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Vorlesung 15: Ausblick: Partielle Differentialgleichungen

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oder mal herzlich willkommen zum letzten Durchgang wenn Sie die verbliebenen Seiten Skripte ist gehen wenn sie merken dass reicht nur in homöopathischen Dosen für die heutige Vorlesung das ist ganz bewusst so und eigentlich wollt ich ein bisschen mehr Zeit übrighaben weil ich möcht die Vorlesung heute natürlich nutzen dieses die letzten Seiten fertig zu machen aber dann vor allem in das Ermessen Ausblick geben und ein bisschen was über partielle Differenzialgleichung erzählen zeigen die großen biestigen Brüder der gewöhnlichen und damit auch ein Jahr dass er kann so bis noch ein Ausblick auf die nächsten ja das ist Studium sein allenfalls jährlich Rennstall Gleichung wenn sich eine Physikerin Physiker auf jeden Fall beschäftigen und die Mathematikerin und Mathematiker wenn sind nicht bei der Wahl der Vertiefung sich ganz gezielt an den vorbeimogeln auch gut aber machen wir erstmal noch das werd ich weiß nicht ihnen über die von auf Stabilität und Japaner Funktion zeigen wollte da war mein letztes Mal stecken geblieben mitten im wir Stabilität Satz das war das Theorem 10 4 und ich schreibe jetzt nur den 2. Teil an dem wir noch nicht bewiesen hatten ja vielleicht in ganz kurz also existiert eine strikte werden weil eine nicht stricken ohne Funktion hatten wir schon eine strikte auf Funktionen für die Gleichung y Strich von The also für die autonome gleichen Bezner spricht von TSR von y von T vielleicht nochmal kurz was heißt das 3. Jahr und Funktion wer was natürlich gleich brauchen das heißt 11 von 0 ist 0 und 11 von X ist recht positiv für alle x sind die die nicht gerade 0 sind also nur ist striktes lokales Minimum von der er Funktion und zweitens der Ausdruck gerade jenen von 11 von x-mal F von X es Strickkleider 0 für alle XMG ohne nur an der Stelle neu ist der Grad 4 0 bei sich trägt das lokales Minimum ist und für die Strecke die App oder Funktion solle überall anders Strickkleider 0 sein und die Aussage vom wir und auf Stabilität setzt ist das in diesem Fall das nicht richtig aber noch existiert dann ist die Nulllösung also Untote stabil letztes Mal haben wir gezeigt werden 7 wie Japaner Funktion müssten Nulllösung stabil und jetzt kommt der Nachklapp wenn sie nicht fixiert ohne Funktion haben ist die Nulllösung sogar also tot ist wenn man sich die App Funktion als die Gesamtenergie des Systems vorstellt heißt ja .punkt Existenz noch Funktion mindestens Energieerhaltung unstrittig Funktion heißt Energie geht verloren also wird in die umgewandelten was anderes er und damit haben wir dann also was in feine der Reibung oder sowas wo dann als Untote Stabilität auftritt gut also das war zeigen sei also jetzt nicht regte der Funktion da müssen wir zeigen dann aber schon gesehen die Nulllösung ist stabil das war das was wir letzten Vorlesung gezeigt haben weil diese gestrickten der Pole Funktionen sind Denkmäler Japaner auf Funktion was uns also noch viel also tot Stabilität fehlt ist dass die Nulllösung attraktiv ist das heißt dass wir zeigen müssen ist es Delta größer 0 so dass jede Lösung denn mehr als dieses Delta an 0 startet also für die der Betrag vom anfangs viel kleiner ist als der älterer gegen die nur gegen 0 konvergiert also Limes C gegen unendlich von gleich nach zur da hatten wir uns veletzt letztes Mal schon ein Sicherheitsärzte nur nur größer 0 gewählt so dass die Kugel um Epsilon um 0 mit Radius Epsilon ganz in dem des enthalten ist es ja offen vorausgesetzt so und zu diesem Apps und es ist wirklich so bescheuert und größer 0 so zu y 0 gewählt im 1. Schritt das beweisen also wieder zum Vorlesung Schritt der Vorlesung hatten wir Stabilität gezeigt und sie jedem Epsilon Delta gefunden so dass wenn sie dar mehr dran Staaten das dem stabil ist zu diesem 1. 0 will ich jetzt das zu geringe Delta aus dem 1. Schritt zur sei also jetzt Lösungen von y Strich ist er von y die näher als dieses Delta das heißt mit von 0 im Betrag kleiner ist die als dieses der nur startet und müssen zeigen die Funktion gibt diese Lösung geht dann geben zwar nur noch 2 Dinge die aus den in der letzten Vorlesung vorgeführten Beweis der Stabilität folgen werden hier gezeigt die Nulllösung ist stabil .punkt und damals kam raus das denn Lösung wenn sie mehr als dieses Delta an startet dieses Kreis mit Radius y 0 nicht verlässt dass es genau Stabilität also es geht Phontänen betrat bis kleiner gleich y 0 für eine Zielgröße gleich 0 und das haben wir auch schon mehrfach nach der das ist genau das Wesen der Japaner Funktion entlang von einer Lösung ist die der Polo Funktion monoton fallend also diese Funktion L nach und das ist entlang einer Lösung es monoton fallend auf dem Intervall 0 das ist folgt ja dass diese Bedingung viele Japaner Funktion er damit der Alice entlang einer Lösung monoton sein so und die Attraktivität der Nulllösung zeigen wir in 2 Schritten ich bin zuerst eine zwischen Behauptung beweisen die das Problem fast nur ist aber noch nicht ganz was wir zeigen müssen dass der Limes viertägigen endlich auf und ist 0 und was ich jetzt sage ist zumindest mal es gibt eine Folge von Zeitpunkten TN wie gegen unendlich konvergiert so dass von der von TN gegen 0 geht und das heißt noch nicht gegeben ist wo von diesen wohl aber es gibt zumindest ne Folge von Zeitungen gegen unendlich geht für das auf und gegen 0 das ist die zwischen auch also es gibt der Folge TN in der positiven reellen Zahlen die bestimmt die wohl endlich die wir dir also den SCN ende unendliches unendlich und so das wenn ich jetzt die The entnehmen und so einsetzte diese Folge und von die konvergiert gehen die Lösung nähert sich also der 0 auf jeden Fall auf einem diskreten Zeitpunkten an so also das ist sozusagen das ist natürlich noch nicht der volle ist aber das ist der wesentliche Schritt Beweis bereisen also diese zwischen Behauptungen und die behaupten der Weisenrat her Widerspruch mit dem an dass wir nichts was heißt das dass es nicht so sei es würde Folge gibt es nicht das heißt der Nullpunkt ist keine neue fungspunkt des Orbits gelöst nur also wenn das nicht so ist Name das ist falsch dann ist der Nullpunkt kein Heu fungspunkt ok woll fungspunkt von der Menge von der Trajektorie Lösung also der Menge aller Ruf und wie mit viel größer wovon tätig Ursel nur diese Menge das ist sind die Punkte durch die die Lösung sich bewegt 9 Bände man so Folge gäbe das halt dass die Existenz einer Folge heißt immer auch der Nullpunkt essen Häufung von dieser Mehr
Annahme ist ja nicht also da dieser keine Reue Songs .punkt es kann nur Songs .punkt S dann muss es ein Zeitpunkt ab dem sich die Lösung von dem Nullpunkt fernhält kann alles muss dann ein Zeitpunkt Großzeh geben und einen Sicherheitsabstand R denn will ich mal kleiner ist y nur lobe so dass ab diesem Zeitpunkt Großzehe die Lösung Strick größer bleibt als er also im betreibt die größer gleich als er mir nur dass die groß genug macht und wenn es nicht so wäre dann könnten sie wieder so ne Folge auswählen indem sie als einzig können Sie für jedes wie den folgen den Zeitpunkt finden muss sie kleiner sind wir haben sie Erfolg so ich hatte schon gesagt ich letztes Mal gesagt in diesem ja wohl noch beweist tauchen viele viele Kompaktheit Argumente auf es kommt das nächste wenn der mit wie den kompakten Kreis sehen die Menge aller x in die oder wenn sie gleich X Mrd so das er kleiner gleich Betrag X kleiner gleich y und diesen alle automatischen des weil die Kugeln Reps und 0 mit 3 des entsandt nur in die müssen Kreisring innere Radius r äußerer des y 0 haben an beiden Seiten abgeschlossen gewählt also in kompakter Kreis der Funktion Eli Apollo Funktion bestätigt also in welches Argument stetige Funktion auf kompakte Menge dann können Sie darauf das Maximum angucken also das Maximum Lexika von er jetzt nehmen wir da Dante dann ich L selbst sondern diese Bildung gerade und 11 von X mal F von X das auch nicht jede Funktion weil etwas rechte Seite der Gleichung steht ich es uns allen diesen C 1 also es kann L auch stetig damit das stetige Funktion haben Kontakte um das Max und wird angenommen und weil diese das kompakte mir echt von 0 weg bleibt und -minus ab Funktion haben es geht die Voraussetzung einen ist dieses Maximum hier auch strikt ne kann so da geht also die Voraussetzung eines strikten nur Funktion haben das dieses Achtung des Investition negative Zahl dieses das Maximum dieser tradierten von Elmar F das ist er existiert tritt