So, dann mal ein herzliches Willkommen zur nächsten Vorlesung über gewöhnliche Differentialgleichung. Und ich hatte letztes Mal schon gesagt, wir kommen jetzt sozusagen an das Herz der Sache in den nächsten Vorlesungen.

Und wir hatten in der letzten Vorlesung mit einem, ja, unscheinbaren Lämmer angefangen. Und da ging es um die Lösbarkeit unseres Standardanfangswertproblems. Y' von T ist F von T, Y. Y von T0 ist Y0. Und das konnten wir äquivalent umschreiben.

Die Differentialgleichung mithilfe des wesentlichen nur Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung äquivalent umschreiben in eine Integralgleichung. Wir haben festgestellt, U löst dieses Anfangswertproblem genau dann, wenn U stetig ist.

Und U von T, der Gleichung genügt, dass U von T gleich der Anfangswert Y0 ist. Plus das Integral von T0 bis T über F von S U von S DS. Und damit ist im ersten Moment nichts gewonnen. Weil auch das natürlich, auch wenn es so aussieht, wie Y U von T ist gleich, kein Lösungsformel ist,

weil das U durch sich selbst definiert wird. Aber es ist eine äquivalente Formulierung der Differentialgleichung. Wir werden jetzt in den nächsten vier Vorlesungen vielleicht auch fünf mit drei großen Theoremen

dreimal diese Integralgleichung lösen. Unter verschiedenen Fragestellen, unter verschiedenen Zusammenhängen. Drei Sätze beweisen das Theorem. Den Satz von Pejano jetzt im ersten, in diesem Kapitel dann den globalen Satz von Pika Lindelöf und dann den lokalen Satz von Pika Lindelöf.

Die drei zentralen Theoreme zum Thema Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. Und diese drei Theoreme fußen am Ende alle darauf, dass wir diese Integralgleichung lösen. Deswegen ist dieses Lemma fundamental. Und wir werden bei diesen, das will ich auch gleich vorneweg schon sagen,

bei diesen drei Beweisen drei ganz wesentliche Techniken zum Behandeln von Differentialgleichungen kennenlernen. Wir werden einmal mit im Wesentlichen Kompaktheit, mit einem Kompaktheitsargument zur Lösung kommen. Also die fundamentale Größe, die da eingeht, ist die Kompaktheit der richtig gewählten Menge.

Wir werden ein Fixpunktargument anwenden. Im zweiten Beweis und im dritten Beweis werden wir mit Abschätzungsmethoden arbeiten. Und auf die Weise sehen Sie nicht nur diese drei wesentlichen Resultate, sondern auch drei ganz verschiedene wichtige Beweistechniken, die da zum Tragen kommen. Aber am Ende fußt alles auf dieser Integralgleichung.

Das heißt, was wir jetzt immer tun werden, ist, wir suchen uns stetige Funktionen, die diese Gleichung lösen. Und da jetzt stetige Funktionen so wichtig werden, ein paar Bemerkungen zur Menge der stetigen Funktionen, also sozusagen unserem Fundus an Lösungen.

Eigentlich sind die Lösungen am Schluss natürlich alle stetig differenzierbar, sonst lösen sie nicht unser Anfangswertproblem, aber wir hatten festgestellt, wenn wir eine stetige Lösung haben, die diese Gleichung löst, dann ist sie automatisch stetig differenzierbar. Was den Vorteil hat, dass wir uns um Differenzierbarkeit keine Gedanken machen müssen,

sondern nur Stetigkeit. Also wir brauchen immer stetige Lösungen dieser Gleichung, und dann sind sie automatisch differenzierbar. So, das heißt, die für uns interessante Menge ist die Menge aller stetigen Funktionen.

Ich will stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen anschauen, über die weiß man schön viel. Und die Zielmenge der stetigen Funktionen soll eine abgeschlossene Teilmenge von Rd sein. Also ich nehme ein abgeschlossenes G in Rd her, ein kompaktes Intervall in R,

und dann schaue ich mir an die Menge aller stetigen Funktionen auf diesem kompakten Intervall mit Werten in G. Ich hoffe, die Bezeichnung C ist eingeläufig, also die Menge aller Funktionen von a b nach G, sodass f stetig ist.

Und ich hoffe, Sie wissen alle, dass das, ich habe jetzt gesagt, die Menge aller stetigen Funktionen, damit habe ich ganz viel, ganz wesentliche Struktur, und ein Teppich gekehrt, das ist nicht nur irgendeine Menge, das ist ein Vektoraum, das ist sogar ein normierter Vektoraum,

kann natürlich hunderte Normen drauf packen, aber die vernünftigste Norm, in dem Fall, ist die Supremumsnorm, also üblicherweise mit dem Unendlichen unten gekennzeichnet. Ich hoffe, das Ding ist in der 1 oder 2 mal aufgetaucht, sonst definiere ich es Ihnen hier. Die Supremumsnorm, die Unendlichnorm von f,

ist das Supremum über alle t aus a b, Betrag f von t, und weil f auf einer kompakten Menge definiert ist und stetig, nimmt es dort auch den Maximum an, also ob Sie hier sup oder max schreiben, das ist komplett egal.

Das ist die Unendlichnorm. Damit wird das Ding zu einem normierten Vektoraum. Es wird nicht nur ein normierter Vektoraum, es ist sogar noch viel schöner, weil, was ist denn, in einem normierten Vektoraum können Sie von Konvergenz reden, was ist die Konvergenz, die zu dieser Norm gehört?

Die Konvergenz, die zu Supremumsnorm gehört, ist die gleichmäßige Konvergenz, das heißt, eine Folge, die bezüglich dieses Supremumsnorm konvergiert, ist eine gleichmäßig konvergente Folge, und gleichmäßig konvergente Folgen von stetigen Funktionen geben stetige Grenzelemente, das heißt, Grenzelemente liegen auch immer in diesem Raum drin, und man stellt fest, es ist noch schöner,

denn dieser Raum wird nämlich auch vollständig unter dieser Norm, also ist ein sogenannter Banachraum. Fast die schönste aller möglichen Welten, steht die Funktion mit dieser Unendlichnorm, sind ein Banachraum, ein vollständiger normierter Raum,

sozusagen fast das schönste aller möglichen Welten, weil, was uns noch fehlt, ist ein Skalarprodukt. Wenn man in Paradies landen will, bräuchte man einen Hilbertraum nur mit Skalarprodukt, den hat es nicht. Die Norm kommt nicht von einem Skalarprodukt, aber immerhin ein Banachraum ist schon mal nicht schlecht. Und das werden wir auch massiv ausnutzen. Lassen Sie uns langsam anfangen.

Der Vorteil davon, dass wir eine Norm haben, ist, wir können alles, was die Topologie für Möglichkeiten hat, ins Spiel werfen. Wir können über offene Teilmengen von der Menge reden, über abgeschlossene, über beschränkte, über kompakte, also kompakte Teilmengen jetzt von C ab.

All das macht Sinn. Also insbesondere, zum Beispiel, kann man über den Beschränktheitsbegriff reden, eine Teilmenge F von C ab mit Werten in G ist eine beschränkte Teilmenge von dem Ding,

naja, wenn die Norm von jedem Element kleiner als eine Schranke bleibt. Also, wenn es eine Konstante M gibt, sodass für alle F aus F gilt, dass die Norm von den Elementen kleiner als M ist, das ist die Definition von Beschränktheit.

Setzen wir noch die Definition der Norm ein, wenn es ein M größer als Null gibt, sodass für alle F in F und für alle T aus A B der Betrag F von T kleiner als M bleibt. Das ist eine beschränkte Menge, eine beschränkte Teilmenge.

Das werden wir gleich brauchen. Ich werde in dieser Vorlesung versuchen, wenn ich solche Teilmengen, solche Mengen von Funktionen mir anschaue, Teilmengen von C zum Beispiel, so kalligraphische Buchstaben zu schreiben, um so ein bisschen eine Signalwirkung zu machen, das ist jetzt nicht irgendeine Menge von Zahlen, eine Teilmenge von R oder von RD oder von Vektoren,

sondern eine Menge von Funktionen. Weil, was hier vielleicht im Studium zum ersten Mal passiert, ist ein Gedankengang, der weit trägt, den sie in den nächsten Semestern weiterverfolgen wird. Was wir tun werden,

wir werden jetzt Analysis betreiben in dieser Menge der stetigen Funktion. Also man nimmt die Menge der stetigen Funktion, in diesem Raum ist jede Funktion eigentlich ein Punkt, ein Vektor in diesem Raum ist ein Punkt, eine Funktion ist ein Punkt. Und jetzt kann man darauf wieder Analysis machen,

weil wir haben ja eine Norm, wir haben ja einen Banachraum. Man kann alles machen, was man will, man kann Limiten anschauen. Und diese Sichtweise, die Funktion selbst wieder als Punkt zu identifizieren und mit den Funktionen zu rechnen, das ist was, was in die Mathematik so 1920-Rom-Einzug gehalten hat.

Sie sehen, sie arbeiten sich langsam von Euclid nach vorne. Und was unglaublich fruchtbar ist, und insbesondere in einem Jahr, wenn, ich hoffe, viele von Ihnen in der Funktionalanalysis-Vorlesung sitzen werden, zumindest von den Mathematikerinnen und Mathematikern,

werden Sie dieser Sichtweise aufs Dauernd wieder begegnen. Funktionalanalysis ist im Wesentlichen das, Analysis auf solchen Funktionen räumen. Und was der Vorteil davon ist, ist eben, dass diese Funktionenräume üblicherweise schöne Vektorräume sind. Und das heißt, man kann die ganze Technik und alles, was man aus der linearen Algebra hat,

wieder in die Funktionenräume in die Analysis ziehen. Und man kann mit Mitteln der linearen Algebra und der Analysis auf diese Funktionenräume rumhemmern. Und hier sehen wir einen ganz kleinen ersten Anflug davon. Ich wollte nur sozusagen schon mal sagen, die Philosophie, die dahinter steckt, ist jetzt eben, Funktionen selbst als Punkte eines Vektorraums zu identifizieren

und zu sagen, jede einzelne Funktion ist nur ein Punkt in dem Vektorraum. Und an alle Physiker, die jetzt weggehört haben, weil sie sagen, er macht da irgendwelchen abgehobenen Quatsch, räuchen Sie lieber nicht weg, weil die Philosophie jetzt durchaus auch die Physik geschafft. Quantenmechanik macht nichts anderes.

