Zufallsvariable und Unabhängigkeit

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Title
Zufallsvariable und Unabhängigkeit
Title of Series
Part Number
9
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14
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung Statistik I für Human- und Sozialwissenschaftler gehört zum Pflichtprogramm des ersten Semesters in den Studiengängen Psychologie und Pädagogik an der TU Darmstadt. Sie stimmt inhaltlich weitgehend mit der dieses Semester vom gleichen Dozenten abgehaltenen Vorlesung Mathematik und Statistik für Biologen überein. In ihr wird eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik gegeben, wobei der Schwerpunkt auf einer leicht verständlichen Präsentation der grundlegenden Ideen in diesem Bereich liegt.
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Statistics Abbildung <Physik> 6 (number) Set (mathematics) Mass Number Zusammenhang <Mathematik> Cube Abbildung <Physik> Summation Summation Random variable Random variable
Zahl Set (mathematics) Abbildung <Physik> Set (mathematics) Mass Variable (mathematics) Number Index Zusammenhang <Mathematik> Cube Abbildung <Physik> Summation Summation Random variable Random variable
Zahl Link (knot theory) Set (mathematics) Abbildung <Physik> Normale Mass Proper map Scattering Subset Number Spherical cap Average Summation Random variable Constraint (mathematics) Raum <Mathematik> Normal distribution Element (mathematics) Moment (mathematics) Variance Set (mathematics) Connected space Index Military operation Abbildung <Physik> Summation
Set (mathematics) Abbildung <Physik> Summation Set (mathematics) Random variable Derived set (mathematics)
Probability distribution Set (mathematics) Abbildung <Physik> Parameter (computer programming) Binomial distribution Set (mathematics) Mass Parameter (computer programming) Number Infinite set Natural number Modulform Summation Summation Random variable Poisson process Random variable
Probability distribution Point (geometry) Normal distribution Zahl INTEGRAL Set (mathematics) Abbildung <Physik> Lebensdauer Parameter (computer programming) Mass Subset Population density Modulform Exponential distribution Gleichverteilung Antiderivative Poisson process Random variable Area Höhe Normal distribution Parameter (computer programming) Square Set (mathematics) Rectangle Approximation Calculation Population density Index Abbildung <Physik> Gleichverteilung Table (information) Random variable Normal distribution
Zahl Population density Index Cube Summation Mass Summation Set (mathematics) Random variable Factorization Random variable Number
Multiplication Zahl Supremum Constraint (mathematics) Index Cube Summation Summation Number Random variable
Statistics Zahl Propositional formula Set (mathematics) Number Subset Zusammenhang <Mathematik> Cube Eigenvalues and eigenvectors Unabhängige Zufallsvariable Berechnung Abbildung <Physik> Summation Gebiet <Mathematik> Random variable
Statistics Grand Unified Theory Set (mathematics) Mass Random variable Random variable
die ja begrüße Sie recht herzlich zur
heutigen Vorlesung Statistik 1 für Wissenschaftler ich habe Ihnen wie immer die Lernziele vorne weg auf der Folie gemacht nach dieser Vorlesung sollten Sie 3 Begriffe verstanden haben Zufallsvariablen Verteilung einer Zufallsvariablen sehe Unabhängigkeit 1. beiden Begriffe 1 die in der 1. Hälfte der letzte Begriff kommt in der zweiten Hälfte die 1. beiden Begriffe Zufallsvariablen Verteilung einer Zufallsvariablen da ändere ich die Schreibweise primär also wir haben bisher Zufall immer beschrieben durch Wahrscheinlichkeit smarte alles waren Zuweisungen von Wahrscheinlichkeiten zu man dich betrachtet habe und das hat für mich den ganzen Zufall eigentlich festgelegt oder beschrieben wie der Zufall auftaucht und das wird ab sofort durch oder ab heute dann durch so genannte Zufallsvariablen beschrieben was ist sind kommt gleich auch ein Land ein Beispiel und das Wahrscheinlichkeit Maß spricht dann der Verteilung einer Zufallsvariablen die Schreibweise ändere ich weil ich mit dieser neuen Schreibweise mehr machen kann also ich kann damit insbesondere neue Zufallsvariablen aus oder neue Zufallsexperimente aus bereits anvisierten sowohl 6. Anwenden basteln die damit analysieren wir werden so was machen wurde Zufallsexperimente aus einfahren aufbauen das wird sich als sehr nützlich erweisen 1 2. Begriff der Unabhängigkeit ist sowas wie das sich Ergebnisse von Zufalls Experimenten gegenseitig nicht beeinflussen also Sie kennen das unbeeinflusste werden 1 der Würfels aber Sie können sich auch vorstellen es gibt es beeinflusste Werfen eines Würfels mehrfach als sie werfen ein meine 6. anlegen sind ist mit 2. Mal auch wieder mit 6 oben hin nun 3. Mal auch wieder das um die beeinflusst das andere und unbeeinflusst und das drücken wir mit dem Begriff der Unabhängigkeit Ost okay danke an 1. Abschnitt Zufallsvariablen und Verteilung ach so ich muss gestehen ich habe meine Folien in den 1. 3 Folien in bisschen massive abgeändert in den letzten vorhin habe ich 1 Tippfehler ausgemacht das heißt bei den 1. 3 Folien steht einig das gleiche aber anders aufgebaut das was Sie vorhin vor sich liegen haben Ost interessieren nur Teilaspekte des Ergebnisses eines Zufalls Experiments oder es ist so dass was modellieren können was wir einfach modellieren können ist das eine was uns interessiert es was anderes ist ein Teilaspekt davon und die Idee ist jetzt wir haben Zufallsexperiment mit Ergebnis gar Kleinanleger in der Menge Großanleger die Menge Großanleger ist die Menge aller oder gab und diesen Teilaspekt freilich raus in dem ich diesen klein und wieder was neues zu die seit diesen Kleinanleger wurden von Onmeda zugewiesen und das ganze große X es sind aber die traditionelle Schreibweise für sowas oder für diese Abbildung in dem Zusammenhang ist eine Abbildungen von Orwell danach und wieder strich es heißt um kleinräumiger Worten X von Omnicard zugewiesen man am Beispiel dazu wir betrachten es unbeeinflusste werfen zweier echter wurde und wir interessieren uns für die Frage wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Summe der Augen Zahlen größer oder gleich 10 ist was ist hier Zufallsexperimente Was ist der Teilaspekt mehr des zu weit Experiment dass ich einfach modellieren kann ist es unbeeinflusst werfen zweier echter wollte der Teilaspekt ist die Summe der Augen zahlen die umliegenden seit ich nehme die beiden Zahlen sich geworfen habe er und ich möchte Aussage über diesen Teilaspekt ich würde jetzt mal selber denken denken Sie mal kurz drüber nach was ich lasse ihn kurz Zeit die würden Sie dieses Beispiel bei ganz ohne von dem was da oben steht wie würden Sie da die Wahrscheinlichkeit bestimmen was sie wollen sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen das beim unbeeinflussten werfen zwar ich davor für die Summe der Augen Zahlen größer oder gleich 10 ist wenn Sie vielleicht wieder Nachbarn und Nachbarinnen diskutieren okay Vorschläge wir beantworten Sie eine Frage oder um welche Möglichkeiten wie Sie Daten anvertrauen können Vorschläge okay weil sie an wir machen sie überlegen sich was sind die günstigen was die mir Möglichkeiten es insgesamt gewachsen die günstigen alle möglichen Fälle günstigen Fälle also nehme einigten ablassen Wahrscheinlichkeit und sie machen das würdest unbeeinflusste werfen zweier echter Wurzeln meine da liegt der Blasche Wahrscheinlichkeit Raum vor das heißt das Ergebnis sind die beiden Augen sahen die liegen da haben wir für die 1. Augenzahl 6 Möglichkeiten für die zweite Augenzahl 6 Möglichkeiten also insgesamt 36 und dann sehen Sie einfach ab ab wie viel davon sind großer gleich 10 wo war oder bei wie viel davon ist die Summe der Augen Zahlen größer oder gleich 10 und ihr Vorschlag war bei 6 dann gehen sie auf 6 36. Wahrscheinlichkeit ok comma so an machen wurde im Prinzip von nicht mal genau so
