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Vorlesung 6: Satz von Picard-Lindelöf: globale und lokale Versionen

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das wurde einmal ein herzliches Willkommen zur heutigen Vorlesung die leider schon wieder mit dem halb angefressen Beweis anfängt ich sehr oft darauf dass keine Tradition zu machen aber die Dinger sind gerade so lang dass man es nicht immer unbedingt planen kann wird auch wieder besser wir sind wir waren da der letzten Vorlesung die globale Version vom Biga Länder darf uns anzuschauen also nochmal kurz alles Wiederholung um was ging es es um eindeutige Existenzform Lösung von Anfangswertproblem und werden aus dem Jahr wissen wir wenn die rechte Seite tätig ist dann haben eine Lösung und der Kalenders sagt wenn Sie zusätzliche Lizenzbedingungen haben also wenn ihre Funktion auf ihr Kreuz RWE nach einer des als die rechte Seite f muss tätig sein werden dann haben eine Lösung und sie muss eine globale Lizenz erfüllen normal Erinnerung was heißt das das heißt im Wesentlichen die Funktionen ist der 2. Variablen also Funktion f von TY der Variablen y Lipschitz stetig mit der konstanten L die an global ist also für alle T Y gilt daran halten ist sagte die Kardinäle aus dann hat das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung und zwar eine eindeutige globale löst also eine Lösung auf ganz E also ist die anfangs letzte Problem steht jetzt nicht da habe ich den Test haben wird oft genug gesehen dass sie wissen welches G und zum Beweis von dem Satz Hamburg bisher Folgendes gemacht wir hatten ganz am Anfang des Kapitels wollen wir ja nur das Anfangswertproblem schon um durch umgeschrieben äquivalente Integralgleichung und auf wir uns daran gemacht diese Integralgleichung zu lösen dazu haben wir uns zunächst ab auf kompakte Zeitintervall lefonie eingeschränkt gut entweder Eastern schon selber kompakt dann ist es kein Problem und wenn ich nicht selber kompaktes dann schaffen wir das Ei mit kompakten Teile der Wein aus das heißt auf jedem Zeitintervall von Ina eindeutig globale Lösung haben dann haben auch eine auf ihn und dann haben uns eine das vielleicht neues Konstrukt angeschaut ein Operator eine Abbildung 1 eine Vorschrift die Funktion auf auch Funktionen abbildet also ein Operator der sich stetige Funktionen im TV auf dem Intervall J und daraus eine andere stetige Funktion macht und zwar in der folgenden Weise to also ohne stetige Funktion eines CIO eine stetige Funktion die gegeben ist durch die rechte Seite unsere Integralgleichung y 0 +plus Integral von T 0 bis T er von S wovon es weg ist nun das war diese Oper Rate der sich jede stetige Funktionen eine andere stetige Funktion umrechnet und wir uns genau den angeschaut weil dass die rechte Seite unserer Integralgleichung ist also es Lösung von unsere Differentialgleichungen wenn dieser Ausdruck gleich ist in dieser Ausflug gleich US genau dann haben eine Lösung unseres anfangs mehr Problems das heißt Anfangswertproblem also dann ist Lösung des Anfangswertproblem Problems genau dann wenn diese Bildung hier gleich ist das heißt CEO gleich das heißt genau dann wenn un Fixpunkt von T das ist der gibt .punkt weshalb dieser Operator diese Bildung T wichtig ist weil sie dass die Integralgleichung über lösen wollen wieder übersetzten ein Fixpunkt Problem und und sagt der finden jede Lösung unsere Protonen Anfangswertproblem sinnlose Integralgleichung ist fix .punkt von dem Ding und umgekehrt ist jeder Fixpunkt von den Dingen Lösung zum anfangs wert und die Idee ist jetzt auf diesem Operator hier denn Weihnachten Fixpunkt Satz anzuwenden der gegen jedem vollständigen metrischen Raum also insbesondere auf so schöne normierten vollständigen Raum wie das die stetigen Funktionen sind und wenn wir zeigen können dass dieses T auf diesen Raum die Distrikte Kontraktion ist dann wissen was hat genau einen Fixpunkt und genau ein Fixpunkt bedeutet eben genau eine Lösung unserer integer greifen damit genau eine Lösung unsere Anfangswertproblem und ja die gesagt man kann das nur wenn man das so direkt ansetzt dann würde man natürlich auf diesem Raume der ländlichen nahm den ländlichen Raum nehmen wenn man das macht stellt man fest der beweist klemmt noch an einer Stelle und es ist sinnvoll wenn diese Stelle zu einer anderen Norm überzugehen und der dich aus eingeführt das ist eine zusätzliche Freiheit die man sich zusätzlichen Parameter den man sich spendiert der jedes Alfa größer 0 definiert man enorm auf die folgende Weise die einvernommen von ist das zu Bremen über Tee aus J von Betrag von The bis hier ist es jetzt so Subregens nahm also die wachsen müssen und dass sie nur mehr wenige licherweise haben das entspräche Ei-Vergleich unendlich und was man jetzt noch macht ist man dämpft das Verhalten von für große Zeiten weg also hier mit e hoch -minus Betrag 10 0 -minus T gezeitigt ich einfach also mein Schatz des Supreme und von dieser Funktion ein auf JJ kompaktes sind weil es nicht die die Funktion des Subprimes müssen endlich und dann kann man sagen dass es auch eine Norm auf diesen Raum hier das Ei vergleichen nämlich wissen dass sein werden in dieses und so bremsen und dass es für jedes also größer 0 auch enorm hier drauf und dann außer nachgerechnet dass diese Norm äquivalent ist so dringend Normen und das ist deswegen gut weil das bedeutet wir jetzt Konvergenz oder allen Stetigkeit oder sonst was angucken dann ist es
völlig wurscht ob sie diesen Raum oder die Namen nehmen wenn EG Valenzen erzeugen sie die gleiche Topologie das bedeutet aber auch weiter dieser Raum mit dem Ding hier vollständig ist und jede große Folge die bezüglich dem den konvergiert auch bezüglich dem umgekehrt dass der Raum auch mit jeder dieser Norm feucht ist also haben wir einfach nur zusätzliche Freiheit gewonnen wir können diesen Raum der stetigen Funktionen mit der als aus ausstatten mit jeder und wir bekommen immer vollständigen mit immer mehr darauf also ist immer ein Banachraum egal welches Alter sich in den und was wir jetzt noch zeigen müssen oder dass ich jetzt noch zeigen will ist das unser Operator T auf den stetigen Funktionen mit für geeignet ist Alfa mit dieser als ohne strikte Kontraktion ist also schauen jetzt das sie an als Operator auf den stetigen Funktionen mit der einvernommen in selben Rahmen ehren und ich will zeigen dass es nicht richtig Kontraktion wenn wir das alles war geschickt wälzt klappt nicht für jedes Alter aber ich will wir werden sehen es gibt ne geeignete Wahl von als war so dass das Denken nicht regte Kontrakt zumindest nicht richtig Kontraktion des bedeutet das das ist genau ein Fixpunkt hatten nahm Fixpunkt Satz und das bedeutet unser Anfangswertproblem hat genau eine Lösung zwar genau eine Lösung in dem Raum hier das heißt stetig auf ganz laut und das gilt für jedes J also stetig auf ihn so dass es noch zu tun das ist die Stelle wo wir letztes Mal stammen also über eine strikte Kontraktion das heißt wir müssen uns anschauen was macht sie mit 2 Elementen des Raumes und mit dem Abstand davon also wenn man uns und stetig auf Mitwirkenden des und betrachten uns den Abstand von Cleo zu TV weil das Ziel muss ja am Ende sein sie muss am Ende sein dass sie irgendwo hinten steht kleiner gleich für konstante Kuh mal der Abstand von zu fahren und Co ist leider ein Fehler dass das Ziel und Co wird der Platz reicht ich glaube ich muss noch wirklich so also was ist der Abstand von CDU zu TV gesinnte normierten Raum ist enorm von der Differenz von TU zu ab so und zwar die einvernommen wie gesagt mit den angenehmen Effekt dass wir nachher noch das alpha geschickt werden können so wie es uns passt so selbst ein das ist und TV Definition von The steht hier das ist die eine Veränderung von Y 0 +plus dem Integral von 10 0 bis Variable er von so von ist er ist -minus das von Frau Y 0 -minus Integral von T 0 bis T er von SV von SR 1 nicht lesen .punkt Frau von STS das der .punkt bedeutet hier steht die Variable ich habe in der normale Funktion stehen und keinen Funktionswert insofern kann ich da kein T schreiben zumindest wenn man Forest ist so jetzt sieht man das 1. Mal die y 0 machen den Abgang dann kann man das alles unter einen Tag reinziehen und ich schreibe ja wenn was also sein die 13 aber das Integral von 10 0 bis .punkt von so von S -minus 11 von SV von S die es in der Alfama zum einen was die alle von Rom bedeutet das das Maximum ja das Supremo ist wo DBT aus sie hat von der Funktion die da drinne steht also ich von Betrag Integral von T 0 bis T E er von so von S -minus 11 von SV von S es so das ist ich denke die einvernommen wir