Parabolische Gleichungen
This is a modal window.
The media could not be loaded, either because the server or network failed or because the format is not supported.
Formal Metadata
| Title |
| |
| Title of Series | ||
| Part Number | 13 | |
| Number of Parts | 14 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/31313 (DOI) | |
| Publisher | ||
| Release Date | ||
| Language |
Content Metadata
| Subject Area | ||
| Genre | ||
| Abstract |
|
1
2
3
4
6
7
8
9
10
12
13
14
00:00
Randbedingung <Mathematik>EnergieLogical constantNichtlineares GleichungssystemLösung <Mathematik>GradientNeumann boundary conditionDerived set (mathematics)Normal (geometry)Dirichlet-ProblemTerm (mathematics)Poisson's equationSign (mathematics)Function (mathematics)Uniqueness quantificationEquationParabolische DifferentialgleichungMaximumprinzipIntegral calculusEnergiefunktionalSimilarity (geometry)ZahlNewton's law of universal gravitationMaximum (disambiguation)MittelungsverfahrenPole (complex analysis)SquareModulformRollbewegungLecture/Conference
09:02
Partial differential equationVariable (mathematics)RectangleGebiet <Mathematik>AnfangsbedingungRandbedingung <Mathematik>Interface (chemistry)PhysicistEquationAnfangsrandwertproblemOrdinary differential equationDifferential equationRandwertproblemUniqueness quantificationPhysical quantityCylinder (geometry)Uniformer RaumFlow separationDependent and independent variablesEckeFunction (mathematics)Nichtlineares GleichungssystemMoment (mathematics)Derived set (mathematics)Lecture/Conference
17:55
Fundamental solutionAbsolute valueMathematical singularityGebiet <Mathematik>EquationIntegraldarstellungNumberLösung <Mathematik>Abbildung <Physik>Nichtlineares GleichungssystemFunction (mathematics)Lecture/Conference
22:24
Fundamental solutionMathematicianZahlPolar coordinate systemLösung <Mathematik>Absolute valueVector graphicsAngleINTEGRALPartial differential equationRadiusLecture/Conference
27:35
Cauchy-AnfangswertproblemRaum <Mathematik>Fundamental solutionRandbedingung <Mathematik>AnalogyAnfangsbedingungQuadratic functionSet (mathematics)Connected spaceInfinitySquareRegular measureSineEquationWave equationVector graphicsArrow of timePartial differential equationDerived set (mathematics)IntegraldarstellungPhysical quantityEuclidean vectorPropositional formulaFunction (mathematics)Lecture/Conference
35:24
Mathematical singularityAnfangsbedingungGlattheit <Mathematik>Randbedingung <Mathematik>Time domainGebiet <Mathematik>Limit of a functionContinuous functionSign (mathematics)Lecture/Conference
37:39
Differential calculusDerived set (mathematics)Pole (complex analysis)Lecture/Conference
39:29
Derived set (mathematics)IntegraltransformationDifferential calculusFunktionaldeterminanteGebietsintegralVariable (mathematics)DeterminantSeries (mathematics)Lecture/Conference
42:04
Variable (mathematics)AnfangsbedingungFundamental solutionLecture/Conference
43:38
Witt algebraRadiusLogical constantQuantificationINTEGRALMathematicianFundamental solutionAbsolute valueContinuous functionModulformForestLecture/Conference
50:30
Exponential functionAbsolute valueSquareExponentiationLecture/Conference
51:45
Absolute valueMoment (mathematics)EquationSupremumContinuous functionLecture/Conference
55:52
RadiusVector graphicsLengthFundamental solutionSupremumIntegrierbarkeitDreiecksungleichungDirection (geometry)Norm <Mathematik>SummierbarkeitSummationMathematicianEuclidean vectorAdditionNichtlineares GleichungssystemMoment (mathematics)Continuous functionEquationAbsolute valueLecture/Conference
01:01:13
Absolute valueSupremumRaum <Mathematik>SquareFactorizationDreiecksungleichungPanel paintingLecture/Conference
01:04:51
SquareNormal distributionAbsolute valueExponential functionAbschätzungTerm (mathematics)Exponential functionDreiecksungleichungAtomic nucleusLecture/Conference
01:08:18
Haar measureSet (mathematics)FactorizationSquareLecture/Conference
01:10:13
Absolute valueFactorizationSquareRadiusFunktionaldeterminanteInfinityIntegraltransformationLecture/Conference
01:12:43
ExponentiationFactorizationBorel-MengeRadiusGebiet <Mathematik>Limit of a functionRaum <Mathematik>IntegrierbarkeitINTEGRALSquareContent (media)Normal distributionTerm (mathematics)Logical constantPanel paintingLecture/Conference
01:16:53
AnfangsbedingungLecture/Conference
01:18:04
EquationGebiet <Mathematik>NullNichtlineares GleichungssystemCauchy-AnfangswertproblemFundamental solutionAnfangsbedingungIntegraldarstellungLecture/Conference
01:19:27
AnfangsbedingungEquationLösung <Mathematik>Cauchy-AnfangswertproblemLecture/Conference
01:23:19
RückwärtsgleichungMaximum (disambiguation)Uniqueness quantificationEquationAverageNichtlineares GleichungssystemGebiet <Mathematik>Function (mathematics)Lösung <Mathematik>Moment (mathematics)MittelungsverfahrenSet (mathematics)Cauchy-AnfangswertproblemMean value theoremHerleitungPartial differential equationFundamental solutionBeschränktes GebietLecture/Conference
Transcript: German(auto-generated)
00:10
Dann wollen wir mal. Okay.
00:53
Ich wollte noch ein paar Ankündigungen machen, und zwar neue Kamera, da hinten. Es sind sogar drei Kameras.
01:05
Ein paar Ankündigungen im Internet gemacht, auf die ich jetzt nochmal hinweisen wollte. Auf die ich nochmal hinweisen wollte. Erstens, es gibt nur elf Übungen. Die Übungsleiter hat mich im Office Semesters mal gefragt, wie viele Übungen ich machen wollte.
01:23
Und ich habe dann einfach gesagt, mir hat das alles so angeschaut. Ich meinte, ja, zwölf. Aber das war so ein bisschen voreilig, weil wir die Scheine in der letzten Übung ausgeben wollen. Weil wenn man das nach Semesterende macht, ist das immer ein bisschen kompliziert. Zumal meine ganze Arbeitsgruppe weg ist.
01:41
Wir sind zu einer Sommerschule und dann sind wir alle nicht da. Das ist schlecht. Deswegen machen wir nur elf Übungen, und dann sind wir in der Lage, die Scheine dann in der letzten Woche, also nächste Woche, ausgeben zu können in den Übungen. Wer da nicht zur Übung kommt und den Schein dann nicht, der kann ihn dann natürlich danach bei uns im Sekretariat abholen.
02:02
Also elf Übungen gibt. Ja, ich habe da nochmal ungefähr, also eigentlich sollten die meisten Scheine kriegen. War so mein Eindruck. Warten wir nochmal ab. Das zweite ist, die Räume für die Klausur haben sich geändert, weil ich Angst hatte, dass der Raum, den ich eigentlich gebucht habe, zu klein ist.
02:20
Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie viele Leute zur Klausur kommen, weil das, wer sich dieses Prüfungsanmeldesystem in Darmstadt ausgedacht hat, gehört standrechtlich erschossen. Weil, ja, es geht jeder, jeder Übung, jeder Studiengang, da ist anscheinend jemand anders verantwortlich. Es gibt keine zentrale Stelle. Von den einen kriege ich E-Mails, die anderen schicken mir irgendwie einen Bogen.
02:42
Ich habe keine Ahnung. Also ich empfange das immer nur alles und ich habe jetzt einen Raum mit 210 Plätzen. Gut, welcher Raum genau, weiß ich auch nicht mehr, steht im Internet. Da war dann irgendwie, da hatte ich noch einen Tippfehler drin, in dem Datum, die Datum und Uhrzeit und alles hat sich nicht geändert, halt nur die Räume. Den Tippfehler habe ich ja wieder korrigiert.
03:01
Also da ist, die Daten sind dieselben. War ich natürlich auch nicht im Kopf. Ich weiß nicht, ich sage jetzt nichts. Was wollte ich noch sagen? Achso, und die nächste Übung, nächste Woche, da kommt dann nochmal so eine Übung speziell für die Klausur. Also wer an der Klausur jetzt teilnehmen möchte, dem sei geraten, mal die nächste Übung, die Übung nächste Woche doch mal zu gehen.
03:25
Und da werden wir dann vielleicht das ein oder andere nochmal wiederholen, was für die Klausur wichtig sein könnte. Ich meine, die bestbesuchste Übung des Ganzen ist. Ja, okay. So, dann, ja.
03:42
Nö. Also sie kriegen von uns da die Formeln zur Hand, die sie brauchen. Aber ansonsten ist das keine Kofferklausur. Wir haben jetzt auch nicht so wahnsinnig viel Stoff gehabt. Und die Formeln, die sie müssen, also nochmal so als Beispiel.
04:02
Ich gebe Ihnen sogar die grinsche Formel an. Die erste grinsche Formel, diese Formel der Patientintegration, die wir hier so oft benutzt haben, weil auch ich mich selber mit dem Vorzeichen von dem Randintegral verhaue. Also, ja, die Formeln, die sie benötigen zur Lösung der Sachen, die kriegen sie gestellt.