an also wir Volieren zuerst weil das einfach ist das unbeeinflusste werfen zweier ich wurde also eigentlich interessiert nicht die Summe der Augen Zahlen der Aspekt davon aber der ist schwer zu modulieren also nur ich erst mal das unbeeinflusste werfen 2 echte wurde ich nehme ein Wahrscheinlichkeit Raum um P die Grundmenge enthält alle Möglichkeiten alles in diese 36 Paare hier dann von einer einzigen Möglichkeit als 1 36. alle gleich wahrscheinlich bzw. wie von einer Menge wäre Karten als jede Menge durch 36 und jetzt können Sie die Antwort die Aufgabe weiter lösen indem Sie sagen ja als überlegen wir uns wie sie die Menge der Würfel Zahlen aus nur die Summe der Augen seien größer gleich 10 ist sehen deren gaben ein Theater und sind fertig ich mache jetzt ein bisschen umständlicher
ja ob sein das war nicht beabsichtigt ich machten ein bisschen umständlicher und noch mal zurück auf diesen Teilaspekt der Teil der und interessiert sage ich ist die Summe der Augen zahlen so Augen zahlen kann ich machen na ja die Summe der Augen seines der Zahlen 2 3 bis 12 das bezeichne ich als Menge und wieder strich und dann würde ich mir eine Abbildung bildet mir meine geworfenen wurde sollen auf die Summe ab also von Oregano unwiderstehlich und X von so einem K comma L Tobel K L ist L klar ist wie die Summe der Augen und ist jetzt auch mehr gab die Wahrscheinlichkeit Raum und wieder strich eine beliebige Menge und X von Anlegern und wieder strich eine beliebige Abbildungen so heißt dieses X Zufallswahl erst bei der Begriff der Zufallsvariablen das heißt ich habe nichts anderes als eine Abbildung gebildet mir das Ergebnis meines Zufallsexperiment irgendwas anderes da können wir Kasachen Fragen 1. warum heißt es den Zufallsvariablen also variable kennen Sie vielleicht was die Schule als unbekannter mir unbekannt ist nicht unbedingt nach der wir auflösen Bodenwert bestimmen bestimmt ja nicht dass er eine Art Platzhalter für was zufällig ist aber im Prinzip sollten Sie nicht so viel über diesen Begriff nachdenken sollen einfach dass ein Begriff der den gezahlt und will deshalb möglich ich kann es sich um die anders nennen der Frage was ist K L verließen die beiden Wochen zahlen also K die Zahl von 1. doppel-L ist die Zahl zum 2. offen zum Beispiel 1 1 und der K L gleich 1 plus 1 gleich 2 also geht die Abbildung vor indem ich ein beliebiges Element Reinsch stecke und STRATO sage was kommt raus in dieses beliebige Element schreibe ich in der Form Tobel K comma M ok also Sie können sich das an lassen ein verlegen aber ja und wie die Vorstellung dass sie ein bisschen begrenzt also man kann sich wirklich vorstellen warum es eines Zufalls Zufallsvariable heißt oder erklären warum es wirklich Zufallsvariablen heißt Winter diesen Abbildungen keine aber muss sie nicht weiter stören ok und was uns jetzt einig interessiert ist eine Aussage über diese Summe der Augen sein das heißt ich ganz abstrakt formulieren eigentlich möchte in Wahrscheinlichkeit Smarts dass ich jetzt mit P Index X bezeichnen bezeichne bestimmen das ist Zufallsexperiment mit unbestimmten Ergebnis X von Onmeda beschreibt das heißt sie haben Zufallsexperimente werden 2 2 dann kommen 2 Zahlen aus sie addieren die und das ist die Ergebnis und ich möchte jetzt dieses B Index X dieses Wahrscheinlichkeit Smart ist das zufällige walten dieses Ergebnisses beschreibt bestimmen und zwar gegeben habe ich das her weil das weiß ich an und dem Beispiel was eine rasche Wahrscheinlichkeit Raum sei es die kenne ich und ich erkenne ich blicke nicht und das X kann ich auch okay Fragen so weit keine Fragen dann also nicht verwirren lassen sich alles irgendwie konfus aus was ich da mache aber als ein schwieriger Begriff nämlich zu aber sie werden wahrscheinlich am Beispiel dann schon erkennen können und was es eigentlich geht ok so heißt das unser Zufallsvariablen wollen dieses Wahrscheinlichkeit Maß des Index X bestimmen das dieses Zufallsexperimente wieder geht und bestimmten Ergebnis X für und wider beschreibt vielleicht nochmal kurz ich habe schon gesagt ich habe diese Abbildung mit groß X bezeichnet das haben sind period in der Schule nie gemacht werden da Funktion hatten war das ein kleiner vielleicht in klein die aber nie groß X aber nochmal das ist nur eine Bezeichnung muss ich stören ich verwende eine andere Bezeichnung diese Bezeichnung es üblich in dem Zusammenhang also nicht verwirren lassen an Bezeichnungen gut jetzt wie sie dann Wahrscheinlichkeit Maß PX aus dass es soweit Experiment mit unbestimmten Ergebnis X von Amiga beschreibt die Idee ist die folgende ich habe eine
Menge spricht einen und widerspricht der Unwahrscheinlichkeit nicht festlegen will und ich sage diese Wahrscheinlichkeit p x von comma soll die Wahrscheinlichkeit angeben dass ein Anleger auftritt wo X von um die da in der Menge A Strich drin liegt und das schreibe ich im Prinzip genauso hin ich spiele die Menge aller Kleinanleger aus Groß mit der Nebenbedingung das X von Amiga Strich liegt und rechne davon dass Wahrscheinlichkeit Maß P aus dieser Menge die da steht ist es eine Teilmenge von dem Großanleger und von diesen Dingen kann ich mit dem P Wahrscheinlichkeiten berechnet weil das ist meine Idee wie ich Wahrscheinlichkeiten berechnen man muss am Beispiel oben wir hatten um Anleger war diese waren diese 36 wofür es aber von wofür zahlen die raus kommen konnten und widerspricht das sind die möglichen Werte für die so mindestens 2 3 bis 12 X von so einem der geworfen Paar K L 1. Wochen hatten wird K 2 geworfen hatten wird L ist plus L dann ist die Wahrscheinlichkeit dass die Summe der Augenzahl mindestens 10 ist gegeben durch mehr APX von der Menge 10 11 12 das heißt es wird sicher nicht ausreichen und im Prinzip ich habe schon alles definiert also ich habe ja PX verringert sich keineswegs X ich kann das auch egal ich denn es wie ich ganz direkt ausrichten also schreiben dass man in der letzten ein das ist P von der Menge aller auch klein und illegalen groß und gab zu X von ohne gar 10 11 oder 12 ist sie setzen der Vorschrift für X 1 ich er wir Sätze des um K und L das heißt es P von der Menge aller Paare K und L aus wobei Capes L 10 11 oder 12 ist ja und jetzt können sich überlegen was ist das als sie können alle Paare durchgehen von 1 1 1 2 6 1 6 2 bis 6 6 alle durchgehen überlegen muss die Summe der Augen zahlen 10 11 oder 12 wenn Sie das machen kommen sie auf 4 6 5 5 5 6 6 4 6 5 6 6 das und die einzigen die übrig bleiben wo die Summe der Augen sein 10 11 oder 12 ist die können Sie jetzt abziehen kommen