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Vorlesung 9: Lineare Differentialgleichungen

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floh mal herzlich willkommen zur heutigen Vorlesung wir hatten in der letzten Woche angefangen uns um lineare Differenzialgleichung zu kümmern und hatten schon gesehen dass ich im Jahr Differentialgleichungen mit nicht die stetigen rechten Seite immer eindeutig global lösbar ist das heißt die Lösbarkeit Theorie ist da klar und die beste aller möglichen Welten worum es bei den Jahren angefangen tialgleichung geht ist wirklich die Frage nach expliziter Lösbarkeit oder wo das nicht geht zumindest nach mir ist klaren qualitativen Aussagen darüber wie sieht die Lösung aus denn wir werden später sehen Jahre Differenzialgleichung sind und starb .punkt und von da aus dann kompliziertere Systeme anzugehen wer das ist für die Physikerin Physiker und in wird das Naheliegende Aspekt Seidemann kompliziertes Problem Martiniere sieht man es erstmal ja erstmal Täterliste 1. Ordnung machen und dann schaut man sich das lineare Problem an und guck mal ob man von da aus weiter dann nicht in Problem kommen das in dem Sinne sind lineare zahlreichen ganz wichtige Klasse von Gleichungen weil sie erstens in manchen Fällen tatsächlich explizit lösbar sind und da wo sie nicht explizit lösbar sind aber ne sehr schön rund und einfache Theorie haben n und ich hatte letztes Mal gesagt wir wollen Anfang mit im einfachsten Fall nämlich dem Fall von einem skalaren Gleichung denn da kann man erstens wirklich immer explizit lösen und zweitens sieht man da schon alles was an wesentlichen Techniken verwendet wird was man kommen 7 4 und in dem Zusammenhang sehen Sie dann auch noch mal was eine lineare Differenzialgleichung eigentlich ist wir schauen uns an das folgende Anfangswertproblem y Strich ist eine Funktion a von t mal y bloße Funktion des von und das man bei dem die lineare Franz ja gleich mal die Abhängigkeiten y auf der rechten Seite die einer linearen Funktion zu man y +plus b klassische Geradengleichung sozusagen plus der übliche anfangs Wert y vor dem 0 0 und die Funktionen a und b sind beide auf dem Intervall I definiert gehen nach und damit der uns des Existenz und Eindeutigkeit einer globalen Lösung sicher sind setzen wir die stetig voraus so nun hat ich gesagt wenn Sie eine allgemeine lineare Differenzialgleichung habe es immer der gute 1. Schritt schauen sich das zugehörige homogen dem Problem an also die gleichen mir wenn ich mal ICW inhomogenes Probleme in homogen heißt für das es der Welt nur das Problem ist mit also 1. Schritt ist immer wenn man das zugehörige homogene Probleme Mehr das heißt wir setzen erstmal geh gleich 0 das gibt es so genannte zugehörige homogen ein Problem Plätze Landstrich von CD ist a von t mal y +plus nix mit dem gleichen anfangs zur und das schöne an sollen homogen Problem wenn man es Galal Gleichung haben ist das immer sofort den vertrauten Fahrwasser und wissen dass können wir lösen weil das ist ein sogar recht ein wahres Problem von getrennten verinnerlicht das Landstrich ist die Funktion von Thema y das ist hier von getrennten verinnerlichen und dementsprechend bis wir wie wir das angehen können also ich auf Sie erinnern sich an dich mehr Rechnung der y nach DC is a von t mal y bringen sie alle Y 10 alle Tees auf eine Seite haben war einst durch y d y ist a von CD und damit das kleine schwarze Messe ist einen Sinn macht man Integrale drüber und dann sieht man man muss auf beiden Seiten Integral bestimmen hier aber die Stammfunktion von einzig y das gibt es natürlich log auf der Seite hängt davon ab was a ist es kann sein dass wir diese Stammfunktion nicht explizit bestimmen können denn Art zum zum Beispiel sonst so von ihr auch -minus C-Quadrat ist aber in der sie die Theorie sagt uns zumindest aus 1 1 jede stetige Funktion hat der Stammfunktion also es macht auf jeden Fall sehen dabei ist im Moment nicht wirklich bestimmen können bleibt uns nichts anderes übrig als ihren Namen zu geben wenn wir sie also mal groß aber und was wir dann kriegen ist der Log von Betrag y ist die stammen ist eine Stammfunktion von kleinen erreichten sie mal groß am Fluss konstante wobei das groß aber leben Stammfunktion von Kleider als die geht ob man sie explizit hinschreiben kann es der andere Frage werde geht das geht weil er stetig zu so wenn wir das auflösen wollen kriegen wir und man auf beiden Seiten der Funktion drüber Betrag y ist er hoch groß aber Schlussszene das können natürlich das plus 10 auseinanderziehen ihr auch groß von Vieh mal
wie hoch Kleinzehen bzw. das ist eher hoch ha von die meint Zielstrich wobei es sichtlich jetzt mehr positive Zahl sie strich ihr auch zu das beziehungsweise dass wir jetzt gegen 7 Personen der vor dem Betrag ist ne Funktion eine positive Zahl hab ich und -minus zur Verfügung die allgemeine Lösung ist also y von CE das +plus -minus täglichen die Konstante ist eine Konstante in Buchara und weg und jetzt ist die Konstante c er als das ich hier nicht mehr nur positive Anzahl sondern WL ist es Plus Minus von den Betrag und die konstante 0 das ist natürlich auch eine zulässige Lösung wenn Sie sich das Problem ja anschauen die Gleichung 10 Nulllösung natürlich auch immer eine gut also haben wir die allgemeine Lösung vom homogen Problem ist gegeben was eine konstante mal er hoch die Stammfunktion Sonderfunktion klein an oder irgendeine Stammfunktion werden wir jetzt auf den anfangs Wert einstellen wollen dann taucht hier natürlich groß aber von T 0 Euro auf Na also es anfangs mit einstellen wollen heißt das y 0 soll sein y von 10 0 und das ist sehr hoch groß aber von 10 Uhr darüber weiß man es im Allgemeinen nicht viel aber wir haben ja andererseits noch die Wahl wird groß also eine Stammfunktion die können wir auch ganz spezielle wählen und das ist muss man jetzt nicht aber es ist sehr sinnvoll da der Städte die Stammfunktion zu wählenden echte DT 0 0 ist also das macht hier sehen die spezielle Stammfunktion zu nähen die gerade an dem anfangs Zeitpunkt gleich 0 ist das kann ich natürlich immer ein wenig die richtige konstante drauf Aldi erreichen ziehen Sie einfach von groß groß a von t 0 ab dann ist einfach C gleich y 0 wenn hier 0 steht zu zwar nur leicht sehen und wir kriegen die Lösung von unserm homogen Problem als er im von ist die Konstante y 0 mal die er auch dich Dampf die spezielle Stammfunktion jener Stelle T 0 0 ist und die spezielle Stammfunktionen erstellen T 0 0 ist Integral von T 0 bis T Af 1 S es wer das ist das große A von T mit der Eigenschaft dass groß auf unter 0 0 man sieht steht es schon mal Lösungsformel für das homogene Problemen und bisher aber nicht viel Neues gemacht ist einfach die hat sich direkt ergeben aus der Variation der konstanten Methode Erkrath aus der aus der getrennten variabel Methode und er an damit kann so homogen Probleme lösen das passiert der Zug haben neue das neue Zeile dem Abschnitt ist ja jetzt noch den Homogenität bisher habe das B ausgeschaltet nur dass die wieder einschalten also das eigen was wir eigentlich lösen wollten war dass ich um umgehende Problemen und gibt es eigentlich zu zumindest vom 1. draufgucken braucht keinen Grund was soll jetzt diese homogene Lösung beim inhomogen Problem helfen und an der Stelle gibt es jetzt eine Magie und wie wichtig es ist sich diese Magie zu merken weil diese Magie funktioniert jetzt nicht nur hier in diesem speziellen Fall von skalaren um linearen Gleichungen sondern es ist ein fundamentales Prinzip wann immer sie lineare Differenzialgleichung haben das beschränkt sich nicht mal auf lineare gewöhnliche Differenzialgleichung das funktioniert