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Vorlesung 14: Lyapunov-Stabilität

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das 2. Mal herzlich willkommen wir sind noch im Abschnitt über lineare sieht Stabilität noch mal kurz mal kurz als Erinnerung um was ging es da also Überschrift linear gesicherte Stabilität war das große gesucht der große Satz um den es in dem Abschnitt geht den wir letztes Mal noch fertig gewesen haben zur mal langsam das Gespräch auf die Pause verlagern während der betrachten ein beliebiges autonome Systeme von Differentialgleichungen nicht ganz billig also mehr Gleichung 1. Ordnung y Landstrich ist er von y autonom also die rechte Seite es hängt nur von y abgründig nicht von t und y oder nahmen uns mit stationären Lösungen mit Gleichgewichtszustände beschäftigt das heißt wir der Stelle y 0 über die Funktion f 0 ist wenn das so ist die Funktion konstant y 0 Lösungen es ging darum ist dieses diese stationäre Lösung ein stabiles ein instabiles und das Tode stabiles Gleichgewicht und das Prinzip der idealisierten Stabilität sagt sahen sich die gesicherte Gleichung an dann kriegen Sie eine Gleichung mit Kunst Millennial gleich mit konstanten Koeffizienten und dann kann man wenn es gut läuft ist Stabilität zu erhalten übertragen vom Leni Anzahl und was dann rauskam war also schauen sich die Ableitung von dem f an die Jakobiner trägst man muss dass es natürlich irgendwie stetig differenzierbar sein an der Stelle y Rolle das ist Mehr Matrix eine quadratische Matrix davon können Sie die Eigenwerte bestimmen und dann die spektrale Schranke also das Maximum der reale der Eigenwerte und wenn diese Spectral Schranken negativ ist dann ist der kritische Punkt Y 0 in der stabil Asymptote stabil und wenn diese spektral Schranken negativ ist eher positiv ist dann ist der Punkt Y 0 entsteht der letztmals und gesagt der spannende Fall in vielen Fällen ist natürlich der mit gleich 0 um den können wir uns nach einer ich will zuerst mal zu 2 Beispielen zurückkehren die bessern in der Vorlesung hatten und wurde das eine weiß ich gar nicht und daran zeigen dass man unter Umständen mit diesem Prinzip was rauskriegt und auch zeigen wo mal nicht klappt dann das 1. Beispiel ist der der Rückgriff auf den die anfangs Motivation von dem Kapitel vielleicht erinnern Sie sich noch an den Besenstiel her Besenstiel dahinter steckt das mathematische Pendel also die die die nennt sich mathematisches Pendel das ist jetzt die DGL den fehlenden beschreibt das nicht im strengen Sinne einen harmonischen Oszillator ist weil also das Denken von der Uhr zum Beispiel ist nicht im strengen Sinne keine harmonischen Oszillator weil die Kraft die das Pendel nach unten zieht mich immer senkrecht zur Auslenkung Richtung ist mir das Pendel ausgelenkt ist dann zieht die Kraft in gewissen Winkel und deswegen kommt nicht die gleichen des harmonischen Oszillators raus sondern eine nichtlineare Gleichung und zwar y Strich von C 2 ,komma von 10 +plus des Sinus von y von Täter steckte Winkel drin ist gleich 0 kann ist es ganz krass seine Auslegung von P das entspricht das keiner guckt noch Opernhaus war dieses hier 7 bis ich bin mitbringen sollen das war der Gleichgewichtszustand dieses Pendels wenn auch wahrscheinlich denn stabiler und an der Stelle ist die Rückstellkraft eben parallel zur stark Richtung und damit 0 oder wirkt 0 und das ist die Gleichung die die die der dahintersteckt wenn wir jetzt von dem uns für kritische Punkte also für stationäre Lösung und für die Stabilität dieser kritischen Punkt interessieren dass wir das 1. Mal umschreiben Systeme 1. Ordnung denn unsere ganze Theorie ist ja es ist den 1. Ordnung aufgezogen das ist aber kein Problem hoffe ich also wir schreiben das Ganze um in das zugehörige System 1. Ordnung wir bilden den Vektor v 1 v2 Apps mit der besteht aus y y schlicht und dann kriegen wir vor Sprichworts ,komma es 1 ist y also es war ein Strich y strich das heißt 2 vor 2 y strich das heißt vor zweistelliges y zweistellig und y 2 ,komma ist -minus von Y also -minus denn des Vereins und das ist das ist dem 1. Ordnung das da dazugehört und das sie rechts das ist also unsere Rechte Seite 11 von V 1 von sie Unfall 2 von C wenn es also in ein bisschen kürzer schreiben haben dass Sie mit der rechten Seite f von x y gleich y -minus sehen von nix zu tun das ist unsere rechte Seite
von dem autonomen System das zum neidischen Hände gehört und jetzt wollen wir also hier offen untersuchen das geht für stationäre Lösungen und wie sieht es mit der Stabilität von stationären Lösungen schaut man sich mal also Anlass für stationäre Lösungen gibt das heißt wir bestimmen die kritischen Punkte wir diese Punkte sind die Nullstellen von diesem F die sind nicht schwer zu bestimmen na wenn das neue sein soll dann muss das Y mal 0 sein und Nase muss der Sinus von x 0 sein das heißt X muss ein Vielfaches von P sein also wir haben die ganze Menge kritische .punkt was sind die kritischen Punkte anschaulich gut ist der kritische Punkt 0 0 was sind X und Y vielleicht auch das noch Herr X X ist das vor 1 ist also die SV 1 ist die Auslenkung x gibt die Auslenkung an zurzeit t und y die Geschwindigkeit des Pendels derzeit viel n der Punkt 0 0 entspricht also 0 Auslenkungen 0 Geschwindigkeit ist ist der stockte der waagerechten und nennt dann gibt es den nächsten kritischen Punkte Piñol also Auslenkung 0 Geschwindigkeit 0 das ist der Stoff der waagerecht nach oben guckt dann gibt es 2 die neuen daher das ist wieder da und nennt 3 P die 5 die sind schon es gibt einig nur 2 interessante kritische Punkte alles andere ist zwar die periodisch also es gibt die beiden die beiden es kommt jetzt aus die beiden Gleichgewichtslagen das mathematischen Pendels einmal sie hängt runter einmal wenn zeigt genau nach oben also die interessanten kritischen Punkte das sind zum Beispiel 0 0 und pi 0 und der 1. erlitt sichtlich die 2. die Periodizität das Problem ist ja also der kritische Punkt zweigt allen 2 pi 0 hat das entspricht den kritischen Punkt 0 0 und dann entsprechend auch das gleiche Stabilität unter Punkt 3 Kino alles wieder wie der Key 0 und so weit so was müssen wir tun Kochrezept steht hier ja unsere kritischen Punkte gefunden jetzt müssen wir die Jacobi Matrix vom 11. bestimmt an diesem kritischen Punkt nur die Spectra Schrank auf also wenn wir die Jakobiner Tricks aus was ist dir von dem F das sollte nicht zu kompliziert sein müssen die Funktion ableiten 1. Komponente nach x abgeleitet 1. Komponente nach y abgeleitet 1. kommt 2. Komponente nach x abgeleitet gibt -minus Cosinus 2. Komponente nach y abgleitet gibt nur ist die Jakobiner Matrix es interessiere sie groben Matrix an den kritischen Stellen also in 0 0 und die man erst die 0 also ist das sehen Sie hier die 0 einsetzen Na bei 0 1 passiert nicht viel -minus Cosinus von Piri Cosinus von Pi ist -minus 1 also es -minus Cosinus von pi +plus 1 das ist er sicher Colmar Matrix an der kritischen Stelle was uns interessiert ist die spektrale Schranke das alles was wir brauchen sind die Eigenwerte denken sich es charakteristische Polynom aus -minus lahmender 1 1 -minus Lander flammender Quadrat -minus 1 also haben sie Eigenwerte 1 und -minus 1 eigentlich ist sind die Eigenwerte selber gar nicht wichtig uns interessiert nur der mit dem größten