Und der Quantenmechanik ist jede Wellenfunktion, jeder Zustand eines Teilchens ist eine Funktion, ein Punkt in einem Zustandsraum. Und die Quantenmechanik haut mit der vollen Macht der Funktionalanalysis auf diesen Funktionenraum drauf. Also auch Sie werden davon nicht verschont. Aber deswegen hier so als Hinweis,

wenn Sie so ein kalligraphisches F sehen, dann ist das immer eine Menge von Funktionen in irgendeinem Funktionraum. So. Und so eine Menge von Funktionen, wir haben schon gesagt, wir können sagen, wann die beschränkt ist, aber dadurch, dass wir eine Norm haben, können wir die ganzen anderen topologischen Begriffe auch definieren. Ich mache das jetzt hier nicht in voller Allgemeinheit,

weil erstens haben Sie das im Prinzip in der ANA 2 gemacht. Da haben Sie Konvergenz und Kompaktheit in metrischen Räumen abgehandelt. Und das ist ja viel schöner als ein beliebiger metrischer Raum. Das ist geradezu ein traumhafter metrischer Raum. Nicht viel besser geht es überhaupt.

Sondern ich will nur die zwei Begriffe nochmal einführen, mit denen wir hier zu tun kriegen. Also so eine Teilmenge F von CAB mit Werten in G, wie vorhin G, eine abgeschlossene Teilmenge von RD, die nennt man relativ kompakt.

Ich gehe davon aus, dass Sie wissen, was es bedeutet, so eine Menge ist kompakt. Und ich will jetzt bitte nicht hören, abgeschlossen und beschränkt. Der Raum ist ziemlich groß, der hat keine endliche Dimension.

Also wirklich gar keine endliche Dimension. Und Heine-Borel, abgeschlossen und beschränkt gleich kompakt, gilt genau in endlicher Dimension. Also da ist nichts zu holen. Kompakt können Sie auf zwei verschiedene Weisen definieren, die in dem Fall zum Glück übereinstimmen. Entweder über Deckungskompakt oder Folgenkompakt.

Und dieser Begriff des relativ Kompakts, der ist eigentlich nur eine Krücke, wenn man nicht so viel schreiben will, da steckt nicht viel hinter. Relativ Kompakt bedeutet einfach, dass der Abschluss kompakt ist. Also, Querstrich hoffe, ist eingeführte Notation für den Abschluss, topologischer Abschluss von der Menge. Wenn das Ding kompakt ist,

nennt man das Ding relativ kompakt. Das heißt, eine relativ kompakte Menge ist eine, die im Wesentlichen kompakt ist, nur dass sie aus Versehen nicht abgeschlossen ist. Aber kompakt ist eben, das ist das Wichtige, was man aus dieser Heine-Borel-Diskussion mitnehmen muss, sobald die Dimension unendlich ist,

ist Kompakt ein extrem restriktiver Begriff. Kompakte Mengen sind in unendlich-dimensionalen Räumen extrem kleine Mengen. Und das Entscheidende der Kompaktheit ist, dass die nicht allzu groß sind, und ob die jetzt noch abgeschlossen sind oder nicht, ist dann, ob die nur deswegen nicht kompakt sind,

weil zufällig zwei Limiten fehlen, das ist nicht das Entscheidende. Dafür gibt es diesen Begriff, relativ kompakt, der sagt, naja, im Wesentlichen kompakt, außer dass an irgendeiner Ecke noch ein Stück Rand verschüttgegangen ist. So, und der zweite Begriff, den ich einführen will, der hat jetzt mit diesem speziellen Raum C zu tun.

Der ist kein allgemeiner topologischer Begriff. Das ist nochmal eine besonders tolle Form von gleichmäßig-stetig, nämlich gleichmäßig-gleichmäßig-stetig. Das nennt man dann gleichgradig-stetig. Und zwar gleichgradig-stetig ist nicht eine einzelne Funktion,

sondern gleichgradig-stetig ist so eine ganze Menge von Funktionen. Und gleichgradig-stetig bedeutet im Wesentlichen, alle die Funktionen sind gleichmäßig-stetig, und zwar alle gleichmäßig gut gleichmäßig-stetig. Also, so gleichmäßig, wie es gar nicht mehr gleichmäßiger geht. So, und das müssen wir jetzt nur noch aufschreiben, und Sie wissen, wenn es um gleichmäßig-stetig kommt,

dann ist die Quantorenwüste nicht weit. Also, das ist gleichgradig-stetig, für alle epsilon größer 0. Also, erstmal, was ist gleichmäßig-stetig, für alle epsilon größer 0, gibt es ein delta größer 0, sodass für alle t1, t2 aus ab

mit Abstand von t1 minus t2 kleiner als delta gilt, dass f von t1 minus f von t2 im Betrag, also der Abstand von f von t1 und f von t2 kleiner als epsilon. Das ist gleichmäßige Stetigkeit.

Es muss für jedes epsilon im Zielbereich ein delta hier vorne geben, sodass gleichmäßig in den t's, wenn die Argumente nahe genug beisammen sind, auch die Funktionswerte gleich genug beisammen sind. Und gleichgradig-stetig bedeutet jetzt, alle diese Funktionen f sind gleichmäßig-stetig, und zwar alle mit dem gleichen delta. Das heißt, für alle epsilon größer 0

und für alle f aus f funktioniert das. Also gleichgradig-stetig ist nichts anderes als gleichmäßig-gleichmäßig-stetig. Ja, Frage? Sie haben recht, genau, andersrum.

Ich sage es noch richtig und schreibe es falsch hin. Perfekt. Und irgendwer hat das schon, wir haben hier hinschreiben, falsch gemacht. Wer das wohl war?

Also für alle epsilon gibt es ein delta, sodass für alle f aus f. So ist es definitiv. Gleichgradig-stetig heißt, dass es wichtig ist, zu merken, gleichmäßig-stetig und zwar für alle f gleichgut.

So, und warum brauche ich diesen komischen Begriff? Sozusagen als schon mal Erzählung, wo soll das Ganze hinführen? Wir werden versuchen, von Teilmengen von unserem Raum C nachzuweisen, dass die kompakt sind.

Und wenn man das tun muss, dann ist das erstmal ein schwieriges Problem, weil abgeschlossene Beschränkungen tun nicht. Nachweis, dass so eine Teilmenge von unendlich dimensionalen Raum kompakt ist, ist super ätzend, weil niemand will natürlich tatsächlich irgendeine Überdeckung auspacken und von jeder Überdeckung eine ähnliche Teilüberdeckung auswählen. Dann wird man hier bekloppt. Das heißt, wir brauchen ein gutes Kriterium für Kompaktheit.

Und der Raum C hat freundlicherweise ein relativ schönes, sogar genau dann-wenn-Kriterium für Kompaktheit. Das ist der sogenannte Satz von Arsela Ascoli, den werde ich Ihnen jetzt gleich zeigen. Und der braucht eben ganz insbesondere diesen Begriff.

Das wird sich herausstellen, dass gleichgradig stetig plus noch eine Bedingung, gleichgradig stetig plus beschränkt impliziert kompakt. Und das ist das, wofür wir diesen Begriff brauchen. Bevor wir einsteigen, noch ein gutes Kriterium, wie man gleichgradig stetig nachweisen kann,

eine notwendige Bedingung, die oft reicht, wenn ich eine Teilmenge von C ab habe, die gleichmäßig Lipschitz-stetig ist. Sie wissen, Lipschitz-stetige Funktionen sind alle gleichmäßig stetig.

Und wenn ich jetzt Lipschitz-stetigkeit mit gleichmäßiger Konstante habe, also es gibt ein L größer gleich 0, diesmal habe ich die Quantoren richtig, sodass für alle t1 und t2 aus dem Intervall a, b und für alle f aus f gilt,

dass f von t1 minus f von t2 im Betrag kleiner gleich L mal t1 minus t2 ist, dann nennt man das Ding gleichmäßig Lipschitz-stetig, weil diese Konstante L eben für alle f gleichmäßig gelten muss, dann ist f gleichgradig stetig.

Das will ich hier gar nicht beweisen, Beweis ist auf dem nächsten Übungsblatt gefordert, ist aber nicht schwer, liegt im Wesentlichen an gleichmäßiger, gleichmäßiger Stetigkeit. Gute Frage. Ja, ja, Sie haben vollkommen recht.

Die Nachfrage war, hier stehen Betragsstriche, aber f von t ist doch in g und g ist Teilmenge rd. Sie haben recht, hier müsste eine Norm in rd stehen. Und ich habe mich entschieden, die Norm in rd hat man ja eingeführt, um sie vom reellen Betrag zu unterscheiden, dass man aufpasst, weil für so eine Norm gilt ja nicht alles, was für einen Betrag gilt.

Und dass man da ein bisschen die Sinne schärft, hat man die Normstriche eingeführt. Und an der ähnlichen Problemstelle stehen wir jetzt auch. Ich kann hier natürlich eine Norm schreiben. Dann dürfen Sie sofort die berechtigte Frage stellen, welche? 2-Norm, p-Norm, 1-Norm und n-Norm.

Kann ich Ihnen glücklich sagen, ist egal, rd ist n-Dimension, rd alle äquivalent. Ich will hier aber keine Norm schreiben, weil dann kommen wir in die gleiche Problematik, dass wir jetzt anfangen uns zu fragen, ist das jetzt die Norm? Also ich habe jetzt die Norm auf dem Funktionenraum, die Norm in rd und den Betrag in r.

Und meine Vermutung ist, dass im Moment die Verwechslungsgefahr zwischen der Norm in c und der Norm in rd größer ist, als die Norm in rd und den Betrag in r. Deswegen werde ich in der ganzen Vorlesung Normen in rd auch mit einem einfachen Betragstrich schreiben. Also dieser Betragstrich bezeichnet Ihre Lieblingsnorm. Suchen Sie sich irgendeine aus, ist mir egal, sind eh alle äquivalent.

