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Kapitel 4: Wahrscheinlichkeitstheorie

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Formal Metadata

Title
Kapitel 4: Wahrscheinlichkeitstheorie
Title of Series
Part Number
6
Number of Parts
14
Author
License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license.
Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung Statistik I für Human- und Sozialwissenschaftler gehört zum Pflichtprogramm des ersten Semesters in den Studiengängen Psychologie und Pädagogik an der TU Darmstadt. Sie stimmt inhaltlich weitgehend mit der dieses Semester vom gleichen Dozenten abgehaltenen Vorlesung Mathematik und Statistik für Biologen überein. In ihr wird eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik gegeben, wobei der Schwerpunkt auf einer leicht verständlichen Präsentation der grundlegenden Ideen in diesem Bereich liegt.
Raumen zusammenhängende models
geometry statistics Zahl Wahrscheinlichkeitstheorie Raumen cubes Wahrscheinlichkeitstheorie Mathematiker statistics Faktoren number
Reihe Zahl Wahrscheinlichkeitstheorie sets cubes sets Zahl number
subset Zahl relativ cubes proposition sets number subset
Verallgemeinerung subset Zahl Elementen proposition subset number
Zahl prediction law theorems sets Zahl number subset
meter Höhen Zahl number
Calculation Zahl relativ cubes Mathematiker proposition Linie number
Cut cubes interface proposition sequence number
Zahl Cut cubes sets game Summe epsilon subset number
Zahl Cut Elementen analog infinity Summe sets Summe absolute values
Verallgemeinerung Cut analog Summe Summe sets completion
area surface interface analog Summe sets subset
Cut Gleichheitszeichen Summe Summe sets variables
area Zahl Haare Indexes zusammenhängende analog Summe sets Summe subset
Raumen sets Mathematiker proposition sets subset
Zahl sets cubes Ecken infinity sets Summe sequence absolute values subset number
Zahl Super Zahl Mathematischer Begriff Große Abweichung number
subset sets infinity sets Summe Zahl subset
ja begrüße Sie recht herzlich zur
heutigen Vorlesung ok comma zu den finanziellen der heutigen Vorlesung 24. 11. ja in der Tat heute nach dieser Vorlesung sollten Sie 1. die
Begriffe zu weit Experiment Grundmenge Ereignis absolute bzw. relative Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses erläutern können das Begriffe die wir im Zusammenhang mit der mathematischen Modellierung des Zufalls benötigen 2. erklären können was anschaulich in dieser Vorlesung unter einer Wahrscheinlichkeit verstehen also Sie also ein gewisses Gespür haben für den Begriff des Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit und drittens den Begriff des Wahrscheinlichkeit Raumes kennen da die zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten wir kennen
ok vereinbaren Kapitel 4 Wahrscheinlichkeitstheorie als der zweite Teil der Vorlesungen die 1. 4 Vorlesen der glaube ich Beine zu aber dafür müssten wir ist ein bisschen schwieriger als der 1. Teil der Vorlesung allerdings der 3. Teil Vorlesung noch schwieriger der zweite so gesehen ist möglich das muss wirklich hingeht und der Schwierigkeitsstufe und ich mach's noch nicht ganz nach relativ einfach erklären oder zumindest bemühen sich relativ einfach zu mir erklären es geht allgemein um Zufall und die Mathematik des Zufalls wenn sich überlegen was ist Zufall wo kommen Zufall in der realen Welt vor ist nicht ganz einfach wirklichen Beispiel zu geben und Zufall in der realen Welt vorkommt bei kann sich vorstellen wenn Sie einen echten Woche werfen und sie betrachten die Augenzahl die oben landet dann ist das Ergebnis zufällig an geeigneten sehen anders als das Ergebnis nicht mehr zu verlieben sich überlegen Jahr nehmen wir an ich kenne genau die Ausgangsposition des Wortes ich kenne genau die Stadt Beschleunigung und so weiter wäre ich kenne die ganze Geometrie also die ganze Beschaffenheit des Raumes in dem ich den Wochen werfe dann könnt ich das vielleicht ausrechnen was der Würfel ist aber man kann sagen der Zufall kommt dann ins Spiel wenn ich eben nicht mehr alle Umstände genau kennen und das war's dann etwas beleben unbestimmt ist betrachte ich als zufällig alternativ eine Beispiele für Zufall gesehen im Rahmen von Umfragen wurde Zufall künstlich eingeführt haben mehr im Folgenden möchten sowas untersuchen ich lege gleich mal darauf hinaus auf was wir eigentlich abziehen ist die Statistik die Statistik möchte Rückschlüsse aus Beobachtungen ziehen die unter dem Einfluss des Zufalls entstanden sind
Beispiel betrachten das Werfen eines Würfels und überlegen uns dann welche Rückschlüsse kann man aus den Ergebnissen beim Werfen eines Würfels 1. über dem Dorfe 10 und zweitens über zukünftige Ergebnisse bei den Würfel ziehen ich möchte das mal ganz ganz vor führen dazu habe ich hier 2 würfeln und bräuchte einen freiwilligen der bereit ist diese beiden Wochen so würden mir zu sagen welche Zahlen oben ok Diamant Freiwilligen alle dürfen einmal diese beiden aber nicht über die Worte sagen andere Worten und sagen was der blaue wurden was der weiße Würfel wer will alle Schreiber drüber blauer Würfel 5 wollen und weitere 1 2 weise Worte 2 ja was wollen wir zeigen welche Rückschlüsse können wir daraus ziehen oder wie 10 wird daraus Rückschlüsse ja es waren der Beobachtungen kann sein und Einfluss zuweisen standen sehen Sie ein Unterschied zwischen den beiden würfeln über den Kopf geschüttelt was schlagen Sie vor um um welche Rückschlüsse darauf ziehen zu können nochmal also das nochmal würfeln weise 6 laut und blau 8 okay was wollen Sie jetzt sagen wenn Sie jetzt und welche Unterschiede zwischen den der blaue Würfel ist kein normaler Würfel also keine sechsseitige Würfel mit maximal 6 Augen oder zumindest nicht beschriftet in Zahlen von 1 bis 6. das Gemisch schon ausschließen schließen und wenn wir jetzt auf die Unterschiede zwischen den beiden Läufen hinaus wollen können Sie darum was sagen sie sehen schon unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten dass eine Zahl fehlt Oberflächen machen auch den Begriff der Wahrscheinlichkeit dass eine Zahl fällt werden wollen denn da alle zu alle sehen schon Unterschiede zwischen den beiden würfeln nein mein Vorschlag also so machen und was zu sehen wir müssen wir weitere Filme also warten Sie mal noch mal eine Frage okay nochmal ja wir wollen noch mal da wollen wir okay wenn Sie jetzt ein Unterschied weiter also möchte weil sie hat und ich hoffe auf die Uhr 15 also Vorschläge ok ja Weise hat mehr zweier oder ist nicht gleich mehr das sehen Sie auch schon er habe ich mal gegen zurückfragen sind sich sicher nein wir sind sich nicht er würden Sie sagen dass ein Unterschied zwischen den insofern besteht ja sind Sie sich sicher ja wenn Sie sich sicher westlichen sicher ja aber er hat ihn gesehen und wer sich nicht sicher ja aber mehr sind sie nicht sicher also den wir also dass er das typische also merkt man schon irgendwie wahrscheinlich war schon Unterschied und ab vermutlich wird ein Unterschied sein wenn man dieses Wort wahrscheinlich nutzen aber sie sehen auch eigentlich können Sie es nicht wirklich sagen es könnten immer noch 2 völlig identische Würfel sein das könnte rein zufällig gewesen sein dass wir dort mit 2 geworden da man ja ganz andere Zahlen bin aber die 6 und der Faktor ist der weiße auch ein echter berufen als der war auch nicht irgendwie so dass da besonders viel wieder 2 darauf hin das war reiner Zufall dass sie dauernd zweier haben während der blau eben nicht so ganz nicht geworfen ist der geht von 0 bis ja nur bis 9 wer ein ständig also von 0 bis 9 okay also Sie sehen oder soll es 1 2 Sachen sehen aufgrund der Ergebnisse dieser ja wenn es nach als Zufallsexperimente sagen diese Beobachtungen die unter dem Einfluss des Zufalls entstanden sind er kann man schon irgendwie versuchen Rückschlüsse zu ziehen auf das System wo diese Beobachtung entstanden sind das geht mehr das zweite auch ganz wichtige sicher werden und dann die sagen also hundertprozentig sicher wenn die Beobachtung haben die unter dem Einfluss des Zufalls entstanden sind zu hundertprozentige Sicherheit Beschlüsse können sie nicht ausziehen okay hilfreich bei dem was wir dann machen wollen dann wieder ein bisschen zu besser begründeten Schluss Zuschüssen aus solchen Beobachtungen kommen wollen ist sogenannte ist die Mathematik des Zufalls oder die mathematische Beschreibung des Zufalls die ich im Folgenden heute mal anfangen werde vorzustellen comma zu Abschnitt 4 2