sie auf 6 das sind abwaschen Wahrscheinlichkeit Frauen haben ist die Wahrscheinlichkeit 6 36. zu wie Sie richtig gesagt haben also im Prinzip das hätten sie alles auch ohne das machen können was ich da mühsam hervor gemacht habe hätten sie viel schneller gemacht aber mir geht auch nicht bei den Zufallsvariablen geht auch nicht darum dass die Wahrscheinlichkeiten besonders elegant berechnen sein es geht darum eine neue Schreibweise einzuführen um diese Wahrscheinlichkeiten zu beschreiben gut Fragen dazu fragen um welche Art mit der Zeit haben Sie Zeit unsicher was zum Fragen oder oder zum Fragen ausdenken also könnten jetzt Fragen stellen wer Möglichkeit ja die Frage ist nur besteht der Sinn an der ganzen Sache das wir nicht ganz klar er liegt es nur an dem Beispiel oder brauchen wir später für komplizierte Sachen das brauchen später für kompliziertere Sachen ich kann damit gewisse Sachen einfach hinschreiben später als sich mit den Wahrscheinlichkeit Maßen machen kann also es bringt an diesem Beispiel überhaupt nichts sie können dieses Beispiel genauso gut ohne diese Schreibweise durchrechnen aber ich würde ihn später zum Beispiel mal den zentralen Grenzwert Satz formulieren wo das anschaulichste was gesagt wenn sie ein Zufallsexperimente immer wieder durchführen da kommt man Zahl aus sie addieren die Summe der Ergebnisse auf dann ist diese Summe approximativ normalverteilt normalverteilt war diese komische Verteilung Borchener letzten Mal Gedichte eingeführt hat approximativ Art normalverteilt heißt ich ziehe Mittelwerte Summe ab was auch immer der Mittelwert ist kommt noch Teile durch die Wurzel aus der Varianz was auch immer die Varianz ist so was wie die Streuung dann kommt der Standard Normalverteilung aus approximativ wenn ich dieses Anzahl bis auf Allianz gegen endlich gehen das bis kann es mit Wahrscheinlichkeit Maße nicht beschreiben das kann ich aber ganz einfach mit zu Fall zu oder der dich ganz einfach mit Zufallsvariablen hinschreiben weil ich gerade so auch agieren von Ergebnissen da kann ich einfach die Werte der 1 in Abbildung addieren dann habe ich das auch aufaddieren beschrieben ok die Frage wer noch mal was hat es mit der Klammer Sitzung auf sich na ja das da das eine ist die normale Mengen Klammer diese geschwungene Klammer ist die normale Mengen Klammer das heißt ich bilde die Menge von Elementen gewisse Eigenschaft haben da drin stehen und dann setzt sich diese Menge in dieses Wahrscheinlichkeit Maß P 1 und deswegen gibt es dann noch mal eine open bracket als die gemalt aber wie sie eine von Abbildungen kennen und ja hier gibt es dann und die ganz viele klamme gucken uns das mal an ja ja ganz außen haben der klar weil sie diese ganze menge da drinsteht Industrie einsetzen dann diese äußeren geschweiften Klammern sind Mengen Klammern ist die Menge aller Paare hier doch den open bracket für die Paare aus Ärger sodass diese Summe der beiden Komponenten in einer weiteren Menge drin liegt ist die Menge der Zahlen 10 11 12 als die geschwungenen close bracket wenn ich der Menge und die runden Klammern habe ich hier verwendet um anzudeuten oder zu sagen dass sätzlichen wurden Abbildung 1 oder steht es irgendwo ein gut noch eine Frage dann mache ich mal gnadenlos weiter
hier kommt ein Satz den ich nicht beweisen werde könnt ich beweisen von mal vorstellen wenn ich Wahrscheinlichkeit Raum ohne P hat und wieder strich eine beliebige Menge X von Amerikanern und wieder Strichlisten Abbildungen das heißt unser X ist mit Zufallsvariablen nach der bisherigen Moderation so wird durch ignorieren Sie meinen 1. Ausdruck des Index X von comma Index X von einer Menge ist gleich das Wasser und definiert haben P von der Menge aller um illegalen ohne gab zu dass Nixon und illegalen Aalstrich liegt dadurch wird ein Wahrscheinlichkeit Smarts auf und egal strich definiert das heißt dass Wahrscheinlichkeit Maß führen Wahrscheinlichkeit Smart das war das Ding was so ganz viele Eigenschaften hatten die Wahrscheinlichkeit sind alle größer gleich 0 kleiner gleich 1 die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung von 2 Mengen die sich nicht überlappen ist ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten und so weiter das heißt diese ganzen Gesetzmäßigkeiten gelten hier automatisch auch also ich kann zeigen wenn P diese ganzen Gesetzmäßigkeiten der für den Fülle aber neues IX von strich er die ganzen Gesetzmäßigkeiten und damit ist dieses und widerspricht PX dieses neue Paar ist ein Wahrscheinlichkeit Frau das heißt wenn Sie Wahrscheinlichkeit Frauen haben Sie der definieren darauf in Abbildung dann haben sie sofort einen neuen Wahrscheinlichkeit und diese Wahrscheinlichkeit Raum beschreibt in den des Experiment mit Ergebnis X von oben war ich habe hier noch eine andere Schreibweise gemacht das dessen abkürzende Schreibweise was sie ganz Link steht da kommt mir weitere und zwar ich kenne auch eckige Klammern open square bracket Element comma das ist eigentlich nur ein Symbol das sollte heißen dass ist die Wahrscheinlichkeit dass diese zufällige werden der Menge Aalstrich liegt also immer wenn ich so eckige Klammern schreibe dann meine ich das ist die Wahrscheinlichkeit wo die Bedingungen die in der eckigen Klammer stehen erfüllt sind und die Bedingungen die in der Klammer stehen damit ist gemeint der zufällige wird soll in der Menge spricht trendigen beachten Sie dieses X ist der eigentlichen Abbildung das heißt dieses X wird nie im Leben A Strich drin liegen also die Abbildung Kaffee sondern die Bilder von der Abbildung das heißt die Werte die die Abbildung annehmen können da drin liegen so gesehen ist die Schreibweise eigentlich 10 taktischer und sehen aber es ist eben nur eine Schreibweise intuitiv logische betrachten den zufälligen wert und der die Bereich die Wahrscheinlichkeit aus dass der zufällige werden eine Menge trennt und dass der zufällige wird größer gleich 5 ist und dass der zufolge gewährt der kleine gleich 7 ist und so weiter solche Sachen schreibe ich mit den eckigen Klammern meinen tu ich damit das Ding okay Bezeichnung dieses Wahrscheinlichkeit Maß PX heißt Verteilung der Zufallsvariablen es war der zweite Begriff das heißt wir haben dazu weil wir an den Begriff der Zufallsvariablen das ist einfach eine Abbildung die unsere Grundmenge das Wahrscheinlichkeit Suppenbar Raumes woandershin abbildet und wir haben den Begriff der Verteilung und die Verteilung beschreibt das Wahrscheinlichkeit Smarts PX von comma was gerade die Wahrscheinlichkeiten angeht vom Zufallsexperimente mit Ergebniss X von auch Mieter statt mit der geht es auch mit der alles was Experiment mit Ergebnis um wird beschrieben durch B ist weit Experiment mit Ergebnis X von ohne gab wird beschrieben durch die X von Arsch X ok in die 1. Bemerkungen häufig verwenden wir die Begriffe Wahrscheinlichkeit Maß und Verteilung Synonymen das heißt unterscheidet nicht zwischen diesen beiden Begriffen können sich in jeder also gut Jahren gerade eben gesehen das sagt der obige Satz diese Verteilung ist immer Wahrscheinlichkeit Maß also jede Verteilung wissen Wahrscheinlichkeit ich finde es anders argumentieren jedes Wahrscheinlichkeit Maß kann ich als Verteilung darstellen möchte ich aber nicht unbedingt machen bei Ihnen sondern glauben Sie es mir einfach das geht und damit unterscheidlich nicht mehr zwischen diesen beiden Begriffen das heißt ab sofort wäre verwenden wir heute Gstaad diesen ganzen Wahrscheinlichkeit Maßen wieder eingeführt haben verbinden wir Zufallsvariablen ihre Verteilung und was bringt das Ganze der große Vorteil von Zufallsvariablen ist das damit Operationen wie aufsummieren der Ergebnisse von Experimenten leicht Geschrei passend sehen Sie im Moment nicht werden sie aber später sehen das heißt ich kann damit mehr machen also was habe ich gemacht der eigentlich nur die Schreibweise verändert oder unser Sprachgebrauch verändert und ich mache das Ganze weil wir damit in Zukunft leichte Sachen beschreiben können gut ich noch mal fragen fragen nicht ja nicht mehr auf der ersten Seite der taucht Sohn
