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Vorlesung 12: Harmonischer Oszillator / Stabilität

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das 2. Mal ein herzliches Willkommen zur heutigen Vorlesung die beginnt diesmal nicht mit fundamental System von Systemen in der Ordnung sondern mit der Evaluation wir sehen sollen sie sind im 3. Semester und wir sind schon am Ende der Evaluations Woche insofern denke ich muss nicht mehr viel dazu sagen wofür das gut dass wer für wie es funktioniert er ich hoffe Sie sind alle noch motivierter wo sich schon Wahlzettel ausgefüllt haben wahrscheinlich die Woche ich zumindest wird mich sehr freuen wenn Sie ne Rückmeldung geben insbesondere in Mehr für mich sehr interessant die frei Textfelder unten was hat mir gefallen das hat mir nicht gefallen und auch ansonsten wenig natürlich sehr gespannt was daraus kann man ich geb's mal dort optimal an den Rändern so paar vor bürgen rein wenn sie den wissen durch die von dir lassen es ist so ich habe das Gefühl die meisten sind fertig ich will niemanden Herzen noch lange Rückmeldungen er schreiben wie gern er sie können das ich würd da Sie jetzt bitten dass Sie die die fertig sind sie mal an die Seiten diffundieren lassen das muss in die einsamen kann wer noch schreiben will schreibt gern weiter und bringt die Sie können das gern auch in der Pause nach der Vorlesung können dennoch noch starben nach kleckern genau es alle einfach mal nach links und rechts geben dann kann meist gar nicht mehr vorbei laufen und die Dinge wieder mit es ist so dann auf jeden Fall schon mal vielen Dank für die für die Teilnahme und für die Rückmeldung jetzt bleibt wie Schwierigkeiten Bogen zu schlagen so zu Differenzialgleichung vielleicht noch ein kurzer Bemerkung zur letzten Vorlesung für die komplett aus dem Rahmen gefallen Matrix für die mich entschuldigen die hatte keine Eigenwerte 2 oder gar nichts im Nachhinein ist mir völlig klar was passiert ist ich hab beim Skript bauen 1. eine Beispiel vorgehalten dass dann ersetzt und das Beispiel auch komplett ersetzt das auf die Matrix die als für die am Beispiel gehört es aber auch ein schönes schöne Nachricht mit der Mann zu Mann fundamentales dem ausrechnen kann aber eben genau ich hab 1. und Scripts geändert es ist gibt das auf der Umwelt steht es auf der Mode steht es noch das alte aber ich hab es unser Berater geschrieben und der nächsten Version vom Skript ist das dann korrigiert gut vom Bestand her waren wir gerade dabei unsere Erkenntnisse über das der von den Jahren Gleichungen auf Gleichungen höherer Ordnung hochzuziehen und in dem Fall wenn ich jetzt im Prinzip nur noch das Endergebnis angeben was dabei rauskommt und das ist auch normal n schönes klar ist ,komma welchen Rezept da geht es also um Gleichung Enter Ordnung linear mit konstanten Koeffizienten mir die Gleichung nehmen wir brauchen Koeffizienten n Stück komplexe Zahlen 0 A 1 bis A 1 -minus 1 und dann betrachten wir die lineare Gleichung der Ordnung mit konstanten Koeffizienten in der Ableitung von T +plus 1 -minus 1 n -minus 1. Ableitung von y +plus und so weiter +plus +plus A 1 y Strich von C +plus 1 0 y von gleich 0 das ist die allgemeine homogene Gleichung Ente Ordnung linear mit konstanten Koeffizienten wenn Sie nicht homogen ist in allen Städten des von Tätern macht man Variation der konstanten immer das fundamental System hat deswegen geht es hier nur noch um die homogene Gleichung im Prinzip kann man sich natürlich hier vorne auch noch ein Koeffizienten hinschreiben aber den hab ich durch die wieder zu dass wegen eines haben wenn ihre 5 Städten seit über 1 5 durch die so das ist die gleiche die man anschauen und die Frage wie bekommt man ein fundamental System und meinen das ist die Idee man schreibt das Dingen System 1. Ordnung und und wenn man das ist dem 1. Ordnung hat die Matrix sie dabei rauskommt sieht dann folgendermaßen aus die hatte Nullen auf der Diagonalen Eigensinn auf dem neben Diagonalen junges alles nur das einzige was passiert ist der letzten Zeile die letzte Zeile ist -minus 1 0 -minus A 1 und so weiter -minus 1 -minus 2 -minus 1 -minus 1 1 das ist die Matrix sie dabei sie das Dingen System 1. Ordnung umschreiben was muss man jetzt tun um fundamental System von uns Landstrich glich er y mit dem auszurechnen man braucht die Eigenwerte dieser Matrix und wenn man das macht die über -minus Landauer dann stellt man fest das charakteristische Polynom von dem Ding ist als wählen nicht besonders schwierig und zwar aber ich schreib es gleich in das schönen Tag das Polynom ist sie brauchen die Matrix überhaupt das Gerät das die Polen um ausrechnen sie können direkt hier ablesen und das ist Teil von dem der Aussage von den Theorien also es geht um die Nullstellen dieses charakteristische Polynoms und das charakteristische Polynom von dieser Matrix da drüben das folgendes des Islam auch +plus 1 -minus 1 Land auch im -minus 1 los und so weiter bis er 1 Lander +plus 1 0 also man kommt aus der Gleichung auf das Gesagte restliche Polynom indem man aus der App Leitungsorgane aber etwas der und Impotenz nach und die Koeffizienten also übernimmt einfacher geht es nicht und in dem Sinne braucht man diese nach da überhaupt nicht nur von hier kommt man direkt Nacht ab Sommer 1. Nullstelle von den vorgenommen hat der Netze durch den von den Veränderung also von kaltes in Polen von der Matrix natürlich im Wert Funktion des fundamental Systems es kommt jetzt durch drauf an die vielfach die Nullstelle ist nur also sagen wir mal wir Nullstelle mit der Vielfachheit K dann brauchen wir für diese Nullstelle kahlen der unabhängigen Lösungen damit wenn schönes
fundamental System kriegen und das schöne ist diese kahlen Jona wegen Lösung kann man auf sehr einfache Art und Weise kriegen nämlich er auch 10 0 1 LE auch den andern 0 natürlich CEO Freelander 0 die Quadrate Hochtälern der 0 und so weiter ist sehr hoch K e Hochtälern fertig so und das sind alles wieder die aus Aussage wenn man eine Nullstelle von dem Polynom hat dann sind das in der unabhängige Lösungen von Sternen damit kann man sich jetzt das fundamental System zusammenbauen die Lösung aus für alle Eigenwerte zusammen alle für eine
Nullstelle nehmen Sie man sich für jede neue Stelle von diesem Polynom ende die werden dann fundamentals es ist der einfach ein sozusagen der einfachst mögliche Typ von Gleichungen dem umgehen um Lösungen zu schreiben aber in diesem Business ist ein Polynom auf der Nullstellen ausrechnen jedoch Vielfachheit die Anzahl der Dinge und fertig er ja danke der das 1 zu 4 sie auch keine abfließen kann Lösungen so Beweis von dem Satz gibt 2 Möglichkeiten ich bei den ich machen das entweder man geht diesen Weg da drüben schaut sich die oder Normalform von dieser Matrix hier ein und übersetzt sich die Lösungen zurück und stellt fest die Tugend 2. Möglichkeit wenn ich die elegantere wenn ich einige machte dicht die gemacht wenn man weiß dass das die Dinge sind kann man's auch direkt beweisen mein der leichteste Teil der Übung ist zu zeigen die Dinger sind Lösungen einsetzen und fertig schwieriger wird es die wirklich in ihr unabhängig sind und so aber dann kann man eben macht findet sich also wenn es jemand nachlesen will befindet sich in in einem auf Standard die viel über die Fenz ja gleich mehr sicher dass jetzt weiter gefunden weiter den ja von Zeitalter gewürdigt wenn tialgleichung aber es findet sich ein ein anderen Bücher gut ich werde am besten wissen merken Sie schon bisschen Strafe noch zu anderen Sachen zu kommen aber natürlich will ich Ihnen ein Beispiel nicht vorenthalten also einmal