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Erwartungswert

Video in TIB AV-Portal: Erwartungswert

Formal Metadata

Title
Erwartungswert
Title of Series
Part Number
10
Number of Parts
14
Author
License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung Statistik I für Human- und Sozialwissenschaftler gehört zum Pflichtprogramm des ersten Semesters in den Studiengängen Psychologie und Pädagogik an der TU Darmstadt. Sie stimmt inhaltlich weitgehend mit der dieses Semester vom gleichen Dozenten abgehaltenen Vorlesung Mathematik und Statistik für Biologen überein. In ihr wird eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik gegeben, wobei der Schwerpunkt auf einer leicht verständlichen Präsentation der grundlegenden Ideen in diesem Bereich liegt.
expect statistics multiple expect Super Densities gute variance Mittel functions probability theory random variables
expect expect Abbildung Mittel random variables random variables
expect expect field Mittel random variables großer random variables
expect random variables random variables
expect Reihe means expect End Summe Mass random variables number random variables
expect meter expect Produkte Average Forest Mittel Summe Average variables random variables random variables
Reihe summand Zahl graded argument Mittel Umformen number expect negative Summe Summe random variables Faktoren random variables
expect cubes Summe Summe random variables random variables number
expect Densities expect Densities integrators Summe Summe random variables random variables
area constantly Zahl job binomische Formel integrators real normalization Quadrat Mittel argument expect Densities expect Densities Average uniform distribution sum Summe primitive random variables Faktoren random variables
area summand integrators real normalization Quadrat argument Mittel expect Verallgemeinerung Densities sign Densities Symmetry terms form Summe absolute values random variables Faktoren random variables
expect Produkte Unabhängige Zufallsvariable random variables
expect Produkte cubes Summe Summe Mittel random variables number
expect Densities Average Auszahlung <Spieltheorie> Berechnung form Berechnung Summe reeller Funktionen random variables random variables number
expect Densities Average Berechnung reeller Funktionen random variables Faculty random variables
Zahl Quadrat reeller Funktionen expect Densities Densities exponential uniform distribution Berechnung Summe primitive random variables Faktoren Ableitung
expect Densities Berechnung Quadrat Berechnung Summe Mittel variables random variables random variables
ok dann begrüßt Sie recht herzlich zur 1. Vorlesung im Jahr 2010 in der Statistik für Roman Wissenschaftler darin alle noch ein frohes neues Jahr wünschen alles Gute für das neue Jahr auch wieder folgende Statistik insbesondere wir haben noch 5 Vorlesungen dieses Jahr ich werde es noch 2 Vorlesungen rein zur Wahrscheinlichkeitstheorie machen also die Begriffe Erwartungswert kommt heute
Varianz kommt beim nächsten Mal dann kommt eine Vorlesung als Einführung in die Statistik der machen wir mehr so ein bisschen theoretische Eigenschaften und dann kommt noch mal 2 wir praktische Vorlesungen zu statistischen Testverfahren und damit wären wir fertig er der Stoff war insgesamt so ein bisschen knapp für die 5 Vorlesungen ich habe das dann so gelöst bei den nächsten beiden Vorlesung sind okay die letzten beiden Vorlesung sind auch ok und die Erde Vorlesung in 3 Wochen ist halt immer und in 2 Wochen sein dummerweise sinnvoll aber er ließ sich ein einmalig vermeiden aber die andern müssten eigentlich problemlos verständlich sein okay so häufigen Vorlesungen über die Lernziele zu begehen nach dieser Vorlesung sollten Sie 1. erklären können was man anschaulich unter dem Erwartungswert einer Zufallsvariablen versteht soll einfach was sein was den was das mittlere Ergebnis denn wer das Ergebnis ist im Mittel beschreibt und zweitens Erwartungswerte in den verschiedenen Spezialfällen berechnen können das sind vor allem 2 zum einen sie haben Super 6 Damen da treten nur endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Werte auf daneben eben dieser Werte Multiplizieren mit entsprechenden Wahrscheinlichkeit mit der Auftritt und sowie und das Ganze auf das Wort Erwartungswert sein der zweite Spezialfall ist sie haben Zufallsexperimente haben sind Wahrscheinlichkeit Smarts mit ich dir ohne Zufallsvariable die eine dichte hat also Wahrscheinlichkeiten bekommen sie durch ein integral übernehme der vorgegebene Funktionen nicht negatives 1 zu 1 integriert in dem Fall multiplizieren Sie die Dichte an der Stelle x mit den kleinen Ticks und integrieren das Ganze über ganze auf das ist der Inhalt so in Kurzform von der heutigen Vorlesung weiß kommt noch ein bisschen mehr das müssen Sie jetzt nicht verstehen sondern in der von der Vorlesung verstehen gut von einen Erwartungswert einer
Zufallsvariablen wir haben zugrunde gelegt
ein Wahrscheinlichkeit Raum und mega abgehen und eine reelle Zufallsvariablen X der Abbildung von ohne gar nach er definieren wollen wir einen mittleren Wert des Zufalls Experiments mit Ergebnis X von Armee gar den wir als Erwartungswert geschrieben E X bezeichnen also ich weiß nicht wer hat denn meine Folien ausgedruckt vor sich liegen nur Fragen das geklappt ja so einigermaßen bei der Hälfte ich erzähle ich glaube Sie waren vor Weihnachten noch nicht online ich habe jetzt am Freitag noch eine neue Version online setzen lassen nur Donnerstag Daten die ganzen Folien jetzt bis zum Schluss der Vorlesung schon online aber ich hatte erst letzte Woche von hat sich vorbereitet ab also wir haben Zufallsexperiment will da kommt mir geht es raus das bezeichne ich mit einem groß X von kleinräumiger dieses X meine zu Waldexperten Zufallsvariablen mich interessiert der hat also sowas wie sie führen dieses Zufallsexperimente unbeeinflusst immer wieder durch addieren die entstehenden Werte auf und Teil durch die Anzahl der Werte die sie haben also bilden das aramäische Mittel und für große Anzahl an Wiederholungen sollte es gegen festen wert streben und den pH-Wert gezeigt nicht mit E X Erwartungswert der mittlere wird hier ein Beispiel dazu wir betrachten
ein Glücksrad das rein zufällig auf einen von 36 Feldern stehen bleibt bei dem einzigen roten ein Gewinn von 3 Euro ausgezahlt bei jedem der 12 blauen Felde ein Gewinn von 1 Euro und bei den 23 übrigen Feldern wird keine Gewinne ausgezahlt dann die Zufallsvariablen dieses ganze beschreibt Gross X wurde in dem Fall also es sehr ausgezahlte Gewinn über 3 Werte annehmen nämlich 3 1 oder 0 und mich interessiert Wert Mittel also wie groß ist der ausgezahlte Gewinn im Mittel hier kommt die