Realteil das ist dann die spektrale Schranke als nicht wegtragen Franke von der groben Matrix von 11 ein Dekret zuständig die 0 dies einst größer 0 also ist das ein instabiles gleicht nicht wirklich überraschend Mehr das ist der Punkt Piñol also Auslenkung P Stock zeigt genau noch oben und 0 Geschwindigkeit wenn Sie mir so ne Wiese steht so zu balancieren merken Sie sofort dass das in stabiles gleicht so dann immer zu dem anderen Fall kritischer Punkt 0 0 das ist jetzt der Stopp der senkrecht nach unten hängt mit 0 Geschwindigkeit auch offensichtlich nie Gleichgewichts Lösung gesetzt mit Stabilität aus das müssen wir tun ihr kommen Matrix an der Stelle 0 0 ausrechnen das ist 0 1 Cosinus von 0 bis 1 aber jetzt Hamas Minuszeichen davor 0 1 -minus 1 0 der erreichte ist dieses Vorgehen um davon ändert sich nur ein Vorzeichen aber ein entscheidendes ist es nämlich Landtagswahl drahtlos 1 wenn der Körper +plus 1 hat Nullstellen I und -minus II das heißt die spektrale Schranke für diese Jakobiner Tricks an Annegret 0 0 ist genau der unangenehme falls kommt nicht genau 0 aus und damit ist das einzige was wir daraus schlussfolgern können dass wir keine Ahnung haben das Prinzip der sehr Instabilität hilft nicht weiter und man drüber nachdenkt sozusagen was was man da gern ausgeredet hat muss das auch so sagen kann gar nicht anders rauskommen denn was es mit diesen Gleichgewichtszustand das Ding hängt nach unten der ist natürlich stabil in der Nähe wenn Sie das ganz klein bisschen aus lenken dann fängt das Pendel nicht plötzlich Anhörung Zuschlag an sondern bleibt dass wenn mehr von diesem vom Ursprung aber es ist eben ein stabiler Zustand unserer mir keine Reibung oder sonst irgendwas mit rein nehmen sondern einfach das rein idealisierte Problem
betrachten wird wenn sie das Pendel aus lenken es auch es ganz wenig wegen aber es wird auf alle Zeiten weiterspinnen dann keine Reibung das Ding schwingt immer ganz kleines bleibt stabil in der Nähe der 0 aber es wird nicht auf das ist also nicht also Asymptote stabil die Lösung konvergiert nicht gegen 0 und damit kann das Prinzip der Nähe sehr Stabilität überhaupt nicht helfen wenn das Prinzip der laden wir Sie Ihre Seele Stabilität kann Instabilität erkennen es kann also dort Stabilität erkennen aber für die feinen Nuancen also Tote stabilen stabil ist genau da das mit an der Methodik der Mehr relativ grob 1. Näherung unsere Gleichung geträllert hat in dem 1. Ordnung geträllert am festgestellt wir kriegen ja das Problem bloß ne kleine Störung und wenn das die Jahre Problem klar instabil oder Claasen Tote stabil ist stellt sich raus die kleine Störung ändert aber nichts an den unsere Erde sie das Problem gerade mal stabil ist aber nicht also Tote stabil dann kann die kleinste und nichtlineare Störung das System auf die eine oder andere Seite auf man das ist hier der Fall wenn ein stabiles System das nicht Untote stabil ist und das ist ein Zustand der des zu in der ist zu leicht stürbe war als dass man ihn mit diesem mit dieser brutalen wenn der 1. Ordnung Methoden trifft zur also wir sehen wir konnten jetzt zeigen was man sich auch denken das Balancieren des Stocks nach oben ist das instabiles werden da unten würden wir waren es ist stabiles können wir aber mit dem bisherigen in Instrumentarium nicht nachweisen und wenn und 2. Beispiel wieder aufnehmen ziemlich vom Anfang der Vorlesung und zwar war das das läuft da Volterra System das ist ein bisschen länger her was der Volterra wann der Modellierung für doch Räuber Beute ist denn ich hatte das am Anfang der Vorlesung eingeschrieben um ihn zu zeigen was es ist ist dass es durchaus sinnvoll ist Systeme von Differentialgleichungen anzuschauen weil man verschiedene Größen hat die sich gegenseitig beeinflussen sozusagen eigentlich der Normalfall in der realen Natur und aber ehrlich gesagt Leute Volterra ist relativ einfach zu schreiben aber es ist von hoffnungslos exakte Lösungen zu bestimmen es gibt keine keine geschlossene Lösungsformel aber ich will Ihnen jetzt heut und vielleicht auch noch in der nächsten Vorlesung ich hoff ich komm heute mehr wir müssten heute dazu ,komma mit wollte heute zeigen wie man das Ding zwar nicht lösen kann aber eigentlich alle Information die man haben will aus der gleichen rausziehen kann ohne es zu wissen und das fängt mit dem Stabilitäts Verhalten an also schreiben erstmal die Gleichung noch meinen da Davids 4 Konstanten Geld Geburts und festhalten alpha beta gamma Delta diese sollen alle größer 0 sein und 2 Populationen eine Raubtieren eine breite Population X von The war die wollte Population und y von The war die Raubtiere Population ja und die sonst Koeffizienten als Gamma Täter geben an wie stark vermehrt sich die wollte wie stark stirbt die Reibe Population aus wie viel Geld gefressen und so weiter und sind die alle positiv nahmen die Fress Rate 0 ist dann das natürlich nicht n so und das ist die ehemals Erinnerung sieht folgendermaßen aus der Änderungen der Beute Populationen ist proportional zur R heute Population das ist ganz einfach ist Weichseln exponentielles Wachstum und gefressen wird von der Weiber Population proportional zur Räuber und Beute Population und die Änderung der wo Überpopulation besteht zum einen daraus dass die Räuber Populationen mit der natürlichen Sterberate stirbt aber sich vermehrt proportional dazu wie viel Beute das das war das laut gewollt ist System System von 2 gekoppelten Differentialgleichungen wenn Sie X Jansen die Gleichung 2 x und y auftauchten Jansen 2 die gleichen wechselt oft nicht den was ist denn da kann man nicht schreiben das ist keine lineare Bildung weil sie jeweils dieses Produkt X mal y drin haben aber in man ein autonomes ist rechte Seite von X und Y ab und nicht von TI also nicht von The allein sondern hängt von 10 nur ab durch X und Y also autonomes ist denn schreiben was mal vielleicht als solche Szenen das sieht man's besser das System x durch y strich bis rechte Seite f von x t y c wir müssen wir das Essen an damit zusammen was nicht F von X und Y bis alle formal X -minus später mal XY -minus kann man mal y Flussdelta Malik so dann ist die Frage schon mal die 1. interessante Frage wie sieht's mit stationären Lösung aus was gibt für kritische Punkte hat dieses ist dem Gleichgewichts Lösung kritische Punkte des Gleichgewichts Lösungen sind die Nullstellen von unserm 11 also was wir dieses F gleich 0 setzen geben Gleichungssystem ein für x -minus Peter XY gleich 0 -minus Gamer y Flussdelta XY gleich 0 dann geht es in 1. ein Unfall was ist wenn X 0 ist nur dann ist die 1. Gleichung erfüllt habe nix Neues sie