04:22
Und ansonsten, ich meine, es ist jetzt auch nicht für mich so einfach, da jetzt eine Klausur zu stellen, die jetzt auch für Ingenieure geeignet ist. Wir haben ja relativ viel bewiesen. Diese technischen Beweise kann man ja dann schlechter auch in einer Klausur abfragen. Das ist mir auch klar.
04:41
Aber eigentlich ist so, ich meine, was sie halt können müssen, ist diese ganze Differenzal- und Integralrechnung im Mehrdimensionalen. Ich weiß, das ist für Ingenieure schon ziemlich heftig, aber so ist das halt. Okay, aber die Formeln, die sie dort benötigen werden, die stellen wir Ihnen auch. Okay, also Wiederholung.
05:05
Was haben wir letzte Woche gemacht? Wir hatten uns das sogenannte Dirichlet-Problem angekürzt. Das heißt, es ist abkürzend für so eine Poisson-Gleichung mit dirichletischen Randbedingungen. Also, Randbedingungen an die Funktion selber, Funktion selber auf dem Rand. Und so etwas nennt man Dirichlet-Randbedingungen deswegen, Dirichlet-Problem.
05:23
Und wir konnten zeigen, es existiert eben höchstens eine Lösung U in diesem Funktionraum, die das löst. Kann auch sein, dass keine Lösung existiert, aber mehr als eine geht nicht. Und Beweis eben über dieses Maximumprinzip. Wir haben einfach angenommen, es gäbe zwei, dann aus Linearität folgt,
05:42
dass die Differenz dieser beiden Lösungen hier das die ganze Gleichung mit jeweils F und G gleich null löst. Und dann kann man aus dem Maximumprinzip schließen, dass die Differenz dann null sein muss. Also sind die beiden Lösungen gleich. Gut, beim Neumann-Problem hatten wir kein Maximumprinzip, obwohl es sowas auch gibt. Das habe ich aber nicht diskutiert in der Vorlesung.
06:02
Hier habe ich die Eindeutigkeit auf eine andere Art und Weise gezeigt mit so einem Energiefunktional. Ich habe mir die Dirichlet-Energie definiert. Und mit der Hilfe dieser Energie konnten wir dann zeigen, dass sich Lösungen von diesen Neumann-Problemen, also auch wieder Poisson-Gleichungen und jetzt aber andere Randbedingungen, an die normalen Ableitungen, dU dNu gleich G.
06:26
Solche Lösungen unterscheiden sich höchstens um eine Konstante. Eindeutigkeit kann ich hier nicht erwarten, wenn ich eine Lösung habe. Kann ich ja irgendwie Konstante 10, 5, Pi, was weiß ich, draufaddieren. Dann löst die das wieder, weil hier stehen überall nur Ableitungen. Die Konstante fällt beim Ableiten weg, d.h. die Gleichungen sind erfüllt.
06:43
Aber mehr als um eine Konstante, da können sich das Ganze nicht unterscheiden. Okay, wie haben wir das gemacht? Auch noch mal kurz. Wieder eine Differenz angenommen, es gäbe zwei Lösungen. Dann sehen wir auch hier wieder, Differenz löst das homogene Problem. Dann haben wir einfach mal mit u selber diese Gleichung mal genommen und integriert,
07:01
partiell integriert, dann kommt diese Dirichlet-Energie ins Spiel. Und man kann dann zeigen, dass die Null ist über diese Partial-Integration. Und wenn die Energie hier, wenn der Term Null ist, dann, weil der Integrant nicht negativ ist,
07:21
wegen dem Quadrat, muss dann der Integrant verschwinden. D.h. die Ableitung von der Differenz ist Null. Und damit weiß ich, die Gradienten der Differenz sind gleich. D.h. die Funktionen können sich nur um Konstante unterscheiden. Okay, also haben wir jetzt so zwei Techniken kennengelernt, um Eindeutigkeit mal zu zeigen. Also irgendwie ist das hier alles komisch.
07:50
Aber Existenz von Lösungen selber habe ich jetzt nicht angesprochen. Höchstens so indirekt, z.B. diese Fourier-Reihen-Methode. Aber wir haben schon gesehen, das ist ganz schön, das war auch im Fall dieser Fourier-Reihen-Methode ganz schön aufwendig.
08:05
Und deswegen habe ich mir das mal gespart. So, und Sie werden sich ja fragen, das Semester geht ja stramm dem Ende zu. Ich rede schon über Klausuren usw. und bin immer noch bei elliptischen Gleichungen. Richtig, ist auch nicht ganz so darauf. Ich habe einfach gestartet und Ihnen alles erzählt, was ich für wichtig halte,
08:23
und ich gucke jetzt halt, wie weit ich komme. So, und jetzt kommen wir noch zu parabolischen Gleichungen in dieser Vorlesung. Und in der letzten werde ich dann noch ein bisschen was zu hyperbolischen erzählen. Hätte mir gewünscht, hätte da mehr Zeit gehabt, aber es ist jetzt auch nicht so dramatisch. Weil die Techniken und die Ergebnisse sind eigentlich bei, zumindest im parabolischen Fall ähnlich.
08:41
So, im Skript wird das dann immer alles ein bisschen ausführlicher gemacht. Das ist natürlich nicht klausurelevant, aber für die Leute, die das interessiert, die können sich das ja mal anschauen. Kapitel 5, parabolische Differentialgleichungen.
09:06
Und exemplarisch betrachten wir die Wärmeleitgleichung.
09:24
So, wie sah diese Wärmeleitgleichung aus? Das ist die folgende Gleichung. Ich schreibe es nochmal hin, danach, was dadurch modelliert wird. Unsere Funktion hängt jetzt nicht mehr nur von einer Ortsvariablen x,
09:41
sondern auch von einer Zeitvariablen t ab. Das um xt ist gleich. Das ist die Differentialgleichung f von xt in. Und das gilt jetzt in einem sogenannten Raum-Zeitzylinder,
10:00
den man häufig mit Q bezeichnet. Ich zeige Ihnen gleich noch grafisch, was das ist, mit einem Gebiet omega und einer Endzeit t. Wir illustrieren das gleich, was das ist, aber das kann ich jetzt auch schon machen.
10:22
Solche zeitabhängigen Variablen, die existieren natürlich nicht nur in irgendeinem räumlichen Gebiet x, y. Sondern sie hängen eben auch noch von der Zeit t ab. Und mein Gebiet omega, hier zum Beispiel zweidimensional,
10:42
könnte jetzt eben wieder so kartoffelartig aussehen. Also das ist mein Gebiet omega in der x, y-Ebene. Ich hoffe, man kann das einigermaßen erkennen. Könnte auch ein Kreis sein, ein Quadrat, whatever. So, und jetzt wird dieses...
11:02
Kein Problem. Und diese Differentialgleichung, die gilt aber im Raum und Zeit. Das heißt, die gilt in den gesamten sogenannten Raum-Zeitzylinder, der dann eben etwa so aussieht.
11:21
Hier oben habe ich wieder mein Gebiet omega, diese komische Wurst. Hier ist t gleich Null. Und hier ist t gleich Groß t. Und eine endliche Endzeit. Und in diesem ganzen Gebiet, das ist Q, der Raum-Zeitzylinder,
11:45
dort betrachte ich diese Parzelldifferentialgleichung. So, und ich brauche auch hier wieder, wie bei den elliptischen Gleichungen, Randbedingungen. Und dann nehme ich zum Beispiel diese Dirichlettschenrandbedingungen,
12:02
wie wir die bei der Laplace-Gleichung jetzt so oft gesehen haben. Und das mache ich auf dem Rand von omega, hier auf dem Rand von omega, aber natürlich über den gesamten Zeithorizont. Ich fordere die in jedem Zeitpunkt jetzt diese Dirichlettschenrandbedingungen.
12:24
Das heißt, ich fordere die praktisch hier, kann man jetzt schlecht zeichnen, auf dieser Mantelfläche dieses Raum-Zeitzylinders. Und die nennt man Sigma auf Sigma, und das ist d omega Kreuz Null t.
12:41
Also das bedeutet immer Rand und dann geschiftet durch die Zeit. Also sozusagen die Zeit läuft von Null bis Groß t. In jedem Zeitpunkt fordere ich auf dem Rand diese Dirichlettschenrandbedingungen. Aber wir haben schon gesehen, am Anfang habe ich das mal angedeutet, wir kriegen jetzt eine neue Variable dazu, die Zeit.
13:02
Und da kann man sich vorstellen, die Randbedingungen im stationären Fall, in der Laplace-Gleichung, sind die nötig, um überhaupt für Eindeutigkeit zu sorgen. Und wenn man jetzt eine neue Variable hat, braucht man auch eine weitere Bedingung. Das könnte zum Beispiel, das ist eigentlich das, was einem in der Anwendung
13:22
auch meistens begegnet, eine Anfangsbedingung sein. Das kennen Sie auch von gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung, da haben Sie es auch mit Anfangsbedingungen zu tun. Auch das wollen wir hier fordern, zum Zeitpunkt Null sei U einfach irgendein gegebenes U Null. Das ist jetzt F, G sind Inhumogenitäten, gegebene Größen und U Null auch.
13:44
Irgendein gegebenes Anfangsdatum. Und das gilt in Omega. Also hier zum Zeitpunkt T gleich Null, hier unten auf dem Sockel des Raumzeitzylinders. Also in Q in dem Raumzeitzylinder selber gilt die partielle Differenzialgleichung. Bei T gleich Null in Omega gilt die Anfangsbedingung.