Idee dahinter beim Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen also wir haben hier im vorigen Beispiel eine diskrete
Zufallsvariablen weil es kommen ja nur endlich viele verschiedene Werte aus hier nämlich nur 3 verschiedene Werte 3 1 zu 0 Erwartungswerte
einer diskreten Zufallsvariablen sei x eine diskrete Zufallsvariable die mit Wahrscheinlichkeit 1 nur einen der Werte x 1 x 2 und so weiter bis X K aus er einnimmt das heißt wenn sich vorstellen im Beispiel der vor Was ist da kam lassen x 1 bis x K also was denn die wäre die auftreten und wie viel period es gibt 36 Möglichkeiten und 3 verschiedene Werte ganz annehmen das kann beides Zusammen nicht zusammenpassen will wenn die 36 Möglichkeiten habe müssen 36 werde haben oder sie haben 3 werde da haben Sie 3 Möglichkeiten komm unterschiedlich auf vorher logisch also er momentan sage ich aber nicht aus die auf die Einzelwerte vorkommen ich sage nur wie viel verschiedene werde es gibt der die Frage wie wir werte gibt zum Beispiel da vor beim ausgezahlten
gewinne 3 es gibt 3 werde was sind die 3
Werte 3 1 0 das heißt die Schweiz die Tafel ich machen nur noch das Licht an er beschreibt schon mal hin brauche ich gleich noch mal also wir haben gerade gleich 3 nix ein seltener zum Beispiel 3 nix weil nur 1 jetzt reicht nur 0 jetzt will ich dieses Zufalls Experiment mal durch das heißt ich drehe ändern 1 Glücksrad zum Beispiel 5 fünfmal und dann bekomme ich werde Z 1 bis Z 1 also in dem Fall Z 1 bis Z 5 wir machen das mal wohltätig ich mache wenn gleich 5 ich habe Z 1 Jahr irgendwas Komfort zum Beispiel 0 wir 2 wir vielleicht 3 seit 3 wir wieder 0 Z wir 1 seit 5. 1 zum Beispiel und was ich jetzt Ansätze ist die Idee ich sage diese Erwartungswert ist approximativ gleich dem arithmetischen Mittel dieser Werte für ein großes N machen jetzt mal das Licht an ich mache das nicht aus für mehr ich dachte mir mal Lichtschalter gewesen aber ok es dachte einig wir nicht schade gewesen aber hier ist ja auch noch mal sowas nicht Lichtschalter mäßiges Nähe und da geht wieder ja ok also ich finde es vielleicht nicht so gut mittlere mache ich weiß nicht wie können so wie schlecht lesen oder das Geld das getan gilt also brauchen gar kein Licht also vor Weihnachten nach ich mal oben der Gemahl Lichtschalter bin ich immerhin gelaufen ob Licht jetzt ist er nicht ist auch ein Lichtschalter ich drücke hin und es war noch und ja gut kann ich erspare mir jeden Kommentar also was wir machen wir sagen EX bis ungefähr das arithmetische Mittel das heißt der bilden hier ein Fünftel May Z 1 Z 2 Z Z 1 plus der 2. der 3 der 4 plus Z 5 also plus 3 bis 0 plus 1 plus 1 ist 1 2 3 4 5 und was ich jetzt machen jetzt schreibe ich das Ganze um in dem ich die Summation es Reihenfolge ändere ich habe mir eine Summe da tauchen letzten Endes nur 3 verschiedene Zahlen auf nämlich die 0 die 1 in die 3 und jetzt will ich erst mal wie oft kommt die 3 vor und dann sehen wir einmal konnte 3 vor dann sehe ich wie oft kommen die 1 vor die konnte zweimal vor und dann sehe ich noch wie oft kommt die 0 vor die kommt ja auch zweimal vor da es so auf also ich habe zuerst die Visum der 3 allein gebildet einmal 3 dann an die richtig 2 1 1 zu 2 1 1 4 2 0 mehr gibt zweimal 0 und dann sehen Sie dann steht da dann steht da ein Fünftel mal 3 plus 2 Fünftel mal 1 bis two fifths x 0 wir haben will und jetzt müsste ich hier den magischen klopft trockene theoretisch war vermutlich für Fach mehr ja mit dem Symbol beschriftet ich habe mal vor einiger Zeit gelesen dass es in der Wochenzeitung die Zeit ist gar nicht mal so einfach wäre wenn sie heutzutage radioaktive Abfälle markieren wollen wir also zum Beispiel einen meine ein Endlager wer das das was gefährlich ist da ist die Frage wie machen Sie das das Problem ist ja dass Sie in 10 Tausend Jahren auch noch gefährlich also müssen so markieren dass die Leute in 10 Tausend Jahren das immer noch verstehen und die Leute kamen auf und welche Symbole die sie draufmalen als nicht ich die Schrift weil die Schrift verstehen vielleicht 10 Tausend Jahren nicht mehr also machen so manche Symbole mit Bildern und ich habe es immer meiner kleinen Tochter gesagt und gemeint ok was würde sie sagen was bedeutet dass die Symbole an der Gemeinde mehr so wegrennen also das war nicht schlecht hier war sind wohl nicht ganz so gut also über aber ich das auch verstanden ok ist mach ich das Gleiche nochmal abstrakt das heißt ich will auch hier die Summe der Z I so das sich erstmal Ziele wie oft kommt jeder einzelne wird vor das mit dem multipliziere und aufaddieren über alle Werte die es gibt alles ist es genau das Gleiche was ich da gerade der Tafel gemacht habe nur eben in Symbolen geschrieben das heißt ich schreibe es um diese Summe der Summe I gleich 1 ist in der Z I schreibe ich um als ist somit H gleich 1 bis groß K über die Einzelwerte K der werden mal die häufiger vorkommt dann sehe ich dass entweder ein und dann sehen Sie was hier steht ist jetzt die relative Häufigkeit des Vorkommens des Wertes K bei den ehemaligen durchführen des Zufalls Experiments das heißt ich habe einmal unbeeinflusst ein Zufallsexperiment durchgeführt und gucke mir dann an wie wie groß sind jeweils die relativen Häufigkeiten des Einzelnen Vorkommens und das wissen Sie aus der Motivation des Wahrscheinlichkeit Begriffs wenn ich jetzt hier n sehr groß dann soll das Jahr nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen gerade gegen die entsprechende Wahrscheinlichkeit Modi mit der konvergieren das heißt dass er sich immer mehr der Wahrscheinlichkeit an und deswegen setzt sich hier das an als approximativ somit gleich 1 bis groß gar wert mal Wahrscheinlichkeit dass der wird auf die braucht und das oder die Formel sein die wir für unseren Erwartungswert verbinden oder miteinander haben Sie Fragen so weit fragen Fragen keine Fragen Apple sie hätten viele Fragen hat und über meine stellen oder das Beispiel war direkt das was ich in die Tafel geschrieben habe wurde es gemacht haben und das Beispiel war von in den mittleren wird zum Beispiel beim Glücksrad wir wollen den mittleren der des Gewinns ausreichen kommt in der nochmal okay gut jetzt haben die entsprechende Definition dazu
