Merken

Vorlesung 8: Reduktion der Ordnung

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
so oder einmal ein herzliches Willkommen zur heutigen Vorlesung die dank dem zugegebenermaßen etwas hektischen Schluss der letzten Vorlesung ganz frisch mit dem neuen Kapitel anfängt ich hoffe Sie haben auch alle die entsprechende Skript Verlängerung gefunden letzten Donnerstag hab ich's hochgeladen sollte also da sein dass so was da ist was bis jetzt das wird uns hoffentlich so bis Weihnachten reichen und nach Weihnachten gibt dann den nächsten haben was ich machen will ist mir ein altes Versprechen einlösen nämlich die Reduktion der Ordnung von Differentialgleichungen wir haben jetzt die ganzen letzten Wochen unsere Existenz und Eindeutigkeit von Lösung unterhalten haben dabei die ganze Zeit nur 1. Ordnung Gleichung angeschaut also Gleichung der Form und Ableitung von YSL von TY das ist insbesondere wenn man es aus der Physik kommt unbefriedigend weil die normale gleiche nämlich einiges 2. Ordnung und ich hatte gesagt und es muss Moment nicht kümmern weil werden wieder ein ganz allgemeines Konzept kennen lernen wie man eine Gleichung Inter Ordnung reduzieren kann auf ein System 1. Ordnung das will ich ihn heute zeigen also ich will mich beschäftigen in dem Abschnitt 6 mit expliziten Differenzialgleichungen höherer Ordnung und das Ganze läuft auch unter dem Schlagwort Reduktion der Ordnung weil die die Aufgabe dieses Kapitels ist solche Gleichung höherer Ordnung zu reduzieren auf Gleichung 1. und was dabei passiert ist das uns das Gesetz vom Erhalt der Komplexität erwischt wir vereinfachen die Sache insofern als wir werden dir du Ordnung reduzieren irgendwo müssen wir dafür bezahlen was wir dafür bezahlen müssen dass wir kriegen Ebenen System bekriegen der gleiche man kann also eine gleichen Ende Ordnung eintauschen gegen in Gleichung 1. Ordnung was aber in dem Fall sehr hilfreich ist weil eben die Lösungs Theorievergleich 1. Ordnung sehr schön unübersichtlich ist also die Ziel eines ganzen Abschnitts es mit Option des DLR Unterordnung auch wenn es dem 1. Ordnung wenn in Form eines ist natürlich nix zu tun aber ende der 10 Folgen also immer mindestens 2 sein so was schauen wir uns also an wir schauen uns an eine explizite TGL in Ordnung normal die allgemeine Form in damit so lange mit 1. Ordnungs Gleichung gearbeitet das vielleicht die allgemeine Form etwas auch von solchen enden ausgleichen was in Vergessenheit geraten ist explizit bedeutet wir können die gleichen so umstellen das längst die höchste Ordnung der Ableitung steht die Ente y =ist gleich irdene Funktion von allen restlichen Ableitungen und von CD dies im Einflussgebiet des schlage also eine Funktion f schlagen die von t abhängt von y von y Strich von y 2 zweistellig bis zu Ende des 1. Ableitung von ist .punkt das ist die Differenzialgleichung die wir uns anschauen wobei das es lange jetzt ne Funktion die auf die definierte ist nach RDG und dass die 1. 2 Menge jetzt müssen wir kucken aufweist für eine Riesenmenge ist es es Schlange definiert zunächst mal die Variable Tees aus wie und dazu noch 1 2 3 4 n mal ein Argument der ist von der Form y von CD ich bin auch hier vielleicht den allgemeinen Fall behandeln das heißt meine Funktion y die gesuchte Funktion selbst davon weg dass sein also dass es lange Gegner des das darf durchaus Victoria die gleichen sein also das darf sogar System Ente Ordnung kann man ja auch noch so Zielsystem in der Ordnung hat dann ist jeder diese Einträge jedes y sind ,komma selbst ein Vektoren r d wenn wir so in Vektoren die also aber den RWE auch so also werde Gleichung 1. Ordnung Ente Ableitung ist eine Funktion von den Dingern und diese Funktion ist definiert auf der Teilmenge von I kreuzt er des hoch in so das ist die Gleichung üblicherweise schaut man sich anfangs wer Probleme an also wenn man anfangs .punkt wird Probleme haben will braucht man zusätzlich Anfangswerte da hat mir ganz im einführenden
Motivations gebeten gesehen Faustregel scheint zu sein für jede Abbildung Sorge und ich habe auch ich ein anfangs wird ja das ist ne gute Faustregel machen Sie sich's immer darüber klar an der einfachst möglichen Differenzialgleichung nämlich der Frage ich suche Stammfunktion wir also das was mir Winzer Gleichung ist in der Ablehnung von y s 5 das lässt sich einfach durch aufwendige lösen aber jedes Mal wenn sie hoch integrieren das sehen Sie ein Integrations Konstante die sie wenn Sie eine Lösung wollen mit der Anfangswerte kompensieren muss das heißt wir brauchen wenn wenn Anfangswertproblem zu der Gleichung hier haben bei allen Ableitung Vorkommen in Bedingungen n Anfangswerte und in den Anfangswertproblem die wir hier glücklicherweise behandeln im Moment im sogenannten nennt noch große Problem Anfangswertproblem er realisiert man die dadurch dass man an einem Zeitpunkt 4 0 alle Ableitungen angeht bis zur Ordnung N minus 1 also J der Ableitung von y T 0 des y J und J geht von 0 1 bis ein -minus also eine Anfangsbedingung versetzt und selbst eine fesselt ,komma ein für Substanz ,komma und so weiter bis in das 1. und jede von den darf natürlich da sein also diese von diesen Vektoren YJ fordern wir nur dass der Vektor T Y 0 y 1 SYN -minus 1 der muss natürlich in unserem Definitionsbereich von es lange liegen also in die sonst kann das es lange damit nix anfangen so das ist also das Problem das wir jetzt anschauen wollen und wie sehr mir das immer angeschaut wenngleich 1 und wenn Sie sich wenn Sie jetzt noch mal im Skript zurückblättern werden Sie feststellen dass die Aufgabe dieses Problem zu lösen noch absolut nicht sinnvoll ist weil ich ihn gesehen aber mich definiert hat was die Lösung ist für System für Ordnung also von Vergleichung höherer Ordnung ansieht den Lösungsbegriff nachschlagen stellen sie festigte das gibt nur für Gleichung 1. Ordnung drin also dass wir hier noch nachbessern und erst mal definieren was heißt überhaupt eine Funktion des Lösung von sonder gleichen Ente aus und wenn sie sieht die Definition so aus wie gleich bei 1. Ordnung aus die gleichen Fallstricke wir können nicht erwarten dass die Lösungen immer global ist müssen also wieder uns darauf durch werden damit zufrieden sein denn ein kleines Zeitintervall J finden auf dem wir lösen können also eine Funktion von York nach LG wenn wir Lösungen von dieser Gleichung ich dann hier ist der neue Stern also von unserer Differenzialgleichung in der Ordnung falls es hingegen gelten 1. werden muss ist J das ist genau Welt 1. Ordnung nicht dem Teile der Wahl von Design es ist auch hier natürlich das Ganze ist Erweiterung der ist der Definition 1. Ordnung also den wir beim was von dort keine globale Lösung und wir kriegen die auch hier nicht kriegen dann müssen wir dafür sorgen dass unsere überhaupt in die Gleichung einsetzbar ist das ist ja auch die gleiche das gleiche Thema wie damals das heißt zum einen muss und so ausreichend oft differenzierbar sein und zum andern muss und so so sein dass man für jedes Tier aus J diesen Vektor dann es Schlange einsetzen als 1. brauchen wir dass das Mai differenzierbar ist auf mit werden DE und zweitens muss für jedes 10 J dieser diesen Vektor CEO von CD strich von fehlt und so weiter und 2 Strich von pflegt bis wenn wir das 1. Ableitung von Uran Ruandas der der muss in den liegen und das muss gehen für alle Fälle wird Na und schließlich jetzt aber sichergestellt dass unsere Lösung überhaupt in die gleichen eingesetzt werden kann und jetzt muss die gefährlichste gleich natürlich auch noch lösen also erfüllt die Stelle das der Lösungsbegriff der Gleichung es am Abend der feine Anfangswertproblem was brauchen wir noch zusätzlich damit das Anfangswertproblem gelöst wird zunächst mal kein das Anfangswertproblem nur gelöst
