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Vorlesung 11: Liniare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

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so gut mal herzlich willkommen zurück in der Folge zum in der die Fans Versagens Vorlesungen in einem ein erfolgreiches Jahr 2015 ich versucht so einzusteigen und dabei so ein bisschen normal zu erinnern was wir gemacht haben der Hauptdarsteller im Moment es die homogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten oder ihn kurz wir schauen uns die gleichen an y strich von wie bis gleich an man y von The Wolds Lande weckte wertige Funktion ist und an der konstante Matrix das es Spezialfall verlieren ihren Differenzialgleichung mit denen wir uns in den letzten 12 Vorlesung vor den Ferien Beschäftigte dann festgestellt hatten festgestellt zunächst mal können wir die allenfalls noch ne Inhomogenität dabei ist also wenn wir das Schreiben Gibson Striches Arnold zum Fluss B wir das mit der Variation der konstanten vorne in den Griff kriegen so lange das hier lösen können und das sie lösen bedeutet brauchen n die allgemeine Lösung dieser Gleichung werden festgestellt Superpositionsprinzip die 8 Lösungsmenge zu einer Differenzialgleichung ist immer ja runter Raum es sind wenn das Ganze nicht legte der Länge des ESM des immensen darunter Raum das heißt was wir brauchen ist ist nicht gleich die Menge aller Lösungen brauchen eine Basis davon Weidenhammer den ganzen und der Raumsonde Basis Hammer fundamental System genannt und allen das ist also noch die offene Frage gekommen waren fundamental System von dem Ding dran werden die DE Vektoren der Basis das fundamental System bilden dann eine Matrix geschrieben das war die so genannte fundamental Matrix also die fundamentalen Matrix is ne in den Zahlen der Funktion von er nach er hoch Drehkreuze des so das geht die Ableitung von dieser Matrix sechsjährigen Funktion bis an mein Zelt das ist die kurz schreibe für jede Spalte dieser Matrix ist eine Lösung von dem Ding und damit so fundamental Matrix ist müssen sich bald legen unabhängig sein das heißt es muss gelten dass der Termin nannte von dem Ding nicht 0 ist und auch kurze Erinnerung welchen Quante sehen die SEC zeiliche dran schreiben ist ihm überlassen und egal weil das ist einer der seltenen Fälle wo Existenz unter Allquantor dasselbe ist also im Prinzip muss für alle C und für alle T diese Terminal nicht 0 sondern seine bis stellt sich raus wenn sie für ein Tier nicht nur das ist immer Moment nicht so wundervolle fundamental Matrix suchen wir noch die ja ein besuchen Sie nicht mehr wirklich bei ganz zum Schluss der Vorlesung hatten wir eine angegeben nämlich die ja das war die berühmte Matrix Exponentialfunktion deren Definition am Anfang etwas frech waren immer gut funktioniert wir haben es auch über die unendliche Reihe der Exponentialfunktion er wurde Matrix definiert und wenn man so mit dieser Matrix Z startet kann man zeigen dies immerhin wird hier war also die dem Land ist die 0 und das ist der Segen Fundament heißt es so und die Frage damit könnte was von der theoretischen Seite bewenden lassen aber ich bin ich jetzt auch mal wieder an diejenigen wenden die sagen bisher haben wird viel zu viel Theorie gemacht und viel zu wenig mal wirklich Rechenmethoden wie löst man so misst den also die spannende Frage ist jetzt die rechne oft sehr aus nur vom konkreten bei konkreten Matrix A gegeben ist ist die Antwort mehr rechnen sie die Reihe aus ein bisschen einfach weil keiner wusste man nicht wie die Matrix beliebig oft mit sich selbst multipliziert unendlich viele Zahlen zu addieren erreichen Werte ausrechnest bekanntermaßen schwer und rein werde von Matrizen ausrechnen garantiert nicht leichter das heißt wir brauchen noch ein Verfahren die wir an die Differenzial Funktionen konkreten wirklich dran wir hatten schon eine Sorte von Matrizen gesehen Lärm am Ende vom der vor Weihnachten für die man die Extensa Funktion gut ausrechnen kann das sind die Wunder
tritt dabei die Hunde Wohneinheit ist dies eher hoch Hochart W i auch B sagen wir mal in die Ideen eine Matrix ist es einfach die die na Matrix wo auf dem der Wunder ein eher hoch die Einträge stehen und das gibt die 1. Idee in einem an diese Exponentialfunktion rankommt wenn man nämlich in dem freundlichen Fall dass das an die haben eine sie wahr ist dann kann man natürlich mal versuchen denn Basis Wechsel zu machen in die Basis wo das diagonal die und dargestellt hat und so gucken und man mit diesen Basis wechseln die durch die was passiert mit dem Wagen wechseln wir die Exponentialfunktion dann ausrechnen das heißt der Gründer dieser war das heißt es gibt dem Basis 6. gibt man wird hier waren Matrix Frau aus dem Erde kreuzte D also in der Firma so das wenn sie jetzt den Basis Wechsel ausführen also sie dächten vor auf minus 1 a voraus dann kriegen Sie mit Diagonalen Matrix mit den Eigenwert .punkt auf der wir Wunder das sollte in 1. Linie ein Algebra bekannt sein ich weiß es natürlich nicht ob die Basis war Kleckse Matrix dann auch Frau meist auch so dass das müssen sich je nachdem wie ihr lineare Algebra Kurs das gemacht hat hier substituiert aber wichtig ist wir können eben wir eine Matrix aus der Ähnlichkeit Klasse von A die der geneigte zur und von den Dingen wissen wie man hier auch die ausrechnet oder jedoch CD ausrechnet ist die Hoffnung dass immer nioch CD hatten vielleicht zu ihr auf der A kommen und das funktioniert tatsächlich also wollte er auf die haben wir können die wir können das wie sie wieder Gewinner Matrix schreiben als es wie Faust auf die anderen Seiten nehmen die TV VDV minus 1 das die wir jetzt auch nicht viel einfacher aus und mal die Reise gehen was anderes haben im Moment noch nicht also dass die Reihe von 0 bis unendlich über The auch n VDV auch -minus 1 hoch n durch n Fakultät und jetzt können Sie sich erinnern dass das gar nicht so schlecht aus wie zu Sonja ein Klassiker die man begründet warum die Onanie sierbarkeit toll ist ein Klassiker ein Grund warum die ohne die sierbarkeit tolles ist man kann dann sehr gut ab Potenzen von ausrechnen in dem man zu der Benamar Matrix übergeht von der kann man gut Potenzen ausrechnen und das passiert eben jetzt Wochendende VDV Bühne seines VDV Ende seines vor die Form das einzige V -minus 1 kürzen sich alle weg das heißt hier steht sondern gleich 0 bis unendlich sie hoch n v der auch n Frau -minus 1 und es ist absolut Konvergenz der Reihe da kann man rechne man es gewohnt ist es nicht glaubt nach eine ähnliche Reihe draußen geht zum Krenz-Prozess über das ist das selbe wie Frau auch mal die Reihe in gleich 0 bis unendlich TON denn auch endlich in Fakultät und das Ganze multipliziert mit vor auch wenn das Eis so und jetzt sehen wir deckt massiges man der Funktion von aber von ihr auch ist Frau mal die Matrix Exponentialfunktion von dem des warf auch -minus 1 als wir können tatsächlich und 6. der Funktion von unserer Matrix CA ausrechnen den wir die von Teddy ausrechnen was kein Problem ist und einen Bankwechsel macht also wie auch die die Kinder wie auch die die die wir wollen eine Matrix hoffte der Wunder allen er Hochtälern der einst bis er auch T Landa entsteht besser ist aber hier ja auch nicht zu damit das im Prinzip das er auch TA hier zugänglich hören Sie werden die Eigenwerte aus von dem dann dir wurde also für die Analyse was an das Internet ein aus dem sie die und Tricks können Sie die Filterfunktion von regional Matrix machen um den eigenen werden die Eigenvektoren ausrechnen so dass Frau Wahnsinn Basis wechselt kriegen System es eine Möglichkeit geht aber noch ein bisschen also man kommt noch schneller zum fundamental System auf diesem Weg dazu brauch ich noch ein kleines Lemma dass ich hin das kann sagt einig war das beweisen auf die Hecken Rest also man muss unsere Matrix A hier und wenn wir jetzt könnten fundamental System haben also 10. fundamental Matrix zum Beispiel