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Vorlesung 3: Trennung der Variablen (Teil 2)

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dann mal ein herzliches Willkommen zur baldigen Vorlesungen in der nicht die der Handlung der Differenzialgleichung von getrennten veränderlichen abschließen will wobei die Methodik immer wieder auftauchen wird es eben
eine der wegen schönen Klassen von Differenzialgleichung ist bei dem man explizit Lösungen schreiben kann zur Erinnerung wir schauen uns 7 Wohnungen an im
von getrennten veränderlichen das heißt Differentialgleichungen 1. Ordnung y strich Leichenreste Seite von 11 von t und y und diese rechte Seite ist von getreten veränderlichen das heißt die Abhängigkeit in The und den y des multiplikativ getrennt nach meiner Abhängigkeit des von Thema einer Abhängigkeit Haar von Y und dazu und anfangs wert so was ist Differenzialgleichung von getrennten veränderlichen was hier auch schon sehen ist das Ganze funktioniert nur wenn meine Skalare Gleichung hat also keine er kein System zumindest also müsste man die sonst hier drüber Gedanken machen was das mal ist könnte es vielleicht versuchen dafür skalare Multiplikation oder offenes gibt Waffen Skalarprodukt vorzuziehen wir werden gleich in der Behandlung von den Gleichungen sehen dass das was wir hier machen ihn nur funktioniert wenn es Calais also y ist mit Fehler Funktion ganze Methode die hier vor für funktioniert nur für es kann eine Gleichung damit werden wir uns noch das wird uns noch ärgern aber es ist einfach so und wir hatten letztes Mal uns überlegt der Knef um die Dinger zu lösen funktioniert überall da wo H von y nicht 0 ist war folgendes wenn davon y nicht 0 ist dann können Sie das durch dividieren und kriegen das für alle T y richtig durch H von y gleich die von The ist von denen das so hart dann kann man auf beiden Seiten von T 0 bis T integrieren und bekommt Integral von 10 0 bis übergehe von 1. 1. Integral von T 0 bis T y Strich von S durch Haar von y von STS und der entscheidende Punkt war dass man jetzt an der Stelle substituieren kann und rauskriegt das geht ist Integral von Y 0 bis y von Phontäne 1 durch H von X DX also y von es wirklich X substituiert und dieser Schritt ist deswegen entscheiden wieder mal die Wahlen der Stelle die Differenzialgleichung verschwindet man hat nicht mehr Landstrichen y drin stehen sondern das ganze zurückgespielt auf die Rechnung von 20 Grad an und hielt richtig die unbekannte Frau von C steht ziehen Entdecker in der Integral Grenze das war die Rechnung von letzten Vorlesung Gewänder kleine Nummer brauchen es länger bis sie Normen hingeschrieben und was ich jetzt machen will ist dieses Konzept das in der letzten Vorlesung auf die Weise so n und hängen Wedding gearbeitet haben einen exakten Satz diesen der die Lösungsformel für die von seiner Frau getrennt Venedig enthält in denen beweisen also dass der Satz 3 4 zur Trennung der Variablen ein letztes Mal glaub ich auch schon an der Tafel als wären unsere üblichen Voraussetzungen wir leben auf dem Intervall in der wir haben mit einer Menge Omega in R die soll offen sein das ist die Menge in der der y Phontäne lebt und dann die beiden Funktionen der rechten Seite die von ihm nach er und von Omega nach er die sollen beide stetig sein wenn wir brauchen wenn sie die Stetigkeit Voraussetzung nicht haben dann gibt es sofort Probleme mit den integralen und sind die dann definiert man dadurch dass dich die dich ist als ginge Stammfunktionen alles ist gut so dann brauche noch anfangs Wert also 10 0 E und y nun um zwar das sind die Daten jetzt kommt die entscheidende Voraussetzung wenn haben einen an der anfangs stelle also von y 0 nicht 0 ist dann der Aufsicht finden Sie hier eine lokale eindeutige Lösung des Anfangswertproblem des Lokals soll heißen im Sinne dessen wie Auflösung definierte haben befinden unter Umständen kleines Intervall J um 10 Uhr rum auf dem dieses Ding eindeutig lösbar ist also dann gibt ein Intervall J wenn wie auf dem Stern genau eine Lösung sein genau eine Lösung wieder im Sinne von Einschränkung dieser Lösung sind keine weiteren so und das tolle angetreten veränderlichen ist das ist nicht nur einen einfachen Existenz Aussage sondern man keine Lösungsformel hinschreiben er diese Lösung ist mir nicht gegeben durch H auch -minus 1 nach dem G bis dahin sagt indes nicht wie jetzt muss ich noch sagen dass auch -minus 1 und g sind die ist einfach die Stammfunktion von kleinen geht also des Phonds lebt ist integraler von T 0 bis T G von STS ist die linke Seite der Gleichung der ja was man hier tun muss um diese aufzulösen sie bräunlich nicht am Funktion von Klein geht es ist groß geht dann bauen Sie die Stammfunktion von einst durch das ist aus der rechten Seite brauchen sich dann vom zum von einst durch 1 das ist das Große an also groß war ist das Integral von T 0 bis T 1 durch H von XTX ein eine kleine Entschuldigung für die allen etwas irreführenden Notation das groß H nicht die Stammfunktion von kleinen heißt aber ja ich weiß nicht wie sie dann dass alle jeder andere Notation führt auch wieder unötige Buchstaben ein besser ist ja von y Quelle hier ist der Fehler 10 0 bis er Integral von y 0 bis Y und Hafen und zwar also groß als ich dann vom zum von 1 durch a oder man sich das darum anschauen was man dann auflösen muss ist diese Gleichheit groß G gleich groß H von y wir wollen das y haben das heißt das noch tun muss ist muss das groß Haar in der darum steht groß geh gleich großer von y also das y auch -minus 1 verknüpft mitgehen zur das ist die Behauptung und das Forum als Beweis unter Beweis geht in 3 Schritten ja eigentlich relativ natürliche Schritte der 1. Schritt es zunächst mal sicherzustellen dass diese Bildung H auf minus 1 nach die überhaupt sinnvoll ist also warum ist ist dieses Hani Bielecki vom kannst das investieren warum dieses auch noch so gutmütig dass das Bild von den Definitionsbereich von dieser in der Umkehrfunktion liegt 10 Fragen man klären muss dass der Schritt 1 also Schritt 1 ist auch -minus 1 nach die ob es sinnvoll definieren lässt sich sinnvoll definieren und die 2 wesentlichen Themen die dar nur Rolle spielen nicht zum genannt warum ist das in jedem Bier Kiel Funktion normal Dehnung der Funktion und warum passen die Definitionsbereich ist es auch so fangen wir an zunächst mal darum sind groß haben groß die sinnvoll ist eine stetige Funktion würde vorausgesetzt Bund ha ist an der
anfangs stellen nicht 0 Hafen des 0 ist nicht nur jetzt gibt kommt das übliche Argument nicht wichtige Funktion .punkt nicht nur das ist der ganzen Umgebung nicht nur also Excel Umgebung O eine Teilmenge von Omega offenes Intervall Umgebung hat kann ich das auch gleich als offenes Intervall nehmen Omen y 0 so das Haar von y ungleich 0 ist für alle y in das ist Stetigkeit von Haar und weil ich weiß es Ansatz ich zur was weil sich damit übergroßer erst mal machte mit 1 durch Hasen auf sich also insgesamt insbesondere für den es war das wichtige Funktion ist die nicht nur das das integrale sinnvoll definiert und diese Funktion großartig differenziert haben also auf diesen groß kann ich immerhin mal groß Hahn definieren und dieses großer ist eine stetig differenzierbare Funktion auf diesem Uhr und ich weiß von der zusätzlich an der Stelle y 0 der von YB 0 bis 0 kommt dann nur aus von uns würde so zum Gerätes nächste also heißt ich die dann selber auf und der Stelle zwar nur das ist nur so wie sieht es denn mit der Ableitung von dem H aus das gesagt hast dich Differenz übernahm Hauptsatze Integral wichtige Funktion Stich differenzierbar Ableitung von dem heißt dementsprechend einfach zu kriegen nahm Hauptsatze setzen die Na ja begrenzte in