werden wenn es die Nullen denn je also großes T 0 J und zweitens wo er für die Anfangsbedingungen da drüben denn wenn ich mal 2 Sterne dann heißt Lösung das Anfangswertproblem S das gegeben ist durch Stern und zwar nicht der bis dahin keine große Überraschung dass es im Prinzip die gleiche Definition wie bei 1. Ordnung auch das muss man dabei geben in der Anfangszeit .punkt drin liegt das muss ausreicht oft differenzierbar sein es muss im Definitionsbereich von 11 lange bleiben und es muss mit und auch den letzte Zeile könnte man per Computer ist das Kapitel was was 210 wenn man tatsächlich erreichen kann dass obgleich ist dann nennt man die Lösung global sagt also ist diese Lücke gestopft wir haben jetzt auch unlösbar keitsbegriff für solche Gleichungen Ämter auf und dann ihn also jetzt zeigen was die Idee ist wie man so gleichen Ente Ordnung runter kocht auch ein System 1. Ordnung die Idee ist erstaunlich simpel aber trägt erstaunlich weit gerade das sind dadurch dass sie so simpel ist ist eben auf sehr sehr viel anwendbar sicher und sich ne neue Funktion V an die also auf definiert ist und jetzt nicht mehr denn er des Gegners Luz Long gelten in der DDR sondern jetzt kommt das was wir zahlen müssen das V geht in dem er die hoch n das ist die der Preis den wir für die Reduktion zahlen müssen wir kriegen der Gleichung und diese Funktion Frau besteht aus y und es allen seinen 1. Ableitung also den 1. N -minus 1 ableiten also Frau ist war es Frau ist ein Vektor er legte von Lektoren also die mal Einträge ich schreibt das ich schreibe extra nicht hoch die malen sollen auch den mal endlich meinen in der Nieren genial eigen was ist sich das gleiche aber sie sehen wo sich diesem Vektor vorzustellen als n auf genannter gestartet der Direktor ohne die 1. wii Variablen schreiben Sie das Y Reihen in den nächsten die Variablen schreiben Landstriche rein dann das y zweistellig und so weiter bis zu Ende des 1. Ablehnung von das ist die Funktion also bestehen y mit seinen Ableitungen bis zu Ehren das 1. übereinander einlegt und die Komponenten bitte diese Einteilung in engen und der Vektor der Länge des dass sich die Komponenten von Frauen Frau n am besten ist es wenn man sID 1. verstehen will was passiert man 7 Kopf des gleich 1 dann kriegen Sie genau mit was passiert kann man sich im Moment nicht und das geht das macht die Sache nur komplizierter weil dem Vektoren solange werde im Kopf immer die gleich 1 die es denn zu dem was passiert wenn sie dann merken dass anderes nur Notation der komplizierter aber nicht nicht konzeptionell also 7 12. ,komma und 2 steht es y n bis in das 1. Ableitung packen geht allen Vektor und was wir jetzt machen ist mir schauen wir sammeln neue Funktion vor auch was für ne Differenz vergleichen gefühlt die also weit über das Format A wir können das per ableiten bei zumindest wenn das y Lösung sein soll von unserem System muss das y n mal stetig differenzierbar seien wichtige nur die höchstens 1. drin also einmal noch frei also gewahrt mal vor strich er bleiben also Frau ableiten vorstellig das Ding leitet sich ab indem man einfach komponentenweise ableitet das heißt was da dann steht es in der 1. Komponente Y strich in der 2. y zweistellig und so weiter bis y n also bis zu enden aber fehlt so wenn wir sehen wollen was für die Fernseher Genfer Frauen ist dann müssen wir alle das wieder mit Fachausdrücken wir brauchen jetzt mit gleichen der noch Frau auftauchte keine zu uns das aber nicht so arg kompliziert weil was ist y strich y Strich ist die 2. Komponente von dem V dass das V 2 y zweistelliges die 3. Komponente von dem Frau O bis vor 3 y ,komma ist vor 4 und so weiter und so weiter dann kommen sie irgendwann hierzu N -minus 1. Ableitungen der vorletzten Stelle dass es vor ein und jetzt kommt jetzt kommt die Stunde der Wahrheit hier steht die Ente Ableitung von y die steht jetzt nicht mehr die keine Komponente von Frauen hier war ,komma so nicht so einfach durch und aber wissen die Ente aber nur von y denn soll lösen sich durch diesen Termin ersetzen also die in der Ableitung von y es Schlange von C und Apps leidet ,komma und so weiter man beachte das ist vor 1 V 2 3 vor 4 bis vorhin als ich dich einfach 11 lange von Tee und Frau Phontaine so was wirklich es hier Schutzmannes verschwunden nur decken sich den Berg besteht davor strich bis vor 2 Wochen war ich vor 1 und 11 und TV lange von TV das ist die Gleichung 1. Ordnung für Frau Differenzialgleichung 1. Ordnung für Frau mit vielen Gleichung 1. im System geworden das Pausen Vektor selbst wenn gleich 1 ist ist dass Frauen Vektor der Länge n in D 5 ist dann haben sie mit weckte der Länge 5 l aber es ist dem 1. Orden und das hier ist die rechte Seite dieses dem 1. Ordnung und in das zusammenpasst mit dem was wir bisher gemacht haben wenn ich das Ding jetzt hier 11. von TV auf wir von TV auf und ließ die Funktionen die das V schickt er auf dieser Welt so dass es 2 definiert das 1. definiert auf dem gleichen die widersetzt schlage etwa auch die gleiche Anzahl Variablen in dem Hause mir die ganzen y und y Strichs da versteckt es auch auf die definiert und geht jetzt aber nicht mehr nach die sondern geben ARD Woche was passiert mit den Anfangswerten bei der Aktion auch die übersetzte sich anfangs werde für Frau was ist Frau Phontaine 0 nehmen Sie Definition von Frau ist y bis y von 10 0 das ist nicht die schon hier stets der y von 0 y Strich von 10 0 und so weiter Deutschlands ,komma von dem 0 bis y n -minus 1. Ableitung von 4 0 und wie durch Magie fügt sich alles weil genau dieser weckte war es ja festgeschrieben wird für jedes J von 0 bis N minus 1 haben wir den Wert von den 4. Ableitung von jetzt an der Stelle sie 0 mit Y ja festgeschrieben was sie also ist die ist der Vektor y 0 y 1 y 2 SYN -minus 1 so anders sind sie auf der 11. Tafel stehen ist es ist System ein Anfangswertproblem für ein System 1. Ordnung genauso wie es die ganzen letzten Wochen behandelt haben die um die Gleichung dort die Anfangswerte dies von dem wir die Hoffnung haben es korrespondiert zu diesem Anfangswertproblem entsorgen heißt der Stern Stern Stern also dem mit dem auch noch in Namen wenn die Gleichung Dreieck und dann analog zu oben den Anfangswerten die Anfangswerte 2 Dreiecke und das ist natürlich man bisher nur so müssen von
10 gerechnet die Hoffnung dass jetzt die beiden Probleme sind in irgendeiner Weise im besten Falle Quellen zum Zimmern und genau das kommt raus es kommt raus das wann immer sie Lösung V von dem Problem hier haben wenn sich die 1. Kommunen gefunden vorher nehmen dann löst diese 1. Komponente das Problem und manchmal sind der Lösung vor dem Problem haben und Sie bitten diesen Vektor v mit dieser Lösung der löst das V das Problem diesen absolut 100 Prozent des welche Zahlen das ist der Straffer dabei ist der einzige Satz bewiesen abspielt weil da müssen alle Fragen also der einzige Satz bei dem wir was tun müssen wir müssen alle Fragen geklärt wenn die beiden Probleme wirklich so etwa Lenzen dann heißt das und das zu lösen kann ich das lösen oder umgekehrt und da geht es da oben für das darum alle lösens Theorie haben die wir haben können oder wollen kann man die dann alles hier hat übertragen also vielleicht Wissens Lobby hingeschrieben aber mit dem was ich gerade gesagt hat hoffentlich verständlich eine Menge eine Funktion y von in der ARD ist ne Lösung von unserm Anfangswertproblem Printer Ordnung das ganze Grün stehen genau daran wenn das Foul das wir gerade definiert haben also das Pharao das geht jetzt von ihm nach er die hoch n Lösung ist von das ist dem 1. Ordnung Dreieck doppelt der wobei die beiden Funktion eben so zusammenhängen also das V ist die der Rektor der Ypsilons mit sein ableitet an der Stelle schon gleichen Kommentar zum praktischen Umsetzung wenn man so mit gleichen hat und wie sie auf diese Weise lösen dann macht man denn diesen Ansatz man bestimmt diese Funktion V und rechnet wenn diese Lösung Fahrer aus und dann am Ende immer die Lösung vor hat was macht man dann was ein Mann wissen wir dass das y in dem man sich die 1. Komponente von dem Frau und das ist die Lösung alles was und drunter steht interessiert nicht wirklich war alles was du im Grunde steht ne Ableitung von y wenn man sie nicht verrechnet hatte also 1. gute checken Sie das auf diese Weise was lösen und Sie kriegen weckte raus und dann muss immer das die Ablehnung von dem sein dass die aber nur von den das Thema versehen und so weiter wenn das nicht der Fall ist dann lohnt sich ein Blick zurück 1. wer sich Erkenntnis 2. wesentliche Erkenntnis das da unten ist nicht wirklich interessante also wenn Sie rechnen und aus irgendeinem Grund brauchen Sie sie haben sie das vor 1 schon und Ionen soll alles fertig dann kann durch aufführen was einziges sind wusste dass es Volk aber möglicherweise wenn Sie sehen kommt man gar nicht drum rum alle auszurechnen weil irgendwie nicht die gesamte Information der Gleichung wenn Sie da oben sich die gleichen anschauen dann steckt die Info die entscheide Information also dass es lange in