Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten

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Formal Metadata

Title
Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten
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8
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14
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CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung Statistik I für Human- und Sozialwissenschaftler gehört zum Pflichtprogramm des ersten Semesters in den Studiengängen Psychologie und Pädagogik an der TU Darmstadt. Sie stimmt inhaltlich weitgehend mit der dieses Semester vom gleichen Dozenten abgehaltenen Vorlesung Mathematik und Statistik für Biologen überein. In ihr wird eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik gegeben, wobei der Schwerpunkt auf einer leicht verständlichen Präsentation der grundlegenden Ideen in diesem Bereich liegt.
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Population density Population density Modulform Binomial distribution Inductive reasoning Inductive reasoning
Ziffer Zahl Number
Statistical hypothesis testing Statistiker Zahl Zahl Number
Position Zahl Wind wave Set (mathematics) Binomial coefficient Quotient Set (mathematics) Zahl Number
Position Zahl Number Faculty (division)
Zahl Number
Position Zahl Binomial distribution Modulform Binomial distribution Parameter (computer programming) Zahl Number
Binomial distribution Binomial distribution Zahl
Calculation Zahl Summation Set (mathematics) Number
Calculation Zahl Berechnung Berechnung Zahl Approximation Approximation Number
Zahl Film editing Berechnung Summation Zahl Approximation Estimator Number Estimator Technical failure
Calculation Zahl Binomial distribution Physical law Berechnung Integer Berechnung Formalismus <Mathematik> Zahl Approximation Estimator Number
Position Statistics Cube Number
Area Zahl INTEGRAL Real number Surface Curve Set (mathematics) Subset Number Population density Population density Natural number Interface (chemistry) Mathematician Normal distribution
Probability distribution Logical constant Area Population density Zahl Population density Gleichverteilung Linie Rectangle Number
Area Probability distribution Ziffer Zahl Scheibe INTEGRAL Surface Gradient Parameter (computer programming) Set (mathematics) Rectangle Approximation Number Diskretes Modell Population density Population density Zusammenhang <Mathematik> Interface (chemistry) Integral calculus Gleichverteilung Antiderivative Zahl Achse <Mathematik> Scale (map)
Probability distribution Population density Zahl Population density Parameter (computer programming) Maxima and minima Exponential distribution Antiderivative
Population density Process (computing) Population density Normal distribution Modulform Parameter (computer programming) Exponential distribution Parameter (computer programming)
Area Population density Population density Binomial distribution Set (mathematics) Direction (geometry) Binomial distribution Set (mathematics) Subset
ja danke schön ich habe ihn wie immer vorne weg die Lernziele der heutigen Vorlesung formuliert nach dieser Vorlesung sollten Sie 1. eine wichtige statistische Schlussweisen eine Anwendung der Binomialverteilung kennen gelernt haben das heißt eigentlich sind gleich 2 Sachen ich stelle ihn eine wichtige statistische Schlussphase vor und Sie sehen wozu man einig die Binomialverteilung braucht beides mache ich anhand eines real Anwendungsbeispiel ist also etwas aus der Realität wenn Sie da eine interessante Frage nehmen wird es per sehe eigentlich immer ein bisschen komplizierter als wird ein bisschen komplizierter werden aber dafür ist es auch mit der schönen Fragestellung meines Erachtens ist es so das mehr verstehen kann und das noch verstehen können das war der 1. Hälfte der Vorlesung sollen in der zweiten Hälfte der Vorlesung nach der sollten sie dann wissen was an Wahrscheinlichkeit auch mit Dichte ist und wie man darin Wahrscheinlichkeiten berechnet das heißt wieder 2 Sachen 1. neuer Begriff Wahrscheinlichkeit auch Gedichte und 2. wie Bereich nicht darin Wahrscheinlichkeiten und dann werde ich ihn gerade noch 3 konkrete Modelle vorstellen wobei sie einige komische Formen sehen werden aber das kennen wir schon kommt halt ab und sofort okay fangen an mit der wichtigen fürs Weise unter Anwendung der Binomialverteilung Beispiel dass ich mache
beschäftigt sich mit im Lotto da war im Dezember 2007 der höchste Temperatur aller Zeiten bis dahin und zwar 43 Millionen Euro beim Lotto 6 aus 49 sie wissen erscheint alle was dieses Wort 6 aus 49 ist bei der Maschine also 49 Kugeln drin durch beschriftet zu den Zahlen 1 bis 49 und die dreht sich so laut nach der im Laufe der Zeit verändert hat der Kugeln aus das sind die 6 Lottozahlen die gezogen wurden die angeblich zufällig aus diesen 49 Zahlen ermittelt werden und dann gibt es noch einen auf ihrem nur Schein er eine sogenannte Superzahl ist die letzte ist also eine Ziffer die draufsteht zwischen 1 er zwischen 0 und 9 also 10 Möglichkeiten dafür und wenn Sie alles richtig angekreuzt haben also alle 6 Zahlen richtig angekreuzt haben und auch die Superzahl auf ihrem Motto oder scheint stimmt gewinnen Sie diesen Check fort wenn Sie sind Jackpot nicht gewinnen oder Teile Gewinne diesen scheppert dann bleibt da drin und das nächste Mal geht noch mehr beim Check hat und gerade eben ziemlich lange keine diesen Scheck Wort geworden und hatten Sie Chance mit einem einzigen Mal 43 Millionen Euro zu gewinnen das würde natürlich zu begießen Begeisterung für das Lotto und alle dazu geführt dass die Medien dass sie darüber berichtet haben unter anderem unter dem Tenor was den vielversprechenden Zahlen beim Lotto also gibt es einzelne zahlen die mehr Sinn machen anzukreuzen das andere was Sie da zum Beispiel dann stelle ich mir damals lesen konnten waren was waren die häufigsten zahlen die in den 4 Tausend 599 Ziehungen des Blattes gezogen wurden Beispiel der 1. Ziehung im Oktober 19 Uhr 10 50 und im Dezember 2007 und es ist klar wenn da jede zahlen Sie jede Woche ziehen die 6 Zahlen und sie machen das 4 Tausend 599 mal da wird am Schluss nicht jede einzelne Zahl gleich oft vorkommen und dann trat zum Beispiel die 38 6. 14 mal vor und ab 38 kam nur 14 mal vor alles war häufiger als jeder andere Zahlen an zweiter Stelle stand die 26 die würde 606 x gezogen an dritter Stelle stand die 25 die wurde 6. 600 x gezogen dann ging es weiter bergab zum Vergleich habe ich mir mal aufgeschrieben okay wenn sich überlegen es gab 4 Tausend 599 Ziehungen jedes Mal wurden 6 Zahlen gezogen das heißt insgesamt wurden 4 Tausend 599 X 6 Tagen gezogen wenn die sich gleichmäßig verteilen auf die Zahlen 1 bis 49 dann erwarten sie dass jede dieser Zahl 563 mal ungefähr vorkommt und jetzt sehen Sie die 614 es irgendwie deutlich höher als die 563 man kann sich fragen woran liegt das und eine mögliche Erklärung wäre die Maschine ist kaputt Ansicht zieht nicht richtig da sind einzelne Kugel vielleicht ein bisschen schwerer als andere oder leichter als andere deswegen komme einzelne Kugeln öfters wollt andere und wenn das so wäre dann wohl es natürlich Sinn machen diese Zahlen vor allen anzukreuzen werden diese Kugel jetzt vielleicht schwerer oder leichter sind wo die Maschine hat sonst wurden gedeckt dann kommen wir auch in Zukunft häufiger vor das heißt was ich am folgenden im also die Frage um die es jetzt geht es ist es sinnvoll speziell auf solche Zahlen zu tippen und
dazu wollen wir im Folgenden entscheiden ob diese Zahlen bei der Maschine die Lottozahlen erzeugt vermutlich besonders heutigen der Zukunft auftreten werden also ich übersetze dieses ist es sinnvoll
