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Vorlesung 5: Satz von Peano (Teil 2)

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so oder mal ein herzliches Willkommen zur heutigen Vorlesung macht denn da weg die natürlich jetzt erstmal mit dem 2. Teil vom Satz von Piano los geht der ihr letztes Mal hängen geblieben ist das ist vielleicht der richtige Moment um eine meiner lieblings Mathematiker Anekdoten los zu werden sondern Kauf großer russischer Mathematiker mittlerweile irgendwo um die 90 hält eine aber das Vortragsreihe an der ETH Zürich und über mehrere entwickelt über mehrere Vorträge werden ein den Beweis an dass 9 von ihnen bewiesene Theorie ist und legen der erst der Anfang der 3. Vorlesungen und Wahlkampfreisen 3. in einer Form vor so zwischen drin die anziehen mit kleiner gleich konstante Wahl so wie soll ich anfangen ja also ich erwarte ich hoffe dass Sie noch so bisschen wissen was war habe ich mir so ein bisschen nochmal kurz erzählen wo wir hinwollen also was war noch mal der Satz von 4 Jahren und nicht in voller mit ein er Notation eingeführt der Allgemeinheit aber so für die Erinnerung damit Teilmenge von ihr Kreuz D offen die übliche Teilmenge auf der unsere Funktion f definiert ist die die rechte Seite der Differenzialgleichung ist und die entscheidende Voraussetzung an die rechte Seite ist eben dass das mich stetige Funktionen und habe gesagt wenn die Wände Differenzialgleichung bestätige rechter Seite haben dann hat das anfangs wird das Problem immer eine Lösung also für alle 10 0 y Nullen des hat dann das Anfangswertproblem y strich ist er von CNY aus E und y von 10 0 ist y 0 hat eine Lösung schon das ist die andere sagt nichts über Eindeutigkeit diesem allgemein auch falsch aber sagt man sin Anfangswertproblem steht die rechte Seite haben dann hat das Minus und was er bisher gemacht haben war uns approximative Lösungen zu verschaffen dafür haben wir zunächst uns sind je größer 0 und Mehr größer 0 geschickt gewählte ausreichend klein gewählt so dass die folgenden Eigenschaften gelten das Intervall von 10 0 bis 10 0 +plus kreuzt die Kugel um y 0 mit Radius r und zwar die abgeschlossene Kugeln y 0 mit Radius r also war das er klein genug und das Großzeh klein genug das das entscheiden so dass dieses Ding hier ganz in D liegt das geht weil die offen ist und hier nun y und innere .punkt also finden wir unter 0 zu 1 0 ein kleines Rechteck das noch ganz in diese Menge wie mit K bezeichnet die taucht noch häufiger auf also dass wir wir diese Notations Wiederholung die Menge heißt nicht umsonst KDS klarerweise kompaktes und dieses Dinge die QC abgeschlossene Kugeln zur nur 3 des er die hieß geh so und dann also CNR sind zum einen so klein dass das geht aber wir brauchen noch eine 2. Bedingung des T muss insbesondere auch kleiner sein als er durch 2 n wobei das Supremo ist über alle Paare TY aus K über 11 von SMC und den Betrag von der und jetzt wird es stetig auf der kompakten Menge K hat also dann Maximum insofern könnte hier so Prem oder Maximus egal schreiben das heißt dieses Maxim existiert und ich verlange noch das das T so klein ist dass es kleiner ist dass er durch 2 mal dieses Max die Bedingung ist bisher noch nicht aufgetaucht weiß die bauen wir jetzt gleich und was wir dann gemacht haben man diese Approximation 7 Lösung alles und für alle als zwischen 0 und 10 waren die gegeben durch von T es gibt zum einen einfach y 0 wenn das Ziel kleiner gleich 10 0 ist und für die geht wissen 10 Uhr unter 0 +plus c hatten wir nur einfach so Dieter relativ machen fast durch sich selbst definiert aber eben nicht ganz also so einfach von t Berechnen Sie als y 0 ist das Integral von T 0 bis T er von S einfach von S -minus einfach der 1. und das ist eben die vorne 14 0 kleiner Zeh kleine gleich 10 0 Lust und die das eine war hier wird wo Eifer nicht wirklich durch sich selbst definieren weil wir das so als Feind der wahlweise definieren das heißt hier alles auf einem Intervall der Länge Alfa zu bestimmen brauchen würde so also nur auf dem Intervall der Länge als vor und auf die Weise und da das am Anfang kennen können uns auf der Reise durch das ganze derweil keinen haben als diese Funktion weißer wirklich sauber definiert warum haben das genauso gemacht auch noch zur Erinnerung das Ziel war eine Lösung unsere Integralgleichung zu finden wir brauchen also eine dass die Gleichung löst von The ist y 0 +plus diese genau diesen Integral wo hier einfach nur von STS steckt Na das war die Grundidee eben dass man eigentlich haben wir letztes Mal auch diskutiert Wege zum Limes Eifer gegen 0 übergehen möchte aber auch gesagt dass das wird es nicht sein es wird nicht tun im Allgemeinen existiert diese Grenze nicht sondern an der Stelle wird uns nachher der Satz von der Senatskollegen helfen und uns zumindest die konvergent Detailfrage garantieren mehr sie nicht zur Ruhe damit wir den also in Ascoli anwenden können müssen wir jetzt aber erst mal zeigen dass diese Funktionen O Eifer alle in einem Raum von stetigen Funktion liegen der Ascoli funktionieren im Raum von stetigen Funktion und das ist jetzt das Ziel das wir letztes Mal aufgehört also was wir brauchen ist alle diese wo 10 stetig auf dem Intervall von T 0 bis T mit Werten in die und was hier das entscheidende ist ist das stehen kann dass die Dinge es tätig sind ergibt sich ein weiterer ist es die geben sind als integrale bestätige Funktion das entscheidende ist das wir hier in in g und dass wenn ich jetzt er ist zeigen das ist der nächste Schritt also eine zwischen behauptet an der Stelle wenn ich mir den Zeh ja nehme irgendwo zwischen 10 und unter 0 +plus 10 dann schnapp ich mir dazu und wir hatten ja unsere dabei von der 0 bis 10 Uhr +plus 10 so Alfa Stückchen rein aufgeteilten Intervall der Länge als auch von so die Definition dieser Funktion Ural vor und das sagt mir einfach im wievielten von diesen Einfall Stückchen ich bin also ich finde es eben so so dass dieser .punkt C sich befindet sich in T 0 +plus ändern Allvar und 10 0 +plus n +plus 1 macht war also ich das NCT einfach nur in die 4. als einen der Fall liegt mein T so und dann geht zunächst mal das was ich haben will nur Alter von T 7 G und dann das ist die wesentliche Folgerung daraus dass es ihm G liegt der Abstand von nur 11 von t zu y 0 der ist kleiner gleich im mal n +plus 1 Mark also was hiermit haben ist sozusagen eine
Wurst Case Abschätzung wie weg macht es Allvar im Intervall von T 0 bis T leider der es Eifer startet die ein y 0 so gerne approximative Lösung seien und dass die sich überhaupt hier sagt uns wenn ich die Zeit n r t lange laufen lassen dann entfernt sich meine approximative Lösung vom Staat wird allerhöchstens mal n +plus 1 Mark Gold dem müssen wir zahlen die zwischen Behauptung und das geht am besten wenn man sich ebenso der wahlweise voran handelt in dem man das in der Induktion macht wir natürlich mit sollte Induktion man nur in der Wahl hat also aber halt beliebig in beliebig insofern es weder vor Induktion Namen da wir es eh nicht kennen also vereinbaren für n gleich 0 wenn gleich 0 ist dann ist es die zwischen den nun unter 0 +plus Alfa also ist das C im Intervall zwischen T 0 unter 0 +plus Alfa und dann ich jetzt wie diese Abschätzung ausrechnen werden sehen damit die man haben dann kriegen wir die Eigenschaft hin geht zu sein geschenkt also was wir da machen wir schauen uns um ein Uhr Alsterfontäne -minus y 0 also von CD steht hier ein wenig von dem er wohnte zur 0 abzielen wird der Ausdruck freundlichen oder ziemlich kürzer also das ist gegeben als der betrage das Integral T 0 bis T er von S 1 davon ist -minus Alfa die 1. da ich es im 1. Intervall bin ist es -minus Alfa egal welches es sich ja aber kleiner