wir betrachten eine diskreten Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit eines nur einen der Werte x 1 bis x K oder einen der abzählbar unendlich vielen Werte x 1 x 2 und so weiter einen dann heißt im 1. Fall Erwartungswert von X genau die Summe so die Formel von gerade eben somit kann gleich 1 bis groß K nix gar mal die Wahrscheinlichkeit dass X denn der Xtra annimmt bzw. im zweiten Fall dieses E X gleich jetzt sie eine unendliche Reihe eine unendliche sowohl zum Neckar gleich 1 müssen endlich XK Wahrscheinlichkeit dass Grosics x gleich x gar ist das heißt der Erwartungswert von X und hier war ist diese Wahrscheinlichkeit dass x gleich x K 1 und eben diese Wahrscheinlichkeit dass das X auftaucht das heißt der wird oder die Wahrscheinlichkeit bei der Verteilung von X das war das X zugeordnet Wahrscheinlichkeit Maß von dem der Text gar war definiert als die Wahrscheinlichkeit dass ein klein und wieder auftritt so X von Onmeda gleich XK ist jetzt ein Beispiel
dazu oder hier noch mal die Erklärung also der Erwartungswert einer diskreten Zufalls der Variable wird berechnet indem man 1. die auftretenden Werte mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert und zweitens die entstehenden Produkte aufaddiert nahm am Beispiel von gerade eben oder immer nicht kann dies
lässt sich als Mittelwerte auftreten werde interpretieren wobei die einzelnen Werte mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtet werden das heißt ich wieder ein gewichtetes Mittel der auftretenden Werten und jetzt das versprochene Beispiele im
Beispiel oben sei X der beim Glücksrad ausgezahlte gewinnen 1 x 1 des Gerede Zufallsvariable ziehen die Werte 3 1 0 1 und verschiedenen Wahrscheinlichkeiten mit 3 kommt vor wenn das Glücksrad bisher 36 Wälder hat auf dem einzigen Rothenfeld stehen bleibt das dritte Wahrscheinlichkeit 1 36. auf mehr eigens tritt vor wenn das Glücksrad bis 36 Felder hat auf einen der 12 blauen Felder stehen bleibt wieder gehe ich davon aus der dieses Glücksrad bleibt rein zufällig auf einem dieser Felder stehen das heißt ich habe einer blassen Wahrscheinlichkeit Raum zugrunde legen das Ereignisses sehr günstiges für die 1 hat die Mächtigkeit 12 die Wahrscheinlichkeit von Gesamtraum 36 also die Wahrscheinlichkeit der 12 36. und entsprechen die Wahrscheinlichkeit von der 0 ist die 23 36. Weise 23 Fälle gibt wo man nicht ausgezahlt bekommt dann gilt der Erwartungswert von X kann ich jetzt hinschreiben als Summe und da wäre meine Frage an Sie was ist das jetzt steht das nicht Folien werde da habe ich eine Lücke gelassen Rechnung okay wie Bereichen sie jetzt erzielen Erwartungswert vorschläge überreichen sie Erwartungswert also dreimal 1 36. bloß einmal 12 36. plus 0 x 23 36. sie machen genau das was ich gerade eben gesagt habe die auftretenden Werte werden wie der jeweiligen Wahrscheinlichkeit modifiziert das heißt die 3 wieder Wahrscheinlichkeit 103 also 1 36. die 1 Meter Wahrscheinlichkeit von 1 also 12 36. die 0 mit der Wahrscheinlichkeit von der 0 also 23 36. und das Ganze aufaddiert wenn Sie's ausrechnen wie kommen Sie auf 15 36. oder 15 5 12. guthaben Sie Fragen so weit fragen gut mache ich weiter nächstes
Beispiel betrachten eine B-1B verteilte Zufallsvariablen das heißt die Zufallsvariablen in die war scheint die einst mit Wahrscheinlichkeit P 1 die 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 minus P es der Zahl zwischen 0 und 1 und mich interessiert wie groß ist der Werbemittel wie Bereich nicht gehen vielleicht nicht jeden Erwartungswert also haben Zufallsexperimente es kommen 2 Wärter Brause nämlich die 0 und die 1 die 1 kommen Wahrscheinlichkeit B aus die 0 kommt mit Wahrscheinlichkeit 1 minus heraus die Frage ist wie groß ist der Werte Mittel mit der einmal P plus 0 x 1 minus die das heißt auftretenden Werte 1 zu 0 mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren aufaddieren ergibt insgesamt P heißt mit der wir bisher P ok ich mach ein bisschen schwieriger als Beispiel wo das Ganze nicht ganz so einfach zu berechnen ist das ist der Erwartungswert einer Posse aufeinander Verteilung das heißt wir haben eine aufeinander verteilte Zufallsvariablen das heißt die Zelldichte ist die Wahrscheinlichkeit dass ich's gleich K ist ist hochgradig K Fakultät mal EU misslang da Lander war eine Zahl größer als 0 diesen Parametern von dieser Verteilung ich will jetzt auch hier den Erwartungswert berechnen was machen wir dazu na ja was kommt als werde vor als werde komme die 0 die 1 die 2 die 3 und so weiter vor was müssen wir machen jeden dieser Werte mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren also hier den Wert K mit Land auch gar durch K Fakultät mal um den Islam da multiplizieren und alle Werte aufaddieren können Sie geschlossen gar nicht mehr hinschreiben weil unendlich viele sind nämlich deswegen Summen Zeichen für kommen Sie auf die Summe K gleich 0 bis unendlich K hochgradig K belegt mal EU-Minister unter ok also bisher sollten ist seine problemlos verstehen da taucht so was Komisches auf das Setzen unendliche Reihe hat bei Ihnen Vortrags Übung mal versucht näherzubringen glaube ich wenn Sie wissen momentan nicht wie sie diese unendliche Reihe ausrechnen das Glas ist nicht klar was kommt daraus aber da gibt es den kleinen Trick und den möcht ich im folgenden erklären also was machen Sie jetzt hier der bilden die Summe von K gleich 0 bis unendlich Kammerlander auch gar Kapazität mal EU Minus landen die erste Beobachtung ist dieses Karte ich kann statt mit K gleich 0 genauso gut mit K gleich 1 anfangen zu addieren bei der erste Summand ist ja 0 mal irgendwas also der erste Summand ist 0 das heißt ich könnte an dieser Stelle genauso gut statt K gleich 0 Grad gleich 1 diesen endlich schreiben Kammerlander hochgradig kaperte begeht man EU-Ministern war der Werte Summe wird sich nicht verhindern und dann mache ich folgenden Trick wir ich habe dann den Summanden K mal lange durch K erhoben Lander das interessiert mich gerade ich überlege mehr was soll dieses K Fakultät das Kabel tätig war das Produkt der Zahlen von 1 bis K da kann ich auch schreiben K das Produkt der Zahlen von 1 bis K minus 1 und das Produkt der Zahlen von 1 bis Charmilles eines ist Kabel eines Fakultät das heißt Sie sehen K es K mal kamen S 1 Fakultät zumindest sofern K nicht die 0 ist dann was nicht stimmen weil Gehmlich ich auf minus 1 Fakultät und das wir gar nicht definiert und dann sehe ich hier noch ein Faktor langen daraus dann bekomme ich auch in Lander und bekommen ihren K durch Karmal Grad minus 1 Fakultät mal Lander