und weniger auf gar Strich auf und er ist auch egal Strich ist einfach mit 2. Menge die ich mich auch strich bezeichnen ich könnte auch mit der B bezeichnen ich könnte auch mit einem sonstigen griechischen Buchstaben bezeichnen aber er üblich sind hier die Bezeichnungen das da heißt auch mega und das Bild bezeichnen meistens mit und strich und meint einfach eine zweite Mengen als ich um den Ableitung Symbol oder so was weil das gibt es nicht bei Mengen soll es einfach nur eine neue Bezeichnung also das soll andeuten dieses Symbol ist in diesem verschieben okay wir fragen ja guten
besser nicht mehr gehen ja sie sind auch die
eine oder sie sind sein nicht hier sehen Sie es noch
meine ich hatte und so auch länger ich aber hier diese Menge und da habe ich eine neue Menge eingeführt die habe ich dann als der Strich bezeichnet also nur das Symbol für die neue Menge ok damit waren wir nicht
hier ich habe jetzt gesagt häufig verwendet man die Begriffe Wahrscheinlichkeit Massenverteilung segeln gehen ich habe ihm gesagt ich werde ab sofort über den von den Begriffen und die Wahrscheinlichkeit smarte der ich nicht mehr so verbinden so noch die Begriffe Zufallsvariablen Verteilung und damit muss ich den ganzen das Ganze was wir bisher eingeführt haben ein Sprechweisen die Wahrscheinlichkeit Maße übertrage ich auf die nächsten 2 Folien auch Verteilungen das eine was wir
hatten war die war das will diskrete Wahrscheinlichkeit Smart das diskrete Wahrscheinlichkeit Maßes waren Wahrscheinlichkeit Zimmers da hatten wir endlich viele oder abzählbar viele Punkte da haben wir die Wahrscheinlichkeiten festgelegt diese Wahrscheinlichkeiten habe so festgelegt dass alle Zahlen zwischen 0 1 1 1 zu 1 aufsummiert haben zwar die sogenannte und dann haben wir die Wahrscheinlichkeit einer Menge ausgerechnet in dem wir gesagt haben die Wahrscheinlichkeit einer Menge ist die Summe der Wahrscheinlichkeit aller Punkte die in dieser Menge drin liegen also wenn man alle gucken uns alle Punkte an die der Menge drin liegen addieren deren Wahrscheinlichkeiten auf so haben wir in dem Fall letzte Vorlesungsstunde Wahrscheinlichkeiten berechnet denn spricht der die diskreten Zufallsvariablen dies gelte Zufallsvariablen Nierentisch Wahrscheinlichkeit eines nur Werte aus einer endlichen oder höchstens abzählbar Menge ein das heißt er die Verteilung dieser Zufallsvariablen erkenne ich eine endliche oder abzählbar unendliche Menge die Setzliste einen dann soll er insgesamt 1 als Wahrscheinlichkeit auskommen dann hat eine gewisse Beispiele für Verteilungen werden die Binomialverteilung entsprechend heißt Zufallsvariablen bin binominale Jahr verteilt mit Barmitteln und P falls ihre Verteilung eine Binomialverteilung mit Barmitteln und des ist und 2. komische vor ihrer letzten Mal hatten wir hatten wie beim vorletzten Mal Zufallsvariablen heißt Osdorfer teils mit miteinander als ihre Verteilung eine Verteilung mit Parametern miteinander ist ich Schweiz nochmal mal kurz sehen was das war das erste ist die zu was variable soll binnen Jahr verteilt seine Parametern in und neben einigen wir die Abkürzung x ist BNP verteilt ich mache ein genau dann Zeichen mit Sonne period und meinen das ist definiert durch das was steht was das Recht steht und das sind definiert durch das die Wahrscheinlichkeiten das X den wird K annimmt das schreibe ich ein colon leicht weil damit meine ich wieder die Wahrscheinlichkeit von der Verteilung X von der ein Dominikaner ein bisschen größer schreiben und dann muss ich das wohl machen und das ist Pech ich schreibe Ihnen die Wahrscheinlichkeit dass X gleich K ist wieder in eckigen Klammern damit meine ich die Wahrscheinlichkeit bei der Verteilung des X von der Einkommen Menge K die sei gleich n über k mal mal 1 minus P O N S K 4 0 kleiner gleich K kleiner gleich in das heißt wenn X BNP verteilt ist dann gebe ich Wahrscheinlichkeiten vor dass die Zufallsvariable einen der Werte von 0 bis in annimmt nennt und diese Wahrscheinlichkeiten werden durch diese Formel beschrieben Wahrscheinlichkeit dass ich's gleich K ist es n über k Marquee ok einziehen PON Minister diese Wahrscheinlichkeiten summieren zu 1 auf damit sind automatisch alle anderen Wahrscheinlichkeiten das oben andere period auf taucht gleich 0 weil die Summe der Wahrscheinlichkeiten dass die Zufallsvariable Omen welche Punkte und müssten bei diskreten Zufallsvariablen ja 1 oder ist bei diskreten Zufallsvariablen vereint die Formen müssen Sie nicht gerne oder nicht unbedingt auswendig wissen würde ich in einer Klausur im 2. Fall vor geben wenn es bräuchten aber nur zur Erinnerung nochmal so was hatten wir schon vor 2 Wochen das zweite ist das X iSport aufeinander verteilt ich schreibe dafür einen Peter von Intel Ammerlander verteilt als Abkürzung Alsen beides Abkürzung x BNP Parteilisten Abkürzungen Export aufeinander verteilten dessen Abkürzungen damit ist gemeint die Wahrscheinlichkeit dass ich's gleich klar ist Islam auch gar durch K Fakultät mal wie hoch Minus landen für K aus die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich nun das waren 2 Modelle für wahrscheinlich gehalten die wir bereits kennen gelernt haben und ich ihn bereits schon mal hin
geschrieben hatte und die schreibe ich ihn jetzt noch mal den für Zufallsvariablen das eine haben in der letzten Vorlesung aber habe ich den letzten Vorlesung versucht zu motivieren mit dem Doktor Beispiel das zweite an der gesagt ist der Approximation des 1. wenn in groß ist und wie klein beide Modelle hängen von Parametern ab das 1. von NPD und das zweite von Parametern andere Zahl größer 0 also da kann ich noch unbekannte Werte ein setzen und wir werden uns nach Weihnachten überlegen wie wenn der konkrete Beispiele aus der Praxis haben die wir mit Verteilungen modellieren wollen also die der Union zu formulieren wollen welches diese Modelle wird da wählen und die wir sinnvollerweise die Parameter dann wählen damit zu den beobachteten Daten aus der Praxis okay können dann kommt ein 2. Begriff wir betrachten die Zufallsvariablen die Werte in er annehmen das heißt ich habe Aids das geht von Onmeda nach das ganze Ding man nicht stetig verteilt mit dichte F und unerfahrene Abbildung von Erna ja oder er nach Abriss Alsen Abbildungen die nicht negativ war und die zu 1 agiert hat genau dann wenn das Geld ja die Wahrscheinlichkeit das X 1 Wert aus einer Menge annimmt damit war gemeint