als 10 0 kleine gleichziehen nun das heißt Alter von S -minus Eifer ist y 0 hier steht also das Integral von 10 0 bis 10 er von S und y 0 wie es geht jetzt weiß ich dieses y 0 jährlich den G sein bei gehst die Kugeln y 0 insbesondere The bislang 0 drin es ist zwischen den und unter 0 +plus C also liegt dieses Paar S y 0 hier drinnen in den K also dieses Graph von Argumenten liegt im Kader das heißt auf diesen in diesem an allen diesen Argumenten ist das 11 durch die konstante im beschränkt das heißt wir können das hier nach der brutal abschätzen für Integrale abschätzen durch das Suprenum der Werte malt Intervall Länge also eher mal 10 -minus 10 0 nur selber T minus 10 0 weil das T im 1. dabei sind 0 T 0 +plus Alföldi kleiner als einfacher also steht ja immer und das ist das fängt gleich so damit aber den er für den Options anfangen muss man noch daraus folgern dass vor Eifer von The damit in die liegt das ist aber jetzt nicht besonders schwer können einfach weiter rechnen was müssen wir den zeigen damit du also von TNG liegt müssen zeigen nur als auf unzähligen der Kugel und y 0 mit Radius r das ist müssen Nutzer in Abstand von nur ein Viertel so nur das weniger als er werden ab denen wir von stehen müssen also noch zeigen dass das Ding der kleine gleich er ist dazu ,komma brutal absetzen das allenfalls weniger als 10 und jetzt kommt die wesentliche Bedingung hier ins Spiel und groß ist weniger als Erich zweimal also hier kommt jetzt die diese Bedingung Stern da haben wir eben mal das Maß T ist ja dass er durch 2 m man sehen Sie dass es genauso gemacht dass alles passt also ist der Abstand von uralter von Tierschützern 0 weniger als er kann das heißt uralter von T legt den G weil das ist die Kugel mit hat ist er gut zu landen gut dass den Options anfallen ähnliches Argument im Induktionsschluss das seltene Fall wurde Induktionsschluss nicht viel länger als Induktion zu Anfang also wir den von einer 1 plus 1 wir müssen wieder diesen Abstand aber abschätzen weiter von T minus y 0 wir sind jetzt im +plus 1. Intervall also unser Ziel zwischen in +plus 1 mal alle Frauen in +plus 2 vor wir uns irgendwie für den Options Schritt ja auf das Intervall davor zurück ziehen oder auch in der Wale davor zurückziehen und das machen wir indem wir hier einen Term einfliegen per Dreiecksungleichung das hier ist weniger also als war von The an der Stelle jetzt wirklich hier ein Alter von Thémines ändern als vor Ansicht die in der Wanne zurück muss ich den Term natürlich wieder rein machen nur etwa von T minus in einfach -minus y 0 das ist einfach Dreiecksungleichung so jetzt haben wir eine Differenz von 2 Uhr eine fast und war einmal das Teein und dem hinteren Intervall legt hier das C also hier ist jetzt C im Intervall zwischen in mal vor mit zwischen +plus 1 mal vor und +plus 2 vor vor nein müssen im Fall n +plus 1 also haben sie mit dem Intervall insbesondere ist also T minus ändern Allvar war im Intervall zwischen Alfons weiterhelfen baut verwiesen die verdrehte so wie dich nicht ich will dass das Thémines nmal Alfa zwischen alpha und zwischen 10 und unter 0 +plus allfälligen 1. derweil gut was ich hier gerichtet die ich Ihnen da will ich denn mal alles so n +plus 1 mal alle vor also vor Problem was mal hiermit -minus 1 mal ändern solche Attac Änderungen dann viel Erfolg fragen ja danke das auch noch ja wenn schon sehr viel Gewicht hat keiner sonderlichen es wird jetzt spannend weil so ein Tag Änderung in der Vorlesung üblicherweise die Katastrophen führen aber Probleme also die 0 +plus einmal alles SC 0 +plus 1 +plus 1 mal man meistens stellt man dann werde man rechnet fest dass man sich doch was dabei gedacht hat bei der Vorbereitung also mal schauen zum ist das Argument nicht lang so denn schreiben wir aus diesem Differenz von 2 solche nur eine Farce wenn Sie 2 so ich weiß was von Ende abziehen fliegen die y raus in die in die ewigen Jagdgründe ein oder kriegen sie die Differenz von 2 solchen integralen das geht das Integral in den Grenzen von T minus einmal alpha bis 10 über 11 von S 1 davon es -minus Alfa die 1. das ist der 1. Term hier also dass so ein Fahnder Stelle T -minus dass so ein Stelle T minus immer einfach und der Rest vom Integral fliegt raus so und Herr neben mir nur etwa von T minus nmal Alfa -minus y 0 zu unterhalten wenn ich von den TN Alfa
abziele dann bin ich Intervall 10. 0 9 den 0 +plus Allvar das ist genau der Fall des Induktion sah anfangs wir also den hier kann man Options Anfang erschlagen und wo Induktion zu Anfang weiß ich schon das kann ich aber das ist kleiner als immer als so wir Mondsonde hier vorne kümmern müssen uns was natürlich wieder machen will ist dieses weil dieses F abschätzen durch man muss es immer ,komma ja wäre das ja also wollen es absetzen durch unser groß dazu müssen wir uns überlegen dass das Ding hier in der Welt n k liegt und damit das in Khaleds Trauma das da sind die aber das ist in der Liste nur zu Voraussetzung unser S ist allerhöchstens in dem Intervall hier wenn ich alpha Art sie bin nicht minder weiter vor und vom Intervall davor bei 7 Lotions Voraussetzung dass du so als eingeben also das sind jene Induktion Voraussetzungen also ist das im Kar also kann ich wieder F durch seine durch seine Maximen auf kann abschätzen und das Ganze in der ganze Betrag von die Gra sich absetzen als im mal die Intervall Länge also sie -minus T +plus n Alfa da kommt noch in dem Alter dazu also haben wir das Fell raus einmal für n +plus 1 n mal n +plus 1 vor sah aber gleich war soll ich dringen die Pause schon nach 5 Minuten nein jetzt haben wir wieder die Absetzung des wahren wollten der Abstand von also von The zur y 0 ist kleiner als M 1 +plus 1 mal alles jetzt brauch man noch dass das wieder impliziert hingegen also die 1. überhaupt vor Behauptung uralter von G fehlt noch gleiches Argument wie gerade eben um zu zeigen dass so eine von den G liegt muss sich zeigen dass dieser Abstand hier diese Differenz im Betrag kleiner ist als er die Differenz haben wir hier schon abgeschätzt jetzt er wissen dass sie weiter und zwar hier der ich diese Nummer sondern nur das ist gleich immer in als farblos immer alle vor so n einfahren ist kleiner gleich T und selbst kleinzellig liegt zwischen 10 0 unter 0 +plus c und gleichzeitig in denen der war hier also ist das NAS war weiter links ist die richtige Grenze Mehr also das c't 0 +plus 1 etwas kleiner als des und man immer allenfalls kleiner das Kleintiere das ist kleiner als denn 0 +plus einmal ist kleiner Ziel und ist kleiner als 10 0 +plus großziehen kann SAD also ist immer ein verkleinertes ist es groß die Saar dann steht hier kleiner gleich er malt Alfa kann ich auch wieder richtig absetzen +plus einmal 10 also zweimal einmal sie jetzt soll endlich wieder das große C wenige ist als er durch 2 mal 1 alle die sich gewundert haben warum so um die 2 nicht zum Tragen kommen sehen jetzt warum die 2 kommen er durch 2 m und dann welchen er also und auch in dem Fall OTE von Eifer Alsterfontaene mit dem dich sah damit haben wir so damit es die Menge von Funktionen die gegeben ist durch als war wobei alle verläuft zwischen 0 und 10 das ist ne Teilmenge der stetigen Funktionen auf dem kompakten Intervall von T 0 bis 10 0 +plus 10 mit Werten in die 8. so und jetzt können da das Gros grobe Werkzeug oder das das das wie Sommer ein die man so mal sehen wir das Gros wurde das besonders feine Werkzeug auf jeden Fall das starke Werkzeug aus dem Werkzeugkasten nehmen die 1. und die Anwendung von den er sehr Ascot Name eine Vorlesung letzte Woche darauf verwandt muss etwas gut sein also Teilmenge der stetigen Funktionen ach mit Werten G danke und ist abgeschlossen also können wir wunderbar daraufhin also Ascoli