für sogar für lineare partielle liefern vergleichen wenn Sie die Horror gehen wenn sie die allgemeine homogene Lösung von einer linearen Gleichung haben dann gibt es ein Zweck der üblicherweise immer dazu führt dass sie das inhomogene lösen zumindest mir vor kriegen in der wir integraler auftauchen und man dann die integrale explizit lösen kann ist auf der eine steht auf einem Kiste aber wenn man mal so weit ist dass man Lösungsformel hat integrale enthält dann ist man schon sehr sehr weit so und dieses Verfahren dieses an allgemeine Methode die dazu dienen was sehr homogen Lösung die enorme Menge zu kriegen das ist es hat ein etwas n selbstwidersprüchlich im Namen diese Methode nennt man Variation der Konstanten klar bisschen seltsam weil wie soll bitte eine konstante variieren und das ist genau der Trick lassen die konstante war hier welche Konstante die Konstante er die Konstante hier was hier steht ist die allgemeine Lösung des homogen Problem ist wenn Sie so moderne Problem lösen dann dringen sie in eine frei wählbare Konstante des logisch weil sie auf den anfangs wertfrei wenn sind leicht das der gleichen 1. und lösen dann eine konstante irgendwo und der Ansatz ist so ist extrem Bananen und es ist ein Wunder dass er funktioniert so banal ist aber tut tun sie so als wäre diese Konstante hier keine konstante mehr seine Funktion also der Ansatz es suchen Sie
eine Lösung der inhomogenen Gleichung die von der Form ist wie die der homogenen nur statt sie schreiben sie Ziel von 10 also so eine Lösung der Form 10 von 10 mal groß erfand das ist erstmal nun Ansatz der sich nur dadurch rechtfertigt das beim Fluss feststellen tut wichtige sehen mitzunehmen das Essen ein Ansatz der jetzt hier tut aber wirklich allgemein und ganz allgemein das Ding ist für die Erde sind sage ich einmal man Jumbo gehen kann kann man den Ansatz probieren ihn ja müssen also noch überzeugender Ansatz zu und das in Variation der konstanten heißt diktieren sie lassen die konstante variieren so was müssen wir tun aber mein Ansatz hat ist dieser Film einfach wir wissen welche gleichen lösen soll und was ich hab wir sehr setzen dass ein um rauszukriegen welche gleichen das Ziel ist also wenn wir mal aus was den so gegeben ist was strich ist dass es jetzt im Bonner Produktregel das ist sichtlich von C mal groß von C +plus c von c mal wenn ich die Funktion differenziere kommt erst mal die Funktion wieder aus mal die innere Ableitung und die innere Ableitung ist die Ableitung von groß aber das groß aber die Stammfunktion von kleiner also ist das großartig es 8 groß Anstrich nichts anderes als klein so wenn man es einmal wissen und schaut sieht man lernt das Tier es Video von The also was hier steht ist sichtlich von er auch groß aber von sie FlussKleine auf und hielt mal von stehen jetzt los ist zu schauen was wollen wir eigentlich wir wollen das ist unsere ihre Modelle Gleichungen löst unsere inhomogenen Gleichung lösen das heißt dieser Ausdruck soll sein gleich aber von 10 Mal von Phontvieille +plus des Phonds und jetzt kommt der erfreulichen Omi wir sind nämlich gar nicht mehr so weit weg der Therme schon super gut dass wir noch sicher müssen ist dass der hier liegt The so also was muss gelten damit dieser Ansatz zum Erfolg führt muss gelten das Zielstrich von Phontäne mal eher hoch groß aber von t also unsere Stammfunktion von klein an gerade des von The ist er hoch irgendwas ist nie 0 das können also auf die andere Seite holen Zielstrich von 10. muss seinen gleich e hoch -minus A von vielen mal um was es hier stehen ist eine Differenzialgleichung führt sie aber die einfachst mögliche Formen von sage ich nämlich sichtlich ist eine Funktion also ein warten die Fernseher in der Form suche ich dann Funktion suche die Stammfunktion der rechten Seite dann handelt sie wunderbar können wir durch integrieren lösen also wir kriegen unsere Ziele C Phontäne ist nach Absatz von 10 0 +plus Integral von 10 0 bis 10 sich durch von STS das heißt sie von 0 +plus Integral von T 0 bis T über eben diese Rechte Seite er Wochenminus groß von S die von S die so hat also dieser in dem Sinne führt dieser Ansatz tatsächlich zur Norm er vor wir haben festgestellt wenn unsere Funktion so ansetzen die Gleichung lösen soll dann muss das gelten umgekehrt kamen zurückrechnen immer dieses Ziel von The Welt dann erfüllt dieses diese Gleichung also zusammen kriegt man von war angesetzt als Ziel von CEO groß aber von vielen setzte sich setzen wir unsere Zeug ein 10 von 10 0 er auch groß aber von T
+plus oft groß aber von The dieser Ausdruck wie hoch groß aber von jemals Integral von T 0 bis T wie hoch -minus groß von S P von S die es vor 2. eingeführt da noch den anfangs Wert einstellen es soll seine y 0 vielleicht von 10 neue setzen in die rechte Seite 10 von The täglich die 0 1 kriegen 10 von 10 0 mal eher hoch groß Aventin und übergroß extra so gewählt das groß an wird stellt hier 0 0 ist also steht hier einfach 1 bloß noch mal 1 Integral von T 0 bis die 0 ist ziemlich 0 also 10 von 10 0 also musste sie C von T 0 3 des y 0 wählen und es liefert dann das Endergebnis das Steinmetz noch als Satz auf das 1. Satz 7 5 denn wenn man wolle dass er diese Formel die da oben steht nennt man daher wo sie herkommen Variation der konstanten Formen nur weil man sie mit der Truppe Methode der Variation der Konstanten gewonnen hat alternativ gibt es noch die Bezeichnung die welche Formel nach einem französischen Mathematiker der die exessiv verwendet hat nicht nicht unerwartet ist die 2. Name vor allem im Französischen Sprachraum verbreitet wenn man dort mehr jetzt also vom würde war Variation unter koste und sagt dann gucken sie einen lang an und wenn man Glück hat verstehen Sie es aber dann wir dieser mit der Welt vorgehen da haben so war es also wir sind in den üblichen Setting von der Gleichung um wir Intervall wie auf dem das A und das B definiert sind die beiden Funktion A und B sind stetig wir Anfangszeitpunkt boten anfangs Wert y 0 und dann kann man die Lösung vom enorm inhomogen Problem tatsächlich einfach als Formel hinschreiben wir wissen schauen und sehr inhomogen es liegen ja das ist das Problem dort der eindeutige globale Lösung das ist nicht das Problem aber jetzt kann man diese Lösung auch explizit hinschreiben nämlich von C da oben steht sieht sie von Tieren 0 ist y 0 also y 0 mal e hoch groß aber von C +plus hoch groß aber von Thema Integral T 0 bis T er hoch -minus groß von S wir von SDS und es großartig ist die Stammfunktion von Kleinasien 4 0 verschwindet also Integral von T 0 bis wie klein aber von ist der ist möchte geht ein fertiges Kochrezept für sämtliche vom linearer die Frenzels linear Differenzialgleichung sie nehmen sich den Koeffizienten Form y s an ja ist denn davon die Stammfunktion am besten gleich die dient diente 0 verschwinden macht die Rechnung nach erleichtern und dann setzen sie hier ein in die Formel das noch integral ausrechnen und dann das ab zum Beweis von den Dingen muss man gar nicht mehr viel sagen wir sehen aber die Rechnung gemacht er ist wie üblich bei Differenzialgleichung ist das schwierige nicht nach zu rechnen dass die Lösungsformel stimmt das ist einfach das durch differenzieren immer was muss man machen wie hoch groß ableiten gibt die den kleinen das Integral kann man am Hauptsatz ableiten und Sie werden verstehen wenn sie das tun der kommt genau das raus was rauskommen soll also der Beweis ist einfach Nachrichten wie üblich ist das Problem auf die Idee zu kommen wie die Lösung aus nicht sie zu während die so wir uns gleich an einem konkreten Beispiel zugegebenermaßen ist sie mich das ein mögliche mal machen ich will vorher noch auf einen