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Erwartungswert und Varianz, Konsistenz eines Punktschätzverfahren und zentraler Grenzwertsatz

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Erwartungswert und Varianz, Konsistenz eines Punktschätzverfahren und zentraler Grenzwertsatz
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12
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14
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CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung Statistik I für Human- und Sozialwissenschaftler gehört zum Pflichtprogramm des ersten Semesters in den Studiengängen Psychologie und Pädagogik an der TU Darmstadt. Sie stimmt inhaltlich weitgehend mit der dieses Semester vom gleichen Dozenten abgehaltenen Vorlesung Mathematik und Statistik für Biologen überein. In ihr wird eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik gegeben, wobei der Schwerpunkt auf einer leicht verständlichen Präsentation der grundlegenden Ideen in diesem Bereich liegt.
sets Content Mathematiker
Cut sequence MACH
beta statistics variables
Mathematiker Stoffmenge
probability distribution Wahrscheinlichkeitstheorie Realisierung <Mathematik> normalization counting variance proposition student sets statistics Herleitung variance number fan expect Herleitung Mathematische Fakultät expect Mathematische Statistik Stochastisches Modell Schätzung Mathematische Statistik random variables
probability distribution Zahl statistics Schwankung real Produktionen proposition student argument functions Mass Erzeugung variance number subset expect estimates Average naturally Supersonic speed Mathematiker Schätzung sample descriptions random variables Realisierung <Mathematik> law normalization Content variance 6th argument sets Mittel approximate fan means expect sample Indexes uniform distribution Invarianz
constantly Pläne Zahl statistics Wahrscheinlichkeitstheorie Schwankung Produktionen Mittel functions variance sample number expect Stochastic estimates mechanisms degrees of freedom Densities Average Schätzung Summe sample Zahl Umfang descriptions random variables Realisierung <Mathematik> normalization sample variance argument sets Mittel sequence Schätzwert erhebliche means expect Verzerrte Schätzung Faktoren
Zahl print 6th Mittel variance number expect Calculation means expect zusammenhängende Average Indexes cubes circle Schätzung Summe sample Linie random variables Umfang random variables
Schwankung real variance 6th Quadrat Mittel variance number expect Wellen means expect root Average Summe Invarianz random variables Faktoren random variables
normalization Zahl histograms real student variance number expect estimates Densities degrees of freedom Formula Average Schätzung Summe sample random variables area distribute summand Realisierung <Mathematik> normalization variance 6th Quadrat Mittel variables sequence approximate Calculation means closures cubes Summe Grenzwertsätze random variables epsilon Faktoren
in die Irre ja da ja das
ich habe ein bisschen lauter das dafür sollten das Mikro noch etwas in Sammlung jetzt was mehr okay ich habe mir mal die Vorlesens Umfrage mitgebracht würde ich zu Beginn kurz darauf eingehen also abgegeben wurden ja also 100 noch was fragen würden die Ziele wurden verständlich dargestellt ja
Lehrveranstaltungen das war so um die 2 von 2 bis 3 wäre frage
5 Sitzungen erforderliche Grundlagen ja das war nicht so ganz klar ausgewiesen ich dachte ich jetzt gesagt mir sind keine Voraussetzung keine Grundlagen aus allgemeine smarte wissen ja ja das war doch klar sagen müssen Sie wissen 1. Sie müssen auch integrieren können wir da hätt ich vielleicht fragen können Entschuldigung er Taten einschrieben Folien waren ja Beispiel dienen dem besseren
Verständnis auch nicht wichtige Inhalte wurden zusammengefasst auch nicht ja sich mancher wenn auch Inhalt am Anfang und Ende sowas zusammengefasst aber okay kann sie auch nicht so gesehen der Stadt werden wird wird es eine kritische Frage ja das