dieses P Index X von der Menge Ar das können Sie beschreiben in dem sie über die Dichte integrieren über die Menge an für alle Teilmenge R hatten wir auch schon ich nachher noch meine Bilder zu sie haben hier irgendwo Gedichte sie haben hier oben wo eine Menge A und sie berechnen dann die Wahrscheinlichkeit diese Menge in dem sich der Flächeninhalt angucken zwischen der Dichte und der Edwards im Bereich dieser Menge weil ich ganze vielleicht hochschieben denn dies vielleicht besser und wie an darunter alles war die zweite Sache die entspricht jetzt unseren Wahrscheinlichkeit Smartphone mit dichten ich spreche dann von stetig verteilten Zufallsvariablen dichten und ich berechnen die Wahrscheinlichkeiten so wie bisher bei den Wahrscheinlichkeit Maße mit dichten in den ich eben über diese Dichte integrieren okay wenn Sie so weit hätten können dies nicht wieder ausmachen gut ich glaube ich kann wieder ausmachen die entsprechenden formen kann mit einer entsprechenden Abkürzungen kommen jetzt auch hier auf der und entsprechende Sprechweisen für Zufallsvariablen comma hier nochmal auf Folien der Folie die Sonne gab die ein Wahrscheinlichkeit Raum so heißt die der Abbildung X von um Meganacht R 1 Elle Zufallsvariablen das heißt eine Elle Zufallsvariablen ist eine Zufallsvariable wurde Werte in erreichen
eine stetig Vorteile Zufallsvariablen mit Dichte ist eine reale Zufallsvariablen deren Verteilung eine dichte hat also ich das Wahrscheinlichkeit Smart durch dichte beschreibe das heißt das war das was ich gerade an die Tafel gemalt habe dieses Bildchen 10. sie berechnen Wahrscheinlichkeiten indem sie über eine fest vorgegebene Funktion die sogenannte dichte integrieren und jetzt können sie für die Dichte verschiedene Modelle wählen Daten am letzten Mal 3 Stück werden die Gleichverteilung der hatten die exponential Verteilung und wir hatten die Normalverteilung habe ich ihn vorgestellt mache ich immer noch mal ganz kurz auf der Formel auf der Folie oder die Folien zuwider und die Formen zu wiederholen das heißt ich mache entsprechende Sprechweisen für Zufallsvariablen 1. der Zufallsvariable heißt gleich verteilt auf dem Intervall AB falls ihre Verteilung eine Gleichverteilung mit Parametern A und B ist das heißt weil sie als dichte die Dichte hat die bei der Gleichverteilung auf Intervall von A bis W auftaucht und dafür nehmen wir die Abkürzung kurz x ist verteilt 2. bist Zeichnungen mit Zufallsvariablen X heißt exponential verteilt mit Parametern da falls ihre Verteilung eine Exponential Verteilung mit miteinander ist das heißt falls Sie was es bestehe die verteilte Zufallsvariablen Gedichte ist wobei die Dichte gerade die Dichte der exponential Verteilung ist und bis auf die Schreibweise dafür ist kurz X ist exponential voneinander verteilt und drittens die Zufallsvariablen reisten sprechen normalverteilt mit Parametern aber trat was ihre Verteilung eine Normalverteilung Bildparameter betrat ist kurz X ist n A sieht Quadrat verteilt ich wollte ihn eigentlich noch an die Tafel malen aber wir haben um die keinen so rechten Platz an der Tafel Gespräch zum bisschen dagegen wer aber schon gut mehr mehr wer aber schon gut mehr also ich mal sehen vielleicht nur ganz kurz die Bilderchen dazu gar nicht habe wir überlegen uns noch mal gesehen Gedichten aus ich brauche 3 Stück ich brauche die Dichte von der Gleichverteilung ich brauche die Dichte von der exponential Verteilung und ich brauche die Dichte von der Normalverteilung wie sah die sich von der Gleichverteilung aus Samen Intervall von A bis B vielleicht wie lange Gedichte aus wissen Sie das noch was beschriebene Gleichverteilung ja wenn sich erinnern das Beispiel für Gleichverteilung ist bezahlt wird rein zufällig aus dem Gewissen dabei gezogen das heißt das Ding soll innerhalb von diesem Intervall liegen was rauskommt das heißt außerhalb muss die Dichte gleich 0 sein wird außerhalb soll nicht vorkommen und innerhalb von diesen Intervall sollen alle werde gleich die gleiche Masche oder gleichberechtigt sein aufzutreten oder alle Bereiche deswegen gehen wir die Dichte innerhalb des sind damals als konstant das heißt es da irgendwie so aus dann das zweite die exponential Verteilung war eine Verteilung von der Lebensdauer Lebensdauer oder bei Wartezeiten Vorgänge die werden die 0 deswegen ist die Dichte 0 im Bereich das kleine ist kleiner als 0 ist und danach ist exponentiell abgefallen als Diffamierung wo ein Mann geht exponentiell nach unten sagen wir so aus und das 3. die Normalverteilung gab eine Gaußsche Glockenkurve ähnlich wie hier das heißt ja morgen wollen ein period und links und rechts davon hält symmetrisch ab und die entsprechende Zufallsvariablen heißt verteilt weil sie eine Dichte von dieser Bauart hat ich kann in der Formel dafür hinschreiben machen aber nicht wie sie heißt exponential verteilt falls sie endigte dieser Bauer hat wie stark das die abfällt bestehe und wie hoch ist hier ist bestimmt dieser Parametern andere exponential Verteilung und sie heißt normalverteilt eine Dichte von dieser Bauart hat wobei die 2. war mir die sie hat in als Sigmar Patra das eine ist der ist die X goldener des hoch period und der zweite Paar mit der sagt wie breit das ganze Ding hier wird in ihrem ok Fragen so weit haben sie können die Klausur Probleme schaffen eine sehr und ich meine wenn sie mal überlegen was habe ich denn gerade gemacht ich habe doch nur Schreibweisen eingeführt ja oder was müssen wir dann Schreibweisen verstehen also die anderen waren wenig verstehen ja was müssen Sie dann Schreibweisen verstehen ab ein Schreibweisen gibt eine nicht zu verstehen denn sie müssen sie nur ein bisschen kennen einig aber sie sollten sie meinen sie studieren also eine Wanderung weil ich immer mehr Schreibweisen einführe mehr also es gibt heute schon und wie schwierig abstrakt und so und das nicht ganz offensichtlich lassen damit soll war eigentlich zu verstehen gibt es nicht als Bühne es sind nur 1 mehr Formen die sich merken müssen also müssen sich halt merken so eine Wahrscheinlichkeit Bereich nicht bei einer Gleichverteilung durch ein integral sie müssen sich merken so sieht ungefähr die Dichte aus das können Sie im Prinzip genau schreiben weil sie haben ja die Werte am Wege gegeben sie sollten auch wissen wie der gesamte Flächeninhalt zwischen der der Dichte ist 1 das heißt die Höhe muss ja so sein dass der Flächeninhalt von dem Recht gleich 1 ist Grund sei deswegen minus dann sehen Sie es 1 durch PISA können sie sich der angeben und wenn sie jetzt Wahrscheinlichkeit ausrechnen wollen ja dann können sie sofort mit der sprechen er gleichen Inhalt ausrechnen also wenn sie Wahrscheinlichkeit von dieser Menge haben wollen dann müssen sich überlegen wie groß ist der Flächeninhalt zwischen der X sagt Sonderfunktionen dieser Menge und das ist dieses kleine Rechteck wenn so vor dem Flächeninhalt ausrechnen wenn sich ihren Wahrscheinlichkeit von worden da man ja haben wollen mehr dann müssen Sie eigentlich Integrale berechnen werden Sie den Übungen machen oder wird sind wir aber werden Übungen machen wissen Sie Stammfunktion dazu kenne aber das nicht auch schwierig wenn sich hier der Wahrscheinlichkeit ausrechnen wollen dann müssen sie diese Funktion