Aspekt hinweisen der sozusagen Sohn Leitgedanke dann für das wird was wir danach machen wie gesagt dieses Beispiel des gleich 1 von das Gelaende Gleichnisse ist sozusagen das vom ab was wir eigentlich wollen sind Systeme von den Jahren und dabei blockiert die Methode gleich im 1. Schritt nämlich hier und das ist denn unsere Methode vom gedrehten veränderlichen funkt wird das Gelage Gleichung fängt schon damit an dass sie hielt es y durch Medien von ist das keine so besonders schlau ID und auch sonst dieses sich das Verfahren noch mal an das verbraucht aber auch den 100 Stellen des Kanals verleihen die Verwendung des Hauptsatzes die des nicht mehr so einfach also an der Stelle bricht das schon zusammen trotzdem werden wir feststellen dass wir viele Features dieser Konstruktion hier verwenden kommen insbesondere wenn wir die Variation der konstanten wieder und wieder sehen und es lohnt sich diese Frau Formel die diese das Ergebnis war nochmal anzuschauen wenn man nicht mehr die Struktur darin erkennen kann und das ist eine Struktur die sich schon kennen müssten vom von den Jahren beim System hätte gesagt diese die anderen tialgleichung so deutlich ,komma Ziel lassen ihre beiden System aber sie haben viele ja an vielen Stellen schmecken sie gleich und das ist so eine wenn man sich diese Lösung mal anschaut hat die 2 Summanden im 1. Summanden finden wir was wieder was wir vorher schon ausgerechnet haben nämlich die allgemeine Lösung das homogen Problems was to besteht es konstant Y nur Mario groß auf und fiel der 1. Summand das ist die Lösung des homogen Systems zum anfangs y 0 wenn das und zwar nur eine beliebige Größe ist das beliebige Lösung des homogen Problems und wenn man sich den hinteren Teil anschauen wir
also man sieht man wie umso anschaut ja auch groß a von t Integrals für 0 bis 10 geh hoch -minus aber von S wir von SDS kann man immer differenzieren nachrechnen und man kann auch hier gucken wie wir den gewonnen haben dieser Ausdruck steht dann dauern mehr erworben ja das ist der Ausdruck da oben wird sich unter 0 gleich 0 1 und das heißt dass es Seite kann selber nachrechnen dass es eine Lösung des in eine Lösung des inhomogen Problems also dass es eine Lösung gibt das Innenohr Probleme müssten im speziellen anfangs wert also Lösung von ins Landstrich von C bis a von y von C +plus b von Till wenn Ding getrennt ziehen kommt genau das raus mit jetzt eben y von 10 0 gleich 0 also es ist ne Lösung das antwortet der Differentialgleichungen den Rennstall Gleichung nur falschen anfangs wird wenn nicht alles andere gleich 0 wir aber es ist eine Lösung des der das inhomogen Problem ist das heißt diese Formel darum welche Formen sagt ihnen sie kriegen die Lösung ihres inhomogen Problems durch Kombination irgendeiner speziellen lösen müssen umgehend Problems plus der richtigen homogen das ist genau wie bei den Jahrgangs ist lösen die 1. ein System die allgemeine so vom immer weniger System eine partikuläre Lösung +plus alle homogen und genau die gleiche Struktur tauchte wieder auf und das ist wichtig einfach als Struktur Aussage über die Lösung von solchen kleinen System und genauso wie bei den Janker im System wenn man dieses diese gibt diese Funktion y P auch wieder partikulär Lösungen oder auf speziellen Lösung weil diese Ähnlichkeit einfach sich auftreten Lösung oder spezielle Lösung des immer nur den PUK und diese Struktur die werden wir wieder finden bei den Systemen auch da kommt das gleiche raus sie brauchen eine Lösung des homogen Systems plus eine spezielle Lösung ist in und insistiert also das ist wichtig dass hier zu sehen und das werden wir wieder und wieder finden sobald sie vorlägen hierzu weit die nie Fenster werden zu tun haben ist diese Struktur dabei das sich ein Wandel in der die Täter gleich so schauen wir uns die Variation der konstanten mal an einem konkreten Beispiel an und wie üblich meine Vorlesung konkrete Beispiele rechnen wenn Sie die nicht besonders kompliziert wenn man sonst zu lange dauert und das für den Patienten zu peinlich wird weil sich ständig verrechnet also warnen sehr einfachen Fall von CS ist 1 konstant und des von TSC und waren anfangs wird wird zwar von 0 bis 1 ein Vorteil davon ist das wir das hormonelle Probleme schon kennen und uns auf das Innenohr Gene konzentrieren können so mobilen Problem ist es ,komma gleich y das war Beispiel 1 1 dieser vorlesen und wissen hoffentlich man sie sehen auch nicht was die Lösung ist oder erinnern sich von damals oder wie auch immer die allgemeine Lösung des homogen Problems jede konstante mal ist so und ich indes Beispiel zum einen vor damit wir die Formen war also damit das ist so'n Ding mal sehen aber ich wenn es eigentlich vor allem vom in 1 zu zeigen und das es mein ist die geheime Formel auswendig zu lernen es komplett unmöglich sei es die immer Leute die gern Formen auswendig lerne dürfen ja auswendig lernt aber alle die nicht gern wo man auswendig lernt können sich komplett sparen wichtig ist dass sie die Strukturreform im Kopf haben aber was das eigentlich ein das einzige was ich davon merken müssen ist wie kommt man hin sie müssen sich diesen blöden trägt aber jetzt konstanten das ist das entscheidet und wenn sie sich ja an diese wenn sich anders an die Bezeichnung Variation der konstanten erinnern man sich hoffentlich auch dran wie sie funktioniert und wenn sie sich wenn sie wissen dass die Variation der konstanten machen müssen dann müssen Sie nichts mehr wissen man doch einfach was sagt uns der Ansatz der Variation der Konstanten nehmen Sie sich die allgemein homogene Lösung unterbot steht schreiben sie Ziel von Tim das machen wir also wir werden die Variation der konstanten an wie gesagt man kann jetzt natürlich auch einfach hingehen sich die Formen nehmen und einsetzen ich behaupte und hoffe da kommt das gleiche raus wie das das wir ausrechnen aber man die Formel im auf seiner einsamen Insel nicht dabei hat dann rechnet man einfach den Ansatz durch also Ansatz partikulär Lesung muss man also Ansatz ist wovon viele erst jetzt eben 10 von Phontvieille mal wie hoch sie überall wo die konstante strahlt stand schreiben C von Themen und dann rennen sie aus was das Oeffnen sein man das soll erfüllen das von es wovon die lustig nein aus was Strich ist das ist ne Produktregel das ist sehr Strich von Thema der auch die +plus von dem Mal die auch ihre Funktion ableiten macht einfach immer wieder Spaß so das es Strich Phonds will er auch C und das ist wichtig zu erkennen dass das Widerruf und will dann fällt so wohnte auf beiden Seiten weg und sie kriegen sie strich von The er auch die bis c bzw. von Teddy ist die er offen ist was man sich im Prinzip genau die Rechnung von freuen aber die geht meistens zurück schnell und kurz das ist wenn wir nicht mehr ist die Formel sondern weiter die komplizierte Teil der Form ist die integraler austricksen und nicht den zu kommen so weiß man jetzt braucht ist die Stammfunktion von Thema ich auch -minus 10 wenn bei einer Patientin klären
