier mal Omega hingeschrieben.
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Hier oben heißt es V. Naja, das Gebiet kann ich ja nennen, wie ich mag. Okay, so wenn man das macht, dann kriegt man, kann man zunächst mal die Massenerhaltung in integraler Form herleiten. Das hatten wir gesehen. Und dann kann ich sagen, diese Massenerhaltung gilt nicht für irgendein bestimmtes Teilchenpaket,
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sondern für beliebige Teilchenpakete. Beliebige Teilchenpakete nehmen beliebige Volumina ein. Und wenn ein Integral immer gleich null sein soll für beliebige Volumina, dann muss der Integrant verschwinden. Der Integrant war gerade das hier nach dem Satz von Gauss. Die Divergenz kommt vom Satz von Gauss. Und das war die Kontinuität gleich. Das hatten wir jetzt in der Vorlesung schon gesehen.
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Und das ist natürlich ziemlich brutal hier in zwei bis drei Vorlesungen, die Kontinosphysik durchzuziehen. Aber naja, da müssen Sie jetzt durch. Okay, so weiter geht's.
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Das war die Massenerhaltung. Nicht so schwer, wenn man einmal diese technischen Hilfsmittel mit dem Reynoldschen Transport Theorem und dem Reynoldschen Transport Theorem und dem Satz von Gauss zur Hand hat.
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Und das Zweite, was wir herleiten wollen, ist die Impulsbilanz. Ach so, was ich noch sagen wollte, das habe ich noch vergessen. Das Skript steht jetzt immer im Netz so. Pöö a pöö wird das abgedatet. Fehler werden auch ausgemerzt. Vornehmlich Rechtschreibfehler.
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Und das nächste Kapitel ist jetzt auch drin. Also es kommt jetzt immer so nach und nach ins Netz. Können Sie immer wieder reingucken, ob was Neues ist. Sie müssen natürlich nur das haben, was jetzt in der nächsten Vorlesung dann kommt. Okay, Impulsbilanz. So, wie ist der Impuls definiert? Das hatten wir schon gemacht.
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Impuls eines Stahl- und Festkörpers ist massenmal Geschwindigkeit. Jetzt habe ich hier eine Massenverteilung, die eben nicht homogen ist. Es ist kein Festkörper und Flügel. Der kann die Dichte variieren. Deswegen muss ich das wieder über so eine integrale Beziehung ausdrücken. Natürlich ist der Impuls eine gerichtete Größe. Deshalb hier so ein Vektor-Fall drüber.
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Das ist der Impuls. Massenmal Geschwindigkeit, Festkörper mit homogener Dichteverteilung. Hier muss ich dann eben integrieren. Okay. Und dann gibt es dieses erste Newton-Aktion, das sagt, Änderung des Impulses ist Summe der außen angreifenden Kräfte.
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Also, d i nach dt ist gleich die auf dem Körper, in unserem Fall unser betrachtetes Teilchenpaket, wirkende Kraft F. Was diese Kraft F ist, wenn wir uns gleich noch mitbefassen, gucken wir erstmal diese rechte Seite an, wie gesagt,
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als gerichtete Größen und wir sehen, ich habe schon wieder so ein Problem wie eben. Ich habe wieder so etwas, dass ich eine Zeitableitung bilde von so einer integralen Größe. Und das Integral, das Gebietsintegral wird wieder mitbewegt, weil ich mich mit dem Teilchenpaket bewege. Okay. Das heißt, das schreit alles wieder an danach, was ich eben schon gemacht habe.
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Für die Maskenerhaltung. Ich will irgendwie dieses Zeitableiter von dem Integral da irgendwie wegkriegen. Reynoldsches Transport-Theorie. Dann kriege ich wieder Volumenintegral. Was mache ich? Ich kloppe wieder einen Satz von Gauss drauf. Ich mache das jetzt mal indizistisch. Also weil das ist ja eine,
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machen wir mal, kann ich die direkt hinterschreiben. Das ist eine vektorielle Gleichung. Wir sehen die Vektorpfeile oben drüber. Und das ist komponentenweise zu verstehen. Das heißt, hier steht nichts anderes als dii, die i-te Komponente des Impulses ist gleich fi. Und jetzt Mathematiker schreiben für alle,
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für alle i gleich eins, zwei, drei. Wer ihm das nicht gefällt, dieses komische, für alle Zeichen, der macht einfach ein Komma dahinter. Also diese Gleichung gilt für alle Komponenten. Für die erste, die zweite und die dritte Komponente von diesem Impuls-Kraftvektor. So. Und so, damit ich jetzt irgendwie nicht mit,
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hier, da mache ich hier weiter, damit ich jetzt nicht mit Vektoren hier rumhampeln muss, schreibe ich die Rechnung indizistisch auf. Das ist aber jetzt kein i mehr, weil das da schon steht. Ja, also der i-te Komponente von i,
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von dem Impuls, das ist jetzt ein skalares Feld. Da kann ich ganz normal mit rechnen, wie ich das gewohnt bin. Kriege ich hier raus. Ich lasse mal x und t weg, damit das so langwierig zu schreiben.
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Er wird natürlich definiert hier durch die i-te Komponente des Geschwindigkeitsfeldes. So, und da habe ich jetzt genau wieder diese Situation, irgendwie hier ein Integral über eine Feldgröße, zeitabhängiges Volumen. Was mache ich? Reynolds. Reynolds ist Transporttheorie.
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Machen wir es hier nochmal an. Warum habe ich das eigentlich hier? Kann ich ja auch nutzen. Die Kamera brauche ich jetzt nicht mitfolgen, weil alle ja wissen, wie Reynolds die Transporttheorie aussieht. Steht ja im Skript. So. Ja, und was ist phi in unserem Fall?
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rho mal ui. Phi, unsere Fluid-Eigenschaft ist rho mal ui. Nutzen wir das also. Dann steht dort aufs ortsfeste Volumen, was zum Zeitpunkt t eben eingenommen wird. Dann kommt die partielle Zeitableitung. Partiell deshalb, rho und ui natürlich auch von x abhängen.
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Okay, hier muss natürlich ein dx hin. Kein dt. Entschuldigung. Und ich kriege eben, weil nochmal anschaulich das Teilchenpaket meinem Volumen verlässt, kriege ich dieses Oberflächenintegral. rho ui u mal n
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da. Wenn wir uns das jetzt mal angucken, auf Ihre Fragebezug nehmen, das ist jetzt natürlich kein Massenstrom mehr. Ich habe hier noch so eine Geschwindigkeit. Das ist ein Impulsstrom letztendlich. Kann man sich nicht mehr so einfach vorstellen. Muss man aber auch nicht. Okay, so. Das war einfach Raynotch's Transport-Serie. Blind diese Formel da angewendet.
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Jetzt habe ich hier wieder das Oberflächenintegral. Das stört mich wieder. Ich will alles unter ein Integral schreiben. Was mache ich? Mache wieder einen Satz von Gauss. Das mache ich jetzt mal hier oben weiter. Integralsatz von Gauss. Dann kann ich das weiter umformen. dt ist dann
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a und der geht genau in diese Gleichheit ein, dass ich daraus einen Volumenintegral machen kann. Dann schreibe ich direkt alles unter ein Volumenintegral, große Klammer. Was habe ich da stehen? d dt rho ui, Zeitableitung von dem ersten.
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Und dann kriege ich die Divergenz von dem Ausdruck hier. rho ui u dx.
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Und wir sehen schon, ah, Impulsbilanz. Das ist hier nicht linear ein u. Was habe ich gemacht? Hier Satz von Gauss. Hier steht er noch. Und die Größe phi, diese vektorielle Größe phi im Satz von Gauss, die ist einfach rho ui mal u. Okay. So. Und das jetzt noch kommt
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in einfach Umformung. Was mache ich jetzt hier? Produktregel. Hier stehen immer partielle Ableitungen von Produkten. Dann mache ich einfach die Produktregel, die Sie hoffentlich alle aus der Schule kennen. Das ist, wie habe ich das aufgeschrieben? Ja, mache ich einfach hier, rho d ui dt
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plus ui d rho dt. Produktregel geht natürlich auch für partielle Integration, kann ich hier auch machen. Auch hier habe ich wieder die Divergenz von einem Produkt. Und auch da Divergenz ist so ein Differentialoperator. Auch da kann ich die Produktregel machen. Überlegen wir nochmal, was war die Divergenz?
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Divergenz rho ui u ist nichts anderes als die Summe j gleich 1 bis 3 d nach d
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xj von diesem Vektor hier. rho ui uj. Der Vektor u hat ja drei Komponenten mit einem Skalarfeld multipliziert. Also weiter ein 3-Komponentiger Vektor. Und die Divergenz ist eben genauso definiert, dass ich die Komponenten des Vektors nach den
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jeweiligen Ortsableitungen partiell ableite und aufsumme. Okay, und jetzt sehen wir hier, habe ich auch wieder eine Ableitung von so einem Produkt. Was kann ich da machen? Produktregel. Okay. Dann mache ich das doch. Ich mache die Produktregel so, da muss ich selber überlegen, dass ich
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das auffasse, also ich schreibe das mal ganz kleinschrittig hin, ui mal rho uj. Und auf dieses Mal, da wende ich jetzt die Produktregel. Sieht ein bisschen wahllos aus, wir werden hinterher sehen, warum. Dann kriege ich hier eine Summe über j d rho
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j d xj. Das ist natürlich noch rho, Summe, kann ich jetzt nicht mehr aus der Summe rausziehen, weil die Summe geht ja über j 1 bis 3 1 bis 3
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d ui d xj. Einfach nur Produktregel. u-v plus v-u, wie man das an der Schule kennt. Großklammer zu, Volumenintegral. So, sieht wüst aus, jetzt sortiere ich das um.