anwenden es sei denn wenn die Voraussetzungen erfüllt sind also prüfen Voraussetzungen was man die Voraussetzungen der Seele als sagt wenn ich ne Teilmenge von Song stetige Funktion Raum ab und die ist beschränkt und gleicht gerade stetig dann ist die relativ kompakt und da wollen wir denn wir wollen wissen dass dieses Menge geschwungen 11. relativ kompakte S das heißt wir müssen 1. zeigen dass die Menge gleich gerade steht es und 2. beschränkt gleich stetig ließ gleich alle Funktionen da drin sind gleich gut gleichmäßig stetig also müssen wesentlichen zeigen Moral falls gleichmäßig stetig und alle mit dem gleichen Epsilon mit dem gleichen Herzland der das Verhältnis und am meine letzten Vorlesung ein kleines unscheinbares aber wichtiges Lemma drauf dem so offen Übungsblatt man kann sich das alles vereinfachen wenn wir die Chips Tätigkeit hat wenn man zeigen kann die Uhr etwas Indizes städtischen alle mit der gleichen wird stets konstantem dann ist das gleichzeitig tätig und das überprüfen wir hier also wenn dem uns 2 Zeitpunkte ja The und Hanau die zwischen 10 Uhr unter 0 +plus 10 liegen und wir nehmen uns Apps alle Phasen alpha herzlichen und die und da müssen wir zeigen wo alles ist stetig das heißt wir schauen uns an einfach von T -minus so als von Tagungen Betrag und müssen jetzt zeigen das ist kleiner gleich mal Betrag von T minus taub dem L das nicht von Alfa abhängt das entscheiden wir wollen gleichzeitig Tätigkeit das heißt wir müssen diesen zeigen diesen gleichmäßige besichtigte Siegfried Fietz Wälder vom Fluss also nicht von Alfa so also wie wir eine Differenz von 2 solche nur alles was wenn Sie 2 so Alfas unterschieden Stellen von einer abziehen werden fällt es mir sind 0 weg die beiden Integrale denn die gehen beide von dir nur das eine von 7 bis 10 ist Ende von The 0 taugen sie die abziehen bleibt übrig die greifen taubes des oder The das ist dann auch egal Traum The er von S wo einfach von Essen ist einfach der zur also ob ich ich weiß ich nicht ob es zaudert je größer ist das heißt dieses PT bester oder taub ist sich die das Nigga Betrag .punkt der Kette das Minuszeichen zur jetzt haben wir aber vorgearbeitet klar dass sie wird wieder sein evtl groß abzuschätzen warum dürfen wir immer groß ab absetzen das dürfen wir dann wenn das hingegen liegt warum liegt das im G Na ja es ist sind sie und schau es -minus Alfa also zwischen T minus also und haben es einfach irgendwo in unserm Intervall und von diesen ganzen es -minus 1 von haben wir jetzt gerade hier gezeigt dass liegt in G 9 das ist der Sinn von dazwischen Behauptung gewesen also das ist im G 8 dank unserer zwischen Behauptung das heißt wir können dass es durch groß en abschätzen und zu bringen das im Tigerenten meine Intervall und genau das es gleichmäßig dreht sich stetig und an der Stelle geben das in keiner Weise das alle vereint wenn die globale Schranke von dem er verwandt was da so als wenn
die macht ist da ich nur zu langsam die aber das F durch im absetzen völlig egal was ist also aber nicht gleich die gleichmäßige Lipchitz Stetigkeit also so war die Menge dieser Alfa als zwischen 0 9 T gleichmäßig Lizenz stetig ab und das bedeutet das war das Lemma 4 .punkt 4 11 =ist gleich Spatenstich ,komma Sommer die Hälfte der Mittel eingefahren also unsere Funktion Menges gleich gar stetig bleibt noch dass sie beschränkt ist und das schöne ist die Hauptarbeit für die Beschränktheit haben wir schon gemacht nehmen Sie sich die Absetzung Mehr und setzen Sie Tee oder Taumel völlig egal denn wir tau Tauberich die 0 also nehmen wir nehmen die Absetzung aus 1 und setzen das taucht Lone Tauberich Gino Hollister oben wunderbar zugelassen dann kriegen wir egal was das Tier zwischen 10 0 unter 0 +plus c kriegen wir betragen Alsterfontäne -minus so ein von Tauen wenn taube T 0 ist die TU Eifer von t 0 also auf unter 0 ist y 0 wurde von den -minus y 0 ist kleiner gleich mal T minus 10 0 was heißt das wir wollen ja zeigen dass alles als die Menge 11 beschränkt ist es heiße wollen zeigen alle Funktionen Raiffeisen beschränke zwar mit gleicher Konstante also dass wir eigentlich haben wollen sich der Abstand von nur etwa zu y 0 sondern einig weil wir den Betrag von Alfa beschränken Na ja wenn sie wissen dass das so als sich nicht allzu weit von y 0 weg bewegt dann wird auch das einfach nicht beliebig groß mathematische Begründung der Dreiecksungleichung das ist kleiner gleich Alsterfontäne von T -minus y 0 +plus Betrag von Y holen so von den Gästen Mehr er ist kleiner gleich eben mal The durch 0 der Abstand von 10 zu 10 und es aber durch Großzehe beschränkt also das ist kleiner gleich in Makros T +plus der DIN-Norm wurde Betrag 15 UNO und damit haben unsere gleichmäßige Schranke also 1. hängt das den jungen sieht die nie mehr von Alfa ab und alles was hier steht sind Größen die durch die Daten gegeben sind das Y wohl einmal gegeben das ist es so Prägung von 11 unseren K und das T hatten am Anfang so gewählt dass alles passt also das 50. zahlen damit es das beschränkt so also ist es beschränkt ferner die beiden Voraussetzung vom also als Kollegen in der Tasche also sagt uns der Ansehen als Kollegen die Menge F ist relativ kompakt das heißt es immer noch nicht das wenn Sie da oben Eifer gegen 0 schicken irgendwas konvergiert aber das heißt wenn sie die richtigen Alfons wählen Krise ,komma geendet hat und weil die Ural bekommt also 10 einer kompakten Menge enthalten und das heißt nachfolgen Kompaktheit das Ding hat Mehr konvergente Teil Folge jetzt können sie natürlich noch sich auf den formalen Standpunkt stellen dass da gar keine Folge was soll eine Kollegin Teil Folge haben die nicht mehr halten Folge wenn sie klein der Mann er so kleingeistig ist was man die mittig immer sein sollte also ich nehme Folge Mehr ich nehme das U 1 durch ein ja klar ist interessant sind die Kleinen alt war er als wenn nehmen musste Folge 1 durch allen mit immer kleineren alles was das ist jetzt folgende F also zumindest wenn das blöde groß als ein System sonst man sie halt nur die ins ab 57. das passte ok also das ist ne Folge 11 die hat jetzt ne konvergent Datei voll weil wir ja in der QC kompakten Menge relativ kompakten Menge sind der da sind ,komma Teil Folge der angrenzenden während in den Städten funktioniert das muss nicht unbedingt denen 11. wird im Allgemeinen auch nicht zum selber auch egal so diese Konvergenz Teil mal zn ein Beweis der nächste Buchstabe ist ich weiß natürlich nicht welcher einst durch Änder vorkommen das ist das Wesen einer Teil Folge aber dir das zur jeweiligen ZN gehörige 1 durch in das nenn ich mal als Verein also ein Verein ist der Intel das Ente als meiner Teil Folge U 1 durch so aber die bekomme den Detailfrage das heißt der Limes n gegen unendlich zn der existiert dessen stetige Funktion mit Werten G denn wenn ich meine 10 an das ist ein Leben im Sinne der Konvergenz in C das heißt im Sinne der subprimes nahm das heißt es ist ein gleichmäßiger Limes von stetigen Funktion gleichmäßiger Grenzwerten stetigen Funktion ist wieder des tätig also wir sind ja auch in c't 0 bis 10 0 +plus 10 mit Werten so und dieses Y das ist jetzt unser Kandidat für die Lösung der Integralgleichung und Daten könnte man von der Mafia 1 oder was gesehen wenn die Integralgleichung lösen können können doch die Differenzen also was wir jetzt noch zeigen müssen nur noch ist gut dieses y ist das hinter dem wir die ganze Zeit her gerannt sind also dieses y dessen Existenz jetzt aus dem Baseler Ascoli kommt ist eine Lösung von der Integralgleichung Geschreibsel normal hin alles geht y von T ist y 0 +plus Integral von T 0 bis T er von SY von S das müssen derzeit und wir wissen dass diese das das Geld wenn es über dieses y zur Lösung von