müssen also 10 von CD sich dann die geeignete Stammfunktion von CO -minus 10 nein Sinne partielle Integration dem aber bleiben leider integrieren -minus CEO -minus 10 -minus +plus Integral ja auch -minus zwielichtige also -minus CEO -minus T minus 4 auf CD +plus Konstante der sich wird sie von The sondern einfach nur damit gemeint und so zusammenbauen wovon Mehr ist unsere Kunst unser Ziel von The von hier unten -minus Tei auch -minus C -minus er auch Ministerien +plus c mal ja hoch mir kürzlich es wunderbar viel weg bis -minus 4 +plus 1 +plus 10 wir 10 juckte und das er meinetwegen nur übrig den anfangs Anfangswerten einstellen müssen wird -minus nur anfangs was war das zum von 0 soll 1 sein also ein zur sein gleich y von 0 wovon 0 wenn man der Notation bleiben von 0 bis minus 1 +plus C also C gleich 2 und damit haben wir ja das Ergebnis von The ist das Ding mit sie gleich 2 2 er hoch -minus -minus und in dem Fall dass ich immer so schön aber sieht man sogar hier noch die schöne Aufteilung das ist die Lösung des formulieren Problems und das ist die spezielle Lösung des Innen und in gut das ist im Prinzip das was man zu skalaren nie die Fensterläden sagen können wie man es nicht zu versuchen zumindest auf dem Niveau wie sie die Lösung also die rechnen die Lösung aus dem damit fertig werde fertig vorne eine Methode mit dem Manne auf diese Formel kommt darf man sie nicht mehr im Kopf hat und die spannende Frage ist jetzt wie sieht es aus wenn ich Gleichungen nächstes Thema denn das die nicht mehr 1 ist also System von Differentialgleichungen Name gesehen unser anfangen bricht zusammen und wir können nicht mehr nach getrennten veränderlichen das homogene Probleme lösen und was ich Ihnen jetzt zeigen wir es das das Problem ist und sie werden wir im weiteren Verlauf also ich kann jetzt schon verraten dass bleibt noch ein Problem die allgemeine Lösung des homogen Problems auszurechnen ist bei allgemeinen System von Differenzialgleichung nicht möglich aber alles andere was wir gemacht haben von Variation der konstanten bis zur Struktur der Lösung weil das Blatt erhalten also dass das Problem bleibt da wo es auftritt wir kriegen die Homogenität das homogene Problem nicht mehr explizit gelöst aber das bleibt das einzige Problem das ist die Mehr sind und darum geht es jetzt erst von diesem Kapitel zu sehen dass alles andere funktioniert und dann über den nächsten der Bild im Kapitel im Kapitel 8. darum gehen für spezielle Fälle von linearen Systemen doch noch rauszukriegen wie man das homogen ist dem löst wenn eine wichtige Spezialfall schon gesehen ins Galan Fall Kammer das homogen Systeme lösen denn das war die Stimmung zur noch kennen muss der Nummer Spezialfälle sehen aber im Allgemeinen ist das tatsächlich ein nicht knackbar gesprochen also er so und das 1. was ich in diesen Programmen zeigen will also diesen Programmen die Struktur der Lösungs Theorie bleibt dieselbe ist das sogenannte Superpositionsprinzip das sagt das die homogen Lösung und also die Lösung des homogen Problems eine schöne Struktur bilden ein ganz wesentlicher ein ganz wesentliches Prinzip wann immer man mit linearen Differentialgleichungen zu tun habe auch das sollte wenn es da steht wieder im Jahr Client-Systeme erinnern also wir haben sollen wenn man homogenes Probleme homogen ist man ja das Problem auf dem Intervall G darin homogen ist Problem haben brauchen wir keine Funktion Wege aber jetzt die aus allen also die werden jetzt nicht mehr das Gelage Gleichung sollen wir haben er mit D ein System von den Gleichungen mit dem Vektor y der Dinge die hat dementsprechendes unser Koeffizient groß also es groß als ich mir die Stammfunktion vom kleiner Sohn des groß als es der Koeffizienten der Gleichung das Erste Matrix wertige Funktionen von ihm nach die Kreuz des die setzen wir stetig voraus als 1. das das was war das kleiner war und dann ist die Behauptung sich jetzt die Lösung ist die Lösung die Menge der Lösung des dazugehörigen Immobilien Jan Systems anschauen also nehmen alle in C 1 auf mit Werten Mrd die das zugehörige homogenes ist dem Bösen also mit so strich von The ist groß aber von TU Fund will das sind alle Lösung das homogen jagen nein das ist nicht homogen liegen ja sagen System so strich gleich um diese Menge L ich behaupte ich ist dann nicht nur eine Menge sondern dies sogar ein unter Vektorraumes Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktion und man kann sogar die Dimension angeben dessen nicht die Dimension ab so dass es jetzt in schöner mathematische verklausuliert halt 1 hätten den sie alle aus dem Alltag kennt vielleicht dazu 2 Kommentaren was heißt denn das ist unter Vektorraum das diesen unter
Vektorraum heißt also nach Definition wenn ich mir 2 Lösungen und er dir die dann Kombilösung Raps oder weniger seine sollen den ja Kombination werde kommt wieder ne Lösung raus und das ist eine fundamentale Eigenschaft jedes Robo gehen in ihren Differenzialgleichung Systems und auch da muss ich nicht sagen gewöhnlichen die Fenster des Systems mit auch Patienten seines Systems wenn man immer sehen länger als das Demolieren seiner Gleichung haben homogen rechte Seite 0 haben Sie Sohn Superpositionsprinzip Baumeister sieht so nehmen wir als Beispiel die Wellengleichung die Schwingen Bestimmungsgleichung erkennen Sie es alle hier ob Lösung der Wellengleichung wenn die rechte Seite nun müssen einfach frei schwingende Wellen die von außen in keiner Weise gestört werden und stellt sie vor sich den am Strand und von links kommt ne Welle und von rechts kommende Welle was passiert die beiden addieren sich für Super Pfund zu ponieren sich und die Lösung ist wieder ne Welle nämlich Lösung von da wenngleich wir also die Überlagerung von Wellen die man von Wasser kennt aber zum Beispiel auf und können ihre Musik macht nichts anderes bedeutet ein die steckt da drin dieser Satz bedeutet Lösung von linearen Gleichungen können sich überlagern und was rauskommt ist Lernen löst klassisches Beispiel Schwingungungsgleichung Wellengleichung solange nicht von außen mit der äußeren Kraft auf die Wellen eingewirkt wird sehr homogen ist es dem und in dem Moment geht das Superpositionsprinzip die Wellen addieren sich an was rauskommt ist will nun das ist jetzt hier bei dem man sich verklausuliert als ist ein unter Vektorraum und unterlegte Raumes aber nur das jeden ja Kombination von Lösung ist gelöst zu tut also wann immer sie jetzt in ein Konzert gehen denken Sie dran das Superpositionsprinzip sorgt dafür dass Sie da ganz vielen kann gut was müssen wir tun um das zu beweisen sind 2 Dinge zu beweisen 1. das Ding ist unter Vektorraum zweitens die Dimension ist die der 1. Teil geht schnell der 2. ist ein kleines bisschen mühsamer warum ist der 1. Teil schnell ich appelliere an die L 1 und der Vektorraum Kriterium wir müssen uns überlegen wie man es nicht leer und der Kombination liegen wieder dran und es geht recht schnell 1. warum ist er nicht leer das liegt daran dass wir schon gezeigt haben dass so ein System immer lösbar ist das war der Satz 7 3 man kann auch einfach sagen ich nun Funktion ist drin fertig wenn jetzt müssen uns zeigen das damals im Jahr Kombination von Lösung mit der Lösung sind also nimm uns 2 Lösungen her und V 2 Lösungen Lander und mir die Zeit skalare und dann schauen wir uns an was passiert mit der ja kommen wir zur müssen zeigen dass auch ne Lösung also leiden was aber und jetzt nutzen wir das zweimal Genialität ,komma das 1. was uns hilft ist es das ableitende linearer Aktion ist nur dass das selbe wie Wilander mal strich plus minimal Frau strich wenn ableiten nicht linear in Welt völlig anders aus dann wissen wir dass strich es jene Lösung ist Frau Lösung also ist ,komma Alfa jetzt nutzt mir dass die Gleichungen ja ist kündigt Matrix A vorziehen gibt mal 6 A will haben die Lander O +plus Mifa was jetzt dasteht ist nannte O V bis guten dann ist also nach und direkt daran Kriterium diese es allen unter Vektorraum der C 1 Funktionen auf wie was noch zu tun bleibt ist die Dimension wir also noch zu zeigen ist die Dimension von dem Erlös des und das machen wir in dem der eine des Elemente die Basis von El angeben kann in eine D-Elemente die Basis von El haben ist die Dimension des wo kriegen wir die hier wir brauchen die ihr unabhängige Funktion in diesem Lösungsraum und müssen zeigen also dass die Funktion angeben wie geben von dem es heißt nur wenig müssen zeigen wir vor erzeugen ganz dazu nehmen wir uns in 10 Nullen wie ja nehmen Sie irgendein mir völlig wurscht und mit ihr 1 bis bezeichne ich dicht an der Basis dass er das ist keine Funktion zu müssen einfach wird schon immer die Sherpas zu dürfen meinetwegen auch in andere Basis nehmen den kann man dem Feind Wirklichkeit kein Mehrwert mit komplizierten zu nennen so und damit definieren definieren wir uns da das ist ne grüne Utl definieren wir uns funktionell OJ aus L und zwar als Lösungen von speziellen Anfangswertproblem des homogen Problems es soll also gelten O J strich von T es von CDU fand OJ von und Boy Ort an der Stelle 10 0 es unser Jutta Basiseinheit Sekt 5 für jedes Jahr zu ist das Anfangswertproblem zu unserm homogen Problem wir wissen dieses anfangs Problem ist immer eindeutig global lösbar und diese