speziell auf solche Zahlen sind eben zunächst einmal
in die andere Frage wir werden diese Zahlen in der Zukunft eben es besonders häufig auftreten allen sich nun der Vergangenheit häufig aufgetreten und auch in den sie auch eine Zukunft häufig auftreten und es ist deshalb sinnvoll da aufzutreten und dazu möchte ich Ihnen eine grundlegende statistische Idee zur Entscheidung dieser Frage vorstellt das Vorgehen in 3 Schritten also Idee Statistikers zur
Entscheidung dieser Frage im 1. Schritt gehen wir hypothetisch davon aus dass die Zahlen rein zufällig gezogen werden das heißt dass jede der endlich vielen möglichen Zahlenkombinationen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt das heißt wir gehen hypothetisch davon aus das gerade diese Zahlen die wir in der Vergangenheit besonders häufig Ober- und haben eben nicht in der Zukunft auch besonders häufig auftreten werden sollen das ist reiner Zufall war unter der Annahme wir rechnen wir dann die Wahrscheinlichkeit dass bei 4 Tausend 599 Ziehungen die in der Vergangenheit ja stattgefunden haben ein Resultat auftritt tritt das mindestens so stark gegen die obige Hypothese also die Einnahmen 1. das rein zufällig ziehen der Zahlen spricht wie das beobachtete und hat und bei den beobachten lassen tat wurde er zum Beispiel die 38 614 mal gezogen das heißt ich versuche dann die Wahrscheinlichkeit zu berechnen und das werden jetzt dann konkret machen das bei 4 Tausend 599 Ziehungen die 38 mindestens 600 14 Mal vorkommt unter der Annahme dass die Zahlen der rein zufällig gezogen werden das heißt es die Maschine nicht kaputt ist kriegen wir Wahrscheinlichkeit aus eine Zahl zwischen 0 und 1 und am Schluss entscheiden wir uns in Abhängigkeit von der Zahl und zwar falls diese Wahrscheinlichkeit der oben rauskommt klein ist und historischen oder meistens so schreiben die 5 Prozent an also falls das nun 5 Prozent der Fälle oder höchstens 5 Prozent der Fälle vorkommt zu verwerfen werde über diese oben dann gehen wir davon aus dass die Zahl nicht rein zufällig gezogen werden ansonsten verwerfen würde Hypothese nicht also wenn sich angucken sowie diesen komplizierten weil ich möchte ein entscheiden die vom Gegenteil auszurechen Omas aus und ich habe mich dann doch wieder das Gegenteil dessen wäre also wissen indirekte also ich dir vom Gegenteil von dem was ich eine wissen will ausrechnen was aus und dann je nachdem ich doch immer vom Gegenteil aus das zweite was auffällt wenn Sie mal das 3. angucken auch wenn diese Wahrscheinlichkeit klein ist zum Beispiel 5 Prozent also wenn wir an die Wahrscheinlichkeit ist genau 4 Prozent dann sollte es ja doch in 4 Prozent der Fällen einig auftreten wenn man es immer wieder machen das heißt in 4 Prozent der Fälle werden die hier ein Fehler machen also werden ich fälschlicherweise Hypothese wurde also auch das steckt war das habe ich Ihnen ganz am Anfang war erzählt wenn wir eben Daten haben die unter dem Einfluss des Zufalls entstanden sind aufgrund dieser Daten irgendwelche Rückschlüsse sie wollen werden sich viele nicht ganz vermeiden lassen also aber viele sind im sind eingebaut aber eben nur mit der kleinen Wahrscheinlichkeit wenn die Hypothese richtig ist ok haben Sie Fragen so weit fragen also vielleicht Versuch ist noch mal mit anderen Worten zu wiederholen wir haben Daten und wollen aufgrund dieser Daten und eine Schlussfolgerung machen und was ich dazu mache ich passe Modelle an die Daten an und eigentlich wissen ob so dieses Modell zutreffend ist nämlich das rein zufällig ziehen oder nicht rein ob es nicht zufällig ist und dazu die ich hypothetisch davon aus dass Modell ist zulässig berechnen überschattet die Wahrscheinlichkeit dass das was ich tatsächlich beobachtet habe auftreten wurde in dem Modell und wenn diese Wahrscheinlichkeit klein ist beim verwerflich das Modell man sagt Modell ist doch nicht zulässig oder mit der ist auch nicht sinnvoll das die für 2 sicher und dass die Grundidee beim so sogenannten statistischen Test was eigentlich nicht machen okay was wir jetzt brauchen ist wir müssen diese Wahrscheinlichkeit berechnen dass bei 4 Tausend 599 die Ziehungen die Zahl 38 mindestens 6 nur 14 Mal gezogen wird und Sie können sich vorstellen sie haben 17 6 Lottozahlen aus 49 rein zufällig immer wieder und zwar unbeeinflusst voneinander machen das 4 Tausend 599 mal und ich möchte wissen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Zahl 38 mindestens 6 14 Mal der gezogen wird also nicht nur genau 614 mal Aderwände 6 15 Mal gezogen wurde comma ist ja noch viel mehr gegen die Hypothese oder 6. 16 X 6 17 Mal so ich deswegen rechtliche ein mindestens 6 14 Mal gezogen wird ok wir fangen einfach an ich habe diese Aufgabe die sie mal selber
machen lassen wenn betrachten nur eine einzige wer das Junge von 6 Zahlen aus der Nähe 1 bis 49 wobei die 6 Zahlen rein zufällig aus der Menge der der Zahlen 1 bis 49 gezogen werden und ich möchte wissen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass dann die Zahl 38 vorkommt also wie groß die Wahrscheinlichkeit dass meine Eile bei einer einzigen Lottoziehung die Zahl 38 vorkommt ich habe den Hinweis darauf geschrieben in dem das Ziel ohne zurücklegen weil beim Leute werden ja nicht zweimal die gleichen Zahlen gezogen wird das an den ich 5 5 3 3 oder so sonst mehr Leute verschiedene Zahlen und ohne Beachtung der Reihenfolge war bei den Lottozahlen konnte ich auf die Reihenfolge an und dann sollen sie die Wahrscheinlichkeit berechnen mit der Formel Anzahl der möglichen Anzahl der günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle das heißt sie müssen sich der Beirat überlegen wie groß ist die Anzahl der günstigen oder erst Anzahl der möglichen Fälle und dann wie groß ist die Anzahl der günstigen hier bin als ein bisschen Zeit und dann besprechen das Riesenrad okay machen wir so weit weiter was schlagen Sie vor Was ist die Anzahl der möglichen Fälle überreichten sie die der Vorschlag ist 49 über 6 wie kommen Sie auf 49 über 6 weil 6 aus 49 ziehen überwiesen wissen wir dass das 49 über 6 auskommen nein sie verwenden Portraits die und haben es war vorne außen Vortrags Übung denn sie haben Zahlen davon daraus ziehen sie K ohne zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge da haben Sie n über k viele Möglichkeiten wenn es jetzt klar machen wollen es kommt hier
noch nochmal sei er sich aber sie können es lesen aber ich es nicht ein habe ok ja meine gar nicht nach aber eine Karte schreiben können Sie das auch lesen sei groß N die Anzahl der Möglichkeiten das waren auch 6 aus 6 Zahlen aus 49 Zahlen ohne zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen dann Geld Sie also ich betrachte hier auf der rechten Seite das Zielen mit Beachtung der Reihenfolge aber ebenfalls ohne zurücklegen von 6 Zahlen dann habe ich für die 1. Zahl 49 Möglichkeiten für die zweite 48 für die dritte 47 und so weiter die 44 insgesamt habe ich das Produkt dieser zur Anzahl als Möglichkeiten und wenn ich diese Zahlen hier also ich jede dieser Möglichkeiten die 6 Zahlen aus 49 Zahlen zu ziehen auf alle möglichen Weisen um ordne dann bekomme ich gerade alle Möglichkeiten beim Ziehen oder zurücklegen Nichtbeachtung der Reihenfolge dieses und werden kann nicht so machen dass ich die 1. Zahlen 6 Positionen schreibt die 2. 1 5 die 3. 1 4 die fortan an 3 bis 5. 