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Vorlesung 13: Prinzip der linearisierten Stabilität

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gut denn auch von mir ein herzliches Willkommen ja mal vor der sowie mit dem Geschehen anfängt deswegen wenn ich normal so wenigstens in
Stichworten den Satz hinschreiben bei dem ich gerade
mittendrin waren zu beweisen es werden uns Stabilität beschäftigt ich hoffe sie am alle noch den Besenstielen Erinnerung der aber dem stabilen Gleichgewicht in einem stabilen Gleichgewicht ist und werden mit einfachen Gleichungen angefangen neues ist genommen hat schaut man sich erst mal die einfachsten Möglichkeiten an und haben uns mit linearen Gleichung mit konstanten Koeffizienten beschäftigt was der Satz 9 4 Skript
ich lass jetzt mal die Voraussetzung und so weiter weg wir haben uns
mit dem System also mit konstanten Koeffizienten das heißt y spricht von 4 is a mal y von CD beschäftigt das Dinge da sie offensichtlich stationäre Lösung nämlich den Hundesohn ihre Zeit nicht mit Kleinow sollen wohl erinnern dass er und dann hatte ich gesagt dass Stabilität von dieser nur so kann man einen Eigenwert der Matrix ablesen genauer Spectral eine spektrale schlagen denn das ist der größte real Teil Eigenwert von A diese spektrale schlanker sich mit es von A bezeichnet also es von A ist der Real Teil des Eigenwert von A den wir größten Wert aller das Zuziehung hatte der Eigenwerte und wenn die kleiner 0 ist die spektrale Schranke das hat in der letzten Vorlesung so schon gezeigt dann ist die Nulllösung er stabil sogar 7 Tote stabil also stabil und attraktiv jeden wären sogar gezeigt jede Lösung diese Gleichung konvergiert ein exponentiell schnell gegen 0 Meister also deutlich stabiler ist ja nur in einer wenig nahe genug an 0 starte konvergiert die Lösung gegen 0 und bei den Jahren gleich mit konstant gute 10 ist es besonders einfach egal mit welchem Staat wird sich starten der kann auch noch so kilometerweit von 0 weg sein jede Lösung konvergiert exponentiell schnell gehen das ist der 1. Fall meiner letzten Vorlesung noch behandelt und heute müssen wir uns kümmern um den Fall wenn sich Bezahlschranke kleiner 0 ist dann ist die Nulllösung immer instabil und dann gibt es den schwierigen Fall den 3. Fall wenn Schranke genau gleich 0 ist das heißt es gibt den Eigenwert auf der imaginären Achse und alle anderen sind links davon dann kann man auf jeden Fall sagen oh ist das ist die Lösung nicht Asymptote stabil ein besser fände sie nicht attraktiv das stimmt auf jeden Fall dass es sie nie und die Frage ist wann es sich stabil und da kann man ein Kriterium angeben wo es dann stabil genau daran wenn der für jeden Eigenwert bleiben davon aber mit Realteil von Landtag gleich 0 also für jeden Eigenwert auf der imaginären Achse für jeden kritischen Eigenwert die algebraische vielleicht die geometrische vielfach auch das ist das stimmte der 2. von linearen Systemen man schaut sieht sich der Kreis rannte an wegreißt Hanke größer 0 in stabile Spectral Schranke kleiner 0 stabil der Kreisverkehr gleich 0 schwieriger Fall Stabilität entscheidet sich an der vielfach heiter an so den Anteil hat ich letztes Mal gewesen bleiben B und C und ja letztes Mal schon gesagt alle diese 3 Aussagen folgenden Prinzip also Struktur Resultat über die Lösung von solchen Systemen werden wir wir dann Normalform gesehen solche alle Lösungen von unserem System haben Sie vor diese eine endliche Summe eh gleich 1 bis K Beweis für jeden verschiedenen Eigenwert ein so Summand die und jeder so man fängt an mit einer Exponentialfunktion ihr auch Thema des dieser Eigenwert und danach kommt irgendein Polynom also wobei Polynomen "anführungszeichen P von Teslic ist in Vektor aber jeder Eintrag dieses Vektors ist ein Polynom ehren und der Grad von Teddy der ist kleiner gleich algebraische Vielfachheit -minus geometrisch ist woher kommt das warum ist das so wir werden wir sehen wir kriegen das fundamental System von dieser kleinen Ausleger der Normalform solange wir gibt solange lauter einzelne Jordan Kerstin haben also solange also ein Element hier ein Gässchen haben sondern die Matrix dehumanisiert wahr ist ist dieses polynomial in Farbe konstante nämlich der eigenen Sektor zu dem Eigenwert es wo Funktion der Form IUF Celan damals zugehörige ein Vektor ist meine Lösung und dieses Polynom tritt erst dann in Erscheinung wenn Sie wirklich Jordan Kassen haben werden mindestens Größe zweier und die Größe dass hier ein Kästchens für jede Größe das Abendessen kriegen Sie ein Polynom Ordnung Mehr und die schlimmste Fall der eben auftreten kann ist dass es zum Eigenwert nur ein einziges Jahr dem Kästchen gibt und die Größe dieses Jahr dann des ist dann Anzahl der Nullstellen SDR in Bereichen die Wachheit -minus sich zur er also Norm und einen Beweis von B also das ist schon der Anfang vom Beweis aber letztes Mal gemacht kommt B was müssen wir tun wir müssen zeigen dass die Lösung ist instabil und was wir zu machen ist geben sie jedes Delta größer 0 eine Lösung an den anfangs wert 9 Selter hat die gegen unendlich geht nur und wenn das heißt bis ich wenn das für jede Größe der Eltern anfangs wird gibt mit Größe Bilder der wo die Lösung gegen endlich geht dann kann es keine Umgebung und den Ursprung des Lebens in der eine Lösung gegen 0 gehen oder in der eine Lösung in dieser Umgebung bleiben das heißt das Ding ist nicht stabil sondern wirklich entsteht so also wenn es von einer größeren und es dann heißt das es gibt ne Eigenwert also einander neuen Spektrum von Asien davon aber nicht Menge alle Eigenwert des gibt Eigenwert landen 0 dessen Realteil größer als 0 ist das ist genau das die Definition der Spectral Schranke diese ein werden wir uns hier dazu gibts auch ne Eigenvektoren natürlich ich nehme irgendeinen Lektor mindestens 1 muss es ja geben zugehörigen Eigenvektoren und den kann ich jetzt noch beliebig strecken oder stauchen und ich wir so dass eine Normen Haitis wo haben wir ja alle Freiheit also nehmen wir neigen zu meinem Eigenwert Längen hat ist so und dann wenn ich mir beliebiges Delta größer 0 vielleicht eine Lösung konstruieren
die mit dem anfangs Wert startet der Größe Delta hat und explodiert das und die Lösung kann man jetzt einfach hinschreiben also es gibt einen Lösung vor der davon T und dieses Geld der wie auch in anderen Multi von 0 ja der zu der größte Denker der der Haider an das Kosmetik wo was gilt für die Lösung also erst mal ist es eine Lösung von unserm von unserer Gleichung mir warum mehr das ist ihre auch eigene Thema Eigenwert man einen Vektor dass es eine der Lösung dem fundamental System drin stehen wenn sie die Adern der das wäre wenn Sie mit Milliarden und Normalform gehen dass letztes gemacht haben das Aviva Lösungen also bis jetzt Lösungen und jetzt können sie Superpositionsprinzip drauf werfen wenn man mit Kanonen auf Spatzen schießen will hier ja Kombination von Lösung ist wieder Lösung also insbesondere ist die Frage die der in der IT-Welt vergleicht so und das Geld wird da diese nur so also eine Lösung von unserer Gleichung für die jetzt Folgendes gilt der der Abstand zur zurzeit 0 mehr unsere Lösung von der nur mir so ja gut dass ist die Nulllösung erstellen und natürlich 0 also das ist der die Größe des anfangs es an der Stelle 0 das ist Geld da mal in der Woche 0 C also eher hoch 0 