der letzten Komponente hier also erst wenn sie das VN haben also sie müssen sozial meinen wenn sie oben das y ausrechnen wollen sich einer ganz weckte durcharbeiten die darauf also üblicherweise kommt man nicht um uns ganz aus aber es grundsätzlich geht von der Lösung des Systems 1. Ordnung interessiert eigentlich nur die 1. komponiert so dass ein Kommentar dazu jetzt immer diesen Satz beweisen dass ist erstaunlich unkompliziert einfach weil die Idee der der Substitution oder dieser Transformation und es den 1. und so schön einfach ist die zieht das alles schnell durch müssen einfach jeweils den Lösungsbegriff nachweisen es gibt eine einfachere und eine schwierigere sich bisschen schwierigere Richtung waren mit der einfachen anders wir zeigen wenn y Erlösung vom der dergleichen in der Ordnung ist dann ist das so definierte Frauen die Gleichung Lösung der gleicht des Systems 1. Ordnung das heißt sie müssen nachweisen dass die Definition für Lösung von dem System 1. Ordnung geht er erfüllt ist also wissen dass man auf Voraussetzungen des Stern Bericht eines lösbar also sei y Lösungen von diesen Anfangswertproblem älter aus dann wissen wir nach Definition von Lösung das das Y auf den E n mal stetig differenzierbar zu steht der Tod wenn ich also diesen Vektor v bilden mir die ganze Zeit anschauen also YY strich y 2 Strich bis zu N -minus 1. Ableitung dann ist das Argument von vorhin ist denn jeder Komponente noch einmal differenzieren was sicherlich noch einmal differenzieren es immer noch C 1 von E mit Werten der Theorie das ist die 1. wichtige Voraussetzung dass v Lösung von unserm System sein kann musste ich differenziert was dann müssen wir klären das für jede Wahl für C wie der Vektor c und der Tibeter TV von C im Definitionsbereich von e liegt also wann immer wir uns sind sie aus ihrem Leben müssen wir uns anschauen was es mit dem Vektor TV von T der Museen der tionsbereich von 11 liegen sonst ist es aber auch keine Lösung aber TV von CSC y von Wild ,komma von CD und so weiter bis zu Ende des 1. Ableitung von y in der C und von denen wissen wir dass es in der Light weil unser Ziel ist und Lösung dieses System mit dieser Gleichung in Ordnung zu sein bedeutet unter anderem dass dieser Welt man die ja die Frage ist berechtigt ich hab den ganzen Satz mit ihr viel gesammelt York aufschreiben also ich ich ich fordere ich ich mache nur der Äquivalenz von Aussagen ich mach nur wenn das Ding auf lösbar Paar ist auch das auf die lösbar und wenn das Liebespaar ist das ist wenn ihr es ist auf nie gegeben ist und es hat keine globale Lösung dann schrecken sie I ein und wenn ich den Satz auf dem kleinen die er das ist ja nun wirklich Befragung Buchstaben also könne sei alles ein so Schreibers hat hier keiner bei ich diese Satz ist ja keine Aussage dass dieses System oder dass die Gleichung immer Lust was dann der Bach keine Lösbarkeit außer gemachten relativ Lösbarkeit Aussage wenn das eine Lust ist noch das nur und und O 2 auf gleichen dabei dass das wichtige Mehr Pansen einlösen können würden dabei ganz auf dem gleichen der beiden ist wie groß das Intervall es keiner ist wichtige ist das wichtiger den Satz ist bei mir bei diesem Übergang bei dieser Aktion hier geht nichts verlor weder die eine noch die andere Richtung immer das eine auf mit der Wahl lösen kann kriegt man auf genau dem gleichen Intervall die philosophes andere dass es entscheidend ist so was fehlt jetzt noch damit y e mit v Lösung ist es fehlt nur noch dass auch die gleichen aber das haben im Prinzip oben nachgerechnet das ist Frau strich von C so sind gekommen war bei mir gerechnet wenn y die Gleichung löst und der Frau so setzen dann recht da oben Frau strich gleich es genau so haben wir das f definiert das das passt also das Geld für alle Themen in ihn und die Anfangsbedingung stimmt auch aber auch oben nachgerechnet Frau Phontaine 0 ist der Vektor y 0 y 1 das y N -minus 1 also löst das V unser System 1. Ordnung gleich doppelt ein das im gewissen Sinne die einfachen Richtung des Beweises 1. war ihr Forum vom gerechnet haben gerade es kann das die Rechnung vorweisen aber es gibt auch noch in allen zentraler Punkt warum das n die einfache Richtung ist also zu einem echt mathematischen Grund und der es die Gewinnziel barkeit wird umgekehrt anfangen also von rechts nach
links dann gehen wir davon aus das wenn Lösung Frauen haben von unseren Dreiecks ist existieren also von dem System 1. Ordnung und wollen jetzt seien die 1. Komponente von dieser Funktion es ist an der Lösung von unserem Stern und also aber mal was uns interessiert ist die Funktion y die gegeben ist durch vereinzelt wie gesagt V 5 ist völlig uninteressant brauche nur vereint die Behauptung ist jetzt y ist Lösung von Stern Doppelsterne und was ist das bisschen komplizieren der Richtung ist es ich weiß von dem V das einmal stetig differenzierbar ist was ist Lösung von der dergleichen 1. Ordnung ich brauch aber dass das y n ,komma Differenzen ist dabei y soll Lösung von dergleichen in Ordnung sein also muss engmaschig jeweils über sein muss es also irgendwie aus dieser einen richtigen grenzübergreifende V eine Ende Mai steht die defensiver barkeit von y rauskitzeln das ist hier das einzige das bisschen Überlegung erfordern n also machen wir das das ganz schrittweise und vorsichtig an wissen unser Faro ist ich Differenzierung n damit ist zumindest meine wollen nmal aber so man am anfang bescheiden und so y was ja V 1 ist ein ich differenzierbar auf ihn mit Werten erst und wir können auch die Ableitung ausrechnen was ist Landstrich nahezu was vor 1 definiert ist wo ein Strich von vielen dass wir darüber gehen unsere Frau löst ja das Dreiecks ist denn was ist die Ableitung von v 1 der wir von vor 1 ist die 1. Zeile von Frau strich ist vor sein das passt ja auch nicht sie dieser hier das Ganze war so gebaut es der 2. hat eintragen im V genau die aber nur von ist aber jetzt kommen wegen rückwärts und stellen fest wir können ihren 1. zurückgreifen also und vor allem die vielleicht noch als ein Zwischenschritt wir wissen V 1 löst V löst diese Gleichung Blödsinn V 1 löst diese gleichen also Frau strich ist er von TV von The also ist 1 die 1. Komponente von 11 von The Verve und die 1. Komponente von 11 von TV von The Sie da oben ist verzweifelt so und jetzt sieht man schon wo wir unsere Differenzierbarkeit herkriegen y war ein richtig differenzierbare und die Ableitung des v 2 v2 Komponente von Frau also noch mal die 5 immer Kopie y schon zweimal differenzierbar wir also vo bisher immer noch stetig differenzierbar also es auch Frau Y strich differenzierbar also y schlicht was sie nix anderes als V 2 ist ist immer noch der nicht differenzierbar auf ihm mit werden endlich das heißt nur wenn die Ableitung Städte würden sie aber ist dann ist die Funktion selber zweimal stetig differenzierbar und wir können jetzt die 2. Ableitung ausrechnen die 2. Ableitung von y ist die Ableitung von y Strich ist die Ableitung von v 2 die aber von vor 2 unsere Gleichung löst die 2. Komponente von der rechten Seite 11 von TV von Dell und das ist vorbei eine Zinsen das geht weiter vor 3 ist wieder stetig differenzierbar süsses y 3 mal stetig differenzierbar und so weiter und so weiter nur das bis zur vorletzten Zeile durchziehen dann kriegen wir gleiches Argument Haus immer noch in C 1 wenn wir das diese Argument N -minus 1 mal machen dann kriegen wir die Enden das 1. Ableitung ist genau VN VM Frau ist die Differenz überall so dass die Enden des 1. Ableitung auch immer noch einmal stetig differenzierbar wenn die Enden des 1. Ableitung noch einmal stetig differenzierbar ist dann ist Y en mal stetig differenzierbar jetzt immer da wo wir hinwollen es ist y ausreichend klar und wir können jetzt auch die Ende Ableitung von y ausrechnen die in der Ableitung von y es gleiches Argument wie gerade eben die Ableitung von ein -minus Mehr von vor die mir sehr sehr von y das Feuer in System Ende aber dürfen y vor Anstrich vor Strich ist aber weil VIA ja unsere Gleichung löst die Ente Komponente von 11 und Hilfe auf und will und die der Komponente wurde vom TV auf und will es genauso was gemacht es Schlange von Ted und Frau von Ted setzen sie wieder ein was Frau von Pflege ist ist es lange von T y von TFTs Landstrich von bis y el -minus 1 von Till es muss man so bisschen schräg vergleichen das ist der y n der nur von y ist es lange von der recht von dem ganzen wäre