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Vorlesung 4: Satz von Arzelà-Ascoli und Satz von Peano (Teil 1)

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so dann einmal ein herzliches Willkommen zur nächsten Vorlesung ihre gewöhnliche Differentialgleichungen ihr letztes Mal schon gesagt bekommen jetzt sozusagen das Herz der Sache in der nächsten Vorlesung und werden der letzten Vorlesung mit einem der unscheinbaren Leben angefangen und da ging es um die Lösbarkeit unseres Standard Anfangswertproblem ist y Strich von T-DSL von TY
y von T 0 ist y 0 werden und das konnten wir äquivalent umschreiben die Differenzialgleichung mit Hilfe des nicht nur Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung ich würde umschreiben in einem denn eine Integralgleichung dann festgestellt dieses Anfangswertproblem genau dann wenn O stetig ist Bruno von der Gleichung genügt so von Tag leichte anfangs Wert y 0 ist +plus das Integral von T 0 bis T über 11 von so von STS und damit es im 1. Moment nichts gewonnen weil auch das natürlich auch wenn es aussieht wie Y von T =ist gleich kein Lösungsformel ist weil das durch sich selbst definiert wird aber es ist nicht lehnte Formulierung Differentialgleichungen werden jetzt in den nächsten 4 Fehler Vorlesung vielleicht doch 5 3 dreimal in 3 großen mit 3 großen Theorem dreimal diese Integralgleichung lösen und das Frage der verschiedenen Zusammenhängen 3 setzte beweisen dass das Theorem den Satz vom Theater und wir zum 1. Mal in diesem Kapitel dann den dieses globalen Satzung die dann läuft und dann den lokalen Satz von Dieter 3 die 3 zentralen über Theoreme zum Thema die Existenz und Eindeutigkeit von Lösung und diese 3 Theoreme Fuß am Ende alle darauf dass wir diese legal Gleichung lösen des Weges dieses Lemma fundamental und wir werden bei diesem das will ich auch gleich vorneweg schon sagen bei diesen 3 beweisen 3 ganz wesentliche Techniken zum Wandel von Differentialgleichungen wir werden einmal aber mit im Wesentlichen Kompaktheit mir ein kompakter als Argument zur Lösung kommen Aldi die fundamentale Größe der einiges die Kompaktheit der richtig gewählt Menge ein Fixpunkt Argument anwenden 2. Beweise im 3. Beweis wenn wir mit Abschätzung smethoden arbeiten und auf die Weise sehen sie nicht nur diese 3 wesentlichen Resultate sollen auch 3 ganz verschiedene Wege wichtige Beweistechniken die der zum Tragen kommen aber pro Ende fußt alles auf diese Integralgleichung das heißt dass wir jetzt tun werden es versuchen unstetige Funktionen die diese Gleichung ist und aus da stetige Funktion so wichtig werden ein paar Bemerkungen zur Menge der stetige Funktion ab also sozusagen in unserem Fundus an Lösungen im eigentlichen Sinne sondern Schluss natürlich eilig die differenzierbar so sinnig unser Anfangswertproblem bewerten festgestellt der ich die Dinge Lösung haben die diese Gleichung löst den ist ja automatisch stetig differenzierbar was den Vorteil hat dass wir zum Differenzierbarkeit keine Gedanken machen müssen so nur bestätigt dass brauchen stetige Lösungen dieser Gleichung dann sind sie automatisch differenziert zur das heißt unser die für uns interessanten Menge ist die Menge aller stetigen Funktionen ich wichtige Funktion auf abgeschlossenen in der Wahlen anschauen über die weiß man sehr viel und die Zielmenge der stetigen Funktion soll abgeschlossen Teilmenge von LG sein an sich nehmen abgeschlossen die in der DDR ein kompaktes Intervall in und dann schau ich mir an die Menge einer stetigen Funktionen auf diesen warten derweil mit Werten die ja ich auf die Bezeichnung C ist ein geläufig also die Menge aller Funktionen von ABI nachgehen so dass er stetig ist ich auf Sie wissen alle das des ich habe es gesagt die Menge einer stetigen Funktion damit habe ich ganz viel ganz wesentliche Struktur der Teppich gekehrt das ist nicht nur eine Menge das ist Vektorraum das ist den deckte ist sogar normierter Vektorraum kann natürlich hunderte Norm draufpacken über die vernünftigste Normen in den Fall ist diese prénoms Normen also möglicherweise mit dem unendliche unten gekennzeichnet ich hoffe sowas das Ding ist in der 1 1 oder 2 Mal aufgetaucht und sie fing es Ihnen hier so kann uns nur den endlich Namen von 11 ist es zufrieden über alle T aus AB betrage von Phontäne und weil 11 auf der kompakten Menge definiertes und stetig auf dem Maximum an also ob sie hier so Bruder Max schreiben das ist komplett egal das ist die unendlich Namen damit wir das Ding so mir Vektorraum kann das wird nicht nur noch mit der Vektorraumes es sogar noch viel schöner weil was ist denn immer mehr Vektorraum könnte von Konvergenz reden ist die Konvergenz die zu dieser Norm gehört die Konvergenz hinzu so muss man wird ist die gleichmäßige Konvergenz das heißt Erfolge die bezüglich dieser Prinz Norm konnte geht es in gleichmäßig Comeback in der Folge ungleichmäßig komme werde folgen stetige Funktion dem stetige Grenz Elemente das heißt Grenze Elemente liegen auch immer in diesem Raum drin und man stellt fest es ist noch schöner der Raum wird nämlich auch vollständig unter dieser Norm also ist ein so genannter Banachraum klar also fast die schönste aller möglichen Welten an stiegen Funktionen endlich Norm sind danach haben vollständiger normierter Raum zu Zhang fast das schönste möglichen weil was uns noch fehlt ist es keiner Produkte heißt sein im Paradies landen will bräuchte man Hilbert-Raum und gar Produkt den Hals nicht der die Norm kommt nicht viel von kommt nicht vor ein Skalarprodukt aber immerhin Banachraum ist schon mal nicht schlecht und das werden auch massiv ausnutzen lassen Sie uns an langsam anfangen der Freude daran dass wir genommen haben es wird können alles was die Topologie und zu Möglichkeiten hat ins Spiel werfen wir können über offene Teilmengen von der Menge Regen über abgeschlossene nur beschränkte so kompakte also kompakte Teilmengen jetzt von CAD weil das macht Sinn also insbesondere zum Beispiel kann man den Beschränktheit Begriff reden mit Teilmenge von CIA beendet werden G mit beschränkten Teilmenge von der von den Dingen Welt die Norm von jedem indem man sie bei kleiner als nicht Schranke also Prinz eine Konstante in geht so dass für alle 11 aus 11 gilt dass die Norm von den Elementen wenn ich ist dass es Definition von Beschränktheit setzt nur noch die Definition der Norm ein wenn 10 n größer gleich 0 geht so dass für alle Eltern 11 und für alle T aus AB der Betrag er von The kleiner gleich bleibt können das ist beschränkte Menge beschränkte Teilmenge wenn wir gleich brauchen ich werde in dieser Vorlesung versuchen wenn ich solche Teilmenge solche Mengen von Funktionen der anschaue Teilmengen von C zum Beispiel zu kalligrafische Buchstaben zu schreiben so bisschen Signalwirkung zu machen das ist jetzt nicht mehr .punkt Menge von Zahlen Teilmenge von der oder von der der von Lektoren sondern der Menge von Funktionen weil wir hier ja vielleicht in dem Studium zum 1. Mal passiert ist ein Gedankengang der beiträgt der sie in den nächsten Semestern weiterverfolgen wird was wir tun werden wir werden jetzt Analysis betreiben in dieser Menge der stetige Funktion also man das wenn die stetige verbindlich denn der stetige Funktionen in diesem Raum ist jede Funktion eigentlichen .punkt verdeckt und diesen Raum zum .punkt vom zu müssen .punkt und jetzt kann man dadrauf wieder ein ein ist machen wir dann eine Norm werden Banachraum und kann alles machen was man will man kann die mieten anschaut und diese Sichtweise die Funktion selbst wieder als .punkt zu identifizieren und mit den Funktionen zu rechnen das ist was was immer den mittig so 19 oder 20 vom Einzug gehalten hat zu sehen sie arbeiten sich langsam von Euklid nach vorne der und das unglaublich fruchtbar ist und insbesondere in einem Jahr wenn ich hoffe viele von ihnen der Funktionalanalysis Vorlesung sitzen werden zumindest eine Mathematikerin und einmaligen wenn Sie diese Sichtweise aufs dauernd wieder begegnet ist im Wesentlichen das eine alles ist auf solchen Funktionen räumen und dass der Vorteil davon ist ist eben dass diese Funktion räumliche möglicherweise sich schöne Vektorräume sind und das heißt man kann die ganze Technik und alles was man aus der ihren eigenen Videofunktion Räume in alles ist sie und dann kann er ja mit Mitteln der lineare Algebra und Analysis auf diese Funktion Ron rum Hermann hat und was wie hier sehen wir in ganz kleinen 1. Anflug