mal die Länge von Frauen 0 von 0 Esslingen halt also wir haben eine Lösung die am Anfang und zum Zeitpunkt 0 halbe vom Ursprung weg ist und was passiert unternommen waren also das passive für große T wenn man sich jetzt anschaut was ist der Abstand von Frau Delta zur Nulllösung dann ist die Nulllösung immer noch 0 also das ist die Norm von Frau Delta und jetzt nutzen natürlich aus dass der Halter von den Namen der 0 positiv ist und was dann rauskommt ist Geld da mal die Norm von Frauen 0 mal eher hoch Realteil von 0 Ziel welterfahren wurde mit einfacher Delta Halle wie hoch der Anteil an dann n wird sehen wenn jetzt sehr groß machen geht es gegen unendlich bei der der Eltern von unter 0 positiv ist also an Lösung produziert die beliebig nahe bei 0 startet was der da könne so klein drehen wie sie wollen und in jeder Umgebung von dem 0 finden Sie eine Lösung die noch unendlich ab ob das heißt der die Nulllösung Gesichter stabil sie können noch so bisschen daneben liegen Lösung hadert so dass gegen werde einen Eigenwert hatten der echt größer als 0 Realteil hatte ,komma zu dem Fall das die Spectral Schranke genau 0 ist dann nämlich zuerst zeigen was sie zuerst der hauptete hat die Lösung ist auf keinen Fall attrakti die Nulllösung ist dann auf keinen Fall attraktiv also das mit dem Fall es von AS 0 das heißt es gibt einen Eigenwert also es gibt dem Land der Nullen Spektrum von Ar mit Realteil 0 nur so um uns dem meiner nehmen gut das heißt Realteil 0 das heißt Lander 0 ist von der Form Email-Müll 0 und immer 0 ist eine reelle Zahl es liegt ihm auf den Magen den ACS dazu gibt es auch wie den Eigenvektoren also QC weitere Überlegungen wie im Detail wenn man sich mit den zugehörigen Eigenvektoren V 0 Netz auch Längen halt genau wieder oben unter beliebiges Delta größer 0 ist dann wieder vor der darf und die im Prinzip ja genau die gleiche Funktion Welter er wochenlang bei 0 zehnmal V 0 also gleiche Idee sehen sich neigen Vektor zu dem Eigenwert 1 0 bauen diese Funktion Delta E einander 0 TV 0 das ist eine Lösung von unserer Gleichung also auch hier normal das eingesetzt teilte er hoch I 0 0 TE V 0 das ist eine Lösung von unserer Gleichung da und wie oben gilt zum einen an der Stelle 0 ist die denn die Norm das anfangs wird ist also ich kenne kann beliebig nah bei der 0 starten und was passiert mit vor der davonziehen Betrag bleibt das Delta übrig Platin Norm von Formulare 0 übrig und der Betrag von der Hochebene 0 tätig mir 0 so L und die auch wird steht da er immer was Reelles das ist also genau Einzelbetrag was übrig bleibt ist einfach genau Delta hat was bedeutet das das bedeutet eine Lösung gefunden die innerhalb der Kugel mit Radius Delta startet auch brav da bleibt aber nicht die 0 zu 1 ich damit Längen Delta halbe und bleibt konstant auf diesem Markt ein gewisses Verhalten führen würden völlig ungedämpft Handy Mehr völlig ungebremst das Pendel schwingt immer auf Dauer mit der gleichen Energie und dergleichen trägt die gleich weiter nicht umsonst hat der harmonischen Oszillator wenn sie denn oder den machen die Eigenwerte Jünglinge sie haben Eigenwerte ihre -minus sie sind immer im Reigen der Generäle Eigenwerte sind immer genau die wusste wo so noch stabil sein kann aber nicht mehr attraktiv so also damit aber auf keinen also das ist wenig attraktiv für also das geht nicht gegen 0 und weil das Wetter beliebig war die 10. eine Umgebung um 0 in der jede dort startende Lösung gegen 0 konvergiert also ist es die Nulllösung nicht attraktiv bleibt noch die
Frage wann wie sieht's mit Stabilität aus und da lohnt sich selbst Normalsichtigen anzuschauen etwas über die Lösung wissen noch Somalia reinzugucken für jeden Eigenwert das Wissen über die Eigenwerte Spectral schlankes 0 das heißt jeder es gibt sozusagen 2 Sorten Eigenwerte die auf der imaginären Achse und die die nicht auf dem Mehr gewähren Achsen liegen die müssen Realteil ich kleiner 0 habe weit rechts von dem man den Achse kann kein Eigenwert liegen die spektrale schon wissen nur das heißt wir können unsere Summen da oben in 2 Teile aufspalten wir haben einmal die Eigenwerte Der fremde Sohn die Summe die Eigenwerte für die reale Zahl kleiner 0 ist über ihr hoch Landa CD mal die entsprechenden Polynome bloß eine Summe über die eigenen Werte für die der Anzahl von aber genau gleich 0 ist er wochenlang dazu die mal die entsprechenden Kunden so der 1. Teil von der Summe der ist einfach geändert weil der geht nämlich die 0 egal womit sie anfangen Verträgen oder nicht das ist sie aber da können Sie genau so kommentieren Wien als am Südende Funktionen Polynom eine Exponentialfunktion wobei das was oben steht negative Realteil hat diese Financial Funktion tötet als also der Teil geht gegen 0 der ist gut was in sehr große The übrig bleibt ist der Hit und da mal gesehen als Aktivist auf keinen Fall den ich gegen 0 gehen die Frage ist man bleibt der alles das spannende zerren wann bleibt der stabil wandert der in der Nähe von der nun und erreicht ein ewiges die Frauen anzugucken an dass er auch nach der Zählern Realteil 0 wenn nichts gegen 0 drücken aber dass es im Betrag konstant weil das Land als wäre ein imaginäre Zahl das ist im Betrag eine konstante Größe die Polynome hier den Designer unendlich jagen sobald sie mir Ihnen erlauben Grad größer als 1 zu haben wird größer gleich 1 zur und das führt zu diese Bedingung hier werden genau dann Stabilität wenn für jeden Eigenwert Realteilung dergleichen also für jeden der Summe diese Polynome Constanze und die Wohnungen sind konstant wenn die eige Bereiche gleich der gemäß rief also es gibt sozusagen 2 Fälle 1. Fall ist der Grad von irgendeinem Bela Anda es größer 0 also ist jetzt für für diesen Kern Doppelsterne der Graph von unseren Wählern das größer 0 das heißt die algebraische Vielfachheit das ist echt größer als die geometrische da sonst kann der Fall denn ich auftreten aber wenn die alten Preise die Wahrheit echt größer als die geometrische ist heißt es sie den Eigenwert zu wenig in einen Vektor zu wenig also brauchen sie brauchen eine Objekte für deren Normalform das heißt wenn irgendwo mindestens mal ja ein Kästchen der größte 2 an sie haben ist es eben keine die ohne sierbare Matrix ein Jahr lang Kästchen der größte 2 mindestens das heißt dem einmal mindestens ein Polynom vom Grad 1 und dann fliegt in diese Lösung darum um die Ohren also in dem Fall zunächst die Lösung polynomial und jetzt haben sie wieder genauso wie um die Lose mit Delta multiplizieren wenig kleinen gesehen jeder Umgebung lösen die Polen immer ab gleiche Begründung also ist das Ding nicht stabil wird 2. Fall der gerade von den Wählern da ist immer gleich 0 und das heißt eben algebraische Vielfachheit gleich geometrischer vielfach heiter in den Fall sind die Polynome alle konstant und dann sind in dem Fall wo man B wie im 1. Teil von den Beweis dann haben Sie für jede Lösung bleibt der Betrag der Lösung einfach konstant dann ist es Polung konstant der Betrag von Eon landete ist konstant dann haben sie Lösungen die sich durchaus bewegen aber der Betrag bei konstanter als typischer Fall pendeln ein in dem Fall kriegen sich stabil Begründung wie nach können Sie den Beweis von A 1 zu 1 ab 10. zeigen es eben oder was Wichtiges von diesen Satz mitzunehmen ist bei linearen Systemen konstanten Koeffizienten ist es Stabilität verhalten sehr übersichtlich