ab so es wenn wir uns sehen viel größer als großzügiger dann wissen wir unsere Lösung O ist für alle großen Zeh immer größer als er außerdem wissen wir unsere Lösung ist für alle 10 Mark Delegationen also für alle 10 größer ist groß dies unsere Lösung Riesenkrach mir also gut dass wir sie aber es komme nicht aber nur sind hier größer T näher und schauen uns die Funktion L nach Uran und werden auf die den Mittelwert Satz also der Mittelwert Satz für nach ich werde jetzt mit mit Taro irgendwo zwischen großen und kleinen zählen so dass die übliche Formel für den Mitteleinsatz gilt also n und ich werde ja anwenden auf nach also 11 von von kleinen Seen -minus 11 und rufen groß ist die Ableitung von allen nach ein gesetzlich den auch mal klein finden das gut wir klein Thémines groß die damit das Team ist viel positiv ist das ist einfach mit der Zeit auf nach angesehen sind wir zwischen stellt apropos an der Stelle einen Missgriff Kurden steht dann ist was anderes das liegt daran dass das was uns Krebs die kompletter Unfug ist weiß wie wir das da reingeschrieben für völlig schleierhaft er auf der auf der Warteliste gibt es auf jeden Fall die neue Version und ich werd auch jetzt nächste Woche wenig er nennt sie müsste um es nochmal alle Rathaus Skript einbauen das dem mobiler also ab jetzt weichlich vom Skript ab aus gutem Grunde es ist es nicht so genau durch so gut jetzt den Mehr allen hier ein bisschen Kosmetik machen und ein bisschen aus welchen ihr dieses noch kann nach Kettenregel differenzieren also das System -minus Trusted Rusty mal der gerade in von El von von auch mal strich von Taro und strich von Ta-us aber weil eine Lösung ist es vom von Tau also Themen Star tickt Thémines Kurs des mal gerade hier in 11 und rufe und schau mal eher von von Tau so jetzt müssen wir das Wissen einsetzen das wir in dieser Menge K liegen mit unserer Lösung nur das Tau ist größer als das große D als nach zwischen Mittelwert Satz zwischen großen und kleinen also wissen wir das unsere gut Hautgout von Tauss strikt größer ist als er das ist es gerade schon gesagt er sobald wir größer sind als groß Thesen viel größer als er andererseits ist die Lösung immer kleiner gleich y 0 also so von Tharau in K und wenn von Town K ist dann ist das hier eine negative Zahl die kleiner als das ist gleich und eines kleinen so und jetzt muss man sich nur auf der Zunge zergehen lassen was steht scheinbar so mein also damit haben bei 11 von von Till -minus 11 vom großzügige ist kleiner gleich C -minus 10 und ist negativ es lassen Sie mal bei dieser Richtlinie für jedes kleine die nur irgendwie größer als großzügig aber geht es da die größer groß die ist gut ist lassen Sie mal Client T auf der rechten Seite die unendlich sausen was passiert dann dann geht das hier gegenüber Sonnenlicht wenn es negativ ist fix Dennis THE wird groß wir so was heißt das jetzt groß wie Sex das ist eine Zahl wenn der Ausdruck der für großen Zeh immer kleiner wird dann wird er irgendwann negativ also existiert im The Stern größer als 10 so dass 11 von von Teelichtern kleiner als 0 ne so tief kann unsere Japaner Funktion nicht frei also dass es ein Widerspruch konnte also haben zwischen Behauptung mit können Sie doch sagen das ist mir so unterschiedlich natürlich haben hin hier wird auch jetzt das geht damit sehr wenige 0 was wir jetzt noch sicherstellen müssen was nicht passiert sozial was jetzt noch theoretisch sein können dass unsere Losung sowas macht die 1. Runde und es könnte unsere Lösung so fliegen ja der näherte sich hier zwar in einer bestimmten Folge von Zeitungen der 0 an Flickr wird zwischen würde weg das müssen wir noch verbieten 5 zur wie kriegen wir sie dazu dass sie das nicht tut also jetzt machen wir uns und das vom Beweis es war man seinen echten Lebens ist naseweise zeigen dass die wenigen endlich und von Sydney in vestehen endlich auf und ist nur bisher ordentlicher Limes Beweis an 2 E 10 und größer 0 0 also nimm uns selbst und das man
betrachten eine kompakte Menge zu diesem Erbsen und schauen uns Menge KY an das in dem Fall die XRD die zwischen den Betrag zwischen Apps erlauben y 0 liegt also gut also gut also gut da also ich brauche ein kleiner gleich y und zur also alle der XRD die betragsmäßig zwischen Ärzten und Ärzten und so dass es wieder die kompakte Mengen auf der ISS L ja stetig diesmal wirklich L also von diesmal immer das Minimum gen Epsilon des Winkels kleines M Minimum X in keiner zu lauern von 11 von X das existiert weil ich die gesagt der kompakten Menge außerdem DSL außerhalb von 0 immer strikt positiv also dass auch dieses Minimum ;strichpunkt die immer das gleiche Argument zart jetzt werfen wir die zwischen Behauptung ins ins Spiel zwischen Art und sagt uns die Lösung komme geht vielleicht noch nicht gegen 0 aber sie es gibt zumindest Folge von TNS die nur beliebig nahe kommen insbesondere muss Ruf und allen aber irgendwann und galt dieser Schranken liegen weil die Schranke strikt positiv also die zwischen Behauptungen liefert es geht n 0 aus ändern Index in 0 von unserer Folge zählen so das Telefon von TM 0 5 kleiner wird als er mir 10 Uhr irgendwann muss unsere Lösung meiner dran das ist das was wir hier gezeigt haben irgendwann in mal dran ja es verstehe ich auch die haben Sie im Gesicht das ist Nemo verstehen n so also wir haben jetzt gezeigt in der zwischen Behauptung zeigen wir unseren Lösung kann zwar vielleicht sind drin wegfliegen aber unterwegs bekommt sie mal beliebig nahe der 0 und das Argument ist jetzt das Argument hier ist jetzt das Finger Argument des Fliegenfänger Argument das sagt wenn sie einmal nah genug da ist dann haben was und nahe genug heißt kleiner sendet warum diese Form Funktion erinnert wo ist nicht hat ein paar schöne Eigenschaften und eine entscheiden nicht die da oben in Davos monoton fallend an der Stelle zählen und ist kleiner als im y und weil er nach oben und Unfällen ist es nicht nur an dieser Stelle kleiner als NY sondern ab dann immer also 11 von von T kleiner gleich 11 von von TR 0 kleiner als im Epsilon für alle C größer gleich da muss Gefühl ist werden so fast fertig werden wird so nicht gezeigt dass das immer nah bei 0 bleibt sondern das ist vom so dass er los werde aber das heißt was wenn das 11 von von The immer kleiner ist als der letzte und dann kann und wie nie mehr in dieses KY laufen weil auf dem KY ist das 11 und ja größer wenn also daraus folgt wovon sie liegt nicht im KY und auch das für alle TE größer gleich 10 Uhr das Minimum auf diese Menge ist MY der Wert ist für jedes Tier kleiner 9 also die zum Strand außerdem wissen war das Ohr von CD den Betrag auf jeden Fall mal kleiner selbst und nun ist das gilt sogar für alle Zielgröße gerechnet sorgt für überlegen was noch für Alternativen es ist nicht in der y also für die großen Thesen in der Zeller es ist auch nicht unser selbst 1 0 mehr dann ist es nur klein er selbst wo soll es denn sonst hin also also ist der Betrag von von The kleiner ist y für alle C größer als die so und jetzt lohnt sich's einen weiten Schritt zurück zu gehen sitzen schon weit genug was aber jetzt aber bei den Gros die grobe Linie machen ihn geschehen 2 Epsilon größer 0 dann existierten in und aus allen er das ist noch für den existierten NSN beziehungsweise TR 0 so dass für alle t größer gleich TR 0 der Betrag kleiner sei selbst wenn man die Definition von Konvergenz für den schreiben kann weiß ich nicht aber das ist genau die Definition von Konvergenz und verletzt damit sind dir nur so dass für alle größer das Kleinert es gibt also Liebesszene gegen 0 wovon von Täter also wenn Sie ganz exakten nah jetzt nur gezeigt dass der Betrag ist und die gegen 0 geht aber ich glaub das haben sie oft genug gesehen ist trat auch Volk das die ganze Fraktion in Gang bei also das man in Japan auf Stabilität existenzieller Funktion dank der auch der 2. 0 denn er hat die Existenz einer Polo Funktion erzeugt Stabilität Existenzen der strikten Funktion erzeugt asymptotische Stabilität wenn man es genau wie beim Prinzip ihre Seele Stabilität ich schreibe in dem Instabilität Zusatzhinweis den aber nicht es gibt auch eine sprechen Japon auf Instabilität Satz das ist jeder 10. 