davon ich wollte sozusagen schon mal sagen das ist die Philosophie die dahintersteckt ist jetzt eben Funktionen selbst als .punkt eines Vektorraumes identifizieren sei jeder einzel Funktion es nun .punkt in den Weltraum und dann alle Physiker die Zwecke der so sage das macht machte irgendwelchen abgehobenen Quatsch wollen sie lieber nicht weg weil die Philosophie erst durch also die Sieg geschafft Quantenmechanik macht nichts anderes der Quantenmechanik ist jede funktioniert Zustand eines Teilchens Funktion ein .punkt den Zustandsraum und die Quantenmechanik auch mit der vollen machte der Funktionalanalysis auf diesen Funktion noch drauf also auch sie werden davon nicht verschont ja aber deswegen hier so als Hinweis wenn Song Kalligraph es 11 sehen dann ist das immer ne Menge von Funktionen in deren Funktion so lieben unsere Menge von Funktionen schön ist wenn man gesagt wir können sagen wann die beschränkt ist aber da ich das eine Norm haben können wir die ganzen anderen topologische Begriffe auch definieren nicht nach dass sie ziemlich in voller Allgemeinheit weil erstens haben sie das im Prinzip in der 1 2 gemacht haben 7. Konvergenz und kompakter in metrischen Räumen abgehandelt und das ist ja viel schöner als in beliebiger metrischer Raum ja das ist das ist gerade zum traumhafte metrischer Raum des er passt nicht viel besser geht es überhaupt zwar nicht mehr die nur die 2 Begriffe normal einführen oder gar als der Begriff ein für mit dem wir hier zu tun kriegen also Menge F von CAB mit werden die wie vorhin gehende abgeschlossen Teilmenge von D die nennt man es gibt ab relativ kompakt geht davon aus dass Sie wissen was es bedeutet eine Menge ist Compaq und es würde mich hören abgeschlossenen beschränkt der Raum das ist ziemlich groß da er keine ehrliche Dimension also wirklich gar keine ähnliche Dimension der und eine Burrell ab so beschränkt dass Compaq gilt nun ähnliche mehr geht genau in ähnliche Dimensionen also da ist nichts zu holen kompakten sie auf 2 verschiedene Weisen definieren den ebenfalls einlud übereinstimmen entweder über digungs Compaq oder folgen kompakten und dieser Begriff des relativ kompakt der ist eigentlich nur die Krücke ist sie schreiben wäre da steckt nicht viel hinter relativ kompakt bedeutet einfach dass der Abschluss kompakt ist also kräftig hoffe ist eingeführte Notation für den Abschluss pomologische Abschluss von der Menge denn das Ding kompaktes nennt man das Ding relativ kompakt das heißt man relativ kompakte Menges eine die im Wesentlichen kompaktes würde sie aus Versehen ich abgeschlossen haben alle kompakt ist eben das ist das wichtige dass man aus dieser eine Borrell Diskussion mitnehmen muss sobald die Dimension endlich dem endlich den unendlich ist ist kompakt extrem restriktive Begriff kompakte Mengen sind in oder nicht immensen anrollen extrem kleine Mengen und das Zeiten des Weges das entscheidende Kompaktheit ist das die nicht allzu groß sind und ob die jetzt abgeschlossen sind oder nicht ist dann also ob ob dienen nur das wenig kompakten bei zufällig 2 Liegen stehen das ist nicht das entscheidende dafür geht diese Begriff relativ kompakt der sagt er habe wie den kompakt außer der also das anderen Ecken und Stück Rand verschütt gegangen ist so und der zweite dürfte ich einführen will der hat jetzt mit diesen speziellen Raum C zu tun der es keine allgemeine topologische Begriff das ist normal eine besonders tolle Form von gleichmäßig stetig nämlich gleichmäßig gleichmäßig stetig das nennt man dann gleich trat stetig und zwar gleich gar nicht geht es nicht eine einzige Funktion sollen gleich gar nicht tätig ist eine ganze Menge von Funktionen gleichzeitig stetig bedeutet im Wesentlichen alle die Funktion sind gleichmäßig tätig und zwar alle gleichmäßig gut gleichmäßig stetig also so gleichmäßig wie es gar nicht mehr gleichmäßige gehen so und das müsse jetzt oder aufschreiben und Sie wissen wenn sie gleichmäßig stetig kommt dann ist die Quantoren wüsste nicht weiter also was es gleich deutlich tätig vernetzen und größer 0 also es was es täglich verletzt und das gleichmäßig die dich verletzen größer 0 gibt es größer 0 so dass für alle T 1 T 2 aus a b mit Abstand von T 1 -minus T 2 kleiner als der ETA gilt dass von T 1 -minus 11 von Tele2 einen Betrag also der Abstand von 11 von T 1 und 11 von T 2 kleines ersetzt das ist gleichmäßig Tätigkeit das muss für jedes Apps an im Zielbereich in der hier vorne gebe so dass gleichmäßig in den Tees wenn das Argumente nah genug beisammen sind auch die Funktionswerte gleich genug beisammen sind und gleichzeitig stetig bedeutet jetzt alle diese Funktion f sind gleichmäßig stetig und zwar alle mit dem gleichen Wälder das heißt alle Apps und größer 0 und für alle 11 aus 11 funktioniert hat und also gleich gar nicht geht ist nichts anderes als gleichmäßig gleichmäßig tätig zu der Frage sie haben recht genau anders rum ich sags noch richtig und Verfall schien perfekt und irgendwer hat das schon ich kann hier hinschreiben falsch gemacht geht so da also für eine so dass für alle so ist definitiv mit gleich gerade stetig heißt das ist es wichtig sich zu merken gleichmäßig die und zwar für alle ist gleich gut so und warum euch diesen komischen Begriff sozusagen als zum einen Erzählung wo soll das ganze hinführen wir werden versuchen von Teilmengen von unserm Raum nachzuweisen dass die kompakt und wenn man das tun muss dann ist das 1. Mal schwieriges Problem weil abgeschlossen beschränkt und nicht mehr wir müssen der Nachweis dass eine Teilmenge von uneinig die man sein Raum kompakt es ist super ätzend weil niemand will natürlich tatsächlich irgendeine Überdeckung auspacken und von jeder die Würdigung der Digital Würdigung aus werde meine bekloppt das Erste braunen gutes Kriterium für Kompaktheit und der Raum CD hat freundlicherweise nur relativ schönes sogar genau dann wenn Kriterium für Kompaktheit feste sogenannte Satz von Asyl Ascoli werd ich ihn jetzt gleich zeigen und der braucht den ganz insbesondere diesen Begriff 14 sich aus wenn das gleichzeitig stetig plus noch eine Bedingung gleichzeitig geht stetig +plus beschränkt kompakt und das ist es wird für diesen Begriff brauchen bevor wir einsteigen noch gut ist gutes Kriterium immer gleichzeitig stetig nachweisen kann eine notwendige Bedingung die oft reicht König mit Teilmenge von C hab die gleichmäßig Lippfisch stetig ist was sie wissen der geständige Funktion sind alle gleichmäßig tätig also und wenn ich jetzt mit Tätigkeit mit gleichmäßiger konstanter habe also es gibt größer gleich 0 diesmal richtig von Thorn richtig so dass für alle T 1 und T 2 aus dem Intervall a b und für alle 11 aus es gilt das ist der von T 1 -minus 11 von T 2 im Betrag kleiner gleich wie 1 -minus 2 2 S dann nennt man das Ding gleichmäßig Lipset stetig weil diese Konstante L eben für alle 11 gleichmäßig gelten muss dann ist es gleich gar nicht ich das will ich hier gar nicht beweisen weiß es auch nächsten Übungsblatt gefordert er ist aber nicht schwer mit dem wie sich ein gleichmäßiger gleichmäßiges Tätigkeit her gute Frage ja Sie haben vollkommen recht die Nachfrage war hier stehen Betragsstriche aber eher von The ist doch in gehe und die ist halt weniger des sie am Recht wir müssen Normen der Deal stehen und ich habe mich entschieden die Normen in der man eingeführt umso mehr Betrags unterscheiden ja dass man aufpasst also Personen Norm geht nicht alles was vom Betrag geht und dass man ein bisschen diese geschafft hat man diese Norm Striche eingeführt alle ähnlichen Problem stelle stehen wir jetzt auch ich kann hier schreiben dann stellt dürfen sofort die Recht die Frage stellen welche 2 noch genommen als noch nur kann ich Ihnen wirklich sagen Sie da eher es endlich die man so alle Qualen