weil es ist einfach nur durch die Eigenwerte von akut ist das einzige was Sie wissen müssen sie die Eigenwerte wenn sie in dem Fall spektral scheinen gleich 0 sind wir 7 7 tiefer bohren brauche noch die algebraischen gemäß dem viel erhalten weil wenn sie Formation haben wenn sie alles was Stabilität Verhalten aus das ist ein schönes Ergebnis und entspricht der guten alten Weisheit wenn man besonders schöne Spezialfälle ankommen kommen kann QC ,komma besonders schön Ergebnisse raus nun ist die Welt im Allgemeinen schwieriger als Konstante Koeffizienten wenn ja und wenn wir sonst wissen was einfallen lassen um allgemeinere autonome Systeme im Griff zu kriegen vergleiche zum Beispiel mein stoppen will vom letzten Mal das ist nicht ja ja da kommen wir hier nicht weiter und das schöne müssen jetzt nicht von ganz neu anfangen sondern der Satz hier bildet die Grundlage für jede weitere Stabilität betrachtet und der vorher ich dabei jetzt die Theorie einsteigen will ich einfach kurz motivieren wieso die Idee ist also wir schauen uns jetzt an der auch immer noch autonome aber eben nicht in ihrer Art also
Gleichung der Form des Landstriches er von und so wie gesagt interessanten Stellen sich damit es Betrachtung sind die stationären Lösungen also wenn man dieses einen kritischen Punkt der Y 0 kritische .punkt von der Gleichung das heißt der Nullstelle von f und ungewissen wenn Nullstelle von f haben dann ist die Zuhörer konstante Funktion der stationäre wird so also was wir wissen es er von Y 0 ist nur und wenn wir jetzt ein bisschen mehr voraussetzen an F als bis die bisherige lokale Lizenzbedingung selbst normal würde Moment voraus dass das F C 1 setzt im normalen Leben auch keine so wahnsinnig grausige vor Voraussetzung warum es toll wenn das Ding C 1 ist wenn es den C 1 ist können wir dann warum diese Differenz Überfunktion toll wenn man sie kann was ist Mehr Ableitung anderes Na Ableitung ist im eigenen Ernährung durch Tangente mehrdimensionalen Näherung durch die Best passenden ja ja das ist der Link nach Drogen wenn wir immer unsere funktionieren ja anders ausgedrückt sie schreiben entweder Definition von also können so formulieren sich ran Defition von der ableitet Differenzierbarkeit hin oder Sie schreiben Intel 1. Ordnung in je nachdem wie man's lieber also wir können schreiben nach Definition der Differenzierbarkeit er von y SR von Y 0 +plus vorgesehenen sich eine Definition der total Differenzierbarkeit totale Ableitung von f an der Stelle y 0 multipliziert mit ätzender -minus y nur neues die Funktion der 1. Zimmer G und wenn das Ding differenzierbar ist nur dass es genaue Definition von totale Differenzierbarkeit
dann ist der Limes y gegen y 0 von Betrag geht von y durch Betrag y -minus y 0 gestern nur 1 1 2 hoffentlich tief im Gedächtnis verankert sah der neue was haben ich also stehen versammelt also so für unsere Gleichung da oben stehen unsere Differenzialgleichung ist also von der Form y Strich von T-DSL von y Phontvieille ist gleich der 1. Term fällt weg der der totalen Ableitung erlaube ich mir jetzt Jacobi Matrix zuschreiben +plus der Rat also bloß die Jacobi Matrix von 11 an der Stelle y 0 mal y -minus y 0 +plus diese Funktion ist mach ich denn da steht doch gleich meine Herren so war er von y von Trier ist Jacobi Matrix eine Stelle Y 0 man y von T minus y 0 +plus G von y fertig so und was jetzt hier steht ist eine Differenzialgleichung von der Form y Strich ist der konstante Matrix A wird wiederkommen sei schön John Bull ist ein von der konstante Matrix mal die Lösung die wir so ein bisschen verschoben egal +plus dies G und solange das y als kurz über 0 es ist die kleine an dass es mir so ist sie ohne aber mach mir gleich machen wir gleich wie geht aber das ist die die fort das heißt wir können hoffen denn in der Nähe von y 0 starten ist der Beitrag von vernachlässigbar klein das heißt man wir von y 0 sollte sich unser bislang Gleichung Verhalten wie y Striche sammelt das ist die Idee das heißt wir können hoffen wenn wir von unserer Länder und sehr 11 differenzieren Jacobi Matrix nehmen und die kritische Stelle einstellen reintun dann kennen wir das damit der 2. Folge des Landstriches gleich a mal zum das geht macht offensichtlich lief auch hoffentlich nicht viel aus das heißt wir können helfen nur der der zwar in der autonomen Gleichung ist das gleiche wie von der und das wollen Führungsmacht und der Satz der das tot der firmiert meistens unter dem Namen Stabilität Satz und der geht jetzt den Übergang vom linearen Systemen konstanten Koeffizienten zum autonom Problem wenn die Funktion f stetig differenzierbar ist dann das heißt will man jetzt erst mal die Funktion f aus dem Thema raus und schauen uns sozusagen dieses Problem an Apps Landstriches Matrix mal y +plus mich Störung gehen das ist erstmal eine Störungs Satz aber natürlich werden was nachher auf diese Idee an also er auch noch eine eine technische Bemerkung ich werd im folgenden Satz jetzt nur formulieren führt zur 0 gleich 0 also für den Vater Spezialfall dass die stationäre Lösung die Nulllösung ist doch zeigen nach man wie man ein Na allgemeines Problem auf dieses zurückspielt also man kann wenn man Probleme hat mit stationären Lösungen irgendwas das immer zurückspielen auf ein sonst wird es Probleme mit der stationären Lösung nur aber das macht die ganze Rechnung und die ganzen Darstellung einfach sagen uns auf Moment jetzt erst mal auf den Spezialfall y 0 gleich 0 kapriziert also was haben wir werden unsere übliche offene Menge den er der Definitionsbereich von 11 und damit nur eine stationäre Lösung sein kann sollten mir sinnigerweise fordern dass nur in D ist so dann aber der Matrix und die soll bei dessen Stabilität Satz werden soll Spectra schlanke kleine 0 8 also wissen von unserem Matrix der Spectral Schranke kleine 0 das heißt der wenn ihr Anteil hier oben ist also drohte stabil für egal welche welchen anfangs wird wir müssen jetzt nur noch gucken dass das geht es nicht geboten hat zum 1. Mal das G im Prinzip genau das also des soll definiert sein auf und nach RWE und soll zum einen damit uns nicht über Existenzen rumstreiten müssen ne lokale Lizenzbedingung erfüllen das ist der Bedingung über die man streiten kann wie man vielleicht muss es auch weglassen kann aber die auch nicht wie wehtut und außerdem soll dazu die kleiner als Bedingung erfüllt sein also der niemals Text gegen 0 von viel von X durch Betrag X der soll nein das ist diese Bedingungen hier selbst einmal gleich 0 dass die kleiner als Bedingung dafür beliebiges G werden das beliebig groß sein kann dann werd ich natürlich hier nicht erreichen können dass sich das Tablet tätsverhalten von dem auf die ganze gleichen erstreckt sich brauchen die Bedingung dass das GG nicht stört und das ist die hier in der Nähe von 0 ist das Ge klein so man das alles hat dann ist die neue Nulllösung von dem in riesigen Problem von dem Problem strich gleich A Y asymptotisch stabil aber das Bekrar von aktuell 0 ist und die Behauptung ist das überträgt sich auf das gestörte System dann ist die Nulllösung vor dem er und Sand gestörten Problem y Strich von CSA y von C +plus geht von y von Tieren die ist dann