die Methode ist sich schon nicht Beweise wenigstens einmal nach 15 am lebenden Objekt genauer gesagt sogar 2 Mal am lebenden Objekt also einfach erstmal ein willkürliches Beispiel 5. Ableitung von y +plus 4 mal 4. Ableitung von y +plus zweimal 3. Ableitung von y -minus 4 Mal 2. Ableitung von y nach +plus 8 Mal y strich und danach nur noch 16 y Seele vielleicht nur das ist relativ willkürliches Beispiel mit dem ich zeigen wie es kann sie könnte man kann sogar relativ hoher Ordnung relativ schnell damit bearbeiten mit dem Verfahren weiß noch als ich in der 1 3 saß hatten meinte 10 damals gesagt das Verfahren das ist so einfach dass können Schimpansen beibringen da bin ich es gibt sich aber das war seine Einkleidung dessen was muss man tun er muss dieses polynomial aufstellen und das kriegen wir einfach aus dieser Gleichung in dem wir jeweils die aber da muss Ordnung zu Potenz erleben also jedes 5. Ableitung also Land auf 5 +plus 4 Mal am da 4 +plus 2 Mal nahmen auch 3 +plus 4 Mal am Tag Fahrrad +plus 8 Mal am +plus 16 ist ein sehr charakteristisches Polo also dieses Ding hier sowie das vergessen nennt man das charakteristische Polynom der der Gleichung das Tafelbild die Zeit die 2. 1 3 -minus aber Sie haben ja zum Glück schon abgegeben also charakteristisches dieses Polo und die neusten dieses charakteristischen Polynoms die verraten jetzt eben ist fundamental System ist das 1. das wir uns mal anschauen wie sieht es mit den Nullstellen von Polynomen außen jetzt das sind nicht das Gleiche wie es bei jeder Eigenwert Bestimmung das Problem ist Eigenwert Bestimmungen sind immer so einfach wie das bestimmen von Polynomen nämlich in Wahrheit furchtbar kompliziert ja auch für uns nix zwar danke n das ist immer immer so meiden werden so alle Beispiele die man hier rechnet sich gemogelt weil man dann immer irgendein werde Nullstelle raten kann der Songs ,komma nicht weinen zum für die und auf diese Weise wirklich 5. Grades also keine allgemeine Formel möglich in dem Fall Problem und wissen wo man stellt fest weiße Nullstelle und es weiß nicht nur bisschen Nullstelle weiß so richtig nur stellen nämlich das eine dreifache und dann bleibt dem Burger quadratisches Polynom übrig und dann wissen alle was zu tun ist und dann bleibt übrig lagen -minus 1 +plus e Wallander -minus 1 ist wenn man die weiß ist die klar weil das ist ein reales Polynom wenn ich Nullstelle hat muss die konjugiert komplexe auch will zur daraus kriegt man jetzt mit dem Satz hier sofort ein komplexes fundamental System war der Satz sagt für jede neue Stelle wenige Funktion er auch Thema die Nullstelle und dann immer so viele Tiere Potenzen davor wenn man braucht will also ein komplexes fundamental System kriegen sehe ja die Nullstellen -minus 2 gibt ihr auch -minus 2 sie 1. Lösung 10 er auch -minus 2 Ziele C-Quadrat Mali um -minus 2. immer sondern die Potenz hoch drehen bis sie genug haben wir brauchen 3 Lösungen deswegen der ein Mann völlig richtig man muss hier bist K -minus 1 c sondern kommen jeweils noch eine Lösung der Zoo für diese beiden Eigenwerte er hoch Eigenwert mal t also eher hoch 1 -minus ehemals W und hoch 1 +plus malte es immer wieder an dem gleichen Stelle wie schon paarmal wären einige Reilly Gleichungen wenn auch gern ein reelles fundamental System und das gelle fundamental System kriegen wir mit der üblichen Methode dem uns eine von den beiden hier her Schaulust in den Jahren Imaginärteil an und setzen die beiden durch wie ein Imaginärteil von einzelnen das da wirklich wieder der gleiche Lösungsraum rauskommt das ist wie gesagt immer vom nächsten Übungsplan also na gut die 1. 3 sind das reale fundamental gute übernehmen war und was es da hinten mit dem realen Imaginärteil der Realteil von ihr hoch 1 +plus i mal t e das ist erstmal die Hochtäler das ist das ihr auch 1 +plus Eloy Martínez Realteil also ihr auch Ziel von Maria als Teil von ihr hoch mal in den Realteil von ihr auch ihm als die schreibt man kürzer als große Lust da vielleicht nicht kürzer aber gewohnter genauso der Imaginärteil von den Dingen auch 1 +plus ICE ist dann auch Thema der Imaginärteil von ihr auch ICE also dass sie so damit am unserer lässt fundamental System die 1. 3 übernehmen war ich auch -minus 2 Ziele The auch -minus 2 Ziele C-Quadrat wo -minus
2 C er auch zehnmal Cosinus von CD und er auch Thema sie aus und jede Lösung dieser Gleichung ist jetzt mit dem Jahr Kombination von den 5 das bedeutet gerade Fundament ist so und als 2. Beispiel für so eine Gleichung mit konstanten 10. in ihren höherer Ordnung komm ich zurück an seinen Anfang von dem Abschnitt an das Ende von Abschnitt 6 und uns mit Gleichung höherer Ordnung beschäftigt hatten ja ich gute Frage also warum nimmt man nur den A 1 +plus ihr nicht in 1 -minus sie das ist das allgemeine Verfahren wie sie vom komplexen Zfone sind so fundamental System kommen sie dem von sie suchen sich die Paare konjugiert komplexen Nullstellen ja wenn sie mit illegalen haben sie tauchen jenen Paaren aus Mehr weil Eigenwerte von nur Nullstellen von reellen Polynom komplexer Art sind immer kollidiert komplex und dann ist das Verfahren in eine von den beiden davon real den Beginn der Zeit und der für die andere Welt also irgendwas muss man ja wegwerfen weils dürfen Ärzte die Dimension bleibt dadurch ja dieselbe muss im Norden fünfdimensionale Lösungsraum sein und was man macht ist man wird von den beiden konjugiert komplexen einen weg und dem von der andern die ja eine Menge Zeit ich jetzt auch anders Roman König jetzt hier von realen bei teilnehmen können und den wegwerfen wenn hätte die hier nicht ich auch des Senders CNN auch den Cosinus T sondern er denn -minus irrte Cosinus Tieren -minus 1. worden wenn man Mehr ja das das funktioniert und immer den gleichen Raum aufspannt wie vorher das wie gesagt das Thema vom nächsten Übungsblatt ja also das ist im Moment tatsächlich bisschen bei dir was tut da geht es also was bringen wird ja nicht fertig mit Vermittlungsaufgabe bleibt also wenn sich bis Business bis in 2 Wochen noch unklar es uns noch mal drüber oder gut so anders sieht sozusagen als Einstieg in dieses Kapitel hatten uns ja damals der harmonischen Oszillator angekuckt und festgestellt wir können und ich mal diese banal Gleichung lösen das können wir jetzt weg aber zum Schluss von Kapitän kurz das Beispiel meine DGL Vorlesung ohne den komplett gelösten harmonischen Oszillator das geht nun wirklich nicht also wenn man auch nicht nur den harmonischen Oszillator sondern gleich den gedämpften das macht jetzt auch nicht mehr viel aus also noch mal zur Erinnerung was ist das harmonischen Oszillator er 1. Einkleidung müssen Federpendel also es vorstellbar ein ist eine Feder der nicht dran und das Gewicht denn sie müssen raus und dann raten das hin und her und die Dämpfung heißt wir gehen jetzt nicht mehr davon aus das unser Federpendel im reinen Vakuum spinnt schwingt und völlig ohne Reibung sondern das Ding hat durchaus der Reibung mit gedämpftem wird im Lauf der Zeit langsam an oder Hektik kleinerer aus kleinerer aus und wie stark die Dämpfung ist und nicht stark die Feder ist das steckten 2 Konstanten B und C die größer 0 sind und die allgemeine Gleichung ist dann y 2 zweistellig von also y zurzeit T steht für die Auslenkung bisher keines aus der Ruhe Lage y von sie gleich 0 heißt es die gestiegene davor Lage und y sagt gewaltig von Ruhla Gebäck und die Klage des dämonischen Oszillators ist 2. Ableitung diese Auslenkung +plus des mal die 1. Ableitung von der Auslenkung +plus 10 Mal die Auslenkung selber ist immer 0 oder IE genauer gesagt ist gleich der äußeren Kraft