müssen wegen des Supreme oder Maximum wo ist über die Funktion des ist das was bisher dasteht mal diesen exponential also mal e hoch minus 10 0 -minus t halte ich als und hier ist es so das Maximum 10 also eigentlich noch mehr zur zur jetzt sieht man schon so ein bisschen wo die Fahrt hingeht hier drin steht eine Differenz von 11 an 2 verschiedenen Stellen der 2. Variable wir wissen das Ding ist da drin jetzt tätig werde sieht man schon dass wenn man also absetzen WGL mal die Differenz der beiden dazu müsse es den Betrag in Bremen also erstmal die Dreiecksungleichung für Integrale drauf werfen also bringe den Betrag nach innen also Maximum BMJ J vom Betrag T 0 bis T trat er von so von S -minus 11 von SV war von S Betrag S Drehbuch -minus die 0 -minus tätig das war einfach die Dreiecksungleichung für Integrale ein Betrag schlicht so fehlt noch da könne jetzt jeden drin mit Zuständigkeit für werden weil es ist der 2. Variable zieht stetig also 11 eine Stelle mir sehr von der Stelle v kann nicht abschätzen durch die Lizenz konstante L mal den Abstand von zu Frau also bleibt hier mit der jetzt mit der globalen Lizenzbedingungen würde gilt für alle C in JNI und für alle und Frauen der D kriege ich hier das ist kleiner als das Maximum The aus die Ort über Betrag vom Integral T 0 bis T L mal Betrag wovon
es -minus Frau von S DS und dann fehlt noch der hoch minus 10 -minus 10 0 geteilt durch ein Sau ja gute Frage ich hab hier nach der Reisenden aus immer noch Betragsstriche geschrieben die gleiche Frage habe mir alle meine korrekt würde sie vom Skript auch aufgetischt aber die zur Antwort ist einfach das in dem ich hab keine Ahnung ob sie links oder rechts von 4 0 ist es könnte also sein dass Sie meine D-Gray Grenze falschrum stehen und da ich kann warten Fall der Scheidung zu machen und das was sich in den kann ich dadurch auf dass ich Betrag draußen stehen denn das liegt eben daran dass das Klima der erwähnte Grein nachdem dies gemacht haben die Orientierung hat so weit in der Welt integriert oder in mehrdimensional unterwegs ist dass sie das nicht mehr arbeiten eindimensional muss man aufpassen wenn man die Reihenfolge wenn man nicht weiß ob das illegal richtig und der wird häufig nicht nur wenn man die Dreiecksungleichung hinschreibt zur jetzt lohnt es sich mal wieder dran zu werden ist das Ziel war das Ziel war ja am Ende steht Kumar der Abstand von zu V hier innen drin steht immerhin schon mal der Abstand von von ist zu Frau von ist daraus will ich jetzt eine Alfa von o -minus Frau machen dass Abstand von zu Frau ist ja die Altvorderen von zu -minus Frau deswegen friedlich mir jetzt hier denn passen exponential zermahlen das ist Maximum The aus die Ort über den gerade besprochen ominösen Betrag T 0 bis T das Eltern mal ganz vorziehen mal betragen wovon es -minus Frau von es mal e hoch minus es -minus 10 0 durch Allvar mal e hoch +plus S -minus 10 0 durch eine Fahrt dem was ich damit dazu gemacht da wo sie natürlich wieder gutmachen der Betrag und er hoch minus 10 minus 10 0 durch alle nur sicher gehen und 1 eingebaut würden darf der einst die dafür da ist der sich jetzt mit diesen Ausdruck anschauen kann und der ist kleiner als die einvernommen von -minus vor weil die einvernommen von und -minus ist es Suprenum über diese Differenz leidet unter also das Ding jetzt kleiner so -minus v in der Alster normal dass die vernommen dass Subprime diese Ausdrücke ist das heißt ich kann diesen Teil des Integrals hierdurch abschätzen wenn ich das machen denn der Ausdruck von ist nicht mehr ab also raus damit es gleich elfmal Bruni das vnder einfach nur nein das Maximum EBT aus Art Integral von T 0 bis T was bleibt hier drin stehen er auch der positive 1. -minus 10 0 Betrag durch Alfa DS mal sehen hoch -minus T minus 10 0 durch ein so jetzt fängt es schon an wozu wären wir hier vorne steht immer der Abstand von zu V aber richtig gut ist es noch nicht weil ich brauch wir von der was was kleiner als 1 ist das L essen L das kann noch 300 57 seine sowie das konstante Wärme nicht vorausgesetzt es wird stets konstante klein also da ist noch nicht die muss der Termin noch helfen der muss noch dafür sorgen dass das kleine und das ist jetzt leichter .punkt das Alphabet der das gute ist nämlich was jetzt hier übrig ist das Integral das kann man einfach ausrechnen gegen die gerade wenn ihre Funktion des mittels einfach ausgeht dazu sind Fall angenehm nun rum zu substituieren setzen Sie mal Signal gleich Betrag ist -minus 10 0 wenn Sie das machen dann steht hier das was wir haben wollen allen mal der Abstand von zu Freunde als das Maximum bleibt stehen Maxentius hat so was passiert mit den Grenzen von Integralen mir das T 0 ist dann ist das sich man 0 wenn das 1. Ziel ist dann ist das weg war der Abstand von Tür zu Tür im All ihr bleibt einfach stehen eher hoch sie dadurch alles war ja und wohl nur in welchen Vorzeichen die mich eh nicht interessieren steht da die 7 a ja auch -minus T minus 10 0 durch so jetzt kann man es sind die gerade einfach ausrechnen er mal der Abstand von zu vereinfachen der mal das Maximum über Tee aus Fiat Stammfunktion von ihr Signal durch Eifer es einfach mal diese Ehe Funktion also als er hoch Signal durch Alfa in den Grenzen von 0 bis Betrag 10 0 -minus stehen und das Ganze multipliziert mit den Termin was die ganze Zeit mit uns rumschleppen er auf minus 10 minus 10 und ich ein 10 a also Wassermenge des Alfa immer ganz nach vorne ziehen das jetzt über die Grenzen ein Arbeits kriechen es gibt eine Herausforderungen auf weite für Entfernung einsetzen also das steht er mal der Abstand von zu fahren der einfach nur so weil es die Sache gut das alles war das Maximum The aus Jagd so ist die Grenzen einsetzen er
hoch auch Betrag 10 0 -minus die durch Alfa ist die Obergrenze -minus 9 0 es am einfachsten -minus 1 und dann kommt der Termin war die ganze Zeit und schleppten ihn auf minus t 0 -minus t durch nein jetzt der das sieht hier noch was relativ zu wunderbares nur wenn sie denn hier rein multiplizieren einigen sich die beiden hier genauer also ich steht man alles war mein -minus V in der eines anderen das Maximum von The aus der Ort von 1 -minus wird der Mann der S 1 -minus er hoch Minusbetrag 10 -minus 10 0 durch ein fuhren jetzt ,komma langsam den Staub sich setzen lassen und mal schauen was wir nicht erreicht haben dass man in lange Absätze wo aber nicht wahnsinnig viel passiert ist haben die Definition von also Norm eingesetzt werden entscheidende Punkte Lizenzbedingungen 11 ausgenutzt dann aber richtig gebastelt dass sie wieder die einvernommen von o -minus vorstellt und dann weniger übrig das einfach ausrechnen können und jetzt steht wenn Sie da das was wir haben wollen es damals dieses Maxe mir noch mal kurz an der Exponent von dieser Funktion des immer negativ wenn man Betrages positiv des Eifers positiv der Ausdruck hier ist also was zwischen 0 und 1 ich irgendwas sich nun 1 von 1 abzielen ist es immer noch zwischen und 1 also das da bis weniger als 1 , also ganz weglassen viel kleiner gleich Elmar einfach mal den Abstand die Stadt mir extra so von zu Frau so und jetzt sehen Sie warum das warum wir das als eingeführt haben weil das alles weiß sind unsere unserer Zeit unser Retter in höchster Not wir brauchen hier mit Konstante die kleiner als 1 ist die Rechnung geht für jedes Alter größer 0 drehen Sie das einfach so klein ist brauchen kann dass es da noch so groß sein dass sie gar nicht niemals alt vor meine viel Auswahl aber eine übliche Setzung ist setzen sie als ein vereinzelt etwas denn Sie das als einziger +plus 1 nehmen Sie hier er durch etwas als stehen das ist kleiner 1 und damit ist die Sache gut mit dann ist er einfach gleich durch R +plus 1 Strickkleider 1 also T eine strikte Kontraktion in diesem warum also in dem Raum der stetigen Funktion mit der mit dieser einvernommen Mitte dieses als hier diese Bäckerei Lenze so Bremens nahm also vollständig das Erste Bahnassi Fixpunkt Satz zieht und wir wissen unser hat in dem Raum einen einzigen Fixpunkt ohne dass die da drin ein Fixpunkt hat ist dass das diese Fixpunkt für die wurscht welchen Raum sie auch den Raum setzt Mehr das weiß ja nicht welchen normiert gerade ich modisch ist sondern dass hatten Fixpunkte da keine Fixpunkte aber das heißt sie haben genau einen Fixpunkt von dem T und damit haben wir genau eine Lösung zum Anfassen und dann ist das Ding erledigt sehen auch wenn man das Ganze jetzt ohne dass Alfa probiert dann klappt das nicht wie gesagt ohne dass ein Fahrgast sammelte so Bremens Norm entsprechen den Fall als Vergleich unendlich der sehen Sie schon oder Alfa sehr