Integralgleichung und dann war dass das Lemma 4 1 1 4 2 am Anfang des Gebietes das sagten Sie die Integralgleichung lösen können dann ist es den Yoga sogar ne Lösung der Differenzialgleichung oder das anfangs sehr gut ist so also bleib so zeigen y der Grenzwert für diesen ZN für die Gleichung das heißt wir müssen natürlich doch irgendwann dieser Gleichheit darum zum Grenzwert übergehen und das heißt sie müssen uns für das für die Uhr als wir in dieses Bildung als Verein von S -minus 1 verändert das ist jetzt das nächste was zu tun ist so also für unsere nährungs Folge zn ZNS ja das was der konvergent der Folge die gegen unsere hoffentlich Lösung konvergiert für die werden wir das Ding da um anschauen das heißt dass wir uns mal anschauen müssen es was macht ZN von T minus 1 Verein wie weit ist das von unsern versus Kandidaten wer ZN haben ist die Lösung von The Alfa allen -minus y von Til jetzt wissen wir verendet gleichmäßig gegen y aber halt als Verein von The gegeben zu und von The ist es aber der Wille das blöde Argument verschoben also müssen uns erst mal überlegen warum das auch kommentiert was wir wissen es was als er was also von T -minus y von Thekla das komme geht gegen 0 Moral Verein von tägigen Schlammfontänen wissen also was über diese Differenz also lohnt sie sich diese Differenz mal ins Kalkül zu holen wir Frick in den Thermen mit Dreiecksungleichung ein das ist als Verein von T minus einfallen -minus in von CD +plus Betrag von in von T -minus y von tickt
der alte Trick wenn sie 2 Sachen haben die gleichzeitig was sie 1 das als Energie gegen er geht gegen 0 und das in mir geht gegen 0 dann machen Sie da 2 so Summanden draus wo jeweils nur ein Effekt auftritt und gucken die beide Effekte getrennt L so hier vorne können wir jetzt wieder auf altes Wissen zurückgreifen nämlich hier unsere Nina Hoss Sternchen da tut und dann hier unsere Abschätzung aus dem einst als wird gleich gerade Geschicklichkeit gezeigt haben also von T minus uralter von Tau es geht genauso was ich dich irgendwo als an einer Stelle -minus so einfach einer anderen Stelle und angesehen wenn sie diese so versendet wird stetig mit konstante N Na also das hier ist wieder das einst von oben das ist kleiner gleich im mal Terminus erfahren -minus C der den 2. Summanden wie schon mal im Moment noch Art als entfernt liegt -minus selbst die so solange man hier Welt ist raus dass es mal als fallen +plus Betrag von 1 war nur ein Verein von T minus ist so und wenn man jetzt hier auf der Welt wenn man jetzt ein Grenzwert n gegen unendlich übergeht dann hat sich der Nebel gelichtet was passiert hier wenn sie jetzt in unendlich gehen lassen als verändern ist mit Folge von einst durch n also insbesondere nun folgen also wieder diese nur vor dem 0 und wir müssen wir Verein von Phontäne geht ein wo als in gleichmäßig gegen y also die dezente erst recht punktweise also dieser aus hier geht auch gegen 0 und zwar nicht nur irgendwie sondern das ganze gleichmäßig Kinder ha der es gleicht die Konvergenz es gleichmäßig nein hier gibt es kein Tier mehr das ist trivialer Masse gleichmäßig also was aber damit gezeigt wir wissen die ZN den gleichmäßig gegen y ja und nicht nur das die Zelle gleichmäßig gegen y gehen sondern die leicht verschobenen Zn also die zn um die um alle verehren verschoben und Funktionen sehr werden konvergieren gegen y und zwar gleich ist so und das ist eine gute Nachricht weil sie das Ziel der wie gesagt immer sein in diesem Ausdruck da oben zum Grenzübergang überzugehen Wahlverein gegen 0 das heißt wir müssen irgendwann wie schon jetzt angesprochen irgendwann musste würde müsste ist Integral ,komma nicht rum nur so durch aber jetzt aber gleichmäßige Konvergenz und das bedeutet wir kriegen dich in Tikal aus so da brauchen wir jetzt und Fäulnis Verlag wissen aus einer 1 und 2 hauptsächlich 1 das müssen wir zusammen auf wir wissen es stetig auf vor es stetig also auf Kapstadt 1. er 1. große Kanonen Vogel auf einer eigens steht die auf kompakte muss gleichmäßig dick also 11. gleichmäßig stetig auf gar das ist der Satz Stetigkeit auf kompakten Menges gleich gleichmäßig dicht was haben wir jetzt der Ausdruck demands anschauen müssen ist er von S und Zn von S -minus Alfa in das ist in der Grand da oben also für unsere spezielle Wahl von ein falls die durch die Zeit vergeht sehr eng gegeben ist was passiert jetzt wenn wir n gegen unendlich laufen lassen dann wissen wir ja das Argument hier gleichmäßig gegen y sagen Sie gleichmäßige stetiges Bild von gleichmäßig konvergent Erfolge nächster glaube aus einer 1 gleichmäßig die Bilder vom gleichen sich ,komma den vollen sind gleichmäßig ,komma gehen also das hier geht für n gegen unendlich gegen 11 von S und y von S und zwar gleichmäßig hinzu gleichmäßig tätige Bilder von gleichmäßig gravierenden Folgen so und damit glaubte ich ist die Katze im Sack was müssen wir zeigen müssen zeigen y des Lösung von unsere Integralgleichung steht da oben auf der Tafel das heißt sie müssen damit y von The an und rechnet nach dass das stimmen y von CDs gegeben als der Limes enden oder nicht als Verein von ja jetzt kommt die Definition von den als Verein nehmen das n gegen unendlich y 0 +plus Integral von 10 0 bis 10 er von so alles verenden von S -minus alle denn es ist die Definition von Eifer so es gibt einen einfachen Teil des Grenzwerts in einem komplizierten Tagesgrenzwert der einfach der Limes von Y 0 der Suzlon nur jetzt muss man seine sind die GAL machen also wenn es von diesem integral für n gegen unendlich der Integral konvergiert gleichmäßig gegen 11 von Essen y von S gleichmäßigen ist und sie sind legal sind also wenn das einen oder nicht T 0 bis C der von S U alle vor allen von ist -minus alles verändert es das konvergiert gleichmäßig gleichmäßige liegen es geht integrales Integral von T 0 bis T niemals gegen unendlich er von so einer allen von S -minus Alfa in die 1. zur und den Grenzwert Hamburger weiter oben klein gehauen wo man klein garnieren Z 1 Uhr einfallen von so als Verein von SMS Altfällen geht gegen 11 von Essen wovon es dann y von es also das ist y 0 +plus Integral von T 0 bis T er von S y von S es nur über das heißt unser y ist gehörende Integralgleichung ist die Tafel eine Zeile zu Kohls daraus folgt mit Lemma 4 1 4 2 steht ja auch nicht also mit dem Lemma vom Anfang des Kapitels y dass sich Lösung der Integralgleichung so noch nie Lösung der Differenzialgleichung und der Satz von Kern ist er nicht so damit haben wir also dann sehen Anfangswertproblem haben mit der stetigen rechten Seite hat das immer eine Lösung wie letztes Mal schon gesagt das Verfahren ist hochgradig und konstruktives gibt denn keiner keiner auch nur die leiseste Idee diese Lösung kriegen weil an der entscheiden Stelle da muss wo hakelig wird arbeitet man mit dem sich Ascoli zieht sich auf Kompaktheit und zurück und sagte den gibt es im kommenden Teil voll und an der Stelle geht die geht die Konstrukt das konstruktive führten an der Stelle geht auch die Eindeutigkeit flöten weil natürlich dann diese Folge U 1 durch einen furchtbar viele kompetente Teil Folge haben die alle ganz verschiedene Grenzwerte haben und dann ist die Eindeutigkeit hätten ich