mathematische Beschreibung des Zufalls
Ausgangspunkt der folgenden Betrachtung ist ein sogenanntes Zufallsexperiment 1. Begriff den ich einführt führe ein Experiment ist ein Experiment mit vorher unbestimmten Ergebnis das im Prinzip unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholt werden kann also an ich habe ein vorher unbestimmtes Ergebnis zumindest so weit es nicht betrifft also ich kann auch das Werfen eines Würfels kann ich sagen des Ergebnisses einig bestimmt wenn ich den nur genau kenne wenn ich dir Ausgangsposition werden genau kenne und so weiter aber wenn er eben Unsicherheiten vorliegen ist es vor und bestimmt und zweitens das im Prinzip unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholt werden kann also muss das ganze Ding wiederholen können umso und so weit Experiments zu beschreiben führen wir erst mal die Menge aller möglichen Ergebnisse ein also Menge aller möglichen Zahlen oder Werte die rauskommen können die heißt Grundmenge und dafür ist üblich den griechischen Buchstaben um egal zu verwendende als dass es ein großes um gar griechischer Buchstabe kritische Buchstaben deshalb übermalten man halt Wahrscheinlichkeitstheorie und man so viele Buchstaben hat das ist deutsche Alphabet nicht mehr ausreicht er ja alles ist 1. Schritt durch Schreiben eines Zufallsexperimente legen die Grundmenge ist wir überlegen uns mal beim Werfen eines echten Würfels wenn wir sagen es Ergebnisses Zufallsexperiment ist die Zahl die auf der Seite so versteht die nach dem Wurf oben liegt was würden Sie dann sagen Ja ich habe zwar schon ein gespendet was ohne gar mehr Omegas sind die Zahlen steht jetzt nicht irgendwo in den können Sie noch eintragen sind die Zahlen von 1 2 3 4 5 6 also und uns überlegen was kommt aus der Zahl von 1 bis 6 wenn mir nicht wichtig ja wüssten was ist ein Würfel ist ein echter Wurf ist kein Recht überführt könnte auch sagen dass die Zahlen von 0 bis unendlich weil die kennen nur für aber hier wenn ich sage ich davor für dann hatte eben 6 Sexseiten beschriftet mit 1 bis 6 und komplett symmetrisch ok das war 1 2 Begriffe an sich für eine Reihe von Begriffen ein Zufallsexperiment Experimente vor und bestimmten Ergebnis kann beliebig oft wiederholt werden und der Beschreibung legen wir erstmal die Menge aller möglichen Ergebnisse fest Grundmenge das heißt werfen eines echten Dorfes bewegen auch gar die Zahl als 1 bis 6 ich gedacht jetzt ist mehrfache durchführen eines
Zufalls Experiments und komme auf konkrete Ergebnisse also hier habe ich den blauen Opel zum Beispiel fünfmal geworfen und kamen auf die Zahlen 5 Aachen 0 4 6 allgemein schreibe ich das so hin ich macht es n x und x 1 bis x n seien meine Ergebnisse also den Fall noch unbestimmten geschrieben beispiels- ehemaliges werfen eines echten Würfels liefert die Ergebnisse der 1. Wurf ist die 5 also X 1 2 5 2. Wurf x 2 gleich 1 vor die 1 geworfen tritt Wurf vor die 5 geworfen wird aber vor die 2 geworfen und so weiter bis zur zehnten Woche hier wir n gleichziehen und was ich jetzt brauchen sind 2 beide Begriffe die absolute und relative Häufigkeit des Auftretens zum Beispiel von Zahlen also wir überlegen uns mal das ist die absolute und die relative Häufigkeit des Auftretens der einzelnen Zahlen bei den obigen konkreten zehnmaligen werfen eines echten wird jetzt absolute Häufigkeit der 10 wir einfach wie oft tritt die einzelne Zahl auf also die Auftritt die 1 auf die Auftritte 2 auf Viehauftrieb 3 auf und so weiter unter diesem Thema aber vielleicht jemand von Ihnen sagen die auftritt die 1 auf was ist da die absolute Häufigkeit die 1 einmal richtig die 2 die 2 einmal richtig die 3 sehen wir hier und hier also zweimal die 4 auch einmal die 5 Treiber 1. beim dritten und beim achten Dorf 4 und die 6 2 beim 6. 19. kümmere so eintragen denn auch wieder in ihren vorigen können Sie nachtragen absolute Häufigkeit die 1 der die einmal die 2. die einmal die Treiber die 2 1 für die 4 x 5 nein die 4. die einmal 5 für dreimal und 6. die also einfach nur einfaches abziehen und dann machen der relative Häufigkeit mehr relative Häufigkeit ist die entsprechende Angabe wie oft kommt es zum Beispiel in Prozent von den 10 Berufen vor und beginnt ohne percent an das heißt Zahlen einfach die absolute Anzahl durchziehen ja also hier bei den 10 Wochen allgemein die absolute Anzahl durch wenn ich das mache sehen die relative Häufigkeit von der 1 ist 0 comma decimal 1 relative Häufigkeit 102 ist 0 comma decimal 1 relative Häufigkeit von der 3 ist 0 comma decimal 2 relative Häufigkeit von der 4 ist 0 comma decimal 1 relative Häufigkeit von der 5 ist 0 comma decimal 3 relative Häufigkeit von 6 ist 0 comma decimal 2 und was ich jetzt habe ist ich habe konkrete Menge von Ergebnissen hier oder Konkretes Resultate beim zehnmaligen offen 1 der wird und ich kann so absolute und relative Häufigkeiten der einzelnen Zahlen ausrechnen aber eigentlich möcht ich umgekehrt vorgehen einig möchte ich der absolute und relative Häufigkeiten Verein relative Häufigkeiten von einst seinen voraussagen das heißt ich möchte und will den Gespür haben wenn ich den Würfel so und so oft Würfel was dann zum Beispiel relative Häufigkeiten der einzelnen Zahl und das machen wir gleich noch ein bisschen allgemeiner in dem wir uns nicht nur relative Häufigkeiten von einzelnen Zahlen angucken alles sind Aussagen über konkrete also welche Wert tritt auf zum Beispiel beim würfeln sondern wir führen den Begriff des so genannten Ereignis ein
ein Ereignis ist eine Teilmenge der Grundmenge das heißt im Beispiel oben wo und gar gleich in die Menge der Zahlen 1 bis 6 wer