das das heißt das y es stärker so was müssen wir noch machen Firma nochmal Definition 6 1 wir brauchen das y Endes komm her das erfüllt die Gleichung was noch fehlt ist diese Aussage dass das T Y von The Best und besitzt nun auch in das 1. Rennen des 1. Reihe von Tee in die das kriegen wir wieder bei direkt aus den sprechenden Eigenschaft von Pharao also Sam noch die Reste einer mit die alle Bedingungen der die Definition für Lösung erfüllt sind die Abrechnung es getan alles andere fällt eine den Shows also zunächst mal gilt für alle 10 E setzt die Bedingungen hier CY von ins Landstrich von bis y N -minus 1 von T dieser Vektor ist ja der gleiche Vektor wie TV von T das war von diesen Lösungen von den Problemen hier oben und ein Teil des Lösungsbegriff von Gleichung 1. Ordnung war dass diese Vektor TV von The für jedes 10 Definitionsbereich von e fliegen muss also in die damit ist das geklärt und schloss er müsse man auch schauen dass auch die anfangs werde sich richtig übertragen aber auch das ist kein Problem nehmen Sie J zwischen 0 und 1 -minus 1 müssen wir diese Gleichung 2 Sterne nachprüfen und rechnen Sie nach was die Ordnung des 1. Quatsch Art der Ableitung von y SPD 10 nur ist wer sich jetzt anschaut die ganze Rechnung mir dann ist die Art der Ableitung von y immer genau gegeben durch das V E +plus 1 also das ist Frau J +plus 1 von 10 0 und VJ +plus 1 unter 0 nur V 3 y ,komma V 2 Landstrich also Feuer +plus 1 ist genau y im Moment das war genau das was die Gleichheit das wir hier schauen welchen anfangs wird erfüllt das V V 1 von 10 0 ist y 0 V 2 von Tino des y 1 also das Feuer +plus 1 von 10 0 gemalt zusammen mir ist also y unser unsere Gleichung Inter Orten und die beiden Probleme sind wirklich 1 zu 1 Sieg über den zu Zug und das ist jetzt aus 2 Aspekten erfreulich der 1. Aspekt ist dass die Methode nie wirklich
konkrete welchen Hilfe gibt also die ist durchaus anwendbar bei ganz konkreten Planungen sind in System haben es so einfach dass man es rechnen kann man also in eine Gleichung nten Grades die sein soll sondern sie rechnen kann ist das tatsächlich der Weg wie man vorgeht für redet sie oder ein möglicher Wechsel reduzieren auf die Weise System 1. Ordnung lösen das ist dem 1. Ordnung schnappen sich die 1. Komponente und sind fertig es ist aber auch aus theoretischer Sicht super soll das Resultat bei den sehr genaue Kriterien für die Lesbarkeit von dem Problem und die können wir uns jetzt übersetzen in Lösbarkeit Kriterien hier fahren ich würde so bisschen exemplarisch machen ich werde in den Jahren und den und den globalen die Gelände der lokale die des genauso übertragen werden wenn man sich ja vorstellen eben der Satz sagt die beiden Probleme sind dieselben wie die Lösbarkeit Aussage hierüber gibt eine Tat also schauen uns an die sich der BA nur einfach exemplarisch Visite Piano aus für Gleichungen höherer Ordnung ist immer höherer Ordnung zunächst mal wieder unser Standards Setting laben Intervall wie werden Definitionsbereich von gehen also dass es genau das was da oben steht in die kreuzt er die hohe ein hier muss wieder offen sein ich glaube dieses offen hab ich bei der 1. Redaktion des Klubs verschluckt ich hab es mittlerweile auf der Warteliste gesetzt und der nächsten Version ist auch drin besser zum handschriftlich einfügen will das Muster hin sonst klappt es nicht dann brauch man Anfangswerte zulässig ist also der Vektor T Y T 0 y 0 y 1 SYN -minus 1 der muss sich wegen und schloss er nicht die Wesen die Voraussetzung vom Pearl die rechte Seite muss tätig sein also die Funktion f Schlange definiert auf die nach er die die muss steht glaubt und dann sagte Piano genau wie bisher dann hat das Anfangswertproblem jetzt Enter Ordnung das da oben links steht also unser Stern Doppelsterne Anfangswertproblem schnelles sID also genau so aus wie für Gleichung 1. Ordnung wenn die rechte Seite stetig ist dann hat das Anfangswertproblem für egal welchen zulässigen Anfangswerte Nährlösung wobei eine Lösung haben heißt es unter Umständen sehr kleinen derweil aber es geht unter Beweis ist Essen Zweizeiler das ist das Schöne haben vor 3 Wochen gut vorgearbeitet der Mann dem weiß vom Piano war keine Zweizeiler aber jetzt können wir einfach übertragen wir sein Äquivalenz Satz haben da drüben wir wissen das 11 lange stetig ist dann schauen uns an was es mit dem kleinen 11 das kleine von darum nur das kleine wiesen den 1. Komponenten sehr einfache Funktionen was das ist einfach die Funktion die 1. Kommune die 2. schiebt die 2. die 3. 3. geführt und so weiter wie umgekehrt die 2. in die 1. oder 2. 4. und das ist alles wunderbar stetig hat in der letzten Komponente steht er Schlange erschlagen ist auch die sich also ist auch dass es stetig diese Bildung von dem kleinen etwas genauso gut wie die Bildung von dem groß als Schlange bei den 1. Ende seines Kommunen nicht viel passiert das ist mit C unendlich Bildung und je nachdem wie gut dass es langer und ist und das Elvis also genauso gut wie das so also haben wir das unser System 3 Tauben Dreieck der gleich am 1. Abende stetigen rechten Seite ist das können jetzt anwenden in der Form 4 6 von Satz zitieren 4 6 der liefert dieses System 3 Doppel 3 habe Lösung im Sinne unserer wir sonst Definition ja gut und jetzt werfen wir 6 2 drauf und der sagt uns wenn das eine lösbar ist das andere es war also hat auch Stern Doppelsterne nicht da das ist wirklich nur sich überlegen dass die Güte von 11 schlage sich auf die Güte von 11 überträgt dann dementsprechend einen Satz für 1. Ordnung anwenden und dann kriegt man Lösbarkeit Fristen für die gleichen Inter damit irgendwo steht schreib ich ihn auch noch den globalen Tigerländer sehen als 6 4 also die Kalender flog globale Version und da sehen sie das Verfahren es genau wieder das Gleiche also wie sieht er aus gesehen denn unseren Setting hinter Menge 1. Intervall die Menge die nährende Funktion ist nur global keine Mängel die planende Funktion f schlage die auf ihr Kreuz er die hoch n in der BRD definiert ist und die muss jetzt die 1. Voraussetzung folgen den globalen dekadente Leser für das heißt zum einen muss ich tätig sein und sie muss eine globale Lizenz erfüllen normal der Vollständigkeit halber was heißt globalen Lizenzbedingungen das heißt egal welches die aus die ich nehme und egal welche Vektoren in dem er die hoch ich nehme also x 0 X 1 bis Xn -minus 1 beziehungsweise Z 0 Z 1 bis Z N minus 1 aus dem er die hoch n ich muss gelten die stets Abschätzung also der Abstand von 11 Schlange von T x 0 x 1 bis X N -minus 1 -minus es Schlange von T z 0 Z 1 bis Z N minus 1 der muss kleiner gleich seine Konstante L mal der Abstand von den hinteren Argumenten x 0 X 1 bis Xn -minus 1 -minus z 0 Z 1 ist der Zeit er ist jetzt Mutation aufgeblähter hatten die Indizes ist aber wie sie genau die gleichen Bedingungen wie wir bevor auch hatten und für alle die ihren für alle x und z aus des ist er von Text -minus 11 von TZ kleiner als L Maliks müsste nur das X und zählt jetzt halt lange betont so dass es Fauxpas dafür noch für 1 EL Größe so war und jetzt dann kommt die Aussage von Pigalle dann hat das Anfangswertproblem Stern Doppelsterne dass wir die Ganzheit anschauen für egal welchen Anfangswerte nehmen also für alle Vektoren T 0 y 0 y 1 bis N Y N -minus 1 aus I Kreuz des hoch M genau eine globale Lösung sie kriegen je wieder globale Lösungen da würde globale die Lizenzbedingungen haben unter Beweis von der Satz der lass ich ihn gern zum selber machen funktionieren nach dem gleichen Prinzip überlegen Sie sich das aus dieser Lizenzbedingungen folgt dass das kleine 11. drüben der globale erfüllt dann können Sie den globalen wie Gerlinde 40 zur Gleichung 1. Ordnung drauf werfen und dank des der kleinste Probleme haben sie damit auch das andere Kind genauso aber dass es ihnen den lokalen die in der Luft übertragen das gleiche Spielchen muss sich überlegen was heißt lokale Jeans Billigung fest F Schlange und dann sich überlegen dass wenn jetzt Schlangen lokale Zinsbindung erfüllt dann noch gleich F und dann ist man durch gut ich will es gleich noch an einem Beispiel weiter mal exemplarisch zeigen das Verfahren hab ich denk vorher verschnaufen der kurzen Preuschen nahmen knapp 10 Minuten weiter 2 ich