würde dann gern in die 2. Hälfte starten und da für diejenigen von Ihnen die jetzt nicht da sitzen und in Verzückung dass das ein wunderschöner Beweis war er denk ich mir bevor ich jetzt den nächsten großen Beweis einstellige brauchen sie kriegen haben Sie recht und kriegen Sie ein Beispiel dafür dass wir noch brauchen werden worum es jetzt also gehen soll nachdem wir die Lösbarkeit sehr zufriedenstellend geklärt haben ehren ist jetzt die Frage unter welchen Zusatz Voraussetzung kann ich den eindeutigen Lösbarkeit erreichen das ist der Abschnitt 5 so eindeutigen Lösungen und die beiden entscheiden würden Namen in dem Zusammenhang sind die K also der Satz um den Sitz gehen wird oder dass in dem Fall 2 Sätze als die ganze Satz Familie aber ich will Ihnen 2 davon ausführlich präsentieren das ist der Satz vom dekadenten und bevor wir da einsteigen denke ich sollten uns mein Beispiel anschauen oder die Problematik mit der Eindeutigkeit liegt und das sagen wir mal einfasste nicht banale Beispiel ist das folgende mir ganz einfaches Anfangswertproblem welchen autonomes damit locker von getrennten veränderlichen y Strich von Fee ist Wurzel aus Betrag y von T y von 0 ist nur autonome Differenzialgleichung 1. Ordnung mit der stetigen rechten Seite wir Betrag und nur sich stetige Funktionen also hier ist es von y gleichwohl Betrag y das ist stetig also existiert nach also ist dieses Anfangswertproblem nach deren unlösbar und das schöne ist eigentlich der war keine Debatte um dieses Anfangswertproblem des nicht mehr lösbar das kann man sogar lösen da haben wir das Verfahren der getrennten veränderlichen führe um bevor man jetzt die Rechenmaschine anwirft ist es vielleicht sinnvoll ob man sogar noch mit einem Verfahren zum Beispiel kreativen raten weiterkommen die ich da kann man die Lösung sogar direkt ja wir zum Beispiel also konstant nur ist mir wunderbar löst und damit können wir jetzt eigentlich Debatte beenden und warum ich das nicht tu das sehen Sie auch nicht gleich zunächst mal billig die Symmetrie dieser Gleichung ausnutzen die darin besteht dass sie durch den Betrag entsteht das Vorzeichen von y gegen rechten Seite nicht ein Mann dachte aber sehr wohl auf der linken und diese Symmetrie übersetzt sich ende sie mit den beiden Lösungen wenn Sie eine Lösung haben dann behaupte ich kriegen sie damit in eine weitere dann ist nämlich auch die Funktion -minus von -minus 10 löst warum werden was nach man ohne Lösung ist was passiert wenn sie jetzt Z ableiten aber nach Kettenregel Formen das -minus bleibt stehen hier kommen und -minus raus dann ist selbst richten nichts anderes als strich also -minus -minus US-Sprecher -minus -minus O strich so strich huscht er strich von -minus die allerdings gerne Saar und strich von minus 10 wir wissen große Lösung also das ist Wurzel aus Betrag wovon -minus T jetzt kann ich ihn den Betrag aber wunderbar neue Minuszeichen davor machen das stört keinen wird steht da wortlos fort und ein kurz was Betrag Z von man also ist wenn ohne Lösung ist auch das Z Lösung also was heißt es anfangs werden wir noch kurz checken aber was ist mit Set von 0 von 0 ist -minus O von minus 0 das ist -minus von 0 das ist minus 0 und das ist immer noch und der da tut sich nix so das heißt ja denn ohne Lösung ist auch diese Funktionen Lösung das ist jetzt noch kein Problem was die Eindeutigkeit betrifft weil es 0 haben sie wenn nun ist zählt auch den Unfug zu kein Problem also wenn sie
wunderbar gleichen begann nach Hause gehen das Problem fängt an wenn irgendwer Roland anfängt und sagten es ist egal ich rechne jetzt die getrennten veränderlichen einfach mal durch wo ist das passiert alles zu geben das ist verlorene Liebesmüh wenn sie getreten verinnerlichen durchrechnen dann sind 2 Dinge zu beachten 1. kommt natürlich nur so raus was denn sonst ist diese Lösung und zweitens dürfen sie das Verfahren überhaupt nicht verwenden weil das ist denn die wesentliche Bedingung bei 3. veränderlichen die einzige Voraussetzung zu prüfen ist das Haar von y am Anfang sehr muss dafür nur sein kann Zahl von y ist wortlos betrage 10 an der Anfangswertes 0 Wurzel aus Betrag 0 zu 0 aber es vergessen das einfach weil man das wirklich was tut man getrennte die rechnen sie einfach durch kann man ja das ist ja die Gefahr des mir echt kann man immer rechnen also die gibt es immer noch die Zähne schob sie erinnern sich noch es Wurzel aus Betrag y ich schreib mal nur y 1. ist beim getrennte veränderliche schwierigen alles erlaubt 2. 2. hab ich ja gerade gezeigt das Vorzeichen steckende diese Symmetrie wir also wenige positive Lösung hat dann kriege ich über dieses -minus und von -minus die die zugehörige negative also ich weg die schreckliche Momente wo man auf positive Lösung da das der Vater eine Symmetrie die erlaubt einen Prinzip zu sein ich gefrorene positive Lösung an und wenn ich deine wurde Wilson hab dann mach ich dir diese mit einige so können Sie sagen ja was mit Funktion die die den Vorzeichenwechsel haben gemacht also besuchen wo sie wieder so es der IE 7 frei das je zu machen aber gut Wiederholung getrennte verinnerlicht er alles NY darüber alles mit The darüber 1 durch Wurzel YY =ist gleich nächste Ziel soll jetzt macht wiedersehen das brauchen wir die die Stammfunktion von 1 durch Wurzel y dann kann man jetzt er will mit ähnlichen Exponenten um überlegen oder sich überlegen das einzige wird Wurzel zwar im Wesentlichen die Ableitung von der Wurzel ist wir und eine so 2 korrigieren also zweimal Wurzel zusammengeht abgeleitet einzig Wurzel seiner =ist gleich tätig so lösen aus also das y von CD gleich das durch 2 und Quadrieren C +plus C-Quadrat halte dann quadrieren also so verbrannt werden der anfangs wird einstellen 0 soll sein gleich wir y von 0 auf also gleich C +plus c R 0 plus 10 Quadrat Viertel wo C-Quadrat 4. 0 Benzin und es also circa 0 das heißt y von t is det verbracht wird so bin ich nun als auch sehr 0 von das nicht viel 0 das denn jetzt passiert mehr diese logisch die Verfahren dürfen wir gar nicht an den Mehr also man Mikroben dann kommt aus dass es keine Lösung ist also Probe leiten Sie das denn da ab das kriegen wir hin hoffentlich das ist zweimal täglich zweimal tief werden also C halte und die Wurzel aus Betrag von y von Schilf nein Betrages übernahm das hier ist wird zu Halle ja ich ja das ist jetzt passiert ja es ist eben genau das wenn man Anfangswertproblem das nicht eindeutig lösbar ist wenn 2 wunderbare beliebig oft differenzierbar Lösung die neue Lösung und die und genau anschauen noch viel mehr vor oh also das ist die 1. die Wagner da war die Welt noch in Ordnung 0 ist wunderbar Name Magath festgestellt ich noch eine Mehr dann kommt die Überlegung von hier zum Tragen wenn ich eine Lösung ab dann gar nicht die -minus UFO -minus t also und gerade Ursprung spielen und hab ich auch eine nur noch eine das Beste ist noch nicht schlimm er doch also meinen 1. 0 sieht hier was komisch ist also wenn sie mit ihrem Differenzial zahlreiche 0 starten dann hat die
Gesamtzahl eben 2 Möglichkeiten dann gibt es eine nicht eindeutige Lösung den spaltet sich das Universum in 2 Möglichkeiten auf entweder die Funktion bleibt auf der Nulllösung oder es geht auf der Parabel auf wenn Sie nicht y von 0 gleich 0 so ein NY von 0 gleich er y von minus 4 gleich -minus 4 vorschreiben dann am Sinn eindeutige Lösung in der Nähe das muss so sein warum weil dann ist das getrennte veränderliche Gleichung
die die Voraussetzung von Satz erfüllt werden ist die rechte Seite des im anfangs Wert nicht 0 andernfalls würde Wert an dem anfangs wirklich nur dann geht der Satz für die Trendwende gibt es zumindest ein kleines Intervall und -minus Vierung wo sind eindeutige Lösung aber das Problem geht eben diese Lösung läuft weiter und weiter und weiter und irgendwann kommt wir nun und dann hat sie wieder freie Auswahl weil das wie ist ja dieser zusammen Flußthal 0 ist es nicht differenzierbar das können wir nicht wirklich ja sie Funktion kann die Lösung kann Sony nur 1 laufen und dann kann sie entweder auf dem dem 1. vo
oder sagen mit den Frauen und auf der Nulllösung bleibt das muss aber noch mehr Lösungen geben es muss ja zum Beispiel Lösung geben werden y von vorne 2 gleich 4 ist oder y von 4 gleich 1 muss auch über