wären Ereignisse gleich 1 3 5 oder b gleich 1 2 3 4 5 oder auch jede andere Teilmenge der Grundmenge und das nervt Aussagen über die gewürfelten Zahlen zum Beispiel hier das können Sie so deuten Jahr er wenn die Zahl aus vorkommt dann wurde eben eine ungerade Zahl geworfen während der Wendezeit Zahl aus B voran dann wurde eben keineswegs gewürfelt und allgemein bin ich jetzt daran interessiert Aussagen über solche Ereignisse zu treffen und nicht nur über die einzelnen Zahl es gibt noch im Sprachgebrauch die ein Element liegen Teilmenge der Ergebnismenge heißen Elementarereignissen also unter Elementarereignis will sind die Ereignisse die nur aus einem einzelnen Elementen spielen hier aus einer einzelnen Zahl im Beispiel oben sind das A 1 ist die A 1 A 2 ist die 2 A 3 ist die 3 und so weiter ist als 6 besteht nur aus der Zahl wächst das Inditex Elementarereignissen die eintreten können oder 6 Emmentaler eigene sie die auftreten und jetzt von der abschließende letzte Sprachgebrauch den ich hier ich noch brauche ein Ereignis tritt ein falls des Ergebnisses Zufallsexperimente mehr eigenes liegt andernfalls tritt ist nicht ein das heißt nach dem Zufall 6 wenn man kann ich sagen ist ein eigenes eingetreten oder nicht ein Ereignis ist eine Teilmenge der Grundmenge zum Beispiel dieses Ereignis 1 3 5 tritt allenfalls eingefahren 1 3 oder 5 geworfen wird andernfalls 3. nicht ich war jetzt noch das war nicht das letzte noch mehr leichte Verallgemeinerung von dem vorigen werden gerade eben absolute und relative Häufigkeiten der einzelnen Zahlen jetzt mache ich absolute und relative Häufigkeiten das Eindringen von Ereignissen er will brachen noch
mal das Beispiel oben zehnmalige werfen eines echten Dorfes liefert die Ergebnisse von gerade eben
wir betrachten jetzt die absolute und relative Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen und zwar für die 2 Ereignisse A 1 3 5 B 1 2 3 4 5 absolute und Häufigkeit des Eintretens zählt wie oft kann eine Zahl vor den liegt unter diesen bei diesen 10 Würfen und wie oft keine Zahl vor dem B liegt ja das können Sie vielleicht mal selber abzählen bei A 6 sagen Sie wie kommen Sie darauf die Zahl 1 doch einmal auf die Zahl 5 zweimal und die Zahl der die Zahl 3 zweimal und die Zahl 5 dreimal ja und dann sehen sie zusammen alternativ können auch machen können einfach durch bei jeder einzeln nachgucken Highlight eines drin Dikdiks 2. weiß ein sehen wir ja liegt drinnen x 2 liegt auch drin ist 2. X-Trail drin das 3. x vielleicht nicht X 5 liegt nicht X 6 wirklich dringend x 7 wieder drin sein aber 4 x 80 der bei 5 x 9 Mitglieder drin sein bei 6 x 10 liegt nicht drin wir gehen auch auf 6 X ok beim zweiten Ereignis wie oft 3. auf achtmal so dass auf sie zählen auch wieder einzeln durch oder sie überlegen sich wie auf gerade 6 auf ja zweimal und alle übrigen Male trat das andere auf das heißt die kommen auf der absolute Häufigkeit des Eintretens ist von A 6 und von B 8 Netz können wir genauso nur relative Häufigkeit des Eintretens definieren denn an was die absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl der durchgeführten Zufallsexperimente Zeilen was kommt dann aus bitte 0 comma decimal 6 0 comma decimal 8 dann kommt als relative Häufigkeit des Eintretens 0 comma decimal 6 1 comma decimal 8 aus einfach richtig 10 geteilt okay haben Sie Fragen so weit also fragen das waren einige Begriffe eine Ahnung wie ne Menge Begriffes war Zufallsexperiment habe ich eingeführt werden die Grundmenge eingeführt dass man die Menge aller möglichen Ergebnisse wir haben die Ereignisse eingeführt das waren die Teilmengen von der Grundmenge wären das Eintreten von Ereignissen eingeführt das war je nachdem ob des Ergebnisses zu weit Experiments drin liegt oder nicht 3. Ereignis ein oder nicht und im Folgenden wollen wir genau über sowas Vorhersagen machen was ich möchte bei zu weit Experimenten vorhersagen tritt ein Ereignis 1 tritt ein Ereignis nicht ein und wir haben die absoluten und relativen Häufigkeiten des Eintretens eingeführt wenn wir die dann zugrunde liegende menge von Ergebnissen oder Durchführung von Ergebnissen festhalten also besiegt genäht ja ich vermeide dauernden Begriff Folge aber einig werden Folge wäre der Folge von Taten halten wir fest die beim Zufall Firmen rauskramen auskommen wir haben eine absolute Häufigkeit des Eintretens und die relative Häufigkeit ist also verstehen müssen Sie einen nicht viel dran nur sind eben Begriffe die Ihnen geläufig sein sollten ok war und was dran und unklar also war geplant immer weiter jetzt von der eigentliche Clou jetzt kommt das sogenannte empirische Gesetz der großen Zahlen das empirische Gesetze
der großen Zahlen ist eine Beobachtung aus der Praxis diese Beobachtung aus der Praxis besagt fühlt man ein Zufallsexperiment unbeeinflusst voneinander immer wieder durch so nähert sich die relative Häufigkeit das Auftreten eines beliebigen Ereignisses Ar einer von abhängen festen zahlt von Zahl aus 0 bis 1 zwischen also Zahl zwischen 0 und 1 1 das heißt wenn Sie ein zu weit Experiment immer wieder durchführen und nach ein Durchführung und berechnen Sie die relative Häufigkeit des Auftretens die eines festen Ereignisses Ar und dann machen sie das immer weiter immer weiter immer weiter betrachten diese ganzen relativen Häufigkeiten dann nähern sich diese ganzen relativen Häufigkeiten einer festen Zahl von Zahl zwischen und 1 an und diese Zahl der von nennen wir Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ab also was ich hier mache ich definiere die Wahrscheinlichkeiten indem ich sage ja ich führe Zufallsexperimente immer wieder durch und relative Häufigkeiten nähern sich dann immer einer festen Zahl an das 1. was was ich jetzt so nicht begründen kann oder weil eine Beobachtung aus der Praxis dass es nicht irgendwie ein mathematischer Satz mit Orden Beweise dahinter wäre aber ich kann es Ihnen vielleicht noch mal versuchen vorzuführen also Aussage wir sowas wenn ich zum Beispiel diesen blauen würfeln jetzt nicht nur fünfmal geworfen hätte so immer wieder immer wieder immer wieder und ich gucke mir zum Beispiel an die relative Häufigkeit des Auftretens der 8 wenn wir diese relative Häufigkeit des Auftretens der 8 wenn nicht genügend ausgewürfelt hätte hätte sich einer festen Zahl angenähert ich mache sie immer konkret mit einem echten wurde da hier wurde ein
echter rufen 100 Mal nein ich nur würden 100 Mal geworfen ich präsentiere Ihnen also gerade über die relativen Häufigkeiten der einst hier er links oben dann der 2 links in der Mitte und so weiter 3 4 5 6 diese Resultate präsentiere ich Ihnen in dem ich ihn 1. nach 10 Wochen ein period zeichne mit der Exponate ist sehen die y-Koordinate ist die relative Häufigkeit des Auftretens der 1 unter den 1. 10 offen also hier trat die 1 4 auf unter den 1. 10 Mal und deswegen mache ich period an der Stelle 10 Meter Höhe 0 comma decimal 4 dann nach 20 mache ich das gleiche nachdem ich dann noch mal 10 Mal geworfen habe gedacht ich die 1. 20 wurde C wieder wie häufig kommt hier die 1 vor dass nur in dem Fall ist 6 und dann teilt diese 6 durch 20 und machen period mit X Goldnadel 20 y Konrad ist der 6 durch 20 0 comma decimal 3 und dann mache ich das bei 30 genauso bei 40 50 und so weiter bis 100 ich jetzt natürlich auch bei 1 bis 100 machen können jeweils nach einem auf 2 Woche 3 oder 4 Wochen wieder das Bild unübersichtlicher geworden deswegen habe ich nur jedes 10. Mal gemacht damit kommen sie für die 1 so was hier sehen das gleiche für die 2 für die 3 für die 4 für die 5 und für die 6 wenn Sie das Bild betrachten erkennen Sie wurden was dran Berlin irgendwas trauen auch können sie damit das empirische Gesetz der ja großen Zahlen in diesem Beispiel bestätigen anhand dieses Bildes leider also die andere es noch nicht möglich weil man sieht ja am Anfang dass die Werte bei der 1 oben nach oben ausschlagen weil das 6 nach unten ausschlagen ja mir geht's ja nicht wenn wir zurückkehren darf mir geht
eigentlich damit anfangen sollen geht ja die relative Häufigkeit nähert sich ja eines beliebigen eines anderen festen Zeit die A 1 wenn sie das Experiment immer wieder durchführen das heißt ein nicht gerade für große Zahlen von Durchführung nicht für kleine also sehr klein ist es nicht