ist dann mit über 2 comma decimal 6 2 ja ja auch schon mal besser und ich habe viel gelernt haben sie auch nicht mehr emporklettern
war angemessen auch nicht ganz wahrscheinlich viel zu schnell wichtige Lehrer und Material zur
Veranstaltung sind über das Internet verfügbar volle ja er die Lehrkraft uns
in der vollen Sonne gezielt zur eigenen Mitarbeit beziehungsweise zu mit denen ein ja so ein bisschen mehr es könnte gab ein nicht ganz
Literaturangaben nahm Bucher gefallen aber es auch mehr
für Mathematiker geschrieben Gewicht zu Zentrum waren sie wahrscheinlich nie in meiner Sprechstunde ich an die oder doch immer jemand von innen gesehen ja wegen sowohl und Anerkennung oder so kann sein aber eigentlich wirklich Kontrollfragen 1. darüber gemacht oder
hat sie auch nicht so gesehen hätte Toren gar es nicht
Lernplattform wie und es gab ja
Sonstiges bitte angeben Übungsbetrieb
ja die übrigen schneiden erfahrungsgemäß immer so ein bisschen besser ab aber ich auch nicht wirklich eine die Übungsaufgaben abenteuerlich bei entsprechender Vorbereitung bewältigbar ja also 2 bis 3
1 dann kommen glaube ich irgendwelche falls Sie vor
diesem ja das ist nicht so spannend ich besuchte die Übung ich auch
nicht um eigene Fragen ordentlich
umgekommen auch gerne Profillinie kommt der Mann
kann sich das angucken was kaufen was geht es auch so gut wie raus ja zum Beispiel das Tempo
war ihnen zu schnell das
Lernzentrum hat dir nicht gefallen aber da habe ich nichts mehr zu tun oder sonstige auch nicht und
über ich für Sotschi und so wundert es denn da es geht raus aber wir und sie
betrachten für die Nachbereitung der verlesen dich ein Stunden pro Woche durchschnittlich ja mehr als 1 Jahr gut aber an man im Schnitt das ist er
wir ich könnte in der Veranstalter Folgen zu das finde ich gut also 80 Prozent durchschnittliches an also was erwarten Sie mir ja Wunder Prozent ergeben nein was 8. zwar gut
werden diese 80 oder durchlief werden könne ja
Herr schätzen sie den Leistungsstand ein mit welchen und rechnen sie in der Klausur was rechnen Sie denn sehr gut gut befriedigend ja befriedigend sie also mit 3 oder so wir könnten uns Recht haben und dann kommen Fragen und zwar
irgendwie seitenweise ich glaube es geht noch 16 ausbreitende Fragen gucken Unterstützungssysteme sei
nicht so spannend auch nicht so spannend
und wo muss ich jedoch zum dezenten was
hat in der 1. Handlung der Veranstaltung besonders gefallen Ja das ist das ist aber spannende
das extra für meine Wissenschaftler zugeschnitten ist
online Vorlesungen sehr praxisnahe und sie das im März ja ich auch nicht aber geht das das und
sie online anschauen könnte ruhige Atmosphäre ausreichend Sitzgelegenheiten Jahr insbesondere werden sie weniger würde der Kunde ist sehr gut Jahresberichten
er okay gute Vermittlung durch Professor ja okay das nach dem schlechten übergehen
das Online Video was hat ihnen nicht gefallen und das hat die
nicht gefallen habe ich so das unkomplizierte der
krachende der Vorlesung das will ich nicht in Urlaub war gut aber man muss doch schlecht kommen ja hier kommt schlechtes gucken wir was hat der Fischer Anschaltung nicht gefallen haben Sie
Verbesserungsvorschläge teils zu umständliche mathematischen Schreibweisen die das Verständnis wie mehr erschweren als erleichtern aha später zeitliche Lage der sie
vorgeschlagen das richtig das ist eine Zumutung der Dienstag macht sich auch so aber es ist immer sehr schwer die Termine zu verlegen weil sie es 2 Studiengänge haben einig war noch gedacht dass Soziologen auch noch drin sitzen und dann sogar 3 Studiengänge gewesen wäre wenn sie das versuchen wir also irgendwie weil und wir standen dann bei 11 traten bei sich damals Granit wir also SchattleitnerDie zwischen mir Tag 16 Uhr und dienstags 8 Uhr und wenn ich mir überlege passt mir Dienstag 8 Uhr Messe als Montag 16 Uhr aber wenn er dann aber nicht alle oder insbesondere wenn die nicht mehr da sind Übungen waren im Vergleich zur Vorlesung teilweise sehr schwer ja das ist natürlich schlecht teilweise