1 2 und die letzte letzte steht dann fest Position schreibe das heißt dafür habe ich 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 Möglichkeiten wenn ich das für jede 1 Möglichkeit mache dann bekomme ich n x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 das sind gerade die Möglichkeiten beim Ziehen ohne zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge und damit sehen Sie diese Gleichheit und daraus folgt N ist der Quotient von den beiden es heißt 49 über 6 dabei ist über gerade Binomialkoeffizienten also n über k ist in Farbe des durch K Fakultät mehr Inline-Skater K verboten das haben Sie im Prinzip Bayern in den Vortrag Übungen ok das also die Anzahl der möglichen Fälle des brauchen noch die Anzahl der günstigen Fälle wie kommen Sie auf die da geht es auch um die Ziehungen wo die Zahl 38 vorkommt wie viele Möglichkeiten gibt es 6 Zahlen aus 49 Zahlen ohne zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge so zu ziehen dass die Zahl 38 dabei vorkommt als der Vorschlag ist sie wollen erst mal die 38 ziehen aber dafür haben sie 6 Möglichkeiten sagen sie für die Reihenfolge okay sie ziehen Wechsel eine muss die 38 sein das heißt welche das ist dafür haben sie 6 Möglichkeiten das ist richtig nur die Frage ist spielt es eine Rolle wenn das die ohne zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge machen insgesamt da machen wir es ohne Beachtung der Reihenfolge damals ohne Beachtung der Reihenfolge haben können wir alle nicht ohne Einschränkung davon ausgehen dass sie die 38 ganze und Anfang gezogen haben Wir machen's ohne Beachtung der Reihenfolge ist es ja ganz egal wann die 38 vorkommt also können wir sagen die achtunddreißigste 1. Zahl haben sie für die 38 nur eine Möglichkeit jetzt muss die Frage wie viele Möglichkeiten haben sie für die weiteren 5 zahlen müsste 48 Uhr 5 vor allem weil die Welle 5 Zahlen jetzt nur noch nicht mehr aus 49 den Sonnenroß 48 tanzen ok selber dabei aber einmal die
38 auftreten so ist eine der Zahlen fest und die übrigen 5 Gründer aus 48 verschiedenen ausgewählt werden dass dabei 48 über 5 verschiedene Möglichkeiten auftreten und dann sehen Sie die Wahrscheinlichkeit die wir brauchen ist jetzt die Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch die Anzahl der möglichen Fälle das heißt die 48 über 5 durch die 49 über 6 können Sie einer setzen gibt 48 Fakultät durch Filmfakultät x 48 Fakultät geteilt durch 49 Fakultät durch 6 Fakultäten waren 43 minus 6 und dann können sie anfangen zu kotzen wenn sich alle Kosten dieses 48 minus 5 bis 43 genauso wie das 49 minus 6 das heißt diese Fakultät hier und zweimal Männer putzt sich mehr dann bleibt 48 wahre digital durch 49 Fakultät übrig ob von den beiden es geht ein 49. und 1 durch fünffache digital durch 1 durch 6 Fakultät ist 6 Fakultät getadelt Filmfakultät es gibt 6 das heißt insgesamt kommen sie auf die Wahrscheinlichkeit 6 49. die Wahrscheinlichkeit das bei einer einzigen Ziehung die Zahl 30 auftritt 6 49. klingt irgendwie so als könnte man sich mit einem Schlag erklären weil sie ja 6 Zahlen aus 49 dienen aber ich würde nicht sehen wie sie die Formel ohne diesen ganzen Umweg sehen ok an Sie Fragen so weit es war der 6. einziehen dass ich hier ziehen
erwächst daraus für die 1. 149 Möglichkeiten für die zweite 48 Möglichkeiten und so weiter und es in insgesamt 6 Stücke die 1. 2 3 4 5 6 und hier auf mich Text Zahlen um und Anordnung mehr für die 1. habe ich 6 für die 2. habe ich 5 und so weiter für die letzten noch eine mögliche Position okay noch Fragen
okay das war jetzt die Wahrscheinlichkeit dass die 38 bei einer einzigen Ziehung auftritt und interessierte eigentlich was anderes eigentlich interessiert uns das denn oder andere befragen nach Ausschalten gut danke für den Hinweis so besser ok alte zwar jetzt die Wahrscheinlichkeit dass die 38 bei einer einzigen Ziehung vor uns interessiert aber eigentlich die Situation wo wir 4 Tausend 599 die Jungen machen und ich möchte wissen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die 38 mindestens 6 nur 14 Mal vorkommt und dazu Bereich nicht sukzessive die Wahrscheinlichkeiten dass die 38 6. 14 mal vorkommen wechselt 15 mal vorkommen 616 mal vorkommen das heißt allgemeinen betrachte ich jetzt eben solche Ziehungen von diesen Zahlen und möchte wissen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Zahl 38 genau Paradiso Ziehungen auftritt ich mache sind erstmal mal so dass
ich also ich ziehe nun eben mal unbeeinflusst voneinander rein zufällig 6 Zahlen aus 49 und interessiere mich zunächst einmal für die Wahrscheinlichkeit dass bei den ersten Kartierungen die 38 auftritt und bei den anschließenden N minus die 38 nicht auftritt das heißt wir haben am Anfang kommt die 38 vor und danach und so bei jeder eines sind sie nicht mehr vor das worden ist so gerade sein mit dem ich dann die allgemeine Wahrscheinlichkeit berichten das mache ich wieder durch die Formel Anzahl günstige Fälle durch Anzahl mögliche Quelle die erste Frage ist wie wir mögliche Quelle habe ich jetzt wenn ich nicht eine einzige Ziehung betrachte sondern entziehen ja überlegen Sie mal wenn Sie eine wenn Sie 2 Ziehungen statt einer einzigen betrachten diese Möglichkeiten gibt es dann für die Ergebnisse zweimal das Ganze und wohin das kommt drauf an was Ergebnis ist also bei den Ergebnis sage ich hier alles Ergebnisses festgelegt wird bei der 1. Ziehung und wer bei der 2. 7 also 2 ergeben sind nur dann gleich wenn beide Werte übereinstimmen das heißt die haben für den 1. Wert haben Sie so viel wie vorhin also 49 über 6 viele Möglichkeiten für den zweiten wird auch aber jetzt können sie es noch auf alle möglichen Arten und Weisen kombinieren also ich dann im 1. Jahr der 1. wo man mit allen möglichen Ziehung vor beim zweiten Mal ich kann das Resultat weitere hat bei der 1. Ziehung kombinieren mit allen möglichen versucht haben bei der zweiten und so weiter was würden Sie dann sagen die Möglichkeiten sind quadratisch weil sie es nicht sein denn dann multiplizieren für die 1. Ziehung haben Sie die Anzahl der Möglichkeiten für die zweite Ziehung und Sie die Anzahl der möglichen und jetzt mache ich das nicht zweimal soll ich macht es groß ändern was passiert dann diese Möglichkeiten habe ich dann doch ein das heißt die Anzahl möglicher Fälle in 49 über 6 2 N die Schweiz leicht an die Tafel ich kann so schön Stück für stückweise entwickeln 49 über 6 ob ein jetzt soll ich ihn glauben aber das Licht anmachen jetzt ist die Frage wie viel günstiger Fälle haben Sie wie viel Sie haben sie wobei den 1. Kat Ziehungen der die Zahl 38 auf um bei den weiteren nicht jetzt überlegen sich mal diese Möglichkeiten haben sie für die 1. Ziehung Polizeiwachen 30 auftreten soll hat mir von bestimmt 1 zu 49 Es war die Wahrscheinlichkeit oder 6. 49 war die Wahrscheinlichkeit es mich interessiert es aber die Anzahl der Möglichkeiten also 6 Zahlen aus 49 so zu ziehen dass die 38 vorkommt der vor bestimmt 8. wird sie über das 1. Mal das zweite Mal auch wieder das dritte Mal auch wieder und so weiter bis zum geraten war dann sehen Sie für die ersten K Ziehungen haben Sie 48 über 5 Hochgrat Möglichkeiten und für die restlichen haben Sie die entsprechende Anzahl Wochendende klar es ist die Frage weil sie hat jede Möglichkeit mit jeder kombinieren können aber will ich die Zahl 38 haben in Minus kann wie sie nicht haben es ist die Frage wie viele Möglichkeiten haben Sie oder die Vision haben Sie wo die Zahl 38 nicht vorkommen nein 40 über 648 über 5 das heißt wenn dem alle Möglichkeiten und sehen die wo die 48 vorkommt die 38 vorkommt ab und dann sehen Sie dann ist das unsere Wahrscheinlichkeit das heißt die Wahrscheinlichkeit das bei den 1. Calcium die 38 auftritt und beiden einschließen Inline-Skater die um die 38 nicht auftritt ist gerade ein Roman im Zähler Städte 48 über 5 hoch K x 49 minus 6 minus 48 sind in Klammern Engelshaar geteilt durch 49 über 6 so n das kann ich jetzt noch ein bisschen schöner umschreiben so dass es mir besser gefällt und zwar mache ich das so und das ist des 49 über 6 Suche entscheide als 49 über 6 hoch K mal 49 über 6 Innenminister und dann zahle ich die einzeln durch dann habe ich 48 über 5 ok durch 49 über 6 sogar mal 49 über 6 minus