5 also da es um ein Kriterium anhand einer so was ähnliches wie Ljapunow Funktion nur jetzt für Instabilität allen also die Grundvoraussetzungen liegt Gleichung sind dieselbe wir haben den Definitionsbereich von 11 eine offene Teilmenge die 0 enthält damit wir 0 1 stationäre Lösung haben können er von den nach Aldi es würde weder lokale Lizenzbedingungen damit wir uns damit der eindeutige Lösungen haben und wir wollen dass nur der stationäre Lösung ist also eher von 0 gleichen und jetzt gibt es den entsprechenden Satz von Voraussetzung ne sag ich mal Anti Atom noch Funktion die garantiert dass wir in Stabilität haben also gibt es eine Funktion allen wieder in C 1 von den nach er vielleicht ein letztes Mal im Skript auch in die es geht auch mit viel verschiedene ausgebessert Fehler natürlich der sein mit gleiche Bedingungen wie letztes mal 11 und muss nun sein dann Klärung von der Bedienung über den gravierenden da jetzt muss die Sache explodieren gravierend 11 von x-mal F von X muss strikt positiv sein überall in X in D außer 0 und 3. was hier noch fehlt es diese Positivität Bedingungen EL Herr wenn Sie bitte oben vergleichen er muss um 0 0 sein sonst positiv und diese aus programmieren mal 11 das heißt das Verhalten von elend lang von Lösung muss fallen sein war Stabilität das Verhalten von allen dreien Lösung des Wachsens geht Instabilität aber sie noch vieles die Bedingung Elektro positiv die brauchen Sie nicht in der allgemeinen sie waren in der Folge auf der das eher positiv ist also brauchen eine Folge XJ Teilmenge des die gegen 0 geht von beliebig kleinen Anfangswerten also J gegen unendlich XJ gleich 0 sie brauchen eine Folge von anfangs werden Sie sich denn 0 immer weiter annähern damit sich die Instabilität erzeugen können müssen sehr beliebig nahe 0
Staatsräte finden für die Lösung abhaut er so das 11 von XJ streng positiv ist für alle und aus also Sie brauchen nicht das die ganze Funktion erlaufen Umgebung von 0 positiv ist sondern nur auf eine volle die aber gegen 0 Comeback soll man das alles erfüllt ist also wenn Sie so nah an Japaner Funktion haben dann kriegen Sie Stabilität also dann ist die Nulllösung von unseren üblichen Problem y Striches er von y in der gut es ist entsprechende Instabilität Satz zu Samba neues Mittel um Stabilität zu untersuchen nämlich die Japaner Funktion das war jetzt natürlich mal in Aktion sehen und deswegen gehe ich zu den beiden motorischen Beispiele dieser Kapitel zurück wir schauen uns normal Volterra an also dieses aber wollte Modell und Warschau muss nochmals mathematische also erstmal Beispiel 10 6 Ludger Volterra das war das eine wollte man wählt und Daten bei der letzten Vorlesung im Prinzip der Nähe besehen Stabilität festgestellt dass der stationäre Punkte 0 0 der ihre Molik Modellierungstechnik stationäre .punkt dass der instabil ist und werden 2. Satz .punkt gefunden denn was war das Kammer durch Delta eifrig Peter von den wirklich da biete ich entscheiden kann und jetzt das hat uns dann immer so ein paar heuristische Rechenschritte auch überhaupt erst auf die Idee die Sojabohne Funktion gebracht da haben wir gesehen ein letztes Mal bei diesem Beispiel wenn Sie die Funktion Frau von XY so definieren als Täter x +plus später y -minus gaben nach natürlich oder Rhythmus von X -minus als war natürlich über Rhythmus von y dahin ist diese Bildung gerade in Faro von XY mal F von X Y mit dem er von Ludger Volterra gleich 0 egal wo sie geben XY in dem positiven reellen Zahl das hat mir der nach und das gibt eines natürlichen Kandidaten viele Ljapunow Funktion ja mal was hier steht gerade jenen von der Funktion mal 11 ist konstant 0 was da oben jetzt nichts keine strikten Ljapunow Funktion aber fühlt diese 2. Bedingungen der kleiner gleich zu lassen wunderbar ist also nicht es für diese Dinge und auf Funktionen für so ein bisschen auf die 1. noch nicht ganz erfüllt weil nämlich dieses V an der Stelle eine kritische Stellen nicht 0 ist das passiert häufiger das ist aber kein Problem kann man einfach korrigieren wenn man nämlich einfach den Wert an der Stelle an der der entsprechenden Stelle abzieht also wir schauen uns folgende Funktion an 11 von XY ist diese Funktion V dies fast nie ab Funktion und dann sehen wir den Wert von der Funktion an der kritischen Stelle an wenn man ganz sauber arbeitet muss man natürlich äh die kritischste erst mal nur .punkt schieben weil der von auf Stabilität hat das ja nur für kritische Stimmen 0 formuliert es reicht mir mal gerade macht nur der Verschiebung werde die Sache unübersichtlicher macht und eine Behauptung es jetzt dieses L ist jetzt in Japan Funktionen für das Wort gewollt heraus ist da Sie hier diesen komischen Frau von der kritische Stelle abziele ändere ich an diese Eigenschaft hier dass die Funktion V entlang von der Lösung konstant ist und nix bei der Taufe von dem gravierenden auf und wenn ich eine konstante accident macht das den gravierenden einfach mal gar nix mehr und es ist wirklich nur eine Normierung um diese Bedingung 11 von 0 gleich 0 da oben zu so also was haben wir jetzt also wenn die zum einen der kritischen Stelle Gamer durch Delta Alverde später S 0 weil wir das so gewirkt haben zweitens und das überlass ich es Ihnen zum Nachrechnen der Mann durch Delta und alles war durch Peter Presse striktes lokales Minimum von der Funktion striktes das lokales Minimum von L das überlass ich ihn deswegen weil das ist Standard 1 2 Jahre als in dem sich die Funktion V rechnen gravierenden aus stellen fest dass eine kritische Stelle Prerelease Marix aussetzen einstellen fest die Neger der positiv definiert ja also es ist wirklich geht genau durch es oder man dass das ein lokales Minimum schreckte sogar das Minimum von Alice das heißt und an der Stelle ist die Funktion 0 das heißt es gibt Umgebung wo sich strikt positiv die kann klein seines über völlig wurscht nämlich hat die so klein also ich hab dieser als Bedingung von der Bonner Funktion und zweitens wissen wir deswegen so aber das Feuer gerade gefunden der gravierende L von XY mal F von XY des konstant nur damit kleiner gleichen also dass dieses L er will aber noch Funktion also das heißt L ist ja aber noch Funktion zum kritischen Punkt nur was kann man durch Delta also ich eine das Ludger Volterra Systems und damit ist dieser kritische .punkt stabil und wir haben ja wohl letztes Mal gesehen mehr auch nicht zu erwarten es nicht also Tote stabil wenn sie in der Nähe starten kriegen 7 sehr klein Oszillation aber sie kriegen eben dass sie aus einer Höhenlinie von V drum rum oszillieren die Lösung konvergiert nicht dienen .punkt ob es ist stabiler .punkt ist das hat man jetzt mit der Polo Funktion rausgekriegt dass hätte man über die das Prinzip der länger sehen Stabilität nicht aus kriegen kann weil das keine Stabilität von also Stabilität ich unterscheide bei der es keine genauen Stabilität nicht erkennen also reine Stabilität ohne 7 Tote einzuschenken so jetzt ein bleibt eigentlich immer so Apollo Funktion nachdenkt noch eine aus der Praxis heraus begründete Frage wo kriege aber funktioniert wenn mal der Satz sagt man seine geht dann Wissen seines Welt schön aber irgendwo muss man kriegen und da gibt es im Prinzip erstmal nur negative Antwort eine Antwort auf diese Frage gibt es gibt keine allgemein Ljapunow Funktion Zauber General vor mehr und auch kein allgemeines Verfahren wie man DGL ansieht ob Zähne hat oder nicht und wie man sie ausreichend und das ist die Stelle wo wenn man bei einem konkreten Problem ist die Modellierung ins Spiel kommt und wo ich allen Anwesenden Mathematikerin und Mathematikern sagen kann 1 einig die beste Möglichkeit zur Ljapunow Funktion zu kriegen ist man sich davor die gleichen kommend und wenn sie sich an ihre Nachbarin ihre Nachbarn im Raume an die entsprechend Physikerin und Physik oder Mechaniker und Mechaniker und erklären wo die gleichen herkommt und sagen denn ich brauch irgend mehr Energie oder der Gesamtenergie oder gehaltene Größe von dem System für den kann und das ist die Methode der Japaner Funktion zukommt wenn ich ein paar Mal gesagt dass sich die App Funktion vorstellen als Energie funktional für die gleichen also in der Nähe Funktion die für jeden .punkt ausrechnen durch Energie steckt da drin und wenn man irgendwie ein Ausdruck einer ein formelhaften Ausdruck für diese Energie kommt ist die Wahrscheinlichkeit dass das in der Bonner Funktion darstellt wahnsinnig hoch und das wenn ich Ihnen zeigen am nächsten Beispiel am mathematischen Pendel bei dem man so vorgehen kann aber grundsätzlich gilt Vierteljahr und Funktionen da gibt es kein allgemeines Verfahren für ein wirklich gut das Verfahren ab ohne Funktion zu kriegen ist für das ist das gerade angeführte
weitere Verfahren sind das häufig verschmähte kreative raten 3. gute