unsere wie hoch CIA dann da ob dich wenn sie ihren fundamental System haben und multiplizieren das mit der in datierbaren Matrix dann machen Sie die Eigenschaft dass das dem fundamental System ist nicht kaputt also wenn wir uns irgendwo in der zierbare Matrix hernehmen da dann ist auch die Bildung Z von T mal Frau wie ein Fundamentalist das ist ein ganz allgemein Flemmer dass dabei und sie nicht mal konstante 10. für das geht immer und der Grund ist auch nicht besonders kompliziert was muss man sich klar machen damit dass der fundamental Matrix ist wichtig ist noch immer dass wie ableiten und da muss er mal wieder rauskommen und die Determinante darf man 0 sein weil die Determinante von dem wir von T ist die Determinanten von den Z von T mal das meine Determinante von dem Fahr diesen beiden nicht 0 wir das Z von diesen fundamentalen waren sie deswegen keinen oder damit handelt das war es in der Tiere war also ist die nicht 0 und dann müssen einfach nur das W ableiten wer Strich von T das vereint überhaupt nicht von Theater also kriegen Sie jetzt spricht von 10 Mal Na ja das ist als von semer Frau und das ist a mal gefragt es ist die Frage ob es überhaupt schon die Bezeichnung als Lemma wert ist aber es ist etwas das man sehr oft und sehr gut brauchen kann auch wenn sie fundamental Matrix haben können Sie mit beliebigen in der Ziva Matrix durch Multiplizieren dann immer noch ist so dass wir jetzt verwenden im und den vollen Satz hinzuschreiben übers Fundament Satz 8 6 über fundamental Systeme von solchen Gleichungen wenn an dir und sie ist nach also sei an den komplexen Matrix die kreuzte die wir dieser war ich hatte letztes Mal falls jenes angesagt der guten an die er war wollte ich schon gesagt das an der Stelle der Vorlesung Wissen und logische Buch drin ist warum ich jetzt plötzlich in komplexen Zahlen hantiere
statt in den Regeln das liegt daran dass wie man hier sieht man ganz naiv wie er geht und und gewann seine Gleichungen lösen will und wird sich der Mann mit dem Nötigsten eigene Theorie plötzlich haben sie immer mit der Linie 1 Ei gebraten werden sie ja schon und Eigenwert Theorien er gehört so zu den eher unangenehm die den Reigen der Theorie wie man sie macht es liegen Gründen weil sonst ein wird hier wie schrecklich deswegen nach ich in diesen Einbruch und allen nach C und andere Bücher oder Vorlesung lösen so so dass sie die gesamte Vorlesung von Anfang an war gleich mit werden 10 machen denn auch danach getrennte verinnerlichen Zeman findet gar nix aber ich dachte das macht die Sache gleich am Anfang verwirrend immerhin die mit Spuren das heißt wenn Sie das mit sie verwirrt vergessen Sie's einfach und denkende über er ja nur wir brauchen die komplexen Zahlen sonst macht die ganze Eigenwert Harald kein Spaß und wir werden gleich noch deutlich tiefer in die Theorie einsteigen also diese dieser es ist mit Konzerten Koeffizienten waren auch ist durch eine der treibenden Kräfte zu Entwicklung der ganzen Natrix Eigenwert Werttheorie Normalform Thierry von Matrizen das steckt der massiv dehnte das eine der ganz großen Anwendungen der Matrix Normalform und der Eigenwert Theorie der die werden uns jetzt nicht die nächsten Vorlesung nicht los ist zur also wenn Sie mir die haben sehen Matrix haben da hat die Eigenwerte die müssen natürlich alle verschieden sein die Stadt trotzdem Wallander eines Landtagswahl bislang das des wenn Eigenwerte mehrfach sind schreiben Sie die hat mehrfach in die Liste wichtig ist es gibt die Richtlinie unabhängiger Eigenvektoren und das bedeutet gravierende sierbarkeit wer also es geht korrespondierende linear unabhängige Eigenvektoren die nämlich mal v 1 v2 bis VDE wobei jeweils VJ natürlichen eigen Vektor zum Eigenwert Lander und dann behaupte dich wenn Sie die haben also wenn sie von ihrem 6 A die Eigenwerte die Einleitung bestimmter haben dann können sie sich fundamental System sofort in Schrei und das ist dann auch gar nicht kompliziert nicht für jeden Eigenwert der Exponentialfunktion in Hochtälern der Lord multiplizieren Sie mit dem eigenen Vektor Vj und damit ein sehr fundamentales also müssen überhaupt keine Basis Wechsel führen sie müssen noch keine Exponentialfunktion ausrechnen zu brauchen nur die Eigenwerte in die eigene Funktion erhalten die eigenen Werte die Eigenvektoren und möchte das Fundament Tag und warum ist das so das liegt es im Wesentlichen daran das wir gesehen haben dass unser I auch TA diese Formate unter diesem Lemma nehmen Sie sich mal dieses ist immer von dem überhaupt ich als wir wäre ein fundamentales ist schreiben Sie diese also die funktionieren einfach mal wie Ort und dann nahm sie die Matrix will von CD deren Spalten dieses fundamental System ist also einst von TW 2 von 4 bis wieder von den und wenn das wurde mir das denn es wäre dass die fundamental Matrix so wie sieht die aus das ist er auch Lander 1 TV 1 wo Philander 2 CV 2 bis in die Hochlagen der CVD wenn ich behaupte das ist das selbe wie die Matrix die und diese Vektoren v 1 v2 bis vor der als Spalten hat mal die Diagonale Matrix der Hochlande 1 C in Hochlagen der 2. bis er auch denkt warum ist es so man sie meinem Kopf im Geiste die Matrixmultiplikation wenn wir das Trauern dann kriegen Sie Yolanda 1 den Vektor v 1 Jochen 102 cm einen Vektor v 2 bis ihr Hollande Dezimalwert erfolgt vor bevor die so aber was ist das Frau mal diese diagonal Matrix Farmer die sie dir wundern sechsmal vor auch -minus 1 ihr auch Theater wurde beziehen Sie eine Frau von rechts ran formal die sie dir Wunder immer 6. ich die einmal Frau also mit dieser Erkenntnis hier oben ist das das selbe wie oft sie einmal fahren und in 8 5 ist dass der fundamentalen wir deswegen dieses Lemma 8 5 jede fundamentalen Martens mit den wird wie beim Basismodell zierteste fundamental Matrix VON hält als spalten die hier unabhängigen Eigenvektoren ist also ist also regulär wie auf die mal dieses Ding ist der fundamentale Matrix und unwissend gut damit es die Maries Exponentialfunktion wieder als 1 ist mit den Hintergrund gerückt der wenn sie konkrete gleich und haben es in die Matrix Exponentialfunktion konkret egal die war nur wichtig für die die Herleitung wenn sie konkrete gleich in der Diagonalen hat Mitte der realisierbaren Matrix A haben rennen sie eigen werden die Eigenvektoren aus um von Franz Fundamentalistin fertig es ist die Welt leider nicht mehr selbst wenn sie gern hätte er das logisch es es weitergehen es gibt leider Matratzen sind nicht die ohne sie wenn so offen die Algebra gesehen haben die im Jagd an der Stelle ist die Welt nicht so schön man sie gern hätte und das korrespondiert auch jeder 2. in diesem diese fundamental System nicht immer tut es kann eben sein dass wir nicht genug Eigenvektoren kriegt Eigenwerte sollen komplex arbeiten haben wir inklusiv halt immer genug aber die Anzahl der eigenen Vektoren keinen Mist bauen und dann funktioniert das nicht da muss man sich mehr wenige da kann er gleich zu zunächst noch mal zum Thema reden und komplex wenn man das hochrechnet dass sie etwas was manchmal unerwünscht und doof ist oft hat man im Anfang natürlich nie Matrix wir also mit dem konkreten Problem startet dann geht das normalerweise in der realen Welt und damit den reellen Zahlen das ist eine Regel Matrix die dann natürlich komplexe Eigenwert eigentlich Vektoren haben würde über normal sind diesen Mann doch nur mal deutlich weniger Matrizen jene die sie jeweils über 10 das heißt Burger mit realen Problemstaaten starten in der Regel Matrix startet und alles regeln das hat man ja Fluss plötzlichen fundamental komplexe Zahlen Umstieg je nachdem welche Ingenieure ein das Problem gegeben hat wenn ich denen in der komplexen Lösung komme dann seines Versagens der den ich hier aber gerne reell das geht immer sie können aus und fundamental Systemen der komplexen Zahlen drinstehen wir jene Lösung machen lässt von machen wenn Sie mit der El-Masris gestartet sind und das ist die Bemerkung 8 7 wie das funktioniert also eigen allgemein die sich das ansehen komplexes fundamental System damit es eben gemeint diese Eigenvektoren VJ oder die Eigenwerte Lander J 10 komplett unter Wasser komplexe Zahlen wenn man jetzt aber mit der WM Matrix gestartet ist dann kann man sich aus diesem komplexen fundamental System mit relativ wenig Aufwand ein reelles machen und das geht folgendermaßen wenn die Matrix Rede