48 über 5 so einiges klar durch 49 über 6 um einiges klar sie können nicht viel schöner aus aber was ich jetzt machen kann ich kann jetzt umklammern ich kann das daraus ziehen dann habe ich 48 über 5 geteilt durch 9 49 über 6 Hochkar es 48 über 5 gezeitigt 49 über 6 war gerade unser P ich kann auch das noch Ende das kam auch aus den dann kann ich das hier durch teilen steht hier ein Star minus 48 über 5 durch 9 wird sagen über 6 das heißt ein 1 Minus P die dann sagen doch war das gibt unser P das gibt unsereins müssten fragen so weit hier stand ursprünglich hoch in dieses Buch schreibe ich die Zahl so n ok und dann mal die Zahlen hoch in die Luft beides zusammen multipliziert gibt wieder hoch N also ob ich den Bruchstrich ja durchziehe also ob die durch B x C durch wir rechnen oder abermals C durch die X des ist egal das heißt ich kann die Zähler miteinander multiplizieren und dann geteilt durch die Männer miteinander multipliziert wenn ich die Männer miteinander multiplizieren haben Sie eine Zahl Hochkran mal eine Zahlung in dem es geht insgesamt die Zahl hoch okay noch Fragen ich er ist jetzt die Frage wäre es auch okay wenn Sie nur die obere Formen würden ich vorne das gerade um ich Ihnen gleich zeigen möchte das würde auch die Binomialverteilung wenn Sie nur die obere vornehmen dann kommt da nicht die Binomialverteilung deswegen vor welches Datum ok gut ich mache das nicht nur noch mal aus und wir waren so weit und können das umschreiben als Kramer 1 minus P O N S K wobei das die Text durch 49 war das hatten wir gerade gesehen und das ist die Wahrscheinlichkeit das die 38 bei Entziehung und bei den 1. K Ziehungen auftritt und bei den üblichen übrig nicht mehr jetzt interessiert uns aber eigentlich nicht das die 38 genau Anfang auftritt und es nicht mehr so eigentlich egal wann die 38 auftritt und die wie ist nun wenn sich überlegen Sie haben Entziehung man und ein paar davon soll die 38 auftreten haben Sie für die verschiedenen Möglichkeiten für diese Positionen wo die 38 Auftritt n über k viele Möglichkeiten also wenn sie in jungen betrachten und oder in Zahlen und davon wollen sie 8. RK K aus auswählen die Reihenfolge spielt keine Rolle also ohne Beachtung der Reihenfolge zurücklegen machen sie auch nicht weil jede Position der eindeutig ist sie können die 38 nicht zweimal auf die gleiche Position tun dann kommen Sie auf die er nur über K 7 verschiedene Möglichkeiten und wird man sich leicht Start bei jeder einzelnen dieser Möglichkeiten und die gleiche Wahrscheinlichkeit wieder oben aus nur dieses Produkt wirklich so schön sein sondern also ich aber das irgendwo in also in Männer steht aber Sommers gleiche im Zähler steht das gleiche Produkt in anderen Reihenfolge essen also nicht die Aachen wird sich über 5 ok ganz am Anfang zum irgendwo in diesem ganzen Produkt ja dann sehen Sie die Gesamtwahrscheinlichkeit also das jeweils die eine Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Teile so viele Fälle gibt es die Gesamtwahrscheinlichkeit dann n über k mal diese ursprünglich Wahrscheinlichkeit das heißt wir kommen auf n über k mal PUK x 1 minus P N des K als Wahrscheinlichkeit dass die 38 bei dem in tcp auftritt wir waren dabei die Wahrscheinlichkeit dass sie bei einer einzigen Ziehung Auftrittes war dies wächst durch 49 die 3 könnten und auf die Frage über ich hinaus weil das ist die Zelldichte ferner bin Jahr verteilen die wohl letzte Mal kennen gelernt haben okay Fragen so weit dann fertig wird zusammen
was aber bisher gesehen bei einer einzelnen Lottoziehung für die Zahl 38 nicht wahrscheinlich es bleibt und man sich auf und Firmware unbeeinflusst voneinander eben solche Leute ziehen hintereinander durch über die zufällige Anzahl bei dieser Zahl klar Zahl zwischen 0 und in Erziehung in bei denen die Zahl 38 30 Auftritt durch eine Binomialverteilung mit parat mit Parametern NMP geschrieben das heißt die Wahrscheinlichkeit dass diese zufällige ein Vergleich K ist ist n über k mal PUK 1 1 Minister ja gut das war die
Formel von gerade eben die hatten wir mühsam geleitet und beim letzten so vom Himmel gefallen aber hier sehen Sie alle nicht das ist auch Anwendung vorkommt und zwar
machen wir hier ein einziges eines wird sobald Experiment womit mit Wahrscheinlichkeit B erfolgt Auftritt mit Wahrscheinlichkeit 1 1 P Misserfolg wir führen dieses Zufallsexperimente Ehrenmal voneinander unbeeinflusst voneinander durch und sehen dann die Anzahl der Erfolge und die Anzahl der Folge ist dann eine Binomialverteilung okay Fragen so weit nein K also die Anzahl der Folge ist dann also P ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg einzelne habe ich denn falsch gesagt und die Anzahl der Erfolge ist eine Binomialverteilung sie können das P 1 die Frage so bist nämlich einfach in die Formel 1 rechnen können einsetzen können und um was zu machen vollständig richtig wenn sie wissen wenn Sie so ein Zufallsexperimente mussten um Erfolg und Misserfolg geht immer wieder unbeeinflusst voneinander durchgehen und sie sehen die Anzahl der Folge wenn sie dann wissen dass Binomialverteilung können sich direkt einen einsetzen die Form ist richtig das habe ich ihn gerade versucht zu erklären dass es in der Tat so ist ab heute okay aber wenn Sie da Zeit schon so weit können dann können Sie mir sicher auch sagen wie groß ist die wahrscheinlich wie Bereichen die Wahrscheinlichkeit dass mindestens die Anzahl der Folge mindestens 6 Uhr 14 also wir haben jetzt berechnet die Wahrscheinlichkeit dass es 6 Prozent ist 6 5 10. das 66 ist und so weiter diese ganzen Wahrscheinlichkeiten können wir ausrechnen in indem wir einfach in diese Formel
also NS 4 Tausend 599 unser K setzen wir 615 6 15 66 ein jetzt möcht ich die Wahrscheinlichkeit haben das mindestens 6 Uhr 14 vom wie machen Sie das Siemens würden Sonnenzeichen machen es heißt sie würden aufsummieren 1 6 14 bis 4 Tausend 599 ja genauso ging es weil die Wahrscheinlichkeit dass es mindestens so ist diese Wahrscheinlichkeit eine Zahl aus dieser Menge von 615 615 bis 4 Tausend 599 auftritt ist eben die Summe der einst wahrscheinlich das heißt wir bilden
hier die Summe von K gleich 6 14 bis Ende von n über k mal PUK x 1 1 wie hoch in den K das ist die Wahrscheinlichkeit dass weil das die 38 bei den in gleich 4 Tausend 599 Ziehungen mindestens 6 14 Mal auftritt sie setzen allen auf diesen häßlichen Ausdruck in Köln sind und nicht ohne weiteres berechnen Rechner aber schon und comma auf circa 1 Prozent das heißt die Wahrscheinlichkeit dass die 38 bei den 4 Tausend 599 Ziehungen mindestens 6 14 Mal auftritt ist sogar ein Prozent jetzt wird die Frage was wird aus oder Fragen so weit das war die Wahrscheinlichkeit gerechnet habe die haben jetzt brechen berechnen wollte die haben jetzt berechnet wird der Frage was folgt daraus Vorschlages verwerfen die Hypothese das heißt wir werden die wohl These dass diese Zahlen rein zufällig gezogen werden können zu der Annahme der Apparat ist irgendwie kaputt weil das was sie beobachtet haben 3. und ein Prozent der Fälle auf und das ist die richtige Schlussfolgerung eigentlich bezüglich der ursprünglich vorgestellten Hypothese aber der Mann aber überlegt was wollt ich am Anfang ich wollte die ich wollte die Wahrscheinlichkeit ausrechnen ein Resultat auftritt das mindestens so stark gegen diese Hypothese dass die Zahlen rein zufällig gezogen wird spricht wie das beobachtete das tat ich habe die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet das die 38 noch mindestens so oft oder noch öfters gezogen wird aber Sie können sich jetzt vorstellen gegen diese Hypothese spricht eigentlich auch wenn die 37 dauernd gezogen wird es würde auch sprechen wenn die 36. gezogen wird es hat ein ich nichts wieder 38 zu tun aber das Problem ist
