Logo TIB AV-Portal Logo TIB AV-Portal

Erwartungswert und Zufallvariable

Video in TIB AV-Portal: Erwartungswert und Zufallvariable

Formal Metadata

Title
Erwartungswert und Zufallvariable
Title of Series
Part Number
11
Number of Parts
14
Author
License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license.
Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung Statistik I für Human- und Sozialwissenschaftler gehört zum Pflichtprogramm des ersten Semesters in den Studiengängen Psychologie und Pädagogik an der TU Darmstadt. Sie stimmt inhaltlich weitgehend mit der dieses Semester vom gleichen Dozenten abgehaltenen Vorlesung Mathematik und Statistik für Biologen überein. In ihr wird eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik gegeben, wobei der Schwerpunkt auf einer leicht verständlichen Präsentation der grundlegenden Ideen in diesem Bereich liegt.
multiple End variance Quadrat Mittel variance number expect Verallgemeinerung Densities Average Berechnung Berechnung random variables random variables
Anordnungen End Mittel Zahl variance number
expect Zahl field strategy Average Forest law absolute values Mittel absolute values random variables number
Zahl Schwankung Schwankung variance Quadrat Mittel Average variance expect Average absolute values absolute values random variables
expect Verallgemeinerung Haare Average Schwankung Schwankung variance Quadrat Mittel equational absolute values random variables
probability distribution point integrators differential gauss argument functions expect Densities Average primitive random variables multiple binomische Formel normalization variance Quadrat Mittel substitutive inverted partielle Integration Berechnung random variables Faktoren normalized Ableitung
Schwankung Mittel random variables
expect Zahl cubes variance Quadrat Summe Zahl random variables variance
constantly track summand Zahl multiple binomische Formel real Schwankung randomness variance Quadrat Mittel number expect Formula terms Average zusammenhängende Berechnung Berechnung Summe Faktoren random variables
integrators Content variance Quadrat number expect Densities Densities Berechnung Berechnung primitive random variables random variables
meter integrators variance Quadrat Binomialverteilung variance expect Densities closures partielle Integration Unabhängige Zufallsvariable Summe Summe primitive random variables Faktoren random variables
End infinity variance Binomialverteilung variance expect Unabhängige Zufallsvariable Berechnung Summe sum Berechnung Summe random variables
probability distribution Schwankung normalization Schwankung variance Binomialverteilung Quadrat variance expect Densities expect uniform distribution Summe table random variables random variables
ja begrüßt Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung ich habe den wie immer vorne weg die Lernziele der heutigen Vorlesung nach der Vorlesung heute
sollten Sie 1. wir erklären können was man anschaulich unter der Varianz einer Zufallsvariable unter einer Zufallsvariablen versteht 2. die wichtigsten Rechenregeln für Varianten kennen und drittens Varianten in den verschiedenen Spezialfällen berechnen können das Ganze bald auf auf dem Wasser beim letzten Mal gemacht haben da ging's um den Erwartungswert der Blätter noch mal kurz zurück zur Zusammenfassung beim letzten
Mal beim Erwartungswert ging es um den mittleren Wert der sich bei Zufalls Experiment er gibt wir hatten verschiedene Formeln zur Berechnung des Leidens 1. werden als Werte nur die Zahlen 0 1 2 3 und so weiter vorkommen dann nehmen wir diese einzelnen Werte multiplizieren Sie mit den Wahrscheinlichkeiten dass diese wäre auftritt und summieren das ganz auf das Ganze gab den Mittelwert oder Erwartungswert 2. wenn wir eine Zufallsvariablen mit nicht der haben können wir das da oben nicht mehr bilden weil diese einzelnen werde dann nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auftauchen stattdessen bilden wir X mal ich die an der Stelle x 1 x x f von x und integrieren das auf und drittens es gab Verallgemeinerungen davon zum Beispiel wenn sich im 1. Fall Erwartungswert von Xtra Quadrat interessieren dann nehmen sie die einzelnen Werte Quadrieren sie und Multiplizieren mit den Wahrscheinlichkeiten das diese einzelnen Werte auftreten und summieren das Ganze auf und analog wenn sich im zweiten Fall vor dem Erwartungswert von Eruptionen integrieren dann nehmen Sie anstelle von X nehmen Sie jetzt diesmal E hoch x multiplizieren das mit F von X integrieren das Ganze auf um diese Erwartungswert beschreibt einen mittleren beim Zufallsexperimente aber es irgendwie klar ein wie der werden Mittel ist nicht alles also wenn Sie sich überlegen was kommt raus und Sie wissen werden Mittel ist das nicht besonders aussagekräftig oder wird das ihre Entscheidung zu dem was sie letzten Endes machen wollen nicht unbedingt Entschei- oder alleine beeinflussen es geht auch darum wie stark schwankt der zufällige werdende Mittelwert und dar und geht
es heute bei den Begriff der Variant ich mache Ihnen
dazu zunächst einmal ein Beispiel und
zwar Beispiel zum Roulett beim Glücksspiel Ohletz werfen Sie die Kugeln somit drehende Scheibe die Scheibe hat 7 30 gleich große Fächer die Fächer sind durchnummerierten Zahlen 0 bis 36 die Kugel bleibt rein zufällig in einem dieser Fächer liegen von diesen Zahlen die er diese Zahlen die von 0 bis 36 durch Nummer wird sind 10 18 Geburt die roten Zahlen stehen hier 1 3 5 und so weiter die restlichen Zahlen aus der 0 sind schwarz die 0 ist eigentlich grün steht hier nicht mal kann um man vor werfen der Kugel sein Geld zum Beispiel darauf setzen ob die Kugel in einem Feld mit einer geraten einer ungeraden einer roten oder einer schwarzen Zahlen bitte sofern dann der Fall eintritt auf den man gesetzt hat und die Kugel aus dem nicht auf der nur landet bekommt man den doppelten Einsatz ausgesagt ausgezahlt andernfalls ich mache sie vereinfachen so verliert man sein Einsatz normalerweise ist es so wenn sie auf Schwarz gesetzt haben die Kugel landet auf den 0 also auf Grün dann verlieren sie nur halben Einsatz aber tun sie ein bisschen vereinfachen zu Rechnungen wir tun so als ob man Einsatz Satz komplett verliert ich habe hier drüben an der Tafel mal schematisch ein ich weiß nicht ob es genau stimmt von Anordnungen habe so aus dem Gedächtnis gemacht mal schematisch ein Roulett fällt auf gebaut also das wohl letzten Endes ihr Geld setzen können das heißt die wird ja mir Umbrüche fällt da steht gerade ungerade drauf Rot und Schwarz die können dann sagen Ja ich setze mein Geld zum Beispiel auf Rot und wenn die Kugeln auf eine der roten Zahlen bekommen bekommen sie das doppelte Geld im anderen Fall bei unsern Spielregeln der das Geld weg und wir betrachten jetzt 2 wir betrachten jetzt 2 mögliche Spielstrategien die 1. Spielstrategie also setzen wollen insgesamt 2 Euro die 1. Spielstrategie ist ersetzen beider Euro auf gerade also 2 Euro auf gerade oder alternativ ersetzen die 1 Euro auf gerade und 1 Euro auf Schwarz und wir überlegen uns was ist günstiger haben Sie irgendwelche intuitive Kommentare was sie als günstiger Drachen würden wenn sie insgesamt 2 Euro setzen würden würden sie die er beide auf gerade setzen oder ein auf gerade und ein schwarz Vorschlag also es kommt drauf an was Sie vorhaben also worden sagen wenn Sie Ihr Geld möglichst lange erhalten wollen dann würden sie auf 2 verschiedene Sachen setzen wenn sie möglichst viele auf einmal gewinnen wollten würden sie die beiden auf eine Sache setzen sonstige Kommentare ok der Kunden sind selbst mal genau an und zwar mächtig erst mal ansehen was kommt denn im Mittel jeweils raus also wir