war dann gibt es aber 2 komplexe Eigenwerte aber man weiß was wir diese komplexen Eigenwerte bei diesen ja Nullstelle des Charakteristischen Polynoms die Kurve 10. Gretchen Polen es in aller Regel das heißt wenn das komplexe Nullstellen gibt den konjugiert komplexen Paaren auf sie sehen jetzt gehen aber durch die im ganzen Jahr einen Bericht also für jeden nicht regeln Eigenwert für jedes nicht Reelles Eigenwert parken wenn Sie Eigenwert haben dann haben sie immer gleichen Bild nicht wer Eigenwert Parlament am dann Sonntag wäre und was sie jetzt machen ist wenn man sich zum Beispiel was haben Sie in Ihrem fundamental System stehen in Hochtälern da mal V und ihr auf den Landtag wieder mal würden andere Vektor wegen das in die Eigenvektoren zudem Eigenwelten Lander und dann der Sie folgendes in dem dieses oft der V und davon in Realteil und den Imaginärteil also zudem er oft anderer Hollander Anderson der eigen Vektor zum eigenen Andersen und den Imaginärteil von ihr auf den Anbau von andern er auch darf vom Lande dann haben 2 EL Lösungen als ich behaupte dass ein beides Lösungen und laden Sie ein das nachzurechnen wenn Sie damit am Sitz 2 Reden Lösung geschaffen mit denen er ersetzen sie die beiden komplexen Lösungen im Fundament den Mitschülern donnernder quer gehören und die Lösung zu Landeck wir vergessen sehr einfach n also dem sich ein paar Eigenwerte hier schmeißen die Lösung die zu einem der beiden gehört weg und von andern dem Soja imaginiert glaubte dabei konnten wenn sie das für jedes Paar machen konnten QC Realist fundamental System raus dass das wirklich so ist das sich auf nix Übungsblatt überlegen aber das ist das Verfahren das allgemein zieht zum Übergang von komplexen zu wählen Fundamentals ist die als wenn Sie mir jede Gleichung haben und kriegen weil sie unterwegs mit eigenen Werken hantierende komplexen Formen das ist immer aus dann können Sie auf die Weise immer zum mobilen fundamental System zurück da muss man sich überlegen muss es erst dass diese beiden Dinge da sind Lösung 2. es sind überall in der unabhängig und er und da richte sich die zerlegt wer wegschmeißt vergesslich Nixe also trägt auf die Weise wirklich wie eine Basis von Lösungsraum so und ,komma wieder zurück zu dem vorhin angesprochenen Problem was mach ich wenn mir jemand gemeinerweise warten ab Matrix A vor die Nase knallt die nicht immer sie den die die ich aber der Körper normal ist nicht nur das ist einfach nicht jede Bank jede Matrix die realisierbar aber sie haben hoffe ich jetzt in der Algebra vorgearbeitet und gesehen ist eine jemals in der sie aber was so fast jedenfalls nun dass das Stichwort oder Normalform und alle die sich in Nördlingen Algebra gefragt haben wofür ist das Ding Boden kriegen jetzt mehr Antwort für DDR Vorlesung die Normalform ist nämlich muss man klar sagen unsere Retterin in der Not ist trotzdem und darum die Natation einzuführen eine kurze Erinnerung was ist das denn also werden die komplexe Drehkreuz des Matrix und die hat jetzt Eigenwerte und damit dann Normalform interessant wird aber natürlich nicht die verschiedene wenn sie der verschiedene Eigenwerte haben sind sie glücklich also werden das Anzahl verschiedener Eigenwerte allen und auch hier stehe noch unter Umständen mehrmals drin mehrmals vergleiche ich hätte ich hätte in dieser Auflistung gern jeden Eigenwert so oft wie ist dazu länger unabhängige Eigenvektoren gibt also es genauso oft wie die Dimension vom zugehörigen ein Raum ist oder noch anders ausformuliert wie so oft also das nennt man dann die geometrische Vielfachheit also mehrmals nämlich so oft wie die geometrische Vielfachheit dieses eigene ist die die mit ich die Wahrheit ist einfach die Dimension vom Zugang einen Raum die ja bekanntermaßen manchmal zu klein sein kann und dann an und dann kommt der Normalform ins Spiel also die Mittel die sie fernhalten gleich Dimension vom eigenen auf es gab noch auf Zirkel und den Begriff der algebraische Vielfachheit das ist die Anzahl wie oft das Land dadurch Christen Polynome und wenn es da einen Dissens zwischen den beiden die dann ist das Ding eben nicht jene die sie über die Jahre Normalform kommt ins Spiel so man deren Normalform heißt es gibt immer ein Basis Wechsel also man wird hier waren Matrix Frau so dass sie das durch diesen Basis Wechsel auf die ja dann Normalform bringen den ich ja und die Sieger der Normalform ist jetzt keine diagonal Matrix aber eine fast dir oder Matrix die zerfällt in bleibt sogenannte Jordan bleib hier zu jedem in der unabhängigen einen Vektor den Jordan Block J an der 1 2 bis Fjordland L das der Grund warum ich in diese Liste der langen das oben jedes Land also oft haben wir wissen ja oder Regen Eigenvektoren gibt weil das ist genau die Anzahl der Jordan Blake der 1. 0 und jedes dieser Jordan Kästchen dieser J langweilt jedes dieser J Landa E es fast diagonal Altlaender es auf der Diagonalen und ein auf der neben dir ein auf der 1. oberen geben also man kann das Ding fasst der kanalisieren muss eben manchmal obendrüber einzuschreiben und zwar genau so zu den Japanern Jordan Kästchen Sundermann man sowas Wechsel machten die Basis bezüglich der diese fast diagonal Format sind spannende Frage wie wir ,komma dann die Basis haben an die sogenannte Jordan Basis auch da noch ganz kurz Erinnerung also die Spalten von Faro spricht die zugehörigen Basis Vektoren sowohl im Jorker Jordan Kästchen sind zunächst mal ein Eigenvektoren zum Eigenwert haben hin ok er sein Eigen zum Eigenwert Lander E Lindenmeyer V 1 Omi das ist der der zu dieser Spalte der Matrix gehörten das ist echte Eigenwert oder steht Londonderry hin und die zugehörige Hauptsektoren manchmal auch verallgemeinerte Eigenvektoren genannt weil sie nicht was da die Sprachregelung ihrer Vorlesung war und diese auf Vektoren bekommt man also diesen V 2 bis VP wobei die die Größe dieses Jahr Blocks ist also das wissen Matrix im CPI Kreuz verlieh und dieser Art Vektoren kriegt man indem man Client-Systemen löst Vj is a -minus Lander wie mal die Einheitsmatrix mal das Feuer auf minus 1 und das geht der J von einst ist T also ich da mit dem eigenen
Vektor V 1 denken Sie das V 2 in dem sie am -minus Lande Einheitsmatrix mal vor 1 wird ist falsch rum oder wieder richtig los Sache und es dazu einfach muss für den ist also das genau das V 2 des Vereins wenn Sie des Vereins haben können Sie das vor 2 indem sie dass da System an den Islam der E V 2 =ist gleich v 1 lösen nur so vor 2 dann gehen sie wieder in ganz ist dem Lösen v 2 gleich an das an der FH 13 vor 3 und zur kriegt man diese Hauptsektoren so dass kurz als Erinnerung zu ihrer Normalform uns dient sie als Ersatz für die schöne Eigenschaft für die Wunder dieser waren Matrizen der Diagonale Matrizen dass man da legst Maries Exponentialfunktion so schön ausrechnen kann dass Ziel ist jetzt also dafür Ersatz zu finden das heißt was wir machen müssen ist wir müssen jetzt sehr hoch The oder Normalform besteht man wo zu ihrer Normalform haben dann können wir wieder oben dann ist er oft die mit der Basis vo Basis gewechselte ihr auch Art wir dann kommt man so wie hier wieder zum liegt was Weise brauchen ist ihr auch Theater jetzt von Staaten die auch Theater oder um dann auf wie oft wir abzuschließen werden die Online-Adressen Sarah einfach wissen jetzt was dir und geworfen vielleicht kann man eh auf sogar noch ausrechnen die Antwort ist ja das kann man so gerade noch warum kann man das wir können 2 große Vorteile in's Gesicht werfen in in in das Rennen werfen was muss man denn