die wird These kann noch nicht abgelehnt werden da nicht nur ein Ergebnis bei dem die 38 mindestens 46 6 Uhr 14 Mal gezogen wird sondern ebenso jedes andere Ergebnis bei dem irgend eine der Zahlen zwischen 1 und 49 mindestens 600 14 x gezogen wird gegen die Hypothese spricht und damit sehen Sie was wir eigentlich berechnen müssen ist was viel komplizierteres wir müssen nämlich ein nicht berechnen also brauchen einig die Wahrscheinlichkeit dass mindestens eine der 49 Zahlen bei 4 Tausend 599 Ziehungen mindestens 6 gezogen und das ging irgendwie nicht so leicht mehr es war ja auch schön ich unbedingt leichten aber das klingt irgendwie noch ein bisschen komplizierter wünschen immer wenn 7 Wahrscheinlichkeit haben die zu kompliziert ist können Sie in Trick machen sie können das den versuchen durch eine Simulation zu berechnen das heißt ich tue am Rechner so als ob ich immer wieder Lottozahlen Ziel ich zähle dann am Rechner wie häufig wird dieses Ereignis eine der 49 Zahlen wäre wird bei den 4 Tausend 599 Ziehungen mindestens 6 14 gezogen auf ermittelt dann davon die relative Häufigkeit macht das für eine große Anzahl von 4 Tausend 599 Ziehungen also ich wiederhole über 4 Tausend 90 Ziehungen und im Anschluss die relative Häufigkeit als Approximation von der Wahrscheinlichkeit
das heißt schwere der Rechnung machen die hier eine Computersimulation oder habe ich gemacht eine Computersimulation bei der Berechnung und wie groß wäre wir simulieren mit einem Zufallszahlengenerator am Rechner in gleich 4 Tausend 599 Lottoziehungen und bestimmen ob dabei eine Zahl mindestens 6 nur 14 Mal auftritt anschließend wiederholen wir das Experiment sehr oft bestimmen die relative Häufigkeit des Auftretens es oben obigen Ereignis ist bei diesen Wiederholungen und verwenden diese Zahl als Approximation für die gesuchte Wahrscheinlichkeit das Ganze habe ich dann 100 Tausend Mal
gemacht und dabei Schätzwert für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ungefähr 47 Prozent rausbekommen das heißt bei fast jeder zweiten simulierten Abfolge der Lottozahlen trat einen der Zahl mindestens so häufig auf wie in der Realität beobachtet wie würden Sie das Resultat interpretieren es ist genauso wahrscheinlich dass eine Situation auftreten dass nicht auftritt approximativ es richtig und das wird jetzt aus sollen sie auf diese Zahlen setzen täten sie dir kreuzen Sie achten als hätte er an oder eher nicht er egal sagen sehr egal gut wir eine Möglichkeit wäre weil wenn alle Zahlen sowieso gleichberechtigt sind das egal ob 38 ankreuzen oder nicht aber im Prinzip es spricht nichts dafür dass die 38 oder spricht eben nicht dafür dass die 8. 13. Zukunft besonders häufig vorkommen soll was wahrscheinlich reiner Zufall allerdings also
gerungen auch beim rein zufälligen unbeeinflussten ziehen der Lottozahlen tritt ein solches Ergebnis keineswegs selten auf so dass sie aufgrund der beobachteten Zahlen nicht auf irgendwelche Defekte der Apparatur zur Ziehung der Lottozahlen schließen können aber Sie können Schlussfolgerung ziehen im Prinzip das jetzt besser nicht eine der in der Vergangenheit häufig Std gezogenen Zahlen so ticken da das vermutlich viele Personen machen und da bei diesen Zahlen die ausgezahlte die ausgezahlte Gewinn besonders klein ist als ein Konzept das einzige was Sie beim Lotto einig machen ist den nehmen zahlen die sonst keiner tippt weil die Zahlen sind alle gleich wahrscheinlich aber wenn die Zahlen haben die sonst keiner zieht dann wird ausgezahlte Gewinn besonders hoch sein und wenn Sie die Zahlen machen über die nehmen über die in der Zeitung ausführlich berichtet wird immer ankreuzen soll dann können Sie sicher sein dass da er viele drauf frage noch also das heißt das reichen damals sagen es gar nicht nur beziehen werde spielen wir ja weil sie mit Leben verlieren oder so was aber oder weil die Gewinnwahrscheinlichkeit sehr klein ist das kommt drauf an diese Szene sehen Sie ist immer dass sie mit der kleine Ort Gewinnwahrscheinlichkeit nur haben aber da mir sehr viel gegeben gesehen das was wird oder es indes nichts werden wenn das nicht wer das ist klar spielen sie ja nicht doch Frage ich habe gerade da wollen wissen was sich rechnerisch verändert hat dass er von den 1 Prozent auf den 47 Prozent kommen ich interessiere mich nicht nur ob die Zahl 38 der heutige auskommt und ob es 100 Euro in eine andere der Zahlen häufig aufkommt also ob die Zahl 1 mindestens 6 und 14 Mal vorkommt ob die Zahl 2 mindestens 46 mal vorkommt wenn es jetzt so wäre das keiner der Zahlen an nicht 2 Zahlen zusammen mindestens 6 Uhr 14 mal vorkommen dann werden die Ereignisse disjunktes heißt der Schnitt wäre der das heißt die würden nicht gleichzeitig eintreten dann können Sie die Wahrscheinlichkeit einfach durch die Summe der einst Wahrscheinlichkeiten ausrichten bis Sie mir gerade nicht an der 38 mehr sehr genau also große die Wahrscheinlichkeit dass die 1 mindestens 6 und 14 Uhr vorkommen und dann sehen Sie da haben Sie 40 er Zahlen eigentlich 49 x 0 comma decimal 1 4 49 Prozent die Ereignis überlappen eben ein bisschen deswegen gibt es nicht je 49 Prozent und er die 7 40 Prozent aber die WGL saubere Berechnung der irgendwie doof also ich meine ich müsste gleichzeitig ausschließen also gleichzeitig berechnen die die 38 kommt eben vor und die andern vielleicht nicht so ich kann eben nicht mehr das machen was ich gerade eben gemacht habe also
hier habe ich ja gesagt die ganzen anderen reden nicht mehr auf soll ne ja ich habe er erst mal das da die 48 über 5 habe ich Möglichkeiten oder machen hier mit der Formel die 48 über 5 und jeder der Rest aber das habe ich eben nicht nur für die Zahl Aachen reisen auf für die Zahl 39 für die Zahl 7 30 und so weiter und dann dürfen sich die darf ich keine in keine Beziehung keine Möglichkeit doppelt sehen was die Schwierigkeit ausmachen an der ganzen Sache deswegen habe ich nicht mehr berechnet Sonne deswegen habe es den Rechner simuliert okay nachfragen keine
Frage habe ich noch meine Frage wir hatten ja unsern mir das
noch nicht sie doch noch mal eine Wahrscheinlichkeit
berechnen wenn Sie das Leben ich lasse mich ein bisschen Zeit berechnen Sie mal die Wahrscheinlichkeit hier okay Vorschläge was denn die Anzahl der möglichen ja es war dazu mit einem echten Waffen wird fünfmal hintereinander gewürfelt wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass dabei genau 2 1 6 Auftritt werden es spielt bei Berechnung der Wahrscheinlichkeit oder zur Festlegung der Wahrscheinlichkeit keine Rolle ob die in welcher Reihenfolge die 6 Auftritte wo 6 auftritt aber spielt schon bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten Rolle ob sie entziehen mit 8 und der Reihenfolge und ohne Beachtung der Reihenfolge machen und sinnvollerweise machen Sie hier einziehen Nichtbeachtung der Reihenfolge der weil wenn sie einziehen ohne Beachtung der Reihenfolge machen dann sind nicht mehr alle oder alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich also stellen sich vor sie konnten sich an ja sie machen das ohne Beachtung der Reihenfolge mit einem echten Waffen wird fünfmal hintereinander geworfen wie groß die Wahrscheinlichkeit dass die Zahlen von die Gesetze Siege 1 2 3 4 5 2 oder wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass sie zweimal die 1 und ist das die die Zahlen 1 bis 5 Uhr 5 ohne dass sie zweimal die 1 würfelt und dreimal will als die anderen 3 mal die Zahlen 2 3 4 dann haben