die von außen auf das System wird ja und die Dinge mal davon aus der lästigen Anfang angestupst danach das wissen wohl dass sie nicht die rechte Seite 0 dieses als es das letzte Mal trafen hatten viele die diese mittlere Teer aber 0 können Sie auch B 9 B gleich 0 zu lassen sie nicht so gern wir gleich 0 entspreche einer reicht völlig reibungsfreien Schwingung je größer das B ist umso stärker wird die Reibung also kleines B wäre Handys Winterluft großes größeres sehr großes B werde Penis in den Honig wir und C enthält die Materialeigenschaften der Feder nicht also das sagt wie stark und lässt sich die Feder aus lenken dessen sehr schwache eine sehr starke fehlt bloß noch die Masse das Gewicht soll lauter so zeigt es stecken zieht so wir wollen ist dass den lösen ja das ist sogar nur 2. Ordnung konstante Koeffizienten also da geht es so nicht mein Problem mit dem mit den Nullstellen von charakteristischen Polynome können war mit der pq-Formel austricksen also das charakteristische Polynom ist nach der Schimpansen Methode Landtagswahl verwahrt bloß +plus 10 Mehr Nullstellen davon es pq-Formel -minus 1 plus Minus Wurzel aus Ausblick Fahrrad Viertel -minus Szene und dann wissen wir auch sofort was die Lösung sehen eine Lösung sind wie hoch die Zahl mal und er auch also und einstmals hier miteinander zweimal ja das selbst die kurze Geschichte die dann etwas aus für die Geschichte ist was bedeutet das jetzt würde gern was wegen sehen ok was schwingt oder nicht das hängt massiv davon ab was wir hier ob der Komplex oder der Nullstellen hat dann also wenn Sie hier unter der Wurzel eine negative Zahl stehen haben sondern sie komplexe Nullstellen wenn die Wurzeln hier von der WM zeigen zogen wird am seriellen Nullstellen also wir müssen 2 beziehungsweise 3 Fälle unterscheiden der 1. Falles das was da unter der Wurzel steht mit negativ also Quadrat Viertel -minus C 0 beziehungsweise B Quadrat 4. kleiner als CD was bedeutet das und in der der Bedingung und der Bedeutung ist Konstanten B und C die vorhin genannt hat das bedeutet sie haben relativ schwache Dämpfung weil das B ist relativ zu dem C klein für schwache Dämpfung in dem Fall sind die Eigenwerte komplex also wenn Sie unsere Eigenwerte Lambda 1 2 10. -minus B halbe +plus -minus aus und jetzt sehe ich die das imaginäre aus ihm mal 10 -minus piquadrat werden damit jene rele Woods ist geht es vernünftige reale Wurzel Computer wozu von komplexen Zahlen immer in diesen werden ihr von negativen Zahlen wir nicht so gerne schreiben so und damit gleich kürzer zum aufschreiben wird wenn ich das P allgemein er mal alles war und diese Wurzel Ausdruck hier wurzle Szenen des piquadrat Viertel für die Physiker Omega so und wenn wir jetzt Nashörner jetzt Fälle so rauskommen und zwar was für ein reelles fundamental System rauskommt da müssen wir was tun wir haben ihr einander einstigen ihren 102 10 die sind Land eines ansatzweise natürlich konjugiert komplexen dann also nehmen wir eine von den beiden davon realen imaginierte also das der fundamental System besteht aus dem realen Fall von ihr auch 1 die und über die Mehrzahl von ihr aufeinander 1 C wir haben also einander 1 war er hoch -minus einfach +plus Ehemann Omega Timo jetzt dass sie das Gleiche wie gerade eben schon eher um -minus Alphatier ist real das Kamera und des Retters ,komma ausziehen ich auch -minus Alphatier Filialzahl von Eoin um Legacy also eher hoch -minus Alphatier mal der Kosinus von Omega C und jetzt 10 auch auf der Erde und genauso für den Imaginärteil also immerhin derzeit von Io flammender 1 wie ist mit der gleichen Rechnung wie auf -minus Alphatier
mal Imaginärteil von eorie Omega C also man Sinus und er zu an jetzt sieht man auch der schwingt was er die großen Sinusfunktion wenn die Hälfte Cosinus und Sinus Funktion wenn Sie groß werden lassen wird irgendwann diese Exponentialfunktion ja alles nach 0 drücken und zwar mit der Abklingrate Alfa die ist also je größer das desto größer wird als fahrendes das schneller Haut das gegen 0 von der Sinus oder Kosinus die wackeln eifrig vor sich hin mit der Frequenz omega ich meine dass wir bis um wieder genannt werden wie sehen also die Lösung aus die Lösung sind ja Kombination von solchen Sinus und Cosinus Funktionen so und jetzt muss ich aufpassen dass ich nicht auf dem Standard Fehler aus München Physik Prüfung reinfallen also das was Sie jetzt hier in gemalt ist dieses ihr auch -minus Alphatier Profil da gibt schon einige Physiker die wissen Grinsen was ich mein Land und jetzt hat meine ja Kombination von diesen so großen Funktion das heißt hier Schwedens mit abnehmender Amplitude und so weiter ja warum sag ich jetzt Standard Fehler von mündlichen Prüfung der Physiker man es immer versucht vorgesehen sind zumal wenn sie wenn man ihnen sagt man sie mal gedämpfte Schwingung dann mein ganz viele sowas und das ist falsch was passiert ist das Ding ist gedämpft aber die Frequenz bleibt gleich ja das Ding schwingt immer gleich schnell was man so suche das immer kleiner malt dann wird hier die Wellenlänge von mal mal kleiner das es Quatsch ist wird sie nicht und ist so der Klassiker Ex Physik 1 Prüfung mündlich nur mein so meine gedämpfte Schwingungen sah es gibt andere Schwingung die sich so verhalten wie er meint ist der Klassiker ist sie haben sollen sie Tränen Geldstück auf Tisch oder fängt das Amt ist und damit die Frequenz kleine aber nicht bei dem harmonischen Oszillator so ja im Prinzip haben wir jetzt unsere Schwingung und was sollten jetzt noch der andere halfen komischer frei sein müssen der 2. Fall der 2. Fall ist es war dieses piquadrat 4. größer C was passiert dann mit unserem eigenen werden dann sind unsere eigenen Werte werden dann sind Land 1 2 gleich -minus plus Minus Wurzel aus billig Quadrat -minus sie denn den reell und dann können wir unsere jenes fundamental System sofort hinschreiben das besteht aus EU-Land einziehen er wochenlang der 2. hin keine Lust die ganzen Wurzel glaube die Exponenten zu schreiben man beachte die sind beide strikt negativ am 13. März weisen kleine 0 warum Na ja man muss sie nur angucken was da steht mein bei minus -minus es offensichtlich dass sie kleiner 0 sind ja die Frage was passiert bei -minus +plus und die Wurzel aus piquadrat Viertel -minus 10 er dies auf jeden Fall weniger als die Wurzel aus piquadrat Filme haben Sie mir was Positives ab und das ist ja immer das heißt von der zudem -minus die halbe sehen Sie auf jeden Fall was dazu was weniger ist -minus als der halbe ist und damit bleibt vervielfältigt also ,komma kleine hier aber das sehr strikt positiv ist also strikt ab so dass es haben EU-Land einstige und dann der 2. mit 2 Exponenten die negativ sind das heißt was hier passiert wie sie die Lösung aus von der von unserer Schwingungungsgleichung in dem Fall des Quadrats Viertel größer C das ist ne feine ihre Funktion da schwingt gor nix was ist passiert der Fall des Quadrat Viertel Größe C heißt ein großes Bild sie eine starke Dämpfung und das heißt die Dämpfung ist stärker als die Schwingung stellen Sie sich vor Sie Menge per Tenderzins aus der wo Lage und dann machen sehr viel schönes Hartz drum rum oder dicken Honig da der wenig Schwingen wer macht das nur in nein das ist das und da man ja hier schöne Anwendung ist gibt es da auch ein schöner Abend für ich weiß ich langweilig Physiker diesen gleich wieder dran das nennt man dort den kriecht Fall aber das Ding nur nicht so und es gibt bei den in Mathematik sind und man gerne komplette Fallunterscheidung hätte natürlich auch den Fall dass die beiden eigenwilligen aufeinander plumpsen also im Fall des