Im Zweifelsfall die 2-Norm auf dem rd, weil ich glaube, das kriegen Sie mittlerweile auseinander. Normen im rd und Beträge im r. Und mir ist es wichtiger, dass Sie auseinander kriegen, Normen im rd und Normen in c, a, b. Das heißt, dieses Symbol hier werde ich reservieren für wirkliche Funktionenräume,

für wirklich Vektorräume, die nicht einfach n-Dimensionale rd sind, sondern hässlicher. Das ist eine Entscheidung, die sicher manche doof finden, ich muss es nur irgendwie machen. Also, wann immer jetzt so ein Betragstrich auftaucht, kann der auch eine Norm im rd bezeichnen. Gut, wie gesagt, Beweis von dem Ding sehen Sie in der Übung.

Und was ich mit Ihnen jetzt machen will, ist eben das schon angekündigte, den schon angekündigten Satz von Asela Ascoli, dessen Bedeutung ist, dass er ein Kompaktheitskriterium für Teilmengen von c, a, b ist.

Und an dem Raum ist ein Kompaktheitskriterium Gold wert, weil man eben nicht wie ein Erdem im Heine-Borel draufhauen kann und sagen, oh, abgeschlossen und beschränkt, dann ist es kompakt. Das tut er nicht. So, und das Kompaktheitskriterium sieht folgendermaßen aus.

Also, wie gesagt, das ist ein Theorem, das so wichtig ist, dass es einen Namen hat. Ist der Asela Ascoli nach zwei italienischen Mathematikern – ich habe jetzt vergessen nachzugucken, ich würde so schätzen um 1900 rum – also, wir sind in dem Setting wie die ganze Zeit,

zwei reelle Zahlen, a kleiner b, also dass wir das Intervall a, b haben, g eine Teilmenge von r, d abgeschlossen. Und dann sagt der Asela Ascoli, wenn ich mir eine Teilmenge f

von dem Funktionenraum der stetigen Funktionen auf a, b mit Werten in g hernehme und ich kann, und ich weiß, das Ding ist beschränkt und gleichgradig stetig, beide Begriffe gerade wieder nochmal wiederholt oder eingeführt,

dann folgt daraus, dass f ist im Wesentlichen kompakt. Es könnte sein, dass irgendwelche Grenzwerte fehlen, also das Ding ist relativ kompakt. Der Abschluss von f ist dann kompakt. Das ist der Satz von Asela Ascoli, wie gesagt, ein Kompaktheitskriterium

in c, a, b, das hier nur relativ kompakt rauskommt, ist egal. Entweder man zeigt, dass ein f-Abschluss sowieso schon abgeschlossen ist, dann hat man kompakt oder man schließt es halt noch ab. Das Entscheidende ist, dass man dann die, dass man die Kompaktheit hat. Im Prinzip ist das hier sogar ein genauerer Wende gilt auch.

Will ich hier aber nicht beweisen, wenn wir ihn auch nicht brauchen, das Wichtige an dem Asela Ascoli ist, dass man zur Kompaktheit kommt. Nur so als Hintergrundinformation, Sie kommen hier auch zurück. Das ist wirklich eine scharfe Aussage, eine klare Charakterisierung von kompakten Mengen in den stetigen Funktionen.

Und damit ist dieser stetige Funktionenraum ein ziemliches Juwel. Weil in den meisten unendlich-dimensionalen Funktionenräumen gibt es solche Charakterisierungen, sind aber nicht bekannt. Also sind solche Charakterisierungen nicht bekannt, sondern da kennt man dann vielleicht, wenn man Glück hat, eine notwendige Bedingung oder sowas. Aber eine wirkliche Charakterisierung von kompakt, das ist wirklich viel wert.

So, kommen wir zu dem Beweis von dem Ding. Und ich bin nicht sicher, aber ich wage zu behaupten, die Asela Ascoli ist der am häufigsten nicht bewiesene Beweis von einer 3-Vorlesung. Am häufigsten nicht bewiesene Satz von einer 3-Vorlesung.

Der wird gern weggelassen. Also da können Sie sich egal welche Skripten angucken, da steht ganz oft, oh, das geht, aber lassen wir jetzt hier weg. Und ich habe beschlossen, das will ich nicht tun. Weil erstens finde ich das, sozusagen das zentrale Hipsmittel von einem zentralen Beweis der Vorlesung wegzulassen ein bisschen fragwürdig.

Zweitens ist der Asela Ascoli wirklich ein Satz, den man immer wieder braucht. Je nachdem, wie die Funktionentheorie gelesen wird, taucht er da auch noch auf. Also der taucht immer wieder auf. Und drittens ist der Beweis einfach schön. Und ich verstehe nicht, warum man ihn weglässt. Es ist ein wunderschöner Beweis. Er hat den Nachteil, dass er länger dauert als fünf Minuten.

Aber ich glaube, man sieht da drin sehr schön, wie die Kompaktheit ineinander greift und wie man auf allen Ebenen mit den kompakten Mengen arbeitet und am Schluss am Ziel ankommt. Die erste Bemerkung, die wir brauchen, habe ich gerade schon gemacht.

Wir sind hier in einem normierten Raum. Sogar noch schöner ein Banachraum, aber wir sind vor allem im normierten Raum. Und da ist Überdeckungskompakt gleich Folgenkompakt. Es gibt hier zwei Möglichkeiten, Kompakt zu definieren.

Das erste ist die Überdeckungseigenschaft. Jede Überdeckung mit offenen Mengen hat eine endliche Teilüberdeckung. Das zweite ist die Folgenkompaktheit. Jede Folge in der Menge hat eine konvergente Teilfolge. Wenn jede Folge da drin eine konvergente Teilfolge hat,

nennt man das Folgenkompakt. Und die beiden Begriffe sind im normierten Raum äquivalent. Als ich den Karsten Große-Brautmann im Vorgriff auf diese Vorlesung, weil ich ja wusste, ich kann mal an die Stelle gefragt habe, ob er das denn gemacht hat, hat er lang nachgedacht und gesagt, die eine Richtung auf jeden Fall, und bei der anderen war er sich nicht mehr so sicher.

Das ist also vielleicht die Lücke, die bleibt. Vielleicht wissen Sie besser, ob er die gemacht hat. Aber es ist sehr schön. Also ich bin ganz sicher, er hat gemacht aus Überdeckungskompakt Folgenkompakt. Das habe ich in seinem Skript gefunden. Und das andere sagt, er hat es, glaube ich, mal erwähnt.

Also im Service-Wahl müssen Sie mir das tatsächlich glauben. Denn was ich Ihnen nachweise ist, dass diese Menge hier Folgenkompakt ist. Das heißt, wir zeigen jede Folge Fn in unserem F.

Egal wie Sie sich eine Folge aus dem F rausnehmen. Die hat immer eine konvergente Teilfolge. Und zwar jetzt in dem Fall mit Grenzwert in den stetigen Funktionen.

Konvergente Teilfolge. Für Kompakt bräuchte man eigentlich eine in F konvergente Teilfolge. Also wenn Sie eine kompakte Menge haben wollen, dann muss jede Folge in der Menge eine in F konvergente Teilfolge haben. Ich will aber nicht kompakt, ich will nur relativ kompakt. Es ist mir also wurscht, ob der Grenzwert jetzt in F drin liegt oder nicht.

Er liegt natürlich im Abschluss von F, weil im Abschluss von F liegen alle Grenzwerte. Das heißt, wenn ich das zeige, dann bekomme ich, dass im Abschluss von F jede Folge eine im Abschluss von F konvergente Teilfolge hat. Weil der Grenzwert muss natürlich im Abschluss liegen. Abschluss sind alle Grenzwerte drin. Wenn wir das gezeigt haben, haben wir also, dass der Abschluss von F folgenkompakt ist.

Der Abschluss von F ist dann kompakt. Wenn der Abschluss von F kompakt ist, das bedeutet genau, F ist relativ kompakt. Also das ist das Ziel. Egal wie gemein Sie jetzt aus F diese Folge auswählen, ich finde eine konvergente Teilfolge. Das ist das Spielchen.

So, also nehmen wir uns eine Folge Fn in F her. Und jetzt ist die ganze Arbeit der nachzuweisen, dass sie eine konvergente Teilfolge hat. So, und damit dafür brauchen wir mal als erstes ein Hilfsmittel.

Nämlich eine Folge Tn von Zeitpunkten in dem Ab. Und die will ich so haben, dass sie in dem Ab dicht liegt. Also ich will in dem Ab einen Staub von Punkten Tn haben. Und das kann ich zum Beispiel erreichen, indem ich mir die rationalen Zahlen in Ab hernehme.

Die sind abzählbar und die abzähle. Also zum Beispiel eine Abzählung der rationalen Zahlen in Ab. Also von der Menge Q geschnitten in Ab.

Das ist eine abzählbare Menge, davon nehme ich mir eine Abzählung her. So, diese Folge Tn werden wir immer wieder brauchen. Mit der Folge Tn arbeiten wir jetzt los. Jetzt nehmen wir mal die Folge Tn. Ne, jetzt nehmen wir uns von der Folge Tn das erste Element, das T1, das erste Folgenglied.

Und setzen es mal in alle F ein. Also wir schauen uns an, Fn von T1. Das ist jetzt eine Folge von Vektoren in der D. Fn von T1 liegt in G.

Fn von T1 ist eine Folge in G. Und ich behaupte, die ist beschränkt. Also das ist eine Folge in Rd. Also genauer in G, aber G in der Folge in Rd. Und ich behaupte, die ist beschränkt. Warum ist die beschränkt? Weil die Menge F beschränkt ist. Die Menge F ist beschränkt.

Das heißt, alle Funktionen F in F bleiben unterhalb einer konstanten M, egal was sie einsetzen. Also ist diese Folge Fn von T1 eine beschränkte Teilmenge von Rd. So, in Rd ist das mit dem Kompaktheit nicht so schwierig.

In Rd gilt der Bolzano-Weierstrass. Wenn sie eine beschränkte Folge haben, dann hat die immer eine konvergente Teilfolge. Nehmen wir uns die doch mal raus. Also damit kriegen wir, es gibt eine Teilfolge FnK von T1.

K aus N. Von dieser Folge Fn von T1. Die ist immer noch, na Moment, besser ist so. Ist schon richtig, nur doof hingeschrieben.