sie für die einen sind auf einmal noch Anordnungsmöglichkeiten und deswegen sind die beiden Ereignisse nicht mehr gleich wahrscheinlich also wenn Sie diese Formel nehmen wollen an es sei günstiger Fehler durch Anzahl möglicher Fälle dann müssen die die die möglichen Fälle alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben und dann müssen Sie hier einziehen will mit der Achtung der reinen folgen ok aber jetzt die Frage wie groß ist die an was wir halten sie für die Anzahl der möglichen Fälle wenn wir 2 mögliche Fälle also mit einem echten Waffen wird 5 trällernde gewürfelt und das sagen Sie haben Sie 5 über 2 also 5 x 4 durch 2 also 10 verschiedene Möglichkeiten ich habe dann 1. Wochen 5 zahlen alle ab dem 1. oder 6 Zahlen den 2. Würfe 6 Zahlen schon für die 1. beiden habe ich 36 Möglichkeiten wer mehr okay 6 Uhr 5 Möglichkeiten weil für jeden der wir für jeden der ist genau richtig also den 1. Waffenhandel 6 Möglichkeiten zum 2. Aufnahme 6 Möglichkeiten und so weiter die können wir auf alle möglichen Arten kombinieren mit 6 Uhr 5 Möglichkeit wie viel günstige haben also günstige gelesen der die wo genau zweimal 1 6 auf ein 6. vertrat wie kommen Sie darauf wir wollen 2 nur 1 6 haben ja aber es geht ja um die Anzahl der verlieren da kann ich 1 6. Vertrag aus Formalismus eine ganze Zahl sie haben schon gleich nebenan das 5 Uhr 4 Möglichkeiten haben Sie warum wie kommen Sie darauf wenn Sie zweimal hintereinander nicht wächst geworfen haben sollen als eine Möglichkeit ansehen noch und Möglichkeiten war dir Möglichkeiten bei die andern weil die andere nicht ich will also ich gebe Ihnen Recht für die beiden 6. habe ich eigentlich nur eine Möglichkeit jeweils sind soll ich denn der und dann habe ich mal Therapiemöglichkeiten das beiden 6. 2 gekreuzte wächst haben möchte ich will wir werden insgesamt 5 Mal das heißt Treiber bleibt noch übrig dreimal keineswegs diese Möglichkeiten haben Sie um 3 mal keine setzte worden ja wenn es keine Sexismus 1 2 1 bis 5 zu 1 5 Uhr 3 also 5 mal 5 mal 5 und das ist jetzt die Wahrscheinlichkeit dass sich die 6 enorm an von der aber ich er die 6 nicht unbedingt am Anfang März habe ich noch Möglichkeiten für die Positionen der 6 unterwegs die Frage die die Möglichkeiten haben sich die 6 auf diese 5 diese 2 6. können Sie auf die Daten Positionen verteilen auswählen 2 der
entworfen sollten der 6. geben die Möglichkeit haben 5 Möglichkeiten aus 5 Positionen 2 auszuwählen ja ich habe schon die eine der Möglichkeiten habe ich also eine auszuwählen 5 wenn Sie 2 auswählen und 6 nur 5 wie kommen Sie darauf Hotels und markiert ok man erst Ansichten verschiedene Positionen beim zweiten Mal haben sich hier dann können Sie aber entweder die erste Position zunächst auswählen dann die zweite wo sie können die zweite zunächst aus wenn man die 1. während es doppelt gezählt wenn man dir was doppelt das heißt sie kann mir einig offen über 2 Möglichkeiten die wir noch aus 5 Positionen 2 aus und es gibt 5 sie hier durch 2 das heißt wir können insgesamt auf 0 wir kommen insgesamt auf 5 hoch 3 mal 5 mal 4 halte durch der period wenn wir das ausreicht dann kommen wir ungefähr 0 comma decimal 1 6 fragen die Vorgehensweise noch mal erklären ja wir gucken uns die möglichen Fälle also die günstigen Fällen für möglichen Fälle ich mache ein in sie mit zurücklegen und Nichtbeachtung der Reihenfolge und zwar ziehe ich aus 6 zahlen weil die der Woche kann den Zahlen 1 bis 6 haben und davon ich 5 Stücke aus und dann werden sie einfach die diesen Vortrags Übung haben sie gehen wollen K Zahlen aus dem mit zurücklegen Beachtung Reihenfolge gibt möglich also für die 1. haben 6 für die zweite am 6. 3. letzten weiter es wird die und dann überlege ich mir wie häufig tritt dabei genau zweimal Gesetz auf dann sind 2 Zahlen festgelegt die anderen 3 für die andern 3 darf keine weg stehen habe ich jeweils 5 Möglichkeiten habe ich 5 mal 5 mal 5 Möglichkeiten und dann kann die 6 noch an verschiedenen Positionen stehen wenn ich ein Kind über 2 Positionen warum ist die Reihenfolge wichtig die Reihenfolge ist wichtig damit alle Fälle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben damit ich wirklich der laschen Wahrscheinlichkeit wenn Sie die Reihenfolge weglassen sind sie nicht mehr nach laschen Wahrscheinlichkeit Raum dann können sie nicht mehr die den Anzahl günstiger Fälle durch Anzahl möglicher nein die Pferde haben eine unterschiedlich große Wahrscheinlichkeit weil die Wahrscheinlichkeit dass sie also wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt dass Sie über die A 1 Würfel es gibt nur eine einzige Möglichkeit aber dass alle verschieden sind da gibt es ganz viele verschiedene Möglichkeiten okay die letzte Frage ich auf 5 über wird 2 auf die 5 mal wieder durch 2 kommen wären die Definition des für die nominal publizieren n über k ist n faculty durch Inline-Skater wirklich mal Fakultät wenn das sie einsetzen kommen sie auf offen Fakultät durch 5 minus 2 Tage geht also sind geht die dadurch 3 Parität gibt die 5 mal 4 wissen Sie doch Teilen durch 2 Fakultät also 2 mal 1 also das war einfach das war der Formel die könnten sie schon kennen 5 über 2 okay aber ich muss insgesamt weiter machen vielleicht noch der Hinweis also wir uns wir es gehört die Sache wird langsam bisschen komplizierter und es ist dies die Sache wird von Mal zu Mal noch komplizierter ich baue sukzessive auf dem vorigen Vorlesung auf das heißt wenn sie feststellen sie haben Verständnis Probleme haben Sie wahrscheinlich beim letzten Mal irgendwas nicht ganz mitbekommen in dem Fall wird es sinnvoll und das Werk insgesamt sinnvoll wenn ganze nochmal wiederholen würden wir haben gerade eine relativ gute Möglichkeit wieder Vorlesungs Aufzeichnungen wir bei stark gerade hervorragen wieder Vorlesens aufzeichnen die Vorlesung ist meistens schon an dem gleichen Tag auf der Homepage von unserer von der Statistik Vorlesung hier können sich gleich nochmal angucken also den gleichen Tagen auf unsere Umwelt Schubladen die aktuelle vorlesen okay dann
comma zum nächsten teil da stelle ich eben also wenn Sie Unterhaltung freundlicherweise weil einstellen könnten da ich ihn jetzt noch mal ein ganz neues Konzept vor eine andere Methode Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und zwar Wahrscheinlichkeiten und Zufallsexperimente wo im Prinzip alle allen Zahlen auftreten können also bisher hat mir sowas beitragen vielleicht natürliche Zahlen auf aber jetzt auch einmal alle in sein das wird sich als extrem nützlich erweisen weil es gehen also ich sags Anführungszeichen Krenz-Prozess automatisch auftritt also auch bei realen Anwendungen wo sie vielleicht nur endlich viele verschiedene mögliche Ergebnisse haben und sie machen dann sowas wie das sie mögliche Ergebnisse noch weiter aufsummieren können Sie das am Schluss durch solche Modelle approximieren das zentrale Konzept das sich schon ganz vom Beginn der Vorlesung kennen Konzept der Dichte eine Funktion f von er nach war die große gleich 0 ist und zu 1 integriert heißt nicht den zur Definition von Wahrscheinlichkeit zur ermächtigte in wir als Grundmenge und egal gleich er eine dichte F von er nach und setzten P von A ist das integral über über von XTX und wie Sie gleich sehen werden sind hier die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines Elementarereignis ist über 0 muss ich über zur Tafel illustrieren das ist aber relativ schöner landen Skizzen machen was ist das sie eine Funktion die es nicht negativ und integriert zu 1 in Sigrid zu 1 heißt dass der Flächeninhalt von der Funktion zwischen der x-Achse und der Funktion gleich 1 ist ich meine Augen sehr also Glockenkurve hin das weiß vielleicht dann interessiere