Quadrat für die vielleicht 10 da man doppelten eigenge wissen aber auch für mit doppelten eigen werden umgehen sie da oben Theorie macht 13. dann Namen doppelten Eigenwert es genau -minus der halbe der oder je nachdem C-Quadrat der können sich aussuchen wie sie wollen üblicherweise wird ein Physiker C-Quadrat man was sind jetzt nicht mehr lustig war nein doch mindestens das festhält mehr Wurzelziehen man jung ist es der halbe ist Wurzel -minus wozu ich sah das immer und sie kriegen als reales fundamental System sie Ersatz darum einen doppelten Eigenwert haben ihr auch Thema Eigenwert und ehemalige auf dem Eigenwert also es fundamental System ist er auch -minus wir halbe CD und auch -minus bereitet sie das ist die allgemeine Lösung ist ohnehin Jahr Kombination davon auf lange Sicht denn auch die Lösung alle gegen 0 also mein wo man behalte C 14 endlich geht gegen 0 Thema das den 7. politisches Teekannen Anfang noch so'n bisschen aber dann halt die Exponentialfunktion zu also das Beste was Lösung machen kann ist sowas am Anfang noch versuchen bis sie los zu schwingen und dann aufgeben das nennt sich dann der so genannte ab periodische Grenzfall weiß der Grenzfall der Schwingung ist und es nicht mehr periodisch ist also es kein stehen sehr 1. harmonisch Oszillator und für alle nicht Physikerinnen und Physiker der ist deswegen so wichtig weil der das Grundmodell jeglicher Schwingungungsgleichung ist also man irgendwo was schwingt und man hat keinen Grund hat das ist das die nicht allen harmonischen Effekte überwiegen dann mit meinem 1. Mann harmonischen Oszillator als Modell weil das hat einfach den kann man ausrechnen mehr kann man mitmacht so er damit ist dieser Abschnitt über lineare Gleichungen am Ende wir werden jetzt wieder auch nicht Jahr gleich tun zu lassen insbesondere nichtlineare Gleichung zu lassen aber ich will im nächsten Kapitel zeigen einer der Gründe warum man ja gleich oben so genau studiert er nämlich dass man Fragestellung über nicht lineare Gleichungen unter Umständen auf Nytra liegen die lineare zurückspielen kann also meine nichtlineare Gleichung hat ist ein typisches herangehen man hier visiert man sucht sich eine lineare Gleichungen die gewissen Weise das denn am besten approximiert und schaut welche Eigenschaften die Angleichung gelten auch für die nächsten Jahre Gleichung auch keine extrem neues Verfahren für sie erreicht man was ist mit Ernährung 1. Grades an das Mehr man den Jahre 7 Ableitung nix aber saß Illegalisierung eines Problems man sucht die bei
der Ableitung sucht man die Tangente man sucht oder im mehrdimensionalen die tangential Ebenen und sucht die besten Jahre Approximation an seine Funktionen irgendein Problem ist man noch das ist hier aber nur die wenn ja gleich um die gegeben eine ihre werden suche einen ja das Problem der Nähe und schaue dass man wirklich gut werden dazu aber dann mehr nach der Pause nur damals Kapitel Ende haben ist es ein guter Moment um kurz vor aus nur Robotern würdigt den 2. Teil einsteigen ja einen Überschriften geschrieben wir wollen uns beschäftigen Stabilität Theorie autonomer Gleichung der 1. Bemerkung vorweg falls sie noch so im Kopf haben Autonome Gleichung mal lange überlegen das war das wo die rechte Seite nicht von der Zeit abhängt die hatten wir doch alles schon im Griff die können wir lösen bei diesen von getrennten veränderlichen er allein vor diesen Schnellschuss möchte sie warnen das gilt nur für skalare autonome Gleichung wer autonome Gleichungen mit Werten er der im Sinne skalare Funktion suchen dann Jades von getrennten veränderlichen die Kammern wenn man die die gerade die auftauchen lösen kann lösen hier geht zum autonome Gleichungen melden im autonome Gleichungen man dabei sieht das ganze getrennte veränderliche Verfahren nicht da müssen wir uns was anderes einfallen lassen und es wird auch jetzt nicht mehr darum gehen die Dinge explizit zu lösen dafür sind alle Weber Problem ist zu kompliziert sondern worum wir uns kümmern wollen 11 das 1 Möglichkeit es zu sehen das Langzeitverhalten von Lösung also es geht es immer um globale Lösungen global im Lösungen die für alle Zeiten existieren und die Frage ist was macht eine Lösung der CDU nennt damit zusammenhängenden eigentlich die viel wichtigere Anwendung dieser Theorie ist die Frage nach Gleichgewichten Stabilität von Gleichgewicht der Gleichgewichtszustände 1 komplexen Systems 10 euch nicht sehr interessante Zustände sind zu stellen die man kennt und die man erreichen will ich meinen wir auf ein Beispiel nehmen sie sich im Flugzeug das fliegt fördert John Hunderte von Parametern der Rolle spielen und das auch Hunderte von Design tialgleichung auf die das Ding und was man natürlich jetzt als Luftfahrtingenieur erreichen will ist dass es Dinge möglich stabile Gleichgewichtslage hat wenn man das die gesamte vorbeizufliegen aber nehmen Sie die vorwärts Richtung geht ist sehen Sie mal die konstante Geschwindigkeit ab dann soll das den möglichst Gleichgewicht in der Luft liegen und soll die Gleichgewichtszustände von 3 jungen an zu bestimmen und B zu untersuchen ist ganz wichtig weil er wichtig ist Gleichgewicht ist nicht Gleichgewicht also Gleichgewicht durch das nicht gleich zu war man ganz einfach ist Beispiel ich hab mein Handy mitgebracht .punkt stockende das wird beschrieben durch die gleich fürs mathematische Pendel hat mir letztes mal aber ist auch oder kommt noch ist aber auch wurscht ist auf Systeme durch die Fans gleichen beschreiben kann ich das sie aus denke dann schwingt das Unwissen und wären aber Reibung haben wird auch immer noch das vegane relativ offensichtliche Gleichgewichtslagen war die Gleichgewichtslage von dem System wenn ich das jetzt hier noch 3 Million Jahre so hängen dass das nichts mehr es geht und ohne Gleichgewichtslage das Auge Gleichgewichtslage das Problem ist nur ja was das Problem was ist der Unterschied zwischen dieser Gleichgewichtslage und den stabil und ich da werden auch noch die Begriffe gehts jetzt an und das ist für den Luftfahrtingenieur extrem wichtig ja weil wenn er sein Flugzeugen Gleichgewicht bugsiert das von der Sorte ist Werbeflut was ja der Pilot US ganz witzig oder die Steuerelektronik mittlerweile natürlich und das witziges es sich deine Krone mittlerweile so gut ist das moderne Kampf Chats so gebaut sind dass die extrem den Gleichgewichtssinn moderne gleich Tangstedt ist nicht mehr so leicht dessen so leicht nicht weil die Steuerelektronik ist so gut dass sie das machen kann und den hält aber der Vater davon ist sie können blitzschnell ja und wenn sie aus so einer Lage blitzschnell abdrehen wollen also wir sagen auch in stabile Gleichgewichte können von Interesse sein aber das wird erst mal leisten müssen ist ja ja das scheidende das Ungleichgewicht der mein Gleichgewicht ist erstmal nicht eine konstante Lösung unseres Systems wie sieht man so konstante Lösung an ob die schöne stabil ist oder ob man unter vom Rennen musste mit der Papst das ist das Thema hier und er was wir jetzt erst mal tun müssen ist definieren das heißt das stabile was heißt entsteht das ist Nummer 1 also das Definition 9 1 gegebene beliebige Differenzialgleichung Moment noch also 1. Ordnung natürlich weil alles andere lässt sich zurückspielen aber die beliebige differenziellen 1. Ordnung das heißt jetzt stabil in Städten so was heißt das schön beliebige Differenzialgleichung unser allgemeines setzen wir eine offene Teilmenge von RWE auf den unsere nur so im Leben unsere funkt dann haben Zeitintervall E auf dem die aus den die Zeit t kommt da ich jetzt das Langzeitverhalten ist hier gegen den sich