hochkamen 1 mal EU-Ministern so dann sehen Sie auch warum ich das dann macht das Ganze mache ich und diese Scalia kürzen zu können wird vielleicht noch durch dann sehen Sie der zum Mann der da steht ist eigentlich im Lande mal land auch 1 durch durchkamen es ein 2. besteht EU-Ministern dar ja das habe ich hier hin geschrieben ich dieses Land da gleich aus der Summe aus ich habe hier also ich muss die Summe nicht ab K gleich 0 bilden sonnig kann diesen erstmal K gleich 1 bilden dann kann ich die Umformung machen sich gerade auf der Tafel gemacht habe und komme noch aufflammender Malerei K gleich 1 bis endlich oder Summe H gleich 1 bis unendlich lange hoch 1 durchkamen es eines Fakultät mal EU-Ministern ab und der Trick gesetzt wenn ich diese letzte Sony ein Vogel da kann ich Ihnen sagen was rauskommt noch besser sie können wir auch sagen was rauskommt wenn Sie überlegen was das Ganze ist ja vergessen Sie mal das zum Zeichnen und Schreiben das nur aus dann steht da erst mal ein Namen da hoch 0 durch 0 Fakultät mal erhoben wenn wenn sie gar gleich 1 einsetzen wenn es kam es 1 gleich 0 also 1. so man das Land auch nur durch 0 Fakultät mal EU-Ministern dar zweite Summand entsprechend lange hoch 1 durch 1 Fakultät Mario dann kommt lange hoch 2 durch 2 Tage EU-Ministern daran und so weiter das heißt was Sie da aufaddieren sind gerade alle Wahrscheinlichkeiten die da oben stehen für K gleich 0 1 2 und so weiter und was kommt raus wenn sie alle diese Wahrscheinlichkeiten obenauf agieren 1 kommt aus wird es muss so sein die zierlichen an die Eigenschaft dass war nicht negative Zahlen wenn sie alle zusammen aufaddiert haben kann ein Trost weil die Wahrscheinlichkeit von Gesamtraum das heißt sie sowohl dahinten S 1 das heißt da kommen insgesamt als Erwartungswert ist dar und wir können diesen Parametern der Post aufeinander Verteilung jetzt deuten als mittleren wert der rauskommt mehr gut haben Sie Fragen so weit fragen wenn Sie keine Fragen haben dann habe ich Fragen gucken sich das mal an ich lasse ihn wie
immer 5 Minuten Zeit dann besprechen wir das das und hat ok besprechen wir das Resultat hat jemand ein Lösungsvorschlag wie machen Sie das als überlegen sich wie oft was drankommt und dann überlegen Sie sich vielleicht erst mal was sind die Werte die auftreten können Sie am schon gesagt die 2 die 3 der 4 und bis zu 12 also wir haben Werte von 2 bis 12 die vorkommen können das heißt die eine diskrete Zufallsvariablen weil es gibt nur endlich viele verschiedene Werte dann überlegen sich die Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten überlegen sich eben ja wie oft kommt die 1 Würfel Kombination vor also insgesamt gibt es beim Werfen von 2 wurden für die beiden Augen sahen die oben liegenden 36 Möglichkeiten 6 Möglichkeiten für 1. nur für 6 Möglichkeiten für den zweiten Wurf damit die Summe der Augen Zahlen gleich 2 ist müssen beide gleichen einzahlen das heißt es gibt nur eine Möglichkeit das heißt die Wahrscheinlichkeit der 1
36. das heißt werden als 1. Wahrscheinlichkeit 1 36. und dann machen wir so weiter mit 3 4 5 und so weiter Was ist 3 mehr das kann sein 1. Wochen hatten eines der 2. mit 2 oder umgekehrt gibt es 2 Möglichkeiten kommen sie auf 2 36. und so weiter 4. 3 36. das geht also bis zu 7 haben sie 6 Möglichkeiten und dann ging es wieder ab ja und dann rechnen Sie damit den Erwartungswert haben Sie eigentlich auch schon gesagt sie nehmen die jeweiligen Zahlen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten also multiplizieren das mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und agieren das Ganze auf damit Erwartungswert von X 2 mal 1 36. plus 3 mal 2 36. und so weiter bis 12 x 1 36. vielleicht schreiben Sie nicht ich sind auch die Umwelt wir vielleicht einfacher 3. ja und dann müssen Sie ja die gesamte so die gesamte Summe ausrechnen kommen Sie auf 252 36. was genau 7 gibt wenn dies ausrichten okay Fragen so weit fragen also wird mir schon um die Möglichkeit Fragen zu stellen also Fragen nicht zu stellen okay wie macht man das mal weg
wir würden es noch gut ist dann waren wir stehen
geblieben aber weiter 2. period
Erwartungswert von Zufallsvariablen mit dichtem wir betrachten jetzt den Fall dass unser Er gebnis des Zufalls Experiments durch eine stetige verteilte Zufallsvariablen X ich F beschrieben wird ja EWG wäre wir machen das Gleiche wie gerade eben wir gucken uns die auftretenden Werte an multiplizieren die mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und zu mir und das ganze auf warum klappt es nicht also was geschieht wenn ich hier genau so einsetzen möchte ja ich nehme die auftretenden Werte multipliziert mit dem Wahrscheinlichkeiten das Auftreten und der dir das Ganze auf weil es nicht das Geld finde das heißt sie können es nicht die Werte nicht abzählen das heißt sie können so gesehen auch keine Summe bilden das ist richtig es gibt noch ein zweites Problem wenn sich auch überlegen Sie haben Zufallsvariablen Gedichte wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit dass ein fester wird angenommen wird 0 der es immer nur 1 beide müssten Sie über diese Einkommen einig die Dichte integrieren was immer 0 alles wegen machen es auch nicht so stattdessen in ersetzen wird die Summe in der vorigen Definition durch Integrale und dieses Produkt ersetzen wir durch x dichte also Definition 2 x seine stetig Vorteile Zufallsvariablen mittig F dann heißt E geht gleich das integral von minus endlich wissen endlich X X F von X der X der Erwartungswert für nix hier steht noch so wie bei der unendlichen Summe freuen auch ein sofern existent weil sofern sie so Integrale von minus nennt sich dessen endlich berechnen oder auch diese unendlichen einen müssen Sie nicht unbedingt existieren aber möchte ich über den Tisch fallen lassen wenn das Ding existiert können das ausrechnen ist unser R und ist unser Erwartungswert also der
Erwartungswert einer Zufallsvariablen Gedichte wird berechnet indem man den Wert der Dichte an der Stelle x mit X multipliziert und das entstandene Produkt über ganz er integriert also statt mal Wahrscheinlichkeit auf zu agieren wie bisher wird jetzt also wert mal dichte integriert das ist das neue gut machen am Beispiel ich