ich mich für die Wahrscheinlichkeit von einer gewissen Menge diese Menge ist mit Teilmenge von den reellen Zahlen die trage ich mal da unten ab auf der x-Achse das sei man aber was ich da behaupte oder was sich den Ansätze ist mein P von Art ich integriere diese Funktion f von x B x über die Menge an wenn Sie das dieses integral hier in diese Skizze einzeichnen weil wie machen Sie das das ist die Fläche unter der Kurve über der Menge Art das heißt das was wir eilig haben dieses lieferbar ist dieser Flächeninhalt und das ist die ganze Idee das heißt ich kann ein mit Sonderfunktionen die und wie zu meiner Anwendung passen sollte so dass eigentlich die Wahrscheinlichkeiten ungefähr das geben sollten was in der Anwendung auch sind und berechnen Wahrscheinlichkeiten in die nicht mehr Flächeninhalte Ankogel über im Bereich von gewissen Mengen oder von noch vorgegebene Menge zwischen der Funktion und der x-Achse und diese Flächeninhalte berechnen Sie durch Integration das heißt numerisch also konkreten Zahlen wir bekommen Sie indem sie Integrale berechnen und das ist alles was Sie hier machen dann steht da noch drauf die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von Elementarereignissen sind was meine ich damit wir machen das Gleiche nochmal ich habe wieder mein F von X und mein Ex ich interessiere mich für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Elementarereignis ist das heißt ich habe Burgen period wenn ich mal Zeit und ich interessiere mich für die Wahrscheinlichkeit das gerade dieses Feld auftritt die vielleicht über einen Punkt ist immer 0 deswegen geht es darum dass die vielleicht Übereinkommen über 0 ich wollte er nicht wissen komplizierter machen also schon ein bisschen auf wir gehen ein kleines bisschen nach rechts ich schreibe dafür Z plus Epsilon Epson ist mit einer Zahl beginnen kleines bisschen nach links Z minus und wenn ich das mache dann ist die Wahrscheinlichkeit dass Z Auftritt sicher kleiner gleich als die Wahrscheinlichkeit dass Zahl zwischen Z minus Epsilon und Z presse @ auftritt etliche und so komische griechische Buchstabe der den am meisten der Mathematik Führung was kleines wenn ich diese rasch wenn ich diese Wahrscheinlichkeit interessiert von dieser Menge hier dann ist diese Menge wenn sie diese Wahrscheinlichkeit sich ankommen bekommen sie ganze Flächeninhalt und was passiert mit dem Flächeninhalt werden ich des Ärzte und immer näher an gehen dann schrumpft die vielleicht immer mehr zusammen und dann sehen Sie ja der Flächeninhalt geht gegen 0 das heißt der kleine selbst wird und so kleine dieser Flächeninhalt und der Grenze ist dieser Flächen hat gleich 0 das heißt das ganze Ding geht gegen 0 für Apps gegen ja schwarz vielleicht so Epson gegen 0 und deswegen sind hier die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von Elementarereignissen immer gleich 0 das ein fester period Auftritt diese Wahrscheinlichkeit es kleiner gleich der Wahrscheinlichkeit dass das eben nur ein ganz klein bisschen von diesen festen period entfernt sind und diese Wahrscheinlichkeit wird beliebig klein dieses ganz klein bisschen entsprechend wandert oder sie mit einem Schlag ja wenn ich über der ein prominentes wäre dann kommt da nur raus aber auf der anderen Seite der wissen sie gar nicht wie sie und ein einig in der wir sollen also haben Sie integral gar nicht definiert ok haben Sie Fragen so weit oder können Sie das nicht lesen oder mehr wenn Sie für die integral Grenzen zweimal bei diesen Punkt eingehen kann sie auf 0 genau dann sie von Z bis Z integrierende von XP Text und dann würden Sie auch sagen dass es nun richtig können Sie auch so machen also nein das ist vielleicht zu komplizierte ich argumentiert habe sie können einfach sagen es klar gerade ein in Essen aber einerseits argumentiert ja hier gar nicht mehr über den eigentlichen integral Begriff so nur noch über den Flächeninhalt und der Flächeninhalt über kommt es nicht so ganz klar wie groß der einig sein sollten okay da wird Glaser wollte nur fragen ob kann ich nicht wieder ausmachen damit sehen Sie unser Modell Ansatzes will so eine Funktion f die Gedichte essen Bereichen die Wahrscheinlichkeiten damit und jetzt kann ich in allen möglichen sichten vorgeht mache ich gleich stellen gleich mal 3 häufig verwendete dichten vor und wir können uns überlegen wie wir da Wahrscheinlichkeiten ausrechnen sie sehen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen läuft auch ein bisschen in der Integrale ausrechnen oder essen dann auch noch Flächeninhalt an Zeichnungen ablesen hinaus ferner
1. Beispiel würde Verteilung also spricht hier von Verteilungen ist die sogenannte Gleichverteilung abgekürzt mit mit von
wo für Juni vom Mittwoch des Judith von A bis B aber das sind Zahlen an B A ist kleiner als b die Dichte sieht so aus F von X ist leicht 1 durch PISA für klar gleich Xtra gleich B und 0 sonst sie haben hier 2 Zeichnungen eine Seite Gleichverteilung auf Intervall von 1 bis 3 das heißt die Dichte ist konstant auf dem Intervall von 1 bis 3 0 sonst die Konstante ist so dass der gesamte Flächeninhalt wäre zwischen der Dichte und der x-Achse gleich 1 ist das heißt der Flächeninhalt von diesem Rechteck muss gleich 1 sein das heißt Grund seit Malhöhle muss gleich 1 seinen Grund sei ist 2 also wir mussten halt sein unterstellen bekommen Sie allgemein mit dem durch B ein hier sehr Gleichverteilung offen Intervall von 0 comma decimal 5 bis 4 comma decimal 5 die Grund sei dies hier 4 lagen die höchst 0 comma decimal 2 Funktion ist konstant zitiere bisschen komisch aus solch dadurch gezeichnet hat und das macht das der Grafikprogramm was verwendet sie wollen die Funktion zeigen dass sie hier eben gesprochen hat und der period WER 0 comma decimal 5 und 13 also an der Stelle eines der Funktionswert 0 comma decimal 5 die Linie würden sie eigentlich zeichnen ich mache im Beispiel Nutzung eine Zahl wird
rein zufällig aus dem Intervall von 0 bis 10 gezogen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Zahl kleiner oder gleich hier ist wir beschreiben hier die zufällige Zahl durch eine Gleichverteilung also Gleichverteilung offen Intervall von 0 bis 10 das heißt wenn ich in das Ruhrgebiet kennen wir schon die Dichte die dich sieht so aus er von EXIST ist ein Zehntel für nur klare gleich 30. aber gleich 10 und 0 0 sonst ich meine aber was nicht haben also das skizzieren und mal die Dichte also ich habe irgendwo 0 0 habe ich hier beim Achsen kreuzen habe ich oben gut sehen wie wenig man habe ich hier dann habe ich irgendwo ein Zehntel ich mach's jetzt nicht maßstäblich Ansichten für die x-Achse Achse verschiedene Maßstäbe damit überhaupt noch was Sie da sich mal hier vielleicht ein Zehntel hin und die vor und das was mich interessiert und die Dichte sieht dann so aus konstant ein Zehntel von 0 bis 10 0 sonst und ich mache das so dass ich an den Stellen wo im Prinzip die beiden Linien berühren würden mache ich da wo der Funktionswert nicht an Norm wird offen das Kästchen hin und davor angenommen wird Nachrichten die geschlossenen kreis oder aber bis 1 Grad meist die 3 Scheiben geschlossen und das nicht interessiert ist die Wahrscheinlichkeit dass die Zahl kleiner oder gleich 4 ist wenn sich überlegen also die 4 wenn ich hier die 10 ist da die Filme von da vielleicht die 4 1. Frage wie sieht dann die Menge auf der X-Achse auf die mich interessiert und ich die Wahrscheinlichkeit interessiert das ist von 0 bis 4 wir sagen kleiner oder gleich wie er sie 4 wurde auch noch dazugehören unklar ist natürlich dazu im unter Gott sein als man auch noch dazu ein geht von minus nennt die bis wir diese Menge interessiert mich und die Wahrscheinlichkeit von dieser Menge interessiert mich hier die und so lesen Sie jetzt in der Skizze die Wahrscheinlichkeit ab oder wie können sie anders geht jetzt die Wahrscheinlichkeit einzeichnen also das ist die Dichte das gelbe weil die Dichte das war ein von nix das Rote ist meine Menge von der mich die Wahrscheinlichkeit interessiert wo sich an der oder wie sich eine Skizze die Wahrscheinlichkeit wieder wieder vielleicht genau und mit welche Fläche von 0 bis 4 und der oberen gerade 7 also eigentlich wir überlegen uns die Leiche zwischen der Funktion F von X und der x-Achse im Bereich der Roten Menge die Fläche hier der jeweils gleich 0 weil das da es kann viel oder das kann Flächeninhalt Flächen alles gleich 0 das heißt eigentlich ist es da diese Wahrscheinlichkeit die uns interessiert und wahrscheinlich können sie mir sogar sagen problemlos wie groß diese Wahrscheinlichkeit dass es dem Beispiel hier die Wahrscheinlichkeit des 14. viel von gleich 10. weil sie haben ja ein Rechteck Grund Seite ist ihr will ist ein 10. 