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Ich sehe, ich habe hier immer dieselben Vorfaktoren. Das nutze ich jetzt aus. Noch mal eine große Klammer. ui mal. So, was steht da? Das steht d rho dt plus Summe 1 bis 3
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d rho uj d xj. Ok, und plus rho, was steht dort vor dem rho? Da steht d ui dt plus Summe 1 bis 3
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uj d uj d xj. Klammer, Klammer, d x. So, was hat diese Umformung, ganze Umformung, Drei, jetzt wird Produktregel und Umstellen gebracht. Jetzt muss ich nur scharf hingucken, was steht hier. Jetzt schreibe ich das mal hier
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nicht mehr indizistisch mit so einer Summeschreibweise auf, sondern ich schreibe das was gucken, jetzt schauen wir, was ist das? Das ist ein Vektor rho mal u. Dann wird er immer nach dem jeweiligen Ortsrichtung partiell abgeleitet und
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aufaddiert. Was war das? Das ist die Divergenz. Divergenz vom Vektor rho u. Ja, ok, jetzt haben wir diesen Ausdruck da. Und da sehen wir, Moment, den Ausdruck haben wir schon mal gesehen. Das ist die Kontinuitätgleichung. Das ist 0. In jedem Raumpunkt. Das ist genau Massenerhaltung.
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Also hier, muss so ein Fall sein. Das ist die Konti-gleichung. Kontinuitätgleichung. Das heißt, was hier überbleibt, ich habe mal neun Tafeln weiterschreiben,
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boah, wenn ich so weitermache, boah, ich 20 Tafeln. Was hier überbleibt, ist einfach die Gleichung
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ii nach dt, da sind wir gestartet, ist gleich, der erste Term ist 0, also bleibt nur das zweite. Volumenintegral über rho dui dt plus, und jetzt kommt diese
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etwas merkwürdige Summe, 1 bis 3 uj dui dxj Ok. Das ist die Gleichung.
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2, 3, die werden wir noch brauchen. Genau, das kann ich jetzt hier auch nochmal symbolisch aufschreiben. Statt das mit Indizes zu machen, ui dt plus, und was steht hier? Das ist ein Skalarprodukt.
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Hier wird der Vektor u mal genommen mit dem Gradienten von ui. Der Gradient von ui, der hat genau diese Einträge von j gleich 1 bis 3. Und wenn ich das Skalarprodukt bilde, naja, dann multipliziere ich immer die Komponenten und summiere das auf, und das ist gerade das,
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was hier steht. Das hier ist das ganz normale Skalarprodukt im Rn. Ingenieure schreiben es immer zum Punkt, Matematiker anders, wir nehmen hier die Ingenieureschreibweise. Ok. So sieht das aus. Das ist diese zeitliche Ableitung des Impuls. So ausdrücken.
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Jetzt sind wir da schon weiter. Haben hier diese Seite umgeformt. Das ganze sieht dann schon so aus. So riecht nach partieller Differentialeichung. Hier steht eine Zeitableitung, hier steht Ortsableitung drin. Und jetzt tauchen wir die beiden Größen auf, die wir aus der Kontinuonsgleichung kennen, Kontinuitätgleichung kennen, Dichte und Geschwindigkeit.
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Na ja, ganz nett. Jetzt habe ich hier aber noch die andere Seite, die Seite F, die muss ich auch noch umformen. Was kann ich da tun? Jetzt muss man sich überlegen, stellen wir uns mal vor, wir haben so ein Volumen, so ein Teilchenpaket. Welche Kräfte wirken jetzt da drauf? Teilchenpaket in der Strömung, strömt so mit.
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Da habe ich natürlich einerseits das Teilchenpaket hat eine Masse. Das heißt, auf die Masse wirkt die Erdanziehung. Also auf das Teilchenpaket wirkt die Erdanziehung. Und die Erdanziehung, die wirkt jetzt nicht nur auf die Oberfläche des Teilchenpakets, sondern die wirkt auf jeden Massenpunkt dort.
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Das hört sich jetzt wieder so ein bisschen quantisiert an, wir haben natürlich keine Quantenphysik. Dichte ist ein verteiltes Kontinuum. Aber diese Erdanziehung, diese Gravitationskraft, die wirkt im Raum, die ist verteilt, diese Kraft. Man nennt solche Kräfte auch Volumenkräfte. Da gibt es auch andere Beispiele. Das brauche ich jetzt nicht mehr.
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Ich gehe wegmachen. Da gibt es auch andere Beispiele. Zum Beispiel stellen Sie sich vor, Sie kochen Stahl. Ich komme aus dem Ruhrgebiet, da freut mich das. Sie kochen Stahl und außen legen Sie ein starkes elektromagnetisches Feld an. Stahl ist natürlich
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ein magnetisches Material. Es wird auf dieses Feld reagieren und dadurch wirkt eine Kraft auf dieses flüssige Stahl. Diese Kraft wirkt auch nicht nur an der Oberfläche des Materials, zum Beispiel meines Behälters, in dem ich da
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arbeite, sondern die wirkt überall im gesamten Stahl. Solche Felder, die die Kraftfelder, die im Raum verteilt sind. Sowas müssen wir berücksichtigen. Wir machen hier nur die Erdanziehung. Man kann das aber auch machen. Sehr interessantes
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Forschungsthema, auch mathematisch, dass man solche Strömungen hat von ferromagnetischen Stoffen, die mit elektromagnetischen Feldernwechsel wirken, nennt sich Magnetohydrodynamik, spielt in vielen Anwendungen auch eine wichtige Rolle. Das aber hier nicht. Das ist also die eine Sorte Kräfte, die wir modellieren müssen, Volumenkräfte,
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die verteilt sind im Raum. Dann haben wir aber auch noch andere Kräfte. Stellen Sie sich vor, Strömung, Rohrströmung, ich schneide wieder so ein kleines Fluid- teilischen Paket raus. Jetzt ist das nicht isoliert. Es gibt außenrum auch noch Flüssigkeit. Da gibt es natürlich Wechselwirkungen mit der umgebenden
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Flüssigkeit. Warum? Zum Beispiel die Reibung. Stellen Sie sich vor, Sie haben so ein Teilchenpaket und das sich relativ langsam bewegt und das umgebende Fluid ist schneller. Dann wird die Reibung dafür sorgen, dass das Teilchenpaket mitgerissen wird. Und das funktioniert, das ist einfach
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deshalb, weil das Fluid, das umgebende Fluid an meinem betrachteten Teilchenpaket entlang reibt. Es gibt Reibungen und das sind Kräfte, die aber nur an der Oberfläche angreifen. Ich brauche aber gar keine Bewegung, damit ich solche Kräfte habe. Das kennen Sie auch. Wenn Sie ein Fahrradreifen aufpumpen,
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ein Rennrad auf 8 bar, dann bewegt sich da drin nichts mehr. Sei denn Sie fahren. Nein, Sie fahren nicht. Sie stellen das Fahrrad so hin, dann ist da keine Strömung drin. Trotzdem wirkt dort eine große Kraft. Wenn ich jetzt ein Teilchenpaket freischneide wieder, raus nehme, ein bestimmtes Teilchenpaket, ich würde das jetzt in Gedanken nicht mehr wirklich auch rausnehmen
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aus meinem Fahrradmantel, dann würde das natürlich expandieren sofort, weil das nicht mehr unter Druck steht. Das heißt, das umgebende Fluid ügt auch eine Kraft dort aus, obwohl das gar nicht strömt. Wo ich gar keine Strömung habe in meinem Fahrradmantel oder stelle ich einen Luftballon vor. Was ist das für eine Kraft? Das ist eine Druckkraft. Auch die habe ich. Auch die wirkt nur an der Oberfläche. Das ist eine Wechselwirkung mit dem
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umgebenden Fluid und die werden modelliert sinnvollerweise durch Oberflächenkräfte. Das heißt, wir haben diese beiden Komponenten hier, die wir bei der Modellierung des Kraftvektors F hier berücksichtigen müssen.
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F besteht aus zwei Komponenten. Komponenten haben jetzt zum einen Volumenkräfte
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und ich schreibe jetzt einfach, damit Ihnen klar ist, was das heißt und was da gemeint ist, zum Beispiel Erdanziehung. Erdanziehung. Die wirken verteilt,
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wirken im Raum verteilt. Die wirken in jedem Raumpunkt. Erdanziehung wirkt jetzt nicht nur auf meinen Arm, sondern auf meinen gesamten Körper. Okay. Und dann habe ich noch Oberflächenkräfte.
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Oberflächenkräfte. Durch die scheinbar einfach Wechselwirkung,
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durch die Wechselwirkung mit dem umgebenden Fluid. Mit dem umgebenden Fluid. Wir denken an Druckkräfte
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oder Reibung. Okay. Und diese beiden Sachen möchte ich jetzt der Reihe nach modellieren. So. Wie sieht jetzt die Erdanziehung? Kennen Sie hoffentlich noch alle aus dem Physikunterricht, in der Schule? Wie sieht die Erdanziehung? Ja? Ja, tut mir leid. Ich bin so klein, da ist immer das Problem.
