Modelle für Wahrscheinlichkeiten

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Title
Modelle für Wahrscheinlichkeiten
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7
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14
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CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

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Subject Area
Abstract
Die Vorlesung Statistik I für Human- und Sozialwissenschaftler gehört zum Pflichtprogramm des ersten Semesters in den Studiengängen Psychologie und Pädagogik an der TU Darmstadt. Sie stimmt inhaltlich weitgehend mit der dieses Semester vom gleichen Dozenten abgehaltenen Vorlesung Mathematik und Statistik für Biologen überein. In ihr wird eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik gegeben, wobei der Schwerpunkt auf einer leicht verständlichen Präsentation der grundlegenden Ideen in diesem Bereich liegt.
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Statistics Plane (geometry) Modulform
Zahl Finite set Set (mathematics) Summation Zahl Subset Number
Zahl Zahl Number
Zahl Normale Particle detector Berechnung Hidden Markov model Total S.A. Set (mathematics) Table (information) Zahl Tuple
Complementarity Set (mathematics) Table (information) Zahl
Vortex Natural number Cube Probability theory Complementarity Summation Set (mathematics) Summation
Vortex Statistical hypothesis testing Natural number Coalition Cube Ecke Set (mathematics) Summation Combinatorics Perimeter Number
Zahl Set (mathematics) Zahl
Set (mathematics) Zahl Number Subset
Zahl Set (mathematics) Zahl Number
Series (mathematics) Natural number Set (mathematics) Number
Population density Real number Summation Set (mathematics) Mass Weight Rectangle Number Subset
Zahl Geometric series Probability theory Square Summation Number
Zahl Binomial distribution Binomial coefficient Binomial distribution Set (mathematics) Mass Mittelungsverfahren Complete metric space Approximation Number Null Degrees of freedom (physics and chemistry) Natural number Modulform Summation
Metre Zahl Binomial distribution Natural number Binomial coefficient Modulform Parameter (computer programming) Binomial distribution Summation Parameter (computer programming) Poisson process Physical quantity
Series (mathematics) Addition Binomial distribution Probability theory Modulform Parameter (computer programming) Binomial distribution Summation Poisson process Negative number Number
Summation Summation
ja begrüße ich Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesungen in der Statistik 1 für Roman Wissenschaftler Lernziele der heutigen Vorlesung sind wie folgt nach dieser Vorlesung sollten Sie den Begriff des plus schon Wahrscheinlichkeit Traums kennen und erleichtern können wann man diesen zur Modellierung eines Zufallsexperiment einsetzen kann und 2. wissen was ein diskreter Wahrscheinlichkeit so ist und wie man in diesen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet um das beizubringen dass ich wie folgt vor gehen wir werden erst mal den ablassen Wahrscheinlichkeit Raum definieren und ich ja den erklären wann man diesen zu Modellierung eines Zufalls Experimentes einsetzen kann dann kommt konnten Beispiel dazu was wir gemeinsam durchrechnen dann werde ich in die Grundidee beim diskreten Wahrscheinlichkeit Raum erklären es konnten Beispiel Wasser wieder gemeinsam durchrechnen werden es kommt noch mal wahrscheinlich von den Herstellern der Mieter ist aber noch mal ein Beispiel zum Abwaschen Wahrscheinlichkeit Frau machen und dann aber ziemlich vielen Beispielen erklärt und dann würzen und das sollten sie ein alles verstehen können bis dahin dann wird ein bisschen abstrakter ich werde Ihnen das was wir am Beispiel gemacht haben auf einer abstrakten Ebene erklären und Alsen abstrakte Definition bringe ich groß abstrakt aber bisschen abstrakt als ist Beispiel und wir werden dann aber den Bezug herstellen zum Beispiel und dann kommen zum Schluss noch 2 komische Formeln die einfach dazugehören wie sie mal gesehen haben sollten und eine von diesen komischen Formen habe in der nächsten Vorlesung da soll dann also die immer drauf kommt okay ferner
an Modelle für Wahrscheinlichkeiten ja das klassische Wahrscheinlichkeit trauen war das Wahrscheinlichkeit werden zur Beschreibung von Zufallsexperimente verwendet bei denen 2 Bedingungen erfüllt sein müssen 1. Bedingungen nur endlich viele verschiedene Werte kommen als Ergebnis vor also das mögliche Ergebnis des Zufallsexperimente das doch nur endlich viele verschiedene Werte sein und 2. Bedingungen die entscheidende dabei jeder dieser Werte tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf ja wenn es einerseits nur endlich viele sind hier tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf wissen vom letzten Mal die Summe von solchen Wahrscheinlichkeiten der 1 Elementarereignissen muss ein sein wenn es nur endlich viele ist wir sind bei der gesamte Raum die Wahrscheinlichkeit eines hat dann muss eben dieser Wert wieder diese gleiche Wahrscheinlichkeit muss einst durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse sein ja das ist mir auch schon und diesen ablauschen Wahrscheinlichkeit Raum haben wir im Prinzip auch schon am Beispiel beim letzten Mal ganz zum Schluss kennen gelernt hier ist die Definition wir haben Wahrscheinlichkeit Traum das ist ein paar und gar P O Neger ist eine nicht leere Menge in dem Fall sogar eine endliche Menge wie ist eine Zuweisungen die mehr Teilmengen von um gar Wahrscheinlichkeiten zu zuweist das heißt Zahlen zwischen 0 und 1 die Zuweisung ist ja so dass jeder einzelne werte als Ergebnis in Frage kommt als Wahrscheinlichkeit 1 durch die Karten erzählt von Onega zugewiesen bekommt das heißt die Elementarereignis haben alle die Wahrscheinlichkeit eines durch Kabel erzählt von Anleger also Anzahl Elemente in Armee gar und daraus wir beim letzten Mal gesehen haben folgt dann die Wahrscheinlichkeit von einer Menge ist die Anzahl der Elemente in der Menge durch Anzeigen der Mail Elemente in Amerika und das ganze Ding heißt habe Blasche Wahrscheinlichkeit also wenn sie nach laschen Wahrscheinlichkeit hinschreiben wolle ist es relativ einfach sie müssen die Menge angeben und und für P haben Sie diese Vorschrift okay und für die Frage was ist die Grundmenge na ja die Grundmenge an der Stelle Simpson muss die möglichen Werte für das Ergebnis enthalten oder enthält genau die möglichen Werte für das Ergebnis diese Frage hier P von gleich geht von ich Karten halte von Amiga oder Anzahl Elemente in durch Anzahl man den Amiga lässt sich einfach