überlegen uns zuerst wie groß der Gewinn also der ausgezahlte Betrag minus dem Einsatz von 2 Euro im Mittel ist also ich bin doch ausgezahlten traten nehmen aber ich dachte du bist den Gewinne steht auch die alte TV-Spiel gar nicht dann der der Gewinn 0 mehr und die Mittel auch 0 und bitte überlegen uns mal wie groß ist der Gewinn im Mittel hier bei diesen 2 Spielstrategien 1. Spiel Stawicki 2 Euro auf gerade in der Zeit nichts der zufällige Gewinn des Seite Zufallsvariablen der zufällige gewinnen mehr als kann gerade oder es kann und gerade kommen wir da gerade kommt bekommen sie 4 Euro aus 2 Euro haben sie Gewinn des also 2 wenn gerade nicht kommt bekommen Sie 0 Euro aus 2 Euro sie gesetzt der wir also minus es gibt also 2 Werte und jetzt die Frage mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die auf nun es können sich am Spielfeld einig angucken wenn sich überlegen ja wir interessieren uns für gewinnen tun wir bei den geraden Feldern dann können Sie einfach abzählen wie viel sind gerade was ist ist 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18 dieser Felder sind gerade von 7 30 wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit eines dieser Felder landet vorschläge 18 7 30. wird es in der gleichen Wahrscheinlichkeit Frau wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass es offen Ungerer auf ein nicht gerade das Feld landet ja es gibt insgesamt 7 30 Wälder 19 sind jetzt nicht gerade die Wahrscheinlichkeit der 19 7 30. das heißt sie sehen sofort die Wahrscheinlichkeit dass X gleich 2 es ist 18 7 30. die Wahrscheinlichkeit dass ich's gleich minus 2 ist es 19 7 30. letzter die Frage wie groß ist der Mittelwert willkommen Erwartungswert den Gewinn im Mittel die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren und durch 2 teilen dann bekommen Mittelwerte Wahrscheinlichkeiten aber ich werde Mittelwert meines Gewinns haben also wie groß ist der mittlere gewinnt der Wert 2 taucht in 18 von 37 Fällen auf der der minus 2 in 19 von 37 wie groß ist der Werbemittel mit ja gut Sie wissen es vielleicht noch jemand anders minus 2 x 19 7 30. plus 2 zweimal 18 7 30. das heißt sie müssen die wahrscheinlich teilten mit den oder die müssen die jeweiligen Werte die auftreten können mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren und das ganze addieren kommen Sie auf 2 8 2 x 18 7 30. minus 2 x 19 7 13 5 gibt minus 2 7 30. das heißt dass eine Zahl kleiner als 0 im Mittel verlieren Sie Geld könnten wir uns die andere Strategie einen die andere Strategie war je 1 Euro auf gerade und Schwarz setzen wenn Sie ein Euro auf geradem schwarz setzen können dann können sich überlegen was kann auskommen dann kann Weidenfeld eine gerade und eine schwarze Zahl auskommen dann gehen sie mit beiden einsetzen das heißt sie will kommen zu den 2 Gesetzen Euro jeweils 1 Euro dazu also Sie bekommen 4 Euro ausgezahlt das heißt der Gewinn ist 2 Euro dann kann sein genau einer der beiden Fälle tritt ein also es zum Beispiel gerade aber nicht schwarz oder ist schwarz aber nicht gerade in dem Fall gewinnen Sie bei dem einen fällt ein Euro beim andern bei dieser Einsatz futsch das heißt im Mittel haben sie 0 oder es kann weder gerade noch schwarz sein weil es keine roten ungerade und die 0 sein ja dann haben sie ihren Einsatz verloren der Gewinn ist minus 2 ja es geht weil ich eine Frage wie groß die Wahrscheinlichkeit dass Epson gleich 2 ist eine und die Wahrscheinlichkeit steht ja schon irgendwie ja das ist so schlau gemacht das heißt wir wissen wie die Wahrscheinlichkeit dass gerade und schwarz Auftritt Sie können sich das überlegen was sind die Felder wo gerade und schwarz ist na ja gerade und schwarz das sind sie die weißen Felder wurde gerade Zahl steht als die 2 hier die 4 die 6 die 8 die 10 die 12 nicht die 14 nicht die 16 ich die 18 über diesen diesen rot mit 20 ist wieder gerade und schwarz die 22 der 24 die 26 die 28 die 30 nicht die 32 nicht die 34 nicht die 36 nicht weil sie sind alle rot die 0 ist grün das können abzählen wie sind das das sind hier 1 3
5 7 9 10 also 10 von 37 dann sehen Sie die Wahrscheinlichkeit ist 10 7 30. also den Fall kommen Sie auf Wahrscheinlichkeit dass Y gleich 2 ist ist den 7 30. jetzt brauchen wir noch die Wahrscheinlichkeiten das Epson gleich 0 ist das heißt wieder das entweder nicht gerade aber dafür schwarz oder nicht schwarz aber dafür gerade eintritt und wir brauchen noch die Wahrscheinlichkeiten das Y gleich minus 2 ist das heißt das wieder gerade noch schwarz eintritt dazu müssen sie jeweils die Anzahl der Felder bestimmen am einfachsten geht es wenn wir uns jetzt überlegen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass gerade und Schwarz nicht eintritt hat oder dass wir gerade noch schwarz eintritt so rum meine ich eigentlich er dann bekomme der zweite Anzahl sonst Wäldern und die dritte Anzahl Felder ist einfach die Differenz von den beiden zu 7 30 das heißt wir stimmen erst mal die Wahrscheinlichkeit dass Y gleich minus 2 ist was würden Sie sagen wie groß die Wahrscheinlichkeit dass Y gleich minus 2 ist nach wenn man aber das Licht an 18 7 30. welche Felder sind das wurde und gerade ja welche Zahlen sind es hier wurde ungerade ist 1 3 5 7 9 19 21 23 25 27 und die 0 ja da sehen Sie das ist doch der Trick für die Bank sie bekommt die nun auch noch und damit sind nicht sehen sondern es sind sehr einer mehr als wollen also 11 essen 11 7 30. Wahrscheinlichkeit und dann sehen Sie die andere Wahrscheinlichkeit weil das Y gleich 0 ist dass die da ist dann 1 minus 10 7 30. des S 7 30. das müsste 16 7 30. sein das heißt sie kommen wahrscheinlich keine Sitzung gleich 0 es auf 16 7 30. Wahrscheinlichkeit dass Y gleich minus 2 ist auch 11 7 30. jetzt können Sie wieder ja hier muss Y stehen den Erwartungswert von y ausrechnen wie machen Sie das jetzt also wie groß das sind die Werte die auftauchen können 2 0 und minus 2 die Wahrscheinlichkeiten dazu sind 10 7 30. 