asymptotisch der also dieses nach tatsächlich dass der WDR 2 nicht kaputt das ist die Aussage von Satz und der Welt beweisen und die Idee ist wie gesagt die es in der Nähe von 0 Klein und kann sozusagen den Beitrag den das liefert wenn immerhin haben wir gesehen dass sorgt dafür dass jede Lösung exponentiell schnell gegen 0 geht und dagegen kommt das schwache gehe nicht an dass das was denkt so also beweisen das zunächst mal vielleicht der Vollständigkeit halber ich hab behauptet die Nulllösung von der Gleichung ist also Tote stabil vielleicht mal einen Schritt zurück warum es denn nun überhaupt Lösung von der Gleichung wenig Nulllösung einsetzt die natürlich hier nun unter 0 was ist mit dir von 0 das steckt er implizit hier drin denn geht von 0 ist natürlich Limes x gegen 0 gehen von X Stetigkeit von gehe ich hatte vorausgesetzt und wenn sie wissen dass Betrag geht von X durch Betrag X gegen 0 geht dann ist natürlich erst recht der Grenzwert Kino das ist wie das Argument aus aus der Differenzierbarkeit Vollständigkeit also SG von 0 0 alles nur teils gelöst vielleicht nur so als sie der Vollständigkeit halber sagt das als Vorbemerkung so auch bevor man so zeigen diese Lösung Tode stabil und ich hab schon gesagt unser Pfund das wir verwerten können es wenn ich dass die im Geiste weg Streiche dann ist jede Lösung von dem homogen linearen System das übrig bleibt nicht nur den ich nur die 0 sondern wir zur Expo Menschen sehr schnell gegen 0 das hatten wir im Ahrtal von 9 2 gezeigt dabei rausgekommen das war da sone zwischen Behauptung es gibt ne größer gleich 1 und es gibt nur Omega größer 0 so dass die Matrix Norm von ihr auch CA also von dem zu A gehörigen fundamental ist dem sich absetzen lässt durch mal hochohmige RTL auf minus 1 Grad gehen nein um mich als positiv es war die Grundlage dessen dass wir sagen konnten jede Lösung geht exponentiell stehen das wollen wir jetzt natürlich verarbeiten das ist unser Pfund mit dem wir wuchern können so wollen zeigen die Nulllösung ist stabil zwischen uns wurde kurz erwähnen was Stabilität bedeutet da drüben es noch so ein bisschen Platz für eine Erinnerung also Stabilität das
war längeres Epsilon Delta Quantoren
Gewinner für jedes Epsilon größer 0 gibt es im Weltall größer 0 so dass eine Lösung die nahe genug an der Nulllösung starten also alle Lösungen deren anfangs wert in der Delta Kugel 0 liegt bleiben in der Nähe von Union und die nie länger als y weg also nie weiter als y weg also erfüllen Betrag Frau Phontaine ist kleiner gleich y für eine Zielgröße nicht dann dass es Stabilität sie müssen für jedes zulässige Abweichung von der 0 Mehr Umgebung finden so dass wenn sie nah genug starten Sie diese zulässige Abweichung ein gut das heißt was wir jetzt tun müssen um die Stabilität des mehr Stabilität beweisen um dies zu beweisen es den Standardsatz der Analysis anbringen sei y größer 0 zu Epsilon wählen und ich will an der Stelle ein bisschen vorsichtiger sein denn nicht jeder selbst machen zu lassen also und Epson größer 0 und ich will von vornherein nur kleine Ypsilons angucken das ist nicht schlimm ich nehme zu uns kleiner als Umweg nach die großen Epsilon sich üblicherweise nicht so spannend zur als der den Erzeugern vorgegeben der stets Programme brauchen Delta dazu gibt es mein kleines hilfst Delta wird schlachten Diebe die Kleinheit Bedingungen die aus Sicht minimal haben nämlich die Gehwege für Grenzwert also die schafften wir jetzt aus nach diese Bedingung gibt es jetzt ein 1. hilft gleich jetzt der der Schlange so dass folgendes Bild männlichen XMT annehmen das enorm kleiner ist als dieses Delta Schlange dann bin ich ganz nah bei 0 5 also ich dann kann ich das Geld das lange so wählen dass dieser Ausdruck der kleine selbst zufolge Menzel sinnlichen Welt also dass wir das X nah genug bei 0 ist der Ausdruck kleine wird es Epsilon weitergeht ergeben und also gibt es in der Tat so dass für alle die gilt dass der Betrag von dir von X durch x kleiner ist als meine zu und ich nehme jetzt hier Kosmetik nicht Epsilon Sony immer selbst noch kleiner hier ist und ich das ist nur Kosmetik denen versetzt man dafür den ich im Wald da dazu vorgegebene hetzen durch empfindlichen der der Schlange so dass der Ausdruck kleiner wird das ist einfach der Grenzwerte sollte es sei denn man anders sehen muss so brauchen das heißt der Betrag von G ist kleiner gleich y durch mal Betrag X das ist die kleine Bedingung ausgeschlachtet sollten wir hier unsere ganz starke asymptotische Stabilität für die lineare stehen und da die kleiner als Bedingung ist muss man die beiden nur noch zusammen und jetzt gar nicht auch das endgültige ersetzen da muss man noch eine kleine Sicherheits im Prinzip ist das Weltall Schlange ich will nur aus Gründen dass wir nachher die Attraktivität auch schnell zeigen können noch sicherstellen dass das Geld da bitte schön nicht zu groß wird und zwar nicht größer selbst also sehr dass es Minimum von der das lange mit sah und was ich jetzt zeige ist die folgende Aussage wir zeigen es gibt eine Konstante als vergrößern oder direkt mit dem Omega da drüben zusammen so dass gilt wenn y 0 es und der Betrag von Y 0 ist kleiner als unsere Welt dadurch dann gilt die Lösung V von unserer Gleichung ist glaub ich noch nicht daran gilt als man nicht stellen hat der mit von 0 gleich ist oder voraus für gute Frage also die Lösung von Stern mit von 0 gleich y 0 müssen davon gibt ja genau 1 über die rechte Seite von unserer Gleichung erfüllt lokalen Lizenzbedingung also für jedes y 0 in D gibt es genau eine Lösung von dem Ding also ich will man y 0 her das nah bei 0 liegt kleiner der dadurch ist und die Kuppel die Lösung an und für diese Lösung ergibt geht an immer noch ein Exponent Exponent freien exponentiell fallendes Verhalten nämlich von The ist kleiner gleich dar mal e hoch minus 1 zwar das ist das Ziel des Ganzen und bevor ich das zeigt wenn ich noch kurz erklären warum wir nicht das gezeigt hat der Laden fertig ist er also ich behaupte wenn wir das haben und das ein bisschen arbeiten dann haben wir also deutlich Stabilität sieht schon so aus mir jede Lösung fällt exponentiell ab aber noch ganz kurz zu zeigen die die N die alle Quantoren richtig sortiert er war jeder 3. Ingram also wenn ich mir jetzt diese y 0 gleich von 0 Herr nehme also die die kleiner sein als der dadurch am Anfang dann gilt für die zum einen der die Szene gegen unendlich von G ist kleiner gleich der Limes gegen unendlich Delta ja auch -minus Alphatiere ja und der ist ist nicht mehr so wahnsinnig schwer auszurechnen des 0 also haben wir blindes C gegen unendlich O von T ist nur und das heißt ja und das haben sie für alle auch für alle Lösungen den anfangs kleiner als der dadurch im sind wenn sie zu ihrem 1. gibt sondern dem so dass es nun gleich ob es um egal wie am Anfang dann also dazu und älter und für alle die gilt dass die US gegen 0 konvergieren das heißt die Nulllösung ist attraktiv wird bereit noch stabil egal welches den größer 0 7 wird er neben den 7 Abstand von von The zum Nulllösung an der Stelle t anschauen wer nun also mindestens sich neue der ist dass der Betrag von von T der ist kleiner als Täter der auf -minus eilfertig mir also das ist das was noch zeigen müssen was zeigen wollen ist es gegen alle so dass das geht ich begründe gerade nur warum wenn wir den Kasten haben wir fertig sind wären also wir sind noch nicht fertig der Kasten haftet noch der Dinge erwägen wenn sie dem Kasten haben auch ist mir fehlt die Existenz von dem Eifer dass es noch zu tun ich will nur ja dann weiß bisschen Schritte einteilen das ist das ist die eigentliche Substanz ist weiß ist und wenn wir das haben wir fertig bei der Name das AV EOM bezahlt wird es kleiner als 1 5 also ist das kleiner als Täter war wohlweislich kleiner gleich y gewählt aber Stabilität das ist der Grund warum das Theater um kleine jetzt gut bleibt also also ist die Nulllösung auch stabil und die beiden Dinge hier zusammengenommen stabil attraktiv es gibt also Tod steht dort wird der Gast völlig richtige ein Mann vorkommt als sei das also gemacht der Pause es oder ein legen wir wieder los es bleibt der Kasten zu zeigen also die Frage wo kriegen wir das Ei weiter was müssen wir tun wenn das sonst sondern nehmen von unseren Problemen mit Startwert kleiner als der dadurch im also mit dem und y 0 aus der Mehr mit Betrag kleiner als der dadurch und die zugehörige Lösung Loslösung zugehörige