sollten wir sagen P von A ist die Anzahl günstiger Fälle also die Anzahl der Fälle wo bei den das Ergebnissen liegt durch die Anzahl der möglichen Fälle ok so weit abstrakt machen Beispiel dazu wir dachten Glückspiel sie haben einen Satz von 1 Euro anschließend werden 4 Münzen geworfen und zwar 2 50-Cent-Münzen eine Ein-Euro-Münze und eine 2-Euro-Münze diese Münzen fallen dann entweder mit der Zahl oder warten nach oben und der und Sie bekommen Beispiele als Gewinn alle die Münzen oder sie kommen zurück alle die Münzen die Zahl oben an der dass der wenn er hier als ihren Gewinn also haben Einsatz von 1 Euro dafür bekommen sie einen Gewinn wissen alle die Münzen die Zahl oben an und was mich interessiert ist wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass der Gewinn mindestens so groß ist wie der Einsatz bei dass der Gewinn mindestens 1 Euro beträgt okay das 1. was jetzt machen möchte ich würde es durch erlaube laschen Wahrscheinlichkeit Raum polieren und dazu muss ich mir erst überlegen was ist was will ich da als Menge der möglichen Ergebnisse haben Sie Vorschläge was kann ich im Prinzip also wenn abstrakt als Zufallsexperiment betrachte ich werde 4 Vincent und ich bekommen alle die als Gewinn die die Zahl oben landen was ist denn das mögliche Ergebnis des Zufalls Experiments es gibt 16 mögliche Fälle und können Sie mir einen dieser verlangen eine liegen die Zahl oben also ja oder die 1. Regnitztal und vielleicht eine 50 Cent liegen Zahl oben die andern nicht und so weiter und wenn wir die Münzen alle als verschiedene betrachten also auch diese 2 50-Cent-Münzen vielleicht verschieden durch gibt 16 mögliche Fälle wer ein mögliches Ergebniss ist super 6 es kann mir immer noch ein anderes sagen gab es auch anders definieren an der Stelle der Gewinn liegt zwischen 0 und 4 Euro das heißt es können genauso gut auch den Gewinn dem vollständig richtig und kann ich mir genau überlegen der Gewinn des entweder 0 Euro 50 Cent und 1 Euro 1 Euro 50 kann vorkommen 2 Euro kann vorkommen 2 Euro 50 kann vorkommen kommen 3 Euro kann vorkommen 3 50 und 4 da sind alle möglichen Kombinationen das heißt 9 verschiedene Werte hätten jetzt auf einmal zweite Möglichkeit kann ich immer noch eine dritte Möglichkeiten vorschläge dritte Möglichkeit na ja ganz naiv im Sinne von dem was wir schon fragen können wir einfach sagen entweder er der Gewinn ist größer als der Einsatz also als ein Euro oder wir mindestens so groß wie der Einsatz oder nicht also da könnten ja oder nein definieren als Ergebnis ist weit verwendet und dann sehen Sie da haben wir 3 verschiedene Möglichkeiten den das Ergebnis ist Zufall 6 des Experiments zu wählen und die zweite Frage welche wählen wir hier warum also welche sollen wir sehen ja aber die Frage wie entscheiden wir welche wir wählen na ja wir werden das so dass wir unseren Wahrscheinlichkeit Raum einsetzen
können und dann müssen die Bedingungen für den Wahrscheinlichkeit Traum erfüllt sein und dessen 2 Stück 1. ist müssen wir endlich der viele verschiedene mögliche Ergebnisse seien das war bei allen 3 Fällen der Fall sowohl bei der Lage der Münze als auch bei den bei der Größe des Gewinns als ob der Gewinn größer ist als ein größer gleich 1 Euro oder nicht aber bis 2. jeder dieser Werte muss mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten was würden Sie denn
dazu sagen ist das Augen oder für erfüllt sie sagen bloß bei den 16 Möglichkeiten also bei den 16 Möglichkeiten ist erfüllt das ist einigermaßen plausibel kann man sich überlegen Münzen sind komplett symmetrisch die werden wohl genauso häufig mit der Zahl oben landen die mit Wappen also einigermaßen plausibel bei den anderen sagen sie ist es nicht so dass es nicht offensichtlich eine aber das wird sich nahe gleich rausstellen dass es bei dem andern nicht so ist es wird zum Beispiel daran dass wenn Sie jetzt sagen würden wir nehmen den Gewinn dann könnte der Gewinn von 1 Euro zustande kommen entweder in dem die beiden 50-Cent-Münzen mit Zahl oben liegen alle andern nicht oder in denen die Ein-Euro-Münze bezahle oben liegt alle andern nicht das sind 2 Möglichkeiten werden Gewinne von 4 Euro konnten nur auf eine einzige Möglichkeit zustande nämlich dass alle Münzen mit Zahl oben liegen ok gut damit aber eigentlich schon ja festgelegt was das Ergebnis unseres Zufallsexperimente ist als Ergebnis des Zufalls Experiments betrachten wir die Lage der Münzen das möchte ich jetzt ein bisschen genau beschreiben dazu denken wir uns die Goldmünzen durchnummeriert mit den Zahlen 1 bis 4 wobei die Münzen 1 und 2 den wird 50 sind haben die Minze 3 den Wert 1 Euro und die Münze fiel den Wert 2 Euro hat jede der
16 möglichen Wahrscheinlichkeit Kombinationen tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf haben wir gerade schon gesehen deswegen können wir das zu weit Experiments durch ein laschen Wahrscheinlichkeit Raum beschreiben wobei die Grundmenge eben die Lage der Münze beschreibt das mach ich so in dem ich in die Grundmenge 4 Tobel einstellte mit 4 Einträgen und wieder 1 und wieder 2 Omega-3 um wieder 4 jeder dieser Einträge ist entweder Zeit oder W steht dafür dass die Idee Münzen mit Zahl oben gelandet ist wie ich stehe dafür dass die Idee Menzel mit Wappen oben gelandet ist okay oder Fragen so weit aber vielleicht müssen ungewohnte Notation aber wie sich eben hier an beschreiben als 4 was dann gesucht gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von ein Ereignis das eine das 4 Doppelauftritt oder Divine größer gleich ein Euro ist gar nicht unmittelbar hinschreiben gesuchtes P von mit sind alle 4 Tupel und ich machen colon schreite Bedingungen dahinter die Bedingung erfüllen der Wert der Münzen mit Zahl oben ist größer gleich 1 Euro da wir Leib laschen Wahrscheinlichkeit Raum haben kann ich gleich hinschreiben was P von A ist in Wahrscheinlichkeit Raum also um den ablassen Wahrscheinlichkeit Raum festzulegen müssen wir eigentlich nur die Grundmenge festlegen weil die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ja einen abwaschen Wahrscheinlichkeit Raum versteht sie eine Frage die Menge aller 4 operieren Norweger wo der Wert der Münzen mit Zahl oben größer gleich 1 Euro ist 4 Tore ein Tupel mehr mehr mehr in ein entzogen bekommen Sie indem Sie n Sachen hintereinander schreiben mit Klammern rum im 2. bewähren Paar in 3 Torbögen Treppe vielleicht in 4 kann ich keine Bezeichnung mehr außer 4 Tote und ein Zubehör normale Zahl okay ok also ich habe dafür viel Tupel gesagt einfach mal so aus 4 sehen Sie und die komischen