erstaunlich dass ab abweicht sollen die Frage der die mehr sehen sich eine gewisse Annäherung an eine feste Zahl okay nächster Kommentar ok die andere war die vorherigen Werte sind ja in den neuen werden mit eingerechnet weil wenn ich die Wahl relative Häufigkeit von 1 in den 1. 20 der Waffen betrachte dann sehe ich auch die beiden 1. 10 mit und man sieht jetzt dass sich die Zahlen doch immer mehr ja vielleicht stabiler werden immer mehr sehen Sie ein Sechstel an ja sonst noch Kommentare oder vielleicht noch ein Kommentar dazu also sehen Sie hier das sich die Zahlen immer mehr ein Sechstel einer was Sie theoretisch erworben wurden beim echten Würfel alle 6 Seiten gleich groß die relative Häufigkeiten vom Auftreten von 1 bis 6 sollten dann als Infotisch also der große Anzahl von hoffen wir gleich groß sein deswegen alle 1 6 finde dass hier sie sehen dass alle hier als ich muss gestehen ich sehe das ja nicht also das ist ja ziemlich entfernt von 1 6. mehr sie sehen noch keine wirkliche Annäherung alles ist schwankt der hier noch so ein bisschen schwankt hier noch geschwankt hier noch aber desto weit Experiment wurde natürlich auch nicht immer wieder durchgeführt sonne des Zufalls Experiment wurde ja hier in diesem Beispiel auch nur 100 Mal durchgeführt das heißt man kann sich jetzt fragen was passiert wenn wir das jetzt 1000 mal 10 Tausend mal hunderttausendmal machen ja wahrscheinlich haben noch nie versucht man echten nur einmal zu Worten aber sie können sich leicht vorstellen wenn sie den 1000 mal wovon das dauert ziemlich wenn in 10 tausender Waffen ist auch noch viel länger eine also das wirklich als methodisch zu machen und 10 Tausend Euro nicht große also können auch 100 Tausend 1 Million Ungeweihten denn ich habe dir was lustiges gefunden über einen südafrikanischen Mathematiker der besuchte Kopenhagen 1. 2. Weltkrieg auf und nach Butzbach und 2 Tage vor seinem geplanten Flug nach England marschierten dann die Deutschen in Dänemark ein und internierten alle Ausländer und er wurde bis zum Rest des Krieges in ein Lager in Jutland interniert und da hat er viel Zeit übrig gehabt und sich die Zeit zu vertreiben machte er Experimente zu versuchen vom Zufall unter anderem hat er 10 Tausend mal eine echte Münze geworfen also kann sich vorstellen zehntausendmal echte Münzen der ist mir gewisse Leistung ab also können sie auch vollständig möchte der sie nicht alle wiederholen er war sicher dessen macht ich tue so als ob ich wiederhole und ich sie mir das Ganze Experiment am Rechner das im Prinzip nicht richtig weil der Rechner per sehe deterministisch ist also der Rechner hat kein Zufall aber es gibt eben heutzutage Methoden wir das Ganze einigermaßen simulieren kann und ich habe den das dann hier mal gemacht mit 10 Tausend offen
und da kam folgendes raus ja die 3 abgeschnitten aber sie sehen es bei der 1 2 3 und ist noch eine eingezeichnet im Vergleich die Linie 1 6. alles etwas was sie erwarten könnten in das wenn wir den Versuch wirklich echt mit 10 Tausend mal machen würden weil sich vorstellen können wir eine Weile beschäftigt ok was sehen wir sie ja sie würde auch wieder nach 1000 wurde die relative Häufigkeit aufgetragen nach 2008 3 Tausend und so weiter bis 10 Tausend offen erkennen Sie hier das von mir behauptete dass sich die relativen Häufigkeiten immer mehr der ein Wechsel an mir ok sie erkennt alle weil sie am zuvor schon erkannt wäre kein Problem ich würde sagen hier kann es immer noch nicht weil eigentlich kommen Sie mal hier das reicht da schon bisschen von der one sixth ab hier nicht so einigermaßen drauf aber hier wieder so ein bisschen ab also schon immer noch selbst bei 10 Tausend war schwand noch viel weniger man kann sich vorstellen wenn man das immer mehr und immer mehr Macht den Schwanz vielleicht nicht mehr ganz so okay das eine der zentralen Begriffe der Vorlesung nämlich der Begriff der Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit den ich über als Grenzwert von relativen Häufigkeiten eingeführt hat eine Wahrscheinlichkeit ist für mich dass für uns in dieser Vorlesung ein Grenzwert für relative Häufigkeiten wenn wir das Zufallsexperimente immer wieder durchführen dies immer wieder durch für das natürlich ein bisschen mühsam so wie möchten ermöglicht Aussagen über Wahrscheinlichkeiten bekommen ohne dass Zufallsexperimente mal wieder durchzuführen gut sie Fragen so weit mehr ist für werden ist durch
und dann diskutieren des gemeinsam ok würde ich gehe er ja das gerade mal ganz gern sondern vielleicht noch vorne weg Vorbemerkung das ganze hatte ich in Anlehnung gemacht einen Zeitungsbericht wo berichtet wurde was Leute geantwortet haben auf die Frage geben was es heißt wenn es im Wetterbericht mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit rechnet waren Antworten von realen Personen was ihre Vorstellung von der aller Wahrscheinlichkeit den Wetterbericht ist ok was würden Sie sagen unter 1 bis 4 Uhr wenn Sie zustimmen wollen nicht zustimmen bitte sie würden sagen wir stimmen wir den Einwohnern Darmstadt sein Leben hundertmal leben könnte wurde in 80 davon am morgigen Tag rechnen 1. anderen 1 2 3 die Wahrscheinlichkeit sagt nichts über die Zeit aus deswegen ist 3 nicht ganz sinnvolle vor bitte 1 bis 3 beziehen sich auf eine 100-prozentige Regenfall Wahrscheinlichkeit würden Sie sagen es sind 80 Prozent der Fläche gemeint sondern dass es überhaupt regnet ja auch ich 80 Prozent ein oder sowas überhaupt wird und auch nicht um nur einen Teil der Zeit und das überhaupt nicht okay ja bei wir stimmen Sie zu dann oder ok sie stimme ich zu weil ich weil es eben nicht nur wegen ganz eine nicht nur es muss nicht jeder Sch spüren wenn es wenn es regnet oder so ja aber sie würden Sie wollen umformulieren wenn wir sagen würden dann alle Einwohner Darmstadt erleben hundertmal leben könnte sehr wohl das in 80 davon bei jedem einzelnen rechnen oder im Schnitt oder so okay aber sie wollen somit damit können Sie alles ganz gut leben oder okay sie umformulieren wenn es den morgigen Tag hundertmal geben wurde nutzen 80 davon regnet das heißt wir überlegen uns diesmal anders ich ich Würfel ja also kommt aber gleich noch aber die Wahrscheinlichkeiten von 1 bis 6 einigermaßen klar sind gleich groß und addieren sich zu 1 aufs und deswegen ein Sechstel ich werfe Ihnen 120 x und wenn ich ihn 120 x Würfel dann komme die 1 20 mal vor die 2 20 mal die 3 20 mal die 4 20 mal die 5 20 mal die 6 20 Mal wollen Sie da zustimmen was ist das denn nicht nur 120 mal und da die Wahrscheinlichkeit von der 1 one sixth ist kommen die 1 dann 20 mal vor also wir können so unterbrechen ich werfen echten Woche sechsmal und dann kommt die 1 einmal vor die 2 einmal vor die 3 in der 4. 5. 6. im November wird hat alles stimmt nicht ganz so das heißt da war in dem empirischen Gesetz der großen Zahlen des war als Into Tische Aussage das heißt wenn Sie das immer wieder machen dann passiert ist aber dieses hundertmal ist nicht immer wieder also im Prinzip Sie haben schon recht dass wir es noch das was am ersten passt aber es passt auch nicht also oder Sie wissen ja ich sagen es den morgigen Tag hundertmal gebe soll sie müssen sagen wenn es in den morgigen Tag unendlich auf die wir benutzen 80 Prozent davon regnen und dann sehen Sie aber das nächste Problem mit seiner Regenwahrscheinlichkeit da gibt es den morgigen Tag unendlich oft können Sie dieses Zufallsexperimente immer wieder wiederholen wir gar nicht so ganz klar ob das überharten Zufallsexperiment im Sinne unserer Definition ist wir müssen Sie immer wieder wiederholen können er ist bei den meisten Sachen schwierig mehr kann sich meistens und so ein bisschen tricksen man vielleicht sagen Jahr wenn immer wieder genau die Wetterbedingungen vorliegen die die heute gemessen worden das kann man sich vorstellen dass comma schon immer wieder messen dann wird's am folgenden Tag wäre in 80 Prozent der Fälle retten wenn das immer wieder der Fall ist aber er den morgigen Tag ist ein bisschen ja geben wird es ein bisschen schwieriger und auch dieses der Einwohner lebt sein Leben immer wieder eine es auch so von der Vorstellung bisschen schwierig ok also eigentlich in welche der folgenden Aussagen ist damit gemeint damit es keiner der Folgen aus gemeint man diese Frage aber okay da waren wir