betrachte verteilte Zufallsvariablen das heißt eine auf dem Intervall von A bis B gleich verteilte Zufallsvariablen an Design reelle Zahlen sei kleiner als P dann wissen Sie also könnten sie weil das eine Abkürzung für mehr Zufallsvariable deren Verteilung geschrieben wird durch eine dichte und diese Dichte sieht so aus die Dichte ist 1 durch PISA also konstant der konstante wert eines durch PISA für kleiner gleich gleich B und 0 für externe A oder X größer B also wenn sich noch erinnern wir haben hier die Werte an Jammer X nicht traget auf davon geht Gleichverteilung auf dem Intervall von A bis D beschreibt ist rein zufällige ziehen einer Zahl aus diesem Intervall das heißt außerhalb von Intervall kommt nicht vor deswegen setzen will dich die da als 0 an und innerhalb den Intervall kommt dieser wert oder ist jeder Bereich gleich berechtigt deswegen setzen wichtiger jeder als konstant ein und wir machen die Konstante so dass der gesamte Flächeninhalt von dieser Box gleich 1 ergibt das heißt es wir 1 durch PISA hier erwartet mehr Rechnung haben ja was ist dann der Erwartungswert von X was müssen Sie dazu ausrechnen na gut Sie müssen das machen was er gerade eben gesagt haben oder was ich gerade eben gesagt habe sie müssen XML von X multiplizieren und integrieren das heißt sie müssen das integral von mir müssen endlich wissen endlich über X X L von XTX bilden und ich lasse immer ein bisschen Zeit können Sie mal selber ausrechnen was da rauskommt also beachten Sie wenn Sie dieses Produkt der bilden bekommen Sie eine abschnittsweise definierte Funktion wer mich davor X kleiner als ist ist dieses Produkt gleich 0 davor X zwischen A und B liegt es ist period Produkt gleich X durch PISA und davor dieses wo dieses X größer als B ist dieses Produkt wieder gleich 0 und es macht dann sehen die integral Grenzen entsprechend aufzuspalten das heißt das integral von diesen endlich wissen endlich Bereichen sie als Summe der Integrale von minus nennt sich bis dann Integrale von A bis B und dann den von den integral von B wissen endlich als das noch ein bisschen Zeit können Sie mir selber ausrechnen okay sagen wir vielleicht mal die Ergebnisse vielleicht vorne weg noch eine Frage wenn sich überlegen ich ziehe rein zufällig eine Zahl aus dem Intervall von A bis B und interessiere mich dann für den Wert der da im Mittel herauskommt was würden Sie anschaulich sagen sollte dieser Mittel wert sein wie groß oder der sein also rein zufällig ziehen Sie eine Zahl aus Intervall von hier bis hier wo wurden sie erwarten liegt der Mittelwert der mittlere wird sinnvollerweise genau in der Mitte das heißt auskommen sollte Abriss des halten dort auch gleich rauskommen jetzt rechnen muss 2 mal nach also wie berechnen Sie sehen Sie sehen Sie gerade von minus einen gewissen endlich x x F von X Text also was müssen Sie damit zu berechnen mehr period also X X 1 durch PISA müssen sie integrieren in welchen Bereich von A nach B 1 bei endlich bis L A ist ja dieser Integrand gleich 0 der teilte weg und von wir wissen entließ den die Grand hier auch gleich 0 Teil wird auch weg das heißt kommt aus das integral von A bis B x durch PISA und das sollten könnten müssten sie aus der Schule können und ich glaube Sie haben so Integration nicht gemacht wir nie gemacht kann der wir verstehen auch nicht was mit diesen komischen Symbole aber weist aber sie waren vielleicht meinen Vortrags war eine Frau Peter was war gestern gestern war eine Frau Gebeinen fort als Übung hat dem was über integral vor Weihnachten auch schon also wenn sie gestern verpasst haben und als anschauliches der Flächeninhalt und der Funktion und den Bereichen Sie in dem für sogenannte Stammfunktion bestimmen das heißt Sie suchen eine Funktion die abgeleitet X durch PISA ergibt der Faktor 1 durch PISA Eisen konstante das heißt primär suchen wir der Funktion die abgeleitet X der gibt können Sie sofort hinschreiben ein halbwegs super ein halbwegs verdrahten sehen Sie Stammfunktion ist X Beitrag durch zweimal wegen des und da setzen sie die Werte x bleich B x gleich ein und ziehen die Werte voneinander ab das heißt wir kommen auf B Quadrat durch 2 durch PISA wie Quadrat durch 2 durch PISA und dann kennen Sie ein ich aus der Schule die dritte binomische Formel A minus B X A plus B ist Quadraten des B Quadrat oder Minus A X B plus aber ist B Quadrat des Quadrat und sehen Sie hier steht ein nicht weniger S A X B Plus dass PISA können sie kotzen kommt Abriss B halte aus wohl in der Tat Sie haben den Mittelwert von dem in von dabei wo sie die Zahl der rein zufällige rausgezogen haben ist auch der Erwartungswert ok haben Sie Fragen so weit ja bin ich auf das X vertrat komme ich suche hier eine Funktion die abgeleiteten die Grand mehr gibt und zwar abgeleitet erregt wenn Sie diese Funktion nach X ableiten und daraus 2 x x durch zweimal des aber also X durch noch Fragen gut ich glaube Sie haben weit abgeschrieben war wieder laufen Folien comma zum nächsten da machen wir müssen was schwieriger nämlich den Erwartungswert einer Normalverteilung Zufallsvariablen mit Parametern und zigmal Quadrat sie wissen die Normalverteilung habe ich in meinem und erzählt taucht auf in Grenz- Prozessen also wenn wir Summen von Zufallsvariablen bilden die sich gegenseitig nicht beeinflussen werden sie in 2 Wochen kennen lernen sprechen den Satz den zentralen Grenzwert Satz und das Krenz-Prozess ist sie die Dichte ein
bisschen komisch aus hier ist die Dichte F von X ist 1 durch Wurzel 2 pi mal 1 durch Sigmar X E hoch minus X minus aber dadurch 2 sieht Quadrat ist eine kaum schicke ob hoch bis an der Stelle x gleich und dieses Dietmar beschreibt wie breit die Glocke oder wie weit diese Glocke wird also für große sieht wird das Alter für kleine Sigmar etwas enger wenn Sie jetzt hier den Erwartungswert ausrechnen wollen auch sie müssen das übliche machen gewesen das integral von minus müssen endlich wissen endlich mal die Dichte schreiben wir gehen in die 3 von minus gewissen endlich x mal die Formel von da oben und dann sehen Sie vielleicht es sieht nicht gut aus für an der Stelle weil jetzt bei dem was wir bisher gemacht haben wollen Sie jetzt sagen jetzt suchen sie eine Funktion die abgeleitet diese Funktion ergibt mehr und da kennen Sie keine Funktion und Sie sehen zumindest nicht sofort eine wir könnten im Prinzip nur eine hinschreiben mehr oder weniger möchte ich aber nicht machen ich machen anderen Trick steht nix ich schreibe X als X minus aber Lust also stellt nichts als Summe der erste Summand ist X minus der zweite Summand ist dann sage ich dieses Summe mal diese Dichte ist der erste Summand mal die Dichte 2. jemand mal gedichtet und dann sage ich das integral über der Summe ist die Summe der Integrale und was habe ich gewonnen aus ein