Es gibt eine Teilfolge FnK von der Folge Fn. Sodass die Folge FnK von T1, sodass die konvergent ist.

Also diese Fn von T1 hat eine konvergente Teilfolge. Die wählen Sie aus. Dadurch haben Sie implizit Fn ausgewählt. Die Fn, die bei dem FnK vorkommen. Das heißt, Sie haben jetzt eine Teilfolge FnK von Ihrer ursprünglichen Folge Fn,

die so gewählt ist, dass FnK von T1 konvergent ist. So, und diese Folge FnK, K aus N, also diese Teilfolge von Fn,

die will ich jetzt im Folgenden nennen F1N. Also ich nummeriere die wieder von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 durch.

Und habe jetzt eine Teilfolge Fn1 von Fn, die sich dadurch auszeichnet, dass sie an der Stelle T1 konvergent ist. Sie ist jetzt an dieser einen Stelle konvergent. Wir brauchen ja, wie gesagt, dass die ganze Teilfolge konvergiert. Wir sind also unserem Ziel ein Stückchen näher gekommen,

aber noch nicht so wahnsinnig weit. An einen Punkt konvergent. Deswegen mal hier diese 1. Und der Punkt ist, wir werden jetzt wieder und wieder von dieser Teilfolge Teilfolgen auswählen. Und deswegen will ich nicht in dieser Schreibweise FnK bleiben, weil im zweiten Schritt haben wir FnKl und dann haben wir FnKlm und dann haben wir FnKlmn

und dann geben irgendwann die Buchstaben aus. Und deswegen diese Notation hier, die einfach sagt, Fn1 ist die Teilfolge von Fn, wenn ich zum Einmal ausgewählt habe, eine Teilfolge, nämlich so, dass Fn1 an der Stelle T1 konvergent ist.

Und passt ja auch schön. Fn1 ist an der Stelle T1 konvergent, kann man sich gut merken. So, haben wir also diese Folge Fn1, die an der Stelle T1 konvergiert. Jetzt nehmen wir diese Folge Fn1 und setzen T2 ein.

Das ist wieder eine Folge in Rd, also n aus n, ist wieder eine Folge in Rd und die ist wieder beschränkt. Gleiches Argument wie vorhin, die Fn1 sind alle in F, F ist beschränkt,

also sind alle diese Werte da beschränkt und wir haben eine beschränkte Folge in Rd. Gleiches ergibt die gleiche Schlussfolgerung, also gibt es wieder eine Teilfolge. F2n von unserer ursprünglichen Folge Fn, also eigentlich natürlich erstmal Teilfolge von dem Ding,

aber weil das schon eine Teilfolge von Fn ist, ist die Teilfolge von der Teilfolge wieder eine Teilfolge. Also Fn2 von Fn, so dass Fn2 von T2 konvergent ist.

Wenn man sich jetzt das Fn2 nochmal anschaut, dann wissen wir, Fn2 von T2 ist konvergent. So war es gerade gemacht. Wir haben festgestellt, Fn1 von T2 ist beschränkt, also zur konvergente Teilfolge.

Wählen wir uns aus, haben wir Fn2 von T2 ist konvergent. Trotzdem ist dieses Fn2 immer noch eine Teilfolge von Fn1. Und weil Fn1 von T1 konvergiert, konvergiert dann auch Fn2 von T1. Weil eine Teilfolge von der konvergenten Folge ist immer noch gegen den gleichen Grenzwert konvergent. Also Fn2 von T1 ist auch immer noch konvergent, weil es eine Teilfolge von der konvergenten Folge Fn1 von T1 ist.

Also unsere Folge Fn2 konvergiert jetzt schon in zwei Punkten, nämlich in T1 und in T2. Also wir kommen der Sache, fehlen nur noch unendlich viele.

Aber nicht verdriessen lassen. Machen Sie einfach weiter. Also setzen Sie in die Folge Fn2 T3 ein, es ist eine beschränkte Folge in Rd. Kriegen Sie eine konvergente Teilfolge raus, Fn3, die konvergiert dann in T1 T2 T3.

Und so weiter, und so weiter, und so weiter. Also was wir kriegen ist das folgende, wir haben im ersten Schritt unsere Folge F1 ausgewählt. F1 1, F1 2, F1 3, F1 4 und so weiter.

Das ist eine Teilfolge von Fn, die in T1 konvergiert. Dann haben wir aus der Folge wieder eine Teilfolge ausgewählt. F1 2, F2 2, F3 2, F4 2 und so weiter.

Aus der haben wir eine dritte ausgewählt. F3 1, F3 2, F3 3, F3 4 und so weiter. Das können Sie jetzt natürlich immer weiter machen. Jede Folge ist eine Teilfolge von der davor. Und die werden immer besser. Die konvergiert in T1, die konvergiert in T1 und T2, die konvergiert in T1 T2 T3 und so weiter.

Das schöne am unendlichen ist ja, Sie können so oft Teilfolgen auswählen, wie Sie wollen. Es bleiben immer unendlich viele übrig. Und was wir jetzt machen? Jetzt sagen wir natürlich nicht, wir nehmen die letzte Zeile von der Tabelle. Ich hoffe, soweit haben Sie Unendlichkeit schon verstanden.

Das tut nicht, weil dann haben wir wahrscheinlich nichts mehr übrig. Aber jetzt hilft der übliche Trick, der bei sowas immer tut oder oft tut, das Diagonalfolgenargument. Nehmen Sie sich diese Folge hier. Nehmen Sie die Folge F1 1, F2 2, F3 3.

Geben wir der mal einen neuen Namen. Also wir betrachten die Folge GK, die gegeben ist durch FKK. K aus N. Das ist unser Kandidat.

Dieses GK, auf dem ruhen alle unsere Hoffnungen. Meine Behauptung ist, dieses GK ist eine konvergente Teilfolge in jedem Punkt. Und zwar nicht nur in jedem Punkt irgendwie punktweise konvergent, sondern sogar eine konvergente Teilfolge in C. Das heißt, die ist sogar gleichmäßig konvergent. Wir müssen hier nicht nur Konvergenz zeigen, wir müssen gleichmäßige Konvergenz zeigen.

Weil wir Konvergenz in CAB haben wollen. Bezüglich der Supremus-Norm. Und auf dem ruhen jetzt alle unsere Hoffnungen. Und die Hoffnung ist dadurch, dass wir hier immer weiter runterlaufen, wird diese Folge wunderbar schön. So, also schauen wir uns an, dass dieses GK tatsächlich tut, was es soll.

Was soll es denn? Es soll eine konvergente Teilfolge von unserem FN sein. Und zwar konvergent bezüglich der Norm von unserem Raum. Also bezüglich der Supremus-Norm.

Dazu sollten wir erstmal festhalten, dass es eine Teilfolge ist. GK ist eine Teilfolge von FN. Das ist so, weil jede dieser Zeilen hier eine Teilfolge von FN ist. Dementsprechend ist das auch eine Teilfolge. Beachten Sie, es wird wirklich eine Teilfolge. Was für Teilfolge ja wichtig ist, ist, dass Sie nicht aus Versehen ein Element doppelt erwischen.

Aber da das alles ineinander enthaltene Teilfolgen sind, kann ein Element, das hier oben irgendwo steht, hier hinten nicht weiter nach rechts rutschen. Beim Teilfolgen auswählen können Elemente immer nur weiter nach links rutschen, aber nicht weiter nach rechts. Weil Teilfolgen werfen nur was weg und packen nichts dazu.

Das heißt, dadurch, dass Sie hier diagonal gehen, sichern Sie, dass das hier wirklich eine echte Teilfolge von FN ist, bei dem Sie kein Folgenglied von FN aus Versehen sein werden müssen. So, also das Ding ist tatsächlich eine Teilfolge von FN.

Es ist aber auch, jetzt muss ich ja irgendwie argumentieren, dass das G an möglichst vielen Punkten konvergent ist. Und dann denkt man im ersten Moment, das ist ein bisschen blöd, weil das G ist zwar, weil es hier oben, jedes dieser Folgenglieder gehört zu dem F1.

Also das G ist offensichtlich eine Teilfolge, das GK ist offensichtlich eine Teilfolge von dem F1N. Aber in dem F2N hört es schon auf, weil der gehört natürlich nicht dazu. Weil wir Pech haben. Weil wir Pech haben, ist der weggefallen beim Teilfolgen auswählen. Aber das Entscheidende ist ja, wie bei Folgen immer, das Entscheidende bei Folgen ist nicht, was die ersten 17 Elemente machen, das Entscheidende ist, was passiert ganz weit draußen.

Und ganz weit draußen ist alles gut, weil das Endstück von dieser Folge FGK ist eine Teilfolge von jeder dieser FJNs. Wenn sie nur weit genug runterlaufen, sind sie in jeder Zeile drin. Also, in exakter, egal welche Zeile sie sich raussuchen,

für jedes J aus N ist das Folgenendstück, also die Folge GK mit Indizes größer gleich J, immer eine Teilfolge von unserer Jenauswahl.

Ab der J-Zeile ist das GK in dem FJ drin. Und das ist aber deswegen schön, weil wir von dem FNJ wissen, dass es an ein paar Stellen konvergiert.

Dadurch wissen wir diese Folge GK mit K größer gleich J. Wenn ich der das TJ gebe, dann ist das eine Teilfolge von der Folge.

Die Folge ist aber an der Stelle TJ konvergent. Teilfolge von konvergenten Folgen sind konvergent, das heißt, das ist eine konvergente Folge. So, und wenn ich jetzt weiß, dass die Folge GK für K größer gleich J konvergent ist, dann dürfen Sie mir meinetwegen noch irgendwelche J-1-Folgeglieder vorne dran klatschen.

Das ist mir völlig egal. Dann ist auch die ganze Folge GK von TJ. Dann ist auch GK von TJ für TK größer gleich 1 konvergent. Wenn das Endstücks tut, dann ist das, was vorne passiert, wurscht. Also wissen wir, das war jetzt so ein Argument, das plätschert so vor sich hin,

das entfaltet seine volle Sprengkraft erst, wenn man nochmal von vorne bis hinten liest, Was man jetzt gezeigt hat, ist für alle J in N ist GK von TJ konvergent.