integrieren dann können sich überlegen was die Stammfunktion gerechten Sie sind gerade aus das integral rechnen sie gar nicht mehr aus weil es närrisch weil es der explizit nicht mehr geht das heißt da gibt und welche anderen Tricks das machen sie entweder am Rechner oder sie wenigstens aus irgendwelchen Tabellen ab aber das machen dennoch meine Übungen und als vielmehr müssen sie eine staatlich verstanden haben also gesehen wissen so viele Buchstaben ja dann werden sich nicht Buchstaben sondern sich wie die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden mehr also wenn schon aber das kapiert haben die eine Möglichkeit dass sich gibt eine Funktion vor und sie Bereichen Wahrscheinlichkeiten indem sie darüber in Flächeninhalt ausrichten haben schon viel verstanden und es gibt diese Arten von Funktion habe ich in vorgestellt die zweite Möglichkeit war ich gewinne Einzel Wahrscheinlichkeiten vor von einzelnen Punkten und sie reichten Wahrscheinlichkeit von man aus indem sie diese einzu- Wahrscheinlichkeiten aufaddieren genau besprechen unternommen nach also gut wäre aber ich muss gestehen ich habe natürlich wieder so eine fiese Frage für Sie für was beabsichtigt der
nächste Minister ist wir betrachten normales unbeeinflusste werfen zweier echte Würfel die Zufallsvariablen X hat als wird die Summe der Augen zahlen die bei den beiden Wochen nach den Bug obliegt und ihre Aufgabe ist bestimmen Sie die Verteilung von nichts jetzt haben Sie natürlich vollständig recht das ist ja nicht so dass man da nichts wissen muss aber anders als es die ein Hinweis drauf mehr der Hinweis steht auf die Verteilung des X 1 X ist ein diskretes Wahrscheinlichkeit Maß warum ist ein diskretes wahrscheinlich Maß ja klar weil wir das X der nur endlich viele Werte in Frage kommen wenn ich 2 3 4 5 bis 12 kann die Summe der Augen sein sagen das heißt nur und dieses gelte Wahrscheinlichkeit Smart ist durch seine Ziele Dichte die Wahrscheinlichkeit dass Text leicht klar ist sogar aus in 0 eindeutig bestimmt was heißt die war steht hier und hier steht ja sollen sich überlegen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass X den Wert K annimmt wenn K eine Zahl aus er 0 ist und das müssen Sie bestimmen das ist die ganze Aufgabe klingt irgendwie furchtbar kompliziert aber der Faktor läuft darauf hinaus sie sollen angeben wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass beim Werfen zweier echten Würfel die Summe der Augen zahlen 0 des 1 S 2 S 3 S 4 S und so weiter bis 12. 13. 14. 15. okay gut ich dass sie den bisschen Zeit und dann besprechen das marode meine Frage das reicht er die Frage der mit Form wieder Motor des genauen Index und dürfen sie machen wie sie wollen sie können das jetzt genau hin denken Sie können ich mache sie nach einer Lösung mit der Formel aber sie können es auch und sieht ohne oder mit der Form wie es gerade in der Vorlesung gemacht haben aber sie können es auch einfach durch elementares überlegen machen ok würde ich ihn ganz gern das Ergebnis vorstellen ich
habe ihn schon gesagt nächsten nur die Werte 2 3 bis 12 und an weil diese so der Augen seines dann ein der Zahlen zwischen 2 und 12 damit ist x x x 1 diskretes Wahrscheinlichkeit Maß es keine Wahrscheinlichkeit Maße sind durch die Zelldichte eindeutig bestimmt das heißt es genügt die Zelldichte anzugeben um die Verteilung und damit dieses diskrete Wahrscheinlichkeit Maß anzugeben es ist auch klar es gilt die Wahrscheinlichkeit dass Text gleich heißt ist 0 wenn K keinen der Zahlen 2 3 und so weiter bis 12 ist weil diese Zahlen können auftreten jetzt muss ich sukzessive die Zahlen durchgehend K gleich 2 K gleich 3 K gleich 4 und so weiter und die Wahrscheinlichkeiten bestimmen ich habe mir mal circa gleich 3 gemacht in dem die Bezeichnung aus der Vorlesung das heißt wir haben laschen Wahrscheinlichkeit Raum und wie gar Gruppe in der Grundmenge gerade diese 36 Möglichkeiten für die beiden Würfel Zahlen drin stehen mich interessiert dann dass die wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit dass X gleich 3 ist nach Definition ist die Wahrscheinlichkeit von der Menge aller Paare und wieder 1 wieder 2 wo die somit gleich 3 ist und im Prinzip könnten Sie so ohne diese Definition jetzt berechnen Sie können sich einfach überlegen er die Wahrscheinlichkeit dass die Summe der Augen sah gleich 3 ist da muss halt eines der Paare auftauchen oder ein paar so auftauchen dass die Summe der beiden Zahlen gleich 3 ist können sich überlegen was denn das ist ja das ist 1 2 und 2 1 sind nur 2 Paare ja und jetzt habe ich dummerweise also hier geschweifte Klammer und hier sind geschweifte Klammern eigentlich um die Paare drumrum Sorry habe ich vergessen und dann sehen Sie Sie haben abwaschen Wahrscheinlichkeit haben Sie haben eine Menge vom die da 2 Elemente der den Wahrscheinlichkeit 2 36 und damit haben die Wahrscheinlichkeit dass X gleich 3 ist bestimmt durch 2 36 also können sie jetzt überlegen was die Wahrscheinlichkeit dass Text gleich 2 ist ja gibt es nur ein einziges Paar nämlich 1 1 also haben die Wahrscheinlichkeit 1 36. die Wahrscheinlichkeit dass X gleich 4 es da haben Sie 3 Paare 1 3 2 2 und 3 1 das heißt die Wahrscheinlichkeit ist 3 36. und insgesamt bekommen Sie dann die Wahrscheinlichkeit dass wir 2 Auftritt 1 36. mit 3 Auftritt 3 2 36. und so weiter bis zu 7 6 36. dann geht's wieder runter die Wahrscheinlichkeit dass die Summe gleich 8 ist es 5 36. 9 4 36. und so weiter bis 12. wieder ein 36. und damit hätten sie die Verteilung dieser Zufallsvariablen bestimmt das heißt die hätten des Wahrscheinlichkeit Smart bis dieser Zufallsvariable zugeordnet ist bestimmt Fragen dazu ich glaube es reicht zeitlich nicht das abschreiben kann in der auf die Umwelt schätzen das okay können Sie sind der Ausdruck bitte okay
comma zum nächsten Abschnitt 2. Teil der Vorlesungen über Unabhängigkeit ich habe Wahrscheinlichkeit Traum und wieder abnehmen und mich interessiert die Frage wann sich 2 Ereignisse gegenseitig nicht beeinflussen ich mache ein Beispiel dazu wir betrachten das werfen 2 echte Wurzeln und definieren uns jetzt diesmal 3 Ereignisse A B und C es Augenzahl beim ersten nur ist mit wächst besten Augen zweiten nur für das mit 3 und sie ist die Summe der Augen seines größer als 10 mich interessiert nun die Frage beeinflussen sich die Ereignisse A und B gegenseitig bzw. beeinflussen sich die Ereignisse A und C gegenseitig damit meine ich hat das Eintreten eines der Ereignisse Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses also falls sich Zusatzinformationen bekannt bekommen also Sie werden diese beiden Worte und wie soll um wieder außerhalb übertreffen zum Beispiel ob die Augen seinen zweiten Würfel mit 3 ist und jemand sagt die ihn aber und überlegen sich ja wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ja wir nachher gleichmachen haben wir zahlen dann sagt Ihnen jemand als Zusatzinformation ich habe gesehen die Augen beim ersten Wurf ist wächst in der diese Zusatzinformation irgendwas oder sie sollen sich überlegen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Summe der Augen Zahlen größer als 10 ist die überlegen sich das rechnen das aus wenn Sie machen haben wir wollen gemacht war 6 36. und niemand sagt aber zusätzlich die Augenzahl 1. Würfel ist der Text das habe ich gesehen ändert sich dadurch die Wahrscheinlichkeit dass die Summe der Augen seien größer als 10 ist ja intuitiv und sie und wir warten bis sollte sich einig auswirkende wenn es 1. schöne 6 ist dann wird es erscheint umso wahrscheinlicher werden dass die Augen zu müde Augen seien größer als die des und während wenn Sie wissen wollen ob das beim 1. offene 6. und Sie haben gesehen am 2. ist mit 3 bringt den ich nix okay aber aber das möchten wir im Folgenden irgendwie formal definieren also wann sich solche Ereignisse gegenseitig nicht beeinflussen und ich werde es dann hochziehen also über tragen auch im Begriff dass ich ganze Zufallsvariablen gegenseitig nicht nicht beeinflussen also 2 verschiedene Zufallsexperimente die 1. wer was miteinander zu tun haben oder 2 Teilaspekte des gleichen Super Sexperiment sollen sich gegenseitig nicht beeinflussen gut hier kommt wieder die formale