denen die Granden ein also ,komma von y ist y outen 1 Hafergrütze dass es insbesondere nicht nur auch das wieder für alle Apps leiden also das haben wir nicht die differenzierbare Funktion mit Ableitung Demi Moore gehört das schreit geradezu nach einem Rückgriff in die 1 1 er nämlich der nie 0 da bleiben so bestätigt dass es diesen ,komma positiver ,komma negativ das Ding es also noch strikt vor sie stritten und Funktion ich kann sie umgehen und wir haben auch den Satz über die Differenzierbarkeit Umkehrfunktion wenn die Funktion nicht nicht nur Ableitung hat es auch die Umkehrfunktion wieder differenzierbar das heißt dieses auch -minus 1 existiert und es sogar mit differenzierbare Funktion also das heißt dieses Haar als Funktion von nach Haar von O ist geht hier dieses von Traumwohnung paarmal dass wenn ich mal Frau und Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion die Umkehrfunktion auch -minus 1 jetzt als Funktion von Frauen auch dies stetig differenziert und dann lief und der Funktion immer dann differenzieren wenn 7 Ableitung Funktion nicht nur das und das Ding er hat ja auf keine Nullstellen ab so das ist schon mal gut weil das haben es einst auf hier unsere Lösung auf und wenn die Lösung wenn das die Lösung sein soll muss das bitte schön stetig differenzierbar sein sonst hat es nach unserer Definition von Lösung ist eine das ist also schon mal ganz gut so müssen uns ein bisschen überlegen was mit diesem was dieses Frau ist Frau ist ein stetiges Bild und vor dem offenen dabei das sagt noch nicht so viel über das V das sagt nur dass das V zusammenhängt ist aber paar ist B heißt umkehrbaren Bestätigung der Funktion hochgestochen gesprochen heißt ein homöomorph wissen muss eine Abbildung die topologische Eigenschaft invariant lässt das heißt habe offen da war doch auch mit dabei aber es allen offenes Intervall also V gleich auf und diesen offenes Intervall und für spätere Zwecken noch wichtig in diesem Intervall V liegt die Nullen erfunden und es nur so also wir haben Frau ist auf das Intervall 0 warum ist das wichtig jetzt kommt der 2. Tor und wir müssen sicherstellen auch -minus 1 nach dieser Sinn machen das heißt bitte schön zumindest für ein geeignetes Intervall unter 0 müssen die Bilder von den Befehl tionsbereich von auch 1 1 so das klappt aber weil ich weiß dass die von 4 0 0 ist nur wenig in die GRG von sinulle sind die Garantie nur bis 10 0 das nicht wie er als ist 0 das heißt die von nur liegt im Inneren diese sind aber alles groß ist tätig ja nicht das alles zusammen nehmen also der ganze Zeug zusammen bedeutet das das ist jetzt J geht das J das verbrauchen Teilmenge E offenes Intervall um 10 0 so dass die von diesem J ganzen Frau enthalten die von dem 0 wie kann man dann dieses tätig also 10 nicht ganz Intervall unter 0 so dass ich noch in der Haut kann so also das Geld für ein Jahr zur so und damit hab ich jetzt in 2. das 2. Problem aus dem Weg geräumt also ist auch -minus 1 nachgeht auf diesen J definiert und geht in dieses ja geh geht von hier nach Frau auch auf -minus 1 geht von Frau nach das ist also eine wohldefinierte stetig differenzierbare hatte die bei uns wenig differenziert war auch 1 hat mir schon gesagt dass der Satz über die Differenzierbarkeit und der Funktion geh groß Stammfunktion von der stetigen Funktion und damit insbesondere stetig differenzieren und Verkettung versteht differenzierbaren Funktion ist die Differenz also Familie nichtig differenzierbare Funktionen dieses unser Kandidat da zur Lösung unseres Problems von getrennte verinnerlichen und das ist der 2. Schritt für wollen zeigen diese Funktion es tatsächlich gelöst also 2. Welt gleich auf minus 1 nach G ist mehr los so was müssen wir tun hatten Mehr festgelegt immer Definition 2 5 was ist eine Lösung der Differenzialgleichung oder ist der Fall eines Anfangswertproblem ist wir brauchen als 1. dass diese Funktion definiert es auf einem Intervall ab in die das ist erfüllt PBP wir brauchen dass diese Funktion auf dem Intervall JC 1 ist wir haben uns auch gerade überlegt Jungen der auch -minus 1 nach diesen stetig differenzierbare Funktion auf 3. Bedingung von Lösung war dass das Paar CEO von C in DE liegt die ist in dem Fall die Kreuz Omega und das muss gelten für alle 10 J warum ist das hier der Fall von C bisher auch -minus 1 von GF Wanted also
von J J von J ist Teilmenge von er ist gleich auch -minus 1 von geht von ihr aus die von J SNV enthalten auch wenn es 1 bildet V nach also ist das ein und es sind eine Menge von also ist das Pärchen CEO von The für jedes ten J es den ja das ist sie nie und das O von in und damit den Weg auch das ist Nachkonstruktion erfüllt und setzte was man noch feststellen müssen ist das wirklich löst und das ist jetzt nachhelfen alles also brauchen steht an was müssen wir tun wir müssen los strich von The ausrechnen und feststellen lustig ist von TSG von Thema von Apps und und gut jetzt Übung 1 1 differenzieren von Verkettung mit Umkehrfunktion alles was Spaß macht und an Ableitung stechen Regel also haben es sein sagt die differenziert denn zunächst mal nach Kettenregel aber auch -minus 1 Strich von der Phontäne mal die Stichworte fertig war die Kettenregel dies glaub ich noch ganz aber jetzt kommt die Ableitung der Umkehrfunktion was ist die Ableitung der Funktion in dem Fall okay weil die Funktion selber neben uns die Ableitung der Funktion nicht nur dass es einst durch die Ableitung der Funktion an der Umkehrfunktion und wie will viele )klammer zu mal Gestrich von T weil ich meine und Sorge Strich von groß Gespräch fand es einfach groß gestrig von ist klein für die von The Wall groß G die Stammfunktion von Klein die neu hier unten mit bisschen wüsste was ist ,komma uns alles schon überlegt ,komma von Y ist einzig Hafen und ab also ich es geht 1 durch sollen auch -minus 1 von Devonshire 1 2 3 und jetzt ist falsch und das ist der länger Bruchstrich Saar das sie aus ist aber nicht so jetzt ab jetzt fällt alles zusammen was es auch war von auch -minus 1 geht mein Leben Jagdgründe ein wir stimmt jetzt nicht Na ja so ist Unfug wann ich falsch ist man muss und ich ja gar nicht ich muss sie um 1 Uhr herkriegen das hier so Carmine seines von D also bei mir ist Gespräch das hier so von der so jetzt hat hast recht ist 1 durch kleiner also haben wir hier bei uns durch kleine von von T jetzt sieht man jetzt passt alles nur das ist und das der Strich endlich auch Unfug da wir gehen von zehnmal H von UV und da mal wieder bewiesen wenn es ganz konkrete ableiten geht an sind ist ein Theoretiker die Luft raus ok jetzt also strich ISG von Thema von von Theos US tatsächliche Lösung sowas gebraucht das noch den anfangs wir kontrollieren bisher immer nur das ist die Gleichung löst was ist mit UV unter 0 bisher auch -minus 1 von Devonshire 0 gehe von 10 nur 1 der gute Koch alles vorbereitet ist neu also ist das haben das 1 2 0 aber wenn das 1 zu 0 kennen wir aber auch genau von y ist 0 also es haben das 1 von 0 mehr gibt war unser Kandidat noch 10 unser Kandidat löst und jetzt würde nochmals Theorien lesen und ich werde für Bonn und 3. Schritt Theorien steht nämlich genau eine Lösung dazu wenig bisher nicht geäußert er habe gezeigt dass es eine aber die bisher auf dann ist sie auch noch das ist der einzige wir stellen wird erstaunlich subtil und ich kann schonmal Welt sagt ich gerne darauf hinweisen wollen dass liegt das liegt daran das diese Eindeutigkeit tatsächlich kaputt geht man noch bei 7 kommen was dabei diese Bedingung nicht erfüllt wenn am Anfang es wird an der anfangs stellen nicht 0 ist dann kann alles passieren kann so unlösbar werden dann kann es mehrere Lösungen geben und das Problem ist ja dass ich meinetwegen wir sind jene