würde den gern in die 2. Hälfte einsteigen ich habe mir diesen Zeit mal großzügig Gewicht und nur ganz wenig stehen lassen auch weil ich drüber bringen will damit ganz wie gemacht für diese Reduktion von Enter Ordnung auf 1. Ordnung angesehen das Verfahren vom Ziel wunderbar allgemein wann immer wir das eine Problem lösen können wir das andere dem lösen umgekehrt und wenn man dieses Wissen Hinterkopf hat ist das einzige das man sich aus dem der Bettler eigentlich merken muss der Ansatz der die Idee das ist also so dastehen wenn man sich diesen Einsatz merkt dass das was man tut und das ist das was zum Ziel führt muss wissen das das der Ansätze so dass der Tod dann hat man alles was man braucht und ich will das jetzt noch zum Abschluss dieses Abschnitts an einem Beispiel vorführen und Physikerinnen und Physikern wehrt sich wird gleich ein auch nicht hier auch noch durch den Kopf schießen wenn ich
sage mal einen harmonischen Oszillator den haben die wahrscheinlich schon mal gesehen vielleicht auch schon 17 Mal aber ich denke es gibt durchaus Mathematik Studierende die kein Nebenfach Physiker aber die dürfen ja auch mal also was ist der Munich Oszillator also kurze Verschnaufpause für alle Physikerinnen und Physiker aber bitte nicht so nahe ein typisches Beispiel für den harmonischen Oszillators das fette Essen Federpendel sie haben irgendwo aufgehängt mit und hergestellte Massen dran und jetzt sehen Sie dann der Masse so'n bisschen unten los und dann lassen Sie das den bloßen weiß jeder was passiert mir das fängt an auf und ab zu vergeben also es sei denn sie ziehen sowie über Berserker dran dass sie die ganze viele langziehen aber dann ist das auch kein harmonischer Oszillator mehr ist oder harmonischer Oszillator beschreibt große wurde diese Situation mit der die Legalisierung das sie eben nicht wie ein Berserker dran ziehen das heißt sie verformen die vielen elastisch und nicht plastisch und was das bedeutet für sie gar nicht ist das die wenn Sie der das ist zu seinem vereinfachende Annahmen die Feder die aufeinander die Feder ist das Ding hatte Rückstellkraft also zieht in die Masse zurück mit der Kraft die genau proportional dazu ist überdies ausgelegt hat nur doppelt so weit ausgelegt doppelt so hohe Kraft und wenn man das einsetzt und jetzt ein bisschen mit der goldene Regel der Mechanik spielen komme Differenzialgleichung raus dass ich jetzt nicht vor wenn Sie es wissen wollen sitzen genug Physikerin und Physiker sagen kann denn das im Schlaf runterbeten es haben nämlich schon 10 Mal gemacht also y meine Funktion y beschreibt die Auslenkung aus dem Ruhezustand also y von C gleich 0 bedeutet das Ding es genau da wo es in Ruhe liegen würde und denen sie positive und negative Auslenkung nach oben und da und die Ausdehnung wird dann beschrieben durch Folgendes Anfangswertproblem 2. Ordnung wie immer wenn man mit Kraft ist Masse mal Beschleunigung anfing kommt mit gleichen 2. Ordnung aus die 2. Ableitung von y bloß eine konstante y Quadrat mal y es wolle und dann aber 2 Anfangsbedingungen brauchen wir hier wenn es ist gleich und 2. Ordnung haben y von 0 ist und Zählern Strich von 0 ist der Munich Oszillators auch deshalb so oft auf weil er die einfachste Schwingungungsgleichung ist das ein Pferd ja was die Kleinen ja nicht des ist dem beschreibt erstens gibt verdammt viel schwingende Systeme und zweitens kann man auch sehr viele Systeme sehr für wegen dieses Dementi die nicht wirklich harmonisch Oszillator sind durch ein harmonischen Oszillator Mehr ja allen das heißt dass es immer so der Stab wenn man uns wegen des ist dem beschreiben will und das ist so einigermaßen Namen und so Slate dann gibt es mal Sonne und Staat Punkte das darf deswegen ist er so wichtig und taucht 100 Stellen auf zum Beispiel falls sie die des haben ich nehme so unseren Fadenpendel also das das ist Pläne von der Uhr das ist im strengen Sinne keine harmonischen Oszillator weil die Grundvoraussetzung den harmonischen Oszillator ist eben die Rückstellkraft es genau proportional zur Auslenkung und weisen Fadenpendel fragen sie sich nun den Sinus mehr ein weil die Rückstellkraft von Debitel abhängt denn das Pendel gerade beschreibt und damit ist der nicht genau proportional sonders proportional mit dem Sinus von der mit dem Sinus von dem Winkel davor was sie Züge sieht machten sich zu sagen ja kleine Nehrung für kleine einfallslos Alfalfa und sie wieder das harmonisch sagte er auch da geht das ist ne gute Näherung für kleine Wege wenn Sie dass Sie das fragen denn um den machen harmonisch Oszillator rechnen dann das nicht mehr aber das also das passt hier nie 100 Prozent rein aber das es in der Stadt .punkt für eigentlich jede Beschreibung einer stehen wann immer Sie eine makroskopische Schwingung aber sie keine quantenmechanische da kommen was dazu aber eine Markus Schwingung haben ist das die Basis Gleichung und von der kann man jetzt natürlich weiter modellieren als können Sie sagen ich komme dass wir den Laden und da gibt es noch irgend äußere Kraft die darauf ein wird dann haben sie noch 11 und auf der rechten Seite wir können sagen dass den ich wirklich im luftleeren Raum sondern wird in wird gedämpft wird gebremst dann kriegen Sie auch intern wir die 1. Ableitung mit ins Spiel bringen ja also da kann man jetzt aber das ist die Basis gleich gab jetzt dann die Physiker dazu bis davor kommt nur mehr was sieht was sie alles kann muss nur kurz sagen was es sonniger Quadrate Omega Quadrat ist die Größe des die ganze Materialeigenschaften des Systems beschreibt wie stark ist die Feder wie groß ist die Masse hier unten und so weiter das steht alles hier drehen wird in eine positive Zahlen das auszudrücken und das guten der Einheiten und so weiter ist es sinnvoll diese Konstante mit Omega Quadrate nicht mit Omega zu bezeichnen weil das Omega hat eine physikalische Bedeutung das ist die Frequenz der freien Schwingung aber für uns sehr wichtig ist dass Omega Quadrat Material abhängige Konstante in der drin ist eben was eine Fehler haben sie verwendet was wenn Gewicht hängt an und so weiter aber die beiden größten A und B
das sollten wir uns Motivations Gebiet am Anfang jetzt auflösen können Y ist die Auslenkung also der der Ort des Teilchens Land von 0 ist also die anfangs Auslenkung wie viel ziehen Sie das denn am Anfang aus der Ruhe Lage raus und das übt das B wenn sie dem Ort einmal ableiten so die Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit von in den zum Teil 0 sie können ja das Ding rausziehen und in einen Fluss und Schutz geben also das ist die Anfangsgeschwindigkeit so das ist die Leiche des harmonischen Oszillators wir mal schauen das ist genau so eine 10 kommt sie hier die Belgrad behandeln dann 2. Ordnung können im Prinzip noch bisher gar nicht aber wir können jetzt diese Gleichung die reduzieren auf dem System 1. Ordnung es die Idee steht hier links also der reduzieren es 1. Ordnung in dem wir die Funktion V definieren da das freundlicherweise nur 2. Ordnung ist wird sie nicht so schrecklich lang das Endes 2 die ist 1 also haben den freut es einfachsten Fall und V ist einfach YY strich alle V von ist weckte y von y strich von CD und dann müsse sie sich an nichts weiter was sich an VW Netzwerk Gewicht haben erinnern sondern dass es einfach machen müssen es müssen verständliche welche gleichen löst das war mein man solle Substitutions mit oder hat ist das die Frage welche Gleichung löst die neue Funktion also wenn wir Frau strich aus vor strich ist y strich y 2 Striche y Striches V 2 er Frau verstrich also ist das was ich vor 2 Jahren hier an der 2. Stelle führt uns ,komma kommen sie haben sie ja nix da setzen Sie die Gleichung 1 y 2 Strich ist -minus einiger Quadrat und y ist vor 1 also hier steht vor 2 von E -minus Omega Quadrat Vereins von Till oder vielleicht noch ein bisschen klarer geschrieben oder kann man jetzt noch umschreiben eine Form die nachher im weiteren Verlauf praktisch ist man kann es sie nicht sehen als im Matrix multipliziert mit dem vektor v 1 v2 das ist die Matrix 0 1 -minus einiger Quadraten 0 vor 1 von Fan von 2 von vielen oder halt eben auch diesen Verein 20 vor 2 von Ted können Sie wieder als vorschreiben 0 1 minus einiger Quadrat 0 auf die so dass dieses System der Umschreibung im System 1. Ordnung werden aus einer Gleichung 1 gelang den 2. Ordnung ein System mit 2 Gleichung 1. Ordnung gekriegt wenn man sich das System an denkt man im 1. Moment oder das muss jetzt über sein weil das 1. Ordnung für autonome Gleichung ist eine vorher vom Striches konstante Matrix manchmal von The abhängig