Lösungen geben die sehen so aus dessen aus so Parabeln also dass es zum Beispiel eine von nur gleich 1 zur von nur gleich 1 ist die Lösung aber es gibt natürlich noch viel viel mehr wir sind ein paar noch aufgemalt und das es die dann alle beliebig zusammenstückeln da sie können ebenso wie sie gemalt ist in der sondern die auf dem blauen erst losläuft der gotischen Zeitlang auf der nun aus und irgendwann geht wieder hoch also nur so wahnsinnig viele Möglichkeiten und wenn man sich überlegt wo kommt dieser Mist werde müsse jetzt ja sie sehen 1. nochmal die Warnung nach dem Piano aus dem weist mir keine Eindeutigkeit Weise gerechtfertigt also Piano zieht hier fordern wird es gibt wahnsinnig viele Teil folgen die Gegenwart kaum gehen und dem setzen die rauskriegen muss das Problem das Problem dass offensichtlich immer dann wenn unsere Lösung 0 wird jahrelang und sowieso nicht neu ist was ihr gar nix aber sobald die Losung 0 wird dann hat sie
alle Freiheiten aber kann sie auf den nun auf der Achse bleiben 7 und immer wieder hoch oder auch nicht so um was es denn an den nul das Problem werden sie die Wurzel Funktion das problemlos unter 0 1 das was sie von einem andern auszeichnet ist dass sie deine eine senkrechte Tangente hat oder anders formuliert diese Funktion es Ende 0 nicht liebt wird stetig für verstetigt sogar der städtischen hat aber sie ist nicht und wir werden sehen dass das genau der defekt ist 0 kurz gesagt ist das Salz Konglomerat die Kardinäle sagt aus sobald die rechte Seite nicht nur stetig ist sondern auch in der 2. Variablen der y Variablen Lipchitz steht dann haben sie wesentlichen Eindeutigkeit und dann kann man das eine gibst du noch verfeinern braucht meine Lifschitz bestehen und die auf das globale gilt oder brauchen ohne lokalen Lizenzbedingungen die Umgebung von .punkt gilt und die Sachen wird jetzt gehen aber der Hauptpunkt ist das vermeidet man indem man fordert die rechte Seite ist in y die stieg und darum wird es gehen der Vollständigkeit halber kann ich doch noch eine Lösung von den Dingen schreiben also alle Lösungen von dieser Gleichung mit der sie jeden anfangs schlagen können haben die Form sie können eben auf irgendeinem dieser negativen 1. hochlaufen die lassen sich beschreiben als -minus The +plus A Quadrat Viertel für die kleiner als -minus an ist die Stelle wo ihr von unten kommen da hast auf die x-Achse trifft dann können Sie eine gewisse Zeit auf 0 bleiben von -minus USA SPÖ und dann können Sie an der Stelle beschließen es an sich genug ausgeruht ich denn darauf dann ist es und das geht dann wieder entlang des Parabel als T minus piquadrat führte für sie B kleiner gleich zu wobei A und B einfach 2 reelle beliebige reelle Zahlen sind mit kleiner wird also ist die Stelle wo der erst von unten auf die x-Achse trifft von A bis G und sich auf dem Monde Sohn aus übergelaufen hoch und A und B t also ein Muster der SPD sein und sozusagen im Grenzfall gleich minus unendlich und B gleich unendliche Subjekt also das noch beliebig lange auf der Nulllösung bleibt das sind eine Lösung und die widersprechen nicht und das ist normal wichtig zu merken das widerspricht nicht unseren Satz über getrennte veränderliche der hatte Eindeutigkeit der Lösung programmiert das ist auch okay weil eben diese Voraussetzung hat sie dürfen nicht an der Nullstelle der rechten Seite stehen unser Land einer Nullstelle der rechten Seite stehen sind sie hier außerhalb der x-Achse am Anfang und dann sagte sagte die Trendwende Ende nicht mehr nur es geht ein kleines Intervall um den Anfangszeitpunkt in den sie eindeutige Lösbarkeit haben wird sieht man auf diese Aussage war damals scharf die konnten mit dann wird ziemlich geackert und dieses Intervall zu kriegen das mussten wir auch an dass es im allgemeinen Fall also für die der in allgemein falsch weil meint dies von getreten verinnerlichen wir können nicht beliebig weit laufen sah es vergeht den Mann der Ehrlichkeit verloren und muss garantieren dass die Lösung von dem nur Werke so dann die Mehr pro die Lösung dieses Problems an ich will in den 1. Eindeutigkeit Resultat zeigt als 1. Tigerländer läuft Theorem 5 2 der gerne läuft die sogenannte globale Version 1 1. 1 1. Eindeutigkeit Resultat für Anfangswertproblem so das heißt wir haben die übliche das übliche Setting werden Intervall den er auf dem unser unsere Lösung gesucht ist wir haben mehr Funktionen und jetzt sieht man auch zum 1. also zum einen Punkt warum Glück das den global heißt ich fordere hier nicht mehr dass ist er verfolgen offenen Teilmenge von die Kreuz die definierte sondern ich will es bitte schön auf ganz Kreuz also Funktion auf ganz in Kreuz R D die muss erstens stetig sein das ist die Voraussetzung aus dem Piano das garantiere dass meine Lösung existiert und dann wollen wir aber dass in der y-Koordinate letztlich tätig ist also es muss allen größer gleich 0 geben so da ist der Abstand von 11 und von The von y 1 -minus 11 von t und y 2 kleine ist als mal der Abstand von y 1 zu y 2 für alle C aus nie und für alle y 1 y 2 in dich haben also die Funktion selber stetig und in der 2. variabel Variablen Lipchitz stetig damit ist das denn hier aus raus .punkt so ohne Bedingungen hier der Mann eine globale Lizenzbedingungen global bezieht sich hier drauf .punkt weil sie für alle y 1 y 2 gleichmäßig gelten muss das Ende hier ist eine fixe konstant Sohnemann Sonne globale Lizenzbedingungen hat dann ist alles gut dann hat das Anfangswertproblem y strich von ist er von TY von CD der y von 10 0 gleich y Nullen für jede war das anfangs März also für jedes 10. 0 y 0 denn die kreuzt genau 1 globale Lösung also das ist die beste aller vorstellbaren Welten wenn Sie solle globale zieht steht die gerechte Seite haben dann können Sie Anfangswertproblem für jede Anfangswerte lösen und zwar jeweils eindeutig und global also auf ganz sicher galt dann gibt es keine Probleme mit blau ab dann gibt es keine Probleme mit nicht Eindeutigkeit dann ist alles wunderschön so das ist der die Kardinäle von der globalen Version und wir zeigen wir noch ein Lied das der gehen der 1. Schritt ist genau der gleiche wie beim Piano wir lösen eigentlich wenn das voll ist so weit die Theorie geht immer so machen wir nie die Differenzialgleichung lösen immer die zugehörige die Kraft ,komma was man schreibt das Ding um ja die zugehörige Integralgleichung dass es für dieses unscheinbare der Mafia 1 also wir zeigen die Integralgleichung y von Till ist y 0 +plus Integral von T 0 bis T der von S y von STS hat eine eindeutige Lösung auf ihn wir wollen der globalen Lösung haben also hat eine eindeutige Lösung auf die das ist das Ziel Ziel und dann sieht dir dieses Lemma 4 jetzt immer 4 1 das uns sagt dieser eindeutige Lösung ist die eindeutige Lösung unseres