Voraussetzung als am Anfang nicht 0 also ist nicht in Flammen es am Anfang nicht 0 jetzt entwickelt sich das ist ja aber im weiteren Sinn ferner auf taucht y von The auf und natürlich den sein dass das y irgendwann eine Nullstelle von H reinläuft und in dem Moment kann wieder alles passiert besondere dann die lösen sich dann auf speichern also es kann dann ab dann 40 Mehr mehrere umgehen und das um diese Kette müssen wir Beweise und das ist der Punkt und deswegen wird auch dieses in Intervall J im Allgemeinen klein bleiben derweil J funktioniert eben nur so lange wie ich in dem Bereich den wo das Haar von y von T nicht nur das so also setzte die Einmaligkeit nicht mehr in mehrere Beispiele zeigen weil auf der nächsten Wochen wo diese Eindeutigkeit aber irgendeinen Tee auch schief so was machen Eindeutigkeit zu zeigen so Minister Ansatzes immer der gleiche Mann nimmt sich mit 2. Lösung 2 gibt es gleich der 1. Mehr also mit uns 2. Lösung her auf dem Intervall Variante wir erleben nicht abschlagen sollen dort ab wenn jemand in 2. Lesung sah auf dem Intervall J definiert das Geld Resultat war so es geht man dabei die Lord diese Wanamaker konstruiert auf Dienste eindeutige Lösung hat nicht Zeit auf diesem gerade eben konstruierten derweil J ist die Lösung gleicht der anderen und das entscheidende sehen dass dieses Intervall J die Sicherheitsvorkehrungen hat das G von York in dem Frau liegt und auf dem V Moment das G von J in dem Fall liegt und auch -minus 1 von G von J den und auf diesen O wird das Hany 0 nun also ich durch die Wahl dieses hierorts schließlich aus das Haar auf meine Lösung 0 so A 7 2. auf meinen derweil wir und der jetzt zeigen schlangengleich gleich auf diesen Bereich auf dazu schauen wir uns
mal die Menge der Punkte an auf den die übereinstimmt .punkt genauer gesagt so ich mir die Menge der Punkte also die Einkommen auf dem es übereinstimmend wenn ich schon unter 0 Schlange sollen 2. Lösung sein soll also auch Schlange von dir irgendwann nun lösen in der durch den selber ein ist wenn ich mir die Menge aller Punkte für die die Lösungen auf dem Intervall von T 0 bis 10 noch übereinstimmen wieso wir sozusagen dem .punkt den 1. Punkt an dem die Lösung aus einer laufen also J Schlange sei die Menge aller C aus J so dass ich gleich Schlange auf dem Intervall 10 0 C beziehungsweise wenn das Tier längst vom 10 0 liegt T 10 Uhr also hier ist meine c-Achse hier ist mein y 0 ist mein 0 dann weiß ich beide Lösungen liegen hier es könnte das so sein ab und das das Schlange an und dann werde bis hier das da das ja schon also sie uns lange ist der Bereichen bei lösen übereinstimmen man kann so sein fliegen schlimmsten Falles das IoT Schlange einfach unter 0 um könnte passieren wenn die sofort auseinander gehen dann ist es aus Langenzenn 10 0 aber das zumindest klar es T und ist drin also des langes nicht hier so was ich Ihnen jetzt zeige und das ist eine ein eine Sorte Argument die ich immer wieder toll finde mir Spaß macht ich zeige Ihnen dieses J Schlange wir wissen ja dass das nicht gehe ihn nicht ist zusammenhängt offen und abgeschlossenen J ist die Frage wie viel Teilmengen von J gibt es die zusammen auf und abgeschlossen sind und nicht hier wir sind wie viele seinen sie auch ja also dieses Jahr schlage ich den aus Essen teilen derweil von J das in offen und abgeschlossen ist mehr dann kann sein ich aufhören weil sind über aufführen würde müsste sofort abgeschlossen aufhören beides ist verboten also Musik durch rot also zeigen wir die Sachen das Erste ist kurz geht jetzt entweder ist das sie Schlangen nur dass die 0 wenn man daran sehen dass es nicht mal nicht seinen gesoffen aber es könnte Moment noch sein ohne dass sie uns schlagen ist man dabei warum na ja wenn das denn wenn in 10 MJ Schlange drin ist dann stimmen schlagen auf die Wiederwahl von 7 bis 10 überein dann stehen sie auch auf die 0 bis es über ein für alle es zwischen 10 und die also ich weiß der .punkt jährlich drin dann weil sich die Stimme ist dahin einen stehen Sie natürlich auf dem Intervall ein also liegen alle zwischen Punkte dazwischen drin wenn also ein .punkt Relikte alle alles dazwischen es also mit da ich gesagt hat in der Wale sind bei mir nie ein Element ich oder sonst was diesen Sonderfall ausgeschlossen also nächster .punkt J Schlages abgeschlossen warum ist das so das liegt im Wesentlichen daran dass die beiden Lösungen als Lösung stetig sein das war und wenn sie auf dem ganzen derweil übereinstimmen dann können Sie im Endpunkte sie aus Sonderfall bei wir die Stetigkeit verletzt in in sauber also diese Idee im sauber was nehmen wir nehmen uns ne Folge eine Teilmenge der Folge in in Deutschland näher die J konvergiert Weise CNN wichtigen fliegen J an Bord da muss ich zeigen sie ist es auch in Deutschland das heißt was sie zeigen muss das so von theologisch lange von The übereinstimmt und das ist jetzt einfach Stetigkeit von so von dem was er mir nun endlich von Fällen wo ich tätig also ist das Leben des n gegen unendlich von Pro von CNN derjenige der wildeste endete noch Schlange also ist wovon TM gleichwohl Schlange von Phontänen und jetzt so schlage ich tätig also ist auch von The gleich Schlange vor so und was jetzt noch fehlt ist dass das J Schlange offen ist Deutschland ist auf offenen J was müssen wir tun um es uns irgendwo in J Schlange nehmen und sage es gibt dem Ganzen Kugel ganz Intervall und um dieses diesen Punkt J das noch ändert ganz in Deutschland liegt also den 19 .punkt in meinte an den Schlange und müssen zeigen um den 4. Mann ganz Intervall in Deutschland zumindest ein wenig ableiten so das ist jetzt aber mal der mühsamsten Teil des Beweises der steht die Substanz drin wie bisher nicht viel eingegangen das das den Orten in der Wahl ist mit einer Definition abgeschlossen sein ohne die Stetigkeit der Lösungen bisher immer die Gleichung nicht benutzt gesessen nicht viel passiert also jetzt kommt die Substanz was ich weiß es Na ja das die Sterne Schlange ist das Schlange von Teelichtern gleich wovon daran ist das IoT Schlange sind Menge von J also ist das ein Element von von Lord und das ist Teilmenge von von großen das 1 zu 2 gezeigt für jedes C aus ja so von T es so das ist jetzt die entscheidende Sicherheitsvorkehrung weil ich nicht weiß dass auf diesen das Haar nicht 0 zur müssen erst noch ein bisschen weiter arbeiten und J 10 beide offen und so Schlange christlich nicht tätige Funktion als Lösung ist es sogar stetig differenzierbar und ich weiß unterstellen dann bin ich in diese offene Mengen also gibt die ganze Umgebung freundlich daran dass ich in bleibt Wind an einer Stelle sagen wir damit zum 5. Mal an einer Stelle bin ich es offen also kann ich die ganze Umgebung offen Umgebung konnte ich dann finden so dass sich in den bleibe also geht's ein Epsilon größer 0 ab so dass denn jetzt gleich 2 Dinge gelten für jedes gibt es nur eine selbst sondern immer das kleinere zum einen die gerade gesagt Schlangen von T mit den für alle T aus Teelichtern -minus er 9 bis 10 Stern plus Epsilon und zum