der ja ich glaube ich dennoch die komische Rabatt eine Hmm okay aber ich kann keine bezeichnen die nicht komisch ist nur verrückt ich bin Detektoren anfangen den Sie vielleicht aus der Schule oder so Rektoren Schule nur gehört vielleicht werden werde aber ich habe da hier liegend geschrieben also in der Schule werden sie es meistens stehen geschrieben mich was ich denn schreiben aber schreibst und wird die halbe Folie gleich wenn ich schreiben stehen hat okay wäre also besucht es dann P von mit ist die Menge dieser 4 Tupel oder Werte Münzen bezahle oben größer gleich 1 Euro liegt da wir ein Nachlassen Wahrscheinlichkeit Raum zugrunde legen wissen wir unmittelbar wieder Wahrscheinlichkeiten berechnen nämlich die von ist Anzahl der Elemente in durch Anzahl der Elemente in Omegna die Anzahl aller man sehen ob sie gar sind 16 weiter jedes dieser und wieder ein sonniger 2 und Eggert 3 und Mega 4 haben Sie 2 Möglichkeiten ja sie ziehen dann 4 Elemente aus einer 2 Ellen Vandieken Menge ich glaube bei mir darin dass RC erklärt zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge es gibt 2 auf 4 Möglichkeiten das sind 16 Möglichkeiten hier und wenn sich überlegen alternativ sie am 2 Möglichkeiten fürs 1. dann 2. 2. 2. 3. 2. 4. jede dieser Möglichkeiten können sie miteinander multiplizieren gibt 2 x 2 x 2 x 2 also 16 Möglichkeiten also die Wahrscheinlichkeit von können Jungen war bestimmen das ist die Anzahl der Elemente in durch die Anzahl der durch 16 also müssen wir hierzu nur noch die Anzahl der wenn man sehen bestimmen dann sind wir fertig mit Berechnung der Wahrscheinlichkeiten was machen Sie am besten systematischen denn Sie einfach alle Fälle durchgehen ich schreibe sie mal hier ein bisschen was an die Tafel dann können Sie den Rest von uns selber machen nein wir machen uns einfach eine Tabelle mit Amiga 1 und wieder 2 oder gar 3 Krüger 4 und ohne gar ein 52 sind aber 3 ist der 1 Euro ja der Amiga 4 S 2 Euro und Sie haben Recht wir wollen uns dann wie groß ist der Gewinn unser Rat wenn wir uns noch überlegen ist der Gewinn größer gleich 1 Euro ja dann der 1. mögliche Falles alleine mit Wappen oben wie groß ist dann der Gewinn der Gewinn des 0 weil sie wollen ja nur die Münzen ausgezahlt die mit warten oben
jene Zahl oben landen also hier neue und 0 ist nicht größer gleich als ein Euro als das er schon mal Nein dann können Sie weitermachen ich nehme an nur die 2-Euro-Münze landet die Zahl oben alle anderen landen wir warten oben wie groß ist dann der Gewinn der Gewinn des 2 Euro und bestellen schon richtig Festival geben wenn es größer als 1 Euro und Sie bei zwar selber nicht geben bisschen Zeit die Tabelle vervollständigen das heißt die 14 Fällen Fälle Anschreiben hinsehen wenn sie auf der nächsten Folie an sich habe auf der nächsten Folie bei Ihnen ohne die entsprechenden Werte draufgesetzt nein okay können Sie mir vielleicht schnell sagen wie das hier weitergehen muss ok ich wäre 1 dann 3 ja comma 5 2 comma decimal 5 1 comma decimal 5 3 comma decimal 5 und dann sehen Sie hier direkt ja was ist das das Ende das ist J das ist eine was größer gleich ja J J J J J und die anderen R 8 Fälle die wir haben die unterscheiden sich von den 1. 8 nur dadurch dass er bei der 1. 50 Cent Münze noch ein zusätzliches L fert spielt das heißt der Gewinn erhöht sich einfach im Vergleich zu der entsprechenden Zeile um 50 Cent und dann sehen Sie was wandert noch zur J geben das nicht aber das ist auch noch eine dann sehen sie weiter einen sind ja okay oder ich zeig's Ihnen schnell hier ich habe doch hier auf
Folien das wir die komplette Tabelle wie bekommen Sie jetzt daraus die Wahrscheinlichkeit bitte sie setzen für A 13 1 für Amiga 16 nicht ganz sondern sie setzen für die Anzahl der Elemente von A 13 ein und die Anzahl der Elemente von 16 also wenn sie noch mal zurück denn wir hatten ja unser
P von als unsere Menge aber Sie haben Anzahl der Elemente von A durch Anzahl der Elemente von Amiga es also richtig das heißt sie erkennen ja
Anzahl der Elemente von A 1 13. lesen Sie aus der Tabelle einfach ab ein wahres abzählen und liefern ist dann 13 16. könnten Sie volles ausreichendem Taschenrechner und Sie können es lassen oder ich habe es gelassen zu muss was haben gut wir können das eine Beispiel hier noch ein bisschen einfacher machen indem man sich überlegt wie groß ist die Wahrscheinlichkeit vom Komplement das Ereignis selber war dass der Gewinn größer gleich wäre ein Euro ist dann können wir uns überlegen das Komplement da muss der Gewinn kleiner als 1 Euro sein damit der Gewinn kleiner als 1 Euro seien es werde sehen Sie eigentlich hier entweder muss er darf keine der Münzen ausgezahlt werden oder die 1. 50 Cent Münze oder die 2. 50 sind Münze mehr gibt es nicht das heißt Sie können dass Kompliment direkt hinschreiben sie werden dann direkt Kompliment hat 3 Elemente das heißt P von A Kompliment ist 3 Sechzehntel und dann wissen wir P von A A S 1 minus P von Kompliment das heißt er P von A S 1 minus P von A compliment also 1 minus 3 Sechzehntel also die 13 16. die in den Fall hier einfacher hätten sich die Tabelle sparen können aber ich weiß einfach man einfachen Beispiel vor führen wie wir das mit einer Tabelle er schlecht ok haben Sie Fragen so weit die Nummer sie meinen auch dass ist comma ist was ich bisher als comma eingeführt hat mir 10 AC 1 gemacht hat das ist ne gute Frage Sie mal ich habe dieser Art der geschrieben das ist das Abstriche haben sie vollständig recht und tut mir leid das liegt daran weil es sich also nicht mal gebeten haben eine Mutation ihren anzufassen und Abwehr zu schreiben aber ich würde immer ACS schreiben wir mehr und das habe ich bei der 1. vor ja auch gemacht aber bei der zweiten dann nicht er tut mir leid er gemeint war hier also gemeintes Kompliment das war das was ich beim letzten Mal mit aber wir eingeführt habe vollständig recht noch Fragen wir haben das kann wer oder was sich als ein Kompliment oder quer definiert habe wir also mal Kompliment ist mein arg wir und das war um mir gar ohne und wenn Sie hier und haben wenn Sie hier haben dann der Rest vom Kompliment okay noch Fragen gut dann war das ist der lasse Wahrscheinlichkeit Traum war eine Möglichkeit Wahrscheinlichkeiten zu berechnen geht eben in dem wir Spezialfall dass 2 Bedingungen müssen ein 3. 1. ist doch nur endlich viele mögliche Ergebnisse vom Zufallsexperiment vorkommen und zweitens alle müssen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit vor und sie haben auch gesehen dass wir kommen wir hin oder manchmal hin wenn wir und dorniger geeignet wählen werden nicht hinbekommen wenn wir als auch egal den Gewinn ausgezahlt werden weil dann sehen Sie zum Beispiel der Gewinn von 50 Cent der kommt einmal hier vor anders als auch wenn ich z B WB hat das heißt der mit Wahrscheinlichkeit 2 16. vor werden Gewinne von 0 kommt mit erscheint kommt nun die 1. Zeile vor kommt mit Wahrscheinlichkeit 1 16 bevor das heißt die Gewinne haben nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit sind für auch unendlich viel ich stelle ihn jetzt als