groß da sehen Sie schon dass es hier nicht der Punkt dass man jeden Beweis braucht sie kleine ein je nachdem wie das sehr große muss man das einfach sehr kleine zur damit haben wir den globalen Tigerländern lassen bewiesen das heißt wir wissen jetzt wenn ich rechte Seite ab die nicht nur stetig ist und der 2. Variable stetig da hab ich nicht ne Lösung sondern ist eine eindeutige Lösung für jedes Anfangswertproblem und schönste aller Welt diese Lösung existiert nicht irgendwie sondern sogar global auf dem ganzen Definitionsbereich von etwas im ganzen derweil es gibt noch 2 Bemerkungen dazu eine erfreulich wenn eine weniger erfreuliche er war mit erfreulichen an im Gegensatz zum Beweis vom zu und Satz von ja nur schönen Beweis hatte der aber komplett und Konstruktivist ist der Beweis der sogar in dem Sinne konstruktiv also eben nicht nur sagt das Dinge an eindeutigen Lösung so dass sie für die Normung Verfahren mit wie sie die zumindest annähern können es nicht direkt berechnen aber zumindest approximieren den hab ich letztes Mal hingeschrieben der Bahn Fixpunkt Satz sagt nicht nur einfach irgendwie was ragt der GC Fixpunkt sondern sie kriegen auch Methode den zu nähern über die folge der in der sukzessiven Approximationen den 7 wie den Tee einsetzen also das Bibbern also Fixpunkt Satz liefert außerdem noch egal mit welcher Funktion mit welcher zu zeigen geraten Lösung unwohl in den stetigen Funktionen sie anfallen konvergiert die Folge der sukzessiven Approximation also konvergiert die Folge u n im Raum der stetigen Funktionen die gegeben ist durch oh n +plus 1 von 10 ist to n von viel mehr das ist ja die Folge dieser Mann dem .punkt Satz wer werden müssen wenn sich 3. Kontraktion am Comeback dann können sie den fix funkchor mit irgendwo starten und dann setzen sie ihren Startpunkt .punkt in die Funktion ein die strikte Kontraktion des und wieder das Ergebnis in die Funktion einer sich immer das die das heißt die Rekursion Vorschrift hier so endlos 1 kriegen Sie als y 0 +plus ist integraler von T 0 bis T er von S un von S DS also setzen sie hier ihren und 0 1 kriegen 7 nur einsetzen so eines einzigen SiO 2 und dabei nach Fixpunkt .punkt Satz garantiert Ihnen diese Folge von UNS konvergiert in diesem Raum C jmd das heißt sogar auf jeden kompakten Menge gleichmäßig gegen ihre Lösung und dann sogar das .punkt Satz gibt sogar noch Konvergenz Geschwindigkeiten raus es konvergiert sogar im Wesentlichen ehren die Negierung des also wenige metrische Folge exponentiell wunderbar Konvergenz und das ist ein nur ein Zeichen für die Stärke der Numerik dass das nicht dass dann der Verfahren ist mit dem tatsächlich numerische Löser arbeiten mit Sophie raffiniertere die noch besser sind aber es auf jeden Fall eine 1. Methode wie man man anfangs Probleme auch numerisch gut lösen kann wenn man das dann an dem Verfahren ist die können statt der reinstecken und
Kriegen auf jeden Fall na ja das was den Lösung konvergiert dieses Verfahren heißt nach dem Menschen von den die ein also dem einen Menschen der diesen Satz erfunden hat die kalte Ration ab genau als ich hab den Satz und nicht die fertiggemacht das den konvergiert gegen die eindeutige Lösung des Anfangswertproblem ist und zwar bezüglich ja erstmal bezüglich der Alfa enorme weil damit dass hingewiesen aber die verloren ist äquivalent also für uns normal also sogar bezüglich der Supremes nahm und diese Bremens nahm bedeutet gleichmäßig sogar nicht nur irgendwie saumäßig schlechte sondern recht gute Konvergenz das den kommentiert gleichmäßig es muss aber aufpassen wir hatten am Anfang das Argument raus reduziert das für jede kompakte Teilmenge von I anschauen und auch nur das kriegt man also man kriegt das heißt es es komme die gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge J von E Na also ,komma geht nicht auf die gleichmäßig weil auf die können wir das beim Fixpunkt als Argument nicht durchziehen weil sie dafür dass das Tier ein Banachraum ist brauchen dass das Intervall kompakt ist aber auf jedem geparkten Zeitintervall von IT Gewinne gleichmäßige Konvergenz zum Konvergenz Verhalten kommt recht häufig vor insbesondere der Parallelveranstaltung zur Funktionentheorie wenn Sie das denn nicht sehen das das typische Form ergänzt dessen Potenzreihe hat die konvergiert .punkt Weise in Konvergenz Bereich auf jeden kompakten teilte derweil das Konvergenzbericht gleichmäßig genau das Verhalten was Potenzreihen haben und von denen gibt in der Funktionentheorie die ein oder andere und dieses Konvergenz Verhalten nennt man kommt deswegen auch komplett Compaq gleichmäßige Konvergenz wenn der Begriffsinhalt irgendwo unterkommt das ist damit gemeint gut ein Beispiel zu den 7. Sorglichkeit der Nation ich noch vorführen das wird auch mal im Betrieb gesehen haben irgendwelche komplizierten Differenzialgleichung ist die natürlich ein Papier auch nicht besonders Trolle weiß immer noch nicht Funktion integrieren müssen und dass es komplizierteste das Integral hässlich aber das ist natürlich wenn man dann numerisch betrachtet nicht das Problem für Integrale geht sehr sehr gute Näherungsverfahren allen insofern kann man damit tatsächlich arbeiten denn ich bin aber jetzt dass wir natürlich darauf zurückgeworfen ein wenn es von Hand rechnen will kein zu kompliziertes Beispiel zu nehmen und ich wir zurück gehen auf eine Differenz gewann anfangs der Anfangswertproblem das wir schon gelöst haben als der ganz am Anfang beigetreten veränderlichen waren Y strich ist Thema y denn auch ein kompaktes Intervall zwischen -minus 1 und 1 Baumann anfangs wird y von 0 bis 1 dann zunächst mal es ist gut sich zu belegen dass das den tatsächlichen Problem ist nah Anfangswertproblem ist bei dem unser globaler Satz von Kriterien FCI also was Sie das etwas ist die rechte Seite er von TY ist jetzt mal y das ist der 2. Variablen sogar lineare Funktionen dementsprechend unglaublich gut mit jetzt stetig also das den bestätigt und unerfüllte globalen Lizenzbedingung ja insofern zieht unserseits können so mal kurz nachrechnen er von TY 1 -minus 11 von TY 2 ist y 1 -minus T y 2 jetzt wissen wir täglich zwischen -minus 1 und 1 also können wir das Betrag C abschätzen durch 1 und dann haben sie Mitchells Bewegung mit konstanter 1 sehen aber auch man braucht an der Stelle ihr dass das Tier zwischen -minus 1 und 1 liegt oder auf einem kompakten Intervall wenn ich versuchen würde das mit den er zu machen dann hab ich in dem Sinne keine globale SPD und dann müsst ich wieder die Bastellösung Lösung was mir weismachen machen mich auf jedes kompakte teilte derweil einzuschränken funktioniert aber auch so also wissen wir das Anfangswertproblem was wir drüben haben es eindeutig lösbar damit erzähle ich Ihnen noch nichts Neues weites Hamvas ungelöst bei bei getrennten veränderlich am festgestellt da gibt es ne eindeutige globale Lösung das war das Beispiel 3 5 a da wir die Lösung ausgerechnet in dem Fall kann man mit getrennten veränderlichen das explizit machen und von TSE auch -minus C-Quadrat halte ist Lösung und zu 0 einsetzen kommt 1 raus und das Ding differenziert sieht man dass es passt worum es jetzt geht es sich wie in einmal digital Ration zeigen einmal konkret an dem Beispiel zumindest die 1. Tat Herrn ausrechnen also selbst nur mal die kalte Nation hier an dann braucht man erstmal und Stadtwerke waren so nur und nun ist natürlich sinnvollerweise mir schon mal eine gute Näherung der Lösung wie meinen das Verfahren sagt es konvergiert für jedes und wohl aber viel besser ,komma gänzlich schneller man dahin kommen will du bist mehr dem muss natürlich Staaten ehren bei dem wissen wir jetzt die Lösung da sie könnten jetzt natürlich die Lösung als Startwert nehmen können Sie machen eine so 0 1 so 1 gleich to 0 to 0 zu 0 Weiße Lösung ist also so ein kleines Grinsen konstante Folge das bisschen langweilig deswegen was macht man denn im Normalfall wenn man das nicht weiß man überhaupt keinen blassen Dunst der Lösung aussieht dann ist die übliche Methode wieder das Minus muss weg ja das Minus Schusswechseln Recht zu viel mit Klaus glauben gearbeitet gut man lassen Dunst ist die übliche Variante man nimmt die Funktion konstant Startwert ja das ist das was