eindeutige globale Lösung OJ nehmen an damit habe ich dort fest damit die Lösungen des Elemente von allen er und von dem zeigen wir jetzt die erzeugen und sind in der und also meine Behauptung es dann ist die Menge U 1 O 2 bis O T eine Basis von zwar das muss ich jetzt natürlich noch begründen erzählen kann hin viel auch also müssen wir zeigen die Dinge sind wir unabhängig und erzeugen L warum wir an was muss man wohl ganz zu Fuß und ganz per Definition in sich dies gerade her so dass ja Kombination mit diesen skalaren Lander J O J gleich 0 ist im Sinn des Vektorraumes C 1 also gleich der 0 Funktion wir müssen wir jetzt am Rande eines diesen alle 0 es machen will das ist einfach was machen Sie setzen einfach T 0 1 da wenn Sie die Funktion ist die neue Funktion also ist an dieser Stelle 0 setzen sie dem 0 1 dann ist die Summe gleich 1 bis D einander J O J von 0 gleich 0 die OJ waren aber gerade so gewählt das OJ von T 0 die Einheitsvektoren sind in diesem Sinne unabhängig aber wenn er sich Milenia Kombination die der Einheitsvektor ab dem 0 ist dann sind die vor Faktoren 1 0 also sind die Funktionen ich und Fehlfunktionen ja unabhängig zu sein reicht es jene Stelle Sarah der schwierigere Teil auch nicht unendlich schwierig aber der etwas schwieriger ist zu zeigen wenn ich mit den Aufgaben von nur 1 bis ID an QC dann kommt ganz erbost also den erzeugen was muss ich tun ich muss mirgen Unruhen erlernen und muss das aus dem OJ kombinieren können wer man On es damals unterstellte 0 irgendwie hat und den kann ich aus den DJ kombinieren also existieren Lander 1 bislang 3 D uns ärmer so das wovon von 4 0 sie schreiben lässt als Summe 1 bis D Elamer je und einfach die Koordinaten von den legt an so mit den baue ich mir jetzt also für geeignete (klammer auf wird aus den Bau ich mir jetzt aus dem New York meine Funktion zusammen also ich definieren wir eine Funktion V die genau diesen Jahr Kombination der überdauern J entspricht also so Lander J 100 das Funktionen L das weiß ja ich hab schon gezeigt das allen Vektorraum ist Jelenia Kombination von Elementen Eliten L also ist das faule Lösung ich weiß also mal Frau strich von ist von TV auf was ist denn da anfangs wird von V was ist auf unter 0 nein es sieht man so ist genau gemacht Frau von den 0 ist die Summe Lander J O J von 10 0 wo J von T 0 ist nach Nachkonstruktion er und die Lande Yards man so gewählt dass lange lange je hat die Summe der 3. genau wovon so was haben wir jetzt also es geht strich =ist gleich Arrow mit UV unter 0 so 0 und es gilt V strich SAV mit Mitfahrer auf unter 0 ist Phontaine und das Problem ist aber eindeutig lösbar also es vor sie homogene Problem ist eindeutig lösbar nach Satz 7 3 also gleich Frau gleich Summe J gleich 1 bis die Lander J gut also von sehr beliebig vorgegebene zu in El Minja Kombination der oder kriegen tatsächlichen die dimensionalen hallo und auch das sollte sie wieder in einem gleichen Systeme wer der Lösungsraum eines homogen ein Systems sich meine so Frauenzimmern unterliegt Raum unter das passiert stehen auch gut der man erst mal an der Stelle ein und in 10 Minuten weiter soll ich würde gern im 2. Teil einsteigen und 7. eigentlich dann aufgehört haben der gezeigt immerhin homogen das lineare System von Ivan tialgleichung hat dann ist die Menge aller Lösungen immer ein Vektorraum ein und der Vektorraum aller stetig differenzierbaren Funktionen und wenn man den der der Raum hat ist immer natürlich manche aussieht Basen davon an und solche Basen dieses Lösungsraum geheißen der Theorie von Differenzialgleichung aus irgendeinem Grund besonders und deswegen kann wenn ich den Begriff einführen also dass die Definition 7 10 aber es deckt ist wie gesagt nichts anderes als der schauen uns Basen von diesem Lösungsraum an das heißt wir haben wieder homogen ist im Jahr aus inhomogen ist System von in ihren Differentialgleichungen auf dem Intervall G das heißt wir haben der größte vom System des aus ändern wird Matrix wertige Koeffizienten
Funktionen von ihnen erhoffte Kreuz des die soll wie schon die ganze Zeit stetig sein damit wir Lösungen eindeutige Lösung haben und dann schauen wir uns an den Lösungsraum des zugehörigen homogen Systems also als wieder allen die Menge aller C 1 Funktionen auf wie bewährten Mrd so dass von gleich von TU von The als die Lösung die Menge aller Lösungen aber gerade gesehen das Essen und der Vektorraum der Dimension des und wenn man jetzt ne Basis davon hat dann nennt man die ein sogenanntes fundamental ist System der homogenen Gleichung das ist jetzt nun neuer Begriff wichtig ist dass sie ihn Kleister passiert gar nicht viel Neues und fundamentales dem Savanne Basis zum Lösungsraum und wenn man seine Basis hat dann schreibt man die üblicherweise und das ist vielleicht auch ein bisschen gewöhnungsbedürftig wir haben danach Bahnlinien Algebra auch oft aber nicht so exzessiv wie jemand schreit diese Basis gern als Spalten einer Matrix war das noch bei Algebra gern um zu überprüfen ob das denn wirklich die Basis ist nur Schwarze die Spalten der Matrix und guckte die Determinante nicht 0 und das ist hier sehr sehr zielführend und so und wenn man sich den fundamentalen Matrix also eine Funktion von Ihnen in die des Kreuz den Matrizen die stetig differenzierbar ist so dass deren Spalten dich also nur z ist jetzt für jedes Tier Matrix und in die Matrix so ist das jede Spalte von Z von T für den Zeitpunkt t nur ist und diese Spalten ein fundamentales ist dem bilden also das die Spalten von Z ein fundamentales ist den bilden dann nennt man das Z auch gern mal eine fundamentale macht als ein fundamentales ist System bilden so heißt das Z fundamental Matrix also wenn ich jetzt im folgenden sage sei Zettel fundamental Matrix man sowohl System dann heißt das dass es eine Funktion von Ihnen die Matrizen so dass die Spalten und fundamental System sind also dass die Spalten Ninja unabhängig sind und eine Basis bilden von unserm Lösungsformel war damals so fundamental Matrix hat dann ist mit der natürlich das homogene Problem komplett gelöst weil man die Wunde mit damals 6 hat dann sind die Spalten der Basis von allen 7 Basis von Erlangen haben sind wie auch ganz also der heilige Gral der Suche nach Lösungen von diesem Problem hier ist finde eine fundamental Matrix und das wie gesagt es insofern der Heilige Gral ist das tatsächlich ein im Allgemeinen zu ambitioniertes Projekt ist also wenn das von T hinreichend fies ist dann gibt es natürlich im eine fundamental Matrix weil die Lösungsmenge Seemann Vektorraum und der Wettermann meine Basis aber man kann sie halt unter Umständen nicht explizit hinschreiben der gleiche Effekt den sie schon kennen von Stammfunktion gibt für Gedichte die Funktion man kann sehr gut umständliche kritisiert