14:02
Auf dem Mantel, diese Fläche drumrum, ohne den Boden und den Deckel, da gilt diese Randbedingung, die direktletische Randbedingung. Und auf dem Deckel selber habe ich erstmal keine Information. So, das ist die partielle Differenzialgleichung.
14:26
Q nennt man auch Raumzeitzylinder. Ja, ist klar, wenn jetzt Omega wirklich der Kreis ist, dann ist das auch echt ein Zylinder.
14:43
Und die ganze PDE, die hat im Skript die Formelnummer 06. Ich bin ein bisschen unglücklich, weil da eben noch keine Solartech-Bug, wie auch immer. 06 heißt, wie nennt man das, Anfangsrandwertproblem.
15:13
Also diese Verpassgleichung zum Beispiel wird oft noch Randwertproblem genannt, weil wir haben eben nur Randbedingungen. Hier haben wir aber Anfangs- und Randbedingungen, deswegen Anfangsrandwertproblem.
15:27
Was war die Physik dahinter nochmal? Die Physik ist, U könnte zum Beispiel die Temperatur sein. Und dann haben wir gesehen, starke Vereinfachungen, isotrope Wärmeausbreitung,
15:43
keine Konvektion im Fluid, also zum Beispiel in einem Festkörper, die Temperaturausbreitung in einem Festkörper. Und bei der starken Vereinfachung kann ich das aus der Energiebilanz herleiten. Haben wir am Anfang gesehen im ersten Kapitel, da ist U die Temperatur. Und das ganze beschreibt, wie sich mein Bauteil oder was auch immer,
16:02
mein betrachtetes Gebiet Omega letztendlich aufheizt in der Zeit unter Einfluss einer verteilten Wärmequelle, einer Wärmequelle am Rand und bei gegebenen Anfangstemperaturverteilungen. Ja, das ist in Omega, hier ist ein zweidimensionales Bauteil. Und jetzt kann ich mir anschauen, wie sich die Temperatur in der Zeit hier verhält.
16:27
Das modelliert mir diese Gleichung. Man kann jetzt für so eine parabolische Gleichung auch wieder den Fourier-Ansatz machen.
16:47
Wichtig ist dann wieder, dass das Gebiet, auf dem die PDE betrachtet wird, so eine rechteckige Struktur hat. Jetzt schauen wir uns das mal an. Wenn man jetzt zum Beispiel Omega als ein-dimensionales Gebiet nimmt, beispielsweise so ein Intervall, dann steht hier einfach mit Intervallgrenzen
17:03
die A bis B, dann steht hier A bis B kreuz Null T. Das ist genau ein Rechteck. A, B im Ort, Null T in der Zeit, dann wird das ganze Q zu so einem Rechteck und da funktioniert dann dieser Separationsansatz sehr schön. Das führt natürlich, dann macht man wieder einen Ansatz,
17:21
also U von X und T ist Groß X von Kleine X und Groß T von Kleine T, oder wie man die Funktion auch immer nennen will, setzt das hier eben ein. Aber man sieht schon, naja, ich habe hier zweifache Ortsableitung, aber dann nur eine einfache Zeitableitung. Das Ganze führt so ein bisschen auf andere gewöhnliche Differenzale, die ich bei dieser Fourier-Methode ja immer lösen muss.
17:41
Mehr dazu in der Übung. Das war schon Teil der letzten Übung, oder? Ich weiß nicht mehr. Okay, das heißt, damit will ich mich jetzt hier noch nicht auseinandersetzen. Das kommt dann noch ins Skript, werde ich das noch mit reinnehmen, wenn die Übung gelaufen ist. Ich möchte auf das eingehen, was nach der Fourier-Methode wir auch bei der elliptischen Gleichung gemacht haben.
18:02
Versuchen Sie sich nochmal zu erinnern. Was war danach unser Ziel? Wir hatten so diese Fourier-Reihen-Methode entwickelt, da haben wir gesehen, okay, damit kann ich bei einfachen Gebieten Lösungen ausrechnen, alles klar. Und dann haben wir versucht, noch eine andere Darstellung der Lösung zu finden, nämlich so eine Integraldarstellung. Stichwort klinische Funktion, Fundamentallösung und so weiter und so fort.
18:20
Genau das möchte ich jetzt auch machen. Wir werden sehen, dass das alles sehr ähnlich ist dem elliptischen Fall. Fundamentallösung. Die Fundamentallösung der Wärmeleitgleichung.
18:43
Man bastelt die sich jetzt so ähnlich zusammen wie im elliptischen Fall. Was war die Fundamentallösung da? Das war die Lösung, die war harmonisch. Also es gilt, Laplace von dem Ding ist Null. Und sie war radialsymmetrisch. Und das legt die fast schon fest bis auf modulo-konstanten.
19:02
Genau so ist das hier auch. Sie haben das Ding, was ich jetzt anschreibe, in der Übung auch schon gesehen. Und heute davon wichtige Eigenschaften in der Übung bewiesen.
19:20
Und heute schauen wir uns an, was man mit dem Ding machen kann. Genau wie im elliptischen nenne ich die Fundamentallösung auch wieder. Phi, die ist auch auf dem ganzen Raum definiert. Allerdings in der Zeit nur ohne die Null. Und ist eine Abbildung in honderiellen Zahlen.
19:49
Der Definitionsbereich wird auch sofort klar, wenn wir uns die Definition anschauen. Wie sieht das aus? Da muss ich eine Fallunterscheidung machen. Wenn das T größer Null ist, dann steht hier folgender Ausdruck.
20:03
1 durch 4 pi t hoch n halbe. Dann e hoch minus x² durch 4t.
20:27
Für x aus Rn, also für alle Punkte, aber nur für die Zeit, wenn die Zeit größer Null ist. Und für t kleiner Null setzt sich das einfach Null.
20:44
Ja, ich kann das jetzt auch nicht mal anzeichnen können. Egal. Muss man sich jetzt auch im Endeffekt gar nichts darunter vorstellen. Ist auch eher eine technische Funktion wieder, die aber ein wichtiges Hilfsmittel sein wird.
21:03
Wir sehen sofort, bezüglich x halten sie t größer Null fest, t gleich 1 oder irgendwas. Bezüglich x ist das total regulär. Da gibt es keine Singularität. Da explodiert nichts. Da geht nichts gegen unendlich. E hoch minus und dann steht hier der Betrag von x.
21:21
Da passiert gar nichts. Das ist wohl definiert für jedes x. Deshalb kann ich x aus Rn wählen, aus dem gesamten Raum. Aber für t sieht das schon anders aus. Wenn t gegen Null geht, dann sehen wir hier explodiert dieser Nenner hier. T steht dort im Nenner. Und da muss ich also aufpassen. Da habe ich eben so eine Singularität.
21:44
Aber das schockt uns nicht. Das kennen wir von der Fundamentallösung im ortsabhängigen, im elliptischen Fall auch. Die hatte auch eine Singularität. Sogar ein x. Was ist das für eine Funktion? Die heißt Fundamentallösung der Wärmeleitgleichung.
22:24
Fundamentallösung der Wärmeleitgleichung. So. Und die Ähnlichkeit zu der Fundamentallösung im elliptischen Fall, die wird jetzt beim nächsten Nenner klar.
22:41
Nenner 2.2. Phi, man kann zeigen, Phi ist radialsymmetrisch. Das heißt, kann man zeigen, sieht man sofort. Das heißt, ich schreibe jetzt mal, und das ist mathematisch natürlich ganz korrekt,
23:02
Phi von x und t ist Phi von Betrag x und t ist Phi von Betrag x. Das haben wir manchmal auch R genannt. Das stimmt natürlich so nicht. Hier habe ich einen Formal nicht richtig. Ich stecke hier ein Vektor rein und hier nur noch eine Zahl.
23:21
Aber Sie wissen hoffentlich, was ich damit meine. Ich mache das mal in Anführungsstrichen. Phi hängt nur vom Betrag von x ab. Ja, stimmt. Der Betrag von x ist der Radius. Das heißt, Phi hängt nur vom Radius ab und nicht, wenn ich das zum Beispiel in Polarkoordinaten hier transformiere und nicht vom Winkel.
23:47
Das war bei der Fundamentallösung. Denken Sie an diesen Trichter, diese Trompete, Fundamentallösung im elliptischen. Was war das? Zum Beispiel im 2D LnR, Ln Betrag von x oder Minus davon. Das heißt, dieser Trichter, das war auch radialsymmetrisch.
24:02
Was galt da noch für die Fundamentallösung im elliptischen? Können Sie einfach im Skript nachgucken. Die war harmonisch. Das heißt, die löst Minus Laplace u gleich Null. Damit kann ich hier nichts anfangen. Ich bin bei dieser Wärmeleitgleichung. Was ich also möchte, ist, dass diese entsprechende PDE da mit Null löst.
24:21
Das nennt man dann nicht mehr harmonisch. Ja, da gibt es keinen Begriff für. Und erfüllt.
24:44
D Phi dt Minus Laplace Phi gleich Null. Wo? Im Gang x aus ganz Rn und t nur aus R ohne die Null.
25:01
Null muss ich wieder rausnehmen, weil das Ding da ja gar nicht definiert ist. Aber es ist wie bei der Fundamentallösung im elliptischen. Da hat sich diese Trompete, die bei x gleich Null nicht definiert. Und da habe ich auch gesehen, die Funktion ist harmonisch. Das heißt, die löst Minus Laplace Phi gleich Null für alle Rn ohne die Null. Hier muss ich eben bezüglich der Zeit die Null rausnehmen. Okay?