gleich 0 wenn X 0 das Feld der so man weg determines )klammer zu 1 0 die beraten wurden Räubern war positiv also muss dann das y 0 sein und wir kriegen eine kritische Stellen 0 0 Na dies nicht wirklich verwunderlich ja wenn dessen wenn dessen Modell sein soll für die Populationsgröße von Moral wollte ist es denn dann ist es natürlich nicht der wieder Zustand wenn sie nur Räubern und Beute an dem wird sich nichts ändern der ist aber für die meisten die Fälle wo man das System betrachtet eher langweilig aber ist natürlich der wieder zu stark ja ich meine es insofern stabiler zu interessante stabiler Zustand weil der Gipfel insofern andere stationäre Zustand weil interessant wäre zum Beispiel Stabilität dieses Zustandes der das wäre etwas unangenehm wenn diese dieses Gleichgewicht Jason Tote stabil wir ja weil das würde heißen alles so brauchst schau mal das ist können anschauen wie es mit der Stabilität von dem Dings aus ist der 2. Fall was ist wenn der Text nicht 0 ist dann können Sie der 1. Gleichung des X raus dividieren man kriegen Sie alle -minus Peter y ist 0 man kriegen Sie also aus der 1. Gleichung an ist Alverde später und y als später ist und X irgendwas nicht 0 dann ist die 1. gleichen gefüllte meinte das in die 2. Gleichung einsetzen wenn Sie sozusagen die 2. Gleichung einsetzen dann kriegen sind als durch y taucht in beiden Summanden auf mal -minus Gamer Flussdelta x gleich 0 gut also ich hätte es nicht 0 das heißt ist klar meint muss 0 sein und das heißt das X es der El Gamaa durch Delta kann also alle nichttrivialen stationär .punkt gefunden ein Thema noch nicht so hätte raten können und Wien interessanten also gerne stationäre und kritischen Punkte stationäre Lösung einmal die die langweilige also die alles ist ausgestorben Lösung und dann gibt es einen anderen stationären .punkt nämlich da mal durch Delta Eifer durch wird ab der ist irgendwie nicht offensichtlich also wenn Sie gerade wollt breiter Population und die Wolken genau und die wollte Population genau diesen Punkt bringen haben Sie die stationären Lösungen konnten konstantes Gleichgewicht wenn es natürlich äußerst interessant rauszukriegen bis Mitte mit Stabilität aussieht bewegt sich das System dann auf diesen Punkt zu oder nicht also probier es aus werfen unser Prinzip der liberalisierte Stabilität drauf was müssen wir Touren wieder das gleiche wie die ganze Zeit mehr leiten unsere rechte Seite 11 abschauen der kommen Matrix an und rechnen die Bezahlschranke aus Sicht des das 11. also wir rechnen aus der Grube Matrix von unserm 11 also werden differenzieren die 1. Koordinate Na X geht Eifer -minus bittet war mit differenzieren 1. Goldene Adenauer y geht -minus Peter Ex wir differenzieren die 2. Goldene Nase nach x gibt der der y wir differenzieren die 2. Goldene nach y gegen -minus Gama'a Flussdelta X alles Matrix die interessiert uns gar nicht von allgemeiner wir wollen nur wissen was an den beiden Stellen 0 0 und kann man durch Delta als später passiert war mit dem einfacheren an also mit dem einfacheren langweiligen was ist sehr groben nach an Stelle 0 0 dies als wir 0 0 -minus Gamba die Eigenwerte von dem den abzulesen ist erträglich sind alle -minus und damit ist die Spectral Schranke der Weg bei der mit dem größten Realteil zwischen den beiden ist das alles als von dermaßen positiv also es ist negativ das positiv die spektrale Schwankes also genau Alfa also ich Bezahlschranke von der Matrix Antrieb an dem einfachen stationieren .punkt es allenfalls positiv also gute Nachricht der Zustand ist in instabil selbst ne kleine Population stattlich aus sondern fängt an sich zu vermehren als ich die Zone ganz kleine Population von einem Individuum stirbt normalerweise aus das ist aber wurde ich drin so schlau das Modell nicht das Modell wissen in der Senat in dem Sinne natürlich gegen grobes Modell und vereinfachtes Modell weil hier können Sie ja durchaus eine Population von 3 Komma 8 7 haben dass es im Normalfall auch schwierig also wissen diese X in Y als die gewisse populations Anteil sehen und nicht als diskrete Anzahl von individuellen sie mit diskreten an Sachen Individuen rechnen dürfen Sie nicht mit Differenzialgleichung rechnen weil wollen diskrete Funktion differenziert so arbeiten was ist das hier sagt es dieser Nullpunkt ist nicht attraktiv oder stabile sondern sogar in stabil also wir müssen kein aus als solches befürchten in dem Modell so wie sie zu diesem Anlass mit dem interessanten stationieren .punkt aus was ist JF vorhanden der Mann durch die
älter als durch ersetzen war ein y ist einfach durch später also steht hier Alfa -minus später mal verrichtete ist also -minus alles war Smolka wenn man sieht dass ist für das Problem ein interessanter Punkt hier steht -minus Peter X also -minus später Gamma durch Delta da im Delta mal y ist älter als durch später -minus Gamer +plus Delta X der dem Alexis +plus gamma -minus (klammer auf +plus gamma ist noch wie sieht es mit den eigenen werden von den Dingen aus Rängen sind charakteristische Polynom aus gereichte ist diese Polynom ist -minus Landammann -minus Land S +plus Lander Quadrat -minus das Produkt von den beiden gut dass man das macht das Minus weg haben Sie es Produkt von dem beide kürzlich ne Menge raus Peter durchquert sagte durch Delta bleibt +plus gamma alpha stehen zu was heißt das kann man als weisen beide positiv wer mir wieder komplexen Nullstellen und zwar die beiden komplexen Nullstellen +plus -minus ihn mal nutzlos ,komma als und sie sehen das Mainz wieder böse mit uns die liegen beide auf den eigenen Achse also die spektrale Schranke von und so Jacoby Matrix einer spannenden Stelle er lässt es an kritischen Punkt Gamma dichte älter als Peter diesmal wieder 0 und das Prinzip der geniale sie Instabilität sagt nix gilt das ist jetzt vielleicht bisschen unbefriedigender sich in Indien tolles das Resultat Verkauf und nur Beispiele bringen und das Resultat in die trivial fehlen was sagten interessant nicht aber mal ehrlich ist das bei dem Resultat ebenso interessanten sind die knappen Fälle und die knappen Fälle kann das Prinzip der Nähe sehr Stabilität nicht nicht tatkräftig trotzdem ist es wichtig weil man eben vor mir sowieso im Prinzip schon mal alone Fressanfälle aussortieren auf praktisch sein kann man sich auf die wirklich schwierigen Fälle konzentriert so um die schwierigen Fälle ich will empfehlen will ich ihn noch ein weiteres Mittel zeigen werde gibt eine ganze Industrie der den Mann Stabilität von solchen Gleichung untersucht aber es gibt eine wir eigentlich geniale Idee von einem russischen Mathematiker ende des 19. Jahrhunderts Anfang des 20. Der liegt dann eine ganz neue Ideen eingebracht hat in diese Stabilität Frage die eigentlich jemand wie das so oft dass bei den guten Ideen man sie jetzt vorträgt ist naheliegend aber muss es drauf kommen und das war der Ljapunow für dementsprechend heißt es immer noch als dieses ganze Verfahren oder diese ganze Methodik immer noch ja von auf Stabilität und das ist der Abschnitt 10. und die auf Methode das ist eine die genau dafür gemacht ist solche kritischen Fälle von stabil aber nicht also Tote stabil zu bearbeiten und die sehr viele mit ja auch mit dem physikalischen Verständnis oder je nachdem wo die gleichen der kommt auch im chemischen Verständnis und sonst wie mit der die von der dergleichen zu tun hat und ich werde wir sie jetzt nicht die Mitte oder abstrakt hinschreiben sein ich will einfach da weitermachen wo wir aufgehört haben wir so ein bisschen mich mit Ihnen darauf zu bewegen also seinen Weg nehmen das Wort Ludger Volterra Beispiel wieder auf also heißt dann jetzt nur nicht mehr 9 11 zu 19 1 aber wir rechnen da weiter wo wir aufgehört haben an unserm Ludger Volterra Beispiel nahm Prinzip das muss doch irgendwie diesen Gleichungen zu entlocken sein was mit diesen spannenden .punkt man durch Täter eifrig bei der los ist was ist das für eine stationäre .punkt wie sehen die Lösung aus wie gesagt die Lösung ausrechnen können Sie gerne versuchen ich wünsche Ihnen viel Erfolg ist normalerweise nicht also wirklich nächstes Formeln schreiben schwierig aber man kriegt trotzdem extrem viel über diese Lösung raus und was macht man wenn man mit der Theorie nicht mehr weiterkommt man braucht immer mehr hat ne Art folgten Lösung die vielleicht nicht besonders elegant ist und vielleicht nur bei der einen Gleichung funktioniert aber wenigstens bei der tut also man schaut sich die Gleichung das System noch mal an und probiere rum wenn man ehrlich ist nun probiert einfach um und eine Sache rum zu probieren ist das folgende es gibt dem Wein Gleichung mal mehr Namen als ich richtig ab das laut gewollter ist denn das die gleiche Nummer 1 und die 2. Gleichung der noch mal 2 so und jetzt gibt es folgenden hab trägt man das ist jetzt eine geniale Methode sondern das funktioniert wir machen uns aus diesen gleich um 2 neue gleich und die 1. nehmen Sie mal die 1. gleich mit der Damage und die 2. Gleichung mit Beta und dann addieren die weiter was die mir aus 1. Gleise mit den