tun wenn man eh ov tj ausrechnen wann man an wieder die Reihe denkt was anderes haben im Moment nicht muss man J auch Ende rechnen und dann die Autorennens aufsummieren also muss Potenzen der Matrix berechnen aufsummieren modulo Guteson n Fakultät aber das ist ja klar einfach Teil heraus Potenzen von der Matrix Bestimmung aus ab was ist denn der Vorteil von der Normalform der uns vielleicht helfen kann das schöne gerade mal vermisste wie sich schön viele Nullen hat dass es eine Blockstruktur und das was eingetreten ist dass diese Blockstruktur erhalten bleibt unter potenzieren und die also eine allgemein formuliert in 2 Matrizen A und B beide dieselbe Blockstruktur haben und nachher 10 A und B einfach dort und Orte dann bleibt diese Blockstruktur enthal erhalten wenn sie a mal b und a +plus b rechnen das kann man sich einfach durch Matrizenmultiplikationen belegen überlegen und das ist für uns hier super weil das heißt wenn Sie jetzt die dort mal laut mal hier mal dort mal Urlaub mal dort rechnen wenn die sich Autorennen egal was indes in eine Matrix in dieser Blockstruktur in diesen Blöcken passiert was aber davor vor sind sie noch in der Ohren und wenn sie dann diese ganzen Jorgo es addieren passiert auch nix das heißt wie oft sie dort wird die gleiche Blockstruktur haben wir uns selbst und das bedeutete können die Rechnungen die auf die einzeln Blöcke verteilen müssen nur gucken was das sind in einem Block und ich in der ganzen macht erst mal ganz nach dass sie das die Summe dessen was in der 1. das der 1. große Vorteil na also das bedeutet er hoch 10 J es ist endlich über diagonal Matrizen wieder hat die gleiche Blockstruktur ist er auch die J Lander 1 er ruft sie Outlander 2 es die auch The Lander das heißt wir müssen nur schauen was das in einem Block das 1. große Vorteile mit Charme und dass dieser Jordan Kästchen an wenn wir uns ein so und jetzt sind wir Landauer ich schreibe es um folgende weil ich so ein Kästchen an Chorj lagen da also ich lass das lieber weg vom für die nur noch die Index der Index vom Index muss nicht sein also das ist jetzt irgendeine Siegert waren da die dieses Jahr Sander Sonja NordlÃnder sieht wie aus NordlÃnder ist fast diagonal kann mit dem Wunderheiler war ja alles gut seit auf der Diagonale immer den gleichen Lander Eintrag und auf den nehmen wir wollen ein Einsehen und diese Struktur schon dem was jetzt auseinander Sonja der ist von der Form langsam mal die Einheitsmatrix +plus diese neben diagonal Matrix also das ist jetzt eine Matrix der darf der Diagonalen holen welche und Nullen und auf der neben der guten 1 1 also
dieses Jahr Gäste zerlegten langsamer Einheitsmatrix noch Plus diesen Rest warum ist das angenehm dass es zum einen angenehm weil wir die Exponentialfunktion genau dazu passen zerlegen können weil freundlicherweise die Matrix werden stieg die gute Eigenschaft hat mit allen zu kommunizieren also ihren n sind 2 Matrizen Widcomm mutieren und deswegen geht die funktional gleichende Exponentialfunktion also eher hoch 10 J Laender ist er auch C Landa E +plus cm Höhe hab das dort zerlegten entlang bei E-Plus in und kommunzieren also gar nicht geht die Funktion einer in der Funktion ich kann das hier schreiben als wie hoch 10 Landa E mal e hoch CL es wird also die Einheitsmatrix können Sie auch weglassen das ist er auch den Namen der meine jedoch die das heißt wenn das ganze runter gekocht ab auf die 6 also das gestartet mit dem er auf die Aromen von ich wusste die was aus sollen nur gesagt na gut auch die Art wie man sich in Gruppen stattdessen auf Zielort auszurechnen wenn Sie mir das Ihr Theater reduziert darauf ja auch DNA zurecht und er ist jetzt schon langsam der freundlichere Matrix und sie hat einen riesengroßen Vorteil und das ist jetzt der uns im Fluss zum Ziel bringt was muss man tun wie auf den aus sie brauchen alle Potenzen von ändern müssen wir werde in trächtigen Tennis und allen Fakultäten gewichtet addieren und wenn man jetzt mal anfängt über den Sinn von allen aufzurechnen und feststellen die Matrix hat den freundliche Eigenschaften geboten zu sein also das wir man en Quadrat anfängt dann stellt man Folgendes fest Mehr unten 13 Jeronan Matrix 2. Ober Dreiecks Matrix und das beim Quadrieren passiert ist nur dass die 1 nach der die Wunde 1 2 Prozent was auf der 1. sie neben dem und einem sehr auch Nullen dann kommt die ein sehr Diagonale und drüber wenn man dann weiter modifiziert stellt man fest dass es ein allgemeines Schema das bleibt so jedes Mal wenn sie dann noch n 3 multiplizieren rutschen einfach die ein so eine wundern das war irgendwann wenn ist wo man das 1 mal mit sich selbst multipliziert haben wir müssen es ziemlich 0 hastige Matrix der nur vom rechten Wege eine 1 und dann kommt der ganz tolle Moment jetzt machen Sie noch mal ändern und dann ist Schluss mit lustig dennoch die +plus 1 und so weiter spare ich mir jetzt was der Folge davon ist der Vorteil davon ist dieser ländliche Reihe hier ist ziemlich endlich wir müssen also nicht mehr unendlich viele Matratzen aufzunehmen so unendlich viele das kann man damit können wir ihr auch TN ausrechnen das ist es nämlich nicht mehr Summe von 0 bis unendlich nur noch von 0 bis P 1 ist aber nur vom Display -minus 1 sind über wenn auch im durch n Fakultät Monster überlegt was dabei passiert gut 1. man gleich 0 wenn ich nur steht einfach die Einheitsmatrix für n gleich 1 steht der ATI durch 1 mal n also Thema ein wenn ich 2 C-Quadrat Heidemann entfacht hat im Quadrat steht oben los und so weiter dann kommt es der letzte Sommer und ist damit viel -minus 1 dann wird TOP -minus 1 durch den -minus einfach oder mal hoch B -minus 1 also diese Matrix mit nur noch einer einzigen endeckt wenn man das alles den Adressen zusammen nimmt und folgendes raus das schöne jetzt man kann sich aus dieser Gleichheit hier etwas Wichtiges sie besteht eben nicht bloß ...punkt punkt punkt muss man das wirklich in man kann sich jetzt aus dieser zu mir darum die Matrix direkt zusammenbauen weil die Matrix macht nur Einträge in der Top Diagonalen die Matrix macht nur Einträge der 1. den Diagonalen die Macht nur Einträge der 2. neben Diagonalen die Macht nur Einträge um rechten der was passiert also wenn auf der Diagonalen die einst von der Einheitsmatrix da unten ist alles nur auf der 1. neben Diagonalen haben wir 10 der einen also jemand will auf der 2. neben Diagonalen bezifferbar Halle und so weiter und so weiter und oben rechts in der Ecke haben sie die haben Sie die nur was wenn n gleich T minus 1 ist und dann kriegen Sie dieses COP -minus 1 durch T minus 1 gut das ist das ihr auch tätig wenn das jetzt bleibt ist nur noch alles zusammenzubauen sie kriegen das ihr auch Theater in sie ist Basis wechseln auf sich auch die J also auf die ASV mal oft wie Opfer auf minus 1 sie kriegen das er auch Art indem sie ihr auch TN ausrechnen und mit ihr auch den Namen da gar als Garamond Ziel wurde sie
auf der Insel sieht so aus wie damals alles zusammenbauen und Kammern genauso wie hier im Fall von der wonach wie im Fall von der die sie man Matrix auch normal schön schreibt dass wir jetzt noch machen also das allgemeine Theorem wie sieht das fundamental System aus man das misst die nicht über eine selber ist das ist für den 8. 9 und sozusagen behauptet dass das Haupt Resultat dieses Abschnitts weil diese 8 6. oben ist danach verloren eigentlichen ordinäre Spezialfall vom 8. 9. mein in die als Alphorn es natürlich bisheriger oder nochmal vor heise sei aber in der Nähe des Kreuz dämmert es kann ruhig über 10 sein müssen die Eigenwerte machen und jetzt macht man folgendes zu jedem ein Vektor V 1 von dem er also die eigenen Vektoren aus und jedem einen Vektor mit zugehörigen Eigenwert der bestimmen waren die zum zugehörigen Jordan Kästchen gehörigen eigene also Hauptsektoren Na jede Matrix lässt sich in ihrer Form bringen also kann man das nur machen die zum jeweiligen Jordan Kästchen gehörigen Basis Vektoren so wie vorhin angesprochen Frau 2. VP also mit der gleichen Eigenschaft wie vorhin das Vj 4 geht durch Lösen des kleinen System ist Feuer plus 1 ergibt sich durch Lösen Sternsystems an -minus -minus Landammann Einheitsmatrix mal voll J +plus 1 für J von 1 bis 4 -minus 1 1 also an