Lösung das heißt von 0 ist eben dieses y sag Lösung
von unserem Probleme das da oben steht nirgendwo Stern das Landstriche salzen und +plus geformt so und da müssen wir zeigen das von Alfred das das Ding Lösung ist heißt es gilt oh strich von C ist von sie +plus G von O von C der und von 0 es YO so und jetzt komme ich stelle die zum bisschen auf den 1. Blick geschummelt aussieht und das Argument dass man 5 Mal gesehen hat bevor man sich ist also meiner Meinung nach dass man fünfmal gesehen da muss bevor man sich dran gewöhnt also ich weiß zumindest dass ich das 1. Mal dass Vorlesung gesehen habe hab ich vielleicht es unfair mehr das ist sozusagen die Regeln aber ist es auch wer sich starker Trick nennen Sie also sie haben diese Lösung ja daher die gibt es und die kann man aus könnte man theoretisch ausrechnen kann natürlich nicht jammern die dieser Länder Subjekt ja es diese Lösung Rogan sind es die einsetzen jetzt wenn sie mal von Moment dieses Ding hier einfach die von T es ist der Funktion entdeckt was steht denn dann da steht da Striches +plus das ist ne Nummer
ging es ihm ja das Problem der und so strich löst einen enormer das Problem denn das Problem wobei die Homogenität des selber enthält das vergessene für den Moment ja man kann es per Aussendung und war so Strickes Euro plus das Big deswegen gemäß war das vom ziehen alles in jeweils einer konstanten Formen und können das un schreit das heißt denn schreiben Sie immer gleich was heißt die Variation der konstanten Formen Bowle Schlussstrich +plus a ist und Flussbetten sich erinnern das war jetzt einer konstanten Formel man trägt die die besteht die richtige Lösung des Drogenproblems nämlich ihr hoch CIA y 0 das ist die Lösung des homogen Problem so strich plus AOL die den richtigen an wird einstellen los das war unter unseren formal Integral also genauer gesagt davor steht noch das inverse von fundamental Systeme wieder drin steht davor steht noch das fundamental Systemen mal Integral von 0 bis 10 das inverse vom fundamental System mal den Homogenität also mal des von SDS n Festivals oder konstant vor dass das PS zufällig vom eigentlichen enthält mach Dir nix da wird Sondergesandten vorne sagt uns also mein O erfüllt neben diese Differenzialgleichung auch diese Integral es ihr auch Theater neue +plus i auch die Integral von 0 bis CEO -minus es mal die von von ist ist das schreibt man jetzt oft noch ein bisschen anders also minimal anders sehen also brauchen was nachher auch Tierarzt nur man sieht das die hier ein Integral von 0 bis 10 und wenn dann noch die von dem eher funktional gleichen Exponentialfunktion an das ist hier okay weil Barghuti mit also ist auch die an die EU -minus SAI auch Themen -minus es P von von ist es in so auf die Weise Anderson würde dann sehr gerne Integralgleichung gemacht es is keine Lösungsformel natürlich ja weil man es so steht da das steht hier wäre auch verblüffende kriegen würden aber wir am Ende dastehen und so und so und wir wollen dass es gut war dass wir machen gewonnen so abschätzen müssen zeigen und so ist kleiner als der der oben das Alphatier das differenziertes abschätzen müsst nur integraler abschätzen es cool wenn gerade abschätzen da geht es da Rosen Methoden der Welt den sie nächsten Jahr nur noch 1000 weitere kennen die gerade abschätzen macht man ständig und macht braucht man dauern oder gibt viele Methoden das ist der deswegen schreibt man sich das um und der Trick ist eben weder Variation der konstanten Formel für Moment so zu tun als würde hier Avancen Stehen so was machen wir sehr schätzen dass ab also Betrag wovon die es kleiner gleich hauen sie verschiedentliche Dreiecksungleichung drauf Betrag von ihr Hoftheater y 0 +plus Betrag vom formierte Grafiken tracken sollten
integraler einziehen Integral von 0 bis T Betrag hoch Terminus S gehe von von es Betrag zu es also Tracks und einen für die so mitreißend ein bisschen dicker so jetzt natürlich können wir hier die zugehörige Matrix Normen von dem fundamental System extrahieren gibt die Norm von ihr Hoftheater mal den Betrag von 10 0 das natürlich super weil über das das denn wissen wir was das Gleiche machen wir da hinten Integral von 0 bis 10 Norm er hoch Terminus SA man den Betrag von die von ist nun man war Saar gut der fällt schon mal exponentiell der irgendwie auch Frage ist macht uns es die hier noch Probleme müssen noch die kleine SPD-Mannes die reinbringen dies noch nicht bewusst so war und dazu wie man normal 2 strittig vor wir betrachten mal erst mal kleine T also wir schauen erst mal nur Tee an für die gilt dass der Betrag von es kleiner ist als der älterer für alle in multi also die bis zu denen die Lösung in dieser Kugel bleibt davon gibts welche ich welchen ich über die leere Menge weil zum Zeitpunkt 0 Bad unsere Lösung der Betrag der dadurch und es größer 1 war das Ding ist also ich kleiner als da also zum Zeitpunkt 0 unsere Lösung hatten Betrag echt kleiner Delta und weil stetig ist bleibt das ohne seinen so her also dass es zum Tee gibt in echtes die Kurse aber so kurz sind also das existiert sicher da Betrag von 0 kleiner als Täter und stetig er ist immer gut sich klar zu machen dass man nicht mit immer mehr Geräten sah also wir das weitere jetzt erstmal nur noch solche warum ist ist gut dann kann ich gut weiter sah womit denn ihr absetzen ist klarer MIO -minus Omega tätig ja dann gibt es den Betrag von Y 0 der ist kleiner als der dadurch in zählen sowohl die Kosmetik herkamen das soll sich gefälligst raus kürzen so dann kommt das Integral da haben wir hier wieder ihr hoch irgendwas mal an das man nach der Formel abschätzen als wir hoch -minus Omega Martin -minus es und steht der Betrag von G und jetzt müssen wir den seinen Anfang von Beweis zurück und ich hoffe es steht noch alles da da oben 8 der aber ganz um steht noch wenn das X kleiner ist als der der Schlange da dieses von es hier das ist nur solche brachen die sie angucken das ist es wovon es kleiner als der der Welt es insbesondere kleiner als der der Schlange weil sollen munter der der damals gewählt als kleine gleich zwar alles dieses von ist kleiner als der der schlagen und dann von ist eines der der Schlange ist denn es gehe von von ist kleiner gleich y durch im Bahnhof von also das ist jetzt das Ziel des Frostes anderen den Namen so war also das Verwenden der hier es ja der Ausdruck hier ist kleiner als y durch mal Betrag X also betraten von ist das ist die kleine als Voraussetzungen dass