stehen geblieben also für zum Begriff der Wahrscheinlichkeiten was ich Ihnen ja
vorstellen möchte sind einige Gesetzmäßigkeiten die für Wahrscheinlichkeiten gelten also welche Eigenschaften hat diese ist eine Zuweisung ich nehme Mengen weil sich Zahlen zu als ich habe Teilmengen von der Grundmenge und den bei sich Zahlen zum welche Eigenschaften bestehen dabei 1. Eigenschaften relativ simpel diese Zahlen liegen zwischen 0 und 1 das haben wir unmittelbar in der Definition so gefordert und folgt aus der Tatsache dass die relativen Häufigkeiten immer zwischen 0 und 1 liegen und wenn die Wahrscheinlichkeit jetzt ebenso ein Grenzwert von so Zahlen zwischen 0 1 liegt da muss sie selber auch zwischen 0 1 7 also wenn die relativen Häufigkeiten die alle zwischen 0 1 legen sich immer mehr eine Zahl an deren sollen dann muss diese Zahl selber zwischen 0 1 liegen anders geht es nicht okay 2. Sachen auch noch relativ einfach die Wahrscheinlichkeit von der leeren Menge davon nämlich dieses Symbol mit der durchgestrichene 0 ist eine Teilmenge von der Grundmenge die kein einziges Element enthält sage ich ist 0 und die Wahrscheinlichkeit vom Gesamtraum Prommegger von der gesamten Grundmenge ist 1 haben Sie dann Vorschlag Schlachtung oder Frage ach so der für alle Teilmenge von um Nigeria das Teilmenge von und mit der Verlegung also hier beziehungsweise eine nicht Huldigung das hatten sie den Vortrags Übungen weil vor geparkt oder könnten Sie gehabt haben aber für die die nicht drin war ist mal sagen sollen dass es Teilmenge um Ärger oder bin ich ganz oder bei mehr so Märtyrer waren Sie war nie ganz vergeht würde aber dann einen Symbol wissend teilen sind wohl das heißt einfach jede Zahl den vorkommt kommt auch und auch vor das ist mit einem und uns Ereignisse waren der Teilmenge von und mit okay 2. Aussage P von der leere Menge ist 0 von Gesamtraum ist gleich 1 kann das Thema begründen mehr also wenn sie wird eine kann eben nicht der Fall auftreten dass der Würfel keine Zahlen seit also gar nicht damit Anzeige oder nur für die zu Ende geht das heißt es kann nicht sein dass da was rauskommt was nur leere Menge drin liegt bei in der leeren Menge nix drin liegt also die ganzen relativen Häufigkeiten für die leere Menge immer 0 und damit auch die Wahrscheinlichkeit als ganz wird umgekehrt um mich aber unsere Grundmenge das Ergebnis unseres Experiments liegt ein um mir gar das heißt die relative Häufigkeit von um die Games immer gleich ein bei alles nicht drin das heißt des Grenzwertes naheliegenderweise auch 1 also wenn die relativen Häufigkeiten des Eintretens von der Mengen um Ärger sind immer 0 beziehungsweise 1 also muss dies auch für Wahrscheinlichkeiten als Grenzwerte diese relativen Häufigkeiten gelten also als Zahlen den sich der relativen Häufigkeiten immer mehr annähern als ist der Trick wie wir jetzt sind wollen so Gesetzmäßigkeiten uns klar machen werden wir überlegen uns welche Gesetzmäßigkeiten gelten für relative Häufigkeiten und über tragen das dann auf die Wahrscheinlichkeit 3.
Aussage wenn Sie teilen um Ärger haben Sie in Ihrem quer als das sogenannte Kompliment dass es um Ärger ohne aber das sind alle diejenigen Elemente die nicht in drin liegen aber in obiger drin liegen dann gilt die Wahrscheinlichkeit von Art wer ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit von auch das machen sie analog über relative Häufigkeiten dieses quer also um oder aber tritt genau dann ein wenn aber nicht eintritt also wenn Art Wiedereintritt tritt aber nicht ein wenn er oder den Art Wiedereintritt tritt 3. aber nicht ein zum soll sowie um wollt ich sagen also entweder dieses Art vertritt einen tritt um gar nicht ein dieses erklärt tritt nicht ein dann tritt A 1 als Beziehung haben sie dann sehen Sie bei jedem Zufallsexperiment tritt entweder alle bei Ergebnis ganz egal was es Ergebnisse bis entweder tritt ein oder als wir tritt an beide gleichzeitig können nicht eintreten das heißt die absoluten Häufigkeiten von quer und addieren sich zur Anzahl der er in der durchgeführten Zufallsexperimente die relativen Häufigkeiten addieren sich deswegen zu 1 von Adrian und da muss die Beziehung auch für die Wahrscheinlichkeiten als die Zahlen sich die relativen Häufigkeiten immer mehr annähern gelten also den die relative Häufigkeiten das Eindringen des Kompliment eines Ereignisses ist immer gleich 1 minus der relativen Häufigkeit das Eintreten von den erhalten okay 3. Gesetzmäßigkeit die ich der vorgeworfen Wahrscheinlichkeiten die Worte Gesetzmäßigkeit ist wenn ich 2 Ereignisse habe also beides Teilmengen von ohne gar der Schnitt ist Lehrer das heißt sie haben kein Element gemeinsam dann gilt die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung also die Wahrscheinlichkeit von der Menge wo er man sie drin liegen in einer von den beiden Mengen drin liegen ist gleich die Summe der Einzel Wahrscheinlichkeiten P von 8. wie von den kann das jemand von Ihnen begründen also wie komme ich daraus sie 2 Ereignisse die eigene sie können nicht gleichzeitig eintreten ich sage dann die Wahrscheinlichkeit dass A oder B eintritt ist die Wahrscheinlichkeit von plus die Wahrscheinlichkeit von die Vorschläge mehr also machen Angaben Beispiel dazu Mad Einwurf man kann nicht gleichzeitig die 2 oder die 6 Wochen das heißt er sie betrachten ist es Ereignis die 2 geworfen wird B ist es Ereignis das die 6 geworfen wird beides gleichzeitig kann ich sein und dann sagen Sie die Wahrscheinlichkeit dass sie 2 oder die 6 geworfen wird ist die Wahrscheinlichkeit dass die 2 geworfen wird ist die Wahrscheinlichkeit dass die 6 wird richtig gute ja allgemein können so alles wärs illustriert am Beispiel muss sich klarmachen am Beispiel was bedeuten diese Schnitt was will soll diese Vereinigung allgemein machen sich klar