nächstes nen Wirklichkeit vor wie man Wahrscheinlichkeiten definieren oder rechnen kann wenn Zufallsexperiment entweder endlich wieder oder auch abzählbar unendlich viele mögliche Ergebnisse hat die nicht unbedingt alle gleich die gleiche Wahrscheinlichkeit haben alles Kriege Wahrscheinlichkeit Frage nächster Abschnitt verwenden wir zu Beschreibungen aller der Zufallsexperimente bei den nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele verschiedene Werte für das Ergebnis möglich sind abzählbar unendlich viele verschiedene Werte ist sowas wie er jede natürliche Zahl ist ein mögliches Ergebniss das heißt wir können es einig noch durchnummerieren aber sind unendlich viele hier kommt die zentrale Idee in diesem Fall erreichten wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Summe der Wahrscheinlichkeiten aller darin erhaltenen Elementarereignis unwilligen eben die und Bereichen eben selber Rat die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignis weil das ist die zentrale mehr noch ist es keine Form es gibt dann die zentrale Formel die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses weil die Wahrscheinlichkeit von 1 zu einer Summe von einer und so einer Menge da gucken wir uns alle darin enthaltenen Elementarereignis an bestimmen deren Wahrscheinlichkeiten und zum ihren die auf
ok ich mache ich ja der Sinn erst mal ein Beispiel mit einem echten Würfel wird solange gewürfelt ist der Würfel zum 1. Mal mit 6 oben landet wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Anzahl der Wirbel kleiner als 4 ist also sehr Mächten wurden sie werfen den immer wieder und zwar unbeeinflusst voneinander solange er zum 1. Mal mit 6 oben landet und wir wollen wissen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Anzahl so viel kleiner als sie ist wieder die Frage Was ist hier das Ergebniss des Zufallsexperimente ok sie schlagen vor sie machen sowas wie sie Wochen keine 6 keine 6 keine 6 1 6 oder 7 Wochen am Anfang gesetzt oder sie wollten beim zweiten Male 6 oder beim dritten Mal und dann andere die Frage wie schreiben wir das bisher ist klar also darum geht's eigentlich ich kann im Prinzip gar nicht so beschreiben ich betrachte die unendliche also ich tu so als nur völlig einig über n unendlich oft weiter und geht die ganze Sequenz der Würfel an aber es wär bisschen mühsam zumal wenn ich jedes Mal endlich auf weiter werfen könnte ich könnte das dann so machen dass ich so schreibe Jahr endet am Anfang des 6. oder ich sage keine 6 1 6 oder keine 6 keine 6 1 6 oder keine 6 1 6 1 6 1 6 und so weiter aber ist die Frage Wie schreibe ich das hin ist ein bisschen blöd zum hinschreiben Vorschläge ja es ist der Vorschlag wir können hinschreiben wie groß die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis nicht eintritt richtig wir könnten was Komplement geben wir hier aber sogar noch komplizierter als die Wahrscheinlichkeit direkt zu berechnen und noch nicht wenn ich des Ergebnisses Zufallsexperimente es festlegen will also Zeit ja noch also ich bin nicht dabei das Wahrscheinlichkeiten berechnen wir hier erst mal überlegen was das Ergebnis ist sowas Experiments und Sie haben es eilig schon richtig gesagt ich müsse noch irgendwie so hinschreiben können okay sie einen Vorschlag sie wollten die Wahrscheinlichkeit direkte Rechten und des Ergebnisses Zufallsexperiment zu schreiben das auch richtig Günter machen aber ich will eigentlich also Sie wissen ja was wir hier machen ist in Wahrscheinlichkeit Raum angeben und das war so ein paar da steht und auch Nigger untersteht und P drin und ich rechnet mit 1. überlegen was ist es auch Nigger und es aber glaube ich ganz gern hinschreiben aber gar ist gleich ob geistreich unendlich ja jetzt nur ein einziges Element das wir unendlich also habe gerade schon gesehen es gibt viele es gibt viele verschiedene mögliche Ergebnisse des Zufalls Experiments und sie haben's auch schon gerade beschrieben die möglichen Ergebnisses Zufallsexperiment durch würde dann in dem Beispiel hinschreiben hatten völliger anfangen hinschreiben Orme gar ist gleich und dann würde ich so was dazu schreiben wobei klein und aus Großanleger bedeutet das wenn es besonders mit dem Dorfe seine und im Prinzip sie hatten sein ohne sie würden ohne gar hinschreiben als ja ich fange wieder an mit einer ja ich kann sogar den ich einschreiten ich würde und mir gar nochmals kurz ich würde und werde einfach als natürliche Zahlen einsetzen und alle gar aus aber ja bedeutet das der Wurzel genau mal geworfen wird bis zu 1. 6 der genau um man oft geworfen wird bis zur 1. 6 und was ist dann als nächstes mache ich lege für jedes einzelne dieser Omegas die Wahrscheinlichkeit er ein dass genau dieses als Elementarereignis auftritt oder für jedes K aus allen ich die Wahrscheinlichkeit fest dass der wofür genau K mal geworfen wird bis zum 1. Mal bis 6 auftritt und sie hätten zwar direkt hingeschrieben der auch richtig gewesen wenn ich aber also ich nenne schreiben können ok Fragen so weit mehr dann fangen wir an ich halte es
mal ich nenne es aber gar jetzt ich halt mal K fest und bestimmen die Wahrscheinlichkeit dass der Würfel genau beim Karten Beruf zum 1. Mal mit 6 oben landet haben Sie was ich lesen oder sie können gar nicht lesen dann bräuchten wir nicht essen weil die nicht weiter wunderbar her also können selbst müssen besser lesen also eine gar gleich allen wobei und mir gar Kleinanleger aus Großanleger bedeutet dass der Würfel genau ohne mal oft geworfen wird bis zu 1. 6 und ich möchte jetzt für natürliche zeigte war die Wahrscheinlichkeit bestimmen dass der Würfel genau beim Karten Wurf zum 1. Mal wieder 6 oben landet das mache ich für jedes Paar also Machete K gleich 1 gar gleich 2 K gleich 3 gleich 4 und so weiter und bestimmt werden gemäß der Idee von gerade eben die Wahrscheinlichkeit dass der Würfel weniger oft als viermal geworfen wird bis zur 1. 6 als die Wahrscheinlichkeit dass er einmal geworfen wird es die 1. 6. die Wahrscheinlichkeit dass wir genau zweimal geworfen wird ist der 1. 6 und so weiter bis die Wahrscheinlichkeit dass sie genau dreimal geworfen und bis zu 1. 