Verfahren sind so wie wir das bei den wollte lädt Ludger Volterra gemacht haben wir schauen sich die Gleichung an überlegen sich was stört addieren Sie mal mich die Gleichung aufeinander versuchen sie Teile los zu werden dabei den Lodge wollte aber die Grundidee des Dinges nicht begann der richtige linear Kombination der beiden Gleichung bilden freilich Genialitäten raus und nicht stolperten wir wie von selbst über die ja Funktion also die Messe ist wenn ihre Gleichung nicht einfach sität eines Aufgaben stellers entsprungen ist die gleichen sieht hübsch aus die schreiben hin sondern wenn dann die reale Modellierung dahintersteckt und morgen reales Phänomen das beschrieben wird dann stellt die App Undo-Funktion üblicherweise diesem System und dieser gleichen drin und muss sie nur ausgraben hat nur wie ist der eigenen Kreativität überlassen also mal was war das mathematische Pendel y zweistellig +plus Venus von y gleich 0 auch da hatten wir schon in den 1. Titel ihre sie Stabilität auf der er draufgeguckt mehr festgestellt der .punkt
Piñol also aus den Compi und Geschwindigkeit 0 der nach oben zeigende stark ist instabil und bei den Punkt 0 0 Ruhe nach und Nadeln im drin 7. längere selten Stabilität nicht feststellen können also den Charme und jetzt hier noch mal genauer an dazu müsste das Ding natürlich erst mal wieder ins System 1. Ordnung umschreiben das hat mir aber auch schon paarmal gemacht ich wiederhole es noch mal vor ein Strich vor 2 ,komma also vereint sind y vor 2 vor 2 y schlicht mehr wert ist vor einstrich y strich das es vor 2 und vor 2 Strings y zweistellig das ist -minus von y also die -minus 7 von vor 1 also diese Funktion hier ist das F von vor 1 von Firefox 2 das heißt F von XY es Erzählern -minus x das ist unser rechte Seite für die braune Japaner Funktionen das eine kritische Stelle 0 0 erst mal nur 0 das offensichtlich nie kritische Stellen setzen 7 0 0 1 kann 0 0 raus so und hier ist die Bund auf Funktion und wenn wir die jetzt einfach so der Vorlesung in schreibt eine so ein sofort klar wo sie herkommen 1 11 von XY essen halbes y Quadrat bloßes Integral von 0 bis x Sinus von es das offensichtlich oder 2 Antworten darauf ne woher oder ja klar ist offensichtlich was steht hier der 1. Summand ist halt mal y Quadrat was ist y ist die 2. Koordinate von unserm System als das natürlich mit dem Y mit Sorge von mir bislang ist jetzt 2 verschiedene Dinge dass die 2. Kommune 1 und ist dem dass V 2 und das ist die Ableitung von dem y hier also das ist die Geschwindigkeit das Band ist das Y ist die Geschwindigkeit des Pendels versteht er mir halt mal Geschwindigkeit Quadrat denken Sie noch ne Masse 1 dazwischen Städtchen halt mal Masse mal Geschwindigkeit war dass die kinetische Schiene gefunden werden 5 das ist die Bewegung der Energie die Bewegung des Pendels stärkt und was ist das damit X wird von 0 bis x 10 von 1. integriert X ist die aktuelle Auslenkung des Pendels es wird also die rechte Seite der Gleichung dieses Dinos integriert von davor lagen bis zur aktuellen Auslenkung dass es die potentielle Energie den Auslegung steht wir so das ist Innovation diese von den Physikerinnen und Physikern oder Mechanikerin oder Mechanikern Ihres Vertrauens kriegen ja das ist die Gesamtenergie den Gewinns steckt Bewegung des Pendels +plus potenzielle Lage Energie das gemeine sind dennoch ausrechne das Integral kriegen Salem das ist Inhalt y Quadrat -minus Cosinus von X versagt so dass es die Japaner vom zur und jetzt müssen sondern darin dass eine ist immer wenn man sie mal wenn man einen Kandidaten hat dann schon gewonnen weil nach Ende der Sojabohne Funktion ist banal also was machen wir darum stehen noch die Bedingung erstmal 11 von 0 ausrechnen na guten allgemein 0 -minus Cosinus von 0 bis plus 1 ist 0 -minus 1 plus 1 immer noch 0 was wir so noch machen müssen sicherstellen dass es Dinge positiv ist warum ist das immer positiv wenn XY nicht 0 9 ist also brauchen wir eine Kugel um 0 so dass außerhalb von der 0 punktierte Kugel um 0 wo das denn immer positiv ist Mehr in San Jose die Macht und das Einheit y Quadrat keine große Schwierigkeiten das es positiv unter großen los wird natürlich nicht schlimmer als 1 das einzige was jetzt passieren könnte der Version .punkt wie x =ist gleich 2 pi und y gleich 0 ja es gleich 2 Tiger nicht die entziehen und dann gleich 0 1 Punkt 2 Kino 0 hat das Ding eine Nullstelle das wäre doof bei denen sie das Delta da unten halt als 2. viel wir wollen nur irgend ne Kugel Kugel also nimm sie Delta gleicht die ist ja aber den 1. Punkt müssen wir noch den gravierenden von Elmar 11 ausrechnen aber das ist auch Fingerübungen also was es gerade von Emails gerade von allen nach x ableiten -minus große X bleiben sie muss nur und Nike bislang Quadrat ableiten dass Krieg sogar ich hin was ist y das wir multiplizieren mit 11 er war y -minus Sinus von X wer sehen sie wenn man die richtige Gesamtenergie findet dann ist plötzlich alles brav mit y mal Sinus -minus ist 0 wenn also diese Funktion Alice auch entlang von Trajektorien konstant was hier darstellt ist in der GIS erhalten ja ich hoffe dass wir genau als Physikerin und Physiker das nur ein gehen entlockte haben bei Nintendo der Reibung Energieeinheiten das hätte man auch ohne die Rechnung sagen könne und das kriegen wir sicher aber nur Funktionen der Stabilität also Elia Bono Funktion so muss hängt also dass Elia und auf Funktion und die Nulllösung stabil auch hier konnte uns das Prinzip der Linie 6. Stabilität ich helfen weil wenn wirklich Energieerhaltung wir haben keine Asymptote stabil zwar nur stabil und das kann das Prinzip der Linie sehen Stabilität nicht auf das gut dann so Ende vom Skript das Volumen mittels Pause zu machen und wenn ich danach wie gesagt noch ein klein Ausblick geben auf was soll noch kommen mag und was der Patient Differenzialgleichung ist und was ist für interessante Ei was tief interessante Eigenschaften haben gut also man 1. aus gut dann können wir wieder einsteigen zum angekündigten Ausblick zu partiellen Differentialgleichungen und weil ich ja schon weiß das sich gleich nach der Vorlesung gelächelt werden was davon ist denn jetzt noch Klausuren waren also gleich der Glamour also jetzt kommt es keiner Weise mehr Closure waren kann ich Ihnen vorher kann ich ihn auch nicht wirklich er dann kann nicht wirklich machen weil ich kann Ihnen jetzt in dem
Abschnitt keine wirklich belastbare Mathematik Mehr präsentieren sondern sehen Sie das Ganze mehr als er einen kurzen Märchenstunde Mathematik kurzen man sie Märchenstunde was da noch so kommen kann und kommen mag er ich kann jetzt nichts beweisen weil sobald ich anders versuchen zu beweisen fehlen uns die Grundlage nicht umsonst gehören die partiellen Differentialgleichungen den in Master Fertigungs Zyklen rein was ich machen will es bisschen begründen warum sie erst da kommen warum sich spannend sind und was meinen auf dem Weg dahin noch alles 10 wird er erstmal zu Begrifflichkeit was ist denn jetzt der Unterschied zwischen gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen wer jetzt die gewöhnliche Differenzialgleichung gesehen Mehr dies ist über die Differenzialgleichung wir haben sie glaub ich alles schon mal gesehen der wird nach einer Variablen abgeleitet aber es ist aber die T genannt da gibt es ne Ableitung nach einer Variablen die es bei uns tätig kann natürlich je nach Zusammenhang nochmal anders heißen aber sind seine ist es gibt nur eine Variable nach der abgeleitet wird und das ist der Unterschied der formale kleine aber feine Unterschied einer partiellen Differenzialgleichung da wird nach näheren Variablen abgeleitet meistens erst mal nach zweimal bisher nicht zu kompliziert machen nach mehreren Variablen das heißt was auftaucht sind partielle Ableitungen Glanz tauchen Ableitungen nach 2 verschiedenen Variablen auf dann tut man gut daran sie 1 2 nicht mehr spricht zu schreiben wenn man nicht weiß worauf sich der Strich gezielt Mehr und dann tauchen partielle Ableitung deswegen partielle Differentialgleichungen partielle Ableitung wir haben sie haben schon ein wesentliches sie sogar System von partiellen Differenzialgleichung gesehen ich schreib mal so vorsichtig hin Versicherten dürften sich darin und das meiste von dem Pussy wie man will Größe man WDR aus der Parallelveranstaltung es kann sein dass wir nur -minus dass uns dann aber im Wesentlichen den Soßen dessen typisches partielle wollen sagen Leitungssystem Zugangssystem zu kompliziert ist jetzt aber nicht machen aber da sind sie jetzt mit einer Don die wir gemacht haben ist noch nicht ein Beispiel an dem ich heute ein bisschen was machen will wäre zu sein was das einfach so mal kein System machen will nun 2 verschiedene Ableitung dann wäre