man sozusagen die der die die minimal Rate Variante dann weiß man eine Stelle T 0 1 dem vernichtenden 0 stimmt schon mal also das ist so der das was man immer machen kann und nur von CD ist einfach y 0 also in dem Fall 1 für alle C aus -minus 1 1 1 so was wir dann das U 1 muss man nur einsetzen U 1 von The ist anfangs wertlos Integral von Anfangszeitpunkt er von erst um 0 von 1. es das ist die Formel das System to nur also y 0 in dem Fall 1 der Nodes 0 Integral von 0 bis 10 das muss ich die Funktion die konstante 1 Funktion des F einsetzen kündigt Thema 1 ist also es es ja das ist es nicht so schwer sind die gerade hier gibt Nahles C-Quadrat ist 1 plus Inhaltes C-Quadrat das wäre die 1. Approximation so gemein weiter rechnen oder so was 2 von T gleiche Formel wie hier Startwert 1 bloß Integral vom Startzeitpunkt Mystery und jetzt da drin er von S und U 1 von S also müssen es 11 Einsätzen 1 plus ein halbes es Quadrat die mal also erst mal 1 plus 1 ist Quadrat gibt es bloß mal bis es hoch 3 ja das kann man auch integrieren das sind alles wunderbare Polynome kommt aus 1 +plus S in die gilt gibt halbes es Quadrat Grenzen eingesetzt geknallt C-Quadrat um 0 nein das ist doch 3 integriert gibt kann 8. so 4 also bloß ein Achtel Teofila -minus 0 das ist unser und ein was ,komma weitermachen und stellt fest da kommt jedes Mal so meinte zu und das Beispiel ist dass er besonders schön und wird deshalb in fast jedem Buch vorgerechnet weil das wenn man es genau so macht hier zufällig auskommt ist genau die das Eigenentwicklung genau unter einer Reihe von der Funktion er hoch C-Quadrat halbe ist nach nach E Funktion dass die Summe über 1 durch 2 hoch N The hoch CO 2 durch n Fakultät durch n Fakultät Mehr denn wenn man mal da die 1. paar ins einsetzt in gleich 0 liefert 1 1 1 1 liefert 1 n gleich 1 lieferten halbes C-Quadrat n gleich 2 lieferten Viertel CEO 4 mal 2 Fakultät als und 8. sie hoch 4 und sie sehen das ist 0 das es so so 2 immer weiter passiert jetzt tatsächlich sind das jetzt immer 5 ist genau sind genau die 1. 5 zum einen der Täter das jetzt kein Missverständnis aufkommt das liegt nicht an Besonderheiten gibt die kalte Rationen wer immer so sondern das ist das Beispiel ist dafür einfach genauso gemacht das passte mir der Zufall haben Sie deswegen ist es für ihn jetzt auch ohne viel alles auszurechnen und die Konvergenz genauer zu betrachten die kalte Nation funktioniert in dem Sinne geht es dir genauso gut wie das mit der leidtun gut das war die hatte gesagt ich hab zudem Satz noch 2 Bemerkungen des man positive jetzt kommt die in gewisser Weise wissen ernüchternde der Satz ist unglaublich stark meint er lieber die auch das maximale ja lieferte eindeutige Lösung für jeden anfangs die auch noch global existiert dann schon gesehen das passiert nichts nicht immer und wenn sie versuchen diesen Satz anzuwenden werden Sie feststellen erzielt Alfani sie können ganz einfache Gleichungen schreiben die von den sie aus schon aus dem Vorigen diesem Wissen diesen wunderbar zum Teil sogar global lösbar bei den Staatsanwälten so gut wie hoffnungslos wir sie daran dass in extrem starke Voraussetzungen hat ja also das ist jetzt die Bemerkung von 5 die globale Lizenzbedingungen ist ne tolle Bedingungen aber für für konkrete Anwendungen also und zwar als konkrete Anwendungen jetzt hier auch noch durchaus sehr abstrakt aber wenn Sie konkrete gleichen Namen soll das Ding verwenden ist die extrem restriktiv also zum Beispiel können Sie es schon nicht anwenden auf die folgenden Beispiele die Welt vom behandelt haben denn sie das da drüben y Landstrich von The ist Thema y von T mit Tee aus er Na also mal den hier drüben gesehen dass die nackte schöne globale eindeutige sonst was alles Lösung kein Problem und sie können Satz sich anwenden zumindest formal nicht wahr wenn sie die globales ist wenn die Dämmerung durchrechnen wollen haben Sie das denn den und wenn sie versuchen das auf er durch irgendwas zu beschränken und zum Problem nur 1 kann man wie der an der Sieg aber noch Tricks kann sagen ok ich hinnehmen erst mal nur das Intervall von -minus 1 bis +plus N 1 ist dann kompakten es abschätzen lässt wie jedes N machen Herr er kann man kann man sich denn ich wusste aber für das trotzdem nicht aber an der Stelle könnte man auch sagen ok ist Schönheitsfehler aber das Umgehen mit dem Trick aber dann gibt es andere wo es einfach grundsätzlich schief geht dabei ist einigten genau das aber also werden zum Beispiel die ihr mir das nicht gleich genau werden zum Beispiel die ihr das ist ein ganz anderes Kaliber der auch angeschaut ist das 3. Cosinus mal ihre Wurzeln an bei der hier liegt das Problem in C dies tätig y nur die letzten 12 hängt von Theater des ist nicht mehr in den städtischen y so weit sie für Y nach ganz in dir danach ganz ehrlich und das kann man nicht so einfach aus auflösen wie man sagt mehr Bescheidenheit gucken uns nur Verzehr von minus 1 bis N 1 Ungarn auch gesehen bei der Gleichung darauf das Ding nicht ziehen beide je nachdem was der anfangs einmal festgestellt hat dem Wahllokal Nummer globale Lösung dass man dieses Beispiel für die Box für einige anfangs werde so schön geschwungen globales den Ausgaben für manche anfangs ging das in die pro Stück .punkt also das heißt für diese Anfangswerte darf der Satz ja auch gar nicht sie weiter gibt so Lösung aber keine global Untersatz liefert automatisch globale nur und das Problem hier ist das ja keine globale Lizenzbedingungen
hinkriegen weil Ehe Funktion eben nicht globale bestätigt so und das ja und man sieht ja auch dadurch dass die globale Tiefsinnigkeit Field geht wird es weder anfangs wer Beruf gewählt ist hier die Globalität Erlösung verloren und ich bin jetzt zeigen die Globalität geht zwar verloren aber die Eindeutigkeit nicht und das führt uns auf den lokalen Satz von Dieter Lendle läuft es stellt sich nämlich heraus besonders es überlegt gar nicht so verwunderlich diese Eigenschaft dass die Lösung eindeutig ist die also oder anders die löst Eigenschaft dass die Lösung global existiert die hängt daran dass man die globale über alles über die ganze I und das Ganze eher die gelten Lizenzbedingungen hat aber die Eigenschaft bestes den eindeutig lösbar ist dies in gewissem Sinne lokale Eigenschaft soll heißen wenn ich weiß dass es in jedem .punkt in Wien und Umgebung ist da reicht es für Eindeutigkeit und das ist deswegen nicht verwunderlich weil was passiert denn wenn die Eindeutigkeit schief geht was erinnern sich an die Parabel 1. vom letzten Mal die Eindeutigkeit schief dann kann die Lösung sich einem Punkte wie aufspalten der .punkt ein y von The gibt es 2 Möglichkeiten wie es weitergeht und die Lösung läuft auseinander und das ist völlig egal ob das passiert oder nicht ist völlig egal was der völlig andere Ozonwerte geht es für die Frage was ist an diesem Punkt man sie eben Datenlecks Dichtigkeit an dieser Stelle haben oder einer kleine Umgebung von der Stelle dann gerannt dann sorgt das dafür dass die Löhne wieder sollen auch und das würde auf sogenannte lokale Lizenzbedingungen in dem man nicht mehr fordert sie brauchen ein L für alle sondern um jeden Punkt muss ist meine Umgebung geben auf dem das Ding mit viel stetig ist aber wird jetzt konstante darf sich mit mit dem Punkt den Sie betrachten N das ist die so genannte lokale Lizenzbedingung dafür versprengten Verbände nur meine eigene Definition war das Ding braucht man immer und immer wieder also besinnen und dem üblichen Setting während der Wahlen A Teilmenge des von ihr Kreuz er die auf dem unser erflehen also jetzt wieder auch durchaus erlaubt ist das 11 nur auf eine Teilmenge des lebt es beim globalen Lizenz im globalen dekadente Löw auch verboten da bronzene rechte Seite 11 die auf ganz des definiert ist muss auch so sein weil wenn das 11 nur sagen mal auf dem Kreis definiert ist dann können Sie nie garantieren als er das nur so cool definiert dann können sie nie garantieren dass dessen globale Lösung haben weil es könnte ihn passieren dass die Lösung losläuft irgendwann zwar ganz brav überhaupt nicht explodierte Templo ab hat oder nicht sondern einfach Dinge Definitions den Rang von Definitionsbereich vom es knallt und dann ist natürlich weg weil wo sonst weiterhin er das heißt auf die Weise können können Lösung auch wenn sie existieren und dort zu haben wenn das es nicht überall definiert ist das heißt wenn Sie es lieber definiert haben dann ist mehr Hoffnung auf dem Global also auf der allgemeine Aussage die globale Lösung x garantiert schwer durchzusetzen können so arbeiten jetzt wollen wir nicht mehr globale Lösung sondern auch eindeutige Lösung deswegen darf dass es wieder auf und einer offenen Teilmenge von die Kreuze definiert sein so dieses F und je nach RD von dem sagen wir es erfüllte lokale Lizenzbedingung wenn die Funktion im letzten stetig S um die in einer Umgebung und .punkt also in ausführlichen weil für jeden .punkt 10 0 Y holen also dem sich einen .punkt in die hier muss es eine Umgebung geben von den .punkt denn wenn ich mal von 