mal Frau also autonome Gleichung von getrennten veränderlichen was immer sie wollen das nutzt leider überhaupt nix wenn Sie sich zurückerinnern als Gebiet über getrennte veränderliche dann kommt mir dieser wunderbar lösen aber nur für skalare Gleichung Weihwasser mir verwendeten Hauptsatze Differenzial Integralrechnung wenn das vorgeschrieben als aber ist er als gerade seine Ableitung und das geht im R 2 nicht gut und wir sprechen ist dieser Weg jetzt zu sagen wir müssen der G 11 und den veränderlichen Zac Integrale drüber lösen dort nicht das heißt wir sind an der Stelle des blockiert was weniger daran liegt dass die Kleinen so schwer ist als daran dass ich ihn bisher wirklich sehr sehr wenig darüber erzählt hatte man konkrete Gleichung ist das würde jetzt nachholen also ich will mich jetzt mit solchen Gleichung hier beschäftigen und im Verlauf der nächsten Vorlesung werden wir dann hier wieder darauf zurückkommen die sage es nicht wirklich ne schöne wir können Sie nur noch nicht wie gesagt autonom unser eigen ist sogar noch schönere Struktur ist nicht nur irgendwie autonomer davon getrennten verinnerlichen seine sich die mal angucken und zum bisschen mit grobem Raster drüber gucken dann ist das von der Form werden die linke Seite V strich =ist gleich Matrix aber V das sie bisschen aus wie 1. es System das ist die so genannte lineare Differenzialgleichung bei der auf der rechten Seite des ja einig und genau über kleinen System liegen Jahre bleiben Systemen das Schönste ist was es gibt und das einzige mussten Klasse ist super durch die der Theorie gibt ist es die bei den Differenzialgleichung auch die bildschöne Jade Franz vergleicht und die machen uns jetzt als 1. Abschnitt 7 lineare Differenzialgleichung und als ein Beispiel sollten Sie mir dieses Dinge im Kopf haben auf das werden darf noch zurückkommen also es geht es um den Jahre
Differentialgleichungen und ich mir natürlich zuerst mal sagen was es ist aber ein Beispiel ist das da drüben und
ansonsten wer denken Sie immer an den ja gleich ins System im Jahr Differentialgleichungen sind für Differentialgleichungen das was wir Gleichungssystem mit den Jahren ein System also was eine lineare Differenzialgleichung er erst mal der übliche 1. Salzwiesen auf dem Intervall I in wir haben ein des das ist die er Dimension von dieser Matrix chinesischen also da drüben 2 dann 2 Funktionen eine Funktion die halten wenn ich groß aber das ist in jedem Funken Matrix also der Funktion von I in dem er die Kreuz des und eine Funktion B von Ihnen er und die allgemeine Form vor allem jene Jahren Differenzialgleichung ist dann y Strich von C bis A von C mal y von T +plus p fand das nennt man die Jahre von tialgleichung und wenn ja deswegen weil das y auf der rechten Seite in eingeht das sich Geradengleichung y er ja es wieder nur 1. Ordnung im geschrieben ich kann meine sollen ja denen sagen wir Ordnung anschauen aber sie 1. Teil der Vorlesung wir Ordnung des auch nur gleich erst auf also schon wieder 1. Ordnung an wenn wäre man ja das ist den geraten haben es sei widersinnig Selektionsprozess dann kriegen wir noch viel größeres System aber es ist immer noch in ja erst auf so also das ist die allgemeine Gleichung allgemeine lineare Differenzialgleichung und damit man eben auch höherer Ordnung mit 3 macht hab ich hier erlebt das Ganze eben wieder mehr die also den Jahrgängen tialgleichung oder wenn man klar machen will das ist eben er eine vektorielle Sache ist dann sagt man auch gern mal ein System von dem ja der Fernseher gleich zur ich hatte es vorhin schon gesagt das Ganze sieht ein bisschen aus wie man in Wien den ja öfter ins System das ist natürlich nicht der Fall dass es keinen erst System trotzdem ist diese Analogie im Kopf zu haben sehr sehr wertvoll weil wir werden feststellen in vielen Belangen verhalten sich genial Differentialgleichungen zogen Jahrgangs ist was sie sicher heißt es im Osten fahren auf anwenden können einfach lösen das nicht da sie die Fenster Gleichung so ist ich aber wir nur Songs Theorie hört sich sehr ähnlich an und dazu gehört auch schon der nächste Begriff der in Analogie gebildet ist zu den Jahren seinen System was macht man bei den System als 1. wenn es um die Lustbarkeit geht man schaut sich das Problem also war das gleiche System AX gleich B dann schaut man sich das zugehörige homogene System Eicks gleich 0 1 a QC wie sie da keine Ausnahme bestimmte drang der Matrix und auch der linearen Gleichung ist das der 1. Schritt ein wichtiger Schritt man das 1. Mal dass wir weg und solche Gleichungen heißen hier genau wie bei linearen Gleichungssystemen Promo gehen Jahre Gleichungen ob als damit man diese Gleichung diesen Jahres den zeitgleichen eine homogene lineare Differenzialgleichung und sonst wenn es denn nicht nur ist dann auch die beiden Jahren Differenzialgleichung Apple gegen ihren System ist das eine inhomogene unumgänglichen ja der Fall sein eine Warnung für den Begriff der ist es leider Informatiker würden sagen überladen damit jetzt das Begriff homogene Diff-Anzeige Herrendoppel definiert das ist leider hysterisch historisch so kann ich nicht verändern ja wir hatten ganz am Anfang den Begriff homogene Differentialgleichungen für eine Gleichung der rechte Seite nur von dem Quotienten y von täglich die da tauchte das Thema auf den das hat mit den hier nichts und gar nichts zu tun also das so ist es zum Glück durch 5 Wochen Vorlesung getrennt halten Sie das auseinander das ist einfach nur dummerweise der gleiche Begriff wann immer ich jetzt in nächster Zeit von homogen die Rede ist bedeutet das homogen lineare Differenzialgleichung das heißt dem Fernseher gleichen wo spielen ein Vorteil wenn von das Biest 0 sehen Sie sofort den 7 mal setzte sie mal die gleich 1 also skalare Gleichung dann ist die Matrix Silicagel das B auch eine Zahl wenn Sie das Bier weglassen ist das eine vom getreten veränderlichen können war so lösen dass es Bilder zu nehmen können was momentan nicht lösen da sieht man schon der wegnehmen könnte die wo die des sagt so er unwichtig ist eben diese Begriffsbildung homogen inhomogen ist an der Stelle parallel zu sehen zum Ninja Differentialgleichungen wenn der Sohn länge das System von bei den Koordinaten
austreiben also besetzen die Matrix die Einträge Matrix wie üblich an Ort und die Einträge des Vektors B SPD da kann man es meinen Koordinaten ausschreiben und dann sieht man das ja Sie auch schon wieder aus dem 1. System also was geht hier in kondensiert der 1. Zeile ist y Strich von T is a 1 1 von 10 mal y 1 von C +plus A 1 2 von 4 mal y 2 von zählt los und so weiter A 1 von The Mall y d von Chili wir uns das genau kein Platz mehr für das Spiel 1 von 10 das ist y 1 strich Ypsilons ,komma is A 2 1 von C y 1 von C +plus 1 2 2 von y 2 von bis A 2 die von C y der von Phontäne +plus Bild 2 von 10 und so weiter und so weiter wo die letzte Zeile YB Strich von es ja die einst von C dazu dann 1 von T +plus aber die 2 von TY 2 von T los und so weiter dies Art des die von CYP fand die +plus B des von nun ist es be meinen Dank auf die andere Seite tut dann sieht es genauso aus wie aus dem System hat aussehende trotzdem aber nie eine ganze Menge Differenzialgleichung drehen und das Beispiel drüber fällt natürlich wunderbar da rein es nur homogene linear Differenzialgleichung Displays 0 das ist sogar die konstante Funktion nur also recht einfacher Fall sollte man man es aus da also das wir wir dass wir deutlich mehr zugelassen wird so wie gesagt 1. das hier noch die Immunogenität dazukommen denn wir lassen sodass jeder diese Einträge hier wie eine Funktion sein darf die von Theater so also ja das so ausführlich geschrieben weil ich bei ihnen den Kopf bringen will vergleichen Sie alles was wir jetzt machen mit der Theorie von den ja gar da sind da weit weg weil die Probleme viel komplizierter sind aber von der Struktur die passiert nah dran und die da komme jetzt nächster Zeit häufiger darauf zurück worum es jetzt natürlich erst mal geht ist die Frage wie sieht es mit der Lösbarkeit von solchen Gleichung aus und die Antwort an dieser Stelle ist sehr befriedigend jede lineare Differentialgleichungen ja von ist das schönste länger davon tialgleichung sind immer auch global eindeutig dass das ist das Erste was ich ihm zeigen will 1. Satz in dem Abschnitt kann man immer 7 Berlin Jan Differenzialgleichung Staaten ist das zugehörige global eindeutig lösbar vorausgesetzt sie sind mir mindestens im Fahrwasser von Peano also sprich A und B sind stetige Funktion hatte so dass der Satz 7 3 wenn der Sonne