so warum ist es so praktisch diese Basis nicht als Menge der Familie von Vektoren dastehen zu lassen sondern in seinem Matrix zu sperren da gibt es einige Antworten dafür eine kann ich hier schon bilden man kann wunderbar mit diesem fundamental Matrizenrechnung also sagen immer wir haben so ne fundamental Matrix Z seine fundamentale Matrix von unserem homogen ist es System also fundamental Matrix von selbst Landstrich von The gleich a von TY von Ziel dann kann ich jetzt mit fundamental Matrix bedeutet ja insbesondere dass die Funktion stetig differenzierbar ist das heißt jede ihre Einträge stetig differenzierbar das heißt ich kann das jetzt mal differenzieren und man stellt man fest ist groß selbst erfüllt selbst im Prinzip die gleiche Gleichung was ist den Großzelten schreiben Sie es mein Spalten und groß Z wenn beide Spalten hoffentlich relativ und wie tief Z 1 bis Z D das also 1 bis Z wie wenn ich bei von Konzert die Ableitung von z ist die spaltenweise Ableitung z ein Strich von CEZ ,komma von bis Z Strich Phontäne jetzt müssen wir die Spalten von Z also binnen fundamental System das heißt die sind alle Lösungen das heißt hier steht von T Z 1 von vielen von vielen C 2 von C bis a von sind der Phontäne wir müssen die Spalten von Z strich und es war so bisschen mal mit Matrix umrechnen immerhin dass wir sozusagen der naiv machen würde gern ist es von t ausklammern weil das ist ja sowas Gala vorziehen es ist Mädchen Skala aber das schön ist es geht genauso also hier steht jeweils Matrix Malwerkzeuge die weißen Vektoren wenn sie mal das auswendig denn sie fest dass es nix anderes als wenn sie a von t multipliziert mit der Matrix Z 1 von 10 setzt bei Phontänen bis Z wie folgt durch die ganzen wird es unübersichtlich ausweislich geht es die 1. Spalte als wenn sie Matrix a mal b rechnen die 1. Spalte von der Mark zum Produkt ist die Matrix an die 1. Spalte von der Matrix in die 2. Spalte von Produkt ist die Matrix einmal die 2. Spalte von B und so weit kommt das raus so oder so sehen nicht es wieder Z also nicht geht von T selbst fertig also man kann sozusagen die Eigenschaft dass der fundamental Matrix ist ist das Z entsprechend Matrix wertiges homogen das Problem löst Z Striches und
so das wissen die fundamental Matrix und wie gesagt wenn man die hat es mit dem homogen Problem fertig wir hatten vorher beim eindimensionalen dass beim Ball von Skandalen Gleichungen gesehen immer das Problem der Problem komplett im Griff hat dann hat man zumindest mit deren Einsatz immer das inhomogene Problem angehen kann dann können wir versuchen die Variation der konstanten Formel anzuwerfen selber gleichmachen aber vorher will ich noch zeigen dass ganz unabhängig davon die Struktur die wir vorhin gesehen hatten die Lösung des im mobilen Problem ist eine spezielle Lösung +plus als eine Lösung sowie des Problems in eine spezielle Lösung bloß alle Lösung des Kurdenproblems diese Struktur die Waffen in der gleichen System kennt das dir auch erhalten bleibt das kommt als Satz 7 12 also es geht um diesen diese Darstellung von Lösung des Immobilienproblem ist als partikulär Lösung plus eine Lösung des homogen ist na also das ist noch keine Lösungsformel für inhomogen lineare Differenzialgleichung aber was wir hier im Prinzip jetzt zeigen ist Mann für lineare Algebra übersetzt die Lösung von linearen Gleichungssystemen nicht um in Immobilien ein System auf Raum also ist ein verschobener weg unterwegs doch und das kommt ja auch aus die Losung von dem inhomogen die anderen sagen es einem eine partikuläre Lösung verschoben oder Vektorraum und unter Vektorraumes zugewiesene schon homogen ist also wir haben jetzt hier und in das System auf dem Intervall II das 1. brauchen jetzt Arbil also seine Funktion von innerhalb des Kreuz des P ist eine Funktion von Wien nach des und wir sind bei bestätigt wenn die beide steht es Wissen aus dem 7 3 jedes zugehörige Anfangswertproblem hatten eindeutige globale Lösung insbesondere gibt zudem groß Großarler Lösungsraum unterzogen fundamental System nimm uns irgendein sehr also seit von ihm nach des Kreuz des in fundamental Matrix von unserem Promo gehen Problem also y Strich ist meine Zählern oder Krieges die ganz andere Frage aber es gibt sie immer seine hier und L sei wie oben die Menge der Lösungen das von morgens ist ne ist Elsa jetzt jede Lösung des umgehen Systems also die Menge aller in C 1 so dass y strich gleich a y +plus bx also das ist die Lösung von der Lösung die Lösungsmenge des Geologen Systems die wollen wir bestehen insofern damit wir das nicht mit dem 11 von vorhin durcheinanderbringen leichter mal L in dran also die Lösung des inhomogen ist das mehr Blödsinn 1 8 er war er liess er sorgt also LSL genauso wie vorhin und jetzt brauchen wir eine partikuläre Lösung wie üblich eine muss man irgendwo her haben ob wir von Ina Std der partikulär Lösung also das sei eine Lösung von unserem inhomogen Problem das gerade nicht darstellt also von der Landstrich von T gleich A y von T +plus will von Chili für Tee aus viel und ja das reicht schon ja das meine partikulär Lösung wir vorne zur also viele Voraussetzung den wesentlichen heißen alles so wie es jetzt gerade letzte halbe Stunde gemacht haben was und sieht interessiert ist der Raum ist die Menge aller Lösung des inhomogen Problems also jetzt die Lösungsmenge bis übermorgen Problem ist also die Menge aller den C 1 so das strich gleich arm +plus b und die Behauptung ist jetzt das Geld geht genauso bei linearen Gleichungssystemen das heißt diese Menge der Uhr die der Erlösung gehen Systems können Sie schreiben als unsere partikulär Lösung +plus alle Lösungen V wobei VSS über den ja ein System die Lösung des immer gehen vor allem Lösungs Immobilienproblem sie partikulär Lösung bloß eine Lösung des Drogenproblems und das kann man auch anders schreiben das ist jetzt verwenden wir nur wie das L aussieht eine Lösung des Problems ist kriegen Sie als linear Kombination der Spalten von dem fundamentalen Matrix also als P +plus 10 mal C vorbeiziehenden Vektoren dann hätten ist die Aussage von dem Salz also wann immer man ihn morgen das ist dem hart und hat eine partikuläre Lösungen alle homogen dann kann man die beiden ja gleich System die allgemeine Lösung des inhomogen zusammen so für den Beweis müssen wir die Gleichheit von 3 nennen zeigen immer mal sozusagen wenig los also ich zeige Ihnen die Mängel sind der enthalten die Menge sind enthalten die in den Hallen dann sowohl durch also im 1. Schritt seien über die Menge der morgen Lösung ist der Teilmenge von dieser Menge OP +plus V mit V aus L das der 1. Schritt ist die 1. Inklusion also hier wir zeigen während 1 zu 8 neben uns also eine inhomogene Lösung her und müssen zeigen wie es von der Form spezielle Lösung +plus homogen und es macht man genau das gleiche die beiden Jahren seinen System können Sie den Beweis direkt aus danach aus der L 1 abfinden sie setzte VU -minus die spezielle Lösung und zeigen dass es Lösung doch homogen Systems hallo ich es gehe für des Pharao Frau Striche Schlussstrich -minus ob strich jetzt müssen wir ist nur so Sohnes dass in mobilen System ist also so strich gleich au +plus ist hier drin das okay das ist ne partikulär Lösung müsse Lösung des homogen inhomogen Systems also SOP strich gleich au +plus b a u p +plus b Nils sieht man das Bielefeld weg das kann so vorziehen is a mal -minus es einmal vor also ist Fahrer aus L und so wo ist partikulär Lösung +plus V mit fast also dann ist so geschrieben als partikulär Lösung Flussufer VSL das heißt dass so das ist der 1. Schritt als der genommen hier mit einem engen Beziehung also 2. Schritt ist wir zeigen die Mängel der affinen Raum sozusagen partikulär Lösung +plus alle V aus L ist eine Teilmenge von partikulär Lösung +plus Z Mayzek sie mit C aus er was da dahinter steckt ist dass man jedes VML schreiben kann als sonst hätten als sie warum also wir neben unseren Faust Elia also ne Lösung des homogen Problems Lösung Sommer morgigen Problems