erprobt so wie machen wir das auch man eine für die Beweis mit oder absolut entscheidende Reduktion Reduktion des Argumentation wir zeigen dass nicht jedes beliebige Liedes sie könnte zum Beispiel auch ganz er sein sondern wir kümmern uns um jedes kompakte Zeitintervall von E also wenn sie gezeigt haben die Integralgleichung darum hatten eindeutige Lösung auf jedem kompakten Zeitintervall J von die dann als insbesondere meine Lösung auf wie der Weiße sie können jedes Intervall in er aus Chef mit kompakten fallen der Wahl planen Sie einfach das Intervall geschnitten mit sie mit der Wahl von minus 1 bis n er also abgeschlossen von minus 1 bis Ende dann am sehr clever löse auf ganz wie dies auch eindeutig Weise sobald irgendwo seine laufen würde musste das innerhalb eines kompakt uns tun und das kann sie nicht also es reicht jedes kompakte Zeitintervall von ihr anzuschauen also für das weitere sei jetzt also je ein kompaktes Zeitintervall von zwar nur auf den J arbeiten wir jetzt und das ist diese Integralgleichung da oben anschauen das Ding alles wird und die Krux ist ja bei dieser Gelegenheit gleich und das ist y links und rechts steht das ist das was mir 8. und der Kinder von oder die von dem Beweis ist wenn du deine Frage nicht besiegen kannst mach so zu seinen Freunden also genau diese Struktur das das Herzlein rechts und links der das uns so nervt genau das nutzen jetzt aus und zwar viel wenn man das denn mal länger anguckt dann ist das was hier steht steht ein Fixpunkt Problem vor müssen Fixpunkt Probleme vom Verwechslung Problem bei was ich suche ist sagen mal sie haben sie raten mal wird kreative sagen Sie warnen nur so dann können sie ja nachprüfen ob das stimmt ja dann setzen Sie ohne rechts ein Rennen das Integral aus in Florida zu und dann soll gefälligst genau ihre geraten Lösung rauskommen soll dieser Prozess besetzten was geraten ist da ein rechnen Einwanderer aus der für die Fixpunkte dieses Prozesses das sind genau die Lösung also Fixpunkt dieser rechten Seite wenn die Rechte ist das Rechnen auf der rechten Seite des y nicht verändert dann fix von der rechten Seite sinnlos also kommen uns doch dieses was das macht die rechte Seite an und diese Prozedur über rechts entsteht die nenn ich mal Tee also T ist jetzt was was ist in dieser Abbildung wäre damit also das Y ist nur so Wenzel ein Fixpunkt dieser Abbildung ist Ordner y dieser rechten Seite zu es wird vielleicht ein bisschen hoch aber dieser Abbildung also diese dieses dort Sondereinsätzen setzen Abbildung von stetigen Funktionen die stetige Funktion werden sie dann das stetige Funktion haben auf ihrem Intervall J mit werden er die dann können sie dir nehmen und können diese Funktion u ja draus stetige Funktion auf ja neue Funktionen hier drin in dem sie diese Rechte Seite ausrechnen also die Funktion to an der Stelle es y 0 +plus Integral von T 0 bis 10 er von S wovon es 6 auf die Weise es eine Abbildung definiert der stetigen Funktion wie eine Funktion zuordnet besteht aber hier stimmt schon hier eine Funktion Show denn wir diese Rechte Seite ausrichten und der vor sie wieder belegen es so hingeschrieben ich behaupte dass es wie eine stetige Funktion auf J Mehr wenn stetig ist und es tätig ist das den stetig integriert eine stetige Funktion und ich die Funktion aus also dass es auch wieder nicht die die Funktion also dieses T ist tatsächlich eine Abbildung von nicht gegen Funktion bestätigen .punkt zum 1. Mal jetzt ist das ist wie denn der neue Instanz von dem was ich schon letztens sagte eine sehr sehr hilfreiche und fruchtbare Idee ist Funktionen ganze Funktionen wieder ist Punkte eines Vektorraumes aufzufassen und das tun wir jetzt hier auch wieder sozusagen der Mist mehr Abbildung die jeder Funktion Funktion zuordnet also der Abbildung der Argumente selbst Funktionen und weil sowas verknotet ist also Funktionen die Funktion einsetze nennt man so'n Ding üblicherweise nicht mehr Funktion oder Abbildung sondern man zum den Operator sowas wird noch häufiger vorkommen bei allen von ihnen auch bei den Physikern also denen man ob uns einfach im Prinzip ist das auch eine Abbildung aber ums von den von den Namen der zu trennenden Operator ist Mehr Funktion deren Argumente Funktion sind aber wenn jetzt sich den Oberrat ihr nochmal genauer anschauen dann ist das nur Berater der stetige Funktionen stetige Funktionen verwandelt das es gar nicht was Besonderes solche Operatoren mit den arbeiten sie schon sehr wegen sein ableiten ist nichts anderes als nur Beratung ja was machen Sie wenn Sie nicht die Ableitung von Funktion bestimmen dann auch in seiner Funktion eine Funktion zu die zur und der Funktionäre Stammfunktion zu Sachen Operator weitere Funktionen Funktion zu das gar nix Neues hier mit Augen auch Berater der Ort Funktion nicht widerstehen Funktion auf Jagd nicht Funktion auf J zu in der Nähe in diese Rechnungen aus und der Vater dieser Berater anzuschauen ist jetzt der Grund warum man genau diesen Apparate anschaut ist eine Funktion O stetig auf ja ist eine Lösung von unserer Integralgleichung ja von unserer Integralgleichung genau dann wenn ein Fixpunkt von Tweets überlegen uns kurz wenn unser ohne Lösung von Sternen ist dann Geldof und will ist dass sie mit Leo also Ruf und will gleich die von O Fixpunkt wenn ohne Sex .punkt ist dann ist das ja dann ist to von vielleicht von Fixpunkte EU-rechtswidrig O dann haben Sie =ist gleich Integral was den also Lösung auf so das heißt wir unsere Probleme Anfangswertproblem zu lösen 1. ein Integralgleichung verwandelt und jetzt gucken wir die Integralgleichung durch ne andere Brille an und sehen diese Integralgleichung ist Fixpunkt Problem 6 von Problemfällen Operator und jetzt rettet uns wieder oder ist das toll dass diese Menge der stetigen Funktion nicht nur eine komische Menge ist sondern ein wunderbarer Banachraum insbesondere ein vollständiger metrische oder normierte Megara Raum manche Frage zum wissen anzuwählen wonach Streits geradezu nach unserm Freund den Herrn der Fixpunkt Satz was sagte dafür Fixpunkt Satz der Bahn Asche Fixpunkt Satz sagt wenn Sie mir selbst Abbildung eines vollständigen metrischen Raums haben sich der Kontrakt tief ist dann hat sie genau einen Fixpunkt ja das ist doch für uns wunderbar hat genau einen Fixpunkt heißer genau eine Lösung also normalen vollständig ich habe nicht lernen vollständigen metrischen Raum ja ich hab ja sogar noch viel mehr ich habe Ihren vollständigen normierten Raum auch gut metrischer Raum die
Merziger drauf nämlich mal des wie man das so normalerweise macht dann braucht man das ist wie in der Abbildung von X in sich selbst ist das aber auf gutem Wege um ohne strikte Kontraktion was heißt das das heißt The reduziert grundsätzlich Länge das ist der Abstand also es gibt man ko zwischen und und echt kleiner 1 so dass egal welche 2 Punkten x sicher nehmen will dass der Abstand von X zu T Y kleiner ist als dieses Q mal da Abstand von Text selbst ab das ist strikte Kontraktion unter den Voraussetzungen sagte Berners-Lee Fixpunkt Satz dann hat sie genau einen Fixpunkt und da wollen wir hin das heißt für uns das Ding hat genau eine Lösung das ist der Teil vom arabischen für für uns absolut essenziell ist und jetzt kommt noch das Sahne Häubchen obendrauf der Bahn also 6 .punkt sagt sagt nämlich nur dass Dinge Garten Fixpunkt Donnerstag auch sie das den konstruieren können dieses nähern können nämlich über die so hat er danach der sogenannten Tikal Iterationen starten Sie mit irgendeinem Punkt x 9 x völlig Welt egal welchen und dann werden Sie die folgende rekursiv definiert der x n +plus 1 ist Herr von XL also eigentlich von mir für ein aus allen und der Bahn AG sagte Ghali 6 0 gewählt haben die Folge konvergiert übergingen fix so wir nutzen wir das hier durch die Notation von relativ klar vorgegeben was indes x Sx nehmen natürlich unseren wunderbaren Banachraum die Menge aller stetigen Funktionen auf j Mitwirken in D bisher nicht Lehrer auf jeder von ihnen Kenntnis stetige Funktion persönlich vollständige metrischer Raum Programm Banachraum und das heißt das einzige was er jetzt noch tun müssen ist dieses Ziel ist nicht regte Kontraktion das müssen wir noch Zeit also müssen uns anschauen was macht sie mit 2 Funktionen wie weit Hits die auseinander und wenn man jetzt anfängt zu rechnen stellt man fest wir jetzt nicht tun wenn man unterwegs an einem technischen Problem strandet und rauskriegt das funktioniert aber ich Krieg keine globale Lösung sonnig kann nur zeigen wenn ich auf kleinen Intervall nämlich das Intervall klein genug mache dann bleibt das Ziel der Kontraktion und da wollen wir wollen globale Lösung haben und deswegen muss mir noch