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Wie sieht jetzt die Gravitationskraft, die Erdanziehungskraft, wie sieht die aus,
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wenn ich eine Punktmasse betrachte? Die Kraft, die auf eine Punktmasse wirkt, im Erdschwerefels einfach nur Masse mal Erdbeschleunigung g. 9,81 Meter pro Sekunde Quadrat. Okay. So. Kann ich jetzt? Ich komme da nicht dran. Ich gehe ja, kann auch erstmal auf die Tafel.
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Nee, jetzt nicht mehr. Mach ich gleich. Okay. Warte ich noch. So. Also Masse mal Erdbeschleunigung. Jetzt sind wir hier wieder bei einem Fluid. Die Masse ist nicht homogenisch. Sie ist verteilt im Raum. Das heißt, ich kann nicht einfach
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die Dichte des Fluids ist nicht homogenisch. Kann ich einfach irgendwie sowas wie Dichte Masse mal Erdbeschleunigung kann ich nicht so einfach übertragen. Ich muss das wieder über ein Integral formulieren. Und das mache ich auch.
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Volumenkraft ist dann wieder einfach Masse Erdbeschleunigung. Das muss hier so aussehen. Rho von x und t mal Erdbeschleunigung g. dx. So.
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Und gleich hier hinter haben wir eine Formelnummer. Das ist die Nummer 2,4. Das brauchen wir noch. Und g ist die Erdbeschleunigung. Wenn man jetzt
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Erdbeschleunigung wenn man jetzt noch Elektromagnetischkräfte hätte, dann müsste man hier noch wesentlich mehr modellieren. Okay. So, jetzt hat keiner von Ihnen protestiert. Das ist doch jetzt hier die Kraft, die auf mein Teilchenpaket wirkt. Das heißt, ich muss das doch eigentlich mitbewegen. Ich muss doch hier über v von t integrieren. Warum kann ich das jetzt hier
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vernachlässigen? Letztendlich schreibe ich immer Gleichungen für einen fester oder beliebigen Zeitpunkt t auf. So, mache ich das. Dann habe ich, genau wie was beim Reynoldschen Transport Theorem war, wie ich das zum Beispiel hier gemacht habe, dann ist v das Volumen,
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was zum Zeitpunkt t vor dem Teilchenpaket eingenommen wird. Das wird nicht mitbewegt. So, hier spielt das eine Rolle, weil hier steht eine Zeitableitung. Man muss sich auch das Volumen, das von der Zeit abhängt, dort mitdifferenzieren. Hier spielt das keine Rolle mehr. Ich mache meine Bilanz zum festen oder liebigen Zeitpunkt t.
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Da stimmt v mit v von t überein. So ist es gerade gewählt, dass es das Volumen ist, was das Teilchenpaket zum Zeitpunkt t einnimmt. Und hier steht keine Zeitableitung mehr vor. Deshalb brauche ich hier nicht mehr, zwischen v und v von t zu unterscheiden. Mein fester Zeitpunkt t. Ich mache einen Snapshot, da stimmt, da ist dieses v gerade mein v von t.
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Ortsfest. Dass das ein ortsfestes Volumen ist, spielt keine Rolle, weil ich eben nicht mehr nach der Zeit ableite. So, das war es schon. Das war es schon mit den Volumenkräften. Die Oberflächenkräfte sind Delikator. So,
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Oberflächenkräfte. So, jetzt müssen wir uns vorstellen, ich habe mein Teilchenpaket,
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mein Volumen v, hier irgendwie so eine Oberfläche. Und ich leg jetzt mal hier noch so eine Tangente dran, dass auf ihr jeden Fall keiner mehr was erkennen kann. Das soll jetzt so eine Tangentialebene sein. Und dann habe ich in jedem, dann habe ich hier
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vom umgebenden Fluid einen Kraftvektor. Zum Beispiel eine Druckkraft. Könnte irgendwie so aussehen, hat aber auch noch tangentiale Anteile. T.
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Und wenn ich die gesamte Kraft auf mein, hier bei der Gleichung spielt die gesamte Kraft auf mein Teilchenpaket eine Rolle. Der Impuls ist die Summe der außen angreifenden Kräfte. Also muss ich hier die Gesamtkraft auf mein Teilchenpaket berechnen. Wie mache ich das? Ich muss über die Oberfläche integrieren.
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In jedem Punkt hier habe ich eigentlich keinen Kraftvektor, sondern ein Spannungsvektor. Also Kraft pro Fläche, auf die Fläche bezogene Kraft. Wenn ich die gesamte Kraft berechnen will, muss ich über die Oberfläche integrieren. Und zwar diesen Spannungsvektor T.
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T ist der Spannungsvektor. Und merken Sie sich, Spannung ist auf, das ist die Gleichung 2,5. Soll ich ein Spannungsvektor dazwischen stehen, ist auch egal.
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Spannung sind auf Fläche bezogene Kraft. Das heißt, das ist hier sozusagen Newton pro Quadratmeter. Jetzt wird das mal Quadratmeter genommen, hoch integriert, kommt da eine Kraft raus. Genau die Oberflächenkraft, die auf mein Teilchenpaket wirkt. So, jetzt habe ich da diese Größe T Hier sehen wir, was da am Ende
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rauskommt, wenn ich die linke Seite umforme. Da steht Dichte, Geschwindigkeit, wunderbar. Hier steht die Volumenkräfte G, die Erdbeschleunigung ist gegeben, Datum, 9,81 Meter pro Sekunde. Auch die Richtung nach unten. Rho ist die Dichte, wunderbar. Das heißt, ich habe hier so als Unbekannte, denke ich schon mal daran, ich will am Ende vielleicht mal ein Gleichungssystem haben, was ich lösen kann,
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habe ich als Unbekannte U und Rho, genau die, die ich auch in der Kontinuitätsgleichung habe, alles klar. Hier auch das Rho, aber hier steht so ein T. Was ist T? T hängt vom umgebenden Fluid ab, ist eigentlich auch unbekannt. Kenne ich nicht. Das muss ich jetzt modellieren. Das ist nicht einfach. Das kann ich hier im Rahmen dieser Vorlesung auch nur skizzieren.
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Zunächst mal schaue ich mir an, wenn ich jetzt hier wieder so ein Volumen ausschneide. Hier ist wieder die Oberfläche. Da habe ich da drüben schon die
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Tangentialebene angemalt. Das mache ich hier wieder, da brauche ich es eigentlich noch gar nicht. Dann kann ich hier so ein Vektor T aufspalten in eine Komponente, die normal wirkt. Die nenne ich mal T n. Und dann habe ich zwei Kraftkomponenten
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orthogonal dazu, die tangential wirken. T T 1 und T T 2. Irgendwie so tangentiale Komponenten. Was soll diese Aufspaltung? Weil man muss unterscheiden zwischen diesen Komponenten des
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Spannungsvektors T. Das eine, was normal steht, nennen wir Druckspannung. Und die
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beiden anderen Komponenten, T T 1 und T T 2, T für Tangential, nennen wir Schub oder Scherrspannung.
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Jetzt überlegen wir uns mal, in welchen Situationen was auftaucht. Denken wir wieder an unseren Fahrradreifen und unseren Ballon. Da bewegt sich nichts. Wenn sich nichts bewegt, bedeutet das, dass an meinem Teilchenpaket kein Fluid irgendwie lang reibt oder so. Dann werde ich auch
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keine Scherung haben. Das heißt, diese Tangentialkräfte wird es nicht geben, es wird nur eine reine Druckkraft geben. Diese Tangentialkräfte, die dreht nur auf, wenn ich Scherung habe. Hier ist mein Teilchenpaket, die Oberfläche und anderes Fluid schert da lang. Dann habe ich hier durch die Reibung eine Kraft.