16 7 30. und 11 7 30. wie groß ist der der Mittel oder wie berechnen Sie den also sei die Frage was müssen sie dafür rechnen würden Werte Mitte aber die Wahrscheinlichkeit als in dem Fall zweimal die Wahrscheinlichkeit den 7 30. 0 weil die Wahrscheinlichkeit von 16 7 30. und minus 2 Mal die Wahrscheinlichkeit von 11 7 30. und das Ganze auf so und mir das ergibt 2 x 10 7 30. plus 0 x 16 7 30. minus 2 x 11 7 30. das gibt genauso minus 2 7 30. das heißt beide Strategien führen im Mittel zum gleichen negativen gewinnen und bezüglich dem Gewinn im Mittel unterscheiden sich diese beiden Strategien überhaupt nicht fragen so weit was war noch mal die Wahrscheinlichkeit dass Y gleich 0 16 7 30. die kam ich auf die die habe ich erst gar nicht abgezielt weil es schwieriger werden werde ich habe vergessen gezählt weil wie viel Feldern kommt jetzt den von 2 raus bei 10 bei wie viel Feldern konnten Gewinn von minus 2 raus 2 EL von jeweils abgezählt zusammen sind 21 Wälder insgesamt gibt 6. 7 insgesamt gibt es 7 30 Wälder durchnummeriert von den Zahlen von 0 bis 36 das heißt die verbleibenden 16 Felder da muss Y gleich 0 sein das war der Trick er wird auch das überlegen können aber dass wir ein bisschen mühsamer gewesen dass in den Krätz zu sehen oder einem Spielfeld gut also wir haben jetzt gesehen mit dem was wir bisher gemacht haben Gewinne im Mittel kommen wir hier nicht weiter
wir stellen uns nun die Frage ob beides mal die zufälligen Werte gleich stark um den mittleren Werte schwanken und ein Kriterium zur
Beurteilung der zufälligen Schwankungen des Resultates eines Zufalls Experiments um den Mittelwert ist die so genannte Varianz und diese Varianz beschreibt die mittlere quadratische Abweichung zwischen einem zufälligen wert und seine Mittelwert das heißt der gucken uns die Abweichungen an also zufällige werden minus Mittelwert das gibt eine zufällige Zahl wir Quadrieren wie es gibt immer noch eine zufällige Zahl die allerdings nicht negativ ist und wir berechnen dann davon den Mittelwert Definition ist hier 2 x 1 allen Zufallsvariable für die der Erwartungswert existiert dann heißt Varianz von X das ist der Erwartungswert vom Betrag von X minus EX zum Quadrat die Varianz von X beachten Sie an der Stelle 2 Sachen 1. ich habe hier beim Quadrieren Betrag Striche geschrieben das ist eigentlich unnötig ob sie den Betrag eine Zahl Quadrieren oder die Zahl selber also ob sie minus 2 neben den Betrag ausrechnen 2. Quadrat gibt 4 oder ob sie minus 2 direkt patrouillieren also minus 2 bei minus 2 gibt genauso 4 Spiele macht keinen Unterschied ich habe ihr Betrag spricht eigentlich nur deshalb geschrieben damit man das also nicht nicht so viele Klammern dastehen dann sieht man kann das ein bisschen schöner unterschreiben von wo bis wo geht es betrat die der Betrag das zweite das Ganze ist eine mittlere quadratische Abweichung es irgendwie klar dass es nicht die mittlere Abweichung ist bei wenn sich die mittlere abgleichen zum Erwartungswert angucken würden dann gehen einfach nur raus die Abweichung von zufälligen mehr zum Erwartungswert im Mittel ist 0 so ist Erwartungswerte mir Erwartungswert ist ja gerade die Zahl die Mittel rauskommt wir können aber hier stellen wir könnten aber wenn wir schon Betrag strich lassen genauso gut auch das Quadrat mit lassen wir machen hier ein Quadrat weil es in vielen Fällen die Rechnung vereinfacht also schlugen sie es einfach mal das ist der Begriff den wir im Folgenden verwenden die sogenannte Varianz wir gucken uns den mittleren quadratischen Abstand zwischen zufälligen Werten seine Mittelwert an und das machen wir zum im vorigen Beispiel im Beispiel oben wir gucken uns erst mal x an
die Wahrscheinlichkeit dass ich's gleich 2 Barber 18 7 30. also X war die Strategie dass wir 2 Euro auf gerade setzen die Wahrscheinlichkeit dass dann der Gewinn gleich 2 ist es 18 7 30. die Wahrscheinlichkeit dass ein Minus 2 ist 19 7 30. Erwartungswert war minus 2 7 30. ausrechnen wollen wir die Varianz wenn wir den Wert für Erwartungswert einsetzen dann bekommen wir den Erwartungswert von Betrag von X plus 2 7 30. zum Quadrat das muss ich im folgenden ausrechnen x-ten dabei 2 Werte an nämlich 2 und minus 2 die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten stehen da oben es war die Frage wie berechnen Sie diesen Erwartungswert hier also wie groß ist der Wert im Mittel X plus 2 7 30. zum Quadrat das können Sie auf 2 verschiedene Arten machen sie können sich einerseits was die letzte Vorlesung gelernt haben damit könnten Sie sehen und über den schreiben wenn Sie das nicht wollen oder wenn das zu schwierig ist kann sich überlegen welche Werte sind denn dieses X plus 2 7 30. zum Quadrat an um mit gleichen Wahrscheinlichkeiten drehten die beiden Werte auf was wollen Sie es mir sagen welche Werte X plus 2 7 30. zum Quadrat an welche Werte können da rauskommen also ihren Vorschlag minus 2 x 1 minus 2 und 2 an aber welche werden den X plus 2 7 30. zum beraten ja ausrechnen setzen ein vollständig richtig das heißt da kommt minus 2 plus 2 7 30. zum Burg in Klammern zum parat raus und plus 2 bis 2 7 30. Flammen zum Quadrat das heißt es sie sehen Sie haben eine diskrete Zufallsvariablen die nur 2 verschiedene Werte annimmt jetzt wird die Frage mit welchen Wahrscheinlichkeiten drehten die beiden Werte auf mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt hier der Wert minus 2 bis 2 7 30. in Klammern zum Vertrag aus mit der Wahrscheinlichkeit 19 7 30. ja minus 2 19 7 30. also mit der Wahrscheinlichkeit dass X denn wir minus 2 1 das ist richtig und der wert 2. 2 7 30. zum Quadrat tritt entsprechen mit der Wahrscheinlichkeit dass X denn wir 2 1 also mit der Wahrscheinlichkeit 18 7 30. auf und dann wissen Sie sofort wie groß der Mittel wert ist sie nehmen die auftreten Werte Bezieher mit dem Wahrscheinlichkeiten addieren das heißt sie kommen auf 2 bis 2 7 30. zum Quadrat mal die Wahrscheinlichkeit des Xtra ist zwar ist plus minus 2 bis 2 7 30. zum war gerade mal die Wahrscheinlichkeit dass ich's vielleicht minus 2 ist sie setzen die Wahrscheinlichkeiten ein sie nehmen Taschenrechner rechnen das aus kommen Sie auf ungefähr 3 comma decimal 9 9 7 numerische und das da die Gleichung von hier sollten Sie eine von der letzten Vorlesung der wissen das war diese Verallgemeinerung von dem Erwartungswert wenn Sie da seine Funktion Haare stehen haben davon X statt selber warum steht oben X minus IX und darunter X plus 2 7 30. weil der Erwartungswert minus 2 7 30. das heißt ich müsste ein genau einsetzen X minus minus 2 7 30. und dieses doppelte Minister getan ist okay so weiter gut dann können Sie mir sicher alle sagen was beim zweiten Beispiel auskommt beim zweiten Beispiel