wie aber keine Norm schreiben weil dann kommen die gleiche Problematik dass wir jetzt dann anfangen zu fragen ist das jetzt die so dass ich habe jetzt die Norm auf Funktion Raum genommen er und wir tragen ja und meine Vermutung ist dass im Moment die Verwechslungsgefahr zwischen den Normen C unternommen RD größer ist als die Normen der die und den Betrag über deswegen werde in der ganzen Vorlesung mit Normen der des auch mit dem iPhone Betrag schreiben ja also dieser Betrag strich bezeichnet ihre Lieblingsnahrung suchen sich irgendeine aus ist Mega also weil das waren 2 Norm auf Mehr des weil ich glaube dass kriegen sie mittlerweile auseinander nahm immer die und Beträgen ab und es ist wichtiger dass sie auseinander kriegen Normen Mrd und Normen zerbricht das heißt dieses Symbol gewärtig reservieren verwirkliche Funktion Räume für verwirklicht Vektorräume ich einfach eh nicht in den Sinn einer diesen sondern hässlich ab es Entscheidung die sicher manche doof man muss es nur wie gemacht also man immer jetzt so Betragsstriche auftaucht kann der aufgenommen er die bezeichnet gut wie gesagt Beweis von den Dingen 10 Sinn der Übung und was ich mit Ihnen jetzt machen will ist das schon angekündigt der denn von angekündigten Satz von Asyl Ascoli dessen Bedeutung ist dass er ein kompakter Kriterium für Zahlen nennen von CAD ist und dann dem Raum ist ,komma Kriterium Gold wert weil man eben nicht wenn er denn eine Burrell draufhauen kann und sagen Mark beschränkten es Compaq das tut tätig so das Konvergenzkriterien sieht folgendermaßen aus also wie gesagt das ist Theorien das so wichtig ist dass es Namen hat ist also in Ascoli nach 2 italienische Mathematiker an damit gegessen dazu Coke ich wird jetzt um 1900 und also mit dem Setting wie die ganze Zeit 2 reelle Zahlen Athener des also dass wir das Intervall a b haben die eine Teilmenge von des abgeschlossen und dann sagte er Ascoli wenn ich mir mit seinen Menge es von den Funktionen an der stetigen Funktion auf mit werden die und ich kann und ich weiß das Ding ist beschränkt und gleich gerade bestätigt beide Begriffe gerade hier nochmal wiederholt oder eingeführt dann folgt daraus das 11. wir 7 kompakt es könnte sein dass die Grenzwerte Fehler System ist relativ kompakt der Abfluss von ältester kompakt das ist der Satz von der Seele Ascoli Gesagten kompakter als Kriterium in B dass sie nur relativ kompakt rauskommt es egal n wenn will man zeigt dass seine 1. Frau sowieso schon abgeschlossen ist hat man kompakt oder man schließt sein noch ab das entscheidet dass man dann die dass man die Kompaktheit hat Dell im Prinzip ist das hier sogar und genau dann wenn der geht auch aber nicht beweisen kann und ich brauchen das wichtige 1 weil sie das ist das man Kompaktheit kommt das als Hintergrund Formation sie kommen ja auch zurück es ist wirklich ne unscharfe Aussage beklagte Charakterisierung von kompakten Mengen den stetigen Funktionen und damit ist dieser stetige Funktion Raum ziemliches gewählt weil die meisten der nicht in Mensen an Funktion räumen es gibt solche Charakterisierungen großes jetzt gibt vielleicht aber nicht bekannt also soll die Karte nicht bekannt soll da kennt man dann vielleicht wenn man Glück hat nur wenig Bedingung oder sowas aber die Wirklichkeit
ist umsonst von kompakt das ist wirklich viel wert zur ,komma zudem weiß von den Dingen und ich bin ich sicherlich wagt zu behaupten wir sind also in Ascoli ist der am häufigsten nicht bewiesen Beweis von 1 3 vorlesen wenn die am Oldies nicht diesen Satz von 1 3 Vorlesung gern weggelassen also können sie sich egal welche Skripten ankommender steht ganz oft nur das Gliederung lassen rät weg und er beschloß ich nicht tun tun weil es ist für mich das sozusagen das zentrale Hilfsmittel vom zentralen von einem zentralen weiße vor so wegzulassen bisschen fragwürdig 2. ist der Ascoli wirklich ein Satz den man immer wieder braucht je nachdem wie die Funktionentheorie gelesen wird taucht oder auch noch auch also der taucht immer wieder auf und drittens ist weiß einfach schön und ich verstehe nicht warum man weglässt 10 wunderschöne Beweise hat den Nachteil dass er länger dauert als 5 Minuten aber ich glaube man sieht er darin sehr schön wie die Kompaktheit ineinander greift und die man auf allen Ebenen mit den kompakten wegen arbeiteten am Schluss anzieht ankommt gut die 1. dem Bemerkungen die wir brauchen nicht gerade schon gemacht wir sind jene normierten Raum sogar noch für Banachraum wir sind waren noch nie im Raum und da ist über digungs kompakt gleich folgen kompakt es gibt ja 2 Möglichkeiten kompakt zu definieren das Erste ist die über Deckungs Eigenschaft jede Überdeckung mit offenen Mengen als männliche Überdeckung das 2. die Folgen Kompaktheit jedet beschränkte folge hatte ,komma ganze jede Folge in der Menge hatte beschränkt hat bekomme den Detail Folge wenn jede Menge wenn jede Folge drinne ,komma hat wenn man das von kompakt und die beiden Begriffe sind normierten Raum äquivalent wer sich den Kassen große braucht man im Vorgriff auf diese Vorlesung welche muss ich kann man die Stelle gefragter wobei das den gemacht hat lange nachgedacht und gesagt die Einrichtung auf jeden Fall um bei er sich nie mehr so sicher n das ist also vielleicht die Lücke die bleibt vielleicht wissen Sie besser über die gemacht hat aber es ist sehr schön ich bin ganz sicher hat gemacht dass über Degus kompakt fällt folgen kompakt das hab ich Scripts in Sanskrit gefunden und das andere sagt er hats glaub ich mal erwähnt bitte also in seiner sein müssen wir das tatsächlich glauben was ich die Nachweise ist das diese Menge hier folgen kompaktes das heißt wir zeigen mit zeigen jede Folge es in unserm F egal wie sie sich eine Folge aus dem 11 rausnehmen die hat immer eine konvergent Detail Folge und zwar jetzt in dem Fall mit Grenzwert in den stetigen Funktionen konvergent Details sollen für Compact bräuchte man eigentlich eine in 11 konvergent half dem das Ansinnen Gewinn kompakte Menge haben wollen dann muss jede Folge in der Menge der ihn 11 konvergent ich widerwillig Compaq geschwinder Compaqs ist mehr so wusste der Grenzwert jetzt Newt Rendite nicht den erlegt natürlichen Abfluss von 11 einen Abfluss von 11 liegen alle Grenzwerte das heißt wenn ich das zeige dann bekomme ich das im Abschluss von 11 jede Folge einen Abschluss von 11 , geendet hat vor war der Grenzwert muss natürlich Abschluss liegen Abfluss alle Grenzwerte drin damit wenn wir das gezeigt haben war so dass der Abschluss von 11 folgen Campact ist das von Elvis dann kompakten den Einfluss von 11 kompakt ist das bedeutet es relativ kommt und also das ist sie egal wie gemein sie jetzt aus 11. diese Folge aus ich viel bekomme den Details das ist das nicht so also nehmen wir uns nur Folge 11 n n 4 und jetzt ist die ganze Arbeit der nachzuweisen dass wir ,komma gelte Teil folgt so und damit dafür brauchen wir mal als 1. ein Hilfsmittel nämlich eine Folge zählen von Zeitpunkten in dem AB und die will sich so haben das dem beliebig liegt dass ich will dem AB ein Staub vom Punkten TN haben das kann ich zum Beispiel erreichen indem ich mir die der rationalen Zahlen habe er nehme diesen abzählbar und die erzählt was zum Beispiel nach Zählung der rationalen Zahlen in Aussicht also von der Menge CO geschnitten ab wird das sogar Menge davon mich wenn Erzählungen tja diese Folge The ändern immer wieder brauchen mit der Folge CN arbeiten los das nehmen wir mal die Folgen TN der Seemann von der Folge TM das 1. Element ist die 1 das 1. Folgen geht und setzt es mal alle F 1 als wir schauen uns an FN von T 1 das ist 1. Folge aber es gibt eine Folge von Vektor der der es sind und die einzigen die mit den von dir 1 f f n von der einzigste folgen die und ich glaubte dies beschränkt also folgen des in die 9 die aber die infolge der D und ich behaupte dies beschränkt warum es die beschränkt weil die Menge F beschränkt man es beschränkt das heißt alle Funktion f wenn f bleiben unterhalb einer konstanten egal was einsetzt also dass diese Folge ist ein von ein beschränkte Teilmenge von der D sollen D ist das mit denen er Kompaktheit nicht so schwierig in der Delegierte der Bolzano Weierstraß wenn Sie Mehr beschränkte Folge haben dann hat die meine konvergent half nehmen Sie danach aus also damit das gibt Netzteil Folge NK von T 1 K von Visa folge FN von T 1 dies immer noch das ist so zu schon richtig nur doof geschrieben es gibt Folge SMK von der folge Fl so das die Folge FMK von T 1 so dass die Konvergenz ja also