integraler bis 2 gemacht ich nicht unbedingt klar war aber Sie werden gleich sehen von beiden begreifen kann ich Ihnen sagen was rauskommt das heißt hier steht es in der integral Medizin des hier steht es in die gerade mit dem Faktor A und dem Faktor habe ich nach außen integral ausgezogen okay so weit also sehen gerade nicht warum ich das gemacht habe sie können auch selber nicht drauf so was zu machen aber ich mache das weil ich weiß wie es geht und es geht auch nicht darum dass sie hinterher nachvollziehen können oder doch es geht darum dass ich nachvollziehen können aber es geht nicht darum dass ich in der selber aufkommen darum geht es gerade nicht wie sonst nur nachvollziehen können okay also glauben Sie normal ist eine clevere Idee das ist mittlerweile Idee war sehen Sie eigentlich wenn Sie sich den 2. Termin angucken ich behaupte sie können mir sofort sagen was beim zweiten Term auskommt was machen Sie hier die Hamm mal den das integral von minus 1 bis bis endlich über uns berichtet ja ich ja schon 1 das integral würde ich das immer gleich ein das heißt hier kommt 1 raus das heißt das Ganze ist aber 1 jetzt die Frage Was ist der vor Ritter der forderte am ja vielleicht noch mal es gibt der überlegen wir uns mal die sie der vordere zerren qualitativ aus also ich mal dieses X 1 durch Wurzel 2 immer sieht man mal E minus X 1 A Quadrat durch 2 Siege Marker gerade weil ich ihn jetzt qualitativ hin ich mal irgendwo des 1 hier sei an und dann überlegen wir uns mal welches Vorzeichen haben die Funktionswerte rechts von Ar was würden Sie sagen welches Funktion Vorzeichen haben die Funktionswerte rechts von und welches Vorzeichen an die Funktionswerte links von also wenn x größer als ist ist der Wärter aus dann größer als 0 kleiner Vorschlag Exkurse größer als ist ja für die habe ich und wird vielleicht noch von jemand Felix größer als als der ist größer als 0 weil ich dann größer als und dieses auch nochmal was es auch immer größer als das heißt da ist größer als 0 für x gleich aber es kommt aus gleich 0 weil ich das als dann gleich 0 2. Faktor spielt keine Rolle da schon mal 0 wer dann wird so viel größer als 0 und dann sehen sie als die methodisch ist dieses hoch minus X minus zum Quadrat geht es viel schneller gegen 0 als das X minus ergeben endlich geht das heißt es wird erst ansteigen wurden W und dann irgendwie wieder abfallen und sich der 0 immer mehr annähern ich weiß also qualitativ in qualitative und dann überlegen wir uns wie sieht's links von der von dem aus na ja das nervt die Funktionswerte kleiner als 0 und wenn sie ein Problem wenn ich eines von A nach rechts gehen und kommen Funktionswert raus wenn ich 1 von A nach links gehe mehr ist dieses X 1 statt eines genau minus 1 wären das X 1 zum Quadrat hat den gleichen wird das heißt er kommt genau minus der Funktionswert also das ganze Ding hat eine gewisse Symmetrie es sozusagen punktsymmetrisch kann ich zwar nicht man aber ich kann zu versuchen period symmetrisch bezüglich X gleich an ja und dann sehen Sie was das integrales integrales dieser Flächeninhalt bloß dieser Flächeninhalt sie sehen aufgrund der Symmetrie sind die beiden Flächeninhalte gleich groß dieser Flächeninhalt ist so groß wie dieser Flächeninhalt aber das Betrag das integral ist der Flächeninhalt mit Vorzeichen dieser Flächeninhalt geht mit einem Plus 1 dieser Flächeninhalt geht mit einem Minus ein wenn Sie so von diesen beiden gleich großen kamen bilden einmal mit plus einer mit minus 1 comma decimal 0 aus mehr das heißt der Track ist das 1. integrales 0 bis 2. integrales 1 dann sehen Sie dann kommt insgesamt aus 0 plus A X 1 also an wenn Sie integrieren wurden und sie bei den negativen also wenn sie integrieren wurden integrieren Sie von minus unendlich bis plus unendlich kann ich auch spalten als Sohn eines in der 3 von minus endlich bis an wissen 2. integral a bisschen endlich beide Integrale gegen den jeweiligen Flächeninhalt an und zwar mit dem Vorzeichen die Flächeninhalte der sie gleich groß aber die Vorzeichen sind verschieden noch Fragen was haben wir jetzt gesehen haben gesehen wie groß ist der mittlere Werte bei einem Normalverteilung Zufallsvariablen mit den Parametern zigmal Papa auskommt und sehr der wert ist gerade der wird das 1. Paar mit aus das ist alles weil dieses gibt gerade an die groß ist der Wert im Mittel mehr gut jetzt kommen noch 3
Eigenschaften von Erwartungs werden ich eigentlich nur anschaulich aus der Motivation des Erwartungswert ist als Mittler wird begründen möchte kann die ich nicht irgendwie beweisen werde dann kommt noch mal das Beispiel von gerade eben mit den beiden Gruppen ein bisschen einfacher gemacht und dann kommt noch mal Verallgemeinerung der bisherigen Formen die wir beim nächsten Mal brauchen werden dann sind fertig gut dann nur an mit den Eigenschaften 1. Eigenschaft Monotonie wenn ich 2 beliebige Zufallsvariablen habe X und Y wobei der Wert von X immer kleiner gleich den wert von Epson ist dann ist der Wert im Mittel von x kleiner gleich den werden Mittel von y das ist die Aussage hier also stellen sich vor Sie haben 2 Spiele beim 1 bekommen Sie den Gewinn X beim anderen bekommen Sie den Gewinn y der Gewinn bei y ist immer größer gleich den Gewinn bei X und dann überlegen sich ja wie sieht's mit der mittleren Gewinne aus da klar wenn sie beim zweiten immer in jeder Situation mindestens so viel Gewinn wie beim 1. dann würden Sie auch sagen ja dann wird auch der Wert im Mittel am 2. mindestens so groß sein wie der werden bitte beim 1. also die 1. naheliegende Eigenschaft zweite Eigenschaft Genialität für 2 beliebige reelle Zufallsvariablen X Y und beliebige reelle Zahlen einfach und beta gilt immer Erwartungswert von Alfa Malicks bis Peter X Y ist Erwartungswert von X plus später mal Erwartungswert von wir machen nochmal das Beispiel mit dem spielen Sie spielen diesmal zweimal hintereinander beim 1. Spiel bekommen sie Gewinne X beim zweiten Spiel bekommen sie gewinnt y X plus Y beschreibt ihn dann den gesamten Gewinn bei beiden Spielen zusammen als jetzt ein Vergleich 1 Peter gleich 1 und überlege mir mal was ist einfach mal X das Bettermann y ist ein X plus Y Gesamtbericht Gewinn und jetzt gucke ich mir den gesamten Gewinn im Mittel an und sage diesen gesamten Gewinne Mittel bekomme ich war ja in den ich erstmal den Gewinn dann erst spielen im Mittel ausrechnen und dann den Gewinn im zweiten Spiel beim Mittel ausrechnen bundesweite beidesmal addieren das ist das gleiche also auch