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Diese Kraft, der durch eingetragene Energie, wenn Sie jetzt hier an Ihrer Hand reiben, spüren Sie das, sie wird warm. Das ist durch die Kraft, da wird genetische Wärmeenergie umgewandelt. Das heißt, da passiert was, da wirkt eine Kraft. Das ist hier genau diese Schub- und Scher-Spannung. Wenn das Fluid
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in Ruht bewegungsfrei ist, dann habe ich die nicht. Dann habe ich nur eine Druckkraft. Was ist jetzt mit diesem Spannungsvektor? Stellen Sie sich einfach vor, das ist eine Kraft. Ist dessen Orientierung unabhängig von dem Teilchenpaket? Leider nein. Wenn ich das modellieren will,
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muss ich das berücksichtigen. Das ist sehr unangenehm. Stellen Sie sich Folgendes vor. Wir haben jetzt überlegt, eine Druckkraft, das ist ein Druck. Denken Sie an einen Ballon. Druck wirkt radialsymmetrisch. Der wirkt orthogonal auf der Oberfläche. Ich habe eben keine Reibung hier. Ich habe keine Reibung, sondern einfach eine Druckkraft, die orthogonal,
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jetzt erkennt niemand mehr die Zeichnung, auf der Oberfläche steht. Das heißt, die Orientierung der Druckkraft ist doch abhängig von der Orientierung meines Teilchenpakets, meines Volumens. Wenn ich einen Fahrradreifen nehme oder einen Ballon und ich schneide dort ein Volumen raus, dann soll
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die Druckkraft orthogonal auf der Oberfläche stehen. Wenn ich jetzt ein anderes Volumen rausschneide, was anders orientiert ist, zum Beispiel nicht so, sondern so, dann habe ich eine andere normale und demzufolge auch einen anderen Spannungsvektor. Das heißt, dieser Spannungsvektor, der ist nicht
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unabhängig von meinem, dieses T hier, ist nicht unabhängig von meinem betrachteten Teilchenpaket von diesem Teilchenpaket eingenommenem Volumen. Wenn ich die Orientierung ändere, muss sich auch die Richtung ändern, weil Druckspannungen plötzlich nicht mehr orthogonal sind. Okay, das ist irgendwie blöd, weil am Ende, wie war die Argumentation, wie kam ich immer zu,
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wie kam ich am Ende immer zu parzellen Differentialgleichungen? Naja, ich hatte irgendeine Gleichung, die gilt für beliebige Teilchenpakete, damit für beliebige Volumina und ich komme am Ende auf eine parzelle Differentialgleichung. Jetzt habe ich hier aber eine Größe, da ändert sich das T immer vom Teilchenpaket. Das muss ich
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berücksichtigen und das macht man wie folgt. Da kann ich leider jetzt nicht im Detail herleiten, das können Sie auch in dem Buch, das ich immer zitiert habe, von Spurk nachlesen, aber das würde ich Ihnen nicht empfehlen, weil das finde ich nicht so gut, wie das da gemacht ist. Das liest man besser zum Beispiel bei einem Buch von Schade über Strömungslehre,
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da kann man das nachlesen, wenn das interessiert. T ist abhängig von der
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Orientierung des Teilchenpakets, bzw. des Volumes, das es einnimmt, Pakets. Und modellieren tut man das, habe ich gerade erklärt, warum das so ist, wie man sich das vorstellen kann, an einer reinen Druckkraft. Wenn ich das
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Teilchenpaket drehe, dann ist die normale in eine andere Richtung. Und wenn wirklich, stellen Sie sich das so vor, Sie haben eine Druckkraft, wenn die Kraft nicht abhängig wäre vom Teilchenpaket, drehen Sie das, dann ist das hier auch eine Schubkraft. Das ist eine Scherung. Und Scherung kann es nur geben, wenn es Geschwindigkeit gibt, wenn sich Teilchen gegeneinander bewegen und ich habe
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Reibung, habe ich aber nicht im Mantel. Das heißt, irgendwie muss diese T, so einer Drehung von so einem Teilchenpaket folgen. Und das modelliert man über den Spannungstensor. Den nennen wir hier mal N. Das ist jetzt die Schreibweise, die finden Mathematiker und
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ich eigentlich furchtbar. Das ist eine einfache Überschiebung. Eigentlich ist das nichts anderes als eine Matrix-Vektor-Multiplikation. Tau IJ NJ So, und das Ding ist ein Vektor, also hat
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drei Komponenten. I von 1 bis 3. Das sehen wir hier, das haben wir hier. Tau IJ, mathematisch geworden, Physiker, Ingenieure nennen das Spannungstensor. In der Mathematik hast du das einfach Matrix. Also, Tensor kann man immer als Matrix schreiben. Für mich ist das eine Matrix. So, und was wird hier gemacht?
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Ich nehme die Spalteneinträge der Matrix, also die Quatschte Zeile. Der Matrix Tau wird mit den Vektoren, mit den Komponenten von N hier skalar multipliziert und dann erhalte ich eben die IT-Komponente von T. Das ist einfach nur eine Matrix-Vektor-Multiplikation.
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Und man nennt sowas aber auch hier einfache Überschiebung. Und Tau ist der symmetrische, der muss symmetrische sein, das kann man herleiten aus der Drehimpulsbilanz, will ich jetzt nicht machen,
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Spannungstensor. Und das Ding, dieser Spannungstensor, der ist jetzt unabhängig von der Orientierung des Zeichenpakets. Der, da kann ich das Zeichenpaket drehen, dieses Tau, das bleibt gleich. Und die Orientierung von dem Spannungsvektor,
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von dem kleinen T hier, das steckt eben in der Multiplikation mit dem normalen Vektor. Wenn ich ein anderes Teilchenpaket nehme, habe ich eine andere normalen Vektor und ich kriege einen anderen Spannungsvektor. Ah ja klar, Entschuldigung, den brauche ich auch nicht mehr. Geil, jetzt nur so umschmeißen.
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Ok, ist doch nicht so einfach, wie ich dachte. Also, die Abhängigkeit von der Orientierung, die steckt in diesem normalen Vektor drin.
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Ok, und Tau ist der symmetrische Spannungstensor. Man kann sich überlegen, dass die Einträge, die spalten von Tau. Wenn ich jetzt mal einfach bilde, zum Beispiel Tau mal E1. E1
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ist der Einheitsvektor in in X1-Richtung.
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Also praktisch E1 ist 1, 0, 0 transponiert. Was kommt dann da raus? Ich habe hier die erste Spalte von Tau,
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die zweite Spalte von Tau, die dritte Spalte von Tau, das sind Spaltenvektoren, das mache ich da so Vektorfeile drüber. Das wird jetzt mit E1 hier multipliziert. Naja, dann ist klar, weil der eben diese Struktur hat, kommt da die erste Spalte raus. Das heißt, was ist die erste Spalte
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von Tau? Wenn wir uns das hier nochmal angucken. Das ist genau der Spannungsvektor, der rauskommt, wenn ich ein Teilchenpaket betrachte, das so orientiert ist, dass die normale in diese E1-Richtung zeigt. Und die zweite Spalte ist die für ein Teilchenpaket, wo der Spannungsvektor
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rauskommt, oder wo die normale so orientiert ist, dass der normalen Vektor in E2-Richtung zeigt usw. Das sind die Komponenten in diesem Spannungstensor, dass man sich so ein bisschen, sonst steht dieser Tensor da, diesen Matrix, man hat überhaupt gar kein Gefühl dafür. Also was man hier macht ist, man schnappt sich bestimmte Teilchenpakete mit bestimmter Orientierung,
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nämlich gerade entlang der kathesischen Raum, der kathesischen Achsen E1, E2, E3. Und wenn ich diese Orientierung habe, dann nehme ich den Zugehörigen. Die Spannungsvektoren, die da aufstehen, das sind die Spalten in dem Spannungstensor. Und mit Hilfe dieser Spannungsvektoren
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kann ich alle anderen Spannungsvektoren ausrechnen, einfach durch eine, egal wie mein Teilchenpaket orientiert ist, durch diese Multiplikation mit dem entsprechenden normalen Vektor. So hat man ein bisschen, das ist so ein bisschen das Gefühl haben, was ist ein Spannungstensor, wer sowas noch nie gesehen hat. Wie groß musste man das natürlich alles viel, viel aufwendiger herleiten.
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Aber da haben wir leider nicht den Fall. Die Zeit. Ich muss gerade mal mich orientieren, wo ich eigentlich bin. Nee, ich beschreibe, aber die Orientierung
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des Teilchenpakets, die beschreibe ich mit einem normalen Vektor. Das ist irgendwie klar. Das ist die Oberfläche, zufällig ist das irgendwie gerade hier. Dann steht hier der normalen Vektor drauf. Wenn ich das Teilchenpaket ein bisschen drehe, dreht sich auch der normalen Vektor ein. Okay. Und
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wir haben uns überlegt, anhand von einer Druckkraft, dass dieser Spannungsvektor von der Orientierung des Teilchenpakets abhängt. Das heißt, wenn ich das Teilchenpaket drehe, kriege ich auch ein neues T. Das ist sehr unbefriedigend. Wenn man jetzt weitermacht, wie gesagt,
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nur leicht motiviert, nicht rigoros hergeleitet, wie kann ich dem Rechnung tragen, dass dieses T von der Orientierung des Teilchenpakets abhängt? Das macht man über diese Überschiebung mit dem Spannungstensor. Und damit Sie sich vorstellen können, was für Einträge in dem Spannungstensor drinstehen, deshalb
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diese Rechnung. Nehmen wir mal an, wir haben ein Teilchenpaket, dessen normale E1 in X1-Richtung zeigt. Das heißt, diese Richtung. Nehmen wir mal an, sei unser kathetisches Orignatensystem so orientiert, dass es diese Richtung ist. Nach der Rechnung ergibt sich der Spannungstensor als
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Tau mal E1. Spannungsvektor, für dieses Teilchenpaket, der so orientiert ist, dass die normale in E1-Richtung zeigt, ergibt sich über Tau mal normalen Vektor, normalen Vektor ist E1-Richtung. Das heißt, wenn ich das aber jetzt mathematisch ausführe,
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Matrix-Vektor-Multiplikation, was kommt da raus, wenn ich eine Matrix mal den E1-Vektor nehme, rechnen wir das mal aus. Das kann ich Ihnen nicht vorrechnen, das müsst ihr selber machen. Da kommt raus die erste Spalte von einer Matrix. Bei E2 kommt die zweite Spalte raus und so weiter. Das heißt, was stehen für Einträge in dem Tau drin, in dem Spannungstensor, was steht da drin,
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dass sie ein Gefühl dafür kriegen, was ist denn das, was da drin steht, Spannungstensor, was soll das sein. Da steht drin genau der Spannungsvektor, der sich ergibt, wenn ich ein Teilchenpaket betrachte in dem Punkt, was so orientiert ist, dass die normale in E1-Richtung zeigt. Das ist die erste Spalte. Wenn ich ein Teilchenpaket betrachte, wo die normale in E2-Richtung
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zeigt, dann kommt die Spalte raus. In E3-Richtung kommt die Spalte raus. Das sind die Spalten in dem Spannungstensor. Und mit der Hilfe dieser Spalten kann ich jede andere Orientierung vom Teilchenpaket modellieren, durch Überschiebung hier mit dem entsprechenden normalen Vektor, der irgendwie gerichtet sein kann, nicht mehr E1, E2, E3.