einmal nehmen 2. mit Wetter und addieren geht der Eltern Maliks nicht von C +plus später mal y Strich von C =ist gleich und jetzt kommt auf der rechten Seite natürlich ein riesen flogen raus also ein Fall der Eltern X von C -minus später Delta weg vom TY von Till +plus und dann ein Minus Wetter Gamer y Phontvieille sind jetzt die Beiträge die von der 2. Gleichung kommen bloß später Delta ist von TY fertig und jetzt sieht man auch vielleicht die man auf die Idee kommen kann warum man gerade diese seltsame linear Kombination der beiden Gleichungen gewählt weil die beiden zusammen weil man die beiden Sammellust werden wir mal die weiter sind die bösen Buben und bösen Brüder warum das die Hand haben nicht den 1. Beruf eines Jahres ist alles gut also das der von zielgerichtet rechnen dass die beiden bösen Buben hier die wollen ausfallen lassen also was machen wir wenn man das Ding mit der da mal und das Ding mit Wetter und einsehen dass Heidi Raps genau das passiert der Welt gegen den raus also auf der rechten Seite bleibt übrig als formal Delta Malicks von -minus später Maikammer mal y von wer die gleichen sie gesagt dass wir zwar nicht mehr die Tat rausgeflogen aber so richtig schön sieht sie immer noch nicht aus beziehungsweise doch sie sieht schön aus weil sie ja ist er aber wenn man nur einige brauch noch ne 2. damit eine lineare Gleichung ist schön und 2. gleich um eine mit einer Gleichung wenn man nix zumindest nicht für 2 unbekannte Funktion also was einmal die geht ja vielleicht auch zweimal jetzt kann man noch mal eine andere geschickt ja Kombination von diesen beiden Gleichungen viel wenn man auf die Idee gekommen ist dann ja dies die 2. trotzdem noch absurder man ist dann vielleicht nicht mehr ganz so bescheuert wenn es vor sieht man dass da auch was wegfällt also was wir machen ist wir nehmen die 1. Gleichung Wahl mit Gamal durch x von Till und wenn die in die 2. Gleichung mal mit Alfa durch y von Phontäne und dann gehen wir ich geb zu ist nicht so die er wo man jetzt erst Art-Rock als 1. probiert er aber wenn man länger auf die Gleichung nicht da wird stellt man fest auch das ist eine gute Wahl wäre was wegfällt also was das sieht nur das machen wenn es ein vertrauen wir einfach mal den Buch schreiben das ist ne gute Idee
ist und einen Mann aus also die 1. gleichen mit Gamma durch x von 10 multiplizieren gibt der Mama Strich von t durch x von Till die 2. Gleichung mit Eifer y multiplizieren gibt einfach mal y Strich von The durch y von so und jetzt die rechten Seiten ein so das schöne sein wird die 1. Gleichung durch x von The teilen dann fehlt ganz schön viel weg und vor allem machen wir wieder die nicht Genialität Tote also es bleibt übrig Alfa -minus später mal y und das Ganze mit Ghana modifiziert also gamma alpha +plus Milch muss er -minus sein -minus später Gamer y nur das ist wenn man es denn die 1. gleichen die rechte Seite mit Gamma multipliziert und durch x teilt so und dazu zählen wir jetzt die 2. Gleichung mit Eifer multiplizieren durch y geteilt durch y geteilt kürzt die beiden raus macht nicht direkt Täter weg oder wir kriegen -minus Gamma als Fahrer +plus Delta Alfa Maliks von T also die die es in beiden Fällen multipliziere so dass eben diese Droge nicht Genialität weg ist jetzt kriegt man in dem Fall kann man sogar noch Glück und das Kürzel noch was weg guter Ansporn dass man auf dem Boden des Deals -minus beta Gamma y von The Flussdelta Alfa ich's so jetzt haben wir 2 neue Gleichungen die da oben und die da unten und wenn man sich das noch mal genauer an .punkt stellt man fest äh ich das ist sogar noch viel besser als gedacht vergleichen Sie doch mal die beiden rechten Seiten von der Gleichung im 1 wo sind anders rum da aber es geht beides mal genauer gleiche da nun die beiden rechten Seiten sind komplett identisch das war ist das eine wie das war dieses Schlusses der Mathematik dann ist auch das dass ja das ist jetzt auf dem 1. Blick irgendwie Mail banale Erkenntnis aber das ist die die zum Ziel führt was was passiert jetzt was bedeutet das dass die beiden gleich waren was mein also besonders stehen man muss man es auf eine Seite also kriegen wir für alle t größer als 0 von Roman der Eltern mal ängstlich von C +plus später mal y strich von sie es gleich die linke Seite von der 2. gleich in die schmeiß ich auf die andere Seite also -minus Gamer Blix recht von t durch x Phontäne -minus Alfa y strich von The durch y von ist alles 0 es immer wieder nur eine Gleichung aber in dieser gleichen steckt enorme Sprengkraft wir wissen jetzt dass dieses Ding hier drüben konstant 0 ist wenn wir einem auch integrieren kommt Eisen die konstante raus also machen wir es mal es gibt eine Konstante so das die Stammfunktion nur linken Teil diese Konstante ist was die Stammfunktion davon vermissen erst mal Formalien sind geradewegs strich von T auf das ausrechnen freue mich schon los der damals in der gerade über y strich von Kiel -minus kann mal die Stammfunktion von X Strich von t durch x von Fernsehen -minus als normal Stammfunktion von y Strich durch Apps das DT müsse sich jetzt weg gut also auf die 1. beiden die 1. beiden die das man ja gar nicht lang stehen wer die Stammfunktion von der Ableitung kriminell +plus später mal die Stammfunktion von der Ableitung Sommers aber jetzt noch stehen in der geradewegs Strich durch x fällt das sich immer was aus der 1 1 1 ja Ableitung will -minus Gamal von X -minus alles war allen von Yps das Ziel da steht irgendwie Funktion des kommt da es können Sie noch das können Sie noch Zweifel haben ob dieses ganze drum Geschiebe mit dem Integral alles so seine seine Bewandtnis hat und ob meine meine Argumente Tiere Reiter oben sauber ist wenn Sie noch nicht überzeugt sind lässt sich zum Glück leicht nachweisen also ich behaupte wenn Sie folgende Funktionen sich anschauen Frau von XY nämlich genau die also Delta X +plus Peter y -minus Gamal allen X -minus alle Alfa allen y X und Y offensichtlich positive Zahlen und mit der wird man bisschen Schwierigkeiten dann