dass es eine allgemeine Eigenschaft von Erwartungs ich können beweisen aber nicht mit Formen die ich grad eben gemacht hätte dann müsste ich die Formel verallgemeinern als 1. das würde nicht gefallen und dann wollen die Beweise aber ganz einfach gehen aber wenn sein der 1. Teil nicht viel gefällt mache ich den zweiten Teil auch nicht also glauben Sie es mir einfach ist ein erstes einigermaßen anschaulich sogenannte Genialität das heißt wenn ich mir Jahr Kombination von Zufallsvariablen davon den Erwartungswert haben will dann ist die entsprechende den Jahr Kombination der einzelnen Erwartungswerte und das Ganze kann ich machen ohne wurden welche Voraussetzungen an die Zufallsvariablen aber so das auf den gleichen Wahrscheinlichkeit Raum definiert sein müssen damit ich diese Summe überhaupt bilden können also X plus Y ist die Zufallsvariablen mit den Werten nix von dem der X bis 17. gar ist nix von Armee gab es 17 von Amiga damit ich es hinschreiben kann müssen X und Y beide in Abhängigkeit von gleichen und gar definiert werden ok zweite Eigenschaft 3. Eigenschaft ich mache das gleiche noch mal mit dem Produkt ich möchte haben Erwartungswert vom Produkt zweier Zufallsvariablen ist gleich Produkt der Erwartungswerte das ist nicht ganz logisch dass das nicht allgemein gilt aber es geht nicht allgemein da brauchen Sie zuletzt Eigenschaften
dieses Zusatz Eigenschaft ist die Unabhängigkeit das heißt die Zufallsvariablen dürfen sich gegenseitig nicht beeinflussen also sind die realen Zufallsvariablen X und Y unabhängig das heißt anschaulich beeinflussen sich die Werte von x und y gegenseitig nicht so gilt immer Erwartungswert von X X Y ist gleich den Erwartungswert von X mal den Erwartungswert von also Erwartungswert ist eines Produktes unabhängiger Zufallsvariablen ist das Produkt Erwartungswert okay für also 3 Regeln ja sollten Sie einigte sich alle 3 mehr also 1. Regel nochmal Monotonie
relativ einfach Xtra gleich y folgt die Xtra Bereich Y zweite Regel Genialität Erwartungswert von sondern im Jahr Kombination ist die linear Kombination Erwartungswerte ganz ohne irgendwelche zuletzt Voraussetzungen 3. Eigenschaft bei
Unabhängigkeit Erwartungswert von Produkt des gleichen Produkte Erwartungswert ok haben Sie Fragen so weit keine Fragen gut mache ich ein Beispiel dazu wir betrachten nochmal das zufällige werfen zweier echten Würfel die Zufallsvariablen X die Summe der beiden Augen zahlen an die oben landen wir fragen wieder wie groß ist der Erwartungswert von X haben Sie da eben ausgerechnet was 7 mehr wir machen es diesmal anders wir
einfache Lösung wäre ich sage X ist gleich X 1 plus X 2 wobei X 1 die Augenzahl des ersten Dorfes ist und legt 2 ist die Augen Fall des zweiten Befunde und dann kann ich den Erwartungswert von X einzelne Wartungswerk von x 2 ich mich jetzt mal separat aus Erwartungswert von X 1 Jahr das sind 2 echte wofür die werden unbeeinflusst voneinander geworfen ist Erwartungswert vom 1. Woche gleich den Erwartungswert vom 2. auf es zweite die Frage wie groß ist der Mittel beim Werfen eines echten Dorfes 3 comma decimal 5 wie kommen Sie darauf weil sie noch mal sie nehmen die Zahlen zwischen 1 bis 6 und die Hälfte davon das 3 comma decimal 5 und ja anschaulich klar ist richtig aber können Sie unsere Definition des Erwartungswert auch begründen der eine andere Möglichkeit also was müssen wir machen wenn wir das jetzt nicht anschaulich zwar mitunter Definition des Erwartungswert ist rechnen wollten sie müssen einmal ein 6. bilden zweimal 1 6. bilden und so weiter bis 6 one sixth und das Ganze auf addieren kommen sie auf also auf die Summe kann gleich 1 bis 6 kann man ein Sechstel und wenn sie das ausrechnen kommen sie auch auf einen auf 3 comma decimal 5 ja und damit ist der Erwartungswert von X 1 plus X 2 ja das war die Rechenregel von gerade eben den kann ich jetzt umschreiben als die Summe der beiden einzeln Erwartungswerte bis der Rat unser von X 1 bis den Erwartungswert von x 2 dann sehen Sie ja dass es 3 comma decimal 5 bis 3 comma decimal 5 9 und 7 aus gleich Wir freuen etwas mühsamer von Hand ausgerechnet haben also sehen wir zum trägt das würde Zufallsvariablen schlau darstellt zum Beispiel zum lassen sich Erwartungswerte manchmal deutlich einfacher berechnen fragen Rechnung gut dann kann man noch zu 2 ist allgemeineren Formeln ich stelle ihn noch
2 weitere Formen zur Berechnung von Erwartungswerten da und da habe ich die Zufallsvariable diesmal mittelbar das heißt ich hatten Zufallsexperimente mit einem zufälligen Ergebnisse X und dann wenn ich eine Funktion drauf an Funktion Hafen er nach R und wieder eine neue Zufallsvariablen hat von nix also sie haben Spiele aber kommen Sie in so völligen gewinnen und oder bekommen Sie eine zufällige Auszahlungen und der Gewinn ist dann die Auszahlung minus im Einsatz das heißt ich die abziehen nachträglich noch mal den Einsatz und dann kann man auch zeigen der richtige die richtige Methode um hier einen mittleren Wert zu definieren ist folgendermaßen falls dieses X nur Werte in 1 0 1 nennt das heißt falls PX volle 0 gleich 1 ist das heißt mit Wahrscheinlichkeit 1 Mittelwert von Text in den 0 also mit Wahrscheinlichkeit 1 tritt eine der Zahlen 0 1 2 und so weiter auf dann schreibe ich na ja wenn ich den Erwartungswert von haben wollte würde ich in dem Fall schreiben Summe K gleich 0 bis unendlich K mal die Wahrscheinlichkeit dass X K 1 und wenn ich den Ball Erwartungswert von Avonex X haben will schreibe statt im Chalet H von K weil die Wahrscheinlichkeit dass gleich und 2. Formel Weise X eine dichte hat dann werde Erwartungswert von X das integral von minus endlich wissen endlich x F von X X und hier einen Erwartungswert von Hafen wächst billig jetzt H von kleinen X F von X Text von beiden könnte man wieder oder können sich in der zeigen den allgemeinen Definition des Erwartungswert ist das beschreibt in der Tat den mittleren werde bei den Zufallsexperimente ich mache ja keine richtigen Beispiele dazu sagen ich gebe Ihnen mal 2 Beispiele für die Funktion H
1 wir nehmen X X seit aus aufeinander verteilt y sei gleich verteilt auf dem Intervall von 0 bis 2 mit dem bisherigen Formen können wir zum Beispiel den Erwartungswert von Xtra gerade ausrechnen haben Sie die die was machen beziehungsweise was kommt raus wenn sie bisherige fordern vorne von gerade eben die
hier was kommt raus wenn sie damit jetzt