Folie wobei so alt formales es nicht aber ich gebe zu essen paar Bezeichnung drauf wir haben Wahrscheinlichkeit Raum um wir haben 2 Ereignisse an die also vor war aber die Wahrscheinlichkeit dass beim 1. Würfel eine der 1. Woche mit 6 oben landet B die Wahrscheinlichkeit dass der 2. Woche mit 3 umwandelt ich für dieses zugrunde liegende Zufallsexperiment mal durch vielleicht 100 mal das heißt beim vorigen Zufallsexperimente ich für die beiden Würfel hundertmal dann sehe ich der bewahrt wie oft tritt das Zufallsexperimente das er geht das Ereignis A 1 bestimmt eine Anzahl in Index aber das heißt ich überlege mir bei diesen hundertmal dürfen wie oft war der 1. Wochen 1 wächst das Gleiche mache ich für B das heißt beim 100 liegen werfen wie oft ist der zweite Würfel 1 3 und ich mache es auch für geschnitten B das heißt dass beide gleichzeitig eintreten das heißt wie oft war der 1. Wochen 1 6 und gleichzeitig der zweite Würfel 1 und jetzt sage ich weiß ist die Ereignisse an des gegenseitig nicht beeinflussen sollte für großes N approximativ das folgende gelten wenn ich mir angucke wie oft 3. A und B an ein in den Fällen wo nur die eingetreten ist das heißt ich habe dieses hundertmal liege werfen des Viertels war der zweite Würfel ist mit 3 ich gucke mir alle diese Paare von wofür zahlen an wurde 2. 3 ist die Anzahl SNB und bestimmen dann unter demjenigen diejenige Zahl wo auch noch oder diejenige eines davor noch zusätzlich der 1. Woche 6 war in geschnitten und dann sage ich das dann ungefähr genauso groß sein wenn die sich gegenseitig nicht beeinflussen wie das in diese relative Häufigkeit dass der 1. Würfel 1 6 war unter den 100 Mal also dieses N A durch in also hier brauche ich mehr 2 Sequenzen oder ich habe diese diese ganzen Abfolgen von diesen Ergebnissen der Zufallsexperimente ich gucke mir erstmal die Häufigkeit des Eintretens von A 1 unter allen und dann gucke ich mir die Häufigkeit des Eintretens von A 1 unter der Nebenbedingung dass B eingetreten ist das heißt dass der zweite offene Treiber und ich sage wenn die sich gegenseitig nicht beeinflussen und n sehr sehr groß ist also nicht vielleicht 100 und ich vielleicht 1000 soll vielleicht zu 10 Millionen 100 Millionen dann sollen diese beiden Zahlen ungefähr gleich sein und analog mit Mengen an die vertauscht das heißt wenn ich mir angucke wie auf das B insgesamt eingetreten oder wie auf das B relativ eingetreten unter allen bei allen Ergebnissen ist Super 6 wer man ist und wie oft ist nur bei den eingetreten wo auch zusätzlich eingetreten ist relativ dann sollen auch diese beiden Seiten gleich groß sein und das ist das was ich intuitiv definiere als die Ereignisse beeinflussen sich gegenseitig nicht das können Sie jetzt umformen ich kann mit entweder durch Multiplizieren hier mit ein durch Musizieren ich kann beides mal durch in Teilen dann steht da das Ganze ist das gleiche wie in geschnitten durch enden soll ungefähr gleich in durch in meinen B durch sein also wenn die beiden Ereignisse sich gegenseitig nicht beeinflussen soll diese Beziehung gelten und jetzt was ich da n gegen unendlich gehen dann wissen Sie ja diesen durch diese relative Häufigkeit konvergiert gegen oder nähert sich immer unserer wir unser Wahrscheinlichkeit P von an dieses MB von 1 Komma nähert sich immer mehr und Wahrscheinlichkeit die Fernweh an und dieses N A geschnitten wäre ich n nähert sich immer mehr der Wahrscheinlichkeit von geschnitten werden und das definiere ich dann als unabhängig 2 Ereignisse an der heißen unabhängig falls gilt die Wahrscheinlichkeit von geschnitten B ist leicht Wahrscheinlichkeit von A mal Wahrscheinlichkeit von B okay Fragen so weit alles war jetzt die Definition man sich zweier Ereignisse an des gegenseitig nicht beeinflussen ich habe oben über relative Häufigkeiten motiviert mit diesen beiden Formeln die und bisschen intuitiv sich klar machen kann comma sagt ja der gucken wie es eben nur die Ergebnisse an wo das eine eingetreten ist bilden dar dabei die relative Häufigkeit oder wir gucken uns unter allen unter allen Ergebnissen die relative Häufigkeit an und das soll und diese beiden relativen Häufigkeiten sollen approximativ gleich sein ich lasse dann gegen endlich gehen und kommt insgesamt auf die Beziehung P von Geschichten des von aber die von die mehr das Beispiel oben wir beschreiben das
werfen der beiden Würfel durch einer blassen Wahrscheinlichkeit Raum wieder Grundmenge ist die Menge aller Würfel Paare 36 Stück dann gilt aber war 1. Woche soll alles weg sein ja dann sind alle Paare wurden 1. nur weg steht das heißt 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 okay ist sind alle Paare wo beim 2. offene 3 steht also 1 3 2 3 und so weiter bis 6 wächst und sehe ja die Summe der Augen Zahlen größer gleich 10 die hat man schon gesehen dass in 5 6 6 5 6 6 größer 10 handelt größer beziehen die versagt ja ja größer 10 gesagt gut deswegen sind jetzt nur 3 5 6 6 5 6 6 ja wie groß ist denn dieses großen dann die Wahrscheinlichkeiten W von B vom BP Fernsehen ein Sechstel also 6 36. 6 36. und 3 36. also one sixth one sixth und 1 12. haben Sie für C gesagt richtig und jetzt wollen wir nachprüfen ob diese Ereignisse A und B und A und sie unabhängig sind das heißt ich muss ausrechnen ob B von geschnitten B er sich muss geschnitten bilden ob das Beispiel von A B von B ist und ich muss mir von geschnitten C ausrechnen und überprüfen es ist leicht Beispiel von aber die fand sie ja machen wir das hier ist noch mal das Wasser bereits gesehen haben wie groß ist die von geschnitten werden vorschläge weiter ein anderes 4. hat schon ob also geschnitten B ist nur das Paar 6 und 3 das einzige Paar das in beiden Mengen drin liegt 6 3 richtig und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P von Angestellten in 1 36. richtig das 1 36. und wie groß ist deren Arbeit liefern von des wenn Sie jetzt bilden P von Arbeit die von der sollen ja das es vergleichen die von geschnitten BWP von aber von B um festzustellen ob sie unabhängig sind oder nicht auch ein 36. bei von als und wechselte von diesen 6. das heißt die von Arbeit wie von des ist ein 36. das heißt wir sehen A und B sind unabhängig überprüfe das Gleiche für sehen wie sieht aus wie groß ist die Wahrscheinlichkeit liefern von