behaupte ich dann ist für jede Lösung von unserem läuft da Volterra ist dem also das da drüben des LVR für jede Lösung von unserem Ludger Volterra System die strikt positiv ist also komponentenweise strikt positiv aber nur das interessiert uns eine negative Population sie nicht nicht so wahnsinnig spannend also wenn es für jede Lösung die strikt positiv ist ja diese Lösung heißt natürlich X von TY von T Frau von X von T y von T also die Funktion die Tees schlägt auf Frau von X von TY fehlt konstant meine Behauptung und das schöne ist es können sind aber nach ja also beweist es gut beweist es einfachen Nachrichten was machen wir wir wollen nachweisen das diese Funktion wird auf Frau von V ist ist als die geschickt vor von X und wirksam wird die konstante sei so weit über die Funktion ab und zeigen die Ableitung ist 0 1 also wert leiten diese Funktion Frau von X von TY von C nach C R jetzt dürfen wir mal wieder im Gedächtnis kramen Thema Kettenregel aus einer 2 will wie leitet man sowas ab Funktion von A 2 nach er die des der gravierend das ist der gerade jenen von Frau an der Stelle x von TY von T mal Blix spricht von TY strich von Till der wobei damals .punkt hier Skalarprodukt müssen was sehr gravierend von dem V das Frau ist ja ganz expliziert das V steht hier der Text was später y -minus kann man nur muss von X -minus Alfonso muss von y also leiten lassen X ab ich mag den 1. Summanden die 1. 2. die 4. 7 1 3. also der 1. Nummern noch x abgeleitet ist Delta der 2. bis 4. 9. 3. -minus Gamma durch x Mehr -minus Gamer durch x von Zielen im Fall hier wenn wir noch y ableiten ist der nur der geben Wetter und hier gibt's -minus als durch y von Till sie wie die eines okay weil unsere Lösung sind ja alle strikt Positi so dass es der gravierend da und das Multiplizieren mit ängstlich von TY strich von Tell Na geht denn mir Delta -minus Gamer durch x von vielen mal das X strich XY Lösung von Nokia Volterra Lidstrich ist also das hier das ist alles wahr Maliks von steht -minus Gamer mal X von TY das ist nix nein es ist eine Lösung kann es richtig abgibt hin bis auf wurde wieder 1. kommutativ -minus als durch y von sie mal das y strich untersützen Anstrich ist verweisen Lösung von auf der Volterra ist mehr y +plus der mal das Produkt also -minus mal 10 von C +plus Delta X von Z 8 so dass ich jetzt erst mal riesig und nicht vertrauenserweckend aus aber man genauer hinschaut stellt man fest dass gleich der große die große kürzt Action losgeht in dem in dieser Klammer hier steht in beiden Summanden extrem dieses X von Thekla manchmal aus und ziehst nach vorne also die vordere Klammer grimmig Delta X von C -minus nur mal Alfa -minus Gamal y von Till hinten darauf in beiden Summanden der hinteren Klammern y auf das sich hier die Klammer kriege ich bloß später y von T minus Allvar mal -minus Gamer +plus Delta X von Ziel und jetzt haben sie es besser als ich von weitem sieht man es wahrscheinlich besser genau Betrachtung dieser Klammern sollte ergeben dass ich mir nur verschlimmert dieses Gehäuse Wetter dies ist damals mich ein Wetter ja ok 2. so also -minus Peter y war der der iX -minus Gamba Bertelsmann -minus alles war der steht mit falschem Vorzeichen der und andere mit dem gleichen wunderbar hier da bleibt nicht viel übrig der also dass diese Funktion hat Konstante 0 Ableitung und ist damit konstant Gott und mit der Frage was bringt uns das darüber können Sie jetzt noch 10 Minuten philosophieren aber nach der Pause war so dann würde ich meine 2. in 2. 2. einsteigen festgestellt was dann noch als Behauptung gestellt wir können sie was der Volterra gleichen immer noch nicht lösen heute das System aber wir haben was über die Lösung rausgefunden nämlich wenn man die Lösung in diese Funktion einsetzt dann ist die sie deren Ausführung Frau von der Lösung konstant Funktion von e 2 nach ehren und was heißt Frau von X und Y von ist konstant das als Vermittler Zahl aus das heißt die Lösung bewegt sich auf eine konstante Linie von Frau nur wenn die Lösung Frau von x 0 y von X von 0 von und y von 0 3 ist dann ist Frau von X von Tipps und von The für alle Zeiten 3 als die Lösung bleibt auf der Linie zur Höhe 3 von Farbe und damit hat man zum 1. eine Möglichkeit sich diese Lösungen zu visualisieren ärgern mal die Höhenlinien von der Frau Klopp um das Haus der Funktion V von XY ist der der x +plus beide zusammen das kann X -minus 3 Vereinen als den y wenn man sich also werden meine Sie mal die sieht so aus was sehen wir oh oh oh also das ist die
Ebene XY jeder Punkt in dieser Ebene entspricht einem Zustand unseres Systems ja also wenn sie wenn wir hier sind dann haben sechseinhalb wollte Populationen knapp 2 Räuber das heißt wie gesagt nicht 2 Tiere sondern nehmen Sie irgendwelche Einheiten also 6 wenn dieser Punkt bedeutet 6. Harold erbeutet 2 2 Räuber der .punkt hier bedeutet 2 Räuber 2 wollte der hier besonders markiert weil in dem Fall habe ich jetzt spezielle also wir da Gamma Delta gewählt also darf der Folie ist als sage ich da mal gleich 2 und Wetter gleich Delta gleich 1 nur wohin ein Vergleich der Macht gleich 2 Blätter gleich Delta gleich 1 das heißt diese kritische Punkt unseres Systems der da war das Wetter durch alle also ich Peter Gamma durch den Jedermann richtet also durch Peter des 2. 2 also dieser das Kreuz sie entspricht genau diesem ominösen diese ominöse stationäre Lösung die wir haben die andere Lösung war 0 0 Millionen oder schon gesehen die sind stabil und was jetzt unser Ergebnis sagt es mal wir sind am Anfang hier wird so stark Population entspricht diesen .punkt dann wissen wir die Lösung wird sich bewegen auf diesen Linien schon rum oder so aber kann man auch noch rausfinden man genau rechnet bei im Wesentlichen wird erstmal die Beute Population und die Räuber Population einsteigen bis irgendein ist eine Umkehr Stelle geht wo die heute Population Boris aber die Räuber Population so groß geworden ist dass die bald anfängt aus dann geht auf dem Kreis Ohren einander sehr viel Räuber und sehr wenig wollte dann fallen die Räuber an weniger zu werden bis es irgendwann ausreicht das genug Räuber wechseln das die Beute sich wieder vermehren kann und das Ganze läuft in Sotschi zügig nur dass man hier rauskriegt sind die klassischen Schweinezyklen der tja und je nachdem wo sich Staaten haben sie genau Ungleichgewicht .punkt Staaten passiert nix wenn sie sehr weit vom Gleichgewicht weckt starten also extrem viel wollte und fast keine Rolle war dann kriegen Sie hier sehr hohe aus Schlägl da dann kriegen stark Oszillation der Lösungen zwischen drinnen Moment geben weil man die Kurve hier entspricht dann hätten der hier wir zwischen dem Moment des MoMA der Deutsch-Türke wollte gleich aus aber dann geht in die wieder weiter so aber da kann man schon im Prinzip alles eine Lösung aber es die Lösung ich konnte nicht konkret hatte man sieht genau was passiert und jetzt sieht man auch was ist wahrscheinlich mit unserm stationieren .punkt hier was für eine Sorte von Stabilitäts verhalten hat der wenn ich na starte wird sehr kleine Gruppe drum geben und mein System kreist auf ewige Zeiten diesen Punkt wärmer sind ja wieder so ein Fall von stabiler bin ich also tot ist zur sein konnte das Prinzip der Nähe sehen Stabilität nicht helfen und ich wissen jetzt auch noch nicht viel näher dran zu sehen warum es hilft also wann wo wie wir jetzt nachweisen können dass es stabil ist aber der Schlüssel zu diesem Nachweis legten diese Funktion vor der nein eine Form von Frau sieht man zwar nicht wissen dass du noch manche rauskitzeln kann so noch sauberen beweist aber die Funktion V sagt uns ja im Prinzip deren Stabilität wenn diese nicht Kreise diese runden Gebilde dar in die .punkt rumliegen und den Sinn einer Stadt sehen auf dem sehr kleinen Kreis drum rum das sind alles stabil aus dessen das Wasser noch beweisen also intuitiv Licht oh oh intuitiv