25:24
Das war eins. Und außerdem gilt für t größer Null, dass Integral Rn Phi x und t dx gleich eins ist.
25:50
Bei einem ganzen Raumintegrieren ist das eins. Halten die t fest, dann liegt das eben daran. Hier steckt das gaussische Fehler Integral drin.
26:08
Beweis. Das war, glaube ich, eine Übungsaufgabe. Das lässt sich einfach, wenn man diese Funktion hat, relativ straightforward nachrechnen.
26:20
Man sieht also, das Ding hat schon mal ziemlich ähnliche Eigenschaften wie das, wie die Fundamentallösung im elliptischen. Die erfüllt so dieses PDE mit Null, das ist radiasymmetrisch. Können wir vielleicht was mit anfangen. Was wir damit anfangen können, das zeige ich Ihnen jetzt.
26:44
Wenn Sie sich wundern, im Skript habe ich den Beweis für diese Aussage auch mal angegeben auf Basis der Gamma-Funktionen, die wahrscheinlich die Mathematiker alle kennen. Ich höre er nicht so. Das geht aber auch mit Hilfe des gaussischen Fehler Integrals.
27:01
Dann kann ich auch ein bisschen einfacher, so wie Sie das in der Übung gemacht haben. So kann man auf mehrere Arten ausrechnen, das Integral. Egal. Wofür ist die jetzt gut, diese Fundamentallösung? Jetzt genau wieder wie im elliptischen Fall. Was konnte ich im elliptischen Fall damit machen?
27:21
Ich habe die genommen und ich konnte Lösungen auf dem gesamten Raum damit darstellen. Über so ein Integral mit der Fundamentallösung in Homogenität. Genauso ist es jetzt hier auch. Ich betrachte dazu das Cauchy-Problem.
27:51
Wie sieht das Cauchy-Problem aus? Das ist auch wieder wie im elliptischen Fall, wenn es um die Fundamentallösung geht, eine PDE auf dem gesamten Raum.
28:06
Jetzt hier mit Null. Und hier nehme ich nur R plus, was definiert ist als das Intervall von Null bis unendlich.
28:24
In der Zeit gehe ich nur in positive Zeitrichtungen. Das macht physikalisch auch Sinn. Rückwärts in der Zeit, in die Vergangenheit hinein, das ist komisch. Randbedingungen brauche ich nicht mehr fordern, weil ich habe keinen Rand. Ich bin im Ort. Bezüglich des Raumes betrachte ich den ganzen Raum.
28:42
Anfangsbedingungen. Wenn ich da jetzt auch nur Null fordern würde, dann wäre das ein bisschen langweilig. Dann wäre die Lösung nämlich einfach Null. Da fordere ich jetzt U0 von X. Das gilt dann auch wieder, wie gesagt, hier ist nur noch X als Variable, T ist jetzt Null. Das gilt dann also in Gesamtrn.
29:02
Raum-Zeitzylinder ist also praktisch der ganze Raum. Und dann geht es bei T gleich Null los bis unendlich. Das nennt man Cauchy-Problem. Der Begriff Cauchy-Problem ist nicht so ganz einheitlich definiert. Das ist die Gleichung 2, 3. Der ist nicht ganz einheitlich definiert. Wenn ich zum Beispiel die Wellengleichung betrachte, da habe ich hier die zweite Ableitung.
29:23
Wenn ich auch so ein Problem mal hinschalme, nennt man das auch Cauchy-Problem. Cauchy heißt immer, ich fange bei T gleich Null an. Und ansonsten gehe ich bezüglich Raum und dann auch Zeit immer gegen unendlich. Okay, so. Und das ist jetzt wirklich total analog zum elliptischen.
29:47
Als Ansatz für die Lösung wähle ich jetzt Folgendes. Für die Lösung von 2, 3.
30:06
U von X und T ist gleich. Integral Rn Phi, Fundamentallösung. X minus Y. Die hängt natürlich auch von T ab. U Null von Y.
30:22
dy. Das ist genau derselbe Ansatz wie im elliptischen. Und genau wie im elliptischen erinnern sich vielleicht Vorlesungen vor, was weiß ich, von einem Monat. Y ist jetzt hier nicht irgendwie Komponente des Raumvektors X, Y, Z. Sondern X ist ein Raumvektor.
30:41
Nämlich der, wo ich das U betrachte. Und Y ist ein anderer Vektor im Raum, bezüglich den ich dieses Integral ausführe. Okay. Das ist also völlig analog. Hier auch nochmal hinschreiben. Analog zu.
31:01
Das ist in Kapitel 4 die Gleichung 3, 4. Da war es im elliptischen. Und das Integral sah genauso aus, nur dass hier kein T stand. Klar, weil die Fundamentallösung da eben nicht von der Zeit abhängt. Ich habe dort keine Zeit. Das ist das stationäre Problem. So, jetzt kann ich auch nochmal die Definition der Fundamentallösung dort einsetzen.
31:21
Für T größer Null. Aber ich bin hier nur bei T größer Null. Nur dort betrachte ich mein Cauchy-Problem. N halbe. Und dann steht hier R auch N. X minus Y Quadrat durch 4T.
31:47
U Null Y. D Y. Also das haben wir wieder so eine Integraldarstellung für die Lösung. Es ist klar, wenn ich jetzt U Null gegeben habe, irgendeine Funktion, dann muss ich dieses Integral auswerten. Was natürlich oft nicht so einfach ist.
32:01
Das ist ein Integral über den gesamten Raum. Aber immerhin kann ich machen. Und dann habe ich hier eine Lösung dieses Cauchy-Problems. Parzelle für den zeitreichen gelöst. Ja, dass ich das wirklich habe, das muss ich natürlich erstmal beweisen.
32:22
Und das kommt im nächsten Satz. Satz 2.3. Das ist jetzt völlig analog. Oder eine ähnliche Aussage wie dem Satz 4.3.13. Im vorhergehenden Kapitel der Satz 3.13.
32:41
Da haben wir so etwas Analoges für den elliptischen Fall bewiesen. Also es geht nicht für Beliebige. Anfangsdaten U Null. Da muss ich schon was für den U Null fordern. Es gelte U Null.
33:03
Das gegebene Anfangsdatum. Das muss stetig sein über den gesamten Raum. Und es gilt, dass U Null in der ellenendlich-Norm.
33:24
Das ist definiert als Sub Xrn U Null von X. Das sei M Null und kleiner unendlich. Denken Sie an eine quadratische Funktion.
33:41
Die ist sicher stetig auf dem gesamten Raum. Aber das wird nicht erfüllt sein. Weil wenn ich X gegen unendlich gehe, dann geht auch die quadratische Funktion gegen unendlich. Wo doch was zum Beispiel funktioniert, ist natürlich der Sinus. Der liegt immer zwischen Minus 1 und 1. Das heißt, M Null ist da 1. Das brauche ich schon.
34:05
Dann gilt. Sollte ich dem auch noch eine Formelnummer geben. Für U aus 2,4.
34:23
Also durch diese integraldefinierte Funktion. Für die gilt Folgendes. Erstens kann ich zeigen, dass U unendlich glatt ist. Was ziemlich überraschend ist. Weil das Anfangsdatum war ja nur stetig.
34:43
Das ist aus C unendlich. Das kann ich unendlich oft ableiten. Natürlich nicht in der Null. R plus ist eben nur das offene Intervall. Dann nehme ich die Null nicht mit. Unendlich glatt. Das ist schon mal schön. Dann habe ich eine Menge Regularität.
35:01
Das heißt, ich kann unter anderem diese Zeitableitung in diesem Laplace bilden. Wenn ich das tue, dann sehe ich, dass die Udt minus Laplace U tatsächlich gleich Null ist. Also, das so definierte U mit dem integral. Der löst auch diese Wärmeleitgleichung homogen.
35:23
Das heißt, habe ich jetzt schon eine Lösung. Naja, ich muss natürlich noch die Anfangsbedingungen erfüllen. Wenn ich mir das jetzt angucke. Bei t gleich Null ist das Ding nicht definiert. Weil hier steht t im Nenner. Ist nicht definiert. Ist das jetzt eine Polstelle? Explodiert U an der Stelle?
35:41
Was kein Widerspruch wäre zur unendlichen Glattheit. Kann ja durchaus da immer noch eine Singularität haben. Nein, das ist nicht der Fall. Das ist, man könnte sagen, eine hebbare Lücke. Wie man das vielleicht aus der Schule kennt. Das gilt nämlich. Limes. X und T. Gegen irgendein.
36:01
X Null. Ja, hier muss die Null hin. Und Null gilt. Tippfehler. Den kann ich mich eh wieder nicht erinnern. Und ich komme. Aus dem positiven Zeitbereich.
36:21
Betrachte den Grenzwert dieser Funktion. Dann ist das tatsächlich. Der Anfangswert. An der Stelle. X Null. Für alle. X Null. Element. R N. Das heißt. Ich kann nicht sagen.
36:43
U von X und Null. Ist nicht definiert, weil das T hier im Nenner steht. Aber ich kann mir solche Grenzwerte anschauen. Ich nehme mal U von X und T. Ein beliebiges X Null. Irgendwo im gesamten Gebiet. Und lasse jetzt X und T. Gegen X Null und Null konvergieren. Irgendwie. Hauptsache, ich komme.