anderen wären Na und Sejad offen unser J dessen offenes sind sich gerne Punkte die auch das heißt ich kann auch der Umgebung das y so wählen dass dieses Intervall in Jork bleibt also das Geld und dieses sind Intervall die Sterne -minus Epsilon listig sich deren plus Epsilon bleibt in J also dies kann nicht beides gleichzeitig haben sind erstmals die Stetigkeit von Schlangen Epsilon sodass das da in liegt und wenn ich jetzt das Ärzte und zu groß genommen hat dafür dass ich in mir bleibt meist selbst und klar da gibt also was habe ich damit jetzt damit so Schlange von Philipp den für alle T in einem offenen teile von York und ich der ich finde ist seiner Wahl von J das sich enthält und in dem so dass Phonds US Schlange von Zeolith alle 10 diesen Aufenthalt so und für alle diese Themen keine jetzt zeigen so schlangengleich gleich und zwar mit der Rechnung von ganz oben links für alle y o jeder Schritt 1 ab ha von y und leicht so war das gemacht 2 der sind von dem also es H von y von Schlange von The ungleich 0 wir alle diese die Nase für die ICE aus dem offenen Teil der weil es hier gefunden so und jetzt kommt die Rechnung von darum also die Rechnung vom Anfang der Vorlesung vielleicht jetzt was die sagt was man immer ha Schlange an der Stelle nicht nur es kann ich alles machen was da steht das heißt ich kriege Schlange strich Phontänen oder ein wenn Sie das Endergebnis 3 von 4 0 bis 10 der von SDS =ist gleich in der gerade von y 0 bis Schlange von 10 über H 1 durch H von XX 1 nach dieser Rechnung da oben für die Funktion O Schlange die der Lösung von der Gleichung ist eine echte NOT sich jetzt wirklich das Schlange Lösungen der Gleichung ist so und wenn wir jetzt mal aufschreiben was hier steht kann steht links groß der Phontäne groß G war die dann zur vom kleinen gilt und rechts steht großer von von Bonn und lange von tickt die Idee dass Schlange von Tilidin man da kann ich das Haar umkehren das heißt dass Schlange von T bisher auch -minus 1 nach Devonshire also gleich so weit der Kassen kommen bisschen voreilig stecken noch 2 Argumente der inzwischen das hab ich jetzt gezeigt schafft gezeigt für alle 10 aus dem offenen Teilen der Wahl von J das und der anderen rumliegt die und Schlange von gleichwohl wohnte das heißt man .punkt an welche Momente Stern findlichen offenes Intervall drum rum in dem Steinschlag übereinstimmen das heißt es Bild sieht nicht so aus zumindest Schlange stehen um sie länger überein und jetzt kommt das offen abgeschlossen Argument wenn sein .punkt auseinanderdriftet dann besinnen .punkt aber noch übereinstimmen eine Menge abgeschlossen ist er werden .punkt übereinstim müsste man offen komme Stück weiter am Rand .punkt es wieder gleich weil abgeschlossen offen ab ja das das mit über Einflussgebiet kann nicht aufhören bis zum Ende sind aber als J wenn ich ans Ende dessen damals J kommen weiß ich nix mehr aber bis zum Ende sind jeweils J können Sie nie laufen Na also ich habe es gezeigt die Richter dessen Inhaber .punkt von York Schlange also mir gezeigt das Lob Schlange offen ist also offen in New York wird gar nicht gezeigt dass es als Teilmenge von er offen ist aber es Teilmenge von J ist es auch und das habe ich jetzt jetzt haben würde das laut schlagen eine Teilmenge von J ist die nicht leer ist zusammenhängend abgeschlossen und offen und damit ist auch also zusammen ist laut schlangengleich J und jetzt 10 ist die Lösung eindeutig so längeres beweist fallen damit man akzeptieren dann dass das offenbar so gut ist wer schön dass man damit auch viel erreichen kann also gucken uns mal an was man damit tun kann ich nur mal ein 2 Beispiele und mit der Methode vorwärtskommen und deren wirklich kann meine Vorlesung die wirklich wahren großen Beispiel ich rechnen sonst sitzen wir jene Stunde aber nochmals einfachste was einem einfällt es einfach nichttriviale was einem einfällt also Beispiel 3 5 nehme folgender Anfangswertproblem Landstrich von The jetzt eine Funktion von The mal Funktion von y und das Einfachste was einem einfällt ist man im Sommer weil gegen die Kälte das Landstrich ist in meinem Zimmer ab und da und anfangs ist ziemlich wurscht indem man voraus und so das mache die konstanten schön werden entlang von 0 bis 1 das wäre typisches Beispiel für getrennte veränderliche von den 7 nicht 2 Dinge tun ich will es einmal mit ihnen den Satz formvollendet anwählen das man sieht das Ding lässt sich wunderbar Mittelsatz lösen und dann will ich ihm die Wahrheit erzählen und sage niemand wirklich rechnen weil man kann das mit diesem Satz lösen es macht nur keiner das ist ungefähr so wie die Substitution träge integrieren die kann man auch immer formal sauber anwenden diesem Skript steht haben dann zieht schon seit Jahren nicht mehr gemacht jeder mache ich mir Rechnungen Text nach der 1. gleich andern wurde bezieht man das es hoch und dann passt alles das die hoch passt alles genauso mir dann gibt sie auch und die führlichen dann vor Arbeitsthema einmal wenn wir so weiter ein abgesichertes Ergebnis haben durch den Satz so einen Satz anwenden wollen was sind denn hier die größten die Funktion des Phonds ist die Funktion von y ist
y das den und ist 0 und das y und 1 was müssen wir tun um den Satz anzuwenden der ist insofern relativ haben also immer im Wesentlichen ist bis auf Englisch Tätigkeit von rechten Seiten und Quatsch nur eine wesentliche hatte Vorrausetzung hat die man prüfen muss da also meint dass die hat steht es diesen glauben Sie mir gewesen war war prüfen müssen es die von Y 0 davon y von einst das von Y Runde Star von einst wer aber die die zählt und ich hoffte glaube dass 1 nicht nur so das also dann können wir loslegen was brauchen den Satz anzuwenden wir wissen jetzt es gibt kann Intervall und neue muss eindeutig lösbar ist und da müssen auch die Lösung ausrechnen nämlich auch -minus 1 nachgehen also rechnen wir groß haben große G aus dass es bei dem Beispiel zum Glück relativ übersichtlich also der Satz 3 vieles anwendbar wir brauchen groß G von 10 das ist die Stammfunktion von kleinen also der Funktion t die in T 0 0 ist also in dem Fall das Integral von 0 bis T über SDS das ist inhaltlich verwahrt der stammt und hat es Quadrat Grenzen einsetzen die Einheit C-Quadrat dann brauchen wir das Großhafen von y das ist Integral von y 0 also von 1 bis Y über 1 durch x XTX also 1 durch H von X ab DX also das Integral von 1 bis y 1 durch x Text das es der oder y -minus stellen von einst in allen von 1 können Sie sparen das allen von 7 was dabei nicht trauen sich das große also ist die Umkehrfunktion der kluge Rhythmus ist freundlicherweise so dass man die Umkehrfunktion leicht raten kann auch -minus 1 von X ist er hoffe ich ja wollt Ihr so zusammen an unsere Lösung ist dann auch -minus 1 nach G also von CD gleich H auf minus 1 von der von C also in dem Fall des hoch der von c't also eher Hof in Leipzig und früh sich schnell nach wenn sie das ableiten kriegen Sie die Ableitung von Haiti Ableitung von Haiti C-Quadrat runter das genau ziehen also Thema Leonhardy Quadrat das Thema das Land von y von und als passt so wie gesagt das war die offizielle Wahrheit jetzt kommt die wahre Wahrheit wie rechnet man das wirklich wie gesagt ähnlich wie bei der Substitutions regelt gibt es auch für getrennte veränderlichen ist nicht mehr Rechnung die den Vorteil hat dass man sich das ganze Formel Gedöns nicht mehr an muss könnte komplett vergessen was Sie sich merken müssen dass die Methode und wie man deutlich die dem Prinzip noch Frau also was wäre das in dem Fall in dem Falle völlig wie Rechnung lohnt sich's das Ganze in der Schmiede Variante aufzuschreiben y Striches y und im Hinterkopf sich zu merken dass es ist eine Funktion von Text wie üblich bei diesen Schmäh Rechnungen drin ich mal mit logischen Verbindungs Zeichen vorsichtig an also werden gibt es die TSC mal y jetzt kommt der gleiche Trick bei Substitution bringen sie und das ist sozusagen die Hauptaufgabe bringen sie alles was y enthält auf die eine Seite alles was zählt erhält auf die andere und zwar rigoros her das gibt dann y der sind =ist gleich DDT der einst durch y wird also YY Ästhetik das macht natürlich offensichtlich keinen Sinn aber das macht nichts weil den kann man schnell den Sinn geben da bis jetzt am alle kommt und wie man auf beiden Seiten Integral haben drüber und schon ist wieder alles gut ja dann mach das und das dazwischen da denkt man bei der Handhabung des Schweigens drüber und alles ist gut ja tja was jetzt hier steht ist aber mit jedem vergleicht auch nix anderes da das ist nämlich die die gerade das Umgekehrte ja ich aber das gute Iranistik Formen vergessen und sich einfach sagen ich nehme meine Gleichung schreibt das strich 1. 