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Nur, dass sie ein Gefühl dafür kriegen, was steht in dem Tau drin. Einermassen hat das die Frage ein bisschen erklärt. Das ist schwierig. Ich weiß, Sie müssen das jetzt auch nicht komplett durchdringen. Wir machen ja hier auch nur Mathematik und eigentlich keine Modellierung, nur das kann man schon mal machen.
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Wenn Sie das gefressen haben, dass man das so modellieren kann, dass das irgendwo sinnvoll ist, dann stöpsel ich jetzt alles zusammen. Jetzt mache ich, das war, habe ich hier eine, Entschuldigung,
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Formelnummer vergessen, das ist die Gleichung. 2,1. Dafür habe ich einen Ausdruck gefunden, das ist 2,3. Für die Kräfte habe ich einen Ausdruck gefunden und das muss ich jetzt einfach nur zusammenstöpseln. Wieso habe ich da eigentlich? Das hier nenne ich mal
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2,5. Das brauche ich natürlich auch, wenn ich das alles zusammen packe. 2,1 bis 2,5. Dann kippe ich hier, auf der rechten Seite, hatte ich die zeitliche Änderung des Impulses, da habe ich die Formel 2,3. Das ist V rho
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dUi dT plus Summe 1 bis 3 Uj dUi dxJ dx. Gleich habe ich mal hier unten weiter. Was ist das?
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In 1,2,1 steht die Kräfte. Welche Kräfte habe ich? Eine Volumenkraft habe ich schon modelliert. Das war die Einfachkraft. Dichte mal Erdbeschleunigung. dx plus und ich hatte die Oberflächenkräfte. Oberflächenkräfte
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stehen hier Oberflächenintegral über den Spannungsvektor dA. Für den Spannungsvektor haben wir gesehen, das ist ziemlich diffizil, da muss ich die Orientierung
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meines Teilchenpakets berücksichtigen und das mache ich, nehme ich das auf das Produkt Spannungstensor mal normalen Vektor zurückführe. Ach nee, jetzt will ich durcheinander kommen, tut mir leid. Ich habe das hier indizistisch aufgeschrieben und hier schon mit Vektor fallen. Will ich auch indizistisch bleiben.
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I, ja was ist das? Die It-Komponente von dieser Matrix-Vektor-Multiplikation ist einfach gegeben als mir leid, dass ich jetzt hier wischen muss. Die ist einfach gegeben, uns das hier angucken.
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It-Komponente ist einfach diese Summe. Summe j gleich 1 bis 3 tau ij nj dx. So sieht das aus. Und jetzt freuen wir uns als Mathematiker. Jetzt ist nämlich alles vorbei mit der Modellierung und der schwierigen Vorstellungen und irgendwelchen
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Spannungstensor und so. Jetzt kann ich wieder rechnen. Da fühle ich mich auch wesentlich mehr zu Hause. Und was mache ich hier? Naja, ich habe jetzt hier wieder so eine Multiplikation mit einem normalen Vektor und einem Oberflächenintegral, da schreit
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alles wieder nach einem Satzfunk aus. Dann machen wir das mal ganz kleinschrittig. dx plus so ein Oberflächenintegral ist eine lineare Operation. Da kann ich Integration und Summation vertauschen. Wenn Sie ein Integral haben, es ist egal ob Sie ein Integral über eine Summe wollen oder die Summe der Integrale nehmen.
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Genau das mache ich jetzt hier. J gleich 1 bis 3 Integral dV tau ij nj nj dx
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So, jetzt habe ich wieder so beschissen geschrieben, dass niemand was sieht. Schreiben Sie erst mal zu Ende auf. Also warte ich noch.
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Okay. Sind alle soweit? Nein? Ich hoffe Sie können das trotzdem lesen. So. Was kann ich jetzt machen?
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Ein Satzfunk aus. Dafür halten wir i fest. Wenn wir i festhalten, dann ergibt sich hier gerade ein Spaltenvektor von tau. tau i und dann läuft j von 1 bis 3, das ist ein Vektor. Es steht also ein Skalarprodukt Vektor mal, wieso habe ich eigentlich die Summation vertauscht und Quatsch. Hier steht einfach nur Vektor mal n.
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Also das was ich hier gemacht habe war total Käse. Also was hier einfach nur steht ist, dass Ihnen das deutlicher wird,
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tau i, Spaltenvektor tau i mal normalen Vektor. Das ist eine Summation, ein Skalarprodukt. So, und was wissen wir da? Für solche Oberflächenintegrale mit so einer Struktur, da haben wir den Satz von Gauss.
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Vektor, normalen Vektor, Divergenz. Genau das mache ich jetzt hier auch. Was ich die Summation da reingezogen habe war totaler Käse. Das bringt überhaupt nichts. Dann mache ich hier weiter gleich, also Satz
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von Gauss. Vorne verändert sich natürlich gar nichts. g i d x plus und dann kriege ich hier die Divergenz von diesem Vektor hier, tau i. Wie ist die Divergenz
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definiert? 1 bis 3, die partiellen Ableitungen in die Richtung von dem Vektor tau i. Es ist ein Spaltenvektor in dem Matrix tau. Genau.
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So sieht das aus. Und jetzt kann ich wieder alles auf eine Seite schreiben. Unter ein großes Volumenintegral. Jetzt habe ich nur noch Volumenintegrale da stehen. Da kriege ich einerseits diese rechte Seite.
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1 bis 3 u j d u i d x j Das ist das. Dann kommt meine Volumekraft rho g i und dann kommt meine Oberflächenkraft. Das ist dieser
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Ausdruck. x j tau i j d x und das muss gleich 0 sein. So, jetzt gilt das wieder für beliebige Teilchenpakete. Genau wie diese Argumentation, die wir immer hatten.
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Also für beliebige Volumen. V ist ein beliebiges Test- oder Kontrollvolumen. Und das heißt, dieses Integral kann nur verschwinden, genau wie die Argumentation von letzter Woche, wenn der Integrant verschwindet.
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Und dann sind wir schlussendlich bei der Impulshaltungsgleichung in indizistischer Form. 1 bis 3 u j d u i d x j.
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Die Kräfte bringt man gewöhnlich auf die andere Seite. 1 bis 3 x j tau i j. Und das gilt jetzt wieder für alle i gleich 1, 2, 3.
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Ja, wir sehen, dahinter verbergen sich also drei Gleichungen für die drei Komponenten der Geschwindigkeit. Die Gleichung gilt für i gleich 1, für i gleich 2, für i gleich 3.
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So, und wenn man das nicht mag mit den ganzen Indizes und Summationen und sowas, dann kann man das auch wieder symbolisch aufschreiben. Indem man hier wieder diese Operationen Gradient und Divergenz und sowas einführt. So, dafür, aber zunächst beobachten wir, was ist das jetzt wieder für eine Gleichung?
01:01:41
Wir haben hier eine partielle Ableitung nach T, wir haben eine partielle Ableitung nach X. Das ist also wieder eine partielle Differenzialgleichung. So, symbolische Schreibweise. Da darf man sich jetzt nicht schocken lassen.
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Die Differenzialausdrücke, die jetzt hier kommen, die definiere ich mir einfach so, wie ich das für diese Gleichung brauche. Na ja, dann sehen wir hier, hier wird irgendwie eine Komponente des Vektors nach der Zeit abgeleitet.
01:02:23
Also wenn ich das alle Gleichungen hier in eine Gleichung, in so eine Vektor-Gleichung kompakt aufschreiben will, dann ist es einfach Vektor u nach T abgeleitet. So, und das hinten, hier wird der Vektor u skalar multipliziert mit so einem Gradient von ui.
01:02:40
Und das schreibt man eben so auf, dazu sage ich gleich noch was. Napler u, das ist o mal g, jetzt steht der ganze Vektor g hier in dieser Vektor-Gleichung plus und den letzten Term, das ist die tensorielle Divergenz, Divergenz von tau. Und das ist die Gleichung 2,7, das ist die Impulsbilanz. So, Impulsbilanz.
01:03:19
Und jetzt muss ich eben noch sagen, das habe ich da eine Reihe komischer Symbole eingeführt, also
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die kennen wir zwar alle, Divergenz, aber Napler, das kannten sie bis dann wahrscheinlich nur vom Skalarfeld. Napler, das ist so etwas wie Grad, Grad f, naja, ok, jetzt habe ich hier Grad von einem Vektor, was soll denn das sein? Na, jetzt ist halt der Vektor, Napler von einem Vektor, wie ist das definiert?
01:03:42
Und das, und hinten genauso, Divergenz kannten sie bislang immer von einem Vektor, da wissen sie hoffentlich auch aus Erhöhung und Mathematik, wie das definiert ist. Hier bildet sich die Divergenz von einem tensor, also praktisch einer Matrix, was soll denn das sein? Naja, gut, das sind eben genau diese Ausdrücke und genauso definiere ich sie jetzt auch.
01:04:02
Grad u ist ein Gesundheit und hier der Jacobi-Matrix, Matrix von u. U ist ein Vektor, wenn ich das ableite, kriege ich eine Matrix raus, die Jacobi-Matrix.
01:04:26
Und diese Überschiebung hier, die definiere ich mir einfach passend, das ist einfach nur eine Schreibweise. Ich könnte auch Peter und Paul dafür schreiben, mache ich aber nicht, ich schreibe das so, es macht auch irgendwie Sinn, das so zu nennen.
01:04:41
Und deswegen mache ich hier so ein Definitionszeichen, ein mathematisches Definitionszeichen. Das definiere ich mir einfach so, wie es mir passt. Und das ist eben genau das, was dort schon steht. Uj, Summe über j, j gleich 1 bis 3, uj dui dxj, also dieser Vektor, der von 1 bis 3 läuft.