hatten wir die Zufallsvariablen y die hat die Werte 2 0 und minus 2 angenommen mit diesen Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert war wieder das Gleiche wenn ich dann die Varianz ausrechnen muss sich wieder den Erwartungswert von Y minus E Y in Klammern zum Quadrat ausrechnen bis Minus E Y ergibt ein Plus 2 7 30. und ich komme wieder auf den gleichen Wert ok jetzt die Frage ansieht was kommt diesmal aus wie machen Sie das jetzt das wissen Sie ja nicht hinkriegen genau genau so also einsetzen sie setzen erst für Psion gleich 2 1 dann kommen sie auf 2 2 7 30. zum Beitrag mal die entsprechende Wahrscheinlichkeit plus dann für Sie den Wert 0 einsetzen mal die entsprechende Wahrscheinlichkeit plus den dritten Thermen sie kommen auf 2 bis 2 7 30. zum war gerade mal 10 7 30. plus 0 plus 2 7 30. und war gerade mal 16 7 30. plus minus 2 bis 2 7 30. zum Quadrat X 11 7 30. und Sie kommen jetzt 2 comma wenn sie so närrisch ausrechnen 2 comma decimal 2 6 7 aus das heißt die mittlere quadratische Schwankungen ist jetzt kleiner als im anderen Fall Erwartungswert aber diesmal gleich wenn nicht minus 2 7 30. die mittlere quadratische Schwankungen im 1. Fall war ungefähr 4 im zweiten Fall ungefähr 2 spezielle die Frage was folgt daraus welche Strategie vor Zeugen sehen die wo Staat waren oder die wo es wenig schwankt die Frage ist nicht eigentlich egal weil sie schwanken ja bei beiden Seiten einen positiven und negativen Bereich ist vollständig richtig ist egal wen sie unendlich oft spielen wenn Sie endlich oft spielen kommt der ist am im Fluss der Mittelwert irgendwie raus unendlich oft oder so oder als Durchschnittswert dummerweise ist der Mittelwert negativ das heißt wenn sie unendlich oft spielen haben sie endlich viel Geld verloren eigentlich was nicht gut ist oder anschaulich comma so interpretieren also endlich aufspielende nicht wir spielen nur mehr ein ich würde vielleicht einmal spielen und vielleicht auch nicht mit 2 Euro soll vielleicht mit 2 Tausend Euro mit 20 Tausend Euro und überlegen uns dann wollen wir diese 20 Tausend Euro jetzt beide auf gerade setzen oder besser auf ihre was was andere gerade und Schwarzen an die 10 Tausend Euro was ist besser oder wollen will Kommentare noch ok ich schlage vor Sie verdrängten 100 Euro an der Bar warum weil sie Mittel verlieren also im Prinzip kann man sagen dadurch dass die Mittel verlieren der ich das beste sie spielen gar nicht aber wenn Sie schon spielen Sie haben ja immerhin die Chance auf einen Gewinn dass er sich wieder damit die Chance auf einen Gewinn haben eigentlich wird nicht einig lohnen da der Wert oder würde ich sagen da der Wert im Mittel negativ ist die Mitte verlieren sie würde sich eher Sohn 10 in den Werten der hohen Schwankungen also da der gelegentlichen negativ ist ist es naheliegend die 1. Strategie mit der stärkeren Schwankungen des Gewinns zu bevorzugen unter der Voraussetzung dass überhaupt ja spielen wenn Sie aber natürlich vermeiden wollen dass überhaupt ein Verlust erleiden und sage ich möchte möglichst seltene behaupten Verlust erleiden dann der die zweite Strategie besser weil da verlieren sie seltener überhaupt Geld okay das war der
Begriff der Varianz jetzt Bereich kann man denn mal für alle möglichen Verteilungen die wir schon kennen oder mal für 2 Verteilungen und ja Bereichen den für alle möglichen Verteilungen es richtig gucken uns zwischen dem noch einige Eigenschaften davon an und so weiter wir fahren aber das ganz einfachen an eine B-1B verteilte Zufallsvariablen das heißt den Wert 1 mit Wahrscheinlichkeit die an den Wert 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 minus P wir wissen schon Erwartungswert ist ein P nämlich einmal gebe 0 also den wir ein mal die Wahrscheinlichkeit P plus 0 mal die Wahrscheinlichkeit eines minus P ergibt B und die Frage ist wie berechnen Sie die Varianz Vorschläge wie bekommen Sie die Varianz oder B verteilten Zufallsvariablen müssen Sie nicht auch alle können vielleicht aus den hinteren Reihen vorschlagen Berechnung der Varianz eine B-1B verteilten Zufallsvariablen das heißt einer Zufallsvariablen in die Werte 1 0 an Sie kennen die Wahrscheinlichkeiten wird von den Werten und 1 minus die rechnen Sie die Varianz X minus P zum Berater also neben den Erwartungswert von X spielen da man zum Quadrat das 1. und dann setzen Sie im eigenen für XP werde 1 zu 0 welche kontert X 1 Dezember Draht setzen für x 1 Werte 1 zu 0 multipliziere mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten denn wer da rauskommt und agierendes das ganz auf kommt das raus das können Sie jetzt rechnerisch ausrechnen wie multiplizieren ja aus mit der binomischen Formel Multiplizieren mit P wurde wir ziehen das ganze aus kommen insgesamt auf PSP P Quadrat also P x 1 minus P wer die Varianz also wir haben schon gelernt Erwartungswert einer B 1 verteilten Zufallsvariable SP Varianz eine B-1B verteilten Zufallsvariablen ist 1 minus die 2. Beispielen bisschen schwieriger dies
würde Zufallsvariablen mit dich denn wir nehmen eine Normalverteilung nur Feinverteilung X mit Parametern an zigmal Quadrat Varianz von X ist wieder der Erwartungswert von X minus EX in Klammern zum Quadrat wir wissen der Erwartungswert ist der der des 1. Parameters das heißt wir kommen Erwartungswert von X minus in Klammern zum Quadrat wissen dass ihnen ausrechnen X hat es diesmal eine dichte die Augen die kritische zwar so 1 durch wir zu zweit die 1 durch Sigmar mal eher hoch Minus in Klammern X zum Quadrat durch 2 Siege aber trat also der Gaußsche Glockenkurve wissen Sie alles nicht aber ich weiß es oder so früher stand es also wenn sie früher als noch zu D-Mark-Zeiten stand diese ich glaube ich vor mir selber nicht aber die Funktion abgebildet auf Zehnmarkscheine sie Gaußsche Glockenkurve zusammen mit dem Bild von Gauß okay jetzt müssen sich erinnern wie machen wir das diesmal wenn wir wirklich da haben wir ja wir nehmen die Funktion des hier steht einer kleinen an der Stelle klein X Multiplizieren mit dem Werk der Dichte an der Stelle x und integrieren das Ganze auf das war die Formel die Sie an der Stelle wissen müssten die Formel kann ich jetzt diesmal nicht mehr plausibel machen die vor müssen sich merken das heißt sie kommen auf dieses integral integral von minus endlich wissen endlich X minus zum Quadrat mal die Nichte des erstellt und jetzt sehen Sie haben Sie irgendwie Probleme weise müssen Sie dieses blöde Integrale berechnen