er Mason so Spiel Problem wenn man sich beschäftigen konnte sowas ich habe Funktionen 2 Variablen von T und X und dann sag ich die Zeitableitung von O soll gleich der Ort Ableitung von USA weil es ein einfaches von immerhin schreibt und dass man sich überlegt was bedeutet ,komma das dazu was es bedeutet aber wenn man so will einfache partielle Differenzialgleichung 1. dort jetzt erst mal zeigen das ist nicht ne Spinnerei Sie mal meine matikerin beide Male gekommen gern mal auf die Idee verallgemeinern war mal wozu es gut ist die mir für später in dem Fall es umgekehrt in dem Fall kann die Patienten Differenzialgleichung auf die Mathematik zugeschossen man braucht sie reihenweise ich seit mal erst mal eine berühmte ich zeigen dann wäre starben mehr auf Folie aber an der kann man sich wohl wenn ich mich ein bisschen am arbeiten die sieht so ähnlich aus wie die gerade geschriebene Funktionen 2 Variablen T und X warum die TOX heißt wirklich gleicht die Physiker könnte schon denken und ich will dass die Zeitableitung von dem jetzt nicht gleich ist wie die bleiben sollen die 2. Art das ist die berühmte partielle Differenzialgleichung wird sogar Namen das ist die so genannte Wärmeleitung es Gleichung oder die Fusions Gleichung und die steckt wie der Name schon sagt hinter jedem die Fusionsprozess hinter jedem Wärmeleitung Leitungs Prozess also die physikalische Einkleidung von dem Ding ist existiert ist jetzt eine eindimensionale variabler Sam haben ein eindimensionales gebildet denn es einen sehr dünnen Draht und dann sagt wovon T und X also das ist das die 2 Jahre drauf die ODS variabel und von T und X sagt wie heißt es der Draht zur Zeit hier eine Stelle x und wenn Sie jetzt sagen 0 von X also von Molo nix dann ist das is sieht dass es nicht so aus wie es überall Temperaturen 0 1 mit dieser warme dann ist das eine vernünftige Anfangsbedingungen für diese Gleichung hier und wenn Sie jetzt die Gleichung lösen dann kriegen Sie ne Funktion von TX raus und wenn sie jetzt hier zum Beispiel von 1 x ausrechnen dann c't qualitativ so aus würde damit die diffundiert weg in dem Anfange damit in diesen geheizt haben und so die Wärmeverteilung setzte zerlaufen lassen macht sich die Dame vom Acker zwar dass die Wärme Leitungs Gleichung deswegen T und für die Zeit X für den Ort das ganze Ding Amadeo mehrdimensionale machen da normalerweise zu sehen sich die Leute nicht so sehr dafür wie die Dame sich eine Dimension verteilt sondern eher so in 3 wenn Sie das machen müssen Sie hier die 2. Ableitung geeignet sehr ersetzen und die richtige Umsetzung ist eine Ersetzung ist ein Ding das Sie hoffentlich in einer 2. ein paar Mal gesehen haben jetzt sehen Sie auch warum sie das da gesehen haben wissen Differentiale Berater in dem alle 2. Ableitung auftauchende mich da der plus Oper hat das ist die Dame seines gleich in mehreren Variablen zur Erinnerung was war dieses komische Dreieck das ist die Summe aller 2. so einen partiellen Ableitungen also alle 2. Ableitung von danach des XJ Quadrat oder hochgestochen ausformuliert die Spur dessen 80. zur das ist die Dame seinesgleichen in Variablen holen die Variablen wie gesagt die gleich 3 durchaus ein wesentlich Spezialfall aber ich will jetzt zeigen partielle Differentialgleichungen gibt es wie Sand am Meer und äußerst interessante und weil ich die nicht alle hinschreiben will hab ich die schnelle draufgezogen kleine 2. Sparaktion genau die Folie so vor allem dazu da um einen Physikerinnen und Physiker Mechanikerin und Mechanik angedachten umsetzen jetzt dageblieben ist alles nicht mehr klar so relevant zu zeigen was Sie hier sehen ist der sie unglaublich relevant sie sind die einzigen die
sich vor diesem Gleichung nicht verstecken können bei ihre Mathematikerinnen und Mathematiker Kollegen die können noch eine andere Vertiefung ausweichen 10 die die nie wieder sie kommen wir nicht vorbei also besteht die Bernardus Gleichung geschrieben ja und da nicht leicht mich wird selbst weil die 2. Sieg genau aus wie die 1. gravierend festhielt hier muss auf die linke Seite 2. Zeit ablehnen Sie bei der also da der Fehler 2. Zeile 2. Zeit Ablehnung von X gleich La Plus von das ist man es genauso wichtig die Wellengleichung die jedes Schwingung Phänomen beschreibt also wenn er ist ein Instrument spielen ist immer die Wellengleichung beteiligt dann gibt es die Poisson-Gleichung der Plus gleich erst in der Form mit gleich 0 Ablass ungleich 0 dürfte sie die 1. Funktion Dirigenten harmonische Funktionen die ist wichtig wann immer es um Potenziale geht Gravitationspotential Elektro Elektro Potenziale Wurst welche Potenziale da an dessen ist kein Tippfehler Zeitableitung von gleich sie Maler Plus der einzige Unterschied zu den Maler des gleichen ein unauffälliges I kleine sie mit großer Wirkung das dadurch entsteht dass man da so ein Problem ist Iran schreibt ist eine völlig andere bleiben völlig am Verhalten sondern die Schrödingergleichung und jetzt das ist jetzt wieder was für die Abteilung mit ph am Anfang diese Gleichung ist die gesamte Folge Quantenmechanik steht in einer Zeile wollte bat mich ja beschäftigt sich damit diesen =ist gleich und bei die Lösung dieser Gleichung für die Zustände des könnte mich 1 ist .punkt 12 und die Eigenwerte von dem dahinter stehenden Operator sind die Energie der Lösung unserer Seite wenn Sie als er aber im Prinzip steckt die gesamte von sogar in dieser leicht und dann hab ich normal damit sie sehen dass da oben sieht alles hässlich aus nur lineare Gleichungen wenn wir alle bis hier sind die partielle sehr von tialgleichung setzen Sie im Geiste mal für ohne Jahr Kombination ein dann sehen Sie fällt alles auseinander weil differenzieren Sie mir hab ich eine nichtlineare mitgebracht das ist die Darmstadt Spezial Gleichung weil wir im Fachbereich ein ziemlich großes Thema haben dass ich mit dieser Gleichung rumschlägt NRWs Docks Gleichung das ist die Gleichung die beschreibt das Verhalten von Fluiden also Flüssigkeiten zum Umschalten von Flüssigkeiten nach dieser Gleichung googelt zu Hause das Wasser durch den Abfluss und das ist nicht immer gleich und was soll das hier alles bedeuten dieses JU ist das was was es bedeuten soll dass die Jacobi Matrix von der Funktion u also hier steht Zeitableitung von U =ist gleich La 2 sobald die Wärmeleitung ausgleichen bloß die Matrix von transponiert man O ist die Geschwindigkeit der von Text ist dem Fall die Geschwindigkeit der Flüssigkeit zum Zeitpunkt der 1. x kommen und die seither ja ja ,komma des Urans Polymer oder ist der Grund ein Ärgernis ist mit einer es doch steigen das ist es was sich die Jahresarbeit und Ziel der modelliert die Turbulenzen der der turbulent die Wirbelbildung und so weiter das ist der ätzend und nach der Normen des klar NP härteste Drucks braucht für das interessieren aber das ist die Gersdorfs Gleichung und die ist nicht nur wichtig sondern auch in der Mathematik extrem wichtig für den der es Docks Gleichung oder für die eine Aussage zu Lösbarkeit NRWs Docks Gleichung ist eines von den 7 Millennium-Problem 1 von den 7 Uhr 1 Million Dollar Problem von Clay-Institut Henkel dieser gleich ist das also sehen partiell Winzer Gleichung noch ungleicher ich hab hier noch 3 Pünktchen gemachte genau 10 Fähnchen machen da kommt noch viel nach dessen damals so die ein fast die die wichtigsten Gleichungen die überall bei das von oft gut ja fragen
wir den Gott als das so für den grob Eindruck und auch alle nicht Mathematikerin und Mathematiker mitzunehmen SAD steht war im so was ist denn jetzt das Design partielle Fernseher Gleichung und Prinzip kann man das relativ klar machen was das Problem ist wenn man könnte es endlich anfangen zu sagen da wo der Samen vielleicht bisschen ätzende der Gleichung 10 aber doch ein fast Programm das der für gewöhnliche gemacht haben auch für
Patienten und die Frage was kommt dabei raus also was ist die Grund Crux eine partielle Differenzialgleichung was es Problemen und da kann man sehr genau den Finger drauf legen sie zurück in der Vorlesung dann am am Anfang so ein bisschen spezielle die Gleichung gelöst aber dann kam die fundamentalen Kapitel über Existenz und Eindeutigkeit von