er hier haben an Beghal Elemente gemeinsam deswegen ist die relative Häufigkeit des Eintretens von A oder B gleich der Summe der relativen Häufigkeit des Eintretens von A und der relativen Häufigkeit des Eintretens von die also wäre das A oder B eintritt also überleben und ich muss so sagen wenn A oder B eintreten eintretenden wieder also entweder Ergebnis dann oder in die aber in beiden kann nicht gleichzeitig drin liegen bei der Schnitt leer ist und deswegen ist die absolute Anzahl Häufigkeit des Eintretens von vereinigt B also von A oder B gleich der Anzahl des Eindringens von Abriss der Anzahl des Eintretens von B darauf bekommen sie die Beziehung für relative Häufigkeiten die relative Häufigkeit des Eintretens von A oder B ist die relative Häufigkeiten von A plus die relative Häufigkeit von die und diese relativen Häufigkeiten nähern sich den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an deswegen Gefühlen auch die Wahrscheinlichkeiten diese vielleicht auch also auch also immer die gleiche Argumentation eigentlich das ganze geht ja sie können erst Anfang mit absoluten Häufigkeiten dann für relative Häufigkeiten dann gilt auch für wahrscheinlich ok ich schreibs noch ein bisschen allgemeiner für 2 Mengen habe kann es auch für endlich viele Mengen machen also ich kann jetzt Mengen A 1 bis A 1 herausgreifen mit A I geschnitten alldort ist die leere Menge für alle einst aber gleich die comma J war gleich in in ist beliebige Zahl dann geht die Wahrscheinlichkeit von der endlichen Vereinigung A 1 für A 2 und so weiter bis vereinigt von A 1 ist die Wahrscheinlichkeit von 1 bis die Wahrscheinlichkeit von A 2 plus und so weiter bis bis die Wahrscheinlichkeit von A in das sofort also im Konzert einerseits nur sagen es folgt lobte 4 einerseits können Sie sagen es folgt unmittelbar aus 4 indem sie einfach die 1. N minus 1 Mengen zunächst mal zusammen nehmen die letzte Menge separaten können Sie die abspalten als Summe und dann machen Sie es gleich in den 1. N minus 1 Elementen Mengen als auch da spalten sich sukzessive eine nach der anderen ab als das ist keine allgemeine Forderung als das was wir in 4 hat es ist noch ein bisschen komplizierter hingeschriebene das heißt Sie können das nicht mit 2 Ereignisse machen Sie können es auch mit 3 Ereignisse machen mit 4 Ereignissen und so weiter wenn die Ereignisse nicht überlappen das heißt wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können dann ist die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung das eines davon Eintritt einfach die Summe der Einzel Wahrscheinlichkeit ok Fragen so weit das waren jetzt mal 5 Eigenschaften die man relativ
simpel aus der die aus den Eigenschaften von relativen Häufigkeiten folgen kann die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 Wahrscheinlichkeit von der einer Menge ist 0 Wahrscheinlichkeit von Omegas 1 Wahrscheinlichkeit von
Kompliment ist einsehen dass die Wahrscheinlichkeit der des Ereignisses selber die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten falls die Ereignisse paarweise leeren Schnitt haben also paarweise nicht überlappen also nicht gleichzeitig eintreten können das gilt einerseits für 2 Ereignisse aber analog auch für n
Ereignisse also für endlich Frieden und jetzt habe noch was was man üblicherweise der zunehmend bei der Forderungen für oder bei der abstrakten Formulierung von Wahrscheinlichkeiten weil sie es einfach mathematische als sehr sinnvoll erweist und das ist eine Verallgemeinerung von dieser Beziehung mir jetzt nicht nur auf endlich viele Mängel sondern sogar auf unendlich viele Mengen die ich einzeln durchziehen kann für den
Aufbau einer mathematischen Theorie sinnvoll die sogenannte Sigmar di ti vität wenn ich jetzt Mengen A 1 A 2 und so weiter hat unendlich viele AI geschnitten 1 dort ist die leere Menge für alle die ungleich Ort zu soll gelten die Wahrscheinlichkeit von dieser unendlichen Vereinigung n gleich 1 müssen endlich 1 ist gleich die unendliche Summe n 1 wissen endlich der einzelnen Wahrscheinlichkeiten die von ist diese Sache die kann ich nicht nur begründen mit relativen Häufigkeiten ist aber die Sache die erweist sich als extrem nützlich im Hinblick auf erhalten von abstrakten Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten was sich in der Vorlesung aber nicht groß machen aber ich habe es nur der Vollständigkeit halber also gibt es ist die vorige Beziehung die wir gerade
eben hatten die geht jetzt nicht nur für endlich wieder Sonne die geht sogar von endlich vielen Dingen solange sie die Mengen noch durchnummerieren
können so wie hier als in A 1 A 2 A 3 und so weiter ein okay das waren so weit die abstrakten Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten ich mache es einige Folgerungen daraus und zeigen was man daraus noch folgen kann das 1.
er also Folgerung aus 1 bis 6 gelten die Bedingungen 1 bis 6 und eigentlich auch jetzt nur die Bewegung 1 bis 5 nicht die 7 alle tität dann kann ich auch noch was beide was folgern 1. für ARD Teilmenge oder gar nicht als Teilmenge gilt immer die Wahrscheinlichkeit von B ohne das heißt das B eintritt aber nicht ist die Wahrscheinlichkeit von B minus die Wahrscheinlichkeit von ja da haben Sie heißen Teilmenge von um egal das heißt über wenn er eintritt tritt auch B 1 ok ich möchte das kurz begründen mach ich an der Tafel man kann es zum Beispiel am Bild begründen oder mit Hilfe eines Bildes und dann wird sich aus dass ich Wahrscheinlichkeiten einig ähnlich verhalten die Flächeninhalte das heißt ich argumentiere gleich mit Flächeninhalten und für Flächeninhalten gelten die gleichen wäre Eigenschaften die für Wahrscheinlichkeiten zumindest wenn ich davon ausgehe dass der Flächeninhalt meiner gesamten Grundmenge gleich 1 ist dann ist der hat gerade der Flächeninhalt genau die gleichen Eigenschaften die Wahrscheinlichkeiten allsommerlichen Bildchen und was an Flächeninhalten sieht dann haben Sie eine Menge A dieser hier oben wo sie haben eine Menge B die darin ist enthalten das heißt die muss umfassen das heißt ich habe eine größere Menge die habe ich hier und wenn Sie jetzt anpacken wo ist B ohne mehr was ist der Zeichnungen die Menge des ohne die Fläche von wegen nicht ist genau richtig wäre das heißt ich gucke mir die Fläche von B 1 und Strafe wir alles jetzt mal Geld was nicht ist falls es das dazwischen der EZB ohne was ist denn die Aussage wenn ich das Flächeninhalt deute die Aussage wenn ich das Flächeninhalt dort über die Fläche die gelbe Fläche ist gleich der gesamten Fläche minus der Fläche von der Weißen jetzt wir sehen sie unmittelbar mehr eine Fläche von dem Geld das gesamte minus den Termin den hier er sie sehen an der es gibt ja eigentlich auch wie sie es begründen könnten wenn sie es begründen wollten aufgrund unserer bisherigen Rechenregeln wir sehen jetzt anders Skizze wenn wir eh bekommen wollen dann können wir B darstellen in wir erstmal nehmen und dann noch den Rest dazu also vereinigt mit B oder warte und es ist klar anhand der Skizze diese Flächen von A und B ohne A überlappen nicht weil die haben wir gerade ausgestiegen also das heißt mathematisch vorbei geschnitten mit B ohne die leere Menge ist ja wenn ich die Beziehung habe dann weiß ich aber dieses P von B weil dieses P von BAP von vereinigen B ohne A ist kann ich genauso gut auch liefern vereinigt mit B ohne aber schreiben und jetzt habe ich 2 der Mengen die 1. es die zweite Menge ist ohne aber die nicht überlappen ja dann kann ich mir aber mal zurück gehen dann haben wir unsere
Eigenschaft 4 wenn ich 2 Mengen habe bezeichnet mit A und B die nicht überlappen Schnitt ist wäre dann ist die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung gleich die Summe der einzelnen beiden Einzel Wahrscheinlichkeiten das heißt es da ist nach 4 wie von Christine von wo bei ja und wenn Sie das jetzt haben wenn sie jetzt gesehen haben die von der B ist leicht von Arques B 1 B ohne aber dann