Jahre das System Sonnenjahres System haben also wie oben in der Valley wir haben die Dimension N der Anzahl der Gleichungen und an Zwillinge Länge von dem Sektor y und wir haben mich stetiges muss das eben nicht mehr irdene Funktionen von nach der Drehkreuz der sein Sohn eine stetige Funktion sonst ist natürlich viel Existenz von Lösungen geschlossen aber zumindest im allgemeinen schwierig zu beantworten also stetig von Ihnen die Matratzen und stetig von Ihnen die Vektoren ab und dann behauptet brauchen Sie nichts mehr keine Lipschitz kein gar nichts denn sie brauchen wird das reicht für die globale eindeutige Lösung also dann hat für jede Wahl des anfangs wer zum Zeitpunkt also für alle 10 0 y 0 aus wie Kreuze RWE das Anfangswertproblem was zum zu den Jahren Differenzialgleichung gehört das man nicht mal ADP also y spricht von T ist a von y von +plus von C von y von t 0 ist y 0 das hat dann eine eindeutige globale Lösung und wie wir da hinkommen ist denke ich klar ist irgendwie den globalen Peter Lindinger vor nur der garantiert uns eindeutige globalen lösen und es kann man sich auf die 1. Schritt wundern warum brauche ich für das an stetig und nicht um die Lizenzbedingungen das liegt daran dass was braucht man den 5. Liga löst man braucht stetig insgesamt und die Lizenzbedingungen y aber sich immer diese rechte Seite 11 von TY anschauen dann ist die einfach von dir mal y Flussbett ist man ja Funktionen y lineare Funktion so einfach automatisch mit Stich wir das das so viel sein wie sein solang stetig ist das keine wirklich Schwierigkeiten es kaputtmachen aber dann nur lineare Abhängigkeit habe und Abhängigkeiten Sinn hat was wunderschön ist das ist das was dahinter steckt also wesentlichen benutzen wir nur lineare Funktion sind wichtig wie üblich ist die Technik die Technik und das auch nicht aufzuschreiben Service für ein bisschen komplizierter n insbesondere brauche ich etwas von dem ich annehme dass es irgendwo zwar schonmal gesehen haben aber das mehr so und da gibts auch lief unseres Fall vergessen ist nämlich Matrix Normen also hier sozusagen für den Notfall zu Erinnerung wenn ich mit ihren enormen er die starrte die normal für derartige mit einfachen Betragsstriche geschrieben dann gar nicht zu dieser Norm immer eine zugehörige Matrix Norm definieren auf die folgende Weise ich schreibe jetzt meine Taube Weiden die Norm Norm für eine Matrix A ist gegeben als der Supreme Normen über die Beträge die Normen von A. X wobei X durch alle eher die Vektoren DNA ist der Norm genau 1 vielleicht haben Sie sich so gesehen wird haben sie es mit neuen kleiner gleich 1 gesehen oder mit Norm kleiner gleich ein so noch mit x nominiert aber das kommt alles aufs gleiche heraus also die Norm der Matrix ist gegeben dadurch zu bilden am Alex für alle x mit einer Netzlänge und trauen sich dem Diener der normalen der größte Wert ist die Norm von dem Matrix der Vorteile das ist eine man kann dann zeigen diese Bildung Norm auf dem er des Kreuz des und zwar nennt man das die passende oder die zugehörigen Matrix noch wenn Sie natürlich die Norm auf Mehr des ändern dann ändert sich auch diese zugehörige Matrix nur und das was ich jetzt brauche da was das wichtige der Matrix Norm ist sind die beiden folgenden Eigenschaften wenn Sie 2
Matrizen multiplizieren und der Norm bilden dann können Sie das abschätzen denn die einzelnen Normen also die Norm von a mal b ist kleiner ist enorm von man von a mal von B und wenn Sie das x nehmen wir das Geld für alle A und B Mrd kreuzte hier kann und zweitens wenn sie einmal x ausrechnen können sie das Gleiche machen das ist nach oben kontrolliert durch die Norm von weil die Norm von X für alle Matrizen Mrd Kreuz des und für alle x im 1. das ist das gute an der zu geringe Matrix nahmen das wenn man es verschiedentlich brauchen also wann immer ich jetzt Norm von Matrizen hinschreibe ist immer die zur gerade im Grund Raum verwendeten Norm zugehörigen Matrix nahm so zu Orientierung ganz und den schon mal gesehen so wie ich ok muss ich mal in insgesamt Form von Carsten Große braucht man wieder das nicht ich dachte das sie dann spielen sie Numerik ständig brauchen 2 er der also wenn Sie es nicht gesehen haben ist das eine gute Übung weisen Sie meine 8. ist enorm und die beiden Ungleichungen damit sie auch glauben können dass ich jetzt zu also beweisen würden 7 3 also noch noch zur Erklärung des geht natürlich nicht darum irgendeinen nahm auf den Beitritt zu definieren bei den Ethik Grolls Thema Christen können sehr isomorph auffassen als ein Vektorraum R die Quadrate und auf Mehr deklarative 100 Tausend Euro als Norm 2 neuen PIN um 11 oder nicht nur was auch immer wirken enorm auf den Matrizen zu finden ist kein Problem und wenn ich an den ist auch egal was er alle Äquivalent das entscheidende ist dass man sich auf die Weise der Normen bauen kann die in dem Sinne zu der wir Normen er die passt war dass man solche Abschätzung hat dass das entscheidende zu würgen Matrix so also jetzt Beweis von 7 3 über sie wolle die globalen die Kalender das anwenden wenn man ihnen droht voraus er versucht anzuwenden was meinen kleines technisches Problem rein dass man den kompakte der Wahlen zu tun hat deswegen werden wir auf dem kompakten Zeitintervall J-Phone von ihr und zeigen dass wir eigentlich zeigen ist für jedes kompakte Zeitintervall von I gibt für globale eindeutige Lösung wenn man das so ist dann am Sonne global eindeutige Lösung auf ganz I bei sobald die Lösung an irgendeiner Stelle versucht abzuhauen oder sich zu verzweigen können Sie diese Stellen und kompakten einpacken und dann hat die Lösung es sich ja also dadurch dass es auf jeder kompakten Teilmenge von I zeigen kriegen wir globale Existenz eindeutige Existenz auf ganz sie werden gleich sehen es geht tatsächlich nur auf jedem kompakten Zeitintervall zumindest mit den Beweis den ich Ihnen hier vor aber das reicht immer sie jetzt sein will es die rechte Seite von der unser Anfangswertproblem auf jeden kompakten teilte derweil der globalen stets Bedingungen erfüllt also wir schauen uns die Funktion f von TY 1 die gegeben ist als von Thema y +plus b von zunächst mal ist das eine stetige Funktion auf ihr Kreuz des das ist die 1. wesentliche Bedingung vom globalen Tigerländer das was ich es global die gerne darauf J 1. diese Bedingung global die Gerlinde darf ist dass die rechte Seite stetig ist auf ganz die Kreuze die das ist kein Problem am besen stetig vorausgesetzt die Abhängigkeiten y es ihn ja das ist nicht nur stetig dass es beliebig differenzierbar so und jetzt müsse die globale Lizenzbedingungen nachrechnen also müssen uns irgendwie in ihren nehmen und 2 Werte Y und Z er den und müssen uns anschauen was es mit dem Abstand von 11 von TY zu 11 von TCP das ist die Aufgabe und das muss unabhängig bevor ich eine Lizenz Konstante für alle 10 Jahre und für alle y z denn er die das entscheiden globalen die gerne das ist eben nicht auf die ganze Erde so was ist er von TY -minus er von tz er von TY is a von t y +plus b Phontäne -minus er von z a von t z -minus von 10 wenn Sie immer als 1. Frage was B von ist es für die letzte Stetigkeit sowas von egal wer fehlt nämlich komplett raus und es bleibt übrig von Thema Y -minus er von Thema Z jetzt spielt uns in die Hände dass das alles lineare Bildung ist das ist a von t man y -minus Z und jetzt brauchen wir noch das unsere zugehörige Matrix Norm wo steht hier oben Norm von a mal Vektor ist leider dass die Matrix Norm Manon von X also ist denn gleich die Matrix Norm von von T mal der Abstand von Y zu Z und jetzt kommt der Moment wo wir die Kompaktheit von dem Intervall dort dringenst dringend brauchen als wichtige Funktion auf Fjord Dinornis auch stetig haben Sie also die Funktion Tibet abgebildet diese Norm ist nicht die die vom auf J also und kompakt das Ding beschränkt das kleine gleich Zielort ich schreib mal das J extra den Index damit da ist diese Konstante hängt jetzt von JAP also das CO 2 es das Maximum 4. C aus J von den Matrix Machern von von weil das alles tätig ist existiert dieses Ding so und dieses DJ ist es natürlich unsere 1. Konstante des Amur globalen Gigaliner läuft auf J also wenn man den Geberländern darf den globalen Tiger lehnen das auf Jagd und wer liefert uns das unser