die reingesteckt es ist die weg Sonne sehen auf kurze Sicht und raus weil das alles so gemacht ist dass es das tut und was ich jetzt noch machen sich bring mal das er -minus omega t auf die andere Seite des steht hier und das steht hier also das ist wir kriegen wir auch um negative Einmalbetrag von T ist kleiner gleich durch das ist weg Delta bloß Integral von 0 bis 10 durch ja -minus auch negatives weg bleibt übrig er auch so mega immerzu nur noch iOS Omega Betrag von ist es gibt so Samen Absetzung nicht von so sondern für ihr Omega to aber immer mit den Term abschätzen können Sie erst recht glücklich also wenn modifizierten exponential noch beschränkt bleibt dann das US-Recht damit richtig schön klein also mit den Griff haben es gut das einzige Problem ist dass schon mehrfach erwähnte Problem impliziten Ungleichung hier steht Unterstellung tja und wenn ich schon sagen gezielte Ungleichung dann tigert hoffentlich hoffentlich bei Ihnen da gabs fassen so weit zurück in der Vorlesung da gab es Grund einen war das genau für solche Fälle da es um implizit um explizite zu verwandeln weil ich davon ausgehe dass nicht jeder von ihnen Mehr gibt es Grund weil immer sofort an die Tat nicht mehr sind schnell an die Tafel so wenigstens in groben Zügen was sagte
Grunwald wenn Sie der positive Funktion Frau haben und es geht das von The kleiner gleich a +plus Integral von T 0 bis T von SV von SD ist dann ist mir das die Ecke das die implizite Ungleichung steht auf beiden Seiten damals Gronwald eine explizite draus und sagt dann so von den Kleider gleich mal die Exponentialfunktion von Integral von T 0 bis T Frau von ist das war Grund eine nur so selten es der so und der passt jetzt hier wie die Faust aufs Auge was in das oberste Hinweis V o ist das was auf beiden Seiten in der impliziten ungleich steht also insofern es die Wahl da drüber zu den blöd weil das oder drüben ist der ganze Schlobohm weil erfreulicherweise bitte drücken das klar genau das Gleiche nur mit Ästhetik Term genau was brauchen wird sieht man auch was ist das Delta ist das heißt es fehlen und das V von S ist die Funktion Gonzalez ab das das etwas größer 0 auch gut also zeigt uns Grundgehalt unsere Funktion Phontäne also ich auch mega CEO von im Betrag oder den Thrakern Sahin setzen Ironiker TSI positiv soll dieses Ding ist kleiner gleich dem Ausdruck Kiel aber Delta Exponentialfunktion Foren Integral von 0 bis T über V war einfach nur konstant y also Integral von 0 bis T über y ist das Integral ist jetzt einfach Übungsaufgaben das ist YT Redner also hier steht Delta ich YT es kann sie das Omega C wieder auf die andere Seite bugsieren und dann kriegen wir der Betrag wovon ist kleiner gleich der da mal e hoch E 10 9 -minus um negativ so wird sehen Sie auch genau warum ich am Anfang y kleineres Omega wollte vom Phonds ist der wird Exponent nicht mehr negativ auf da und wenn sie diese Bau wo das alles daher kommt am mobile wenn wir selbst noch aus nun gibt er das alles war selbst lange sehr fix vorgegeben war das Eiweiß einfach -minus um mich also daraus folgt 3 zwischen Behauptungen Kasten mit alles gleich jetzt muss ich aufpassen und -minus auch nur damit das Vorzeichen passt wenn also muss ja größer 0 sein und -minus 1 0 also dem ein Vergleiche ohne gerne selbst ist positiv also ist da oben steht dann EU -minus Alphatier also steht hier gleich Delta E hoch -minus Alfred zu und damit der Mehr unser Kasten darum für jede selbst Sohn alpha und sind im Prinzip fertig dann 2 Bemerkungen noch die 1. alle die die sich dabei setzte den Grund weil gemacht haben gewundert haben es sagte die man so allgemein gehen wenn man ihn nur für gleich 0 braucht 10 die die Begründung 2. wir sind noch nicht fertig lassen sich da nicht veräppeln warum sie noch nicht fertig versteckt sich gut wir aber mal wieder zum Wagen um die ganze Rechnung stand oder dem gewissen Vorbehalt war das ginge nur wenn das The Braves also wenn das denn so ist das bis zum Zeitpunkt des Lösung die ausbricht aber noch nicht wirklich gestellt ist am Anfang des Mannes Heilung gut aber immer und das gute ist es geht immer guckt mal sehen jetzt noch zeigen will ist in Wahrheit ist jedes The Brave also in Wahrheit die dieses Ding hier für alle Tiere größer 0 und alles ist gut da gibt es nur man braucht diese Rechnung hier um das nachzuweisen dass wegen dieser verknotete sollte das beweist aufschreiben also was jetzt wirklich noch wirklich endet am Schluss noch zu tun ist und dann sind wir wirklich fertig ist es vor allem Mehr die Menge der die für die das gilt also die Menge der Zielgröße gleich 0 so dass Betrag Buffon es kleiner gleich Delta für alle ist im Intervall 0 T das weil das was wir gebraucht haben und 7 beweist durchzuziehen diese Menge ist in Wahrheit ein nicht ganz unbekannt das Intervall nämlich das Intervall von 0 bis unendlich und wenn wir das haben dann dass wir die Rechnung hier für alle Tiere machen und dann ist gut ist wir wollen sagen dass es das ganze der wollen sein jedes dieses braven nehmen wir also an dass es nicht so also nehmen wir an irgendwann hat unsere Lösung aus der der Kugel würden ein T gehört er nicht zu nein was da drinsteckt ist die Überlegung dieses J ist auf jeden Fall Intervall und zwar nicht mehr da sein müssen sagt er das nicht länger
und wenn diese Bedingung integ geht sie auch für alle kleineren Sicht offensichtlicher Weise ja da steht ja für alle kleineren muss es erfüllt sein wenn ich für ein Tier wie so für jedes kleine also diese Menge dieses JSR im Intervall 0 bis die Frage ist nur 0 bis was und jetzt wir an dieses Biest es nämlich die 0 dieses bis wäre eine endliche Zahl also JS dem Intervall 0 0 für ein 0 größeren die andern mich zum Widerspruch führen da muss das dabei ganz R +plus 1 werden warum kann das Intervall nicht rechts offen sein also könnte ja auch sein das das Intervall so aussieht kann aber nicht sein Lied wieder Beständigkeit von wo du musst tätig und wenn wenn ist ja in allen Punkten links von der Intervall Grenze kleiner gleich Delta und stetig dann es nicht an dabei ganze plötzlich größer der das sagt klappt nicht mehr also ist ist dann auch eine dabei Grenze kleine gleich der der das heißt es die 0 gehört auf jeden Fall zu der Menge dazu man kann sogar mehr sagen ich glaubte dann gilt Betrag an der Stelle 10 0 der sogar genau gleich der kleine gleich sowieso aus der Sicht des Kunden ist auch genau gleich der der wenn er noch kleiner der da wäre wären würden lösen wir noch ein bisschen länger Kleider der da bleibe wieder die Stetigkeit Parmentier nur wirklich die rechte Grenze unseres Intervall Sie JS dann heißt es jenseits dieser Grenze ist die fliegt die Lösung aus unserer Proben mit 3 ist der daraus aber das heißt der wo man wo die wo Lösung aus dem Kuchen ihrer Liste der rausfliegt muss der Mann von der Kugel seiner die kann ja schlecht Tunnel das kein Elektron oder sowas wenn sie raus will aus dem Kreis aus der Guggenmos muss überrannt keine andere Wahl also an der Stelle wo sie auslegt muss der Betrag der da sein so und damit aber diese ganzen Schwanz war jetzt heißt das die Zeit hier 0 ist mit Zahlen J ist also ein braves C das heißt diese Rechnung hier darf ich wird hier gleich hin und machen es erlaubt war weil das die 0 sind je größer 0 so das Ufer ist kleiner gleich Delta ist für alle ist sie es aus Multi aber keine leichte