diese FN von T 1 hat bekomme der Details Folge die Welt sie aus dadurch haben Sie implizit F ausgewählt die SMS die beiden FMK vorkommen das heißt der müsse Teil Folge der Inka von ursprünglichen Frage n die so gewählt dass das FMK von T 1 ,komma gibt so und diese Folge diese Folge es ist ist allen klar K aus allen also diese Zahl Folge von 11 in die will ich jetzt im Folgenden nennen 1 n schnell also ich Bericht gibt den wieder neue dem reden wieder von 1 2 3 4 5 6 7 Dolche und hat eine jetzt eine Teil Folge SN N 1 von 11 n die der sich dadurch auszeichnet dass eine Stelle T 1 konvergent sie an dieser Stelle Konvergenz wir brauchen ja wie gesagt dass die ganze Folge SNR sie ganze Teil Folge konvergiert wir sind also so beschritt unser Ziel ein Stückchen näher gekommen auch nicht so wahnsinnig weit höher an vom kommentiert deswegen mal diese 1 und der Punkt ist wir werden es wieder und wieder von dieser Teil Folge verfolgen auswählen und deswegen will ich mich in dieser Schreibweise FMK bleiben weil 2. Schritt aber F 1 KL und dann am besten KLM und dann mal wenn keiner mehr nennen und dann mit dem immer die Buchstaben aus hat und deswegen diese Notation hier die einfach sagt 11 N 1 ist die Zahl Folge von n wenig zum einmal ausgewählt haben Teil Folge nämlich so dass f n 1 an der Stelle T 1 Konvergenz dann passt ja auch schön F 1 1 es Angestellte 1 komme gehen kann man sich gut merken also diese Folge den einstigen bestelle T 1 konvergiert wenn wir diese folge F 1 und setzen sie 2 Eier das ist eine Folge der des wir also in uns allen es wäre folgender D und dies wieder bestreikt gleiches diese Argumente vorhin die 1. 1 in allen ist es ist beschränkt also sind alle die diese Werte da beschränkt und dann Geschenke folgen etc gleiches ergibt gleiche Schlussfolgerung also gibt es wieder eine Zahlenfolge 11 2 n von unserer ursprünglichen Folge FN also eigentlich natürlich erstmal Teil Folge von den Dingen aber weil das schöne Tal Folge von S 1 ist dies sei Folge 1 Teil von Teil folgen also es in 2 von 11 n so das es in 2 von T 2 Konvergenz können wann sich jetzt das Fn 2 nochmal anschauen dann wissen wir es in 2 von Tele2 2. Konvergenz so was gerade gemachte beim festgestellt es wenn 1 von T 2 ist schränkt also zu ,komma Genital Folge wenn man's aus Eltern 2 von Zweitwohnsitz weiß kann beginnen trotzdem ist dieses Event 2 immer noch mit einer Folge von es 1 und weil es den 1 von T 1 konvergiert konvergieren noch 1 2 von T 1 der eine Teil Folge von der Konvergenz Folge ist immer noch gegen die gleichen Grenzwert Konvergenz also es 2 von T 1 es auch immer noch konvergent weißen Teil Folge von der Konvergenz Folge es 1 von 1 also unsere vor 2 konnte geht jetzt schon in 2 Punkten nämlich hinter einzelnen T 2 1 also wir kommen der Sache näher zählen nur noch unendlich viele aber nicht verdrießen lassen machen Sie einfach weiter ja also setzen sich die Folge von 2. 3 1 beschränke folgende des kriegen sind beschränkte gesehen ziehen sie komme gerne Teil raus den 3 die Kombi geht in die 1 die 2. dreimal und so weiter und so weiter und so weiter also was wir kriegen ist das folgende der haben im 1. Schritt unsere Folge F 1 ausgewählt F 1 1 11 1 2 das 1 3 F 1 4 und so weiter zum Teil Folge von 11 n den T 1 komme die dann aus der folgende Teil Folge ausgewählt F 1 2 2 2 11 3 2 der 4 zu 1 1 zu 1 aus der haben eine 3. ausgewählt 5 3 1 11 3 2 es 3 3 es 3 4 1 zu 1 dann setzen sich immer dennoch wird jede Folge ist mit Folge von der da vor und die werden wir besser die konvergiert in T 1 die komme geht den T 1 und T 2 die komme geht den T 1 T 2 T 3 und so weiter das schöne muendlichen also können Softair folgen aus der wie sie wollen wir oder die viel übrig was wir jetzt machen mein ist sagen natürlich nicht in die letzte Zeile von Tabelle ich auf so weit haben SIE Unendlichkeit schon verstanden er dass du dich ja weit dann haben wahrscheinlich nix mehr übrig aber jetzt hilft der übliche trägt aber sowas immer tut oder auf auftut das diagonal folgen Argument nehmen Sie sich diese Folgen wenn sie Folge S 1 1 1 2 2 S 3 3 die mit immer neuen Namen also wenn dem betrachten die Folge des GKV die gegeben ist durch F K K Chaos in das ist unser Kandidat dieses G auf dem nun alle unsere Hoffnungen meine Behauptung ist dieses GKR sie kompetente Teil Folge in jedem .punkt und zwar nicht mehr geben .punkt in .punkt Weise Konvergenz sondern sogar der Konvergenz Teilfragen C das heißt die sogar gleichmäßig kann kann das nämlich nur Konvergenz sein müssen gleichmäßige Konvergenz Zeit bei der Konvergenz in CAD haben bezüglich der subprimes noch auf den Unis an unserer Hoffnung und die Hoffnung ist dadurch dass wir immer weiter runter laufen wir diese Folge wunderbar schön so also schauen uns an dass dieses GK tatsächlich tut was es soll also was soll das denn es sei eine komm Folge von unserm FN sein und konvergent bezüglich der Norm von unserm Raum also Bezüge so Subprime noch dazu sollten erst mal festhalten dass es sind Teil voll ist die Klarissen Teil Folge von das ist
so weil jede dieser Zeilen jene Teil Folge von SMS wie man sprechen ist das auch ne Folge beachten Sie es wird wirklich Teil Folge Wasserthal Folge wichtig ist dass sie nicht aus Versehen ein Element doppelt erwischen aber da das alles ineinander enthaltene Teil folgen ist sind kann ein Element das hier oben irgendwo steht hier nicht weiter nach rechts rutscht er dann folgen den können Element Munde weiter nach links rutschen aber nicht weiter nach rechts weitere folgen lassen was weg und hab nix dazu das heißt bei diesem deutlich dass ihr diagonal gehen sichern Sie dass das hier wirklich ne echte Teil Folge von 11 ist bei dem sie keine folge von 11 ausversehen zermahlen so also das Ding ist das Edelmetall Folge von innen es ist aber auch jetzt muss ich ja die argumentieren dass es G 1 bis 4 Gruppen Konvergenz und dann den 1. in Asien blöd weil das G ist zwar weist hier oben nur jedes dieser Folgen wieder gehört zu den F 1 ist dies offensichtlich mitteilen SGK sich Teil Folge von dem F 1 n aber in der 210 auf alte gehörte ich dazu wirklich haben wirklich eines der weggefallenen Teil folgen aus Mehr aber das entscheidende ist ja bei folgen immer das seine Folgen es nicht was die 1. Sätze Elemente machen das entscheidet was passiert janz weit draußen mit und janz weit draußen ist alles gut weil das Endstück von dieser Folge F G K es gibt eine Folge von jeder dieser FR F r e f J 1 wenn sie nur weit genug unterlaufen sind in jeder Zeile drin also in in exakter egal welche Zeile sich raus suchen für jedes Wort aus allen ist das folgen Endstück also die Folge die Keramik mitbrachte mit Indizes größer gleich J in eine Folge von der lauten von unserer jagten Auswahl da ab der Jochen Zeile ist das G K 1 11 jobbte und das ist aber deswegen schön weil meine von dem es J wissen dass es ein paar Stellen konvergiert nur dadurch wissen wir diese Folge GEK mit K größer gleich ja wenn ich dir das C abgebe dann ist das eine Folge von der folge die folge sah man richtet sich konvergent 3 Folge von Konvergenz folgenden konvergent das heißt das ist ne ,komma Genter voll so und wenn ich jetzt weiß das die Folge GK K größer gleich J konvergent ist dann dürfen Sie mir meinetwegen noch irgendwelche dort -minus 1 Folge die da vorne dran klatschen das ist mir völlig egal dann ist auch die ganze Folge GK Konvergenz der GK von 10 auf ja dann ist auch die Karte und wo CCK größer gleich 1 komplett wenn das entsteht tut dann ist das was vorne passiert durch sehr also wissen wir ja das weiß zum Argument dass plätschert so vor sich hin das entfaltet seine volle Sprengkraft 1. noch mal von vorne bis hinten ließ verzweigter was man jetzt gezeigt hat ist für alle Leute man es geht davon sie auch konvertiert dabei sind dass ich das geschafft was wir gehofft haben sozusagen die letzte Zeile genommen wärmende Teil folgen hier ausgewählt die in jedem Träger vom Beginn jeder einzuzahlen seine komme geben und der 1. paar war aber GK Kombi gegen jedem TJ und das ist das Leben toll weil jetzt zahlt sich aus dass am Anfang die CO dicht gewählt haben ist DJ komplett jetzt das BKA konvergiert sozusagen schon mal in einer rationalen .punkt das haben jetzt gezeigt Mehr an jetzt kommt müssen es kann man sich ja vorstellen dass müsste die reichen Raum die die Kassen immer noch alle stetig und konvergieren rationalen .punkt zu internationalen punkten könne stetige Funktion keinen Unfug machen weil wir nicht von der Nationalen Front sind von der stetige Funktion weiß was auf den rationalen tut dann weiß er was er irrationalen zuweisen wichtig sein und die kann ich mir ausbrechen und das müssen wir jetzt mal außen vor Medizin ja aber das entscheidende ist das die GKS Comedien auf allen rationalen Zahlen ab oder wenn sie das denn am Anfang eines gewählt habe wusste korrigierte verdichten teilnehmen und es müsse man aus der Form Indizien dass der Rest muss Tätigkeit sein ja weil dadurch dass sich die dies sind Unfug rationale Zahlen liegen die fest wird also das ist das Programm muss jetzt noch bleibt unser Kandidat GK sieht hoffnungsvoll aus was müssen wir wirklich zeigen damit wir fertig werden müssen zeigen unser GKS groß die Folge also sagen Sie die Dicas konvergent aber dass man bei dem wir zeigen dass die nächste große Freude und zwar eine große Folge im Raum einer stetigen Funktionen auf Arte das heißt große Folgen bezüglich der noch