jetzt tja dieser kritische .punkt er wie heißt Kammer durch Delta als durch Peter ist stabil aber nicht attraktiv also nicht also tot ist weil die Lösung konvergieren nicht gegen den .punkt haben Sie denn es Staaten bleiben sie mir nicht lass es ja eine schöne schöne Aussage Person einfach aber wollte Modell und kriegt solche Zyklen aber je näher man am Gleichgewicht ist umso weniger krass sind diese zur wie kann uns jetzt diese Funktion helfen diese Funktion V helfen Stabilität von diesem Punkt nachzuweisen oder anders gefragt wie kriegen wir diese Intuition Kreisen auf den Höhenlinien hier wie kriegen wir die mathematisch verpackt und die mathematische Verpackung davon ist die sogenannte Ljapunow Funktion will dass es jetzt nächste Definition also jetzt sehen wir das Ganze auf viele verallgemeinern das 3. beliebiges autonomes ist und sagen wenn gesunde Funktion Frau finden können diese Stimme gewisse Menge Eigenschaften hat die das Nachtleben was diese Funktion VJ 2 dann nennt man das 1. Japon offen zu unabhängig davon wo man die Funktion her kriegt also wir sind jetzt in Setting vor dem allgemeinen autonomen Systemen haben denn Teilmenge von RWE offen ich nämlich wieder zurückziehen auf den stationären Punkte 0 also ich will das nun in ist ich habe rechte Seite meiner Gleichung die definiertes auf den und wieder die übliche lokale Lizenzbedingung erfüllt damit wir uns nicht über Eindeutigkeit und Existenz von Lösung Gedanken machen müssen und so das Nullen stationärer .punkt ist also eher von 0 nun sollen wissen was nicht fällt unsere laut gewollte Beispiele weil das tut nur .punkt aber des uninteressant die wieder stationäre .punkt 2 2 oder im Allgemeinen kann durch Delta später interessant und ich hatte in der 1. Folge gezeigt wie man das sofort reduzieren kann das Problem auf den Fall dass sich der zehnjährige Sohn und ist dann muss man hier auch die gleichen entsprechend verschieben ist aber kein großes Problem so also jetzt dies natürlich auszustellen das sind die entscheidenden Eigenschaften unserer Funktion V die uns helfen zunächst mal muss es Frau natürlich differenzierbar sein das heißt natürlich aber für die ganze Rechnung war praktisch dass es vor Differenz ist weil dadurch konnte man gut nachweisen dass die werden das das auf den Linien bleibt und zu musste man meiner differenzieren werden also wenn man eine Funktion allen die heißt aus historischen Gründen L wie Japan auf die stetig differenzierbar ist auf die mit werden denn er ein Jahr Funktion im großen Modus unser Erfahrungen Beispiel für den Japaner Funktion für diese Gleichung also für das autonome Problemen y Strich ist er von Ärzten und Phontänen wählen Folgendes gilt erstens gut das ist mehr eine Normierung Sache L von 0 bis 0 das kann man immer erreichen indem man am Schluss einfach den richtigen Wert abziehen 11 von X ist größer 0 wenn ich von 0 weg gehen also nur dessen echtes striktes Minimum von den L und jetzt kommt die entscheidende Bedingung jetzt kommt die Bedingungen die Lösung bleibt auf den Trajektorien die die Lösung bleibt auf den Höhenlinien oder kann man sich auch überlegen für Stabilität muss ist wenn man nur Stabilität haben will dann ist es nicht nötig dass die Lösung auf den Höhenlinien bleibt aber wichtig ist dass sie auf den Punkt zu läuft nur als sie darf durchaus Höhenlinien wechseln aber nur in die richtige Richtung sie darf nämlich auf kleinere also er ist ja so gewählt dass in unserm stationieren .punkt in eine Nullstelle und striktes Minimum ist da das ist die 1. Bedingung sagten stationieren .punkt soll das Ende Nullstellen striktes Minimum haben und jetzt hatten wir gerade den schönen Fall dass die Lösung auf einer Höhe liegen läuft das ist für Stabilität zu viel war die Lösung darf nur nicht weglaufen auf größere auf kleinere liegen dazu natürlich gegen die allgemeine Lösung dieses Sony Mitte Spirale gibt beim Ludger Volterra nicht ja kann mehr gesehen seinen auf der Linie aber Kunstvereinen System geben die ja auch stabil war dies kein Problem was wir also sich zu sichern müssen ist dass wieder nur so um die also wenn wenn sie diese Linie wechselt nur zu kleineren Linien geht wir haben gerade eben also was für die Funktion V da oben raus kam war das Ende von der Lösung konstant ist oder anders ausgedrückt gerade mal die Ableitung der Lösung die Ableitung der Lösung F von X Mehr ist er von X dieses Skalarprodukt war bei uns 0 und es muss nicht nur sein sondern es reicht wenn es kleiner gleich 0 ist das bedeutet die Lösung kann ihn wechseln aber nur die richtige ist und das muss gelten für alle x in den andere Anschauung gesunde Japon noch Funktionen vielleicht auch für alle Physikerinnen und Physiker gute Japon auf Funktionen können Sie sich vorstellen als eine gewisse Energie des Systems der also leisten Funktion den angibt welche Energie steckt in den Systemen und dann bedeuten diese Bedingungen hier gut denn Energie .punkt auf 0 setzen dürfen sie in diese wollen die Energie hat an der Stelle an stationären .punkt Minimum und entlang einer Lösung Feldenergie ab das gutes Kriterium dafür dass die Lösung doch gefälligst auf dieses Minimum zu läuft aber in der die Abfälle der Tamino ab weil sie der für sondern sonst machen tja das nennt man die App oder Funktion soll ja Japaner Funktion wird uns in diesen Stabilität sichern wenn der asymptotische Stabilität haben wollen ist das zu schwach denken Sie Sinn das Beispiel hier ja wenn die Losung entlang der entlang wenn die Funktion die Bewegung zum elend an der Lösung Konstante ist das sie hier zugelassen ist dann können solche ewigen Oszillation auftreten sind steht wieder wenig essen Tote stabil wir müssen also wenn wir als untoten Stabilität haben wollen mehr fordern im Wesentlichen müssen wir den Fall dass sie gleich rauskommt aus schließen und Syrien striktes kleiner haben dann wären wir später also also tot die Stabilität rausziehen das ist eine sogenannte streckte Japaner Funktion also das ist der Teil wenn zusätzlich dieser gerade 11 von x-mal F von X streckt kleiner 0 des das kann jetzt nicht in jedem x in die gelten dabei an der Stelle x gleichen oder das den striktes Minimum das die aber natürlich 0 als degradieren natürlich 0 also für alle x sind die außer 0 dann nennt man Ellen gestrickte Ljapunow Funktion also dieses strikt bezieht sich da drauf das in der letzten Eigenschaft von Japon auf Funktion bei der strikten von noch Funktion Strickkleider steht aus einer Stelle nur da kann ich strikt seiner stehen wir an der Stelle 0 ist der gerade jenen von allen 0 wenn schließlich gefordert dass allen 0 will ein striktes Minimum haben soll ohne dass nicht differenzierbar ist da der ihr natürlichen sondern sie damit gesehen nur Namen definiert schauen uns noch mal an was der mehrfach jetzt schon erwähnte Zusammenhang ist zwischen dieser Bedingungen hier diese Bedingung Gradient Elmar 1. kleiner gleich 0 und dem was ich immer sage das bedeutet das 11 von der Lösung nur fallen kann das kann man jetzt ganz allgemein nach welchen die Rechten die wir gerade jetzt unsere speziell der Funktionen gemacht haben geht ganz allgemein durch