den Erwartungswert von Xtra dran ausrechnen was 4 x ist mir was hat der Post aufeinander verteilen 1. Frage wenn sie Post aufeinander verteilte Zufallsvariablen haben hat die dann eine dichte oder hat die eine Zelldichte sind wir hier in dem Fall von gerade eben erst Fall das x von N 0 gleich 1 das wir die Zelldichte oder sind in dem Fall dass x würdigte er hat vorschläge sie sagen 50 50 Orte ok 1 an das was nun aus aufeinander verteilen der ist Rede Verteilung und noch genauer hat natürlich der zierliche können schreiben wissen Sie jetzt nicht auswendig macht auch nicht aber es ist Verteilung das heißt das sind auf alle Fälle in den 1. Frage und vorkommen tun welche Werte bei der Post aufeinander Verteilung das sollten Sie vielleicht noch wissen welche Werte können dann Zufallsexperiment auskommen Bundesergebnis Post aufeinander verteilt ist nur Werte über 0 und 1 schließt der nun auch noch 0 1 2 3 und so weiter können vorkommen und der K Komfort mit der Wahrscheinlichkeit Lande hochgradig K Fakultäten EU-Ministern war und wir haben vor den Mittelwert ausgerechnet der Mittelwert bei der Post so mehr von einer der Verteilung war Lander das war diese komische somit ist ein bisschen geformt hat ja wenn ich jetzt Erwartungswert von x Nádraží berechnen möchte dann
bin ich also in diesen ersten Fall wenn wir die Frage was ist dieses H er jetzt also wir schon geklärt ich habe diese Wahrscheinlichkeit dass X gleich K ist das ist ja Lande hochgradig K Fakultät Mario kann das Lander ich muss diese Summe von Kahr gleich 0 bis unendlich bilden und jetzt muss ich noch von Kabel der die Frage was ist die Funktion H den Hafen x gleich x vertrat sein soll vorschläge Faktor 3 die funktionale hat vertrat Hafen liegt also mehr was wollen wir haben wir haben Export aufeinander das heißt Sie haben diese tätig der Türkei aus in 0 und interessieren würde mich der Erwartungswert von X Quadrat und dazu deutlich dieses X Quadrat als eine Erwartungswert von H von Grosics müsse die Frage was jetzt hier Hafen klein X damit Hafen Grosics gleich x Vertrag ist also wie kommen sie von nix parat was wir eine das heißt sie kommen Sie was müssen sie mit dem Kleid X machen auch Beiträge das Xtra Draht kleinlichsten betrat okay das heißt Sie
sehen wir kommen hier auf die Rhein-Neckar gleich 0 bis unendlich H von K also K Quadrat weil die Wahrscheinlichkeit dass X gleich K ist das wäre die reine K gleich 0 bis unendlich K Quadratmer Malanda Hochkar durch K vorgelegt mal EU-Ministern dar könnt ich ihn jetzt ausrechnen möchte ich aber an der Stelle jetzt eine nicht machen müssen Sie jetzt auch nicht als geben Krieg ich würde es K Quadrat umschreiben als Karmarkar minus 1 plus 1 wir dann können die Summe auseinanderziehen und dann kann ich es mal kamen das 1 mit dem K Fakultät kotzen ich würde gerade 3 umschreiben als K Leica minus 1 bis plus K insgesamt also kein Quadrat minus K Wisker und es Carradines Kader K x K minus 1 und dann können Sonne auseinanderziehen und zweimal dieses bei dem K Fakultät aber wissen Sie nicht wissen wir machen deswegen jetzt hier nicht was sie können sollten es sie sollten von diesen Erwartungswert auf diese Summe kommen können das zweite wenn jetzt Y gleich verteilt ist auch Intervall von 0 bis 2 auch Duncan Gedichte die Dichte der Einheit für Argument zwischen 0 und 2 und 0 sonst der Gleichverteilung auf dem Intervall von 0 bis 2 ich möchte den Erwartungswert von Evolution ausrechnen ich deute wieder dieses er hoch y als ein Haar von y das hat rückt wieder aus wie komme ich von y zu dem er holt sie dann ja das kommen Sie indem Sie die Zahl wie hoch die Zahl bilden das heißt H von klein X wäre Horex dieses LUX nur die wird wie ich jetzt der Dichte und integrieren dann kommen Sie und sehen Sie zu comma auf das integral von endlich wissen endlich er hoch x-mal diese Dichte und die Dichte ist 0 außerhalb von Intervall von 0 bis 2 und ansonsten Einheit das heißt sie kommen aus integral von 0 bis 2 Yoricks halt das könnten sie glaube ich ausrechnen wir wollen sie sollen die gerade ausreichten sie wurden die Stammfunktion bilden und des EU-Rechts zeitgleich ist richtig als ihr Erichs verändert sich dann ableiten nicht das heißt die Stammfunktion wer genauso über genauso ausübt in genau oder in der also EU x mal ein halbes auch die Funktion die abgeleitet Yoricks halt gibt und dann würden sie eben auch die Werte 2 und 0 einsetzen und die Differenz ok Sie Fragen so weit mehr also die Stammfunktion wäre diejenige Funktion die abgeleitet in der Grand mehr gibt der Wiegand ist ja eher hoch x-mal einhalten sie betrachten das Ganze als Funktion von x und suchen eine Funktion die abgeleitet hoch x-mal Einheit ergibt da sich die Exponentialfunktion selber beim ableiten gar nicht verändert die Ableitung von EU X ist hoch X ist die Stammfunktion von ihr auch x-mal Einhalt E hoch x einhalten falls sind schnell hin wenn dieses integral bilden wollen von 0 bis 2 die hoch x-mal Einheit dann schreiben Sie erst mal sich die Stammfunktion denn die Stammfunktion ist in dem Fall der in die Grand selber setzen dann X gleich 0 x gleich 2 1 erst im oberen wird Oberwerth gibt er hoch zweimal Inhalt ziehen dann den Funktionswert eine unter und Stelle ab das geht eben auch nur man hat und dann sehen Sie wir können wir halt noch ausklammern und bekommen Quadraten Müller gibt 1 die Quadraten es 1 können wir zum Taschenrechner eintippen und approximative numerischen wird für bestimmen ich mache ihn 8. Zusammenfassung das nicht machen können ist abschalten schreiben gut comma Zusammenfassung der
heutigen Vorlesung zur Berechnung des Erwartungswert es einer diskreten Zufallsvariablen X liegen wir einigen Wahrscheinlichkeiten gewichtetes Mittel der Werte von x also wenn die Werte von Xtra 1 0 1 2 und so weiter sind dann der werde Erwartungswert von X somit K gleich 0 bis unendlich K mal die Wahrscheinlichkeit von phönixgleich K zur Berechnung des Erwartungswert ist einer stetig verteilten Wort Variable Y F integrieren wir X x F von X über R das heißt falls es wirklich der von Ibsen ist ist Erwartungswert von y gegeben durch integral über R x x F von X Text also in die 3 von mir einen gewissen endlich X X F von X Text allgemeiner können wir ausdrücken hinschreiben wie Erwartungswert von Xtra Draht im 1. Fall da oben wir die gleiche Summe nur statt dem K schreibende K Quadrat Quadraten oder Erwartungswert von iHub sollen für die Zufallsvariablen da unten das gleiche integral nur statt dem X schreiben wir jetzt E-Buch X in damit wäre ich für heute fertig
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