haben Sie eine Idee wie man integral berechnen könnte also Begriff des Integrals haben Sie schon mal gehört es weißliche hatte Frauke erzählt er und ich glaube sie wissen auch immer gerade generell berechnet Hauptsatz der Differential integral Rechnung besuchte Funktion die abgeleitet den in die Integrand mehr gibt 1. Schritt und setzten die beiden Grenzen ein also hierbei uneigentlichen integralen ich würde dann asymptotisch sehr große und sehr kleine Werte einsetzen gucken was kommt raus die Differenz kleines Problem wie sieht eine Funktion aus die abgeleitet X minus zum Quadrat das andere konstanter Faktor X E hoch minus X minus zum Quadrat durch konstante gibt da kennen sie keine dann können Sie aber Regeln zum integrieren die wichtigsten Regeln zum integrieren das können Sie da sie kennen die Kettensäge das Gerätes zum ableiten ist richtig aber die entsprechende Umkehrung ist die Substitution sie keine Subvention ist gut also wir könnten ja der Subsumtion machen wir könnten X 1 durch Signale zu titulieren er würde dieses verschwinden und das sieht man auch sich in Wohlgefallen auflösen der Kinder auf integral also approximativ y Quadratmer minus 17 parat halten so ungefähr um den Dreh ich würde sie nicht vor ich einmal Hotel nicht gefallen aber 2. Regine aus Absolution partielle Integration sie kennen die Frage der Integration dass es so bei sie haben den Begriff der Fahrt Integration zu wird es auch goldene gute Stich war dass ich weiterleben Gange was ist partielle Integration mehr sie kennen alle die Produktregel zum ableiten oder ich glaube Sie kennen die Produkt Rede zum ableiten also ich glaube es gibt weiß sie auch alle von Ihnen wirklich Integration gemacht aber ich glaube abgeleitet hat jeder in der Schule aber ich glaube das können Sie nicht leugnen Integration ist okay aber ableiten das glaube ich Ihnen nicht wenn Sie erzählen sie haben die abgeleitet er alles geben Produktregel zur Ableitung dieses Produkt von 2 Funktion ableiten und da können Sie der Indikationsregelung ausmachen und dass eine partielle Integration das geht so dass sie das Ganze den integralen umschreiben als ein Produkt von 2 Funktionen bei der ersten Funktion können tun sie ableiten bei der zweiten Funktion müssen Sie Stammfunktion bilden können also müssen Funktion finden wo sie die Ableitung kennen und dann können Sie das Ganze zurückführen mehr oder weniger offen integral über die Ableitung der 1. Funktion Stammfunktion der 2. Funktion ja ich meine es irgendwie klar bleiben wenn wir die 6 zum Quadrat aber dummerweise integrieren können wir das hintere auch nicht weil dann ihr hoch minus X 1 zum Quadrat steht wegen dem Quadrat was aber machen können Sie können dieses Exils zum Quadrat aufspalten in ein Faktor X minus A X X minus 8 und sie den zweiten Faktor X minus und neben ihn hier dazu und dann sehen Sie dann steht die innere Ableitung von den des zum Quadrat steht mehr oder weniger vorne schon dran als X 1 8 und deswegen können Sie dann sofort eine würde in bisschen wir eine Stammfunktion hinschreiten von den Dingen dann können Sie das eine integrieren andere den Faktor X minus können Sie ableiten und dann löst sich alles in Wohlgefallen auf können Sie jetzt vorrechnen ich weiß nicht ob Sie es gerne sehen wollen brauchen Sie das eigentlich nicht wirklich nein also es wird es nicht mehr Klausurfragen an der Sterne dann machen Sie jetzt ja weil sie brauchen das Ganze nicht mehr Geld etliche jetzt nicht sagen würde ich sagen sollen natürlich brauchen wir das wir uns werden sie ja nicht mehr glücklich mehr nein ich glaube der Punktes und anderer eigentlich bräuchten Sie da schon nur ich weiß nicht ob Sie wenn ich das vorrechnete sind der besser können als wenn es nicht vorrechnet das das ist mein Problem also vielleicht glauben Sie es mir an der Stelle auch man könnte selbst eine Mensa ausrechnen mit ein bisschen Integrations- Tricks und es kommt erfreulicherweise was schönes Haus nämlich der zweite Parameter Siegburger trat also der zweite Parameter der Normalverteilung beschreibt genau die Varianz der Normalverteilung und das sollten Sie sich merken also wir haben bei der Normalverteilung 2 Zeitparameter der 1. beschreibt was kommt die Mittel aus der 2. durch schreibt wie stark ist die quadratische Abweichung zwischen dem zufälligen Werten dem Mittelwert im Mittel gut haben Sie Fragen so weit welche Strategie würden jetzt hier
bevorzugen wenn der Gewinn im Mittel positiv ist es kommt drauf an also es gibt keine richtige Antwort ich würde dann bevorzugen denn die Strategie der die Strategie muss möglichst wenig schwankt weil sie nicht mehr gewinnen aber Sie könnten ja wohl noch sagen ich will die Strategie also wenn sie risikofreudiger Menschen wollen Sie sagen ich will die strahle die erschoss hat möglichst viel zu gewinnen ist ja ausfallen wenn Sie Lotto spielen will sie haben zwar im Mittel verlieren sie natürlich und sie haben einfach keine Chance viel zu gewinnen aber sie habe überhaupt die Chance viel zu gewinnen wir können sagen dass den für sie viel mehr diese Chance dass sie da 30 Millionen vielleicht gewinnen können als dass ich ständig von ihren eigentlichen es komme darauf an wie sie selber einschätzen noch eine Frage gut dann
hätte ich noch meine Frage an Sie das wäre aber die die
Militärs nicht geben wir mal 5 Minuten Zeit mehr okay Vorschläge wie machen Sie das bitte ja sie reichen für Wartungs- aus das heißt wir gucken uns Erwartungswert an das wär somit H gleich 1 bis 6 bis 3. ja nur die Werte 1 bis 6 auf K mal von der Wahrscheinlichkeit dass K ist beim echten Würfel sie werden alle Zahl mit Wahrscheinlichkeit ein Sechstel auf das heißt Sie müssen zu mir Cal gleich 1 bis 6 kann man ein Sechstel ausrechnen kommen 3 comma decimal 5 aus die kommen Sie dann die Varianz habe sie ein sie sagen 1 plus 3 comma decimal 5 zum Quadrat 1 minus 3 comma decimal 5 zum Quadrat man ein Sechstel plus und dann weiter 2 minus 3 comma decimal 5 x one sixth und so weiter das heißt beider Mariannens interessiert uns der Erwartungswert von X minus 3 comma decimal 5 zum Quadrat dieses X minus 3 comma decimal 5 zum gar geraten die Werte 1 minus 3 comma decimal 5 zum Quadrat an 2 minus 3 comma decimal 5 zum Quadrat und so weiter bis 6 minus 3 comma decimal 5 zum Quadrat jeder diese einzeln Werte wird multipliziert mit einer Wahrscheinlichkeit das auftritt wenn ein Sechstel oder wieder wahrscheinlich das Auftritt jeweils mit one sixth wenn wir das Ganze auf addiert und dann wir müssen die Summe noch ausrechnen sehen Taschenrechner kommen Sie am Schluss auf 35 12 ok Fragen so weit fragen keine Fragen gehen wir zurück zur Vorlesung mehr und wir machen weiter mit