also wenn sie von sonder gleichen Ljapunow Funktion haben gilt für jede Lösung der Gleichung also für jede Lösung von y Strich von ist es von y von Phontvieille was gilt dann immer die gleiche Rechte wie mit unserem V für das L also wir schauen uns an was macht allen nach was ist jetzt das wie vorhin auf eine mittellose XY das freigesetzte setzen würdest und das er ein also die Lösung muss ich den was macht es in der Zeit also weit über das man auch die ja dann kriegen wir raus gerade jene Elf von von C mal strich von 10 nach Kettenregel Ableitung von allen nach USA werden von allen in mal strich strich wissen wir aber ist eine Lösung ist von also das ist gerade jene L von von T weil von von T und so lang und des bleibt wenn man meint dass die rausfliegt dann wir keine globale Lösung zieht jetzt dieses Ding hier gesagt wenn sie mich aber nur Funktion haben dann ist schon Ausdruck gerade jene von allen mal irgendwas das von der was man eher von irgendwas kleiner gleich 0 wenn man jetzt von vorn nach hinten kommt steht hier die Zeitableitung von n ausgewertet auf der Lösung ist negativ das heißt die Lösung 11 11 von der Lösung fehlten derzeit oder SMS Konstante wollen wir konstant wenn wir hier kleiner gleich 0 zulassen kriegen bei allen aufhob ist monoton fallend und damit sozusagen ist unsere Lösung unseres stationären Lösungen der Falle jetzt können wir sehen jetzt können wir sehen knacken meine Beweis sieht sich da noch ein bisschen aber die Grundidee ist jetzt hoffentlich transparent werden jetzt mehr Funktion L gefunden die an der Stelle nun striktes Minimum hat und die so gestrickt ist das heißt wenn sie gefunden werden angenommen werden so einen der 1. neue striktes Minimum ist und die so gestrickt ist dass wenn sie diesen also nahe bei 0 dann ist jede Lösung wenn sehen UL einsetzen also 1 EL von jeder nur so monoton fallend das heißt diese Lösung hatte keine Wahl denn muss auf die 0 zu steuern oder sie kann zumindest nicht vor der 0 weglaufen und damit ist die Existenz von sondern der Bund Funktion das dann wird das nix zeigen die Existenz einer Laterne Funktion impliziert Stabilität des Ursprungs bei jede Lösung die Nähe startet in diesem schönen Bild von allen nicht vor 0 weglaufen darf sie haben und das ist ja eher und auf Stabilität Satz Theorien 10 4 wie bleibt auf Stabilität Satz und der liefert jetzt Stabilitätskriterium das ist etwas was wir bisher nicht haben dann bisher nur in Stabilität und Asymptote stabile Kriterium beim Kriterium für stabil habe noch nicht der Stabilitätskriterium kam von der Funktion also Situation wie gerade eben der Teilmenge er die 0 soll drin sein es ist auf die definiert und lokale Lizenzbedingung und Moore sollen die kritische Stellen seien also eher von 0 soll 0 sein nur wenn 10 andere diese Stelle haben wir schon mehrfach erwähnt reduzieren Sie es auf den Fall und dann sagt das ist ja wohl noch Stabilität Satz existiert eine ja auf Funktion von dieser Humor autonom Gleichung y Striches er von Y dann ist die Nulllösung stabil ja also einfach aus der Existenz 1 Ljapunow Funktion folgt schon stabil Stabilität der nun der Lücken gelassen weil man kann das Ganze jetzt noch verschärfen wenn sie nicht richtig ab nur Funktion haben wenn Sie strikte Iacono Funktion haben dann ist hier oben sogar kleiner 0 dann heißt es entlang eine Lösung fehlt die Funktion strikt ab und dann kamen können wir nachweisen wird uns ein bisschen Arbeitskosten nächsten Vorlesungen kann man nachweisen dann geht tatsächlich jede Lösung die nah genug bei 0 startet gegen 0 also der nur vom bis auch attraktiv das heißt in dem Fall haben Sie mehr als im 2. stabile nun ist also das Geldbesitz so zu lesen dass der Satz mit Geld und ohne Geld geht wenn sie nur wenn sie nicht ab oder Funktion haben sie nicht der Bienen Nulllösung wenn Sie der strikten der Bonner Funktion haben haben als steht in das soll später auf den 1. Teil schaffen also zum heute gibt ja keine aber den Teil der die nicht Teil der gelbe teils bis mühsamer also
erstmal anfangs Bemerkung dies offen 0 7 D daraus folgt es gibt allen Epsilon 0 größer 0 so dass die ganze Kugel mit 3 dass er zwar nur um 0 dann sind die freut es meinen Sicherheitsabstand und das die Ehrung Frau als mein Sicherheitsabstandes dierung er an dass ich es wie er um die nur Nullrunde sich geht er Aberwitzes ist wegen offen kein Problem vielleicht mal kurz Erinnerung was müssen gleich zeigen wir wollen stabil zeigen also noch mal schnell die Quantoren wüsste was heißt stabil stabiler ist für alle Apps immer größer 0 existierten Wälder größer 0 so dass wenn sie ne Lösung O haben denn anfangs wird kleiner als der älter ist dann gilt dass der Wert von dem kleiner gleich y bleibt für alle größer gleichen ja das müssen wir zeigen ja das ist unser Ziel so also müsste jeder selbst Kurs der neuen Delta größer 0 finden insofern ist der Satz selbst immer größer 0 nicht unerwartet das dürfen Sie fragen warum fragte das so komisch der Stadt das so komisch hin weil ich gern wieder ne Sicherheit Schranken nach oben hätte ich guck nur kleine y a nämlich nur welche die kleiner setzen und 0 7 jetzt müssen wir die Eigenschaften von unserer Japaner Funktion ausnutzen und wenn man was nach diesen Satz nach den Beweis von dem Satz was leicht nicht mehr sehen kann sind die Argumente von der Form stetige Funktion auf kompakte Mengen Minimum an das kommt jetzt nämlich inflatorische kommt zum 1. Mal also wenn setzen M E 10 9 als das Minimum der Wert der Elf von X überdies wäre aller Punkte mit Betrag X gleich jetzt also nehmen die Einheit wenig die die y zur Erde das sehr kompakte Menge Alice stetig also existiert dieses Minimum es existiert nicht nur sondern es ist sogar strikt positiv warum weil unser L in dem ganzen des ohne 0 Schritt positiv ist also in jedem Punkt auf das wäre strikt positiv also muss er das Minimum ;strichpunkt auch das Argument wird noch mehrfach kommen er alle da größer 0 auf der Menge aller X mit 3 gesetzt es ja was ist immer noch wir wissen und sehr enge wird an der Stelle 0 0 ohne stetig das heißt irgendwann muss es mal kleiner werden als n Epsilon alles geben Delta größer 0 da muss unser Delta so dass allen von X kleiner wird als dieses Epsilon wenn das X nur klein genug ist nein sind das Bilder ist da muss irgendwann das er von X 1. sehr Netzen und werden auch das wieder das liegt daran dass er von 0 0 ist und das 11 tätig also bin ich hab irgendwann nah genug bei 0 dieses der dann nicht mehr so geht nicht mehr hab ich dann werden das wäre jetzt sondern auch zeigen dass die Behauptung nicht also das was wir tun müssen Lösungen nehmen die Mehr als dieses Delta 0 Start also wir nehmen uns der Lösung sei ohne Lösung von unserm autonom Probleme y Strich ist der von y von C den anfangs kleiner ist der ist dieses Tätern Lasern Land vorgegeben mit dem Epsilon kriegen wir das Epsilon und aus dem NY Cremes was geht jetzt für unsere Lösungen wir wollen uns natürlich von angucken ja 11 von ist das worüber was wissen wir wissen 11 von oben und und monoton also müssen wir lieber sein L von Uran Alice ist unser ist unser Retter in der Not wir müssen erst Zeiten von dem er rauskitzeln das für Stabilität haben was es mit 11 von von 0 Uhr von und ist kleiner als Delta das heißt von 0 ist leider ist der das 1. 11 und 0 es kleiner sein wird ich habe ein UFO 0 kleiner als der ist so war dass der da gerade das ist wir noch Rechnung von oben für alle Tiere größer gleich 0 es die Zeit also zu die Ableitung von 11 von von T gleich ab immer noch keine gerade jene Elf von von Thema es von von den war das die Rechnung von darum die Zahl der Leitung von 11 von Hof und hier ist genau gar die Elf von von The mal 11 von von Tee das ist kleiner gleich 0 wegen der Bedienung an die ab und auf und ab was heißt das