immer für jeden Eigenwert die zugehörige Hauptsektoren das können Sie die berechtigte Frage stellen wann ich denn auf Hauptsektoren zu bestimmen n die kann diesen Tag im Jahr einen Ball zurückspielen das haben Sie darauf nicht gemacht Antwort sei denn sie nix Neues denn ihr unabhängiges herauskriegt so und dann bestimme man dazu rot zu jedem dieser dieser auch Vektoren muss er jetzt ein Element unserer fundamental Systems gehören wir brauchen für Jeden auch Vektorraum der eine fundamentale so also eine Lösung in ohne unabhängige Lösung des Systems der braunen Ende des Linie ohne unabhängige Lösung und die sehen folgendermaßen aus die 1. ist die schon von der sie System kennen Vereins neigen Vektor ist eine sie auch die dann vereinzelt ist dass die 1. und das Problem werde die Jordan war ja eben der jetzt um sein Eigenwert Lander nicht mehr genug Eigenvektoren weiterzumachen sind jetzt kommt ja auch betonen Spiel und die werden jeweils folgendermaßen zusammengebaut die 2. ist er auch die Namen da mal 10 Mal v 1 +plus V 2 also Thema der einen Vektor der 1. auf Sektor dann kommt alles 3. Linie unabhängige Lösung er auch die Lahmen da C-Quadrat halbe mal der eigenen Vektor +plus Thema der 1. Hauptwerk doch bloß der 2. Hauptseite also entdeckt allgemein vor 1 +plus TV 2 +plus vor 3 und so macht man weiter bis man einmal durch die ganze Matrix M durch ist also die letzte von diesen Basisfunktion ist er auf den Namen der mal COP -minus 1 durch T minus 1 Fakultät V 1 plus und so weiter bis zehnmal VP -minus 1 +plus VP auf die Weise Amici P glaubte ich ihn ja unabhängige löst behaupte ich Lösungen und unseres Systems stehen und wenn Sie das jetzt für jeden ein werden für jeden eigen Vektor machen haben sie damit für jeden Eigenwert Vektor so viele länger unabhängige Lösungen wie dies ja ein Kästchen groß ist und damit insgesamt des Stück und die Behauptung ist die wilden fundamental ist also das ist die hab behaupten des Theorems diese Funktionen für alle Eigenvektoren zusammengenommen die denen fundamental ist fundamental System von der gleichen die wir lösen wollen also von unseren homogen Probleme linearen Probleme mit konstanten Koeffizienten y strich von C bis an mal y fertig und das geht eben für beliebige komplexen Matrix ohne weitere Voraussetzungen der sierbarkeit das zu Beweis läuft sehr ähnlich wie beim die unter sie über Fall den gestern erst ein genug getrauert kurz Pause und dann 10 Minuten es ist so ich würde gern die 2. Hälfte starten geht es geht um den Beweis und Theorien 8 neuen vielleicht bevor ich einsteige noch kurz die Bemerkung das das vorhin nochmal genauer das das vor Eingemachte der Folge machte Satz 8 6. 4. Ebene sierbare Maltritz natürlich Spezialfall ist von
dem wenn sie mit dir wurde sierbare Matrix haben dann haben sie für jeden dann sind alle Jordan Kästchen der Größe 1 ne dann gibt es für jeden Eigenwert und zugehörigen eigen Vektor so viel man braucht das heißt P ist überall 1 mehr sie müssen deine keine wenn P 1 das haben sie keinen anderen Systemen zu lösen und sie kriegen für jeden Land Eigenwerte lahmender einfach diesen Ausdruck er Hochtälern der Frau und alle diese IOC Lander V zusammengenommen geben dann fundamental System für die dir sehr vage Matrix also diese zusätzlichen Funktionen tauchen immer dann auf wenn sie wirklich länger oder Normalform der 1 haben und für die Länge je länger das Jordan Kästchen ist umso mehr kriegt man jetzt Beweis von dem von den Theorien wie
gesagt sehr ähnlich zu den Folgen für die die Ränder dieser Bahn Matratzen nur im technisch bisschen aufwendiger weil die würde man 6 nicht mehr ganz der Wunder alles was natürlich machen ist wenn die Matrix AG wir nehmen uns die oder Normalform dazu also sei ja je oder Normalform von A und dann brauchen wir zu gehörige Basis Wechsel Matrix also die Matrix faustdick Rote Kreuz den der die eigenen Hauptsektoren richtigen Reihenfolge drinstehen in der Tiere war so dass die eben den Basis Wechsel zwischen der Jordan Normalform und dem Matrix A vermittelt also dass sie obgleich auch -minus 1 a so wenn das so ist dann machen jetzt den gleichen Zweck wie vorhin multiplizieren Sie die Gleichung mal von links mit Frau haben sich VJ des AV und dann gilt das Gleiche auch für die nächste Matrix exponential L also wenn es VI hoch Zielort gleicht er hoch CAV wie auch der Frau mir das einzige auf der HV ist dasselbe wie auch die J des Princes vorüber nahm sie diese Gleichheit das schöne ist wieder wir wissen dass sie essen Fundamentalisten fundamental Matrix dann ganz Anfang gesehen wenn er konstant ist ist das meine fundamental Matrix in wird hier war also wissen wir dass die 1. fundamentalen ist also die Spalten dieser Matrix wir wissen wer die bilden fundamental ist wir müssen uns noch überlegen wie die Spalten aus 47 aus denen die Spalten von der Matrix haben genau die Form der und wenn man das in der für die allgemeine Matrix hinschreibe dass sein das müsste Index schafft deswegen ist es gut sich klarzumachen dass man jeden Block einzeln betrachten kann die Matrix der wieder Werke des IOR juchte und dementsprechend können wir jeden Block einzeln betrachten oder umgekehrt formuliert also betrachten einen einzigen dort Noé beziehungsweise steht in weiteren Beweis davon aus dass das ganze J aus einem einzigen Block bestehen das heißt also wir die A J ist nur ein Block sonst müsste man jetzt eben mit der Outlander I geht nur mehr Indizes und macht die Sache nicht übersichtlich zur Wende das Vorhaben dann ist die Basis Wechsel Matrix V natürlich die der entsprechenden wo die entsprechenden Basis Vektoren drin drinstehen die zu dem Block gehören also die Matrix Vereins 2 2. VP wie diese Frau da oben außen Theorie nein das sind genau die Basis schon die zu den ja dann wird gell und was wir jetzt noch machen müssen dass uns anschauen was ist V E Hoftheater wissen schon dass ist ne fundamental Matrix wie sieht die aus wie oft J und darum abmontiert werden gekümmert wie auch DJ hat das J hat nur so zerlegt das Lamm der E-Plus ändern dann festgestellt es ihr auch Ort ja oft sehr lange da er auch CL also ich dich hier wie auf dem Lande ist es genau das kann ich vorziehen V hoch die zu das V und dass auf die einmal aus das ist er auch der Lander die Matrix v 1 v2 des VP und dann das riesige EOF TN von da hinten also der Matrix mit einen auf der Diagonalen Nullen unserer hier unten C auf der neben Diagonalen C-Quadrat halbe auf der neben neben Diagonale und so weiter bis die auch -minus 1 durch durchgehen -minus 1 Fakultät ganz oben rechts in der Ecke das war das Ziel auch die das freundlicherweise auf einer endlichen Summe beruht sollte es mir wie dem Geiste die Matrixmultiplikation mal so durchführen und wenn man das macht was bleibt dann übrig also vor allem Grund dass ihr Hochtälern der und wenn man jetzt hier durch die Matrixmultiplikation durch durchgeht dann kriegt man zunächst mal einfach das V 1 in der 1. Spalte für die 1. Spalte habe ich hier immer die 1. Spalten die durch die Zeilen durch sie wird mir genau das vor 1 für die 2. Spalte die ich immer durch die 2. Spalte und durch die Zeilen durch das gibt die mal V 1 plus einmal V 2 für die 3. Spalte predigt etwa 3 Tage vor 1 +plus Thema V 2 +plus V 3 und der Rest ist 0 und so geht das weiter und weiter und weiter und jetzt kommt's die letzte Spalte TOP -minus 1 durch P -minus 1 Fakultät V 1 +plus und so weiter bis am Ende 10 Mal VP -minus 1 +plus Farben und wenn wir vergleichen was da steht dann heißt es die Spalten dieser Matrix von der gewissen Wesen fundamental Systemen 10 von der Form ihr den da vor 1 wie auf dem Lande TV 1 +plus vor 2 und so weiter und so weiter das sind genau die Funktion also den den fundamental System vor und wir sind an der Stelle fertig wenn das heißt es jetzt konkret wenn Sie eine Matrix vor die Füße geknallt und sage ich es ganz fundamental System für die zugehörige homogen lineare Differenzialgleichung was müssen Sie tun sie müssen gut die Eigenwerte bestimmen die Eigenvektoren Hauptsektoren und dann sie durch mein Eigenwerte eignet schon auf Vektoren und dann wird es fundamental Systemen schreibe Mehr taucht sie nicht so laufen ehe Hochtälern der Eigenwert Eigenvektoren die Art Sektoren für den richtigen Tee Potenzen im richtigen vor Faktoren und alles ist gut auf die Weise entsteht natürlich im Allgemeinen wieder komplexes fundamental ist da geht das Gleiche wie