10 und danach die CD uneinbringlich allen y auf die als mit sie auf die an und dann schnell in die Daten darüber nicht wieder so und jetzt muss man nur noch müssen er von y Stammfunktion von viereinhalb C-Quadrat sie sehen ich habe es auch bei den Dingen keine Integrations glänzend angeschrieben ich hab anfangs wird und im Griff das lösen wir damit dass wir die Vibrations konstanten mitnehmen im Prinzip also die auf beiden Seiten Integrations Konstante dann sagt ein bei den schreiben Sie können sie auch zu einer zusammen so denn wir sind ist alles Arbeit getan soll und auflösen ich die ganzen und Phontäne und man auflösen es genau die gleiche Rechnung wieder drüben y von ist in hoch Inhalte Quadra plus 10 und mit dem anfangs wird wir die Konstante ein es soll sein 1 gleich y von 0 also hier 0 Einsätzen gerufen 0 +plus C also eher auf CD da sieht man also C gleich 0 und damit haben wir von C bis e Wochen halt zu ist die Wahrheit über wahre weiter so rechnet man das an der Stelle dann bewiesen jedes Glamour so rechnen dass alle das ist völlig ok was nicht ok ist die Rechnung ohne Probe dabei das ist die schwarze Meer das es keine weiß sondern das ist funktioniert wir aber also das eine Probe machen muss man sich schon daran es gibt dem knallharten Grund wenn sie die sich mehr Rechnung machen prüfen Sie an keiner Stelle auch irgendwie nach die Versetzung hier gilt die Rechnungen wenn man hört dass der Rechner ist es egal ob das dann 0 ist oder nicht von allein deswegen ist die mit Vorsicht zu genießen ich sage auch dazu es gibt Fälle wo das H 0 ist und deren offen zu mir wir dennoch noch sollen sie denn sie sogar in seine Lösung aus aber nahm ein da muss man halt vorsichtig deswegen wenn Sie die Methode sie unsere Möglichkeiten in der sie werden jedes Mal den Satz an damit wir Sie Vorsitzender als es gut wenn sie meine Miete oder wenn sie mit oder normale Probe Probe geht meistens schnell Probe ist trotz der auch deswegen gut weil man dann sicher ist man sich nicht verrechnet insofern bietet sich die Probe bei die Differenzialgleichung E an 99 Prozent des Problems liefern Halder ist die die zu kriegen wie blöd Lösung aus sie ein Prozent ist der effizientesten ist er aber bei den Methodisten Probe einfach Pflicht bei man keine Voraussetzung abgeprüft hat und auch keine logisch stringente Rechnung 8. so wie er
jetzt würd ich gern die 2. Hälfte einsteigen und nach dem die mir Rechnung so gut geklappt hat mit dem 1. zugegebenermaßen einfachsten nicht banal Beispiel die ein etwas komplizierteres an also Teil des von dem Beispiel auch wieder getrennte veränderliche y spricht von dir ist eine Funktion von zählen Cosinus von Thema Funktion von Glück sie noch einmal ihr Hudson und Phontänen wo und anfangs werden möchte ich für diese Gleichung erstmal beliebig lassen er überhaupt diese Gleichung wunderbar auf ganz R definieren kann innere Funktion vorstellbares Kosinus der Funktion vor so und mit neuen mit dem gerade gewonnenen LAN also an dieses Problem ich hab ich mir Rechnung von dem andern als Blaupause noch stehen lassen was müssen wir tun während die gleichen von getrennten veränderlichen der Ärzte noch 9 nach D es Cosinus von CD mal ich y so die übliche Sortiererei alles mit y auf die eine Seite alles mit auf die andere gibt er auch -minus y d y =ist gleich Kosovos von CD gehen und damit das Licht schneller wieder anmachen kann auch gleich hier denn die Granaten waren sollen es mal 2 integrale lösen die aber weil es natürlich so ist die Aufgabe gemacht so sind dass man sie ganz gut im Griff haben Integral von ihren y ist -minus offen -minus y Integral vom Cosinus ist der Siemens Fluss integer Integral Konstante die brauchen um die Anfangsbedingung einzustellen so wir machen wir das n mir ist es auflösen ja das geht jetzt -minus Schlacht also auch -minus y ist -minus dass den also der log -minus y ist der über Rhythmus von -minus Sinus von Terminus CL und selbst noch dass man es auf die andere Seite schaufeln also kriegen wir als Lösung y von T ist -minus verlor Rhythmus von minus Venus von C +plus Konstante 10 jetzt den anfangs Wert einstellen der war aber an der Stelle 0 soll sein y von 0 was passiert wenn wir da nun einsetzen gibt der Sinus 0 bleibt übrig -minus allen warum die die 4 +plus nicht so wirklich klar -minus allen von minus 10 n -minus allen von -minus C also ist allen von -minus C gleich -minus .punkt das heißt wir hoch -minus nein -minus gleich EOF -minus an bzw. C gleich -minus e hoch minus 8 SAD haben wir also unseren Lösungs Kandidaten kündigte jetzt an der Stelle immer ob der schwarze Messe weiter oben nur Lösungs Kandidat y Phontäne ist man aus den Rhythmus von -minus Linus von Vieh -minus er hoch ne +plus e hoch minus 8 drohte wenn ich sagt sie müssen die machen dann komm ich ja wahrscheinlich auch nicht umhin immer zu machen ab dem übernimmt ab dem nächsten weist wenn ich dann immer sagen sie wissen wo eine Probe schicken ihr Erbe einmal will ich es hier sein also Probe das müssen wir tun dann müssen dieses y da ableiten ob wenn wir das tun gut klingt erstmal das Minuszeichen der Log abgeleitet geht 1 durch das was drin steht -minus von t +plus e auf minus 1 weil die innere Ableitung Ableitung vom -minus Sinus ist der -minus Cosinus also weiter oben bloß Cosinus stehen heise Cosinus von T durch -minus Sinus C +plus auch -minus A oder das waren weniger -minus schreiben muss Cosinus von Friedrich I. auch -minus da -minus Sinus und will dass wir die linke Seite man ein Abgleich mit der rechten Seite also was ist kostenlos von Thema die Rücksendung von sie wo y von er auch -minus der muss es einst durch das was da drinsteht also das ist gut und muss von geteilt durch das was da drinsteht also -minus Sinus von +plus E ob man das das ist das von der Truppe das
man anfangs Grace gebaut das ist die Rechnung von hier also wenn sie jetzt schon von 0 einsetzen kriegen Sie hier Sinus 0 y von 0 ist man Elend von 0 also von ihr auf minus 1 und das sieht so furchtbar kompliziert außer bei allen von ist Index und eben -minus -minus 1 8. gut ,komma also tatsächlich das Ding gelöst und dann zum nächsten Thema übergehen wenn ich diese Lösung einfach mal interessant wer sie anzugucken was ist die Lösung mal y von T -minus allen von der er auch -minus 1 -minus sie von 10 ist Funktion für welche Ziele sie den definiert die drängenden Problemen wenn es EU -minus eine sehr kleine Zahl wenn jungen es eine sehr kleine Zahl ist Monatslöhne dann ist die Zahl -minus Sinus ziemlich schnell negativ und mit weniger den Sandhügel Logo muss es wussten wir also hier jetzt den Problemen das ist kein neues Problem 10 alt 1 Stunde kann uns schon bekannt ist Thema in neuer Verkleidung aber es ist gut sich da ja auch noch mal klar zu machen diese Lösung existiert nur wenn das Argument vom Rhythmus positiv ist also wenn er auch -minus aber -minus von The größer 0 ist das heißt wie auch -minus aber größer als sinnlos fertig was bedeutet dass das hab ich jetzt noch mal am Rechner mitgebracht in der Gleichung ich bin jetzt allein da also ich hab die gleichen mir noch hier weil jetzt leider den Wert einer Tafel ist und Landstrich von zählt ist kostenlos von fällig Illouz 9 von 10 kann man gut vor üblichen Fehlschlüssen warnen dort und das ist auch ein schönes 1. Beispiele für Dinge die oft auftreten ja und die man ist im Auge haben sollte so hieß die Lösung von dieser Gleichung der werde 1. Lösung geplaudert