nützlichen Rechenregeln für die Berechnung von Varianten ich stelle ein Lemma also einiges ist dafür trat vor 2 x eine reelle Zufallsvariablen für die der Erwartungswert existiert dann gilt 1. Formel die Varianz von X lässt sich schreiben als Erwartungswert vom Vertrag von X minus dem Quadrat des Erwartungswert das von X ich möchte das kurz vorrechnen ist relativ einfach an wir interessieren uns für die Varianz von X nach Definition es ist der Erwartungswert X minus EX in Klammern zum Quadrat ja nicht ich schreibe diesmal runde Klammern bei den Quadrat weil gleich aus multipliziert also ich nenne binomische Formel und schreibe meinen was dieses X minus zum beitrat einig ist den äußeren Erwartungswert hat sich stehen wenn Sie das Innere aus multiplizieren kommen sie auf Xtra Draht dann minus 2 x x x sind der netzintern IX in Klammern zum Quadrat und von diesem ganzen Ausdruck also dieser Ausdruck stimmt einfach mit dem drüber über einen im Erwartungswert des Weges der Wartungs- wir diesen Ausdrucks gleich den Erwartungswert zum Ausdruck unter und von diesem ganzen Ausdruck möcht ich den Mittelwert ausrichten jetzt kennen Sie Rechenregeln zur Berechnung von oder allgemeine Eigenschaften des Erwartungswert das hatten wir letzte stunde gemacht unter anderem das ganze aufweisen als ja wir fast ist mehr als die Summe von 3 Zufallsvariablen auf die 1. Zufallsvariablen X war trat die zweite Zufallsvariable ist minus 2 x x x die dritte Zufallsvariable ist die Konstante Erwartungswert von X in Klammern zum Quadrat was wissen Sie über den Erwartungswert von einer Summe von 3 Zufallsvariablen wie hängt dieser mit den einzelnen Erwartungswerten der einzeln Zufallsvariablen zusammen mein summiert einfach die einzeln Erwartungswerte auf das heißt Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswert richtig dann habe ich den 1. Erwartungswert plus den zweiten Erwartungswert plus den dritten Erwartungswert 1. Erwartungswert ist einfach der Erwartungswert Felix war gerade beim zweiten Erwartungswert nämlich einig der konstante konstante Zahl nämlich minus 2 Mal den Erwartungswert von X X X das heißt ich errechne denn Erwartungs oder müsste rechnen Erwartungswert eines Vielfachen einer Zufallsvariablen welche Rechenregel kennen Sie für den Erwartungswert eines Vielfachen einer Zufallsvariablen welcher Zusammenhang besteht damit den Erwartungswerte Zufallsvariablen er zum Beispiel Erwartungswert von 12 X X welcher Zusammenhang besteht mit Mittel zu dem Erwartungswert von X 12 Mal so groß wie das heißt sie tun an das einfach das Vielfache des Erwartungswert ist also die ganze konstante kann ich ausziehen ja dann kommen wenn sie das machen das ist die Eigenschaft der Genialität das Erwartungswert es kommen wir auf Erwartungswert von Xtra parat minus dann ziehe die Konstante aus zweimal Indiz bleibt noch IX übrig und dann bleibt nur übrig Plus Erwartungswert von dieser Konstanten wenn Sie angucken Erwartungswert ist Mittelwert Sie haben einen konstanten Wert wie groß ist dann der Mittelwert also inwiefern kann ich das letzte vereinfachen mehr Vorschlag in Klammern Extender trat also der Erwartungswert von dieser Konstante ist einfach die konstanteste ja dann sehen Sie dann steht aber hier das erste das wir stehen der Xtra trat das zweite ist minus 2 x x in Klammern zum Quadrat plus 1 x x in Klammern zum Quadrat von 3. ergibt insgesamt minus IX in Klammern zum Quadrat und sie haben die Formel begründet nein warum er gibt er an welcher Stelle also nur die Frage warum er gibt E X E O X nicht eher hoch 2 x also Sie wollen das da mehr also ich nur die Bezieher aus da muss in 1. Fahrt also eine binomischen Formel Armin das Bild und Beitrag das Gemisch minus 2 x A X B A ist X B SEX es ist mir Konstante also ich muss diese Konstante X X multiplizieren und der ach haben die X X X R hoch X zum Berater warum das nicht das gleiche ist wie das hier mehr warum hier mehr also Sie verstehen noch bis hier hin das war klar jetzt gehen wir eine Zeile tiefer von hier nach hier verstehen sie nicht ach so ja ich will jetzt noch einen einzeln Erwartungswert von den ganzen mehr oder ich ich sage so ich habe hier eine linear Kombination von Zufallsvariablen die zweite Zufallsvariablen nämlich mit den Faktor minus 2 x x Erwartungswert von dieser im Jahr Kombination ist die entsprechende liegen ja Kombinationen der Erwartungswerte das heißt ich nehme den einzelne Erwartungswert mit der entsprechenden Zahl x sie können es auch so schreiben wenn Sie es so machen wollten nicht einig mündlich erklärt hat das ist der Erwartungswert vom 1. ja um plus den Erwartungswert von gezahnten zweiten Term plus den
Erwartungswert vom 3. Jahr beim Erwartungswert von Gezweig gesamten 2. ja und kann ich den Faktor minus 2 aus den bisher Konstante dann bleibt noch minus 2 Mal den Erwartungswert von X X X übrig bis EX ist aber auch eine konstante kann ich auch ausziehen außen Erwartungswert E X X X raus also vielleicht kann ich noch hinschreiben wir machen können wir werden das ist der zweite Summand okay was mache ich jetzt damit ich ziehe die minus 2 heraus period man und ich überlege mir auch das da ist ja nichts anderes als eine reelle Zahl also auch diese Zahl kann ich einfach aus den als konstanten Faktor wir ist jetzt klar gut er dann kommen jetzt 2 weitere ich Rechenregeln 1. Rechenregel beschreibt wie verändert sich die Varianz wenn Sie eine Zufallsvariablen mit einer allen Zahlen multiplizieren ja das Erste was wir gerade schon hatten die verändert sich der Erwartungswert na ja Erwartungswert verändert sich so dass der Erwartungswert genauso mit der Ennstal modifiziert wird die Zufallszahl selber wird auch mit der Zahl multipliziert dann können sich überlegen wie verändert sich die Abweichung zwischen Zufallsvariable und Erwartungswert wenn Sie Zufallsvariablen mit einer allen Zahlen multiplizieren als zum Beispiel verdoppeln sie verdoppeln den wert der Zufallsvariablen die verändert sich dann die zufällige Abweichungen zwischen den Wert und den Mittelwert was würden Sie sagen die Vorgabe sich genauso auch also wenn sich vorstellen wenn es verdoppeln dann durch einen wert verdoppeln in den Mittelwert auf verdoppeln dann tut sich die Abweichung genauso verdoppeln als eine Abweichung verdoppelt sich auch die Abweichung Mittel würde sich verdoppeln aber der Varianz geht es ja um die gerade mittlere quadratische Abweichung die quadratische Abweichung wird sich dann vervierfachen und die mittlere quadratische Abweichung auch sie kommen auch die Rechenregel die Varianz von einer Konstante einfach mal x ist als aber gerade mal die Varianz von X es war trat liegt daran weil es sich um eine quadratische Abweichung geht auch das