vorhin gesagt Übergang zum realen fundamental System wie vorhin 10 nehmen wieder die konjugiert komplexen Paare ja vergessen denn eine von den beiden und von dem anderen den sie von jeder lösen real genährt nur vorwärts weitergehen wenn wenn es später noch dringend brauchen normal das Ergebnis hier messen lassen einen Blickwinkel anschauen zum einen gibt es natürlich Lösungsformel ja es gibt und für gegebene Matrix bisschen Rechenaufwand und Paar auf allen die eigenen Systeme lösen und komplettes fundamental System und dann selber glücklicher als komplett voll mental System haben dann ist die denn die homogene Gleichung perfekt gelöst wo gemacht man neue zu einer konstanten und alles ist gut es ist immer noch mehr System die Struktur Satz über die Form der Lösung von solchen gleich ob was wir rauskriegen ist wenn Sie so und Ohmori des Lehrers das ist dem 1. Ordnung haben dann ist jede Lösung linear Kombination von Lösungen dieser Form das heißt jede Lösung ist irgendwie eine Exponentialfunktion Mahal irgendwelche Vektoren die mit so die Polynom zusammengebaut andere Lösung gibt es nicht mehr also keine können nicht vorkommt ziellosen Kosovos kann vorkommen Vorsicht nur wenn lagen da zum Beispiel I ist umso eher hoch IT darstellen wenn Sie zum Buch Kräling fundamental System übergehen wird aus dem EU-Kriterien Kosinus und wachsen aber andere Funktionen tauchen nicht auf und das wie normal im so entsprechend umformulieren also immer noch mal diese fundamental Matrix anschauen die war ja Frau mal erhoffte J das ist die mit dem am Ende arbeitet der Mann arbeitet nicht mit ihr auch die Armen arbeitet nicht mit ihr auch die Art sondern arbeitet mit formal auch CO 2 das wie ist die man am leichtesten hinschreiben kann beim Durchstöbern fest jede Spalte diese fundamentale Matrix eine spezielle Form und zwar ist jede Spalte von der Form die Hochtäler mal viel Till wobei Samland Eigenwert ist von A und diese Funktion P diese sich Vektor wertig einmal das was hinter dem Joch Lamberti steht der Sinn der Vektoren besteht egal was ich bin es immer Vektor aber dieser Sektor ist in jeder Komponente wurde nun also das Ding hier ist ein Vektor Vektor wird Funktion von Vollendung vorgenommen Inc und unter man weiß auch wie groß wie groß der Grad dieser Polynome höchstens ist wenn jeder Komponente steht hier also jetzt jede Komponente konstant hier ist jede Komponente von der Form a t +plus bi hier ist jede Komponente von der Form a +plus b t +plus 10 Mal C-Quadrat Vereinen und ist anders von der Farm konstant plus in mal T +plus +plus +plus irgendwas mal TOP -minus 1 also der Grad von diesem Polynom ich schreibe jetzt mal wenn Sie wissen "anführungszeichen Grad von P also ich weiß dass dem Vektor ist aber Grad von jeder Koordinaten von P ist kleiner als die Größe des Jordan Kästchens bei dem wir gerade sind also echt kleiner wird die ja die Größe des Jahrgang Kästchens und der höchste Grad es hier das 1 so was heißt das dass wir jetzt jede Spalte dieser Matrix das heißt aber auch was über jede Lösung denn jede Lösung unseres homogen Systems ist 1 Jahr Kombination von diesen Spalten also ist die Lösung von unserm System Y ;strichpunkt will ist aber Stellung von formten von der Form also ich ist von der Form von Tegel ist jetzt mit dem Jahr Kombination von denen hier also ich kann jetzt über jeden Eigenwert zu mir er auch 1 ist klar dann habe ich ihr auch 10 eben für die dass ihr mich natürlich für die also für jeden Eigenwert Richter andere Exponentialfunktion ich da natürlich auch ganz viele von diesen Polynome jetzt miteinander linear kombinieren aber wenn ich nur die normalen Jahr kommen ja komm Polynome raus nicht zur zum gleichen Eigenwert verschiedene Polynom Jahr kommen ja gleich die Alben ein Polynom zusammenstellt insofern bleibt also übrig auch Eigenwert mal irgendwelche wertigen Polynome für jeden Eigenwert natürlichen an also hierbei sind jetzt die Lehren der einst das Land K die verschiedenen Eigenwerte von A Ausdrücke die zugleich in einem werden sind falls sich die Polynome zusammen um sich das ich oft Zählern davor und was die Polung zusam ich kann also für werden einzeln Eigenwert sondern was von der Form wie oft viel langsamer Polynom Krim und die PIN sind jetzt wieder Funktion von A nach B wie der Vektoren von Polynomen und die Grad wird der Grad dieser Polynome wie wie gesagt gemeint traten wieder Komponente der ist echt kleiner als die Größe des jeweils zugehörigen Jordan Kästchens wie man das noch etwas habhaft erfassen oder entsteht wenn die Größe von Sonja ein Kästchen die Größe von Sonja dank des entsteht dadurch dass ich nicht genug Eigenvektoren hat das heißt dass die geometrische Vielfachheit die Anzahl der Eigenvektoren
abhängen ein zum Eigenwert habe und der algebraischen die Wahrheit die Anzahl der wie oft ist das da Eigenwert Nullstelle Siska großen Brunnen Roms die sind verschieden und der größte Fall des Jordan Kästchens tritt dann auf wenn ich zu einem eigenen ich werd vielfacher 0 stelle das Christen Polynom ist nur einer einzigen eigen betroffen also ein gibt immer und wirst keine eigene aber nicht nur ein findet hab ich halt nur ein Jordan Kerstin das ist der Fall durch den größtmögliche ein Kästchen kriegen das hat dann als Größe genau die Differenz oder die Differenz von algebraische Vielfachheit und die Mittel wie Wahrheit +plus 1 also wenig der algebraische Vielfachheit 2 und die mit Vivat einzig sonderlichen zweier ja dann Kästchen ich weiß der Grat ist kleiner als die Größe des Jordan Kästchens das heißt es kleiner gleich diese diese Differenz also die Differenz von algebraische Vielfachheit zur geometrischer vielfach -minus die geometrische im Allgemeinen wird der Grad noch kleiner sein wenn sie zu einem eigenen Wert 2 Jahren Kästchen haben müssen sich die defekte wie aufteilen aber im schlimmsten Fall haben sie ein großes Jordan einen großen ja Block in dem die und dann ist dieser Grad im schlimmsten Fall genau diese Differenz von eige Bereich und die mit der vielfach also vor und zwar von jeweils diesen Eigenwert landet vor ist wichtige Struktur Aussage Lösung von solchen Gleichungen die wir im nächsten Kapitel brauchen werden jeder Lösung von einem mobilen Systemen Konzerten Koeffizienten lässt sich so schreiben als Summe ihre Funktionen mal Polynome und über den Grad von dem Polynom was aus gut da das ein konkretes Verfahren ist so dass auch ein konkretes Beispiel geben also Beispiel 8 11 betrachten ganz konkret das homogenes ist der mit konstanten Koeffizienten ,komma von TSA man y von Till und die Matrix A es 6 1 8 7 5 3 2 9 4 und jetzt bei mir direkt nach Kochrezept da drüben das fundamental System bestimmen ich werd an der ein oder anstellen Berechnung etwas abkürzen sozusagen die reine linearer Algebra überlasse ich Ihnen dazu gehört gebrauchen die Eigenwerte also muss das charakteristische Polynom ausrechnen und dient Peinlichkeit jetzt nicht hier 17 Jahre Mindestanlage die Peinlichkeit mich jetzt hier 17 Mal beim Determinante aussitzen zu verrechnen erspare ich mir also die Determinante vom -minus Lander Einheitsmatrix das charakteristische Polynom ist in dem Fall bis auf das Vorzeichen lang bei minus 2 hoch 3 das heißt wir