0 y 0 also das ist die Umgebung von dem .punkt Phontänen y 0 und den dazugehörigen konstante 11 unter 0 zu 9 0 so dass sie Lizenz Stetigkeit auf dieser Menge habe mit der konstante also der Abstand von 11 zu 10 für mich die hier genannt y 1 -minus 11. von TY 2 ist kleiner gleich diesen Lipchitz konstante LC 0 y 0 mal der Abstand von y 1 y 2 und das muss jetzt gelten für alle Paare y 1 und y 2 in dieser Umgebung unter 0 y also um jede sozusagen möglichen Startwert und stark wird also Stadtzeitungen wird muss es nun eine beliebig klein aber es muss Umgebung geben in der Seele Vielstimmigkeit haben aber diese beschützt Konstante die davon den 4 0 2 0 abhängen das heißt wenn Sie zum Beispiel dem Beispiel hier oben sind sind sehr locker drin weil die Funktion es war nicht globale stetig aber um jeden Punkt können Sie natürlich ein kleines Intervall angeben wo die Steigung von der Ehe Funktion beschränkt bleibt und da damit haben sie dort Stetigkeit und gibt es konstante explodiert natürlich wenn das y groß wird aber das uns ganz egal Sie brauchen eben ohne lokale Sitz Konstante die an jeder Stelle anders sein so wir das macht dann kann man damit bestellen lokalen Tigerländer formulieren vielleicht vorher noch die kurze Bemerkung dass das jetzt wirklich ne Bedingung ist die in diesem Sinne nicht mehr sehr starkes und sehr restriktiv für wahnsinnig viele Funktionen gilt zum Beispiel seine Not ein eine hinreichende Bedingung kann man sich mit dem Mittelwert der Satz überlegen und das werden sich hoffentlich auch Übungsblatt tun wenn ihre Funktion einfach stetig differenzierbar ist also die rechte Seite f ist nicht nur stetig sondern so richtig differenzieren dann erfüllte immer lokale Chats bedient und das ist wunderbar hat handhabbar als Kriterium um eben diese lokale Zinsbindung nachzuprüfen sie müssen mal keine kleine Rechnung man sie müssen also nur sicherstellen dass ihre rechte Seite stetig differenzieren dann eigentlich reicht so möchte ich den für nicht also brauchen einfach die Differenzierbarkeit von F auf den Weg und insofern wenn man sich das Ding da oben anguckt muss man auch nix mehr abschätzen Cosinus von Thema und und ist sowas von stetig differenzierbar also es ist okay liegt so wenn man die hat und wenn man damit in die lokalen Tigerländer schreiben der widerlegt Eindeutigkeit Resultat ist anfangs mehr Probleme die Globalität geht verloren was denn gerade schon genannten Gründen aber sie kriegen immer noch Eindeutigkeit der ich da also die Frage so diese Konstante von Umgebung haben durch im Mittelpunkt die hängt natürlich auch von der Umgebung ab also Umgebung ändern müssen Sie eine konstante ändert aber es ist das hier oben das so zu lesen also die Quantoren Stimmen sozusagen schon für jedes Tier und y 0 muss es möglich sein eine Umgebung und 1 EL zu wählen so dass das Geld sie müssen nicht für jede Umgebung L angeben Strand überhaupt niemand von ihnen sie brauchen dafür geben .punkt nun L sie ein Umgebung also tretet gegebene Punkte können 1 gegen 1 EL angeben dann ist gut ja also diese Ansage vornehmen abhäng gesehen völlig wurscht Bedingung verlangt nur für jeden Funkdienste Umgebung und Mehr ja also im Sinne dessen was das sind so zu einer 2. Existenz Quantoren vielleicht sollte ich das deutliche Mannesmann Existenz von der ja und 2. denn könnte man können Sie sagen auch sogar umdrehen könnten auch formulieren für alle 10 und y neu gibt es allen gibt es die Umgebung so das gegen den sie nicht nicht zusammen die beiden da
würde ich gern in die 2. Hälfte einsteigen und zunächst mal in einer kleinen vor der Presse Nummerierung im Skript an die Ihnen schon mal verraten was das Ziel der Angelegenheit ist so wenig Steuern also ich sage mal die lokale Version von Dieter Lindener das wird später das Theorem 15 sein also das ist die läuft lokale Version und das ist würde ich sagen die Version vom begann Ende die am häufigsten verwendet wird wenn man nicht gerade unbedingt globale Lösung haben muss was man eh sehr selten nur hat dann lohnt sich immer den solventen weil viel einfacher nachzuprüfen ist das schwieriger den globalen wirklich diese globale Stetigkeit der rechten Seite hin zu kriegen ist es im Allgemeinen nicht gegeben so wie sieht der denn aus sehr ähnlich nur statt globale lokale Lizenzbedingungen und statt eindeutige globale Lösung eindeutige Lösung also unsere Grundvoraussetzungen Intervall die denen Teilmenge von ihr Kreuz des und dann brauchen wir eine stetige Funktion von den ARD stetig damit uns der gerne wieder ne Lösung garantiert und der lokalen Lizenzbedingungen für die Eindeutigkeit also erfülle jetzt lokalen Lizenzbedingungen in D in der heißt also für jeden Punkt in D finde so Umgebung wird jetzt Konstante so dass das sind die Lizenzbedingungen haben und dann sagt der lokale die Gattinnen wirft dann hat für jede Wahl des anfangs wird also für jedes Wahl dass du bis 10 0 y 0 in D das Anfangswertproblem und so ähnliches Anfangswertproblem nicht ratsam einen Landstrich von T ist eh von TY von T wie aus E und y unterstellte 10 0 gleich y 0 hat dann genau eingelöst und dieses genau eine Lösung ist wieder so zu lesen wie das schon die ganze Zeit schon genau eine maximale löst sie kriegen natürlich durch Einschränkung auf kleinere Intervall immer formal andere Lösungen aber geben damit es gemeint es gibt genau eine maximale so und es gibt jetzt welche als jetzt 2 wesentliche Methoden dieses Resultat zu beweisen stimmt das natürlich ich weiß gibt garantiert noch 17 andere mehr aber sagen wir mal 2 übliche mit Hohn die eine ist man nimmt seine Elf und weil es in der Umgebung unter 0 Y 0 ist lebt jetzt geht ist da sehr kleine Umgebung musste zuständig ist dann schneidet man mit viel List und Tücke den ganzen Rest von 11 weg sorgte für er setzt das F durch ein anderes 11 das dann auf ganz in die globale stetig ist im Wesentlichen Bittmann außen alles auf 0 weit weg von dem Tier 0 zu 0 biegt man das ganze 11 auf nun und dazwischen macht man es halt so dass es schön mit stetig bleibt und wenn ich dann den global wieder den Bedarf an der natürliche falsche Lösung dieser aber man hatte das Problem geändert aber man hat es in der Umgebung von Tieren und y 0 0 nicht geändert das heißt am Anfang steht die Lösung überein und damit eine lokale eindeutige Lösung das will ich hier nicht machen weil das ist 1. technisch relativ aufwendig mit der Schneiderei und zweitens sieht man da nicht nochmal neu beweist Technik so nicht wie den noch mal ganz neu aufziehen und ganz anders beweisen mit noch nachdem wir jetzt Kompaktheit als sozusagen Schlüssel des Arguments bei Peano gesehen haben und Fixpunkt Argument beim globalen wenn ich jetzt mit Hilfe von ja eine Abschätzung zum Ziel kommen und das Haupt in die DDR jetzt in den Beweis ist das sogenannte Lemma von Grunwald und das einzige was mich beim Vorbereiten immer von Grund war gestört hat war dass es dass ich jetzt leer mein schreiben muss Waldgrund dieses Grunwald dieser ist Satz von Grunwald der könnte dürfte durchaus auch Theorien heißen bei dem braucht man so so so und so ständig und dauernd sein ganz wie Sie dieses Hilfsmittel wenn man es mit ja solchen Differenzialgleichung Integralgleichung zu tun hat weil noch bei Integralgleichung extrem wichtig aber das Ding heißt nun mal immer vom Grund in jedem Buch dies Lemma von Grund war also schreib ich les mein aber ich wollte gesagt haben eigentlich als das nicht mehr für die und ich frag ihn erstmal das Resultat sehen und dann sagen sie und es ist auch nicht zu toll der Kirchen was daran so toll ist also nahmen 3 Zeitpunkte Art nun und großzügig aus und es ist als Ganzheit .punkt egal also das des Bundestages die und wir haben 2 Funktionen und vor Ort bei der stetig auf dem Intervall 10 0 Systeme mit wird man aber und dann werd ich bitte schön auch dass das V strikt wo er größer gleich 0 ist als es vor so eine positive Funktion sein auf dem ganzen Wald in Multi so und dann noch das gesagt ist der Mann von Grunwald Folgendes wenn ich eine Ungleichung habe also wenn für alle 10 OT Zwischenzählung und das Folgen gilt das von stehe ist immer kleiner gleich das Haar bloß das Integral von T 0 bis T von SV von SDS also das ist eine Voraussetzung war das das Frau muss so sein dass für jede Szene diese Ungleichung gehen dann ist für jede Szene zwischen 10 Uhr und hier auch die folgende Ungleichung war dann so von T kleiner gleich an mal