dort ja mit kleinere essen aber sie brauchen wir wirklich gut SAD also Ober die Rechnung wenn Sie die Mittel gleich 10 Uhr machen am sofort Widerspruch darstellen nämlich dann ist älter das ist ja genau der Betrag von von T 0 jetzt müssen wir die Rechnung der machen mit gleich 10 0 und kriege raus das ist kleiner als Delta kleiner gleich Delta mal Hof -minus als vor 10 Uhr das Problem ist der neue Strick Rückpositiv nur also SEO -minus eifert hindurch Strickkleider 1 also ist das hier Strickkleider du nicht war also unser ominösesten 0 gibt es nicht wir bleiben immer noch wir bleiben wenn der Kugel also die Attraktivität des Nullpunktes sind stark genug dass wenn sie nah genug Staaten kommen aus der kugelig raus dort jetzt immer tatsächlich endgültig und wirklich fertig sie sehen dass der ganze Menge Arbeit drin aber es ist auch ein wahnsinnig starkes Werkzeug des WDR Zust ein bisschen zeigen wobei die Beispiele die ich mache natürlich über den doppelten Sinn nahmen auch die Grenzen der Sache dieses Satzes aufzuzeigen aber was man damit geschafft hat es von eigentlich 1 ganz kleinen in sich in das man am Anfang konnte man konnte am Anfang konstante Kosice lineare er sein Konzept kann man jetzt dass damit derzeit untersuchen für jede Autonome gleichen C 1 rechten Seite das ist schon ein Sprung dafür lohnt sich bis hin zu arbeiten von Benjamin Constant zu C 1 da kommen keine echte sah in der Zug und die Methodik um die ich dich da bin zu untersuchen ist auch nicht wahnsinnig anstrengend was müssen Sie machen wenn sie der Stabilität Satz als solcher das wissen möchte mit Headsets bewiesen ja gut aber was sie machen müssen es sie müssen ihre Ableitung von dem es ausrechnen die Eigenwerte von ihr Hobby war es bestimmt und wenn die alle Realteil kleiner 0 haben dann haben sie sofort eine stabile also Tote stabile löst Nummer 1 in die sofortige Frage wie sieht's mit ihnen Stabilität aus also was ist wenn der Speck wenn die Cogema Maße von dem F nur Eigenwert einen Eigenwert hat der Realteil größer 0 ist also 7 Spectral Schranke von der KOM Basisgröße wohl oder in dem Feld drüben von unserm Stabilität Satz für eine Matrix A mit Spectral schlanke größer 0 wieder so ein kleines G geht dann die gleiche Aussage stabil und die Antwort ist ja das ist der sogenannte in Stabilität satt denn billig hier eine Vorlesung nur angeben wenn ich nicht beweisen der also
gleiches Setting der und die in den 9 6 ja und jetzt ne Matrix der Spectral Schrankenebene strikt größer 0 ist und dann geht das Gleiche mit Stabilität also dann ist die Nulllösung von dem
homogen Problem ist ,komma is A Y in stabile und das G klein und damit überträgt sich das auch auf die enorme auf das nichtlineare Problem als dann ist die Nulllösung von unserer gleich Stern im steht wenn Sie Glatze 1 ansehen die wenn ja jedes Buch reinschauen sich den
Beweis an vielleicht verstehen sie warum mich nicht auch noch vorführen will da wird nochmal mächtig mit der Normalform und betont und in welche konkreten Lösungen geschrieben habe ich damit er zeigen will muss meine konkrete Lösung angeben die 0 die beginnt an aber wie muss man sich im 1. Jahr Normalform raushält ich will wie gesagt denn jetzt nicht beweisen sondern wer jetzt der Satz mit den Satz Schreiben das schon die ganze Zeit im Raum in der Liste sind Synthese ist von diesem Stabilität sei zu der Überlegung von mit denen die Arisierung mit der Differenzierbarkeit von 11 werden ein gewolltes Maß noch doch noch was anderes nämlich das versprochene reduzieren von fahren stationäre Lösungen zur 0 auf stationäre Lösung 0 das war wie wenn meinen das können Sie da kann man es mit der in der Übungen beschäftigen aber ich verrate Ihnen wie man's macht sondern dass es nur noch Nachrichten also damit Teilmenge des von der im haben die haben die offen ist und der Funktion f C 1 auf den mitwirken des also Sonderrechte Seite von unserm autonom Problemen und dann kann man was über die Stabilität von kritischen Punkt sagen genau dann wenn die Nulllösung von dem anderen Problemen entsprechende Stabilität hat als wenn geht y nur den des bis stabil der Wähler attraktiver und so weiter instabiler sind deutlich stabiler der mal langsam kurz kritischer .punkt von 11 ja und genau dann wenn nur will ein stabiler instabiler und so weiter der Bieler attraktiver instabiler Asymptote stabiler kritischer Punkt ist voran na und substituierten Probleme im Prinzip nehmen Sie Ihr Problem und Verschiedenes um unter 0 7 Problemen schien es müssen und im Raum um sie machen einfach ne ne von Transformationen schieben ihren Ursprung in Deutschland 0 also definierende neue Funktion es lange die Liste findet auf dem Neuen der Schlange nach RWE und das bislang ist das und y 0 verschobene des also dass die Schlange ist das den -minus y 0 also Menge -minus heißt punktweise verschonen das und y 0 verschobene des und den 11 müssen sie entsprechend anders schieben also 11 Schlange von X ist F von X plus Y und X in Schlacht meine 10 sehe ich jetzt ein neues und das Meer .punkt von 11 also geht damit ist nun in die Schlange und wenn sie in das F Schlangen 0 einsetzen steht der von Y 0 ist das ist die Nullstelle das ist einfach nur die Nullstelle von dem es so verschoben dass sie nur liegt und die Behauptung von dem Lemma ist von dem ich sie einlade das nachzurechnen das ist genau dann wenn es y 0 ist ein irgendwie gearteter kritische Punkt von 11 genau dann wenn 0 der entsprechende von der ist und auf die Weise kann man sich immer BDA zurückziehen auf ich betrachte nun lesen statt y Lösung weil alle Eigenschaft eine Voraussetzung von diesen Sätzen gehen durch diese Transformation der nicht kaputt es einfach nur das Konzert sag jetzt kommt endgültig das Prinzip der geniale sehr sehr viel Geld das ist sozusagen das Haupt ziel dieses Abschnitts also Theoreme 9 9 wir bauen jetzt nur noch zusammen die Arbeit ist getan der Satz als Prinzip der lineare Stabilität das heißt so weil man eben die Stabilität des nichtlinearen Problem ist auf die Stabilität eines zugehörigen linearen Problems zurückspielen also ein übliches sättigende sind auch wenn man in dem er den während der drauf der Funktion f C 1 nur damit wir unsere Rechnung darum durchführen können mit bestätige Differenzierbarkeit haben und damit alles existiert braucht man noch dass das JF der lokalen Lizenzbedingungen erfüllt das heißt ihre Funktion 11 muss stetig differenzierbar sein wird wird für stetige Ableitung Leute die den kurzen Notation schreiben denn sowas auch manchmal ein ICE 1 1 Funktion die Fränzi übermittelt Fische die Ableitung es weniger als die 2 aber nicht viel also und dann sagt das Prinzip der Jahre selten Stabilität wenn y in kritischer Punkt ist von 11 dann können Sie wenn Sie Glück haben das Stabilitäts verhalten wird das autonom Problem und sonstige sehr von y ablesen an den eigenen der Cogema 6 von 11 also erst der Fall wenn Sie rauskriegen das das Spectral Schranke der Jacobi Matrix von 11 an dieser Stelle Y 0 steht kleiner 0 ist dann ist Y wollen also tot ist stabile kritische Punkt und wenn die diese Spectral Schranke hier strikt größer 0 ist dann ist Y 0 entsteht zurück der Satz lässt natürlich eine offensichtliche Frage aus nämlich die Frage was ist wenn des Parteitages richtig reich rangeht dummerweise genau gleich 0 ist und wenn man darüber nachdenkt ist die Antwort darauf