könnt ich noch mal schnell vorrechnen wir werden werden also die Varianz von Alfa X X nach Definition ja das der Erwartungswert von 1 X X X minus 1 Erwartungswert das Ganze zum Quadrat jetzt wissen Sie schon die wir dieser Erwartungswert von 1 x x x wäre einfach mal Erwartungswert von nix das heißt ich kann aus der Differenz also X X minus also mal Erwartungswert von X den Faktor Alfa ausklammern am machen wir das mal einfach mal X nur SEX das könnte zum Quadrat dann können Sie das Alter noch aus dem Vertrag raus die müssen allerdings quadratisch aus denn es gibt Alltag gerade mal des mal Erwartungswert von oder als habe gerade mal dieses X minus IX in Klammern zum Quadrat das Alter gerade können sie wieder aus dem ganzen Erwartungswert ausziehen kommen Sie auf Alfa Quadrat mal Erwartungswert von X minus X werden Silberdraht und dann sehen Sie an der letzten Stelle steht gerade wieder die Varianz von X gut das heißt auch dass rechnen Sie einfach elementar mit unseren Rechenregeln nach anschaulich logisch weil die Varianz eben eine quadratische Abweichung beschreibt und die quadratische Abweichung ändert sich oder eine mittlere quadratische Abweichung beschreibt und die quadratische Abweichung ändert sich quadratisch wenn Sie die Zahlen mit der konstanten multiplizieren gerade so weit dann kommen noch 3. 3. Rechenregel was passiert mit der Varianz wenn sie die ganze Zufallsvariablen verschieben ja wenn Sie überlegen Sie haben so zufälligen schwankt und seine Mittelwert einer verschieben schwand der einfach offen andere Niveau aber schwankend wurde genauso weil die Schwankung wer sie ändert sich nicht deswegen ändert sich eine quadratische mittlere quadratische Schwankung überhaupt nichts wenn sie Zufallsvariable wenn Sie da eine konstante dazu addieren auch das könnt ich ihn einer so wie sie da auf der Tafel nochmal nachrichten aber irgendwie ich haben diesen wir platzieren ich würde sich vielleicht bei den drauf bei lassen die 3 Eigenschaften die Sie sich merken sollten erst Eigenschaft mehr andere Formel zur Berechnung der Varianz als Erwartungswert von Xtra traten des EEGs in Klammern zum Quadrat und 2. 2 Rechenregeln wenn sie Zufallsvariablen einer konstanten multiplizieren da ändert sich die Varianz mit dem entsprechenden Quadrat der konstanten als Faktor und wenn sie zu einer Zufallsvariablen eine Zahl dazu addieren verändert sich die Varianz überhaupt nicht ich mache jetzt mal ein Beispiel zur 1. Formel also in manchen Fällen ist diese 1. Formel zur Berechnung der Varianz einfach einfacher und das ist wieder eine Sache die doch
und sie selber berechnen sie haben eine auf 0 1 gleich verteidige Zufallsvariablen das heißt die Dichte ist er von X gleich 1 für Argument zwischen 0 1 0 sonst und uns interessiert die Varianz von X sie wissen schon wie groß Erwartungswert einig ist außer letzten Vorlesung bin ich berechnen Sie noch nochmal und nehmen sie dann die Formel Varianz von X ist Erwartungswert von Xtra trat minus X in Klammern zum Quadrat zur Berechnung der Varianz ich lasse wieder ein bisschen Zeit können Sie selber richten okay Vorschläge von Ihrer Seite wie bereiten Sie die Varianz von 1 auf 0 1 gleich verteilten Zufallsvariablen vorschläge bei wir brauchen erst mal den Erwartungswert wir kommen Sie den Erwartungswert sie hatten die Formel gefunden vom letzten Mal näher wir auf AB gleich verteilte Zufallsvariablen hat Erwartungswert A plus B halte aber ja 0 wieder ein sie comma so offen halten wenn es noch mal nachrechnen wurden und werden es in viral ausrechnen von minus endlich wissen endlich X F von X Text trotz aus Integrale von 0 bis 1 x x 1 Text kommen Sie auf einhalten in der Tat jetzt können sich direkt den Erwartungswert von in Klammern X minus Inhalt zum Quadrat ausrechnen dass es die Varianz ich nehme stattdessen die Formel die Varianz ist gleich dem Erwartungswert von Xtra Quadrat minus X in Klammern zum Quadrat das heißt ich muss als nächstes den Erwartungswert von Xtra trat berechnen wie bekommen Sie den Erwartungswert von Xtra Draht also die rechnen sie Erwartungswert von Xtra Draht also wir haben da oben die Formel Erwartungswert von Xtra nehmen wir X X L von Exxon integrieren willkommen den Erwartungswert von Xtra Draht Xtra Draht mal F von X integrieren aber gucken wir rechnen Leichen aus der Vorschlages ein Drittel also rechnet integral von minus 1 endlich wissen endlich X-Bar gerade mal F von X Text dann sehen Sie das geht eben das integral von 0 bis 1 Xtra Konrad X 1 belegt in der Tat Stammfunktion ist Drittel x auch 3 wenn sie Grenzen X gleich 1 0 einsetzen kommen sie auf ein Drittel ja damit haben Sie den Erwartungswert von x Sie haben den Erwartungswert von X vertrat sie kennen die Formel Varianz von X ist der Erwartungswert von Xtra traten EEGs in Klammern zum trat sie setzen alle Zahlen ein sie kommen auf ein Drittel minus Inhalte zum Quadrat mit insgesamt 1 12. haben Sie Fragen so weit Fragen wurden welche Art dann machen wir das Gleiche noch einmal aber diesmal mit der Ex-Mainzer Einvernahmen Verteilung Daten die als wichtige Namen Amerio minus Landa XCX größer gleich 0 0
sonst also ich seine Ex Jahr verteilte Zufallsvariablen das heißt X hat dich der von Next andermal EU-Ministern da X Felix größer gleich 0 0 sonst wir hatten beim letzten Mal glaube ich schon erwähnt oder sonst und sie wir uns auch noch in Übung machen Erwartungswert von EXIST 1 durch Schlamm können Sie mit partieller Integration ausrechnen wir überreichten jetzt also den Erwartungswert von Xtra trat und daraus in der gleichen Form wieder die Varianz der hatte Wert unser zunächst war trat sie hätten wieder diese Formel integral von minus endlich wissen endlich X Quadratmer Gedichte das heißt wichtiges 0 4 x kleiner als 0 Es bleibt übrig das integral von 0 wissen endlich X war gerade mal andermal EU-Ministern da X und das müssen jetzt ausrechnen dort sie wissen mittlerweile immer Integrale berechnet haben davon schon gesprochen sie suchen der Stammfunktion sie finden keine Stammfunktion sie kennen die Tricks es gibt partielle Integration hat denn Frau Küpper in der Vorteils Übung vorgemacht und ich glaube sie hat ihn sogar das vor integral vorgerechnet wenn ich recht informiert bin oder so was ähnliches hier müssen Sie 2 Mal partiell integrieren den 1. Faktor 2 ableiten und den zweiten Faktor also von andermal EU-Ministern X können Sie unmittelbaren Stammfunktion hinschreiben das ist minus EU-Ministern da X und das wissen sie insgesamt zweimal machen und wenn sie das 2 Mann machen kommen sie auf 2 durch flammender Quadrat damit können Sie die Varianz ausrechnen als Erwartungswert von Ex-Soldaten SEX zum Quadrat einsetzen kommt 1 durch dann aber traf aus hat Sie haben jetzt hier die Xtra Verteilung hat ein paar Meter Lander wobei 1 durch Lander den Erwartungswert beschreibt und 1 durch Landa Quadrat die Varianz also das müssten Sie im Prinzip hinkriegen können das weil ich eine schon sagen partiell integrieren das wäre so eine Sache also zumindest den Erwartungswert müssen Sie ausrechnen können und wenn Erwartungswert ausrechnen können können Sie es einig auch zweimal machen dann kriegen Sie Varianz also dieses integral hier bei diesen die gerade nicht schwieriger als des wenn Erwartungswert nur dass Sie den gleichen Dreck irgendwann mal machen müssen ok haben Sie Fragen so weit dann comma zum Abschluss noch zum Erwartungswerten Varianz der Binomialverteilung das möcht ich dem trägt machen dazu darzustellen erstmal Einsatz