es aus den Vektoren der fundamental Systems ja kombinierbar und das ist genau die Definition als fundamental System fundamental Systems nehmen sie ist mit Basis von L gespalten von Zeit also Z 1 bis Z wie 10. fundamental System Wahlzettel in der fundamental Matrix ist also ,komma dass Frau schreiben als eine Summe wird gleich 1 ist die irgendwelche Zahlen Zielort mal die Funktion z ja mit geeigneten Zielort aus A also mit geeigneten C 1 bis C D reale Zahl und wenn man jetzt genau anguckt was da steht dann ist das eine lineare Kombination der Spalten von Z und nichts anderes tut man wenn man die Matrix Z mit dem Vektor c multipliziert wenn ist Matrix Produkt sehr weil sie ausrechnen dann ist das genau CD C 1 mal die 1. Spalte von C +plus sie zweimal 2. Spalte von C +plus 3 zu nur damit sieht man meinen dass in vll haben wenn sie das Schreiben als Denkmal Mahlzähne CSR des das heißt jede Funktion dieser Form lässt sich in der vom so 3. um den Kreis Schluss zu schließen müssen wir noch zeigen die Menge alle Funktionen die Sie schreiben lassen muss man jetzt hier muss es auf die Reihenfolge aufpassen also die Menge eine Funktion die Sie schreiben lassen als partikulär Lösung +plus z mal dem Vektor c das Musizieren Z Maizière nichts jemals derzeit weil Matrizen muss man der bekanntlich aufpassen wo man die modifiziert also diese Menge hier dies wiederum enthalten in der Menge alle Lösungen des modernen Problems ja das ist jetzt einfach sozusagen nach rechnen müssen hat zeigen wann immer wir so ne Funktion haben willst die das immer gerne Problem also 2 von der Form P +plus z mal sehen für einen Zettel aus in die und jetzt müssen wir zeigen dass es der Lösungsmengen und dem Problem das kann aber einfach Nachricht also was ist damit strich wo strich ist dann Genialität Ableitung OP strich +plus c ist 3 muss meinen 1. CCS wir gerade schon das ist OP strich +plus Summe laut gleich 1 bis D C J ZJ Striche zieht man genau was passiert wenn man das komische Dinge ableitet OP strich kennen wir schon OP löst das immer wenn Problem das es ob hilflos Bild da hinten keine lineare täte Ableitung nutzen ist Summe J gleich 1 bis D C J seit J strich das is a u P +plus b +plus Summe J gleich 1 bis D C J mal ZJ nur weil die ZJ sind fundamental System das heißt alles Lösung des Drogenproblems sehr Striches am erzählt ja so das heißt das kann man eben das rausziehen gibt mal OP +plus Summe gleich 1 bis B C jz +plus B was hier steht ist so P +plus 10 mal 10 das ist also ist das ohne Lösung von in und den Problemen und wir haben uns den 3. Teil auch gezeigt also geht hier tatsächlich die gleiche Struktur bei der gleichen System sie kriegen die Lösung des inhomogen Problem ist und die eigene lösen vom Imogena Modem Problems indem sie eine partikuläre Lösung haben und eine Lösung des homogen ist so und das heißt für den weiteren Verlauf wir unser Problem löse das eine mobile Systeme 2 Teilprobleme zerlegt das 1. Buch in eine fundamentale Matrix der und zweitens wo kriegen wir partikulär löst das sind die 2 Dinge wir betrachten müssen und ja schon gesagt Na sein Ende rauskommt wir fundamental Matrix im Allgemeinen konkret hinschreiben ist nicht wenn man die fundamental Metrics Matrix vorgeht dann kriegt man die partikulär Lesungen Variation der Konstanten deswegen bin ich der 1. Punkt fundamental Matrix Moment zurückstellen die gesagt sagte dann das nächste der bilden damit beschäftigen in wenigen Spezialfällen meinen fundamental Matrizen trotzdem drankommen aber wir gehen jetzt mal immer davon aus dass die irgendwie gegeben ist in ein Orakel verrät die uns und kümmern uns mal um den 2. Punkt die partikulär Lösung bevor ich das aber macht kommt noch 1 ne kleine Hilfe sozusagen um dem Orakel ein bisschen auf die Finger zu schauen wenn das Orakel uns eine fundamentale Matrix anbietet und sagt dass es fundamental Matrix und wir sind ein bisschen skeptischen und das überprüfen dann ist das ja das ist Google aber überprüfe sei nicht einfach was müssen Sie tun müssen zeigen die in die Spalten von der Matrix sind Lösung mal differenzieren und einsetzt und gucken ob's stimmt da muss man doch nachdenken und dann müssen sie das 2. checken ob die Spalten ja unabhängig sind weil Berlin ja aber sind sieht eine fundamental Masic sondern im welche Lösung aber es muss demnächst die Frage ist wie sieht man die Sonne würde Matrix an und die Spalten ja unabhängig sind oder nicht 8. und es geht nicht darum zu sehen ob die Spalten an einer Stelle in die unabhängig sind von es geht darum ob die Spalten als Funktionen in der und der ist Frauen in ihre Unabhängigkeit im Raum bestätigte wenn sie zu das das heißt wenn Stelle von zufällig mal in die unabhängig sind dort Station für die das heißt aber nicht dass es Funktionen ja und Text und für diese Frage gibt es ein wunderbares Lehmann geradezu magisches schlimmer weil es nämlich sagt Sonne fundamentalen Matrix auch wenn der Unabhängigkeit zu prüfen ist wirklich super einfach und das liegt eben daran dass wir fundamental Matrix ist dass das alles Lösung von Differentialgleichungen sind das ist
eine Eigenschaft die nicht für beliebige Matrizen Matrix wertige Funktion also was sagt dieses Lemma wir sind in der wir denn jetzt inhomogen Fahrwasser gekommen zum es fundamental System also wir leben auf dem Intervall
Größe des und wer im Matrix A Matrix wertige Funktion von Koeffizienten die solch steht ist gleichen Voraussetzungen wie heute einsetzen so und es gibt uns das Orakel der angebliche fundamentaler Matrix mit der Spalten das heißt es gibt uns die Lösung oder irgendwo her haben Sie den Lösungen vom homogen Probleme also U 1 bis U Design-Lösungen vom homogen Problem y Striches am und die Hoffnung ist jetzt natürlich das ist fundamental System also sprich diesen der unabhängig wie gesagt mir ohne den im Sinne von Funktion und zwar und dann gibt es die folgenden Äquivalenzen erstens dass das wahrhaben wollen die Dinge sind die mir unabhängig also U 1 bis U T ja unabhängig das heißt die Matrix Z mit den Spalten U 1 bis U D ist mit fundamentalen es dass das was man haben will und das heißt sie sind eben länger unabhängig als Funktionen von ehe er auf auf die und jetzt sagt dieser Satz das ist genau dann der Fall wenn die Dinge unabhängig sind in jedem Punkt dass es vielleicht noch nicht so was also wenn für alle C aus die gilt 1 von C so der von T sind