angucken will ist das Intervall Tegla i gleich 0 1 natürlich nicht so toll dann nehmen wir mal das Intervall 0 bis unendlich n am besten werden nur noch nennt meine man anfangs sehr vorschreiben also aber wir brauchen halt das Ganze dabei bis unendlich wird Langzeitverhalten anschauen wollen also 11. auf diesem Intervall Kreuz in den ARD definiert und damit wir jetzt keine Debatte über Existenz und so weiter führen müssen schreib ich mal von vornherein vor das Ding soll bitte lokale Lizenz Bedingungen erfüllen ja also da sich die Definition macht auch ohne Sinn und viel von dem was danach kommen kann man verallgemeinern für stetiges F aber ich habe 10 Wächter der beschlossen dass sie dieser Vorlesung ist nicht höchstmögliche Allgemeinheit so alles mögliche Verständlichkeit deswegen wenn das jemand irgendwann mal für einen schrägen Fall braucht wo das die nicht in lokale schätzte den gefürchteten bestätigt ist dass man seine Bücher nach was noch geht und was nicht ok ich hab nur auf die Weise entgehen wir jegliche Debatte über Existenz und Mehrdeutigkeit von Lösung her so wenn ich jetzt über Stabilität reden will brauch ich erst eine globale Lösung von der Gleichung ist mir natürlich durch die lokale Lizenzbedingungen nicht direkt nicht er garantiert aber wenn ich mir den Walter postulierte ich hab eine globale Lösung also eine Funktion von endlich nach ARD von der Differenzialgleichung y strich ist er von t y von T damit solange lineare Gleichung gemacht dass man sich das schon gar nicht mehr dran erinnert ist ist die allgemeine Form von der Differenzialgleichung 1. Ordnung und davon hab ich jetzt der globale Lösung und dann wenn ich die stabile stabil und so weiter gehen also was heißt Sonne nur so ist stabil denken
Sie als Suzannes drüber nachdenken wollen an den Start hier und ihre Lösung ist die Konstante 0 Funktion als Konstante 0 Auslenkung das wäre diese Lösung der Stock Differentialgleichungen oder sie konstant P also Auslenkung Ausdehnung Pine das auch will konstante Lösung der Stadt Differenzialgleichung also das neben an stabil man Folgendes gilt es kommt wieder Sonne Lieblingsteile von Analytikern also für alle y Größe wurde gibt es im Weltall Größe wohl so das was gilt das Epsilon ist eine Abweichung aus der Ruhe lagen selbst gibt an wie weit bin ich von meinem Gleichgewicht weg und das der dessen Kontrolle sowie bei der Stetigkeit auch also wenn für jede Abweichung musste Lage 10 Delta finden gehören der 1. Unbestechlichkeit des selbst mit zugelassene Abweichung und das Geld ist die aber eigentlich einstelle also wenn für alle akzeptiert tolerierten Abweichung Epsilon ist ein Delta gibt so dass für alle Lösungen der Gleichung V der Lösung Frau von Sternen also wenn für jede andere Lösung die nahe bei startet also deren anfangs Wert an der Stelle nun von dem Fund Fundgut ist Delta weg ist das dann diese Lösung Frau sich nie mehr als y von entfernt also dass der Abstand von von dir zu Frau von kleiner als Essen und Leid für alle Zwecke ist recht Stabilität bedeutet also für jede nicht vorgegeben ja ich will das mal stark also damit das Ding da stabiles heißt dass ich will dass mein Stock nicht mehr als schon Stück abweicht dass man y muss es ein Wälder geben so dass wir nicht in der Umgebung Umwelt um die Gleichgewichtslage startet das denn nie mehr als so aber das ist das Lied ist es hier oben nicht erfüllt ja wenn ich sage ich will auf keinen Fall dass der Mehr als so kippt dann können Sie egal wie egal wie wenig sie kippen der fehlt es der jetzt Umgebung Kochs zur dementsprechenden aber auch schon unsere Definition für ihn stabil mehr nämlich wenn das Ding nicht David dass der einfache Teil der der einfach enthalte die Viehzucht schau es gibt noch 2 Begriffe Mehr zu definieren und das ist bisschen Subtilität aber man sichs überlegt nicht nur was würden Sie sagen ist immer wieder an den Schaltern scheiden die Gravitation oder Reibung da die Leute nicht die Reibung aus wenn ich das Ding hier bisschen aus Lengede dann wird es für alle Zeiten und der schwinden ja also das ist ein stabiler Gleichgewichtszustand aber konvergiert nicht man hätte ihn aber gern und man hat auch oft zum Beispiel mir die Reibung einschalten dass jede Lösung gegen den Gleichgewichtszustand wirklich konvergiert den Grenzwert kriegt wird der Gleichgewichtszustand angenommen hat nicht angenommen also Grenzwerte der eben approximiert das ist Mehr würde vom von Stabilität in die Krieg deswegen einen Namen meine Sonne globale Lösungen hier attraktiv man genau das der Fall ist also falls Mehr zum Delta größer 0 geht für kleine Umgebung um den Staat wird von 0 so dass alle Lösungen die nah genug bei von 0 starten also alle Lösungen V die immer noch global sind also auf nur will ehrlich definiert von dem Stern eine so dass für alle Lösungen die nah genug bei US-Staaten also mit von 0 -minus Frau von Nullen Abstand kleiner als Delta gilt als der Liebe das gegen unendlich vom Abstand und will Ausbau von Twilight gleich 0 ist also der Limes von wenn es von Frau ist so Mehr es ist deswegen so formuliert Wald in ein Beispiel ist es ohne die konstante Funktion im Allgemeinen darf das kann der Gleichgewichtszustand der Attraktor dort durchaus wenn man die Gleichung selber nicht autonomes wenn man nachher sehen kann der Gleichgewichtszustand durchaus von t abhängt und deswegen ist die Definition so formulierte bei mir sehen heißt das wenn ich attraktives Nelleßen Gleichgewicht an wenn für jede Lösung die nah genug am Gleichgewicht startet die Lösung nachher ging das Gleichgewicht kommt so ein 4. Begriff der Samen und ein eine Kombination der vorherigen weil die oft vorkommt vorkommenden Sohn Gleichgewichtszustand asymptotisch stabil wenn er stabil und attraktiv ist also das ist einfach die Kombination aus der Bibel und attraktiv an der Stelle gleich eine Warnung ist die Bemerkung 9 2 es sie total verführerisch aus wenn man so auf die Definition draufguckt denkt man er dann müsste doch aber also wenn so attraktives und sogar gegen die neue Funktion Comeback wie er gegen die Wings konvergiert dann ist es doch erst recht stabil oder nein die beiden Begriffe sind tatsächlich unabhängig ich meine also dass es stabile Systeme gibt die nicht attraktiv sind es relativ klar denken wenn das Pendel das ohne Reibung immer weiter schwingt und das ist er stabil aber nicht attraktiv aber es gibt auch attraktive Systeme die nicht da wenn Sie es stehen lassen ich die Gefahr dass jemand von ihnen versucht einzufinden Achtung 1. Problem versuchen Sie es mich in einer Dimension also für die gleich 1 einfließen nicht für die gleich 1 folgt aus attraktiv stabil sie müssen Minister gleich 2 machen gibt Gegenbeispiele die sind nicht banal also bevor sie das Papier als sie sind herzlich eingeladen das Papier zu nehmen aber vielleicht lieber vorher mal dass Google das grobe bemühen weil es ist hier also ich hab mir würdigte mich 1 machen oder nicht meinte der Geselle gesucht und festgestellt in die Vorlesung hab ich mich ja also ist nicht banal aber es gibt Beispiele von attraktiven System nicht stabil sind von der Grundidee her was da passieren kann er es dass jede Lösung irgendwann mal weit genug weg fliegt ja also sehr die Suzanne Gleichgewichtszustand und die Lösung gehen zwar alle dagegen aber machen und alle irgendwann mit den hier her egal wie nah sich starten wie Lösung fängt erst mal an sich ja das ist so dass was passieren kann unternahm sei keine stabil bei stabil bedeutet ja sie müssen für alle Zeiten in der Umgebung bleiben und das er für den ich