Lösung Satzung die Artikel in das und alle diese Kapitel fußen auf einem einzigen dennoch auf einen total entscheidenden Lärm macht das war das Lemma 4 1 das sagt die Differenzialgleichung y strich von wie leicht er von t und y von ist in gewisser Weise äquivalent zu Integralgleichung y von die ist y 0 Integral von 0 bis 10 er von y von ist das war das der Mafia und dann immer wieder nach irgendwas über Lösbarkeit oder sonst wie vom Berechnung gemacht haben haben wir diese Darstellung benutzt und das Problem ist dieses Lemma 4 1 bricht zusammen so allein deswegen mein Programm das Lemma 4 1 4 das kam daher dass wir auf die gleichen den Hauptsatz angewendet haben Mehr zuschreiben Y als Y eine Stelle 0 +plus Integral über die Ableitung und ersetzen die Ableitung durch ist das was mir ganz beweisen immer 4 1 ist aber nach so ist man aber 2 Ableitungen 1 18 1 x das heißt sie können die Aktion meinetwegen 10 machen dann seine und eine Ableitung x übrig oder so wahnsinnig wenn T übrig oder Sie zaubern irgendwoher Hauptsatze 2. Funktionen 2 Variablen gibt es nicht wenn sich dran erinnern es gibt was den Unterschied zwischen 1 1 1 2 was die Existenz von Stammfunktion 1 Liter Werner Heinz Karau sie wichtige sind soll ich davor so wunderbar in einer 2. Kammer aus sprach 0 Prozent eine Funktion Stammfunktionen sie groß bekannt nun das ist die Grund guckt das heißt alles was wir gemacht haben und sofort servieren seinen 1. Mann übertragen weil Lämmer 1 schief geht wie in Clichy das Ding bricht bei MA 1 zusammen so und das heißt sozusagen sehr ging es davon ist ok ist muss man anders angucken und was man dabei feststellt es bitte ich sage zu mir PD Page Differenzen Koechen meinetwegen bleiben wird als PDG werden dadurch viel komplizierter und wenn man ehrlich ist die bis heute jedweder Theorie die auch nur annähernd so schön über gewöhnliche es gibt ganz viel Theorie ist ganz viel Ergebnisse dass manche Sorten von Gleichung lösbar und dann Stabilität Untersuchung das alles gibt es da auch aber mal ehrlich ist das alles Einzelfalluntersuchung an speziellen Gleichung an speziellen Klassen von Gleichung aber es immer nur kleine Klassen und ich etwas das ganz ins positive drehen und sagen die sind vielleicht viel komplizierter aber das Wort wird so negativ an die sind viel viel spannender ja weiter diese biestig an dann wird man irgendwann wird man dann das verlangt jetzt Bombe die in Griff kriegen und da gibt es wie gesagt viele Ansätze alte neue einfallsreiche noch einfallsreicher will auch wer die natürliche sich alles referieren meines ansonsten dass mehrere Semester Studium aber ich will wenigstens so eine Idee ihnen dabei bringen dem bisschen auf das aufbauen was wir gemacht das ist ne Idee die stand der nee also ja ich ich zeigen einfach mal wie die 1. und ich will das mal am Beispiel machen zwar Beispiele Bernardus gleichmäßiger das Dummchen geschehen machen man in eine Dimension es gehe nur darum die Idee rüberzubringen und jetzt keine allgemeine Lösungsformel zu produzieren also wenn das Gleichung nach die CD also die Temperatur zurzeit des am Ort x nach T abgeleitet soll das zeitgleiche sein die 2. Ableitung nach dem Ort X von der Temperatur zu auch die Gleichung pro Mannschaft Funktion suchen wir was jetzt dasteht ist die Gleichheit von zahlen wir für alle T und X sollen die beiden Funktionswerte jeweils übereinstimmt und jetzt macht man einen kleinen der Änderung des Standpunkts die aber auch schon mal gemacht in Zusammenhang mit dem die wir schauen das Ganze nicht anders ne Gleichung von Zahlen für alle Tiere X sollen beim übereinstimmen sondern der dann die beiden Variablen unterschiedlich wir das Problem bei der Sache war ja dass wir sozusagen zu viele Variablen Schreibmeister der Mama das Exil weg nach der Mann .punkt rein und sag ich kann diese dann sage ich auch sehen als Gleichheit von Funktionen für die Industrie soll diese Funktion gleich der Funktion sagt das einsam so ward nichts geändert weil was heißt gleich Aufrufen zum gleichen funktionales Design an jeder Stelle gleich trotzdem sehen was man so ist die Gleichheit von Funktionen wenn man das macht sie weiß man was doch ich nahm es daraus das ist Schreibweisen mäßig übersichtlicher machen was doch in deren Dimension witzigerweise sind hier mehrere Dimension ein stehen wenige Buchstaben dar er es ging um die des also hier steht am Anfang der Plus von Text an ja das ist der Landesleitung jetzt sehen das als Gleichheit von 2 Funktionen und zwar die Funktion O noch Zeit abgeleitet ist für jeden Zeitpunkt gleich der Funktion La plus und an der Stelle zieht vor hatten der hier stehen der größer gleich 0 und x in R 1 ist das X wenn er in gewisser Weise verschwunden Gleichheitszeichen weil die Dinger sollen als Funktion gleich ist und der 2. entscheidende Schritt ist wir betrachten diesen La las als der Operation auf Funktionen sag ich Operationen sauberes Wallace Operator auf Funktion also stellen sich diesen abblasen Moment jetzt vor zum Beispiel als Mehr Abbildung von C 2 nach 10 haben seine Funktion auf dem er D werden der Platz angrenzende zweimal wenige differenzierbare Funktion raus soll dieser ist nur Beratung auf dem Funktionen und zwar nicht nur Operator Funktion sollen ein maximal schöner ja vielleicht finden wir ja klasse Berater nicht schön aber wissen Sie was das Tonnen Laplace Berater ist der SIA gibt es Schöneres als lineare Abbildung nee also besitzen eine konstante Abbildung mehr aber dort drunter geht ja gar nix drin also hören das ist die ja eine lineare Abbildung ha tja was jetzt hier steht wenn sie das so auffassen nicht wie Sie es einfach mal anders schreiben schreiben Sie diese gleichen und es anders in der gleichen taucht jetzt nur noch 1 eine Variable auf die 2. Variable haben wir weg definiert in dem wir sagen das ist die gleich Funktion worden bei denen Funk von Funktion dann gab es wieder strich schreiben was hier steht ist die Gleichung O strich Phontäne =ist gleich Lapplands UV und hier und da das lineare Abbildung wunderbare Lehrerbildung nur halt nicht von die nach den sondern von C 2 nach C Vektorräume ne kann ich ihn ja und die finden das wunderbar Kaiserin eigen der Theorie machen das Ganze auch noch also die Physikerin wieder sowieso stundenlang Eigenwerte plus ausrechnen meine immer immer wieder auch wenn es Bildungssektoren ein tja aber jetzt nochmal zurück zur DDR Vorlesung das habe und nur schon mal gesehen ich weiß in der Celler normal die für gewöhnlichen y das sollte was klingen ja den ja Bildungsthema fix also der dass ich Umwege Matrix das lineare Abbildungen auf blöden unendlich dimensionale Raum Matrix schwierig er aber egal das ja wir jetzt brauchen wir natürlich noch y von 0 bis Y holen Monstrum die Modellierung von der Dame Leitungs gleich überlegen stimmt natürliche brauchen da auch ne Anfangsbedingung müssen auch wissen wie verhält sich die Wärmeverteilung zum Zeitpunkt 0 so was ist die nur von die Lösung kennen sie alle wir müssen sofort schreiben die Lösung ist wie oft der Arbeitsnormen ja er ich meinen es doch klar was die Bewunderung ist da ist die Lösung der Hochtäler plus mal und ja so der gleichen Stelle wie damals da sich in ihr auch die Matrix Markgräfin geschrieben und dann sagt ja da in dem Fall haben sie mit den Daten Vogel mehr Recht man was soll das sein kann was kein sie stimmt also was man Sinn geben ja und jetzt haben Sie verschiedene Möglichkeiten mit mich kleingeistig aufgeben muss doch den 7. Möglichkeit gegen den Ablass und Berater die gegen die ihr vom zu einzusetzen aber doch Matrizen außerdem gekriegt also 1. Idee natürlich zum einen leichten oder so ähnlich The auch erlauben durch n Fakultät dürfen Sie gern versuchen für die Liga das große sie werden keine wie auch immer geartete Norm finden denn das denn auch nur in die Nähe einer Konvergenz kommt liegt in einer wenn sie anders sehr unangenehmen Eigenschaft von linearen Abbildungen auf unendlich dimensionale räumen offen ich die Mensa Räumen kann man und stetige lineare Abbildung produzieren das ist so eine insbesondere sinnlich beschränkt als keine Geschenke lineare Abbildung im Sinne von ja Abbildung beschränkt werden also hat keine endliche Matrix Norm die einzige Chance diese reizen konvergieren zubringe Stella platzierte im ländlichen Raum und dann könnte man dazu bekomme denn es drauf ist nicht ganz vergessen nutzlose Ansatz jetzt hat man aber zum Glück mehrere Möglichkeiten den man die Ehe Funktion approximieren kann also was halten Sie zum Beispiel vor Identität los The auch einen der Trost vieler plus durch n korrekt da wenn sie das der plus X hinschreiben wie das gegen EOX also wenn es ändern wenn ich da geht der davor wir so wird das gleiche Problem sie müssen Potenzen vom Erblasser Berater in Griff kriegen den kann man nicht abschätzen du dich jetzt heften saumäßig blöder Trick POX ist nämlich eher hoch -minus x hoch minus 1 also schauen Sie sich doch mal an den Limes n gegen unendlich wie die PLO