37:01
Hier aus R Plus. Also von T größer Null. Und dann kommt dann zeigen, dann konvergiert das wirklich. Gegen U Null von X Null. Das heißt, in diesem Sinne. Sind die Randbedingungen auch erfüllt. In so einem Grenzwertsinn.
37:22
Das ist wie so eine hebbare Lücke. Das U. Das explodiert nicht. Wenn T gegen Null geht. Sondern das konvergiert. Gegen eine wohl definierte, stetige Funktion. U Null von X. Okay. So den ersten Teil, den schenke ich mir. Der ist extrem technisch.
37:40
Und da schreibe ich jetzt einfach. Sieh das Skript. Das ist wirklich undankbar. Zu zeigen, dass das unendlich oft differenzierbar ist. Das ist nicht trivial. Man hat hier, man kann nicht einfach wieder Differenziation und Integration vertauschen. Man hat hier nämlich so ein uneigentliches Integral und einen gesamten Raum. Da muss man auch noch aufpassen, dass das Vieh
38:02
dort hier so Polstellen hat. Und so weiter. Ja gut, okay. Das kommt nicht in Betracht, weil T sowieso größer Null ist. Aber wie gesagt, man hat so ein uneigentliches Integral. Da muss man aufpassen. Dann kann man, weil man bei uneigentlichen Integralen Differenziation und Integration vertauschen kann. Das ist ziemlich technisch, das lasse ich mal weg.
38:23
So, bin ich mal faul. Sieh das Skript. Den zweiten Teil, der ist dann, wenn man einmal weiß, dass das Ganze differenzierbar ist
38:41
und die Differenzier... und dass die Ableitungen sich eben durch Vertauschung von Differenziation und Integration ergeben, dann ist das trivial. Schreiben wir es doch mal hin. Minus Laplace u.
39:02
Ja, ich schreibe. x und t, Minus Laplace u und x und t. Das ist gleich. Na, jetzt nehme ich einfach die Definition. Und ich hatte gerade gesehen, das Ganze ist differenzierbar. Ich kann Integration und Differenziation
39:20
vertauschen. Habe ich Ihnen jetzt nicht gezeigt. Müssen wir glauben, das ist so. Und ich kann also Differenziation nach innen reinziehen. Dann folgt daraus, das ist... Hier ist die Integration, die Differenziation nach innen reingezogen.
39:42
Die Phi dt an der Stelle x minus y, t minus Laplace Phi an der Stelle x minus y, t und das Ganze mal u0 von y, dy.
40:00
Vielleicht an den Laplace sollte man hier noch ein x dran machen, weil das ist ja hier ein Laplace bezüglich der Ortsvariablen x. Die Integrationsvariable y ist davon gar nicht betroffen. Insbesondere heißt das, ich differenziere hier auch nicht irgendwie das u0. Okay, jetzt mache ich noch eine Variabletransformation.
40:24
Y ist gleich x minus z. Da mache ich gleich etwas zu. x minus z, dann habe ich hier nur noch d Phi dt an der Stelle z stehen, x minus Laplace z,
40:45
Phi zt u0 von x minus z d z. So, diese Transformation, dass ich das... Es ist mir eine ganz normale
41:00
Transformation von Volumenintegralen. Ob ich den Laplace hier nach x bilde oder den Laplace nach z, einfach mal nachrechnen mit Kettenriegel, ist in der Tat dasselbe. Weil x hier, weil die innere Ableitung hier die Identität ist.
41:20
Plus x, also Identität. Dann habe ich hier eine Funktionaldeterminante, die ist minus eins hoch n. Und dieses Minus, wenn das jetzt Raumdimension ungerade ist, käme mir eigentlich minus eins vor. Allerdings durch y geht z von minus unendlich bis plus unendlich, dann geht z von unendlich bis minus unendlich.
41:43
Wenn ich dann die Integrationstrenden wieder richtig rumdrehe, dann hebt sich das mit dem Minus eins hier aus der Funktionaldeterminante auf. Also einfach mal nachrechnen, diese so eine Integraltransformation. Eine ganz normale Integraltransformation für Gebietsintegrale. So, und was habe ich jetzt hier stehen?
42:03
T ist irgendwie größer Null. Nur dort wollte ich zeigen, dass meine Wärmeleitgleichung erfüllt ist. T ist irgendwas größer Null. Z ist jetzt irgendeine Variable im Raum. Die Integrationsvariable ist eigentlich egal, weil ich weiß, im gesamten
42:21
Raum, und für T ungleich Null, ist das Ding, ich sage jetzt mal harmonisch bezüglich der Wärmeleitgleichung. Da sieht man, wofür diese Fundamentallösung gut ist. Das heißt, das ist gleich Null
42:42
nach 2,1. Für jedes Z. Für jedes Z ist das Null. Hauptsache T ist ungleich Null. Das ist der Fall. Das heißt, das ist tatsächlich Null. Ich habe also genau diese Eigenschaft der Fundamentallösung hier ausgenutzt. So, das war einfach.
43:01
Die PDE ist also erfüllt, aber was mit den Anfangsbedingungen? Das ist schwierig. Also die Anfangsbedingungen. Um das nachzuweisen, muss man ein bisschen arbeiten.
43:22
Seien x Null aus Rn und Epsilon größer Null beliebig, aber fest. Beliebig, aber fest. Irgendein Punkt aus dem Rn und Epsilon größer Null beliebig, aber fest. Was ich jetzt
43:41
zeigen muss, ist, dass U von x minus T minus U Null von x Null, dass das kleiner ist als Epsilon, aber ich werde es hinterher zeigen mit zwei Epsilon, falls x und T nur nah genug an x Null und Null dran sind. Dann habe ich genau diese Aussage mit dem Liemanns bewiesen. Weil das Epsilon beliebig
44:01
ist, das kann ich dann gegen Null fahren, kriege ich die entsprechende Konvergenzaussage. Wo fangen wir mal an? Ich weiß, U Null ist stetig. Daraus folgt, es gibt, ich mache das mal mit so einer Existenz,
44:21
Quantor. Das heißt einfach nur, es existiert, es gibt so einen Delta Null mit der Eigenschaft, dass U Null von, nennen wir das mal z, minus U von x Null kleiner Epsilon ist für alle
44:44
z, die in so einer Delta Umgebung, also in einer Kugel mit Radius Delta um das x Null liegen. Also das ist jetzt genau die Stetigkeitseigenschaft. Wenn ich nur nah genug mit meinem z an das x Null
45:02
rangehe, dann weil das U Null, hier muss noch ein U Null hin, weil das U Null stetig ist, habe ich dann diese Eigenschaft. Dann wird auch die Differenz in den U Null Werten, geht dann auch gegen Null. Weil nun irgendein
45:23
x, auch aus einer Umgebung, aber die noch kleiner ist, nämlich mit Radius Delta halbe beliebig. So, und jetzt gucken wir uns das doch mal an.
45:40
Also was ich abschätzen muss, ist, dass das irgendwie gegen Null geht, bzw. kleiner als mein Epsilon ist. Mein beliebiges oder festes Epsilon größer Null. Wenn ich das einsetze, ha ha, jetzt muss ich ein bisschen tricksen. Machen wir es mal kleinschrittig. Große Betragsstriche außenrum, R N
46:01
phi von x minus y t U Null von y dy Das ist das U von x und t, nach Definition.
46:22
Minus, jetzt steht da U Null von x, da schreibe ich das auch mal hin. Und das erweitere ich jetzt. Ich weiß doch, das ist hier 2 2,
46:40
das Integral über diese Fundamentallösung ist 1. Und man sieht leicht, dass auch das Integral dann 1 ist.
47:01
Das hier ist 1. Schauen wir uns das noch mal an, das habe ich gemacht. Hier habe ich einfach nur die Definition eingesetzt. Hier hinten noch an der Tafel steht. Und dann steht da auch Minus U Null von x. Und das habe ich mal 1 genommen, da habe ich nichts verändert. In Mathematik gibt es zwei Tricks, mal 1 nehmen, mit Null addieren
47:22
und mit 1 mal nehmen. Das habe ich hier genau gemacht, mit 1 mal genommen. Warum ist das 1? Naja, ich kann jetzt auch hier wieder eine Transformation machen, auf z. Dann sieht man, gucken Sie sich das hier an. Ich ersetze jetzt wieder hier dieses x minus y durch z.
47:41
Und dann kriege ich hier wieder Funktionaldefinante Minus 1 hoch N. Aber das passt hier genau wieder mit dem Umdrehen des Integrals, des Integrationsgrenzen. Und das ist dasselbe wie dieses Integral. Also 1. So, dann kann ich das schon mal schön umformen.
48:02
Nämlich Rn x minus y t mal, und jetzt habe ich da stehen U Null von y minus U Null von x.
48:21
Ne, das ist jetzt hier erstmal so. Die Y. Betragsstriche außenrum. Hier ist eine Integration über y. Ich kann also guten Gewissens das U Null von x hier reinziehen. Das ist eine Konstante. Bezüglich dieser Integration ist das eine Konstante.
48:41
Das ist keine Integration bezüglich x. Ich ziehe das also unter das Integral. Dann habe ich, jetzt machen wir hier so Integrale über den ganzen Raum. Dann kann ich die beiden eben so zusammenziehen. Okay. So, und jetzt muss ich erstmal wischen.