folgt unmittelbar daraus von B ohne übrigens auf eine Seite ist leicht wie von den Industrie ich war ok also da ausgerichtet folgern schreiben es vielleicht noch drunter mehr der Begutachtung und damit habe ich aus meinem bisher gingen 6 Rechenregeln eine weitere hergeleitet bis 7. ok haben Sie Fragen dazu die werden wenn Sie meine dieses Zeichen das ist einfach nur ich habe darüber geschrieben IV um zu begründen dass es gleiche Nummer 4 kein Zeichen also zwischen ist Gleichheitszeichen und die Begründung habe ich darüber geschrieben mit Rollenspiel und das war die Bedienung liebevollen das IV bezeichnet haben ok Fragen bei der Frage wer zu den Bedingungen ich habe ein manchmal die Menge mit A 1 A 2 bezeichnender 1 bis 1 hier habe ich die oder aber der die Mengen sind allgemeine Platzhalter für beliebige Mengen das heißt ganz egal ob Sie da 1 A 2 schreiben oder B oder oder die zur y ja egal dann nur um meinen Bedingungen I Ungleichheit gehen wir noch mal zurück was er damit gemeint wie zum Beispiel hier
also für alle in die C ist was ich habe hier Mengen A 1 bis A N an die Nachricht Bedingungen dran und ich fordere A I geschnitten AJ ist die leere Menge das soll für alle Indizes gelten zwischen 1 und 1 wenn der Index i und gleich den Index J ist also wenn der Index i gleich den Index wird ist eines ja eh geschnitten AI gleich die da fahre ich nicht dass die leere Menge ist okay noch Fragen gut dann comma der
2. Bedingungen 2. bewegen Volk einig mit dem gleichen Argument die Aussage ist wenn ich B Teilmenge von obiger habe reiste Teilmenge von B das heißt immer wenn das Ereignis eintritt tritt auch wissen Ereignis B 1 dann ist die Wahrscheinlichkeit von kleiner gleich die Wahrscheinlichkeit von die das intuitiv logisch also immer wenn er eintritt Ritt auf B 1 das heißt die relative Häufigkeit von wird immer klarer gleich der relativen Häufigkeit von B sein das heißt das Ganze muss auch für die Wahrscheinlichkeiten gelten ich möchte aber ohne ohne Verwendung von relativen Häufigkeiten begründen wenn sich das an kann wie sehen Sie das also wenn sie mal gucken Sie haben vielleicht sehen sie am vorigen Bild oder können sein Bild erklären dann ja genau die Situation ist Teilmenge von B ist kleiner als die Weißen im Kreis drehen liegt also keine maximal so groß sein wie ist genau richtig also der Flächeninhalt von als ganz klar kleiner war als der Flächeninhalt von denen was vom Flächeninhalt ist logisch und sehen Sie es formal mehr formal sehen Sie es zum Beispiel weil Sie argumentieren können diese Wahrscheinlichkeit hier diese Wahrscheinlichkeit von B ohne A ist eine Wahrscheinlichkeit und weist eine Wahrscheinlichkeit ist ist die große gleich 0 also Wahrscheinlichkeiten sind ja immer größer gleich 0 dass die das also größer gleich 0 noch 1 ja und dann sehen wir aber auch dann ist P von B gleich P von einer Zahl größer gleich 0 und damit müsste von B Größe gleich die von sein weil dann ist das da insbesondere größer gleich Kiefernart von also hier kann es auch dazu schreiben und P von B größer gleich lieferbar also habe sich nur dann Sinn geschrieben sondern auch noch eingeschrieben aber glaubst kennen und ich hatte auch hier ausschließen können denn ich sage diese Zahl ist größer gleich 0 und deswegen ist die von den Industrie von größer gleich 0 also wie von kleiner gleich und die ok Fragen so weit dann kommt noch eine Beziehung die letzte die ich hier vorstellen möchte ja haben vorgesehenen wir 2 Mengen A und B haben die nicht überlappen dann ist die von vereinigt die von A B gleich P von A plus die von die wir betrachten jetzt hier 2 beliebige Mengen die eventuell auch überlappen und ich behaupte ich kann aus dem bisherigen folgern die von vereinigt B ist von Arques von B minus P von geschnitten wie sehe ich das ich mal noch nochmal Bilder zu ja ich muss da ein bisschen was wegwischen damit ich genügend Platz habe das Ganze an sich besteht darin aber weg so kenne ja ich glaube mehr nein also wir haben 2 Mengen und diesmal sind die Mengen ganz beliebig macht sie damit Flächeninhalten wir gucken uns eine Menge soll hier aber und die zweite Menge hier B und ich behaupte jetzt hier von vereinigt B ist P von Arques P von B bis wir von minus P von geschnitten die das heißt der eine Flächeninhalt ist das hier das ist liefern aber also kann ich mir überlegen wie von B wo ist das ich mach's mal farbig und wenn Sie es jetzt anhand von Bild oder warum sehen Sie dann von Bild oder was in der Mann von Welt wenn wir nicht minus 4 von Angestellten B rechnen würden bei P von A bis W von die dann der Zeit in der Mitte doppelt das heißt erteilen damit es gerade geschehen angeschnitten die oder der vielleicht einer davon ist die von Ar gestellten das heißt wenn ich mir das hier angucken dann habe ich hier geschnitten werden und dann sehen Sie wenn Sie P von A bis G von B rächen oder Flächeninhalt von A plus Flächeninhalt von B dann rechnen Sie ja den Flächeninhalt 5 mit doppelt das können Sie jetzt auch unmittelbar das ganze abstrakte foltern wenn sie wollen was ich mache sie immer vor wir sehen wir das ganze was war als die des ja die Idee war aber einige Biologen speziell zu schreiben oder die Idee was ich jetzt mache ist auf vereinigt B zu schreiben und zwar ich möchte die Rechenregel 4 drauf anwenden das heißt der von der Vereinigung ist die Summe der einzelnen P werde wenn die Menge nicht überlappen das heißt ich möchte die Vereinigung so schreiben dass sie nicht überlappt ja dann mache ich das so dass ich annehme aber dann für einige ich dazu nur den Teil der noch fehlt und das ist B ohne geschnitten die jetzt habe ich ja den Vorteil dass die beiden Teile nicht überlappen also wobei geschnitten B ohne Haare geschnitten werden vielleicht leere Menge ist beenden und darauf bin ich jetzt die Beziehung 4 an er daraus folgt wer von Vereinen des ist leicht ich spare mir das jetzt noch zu schreiben ist also P 1 vereinigt B ohne A geschnitten unmittelbar darauf die Beziehung 4 an das dann von grüß B ohne geschnitten B und dann auf das was da noch übrig bleibt auf der rechten Seite dieses P von B ohne A geschnitten wenn ich die Rechenregel von da oben an diese Menge geschnitten B sich eine Teilmenge von B das heißt ich kann das ganze schreiben als also siehe oben als Reform des minus P von geschnitten werden und dann sehen Sie das Ganze ergibt P von an der Küste von B minus P von bestimmten die morgen das er ok haben Sie Fragen so weit nein die Frage wer Wasserball Rechenschritt 4. 1 um gar mehr mehr alles ist einige von ohne gab ich habe ohne gar nicht eingezeichnet theoretische sich da oben machen abstrakten fassen um um das Für und wider und ich kann sagen die Tafel sonniger und dass die der gesamte Flächeninhalt von dieser Tafel wird sich dann als 1 sein noch Fragen gut dann hätte ich noch meine Frage an Sie und zwar im Zusammenhang mit