von dieser gleichen da oben 10. Anfangswertproblem Apps ,komma ist er und normal Cosinus mit anfangs mit minus 1 wenn der anfangs -minus 1 ist also das 1 -minus 1 nahm sie EU 1 es stehen es immer größer als sinnlos alles gut war entsprechend sieht die Lösung auch aus das wunderbare globale Lösung auf ganz R definiert so und jetzt kann ja mal ein denn dafür ist es gut dass anschauen was passiert wenn wir uns dem kritischen Wert für eine wenn annähern was ist der kritische Wert für das Problem fängt dann an wenn die auch -minus an wenn Ihr mir das einst nur weil dann kann der Sinus Missbrauch kann also das entscheidende Stelle sage ich 1 was passiert wenn wir gegen gleich 1 gehen ja ich will aber nicht ins Netz ich weiß so aus dass sie er gegen er gleich 1 gegen China mal jeden er Near gleich 0 war gleich 0 ich -minus 1 1 a gleich 0 ist in Teilen begrenzt dann sehen Sie dass diese sie hat erhalten hier immer noch solle oszillierende Funktion aber die wird langsam wieder minus 0 Komma 2 -minus 0 , 1 und bei 0 passiert die Katastrophen oder wie auch immer kommt drauf an was man jetzt gratuliert aber wenn sie sind an der Stelle kriegen Sie Wohlstandes total logisch wenn nun ist es an den Stellen wo der Sinus 1 wird steht Logo Rhythmus von 0 mit dem sei da und man es jetzt noch größer drehen dann wird die katastrophalen mal was ja also wir zum Beispiel mal 6 mal ist das was hier extrem geht er gleich 2 wer die sehen die Lösung tut genau das was sie soll y von 0 ist 2 und wenn Sie jetzt denken weil das an was wir Probleme löst das heißt ich weiß dass ich mein System sich für die nächsten 20 Jahre verhält dann ist das ein bisschen der Fehleinschätzung weil sie wissen wie lange sich das Team für die nächsten 200 Zug der 200 Millisekunden verhält und gemacht aber versehentlich so existiert der Satz stimmt ja es gibt offenes Intervall Bhumibol wohl in den das den eindeutige Lösung hat immer gesagt dass Intervall das groß was hier passiert ist das gleiche wie schon mal gesprochen wenn Sie y von 0 gleich 2 voraussetzen dann haben Sie in den Funktionen der Ableitung stehen die Ableitung ist dann im Großen Haus an der Stelle 0 im wesentlichen 1 für 1 malig Fahrrad ja werden und es dann etwa Rat das Dinge ziemlich darauf mit kommt wieder der Resonanzeffekte das denn sie mich darauf den für das y größer wir sind wieder größere strich größer und zwar diesmal nicht Netz mag Fahrrades und exponentiell und was beim nächsten C-Max und was sie können sich vorstellen bleibt die spannende Frage warum wir sie das für kleine aber nicht für kleine aber ist zum einen es das y am Anfang negativ ist dann steht Leo -minus y dass dämpft sogar jene Themenstränge sie vorstellen das y gleich 0 die Grenze ist insofern ganz natürliches Falten ist die gleichen anguckt ich will bald vor dem ich will an dem Beispiel zeigen dass ein und dieselbe Gleichung wieder Biblis letzte meine ganz harmlose gleich auf ganz R definiert alles gut für manche Anfangswerte total brav sein kann wunderbare globale Lösung liefern und für andere Anfangswerte durchdringen kann also nur für den anfangs seines Kurt unter den anfangs ab ist die Lösung ziemlich gleich weg er also es kann einfach am Anfang sehr liegen sie sehen die sich kritisch gleich 0 es natürlich für dieses Problem nie ganz Krack touristische Größe eine wichtige Stelle das ist je nachdem man sich zum folgt mir das ist bei der nicht der Fall da man stelle sich so einiges Verhalten vor der Gleichung die die Biegung von Start oder sowas modelliert das Unwahrheiten ganz vernünftig SGS gut Unternehmers Krieg und solche Situationen werden sich dann über solche Singularität eine Lösung ab gut das zu dem Beispiel der auf wie üblich finden Sie das Ding auf der üblichen Seite wenn sie mal
selber ein bisschen dran rum spielen wollen er ich will
noch ein bisschen sagen wir mal ein kurzen Einblick geben n ja was worüber man jetzt 2 Wochen oder 3 Wochen reden könnte was sich aber nicht so wahnsinnig sinnvoll halte ich zeig Ihnen ein Beispiel jetzt mit dieser Methode der getreten veränderlichen zum 1. Mal eine Sorte von Differentialgleichungen die explizit lösen können wenn man das hat ist es nur Kristallisationspunkt um weiterzumachen und man stellt fest dass es den ganzen Zoo von Anne Van tialgleichung gibt die nicht so wirklich von getrennten veränderlichen sehen aber sozusagen vereist und wie man durch geschickte Substitution auf getrennte wenige zurück es spielen kann unter kann man jetzt eine ganze Industrie aufziehen das war ein ganz wichtiges Thema sei nur noch vor 50 oder 80 Jahren alles die einzige Methode der DEL zu lösen Bestand mehr sicher den Zusätzen Papier und Bleistift das den zu lösen mittlerweile ist das nicht mehr so wichtig da man es nicht ändern gehen Bleistift dem man den nächsten Rechner und des das Ding und es lösen ja dann weiß man zumindest bis ungefähr aussieht und deswegen wenn ich in dieser Vorlesung nicht mehr wie man das vielleicht noch vor 50 oder 80 Jahren getan hat in einer langen Zoo und eine lange Liste von genial Rechentricks beibringen mit dem man die Dinge in die auf Papier lösen kann ja das haben unsere Großeltern und Urgroßeltern noch gelernt und das braucht man einfach nicht mehr n dementsprechend ist spannend die spannendere Frage bei welchen Gleichung hab ich ne Chance Lösung zu kriegen und 2. lediglich mehr kümmern ich gesagt haben dass es diese ganzen Artrock mit wurden und diese Tricks geht und ich zeigen einfach ein damit Sie sehen wie so was funktioniert und das sind die so genannten homogenen Differentialgleichungen und ich will dieses Vorbemerkung vorweg schicken damit sie nicht denken Bauch Modine liefern sagen sowas total Wichtiges morgen Differenzialgleichung sind hier einfach ein Beispiel für eine Differenzialgleichung die nicht vom getreten veränderlichen ist aber sich darauf zurück spielen lässt was es nur morgen Differenzialgleichung zielende skalaren Differenzialgleichung 1. Ordnung in der Form dass die rechte Seite jetzt nicht multiplikativ getrennt von Tieren y abhängt sondern im Prinzip nur von einer Variablen aber diese eine variables belegt mit Y von The durchzieht also der rechten Seite tauchen nutzen und sie auf aber so war das sie die immer zusammen können Päckchen y durchzieht das ist keine von getrennten verinnerlichen man sich gerne schon mal 2 spielen schreiben dass wir nachher rechnen werden dass Sie sehen dass damit getrennten veränderlichen nix zu holen ist typisches Beispiel von der homogen Differenzialgleichung der folgendes y strich ist y von The durch T -minus C-Quadrat durch y von C-Quadrat und sie sind der mal eingeladen kann sie drauf diesen vom versuchen das so umzuformen dass sich die was Thema was y wird schwierig da ist es nicht aber es ist homogen in dem Sinne dass sie eben y 16 Städten hier steht 1 durch y richtig verpackt alle gut und wenn man so ne Rowena hat dann gibt es ein und immer dieselbe Substitution die den Pfad zum Glück zahlt und zwar sogar ne relativ nahe liegende substituieren Sio von C gleich y von The durchzieht was passiert wenn wir das machen was ist dann strich muss man das Ding da differenzieren man sah der Quotient nach der Produktregel nicht nass nach der Produktregel y Strich von für richtige ab +plus y mal die Ableitung von einst durch die die von einst -minus 1 richtig war also -minus y von The recht C-Quadrat so jetzt wissen wir was es was y strich mal y soll lösen das ist der Form y von den ab .punkt geteilt durch 10 ab man aus und was steht hier steht y von The durch C-Quadrat das hab ich mal als Thema LCG dann steht hier von C geteilt durch die da y durch T 1 von den beiden Tees kommt zudem y machten