49:48
So, dann machen wir das mal weiter. Wenn wir uns das jetzt anschauen,
50:00
dann sieht das schon mal ganz gut aus. Ich habe hier das U Null nur noch drin stehen. Da weiß ich so ein bisschen, das ist stetig. Hier habe ich eine Differenz von dem U Null. Da kann ich bestimmt was mitmachen. Erstmal muss ich aber diese Betragsstriche außenrum irgendwie loswerden. Und da überlege ich mir, dass dieses Phi
50:20
immer nicht negativ ist. Wie war das Phi-Phi nochmal definiert? Das war positiv sogar. Was wir noch brauchen. Deswegen schreibe ich das nochmal hier hin. 1 durch 4 Pi T hoch N halbe exponent minus x²
50:43
durch 4T. Das ist sicherlich immer größer Null. E-Funktion sowieso. Und hier vorne für T größer Null ist das auch immer größer Null. Das heißt, Phi ist immer echt größer Null. Und dadurch kann ich die mal hinschreiben. Phi größer gleich.
51:00
Oder echt größer Null. Für T größer Null. Und da, deshalb kann ich jetzt den Betrag nach innen ziehen. Also U von x und T
51:20
ist dann kleiner gleich R N. Das ist sowieso positiv. T. Und dann steht hier U Null von y minus U Null von x Betrag
51:41
dy. Das Integral wird sicher dieser Betrag von diesem Integral hier ist sicher kleiner als das Integral über den Betrag. Und der Betrag von dem Integranten ist genau das hier. Weil das immer positiv ist.
52:00
Okay. Und das spalte ich jetzt auf. Einmal in Integral über eine Kugel. Mit Radius delta. Irgendwo muss ich ausnutzen, was ich oben schon mal hingeschrieben habe. Dass das U Null stetig ist. Das heißt, wenn das Y nah an das x rankommt,
52:21
dann so einen Moment. Ich habe hier irgendwo mein x Null verschlammt. Ich wollte ja auch nicht das schreiben. Entschuldigung. Das tut nichts zur Sache. Ich wollte ja auch nicht das zeigen. Ich wollte zeigen, dass ich nah an meinen x Null, an meinen Anfangswert, für ein beliebiges x Null rankomme. Deswegen muss hier überall noch bei dem U Null das x Null ran.
52:41
Entschuldigung dafür. x Null. Irgendwo muss ich jetzt noch mal ausnutzen, dass wenn ich mit meinem Y nah an das x Null rangehe, dass ich dann in diese, dass die Differenz U Null von Y minus U Null von x Null dann kleiner als Epsilon wird. Bestätigkeit von dem U Null. Aber Y ist hier Integrationsvariabel
53:02
und geht über einen ganzen Raum. Das kann beliebig weit weg von dem x Null gehen. Deswegen mache ich da jetzt so eine Art Fallunterscheidung, indem ich das Integral aufspalte. Einmal in einen Teil, wo ich in dieser Umgebung bin.
53:23
Und einen zweiten Teil über den Rest. Ganz R N ohne diese Umgebung.
53:40
T U Null, jetzt wieder derselbe. U Null von Y minus U Null x Null d Y. Und dieses Integral, das werde ich mal gucken, wie ich es hier genannt habe, I Epsilon nennen. Das ist so ein bisschen das schöne Integral.
54:01
Und dieses Integral hier hinten, das nenne ich mal J Epsilon. Da müssen wir ein bisschen kämpfen. Warum ist I Epsilon schön? Na, weil ich in der Umgebung bin und direkt die Stätigkeit von dem U Null aus nutzen kann. Es gilt nämlich I Epsilon
54:21
ist kleiner gleich als das Integral. Machen wir mal ein bisschen kleinschrittiger.
54:55
Dieses Integral I Epsilon wird sicher kleiner
55:01
als wenn ich hier das Supremum bilde, weil es nicht mehr von Y abhängt, aus dem Integral rausziehen kann.
55:24
Da der Integrant überall positiv ist, ist das sicherlich kleiner als wenn ich über den gesamten Raum integriere. X minus Y T d Y und da haben wir gesehen, das ist 1.
55:44
Das war die Gleichung 2 2, die ich jetzt schon weggewischt habe. Was ich da eben auch noch ausgenutzt habe. Naja, und hierbei wusste ich, für alle, das Delta war so gewählt, dass für alle Z in dieser Kugel mit Radius Delta um X Null das Ganze
56:01
kleiner gleich Epsilon ist. Das heißt, dann gilt das auch für das Supremum. Das heißt, das ist kleiner als Epsilon. Damit habe ich hier, dass dieses Integral schon mal kleiner als Epsilon ist. Sehr schön, also das kriege ich im Griff. Ich habe nur die Städigkeit
56:21
ausgenutzt und die Integrierbarkeit dieser Fundamentallösung in meinem gesamten Raum. Was mache ich jetzt mit J Epsilon? J Epsilon, da muss ich ein bisschen kämpfen. Wenn Y in J Epsilon ist, im Fall von J Epsilon
56:44
liegt das Y nicht in dieser Kugel. Das heißt, irgendwo außerhalb der Kugel mit Radius Delta. Das heißt, wie es die Kugel definiert, alle Ys, wo der Verbindungsvektor
57:01
betrag kleiner gleich Delta ist. Das heißt, hier gilt Y minus X größer als Delta. Ich nehme den Rand noch mit dazu.
57:20
Jetzt mache ich eine kleine Rechnung. Jetzt mache ich eine kleine Rechnung. Y minus X Null habe ich gerade gesehen, ist größer als Delta. Aber ich kann es auch nach oben abschätzen. Das ist kleiner als
57:41
Y minus, das machen wir ja ganz ausführlich, plus X minus X Null. Das nennt man jetzt die Dreiecksungleichung. Mathematiker sollten das eigentlich alle kennen. Ingenieure können sich das ja mal merken.
58:01
So eine Summe aus zwei Normen, die kann man eben genauso auseinanderziehen. Kann man eben abschätzen durch die Summe, die Norm von einer Summe ist kleiner als die Summe der Normen der Summen. Genau das steht hier. Das ist die Dreiecksungleichung.
58:28
Das kann man sich auch gut illustrieren. Wenn ich hier einen Verbindungsvektor habe, von A nach B und dann, nicht, dass ich jetzt Quatsch erzähle,
58:44
und ich gehe hier, Moment, jetzt muss ich selber nochmal überlegen. Wie konnte man sich die denn illustrieren?
59:21
Bitte? Ja, das Zeug war schon richtig, aber ich bringe es gerade an der Tafel nicht hin, das irgendwie, das mit der Dreiecksungleichung in Verbindung zu bringen. Reiche ich nächste Woche nach. Wenn ich jetzt hier an der Tafel rumeiere, das führt wieder zu nichts, das kenne ich schon.
59:41
Moment, aber wenn ich jetzt Dreiecksungleichung habe, A plus B kleiner Reich A plus B Soben. Muss das denn immer, muss das denn, das muss ja nicht rechtwinklig sein, das kann ja irgendwie, das ist egal.
01:00:01
A plus B, das ist der Vektor C, das ist A und B, dann sieht man das, ja, oh man, ey, naja, okay, also machen wir das nochmal auf, dass es vielleicht auch denen, denen das nicht so geläufig ist, klar wird.
01:00:23
Ich habe einen Vektor A und ich habe einen Vektor B, hier ist der Vektor A, hier ist der Vektor B, das ist der Vektor A plus B, einfache Vektoraddition. Das ist die Länge von den Verbindungsvektoren, das ist das, und das ist die Länge von den Einzelvektoren. Dann sieht man schon, weil ich hier so einen Umweg gehen muss, ist die Länge der Einzelvektoren größer als die Länge der Verbindungsvektoren.
01:00:43
Nur wenn A und B ko-linear sind, die die selbe Richtung zeigen, da ist das hier gleich, okay? Sehr schön. Ja, manche Sachen machen wir noch ein bisschen weg. Das ist die Dreiecksungleichung, Mathematikern haben Sie gerade gesehen, denen ist das sehr geläufig.
01:01:02
So, jetzt müssen wir nochmal ganz zurück gehen. Was war denn dieses, ich habe jetzt da so ein X addiert, was war denn dieses X? Was ist dieses Ding hier? Sei nun X aus Delta halbe beliebig. Das heißt, das ist kleiner als Delta halbe, also schreiben wir es mal hin, ein halb Delta, und das Delta wiederum kann ich dadurch abschätzen.
01:01:28
Das ist also kleiner als ein halb X minus X null, völlig egal, warum ich das schreibe, weil der Betrag außenrum steht.
01:01:40
Das ist also kleiner als Y minus X plus ein halb Y minus X null. Und daraus folgt dann insgesamt das Y minus X größer gleich, jetzt bringe ich das noch rüber, ein halb Y minus X null ist.
01:02:13
Wofür ist das jetzt wichtig? Das brauche ich, wenn ich dieses Integral J Epsilon umformen möchte.
01:02:22
J Epsilon gleich, was ich jetzt hier schon mache, ich schreibe es nochmal hin, Rn ohne diesen
01:02:46
Ball, Phi X minus Y T U null von Y minus U null von X null D Y.
01:03:00
Und das kann ich sicherlich abschätzen durch kleiner als Supremum, zweimal Supremum, ich schreibe jetzt einfach mal Z Element des ganzen Raumes U null von X.