01:05:11
Und wenn nabla u die transponierte Jacobi-Matrix ist, dann ist das in Matrix-Schreibweise gerade das Matrix mal Vektor.
01:05:23
Das heißt, was wir hier machen ist, nabla u ist die transponierte Jacobi-Matrix, also ist das Transponierte davon wieder die Jacobi-Matrix selber, also Jacobi-Matrix mal Vektor. Das ist dieser Ausdruck. Und meistens findet man den in Ingenieursliteratur aber so geschrieben.
01:05:45
Und was ist div tau? Auch das definiere ich mir einfach genauso, wie es hier steht. Das ist der Vektor, Summe, j gleich 1 bis 3, d tau ij, dxj, i gleich 1 bis 3.
01:06:10
So definiere ich mir das einfach. Das nennt man tensorielle Divergenz. Ich nenne das so. Und das, wie gesagt, ist die Impulsbilanz.
01:06:30
So, sehr schön. Jetzt haben wir auch eine Impulsbilanz. Und nochmal kurz, woher kam das? Dieser Ausdruck ist die zeitliche Änderung des Impulses. Der Teil kommt wieder da rein, weil ich eben, es ist nicht einfach nur jetzt die Zeitableitung von Geschwindigkeit oder sowas.
01:06:45
Impuls, massenbare Geschwindigkeit, auch das sieht man hier noch durch die Modifikation mit roh. Aber ich kriege noch so einen Teil, das kommt aus dem Satz von Gauss, Rennenschutz, Transporttheorie, ich muss das früh mitbewegen. Das sind die Oberflächenkräfte, Quatsch, Entschuldigung, das sind die Volumenkräfte und das sind die Oberflächenkräfte.
01:07:00
Wenn Sie ein bisschen geübt sind, sehen Sie sofort, dass das Oberflächentherme sind, weil hier eine Divergenz steht. Immer eine Divergenz steht, da war irgendwann mal ein Satz im Spiel und ich habe dort diese Oberflächengeschichte. So. Und jetzt sehen wir aber auch, wenn wir uns das mal aufschreiben, diese Impulsbilanz.
01:07:30
Alles klar. Gegebenes Datum, dichte Geschwindigkeit, das ist genau das, was in der Continuos-Gleichung auftrat. Dann überlegen wir uns mal, die Continuos-Gleichung war eine skalare Gleichung, jetzt habe ich eine Gleichung.
01:07:41
Das ist nicht nur eine Gleichung, das sind drei Gleichungen, hier indizistisch sieht man das sehr schön. I wandert von 1 bis 3, das sind drei Gleichungen, das sind in Summe vier Gleichungen. Wie viele Unbekannte habe ich? Rho, U, Rho ist ein Skalar, U ist ein dreidimensionaler Deitupel, ein dreidimensionaler Vektor, also auch vier.
01:08:01
Na ja, das sieht doch gut aus. Vier Gleichungen, vier Unbekannte. Na ja, das ist ein Datum, alles klar, was ist denn damit? Was ist denn Tau? Das Erspannungsvektor, Tensor, der ergab sich durch die Wechselwirkung mit dem umgebenden Fluid. Ja, dafür braucht man jetzt auch noch eine Gleichung.
01:08:22
Wir brauchen noch Gleichungen oder Ausdrücke oder irgendwas für Tau. Und das kommt aus einem Material gesetzt. Das kann man jetzt nicht mehr allgemein gültig modellieren, wie wir das jetzt hier gemacht haben, für jedes beliebige Fluid. Weil die Reibung im Fluid, die ist wieder abhängig vom Material, was ich betachte. Honig hat da ganz andere Eigenschaften als Luft, man sich anschaulich vorstellt, oder Öl oder sonst was.
01:08:45
Das heißt, diesen Spannungstensor, den kann ich nicht mehr allgemein gültig für jedes beliebige Fluid modellieren, wie das bis jetzt gemacht wurde. Dafür brauche ich ein Materialgesetz. Und das möchte ich heute zumindest noch vorstellen und dann hinke ich schon ewig hinter dem Stoff hinterher.
01:09:20
Diese Materialgesetze, da gibt es streng genommen eigentlich gar nichts zu verstehen. Wie ergeben die sich? Da gehen Ingenieure hin oder Physiker oder wer auch immer und misst das einfach mal durch. Der stellt eine Hypothese aus, das und das wäre sinnvoll, dass der Spannungstensor vor diesen und jenen Größen abhängt. Und dann stellt er so ein Gesetz auf und dann macht er Messungen und guckt, ob das stimmt.
01:09:42
Wie man jetzt die Spannungstensoren genau misst oder sowas, das weiß ich nicht, da stelle ich mich als Mathematiker nicht hoch. Okay, das heißt, letztendlich kann ich da als Gesetz vorgeben, was ich möchte. Zum Beispiel auch sagen, na ja, wenn ich jetzt so einen Fluid betrachte, was sehr dünn ist,
01:10:07
irgendwie ein Flugzeug fliegt durch die Stratosphäre, kann ich sagen, da macht Reibung keine Rolle. Die Moleküle sind da so weit auseinander. Continuous Hypothese gilt zwar noch, aber Reibung ist egal, könnte ich da zum Beispiel sagen.
01:10:20
Und dann hätte ich ein bestimmtes Gesetz für den Spannungstensor, da wird eben keine Reibung, sondern nur Druckkräfte eine Rolle spielen. Zum Beispiel, wenn wir auch noch drauf kommen. Das heißt, aber das gilt natürlich nur für solche Fluide. Reibung, wenn jetzt Honig strömt, wird Reibung nicht egal sein. Das weiß doch jeder, wenn er versucht, Honig aus dem Glas zu holen.
01:10:41
Also, man muss das unterscheiden und das ist wirklich von Material zu Material anders. Und ein berühmtes oder das wichtigste Materialgesetz, was viele, viele Materialien beschreibt, ist das sogenannte, ich glaube, Borschi-Corson-Gesetz heißt das.
01:11:03
Und eben viel populärer kennt man das unter Newtonsches Fluid. Fluide, die diesem Materialgesetz genügen, nennt man Newtonsche Fluide. Und das werde ich, da werde ich jetzt noch darauf eingehen. Und dann kommt man nämlich über diese Newtonschen Fluide, kommt man dann auf die sogenannte Navier-Stokes-Gleichung.
01:11:22
Die ergibt sich nämlich gerade, wenn man die Impulsbilanz nimmt und man setzt eben dieses spezielle Materialgesetz für den Spannungstensor ein. Dann erhält man die berühmt-berüchtigte Navier-Stokes-Gleichung. Und die ist dann auch wieder für Mathematiker richtig interessant, wenn sie die mal geschlossen da Existenz und Eindeutigkeit zeigen können.
01:11:42
Im schwachen Sinne, in höheren Raumdimensionen, dann gewinnen sie. Dann haben sie ein Millenniumsproblem gelöst und kriegen eine Million Dollar. Das werden sie aber jetzt hier in der Vorlesung nicht lernen. So, also ich brauche ein Materialgesetz für tau.
01:12:12
Wenn ich dieses Gleichungssystem irgendwie schließen will, dass ich wirklich ein Gleichungssystem für rho und u habe, dann muss ich irgendwas für tau angeben.
01:12:23
Das Wichtigste ist Newtonschen Fluide. Und hier gilt, ich gebe das jetzt einfach an. Ja, es hat natürlich einen Sinn, dass Leute dieses Gesetz aufgestellt haben.
01:12:44
Aber darauf kann und will ich jetzt nicht näher eingehen. Letztendlich kann man sich auch sagen, ich mache aber 100.000 Hypothesen und überprüfe die experimentell. Die, was dahinter steckt, als Idee ist die sogenannte Idee der Gradientendiffusion.
01:13:04
Das kann man beim Wärmestrom noch ganz gut deutlich machen. Vielleicht noch darauf eingehen.
01:13:22
Und das für i, j, 1, 2 oder 3. So, da kommt also hier so eine Matrix raus. Was ist dieses Delta? Das ist Kronecker Delta. Das ist die Einheitsmatrix. Also, das ist gerade 1, falls i gleich j ist, also auf der Hauptdiagonal, und sonst 0.
01:13:51
Einheitsmatrix in so einer indizistischen Schreibweise. Und diese Gleichung, das kommt jetzt nicht mehr.
01:14:00
Schau ich hier mal auf die Kamera. Die nenne ich mal 2, 8. Das ist diesen Ansatz für den Spannungstensor für Newtonschen Fluide. Jetzt sehen wir, da kommen noch mehr Größen vor. Hier haben wir die Geschwindigkeit, die steht eh schon in Gleichung, das passt. Dann haben wir hier Lambda und Eta. Das sind Materialkonstanten, Zählichkeiten, Viskositäten.
01:14:22
Und ich habe hier noch eine Größe, die sind nicht ganz konstant. Die können sich auch temperaturabhängig ändern. Da muss man, wenn man die Modellierung weiter treibt. Aber wir behandeln die hier mal wie Konstanten. Und ich habe hier noch eine Größe P. Das ist eine weitere Feldgröße, das ist der Druck.
01:14:41
Warum ist das der Druck, sehen wir gleich. Wir betrachten nämlich mal den hydrostatischen Fall. Hydrostatischer Fall. Im hydrostatischen Fall gilt, dass U identisch Null ist.
01:15:01
Also das Beispiel, das ich jetzt immer gebracht habe. Fluid-Root, denken wir an Fahrrad, Reifen, Schlauch, whatever. Ja, so was folgt dann. Dann folgt, dass dieses Tau IJ, meine Spannungstensor, diese Matrix ist einfach nur P mal Delta IJ.