nein -minus Kinder plus durch in gut -minus das geht auch gegen die hoch X Fenster extrem treiben Städteatlas was jetzt dasteht Zehnerpotenzen vom ablas als ich habe jetzt nicht einzeln weil für die Identität des Mehr sondern das sind jetzt in der Aachener Platz 5 wie hoch und ob man das und witzigerweise in der plus es immer wieder beim Thema Eigenwerte hat bei was hier steht ist müssen diese in der hier bilden das heißt er durch die darf kein Eigenwert seiner weil dann ist das mit ja aber ,komma wieder auf meinen können sich wieder als mit beschäftigen tatsächlich funktioniert das das hat der erhielt in 19. vierziger Jahren entdeckt ist man dies alte Mathematiker 2 19 40 Ellen also müssen von heute an noch so gute 100 Jahre Mathematik machen sie da sind sie müsse sonderlich alles nachvollziehen sagt nur das funktioniert 7 und 2. witzigerweise 2. Ansatz der funktioniert mit dem Sie gerade auch was anfangen können hier können Sie ihr hoch hier können Sie die hoch Z noch schreiben schreibt ganz bewusst Z der Hochzeit des einst durch 2 pi hin in der gerade die richtige Kowa wie hoch war nochmal die hoch wie hoch ihr hoch will er hoch Z durch Zecken -minus WGZ kannst alles so meint er die DZ haben immer gesegnet Church die greifen jetzt Vegleich Täler Blast wie ablas ist Integral über die Hochzeit durch Z -minus Zähler plus nein überhaupt keinen Sinn diese blasse Berater reden haben Sie natürlich recht werde Zweitligist bauen und mich an also das einst durch 2 pi Integral über Gamer der Hochzeit Z Malignität -minus Zähler plus -minus 1 DZ tja jetzt die wir in der 700 Astat ist gut so sie nicht dazu zufällig auf Eigenwert rumrennen ja meiden wenn es natürlich doof fanden sie das aber man der Feste der Plus hat sehr wenige eigene so dass man mit dem mit dem und nun kommt und dann kann man so tatsächlich auch Hochtäler plus definiert und trägt derzeit in der Lösung für diese würde dann nur noch schwer das funktioniert sie sehen nicht alle so ein bisschen rum das funktioniert ich begründe nicht warum das funktioniert das liegt daran das man jetzt ne ganze Menge benötigt kann man das ganze rigoros machen will was braucht man dann nur mal das und das ist ja immer so ein bisschen an was muss man tun Na muss sich beschäftigen mit solchen linearen Abbildungen Aufräumen von Funktion auf unendlich dimensionale Vektoren da muss man erst mal so'n bisschen das den wie sich das anfühlt im Prinzip braucht man nicht lineare Algebra auf und ich dimensional jedoch auch und wenn man's arg verkürzt dann heißt die Jahre einige brauchen nicht die Mensen an Vektorräumen Funktionalanalysis ist und das ist der Inhalt der Funktionalanalysis eine Einheit der Funktionalanalysis Vorlesung also man braucht lineare Abbildungen auf unendlich dimensionale wollen das ist ein wesentlicher Punkt in dem was sie unter Funktionalanalysis die wahrscheinlich in einem Jahr sich Wunde was braucht man da braucht insbesondere werden alle der Theorie da Samsung gesehen diese ganze Sache steht und fällt damit das man diese inverse hier in den Griff kriegt den von ihm -minus Zähler plus 1 schreiben Sie dem bisschen und dann ist das das selbe wie war The durch enden mal eben durchziehen -minus 1 plus und das is n durch die Emrich Bericht Thémines hoch minus 1 ja bisschen Bruchrechnung am Rande was steht es wahr von Faktoren mal die Existenz von der inversen von La Platz an der Stelle in durch die also durch T soll gefälligst kein Eigenwert und das steht dann ist das nicht jetzt geht natürlich problemlos alle Funktionalanalysis sehen Eigenwert ist schon besonders schwieriger Begriff es gibt nämlich bei unendlich dimensionale Vektorraum durchaus die Möglichkeit das das Ding zwar nicht in der Tiere war es das denn gemerkt es gibt aber keine Eigenmittel dazu dass liegt daran das unendlich dimensionale in jektiv gleich so aktiv ist was dieser Dimension Satz dagegen natürlich verloren weil ich unendlich die Dimension Satz der sagt wenn Sie denn das die Matrix nicht von Rang hat dann muss sie auch ein Ei gelegt haben dann es auch der Kern denn ist der Kern nicht nur Mehr das geht oder nicht dimensional schief die Matrix und Matrix der Operator kann ich voll dran haben aber trotzdem in jektiv sein Wasser kann je tiefer man nicht wirklich seine kann so in die von ihnen tief sein mag alles mögliche sein das heißt es kann sein dass die inverse nicht existiert und sie dann trotzdem kein Eigenwert und sogenannte Spectral nur solche Dinge gerne passiert alles funktional als wissen kommt alles dann also die gesamte Eigenwert beziehungsweise Spectral Theorie von solchen Operationen muss man nach die dies immer wieder die beiden werde benutzen kompliziert 1 spannender dies spannender als die eigene Theorie von Matrizen deutlich macht und damit man das Ganze auch machen kann muss man braucht man gutes Arsenal von Freunden von Funktionen auf dem man arbeiten kann und witzigerweise stellt sich raus wenn man versucht diese ganze Theorie die man braucht die der helle braucht um diese diesen lieben hiervon Probleme sie diesen lieber sie übernimmt die zu konvergieren zu bringen zumal gleich die Frage bezüglich welcher Norm her unendlich dimensionale müssen sie immer gleich mal Fragen bezüglich welcher weil der es eben nicht mehr jeden Moment weil dann ist witzigerweise das Naheliegendste nämlich mache das Ganze auf C 2 oder auf CD eine saumäßig schlechte Wahl partiell Differenzialgleichung auf die Ideen oder auf differenzierbaren Funktion zu betrachten ist die Hölle Hintergrund im Wesentlichen den Daumen auf hier auf CD genau nach diesem Freund der Funktion The Supremes und ich aus dem alle irgendwann mal die Einheitskugel von der übrigens Normen gemalt der letzten Befunde so Bremens Norm ist und Quadrate oder doch insbesondere ein eckiges gebildet und der er Normen zusammen mit Differenz sagen wo sie differenzieren müssen Sie nur bei der ganzen nicht mehr die Norm differenziert wenn Sie mir mal genau differenzieren gehorsames komplizierteres differenziert da eine gute Idee man braucht andere Räume hier auf den man differenzieren denn dazu muss man den Differenziation es Begriff ausweiten man muss man muss und schwächeren ab Leitungs Begriff einführen um und brauch ein ganzes Arsenal an anderen Funktionen rollen und die richtigen Funktion Räume mit den man gut arbeiten kann sind die lieber Räume und da bei sich auf die Maßtheorie also des Vorlesungen nächsten sind es wenn nächsten Semester schaffen sie das Arsenal an einräumen auf den man dann den Ablass als vernünftige lineare Abbildung definieren kann und dann die ganze Theorie der von einer drauf ist darstellten er da stecken neue Integral Begriff dahinter und man kann darauf auf Fuße 9 Differenziation Begriff definieren wenn man den hat Camilla plus anders anders auffassen und dann passt das wir sehen dass noch viel zu tun aber es ist ganz spannend dass ich damit auch und jetzt mit Ihnen Schluss noch zeigen dass die Grundidee so absurd sie sein mag Potenzial hat und das Potenzial das haben schon Leute erkannt zu Zeiten die das alles auch nicht wissen konnte die folgende Rechnung stammt angeblich von Leonhard Euler und leider auch keine Ahnung was in Lübeck Raum ist Euler hatte keine Ahnung was Funktionalanalysis ist das gab es damals alles noch nicht und trotzdem wer die Funktionalanalysis es 30 in der Mathematik auf dem 9. dreißiger Jahren als sie kommen jetzt mit diesen Vorlesung Maßtheorie das sind um 1900 die Funktionalanalysis liefert sieht bringt sie noch 30 und danach sind Sie dann so weit das muss sicher viel machen kann das war in den Vierzigern glaubt das nicht dieses 48 Art aber Eule hat genau diese Idee schon benutzt und im Stile der guten alten Mathematiker und ausgenutzt ohne sich darüber Gedanken zu machen es geht nicht Miss Berlin zum Abschluss noch zeigen unter den gehen wir zurück zu unserer Transportgleichung Werk weil wir nicht verraten zu unserer gleichen darum der einfach möglichen also wir gehen noch mal zurück zu dieser Gleichung die Zeitableitung von unserm hob soll sein die Orts Ableitung von unseren wenn Sie gleich Überlegung wieder drüber machen das werden wenn Sie jetzt das gleiche machen wie gerade eben sie fasst es nicht als der Gleichheit von Fragen sollen von Funktionen auf dann können Sie das Video und schreiben in der Gleichung der Form wird strich von The ist und Aron von C wobei A im genau die Ableitung von ist aber jetzt mal x wir das auch eine Jahres Europarat und lineare Abbildung nämlich ist die 1. Ableitung statt der 2. gewonnen und dann kann man genau die gleiche wie genau die