Wir haben jetzt tatsächlich das geschafft, was wir gehofft haben. Wir haben sozusagen die letzte Zeile genommen. Wir haben Teilfolgen hier ausgewählt, die in jedem TJ konvergent. Jede einzelne Zeile konvergent nur in den ersten paar, aber GK konvergent in jedem TJ. Und das ist deswegen toll, weil jetzt schaut sich aus, dass wir am Anfang die TJs dicht gewählt haben.

Das TJ konvergiert, das GK konvergiert sozusagen schon mal in allen rationalen Punkten. Das haben wir jetzt gezeigt. Naja, und jetzt kann man sich schon vorstellen, das müsste irgendwie reichen. Warum? Die GKs sind immerhin noch alle stetig. Und konvergieren in jedem rationalen Punkt.

Zwischen zwei rationalen Punkten können stetige Funktionen keinen Unfug machen. Weil wenn ich von einer stetigen Funktion weiß, was sie auf den rationalen tut, dann weiß ich auch, was sie auf den irrationalen tut, weil sie muss ja stetig sein. Die können nicht mehr ausbrechen. Und das müssen wir jetzt nur noch aus den Formeln kitzeln.

Aber das Entscheidende ist das. Die GKs konvergieren auf allen rationalen Zahlen in AB. Oder wenn sie das TN am Anfang anders gewählt haben, ja wurscht, der konvergiert auf eine dichten Teilmenge. Und jetzt müssen wir nur noch aus den Formeln kitzeln, der Rest muss Stetigkeit sein. Weil dadurch, dass die stetig sind und rationale Zahlen, legen die fest.

Gut. Also, das ist das Programm, was jetzt noch bleibt. Unser Kandidat GK sieht hoffnungsvoll aus. Was müssen wir wirklich zeigen, damit wir fertig werden? Wir müssen zeigen, unser GK ist eine Cauchy-Folge. Also wir müssen zeigen, unser GK ist konvergent. Aber das machen wir, indem wir zeigen, das Ding ist eine Cauchy-Folge.

Und zwar eine Cauchy-Folge im Raum aller stetigen Funktionen auf AB. Das heißt, Cauchy-Folge bezüglich der Norm hier. So. Und bevor ich Ihnen das jetzt in allen Quantoren durchixe,

will ich Ihnen einfach erstmal nur hinschreiben, warum das so ist. Sozusagen die Idee vom Beweis. Und dann machen wir das sauber. Was müssen wir tun für Cauchy-Folge? Wir müssen uns anschauen die unendlichen Normen von GK minus GL.

Wir müssen uns zwei Indizes K und L hier nehmen. Die Differenz GK minus GL und schauen, die wird klein. Also wir müssen uns anschauen die unendlichen Normen von GK minus GL. Beziehungsweise wir müssen uns anschauen GK von T minus GL von T. Und der Ausdruck muss, wenn K und L groß werden, gleichmäßig in T klein werden.

Das ist Cauchy-Folge bezüglich dieser Norm. Cauchy-Folge bedeutet, diese Differenz wird klein. Und weil das die unendlichen Norm ist, muss die klein werden, unabhängig davon. Also gleichmäßig in T, für alle T gleichmäßig schnell.

So, warum ist dieser Ausdruck klein? Das will ich Ihnen jetzt begründen. Was man macht ist, wie üblich in solchen Situationen, mit Reihungsungleichung den Ausdruck komplizierter. Wir müssen jetzt irgendwie diese TJs ins Spiel bringen. Wir wissen unser GK konvergiert in TJ. Wenn man das Wissen hat, muss man es verwenden. Die TJs müssen da rein. Also, nehmen Sie sich ein TJ her, das nah bei T liegt.

Und schreiben Sie das Ganze als GK von T minus GK von TJ plus GK von TJ minus GL von TJ plus GL von TJ minus GL von T.

Was jetzt passiert ist, war nur zweimal Dreihungsumgleichung. Ich habe den GK von TJ eingepflegt mit plus minus und den GL von TJ eingepflegt mit plus minus. Und dann zweimal Dreihungsumgleichung gemacht.

So, und an dem sieht man, behaupte ich, warum dieser Ausdruck klein wird. Der wird klein, weil die TN dicht liegen.

Das heißt, wenn Sie das T haben, können Sie das TJ so beliebig nah ans T schieben. Die TJs liegen dicht. Sie finden beliebig nah bei T in TJ. Und wenn T beliebig nah bei TJ liegt, dann gibt GK von TJ beliebig nah bei GK von T, weil stetig. Das ist jetzt noch kein vollständiges Argument.

Ich habe jetzt noch nicht erklärt, zum Beispiel, warum gleichmäßig ein T und solche Sachen. Aber das ist die Idee. Gleiches hier hinten. Klein, weil das TN eine dichte Teilmenge ist. Sie können diesen Ausdruck, indem Sie mit dem TJ beliebig nah ans T fahren, beliebig klein machen. Bleibt der hier? Naja, aber der ist ja gut, weil was steht hier?

Hier steht GK an der Stelle TJ minus GL an der Stelle TJ. Wir wissen aber unsere Folge GK von TJ ist konvergent. Und zwar für jedes J. Das heißt, GK von TL ist eine Cauchy-Folge. Das heißt, der wird klein, da GK von TJ eine Cauchy-Folge ist.

Also konvergent und deswegen eine Cauchy-Folge. Nochmal, der eine Cauchy-Folge ist, konvergiert das Ding in jedem TJ. Und das gibt uns die Freiheit, den kriegen wir klein für beliebiges TJ. Und das gibt uns die Freiheit, hier das richtige TJ zu nehmen, sodass sie da das klein kriegen.

So, das ist das Programm und das müssen wir jetzt noch exakt durchführen. Aber ich glaube, das ist ein guter Moment, um das zehnminütige Päuschen reinzuschieben. Und dann machen wir das Exakte gleich. Gut, dann würde ich gerne die zweite Hälfte einsteigen.

Und das gerade angedeutete Argument, warum diese Folge GK eine Cauchy-Folge ist, hart in Epsilon und Delta durchdeklinieren.

Gut, also wir müssen zeigen, diese Folge GK ist eine Cauchy-Folge. Und die Überlegung, wie der Fahrplan steht hier.

Also wir müssen diesen Ausdruck hier, diese Differenz müssen wir klein kriegen. Und kleiner als Epsilon, wenn K und L nur groß genug sind und das Ganze muss gleichmäßig in T passieren. Das ist das Entscheidende. Weil wir brauchen Cauchy-Folge bezüglich der Supremumsnorm. So, also, wie fängt so ein Beweis natürlicherweise an, mit dem üblichen Gag der Analysis?

Wir brauchen ein Epsilon. Und müssen uns jetzt um diese Terme hier kümmern. Und ich will mich zuerst, ich will zuerst ausschlachten, dass das T... Nee, ich will mich zuerst um den kümmern hier.

Nein, nein, ich will mich um den kümmern. Und zwar noch nicht um das TJ. Sondern zunächst mal darum, warum, wenn das TJ nah genug beim T ist, die Differenz hier klein wird. Und da haben wir schon gesagt, dahinter muss die Stetigkeit von den GKs stehen. Stetigkeit von den GKs sorgt dafür, dass wenn das TJ nur nah genug bei T gewählt ist, der Ausdruck klein wird.

Also wir verwenden zunächst mal, dass unsere Menge f gleichgradig stetig ist. Und das liefert uns nach Definition von gleichmäßig stetig.

Gleichgradig stetig gibt es jetzt also zu unserem Epsilon ein Delta. Sodass, und jetzt einen großen Dank an die Einwand von vorhin. Hier steht es jetzt richtig. Für alle f in f und für alle t und s aus a, b, die nahe genug beisammen sind,

also für die der Abstand von s und t kleiner als Delta ist, gilt, dass f von s minus f von t im Abstand kleiner ist als Epsilon. Das ist genau die gleichmäßige Stetigkeit von oben.

Und was wir nachher dringend brauchen, und deswegen gilt jetzt die gleichgradige Stetigkeit ein, das ist wichtig. Wir brauchen, dass dieses Delta hier unabhängig davon ist, welches f ich hier nehme. Das ist die gleichgradige Stetigkeit, sonst wäre es einfach nur, alle sind gleichmäßig stetig. Aber das Entscheidende ist, dieses Delta hängt nicht davon ab, welches f, also sprich nachher, welches gk gerade die Rolle spielt.

Es gilt einfach, dieses Delta ist ein Universaldelta für alle f. An der Stelle würde ich Schiffbruch erleiden, wenn wir vorher die Kontoren da oben nicht korrigiert hätten. Deswegen einen doppelten Dank. Ich habe vorhin auch gesagt, der Asylascoly ist scharf, der ist eine Charakterisierung.

Das heißt, das darf dann auch nicht mehr funktionieren, wenn man zu wenig verwendet. Aber wir haben jetzt also zu unserem folgenden Epsilon so ein Delta, das Universal für alle f uns diese Stetigkeitsabschätzung liefert. So, mit diesem Delta machen wir weiter.

Wir teilen uns jetzt unser Intervall a, b, in Teilintervälchen der Länge Delta. Also diese Intervalle hier, die seien alle so, dass ihre Länge Delta ist.

Das muss nicht aufgehen, das ist bewuscht. Also wir teilen uns unser Intervall a, b in Teilintervalle der Länge Delta auf. Das heißt, ein so ein Intervall hier ist von der Form a plus j minus 1 durch n mal b minus a,

wobei n die Anzahl der benötigten Intervalle ist bis a plus j durch n mal b minus a. Die Dinger nenne ich i, j. Das ist einfach eine Zerlegung vom Intervall a, b in Groß n gleich lange Teile, deren Länge kleiner ist als Delta.

Das ist das, was wir machen. Also wir wählen uns ein Groß n, so dass wenn ich das b minus a in Groß n teile, teile, also die Länge b minus a durch Groß n, dass diese Stückchen kleiner sind als Delta.

Wenn Sie es so machen, geht es auch immer auf. Also wir teilen das b minus a in n Teilchen, so dass jedes Teilintervall kürzer ist als Delta. So und diese Teilintervalle nenne ich i, j. Die gehen eben von a plus einem Bruchteilvielfachen von b minus a bis a plus zum nächsten Bruchteilvielfachen mal b minus a.