ja die fliegen mal rauskommen dann alle wieder dahin aber sie sind alle unterwegs zwischen drin mal weit dass das was passiert gut wo es nur gesagt haben also bitte diesen Schnellschuss vermeiden ja wenn der Herausforderung sucht Beweise dass es in einer Dimension die gut fertig schon das klingt schon in der überschrift an ich will mich hier auf dem wichtigen Spezialfall beschränken wenn ich auf autonome Gleichung das heißt unsere Rechte Seite 11 hängt nicht von dieser 1. Variablen T hier soll ist nur der Elf von y das hat einen großen Vorteil nämlich das man jetzt wirklich über Gleichgewichtslagen legen kann und dass man die Gleichgewichtslagen plagen auch schnell bestimmen kann wir müssen uns jetzt ganz zurückerinnern Anfang vom Paragraph 3 über das damit er schon mal kurz drüber geredet also was uns jetzt interessierten Gleichgewichtszustände der des Systems und die Gleichgewichtszustände sind in dem Fall die stationären Lösungen also Lösungen die nicht konstante Lösung Lösungen wir eben die immer konstant ein Vektor sind die nicht von der Zeit abhängt und diese stationäre Lösung lasse sich bei autonomen Gleichung sofort ablesen das sind genau die Nullstellen von f nur wenn es in einem Sektor mit Nullstelle hat und Sie selbst y von The Constant diesen Sektor dann steht hier von dieser Nullstelle ist 0 und die konstante Funktion und Ableitungen 0 jede Nullstelle ist nicht dazu deren Lösung und umgekehrt kann man sich überlegen eine stationäre Lösung haben ist die Nullstelle von der das Nährlösung nahm dann ist ja werden 0 dann ist er von der Lösung des von den Vektoren und das ist ein Quelle ins Meer stationäre Lösung sind genau Nullstellen von so so Nullstelle von f das ist das worum es jetzt in nächster Zeit die ganze Zeit geht ja also so so halt schauen Sie es immer autonome Gleichungen an und die Nullstellen von f und dann ist diese Nullstellen von f entsprechen Gleichgewichtslage unseres Systems also in diesem Beispiel hier wird die rechte Seite der Gleichung herzugelaufen autonome gleichen wird die rechte Seite der Gleichung wir neue stellen 0 haben Nullstelle in Herr Na also Nahrung gelenkt mir ist die Frage welches Charakteristikum von 11 sagt uns ob wir in soner Nullstelle also das stabile Nullstelle der instabil möchte so und jetzt kommt das was ich am ende vor der Vorlesung vor der Pause gesagt habe für beliebige autonomen leiden dann ist ganz schön kompliziert sein und wir werden es gibt auch wenn auch autonome Gleichungen sehen wo es sehr sehr schwer zu entscheiden ist aber es gibt einen Bereich wo es relativ übersichtlich ist das Tablet der 2. das sind die weniger wertvoll dass die lineare Differenzialgleichung zurück autonome lineare Gleichungen zumindest mit konstanten Koeffizienten die kennen wir gut aber explizit die Lösungsformel da kann man einfach anhand der Lösungsformel ausrechnen was kommt raus in grenzwertigen unendlich und dann stellt man schnell fest das man da gut weiterkommt wenn Sie das Programm wir schauen uns zunächst mal den ein möglichen Fahndern lineare Gleichung konstante Koeffizienten und dann können wir wenn wir feststellen können bei allgemeine Fälle zum Teil darauf zurück so als würden immer darum gehen solche stationären Lösungen die Nullstellen von f anzugucken deswegen kriegen jetzt erst Namen also ich hab wieder Funktion f die jetzt einfach auf die definiert den offenen Teilmenge vom D und damit wir jetzt wieder keine Debatten über Lustbarkeiten kriegen wir wieder ab das würde lokalen Lizenzbedingungen wie gesagt das ist eigentlich zu groß geschossen Stetigkeit Tod in den meisten Fällen aber darüber wie ich mir keine Gedanken machen muss zur wenn man jetzt also ein .punkt y 0 die Art eine Nullstelle von f ist dann heißt das 1. sofort die konstante Funktion y Molesme Lösungen globale Lösung von der gleichen hier um und deswegen nennt man so nicht Stelle dann kritischer Punkt von f das ist also ja es einfach nur neues Wort für die Nullstellen von f aber so werden die egal wo bezeichnet weil es sind die Gleichgewichtslagen von den man jetzt gern wüsste ob sich da wie ich da viel attraktiver sind tote Stadt wieder was auch immer sehen und dementsprechend wer trägt man auch dieser Begriffe auf die kritischen Punkte also ein kritischer Punkt als stabil attraktiv also wurde stabil wenn Inhalt die entsprechende konstante Lösung das ist also sehr stabil instabil attraktiv oder dort stabil wenn die Kunst wenn die konstante Lösungen also die Lösung von C ist konstant y 0 von unserer homogen nicht hungrig unser autonom gleichen Anstrich =ist gleich r von y die entsprechende Eigenschaft hat also es attraktiv wenn diese konstante Lösung attraktiv ist ab stabil wenn die entsprechende Lösung aber es stabil ist und so weiter so dass es einfach nur zu Begriffsklärung falls ich mal sagt der Nullpunkt ist attraktiv es ist eigentlich sind frei aber das heißt eben dass jetzt nicht mehr das heißt die Lösung konstant 0 ist der attraktive globalen ist so dann gehen wir jetzt also erst mal auf den Modellfall zurück lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten da kennen wir uns aus dass der Satz 9 4 da geht es also um Stabilität verhalten linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten also was haben wir wir haben eine Matrix wir haben will bin ja gleich im 1. Orden konstant Produzenten also damit die Colts den Matrix und zu
dieser Matrix definieren wir uns jetzt eine ganz für das folgende absolut entscheidende Kenngröße die den größten ich es von und es von Art ist das Maximum über die reale Zeile aller Eigenwerte ich weiß nicht ob ich weiß nicht ob er kann es in Ihrem Leben ja Algebra also als Notation vor von falls nicht Sigma von ist nichts gefährliches Signal von als einfach die Menge aller Eigenwerte er 7 von heißt dann auch oft Spektrum ist die Menge aller Eigenwert von A und was sie jetzt machen ist in dem sich alle Eigenwerte von an ihr wenn von den realen Zahlen und dem davon das Maximum was er nur ein Stück berichtet sind die Stärke höchstens also ähnlich viele maximaler Realteil des ist es von A und dieses es von weiß die Schranken der maximal Teile immer der ja von den beiden Werten ist das Ding wird man Spectral Schrank so und diese Schranke die sagt jetzt was aus über die Stabilität der die Stabilität von was überhaupt wir schauen uns natürlich die Gleichung an y strich von CSA mal y von Clemens die kleinlichen Ganzheit gucken die hat ein relativ offensichtlichen Gleichgewichts .punkt nämlich die 0 klar Konstante 0 Funktion man wissen wollte es eine wunderbare Nullstelle von der rechten Seite 11 und um die stationäre Lösung gilt also dein Geld für die Nulllösung ich nehme die mal im folgenden kleine froh er Kleidung wie 0 Funktion mit Kleinbuchstaben Pastor wo ist es schöner keine Buchstaben für die 0 also für den neuen Lösung von den dienen gilt dann Folgendes wenn der Spectral Radius von ,komma kleiner 0 ist dann ist die Nulllösung Asymptote stabil also dann ist das den stabil und jede Lösung die nah genug bei diesem Nullpunkt startet konvergiert gegen 0 man kann sogar den Fall noch schöner zeigen Wirkung konvergiert sogar exponentiell geben egal sie ,komma geht gegen 0 2. Fall der Spectral die spektrale Schrankes strikt positiv also es gibt eine Eigenwert mit positiven Brian Teile dann ist die Nulllösung in stabil es bleibt ein offensichtliche 3. Fall übrig habe das ist der unangenehme was passiert wenn das Ding genau Zaun sind also wenn 3 Schranke genau gleich 0 ist dann ist zunächst mal eine Sache die man sagen kann wo es auf keinen Fall also asymptotisch statt also für asymptotisch der wir braucht man auf jeden Fall Spectral Schranke