eigentlich logisch in dem Fall kann der Satz keine Aussagen treffen bei den Sie später als sein die gleich 0 haben dann heißt das ja dass sie so genau auf den Gartenzaun sitzen zwischen stabil und stabile also haben so periodische Orbits also haben Lösungen die in meiner Nähe 0 bleiben aber nicht in die 0 gehen dennoch keine die aber besitzen genau auf der rasiert lästert Messerklinge ja und wenn sie auf der Rasiermesser klingen sitzen dann wird höchst entscheiden in welche Richtung dieses gehen drückt egal wie klein das ist ja das ist sozusagen der Schmetterlingseffekt jetzt wenn sie auf der Klinge setzen wenn Sie genauer später als angenommen haben dann notwendig zu wissen dass das die kleines bei die kleinste Störungen der kleinste Windhauch Shops links oder rechts kommt und das ist kein Problem beispiele einzugeben mit der konstanten Matrix an und dann das G mit +plus -minus Vorzeichen dran zu addieren das geht die die Matrix A Eigenwerte I -minus II und das G hat 1 +plus 1 -minus Vorzeichen und Sie kriegen ein Mensch der wieder einmal im All sind wurde stabil je nachdem ob das trat sie auf die eine Seite auf die andere Seite von der Rasierklinge pustet wir also in dem Fall kann das Prinzip nicht funktioniert die Dinge von denen er Seele Stabilität ist wenn ich ganz wenig im sicheren asymptotisch stabilen Bereich bin dann macht mir ein kleiner wenn auch nix wenigen sicheren in stabilen Bereich bin auch nicht aber ich auf der Kante sitzt kann das nicht funktionieren dann ist die Mineralisierung einfach zu grob also noch kurz ein paar Worte zum Beweis im Prinzip müsse man die fast nichts mehr tun wir müssen jetzt nur mehr ernten also erst mal können wir uns mit Lehmann 9 8 ob die auf y 0 gleich 0 zurückziehen können und zweitens sei zwar schon fast kann man schreibe steht alle seine Tat so zusammensuchen er bestätigte sie aber das heißt die Rechnung hier passt das G erfüllt diese Abschätzung Betrag der von y durch y ist 0 der Limes davon das heißt alles was sie brauchen um des Stabilitätsrats anzuwenden dar tut also wenn das die spektrale Franke von der Probenmatrix kleiner 0 ist sind alle Voraussetzungen um Stabilität Satz erfüllt nur das ist Matrix ist der groben Bartels betragen vergeht der 0 das die es würde sogar Lizenzbedingungen weil das JS tot und das erfüllt die Grenzwerte Dämmung man kriegen saßen thodische Stabilität und eine Spectral Schranke größer 0 ist dann können Sie den Instabilität Satz von oben sehen und kriegen Stabilität mehr also der Rest ist es gibt kurz Beweisbehauptung folgt aus die Stabilität satt und dem Instabilität Satz also aus 9 6. rund 90 da lag die Arbeiterin und das weiß noch die Ernte und wie gesagt es toll an dem Satz ist die rechte Seite f keine komplizierte Funktion sein das einzige was Sie tun müssen um die Stabilität rauszukriegen ist wenn sie dir QC über 6 aus und schauen sich die Eigenwerte an und gucken politisch Spectral Schranke strikt positiv in stabile Strickkleider 0 also dort stabil gleich 0 an im gleichen und heißt Sitzen auf der Kante und da müssen sehr feiner arbeiten nicht wie es der nächsten Vorlesung ich noch 2 Beispiele der Anwendung dieses Satzes zeigen wurde auch ein zweimal Mal an die Stelle stoßen wo man gleich 0 rausbekommen das heißt es sind dann Fälle in denen man feiner arbeiten muss um eine Methode Feinde zu arbeiten die man also auch noch an solche Fälle gehen kann wo man Spectral sage gleich 0 1 hat die danach zeigen dass es wichtig weil leider viele viele wesentliche Situationen die der Modellierung vorkommen genau auf solche Situation für das der Fall ist der gleich 0 es leider sein Exotik Exot sondern leider ein sehr sehr häufig bei natürlich sind die spannenden erreicht man die spannenden Effekte sind natürlich das wenn ich weiterhin in also stabilen Bereich wieder den System das alles exponentiell nach nur 3. ist und das Essen kann das langweiliges die wirklich spannenden ist es der müssen die Dachdecker besitzen mit dem unser nächstes Mal beschäftigen 2. mal vielen Dank für die auf zu
Kreis
Länge
Matrizenmultiplikation
Total <Mathematik>
Summand
Algebra
Mathematik
Gleichungssystem
Exponentialfunktion
Extrempunkt
Norm <Mathematik>
Asymptote
Computeranimation
Gradient
Eigenwert
Normalform
Nullstelle
Vektorrechnung
Aussage <Mathematik>
Lineare Gleichung
Gleichung
Vektor
Eigenvektor
Summe
Lösung <Mathematik>
Polynom
Menge
Koeffizient
Stationäre Lösung
Länge
Matrizenmultiplikation
Gewichtete Summe
Exponentialfunktion
Extrempunkt
Superposition <Mathematik>
Gradient
Maßeinheit
Unendlichkeit
Multiplikation
Kugel
Harmonischer Oszillator
Energie
Normalform
Eigenwert
Reelle Zahl
Massestrom
Achse <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Kerndarstellung
Auswahlaxiom
Funktion <Mathematik>
Graph
Imaginäre Zahl
Gibbs-Verteilung
Sorte <Logik>
Gleichung
Vektor
Eigenvektor
Zahl
Objekt <Kategorie>
Konstante
Lösung <Mathematik>
Summe
Polynom
Betrag <Mathematik>
Koeffizient
Verträglichkeit <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Verschlingung
Punkt
Total <Mathematik>
Momentenproblem
Differenzierbarkeit
Störungstheorie
Extrempunkt
Gleichung
Term
Differentialgleichung
Konstante
Lag
Kritischer Punkt
Betrag <Mathematik>
Offene Menge
Koeffizient
Existenzsatz
Nullstelle
Stationäre Lösung
Vorlesung/Konferenz
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Länge
Matrizenmultiplikation
Total <Mathematik>
Differenzierbarkeit
Quantifizierung
Gleichung
Extrempunkt
Gradient
Vollständigkeit
Betrag <Mathematik>
Stetigkeit
Vorlesung/Konferenz
Lineares System
Neun
Exponent
Division
Besprechung/Interview
Quantifizierung
Gleichung
Konstante
Erzeugende
Lösung <Mathematik>
Uniforme Struktur
Betrag <Mathematik>
Minimum
Vorlesung/Konferenz
Analysis
Grenzwertberechnung
Konstante
Betrag <Mathematik>
Homogenes Polynom
Momentenproblem
Dreiecksungleichung
Vorlesung/Konferenz
Lokal kompakter Raum
Exponentialfunktion
Gravitationsgesetz
Differentialgleichung
Integralgleichung
Integral
Zugbeanspruchung
Wald <Graphentheorie>
Matrizenmultiplikation
Positive Funktion
Exponent
Exponentialfunktion
Norm <Mathematik>
Term
Integral
Multiplikation
Uniforme Struktur
Kugel
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Menge
Vorzeichen <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Ecke
Formation <Mathematik>
Kreis
Punkt
Total <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Division
Ruhmasse
Extrempunkt
Zahl
Konstante
Mittelungsverfahren
Multiplikation
Uniforme Struktur
Kugel
Ecke
Betrag <Mathematik>
Menge
Eigenwert
Stetigkeit
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Aggregatzustand
Punkt
Matrizenmultiplikation
Kante
Asymptote
Richtung
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Normalform
Theorem
Nullstelle
Abschätzung
Vorlesung/Konferenz
Ableitung <Topologie>
Physikalischer Effekt
Differenzierbarkeit
Ruhmasse
Aussage <Mathematik>
Störungstheorie
Periodischer Orbit
Stetige Abbildung
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Kritischer Punkt
Menge
Betrag <Mathematik>
Stationäre Lösung
Grenzwertberechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 13: Prinzip der linearisierten Stabilität
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 13
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30763
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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