Und jetzt kommt ins Spiel, dass die Menge T n dicht ist.

Also gibt es für jedes j, völlig egal, welches j ich zwischen 1 und n wähle, egal in welchem Teilintervall ich bin, gibt es da drin ein T n, j.

Weil des T n liegen dicht. In jedem von den Teilintervallen liegen sogar unendlich viele T n. Nehmen Sie sich eins raus. So, jetzt haben wir das Epsilon vorgegeben, haben dazu ein Delta bekommen aus der gleichgradigen Stetigkeit

und dann durch dieses Kleingehacke hier in Groß n. Und jetzt wollen wir ausnutzen, jetzt kommt der Term hier dran. Jetzt wollen wir ausnutzen, dass das Gk an diesen Punkten T n, j konvergiert.

Das heißt dort ist es eine Cauchy-Folge. Also für jedes j aus dieser Menge 1 bis n, also für jedes Teilintervall, ist Gk an der Stelle T n, j eine konvergente Folge.

Das ist die tolle Eigenschaft von unserem Gk, das ist nämlich an jedem T j konvergent. Insbesondere ist es also eine Cauchy-Folge. Und das heißt jetzt wiederum, es gibt ein Index Groß k, sodass wenn das k und das l nur größer sind als das Groß k,

dann gilt das Gk von T n, j minus G l von T n, j kleiner ist als Epsilon.

Ich mache jetzt hier Kosmetik kleiner als Epsilon. Weil das hier Cauchy-Folgen sind und das gilt für jedes j zwischen 1 und n.

Im Prinzip gibt es natürlich für jedes j zwischen 1 und n, dieses k hier kann natürlich im Prinzip von dem j abhängen.

Ich weiß nur Gk von T n, j ist konvergent, jedes einzelne Gk von T n, j ist konvergent, jedes einzelne ist eine Cauchy-Folge. Das heißt, wenn ich groß genug Indizes habe, ist das hier beliebig klein und diese Schranke, ab dem ich das habe, die kann natürlich eigentlich von j abhängen. Das Schöne ist aber, dass ich die ganze Reduktion vorher schon nur noch endlich viele j habe.

Und wenn es endlich viele sind, dann nehme ich halt das Schlimmste. Also gibt es ein k, das es für alle tut. So, jetzt haben wir alles zusammengebaut. Zu Epsilon ein Delta gefunden, ein n gefunden, ein k gefunden.

Und jetzt können wir uns an dieses Ding heran machen. Also jetzt nehmen wir uns Indizes k und l, die größer sind als das da gefundene Groß k.

Und wir nehmen uns irgendein t aus ab. Ja, wir müssen ja zeigen, dieser Ausdruck hier wird kleiner als Epsilon und zwar unabhängig von t.

Man beachte, dieses k hier hängt nicht von t. So, jetzt habe ich einen t vorgegeben. Dieses t liegt irgendwo zwischen ab, also liegt es in einem von unseren kleinen Intervallen.

in irgendeinem i, j. Das nehme ich mir natürlich als t, n, j, das Richtige, ich nehme mir das t, n, das in dem i, j liegt, also das t, n, j. Also ich wähle das j zwischen 1 und n, sodass das t in dem i, j drin liegt.

Irgendwann muss es liegen, das j nehme ich mir und das zugehörige n, j. Dann weiß ich, dann ist der Abstand von t zu dem t, n, j, naja, das t, n, j liegt auch in i, j, so war es gerade gewählt. t, n, j liegt in i, j. Wenn die beiden in i, j liegen, dann ist der Abstand kleiner als die Länge von dem i, j.

Die Länge von so einem i, j ist aber genau kleiner als delta. Das hier ist kleiner als der Länge von so einem Teilintervall, also b minus a durch n.

Und b minus a durch n war genauso gewählt, dass das kleiner ist als delta. So, wenn aber zwei Argumente weniger als delta voneinander wegliegen,

dann wissen wir, dann ist egal was für ein f in dem Großf, ich nehme f von s minus f von t weniger als epsilon voneinander weg. Für beliebiges epsilon, im Prinzip hätte ich hier auch mal gleich epsilon drittel schreiben sollen. Das heißt gk von t minus gk von t in j erfüllt die Ungleichung da,

also daraus folgt mit unserer Setzung eins, also mit dem ersten Teil da vorne, dass gk von t minus gk von t in j im Abstand kleiner ist als epsilon drittel.

Und das Entscheidende ist, und jetzt kommt die gleichgradige Stetigkeit ins Spiel, dieses Ding gilt gleich gut für egal welches f in f. Das heißt für jedes gk, das heißt das hier geht für alle k in n.

So, insbesondere für k und l von da oben. So, jetzt kommt die Rechnung von da oben. Was müssen wir uns anschauen? gk von t minus gl von t.

Das ist Rechnung von da oben, kleiner als gk von t minus gk von t in j plus gk von t in j minus gl von t in j plus gl von t in j minus gl von t.

Das ist einfach zweimal Dreiecksungleichung. Jetzt wissen wir hier, nach dem ersten Schritt oder mit dem hier,

gk von t minus gk von t in j ist immer kleiner als epsilon drittel. Das hier, also das ist Sternchen.

Dann kommt der hier, gk von t in j minus gl von t in j. Das steht hier, gk von t in j minus gl von t in j ist kleiner als epsilon drittel, solange nur k und l größer sind als groß k. Sie sehen, wir haben da schon mal was vorbereitet.

Und hier hinten ist genau das gleiche Argument wie hier. Diese Ungleichung hier gilt, wenn der Abstand von t zu t in j klein ist, für beliebiges k, also auch für l. Na ja, jetzt sehen Sie, warum die Kosmetik mit den epsilon dritteln. Und es kommt genau kleiner als epsilon aus. Was wir also gezeigt haben ist, was müssen wir zeigen?

Wir müssen eigentlich uns anschauen, die Supremumsnorm von gk minus gl. Die Supremumsnorm von gk minus gl ist das Supremum t aus ab Betrag gk von t minus gl von t.

Na ja, alles kleiner als epsilon. Kleiner gleich Supremum t aus ab über epsilon. Also ist der Abstand von gk zu gl gemessen in der Unendlichnorm kleiner als epsilon, wenn k und l größer gleich k sind, groß k sind.

Und das heißt, gk ist Cauchy-Folge. Also ist diese Folge gk eine Cauchy-Folge und wir sind durch. Weil jetzt haben wir gezeigt, dass jede Folge in F irgendwie eine konvergente Teilfolge hat.

Und damit ist es eine relativ folgenkompakte Menge. Und da wollten wir hin. Gut, das ist der Satz von Arsilla Ascoli. Und wie gesagt, das Entscheidende, was man sich davon merken muss, ist, dass der Satz von Arsilla Ascoli ein Kompaktheitskriterium für stetige Funktionen ist. Und es ist ein schönes Kompaktheitskriterium, weil Sie müssen eigentlich nur zwei Sachen prüfen.

Sie müssen prüfen, ob das Ding beschränkt ist. Das ist meistens der leichte Teil. Und Sie müssen prüfen, ob es gleichgradig stetig ist. Das kann ein bisschen ätzender werden, ist aber auch nicht so schlimm. Das Gute ist, in 95 Prozent der Fälle, wo man es braucht, ist das Lemma 4-4 ein schneller Helfer.

Gut, warum machen wir das Ganze? Wir machen das Ganze ja eigentlich, weil wir unsere Differentialgleichung lösen wollen. Und das wollen wir jetzt als nächstes tun. Jetzt kommt der Satz von Peano, der garantiert, wann so ein Anfangswertproblem auf jeden Fall eine Lösung hat.

Also es geht hier Schlag auf Schlag. Nach dem Theorem 4-5 kommt das Theorem 4-6. Das ist der Satz von Peano. Wir sind im üblichen Fahrwasser. Wir haben ein Intervall in R, auf dem unser Anfangswertproblem lebt.

Wir haben D, die Definitionsbereich der rechten Seite, Teilmenge I Kreuz R D. Den hätte ich gern offen. Dann die rechte Seite F von D nach R D. Und wenn die ganz beliebig ist, dann hat dieses Anfangswert im Allgemeinen keine Lösung. Aber das Schöne ist, das F muss gar nicht so wahnsinnig toll sein.

Die entscheidende Voraussetzung von Peano ist, dass das eine stetige Funktion ist. Dann sagt der Peano, wenn Sie eine stetige rechte Seite haben, dann haben Sie immer eine Lösung. Dann hat, egal was für einen Anfangswert Sie vorschreiben, also für alle Paare T0, Y0 in D, das ist der Anfangswert.

Das übliche Anfangswertproblem Y' von T ist F von S, Y von S und Y von T0 gleich Y0, S und T.

Das hat dann eine Lösung. Ich schreibe mal gleich hin, mindestens eine. Im Allgemeinen wird es mehrere haben. Aber das Tolle am Peano ist, er garantiert die Existenz einer Lösung.

Aufgrund einer sehr schwachen und relativ gut zu verifizierenden Eigenschaft, die rechte Seite muss stetig sein. So, die müssen wir jetzt natürlich auch beweisen. Und da ist eine ganze Menge Arbeit auch mit verbunden.

Aber der entscheidende Kniff, ich meine, deswegen haben wir es gemacht, ist natürlich irgendwann dann der Assela Ascoli. Im richtigen Moment werden wir zeigen, irgendeine Menge ist kompakt. Dann hat sie irgendwo eine konvergente Teilfolge. Und dann werden wir zeigen, diese konvergente Teilfolge konvergiert gegen unsere Lösung.

Das ist das Ziel. Und dazu müssen wir uns jetzt halt die richtige Menge bauen, auf der wir den Assela Ascoli anwenden können. Und das will ich heute zumindest noch anfangen.

Also, was müssen wir eigentlich tun? Wir müssen ein U finden. Ich schreibe es gleich richtig hin. Wenn U in C, A, B, G, A, B und G richtig zu wählen,

sodass U unsere Integralgleichung löst, also U von T ist Y0 plus Integral von T0 bis T, F von S, U von S, D, S für T aus A, B.