das heißt unsere Lösung ist am anfang also 11 und ist am Anfang kein Essen mehr Zimmern und danach monoton fallen dann wirds auch nie größer selbst der es bleibt so kleinere wird nur kleine also was wir kriegen es für alle Ziele größer gleich 0 es neue gleich 11 von von sehe ich meinen 11 wovon sie kann die kleiner als 0 werden weil er sehr positiv er vom Hof und will und das ist wiederum kleiner gleich 11 von von 0 war weil die Funktion in Darfur Sermon vom fallen und das ist kleiner SMS und was müssen wir zahlen wir müssen sein so Losung bleibt innerhalb der Gruppen gerade selbst war ja das ist sie müssen zeigen wovon sie wird immer kleiner als y Moment ist er nur 11 von von The wird immer kleiner als mit was wir also in jetzt noch nutzen müssen ist wenn Zusagen die Intuition des Beweises kann man es schon erklären wir wissen 11 von Robert immer kleiner als 1 und unser es am Anfang kleiner als y wenn es am einmal der ok aber 11 Ungehorsam anscheinend ist kann man nicht kleiner eiserne und wenn das irgendwann mal aus der Kugel mit 3 selbst noch ausbrechen will dann muss es durch das wäre durch her aus der gut raus oder durch das wäre es nicht in dem Moment wo es durch die Sphären kommt Hartz er ist ist aber 11 von gleich NY das kann nicht sein das müssen wir jetzt noch ausgeht dazu also die Annahme an der Widerspruch die Annahme ist es geht unter 0 größer 0 so dass von 0 den Betrag größer gleich jetzt das wollen wir natürlich nicht wollen Stabilität wir wollen zeigen es ist kleiner gleich y aber sammeln und gleich zu viel also nehmen wir an es wird ändern strikt positiv wenn es irgendwann strikt positiv wir also strikt Grundsätzen und wird dann muss man Nichtigkeitsgründen sind Alexis geben da nur zwischen 0 und 10 0 so dass Betrag von The Stern genau gleich Apps will stetig wenn daraus will muss irgendwann durch die da ich ja also schauen uns an was mit 11 und von Tillich 11 von von zerstört von der deren liegt genau auf das wäre gerade selbst wenn an das heißt dieses von sie Stern oder UV und ist 1 1 X ist oben dem Minimum Bildung genommen wird das heißt diese Ausdrücke war größer gleich diese Minimum also dass es größer gleich dem Minimum alle x mit betrage y 11 von Excel weil 1 diese Betrag y des UV und Dichter also das ist größer gleich M E 10 an und jetzt wissen wir aber von hier oben für egal welches die größer gleich 0 ist 11 von von The immer kleiner als der nächste sollen also soll es größer als 11 von Ruf und ja und jetzt dies nicht mehr gut aus für unser also habe rausgekriegt Betrag von Terry ist kleiner gleich y für alle Tiere größer gleich neue und das bedeutet genau nur so ist stabil nur dann für jedes Plätzen und größere Nullen Wälder gefunden so dass immer mehr als die Eltern den Haider 0 Staaten bleiben wir für alle Zeiten kleiner lebt und das ist genau die Definition von stimmt gut dann vieles noch gelbe bezahlen erstaunlicherweise muss man dafür mehr ackern also ins nächste Mal von den Begründung zu geben warum man ein bisschen muss aber da müssen wir noch ein paar Mal Kompaktheit und so weiter benutzen also noch zeigen müssen ist wenn die Lappen vor sogar strikt ist das heißt an dieser Stelle ja steht nicht echt klein und nicht nur kleiner gleich dann kriegen wir sie nicht nur raus dass die Lösung der Nähe der 0 bleibt sondern geht sie auch gegen 0 und damit Anwalt Aktivität und damit asymptotische Stabilität das Programm für nächstes Mal für heute erst mal danke für die Aufmerksamkeit
Sinusfunktion
Matrizenmultiplikation
Punkt
Nichtlineare Gleichung
Kraft
Maximum
Gleichung
Vektor
Asymptote
Computeranimation
Richtung
Lösung <Mathematik>
Kritischer Punkt
Harmonischer Oszillator
Eigenwert
Koeffizient
Differentialgleichungssystem
Stationäre Lösung
Pendelschwingung
Ableitung <Topologie>
Schranke <Mathematik>
Mathematische Größe
Geschwindigkeit
Stabilitätstheorie <Logik>
Total <Mathematik>
Punkt
Matrizenmultiplikation
Sterbeziffer
Gleichungssystem
Autonomes System
Asymptote
Computeranimation
Quadrat
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Spieltheorie
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Neun
Sinusfunktion
Einfach zusammenhängender Raum
Kugel
Kosinusfunktion
Thermodynamisches Gleichgewicht
Gleichung
Konstante
Lösung <Mathematik>
Kritischer Punkt
Exakte Lösung
Koeffizient
Differentialgleichungssystem
Fünf
Stationäre Lösung
Charakteristisches Polynom
Pendelschwingung
Formation <Mathematik>
Total <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Punkt
Summand
Stationärer Zustand
Gleichungssystem
Rang <Mathematik>
Differentialgleichung
Mittelungsverfahren
Quadrat
Eigenwert
Spieltheorie
Rang <Mathematik>
Nullstelle
Zustand
Vorlesung/Konferenz
Kugel
Ljapunov-Exponent
Betafunktion
Gleichung
Kritischer Punkt
Polynom
Menge
Stationäre Lösung
Mathematiker
Charakteristisches Polynom
Koordinaten
Parametersystem
Logischer Schluss
Positive Zahl
Total <Mathematik>
Betafunktion
Besprechung/Interview
Gleichungssystem
Lineare Gleichung
Gleichung
Integral
Konstante
Stammfunktion
Spieltheorie
Mathematiker
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Ebene
Kreis
Stabilitätstheorie <Logik>
Punkt
Kurve
Momentenproblem
Summand
Besprechung/Interview
Zahl
Maßeinheit
Linie
Konstante
Lösung <Mathematik>
Kritischer Punkt
Skalarprodukt
Multiplikation
Spieltheorie
Kettenregel
Vorzeichen <Mathematik>
Höhe
Stationäre Lösung
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Aggregatzustand
Deutsche Mathematik Olympiade
Punkt
Zusammenhang <Mathematik>
Total <Mathematik>
Physiker
Große Vereinheitlichung
Trajektorie <Mathematik>
Asymptote
Rückkehrpunkt
Computeranimation
Linie
Richtung
Gradient
Energie
Kettenregel
Spirale
Minimum
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Gravitationsgesetz
Ableitung <Topologie>
Neun
Funktion <Mathematik>
Ljapunov-Exponent
Kreisfläche
Eindeutigkeit
Gleichung
Teilmenge
Konstante
Lösung <Mathematik>
Skalarprodukt
Menge
Höhe
Stationäre Lösung
Aggregatzustand
Parametersystem
Deutsche Mathematik Olympiade
Punkt
Wald <Graphentheorie>
Dimension 6
Quantifizierung
Stetige Funktion
Zahl
Computeranimation
Lösung <Mathematik>
Numerisches Gitter
Kugel
Betrag <Mathematik>
Menge
Minimum
Kompakte Menge
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Schranke <Mathematik>
Mathematische Größe
Lösung <Mathematik>
Wald <Graphentheorie>
Kugel
Momentenproblem
Betrag <Mathematik>
Minimum
Vorlesung/Konferenz
Kompaktheit
Aggregatzustand
Null
Ausdruck <Logik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 14: Lyapunov-Stabilität
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 14
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30764
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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