vor der Satz gesagt die unabhängige Zufallsvariablen ist die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen also gleiche Rechenregel sie auch vom Erwartungswert Erwartungswert von der Summe ist ja immer die Summe der Erwartungswerte aber hier brauchen Sie eine zum das Voraussetzung nämlich die Unabhängigkeit die Zufallsvariablen dürfen sich gegenseitig nicht beeinflussen dann
ist die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen also sind XY 2 unabhängige Zufallsvariablen definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit Raum zu gilt Varianz von X plus Y ist gleich Varianz Weinexpress Varianz von y entsprechendes gilt für beliebige endliche Summen unabhängiger Zufallsvariablen und mit der Eigenschaft weltlichen jetzt ganz schnell die Varianz und als Nebenprodukt gleich auch noch den Erwartungswert von der Binomialverteilung ausrechnen Beispiel Berechnung des
Erwartungswert ist in der Variante 1 BNP verteilten Zufallsvariablen das können Sie jetzt verschiedene machen eine Möglichkeit werde schreiben uns die Zelldichte in der diskreten Zufallsvariablen nimmt die Werte von 0 bis Ende und das wird auch wurde welche Wahrscheinlichkeiten der Erwartungswert ganz führte noch wurden welche endlichen Summen diese endlichen Summen können Sie ausrechnen ist nicht schwierig aber technischen bisschen komisch also wenn es noch nie gesehen haben wir kommen sie nicht drauf es geht wir machen anders wir nehmen Sache die wir aus der Motivation der Binomialverteilung hatten nämlich also die haben wir die Binomialverteilung eingeführt wird ein Zufallsexperiment bei dem mit Wahrscheinlichkeit p erfolgt um mit Wahrscheinlichkeit 1 minus P Misserfolg Eintritt in mal unbeeinflusst füreinander durchgeführt so ist die Anzahl der Erfolge B n p verteilt das heißt ich führe immer wieder Zufallsexperimente durch nur mit Wahrscheinlichkeit 1 mit Wahrscheinlichkeit p Erfolg mit Wahrscheinlichkeit 1 minus P Misserfolg auskommt also mit Wahrscheinlichkeit p kommen 1 raus mit Wahrscheinlichkeit 1 minus P kommt ja 0 aus und ich zähle dann die Anzahl der Versuche bei n Versuchen das heißt ich agiere von diesen Dingern entsteht auf und die Zufahrt Experimente sind unbeeinflusst voneinander das heißt die Zufallsvariablen sind unabhängig daher kann ich schreiben der Erwartungswert von der BMW vertreiben Zufallsvariablen X kann nicht darstellen als Erwartungswert von einer Summe von allen unabhängig B-1B verteilten Zufallsvariablen und genauso die Varianz von X ist gleich der Varianz eines Summe von in unabhängigen B 1 verteilten Zufallsvariablen und jetzt kann ich meine Rechenregeln für Erwartungs werden aber ganz aus nutzen Erwartungswert von der Summe ist immer die Summe der einzelnen war ja Erwartungswerte dann brauchen Sie noch den Erwartungswert von einer B 1 B verteilten Zufallsvariablen und hier wegen Unabhängigkeit die Varianz der Summe ist auch die Summe der Varianten dann sehen Sie dann brauche ich letzten Endes um das zu bestimmen brauche ich den Erwartungswert und die Varianz von ob ich 1 B
verteilten Zufallsvariablen ja jetzt wissen wir aber schon Erwartungswert von der B-1B verteilten Zufallsvariablen haben beim letzten Mal ausgerechnet SPD die Varianz haben wir diesmal ausgerechnet ist P x 1 minus P dann kommen sie Erwartungswert von X ist die Erwartungshaltung der Summe ist die Summe der einzelne Erwartungswerte ist mal der Einzel Einzel Erwartungswert kommt also mal hier raus und Varianz von X ist die Varianz von dieser Summe wegen Unabhängigkeit ist die Summe der Varianzen kommt n mal die einzelnen Varianz raus kommt insgesamt auf n x p x 1 P und wir haben jetzt noch mal 2 Sachen gelernt Binomialverteilung hat Erwartungswert einmal die Varianz innerhalb des X 1 ist fragen so wollten dann kann ich Zusammenfassung 1. Es liegt eine
Delle Zufallsvariablen so beschreibt die sogenannte Varianz von X das ist der Erwartungswert von X minus X in Klammern zum Quadrat können umschreiben als Erwartungswert weil Exportrat minus IX in Klammern zum Quadrat die mittlere quadratische Schwankungen von X und sein Erwartungswert 2. gemäß den bisher bereits gelernten Rechenregeln Erwartungswert und Varianten können wir die Varianzen falls Text nur Werte in der 0 annimmt durch so eine Summe ausdrücken Charmilles EEGs zum Quadrat multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dass Text gleich K ist aufsummiert über alle Werte K oder weiß ich nicht F hat x 1 x und man sogar Draht x F von X Text und drittens im Laufe der Vorlesungen an der verschiedene habe die also wir haben im Laufe dieser Vorlesung hauptsächlich diese 5 Verteilung handelt die Binomialverteilung die Post auf Verteilung des Landes gelte Verteilungen Gleichverteilung auf Intervall vom B die exponential von der Verteilung und die Normalverteilung ich habe in eine Tabelle gemacht wo jeweils Erwartungswerten Varianz angegeben ist gerade eben haben wir gesehen Erwartungswert von der BNP Verteilung des einmal P Varianz ist einmal X 1 minus P nicht gesehen der Vorlesung aber glaube ich diese Zeile diese Spalte hier bei der Post Wasserverteilung kommt Erwartungswert Landa Varianz Aucklander aus er im den Erwartungswert von Gleichverteilung habe allgemein B halbe ausgerechnet die Varianz habe ich nun Spezialfall des gleich 1 gleich 0 ausgerechnet ein Zwölftel weil kommt 1 ergeben dass zum Quadrat Zwölf daraus die exponential Verteilung hat Erwartungswert durch lahmender Varianz 1 durch dann aber gerade die Normalverteilung hat Erwartungswert Varianz zigmal Quadrat damit sind wir so weit mit den wahrscheinlichkeitstheoretischen Modellen fertig und können sie dann ab der nächsten Vorlesung auf reale Daten oder auf Daten an ich werde der nächsten Vorlesung erstmal man noch einige theoretische Grundlagen dazu machen und dann in den letzten beiden vorlesen und der reale Beispiele massiv behandeln damit bin ich heute fertig
Feedback