6 Rechnung die Frage war ob es kleinkariert sie dem Kleinanleger entspricht ja was ich habe sie noch mit klein obiger bezeichnet weil ich will die ganze Menge jemals Großanleger bezeichnet aber hier das so mega Becken und so schreibe ich einfach nur K für und die Wahrscheinlichkeit im Klartext an oder als ist ich beschreibe das Ereignis im Klartext zu muss ich sagen ich mache das nicht wieder aus den sehen Sie die Tafel die Koalition besser mehr ja okay ich möchte jetzt für natürliche Zahl K die Wahrscheinlichkeit bestimmen dass wenn ich einen Würfel über wieder Woche dass er genau beim Karten mal zum 1. Mal wieder 6 oben landet ich mache das so dass ich davon ausgehe ich werfe den nur genau K mal und ich überlege mir wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit das genau beim letzten Male 6 auftaucht und bei den 1. K 1 1 x keineswegs also sie werfen wollte kam mal ich möchte wissen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim letzten Mal tauchte 6 auf bei den 1. Mal 2. Mal und so weiter bis Carmen das 1. Mal taucht keineswegs auf das mache ich jetzt wieder mit den Umweg über die Latte laschen Wahrscheinlichkeit und wir die wir schon haben dieses möglich überfiel Ergebniss das kam einige werfen des Wortes alle diese Ergebnisse passe ich in meiner Grundmenge eines lassen wahrscheinlich Heizraum aufs bei jeder einzelne Kombination dieser Woche Zahlen von 1 bis 6 kann mal hintereinander geschrieben tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf die Wahrscheinlichkeit ist 1 durch die Anzahl der Möglichkeiten das heißt ich müssen überlegen wenn ich einen echten wofür K mal hintereinander werfe wie viele verschiedene Ergebnisse können auskommen 1. Schritt ja sie werfen an echten Würfel K mal hintereinander zu können ich habe hier mal Sequenz geschrieben bei diese Sequenz Ablauf Folge von Kabel offen für dann den 1. Wochen haben sie 6 Möglichkeiten 4. 2. 6 Wochen Möglichkeiten und so weiter bis zum letzten an sie auch 6 Möglichkeiten dessen 6 Hochkar viele verschiedene Ecke der Ergebnisse auftreten okay so weit wer wieder Kombinatorik zieht aus einer Grundmenge vom Umfang 6 K Elemente mit zurücklegen mit Beachtung in der Reihenfolge 6 ok Möglichkeiten jetzt überlegen wir uns bei wie viele von diesen 6 Hochkar Sequenzen landet der Würfel beim letzten Mal zum 1. Mal wieder 6 oben und bei dem anderen mal nicht das heißt soll dabei der letzte Woche eine 6. geben und alle anderen nicht so gibt es davon ja das jetzt meine Frage an Sie wie viele verschiedene Ergebnisse können dann auftreten überlegen Sie mal diese Möglichkeiten haben Sie das Ergebnis beim 1. Würfel hier hatten 6 bin aber jetzt beim letzten Mal zum erstenmale 6 oben sein soll wie für Möglichkeiten haben Sie dann den 1. 5 wir können ja erst mal nur die Zahlen von 1 bis 5 auftreten genauso beim zweiten Mal können die Zahlen von 1 bis 5 auftreten genauso beim dritten Mal 4. Mal und so weiter bis zum letzten Mal diese Möglichkeiten haben sie beim letzten Mal eine das heißt sie haben insgesamt 5 mal 5 mal und so weiter X 5 und dann mal eine das geht kann 5 Hochkar minus 1 viele verschiedenen Möglichkeiten okay wir haben 1. Wochenende 5 Möglichkeiten nämlich Zahlen 1 bis 5 4. 2. aber 5 Möglichkeiten den dritten aber 5 Möglichkeiten und so weiter bis zum vorletzten und beim letzten musste 6 stehen wir haben nur eine Möglichkeit und es ganz aus würde und dann können Sie jede dieser Möglichkeiten mit jeder anderen kommen kombinieren deswegen multiplizieren Sie hier kommen sie auf 5 hochkamen das reizt ja jetzt haben wir die Anzahl der Möglichkeiten insgesamt in der lassen Wahrscheinlichkeit haben wir haben die Anzahl der günstigen Fälle das war die 5 Vokale minus 1 wo das Wasser uns einig interessiert eintritt wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit von dem was uns interessiert wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das der Würfel beim Karten Wurf zum 1. Mal wieder 6 oben landet die Wahrscheinlichkeit sagen Sie es ein Sechstel wie kommen Sie auf ein 6. weil wenn sie beim 1. Woche 6 haben wollen ja aber ich frage nicht nach der Wahrscheinlichkeit dass sie beim ersten Wurf 6 oben Landes richtig ist ein Sechstel sogar gleich 1 ist ein 6. aber für Tag gleich 2 frage ich nach der Wahrscheinlichkeit dass sie beim 1. Wurf keine 6 bekommen bei der zweiten Wurf 1 6 bisher 5 6. x 1 6. sagen sie wir könnten noch 5 6. war 36. sagen stattdessen zurück nicht ausreicht und sie haben mit Patrick aus der Schule wird die implizit eine gewisse Unabhängigkeit voraussetzt was wir noch nicht eingeführt haben es wird möchte es gerade so nicht machen also werden noch Ergebnisse K gleich 2 aber ich will ja hier das allgemeine Ergebnis haben 5 ok wie das eines der 6 sogar das heißt wäre in dem die Formel vom Blatt lauschen Wahrscheinlichkeit Raum die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle Anzahl günstigen Fälle bis 5 ok minus 1 1 ermöglicht Gefälle ist 6 ok war sicherlich über zugeschrieben dabei K maligen werfen einzelne Sequenzen Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1 bis 6 ok Auftritt das heißt wir können abwaschen Wahrscheinlichkeit Raum zugrunde legen gilt für die auf dieser Formel gesuchte Wahrscheinlichkeit wie von KS 5 ok minus 1 durch 6 okay der Fernbedie- die Wahrscheinlichkeit bestimmt das wäre der Würfel oder dass die Anzahl der Wirbel genau K ist bis bisher zum mehr 1. Mal eine 6 haben was
uns aber interessiert ist die Anzahl der die Wahrscheinlichkeit dass die Anzahl der Würfe kleiner als ist das heißt wir suchen eilig P von der Menge bestehend aus oder von dem Ereignis bestehend aus der 1 2 oder 3 die Bereichen jetzt diese Wahrscheinlichkeit in dem sie das einsetzen Jahren die setzen sie ein sie setzen die eigens für das K 1 die 2. war ein die 3 für das K 1 und addieren dann genau sie gucken sich die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignis an also P von 1 P von 2 die von 3 und addieren Sie das unter trägt weil die Wahrscheinlichkeit dass eines dieser Ergebnisse auftaucht ist die Summe der einst Wahrscheinlichkeiten da setzen wir jetzt ein das geht dann für K gleich 1 gibt es 5 hoch 1 wie das Einsatzes 5 hoch 0 durchs 6 zu 1 für Karl gleich 2 5 5 2 1 1 also 5 hoch 1 durch 6 Buch 2 und entsprechend für K gleich 3 5 hoch 2. 6 Suche 3 können Sie ausrechnen kommen Sie auf ein 90 durch 216 ja wir einige Tests noch