linear unabhängig jetzt als Vektoren der des und wiederum das ist äquivalent dazu es existierten C aus wie so dass die Dinge ja unabhängig sind und das ist die Magie das ist so muss geht hier Lämmer alle für Verein der ist ist eine selten Fälle Allquantor und Existenz von oder sprich und wenn sie prüfen wollen ob die würden Spalten Ninja oder wenig sind dann reicht das wenn Sie an einer einzigen Stellen oder wenn es immer so Fitch üblicherweise mit normalen startete aber egal so könnte unter 0 einsetzen so dass die Funktion zum Anfassen gucken sich das Ergebnis aber wenn das nicht mir oder wenn so einer Stelle dann ist es überall in unabhängig und dann man von damals und da steht ganz massiv drin das allen da als du 1 bist oder alle die gleiche Gleichung lösen weil es es überhaupt kein Problem eine Matrix wenige Funktionen zu schreiben den Spalten malen ja abhängig immer Linie unabhängig sind wir also meine Kids und was hingelegt aber nehmen Sie Z von T es RoboCup .punkt Cosinus von The ihr auch die C-Quadrat und legt klar das ist eine wunderbare Matrix werde Funktion und ich kann ihn so nur durch Einkommen dieser Matrix sagen das ist niemals dass die Spaltung die Spalte die die Lösung derselben Differenzial galt derselben Linie anderen sagen sind unmöglich warum weil stellen T geht dann in die Spalten abhängig sind und andere stellen die Spaltung der abhängt möchte gleich 0 einsetzt dann haben sie die Matrix 1 1 0 0 gespalten sind abhängig und wenn Sie die gleich 15 einsetzen Wege sie ausrechnen aber also sehr unwahrscheinlich zumindest dass das Handy oder wenn er abhängig älter also diese Matrix hier wechselt von den ja abhängt Spalt und der Satz hier sagt eine Matrix den Spalten Lösungen von so Problem sind kann das nicht tun wir das gesehen diese der sagt wenn Sonne Matrix die Auslosung vom besteht an einer Stelle unabhängig ist dann immer und dann noch als Funktion ja Z von uns nicht 0 Kosovos vom Tennis Kosovos von und S 1 Ohren und es 1 nur Quadrat ist 0 und nun hoch an den sollten vor sorry ja also nur als Beispiel Arbeit was sie in den weiß jetzt muss massiv eingehen dass die Spalten Lösung von den Dingen sind bald würde beliebiges zählt ist das kennt war aber es ist sogar praktisch weil man die wir Unabhängigkeit Ehemann einer einzustellen und Hessens ja was wir tun müssen zur geschlossen haben können zur Schluss machen das bietet sich in dem Fall an weil insbesondere Implikationen von B nach C
genießt nicht auf wir also mal an auf die ist der schwerste Teil witzigerweise wenn in unseren Sendungen er was müssen wir tun wir wissen unsere Funktion sind
als Funktion in der unabhängig der müssen wir zeigen dann sind sie in jedem Punkte mehr unabhängig und das ist die Sterne dem allgemeinen schiefgeht wenn sie an dem Beispiel bei diesen als Funktion linear abhängig er unabhängig hier Kursus TOT Antiqua Drahtesels Funktion Margarine unabhängig aber nicht in jedem Fall aber nicht in jedem Punkt war also hier ist jetzt die Stelle Rosen allgemein schiefgeht hier muss jetzt eingehen dass das alles Lösung sich so wir wollen zeigen dass J von CD für alle 10 ja unabhängig ist eine muss also dem Theater Unternehmensgröße 10. an der einst das Land der DDR so das so Marriott gleich 1 ist die Lander J wo J von 10 0 gleich nutzen nennen Sie mir zeigen dass alle an der Uni zart wir definieren uns neue Funktionen O durch genau diese ja Kombinationen Lander J und und schauen uns an was eine Gleichung gelöst 1. was ist wenn das ableiten damals sich machen und Rom rechnen brauchen aber nicht was steht hier steht ja Kombination von Lösungen unseres homogen Problems Superpositionsprinzip dass es wieder Lösung und strich ist aber das ist das Superpositionsprinzip und was ist mit dem anfangs wert was es mit also das heißt anfangs werde können Anruf unter 0 ausrechnen wovon von den 0 so was genau gemacht ist Somalia gleich 1 ist die Lander J J von 10 0 und das ist wohl unsere Funktion löst also strich und Stelle 0 bis 0 das ist eindeutig lösbares Anfangswertproblem von dem wir eine Lösung wunderbar erwarten können war das anfangs strich gleich
Phontenoy gleich 0 ist eindeutig lösbar nicht gleich 0 1 also ist so konstant 0 daraus folgt jetzt die Summe J gleich 1 ist die Lander J J ist ich hab jetzt mal Klarheit dahinter ist 0 als Funktion wissen wollen dem Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktion die OJ sind aber nach Voraussetzung denn ja unabhängig in dem Raum also Islam war 1 gleich lang da 2 gleich landet die gleichen nur also gesehen und so eine Stelle annehmen dann sind die Vektoren OJ von der von dieser Stelle in unabhängig den man nicht immer die kombinierte den Rektor kombiniere kommt nur die wohl er nur die nur Kombination so das war noch viel B nach C funktioniert das für alle gilt dies auch ein als einzige Problem wäre wenn es ihn nicht mehr in das ihr wäre ja dann werden 80 falsch aber es ja bei uns immer ich dass Sie dabei waren bin hat sie tot die spannende Frage ist sie nach A und da denkt man Mathia fast nix und trotzdem geht erstaunlich gut gewesen dass es an einer Stelle liegen ja unabhängig ist also wenn der Sonne Stelle hier seither nur aus Visor dass die Vektoren 1 von 10 0 so des von 10 0 ja unabhängig sehen jetzt wollen wir zeigen dann sind auch die Funktion U 1 bis U unabhängig also kombinieren aus den 0 Rektor in den Mund nahm der einst das Land das sie aus er so das die Summe J gleich 1 bis die Lander J O J gleich 0 ist als Funktionen Na ja wenn die Funktion und ist eine sehr Angestellte 0 0 also ist nun gleich Somalia gleich 1 bis die Lander J wo von 10 0 die DOJ von den Olsen aber länger unabhängig also 1 gleich lang 2 gleich landet Namen funktioniert über die tatsächlich also und fundamentaler als ein wenig Vormittag ein ein fundamental Systems Kandidat meine Matrix den Spalten Lösung sind ist genau dann der fundamental Matrix wenn sie an einer Stelle ja ohnehin gesperrt und genau dann hat sie in allen und genau das nicht seinen Lohn deutsche kann das so weit für heute damit noch und vernetzt uns langsamer eingepferchte müssen noch die Variation der konstanten machen also die ,komma Funde fundamental System für partikulär Lösung und dann vor allem in den größeren Aufwand für welche Formen von Differentialgleichungen oder von den ja gewann sein können fundamental Systeme bestimmen das ist Thema der nächsten oder übernächsten Vorlesung dann schon machen Weihnachtspause heute erst mal vielen Dank für die Aufmerksamkeit und das mit
Physikerin
Physiker
Zusammenhang <Mathematik>
Momentenproblem
Klasse <Mathematik>
Eindeutigkeit
Aussage <Mathematik>
Mögliche Welt
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Stetige Funktion
Gleichung
Differentialgleichung
Lineare Differentialgleichung
Integral
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Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
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Globale Lösung
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Funktion <Mathematik>
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Lineare gewöhnliche Differentialgleichung
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Integral
Lineare Differentialgleichung
Konstante
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Rangstatistik
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Neun
Summand
Dimension 6
Gleichung
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Integral
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Differentialgleichungssystem
Mathematiker
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Gruppenoperation
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Extrempunkt
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Konstante
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Lag
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Ableitung <Topologie>
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Summe
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GEOLOG
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Menge
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Funktion <Mathematik>
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Funktion <Mathematik>
Summe
Matrizenmultiplikation
Homogenes Polynom
Vektorrechnung
Differenzierbare Funktion
Differentialgleichungssystem
Vorlesung/Konferenz
Vektorraum
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 9: Lineare Differentialgleichungen
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 09
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30773
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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