01:15:23
P mal Delta IJ. Alles andere, wo U drin steht, da stehen zwei Ableitungen. Die fallen natürlich auch weg, wenn U die ganze Zeit konstant Null ist. Das heißt, überall, das heißt, das fällt alles weg. Das heißt, genau das, was ich eben Ihnen auch schon gesagt habe. Wie sind dann die Spannungsvektoren definiert?
01:15:44
T war Tau einfach überschoben mal N. Das ist in dem Fall also minus P. So, jetzt switchen wir wieder von diesen Überschiebungen und indizistisch zu Matrix mal Vektor.
01:16:02
Das ist nichts anderes als Identität. Hier steht also Skalar minus P. P ist ein Skalar, mal Identität, mal so ein Vektor N. Was ist Identität mal Vektor? I mal A ist A. Identität macht nichts. Hat nur Einsen auf der Hauptdiagonal und sonst Nullen. Das heißt, das ist einfach P mal N.
01:16:22
T ist dann also minus P mal N. Und jetzt erinnern Sie sich nochmal, was ich Ihnen eben gesagt habe. Sie haben eine Druckkraft. Wir haben uns überlegt, Druckkräfte, wenn ein Fluid in Ruhe ist, andersrum. Wenn ein Fluid in Ruhe ist, dann habe ich keine Scherung. Fluidteilchen reiben nicht aneinander. Ich habe nur reine Druckkräfte.
01:16:41
Es gibt keine Scherungskräfte mehr. Und genau das wird durch dieses Gesetz hier auch schön modelliert. Wir sehen, wenn U in Ruhe ist, dann ergibt sich für die Spannungsvektoren gerade irgendeine konstante Druckkraft, kann auch Zug sein, je nachdem, was P für ein Vorzeichen hat, mal einen normalen Vektor.
01:17:01
Also nur eine Kraft und eine Spannung. In dem Fall Spannung in normalen Richtungen. Das ist genau das, was uns die Anschauung noch sagt. Weil Tangentialkräfte können nicht auftreten, weil ich habe keine Reibung oder Scherung, weil sich nichts bewegt. Und dasselbe T gleich minus P delta ij
01:17:26
gilt auch bei Lambda gleich Eta gleich Null. Was ist das? Das heißt, bei solchen Fluiden, wo das gilt, da habe ich nur Druckkräfte, auch wenn die sich bewegen.
01:17:45
Wenn wir jetzt hier Null haben und Null, fallen diese Terme alle weg. Was sind das für Fluide? Die bewegen sich und ich habe trotzdem nur Druckkräfte. Da habe ich halt keine Reibung. Das sind reibungsfreie Fluide. Die gibt es natürlich in der Realität nicht. Aber wir stellen uns das vor. Bei Fluid, wo die Reibung sehr gering ist,
01:18:04
da gleiten diese Fluidteilchenpakete einfach aneinander vorbei. Reibung spielt keine Rolle. Und dann ist auch klar, habe ich nur noch Druckkräfte. Das heißt, Lambda, Eta sind die Zähigkeiten des Fluids.
01:18:29
Weiß Gott, wie unterschieden Viskose und dynamische Zähigkeit und sonst was. Interessiert uns ja alles nicht. Das sind die Reibungstherme. Und das hier vorne ist der Drucktherm. Den gibt es, der im hybrostatischen Fall überbleibt.
01:18:46
Um so ein bisschen ein Gefühl für dieses Materialgesetz zu geben, wo das im Einzelnen herkommt, das kann man eben sinnvollerweise modellieren. Und da muss man eben für jedes Material überprüfen. Ja, okay, stimmt das denn? Das stimmt für eine ganze Menge an Materialien.
01:19:04
Beispiel Wasser, da stimmt das. Luft stimmt. Mineralöle, da stimmt das sicher auch. Jedenfalls für einen Teil davon. Manchmal muss man, wenn ich jetzt eine Strömung betrachte, wo die Temperatur stark variiert, über mehrere hundert Grad Kelvin, da muss ich berücksichtigen, dass diese Viskositäten temperaturabhängig sind.
01:19:22
Auch das kennen Sie, wenn Sie Öle hitzen. Deshalb steht da irgendwie immer, bei den Motorölen muss man halt aufpassen. Wenn der Motor kalt ist, brauche ich anderes Öl, als wenn er warm ist. Das liegt eben daran, dass die Viskosität auf Temperatur abhängig ist. Es gibt auch Fluide, die sich dadurch nicht modellieren lassen.
01:19:40
Das ist ein Materialgesetz abhängig von der betrachteten Fluid. Beispiel, was sich dadurch nicht modellieren lässt, Zahnpasta. Zahnpasta ist glaube ich ein Wingham-Fluid, wenn ich das richtig weiß, geht dadurch nicht. Das ist so schärfer zähend, das hat ganz andere Eigenschaften. Wenn da irgendwie eine gewisse Spannung überschritten wird, dann bewegt sich das. Oder am Anfang bewegt sich das wie ein Festkörper.
01:20:03
Und hinterher eher wie eine Flüssigkeit. Ich glaube Ketchup ist ähnlich, Sie kennen das. Wenn Sie eine Flasche Ketchup haben, Sie drehen das um, dann passiert erstmal nichts. Es bewegt sich wie ein Festkörper, es bleibt einfach in der Flasche haften. Wenn Sie aber das schütteln, dann passiert plötzlich was.
01:20:23
Das heißt, dann sieht das die Zähigkeiten, dann fließt das plötzlich. Wenn Sie das schütteln, ganz feste und drehen dann die Flasche um, dann fängt das plötzlich an zu fließen. Die Zähigkeit dort hängt also selber von der Geschwindigkeit ab. Das sind so schärfer zähende Sachen, Wingham-Fluide.
01:20:42
Da gibt es also eine Menge. Blut muss manchmal auch so modelliert werden. Aber wenn man sich auf Wasser, zum Beispiel auf Luft zurückzieht, dann sind das Newton-Schiff-Fluide. Die meisten Fluide sind Judenschiff. Ich bin viel zu langsam.
01:21:03
Jetzt habe ich so einen Ansatz hier. Jetzt gehe ich damit in die Impulsbilanz und ich will diese Divergenz bilden. Diese Divergenz hier. Hier steht sie nochmal, was das war. Das ist diese Geschichte. Das gucke ich mir jetzt an. Und zwar für den Spezialfall lambda etta gleich konstant.
01:21:24
Wie gesagt, die können auch temperaturabhängig sein. Da möchte ich jetzt aber nicht drauf eingehen. Dann kriege ich tau ij dxj. Das ist die tensorielle Divergenz von dem tau. So, jetzt gehen wir da mal durch.
01:21:42
Wenn Sie das ableiten. Ja, jetzt wüsste man, ich habe ja letztens schon gefragt, wer kenne ich von der Einsteiger-Summation-Konvention aus? Da haben sich irgendwie zwei Leute gemeldet. Da habe ich schon einen Schock gekriegt. Da muss man jetzt hier indizistisch rechnen können. Da kommt einfach raus dp dx i.
01:22:04
Wenn irgendwann mal irgendeine Operation auf diesen Kronecker Delta trifft, wie jetzt hier diese Ortsableitung nach xj und dann aufsummiert wird, dann ist es ja einfach x i. Wie kann man sich das vorstellen?
01:22:23
Hier steht die Identität. Hier steht also ein Vektor, was hier rauskommt, wenn ich das mal nehme. Da steht eine Matrix, wo die Funktion p von x und t auf der Hauptdiagonale steht. Also das Teil hier, das sehe ich mitschreiben, können Sie sich einfach zu Hause mal überlegen. Es ist minus p von x und t, null null, null minus p.
01:22:43
Jetzt spare ich mir mal von x und t und null null minus p. So. Und jetzt leiten Sie das nach xj ab. Nach xj ab und summieren das auf. Was passiert dann?
01:23:02
Das muss ich selber überlegen. Kein Moment. Nein, genau. Sie halten hier das i fest. Sie halten das i fest. Das heißt, ich nehme eine feste Zeile, nehme die Einträge der Spalte und leite die nach xj ab.
01:23:24
Und summiere ich auf. Hier stehen Nullen, da passiert gar nichts. Das heißt, wenn ich die ite Zeile nehme, dann kommt die erste zum Beispiel, dann kommt hier nur, bei der Summation kommt hier nur was raus, wenn ich nach x1, wo ich nach x1 abgeleitet habe,
01:23:41
weil dort nur dort steht minus p, dann steht also hier minus p dx1. So plus null mal x2 plus null mal x3. Bleibt halt nur das über. Genau bei der zweiten Spalte, das nach x1 abgeleitet, null, das nach x2 abgeleitet, kommt der Eintrag, das nach x3 abgeleitet, auch wieder null.
01:24:02
Deswegen steht hier dieser Ausdruck. So, und jetzt, das war der einfache Term. Jetzt muss ich diese Terme auch noch behandeln. Und das müssen wir dann zu Hause mal nachrechnen. Sieht dann eben wie folgt aus. k d² uk. Das ist entsprechend aufwändiger, das nachzurechnen.
01:24:24
Aber da möchte ich jetzt nicht drauf eingehen. Im Prinzip steht hier auch wieder dieses Kronecker-Symbol. Da kann man genauso argumentieren wie bei dem p. Plus, und dann steht eta. Und dadurch, dass das konstanten sind, kann ich das jetzt wunderbar hier
01:24:40
aus den Ableitungen als konstante Faktoren rausziehen. Und es bleibt eben das über. dxj². Das ist der erste Term. Und dann diese Summe abgeleitet. Auch wieder Summation über j. d² uj dxi dxj.