folgender Bemerkungen er intuitive Verständnis von Wahrscheinlichkeiten ist oft schwierig essen Beispiel dass aus der Psychologie stammt berühmtes Beispiel außen klappt in den sechziger Jahren wo sich jemand Gedanken gemacht hat versteht der Mensch eigentlich Aussagen über Wahrscheinlichkeit intuitiv richtig ich gebe Ihnen gleich mal ein Beispiel vor und würde sie bitten ohne groß nachzudenken die Frage zu beantworten gegeben ist folgender Text Linda ist ein 30 Jahre alt sie 7 verbal wird sie hat und sehr intelligent sie hat auf einem College Philosophie studiert als Studentin war sie sehr engagierten Fragen sozialer Diskriminierung und anderen sozialen Problemen sie nahm auch an ein die kann Kraft-Demonstration alles ist die Informationen die sie über den haben dann kommt folgende Frage was ist wahrscheinlicher Winter ist Bankangestellte oder B ist Bankangestellte und nativen der Frauenbewegung wenn Sie mal einfach ohne großes Nachdenken sagen wer es für S 4 B ok mehr für aber es war doch einige für auch ich würde oder Mehrzahl für B einige für das ist richtig aber ich würde intuitiv sagen wie ist richtig aber es ist natürlich mathematisch oder von dem was sie bisher gelernt habe nur Wahrscheinlichkeiten klar ist richtig weil wenn sie das als Ereignis betrachten dann ist dieses Ereignis von b eine Teilmenge von Ereignis das heißt intuitive also es ist klar wer die Wahrscheinlichkeit davon muss kleiner sein als die Wahrscheinlichkeit auf und war leichte Wahrscheinlichkeit hier trotzdem nennen denn der Mensch intuitiv alles anders also es ganz hübsch aber die Angst die sie er Intuition auch meine Intuition drückt eben heute wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht gut dann kommen wir noch zum Begriff des Wahrscheinlichkeit Raumes Wahrscheinlichkeit
Traum ist jetzt ein paar Umwege P bestehend aus einer nicht mehr Anhänger Rommedahl gar seine man Menge die nicht die leere Menge ist und einer Zuweisung P von Wahrscheinlichkeiten P von A 2 Teilmenge um das heißt P jeder Teilmenge von o Megane Wahrscheinlichkeit zu die Forderungen 1 bis 6 von oben erfüllt dann heißt dieses Paar bestehend aus Amiga und die Wahrscheinlichkeit Raum und bis spezielle heißt in diesem Fall Wahrscheinlichkeit macht's also nur Bezeichnungen und was wir im Folgenden machen werden ist wir werden uns Wahrscheinlichkeit Räume konstruieren basteln ausdenken also wo diese Beziehungen 1 bis 6 erfüllt sind die zum konkreten Beispielen passen und darin den Wahrscheinlichkeiten berechnen oder Aussagen die wir über die zufälligen Ergebnisse treffen können machen der ich habe hier bei ne Kleinigkeit unterschlagen normalerweise würde meine Mathematik
aus technischen Gründen er nicht die Wahrscheinlichkeiten für alle Teilmenge von Omegas sinnvoll festlegen das geht meistens nicht zumindest dann wenn sie zum Beispiel ihre entfallen zugrunde legen wir das wird beim Folgen vernachlässigter sich tun wir so als könnte es für alle den Unterschied werden Sie nicht groß merken aber das wir mathematisches Details wird sie sonst nur ablehnen lassen sowohl trägt ja macht nix mehr da noch ein bisschen mehr weglassen verkehr sie verzeihe mir noch mal an der Ecke ja also wahrscheinlich Heizraum Was ist das Paar Orme Gabbeh der weisen wir haben der Grundmenge zugrunde liegt ist und sonniger behandelt zuweisen zu Wahrscheinlichkeiten bis gelten gewisse Gesetzmäßigkeiten und die Gesetzmäßigkeiten sollten Sie so grob bist da war so eine komische dabei war die Signale die zählt das war eben die eine Gesetzmäßigkeit war verallgemeinert auf endlich viele wenn das andere kann man sich relativ einfach aus der aus der relativen Häufigkeiten herleiten und wenn Sie diese Gesetzmäßigkeiten haben Leben vorgesehenes gelten gleich noch mehr und sie werden Übung auch noch mal 1 weiteres sie ich
mache noch ein Beispiel für und ich gehe mal auf das Werfen eines echten wird es ein im Beispiel oben werfen eines echten wird das für uns Symmetrie Überlegungen aus darauf dass die Wahrscheinlichkeiten Elementarereignis für alle gleich groß sind und zwar ein Sechstel warum ist das so ja sie haben echt nur für alle 6 Seiten sind komplett gleichberechtigt dann sollt intuitiv klar sein die relativen Häufigkeiten diese 6 Seiten sollten aßen methodisch ich gleich groß sich der gleichen Zahl an ihren und da die Wahrscheinlichkeit von Gesamtraum gleich 1 ist müssen Sie diese und diese Wahrscheinlichkeit von Gesamtraum ist da die Summe der 6 elementar wahrscheinlich der Wahrscheinlichkeiten der 6 elementar Ereignisse beim Würfel müssen diese einst diese gleich großen Zahlen 1 6. sein und jetzt können Sie 5 nehmen 5 war die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung endlichen Vereinigung ist die Summe der einzelnen vor Wahrscheinlichkeiten wenn es denn ich über das dann sehen Sie was daraus folgt wenn sie P von umschreiben als eine Vereinigung der Elementarereignis die in enthalten sind also alle Elemente die in Art drin sind dann sehen sie P von A als die Summe der einst Wahrscheinlichkeiten einzeln sahen die drin sind die Zahlen sind alle one sixth und dann kommt wird ein Wechsel auf ein Bier zu holen so oft wie es wenn man den gibt und das schreibe ich mit Betrag von der Betrag von ein ist die Anzahl der Elemente in und dann sehen Sie ja der Wahrscheinlichkeit war mir ist gegeben alle Wahrscheinlichkeiten werden hier berechnet Wahrscheinlichkeit einer Menge ist Anzahl der Elemente in der Menge geteilt durchsetzt alle oder das 6. wieder die Anzahl der Elemente ohne gar das Anzahl Einwände von durch Anzahl der Elemente in Omegna und damit haben sie den Wahrscheinlichkeit Raum in diesem Beispiel gegeben durch um die gab die um Milliarden die Zahlen 1 bis 6 die Wahrscheinlichkeit wird berechnet als Anzahl der Elemente einer Menge geteilt 6 das wäre wahrscheinlich Raum und diese Art von Wahrscheinlichkeit tragen der den nächsten nächste Woche ein ausführlicher behandeln Anzahl der Elemente meine ich einfach wieder IfL Einwände sind wenn also der Menge 1 3 5 10 Sie wie werden denn das sind in die 1 ist trendy dreist Renditen bis dann wissen 3 okay haben Sie Fragen so weit dann comma zusammenfassen was aber gemacht kennen
gelernt haben sie den Begriff des Zufalls Experiments ein Zufall Experiment ist ein Experiment mit vorher unbestimmten Ausgang das unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholt werden kann ich habe Ihnen vorgestellt den mathematischen Begriff der Wahrscheinlichkeit der denn ich moderiert habe als Grenzwert oder bin ich eingeführt habe als Grenzwert von relativen Häufigkeiten nach dem
empirischen Gesetz für Gros der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses für große Anzahlen von unbeeinflussten Wiederholung des Super 6 man es immer mehr einer von dem Ereignis abhängen Zahl an die als Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bezeichnen und Sie haben gesehen da gab so fahre Trugschlüsse wir zum Trugschluss wäre zum Beispiel dass man sagt diese Wahrscheinlichkeiten müssen auch gleich den oder die relativen Häufigkeiten müssen auch gleich den Wahrscheinlichkeiten sein für endliche Anzahl der Wiederholungen das muss nicht der Fall sein da können beliebig große Abweichungen gehen nur es nähert sich eben über mehr ein wenn die Wiederholung unendlich groß wird wenn die Anzahl der Wiederholungen unendlich groß wird unter der
Begriff den wir eingeführt haben ein Wahrscheinlichkeit Raum ist ein paar Umwege wobei er mir gar nicht mehr wer man ist und wie jeder Teilmenge A von um die gar eine Wahrscheinlichkeit P von aus 0 1 zur zu dass gewisse Gesetzmäßigkeiten gelten es waren Gesetzmäßigkeiten die Wahrscheinlichkeit flaumiger als gleich 1 Wahrscheinlichkeit von der Vereinigungen endlichen Vereinigung muss die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten wenn die Menge nicht überlappt haben Wahrscheinlichkeit von Kompliment ist 1 minus der Wahrscheinlichkeit der Menge oder vom Ereignis und so weiter gut dann möchte die Vorlesungen für heute schließen
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