mal zu laut laschen Wahrscheinlichkeit wenn ist mal durch war es mal selber besprechen in 5 Minuten ja okay Vorschläge zur Lösung also was ist der knapp lasche Wahrscheinlichkeit vor mir und das ist ne bestimmte des Ergebnisses sie haben den Wahrscheinlichkeit Raum mit 37 angegeben weil es 7 30 verschiedene Ergebnisse die gibt der gewichen bei der zweiten aussage recht es gibt 7 30 verschiedene Ergebnisse aber die Grundmenge muss die möglichen Ergebnisse enthalten das heißt die muss dann genau 7 30 viele Ergebnisse enthalten also Grundmenge enthalte alle möglichen Ergebnisse dass die Menge aller möglichen Ergebnisse diese geben als 1 bis 7 30 an kann man machen aber es sinnvoller wenn auch nur bis 36 das richtig wir geben 0 bis 36 als Grundmenge an und gab damit haben wir unseren abwaschen Wahrscheinlichkeit eine schon festgelegt bei P von A ist jetzt Anzahl Elemente in durch einen sein in dem man den um also Anzahl in den den aber durch 7 30 das heißt wir machen da der laschen
Wahrscheinlichkeit Raum ohne Gabbeh mit um egal gleich 0 1 bis 7 30 B von A ist gleich gerade von durch 7 30 das ist weiß ich habe nur 6 in dem es nur 36 den ja ich merke wohl klar ich gebe es zu ich schreibe an die Tafel wo es nicht sehen können Fromme galt 0 1 36 sorry okay und jetzt interessiert und dass er Ereignis das eine gerade rote Zahl Auftritt das heißt wir müssen überlegen wie sie die die Menge der
Teilmengen aus die aus den Graden roten Zahlen besteht welche sind das mehr sie lesen Sie ab 12 also sind alle roten Zahlen alle geraden davon 12 14 16 18 sind 4 Stück 30 32 34 36 sind auch Nummer 4 Stück das heißt wir haben 8 Stücke wie
groß ist dann die Wahrscheinlichkeit also wie groß die gesuchte Wahrscheinlichkeit 8 7 30. genau noch einsetzen 18 30. und das war's okay und was sie eben machen müssen wenn sie nachlassen Wahrscheinlichkeit auch angeben müssen sie müssen einerseits die Grundmenge hinschreiben eigentlich richtig also soll dann wirklich nur bis 36 geben und sie müssen auch diese Formel angeben und dann müssen sie eben entweder durch absehen oder sonstige Überlegungen also sonst Überlegungen diese Menge Bestimmungen die zu der Wahrscheinlichkeit die die zu dem Ereignis gehört dessen Wahrscheinlichkeit sie suchen und müssen ihre Elemente abzählen und das war's okay Fragen zur wollt warum immer das Ereignis B oder nicht aber sie könnten noch schreiben wenn an das Ereignis ist aber in hier nochmal einsetzen wer genau so richtig durch alle da oben schon geschrieben dann wollt nicht ja sie meine deswegen weil ich da oben schon mal geschrieben hatte ich wollte sie eigentlich für alle allgemeinen schreiben und dann sagen jetzt hat sich ein spezielles ein aber ist egal also sehr genau so richtig wenn Sie schreiben oder C oder D okay sonst nachfragen warum 36 statt 37 ja die
noch mal zurück es sind 7 30 gleich große Fächer die sind mit den Zahlen 0 bis 36 durchnummeriert und ich nehme als Ergebnis des Zufallsexperiment die Zahl des Fahrers in der Liste der die Kugel landet ich kann natürlich auch genauso gut 1 plus die Zahl oder 2. die Zahl 1 plus die Zahl der ich auf die 1 bis 7 3 Ziele kommen aber ich hätte müssen Schwierigkeiten denn die geraden roten 7. in so schreibe über das 1 rechnen Gewehr durcheinander alles bietet sich an die 0 bis 36 10 nachfragen sie wollen alle
sehr gerne sehen okay also ohne gar der gleich 0 bis 36 P von aber das dar und B der diese Menge die können 77 aus der vorigen Folie rekonstruieren und liefern von die wäre das einfach eingesetzt in die allgemeine Formel ok noch Fragen gut dann soll ich mit der Vorlesung weitermachen wir waren hier gerade bei
den diskreten Wahrscheinlichkeit zu räumen
und was ich jetzt machen möchte ist ich möchte das Ganze noch mal ein bisschen allgemeiner formulieren also im folgenden formulieren wir den zugrunde Wahrscheinlichkeit Raum allgemein losgelöst von den gerade eben betrachteten Beispielen um die Notation zu vereinfachen nämlich dabei an das Bein Zufallsexperiment als Ergebnis einer der Zahlen 0 1 2 3 und so weiter vorkommt das heißt ich habe nur das Ergebnis sich haben 1. geben sich haben 2. Ergebnis haben wir das Ergebnis ich habe auf alle Fälle unendlich viele Ergebnisse wäre das kann ich aber korrigieren indem ich sage manche davon reden essen wir nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auf was ich kann sagen es gibt eigentlich mehr Ergebnisse als überhaupt vorkommen können aber die die mehr sind die treten die auf weil sie oder die reden nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auf wenn das so kalt ist mein Modell mehr kann man oder lieber mit einer einzigen Grundmenge hinschreiben nämlich der Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der 0 und wenn sie beliebiges anderes Grundmenge haben Annemarie und Sie geben die der Reihe nach durch das 1. Demenz bekommen die 0 das zweite Element bekommen die 1 das 3. Allmend wurde bekommt das bezeichnen die 2 und so weiter und so bald aufatmen alle wenden geben Sie einen weiteren zahlen die Wahrscheinlichkeiten okay
dann da wenn ich mir eine Folge E N N aus N 0 reeller Zahlen mit 2 Eigenschaften 1. diese Zahlen sind größer gleich 0 und 2. sie summieren insgesamt zu 1 auf eine solche Folge dass in seinem eine Folge von widerlich nach als Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Elementarereignissen einsetzen das sei eine sogenannte Zelldichte also hier einfach nur neue Bezeichnung dass man nicht billigte und um dann einen diskreten Wahrscheinlichkeit zu haben zu definieren wäre ich als Grundmenge um gar gleich in 0 ich will eine C Gewichte PIN also eine Folge von Zahlen die Eigenschaft diesen größer gleich 0 sie summieren zu 1 auf und ich setzte dann Wahrscheinlichkeit von einer Teilmenge von N 0 also von einer Teilmenge A von N 0 als Summe aller derjenigen PKS an wo das KNA drin liegt und das ist mein ja weil wir hier hierbei gibt legal die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Elementarereignis ist K an und das ist mein Modell was ich er für die Zufallsexperimente verwende wo nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Ergebnisse vorkommen können das heißt ich will da immer oder gar gleich in 0 10 meine Ergebnisse entsprechen durch legt dann Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse mit den diese Elementarereignis auftreten und setzte die Wahrscheinlichkeit von einer Menge an so wieder was gerade eben gemacht haben als Summe aller K in dieser Menge von diesem PKS ob wir das auf den Mieter ist das Beispiel beitragen können ich über Draht auf das Beispiel von gerade eben mit dem Beruf gleich noch kommt gleich noch eine Bezeichnung dafür in diesem Fall bezeichnen wir dieses ohne Gabbeh als diskreten Wahrscheinlichkeit Raum und SPD selber als diskretes Wahrscheinlichkeit Maß also wieder nur neue Bezeichnungen steckt eigentlich nicht viel dahinter ich für sie jetzt noch mal ein Beispiel von gerade eben vor Beispiel von gerade eben war ein echter Worte wird solange geworfen dieser zum 1. Mal wieder 6 umwandelt ich will