die Exponentialfunktion vom Integral von T 0 bis T Frau von STS ja eben das was das deswegen heißt es den Glamour und ich bin sicher das 1. Mal dass werden wurde stand genau deswegen irgendwo im Kapitel 7 als auch muss und technisches Lämmer weil das wieder wo nicht Zell was hat man gewonnen Manast?r Voraussetzungen Wendung welchen gegen noch ne Ungleichung schuppig sollen sich die beiden ungleichen nochmal genauer anschaut stellt man fest die haben ein ganz definitiven qualitativen Unterschied die beim ungleichen und das ist das was weshalb dieses immer so wahnsinnig hilfreich ist das hier oben ist ich bin dass meine implizite ungleich es ist der Ungleichung für das O aber das O steht links und rechts das ist was was man dem Mann mit irgendwelchen Nutzungsformen der mit irgendwelchen Na also zum Beispiel unsere üblichen die Integralgleichung rechnet sehr einfach hin trägt dabei wenn sie an unsere Integralgleichung Denken steht da immer von The ist und Integral von und wenn man da ein ein bisschen abschätzen welche dann kann man sowieso was sehr schnell zeigen ist aber meistens gar nicht so toll weil man ja das oder sie selbst abschätzen wenn ich weiß was das ist dann weiß ich auch nicht viel oder so und was der Grund war jetzt nach macht dass dieser Mist impliziten Ungleichung explizite da sagt man das diese sich selbst bezüglich Ungleichung erfüllt dann auch die untersteht rechts keinen mehr dann weiß ich ganz hart wenn das diese in Dezibel erfüllt dann erfüllt auch hat die explizite ist kleiner als diese Zahl ha das ist deswegen ist es so tolles Ding und das man das 1. mal drauf gewinnen aber das das ist es entscheidend es gebe und dass die kath und wir werden dann haben wir damit das Eindeutigkeit Resultate weisen auch sehen wir uns das rettet an der Stelle wo man nicht weiß wie es weitergeht und das ist Grund zu verdanken dass der gesehen hat denn meiner weiterkommt so also aber nur was werden können müssen sich beweisen keine Sorgen zeigte ganz furchtbar langen Beweis ist vorbei also jetzt ist es sozusagen schon die Hauptarbeit er die 1. Hälfte von Hauptarbeit von dem für Siegerländer das wir brauchen das Grund 1 und ich ich und sie sogar noch einer gewissen Weise als wenn sie die Literatur schauen dann wird das Ding was ich Ihnen hier zeige üblicherweise als Spezialfall von Grunwald verkauft der allgemeinen Grunwald bin ich denke das ist original Grunwald und später hat man den einmal aufgemotzt der man kann dennoch allgemeiner machen man kann das an noch von The abhängig machen lassen mit gewissen Voraussetzungen und die Ungleichung ein bisschen kompliziert aber die Grundidee vom Grund weil es immer die gleiche die Grundidee ist immer implizite Ungleichung wird explizit um so des Weges als dessen Arbeit zu tun und wie so oft wenn Arbeit zu tun ist ist der Schlüssel zum Erfolg die richtige Funktion an dass es wieder Sohn klassische beweist die man schlecht das Übungsblatt geben kann ohne nicht ohne zumindest die Hinweis benutzen sie Folge ist unter n wenn man ehrlich ist funktional Epsilon also in den Mund Epsilon größer 0 gehen uns vor der Sicherheitsabstand denn wir nachher brauchen und irgendwann dann auf 0 schrumpfen lassen und mit diesen Epsilon definieren wo uns das richtige Aerzte lauern als ap plus Epsilon weil die Exponentialfunktion vom Integral von T 0 bis T Frau von SDS na also dies ha von selbst als 9. im Wesentlichen die rechte Seite der expliziten Ungleichung mit dem Unterschied dass wir statt aber selbst und im zur wir das machen dann ist das ja eine wunderbar differenzierbare Funktionen eine weil weil das Haus tätig ist das Integral über Frau stetig differenzierbare können also HY differenzieren und kriegen HY Strich ist neuer Abfluss selbst über mal die Exponentialfunktion wird beim ableiten die Exponentialfunktion von T 0 bis T V von SDS und jetzt kommt noch die innere Ableitung von Exponentialfunktionen müssen das Integral hier ableiten aber das ist nicht gerade Ableitung vom Integral des Islam Hauptsatz einfach Frau fand sah das heißt was da steht ist die Ablehnung von heizen ist wieder HY mal vor zur es gerne die Ableitung von HY und das ermöglicht uns das heißt wir nochmal anders hin zu schreiben und Hauptsatz der den Ticker Differenzial und Integralrechnung nun wir wissen ja das HY von T deshalb seinen 1. 10 0 +plus das Integral von T 0 bis T heizen strich von es ist es einfach der Hauptstadt für im Wasser steht fast das sind seit unter 0 einsetzen danach sind die Garantie 0 bis 10 0 ist 0 wir vor er hoch 0 es 1 bleib einfach Abfluss Ärzte noch übrig und hier das Integral über Ha'aretz Landstrich das ist das Integral von T 0 bis T HY von SV von ist der so weit sein wird als wir hier raus gekriegt haben es Heizmann erfüllt eine Differentialgleichungen als Landstriches formal und Sammelziele Integralgleichung geschrieben so das Ziel der ganz Aktionen jetzt wird sein was sich zeigen wenn es für eine Erzieherin USA 0 und für alle die wir betrachten gilt das von CD kleiner Gleichheit und vom Tisch warum wer hat schon gesagt es sei es nur dass im Wesentlichen die rechte Seite von unsere
expliziten Ungleichung und wenn Sie jetzt wissen Ruf und ist kleiner als deshalb 7 worden dann machen Sie den Grenzwert etwa gegen 0 wenn es von Thekla dass der Grenzwert Erbsen gegen 0 vom Hals an und das ist genau das was wir suchen also nur kurz hingeschrieben wenn wir das haben dann so von C auch kleiner gleich den Limes Epsilon gegen 0 von HY von 10. wird für jedes Estland gilt dann auch für den Limes in Berlin weshalb sie dann von The verätzen gegen 0 der ist genau das was wir haben wollen an mal die Exponentialfunktion von Integral T 0 bis T V von ist es also wenn wir das Ziel der und haben dann 7 fertig gut wenn man das Ziel erreichen will und die reichen Gaben Problem und zwar mit dem Gegenteil also wie immer man das denn es freilich Annahme das stimmt nicht also was heißt das der Grund dass es diese Annahme kommt oder das das ist jetzt diese Annahme kommt ist der Grund warum ich ja alles schön formalen Feintuning geschrieben weil das schön ist ein schöne vermag fand von da steht kann es gut mit ihr ne also müssen diese Aussage negieren selbst im größten und für alle TG dann ist die Umkehr also die Annahme die Negation davon es gibt mehr zu bauen was am 0 1 und es gibt unzählige ab aus 10 0 bis 10 so das halt von The schlichtweg größer Weisheit das ist jetzt unsere anhand und die mit zum Widerspruch so wie jetzt weiß man es geht irgendwie an der die Sache schief geht das von dem sie weiß man nicht viel in solchen Situationen ist es oft gut das Prinzip des kleinsten Verbrechers anzuwenden Gespräch wenn nämlich dieses Fritz jene Thesen wenn wir uns das kleinste T an dem das passiert das nämlich mal tau also betrachten Taro als das in Stimmung über die Tee aus der 0 bis große Szene für die Sache schief geht also für die UV und viel größer ist als heizen und fort wir wissen diese Menge ist nicht leer meine Annahme gibt es 1 bei der eine und hier gibt es das Ding ist nicht leer es macht also Sinn in dem Moment zu schreiben und die Sendung ist werden ab und jetzt ja manchmal an die für diese Star und feststellen dieses Star tatsächlich bis Schwierigkeiten seine Existenz zu rechtfertigen also was ist 1. ist das Tau ganz sicher strikt größer heißt es die 0 es kann also nicht diese ungleichen auf dem ganzen dabei gelten warum Na ja an der Stelle 10 0 an der Stelle 10 0 ist das nach Voraussetzung kleiner gleich 8 Mal das ist die Voraussetzung wir wissen die implizite Ungleichung da oben gilt wenn sie die implizite Ungleichung gleich 0 einsetzen stellen sie fest dass der impliziten und gleich mit eine explizite weil das integraler 0 oder steht Muster nämlich auch also von den und ist daher gleich aber und und als muss sicher kleiner gleich Abfluss der kleiner als selbst aber aber selbst geraten festgestellt dass Heizen und von Theben also an der Stelle des neuen ist das sogar strikt kleiner als das Heizen Erzählungen garantiert nicht Rekord es ist eine stille Strickkleider und es ist stetig RUS steht andächtig trägt kleiner als das Herz das heißt es gibt noch ein ganzes in der Wahl unter 0 auf dem das O strikt auf dem diese strikte ungleichen erhalten bleibt und deswegen muss das tauscht Wegweiser sein 1. 10 Uhr also dass es zum einen diese dieses Gleichung ihr Volk zum einen daraus dass wir hier diese strikte Ungleichung haben und daraus dass sowohl heise H E 10 und stetig eine stetige Funktion kleiner ist als der andere dann braucht eine gewisse Zeit um sie einzuholen und die dem Intervall dieses ganze Intervall es garantiert untertauchen so jetzt als es aus das ist auch der kleinste Verbrecher ist also Seelenstimmung über alle die das heißt wir wissen auf dem Intervall von T 0 bis zur ist die Welt noch in Ordnung also solange wir unser C zwischen den UN und hau Wellen es von C noch kleiner Gleichheit und die weil das Tau in der kleinste Verbrecher ist in der 0 ist es echt kleiner und Fortdauer das nicht glaubt er darf nicht größer werden weil Haus die kleinste Stellen ist es halt dass es nach Konstruktion von Tag so und das 3. was man sich überlegen muss es wie sieht es denn an der Stelle taucht wir wissen unterhalb von Vista aus die das kleiner gleich oberhalb von Tau wo sie sich überall größer gleich gelten nur gibt zumindest .punkt Usage gilt ja da komm ich jetzt so also Moment ja ok Moment muss man offen sein die außer ich den Traum in abgeschlossenen weit hinter und geht auf jeden Fall also die Umwelt und gilt für alle Tiere kleiner gleich Tau den stetig und stetig also auch in Tau also weisen beide stetig und zweitens oberhalb des Punkte wo das Ding die Differenz andersrum ist beide sind stetig also muss an der Stelle Tau Gleichheit so war das