gleiche Blase brauchen den Anfangsbedingungen oh von 0 x ist und nun von Excel die Anfangsbedingungen nur vom Ort hab ich mir von der Zeit und jetzt also genau diese Idee machen die formale Lösung ja seltsam war immer die Anfangsbedingungen umschreiben von 0 ist UNO das ist das Ganze in diesen abstrakteren und Zusammenhang gebracht was man im Prinzip macht ist die Abende partielle Differentialgleichungen zahlen dann sagen Sie Sie schauen sich das an 1. Gleichung von gleichen von von Funktionen und kriegen jetzt wie gewöhnliche Differentialgleichungen aber nicht mehr von Zahlen sondern vom Funktion da das ist das Gesetz vom Alter also Arbeitsaufwandes ende eine komplizierte gleichen auf der einfachen Geometrie also er oder eine einfache Gleichung einer komplizierten sie und der Geometrie nämlich im Raum von Funktion können Sie aussuchen das für weite hier weil die formale Lösung liegt jetzt mal wieder von der dröhnende formale Lösung ist von 4 X es hat hoch C A und 0 an der Stelle x Mehr ,komma Lösung von dem Ding ISI auf TA MA MU wenn man damals als es ist wie gesagt Euler hat sie nicht um geschert was das ist ob das Sinn macht oder nicht ja der hat dann einfach aber versteht da steht er hochziehen Ableitung nach x ohne neue 5 1 sehe also Summe n gleich 0 bis unendlich verloren in der Nacht des X durch n Fakultät und nur wird was steht da Summe n gleich 0 bis unendlich und die einst durch Enver gut wird nach vorne während der Ableitung nach x von an der Stelle x mal theoretisch ja Ente ab entdeckt lehnte ab tja beschreibt das ist mein Wissen des DIW froh es kann auch der die Enten hat das heute immer noch eine Variable also was jetzt dasteht ist so man gleich 0 bis unendlich ende Ableitung vom derzeit durch im Fakultät mal Theorien und das schreiben westlichen kompliziert schreiben die richtigen auf dem nur 1 haben Sie sollen auch so schon mal gesehen wenn das Hotel erreichen das er mit der Lehre des super was ist das Mittelalter das iPhone und die Entwicklung Stelle x ja meine steht Ermittlungsstellen stellen das sie auch den Weg wunderbarer also die der von oben Ermittlungsstelle x an der Stelle x +plus lustig für Ort teuer waren alle Funktionen klaffen Hoja also ist das hier von nicht lustig viel die Kellerei also Fehler reichte die Funktion natürlich dar darüber Reuter gar nicht nachgedacht es ist evident ja und insofern ist diese Summe gleich die Funktionen der Stadt ja ich habe nun verschluckt 0 r r r r r r r 3 dreimal also bin noch 3 0 0 7 billig und und und und und und wir wollen der ist gleich gemerkt angewandt tja in der Ableitung ist natürlich jedes einzelne Gleichheitszeichen fragwürdig bis Käse ja aber wie so oft die Ableitung ist der Weg zum Ziel ist das ist das der jetzt habe Kandidaten für die Lösung schon immer nach etwas tut ist ein das Entsetzen Beruf von T und X setzen warum wohl von 10 x +plus 10 was geht an für die 2. Ableitung von leiten Sie das denn je nach der Zeit ab die Bruno strich von x +plus 10 Mal in der Bearbeitung des 1 ist das selbe wie die Ausarbeitung das immer so auf und was dort diese nur so wenn das Sie mein 0 ist das mein nun ist und dann is also dann ist das von nun und Äxten und nun ist ja der Staat was ist dann von T und X also wenn jetzt ist dann sagt mir dass man eben sagt mir das nehmen das anfangs Profil Unterschiede und und allen rechts macht er hier steht das ist weg was also die Lösung von dieser Differenzialgleichung macht ist ihnen das anfangs Profi und schiebt einfach zur Seite was total gut passt diese Gleichung hatten nahm die gleichen weiß Transportgleichung die bisher Transportfirmen kann das ist die Lösung der Transportgleichung 1 war eine der beiden hier und wegen besonders antworten und die kann man tatsächlich auf diese unglaublich freche geradezu skandalöse weiterziehen ja was natürlich noch kein Beweis für gar nix is aber so bisschen zeigen soll da steckt mehr hinter als man denkt und das was dahintersteckt lade ich Sie ein in den nächsten Jahren zu entdecken wie gesagt was derjenige Semestern sowieso dann Funktionalanalysis und dann steht Ihnen diese Welt offen mir bleibt den viele die wirklich noch da sind für die kleine Geduld und das Interesse zu danken die Vorlesung damit zu beenden und ich wünsche Ihnen kurzfristig für diesen 1. Fällen erfolgreich Klausurphase auch in der natürlich auch hier der Klausur München 4 war das Studium alles gute ich würde mich also freuen wenn ich einige von ihnen wieder sehr vielleicht erinnert sich die eine oder andere an mich wenn sie auf der Suche nach Arbeit sind zum Beispiel oder auch in der Vorlesung über partielle Differentialgleichungen er bis dahin alles gute danke im das Dasein danke für die Aufmerksamkeit wir
Radius
Kreis
Physikerin
Physiker
Partielle Differentialgleichung
Orbit <Mathematik>
Lokales Minimum
Formation <Mathematik>
Gleichung
Trajektorie <Mathematik>
Gradient
Zustandsdichte
Lösung <Mathematik>
Strecke
Kugel
Energie
Menge
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Mathematikerin
Mathematiker
Vorlesung/Konferenz
Energieerhaltung
Aggregatzustand
Funktion <Mathematik>
Schar <Mathematik>
Parametersystem
Kreis
Radius
Extrempunkt
Kreisring
Maximum
Stetige Funktion
Extrempunkt
Gleichung
Kompaktheit
Zahl
Lösung <Mathematik>
Negative Zahl
Menge
Betrag <Mathematik>
Kettenregel
Mittelwert
Rundung
Kompakte Menge
Vorlesung/Konferenz
Einfügungsdämpfung
Ableitung <Topologie>
Physiker
Punkt
Total <Mathematik>
Gruppenoperation
Kerr-Lösung
Rückkehrpunkt
Linie
Index
Mittelungsverfahren
Energie
Reelle Zahl
Spieltheorie
Existenzsatz
Minimum
Kompakte Menge
Vorlesung/Konferenz
Raum <Mathematik>
Ganze Funktion
Funktion <Mathematik>
Physikerin
Ljapunov-Exponent
Winkel
Lokales Minimum
Gleichung
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Kritischer Punkt
Menge
Betrag <Mathematik>
Mathematikerin
Mathematiker
Stationäre Lösung
Schranke <Mathematik>
Punkt
Große Vereinheitlichung
Mathematiker
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Geschwindigkeit
Zusammenhang <Mathematik>
Hyperbolischer Differentialoperator
Punkt
Physiker
Summand
Formation <Mathematik>
Trajektorie <Mathematik>
Differentialgleichung
Asymptote
Linie
Potenzielle Energie
Differential
Variable
Quadrat
Kugel
Wärmeleitung
Energie
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Neun
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Physikerin
Partielle Differentialgleichung
Partielle Differentiation
Gleichung
Dreieck
Quantisierung <Physik>
Gewöhnliche Differentialgleichung
Integral
Summe
Anfangsbedingung
Differentialgleichungssystem
Partielle Ableitung
Fünf
Mathematiker
Volumen
Energieerhaltung
Pendelschwingung
Koordinaten
Zeichenkette
Gleichung
Geschwindigkeit
Matrizenmultiplikation
Fluid
Gleichungssystem
Stokes-Integralsatz
Norm <Mathematik>
Quantenmechanik
Wärmeleitungsgleichung
Operator
Wärmeleitung
Energie
Eigenwert
Gesamtdruck
Schwingung
Zustand
Wellengleichung
Vorlesung/Konferenz
Poisson-Gleichung
Wellenmechanik
Wellengleichung
Poisson-Prozess
Lineare Gleichung
Gleichung
Flüssiger Zustand
Hausdorff-Raum
Lösung <Mathematik>
Potenzialfunktion
Gravitationsfeld
Mathematiker
Harmonische Funktion
Faktorisierung
Matrizenmultiplikation
Punkt
Hyperbolischer Differentialoperator
Momentenproblem
Differentiation <Mathematik>
Differenzierbare Funktion
Berechnung
Maßtheorie
Rang <Mathematik>
Norm <Mathematik>
Differentialgleichung
Computeranimation
Lineare Abbildung
Operator
Eigenwert
Gleichheitszeichen
Vorlesung/Konferenz
Funktionalanalysis
Integralgleichung
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Bruchrechnung
Endlichkeit
Exponent
Partielle Differentialgleichung
Rand
Gruppoid
Abbildung <Physik>
Zahl
Summe
Stammfunktion
Anfangsbedingung
Menge
Mathematikerin
Mathematiker
Transportgleichung
ALI <Programm>
Geometrie
Blase
Algebraisch abgeschlossener Körper
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Gruppenoperation
Klasse <Mathematik>
Euler, Leonhard
Physikalische Theorie
Quadrat
Variable
Spieltheorie
Stella, Tilemann
Kerndarstellung
Physikerin
Vektorrechnung
Eindeutigkeit
Einheitskugel
Vektorraum
Gleichung
Sorte <Logik>
Gewöhnliche Differentialgleichung
Integral
Vierzig
Lösung <Mathematik>
Elementare Zahlentheorie
Uniforme Struktur
Lineare Algebra
Strukturgleichungsmodell

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 15: Ausblick: Partielle Differentialgleichungen
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 15
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30765
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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