01:03:26
Y ist irgendein Element im Raum, X null letztendlich auch irgendein Element im Raum und jedes ist immer kleiner als das jeweilige Supremum, das heißt ich habe hier die 2.
01:03:40
Wir können jetzt auch wieder mit Hilfe der Dreiecksungleichung überlegen, ziehen Sie es wieder dreiecksungleichungsmäßig auseinander, das Minus kännt es sich dann aus, weil da ein Betrag von Minus U null von X null steht, dann kommen Sie dahin. Das ist also 2 M null, M null war diese Definition am Anfang, als ich den Satz formuliert habe, dieses Supremum von dem U null.
01:04:04
Das heißt das ist kleinergleich 2 M null integral über Rn ohne den Ball, diese Kugel und jetzt setze ich die Definition von dem Phi mal ein.
01:04:24
Da stand vorne noch ein Nenner, Phi 4 Pi T hoch N halbe und das kann ich direkt rausziehen, weil ich habe eine Integration über Y, da ist das T ein konstanter Faktor, kann ich vor das Integral ziehen.
01:04:42
Dann bleibt hier drin stehen Betrag X Minus Y Quadrat durch 4T dy. Ich habe einfach hier die Definition von dem Phi, hier steht sie, eingesetzt und den Term dann direkt aus dem Integral rausgezogen.
01:05:02
Und jetzt weiß ich, ich habe eben schon gezeigt, Y Minus X ist größergleich, was mich jetzt hier noch stört ist dieses X in der Abschätzung.
01:05:22
Ich hätte gerne nur noch alles von X null in der Abschätzung, weil das X null hier auch in den Integrationsgrenzen auftaucht, das bringt mir dann hinterher meine Gesamtabschätzung. Ich kann das X null rauscancen, weil ich habe gezeigt, hier durch meine glorreiche Anwendung der Kettenregel, der Dreiecksungleichung, dass ich das so abschätzen kann.
01:05:48
Dann folgt aber das X von Minus Y Minus X Quadrat durch 4T, das ist dann kleiner als X Minus Y Minus X null Quadrat durch 16T.
01:06:21
Warum? Das ist diese gaussische Glockenkurve. Und je größer hier das Y Minus X, das ist ein Zahlbetrag davon, ist größer als das. Wenn ich das dann hier als Input in die, oder, ja, muss man, Quatsch, Glaus, Glockenkurve, kann man direkt mit der Exponentialfunktion machen.
01:06:46
E hoch. E hoch Minus X. Wie sieht E hoch Minus X aus? Hier ist die 1, dann geht das hier so runter. Das heißt, es ist monoton fallend.
01:07:06
Wenn ich hier also größer werde, oder kleiner werde mit meinem Input, dann wird die E-Funktion größer. Hier ist Betrag Y Minus X. Hier ist Betrag Y, ein halb Betrag Y Minus X null und die E-Funktion wird dann, die E hoch Minus Funktion wird dann größer.
01:07:24
Quadrat und das 4T hier drin steht, das macht überhaupt nichts. Das heißt, ich kann das wieder abschätzen. Der Integrant wird also größer, damit wird auch, weil er positiv ist, auch das ganze Integral größer. Ohne den Ball, X null, Delta und dann steht jetzt hier der neue Integrant und das Schöne ist jetzt ohne, ohne das X.
01:08:03
Einfach so abgeschätzt. Okay. So. Jetzt sieht man da noch gar nicht, warum das jetzt irgendwie klein werden soll, oder sowas. Und der Schluss ist aber, dass man zeigen kann, dass diese Menge, die wird klein, die geht gegen null.
01:08:24
Dafür, um das zu sehen, müssen wir eine Integral-Transformation machen. Wo mache ich das jetzt? Kann ich hier hinten weiter schreiben. Man sieht schon, ein sehr technischer Beweis, aber muss man sich eben durchquälen. Okay. Schreibe ich hinten weiter, guck mir einfach mal das Integral an.
01:08:41
Vorne mit dem Vorfaktor kann ich nichts mehr machen. Schaue ich mir das Integral an. Minus Y, minus X null, Quadrat durch 4T, dy.
01:09:06
So, jetzt mache ich eine Integrations-, oder schreiben wir das erstmal auf hier. Was bedeutet das? Das ist also das Integral über den gesamten Raum, minus das Integral über diese Kugel, X null, Quadrat durch 4T.
01:09:43
Um jetzt zu sehen, dass das klein wird, muss ich eine Transformation machen. Wo ich transformiere, wo schreibe ich das hin? Ich setze Z ist gleich Y, minus X null, Quadrat durch 4, äh, zweimal Wurzel T. Nee, hier steht ja auch 16, Entschuldigung.
01:10:07
16, 16, 16. Das ist die 16, die ich da schon vergessen habe. Die hierher kommt von der Einhalb, außer Dreieck sind gleich.
01:10:23
Okay, 16. Ich mache jetzt diese Transformation. Ich setze Z ist Y, minus X null, durch 4, äh, Wurzel T. Was passiert da? Man kann sich überlegen. Das ist jetzt auch wieder eine einfache Rechnung. Ich kriege erstmal eine Funktionaldeterminante.
01:10:45
Das ist 16T hoch N halbe. Hier steht 16T hoch ein halb. Wenn man jetzt hier die Funktionaldeterminante bildet, dann kommt das ganze eben hoch N da raus. So, das war die Integraltransformation. Man sieht direkt die Integrationsgrenzen bei diesem uneigentlichen Integral über den ganzen Raum.
01:11:10
Y läuft von Minus unendlich bis Plus unendlich. Dann läuft Z auch von Minus unendlich bis Plus unendlich. Da tut sich also nichts. Das ist auch ein Integral über den gesamten Raum. E hoch. So, was steht da?
01:11:21
Naja, das ist ja genau hier Z quadrat. E hoch minus Betrag Z quadrat. E Z. Und was passiert jetzt hier hinten? Funktionaldeterminante ist das Ding, was hier draußen schon steht. Was steht jetzt hier hinten? Integral auf der E hoch Minus Z Quadrat. Funktionaldeterminante steht auch
01:11:44
schon draußen. Aber ich muss jetzt hier natürlich die Integrationsgrenzen transformieren. Da sieht man direkt der Ursprung X0. Wenn ich jetzt hier für Y und X0 einsetze, der wandert in die Null. Das ist also eine Kugel um die Null. Und was ist mit dem Radius? Ich habe hier natürlich auch noch so eine Skalierung durch 4 mal Wurzel T. Der neue Radius ist Delta durch 4 Wurzel T.
01:12:13
Das heißt, wir haben dieses Integral. Und da ist völlig klar, das geht gegen Null für T gegen Null. Wieso das?
01:12:26
Was hier passiert ist folgendes. Nein, das noch nicht, das noch nicht. Ich habe hier ja noch, doch sicher damit auch, aber das ist jetzt noch nicht so wichtig. Da war ich jetzt zu schnell. Das ist nicht das Integral, was ich mir anschauen wollte. Hier fehlt ja noch der Vorfaktor.
01:12:45
Ich habe jetzt nur dieses Integral abgeschätzt. Jetzt fehlt noch dieser Vorfaktor. Und da sehen wir schön, der sieht nicklig aus. Wenn T gegen Null geht, explodiert der. Aber jetzt sehen wir durch die Integraltransformation, kriege ich die T in derselben Potenz hier rein. Und das muss ich jetzt ausnutzen.
01:13:07
Ausfolgt also J Epsilon. Kleiner Gleich. Jetzt setzt sich das, was ich gerade ausgerechnet habe, dort drüben ein. Da muss ich noch kürzen. Da gab es einen horriblen Falsch. Da habe ich mich verrechnet im Skript, aber das macht nichts.
01:13:26
Wichtig ist nur, dass sich das T hoch N halbe rauskürzt. T hoch N halbe da. T hoch N halbe hier. Dann muss ich das noch mit der 16 und dem Pi und sonst was verwursten. Und dann steht da, wenn ich mich nicht verrechnet habe, N halbe M null.
01:13:44
Das ist aber eine Konstante. N ist die Raumdimension 2 oder 3. Das kann ich ausrechnen. M null ist die Konstante vor dem U null. Interessiert mich nicht weiter. Das heißt, dieser böse Term dort, der kürzt sich raus und was da nur noch stehen bleibt, sind diese beiden Integrale. Also Integral Rn E hoch minus Z Quadrat dz minus Integral. Und jetzt kommt dieses komische Gebiet.
01:14:09
Null Delta durch vier Wurzel T E hoch minus Z Quadrat dz. Und ich sage, das geht gegen Null für T gegen Null. Warum?
01:14:24
Also erst mal im Vorfaktor steht gar kein T mehr drin. Das einzige, wo das T noch auftaucht, ist dieses Integral. T taucht also im Invers im Radius von dieser Kugel auf. Es ist eine Kugel um die Null mit einem sehr merkwürdigen Radius, nämlich Delta durch vier Wurzel T.
01:14:46
Wenn T gegen N endlich geht, geht 1 durch Wurzel T. T gegen Null geht, geht 1 durch Wurzel T gegen N endlich. Das heißt, diese Kugel wird immer größer für T gegen Null. Hier vorne habe ich eine Integration über ein gesamtes Gebiet stehen. Und hier
01:15:01
habe ich eine Integration, selbst Integral, über eine Kugel, die immer größer wird. Und da dieses Integral, das ist das Gauss-Schäfer Integral integrierbar ist, folgt daraus, dass das gegen Null geht. Warum? Was gilt denn für uneigentliche Integrale?