ist das was wir Tau wissen wenn jetzt aber war alles Unsinn Widerspruch zusammenzubauen jetzt schauen wir uns mal an was wir wissen über an der Stelle taucht über Uhrenhersteller taubes wisse ganze Menge wenn als 1. Voraussetzung unsere implizite Ungleichung von darum also Uhr möchte wird daraus kleiner gleich an +plus Integral von dir 0 bis T Handys klar für bist Harro von SV von ist da das die Voraussetzung wir wissen zwischen 10 und unter auch so kleiner Gleichheit zu machen es ist jetzt die Stelle wo die explizite und implizite Ungleichung verschwindet Herzkammer des hier ändern welcher abschätzen ab außerdem bin ich großzügig und hat hier vorne und Ärzten und dazu also 10 0 bist Harro HAY von es auf und ist die also an der Stelle hier das Ding hier schon so jetzt muss
nur mal so und den Blick über die Tafel schweifen lassen bei diesen Ausdruck A plus Epsilon +plus 10 0 bis The also trau Hartmann von SV von 1. 1. hat das schon mal stehen das es und von Tau das ist der Herr so was wie der CIA von tau =ist gleich HY von und rufe von Tauss Strickkleider das Herzland von Tau so also wir sind mit unserer Annahme mir schlecht aus und das bedeutet die Negation davon gilt also sind am Ziel und mit der Argumentation dann fertig gut dann ist der Grund war erledigt und sozusagen der in der ja das was Gedächtnis von Grumman behalten sollten ist wenn Sie irgendwann mal in einer impliziten Ungleichung sitzen und gar nicht mehr weiter wissen dann melden sie sich dran Grund war manche solche Probleme nicht alle in die Voraussetzung müssen erfüllt sein aber wann immer man in so einer Situation ist es zumindest mal Versuch wert auf den Grund weil zu spiegeln so und jetzt will ich Ihnen zeigen wie dieser Satz von Grundlage die Sender von Grunwald 1 hilft Eindeutigkeit voran Lösung von Anfangswertproblem sicherzustellen und zwar mit Einsatz zur Eindeutigkeit einem Eindeutigkeit Satz von Anfangswertproblem in dem geht es überhaupt nicht um Existenz an dieser zieht aber voraus soll es geben um die Frage wann es und Anfangswertproblem eindeutig also wir haben wieder und übliches Setting ich in Ehren Intervall des eine Teilmenge von ihr Kreuz des offen und lernen .punkt T 0 y 0 in dem D also anfangs stellt stellen also anfangs werden anfangs stelle Zeitung und der Funktion f von den ARD und müssen muss der lokalen Lizenzbedingung erfüllen wenn Sie sich einen in einer von der Oberin an der Stelle noch zusätzlich stetig das lass ich es bewusst weg die steht ist dafür da die Existenz zu sichern wenn wir haben es geht jetzt nur mal Eindeutigkeit also vor nur es habe lokalen schützt Bedingung in D wenn ich jetzt ich wusste die also ich wusste das es gibt Lösungen wenn ich 2 Lösungen habe U 1 und U 2 auf dem Intervall J nach der des also ich 3. jetzt irgendwo her 2 Lösungen auf dem Intervall dort das ne liegt vom Anfangswertproblem also von unserm üblichen Anfangswertproblem steht sicher noch darum dann sind die beiden gleich also wir sehen das war es die Eindeutigkeit liefert es die lokale zieht das ist das Ziel unter Beweis die in 2 Schritten und fußt letztendlich dann auf dem Grund was wir zuerst zeigen ist zwar meine lokale Version von dem Satz wir zeigen wenn die 2 Funktionen einer Stelle übereinstimmen dann auch noch eine Mikrosekunde länger also was ich zeigen will ist wenn U 1 von Frau bleich und 2 von Frau ist für einen tau m J dann gibt es Netze Normgrößen Dole so so 1 gleich und 2 gilt auf dem Intervall von Taube taub Lucia Epsilon zumindest solange ich noch ein Jahr je nachdem man das J gleich auffällt natürlich nicht aber solange 9 J bin hab ich dann gleich so das ist die Hauptarbeit einen Beweis das sich mochte der Grunwald einige Grundmauern eingehen und wenn man dann hat das wenn es an einem Punkt übereinstimmen darum Stück länger dann kann man das Zusammenbauen Jahren Canons Stück sich weiter handeln muss man nur noch garantieren dass das Stück nicht in immer kleiner wird oder so zum dass man wirklich bis zum Ende kommt das dann der 2. also
zeigen Sie mir 1. mal ernst genügsam und begnügen uns damit wir wollen nur ein kleines Stück weiter wir geben uns also unter J vor so das U 1 von Tau gleich um 2 und diesen Wert denn wenn ich mal y stärken DEU hab ich mir diesen y Sterne dem Tao Tausend i oder j 2 Sterne sind in essen er U 1 von Taro Aso ist Taro y Sternen .punkt in den und jetzt gar nicht umgehen Wien und Umgebung von dem Anliegen Lizenzbedingungen weil ich eine lokale wird also nützen Umgebung man immer jetzt kurz Utah oder Mini sowie schreiben muss oh ohne Teilmenge von D mehr Umgebung dieses Punktes Taro y Sternen und der zugehörigen Wildschütz konstante älter so dass die lokalen Bedingung erfüllt ist also das der Abstand von 11 von T von y von Tieren y 1 zu 11 von t und y 2 kleiner gleich ist als dieses Eltern auch mal Abstand von y 1 zu y 2 und das für alle Paare TY 1 und C y 2 aus dieser Umgebung und hat das ist die lokale Lizenzbedingung vor so jetzt habe ich die beiden Funktion U 1 und U 2 diesen Lösungen von meinem Anfangswertproblem also insbesondere stetige Funktionen und diesen definiert auf diese Umgebung Ufer stetige Funktionen ich habe im kleinen Kreis um diesen Punkte gehen und die gehen weil ich diesen Punkt hau y stören also kann ich sicher gehen dass ich noch ein kleines Intervall finde so dass die beiden Funktionen weiß und 2 Tau nicht verlassen kann also die beiden Funktionen brauchen die gewisse Zeit um das um die Umgebung zu verlassen weil sich tätig sind und diese Zeit ich mir jetzt wieder also O 1 und 2 sind stetig Tausend offen ist offen ist laufen Umgebung von 1000 und Stern also gibt es Epsilon größer 0 so dass die Punkte C U 1 von Zielen und CO 2 von vielen noch in Utah und liegen wenn ich das Thema und genug beim Tauchen nehmen also für alle zählen aus Hanau ist taub besetzt und das ist das 1. Land das uns retten will das ist der Sicherheitsabstand das ist das Städtchen dass wir weiterkommen bekommen so lange weiter wie wir in dieser Umgebung Mut Haupt und der das ist diese Umgebung gut hau geht garantiert die kalt soll's gehen uns und sie aus diesem Intervall vor also wenn man uns zum Tee aus diesem kleinen derweil von taubes taub +plus E an und wir müssen jetzt zeigen wir das Ziel 1 zu erreichen um stets noch einmal zur Welt um das Ziel eines zu erreichen müssen wir jetzt zahlen für alle diese Themen so 1 gleich U 2 dann sind wir mit Ziel 1 fertig wir zeigen die beiden sind gleich naheliegende Idee wir schon unser Abstand an also wir schauen uns an den Betrag von U 1 von tätig -minus U 2 und das soll bitte schön 0 werden gut setzen ein was wir da haben beide sind Lösungen von unserem Anfangswertproblem das heißt Lösung der zugehörigen Integralgleichung das heißt Anne viel zu kompliziert weil wir Anfangswertproblem nur deswegen ja 1 ist der stetig differenzierbar also kann man Hauptsatz anwenden oder unser Lämmer also das ist eines von Tharau bloßes Integral von taubes C über 1 Strich von SBS -minus U 2 von Tau +plus Integral von Taube Stil und ,komma von STS 1 von Tao gleich um 2 von schauen sowas angesetzt das heißt die beiden fallen schon mal gegen seinen dagegen dann da weg und was wir kriegen müssen in die diesen Integral von Taube ist die über O 1 Strich -minus U 2 ,komma dezent aber U 1 und U 2 beides Lösung das heißt du ein Strich F von S und U 1 und U 2 ,komma bis er von S und U
2 also ich hab ich jetzt verwendet dass die beiden Funktionen Lösung will so jetzt sie man schon wieder die Lizenzbedingungen der geplatzten wenn der Betrag muss nur sind egal das ist in dem Fall Luckey weil Hitzestau wirklich größer die Größe größer als Tau also außen keinen Sieg einen Betrag taubes den Betrag der von so 1 von ist -minus 11 von S U 2 von S es liegt zwischen 1010 täglich zwischen darunter selbst an also wird dass es zwischen Town topgesetzten an und das heißt wir sind mit jedem o 1 so 1 von Essen jedem und so 2 von Essen in