ein Trick machen und der Trick ist man eben nicht einfach die normal üblichen Norm auf diesen Raum also nicht die unendlich Norm sondern eine leicht modifizierte von der sich aber raus stellt diese äquivalent das ist jetzt also Zeit ist mit technischen Modifikationen damit der Beweis durch die das entscheidende dabei dafür Fixpunkt und diese einvernommen sieht folgendermaßen aus bezeichnet die man mit nur mit Index Alfa ist das Maximum für Tee aus J von Betrag C mal e hoch minus Betrag 10 -minus denn nur durch als vor also jeden steht das Alter für jedes Alter ist das ne andere Normen und was man im Wesentlichen macht es ist also die unendlich Norm ist der Fall wurde welche nicht da ist bei denen ich nahm es das Maximum also jetzt in passt ja auch wenn sie mit Eifer gegen unendlich gehen dann am sie geht gegen -minus gegen hoch 0 also für alle gegen endlich geht es auch den des Maximums nur was das einfacher macht es es geimpft extrem raus Beiträge von die weit weg sind von 4 0 nur wenn TNT 0 weit auseinander Sendetext Funktion sehr klein das heißt dieses Gewicht wie man es nennt sorgt dafür dass die Beiträge von die weit weg sind nicht viel zählen und sie sehen auch an der Stelle brauchen jetzt ganz entscheidendes Jochen kompaktes Intervall es werden dort nicht kompaktes weiß natürlich keiner bisschen ob das dessen Maximum hatten also ich hier Max und schreiben kann ich dann das J kompakt ist und da sie auf kompaktes hilft jetzt noch mal ganz stark weil das wird uns jetzt nämlich liefern dass diese Änderung der Norm natürlich die Norm ändert aber unseren Raum nicht wirklich ändert weil diese Norm äquivalentes zu so Bremens Norm und weil die beiden Norm äquivalent sind heißt dass alles was mit Konvergenz zu tun hat und alles was mit Stetigkeit zu tun hat kann ich überein denn da noch machen das ist wurscht warum ist diese darum sind die beiden No über lehnt das liegt daran dass J beschränkt ist und bei J beschränkt ist gibt es Mehr Konstante so dass für alle 10 J gilt ja das ist die Banalität aber dass das entscheidende dass der Abstand von Tier zu Tier die Größe dass sie das C können sie wesentlich lästiger Intervall Länge von York nehmen und wenn wir das verwenden dann kriegen wir det weil es den Normen was müssen wir tun wir müssen zeigen unsere einfahren und lässt sich nach oben oder unten durch die Subprimes nahm abschätzen zweimal so dass man meinen dass die alle vernommen ist dass das Maximum The aus J wir Betrag von The mal ich auch -minus T minus 10 0 geteilt durch Alfa es gibt eine einfache Richtung er auch was Positives als auch positiv hab ich hoffentlich in geschrieben aber wir natürlich nicht also als 1. positive Zahl auch nie das was Positives ist immer kleiner gleich 1 also können Sie das hier grob abschätzen durch das Maximum den dort betragen wovon T also durch den endlich noch mehr weil das hier je größer wird als 1 dass die einfache Richtung die anderes an nicht viel komplizierter wir wissen das T minus 10 0 wird nie beliebig groß also bitte exponentiell nie beliebig klein also können sie das einschätzen durch das Maximum The aus J vom Betrag von 10 mal e hoch minus 10 durch Eifer daher und das ist die er hoch -minus C durch man ruhiger und endlich noch License die Einvernahme ist nach unten beschränkt recht konstant mal den ländlichen Raum und beschränkt durch sehr einfache konstante mal endlich nahm also sind diese beiden Normen äquivalent nur ja eine Schlussfolgerung noch das heißt die alpha enorm und die unendlich Norm sind äquivalent äquivalente Norm auf unserm Raum bezüglich des lesen einer Norm es unserer armen Banachraum vollständig wer ist bezüglich der Norm vollständiges und diese können es auch bezüglich der Norm forschte vollständig also es die Menge der stetigen Funktionen auf J versehen mit dieser Alfa enorm ebenfalls vollständig das ist das richtige wir verlieren nichts wenn wir von der ländlichen Raum zu der Einvernahme übergehen sondern wir was das ist oft sein für die Idee was gewinnen wir der Gewinn einen zusätzlichen parater Parametern wie wir nachher drehen können im Moment ist als eine beliebige positive Zahl und wir werden jetzt danach rechnen die Norm von die -minus TV anschauen wollen zeigen dass sich 3. Kontraktion und werden dann feststellen Schluss kommt da irgendwie raus ist so und so viel malen der Abstand von zu Frau und indem sie in dem
es so und so viel steht noch ein Alfa drin das ist das toll und das Alter können wir dann so wählen dass das davor vor Faktor kleiner als 1 das ist die Freiheit die wir gewinnen indem wir fordern den ich nun 2 vernommen werden gut das müssen wir dann wieder die nächste wolle so schien für die Vorlesung gehalten beweisen und dann ich dann gehen heute erstmal für die Aufmerksamkeit die Sie das nächste Woche
Mathematische Größe
Radius
Länge
Punkt
Momentenproblem
Extrempunkt
Eindeutigkeit
Rechteck
Berechnung
Maximum
Anfangswertproblem
Stetige Funktion
Gleichung
Differentialgleichung
Integral
Null
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Kugel
Menge
Abgeschlossenheit <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Kompakte Menge
Mathematiker
Vorlesung/Konferenz
Abstand
Integralgleichung
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Radius
Länge
Graph
Dreiecksungleichung
Ruhmasse
Stetige Funktion
Term
Integral
Teilmenge
Kugel
Betrag <Mathematik>
Menge
Kettenregel
Induktionsschluss
Abschätzung
Vorlesung/Konferenz
Abstand
Funktion <Mathematik>
Mathematische Größe
Folge <Mathematik>
Kalkül
Summand
Momentenproblem
Anfangswertproblem
Gleichmäßige Beschränktheit
Differentialgleichung
Mittelungsverfahren
Energie
Stetigkeit
Abschätzung
Kompakte Menge
Vorlesung/Konferenz
Kerndarstellung
Abstand
Integralgleichung
Funktion <Mathematik>
Physikalischer Effekt
Dreiecksungleichung
Eindeutigkeit
Stetige Funktion
Gleichung
Kompaktheit
Integral
Konstante
Menge
Betrag <Mathematik>
Gebiet <Mathematik>
Gleichmäßige Konvergenz
Grenzwertberechnung
Zusammenhang <Mathematik>
Exponent
Eindeutigkeit
Positive Lösung
Anfangswertproblem
Stetige Funktion
Hausdorff-Raum
Gleichung
Vorzeichenwechsel
Zahl
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Differential
Variable
Stammfunktion
Homogenes Polynom
Betrag <Mathematik>
Symmetrie
Kettenregel
Vorzeichen <Mathematik>
Schnittmenge
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Eindeutigkeit
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Grundraum
Computeranimation
Lösung <Mathematik>
Eindeutigkeit
Computeranimation
Punkt
Kraft
Eindeutigkeit
Anfangswertproblem
Gleichung
Differentialgleichung
Integral
Null
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Variable
Vollständigkeit
Reelle Zahl
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Abstand
Tangente <Mathematik>
Integralgleichung
Funktion <Mathematik>
Logischer Schluss
Länge
Punkt
Prozess <Physik>
Momentenproblem
Maximum
Anfangswertproblem
Norm <Mathematik>
Richtung
Index
Vollständigkeit
Operator
Vorzeichen <Mathematik>
Stetigkeit
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Normierter Raum
Abstand
Integralgleichung
Ganze Funktion
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Zeitintervall
Parametersystem
Nichtlinearer Operator
Positive Zahl
Physikerin
Abbildung <Physik>
Vektorraum
Stetige Funktion
Rechnen
Kompaktheit
Metrischer Raum
Integral
Entscheidungstheorie
Konstante
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Menge
Fixpunkt
Faktorisierung
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 5: Satz von Peano (Teil 2)
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 05
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30769
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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