7 comma decimal 4 14. okay das war die Lösung einer Zeichnung wir machen setzt gleich noch mit Hilfe der Formel habe okay die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch P von minus 1 bis 4 da müssen Sie die Funktion f von x von minus endlich bis hier integrieren das heißt eigentlich kann ist in die die Kinder gar Grenzen der schreiben als integral von minus man sich bis 4 F von X Text und wenn sie dann diesen der Gral berechnen haben Sie das Problem diese Funktion ist abschnittsweise definiert und die Abschnitte ändern sich eben Integrationsbereich und der Dreck hier ist man spaltet dann entsprechend diesen Abschnitten auf das heißt in die wir einerseits von minus nennt ich bis 0 1 1 von 0 bis 4 bei mir ist bis 0 ist die Dichte gleich 0 von 0 bis 4 1. die Dichte ein 10. wenn Sie das machen kommt 0 comma decimal 4 aus also erst integraler gibt 0 2. integral hat ein Stammfunktion one tenth x x zu setzen die Grenzen 0 und 4 1 kommt 14. aus okay Wagen so weit also Sie sehen berechnen Wahrscheinlichkeiten durch Integrale und es können entweder in der Zeichnung machen das direkt ablesen oder wir können ist das integral elementares rechnen 1 von beiden und Sie sollten verstanden haben diesen Zusammenhang was diese Wahrscheinlichkeit anschaulich bedeutet das nämliche Flächeninhalt man sollte in der Lage sein sollen Flächeninhalt entsprechend in Zeichnung einzuzeichnen okay warum haben Sie die Wahrscheinlichkeit ein Zehntel wenn Sie doch 11 Möglichkeiten haben Sie haben ja gar nicht die Wahrscheinlichkeit ein Zehntel die Dichte ist ein klar dass es keine Wahrscheinlichkeit und sie haben auch ich nur 11 Möglichkeiten weil es werde nicht nur die diskreten Zahlen von 0 bis 10 gezogen sollen auch 0 comma decimal 5 0 comma decimal 2 0 comma decimal 0 0 1 und so weiter ich lasse alle Zahlen zu das ist der Unterschied das kann ich einig in der Realität gar nicht weil ich kann in der Realität gar nicht die Zahl auf beliebig vielen Ziffern genau ziehen aber das erweist sich eben als sehr nützlich im Hinblick auf mehr Approximation von solchen diskreten Modell okay oder Fragen offen daher kommt der kleines das ist mir Schreibweise für integrale Wechsel nein Symbol dass das ein Symbol ich glaube gemacht denn es noch in Vortrags Übungen nochmal bis Integralrechnung ok wenn jetzt habe ich nach 2 dichten und 4
Minuten Zeit also ich muss mir sicherer machen wir haben noch die exponential Verteilung Bildparameter miteinander größer 0 aber es sieht so aus F von X Islam mal er Islam XTX großer gleich 0 0 4 x kleiner als 0 Beispiele sehen so aus weil das wäre extrem Zahl so Zuteilung mit Bar miteinander gleich 1 das wäre extrem Verteilung mit Bar miteinander gleich 0 comma decimal 3 in beiden Fällen ist die Dichte 0 links der 0 und in beiden Fällen monoton fallend für x größer als ein und konvergiert gegen 0 man kann sich wieder klar machen wir das gesamte Integra oder Gesandte Flächeninhalt zwischen x-Achse und der roten Funktion des jeweils 1 ich mache ihn noch dazu wieder ein Beispiel die Zeit
also exponential Verteilung verbinden Sie sowas
exponential Verteilung nehmen sie häufig für Wartezeiten oder warte vorgehen Beispiel die
Zeit in Monaten in der sich ein Universitätsabsolvent nach dem Studium bis zum Antritt der ersten Arbeitsstelle bewirkt sei exponential verteilt mit paar miteinander gleich 0 comma decimal 3 wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit dass er länger als ein halbes Jahr auf sein Arbeitsplatz warten wird wartet wenn ich in das Vorgehen des nächsten Zahl Verteilung dann kennen Sie im Prinzip die Dichte sie müssten die Formel von gerade eben haben da gleich 0 comma decimal 3 einsetzen haben sie Dichte und dann wollen sie ausrechnen die Wahrscheinlichkeit dass der länger als ein halbes Jahr auf seine Stelle wartet diese Zeit wird Monaten genug rechnet das heißt wir gehen von 6 Monaten bis endlich wollen ausrechnen das ist der vorgegebene Zeit in Monaten 6. Jahr verteilt deswegen gebe es ich habe es in der Aufgabenstellung in Monaten vorgegeben ja da müssen Sie die Funktion integrieren von 6 bis endlich also von 6 bis endlich endlich ihren sie 0 comma decimal 3 mal um minus 0 comma decimal 3 x sie brauchen Stammfunktion dazu zu den integralen also 0 comma decimal 3 Mal ihr auf minus 0 comma decimal 3 x sie auch eine Funktion die abgeleitet diese Funktion ergibt das ist Minus er minus 0 comma decimal 3 x x das setzen Text gleich Text und 1 x lassen dann auch für die Obergrenze X gegen endlich gehen lassen wenn Sie nix gegen endlich gehen lassen wir das Ganze gegen 0 die untere Grenze gibt er auch also Miners hoch minus 0 comma decimal 3 mal 6 das heißt weil sie die untere Grenze abziehen kommen sie auf ihr hoch minus 0 comma decimal 3 mal 6 also eher 1 1 comma decimal 8 geht ungefähr 0 comma decimal 1 6 5 1 16 comma decimal 5 Prozent ok danach dann schnell also jetzt das war blöde Formel gebe ich zu aber
alles eine Formen Gewicht zu aber die nächste vom es
Doppelbürger das ist die Formel die Formel steht
außen Krenz-Prozess die werden sich wieder mal dann zentralen Grenzwert das Kennenlernen deswegen kommt auf diese komische Farbe sogenannte Normalverteilung mit 2 Parametern N A trat die Dichte sie habe als er von EXIST 1 durch Wurzel 2. Sigmar mal EU-Minister war durch 2 Siege aber gerade diese sogenannte Gaußsche klopfen Trockenkurs hier sehen Sie es mit gleich 0 und Signora trat gleich 1 sieht so aus wenn Sie jetzt gleich 6 geben aber gleich melden da drüber steht er gleich 6. Kohl dann Stück drüber aber ach so ich bin ein bisschen blind oder der Biber so gut oder was Sie hier sehen ja da steht also wenn man Ausdruck steht auch gleich 5 rüber und wurde trat als wächst also sieht Werberat gleich 1 das heißt ihr Buch bringt ist da an der Stelle wo ist das heißt die Funktion wird einfach verschoben wenn sie jetzt gleich 5 machen sich aber trat leicht zwar über das ganze Ding flacher und breiter 40 Uhr 3 gleich 0 comma decimal 6 enger und höre möchte Ihnen kein Beispiel dazu machen es wird später immer wieder bei Keynes Prozessen auftreten damit comma Zusammenfassung
eine Binomialverteilung tritt dann auf wenn man einen Zufallsexperimente mit möglichen Ergebnis Erfolg oder Misserfolg wiederhole durchführt und die Anzahl der voll gezählt 2. eine Dichte ist eine nicht negative Funktion für die der Flächeninhalt zwischen Richtung x-Achse gleich 1 ist und drittens in ein Wahrscheinlichkeit Frau ermöglichte es von Erna Airbus ist die Wahrscheinlichkeit einer Menge Art Teilmenge er gleich den Flächeninhalt integral A F von XTX zwischen Dichte und exakt in diesem Bereich damit leichtfertig Leute
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