Zach und bevor ich ihn das jetzt in ein Quantoren durch Excel wenn ich ihn aber erst 9 fragen warum das so ist die Idee vom beweist und dann machen wir das auch was müssen wir tun für große Folge wir müssen uns anschauen die unendlich Norm von Dekanin des GL besonders zur Indizes allen die Differenz die kann es gehen und schauen die mit kleinen also das uns anschauen kann endlich nahm von DK -minus gehe beziehungsweise wir müssen uns anschauen die K tätig -minus G 11 und und der Ausdruck muss man K und L groß werden gleichmäßig The kleine das ist große voll bezüglich dieser Norm große Folge bedeute diese Differenz wird klein und weil das den endlich nahm es muss die gleichen werden unabhängig davon also mit gleichmäßigen T für alle T gleichmäßig so waren es diesen Ausdruck klein das bin ich ihn jetzt bekommen was man macht es wie üblich in solchen Situationen mit 3 zum gleichen den Ausdruck komplizierte wir müssen jetzt an wie die City ins Spiel bringen wir wissen wir unser GKK begeben sich oft nur das Wissen haben uns verrät die keox müssen da rein Na also nehmen sie sich in TJ hier dessen Arbeit liegt und schreiben Sie das Ganze als GK von Phontäne -minus geht ja von 4 J +plus die Hacker vom Zielort -minus G von 10 J +plus 11 von CJD -minus e l von Tipp aber ist dass sie sich nur zweimal Dreiecksungleichung ich hab den GKV und der J eingepflegt mit plus minus und den GL von DJ eingepflegt mit plus -minus und dann zweimal 3 zu 1 macht so und ansehen sieht man behaupte ich warum dieser Ausdruck klein wird der wird klein weil die cm nicht liegen das heißt wenn Sie das C haben können Sie das DJ bin so beliebig nahe einstige schieben die CEOs liegen dicht befindlichen arbeitete Ort und der täglichen Arbeit liegt dann die Täter von The beliebig Naber die von weil stetig das ist jetzt noch kein vollständiges Argument ich habe sonnig erklärt zum Beispiel warum gleichmäßig entstehen sollte sagen aber das ist die Idee gleiches Gleichgesinnten klein weil das TN Gedichte teilnimmt und wir können Ausdruck indem sie mit dem CLJ beliebig Narren Stephane beliebig bleibt hier Na ja aber der sehr gut weil was steht hier hier steht Dekan an der Stelle tj -minus G L Stelle Zielort wissen aber unsere folgen die kam von Zielortes konvergent ja und zwar für jedes Jahr diese das heißt es geht davon TLS Nikos infolge des heißt der wird klein da geht klar von CJ gekuschelt voll das Comeback der das schöne Kopf ist normal denn die große Volkes komme geht das denn in jenen Tag und das gibt uns die Freiheit den kriegen der kleinste beliebiges TJ und das gibt uns die Freiheit jedes richtige to zu nehmen so dass sie da das Kleinvieh so das ist das Programm und das müssen erst mal gesagt durchführen aber ich glaube es ist ein guter Moment nicht sie mit dem preußischen reinzuschieben und dann machen wir das exakte gleich dort dann würde ich
gern die 2. Hälfte einsteigen und das gerade angedeutet der Argument warum diese Folge geht Churchill Folge ist Arten Erzählern und Delta durchdeklinieren gut also wir müssen zeigen diese Folge K ist mir große Freude und Überlegungen wie es der Fahrplan steht hier also wir müssen diesen Ausdruck hier diese Differenz müssen wir kleinkriegen und kleiner setzen und man kann er nur groß genug so und das Ganze muss gleichmäßig in The passieren dass das entscheidende der brauchen große Folgen bezüglich der zu uns nur so also fängt Sommer beweist natürlicherweise an mit dem üblichen deckte Analysis brauchen Erbsünde und müssen uns jetzt um diese Termine kümmern und ich will mich zuerst nicht will zuerst auslachten das das Zelt ne ich will nichts essen denke man hier nein seit den kümmert und zwar noch nicht in das Theater sondern zunächst mal darum warum man das DJI Lagen-Look beim Tee ist die Differenz sehr klein wird und da wir schon gesagt denn da muss die Stetigkeit von der von den die Kaste Stetigkeit von DGK sorgt dafür dass wir das TJ nun da genug bei The gewählt ist der Ausdruck Kleinert also wir verwenden zunächst mal das unsere Menge 11 stetig ist und es liefert uns nach Definition von gleichmäßig steht gleich 3 bestätigt gibt es also irgendeine zu unserm Epsilon ein Delta so das und jetzt einen großen Dank an den Einwand von fallen hier stets jetzt richtig für alle 11. 11 und für alle ziehen und es aus a b die nahe genug beisammen sind also für die der Abstand von S und viel kleiner als Täter ist wie geht das der von S -minus 11 von The Abstand kleiner ist als wird und das ist genau die gleichmäßige Stetigkeit von Rom und dass man daher dringend brauchen und deswegen geht jetzt die gleich drahtiges Tätigkeit eigen das ist wichtig wir brauchen das dieses Delta hier unabhängig davon ist welches er das ist die gleich gerade die Stetigkeit und wir es einfach nur alle 7 gleichmäßig tätig was entscheidend ist dieses Delta hängt nicht davon ab welches es also sprich nachher welches K gerade die Rolle spielt es geht einfach dieses Täters sein Universal der für alle ist an meiner Stelle würde Schiffbruch erleiden wenn wir freundlich Kantoren da oben nicht korrigiert hätten dass die doppelten dar n der Mehr vor noch voll noch gesagt dass sie das Colleges dessen Charakterisierung das heißt es darf dann auch nicht mehr funktionieren und wenig verwendet aber wir haben jetzt also schon sind folgende Apps in unseren Delta das Universal für alle 11 sie sich Tätigkeits abschätzen so mit diesen Geld machen wir weiter wir teilen und jetzt und Senderwahl Abi auf in Teilen der Welt in der Länge der war also diese Intervall waren hier die seien alle so das ihre Länge der Eltern ist das muss nicht aufgehen das bewusst also viel teilen muss unsere derweil in Teilen der weil der Länge der Delta auf das heißt einen Sohn Intervall hier ist von der Form arglos ja -minus 1 durch NRW -minus A wobei n die Anzahl der benötigten der Wahl ist bis A +plus J durch in Mayday -minus 8 an die Dinge die J das ist also eine Zerlegung vom Intervall a b e n groß allen gleich Teile der Länge kleiner ist als der Druck 5 das ist das was wir machen also werden uns ein groß en so dass wenn ich das bin -minus 1 groß en Teile teile also die Länge B -minus adelig durch groß en das diese Stückchen kleiner Sohn als der 5 wenn es so machen wie auf also Teil des P -minus 1 n Teilchen so dass jedes Teil Intervall kürzer ist als der wo diese Talente Wahlen hat die gehen von plus einem Vielfachen einen Bruchteil 4 waren von den -minus A bis A +plus zum nächsten Bruchteil vielfachen mal den -minus aber und jetzt kommt ins Spiel dass die Menge TN dicht ist also geht's für jedes sich dort völlig egal welches ich zwischen 1 und n will egal in welchen Teilen der weil ich bin gibt es da drinnen cm laut wir beides DS liegen dicht in jedem in jedem von den seiner weisen sie war nämlich viele zählen man sich einfach aus um die Sache erst einmal das letzte das Delta selbst und vorgegebene zum Delta gekommen aus der gleich 3 die Stetigkeit und dann durch dieses kleingehackte jeden groß und jetzt wollen wir ausnutzen jetzt gehen oft kommt der Zellen dran Zwolle ausnutzen das ist SDK an diesen Punkten T J oder CLJ konvergiert das heißt dort ist mit Churchill Folge also für jedes J aus dieser Menge 1 bis n also für jedes Teil der Wahl ist K an der Stelle t J man wegen folgt ja das ist die tolle Eigenschaft von unseren das ist nämlich ein jeden Tag auf Konvergenz insbesondere sei seine große Folgen und das heißt es wieder rum es gibt einen Index groß K so dass wenn das K und das L nur größer sind als das Gros Skala dann geht das die K a von t n J -minus G l von CE N J kleiner ist alles Epsilon nicht mal ziert Kosmetik kleiner ist als Ärztin und Drittel ja leider sehr große Folgen sind und das Geld J zwischen 1 und n