01:25:04
So, das sieht man hier direkt. Wenn ich das hier nach xj ableite, dann ziehe ich das noch, die Ableitung in die Summen rein, dann kriege ich das. Okay, also dann eben entsprechend aufsummieren über j.
01:25:21
So, hier vorne ändere ich nichts mehr. Und jetzt fasse ich so ein bisschen was zusammen. Dann sehen wir, ich habe hier eine gemischte Ableitung und ich habe hier eine gemischte Ableitung. Jetzt kann ich diesen Term, schreibe ich nochmal aus, fülle ich hin.
01:25:41
Ich kann ja den Summationsindex nennen, wie ich will. K, J, Peter, Paul, völlig egal. Das mache ich auch. J, uj. Und dann habe ich hier eine gemischte Ableitung, aber es gilt auch der Satz von Schwarz. Es ist egal, ob ich erst nach x1 ableite und danach nach x2 oder umgekehrt.
01:26:02
Stetig differenzierbare Funktion, die zweimal stetig differenzierbare Funktion gilt der Satz von Schwarz. Das heißt, das ist dxi dxj. Satz von Schwarz. Plus eta. Ich kann die Summationsreihenfolge umdrehen. Das ist der Satz von Schwarz.
01:26:21
Plus Summe über j d² uj dxi dxj. So, ich mache jetzt bis halb, ob sie wollen oder nicht. So, was sehen wir jetzt? Aha, was hat das gebracht mit dem Satz von Schwarz? Jetzt steht hier und hier dasselbe. Kann ich zusammenfassen.
01:26:40
Also, minus p dxi plus lambda plus eta. Dann steht diese Summe da, über j d² ui, die gemischten Ableitungen, xi dxj plus und dann steht da nochmal dieser Term eta über j d² ui dxj².
01:27:11
Kann man kaum noch lesen, aber es steht ja genau das da, was in der Zeile drüber stand. Okay, habe ich also diesen Term.
01:27:21
So, und das Ding, das setze ich jetzt in die Impulsbilanz ein. Hier steht ja genau dieses Divergenz von tau i. Und die habe ich jetzt hier für ein festes i ausgerechnet.
01:27:41
So, und dann schreibe ich das jetzt hin. Was kommt da raus? Da kommt raus rho du dt plus u mal nabla u ist gleich rho Erdbeschleunigung plus, was ist das? Plus war falsch. Da kommt der erste Term hier.
01:28:02
Das ist jetzt hier div tau, war der Vektor, wenn ich i von 1 bis 3 laufen lasse. Wenn ich i von 1 bis 3 laufen lasse, was ist das? Das ist genau der Gradient von P, also minus nabla P. So, und hier, was steht hier?
01:28:21
Haben wir eine Nebenrechnung. Nebenrechnung, hier habe ich stehen Summe über j d² ui dxj dxi.
01:28:41
Jetzt habe ich wieder die Summation, jetzt habe ich wieder die Differenziation vertauscht. Das habe ich hier ja schonmal gemacht, völlig egal, wie ich da differenziere. Und dann kann ich jetzt Summation und Differenziation vertauschen. Das kennen Sie, Ableitung von F plus G ist Ableitung von F plus Ableitung von G. Das ist genau das, was ich jetzt hier auch mache. Das heißt, hier steht ddxi Summe j gleich 1 bis 3.
01:29:06
Jetzt habe ich mir wieder hingeschrieben, wie die Summe überhaupt läuft, dxj. Und was steht jetzt hier? Was ist das? Das ist nichts anderes als die Differenz von ui.
01:29:32
Ich nehme u, leite das nach den einzelnen Komponenten ab und addiere die Ableitung. Was ist die Differenz? Okay, das heißt, was hier steht, und dann habe ich die Differenz von ui,
01:29:47
und die leite ich dann noch nach xi ab. Wenn man das symbolisch aufschreibt, man kommt da gerade raus, lambda plus eta. Das ist diese Ableitung hier, der Gradient. Und wovon bilde ich das? Von der vektoriellen Differenz von u.
01:30:06
Das ist also der Term hier, wenn man den symbolisch aufschreibt. Und jetzt gucke ich mir das nochmal an. Was ist das? Das ist der sogenannte Vektor Laplace. Das möchte ich jetzt hier nochmal hinschreiben. Minus Laplace u.
01:30:22
Der Vektor Laplace, der ist einfach definiert als, ist auch wieder so ein komisches Ableitungssymbol. Das ist genau das, was da steht. Also, 1 bis 3, d ui nach d xj², und dann ist das ein Vektor, der von 1 nach 3 läuft.
01:30:45
So, und wenn ich dazu, zu der Gleichung, noch die Continuumsgleichung schreibe, die wir ja schon hergeleitet hatten in der letzten Woche, dann ist das die Navier-Stokes-Gleichung.
01:31:02
Das ist Navier-Stokes. Und die sollten Sie alle in Ihrem Studium, ob Sie Ingenieur oder Mathematiker sind, schon mal gesehen haben. Navier-Stokes-Gleichung. Das sind die Navier-Stokes-Gleichungen.
01:31:20
Was steckt dahinter? Impulsbilanz, Massenbilanz, Newton-Schuss-Fluid, Zählichkeiten gleich konstant, dann kommt Navier-Stokes raus.
01:31:44
Doch, das stimmt natürlich. Hier muss uj hin, richtig. Hier muss ein uj hin. Das ist richtig, sonst wäre das auch gar nicht hingekommen hier. Das ist, da haben Sie aber gut aufgepasst. Sonst, ich habe mich schon gewundert, irgendwas war hier schön. Danke für den Hinweis.
01:32:02
Das ist die Divergenz, Divergenz von Skalarfeld zum Quatsch. Das ist die Divergenz von dem Vektorfeld u. Und die wird hier nach xi abgeleitet. Div u Skalarfeld. Divergenz angewendet auf dem Vektor. Da kommt was Skalares raus. Und dann wird hier der Gradient gebildet. Danke für den Hinweis. Vielen, vielen lieben Dank.
01:32:21
So, und jetzt mache ich noch eine weitere. Jetzt werden wir jetzt hier hingucken. Die Leute brechen schon auf. Ich weiß, ja gut. Aber fünf Minuten gebe ich mir jetzt noch. Jetzt gucken wir jetzt. Jetzt haben wir eben schon mal die Rechnung gemacht. Wie viele Gleichungen, wie viele Unbekannte. Eine Gleichung. Und hier, das ist eine Gleichung für einen Vektor. Sieht man schön an der Zeitableitung. Die Komponenten von u werden hier abgeleitet.
01:32:42
Eine Vektor-Gleichung. Drei Gleichungen, vier Gleichungen. Wie viele Unbekannte? O, u, alles klar. Hier Konstante, gegebener Materialkonstante. Erdbeschleunigung, Materialkonstante u. Und hier p. Das heißt, vier Gleichungen, fünf Unbekannte. Fünf unbekannte Felder.
01:33:01
Der Druck ist auch unbekannt. Dafür brauche ich also weitere Material-Gleichungen. Und die nächste Material-Gleichung ist die für eines inkompressiblen Fluids. Inkompressibel bedeutet,
01:33:21
die kann das Fluid nicht zusammendrücken. Zum Beispiel Wasser. Wenn ich den Fluid nicht zusammendrücken kann, bedeutet das, die Dichte ist konstant. Wenn ich ein Volumen habe, stelle ich ein Wasseralarm vor. Ich drücke da drauf. Ich kann ihn zwar verändern, aber ich kann das nicht komprimieren. Das geht nicht.
01:33:41
Dichte ist konstant. Lässt sich nicht mehr zusammendrücken. Wenn die Dichte konstant ist, was folgt dann? Dann verändert sich bei der ersten Gleichung ... ... ... ... ... ... ...
01:34:01
... ... ... ... ...
01:34:20
... ... plus u mal nabla u. Das bringt man jetzt häufig noch rüber. Minus eta la plus u plus grad p ist gleich
01:34:44
und das gegebene Recht Datum ist rho mal g. Das ist die Navistos-Gleichung für ein Kompress. Inkompressibles Fluid und das ist das, was die Mathematiker oft und meistens untersuchen. So etwas untersuchen die Mathematiker meistens. Da ist on-going research. Weiß man nicht,
01:35:05
ob jetzt für Raumdimension 3 kennt man, weil kann man zeigen, dass gewisse Lösungen existieren, aber man kann in Eindeutigkeit nur unter sehr rigorosen Annahmen zeigen. Da geht die Diskussion weiter voran. Ich weiß, dass die heutige Vorlesung extrem schwierig und sehr schnell war.
01:35:24
Es ist keine Vorlesung der mathematischen Analysis. Ich wollte aber, dass die Gleichungen nicht einfach vom Himmel fallen. Deswegen diese doch aufwändigen Herleitungen hier. Gucken Sie sich das, wenn Sie das interessiert, nochmal genau zu Hause an und die nächste Vorlesung geht dann auch nochmal ein bisschen über Modellierung, wird aber nicht mehr so
01:35:43
heftig wie die für die Impulsgleichung. Für die Impulsgleichung ist der Modellierungspart am weitaus schwersten. Ich hoffe, ich habe Sie jetzt hiermit nicht überrollt mit dieser Vorlesung. Okay, dann bis nächste Woche und jetzt ist Übung. Tschüss.