nur einen Eigenwert er soll jetzt auch keine Gewinne sie waren Matrix werden wohl gesehen wie die Normalform und hilft also es gibt nur eine einzige eigen werden des 2 der gleiche algebraische Vielfachheit 3 spannende Frage ist wie sieht's mit der genetischen Vielfalt aus Wassermann Eigenvektoren und wenn man sich da einstellen und den Kern von -minus 2 Mal Einheitsmatrix mal aus X dann stellt man fest dass sie nicht so wahnsinnig dicke aus es gibt nur einer unabhängigen der eigene Raum ist eindimensional und -minus 1 1 -minus 1 ist ein Vektor aber mäßig also außer -minus 2 2 -minus 2 1 das ist damals als er in einen immensen ein eigener Raum und dreidimensionalen Hauptraum die Beispiel verhält es 3 D geometrisches dass so was sagt uns unser Kochrezept die dann die Lösung kommen die 1. damals schon Namen Eigenwert und zugehörige einen Vektor also die 1. Lösung ist er hoch zweimal C mal direkt zur Pause die 2. Lösung für die 2. Lösung brauche wir das V 2 den 1. Hauptwerk Tower also der nächste Schritt ist wir brauchen die Hauptsektoren da das sind je 2 Stück muss ja ich meine die oder Normalform aussieht ist jetzt klar wenn ich weiß dass Dinge nur ein eigen wäre hat nur ein Eigenvektoren Linie oder wenigen und einer 2 dann ist das Ganze ein Jahr lang Kästchen und ihre Normalform so geht gar nicht anders also muss es nach 2 zusätz zu gehöriger Hauptsektoren geben und die dass man das mit den 2 ja Gleichungssysteme also einmal -minus 2 Mal die Einheitsmatrix mal V 2 des Vereins und an es zweimal die Einheitsmatrix mal vor 3 V 2 noch das stundenlanges Chaos Text an der Tafel sparen wir uns hier ich hoffe Sie glauben mir das ist falsch ausgerechnet haben oder auch richtig egal nein es bleibt das Buch übernommen also wenden hat sich aber das Buch Verfahren also immer das Gleichungssystem löst behaupte ich kommt dabei raus wie ich hab's aus meiner aus alten Vorlesung von mir genommen genau 0 0 Hallen und das 2. Gleichungssystem wir was man hier jetzt erst kann wenn man dazu das vor 2 braucht dann kriegt man da -minus Inhalt 0 -minus Innviertel und damit hat man alles was man braucht also das ist die eigentlich noch besser als zu erwartende positive Messwert von diesen Theorem 8 9 Sie brauchen gar nicht die ganze Jordan Normalform beziehungsweise das Ganze auch die Art der Normalform hätten wir ja wissen dass man richtig ausrechnen brauchen Sie nicht zu brauchen nur die Eigenwerte die Eigenvektoren und die Haut und damit kann das fundamental Systemdienst Strahl also was sagt uns der Satz zuerst haben weil er hoch Eigenwert der Eigenvektoren also ich auch 1 der Themen -minus
1 1 -minus
1 das ist unser 1. legte am fundamental System den gibt es immer ja wir immer mindestens ein Ei gelegt da ein kommt er auch den Eigenwert mal dieses TV 1 +plus V 2 also ich auch 2 C mal TV 1 -minus 1 1 -minus 1 +plus der V 2 0 0 3 und als 3. er auch 2 T mal C-Quadrat halbe der V 1 -minus 1 1 -minus 1 +plus Thema der V 2 0 0 Inhalt +plus der V 3 -minus 0 mindestens kann man natürlich auch wissen Schüler zusammenfassen gibt er auch 2 C mal -minus 1 1 -minus 1 wir auch 2 C mal -minus C C -minus zählt bloßen Hal und er auch 2 C mal -minus C-Quadrat halbe -minus inhaliert C-Quadrat halte und -minus C-Quadrat halte +plus Inhaltes T -minus führt stets fundamental ist dar man jede Lösung dieses Gleichung ist jetzt in jedem Jahr Kombination von einer dieser 3 und und wenn man sich jetzt auch normalen Licht diese Bemerkung 18 b anschaut heißt das jede Lösung dieser Gleichung egal welche ist der linear Kombination von den Dreien das heißt jeder Lösung dieser Gleichung hat mal ein dem ein Faktor jedoch zweitägige mal nach ganz vorne ziehen kann die Lösung ist also eher auf 2 ten mal irgendwo bewusst egal was sie für den ja Kombination bilden es wird nie über die Nummer 1 Grad 2 herauskommt was können einem die Volume rauskommen was kommt Nibelungen wird mit der S 2 aus als sie können sich ja sagen jede Lösung dieser Gleichung ist in jeder Koordinaten von der Form ihres 2. Thema das Alexis 2. Arzt und welche Lösung jetzt genau was kommt hängt natürlich von den Anfangsbedingungen ab aber das in allen möglichen aus zur ab ja jetzt ganz viel über Systeme 1. Ordnung geredet linearer Weise ich sage schon die ganze Vorlesung ich gucken hauptsächlich Gleichung 1. Ordnung an weil Gleichung spielt man siehe Kapitel was was 6. auf Gleichung 1. Ordnung zu das will ich hier in dem Zusammenhang mit linearen Systemen konstanten komplizierten noch einmal durchführen weil wenn man ein System hat also und Systemen ,komma gleicher ja y das von der Merkel von der Gleichung höherer Ordnung mit konstanten vorgesehen kommt damit der Laden noch mal einfach und das will ich Ihnen nicht vorenthalten also ich will diese Ergebnisse jetzt übertragen hat auf Gleichungen höherer Ordnung kurz Erinnerungen 1. was ist mir gleich lineare Gleichung höherer Ordnung und zweitens die trägt man wiegte reduziert Mainz auf 1. Ordnung also der allgemeine homogen lineare Gleichung Ente Ordnung sieht folgendermaßen aus wir haben in der Ableitung von T +plus Ende Koeffizienten Funktion 1 -minus 1 von tät meine N -minus 1. Ableitung von T +plus und so weiter bis zur Koeffizienten Funktion A 1 von T y strich Phontäne 0 von TY von Tilly ist gleich 0 das ist die allgemeine Form einer linearen Gleichung höherer Ordnung er ok könnte da hinten noch im Wege stehen dann wir eine Muräne gleich in der Gemeinde jetzt nicht drum weil was homogen können kann Mitleid oder konstanten noch immer gehen wir NRO das kann schon sein ja sie am Rechte über das sieht man sofort 6 und 18 14 und dann 1 abziehen wird nicht 2 so von der Haar für ganz große Werte von 1 vielleicht nein aber normalerweise nicht ja dann Seerecht ich schon auf mein keine Ahnung wir der nun sein sein am wahrscheinlichsten ist ja nur noch da waren es gar keinen Sinn ich guck vielleicht weil sich kann es jetzt nicht nachvollziehen und ich hab keine Lust das vorzurechnen ich hab sie glauben dass es hinkriegen würde vielleicht also ja aber denn es ist hoffentlich klar es ist alles reduziert auf die Algebra und Reihe Preis Nummer 1 würdest ja die Erika ist Jahr hinein das ist die egal was am Ende immer aus das es die Frage so welches sein danke ich muss es ja dann Verein wahrscheinlich am Skript korrigierende insofern kriegen Sie dann komm nicht um es zu rächen aber ich rechne das lieber Büro auf Papier als City wenn also das ist die allgemeine Gleichung hinter Ordnung im Prinzip können Sie natürlich vor Odonkor 17. hinschreiben weiß glich der kleinste könnt ihr noch ein entstehen denken Sie aber auch gleich durch die dir sie ihre Einzel also das ist die Idee des hat man ihn einst hat so also das ist ne um umgehende denn Jahre DGL Ente Ordnung und damit man eine vernünftige Lösungs Theorie hat verlangen nur noch dass die gute gezierten Funktion stetig sind also eines Stück Kohle 10. Funktionen AJ verlor zwischen und er -minus 1 und stetige Funktion sein dann haben wir schon gesehen gibt es oder kann man es reduzieren haben es den 1. Ordnung mit dem stetigen a von t und dann kriegt man eine eindeutige Lösung für jedes Anfangswertproblem also was macht man mit der gleichen Enter Ordnung man schreibt sie um im System 1. Ordnung können auch hier nur mal daran erinnern wie das gehen sie bilden den Vektor v aus y y strich y 2 Strich bis zu N -minus 1. Ableitung von y für die ganz penibel nochn transponiert dran und dann kann man Frau strich ausrechnen was ist dann y strich y zweistellig bis y n also bis zu enden Ableitung von y und da kommt mir relativ freundliche Matrix beider aus was muss man ihr die Matrix schreiben damit das geschehen ist ist den 1. Ordnung geht y strich es ist nun mal y +plus 1 mal y strich plus noch der Rest und so weiter was sie kriegen es auf der Diagonalen fast nur Nullen auf der neben Diagonalen fast nur einen Sinn hier das auch alles wohl das einzige was Spannendes ist die letzte Zahl weil es y n