jetzt auch gar gleich 0 ich setze P 0 1 0 1 1 nicht vorkommen weil wir der mindestens einmal geworfen setze sich auf 0 und ich bestimme die PIN dann genauso wie vorhin durch 5 auch einiges eines Rechtecks auch in also die Wahrscheinlichkeit also genau einmal geworfen wird diese zum 1. Mal wieder 6 oben landet sage ich ist 5 1 minus 1 durch 6 Wochen und dann behaupte ich was ich je gemacht habe ergibt eine zähe dichte das was ich habe eben eingeführt habe als die Dichte C ich werde nochmal zurück waren das müssen zahlen
größer gleich 0 sein und die müssen zu 1 addieren in ist oder ist sofort klar diese
Zahlen sind alle größer gleich der außer gleich 0 ist nicht ganz klar dass es zu 1 agierende aber das könnten Sie auch schon wissen was man aber nicht an mehr wir gucken uns die Zahlen an was sind das wir bilden ja fangen an wenn wir die Summe bilden bei Lesungen ja n aus N 0 der PIN das ist gleich in den P 0 das die 0 dann addieren wir dazu die 1 bis wir die 5 vor 0 durch 6 Uhr 1 Werner Dierig P 2 des werde 5 hoch 1 durch 6 sucht 2 und so weiter 5 hoch durch 6 2 4 1 5 5 2 durch Sexsucht 3 5 hoch 3 durch 6 Uhr 4 und so weiter diese Summe möchte ich ausrechnen ich rechne diese Summe aus in dem ich die 0 vor kann ich weglassen ich klar dann ein 6. aus beim 1. Jahren bleibt dann noch 5 um 0 durch 6 0 also five sixths Google übrig beim 2. Herren bleibt 5 Form eines durch 6 so 1 übrig ist es 5 6. um 1 beim 3. Herren 5 Badral durch 6 dem 6. Quadrat würden Sie am 5 Uhr 5 6 Luke 3 danke die ein 6 auf stehen und jetzt die Frage was es denn die übrig bleibende Summe in der Klammer und die hat den glaube ich Frau Küpper mal erklärt wenn sich zu erinnern Sie nehmen solle sie an der Zahl Kulisse hier five sixths sie bilden Couch 0 Pluskom 1 bis gut 2 bis hoch 3 und so weiter sie erinnern sich ja es kann sein Vorbild war das nur gemacht hat eigentlich vielen aufgehört nicht selig auf unendlich viele weiter aber das ist nur logische Folgerung daraus ist da ist eine sogenannte geometrische Reihe was sie darstellt da gibt es mir vor mir dafür die Formel ist wenn es in der Google Plus Q 1 bis Q 2 ist und so weiter das Q musste Zahl seien er zwischen minus 1 und 1 wobei die minus 1 1 1 nicht vorkommen darf dann ist der Grenzwert alles den sich was bei insgesamt auskommt ist 1 durch ein Smith Q also 1 durch 1 minus 5 6. ja dann sehen Sie dann steht hier ein 6. Mal 1 durch und 1 1 five sixths geht auch ein Sechstel da steht der insgesamt 1 dar und das gleiche kommt auch hier nochmal auf Folie das heißt ich kann es nicht wieder ausmachen okay also das eine ich komme gleich zu Ihnen das eine Nebenbemerkung das Ganze ist in der Tat nicht sehr lichte die Zahlen sind größer gleich ab dem 0 agieren zu 1 auf wenn Sie es nicht also sollten sie einfach nur glauben wenn Sie es sich sofort sehen macht nichts ok sie hat meine Frage warum noch mal hier hoch 001 noch 2 hoch 3 ich mache vorne ist das gleiche ich habe ein Sechstel ausgeklammert und dann habe ich 5 hoch 0 durch 6 und 0 beim 1. Mal und 5 Uhr 0 durch 6 Wochen 0 S 5 6 will dann klammere ich hier aus one sixth habe ich 5 Uhr 1 durch 6 noch eines bleibt nur übrig dass es 5 6. hoch 1 und so weiter also klammere ich hier aus 5 6 2 okay okay es wäre die Frage wie wir das bei den Militär ist bei den Militärs hatten wir nachlassen Wahrscheinlichkeit Raum den ablassen Wahrscheinlichkeit Raum können wir als Spezialfall davon nehmen wenn wir wieder um egal gleich in 0 setzen wir an die Elemente von dem ablauschen Wahrscheinlichkeit vielleicht von 1 bis groß N durch groß entfiele dann setzen wir die Wahrscheinlichkeit von P 0 gleich 0 die Wahrscheinlichkeit B 1 B 2 B 3 wieso so ist P groß setzen die auch 1 durch in jeweils und alle anderen setzen wir wieder auf 0 also bei Nachlassen Wahrscheinlichkeit Traum wäre nur endlich viele dieser PIN ungleich 0 und zwar alle gleich groß und alle anderen werden aber den Wahrscheinlichkeit Raumwunder so ein nicht beschreiben den beschreiben wir besser direkt weiter als Laufmaschen Wahrscheinlichkeit Frauen das ging es für Sachen wo eben gerade keine gleich wird also wo eben nicht mehr alle Elementarereignissen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten ok ich mach noch mal ganz kurz weiter dann frage ich noch mal nachfragen wir haben berechnet oben das Bild von 1 2 3 das war ich das P von der einst das P von der 2. von der 3 das entspricht genau dem P 1 bis in die 2. dem B 3 S ist P von Summe aus K N 1 2 3 PK also genau die Formel von den diskreten Wahrscheinlichkeit zu kommen haben Sie so weit Fragen ab dann mal was haben Sie gemacht Ich gehe mal kurz zurück
ich habe jetzt ein Wahrscheinlichkeit Raum eingeführt Grundmenge ist 0 ja bestimmt war durch diese zähe dichte durch diese Wahrscheinlichkeiten mit der die einzelnen Zahlen auftreten und ich sage dann die Wahrscheinlichkeit von einer Menge ist die Summe der Wahrscheinlichkeit der Zahlen in dieser Menge und was ich jetzt habe ich haben sieht ein Modell zur Beschreibung vom von zufälligen R von zu weit Experimenten wo ich eben noch die Freiheit habe dieses PIN zu wählen so wie es mir passt wir spielen kann ich jetzt so anpassen dass es denn tatsächlich auf Auftreten Wahrscheinlichkeiten in der Realität entspricht das heißt wir haben hier noch ziemlich viel freier als Möglichkeit nämlich die Wahl von den PIN und die können wir jeweils unserm und zwar real Situation denn realem Zufallsexperiment was wir modulieren wollen anpassen und dazu stehe ich Ihnen jetzt 2 Formen vor wie man das zum Beispiel machen kann wer ohne sehr groß vorne weg zu motivieren oder zu erläutern die 1. der beiden Formen machen wir dann zu Beginn der nächsten Vorlesestunde Marchin' Anwendungsbeispiel dazu da werden Sie sehen wo die herkommt wir das aber ein reales Anwendungsbeispiel wird wird ein bisschen schwieriger aber was trotzdem ganz nett weil machen halt mal was wirklich was zur Realität passt das ein nicht ganz nett die zweite Formel ist Approximation der 1. Formel das ist was was ich in nicht großer Leute möchte ich gebe sie nur der Vollständigkeit halber an