im Prinzip gibt es natürlich für jedes Jahr zwischen 1 und n dieses K hier kann natürlich im Prinzip von dem J und ich weiß nur die a von t des Konvergenz jedes einzelne die Quarantäne des komme Eigensinn ist ne große Folge das heißt wenn ich groß genug Indizes habe ist dass sie beliebig klein und diese Schranke wenn ich das die kann natürlich eine von dort abgibt das schön ist aber dass die ganze Reduktion vorher schon nur noch endlich wieder J ab und wenn Sie endlich wieder sind dann nämlich hat das Schlimmste also gibt es ein paar dass es für alle tut so sagt jetzt aber alles zusammengebaut selbst einen Delta gefunden n gefundenen K gefunden und jetzt können wir uns an dieses Ding macht stark also jetzt nehmen wir und Indizes K und L die größer sind als das da gefundene groß keiner und nehmen uns während die aus ARD wir müssen ja zeigen diese Ausdruck hier wird kleiner als Erzähler und und das und zwar unabhängig von The man beachte dieses Kaje hängt nicht von dir so geht hab ich t vorgegeben dieses Szene irgendwo zwischen AB also die 1 von unsern kleinen der dem J wenn ich mir natürlich als CNN glaubt das richtige ich nehme das CEN das in dem J liegt also das 1 ja also ich werde das ja ich zwischen 1 und so dass es zäh in dem Elliott Rendite nur dann muss es lieben das Laub ich mir und das zugehörige NJ dann weiß ich dann ist der Abstand von T zu den TNI-AD wer es die NJ liegt auch in J sowas Grad gewählt der J liegt im Jahr wenn die beiden J liegen sie Abstand kleiner als die Länge von dem J länge von Sony hat es aber genau n der Innenwelt an wie es ist kleiner als der der nur das hier ist kleiner als kleiner gleich der Länge von Sonnen von sondern Teil der Wahl also den -minus A durch N und den -minus A durch N war genau so gewählt dass das kleine als ist echt so man aber 2 Argumente weniger als der von einer Welt liegen dann wissen wir wie sie daraus wenn es finden groß 11 ich nehme er von 1. -minus 11 und viel weniger als y von Wanderweg für beliebige selbst an prinzipiell ich auch mal gleich jetzt nannte das schreiben soll das war s DK von Kiel -minus K Phontänen J erfüllt die Ungleichung da also daraus folgt mit unserer Satzung 1 also mit dem 1. Teil da vorne das geht ja von T -minus g K von t J im Abstand kleiner ist als er zu ein Drittel und das entscheidende ist jetzt kommt die gleich gerade durch Tätigkeiten Spiele dieses Ding gilt gleich gut für der alte des 11. findet das heißt für jedes K das heißt es hier geht für alle K 1 so insbesondere für K und L von der zu so jetzt kommt die Rechnung von da oben was Wissmanns anschauen GEK von T -minus Kettcar und die entfernte das ist Rechnung von Renault und darum sein muss um 1 kleiner ist die von T minus GEK von TEN J +plus von 10 J -minus die Elf von 10 J +plus die Elf von 10 J -minus Gl von das das ist einfach zweimal mal 3 zum gleichen jetzt wissen wir hier nahm 1. Schritt oder mit dem ihr Etat von T minus GKV werden dort das immer kleiner gleich Drittel das hier das ist Sternchen dann kommt der hier GK Phontänen J -minus die klar die Phontaine J das steht hier Eka von J -minus G 11 J ist leider selbst ein Drittel solange nur K L größer sind als groß Car zu sehen vorbereitet und jenes genau das gleiche Argument wie hier diese Ungleichung hier geht wenn der Abstand von Tier zu Tier J kleines für beliebiges klar also allen 13 Sie warum die Kosmetik mit 3. und es kommt genau kleiner selbst aus sowas Weise gezeigt haben ist das müssen wir zeigen wir müssen eigentlich uns anschauen die Supremes Norm von DK -minus gell so Bremens Norm von DK -minus GL ist Supreme und aus ap Betrag DK von T -minus die von Phontäne Na ja alles deiner selbst in Ordnung eine gleich Subprime und aus AWD über y also ist der Abstand von DK zu Gl gemessen endlich Norm kleiner selbst übernehmen kann er größer gleich K sind groß klar sind und das heißt die Keys kuschen vor ha also ist diese Folge GK der Kurse Folge und wir sind durch aber es habe gezeigt das jede folgen es irgendwie bekomme den Detailfrage hat und damit ist es eine relativ folgen kompakte Menge und da wollen wir hin gut das ist der Satz von also Ascoli und wie gesagt das entscheidende das man sich davon merken muss ist dass es das von der sie das Gros kompakter als Kriterium für stetige Funktion und es ist ein schönes Konvergenzkriterium weisen müssen einig nur 2 Sachen prüfen Sie müssen prüfen ob das den beschränkt ist dass es meist sehr leicht Zeit und sie müssen prüfen Ausgleichsgerade stetig ist das kein bisschen ätzender werden ist aber auch nicht so schlimm das gute ist in 95 Prozent der Fälle wo man es braucht ist das Lemma 4 4 ein schneller Helfer gut warum machen wir das Ganze wenn man das Ganze ja eigentlich aber unsere ja Gleichungen lösen wollen und das wollen wir jetzt als nächstes tun es kommt der Satz von Peano der ein garantiert Vanson Anfangswertproblem auf jeden Fall eine Lösung hat also es geht es Schlag auf Schlag nahm Theorien 4 5 kommt Theorien 4 6 dass
der Satz von Piano wir sind im üblichen Fahrwasser werden derweil in er auf dem und die unser Anfangswertproblem lebt wir haben die Definitionsbereich der rechten Seite Teilmenge II kreuzt er sehe nur wir dich gern offen dann die rechte Seite f von den ARD man die ganz beliebig ist dann hat dies anfangs wird im Allgemeinen keine Lösung aber das schöne ist dass es muss gar nicht so wahnsinnig teuer sein die entscheidende Voraussetzung vom Piano ist dass das nicht die richtige Funktio nen sagte die wenn sie eine stetige rechte Seite haben dann haben Sie immer nur so dann hat egal was man anfangs wird sie vorschreiben also für alle Paare Zenon y 0 in D das anfangs das übliche Anfangswertproblem ganze Landstriche von T ist 11 von S y von S und y von 10 0 gleich y 0 1. und Filme stellte Chemie das hat dann eine Lösung die schreib mal gleichen mindestens 1 im Allgemeinen dass mehrere haben aber das tolle am Piano ist der garantiert die Existenz einer Lösung aufgrund einer sehr schwachen und relativ gut zu wenig zieren Eigenschaft die rechte Seite muss steht so hier sehen Sie die auch beweisen und da ist eine ganze Menge Arbeit auch mit verbunden aber der entscheidende die entscheidende Kniff meint Finger muss gemacht ist natürlich irgendwann dann der Erzähler auskommen im richtigen Moment den wir zeigen irgendeine Menges kompakt dann hat sie mir gleich dann hat sie alle wohne ich komme den die Zahlenfolge und dann wenn wir zeigen diese komme der Detail geht gegen unsere das ist das Ziel und dazu müssen wir uns derzeit die richtige Menge blaue auf der Welt als Kunde also Ascoli anwenden können und das will ich heute zumindest noch anfangen also was müssen wir einig tun wir müssen im Ofen ich weiß gleich richtig hin und Inc a b g a b und g richtig zu wählen so dass unsere Integralgleichung löst also von dir ist y 0 +plus Integral von T 0 bis T E ja von S von STS für aus und A B und D tauchten bisher nicht auf das liegt auch daran das Monster die Formulierung des Theorems nicht braucht das heißt denn das Ding mindestens eine Lösung erinnern Sie unseren Lösungsbegriff das bedeutet es gibt ein kleines hinter welchen und nur darum auf dem nicht lösen kann mehr werden auch nicht sein wird sogar wenn ich ehrlich bin nur die Hälfte davon zeigen ich werde ihnen zeigen sie können Stück nach rechts lösen also als das AB verwenden wir das Intervall von 10 0 bis 10 0 muss für ein genügend kleines Großzeh größer 0 ja also das Dinge der Lösung heißt natürlich nicht dass den eine globale Lösung erinnern Sie unsere Beispiele Tangens und so weiter die Lösung kann Ihnen innerhalb kürzester Zeit um die Ohren fliegen was der und nur sagt es es gibt ne Lösungs heißt es geben kleines waren nur wusste Lösung gibt und ich werden gerne auch nur von den 0 aus nach rechts beweist ich ihn sagen sie können eine Lösung bauen die von 0 startet und eine kurze Zeit legt und das Ding löst man muss dem Prinzip der nach den ganzen weiß allerdings nur das Beispiel das geht analog der ist so schon aufwendig genug zur also was man da noch machen muss ist das Intervall von 10 0 bis minus 10 bis 10 0 das geht genauso nur dass sie eine richtigen Stelle die Minuszeichen richtig setzen müssen was müssen wir also das Ganze geht in mehreren Etappen 1. müssen wir mal das groß Großzeh angehen dazu man erstmal eine gewisse 1. Schätzung also seit hier nur mal in große irdene positive sagen dürfen setzt Moment Gerngroß nehmen das ist mir egal wichtiges dieses ja ich will jetzt ausnutzen dass meine Definitionsbereich von dem 11. auf ne Menge ist das heißt dieses den 0 y 0 1. Innere .punkt von dem die immer mindestens 10 0 1 0 keine Werbung für den besten können sich vorstellen dann kannst mit Lösungsmittel Lustbarkeit es sich seine wenn Sie auf dem Rand des Definitionsbereichs starten und er es ist dem ist nun mal das so betont dass es mal gleich aus wenn das Menge dann am sei keine Lösung also keine 1 Punkt aber das ist nicht so wahnsinnig dies nicht Mehr also ich werd ausnutzen dass unser anfangs wert Anfangsdatum Anfangswertproblem in das gibt und dazu ist