Strickkleider nun was ist mit Stabilität als attraktives ist nicht da also nicht also Untote stabil er Schreiber besser nicht attraktiv das ist genau das was hier passiert dann ist es natürlich nicht aus dem Tod sich wir aber dann sieht man auch warum ist also wurde stabil kaputt geht also wenn der wenn die Belgrader und es dann ist immer nur so auf keinen Fall attraktiv sie kann stabil sein und es gibt in charakterisieren das Kriterium das sagt man diese Nulllösung stabiles von 2 sie genau dann stabil wenn für alle Werte von a mit Realteil gleich 0 ich meinte das sind die Bösewichter ja wenn man alle ist wenn alle Eigenwerte Kleidern und haben sich 3 sein können nur dann ist gut wenn die spektrale Franke gleich 0 das heißt es gibt kein Eigenwert nicht real vergrößern oder es gibt welche auf denen man in den Achsen und wenn für jeden dieser ein werde die Aufträge imaginären Achse liegen er geht dass die algebraische Vielfachheit das Eigenwert es also die Vielfachheit wie auf das Ding Nullstelle von Charakteristischen Polynom ist genau das gleiche ist wie die geometrische Vielfachheit also Dimension vom zugehörigen einen Raum dann ist es den stabil genau das wenn das wie sie sind so das ist eine ziemlich vollständiges Charakterisierung des damit der 2. für lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten und um das zu beweisen um das
einzusehen braucht man eigentlich eine einzige Form oder eine einzige der oder muss man sich klar machen was wir im letzten Kapitel über dieses Thema rausgefunden haben nur wer Mehr viel Arbeit reingesteckt in diese Systeme wer es gesehen für die über die 7 Mal wird sitzen und also ich auf die fundamental Systemen meine Frage rechnet es aus Jade Normalformen dann gemacht westlich des fundamental System kann man tatsächlich aus man die eigenen Werte und die Hauptsektoren kennt und das entscheidende Ergebnis von dem alle meine Bemerkung 18 in der rauskam wir denn nur so rum von den Systemen ist das schon stören ein das ist noch nicht stören ja die Lösung von diesem System hat die folgende Formel es ist Sommer über die verschiedenen Eigenwerte von aber wo hochziehen auch 10 andere wie mal Vektoren von Polynomen von also wie bei sind die Namen IE genau die Eigenwerte von A also Länder hier die verschiedenen Eigenwerte von und die PG sind sind Vektoren von Polynomen als in Funktionen von nun unendlichen ARD und mir Komponente steht Polynom und wer weiß was über den Grad dieser Polynome dieser Grat ist Mini allerhöchstens genau die Differenz von geometrische und algebraische Vielfachheit also Grad von PIN das ist wieder so zu lesen der Grad das ist Maximum der gerade aller Komponenten ist genau der die Differenz und das kleine gleich der Differenz von der Mitte algebraische Vielfachheit -minus gemietet schon im Prinzip steckte denn wir sind hier steht in der Gemarkung 18 alles drin da steckte Beweis von dem Satz komplett tritt Missklang Designer der jetzt nur noch aus den noch ein Kommentar ist der Fragen der also wieder sehr geleitet haben es ist natürlich so oder so ist also diese Formel kam daher dass man in jeder Lösungen fundamental System diese vor Therme in Hochtälern hat und dahinter dann Polynome dies aus dem Jordan Kerstin von der Matrix kommen ganz zu einen Eigenwert natürlich mehrere Jordan Kästchen geben das heißt man kriegt zu jedem Eigenwert mehrere solche Polynome P aber natürlich kann ich wenn ich die dann alle auf zu mir weil wenn ich zu einem 1 selten Eigenwert Weise Polynome hat dann kann ich die der zusammenfassen kalte sie oft Helander ausklammern Krieg P 4 1 +plus P 5 und das sind beides Polynome von entsprechen Ordnung da wir sprechen gerade ich dir dir bleibt der ändert sich der gar sich kann das wirklich gruppieren nach Aigen werden wenn ich für in verschiedenen eigen werden ein Sohn so Summer so also gehen wir die 3 Fehler nacheinander durch was passiert wenn das 1. von kleiner 0 ist und nun das um mir zu zeigen dass dann die Nulllösung also Tode stabil ist wir
zeigen was allgemeineres was man aber immer wieder brauchen kann und zwar das folgende wenn das wenn der Spectral Radio strikt kleiner ist dann die Exponentialfunktion er auch CA als exponentiell beschränkt das heißt es gibt eine Konstante in größer gleich 1 und eine konstante Omega größer 0 so dass die Norm von er ruft sie aber im sowie ihre Lieblingsnahrung müssen man nicht mehr seiner Vektorraum mir völlig egal die Namen von ihr auch die an sich abschätzen lässt durch mal wie hoch -minus und negativ also die Norm von der vom fundamentales ist dem fällt exponentiell weil ist positiv so dass nicht sein das gilt für alle Tiere größer vergleichen so warum ist das so sein dazu Vj die Spalten von dem fundamental ist also die Spalten von ihr auch die dann ist jede dieser VJ natürlich Lösungen von unserm System in meinen die Spaltung fundamental System sind Basis von Lösung also natürlich insbesondere Lösung also es jedes dieser VJ von der Form der also wir können jedes VJ vorschreiben für jedes folgert natürlich mit einem Polynom aber dann da wir jedes VJ schreiben als eine Summe die gleich 1 bis K r Hochtälern II und irgendwelche Polynome P I J von Titeln für jedes J andere aber jede diese Lösungen hat diese vor so jetzt egal welchen Raum sie da vorher genommen haben jetzt endlich eine spezielle gerne also weil alle Normen auf C Luftdrehkreuz der Äquivalenz können wir die Norm nehmen die zu einem maximale Spalten Norm also ist diese kann ich diese Norm von ihr auch die hier meinetwegen mit der konstanten davor abschätzen also das Maximum über die er den Norm der Spalten das ist eine mögliche Matrix Normen ich immer von jeder Speise die er den Norm und den davon das Maximum was der Staat der einfach nicht richtig ist jetzt ne VJ dass wir für jedes das ist ja eher für jedes Jahr ein Vektor erfordert von diesem Sektor der Einfall ,komma ist wieder angenommen der des so warum gerade die daher weil ich mit der hier schön rechnen kann aber den Betrag in die Summe ziehen also das ist kleiner als 10 Mal das Maximum J gleich 1 bis D über die Ausdrücke hielt sich den Betrag in die Summe zum Marriott gleich 1 bis D betrat er Hochtälern der II P in J von T so jetzt muss man gut klar als kann man hier den Betrag von dem er den Betrag von dem rausmachen eines Freundes in Scala das BIA des Vektorraumes wie Hochtälern der is Gala da muss man jetzt wissen wie sie mit den Betrag von der komplexen Exponentialfunktion aussieht weil Betrag vor der Hochzeit des also steht hier eher hoch Bagdads Der ganze Kladderaddatsch da vorne 10 Mal Maximum J gleich 1 stehe Summe die gleich 1 bis D R die Summe geht der Berliner eine Summe I gleich 1 bis D er auch reale Teil von Thema Lande I das C eine positive Zahl also ich auch die Realteilung der I Herr LJ von in Betracht wir sehen sie wieder real wurden leiden werden da rein kommt ins Spiel wir wissen jetzt was in dem Fall Spectral Flanke von als kleiner 0 das heißt wir wissen diese real Taille ist für alle Lande halten viele Allende Eigenwerte kleiner als dieses Betrages Schranke kleiner wird diese Spectral also gar nicht das ganze nach oben abschätzen durchziehen als Maximum über die Summe wie hoch sie von AAA genau das von als negativ P Iliad von T solche Mauern und klein trägt den Exponentialfunktion und bietet das ist das selbe wie er auch CDs von halbe mal C mal das Maximum J gleich 1 ist die von der Summe II gleich 1 ist das bleibt alles stehen für mich sozusagen die halbe Exponentialfunktion nach vorne gezogen wird eben nur die halbe stehen er hoch CDs von erhalten DE ja von brauche ich das gemacht hier steht er auch dem eine negative