ok fragen an 1. Möglichkeit diese Zelldichte zu wählen oder eine ganz bekannte Möglichkeit ist die sogenannte Binomialverteilung wir haben ja den ist natürliche Zahl PS eine Zahl zwischen 0 und 1 wir definieren uns dann diese PKS so dass wir setzen wenn K zwischen Nullen in liegt dann setzen wir BKA als n über k mal P Hochkar x 1 minus P o 1 k und 0 sonst n über k ist dabei der sogenannte Binomialkoeffizienten das heißt n über k ist n x n minus 1 x und so weiter mal in Minus K plus 1 durch Karmarkar minus 1 und so weiter bis 1 und das zu dieser zählt ich möchte nicht begründen das sehr wichtig ist wäre das zu dieser Zelldichte gehörende diskrete Wahrscheinlichkeit Maß heißt Binomialverteilung deshalb 2 Zeitparameter einerseits N Anzahl der Freiheitsgrade P ist nur Wahrscheinlichkeiten Zahl zwischen 1 okay ist also eine übliche oder eine mögliche Wahl die heutigen Anwendung Auftritt für dieses für diese Zelldichte wären Beispiele wo als sie sehen die Wahrscheinlichkeiten sind ja nur wenn K größer als n sind also defakto treten er nicht nur die Werte zwischen 0 und n auf alle anderen Werte treten nicht auf aber sie treten eben nicht alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf sollen gemäß dieser ich glaube ich wollte noch was zu Jahr Einsatz in der Modellierung kommt nächste Vorlesung Beginn der nächsten Vorlesung 1. 11. Nachrichten Beispiel wo sie sehen wie man in der realen Welt auf so eine Formel kommt verstehen müssen Sie momentan ein ich gar nichts dran wir sollten nur mal gesehen habe ja ich meine also die sollten der Lage sein dieses PK zu berechnen wenn ich Ihnen das Bild vor des Bundes in vorgeben das gebe sollen sie hinkriegen können und die Formel müssen Sie auch nicht auswendig wissen aber gut da möchte ich jetzt nicht ganz auf festlegen haben zu überleben und am Schluss nochmal zur Klausur ob sie die Zelldichte der Binomialverteilung ist ein auswendig wissen aber ich glaube einig nicht normalerweise verlange ich keine wir werden später dann weitere Sachen damit berechnen werden zum Beispiel berechnen wie groß ist der Wert der Mittel rauskommt der Binomialverteilung vorliegt also wie groß ist das Ergebnis ist so weit Experiment das im Mittel wenn Sie immer wieder Ergebnisse produzieren und die und dann den Durchschnittswert davon betrachten und das endlich machen was kommt dann was können dann aus okay also Fragen dazu aber ich kann sie gar keine Fragen haben weil sie nicht kapieren müssen nachdem wir eine sehr schöne Formel haben kommt die nächste schöne
Formen das ist die so genannte da sie so genannte Pastor Verteilung wir haben wir die Zahl die hängt vom Para- Meter ab bist mit Wallander oder haben Sie da fragen also hier Wasserverteilung haben Parameters mit Salander größer 0 die Zelldichte die Wahrscheinlichkeit von der Zeit habe dann berechnet als Land auch dadurch K Fakultät mal EU-Minister ändern K-Frage geht ist die sogenannte Fakultät also paar Fakultät ist Karmakar 1 x 1 2 und so weiter bis 1 also 1 Verbot jeder die 1 2 Fakultät 2 1 also 2 3 Fakultät der 3 x 2 x 1 also 6 und so weiter also auch hier gibt es eine vor für die Zelldichte und auch hier meine sie sehen nicht sofort aber in implizit ein klar die sind nicht alle gleich groß die Wahrscheinlichkeiten und weiter diese Wahrscheinlichkeiten sind diesmal alle von 0 verschieden also im Prinzip kann jede natürliche Zahl als Ergebnis vorkommen ich rechnen wieder nicht vor das ich ohne zierlich der handelt das heißt dass die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist Einsatz in der Modellierung eine Binomialverteilung mit Parametern P kann für n Gross und Pierre kleinen durch eine so Verteilung Parametern lahmender gleich inhaltlich approximiert werden auch das eine Sache die möchte ich Ihnen nicht vorrechnen also wenn wir zurück gehen so Binomialverteilung man da
n groß ist dann haben Sie es Probleme und K und somit Zahl Jahren kann ich gerade 0 1 oder so was dann haben sie es Problem es wird schwierig diesen Binomialkoeffizienten überhaupt zu berechnen oder es wird schwierig die ganze Formel die Auszeichnung numerisch wird es schwierig das
würde eben einfacher wenn es dann approximieren durch Verteilung und ich kann dir zeigen wenn es ein großes das Wehklagen und wir setzen war gleich in gehen dann nähert sich die der Wärter Zelldichte der Binomialverteilung über den werden wir der der vor so Verteilung an mündlichen fortführen möcht' ich aber auch nicht machen okay wieder der verstehen müssen Sie ein ich gar nicht an sie sonst nur mal gesehen haben und wir uns einen weiteren immer mal wieder verbinden also wir alle nach Weihnachten wir kommen diese beiden Formen immer wieder ok haben Sie Fragen so weit die vorher
141 ja auf der Trommel auf der Folie steht die Reihe n gleich 0 bis unendlich und auf der Tafel hat ich n Element in 0 geschrieben gemeint ist dasselbe bei dieser Summe hier ist die Reihenfolge der Summanden festgelegt ich fange ich an mit dem nullten erst mit dem 2. wenn ich es mit Enderle nennt er nur schreibe ist die Reihenfolge der Summanden eigentlich nicht festgelegt aber gespielt bei positiven Zahlen keine Rolle in welcher Reihenfolge sie aufaddieren wenn sie unendlich viele aufaddieren also wissen schon mal endlich wählen spielt sowieso keine Rolle in welcher Reihenfolge sie auf agieren aber und endlich ist es so zumindest wenn die Zahlen positiv sind spielt auch keine Rolle okay noch Fragen dann gebe ich
noch bevor sie alle gehen so zusammenfassen Zusammenfassung der heutigen Vorlesung Laplace Wahrscheinlichkeit Raum ist ein paar Umwege HP mit endlich Grundmenge ohne gar und P von aber gleich Karten geht von aber durch Karten als von um gar das heißt die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis aber berechnen gemäß der Formel 1 sei der für günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle der Asche Wahrscheinlichkeit Traum wird zur Modellierung von Zufallsexperiment eingesetzt bei denen jedes der endlich den möglichen Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt das heißt Sie können ein Nachlassen Wahrscheinlichkeit Raum nur schreiben wenn sie 1. nur endlich viele mögliche Ergebnisse haben und wenn zweitens alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten 2. in einem diskreten Wahrscheinlichkeit Raum N 0 P mit ich PIN n aus N 0 müsse stehen Entschuldigung müssen Tippfehler von mir das heißt wir PIN sind größer gleich 0 Summe n leicht nur wissen endlich P 1 gleich 1 gilt hier von ist die die Summe aller derjenigen PKS Vokalen a liegt das heißt hier ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aber gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten Pekar aller in enthaltenen aller Elementarereignis Vikar okay dann wär ich für heute fertig
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