dieser Umgebung und OTE das heißt wir können diese Lizenzbedingung fallen also das ist einmalig Bildhauer mal Integral von taubes C über U 1 von S -minus und 2 von 1. zur und jetzt an der Stelle die ich vorhin gemeint habe was wir jetzt wissen ist das was wir wollen ist dass das Symbol ist und das daraus gekriegt haben ist das ist neu an das erlittene wenn es auch schon für die Ställe inzwischen der unter 0 ja super das denn es nur selber Lullys er kann implizit ungleicher ja wenn man gezielte Ungleichungen werden jetzt Grund an so ist es nur noch richtig identifizieren was beim Grund weil was ist darum steht da noch den gezielt Ungleichung ist die Idee von da nach da drüben geht leider also ist das aber höchstwahrscheinlich nur über deren steht vor dem Integral könnte man also gleich 0 was ist im Grunde alle das und Bormann ist das was die blöde implizite Ungleichung verursacht das ist Betrag U 1 von tätig -minus und 2 von denen was ist ist Frau wer des Towers in dem Fall nicht sonderlich kompliziert nehmen Sie meinetwegen das konstante Funktion L diese bringt positiv also die Voraussetzungen erfüllt so dann ist das was da oben steht die Voraussetzung vom Grund weil genau die ungleiche dieser gelitten haben es kleiner gleich wer schien älter wie das Integral rein Integral von ist sie schau mal und damit kriegen wir jetzt für alle C die zwischen Traum und Tag plus Epsilon liegen aus dem Grund weil folgendes was sagt der Grund war jetzt sie können so abschätzen dass war also Betrag von U 1 -minus U 2 ist das was wir gleich wollen ist kleiner gleich einmal mehr dass sie dass das Forum nur noch frohlocken schon fertig mir völlig egal was es mal was da ist weil das als 0 also den dergleichen nun mal die Exponentialfunktion von ist mir sowas von Schnurz die ist 0 ja wir diesen Service und ich möchte meinen sowie die Funktion Frauen die Grillini konstant ist aber egal zur damit haben wir für alle T zwischen D und darunter auch versetzte man ist die Differenz von den beiden werden 0 na ja damit ist die Weininger gleich war damit haben wir den 1. Streich im ja wie schon gesagt der 2. Streich ist dann der einfache Zahlen also was man da jetzt als 2. zeigen dass was wir eigentlich wollen die beiden Funktionen stehen nämlich nicht nur auf dem kleinen der Wahlnacht überein Sonnensystem auf 10 0 bis unendlich an überein zum einen wenn auch kleinen er sich dem auf alle was rechts von 10 0 liegt und den J legt über ein so wir wollen uns natürlich das 1. zu nutzbar machen wir brauchen also erstmal eine Stelle an dem die beiden gleich sind zum Startpunkt war das da drüben sagt uns ja wenn ein punktegleich sind aus dem Wege offensichtlich ist der Startpunkt der Anfangszeit .punkt beide sind Lösungen von unserm Anfangswertproblem also in 10 0 sind die beiden gleich über soll können wir damit im Prinzip das da drüber starten und wir schauen uns mal die Menge an alle C oft so solange so lang wie das Ding gut gilt also in dem alle die 10 J so dass 1 gleich U 2 ist auf dem Intervall von T 0 bis 10 wir wissen dass es keine leere Menge bei den Unis tritt damit macht Sinn Großzeh zur Trennung von Ämtern zu setzen mehr und die spannende Frage ist jetzt ist dieses große groß genug wenn jetzt rauskommt dass der ist unendlich oder die Rechte in der Waldgrenze von Nord ja wir nach Hause gehen weil das von Werder zeigt also wenn Sie Geld dann sind Sie irgendwo im Innern von dort wir nehmen an dass die liegt im Innern von J ist nicht die Rechte dabei Grenzen sondern die Gleichheit geht eben irgendwann da mir jetzt das ist der Fall vom Prinzip das größte Verbrechen ist die größte Stelle bis zu der übereinstimmt danach laufen sie auseinander und wird sagt uns dass da hinten das kann aber nicht sein wer also was wir dann haben so 1 von sie gleich und 2 von 10 auf dem Intervall von T 0 bis großzügig genauer gesagt darum Städten Suprenum Berge sage man wie vorhin eigentlich nur Wunder Klammer ja gut aufgepasst ja das sagt uns nur die nicht über 1 Runde klammert sie aber wegen Stetigkeit dabei die beiden funktions tätig sind müssen sie immer noch auf CD übereinstimmen in übereinstimmen so und jetzt es das Ding rettungslos gefangen wissen wir nämlich das U 1 von Großzeh gleich um 2 vom groß ist daraus folgt mit Schritt 1 es gibt Epsilon größer 0 so dass 1 von The gleich und 2 von TS auf dem Intervall von großzügiges groß C +plus E 10 an und jetzt ist endgültig Mehr weil das große Thema das dich die größte Stelle bis zu der sie gleich Sendername so seiner laufen und der Form rausgekriegt man sehr möchte Lausanne laufen dann erst später nee also laufen sie gar nicht auseinander gut damit ist der die Tradition gebrochen ich bin dazu fertig geworden wir haben das Eindeutigkeit Resultat und wenn sich jetzt hin wir wollen beim Mensaessen nochmal die lokale Version vom Bäcker lehnte das anschauen dann werden Sie feststellen der Beweis ist mit allem was ich jetzt gemacht hat noch 2 Tage lang Existenz man gern und stetig Eindeutigkeit Window gar Lizenzbedingung .punkt ja gut das freilich vielleicht oder auch nicht Anfang nächsten Vorlesung noch hin aber ansonsten wünsche ich Ihnen jetzt gutes Mittagessen schönes Wochenende und vielen Dank für die auf
Parametersystem
Zeitintervall
Abbildung <Physik>
Eindeutigkeit
Anfangswertproblem
Stetige Funktion
Norm <Mathematik>
Metrischer Raum
Integral
Vollständigkeit
Variable
Operator
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Differentialgleichungssystem
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Fixpunkt
Raum <Mathematik>
Integralgleichung
Lipschitz-Bedingung
Funktion <Mathematik>
Wald <Graphentheorie>
Punkt
Physikalischer Effekt
Dreiecksungleichung
Maximum
Anfangswertproblem
Element <Mathematik>
Stetige Funktion
Ausdruck <Logik>
Integral
Topologie
Konstante
Arbeit <Physik>
Variable
Stammfunktion
Operator
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Normierter Raum
Raum <Mathematik>
Fixpunkt
Geschwindigkeit
Punkt
Extrempunkt
Maximum
Iteration
Anfangswertproblem
Differentialgleichung
Variable
Rekursion
Näherungsverfahren
Kompakte Menge
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Zeitintervall
Numerische Mathematik
Exponent
Stetige Funktion
Kompaktheit
Entscheidungstheorie
Integral
Konstante
Teilmenge
Betrag <Mathematik>
Potenzreihe
Lineare Funktion
Fixpunkt
Funktionentheorie
Gleichmäßige Konvergenz
Aggregatzustand
Dichtheit
Kreis
Punkt
Gleichungssystem
Rang <Mathematik>
Quadrat
Stetigkeit
Mittelwert
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Inhalt <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Kosinusfunktion
Eindeutigkeit
Reihe
Stellenring
Differenzierbarkeit
Quantifizierung
Gleichung
Integral
Konstante
Teilmenge
Summe
Polynom
Verbandstheorie
Menge
Folge <Mathematik>
Punkt
Differenzierbare Funktion
Nummerierung
Anfangswertproblem
Exponentialfunktion
Differentialgleichung
Physikalische Theorie
Weg <Topologie>
Multiplikation
Ungleichung
Stetigkeit
Integralrechnung
Abschätzung
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Integralgleichung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Positive Funktion
E-Funktion
Eindeutigkeit
Fehlerkorrekturmodell
Stetige Funktion
E-Funktion
Kompaktheit
Zahl
Integral
Teilmenge
Konstante
Lösung <Mathematik>
Strukturgleichungsmodell
Differentialgleichungssystem
Fixpunkt
Lag
Ungleichung
Momentenproblem
Menge
Vorlesung/Konferenz
Stetige Funktion
Exponentialfunktion
Gleichung
Integral
Teilmenge
Formation <Mathematik>
Lösung <Mathematik>
Punkt
Ungleichung
Menge
Eindeutigkeit
Vorlesung/Konferenz
Anfangswertproblem
Gleitendes Mittel
Funktion <Mathematik>
Integral
Teilmenge
Kreis
Lösung <Mathematik>
Punkt
Betrag <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Anfangswertproblem
Stetige Funktion
Gleitendes Mittel
Integralgleichung
Funktion <Mathematik>
Integral
Große Vereinheitlichung
Eindeutigkeit
Anfangswertproblem
Exponentialfunktion
Hausdorff-Raum
Zahl
Integral
Konstante
Lösung <Mathematik>
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Menge
Stetigkeit
Rundung
Vorlesung/Konferenz
Turm <Mathematik>
Funktion <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 6: Satz von Picard-Lindelöf: globale und lokale Versionen
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 06
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30770
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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