Anfangswertproblem eine eindeutige globale Lösung auf Uhrzeit und mir ist es schon das J ist zwar nicht ganz E aber das J war komplett beliebiges kompaktes Zeitintervall also J seit wie beliebig also kompakt aber sonst beliebig also kann die Lösung kann und wo machen Sie kann ich vorher aufhören zu existieren weil das müsste sie und dabei das kompakt und tun das kann sie nicht sie kann nicht sich verzweigen sie kann ich aber und sie dann gar nix sie muss auf ganz wie existieren also es unser Anfangswertproblem auch eindeutig global auf die lösbar Na ist das Argument des dahin geschrieben habe weil die mich kurz etwas verwirrt und vielleicht haben die Verwirrung auch noch einige andere Swing sage ist gedachte Moment mal das ist ja irgendwie bisschen gemogelt weil ich hab keine globalen die Gelände vorfinden da hab ich einfach nicht wenn die offen ist kann dass er von t durchaus am Rande abhauen zwar und jeder vom Rand beliebig groß werden ja keine global dekadente Löw auf also diese Konstante ICJ wenig CIA arbeite CI gibt muss es nicht geben das ist sondern den Sieg der Normalfall es ganz und dabei die wir im Moment ich habe eigentlich nur lokale Bedienung wieso kann ich den diesen blöden Trick nicht wie auch für jede beliebige lokale Lizenzbedingung machen was nicht gehen darf verschiedene Beispiele der Punkt ist die Gleichmäßigkeit hier ein gewaltiger heißt ich klicke gleichmäßige das konstante für alle egal wo die Lösung ist alt in den USA versucht sich nach unendlich zu schleichen Lösung groß wird kann es immer noch mit der gleichen letztes konstante kleine immer und deswegen funktioniert der Trick weil ich wirklich mit globalen die Gelände des globalen y auf ihrem kompakten teilen dabei Kriege und das lieferten lokale die letzten würdiger entlastet Abschätzung ich lokale begann in Bielefeld Absetzung kann auch immer nur y in der Nähe von Y 0 der 1. ist ich so damit haben wir den 7 3 das heißt wir sehen schon mal in Sachen Lösbarkeit sind lineare Systeme bestmögliche aller Welten es gibt keine ab es gibt da ein es gibt keinen Mehrdeutigkeiten alles ist immer schön eindeutig lösbar und global ich habe gesagt dem Kapitel jetzt weniger sollte es aber gelungen geben wie kann ich denn konkret rechnen an der Stelle gleich sozusagen zu Beginn die schlechte Nachricht für dieses ist mir in der Allgemeinheit gibt es im Allgemeinen keine Lösungsformel ist nicht zu kriegen wir noch sehen warum oder also kein Beweis aber nur dass warum in der Allgemeinheit kann man's nicht lösen aber es gibt sehr sehr wichtige und weitreichende Spezialfällen dem man Ex-Vize Lösungsformel angeben will man kann die wie ich ihn jetzt auch herleiten in den nächsten Schritten und für das allgemeine Problem kann man noch sehr viel über die Struktur der Lösung aus sagte wie sieht sie aus man kann er dort eben viele Spezialfällen auch wirklich konkret Recht und damit sie so müssen Eindruck kriegen was hier passiert wenn ich anfangen mit dem Fall bis die gleich 1 ist was die ein einfachst mögliche Fall wenn Sie die gleich einsetzen ist an das skalare Größe Bene skalare Größe und Sie haben die vorhin schon angesprochene gleich ,komma SA-Mann y +plus stehen mit A und B Zahlen oder a von t also Funktion aber es gelang Funktion und ok bei der kann man immer also ist der 1. wichtige Spezialfall die man tatsächlich immer der Lösungsformel angeben kann und die nicht mit den herleiten eine Sorge ich mir heute wie die herleiten weil man bei der Aktion bei dieser Herleitung schon alles sie was einen Effekten Auftritt auch im allgemeinen Fall er also dass es so sein die Blaupause die wir dann auf den allgemeinen versucht Fall Suns übertragen werden feststellen dass geht dem allgemein also kriegen die Lösungsformel nicht genauso in sie kommen äh aber die Methoden die Techniken und die die Arzt der Lösungsformel die sieht man von dem eindimensionalen des Weges der 1. Schritt in den Fall des gleich 1 anzuschauen wie sieht da die Gleichung aus A und B sind jetzt also schreibet kleiner weil mir ein Freund ein Matrix jetzt Funktionen von ihm nach er die Sätze stetig voraus damit unser Satz sieht das Ding hat auf jeden Fall eine eindeutige Lösung dann dem sollen 10 Nullen E y nun den er oder ist das Anfangswertproblem einfach das da drüben abgeschrieben Landstrich von is a von t y von Themen Phontäne y von leicht y 0 das formal geschlossen ich hatte vorher schon gesagt für den wichtige Spezialfall wird pro geben Gleichung also keine B können sie das schon lösen dass es getrennte verinnerlichen denn am Anfang der nächsten Vorlesung tun wer mag kann ja schon mal rechnen das ist einfach Standardmethode und was ich die nächsten Vorlesung zeigen werde es wie wir das B und ganz blöden aber super starten Trick wie wir das per Zug Regen und die eine allgemeine Lösung Formel für dieses Problem finden gut so viel für heute dann für die Aufmerksamkeit und nächste Woche dies dabei
Ebene
Folge <Mathematik>
Flüssig-Flüssig-System
Momentenproblem
Vektorrechnung
Physik
Eindeutigkeit
Gleichung
Differentialgleichung
Ordnungsreduktion
Teilmenge
Variable
Menge
Differentialgleichungssystem
Ordnung n
Ordnung <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Mathematische Größe
Sierpinski-Dichtung
Länge
Momentenproblem
Gruppenoperation
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Differentialgleichung
Desintegration <Mathematik>
Variable
Ungleichung
Ordnung n
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Zeitintervall
Erweiterung
Vektorrechnung
Abbildung <Physik>
Hausdorff-Raum
Gleichung
Vektor
Ordnungsreduktion
Dreieck
Null
Konstante
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Anfangsbedingung
Quelle <Physik>
Sierpinski-Dichtung
Punkt
Momentenproblem
Gruppenoperation
Hochdruck
Anfangswertproblem
Extrempunkt
Richtung
Ende <Graphentheorie>
Prozessfähigkeit <Qualitätsmanagement>
Äquivalenz
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Substitution
Ableitung <Topologie>
Einfach zusammenhängender Raum
Differenzierbarkeit
Reihe
Aussage <Mathematik>
Gleichung
Vektor
Dreieck
Zahl
Lösung <Mathematik>
Menge
Anfangsbedingung
Schnittmenge
Algebraisch abgeschlossener Körper
Anfangswertproblem
Gleichungssystem
Gradient
Vollständigkeit
Äquivalenz
Ordnung n
Abschätzung
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Parametersystem
Physikerin
Vektorrechnung
Stellenring
Gleichung
Vektor
Dreieck
Ordnungsreduktion
Konstante
Lösung <Mathematik>
Elementare Zahlentheorie
Menge
Standardabweichung
Geschwindigkeit
Ebene
Zugbeanspruchung
Matrizenmultiplikation
Physiker
Momentenproblem
Stab
Klasse <Mathematik>
Differentialgleichung
Skalarfeld
Differential
Quadrat
Variable
Harmonischer Oszillator
Ende <Graphentheorie>
Integralrechnung
Schwingung
Vorlesung/Konferenz
Substitution
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Physikerin
Positive Zahl
Kraft
Gleichung
Frequenz
Zahl
Maßeinheit
Lineare Differentialgleichung
Integral
Konstante
Anfangsbedingung
Mathematiker
Gebiet <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Quotient
Homogene Differentialgleichung
Gleichungssystem
Lineare Gleichung
Gleichung
Differentialgleichung
Zahl
Lineare Differentialgleichung
Differentialgleichungssystem
Ordnung n
Minimalgrad
Vorlesung/Konferenz
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Lineare Abhängigkeit
Länge
Matrizenmultiplikation
Vektorrechnung
Besprechung/Interview
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Stetige Funktion
Gleichung
Norm <Mathematik>
Differentialgleichung
Lineare Differentialgleichung
Lösung <Mathematik>
Dimension n
Betrag <Mathematik>
Menge
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Lineare Funktion
Koordinaten
Funktion <Mathematik>
Lipschitz-Bedingung
Matrix <Mathematik>
Punkt
Matrizenmultiplikation
Momentenproblem
Gruppenoperation
Anfangswertproblem
Norm <Mathematik>
Skalarfeld
Index
Quadrat
Weg <Topologie>
Ungleichung
Stetigkeit
Abschätzung
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Funktion <Mathematik>
Zeitintervall
Numerische Mathematik
Rand
Eindeutigkeit
Vektorraum
Stetige Funktion
Gleichung
Vektor
Kompaktheit
Zahl
Null
Teilmenge
Konstante
Lösung <Mathematik>
Herleitung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 8: Reduktion der Ordnung
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 08
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30772
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Ähnliche Filme

Loading...