dieses eher größer 0 da das können sie nämlich so wählen dass die folgende Menge die nicht klar nämlich 10 0 unter 0 wer wo das denn und ist auch schon aufpassen also 10 0 und den und Osten 0 dieses Intervall Kreuz mit der abgeschlossenen Kugel um y 0 mit Radius r da bin ich jetzt gerade mich informiert wie bei Ihnen bisher Notation war ich hoffe sie komme der Notation hier klar gemeinsam mit ist ein Ball Box im indischen eine Kugel und 0 mit 3 er und das nervt er war ab Klasse QC so dass dieses Ding noch ganz in die also wenn sie das 10 0 und dass er so das Sohn abgeschlossenes Intervall von 10 0 bis 10 0 +plus Kruste 0 Kreuz diese Kugel um y nur noch Abschluss noch ganz in den das können Sie machen weil die offen ist wenn Sie das er und das die nur klein genug machen dann bleiben sie da drin das geht ja um er um das Ziel nur um den Punkt der 0 y 0 gibt es ein ganze Kugel die drin liegt was sie jetzt machen sie legen diese Kugel und Entwürfe rein aber jede könnte jede Kugel können Sie den abgeschlossen so verpackt dass das was hier passiert es ja dieses Ding hier wird noch häufiger auftauchen diese Kugel diese abgeschlossen Kobe das wir nach und Sergey des nicht feindlich so das geht eben wie gesagt weil die offen ist so jetzt haben wir dieses Karriere und wenn Sie das so sehen abgeschossen Wahlkreuz Abschlusse Kugel und K als Name des Streites danach das Essen kompakte Mengen es ist stetige Funktion auf KKS sehr kompakte Menge sie wissen was jetzt kommt also es eine konstante eben größer gleich 0 so dass betrat er von S y kleiner gleich ist für alle S y Oscar kann stetige Funktion offenbar kann man in dem Maximum groß also es beschränkt die Wussow so kompakte Menges beschränkte Schranke wenig eben und jetzt kann ich damit das großzügige definieren das ist das Durcheinander von 2 das Minimum von dem groß 0 und er geteilt durch 2 durch hat dass er von der Kugel jedoch reinpasst geteilt durch 2 Mal die Funktionen der das Maximum von den und sie sehen auch wenn das L 4 biestig ist dass es sehr groß ist dass er mir sehr groß dann wird das groß wie kleine aber wie entscheidend ist das es immer noch nicht weg positive Zahlen so also auf diesem Intervall 10 0 bis groß mit diesem großziehen wollen wir es unser Anfangswertproblem lösen bzw. wie gesagt lösen nicht das Anfangswertproblem wir lösen denn die 3 gleichen aber gerne gesehen Integralgleichung lösen und Anfangswertproblem +plus ist es gleich und die Idee ist diese Integralgleichung zu lösen wird sein eine Folge von oder einer ganzen Familie von approximative Lösung zu konstruieren das sind keine Lösung aber so ne runde Lösung da anzuzeigen diese Familie von approximative Lösungen =ist gleich tragen stetig und beschränkt also in Ascoli sagt dann diese Familie gefunden approximative Lösungen hat neue Songs .punkt hat Nikon wegen der Reihenfolge und dieser .punkt wird dann die Lösung unserer gleich sein dass das Programm wer ich heute noch schaffen kann es Ihnen die approximative Lösungen zeigen und paar Eigenschaften von denen schreiben und beweisen unrichtig das Argument bis zum Ende durchziehen das wir nächste Woche da Ascoli und Brian und eine Vorlesung das ist mein ist eine ein Ehrgeiz den ich mir nicht gesetzt haben das ja also wie gesagt das Programm ist approximative Lösung anzugeben und die natürlich in gewisser Weise beliebig gut werden müssen damit wir dann durch Teil folgen Auswahl Auflösung kommen und ja die Idee für diese approximative Lösung die wenn ich jetzt erklären als wir konstruieren Funktionen O Alfa vor positive Zahl daher immer noch da genauer gesagt nehmen nachher nur derweil voraus 0 10 es auch wurscht die guten Lösung sind die für kleine einfach und das sind Funktion auf unserm Intervall 10 0 bis 10 und Schluss ziehen nach G G ist diese abgeschlossen Kugel da oben er soll natürlich tätig sein und nach der aus den wählen dann nachher mit den approximieren Dame nach und so aus technischen Gründen vor wenn ich diese Funktion nur alt war nicht nur auf die 0 bis The definieren sollen auf dem größeren Intervall sollte uns aber nicht stören also ich definiere die hier auf minus unendlich bis T 0 T die nutzlos C aber meinen einschränken der GdL meine so und wie machen wir das jetzt zwar
folgendermaßen also Person sollte nur die 0 bis 10 aber ein in 10 0 wissen wir das ist ja das einzige was wir von unserer Lösung von ganz sicher wissen da muss sie durch ok eines der 10 und muss es Land 0 sein so auf dem Intervall von minus unendlich bis 10 0 man auch in unseren Alfa genau das das setzen was einfach Konstante zu führen also wenn der Szene kleiner gleich 10 0 ist dann setzen wir alles darf und wie gleich y 0 kannst sie da dann ist unsere approximative Lösung schon mal eine richtige Startblock nur so und jetzt falls man sich dieses Intervall hier T 0 bis 10 0 +plus auf den kleinen der welchen die länger als wir haben ja das geht jetzt auch wieder nicht auf das mir wurscht was als als vorgegeben einfassen vorgegebene Zahl zwischen 0 und die und jetzt halten sie das in der Wahlen welchen der länger als verkleinern das der Grund warum ich das als verkleiner habe das Thema Intervall der Länge 5 in Stücke der Länge 20 kleinhacken es ätzend aber also sie hatten sich das Intervall der Länge 10 Stück länger als verkleiden und jetzt definieren uns unsere Funktion alles war von hinten durch die Brust ins Auge in dem wir im Prinzip wir wissen ja was so tun soll er also das Ganze hat eine Motivation so soll er die gleichen Augen lösen .punkt das soll diese Gleichung lösen Mehr zwar das Problem ist in der gleichen wird durch definiert also es die gleichen als Definition für und ein aber was wir machen können es wir können auf dem 1. der welchen hier unser definieren durch genau dieses Integral aber neben dem nicht so auf den da war der kennt das ja wohl nicht unangenehm für das Integral das auf dem Intervall davor das die ich ganz ist es approximative Lösung aber es ist der beste Näherungswerte uns einfällt also Informel wenn ich im 1. Intervall gehen also wenn ich mit meinen Zehen zwischen dem 0 unter 0 +plus an verbinden das ist hier das 1. in der Wahl da nämlich Phontäne es diese Formel darum y 0 +plus Integral von und bis 10 er von 1. im Prinzip müsste ich jetzt wovon von es schreiben wovon es kenne ich ja nicht und deswegen oder einfach von es genauer gesagt ich überall die U 1 davon ist schreiben ja wenn ich Joe von 1. erst dann ist es mir Lösung aber dann ist es nicht vernünftig definiert und deswegen wenig Emilio von ist sondern nur als von ist -minus Alf das ist in dem Fall kann man das sogar ein Schreiben das Integral von Y 0 so nur bloß in der Greif unter 9 10 er von S und y 0 die nur weil einfach von S -minus einfach wenn man es irgendwo hier zwischen in den 1. Tagen dabei liegt damit sie einfach ab dann bin ich hier links also was ich mache ist nicht definiert so Alfa im Prinzip durch die vorne wo ich hin will an den muss ich im Iran und an der Stelle wo das Problem ist heute so als würde sich selbst definieren will mache ich bewussten kleine Fehler und nehmen als integralen Tiere nicht so einfach da wo es noch nicht kennen wie soll ich denn da so einfach einen Schritt weiter und auf die Weise habe ich jetzt irgendwie über die sind egal wie ein uralter definierter auf den 1. derweil das macht was das würde sich mehr konstant sein weil natürlich je nachdem was das FS konnte natürlich für jedes Thema sondern raus sind ohne Funktion auf den 1. Dreier und sogar jetzt 2. handeln bei jetzt hab ich meine als auf den 1. derweil mal den gleichen Trick das 2. aber also für der zwischen den 0 +plus alle unter 0 +plus 2 alpha dem 2. Teil Intervall gleich Idee Alfa von Zielen ist y 0 +plus Integral von T 0 bis 10 11 und S alles davon ist würde ich gerne schreiben darf ich aber nicht oh Alfa von ist -minus Eifer dass sehr vernünftig definiert Balve erst zwischen mit 14 zwischen den und Alfa unter 0 +plus 2 alpha also 14 für diesen 2. Intervall hier gereift die Definition auf vor Alfa von S -minus als zu das heißt ich integriere dieses Stück das kenn ich schon damit definiere ich mir die Funktion nur es auf den nächsten Teil der Intervall ja und dann kann ich auf den Stück darüber integrieren und so weiter und so weiter also habe ich mich durch dieses Intervall für 0 bis 10 und sehr deutlich also und so weiter n insgesamt kommt raus alles und sie ist y 0 +plus Integral von T 0 bis T der von so alle Fahrer von S -minus Alfa es wenn ich ihm das am Anfang geschrieben gesagt das ist die Definition von Moral verwenden Sie zu Recht gesagt der Strom doch das doch Quatsch denn so doch nicht leichter so Alfa definieren stimmt aber das ist in dem Sinne gemeint wenn man arbeitet sich sukzessive durch das Intervall durch man definiert so einfach von The es durch das und vor allem auf die mittlerweile vor das geht das kann man schon mal 7 Schritte vorgerechnet hat und das 1. Intervall bekommt man in anfangs Rate wert ferner die konstant y und Ethik auf die Reise nach dieser Definition sind so und jetzt überlegen wir uns was für