also was hier steht ist es von von der -minus UV und durchstehen er vom Hof und hierdurch Ziel -minus von tätig Tor und die ist jetzt vom getrennten veränderlichen weil das es einst durch den Magen er von von T -minus ruft die es einst durch die und ASF er von o -minus so und schon haben Sie eine vom getreten fällig man das System funktioniert bei Dynamo gegen die wie immer am Netz ja allgemein durchgerechnet und das ist einfach ein Beispiel von so Substitution die nur funktioniert wenn sie mal in die Verlegenheit kommen solle Subsumtion zu brauchen dann da sie eine entsprechende Tabelle Werk und entsprechend Bücher zu kucken gibts noch reihenweise machen sich auch einen Haufen Übungsblatt aber das als Beispiel hier in der Vorlesung das so was geht so rechnen was einmal einem Beispiel da hinten durch also ich nehme diese Differenzialgleichung gehen wir noch anfangs wird y von 1 ist 2 unter verwenden eine Substitution im Prinzip kann man natürlich sich jetzt hier die Formel merken meine übliche Vorgehen ist das halt jedes Mal schnell zu rechnen weil so vieles ist auch nie der Vorteil ist muss für die vorne nicht merken sondern die Substitution und die Substitutionsfreiheit einer geradezu an also wenn man die Gleichung und substituieren gleich y durch durchziehen dann kriegen wir Oestrich das müssen wir hier wieder nach der Prozent Modeprodukt wegen dieses mögen ableiten kann y Strich von The durch durchgehen -minus y von The durchzieht dran nur jetzt wissen aber Sims Landstriches steht da oben also setzen wir ein es gibt y von Ziel durchziehen getreu durchziehen da Moment -minus C-Quadrat durch y von The Quadrat das ganze Ding geteilt durch die man aus und da komme schon wieder sehr zum und vom Ziel stehen besonders denn viele Städte wovon sie -minus und Quadrat von Tilly gezahlt durchziehe -minus U Phontäne mehr als ist Beispiel so gemacht dass die rechte Seite nicht zu kompliziert wird mir fällt genau der von The weg und wir haben die Differenzialgleichung strich ist -minus Quadrat von The durch die und dies von getrennten verändern nicht sollen ja hier was anderes Honigwein nicht weinen ja es ist ein zu Jura wo da ja und nein danke wir ja ja ja ja und dann ist es hier auch und vor zur also -minus 1 durch Thema 1 durch UK Fahrer ja es kann auf jeden Fall wieder die Getreidefelder Lichtmaschine anhören also was müssen wir tun die die DDR von getreten veränderlichen nur so viel da ist wo nach dem C bis gleich -minus 1 durch T 1 durch und Quadrate geht Quadrat DU ist -minus 1 durchziehen die stehen und schnell die die Granaten gewöhnen die Stammfunktion von Quadrat kriegen hoffentlich sind es ein Drittel hoch 3 und das den da es wieder nur so was nicht dann vom so sind doch zur anderen aus also -minus allen der +plus Konstante wird dass man auflösen also so von zählt dreimal das und eine 3. Wurzel 3. Wurzel aus -minus dreimal Elend sehen +plus 3 Konstante zu dürfen sich jetzt gern wundern der sich hier so ein bisschen aus der Neuwahl des bürgerlichen derweil als 1. das Stammfunktion von 1 ct ist natürlich allen vom Betrag den und nicht allen von T zweitens warum welche die Wurzelziehen ist mir alles egal muss in Ruhe machen ja zwar jetzt noch den anfangs wild einstellen bei wobei wir können doch erst nur noch y damit ist er nur oben ist werden ist oberstes y darüber besteht y ist 10 Mal also y von CD bis zehnmal 3. Wurzel aus -minus 3 Ellen Key +plus 13 so anfangs wert ab da haben mir gesagt was 2 Sol y von einst sein sehen Sie auch warum ich den anfangs 1 vorgeschrieben Arbeit einen Rhythmus so freundlich wegfällt also dass es einmal 3. Wurzel aus -minus 3 0 aus 3 mal 10 also 8 ist 13 also CS 8 3. also so unser Kandidat y von T gleich 3. Wurzel aus -minus 3 Ellen von T +plus 3 Mal die konstante also plus 8 auf zur Probe lass ich es diesmal tatsächlich hin funktioniert das der nicht vergessen genau mal sonst und mir die Probe nicht überlasse ich Ihnen aber die tut zur also sehen zu sein die die Wahl sei nicht so kompliziert werden warum muss immer noch die beiden die gerade lösen sind getrennte veränderliche ein gute Spielwiese um wirklich auch mal die seinen konkret zu lösen und da könne man jetzt wie gesagt reihenweise ähnliche Tricks an hängen das ist für mich nicht der Hauptfokus der Vorlesung sollen was ich in zeigen will ist das gewöhnliche Differenzialgleichung insofern schöne Objekte sind als sie eine sehr fertige und in sich ja schöne Theorie Lösungs Theorie haben also die Frage wann gibt es Lösungen Wahnsinn Lösungen eindeutig die kann man für die gewöhnliche wenn tialgleichung erstaunlich präzise erstaunlich weit Beamten und das ist jetzt das Thema der nächsten 2 3 Kapitel und die Siegerbilder dass es so sein das Herz der Vorlesung gesetzter muss ein bisschen denn eingeführt in die Thematik und jetzt kommen die 2 3 ganz entscheidende zentralen setze diese Vorlesung in denen es drum geht wie sehe ich einem Anfangswertproblem oder von tialgleichung an ob das Ding Lösung hat ob die Lösung eindeutig ist vielleicht unter Umständen auch sie globales wie lang sie existiert solche Dinge und jeder kommt muss man immer haben das solche schön Artrock Lösungsverfahren Wunde vernetzen aber im realen Leben nutzlos weil wenn sie wirklich ne Anwendungs dgl kriegen von Ingenieur dann ist die vielleicht sogar von getrennten veränderlichem aber bei dem es fast alle 10 Jahre diesen vom getreten werden oder zumindest das sich auch zurückspielen aber die Funktion und die Wärterin auf Dornen so kompliziert dass sie das eh nur numerisch lösen kann und ich aber die deswegen ist darum sage ich heutzutage nicht mehr sinnvoll sich tun damit beschäftigen wieder vom Papier lösen kann sondern es ist eher sinnvoll zu wissen wann kann ich denn Lösung erwarten was wird für diese Lösung gelten weil nur dann kann ich die Numerik entsprechend starten nur dann gar nicht dem Numerik entsprechend programmieren nur dann kann ich ein Ergebnis der Numerik richtig einordnen und zum Beispiel sehen die Unfug produziert ja und nur dann kann ich die numerischen Verfahren theoretisch unterfüttern zur und wir werden uns diese Fragen wann Lösung und wann die eindeutig in diesen 2 Schritte nähern das 1. Kapitel 4 ist das Kapitel Existenz von Lösungen der geht es nur um die Frage wie sehr ich wie sehr ich 1 der DGL an ob sie Lösungen hat und der zentrale Satz dieses Abschnittes einer von den beiden Hauptsätzen in der Existenz und Eindeutigkeit Theorie ist der Satz von Trianon im Prinzip ist dieses Kapitel dazu da diesen Satz zu beweisen wo dann wir haben noch ein bisschen da dran zu kommentieren aber hauptsächlich geht es drum diesen Satz zu beweisen und das werden wir wenn es alles gut läuft am Ende der nächsten Vorlesung geschafft haben also vom geht es geht um anfangs mehr Probleme als der Haupt Darsteller dieses Kapitels es unser ewiges Anfangswertproblem Apps Landstrich Wanted ist er von t und y von C der Zelle und von 10 0 ist y 0 das ganze wiedergegeben fertig aus die werden in der Wahlen das Ding wollen wir lösen keine getrennten veränderlichen Mehr allgemeine rechte Seite 11 das heißt worum es jetzt geht ist keine explizite Lösung zu finden soll ist die Lösbarkeit zu beweisen und es stellt sich heraus dass das erstaunlich oft geht und erstaunlich geringe Voraussetzungen hat der Satz von Pianosa kurzen schlicht wenn diese Seite 11 4 und diese Funktion f 4 bestätigen ist geht in eine Lösung das ist das was womit wir uns jetzt der ganze so mindestens beschäftigen werden wenn er steht es gibt oder so wobei geht nur so wieder das übliche heißt es geben kleine Sender waren Symbole zu das auf den das Ding ist und bis wir kommen brauchen man Stapel vorarbeiten und diese Vorarbeiten 7 im Wesentlichen