geschnitten C 2 36. richtig sie bilden also wieder die Menge A geschnitten sehen und dann sehen Sie da ist wenn die 6 5. gemeinsam drinnen die 6 6 werden die 5 6 war hier nicht drin das heißt das ist P von 6 5 6 6 also 2 36. und wenn Sie jetzt vergleichen mit A X B von C was daraus kommt auch 2 36. aus nein das kommt nicht aus das sind 3 36. ein Sechstel also wenn sie oder 6 36. x 3 36. wenn das miteinander multiplizieren das geht eben nicht 2 36. das heißt es ungleich und wir sehen A und B sind unabhängig aber und sie sind nicht unabhängig fragen so weit ja sie weiß ich auf einen Fehler bei der Klammer einen herzlichen Dank da haben Sie recht wer sich hier geht geht eine open bracket wenige dahin nicht mehr zu vollständig richtig die Dame habe ich vergessen muss ich gestehen der zweite open bracket wir heute in den Vorlesungen folgen peinlich peinlich ich gebe es zu der ja wir können sie nicht mehr wenn Sie sich durch eine derbe wird wer die Frage wer macht sie die schlecht mit seiner Sie oder ich nehme er nein keine Angst die kommen zu mir nicht mehr und ich muss dazu sagen ich halte Vorlesen auch nächstes Jahr wieder also die kommen Sie mir nicht mehr und ich wollen nächstes Jahr wieder also kein Problem versorgen müssen Sie keine Angst haben wäre nach dem Sinn Statistik durch durchgehalten waren sind müssten sie könnten Sie ja theoretisch dann im nächsten Jahr die volle nochmal Maronen und da ich die widerhallte und sie nicht zu mir kommen können Sie anstatt ist die nicht durch Farbe und haben Sie verstanden dann nicht so dass wir die also ist nicht so es gibt der Vorlesung Statistik da fällt über die Hälfte durch und da hat man dann 210 der Kerzen richtig mehr das nicht so der es gibt keine es besser als ich machte er geht ja sonst fragen abgesehen von kleineren Fehlern gut dann sind wird jetzt gerade noch mal zurückgegangen zum Begriff des verblassen Wahrscheinlichkeit Traum jetzt mache ich das Gleiche nochmal mit Zufallsvariablen als ich möchte jetzt hinschreiben wann sich 2 Zufallsvariablen gegenseitig nicht
beeinflussen und zwar habe ich dazu Zufallsvariablen definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit Zorn das heißt die haben ein super Experiment und greifen mit einer Zufallsvariablen einen Teilaspekt raus und gleich mit der 2. Zufallsvariablen einen anderen Teilaspekt raus und Sie wollen wissen beeinflussen sich diese beiden Teilaspekte die sie aus Gebieten gegriffen haben gegenseitig ja oder nein also vielleicht sie werfen 2 wurde die 1. Zufallsvariable gibt die Zahl beim 1. Wurf an die zweite Zufallsvariablen bestimmt ist die Summe der Augen sein bei fest dass es sich gegenseitig in dem Sinne dass man sie einer der beiden Werte wissen zum Beispiel in der 1. Woche ist alles Auswirkungen auf die Berechnung der Wahrscheinlichkeit dass der das des 2. war das ok wenn sie ihre Unterhaltung so weit einstellen könnten wäre ich sehr dankbar Dankeschön ok hier kommt die abstrakte Definition der ein Wahrscheinlichkeit Raum ohne P ab und P wir haben 2 Zufallsvariablen X und Y zweimal Elle Zufallsvariablen das sein Abbildungen von und ja nach er die Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig falls wir alle Teilmengen an B von ihrer gilt die Wahrscheinlichkeit dass gleichzeitig XNA liegt und y in B liegt sei das Produkt der Einzel Wahrscheinlichkeiten sei die Wahrscheinlichkeit das XNA liegt weil die Wahrscheinlichkeit dass YB liegt ich müsste vielleicht ganz kurz erläutern was ich mit dieser ja ich muss in einen aber das Licht anmachen an diesem Hörsaal was sich mit dieser Schreibweise meinen und aber das ist dann die Formel die auf der die auf der Folie steht wenn das kennen wir schon die Wahrscheinlichkeit das XNA liegt das war ja gerade die Wahrscheinlichkeit dass in obiger auftritt also klein und illegalen Großanleger so dass ich 2 Norwegern liegt das zweite entsprechen die Wahrscheinlichkeit für B und mit dem das keine formal noch nicht aber ich meine es ist gleich intuitiv das heißt die Wahrscheinlichkeit das ein klein und Nigeria in Großanleger auftritt wo gleichzeitig beide Bedingungen erfüllt sind also extrem klein und illegalen aber Großanleger ein mehr weil das war diese Schreibweise mit den rechteckigen Klammern mit den rechteckigen klammern weil ich einfach mehr die Wahrscheinlichkeit dass dieses Ereignis eintritt das heißt es sollen auch auftreten so das X von ohne die erste Bedingung erfüllt wird sind aber mega die zweite Bedingung erfüllt und das hat es den vorigen zu tun der mit dem vorigen hat so was zu tun ich betrachte jetzt alle möglichen Ereignisse die ich über diese Zufallsvariablen bilden kann und da kann ich so oder Aussagen bilden die X mit den oder y 2. Menge und alle diesen beiden Aussagen sollen einzeln unabhängig sein das heißt die Wahrscheinlichkeit dass sie gleichzeitig Eintritt soll gleich dem Produkt eines Wahrscheinlichkeiten sein bei 2 unabhängigen Zufallsvariablen sind also alle Paare von Ereignissen unabhängig die mit diesen beiden Zufallsvariablen gebildet werden können anschaulich bedeutet dass sich die Zufallsvariablen sind unabhängig weil sich ihre Werte gegenseitig nicht beeinflussen also wenn sie Kenntnis über den Eigenwert haben dann hat das keinen Einfluss auf das auf die Wahrscheinlichkeit des Auftretens oder auch von Wahrscheinlichkeiten die sie im Zusammenhang mit der zweiten Zufallsvariablen bilden können oder bilden haben Sie Fragen dazu vielleicht doch mal kurze Zusammenfassung was sollten sie jetzt von den zweiten Teil der Stunde mitnehmen sie sollten an mitnehmen diese Definition der Unabhängigkeit
bei Ereignissen 2 Zufallsvariablen heißen unabhängig weist die Wahrscheinlichkeit dass die Ereignisse gleichzeitig eintreten gleich dem Produkt der beiden Einzel Wahrscheinlichkeiten sind das sollten Sie ab sofort wissen um was es anschaulich bedeutet nämlich dass ich die Ereignisse gegenseitig nicht beeinflussen und das 2. was sie mitnehmen sollten
wir können 15 auf Zufallsvariablen
und das wir sollen anschaulich die Zufallsvariablen sind unabhängig weil sich ihre Werte gegenseitig nicht beeinflussen das ist das was ich von den ganzen Formel 1 mitnehmen müssen damit habe ich
zur Zusammenfassung der heutigen Vorlesung eine Zufallsvariablen X von Norweger nach und widerspricht weißen Ergebnis auch mega eines Zufalls Experiments einen neuen wird von auch zu auf diese Art entsteht ein neues Zufallsexperimente wieder gebnis X von gar welches das durch das als Verteilung von XP Zeichen der Wahrscheinlichkeit Maß B X beschrieben wird und PX von einer Menge A Strich erreichen wird die Formel Wahrscheinlichkeit der Menge aller klein und legalen Großanleger wo X und um legalen Anstrich liegt und ist ohne gab mir ein Wahrscheinlichkeit Raum und sind comma B Teilnehmer wieder 2 Ereignisse so sind diese unabhängig anschaulich beeinflussen sich gegenseitig nicht weiß gilt Herr von Geschichten des ist Beispiel von Marquis von D damit wär ich wieder heutigen Vorlesungen fertig ich kann ihn noch vor Weihnachten Gutes Neues Jahr und so weiter wünschen Sie können die Weihnachtszeit Zeit noch nutzen um bisschen Statistik zu wiederholende und wir sehen uns dann im neuen Jahr
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