Eigenschaften haben die Sie mir diese Funktion uralt mehr nein ja ich versteh wo es herkommt aber es ist nicht weit also könnt ich mir die vielen alles will ich aber nicht weil diese so einen soll ja möglichst genau diese Formel der imitieren wir das so ein Fall soll möglichst genau dieses Ding da lösen und wenn sich das anschauen so alt war bestimmt fast das einzige was da noch falsch ist es hier das Minus als sie integrieren tatsächlich also keinesfalls gesagt wenn ich hier das Geld und das Geld einmal wenn Sie hier definieren wollen dann integrieren so wird ganze denn hin aber sie integrieren immer aber so bekannt ist dass das entscheiden wenn die wir ab nun jedes Mal hat 0 in der Hoffnung dass diese so wie sie diese Funktion nur als die das erfüllen also mal die die ist jetzt natürlich ich lass Eifer den nur die die oder der Überfallene das als gegen 0 gehen dann ist in einem gewissen Sinne zu hoffen das diese Rechte Teil die konvergiert und Werner konvergiert dann sollte ich das hier gegen von so von SDS ginge das ist das Ziel und jetzt kommt das Problem im Allgemeinen wird das denn ich komme die also valides zu behalten ist nicht dafür dass es so schlecht dass er nur stetig sondern um Himmels willen ich meine Person sich dran zu allen anderen sind Länder sind integraler reinziehen und braun sofern die müssen Sie gerade ein gleichmäßige ,komma ganz genau ja man selbst wenn ich eben alles brave sowieso Ausdruck hier verdammt gleichmäßig kommentiert das ist richtig da macht alles kaputt also des konvergiert noch immerhin dieses stetig und stetige würde womit es überdehnt aber mehr auch keine bin auch keine Apps noch mehr das konvergiert aber gleichmäßig können sie komplett weg die die Tür getreten ist nicht das Ding wird nicht kommentieren das wird im Allgemeinen und nicht komme gehen das wir das Ding wirklich ausrechnet das deswegen kann ich auch gleich der diese ganze Piano es keine konstruktive beweist auch wenn er jetzt aussieht ja liefert in Songs vom der die noch keine vernünftigen Amerika-Fans bloß nicht an dieses Verfahren numerisch aufzusetzen da konvergiert Nummern nur nix was uns retten wird es ist unser Freund da oben der sagt der sagt ja überhaupt nicht da muss ich kommentieren sind das wir wollen Lösung haben wir brauchen wir komme der Detailfrage brauchen ich Konvergenz viel zu viel Klima auch nicht sondern dass wir kriegen ist diese Menge aller kompakt relativ kompakt und das heißt ja ,komma Teil von und das ist das einzige was wir brauchen das heißt aber weiß es komplett um konstruktiv bei den sie das wirklich ausrechnen sagt Ingo Euler Michael Forsyth auswählen müssen mit dem rauskommt der Beweis kann auch mit dieser Anlage überhaupt keine Eindeutigkeit liefern bei überhaupt nicht ausgeschlossen ist dass dort mit vorgegebenen für konvergiert und andere Teil Folge Gegenwart das kommt auch vor das überhaupt nicht gesichert der sagte es gebe eine Lösung wir werden feststellen es gibt ,komma Gewitter sorgen muss man noch nachrechnen wird kennt lösen aber das klappt und das wäre mir dann alles noch sehen ich mache ja noch die Vorbereitungen fertig sehen was der nächste Woche was müssen wir denn jetzt machen wir wollen unserer Ascoli an den dass das Ziel am Ende wir wollen also zeigen diese also wollen uns kann ja aus dem einschreiben wir betrachten die Menge S ist die Menge aller Ruhe war mit Alfa zwischen 0 und 10 um das ist unser so die 1. Frage im Wiener Nase Ascoli anzuwenden das wär mal schön wenn dieses F aus der die Fusion von HP mit der IG bestehen würde der bei sonst brauch ich der sie das Colligan anzuwerfen das ist die 1. Frage schauen wir uns das als normal an gebe geht in die Frage ob stetig ist wobei hier nicht aber sondern T 0 bis 10 0 natürlich also mittlerweile 10 0 bis 10 und musste es stetig Uhr half oh im 1. Intervall es stetig das ist stetig integrieren macht die Sache nur noch besser es also eine stetige Funktion war das ist nicht nur die komplizierte Frage also Alfa ist auf jeden Fall stetig auf dem Intervall 10 0 bis C das kompliziertere Frage ist kommt da beglichen werden die raus und dafür muss man tatsächlich ein bisschen arbeiten also was wir jetzt der 1. der nächste Schritt ist hier muss er also 1. wurde mit gute Nachricht ist wo einfach von Zenon ist y 0 y und der Mittelpunkt von GE einen Wendepunkt von den ich zu dir gehört ein wo nix also am Anfang Sommer davor in dir und jetzt müssen wir braucht meine zwischen Behauptung die da lautet ja Preußen schreiben also das nächste was wir tun müssen ist zu zeigen für jedes hier drin so Alsterfontäne immer schön gehen was bedeutet dass Sinn geht zu sein das geht sieht man gar nicht denn geht zu sein bedeutet das so einfach und sie geht von Y 0 nicht mehr als er weg das müssen wir sicherstellen und da wird es entscheidend sein dass wir das die geschickt gewählt haben und dass die so gewählt das man dass er klein ist Unsinn dabei kleine wird diese wird dafür sorgen dass wir von The von den und es immer lustig laufen und so
als von The sich nicht mehr als er von y 0 bewegt und wenn wir das haben Sie welche in die das ist der 1. Schritt der nächsten Vorlesung bis dahin schönes Wochenende und vielen Dank sich aufmerksam
Punkt
Momentenproblem
Maximum
Mögliche Welt
Element <Mathematik>
Norm <Mathematik>
Differentialgleichung
Eigenwert
Theorem
Vorlesung/Konferenz
Normierter Raum
Funktionalanalysis
Integralgleichung
Funktion <Mathematik>
Differenzierbarkeit
Stetige Funktion
Wertevorrat
Biprodukt
Kompaktheit
Zahl
Unstetige Funktion
Teilmenge
Konstante
Menge
Betrag <Mathematik>
Mathematikerin
Fixpunkt
Gleichmäßige Konvergenz
Blase
Logischer Schluss
Zusammenhang <Mathematik>
Besprechung/Interview
Anfangswertproblem
Gleichmäßige Beschränktheit
Topologie
Differential
Weg <Topologie>
Integralrechnung
Kompakte Menge
Abschätzung
EUKLID <Programm>
Analysis
Eindeutigkeit
Vektorraum
Gleichung
Stetige Abbildung
Gewöhnliche Differentialgleichung
Integral
Lösung <Mathematik>
Skalarprodukt
Differentialgleichungssystem
Lineare Algebra
Strukturgleichungsmodell
Algebraisch abgeschlossener Körper
Parametersystem
Physiker
Punkt
Wald <Graphentheorie>
Quantifizierung
Vektorraum
Norm <Mathematik>
Quantenmechanik
Kompaktheit
Metrischer Raum
Computeranimation
Teilmenge
Konstante
Weg <Topologie>
Betrag <Mathematik>
Menge
Kompakte Menge
Vorlesung/Konferenz
Abstand
Funktionalanalysis
Ecke
Funktion <Mathematik>
Ebene
Geschwindigkeit
Algebraisch abgeschlossener Körper
Folge <Mathematik>
Logischer Schluss
Punkt
Momentenproblem
Norm <Mathematik>
Zählen
Physikalische Theorie
Reelle Zahl
Offene Abbildung
Kompakte Menge
Vorlesung/Konferenz
Normierter Raum
Funktion <Mathematik>
Stetige Funktion
Vektorraum
Kompaktheit
Vektor
Zahl
Teilmenge
Betrag <Mathematik>
Menge
Rationale Zahl
Mathematiker
Funktionentheorie
Grenzwertberechnung
Mathematische Größe
Parametersystem
Folge <Mathematik>
Punkt
Momentenproblem
Tabelle
Dreiecksungleichung
Träger
Quantifizierung
Stetige Funktion
Zahl
Unendlichkeit
Rationale Zahl
Vorlesung/Konferenz
Gleichmäßige Konvergenz
Parametersystem
Folge <Mathematik>
Länge
Punkt
Besprechung/Interview
Gleichungssystem
Anfangswertproblem
Stetige Funktion
Zerlegung <Mathematik>
Physikalische Theorie
Gradient
Index
Ungleichung
Menge
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Kompakte Menge
Vorlesung/Konferenz
Abstand
Bruchteil
Analysis
Algebraisch abgeschlossener Körper
Folge <Mathematik>
Logischer Schluss
Punkt
Momentenproblem
Klasse <Mathematik>
Besprechung/Interview
Maximum
Anfangswertproblem
Monster-Gruppe
Kugel
Abgeschlossenheit <Mathematik>
Theorem
Minimum
Schnittmenge
Kompakte Menge
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Integralgleichung
Funktion <Mathematik>
Radius
Positive Zahl
Stetige Funktion
Schätzung
Integral
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Menge
Konstante
Länge
Menge
Näherungswert
Eindeutigkeit
Wendepunkt
Vorlesung/Konferenz
Stetige Funktion
Gleichung
Zahl
Integral
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 4: Satz von Arzelà-Ascoli und Satz von Peano (Teil 1)
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 04
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30768
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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