die in der Ableitung von y denn das ist es tatsächlich diesen ganzen schlugen austragen also das ist -minus 1 0 von The mal y -minus 1 von 10 y strich und so weiter bis am Ende -minus 1 -minus 2 von vielen -minus 1 -minus 1 nein da stehen die ganzen wurde 10. Funktion drin von hier oben jeweils mit minus zeigen auf die andere Seite sah das ist es zugehörige es ist den 1. Ordnung das ist es die gleichen Ente auf so und jetzt kann man natürlich alle Erkenntnisse von gerade eben übertragen im Prinzip immer das hier lösen wolle muss man für die Matrix er auch TA es ausrechnen beziehungsweise 5 das heißt nein erstmal kann man wieder nur was machen denn die Tees hier weg sind wenn sie eine konstante funkt Konstante Kollwitz Funktion haben wenn man's konkret ausrechnen will aber die Theorie die geht auch hier für rüber also die Frage ist wie sieht es mit Lösbarkeit aus wie sieht's mit Struktur des der Lösungsmenge aus ist genau das gleiche sie kriegen wieder dass die Menge aller Lösungen der homogenen Gleichung ein unter Vektorraum wegen in dem Fall jetzt nicht von C 1 sondern von CNN einmal differenzierbare Funktionen aber erst gleichen Büro Ordnung haben sie kriegen das Superpositionsprinzip geht in das ist nun der Vektorraum und man nennt auch wieder jede Basis dieses unter Vektorraumes fundamental System so war das Schreiben werde ich mein zum also alle Erkenntnisse insbesondere auch in Kapitel 7 Uhr wo uns ja nicht auch mit variablen Koeffizienten beschäftigt haben sind jetzt übertragbar kurz das Wichtigste 2. Superpositionsprinzip das gesagt hat wenn sie 2 Lösungen haben dann ist auch jede linear Kombination Lösung also die Menge an oder anders formuliert die Menge aller Lösungen von der Gleichung Ordnung er diesen dimensionaler und der Vektorraum von CNN jetzt geht werden er und auch hier nennt man die Basis davon die nennt man wieder fundamental ist also man überträgt auch die Nomenklatur an der Stelle eine Basis von diesen und der Vektorraum heißt deren Fundament heißt denn das ist jetzt ne Menge von Enns skalaren Funktionen und es gibt nicht den einfachen Zusammenhang zwischen den fundamental System von der Gleichung 1. Ordnung vom System 1. Ordnung hier unten und von der gleichen hier oben der Wiege zusammen an denen man wenn man ist gleichen wir Ordnung im System 1. Ordnung und schreibt wenn Sie dieses den 1. dort gelöst haben schmeißen sie alles außer dem 1. Komponenten weg und die 1. Komponenten ihrer Lösung sind die Lösung von der ursprünglichen Gleichung und so ist es ja auch also wenn die Funktion Z 1 C 2 bis 10. n jetzt Lösung vom also fundamental ist sind von der zugehörigen das ist dem 1. Ordnung von den 2 Sternen dann sind deren 1. Komponenten das Netz Vektoren nicht von den jeweils die 1. Komponenten nehme schreibt das mal so also das sind jeweils die 1. Komponenten dieser in Funktionen die bilden fundamental System von der gleichen Stelle sie damit insbesondere nmal differenzierbar das liegt an der speziellen Struktur diese Gleichung ist eine gesehen damals also umgeschrieben haben den gleichen Systeme 1. Ordnung wenn Sie so ein System wie lösen denn sind die 1. Komponenten der Lösung automatisch mal stetig differenzierbar so und wenn man jetzt es gibt mehrere Möglichkeiten man kann da sollte Matrix immer jetzt konstante Koeffizienten hat also sind das von The weckten sie -minus anderen 1 und so weiter sie sollen aber es kann das charakteristische Polynom und auch die Garde Normalform mit ein bisschen müde allgemeinen schreiben und dann fundamental System ablesen unter den Folgen Satz aber auch direkt beweisen und die gute Nachricht ist wenn Sie so wollen das ist so ne Gleichung Enter Orten mit konstanten Produzenten haben dann können Sie im konkreten rechnen alles über fundamentalen Systeme also nein alles über Ex Matrix Exponentialfunktion Normalform komplett vergessen dann gibt es ein ganz einfaches Verfahren um aus zurecht und fundamental System zu bestimmen also wenn Sie eine Konstante Koeffizienten solche Gleichungen haben laut denen schreib 6. meint das ist jetzt nur schreiben Sie nächstes Mal hin also wichtig ist die wenn Sie lieber und sage mit den Arbeiten an sie besonders einfach das Verfahren n das wie nix man Steine marmorn Beispiel zu da und dann sehen Sie das anders dafür sich der ganze Aufwand auch nicht gelohnt hat weil man kriegt wirklich die 3 1 Kochrezept wie man die Dinge lösen kann gut so weit erstmal dann wir dank der Aufmerksamkeit und bis nächste Woche
Matrix <Mathematik>
Länge
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Vektorrechnung
Reihe
Exponentialfunktion
Gleichung
Differentialgleichung
Superposition <Mathematik>
Lösungsraum
Zahl
Lösung <Mathematik>
Differential
Menge
Fächer <Mathematik>
Koeffizient
Quantisierung <Physik>
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Algebra
Klasse <Mathematik>
Besprechung/Interview
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Extrempunkt
Physikalische Theorie
Linie
Komplexe Matrix
Multiplikation
Reelle Zahl
Eigenwert
Normalform
Vorlesung/Konferenz
Pell-Gleichung
Exponent
Determinante
Vektorrechnung
Kraft
Reihe
Vektor
Eigenvektor
Komplexe Ebene
Lag
Herleitung
Verschlingung
Koeffizient
Lineare Algebra
Diagonale <Geometrie>
Mathematische Größe
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Algebra
Verweildauer
Exponentialfunktion
Komplex <Algebra>
Lösungsraum
Mittelungsverfahren
Index
Homogenes Polynom
Eigenwert
Normalform
Massestrom
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Vektorrechnung
Exponent
Zirkel <Instrument>
Machsches Prinzip
Reihe
p-Block
Gleichung
Vektor
Eigenvektor
Null
Lösung <Mathematik>
Summe
Polynom
Komplex <Algebra>
Keim <Mathematik>
Diagonale <Geometrie>
Aggregatzustand
Matrix <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Momentenproblem
Exponent
Verweildauer
Fakultät <Mathematik>
Besprechung/Interview
Reihe
Exponentialfunktion
Vektor
Null
Monster-Gruppe
Summe
Quadrat
Eigenwert
Höhe
Vorlesung/Konferenz
Diagonale <Geometrie>
Ecke
Ebene
Länge
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Vektorraum
Vektor
Physikalische Theorie
Eigenvektor
Quantisierung <Physik>
Linie
Konstante
Basisfunktion
Komplexe Matrix
Lösung <Mathematik>
Normalform
Eigenwert
Koeffizient
Theorem
Vorlesung/Konferenz
Funktion <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Exponentialfunktion
Gradient
Ausdruck <Logik>
Index
Eigenwert
Normalform
Vorlesung/Konferenz
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorrechnung
Exponent
Dimension 6
p-Block
Gleichung
Vektor
Eigenvektor
Zahl
Lineare Differentialgleichung
Null
Lösung <Mathematik>
Summe
Polynom
Diagonale <Geometrie>
Ecke
Koordinaten
Mathematische Größe
Matrizenmultiplikation
Berechnung
Gleichungssystem
Gradient
Linie
Mittelungsverfahren
Eigenwert
Normalform
Vorzeichen <Mathematik>
Massestrom
Nullstelle
Lineare Geometrie
Vorlesung/Konferenz
Turm <Mathematik>
Kerndarstellung
Neun
Funktion <Mathematik>
Determinante
p-Block
Vektor
Eigenvektor
Vakuum
Summe
Polynom
Koeffizient
Strahl
Charakteristisches Polynom
Folge <Mathematik>
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Zusammenhang <Mathematik>
Differenzierbare Funktion
Algebra
Anfangswertproblem
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Superposition <Mathematik>
Skalarfeld
Lösungsraum
Gradient
Normalform
Eigenwert
Ordnung n
Vorlesung/Konferenz
Inhalt <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorrechnung
Reihe
Lineare Gleichung
Stetige Funktion
Vektorraum
Gleichung
Vektor
Zahl
Null
Konstante
Lösung <Mathematik>
Elementare Zahlentheorie
Menge
Anfangsbedingung
Koeffizient
Volumen
Charakteristisches Polynom
Diagonale <Geometrie>
Koordinaten

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 11: Liniare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 11
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30843
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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