ein unscheinbares Lemma das will und ein Digger Satz das gleichwohl nach 1 ist jetzt natürlich der die gesagt das unscheinbare immer und ist ist sehr banal aus und wenn man es dann in am Ende der Vorlesung nochmal anschauen wenn wir feststellen dieses Lemma ist der entscheidende Dreh und Angelpunkt der Basis Stein auf den die ganze Theorie fußt weil dieses Lemma funktioniert funktioniert alles immer dieses Lemma vor die Hunde geht dann bricht die ganze Vorlesung zu sein und im Wesentlichen basiert dieses Lehmann auf dem Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung also schreiben was sehen wir haben ein System Gleichung 1. Ordnung also ich hab 2 Zahlen die und in den natürlichen Zahlen also dass das Standards setzt im Intervall in der auf dem das ganze gestellt ist ich habe eine Teilmenge des auf dem des 11 definiert ist Teilmenge von ihr Kreuz er jetzt die entscheidende Voraussetzung dem ganzen Kapitel wie gesagt es ist eine stetige Funktion wieso geht es jetzt ja ja das von der von den auch er und des stetig 10 0 y 0 der anfangs wer muss natürlich in D liegen sonst macht das alles keinen Sinn und dann sagt das Lemma kann ich meine mein Anfangswertproblem in entdeckt wie in eine äquivalente Integralgleichung umschreibt dann sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent 1. eine Funktion O das das Anfangswertproblem auf sie also mein Anfangswertproblem dann direkt über den umschreiben in die folgende Bedingung ich finde ein O auf stetig möchte bewusst nur stetig und dichtet differenzierbar für das Geld Telefon von in D für alle CES brauchen auf jeden Fall sonst kann das sogar Lösung sein und das ist ne Lösung von einer Integralgleichung von Till ist y 0 +plus Integral von T 0 bis T der von S U von ist PDS also was tut man in dem man sagt die Lösbarkeit meines Anfangswertproblem setzt sich Quellen umformulieren zu der Lösbarkeit dieser Gleichung ich muss nicht wenn ich mich stetige Lösung dieser Gleichung habe ist das automatisch nicht stetig differenzierbaren Lösungen von dir die des jeweiligen Hauptsatz wenn das diese Gleichung erfüllt denn dieses Integral von der stetigen Funktionen nichtig differenzierbar Achtung im Gegensatz zu vorher stetiger Lösungsformel für ja das ist bisschen so außer Ruf und =ist gleich noch was aus wenn es mal fertig ist schlecht weil sie brauchen es das auszuweichen ja das keine Lösungsformel ist ist einfach eine andere Darstellung der Differenzialgleichung ist mir darstellen Differenzialgleichung das Integral leicht und der Beweis ist kurz und schmerzlos und dessen Wesen oder Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung machen Äquivalenz also beide Richtungen zeigen man ohne Lösung vom AWP ist also löse ATP da naja dann so stetig das Geld für haben das gehört dazu das ohne haben aber wir problemlos gehört das es heissen müssen nun nachrechnen dass das gehen also müssen nach einen dass die Integralgleichung löst und das kommt einfach aus dem Hauptsatz nur wenn ohne mich die in die Differentialgleichungen löst dann sagt der Hauptsatz das schreiben können so von 0 +plus Integral von T 0 bis T über strich von SDS war der Hauptsatz oh stetig differenzierbar und strich von SSL von 1. und von S also so von Tilly gleich von den Unis y 0 +plus Integral von T 0 bis T der Fund so von ist es und die Rückrichtung ist ungefähr genauso aufregend was passiert wenn sie der Lösung von dem in betonte Integralgleichung haben dann 7 und 11 bei bestätigt also ist diese Abbildung die 1. stieg auf 11 von so von S auch stetig Presse Vergeltung und stetigen Funktion ist also dass der Ente Grant in der Integralgleichung wichtige Funktion das heißt das Ergebnis ist stetig differenzierbare das überhaupt sind sagt dann dass die Abbildung die das Ziel steckt auf y 0 +plus 10 0 bis die Elf von so von SDS Abriss tätig etwa sie auch im Intervall definiert CEO von Tilidin die alles ist erfüllt wenn müssen nur noch zeigen das diese Funktion hier auch Lösung ist ab also sagen wir wir haben oh ist sie eines von ihnen CEO von T in den für alle 10 wir haben von Senol setzen Sie je 10 0 1 4 0 bis 10 0 integriert ist neues y 0 und wir haben strikt von leiten Sie das denn ab und schloss 0 fällt weg Integral nach der oberen Grenze abgeleitet geht er von CEO von und alles ist gut also sehen der Beweis ist wirklich nur Hauptsatz vorbeizog Zaumzeug rückwärts und ganz banal dass wir damit kriegen ist diese Umschreibung des Art das der sagen Integralgleichung es wird sich herausstellen die Lesbarkeit von der zu zeigen kriegen wir ihn unter die beide Quellen sind aber dennoch das gelöst und so klein und schnell es sich in 7 Minuten machen lässt so absolut entscheidend ist alles was jetzt kommt weil die gesamte Lösungs Theorie steht auf diese Äquivalenz seine Stelle betont weil sonst geht das Thema unter unter wo es hat schon immer da gut so weit gefasst dass da nicht ein für die Aufmerksamkeit die wir sehen uns nächste Woche tanzen Satz vom Theater
Differential
Mathematische Größe
Punkt
Klasse <Mathematik>
Besprechung/Interview
Anfangswertproblem
Gleichungssystem
Mathematik
Auflösung <Mathematik>
Extrempunkt
Norm <Mathematik>
Differentialgleichung
Analysis
Skalarfeld
Gradient
Variable
Multiplikation
Stetigkeit
Vorlesung/Konferenz
Funktion <Mathematik>
Stellenring
Stetige Funktion
Gleichung
Integral
Lösung <Mathematik>
Skalarprodukt
Stammfunktion
Umkehrfunktion
Menge
Rangstatistik
Punkt
Momentenproblem
Differenzierbare Funktion
Anfangswertproblem
Oval
Differentialgleichung
Physikalische Theorie
Vorzeichen <Mathematik>
Stetigkeit
Kettenregel
Nullstelle
Offene Abbildung
Ableitung <Topologie>
Dimension 6
Division
Abbildung <Physik>
Eindeutigkeit
Differenzierbarkeit
Stetige Funktion
Gleichung
Integral
Null
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Umkehrfunktion
Menge
Parametersystem
Deutsche Mathematik Olympiade
Punkt
Momentenproblem
Welle
Anfangswertproblem
Extrempunkt
Gleichung
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Kugel
Menge
Stetigkeit
Keim <Mathematik>
Offene Abbildung
Vorlesung/Konferenz
Substitution
Explosionswelle
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Große Vereinheitlichung
Normale
Gleichung
Differentialgleichung
Erschütterung
Desintegration <Mathematik>
Integral
Konstante
Lösung <Mathematik>
Quadrat
Stammfunktion
Umkehrfunktion
Anfangsbedingung
Rechenbuch
Homogenes Polynom
Rundung
Vorlesung/Konferenz
Substitution
Inhalt <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Anfangswertproblem
Gleichung
Biegung
Zahl
Index
Singularität <Mathematik>
Rechenbuch
Offene Abbildung
Globale Lösung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Quelle <Physik>
Darstellung <Mathematik>
Momentenproblem
Natürliche Zahl
Anfangswertproblem
Differentialgleichung
Skalarfeld
Computeranimation
Richtung
Quadrat
Differential
Variable
Numerisches Verfahren
Äquivalenz
Integralrechnung
Vorlesung/Konferenz
Substitution
Integralgleichung
Ableitung <Topologie>
Numerische Mathematik
Tabelle
Quotient
Eindeutigkeit
Abbildung <Physik>
Supremum <Mathematik>
Homogene Differentialgleichung
Aussage <Mathematik>
Stetige Funktion
Gleichung
Zahl
Gewöhnliche Differentialgleichung
Integral
Objekt <Kategorie>
Konstante
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Stammfunktion
Betrag <Mathematik>
Rechenbuch
Differentialgleichungssystem
Standardabweichung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 3: Trennung der Variablen (Teil 2)
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 03
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30767
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2014
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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