01:15:22
Das sind immer genau die Grenzwerte von Integration über diese, über so eine Ausschöpfung von Jordan-Gebieten. Also es gilt, das ist nichts anderes als Limes R gegen unendlich. Integral, Ball um die Null, R, zum Beispiel das ist zum Beispiel ein schönes Jordan-Gebiet, das ich zur Ausschöpfung des gesamten Raumes nehmen kann.
01:15:45
Weil das E hoch minus Norm z Quadrat ist integrierbar, diese gaussische Blockenkurve. Daraus folgt, wegen Integrierbarkeit von E hoch minus auf Rn.
01:16:21
Eine uneigentliche Integral ist immer Grenzwert von solchen eigentlichen Integralen. Und das ist bei einem Rn, betrachtet könnte ich zum Beispiel Kugeln nehmen, die immer größer werden. Genau das passiert hier. Das heißt J Epsilon ist kleiner gleich Epsilon für T hinreichend klein.
01:16:49
So und damit bin ich jetzt am Ende von meiner gesamten R-Leitung.
01:17:01
Daraus folgt, wir haben gesehen sehr, sehr, sehr technisch, wirklich nicht besonders schön. D minus Null von X ist also kleiner als I Epsilon plus J Epsilon und das ist kleiner als das war kleine Epsilon, das war kleine Epsilon, 2 Epsilon.
01:17:20
Für das X war ein beliebiges in der Kugel, für X Element delta Null, delta halbe und T hinreichend klein.
01:17:49
Ja und wenn ich dann das Epsilon war beliebig, damit kann ich das beliebig klein wählen und ich habe die entsprechende Konvergenzaussage, die ich dort haben wollte. Sehr, sehr technische Rechnung haben wir gesehen. Also um diese Anfangsbedingungen da zu beweisen, muss man halt ziemlich kämpfen.
01:18:05
Das ist auch klar, weil die Fundamentallösung in der Null eben nicht definiert ist und da muss man einiges investieren, um das zu sehen. So, jetzt haben wir dieses Cauchy-Problem. Da haben wir so eine Integraldarstellung gesehen und jetzt möchte
01:18:20
ich am Ende nochmal ganz kurz auf die Hamel-Prinzip eingehen und dann entlasse ich Sie ihn eher.
01:18:51
Denn dieses Cauchy-Problem hat ja schon eine sehr, sehr spezielle Struktur. Homogen, gar keine Inhumogenitäten im Gebiet.
01:19:02
Ich lasse nur so eine Anfangsbedingung U Null zu, da ist er sehr restriktiv. Die Frage ist, kann man jetzt sich auch homogene Gleichungen anschauen oder behandeln? Und das ist in der Tat der Fall. Wir betrachten also, das nennt man dann auch nicht mehr Cauchy-Problem.
01:19:33
Dann wollen wir Gleichung dU dt xt minus Laplace U von x und t bis f von x und t in, jetzt auch wieder aus dem gesamten Raum und für positive Zeit.
01:19:54
Und ich sage mal, die Anfangsbedingungen sollen jetzt mal Null sein. Das kann man auch wieder modifizieren mit so einem U Null wie vorher.
01:20:04
Anfangsbedingungen braucht man ja nicht, es gibt keinen Rand, ich bin im ganzen Raum. So, und jetzt kommt die Hamels-Prinzip. Das ist die Gleichung 2 11. Die Hamels-Prinzip, das sei auch noch erwähnt.
01:20:38
Lösungen von 2 11 lassen sich, oder sind durch, sind durch folgendes Integral geben U von x und t ist integral.
01:21:24
Und jetzt kommt ein Integral in der Zeit von Null bis t U s von x und t dt.
01:21:43
Da habe ich auch wieder Quatsch geschrieben. Was nehme ich denn jetzt für Variablen? Tau zum Beispiel. Tau dt. So, da ist auch wieder ein Druckfehler im Skript. Und was ist dieses U s? Nee, das stimmt nicht.
01:22:09
Das war doch korrekt. Hier muss das t hin und hier muss das s hin. Das ist die Hamels-Prinzip. Also ich setze hier U x t und hier kommt ein s rein, über das ich dann integriere.
01:22:23
Was ist denn dieses S und die zugehörige Lösung U s? Mit U s ist die Lösung von S
01:22:43
x und t minus Laplace U s von x und t ist gleich Null in Rn Kreuz S unendlich. Das heißt S ist irgendwie wieder so eine Art Zeit. Hier in dem Sinne eine Anfangszeit S größer Null.
01:23:06
Und ich fordere jetzt, ich löse jetzt hier wieder so ein Cauchy-Problem und als Anfangsdatum nehme ich diese rechte Seite zum Zeitpunkt S.
01:23:25
Ich löse ein Cauchy-Problem, allerdings fange ich nicht bei Null an, sondern bei S. Und die Lösung davon, das ist U s. Und wenn ich die dann so entsprechend hoch integriere, dann kriege ich die Lösung der Ausgangsgleichung. Das nennt man die Hamels-Prinzip. Und mit Hilfe des eben bewiesenen
01:23:42
Satzes kann ich jetzt wirklich eine Integral-Darstellung für die eigentliche Lösung angeben. Nach Satz 2-3 gilt. Ich habe ja gesehen, wie ich solche Lösungen von so einem Cauchy-Problem als Integral-Darstellung habe ich ja gerade hergeleitet.
01:24:05
Gut, jetzt geht das nicht mehr in der Null los, sondern irgendwie bei einem S größer Null. Aber dann mache ich eine einfache Zeit-Transformation. Ich transformiere das zurück in die Null und dann kann man zeigen, dass U s von x und t ist gleich. Integral R n phi von x minus y.
01:24:29
Und jetzt kommt hier das aus der Zeitintegration t minus s. Neue Zeit t minus s, dann ist, wenn t gleich s ist, starte ich eben genau in der Null.
01:24:41
f y s, das ist ja dieses U null, ich meine dieses Ding da dy. Und dann ergibt sich damit diese Integral-Darstellung für solche inhomogenen Probleme auf dem gesamten H.
01:25:14
t minus s f y s dy ds. So sehen diese aus. Ohne jetzt einen rigorosen Beweis angeben zu wollen.
01:25:33
Das heißt, was ich mache mit diesem Duhamelz-Prinzip, ich führe dieses Problem auf solche Cauchy-Probleme zurück, da erkenne ich eine Lösungsdarstellung.
01:25:43
Und dann kann ich dieses Duhamelz-Prinzip anwenden und setze einfach nur die Lösungsdarstellung in das Integral dort ein. Okay, und das hat wieder so eine Struktur, wie wir das im elliptischen Fall kennen. Fundamentallösung in Homogenität und dann über den gesamten Raum integriert.
01:26:01
Also, und jetzt können Sie jetzt denken Sie mal weiter, was kam, wenn wir die Fundamentallösung hatten im elliptischen Fall, was kam dann danach? Ja, da haben wir irgendwie irgendwelche Leichungen im gesamten Raum, das ist irgendwie unbefriedigend, das will man nicht. Wenn wir hinterher eine Wärmeleitsleichung wirklich lösen wollen und wollen wissen, wie ein Stahlbauteil
01:26:20
aufgeheizt wird, dann ist das nicht der gesamte Raum, das ist eine beschränkte Menge Omega. Und das beschränktes Gebiet Omega. Und das, das heißt, wenn man jetzt diese Sache wieder verfeinern will oder transformieren will auf beschränkte Gebiete, was braucht man dann wohl wieder?
01:26:41
Greenische Funktion. Genau die greenische Funktion. Das heißt auch in diesem Fall für so eine Wärmeleitgleichung kann ich dann wieder so greenische Funktionen herleiten. Und das ist genau wieder wie im elliptischen. Wie sehen die greenischen Funktionen aus für allgemeine Gebiete? Nobody knows. Also das ist eigentlich keine Ahnung.
01:27:00
Aber hier sieht man sehr schön, für den gesamten Raum ist es wieder diese Fundamentallösung. So, und im Skript, das ist den Skript nicht weiter ausgeführt, was aber jetzt noch kommt im Skript, sind wieder Maximumsprinzip und daraus folgen dann Eindeutigkeit. Das ist genauso wie im elliptischen. Ich brauche wieder erst einen Mittelwertsatz für
01:27:23
in Anführungsstrichen harmonische Funktionen, also für Funktionen, die lösen Zeitableitung minus Laplace gleich null. Dann kriege ich wieder einen Mittelwertsatz. Mithilfe dieses Mittelwertsatzes kann ich wieder Maximumsprinzip beweisen mit diesem Kreiskettenverfahren, wie wir das hier auch im elliptischen gemacht haben.
01:27:41
Das heißt, das steht im Skript noch so ein bisschen ausgeführt, das schenke ich mir und stattdessen mache ich in der letzten Vorlesung noch so ein bisschen was zur hyperbolischen Gleichung. Wir haben hier schon mal, ich hoffe, den ersten Eindruck gesehen, dass parabolische Gleichungen ähnlich zu diskutieren sind wie elliptische Gleichungen. Was immer so ein bisschen besonders ist, sind diese Anfangswertgeschichten und da haben wir gesehen,
01:28:03
das kann sehr technisch werden. Wenn ich das abschätzen muss, ist das nicht immer so einfach. Okay, damit entlasse ich Sie und bis nächste Woche.
Recommendations
Series of 12 media