Zahl also Omega setzt sich als -minus es von erhalten wenn Sie Omega gleich -minus es von Al besetzen steht hier genau EU -minus to me aber ja also der mir die EU auch -minus Omega Ziel was dem ganzen Schloon melden schauen uns man da steht irgendwo Lino Manuel mehr Exponentialfunktion mit negativen Exponenten der freien ist einsam so man Polynom wer gar das Polynom noch so vagen Exponentialfunktion macht's klagt ID Regel die man bei den einer Klausur nicht so hinschreiben kann Exponentialfunktion Dexter dass sie das Polynom das Ding geht also gegen 0 es ginge gar nicht um das es gegen 0 geht es geht darum dass beschränkte Funktion er für jedes I und glaubt dass das beschränke Funktion es können sich die beschränkte Funktion auf agieren und von den die beschränken Funktion die maximal binden würde egal das beschränkte Funktion vor die Schranke von die nämlich bei der ganze Schnurow mitsamt dem Cedar der ist beschränkt weil die Exponentialfunktion jedes Polynom tötet so und damit ansehe nach viel Rechnerei die sogenannte exponentielle Beschränktheit der der Exponentialfunktion der der was ist ist mit seiner Funktion des auch lässt sich abschätzen sie konstante mal eher hoch negatives Omega und das daraus jetzt die Stabilität und die Attraktivität zu kitzeln geht super schnell also das was man nicht machen und er muss zurück orientieren wir wollen zeigen wenn sich spektrale Rate spektral Schranke kleiner als 0 ist das unsere Nulllösung also Tote stabil das heißt müssen zeigen es ist stabil und attraktiv und dazu müssen unsere Lösung Frau nehmen die ganz in der Nähe von 0 startet eine braune Lösung DE ja es jetzt Konstante 0 für die Frau von 0 Betrag kleiner als Täter geht wir können müssen wegen der gar nicht mal so groß zu nicht mal so genau sein wir können Moment mal zum Beispiel der da gleich 1 nehmen wenn jemand eine Lösung von Stern hier und schauen uns an was passiert im Limes für Frau von viel -minus Mindestlohn Losung von Trainer das ist der Betrag auf und will Frau von Teese nur so von unserem das stehen also lässt sie sich übers fundamental System schreiben als er auf die arme Frau von 0 weil die oft sie an mein Lektor ist die Lösung der Gleichung mit anfangs wird der Rektor der Frau hat es anfangs für Frau von 0 ab also ist das die Lösung wegen Eindeutigkeit erlöst so jetzt komme hier die zugehörige Matrix Norm verwenden kriegen Norm von auch die arme Frau von 0 das ist kleiner als 1 das geht gegen 0 also die das Ganze gegen nur oder weil was ist egal für welche Lösung für jede Lösung sogar noch krasser das ist die Nulllösung ist in dem Fall nicht nur attraktiv die wahnsinnig attraktiv die zieht nämlich eine Lösung an jede Lösung egal wo sich startet ,komma geht gegen 0 und in dem Sinne können sie natürlich jedes nehmen also nur Lösungen servieren wir mal attraktiv nehmen Sie zum Beispiel der der gleich 17 MHz eine Lösung den Kreis des Rades 17 0 Staaten denen einige Attraktivität bleibt noch Stabilität ,komma damit auch sofort wie gesagt Attraktivität impliziert ja leider nicht Stabilität was müssen wir tun müssen für jedes selbst noch größeren Nullen der fehlen also dem Ranzen Epsilon vor und das richtige Wetter ist Apps sondern durch n sondern dass man nachprüfen was oben steht alle Lösungen die mehr als der Eltern starten also für alle Lösungen Pharao von unendlich nach ARD den anfangs wird kleiner ist als Delta für die geht dann dass der Abstand von Frau von Show wovon die nun von Phontäne das ist die der Betrag von Frau Phontänen oder oben schon ausgerechnet der ist kleiner gleich er auch -minus um Legacy mal der Betrag von Frau von 0 erhöhen Frau und ist kleiner als der der des y durch ist also kleiner als ja auch -minus Omega Epsilon durch n das er und ihr auch -minus Omega zieht das ist kleiner gleich 1 es kleiner selbst also wenn sie mit so nah am Nullpunkt Staaten bleibt die Lösung für alle Zeiten mehr als selbst Nullpunktes also statt gut damit Mehr zumindest den Anteil noch geschafft gibt zu dass mit Streifschuss müssen uns nächste Woche noch ein B und C kümmern also um die nicht so stabilen Varianten von den
der von der Nulllösung in dem Fall für heute endlich für die Aufmerksamkeit wer noch irgendwelche Bögen abgeben kann bevor nicht die doch die Kiste einfach reinwerfen und dann bis nächste Woche
Matrizenmultiplikation
Rand
Gleichungssystem
Lineare Gleichung
Gleichung
Differentialgleichung
Physikalische Theorie
Computeranimation
Null
Komplexe Ebene
Lösung <Mathematik>
Elementare Zahlentheorie
Polynom
Eigenwert
Koeffizient
Nullstelle
Ordnung n
Landau-Theorie
Charakteristisches Polynom
Diagonale <Geometrie>
Ableitung <Topologie>
Matrizenmultiplikation
Exponent
Gleichungssystem
Gleichung
Lösungsraum
Gradient
Lösung <Mathematik>
Polynom
Quadrat
Normalform
Eigenwert
Rang <Mathematik>
Nullstelle
Ordnung n
Vorlesung/Konferenz
Charakteristisches Polynom
Einfügungsdämpfung
Ableitung <Topologie>
Mathematische Größe
Physiker
Momentenproblem
Nichtlineare Gleichung
Physik
Exponentialfunktion
Komplex <Algebra>
Vakuum
Lösungsraum
Gradient
Quadrat
Negative Zahl
Dämpfung
Harmonischer Oszillator
Vorzeichen <Mathematik>
Eigenwert
Reelle Zahl
Nullstelle
Ordnung n
Schwingung
Vorlesung/Konferenz
Dimension 5
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Starke Dämpfung
Exponent
Physikalischer Effekt
Kraft
Lineare Gleichung
Gleichung
Frequenz
Zahl
Dampf
Konstante
Komplexe Ebene
Polynom
Menge
Koeffizient
Schnittmenge
Mathematiker
Charakteristisches Polynom
Geschwindigkeit
Ebene
Gravitation
Momentenproblem
Polarkoordinaten
Gleichungssystem
Extrempunkt
Differentialgleichung
Skalarfeld
Computeranimation
Richtung
Gegenbeispiel
Fächer <Mathematik>
Stetigkeit
Zustand
Globale Lösung
Tangente <Mathematik>
Ableitung <Topologie>
Funktion <Mathematik>
Zeitintervall
Parametersystem
Zahl
Wald <Graphentheorie>
Stellenring
Lineare Gleichung
Attraktor
Thermodynamisches Gleichgewicht
Gleichung
Quantisierung <Physik>
Konstante
Teilmenge
Lösung <Mathematik>
Differentialgleichungssystem
Grenzwertberechnung
Matrizenmultiplikation
Punkt
Vektorrechnung
Gleichungssystem
Lineare Gleichung
Gleichung
Vektor
Lineare Differentialgleichung
Teilmenge
Konstante
Reihe
Lösung <Mathematik>
Variable
Kritischer Punkt
Stetigkeit
Koeffizient
Nullstelle
Stationäre Lösung
Vorlesung/Konferenz
Globale Lösung
Ableitung <Topologie>
Matrizenmultiplikation
Algebra
Maximum
Extrempunkt
Asymptote
Gradient
Eigenwert
Vorzeichen <Mathematik>
Achse <Mathematik>
Nullstelle
Vorlesung/Konferenz
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Radius
Vektorrechnung
Kennzahl
Thermodynamisches Gleichgewicht
Gleichung
Zahl
Konstante
Maximum-Likelihood-Schätzung
Lösung <Mathematik>
Polynom
Menge
Koeffizient
Stationäre Lösung
Charakteristisches Polynom
Schranke <Mathematik>
Kreis
Matrizenmultiplikation
Total <Mathematik>
Momentenproblem
Maximum
Gleichmäßige Beschränktheit
Exponentialfunktion
Norm <Mathematik>
Ausdruck <Logik>
Eigenwert
Äquivalenz
Vorlesung/Konferenz
Positive Zahl
Exponent
Eindeutigkeit
Vektorraum
Gleichung
Vektor
Zahl
Null
Konstante
Summe
Lösung <Mathematik>
Polynom
Betrag <Mathematik>
Hidden-Markov-Modell
Aggregatzustand
Vorlesung/Konferenz
Bogen <Mathematik>

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vorlesung 12: Harmonischer Oszillator / Stabilität
Serientitel Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil 12
Anzahl der Teile 15
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/30762
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2015
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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