A, B und G tauchten bisher nicht auf. Das liegt auch daran, dass man es für die Formulierung des Theorems nicht braucht. Was heißt denn das Ding? Er hat mindestens eine Lösung. Erinnern Sie sich unseren Lösungsbegriff. Das bedeutet, es gibt ein kleines Interwellchen um T0 herum, auf dem ich lösen kann. Mehr werden wir auch nicht zeigen.

Ich werde sogar, wenn ich ehrlich bin, nur die Hälfte davon zeigen. Ich werde Ihnen zeigen, Sie können ein Stück nach rechts lösen. Also als das A, B verwenden wir das Intervall von T0 bis T0 plus T

für ein genügend kleines Groß T größer 0. Das Ding hat eine Lösung. Das heißt natürlich nicht, das Ding hat eine globale Lösung. Erinnern Sie sich an unsere Beispiele Dangens usw. Die Lösung kann Ihnen innerhalb kürzester Zeit um die Ohren fliegen.

Was der Piano nur sagt, ist, es gibt eine Lösung. Das heißt, es gibt ein kleines Intervall um T0, wo es eine Lösung gibt. Und ich werde den Piano auch nur von T0 aus nach rechts beweisen. Also ich werde Ihnen zeigen, Sie können eine Lösung bauen, die von T0 startet und eine kurze Zeit lebt und das Ding löst. Man müsste im Prinzip danach den ganzen Beweis nochmal nach links machen.

Das spare ich mir. Das geht analog. Der ist so schon aufwendig genug. Was man dann noch machen muss, ist das Intervall von T0 bis T0. Das geht genauso, nur dass Sie an den richtigen Stellen die Minuszeichen richtig setzen müssen.

Das Ganze geht in mehreren Etappen. Erstens müssen wir mal das Groß T angehen.

Dazu nehmen wir erstmal eine gewisse erste Schätzung. Also sei T0 mal irgendeine positive Zahl. Die dürfen Sie jetzt im Moment gern groß nehmen. Das ist mir egal. Wichtig ist dieses R.

Ich will jetzt ausnutzen, dass meine Definitionsbereich von dem F eine offene Menge ist. Das heißt, dieses T0y0 ist ein innerer Punkt von dem D. Wenn das T0y0 kein innerer Punkt von dem D ist, dann können Sie sich vorstellen, dann kann es mit Lösbarkeit essig sein.

Wenn Sie auf dem Rand des Definitionsbereichs starten, und Ihr System ist nun mal so gepolt, dass es gleich rausrennt aus der Menge, dann haben Sie keine Lösung. Also an einem Punkt, aber das ist nicht so wahnsinnig tiefsinnig. Ich will jetzt ausnutzen, dass unser Anfangswerttupel im Inneren liegt.

Dazu ist dieses R größer 0 da. Das können Sie nämlich so wählen, dass die folgende Menge, die nenne ich mal K, nehme ich T0 und T0.

Ja gut, das T0 müssen Sie ja auch schon aufpassen. Also T0 und T0 plus T0. Dieses Intervall kreuz mit der abgeschlossenen Kugel um y0 mit Radius R.

Da bin ich jetzt gerade nicht informiert, wie bei Ihnen bisher die Notation war. Ich hoffe, Sie kommen mit der Notation hier klar. Gemeint damit ist ein Ball, eine Kugel um y0 mit Radius R und davon der Abschluss. Ein einfach abgeschlossener Kugel.

So, dass dieses Ding noch ganz in D liegt. Also wählen Sie das T0 und das R so, dass so ein abgeschlossenes Intervall von T0 bis T0 plus groß T0 kreuz diese Kugel um y0 noch Abschluss noch ganz in D liegt. Das können Sie machen, weil D offen ist.

Wenn Sie das R und das T0 klein genug machen, dann bleiben Sie da drin. Es gibt ja um den Punkt T0, y0 gibt es eine ganze Kugel, die drin liegt. Und was Sie hier jetzt machen, ist, Sie legen in diese Kugel einen Würfel rein. Aber in jede Kugel können Sie einen abgeschlossenen Würfel packen. Das ist das, was hier passiert.

So, dieses Ding hier wird noch häufiger auftauchen, diese Kugel. Diese abgeschlossene Kugel, das wird nachher unser G, das nenne ich mal G. So, das geht eben, wie gesagt, weil D offen ist.

So, jetzt haben wir dieses K hier. Und wenn Sie das so sehen, die abgeschlossene Intervall, kreuz, abgeschlossene Kugel und K als Name, das schreit jetzt danach, das ist natürlich eine kompakte Menge. F ist eine stetige Funktion. Auf K, K ist eine kompakte Menge.

Sie wissen, was jetzt kommt. Also gibt es eine Konstante M größer gleich Null, sodass Betrag F von S, Y kleiner gleich M ist für alle S, Y aus K.

Stetige Funktion auf kompakten Mengen nehmen wir Maximum an. Groß M, also es beschränkt. Stetige Funktion auf kompakter Menge ist beschränkt. Die Schränke nenne ich M. Und jetzt kann ich damit das Groß T definieren. Das T ist der Schlimmere von zwei Vögeln, das Minimum von dem Groß T Null und R geteilt durch zwei M.

Ich habe das R von der Kugel, die noch reinpasst, geteilt durch zweimal die Funktion, das Maximum von dem M. Und Sie sehen auch, wenn das F hier biestig ist, wenn das F sehr groß ist, das M ist sehr groß, dann wird das Groß T klein. Aber entscheidend ist, dass Sie jetzt immer noch eine strikt positive Zahlen.

So, also auf diesem Intervall, T Null bis Groß T, mit diesem Groß T wollen wir jetzt unser Anfangswertproblem lösen. Beziehungsweise, wie gesagt, wir lösen nicht das Anfangswertproblem, wir lösen die Integralgleichung.

Aber wir haben ja gesehen, Integralgleichung lösen und Anfangswertproblem lösen ist das Gleiche. Und die Idee, diese Integralgleichung zu lösen, wird sein, eine Folge von oder eine ganze Familie von approximativen Lösungen zu konstruieren.

Das sind keine Lösungen, aber so Näherungen der Lösung. Dann zu zeigen, diese Familie von approximativen Lösungen ist gleichgradig stetig und beschränkt. Asila Askoli sagt dann, diese Familie von approximativen Lösungen hat einen Häufungspunkt, hat eine konvergente Teilfolge und dieser Häufungspunkt wird dann die Lösung unserer Gleichung sein.

Das ist das Programm, das ich heute noch schaffen kann, ist Ihnen die approximativen Lösungen zeigen und ein paar Eigenschaften von denen hinschreiben und beweisen.

Und richtig das Argument bis zum Ende durchziehen müssen wir dann nächste Woche. Asila Askoli und Pejano in einer Vorlesung, das ist ein Ehrgeiz, den ich mir nicht gesetzt habe.

Also wie gesagt, das Programm ist, approximative Lösungen anzugeben und die natürlich in gewisser Weise beliebig gut werden müssen, damit wir dann durch Teilfolgenauswahl auf eine Lösung kommen.

Und die Idee für diese approximativen Lösungen, die will ich jetzt erklären. Also wir konstruieren Funktionen u alpha, alpha positive reelle Zahl.

Genauer gesagt nehmen wir nachher nur, ich glaube alpha aus 0t, das ist auch wurscht. Die guten Lösungen sind die für kleine alpha. Und das sind Funktionen auf unserem Intervall t0 bis t0 plus t nach g,

g ist diese abgeschlossene Kugel da oben, soll natürlich stetig sein. Und nachher aus denen wählen wir dann nachher, mit denen approximieren wir nachher unser u.

Aus technischen Gründen werde ich diese Funktion u alpha nicht nur auf t0 bis t definieren, sondern auf einem größeren Intervall, sollte uns aber nicht stören. Also ich definiere die hier auf minus und endlich bis t0 plus t. Aber mein Einschränken geht ja immer.

So und wie machen wir das jetzt? Das machen wir folgendermaßen. Also hier ist unser t0, da ist t0 bis t, da wollen wir hin. In t0 wissen wir, das ist ja das einzige, was wir von unserer Lösung schon ganz sicher wissen, da muss sie durch.

An der Stelle t0 muss hier y0 sein. So und auf dem Intervall von minus und endlich bis t0, machen wir auch mit unserem u alpha genau das, da setzen wir es einfach konstant y0. Also wenn das t kleiner gleich t0 ist,

dann setzen wir u alpha von t gleich y0 konstant. Damit ist unsere approximative Lösung schon mal am richtigen Startblock.

So und jetzt teilt man sich dieses Intervall hier, t0 bis t0 plus t, auf in kleine Intervälchen, die Länge alpha haben. Das geht jetzt auch wieder nicht auf, das ist mir bewusst. Also alpha ist vorgegeben, alpha ist eine vorgegebene Zahl zwischen 0 und t

und jetzt hacken Sie das Intervall in Intervälchen der Länge alpha klein. Das ist der Grund, warum ich das alpha kleiner haben will als t, weil ein Intervall der Länge 5 in Stücke der Länge 20 klein hacken ist ätzend. Also Sie hacken sich das Intervall der Länge t in Stücke der Länge alpha klein und jetzt definieren wir uns unsere Funktion u alpha von hinten durch die Brust ins Auge,

indem wir im Prinzip, wir wissen ja, was das u tun soll. Also das Ganze hat auch eine Motivation, das u soll ja die Gleichung da oben lösen. Das u soll diese Gleichung hier lösen. So das Problem ist, in der Gleichung wird u durch u definiert.

Also ist die Gleichung als Definition für u ungeeignet. Aber was wir machen können, ist, wir können auf dem ersten Intervälchen hier unser u definieren durch genau dieses Integral, aber wir nehmen nicht das u auf dem Intervall, weil da kennen wir es ja noch nicht, sondern wir nehmen für das Integral das u auf dem Intervall davor.

Das stimmt nicht ganz, es ist auch eine approximative Lösung, aber es ist das beste Ernährungswert, der uns einfällt. Also in Formeln, wenn ich im ersten Intervall bin, also wenn ich mit meinem t zwischen t0 und t0 plus alpha bin, das ist hier das erste Intervall,

dann nehme ich u von t ist diese Formel da oben, y0 plus Integral von t0 bis t, f von s und im Prinzip müsste ich jetzt hier u von s schreiben, aber u von s kenne ich ja nicht, oder u alpha von s genauer gesagt, hier steht u alpha,

hier müsste ich u alpha von s schreiben. Wenn ich hier u alpha von s ds, dann ist es eine Lösung, aber dann ist es nicht vernünftig definiert, und deswegen nehme ich hier nicht u alpha von s, sondern u alpha von s minus alpha. Das ist in dem Fall, kann man das sogar hinschreiben, das ist Integral von y0 plus Integral von t0 bis t, f von s und y0 ds,

weil u alpha von s minus alpha, wenn mein s irgendwo hier zwischen in dem ersten Teilintervall liegt und ich ziehe alpha ab, dann bin ich hier links. Also was ich mache ist, ich definiere das u alpha im Prinzip durch die Formel,

wo ich hin will, an die muss ich irgendwie ran, und an der Stelle, wo das Problem ist, wo ich das u alpha durch sich selbst definieren will, mache ich bewusst einen kleinen Fehler, und nehme als Integrant hier nicht das u alpha da, wo ich es noch nicht kenne, sondern nehme das u alpha einen Schritt weiter links. Und auf die Weise habe ich jetzt irgendwie über dieses Integral hier ein u alpha definiert,

auf dem ersten Intervall, das macht da irgendwas. Das wird jetzt nicht mehr konstant sein, weil natürlich, je nachdem, was das f ist, kommt hier natürlich für jedes t was anderes raus. Irgendeine Funktion auf dem ersten Intervall. Und so kann ich mich jetzt weiter hangeln, weil jetzt habe ich meinen u alpha auf dem ersten Intervall, jetzt mache ich den gleichen Trick fürs zweite Intervall.

Also für t zwischen t0 plus alpha und t0 plus 2 alpha im zweiten Teilintervall, gleiche Idee, u alpha von t ist y0 plus Integral von t0 bis t f von s,

u alpha von s würde ich gerne schreiben, darf ich aber nicht, u alpha von s minus alpha ds. Das ist jetzt vernünftig definiert, weil für t zwischen t0 plus alpha und t0 plus 2 alpha, also für t in diesem zweiten Intervall hier,

greift die Definition auf u alpha von s minus alpha zu, d.h. ich integriere dieses Stück. Das kenne ich schon. Damit definiere ich mir die Funktion u alpha auf dem nächsten Teilintervall.

Und dann kann ich auf dem Stück darüber integrieren. Und so weiter und so weiter. Also so hangel ich mich durch dieses Intervall t0 bis t0 plus t durch,

also und so weiter. Insgesamt kommt raus, u alpha von t ist y0 plus Integral von t0 bis t f von s,

u alpha von s minus alpha ds. Und wenn ich Ihnen das am Anfang hingeschrieben hätte und gesagt, das ist die Definition von u alpha, dann hätten Sie zu Recht gesagt, der schummelt doch, das ist doch Quatsch. Ich kann das u alpha doch nicht durch das u alpha definieren. Stimmt, aber das ist in dem Sinne gemeint.

Man arbeitet sich sukzessive durch das Intervall durch. Man definiert das u alpha von t jeweils durch das u alpha auf dem Intervall davor. Das kennt man schon, wenn man es im Schritt davor berechnet hat. Und für das erste Intervall bekommt man einen Anfangsratewert, wenn man über die Konstante y0 integriert. Auf die Weise macht diese Definition Sinn.

So, und jetzt überlegen wir uns, was für Eigenschaften haben diese Funktion u alpha? Ja, ne. Ja, ich verstehe, wo es herkommt.

Aber ist es nicht? Also könnte ich natürlich mal definieren, kann ich alles. Will ich aber nicht, weil dieses u alpha soll ja möglichst genau diese Formel da imitieren. Das u alpha soll möglichst genau dieses Ding da lösen. Und wenn Sie sich das anschauen, das u alpha stimmt fast.

Das Einzige, was halt noch falsch ist, ist hier, das minus alpha. Sie integrieren tatsächlich, also insofern habe ich es falsch gesagt, wenn ich hier das Gelbe und das Gelbe einmal, wenn Sie hier definieren wollen, dann integrieren Sie über das ganze Ding hier. Aber Sie integrieren immer nur über schon Bekanntes, das ist das Entscheidende. Ne, ne, wir integrieren ab t0, jedes Mal ab t0.

In der Hoffnung, dass diese Funktion u alpha, die das erfüllen, also meine Idee ist jetzt natürlich, ich lasse alpha gegen 0 gehen. Ich mache meine Unterteilung immer feiner. Ich lasse alpha gegen 0 gehen. Dann ist in einem gewissen Sinne zu erhoffen,

dass dieser rechte Teil hier hoffentlich konvergiert. Und wenn er konvergiert, dann sollte das hier gegen f von s, u von s, ds gehen. Das ist das Ziel. Und jetzt kommt das Problem, im Allgemeinen wird das Ding nicht konvergiert. Also einfach Limes drüber hacken ist nicht. Dafür ist das f zu schlecht. Das f ist nur stetig.

Wie soll denn um Himmels willen? Ich meine, versuchen Sie sich daran zu erinnern, wann dürfen Sie ein Limes in den Integral reinziehen? Was brauchen Sie für ein Limes in den Integral rein? Gleichmäßige Konvergenz, genau. Ich meine, selbst wenn hier hinten alles brav ist

und dieser Ausdruck hier verdammt gleichmäßig konvergiert, das f ist nur stetig. Das macht alles kaputt. Also es konvergiert noch. Immerhin, es ist stetig und stetige Bilder von Konvergenz sind konvergent, aber auch kein Epsilon mehr. Das konvergiert. Aber gleichmäßig können Sie komplett in die Tüte treten, ist nicht.

Das Ding wird nicht konvergieren. Und es wird im Allgemeinen auch nicht konvergiert. Also wenn man das Ding wirklich ausrechnet. Deswegen kann ich auch gleich dazu sagen, dieser ganze Piano ist kein konstruktiver Beweis, auch wenn er jetzt so aussieht. Der liefert Ihnen keine Lösungsformel. Der liefert Ihnen auch keine vernünftigen Numeriken. Fangen Sie bloß nicht an, dieses Verfahren numerisch aufzusetzen. Da konvergiert Null und gar nichts.

Was uns retten wird, ist unser Freund da oben. Der sagt ja überhaupt nicht, das muss er nicht konvergieren. Wir wollen ja nur eine Lösung haben. Wir brauchen nur eine konvergente Teilfolge. Wir brauchen nicht Konvergenz. Das ist viel zu viel, kriegen wir auch nicht. Sondern was wir kriegen, ist diese Menge aller U-Alphas,

ist kompakt, relativ kompakt. Und das heißt, sie hat eine konvergente Teilfolge. Und das ist das Einzige, was wir brauchen. Das heißt aber auch, der Beweis ist komplett unkonstruktiv. Weil wenn Sie das wirklich ausrechnen, sagt Ihnen Geuner, welche Teilfolge Sie da auswählen müssen, damit irgendwas rauskommt.

Der Beweis kann auch mit dieser Anlage überhaupt keine Eindeutigkeit liefern, weil er überhaupt nicht ausgeschlossen ist, dass da irgendeine Teilfolge gegen Hü konvergiert und eine andere Teilfolge gegen Hot. Das kommt auch vor. Das ist überhaupt nicht gesichert. Der sagt nur, es gibt eine Lösung. Weil wir werden feststellen, es gibt eine konvergente Teilfolge. Da müssen wir noch nachrechnen. Der Grenzwert ist eine Lösung, aber das klappt.

Und das werden wir dann alles noch sehen. Ich mache hier noch die Vorbereitungen fertig. Das sehen wir dann nächste Woche. Was müssen wir denn jetzt machen? Wir wollen unseren Asylarskoli anwenden. Das ist das Ziel am Ende. Wir wollen also zeigen diese...

Also wir wollen uns... Kann man hier auch schon mal hinschreiben. Wir betrachten die Menge F. Das ist die Menge aller Uα mit α zwischen 0 und T. Das ist unser F. So, die erste Frage, um den Asylarskoli anzuwenden.

Es wäre ja mal schön, wenn dieses F aus stetigen Funktionen von AB mit Werten in G bestehen würde. Weil sonst brauche ich den Asylarskoli gar nicht erst anzuwerfen. Das ist die erste Frage.

Schauen wir uns das Uα mal an. Es geht um die Frage, ob es stetig ist. Wobei hier nicht AB, sondern T0 bis T0 plus T natürlich. Also auf dem Intervall T0 bis T0 plus T.

F ist stetig. Uα im ersten Intervall ist stetig. Das ist stetig. Integrieren macht die Sache nur noch besser. Ist also eine stetige Funktion. Das ist nicht so die komplizierte Frage. Also Uα ist auf jeden Fall stetig.

Auf dem Intervall T0 bis T. Das kompliziertere Frage ist, kommt da wirklich ein Wert in G raus? Und dafür muss man tatsächlich ein bisschen arbeiten. Der nächste Schritt ist, hier muss ein G hin.

Also erste gute Nachricht ist, Uα von T0 ist Y0. Y0 ist der Mittelpunkt von G. Und wenn der Mittelpunkt von G nicht zu G gehört, dann gar nichts. Also am Anfang sind wir mal darüber hingehören.

Und jetzt brauchen wir eine Zwischenbehauptung, die da lautet, brauche ich jetzt nicht mehr hinschreiben. Also das nächste, was wir tun müssen, ist zu zeigen, für jedes T hier drin, ist Uα von T immer schön in G. Was bedeutet das, in G zu sein?

Das G sieht man gerade nicht. In G zu sein bedeutet, dass Uα von T geht von Y0 nicht mehr als R weg. Das müssen wir sicherstellen, und da wird es entscheidend sein, dass wir das T geschickt gewählt haben. Wir haben das T so gewählt, dass wenn das R klein ist, unser Intervall klein wird,

diese Bedingung wird dafür sorgen, dass wenn wir von T0 bis T0 plus T laufen, unser Uα von T sich nicht mehr als R von Y0 weg bewegt. Und wenn wir das haben, dann sind wir hier in G. Das ist der erste Schritt in der nächsten Vorlesung. Bis dahin, schönes Wochenende, und vielen Dank für die Aufmerksamkeit.