wirren dargestellt ist auch keine Variablen würden oft nicht erläutert nein ich sage nix tun kann Tempo etwas zu hören zu schnell
Skript unverständlich sie meinen scheinen Buch
der danke schön Lösungsverfahren andern
Vorlesung ab Nummer 5 online stellen da habe ich mir mein Kalender geschrieben Uhrzeit besonders für Pendler so ungünstig da gebe ich zu der restliche
Lösungsmittel Bilder online stellen restliche sonst das wird ein alles online gestellt also das sollte schon kommen Inhalt ist
nicht nur dann relevant und viel zu schwer und nur schwer die Hand werden wenn ich mal fragen darf also wenn sie Psychologie studieren nach Gott hat mir auch mal ich immer erklärt er hat sich sicher über die Statistik 2. Psychologen gehört war gar kein Problem und meine überhaupt nicht gebraucht also wann ich nicht gut aber kann mir nicht vorstellen also die die zweite aufbauen und da brauchen sie ganz massives Verständnis bei der Augenblick ist es so eine Sache der Sie brauchen's vom eigentlichen Studium nicht mehr weit haben also ich meine die machen ja sie machen die in der Pädagogik in Stuttgart keine empirische Forschung das heißt da werden Sie dann auch keine Statistik an wenden sie sollen ein allgemeines Grundverständnis lernen damit sie die entsprechenden Resultate empirische lassen Vater auch interpretieren können und einordnen können teilweise zu schnell vielleicht
nur noch eine Seite die Übung ist schwerverständlich und meines Erachtens sinnlos da nur schwer folgen kann war ich nicht mehr aber ich
unverantwortlich ich trage die Verantwortung mit ich gebe zu ich gebe zu die Verwahrlosung war für mich teilweise zu schnell im Zeitablauf ja er wir haben extrem stehen wären schon etwas schneller gemacht aber ich könnte noch schneller an ja er aber wir haben relativ viel schafft das gibt mir gewisse Stoffmenge die durch muss ich habe am Anfang Wissenschaft gemacht die 1. 5 Vorlesungen denn sie glaube ich noch relativ gut verstanden haben den können sich im Prinzip einigermaßen weglassen weil sie primär für das weitere Studium den zweiten Teil brauchen also bei den Psychologen werde nur dann fliegen sie alle durch meine Klausur durch das wenig sinnvoll deswegen machen wir den Teil vorne weg denn verstehen Sie alle noch und ich habe dann in der ein bisschen weniger Zeit aber da habe ich auch schon zusammengekürzt ich dachte ja aber es ist es ist einfach es gibt sich wehren wir vielleicht noch eine Sache was ist denn das niedriges Anforderungs- Profil Abfrage von Abitur wissen ja will sie so und er das ist aber schon mit einer dem Publikum der das Publikum das nicht das es Publikum als 1. 10. der größeren Veranstaltung haben es niemandem Gene und ist die Frage für wen Heilig die Vorlesungen und er ich schaffs nicht so dass alle zufrieden sind und ich habe zwar am letzten Semester schon die Anmerkung dass es zum Teil viel zu leicht wäre und ob ich die Leute für blöd halte ich halt die Leute eigentlich für blöd aber ich versuch's eben einigermaßen verständlich zu machen auch für Leute die nicht mal den Leistungskurs hatten oder auch die Mathematik ist ja nicht so arg viel gemacht haben an den Grenzen hat in viele oder viele Probleme die sie haben comma nicht von ihren schulischen und wenn Sie schon wissen entsprechend ausgebaut hätten dann haben dann werde sie und bis Teilen bisschen langweilig was werde das gebe ich zu ok ich glaube das reicht ja sonst machen die ganze Vorlesung nach des Vorlesens Umfrage
und gar über die eigentliche Vorlesungen was ja auch ein
bisschen schade wäre dann hier wollt ich glaube ich auf
209 unter ihnen erklären was wir heute machen ja Sie haben Fragen der hat gesagt dieses Jahr gibt es keine scheint Klausur also muss sozusagen letztes Jahr gab es für Psychologen eine Xtra scheint Klausur noch und das lag daran weil in den Prüfungs- Bestimmungen der einzelnen Fächer die wir abgedruckt haben Psychologen Pädagogen war die Berufungskammer verschieden langen bei den Pädagogen war sie damals 90 Minuten bei dem Psychologen war sie zweieinhalb Stunden werden es dann so gelöst dass wir nach der eigentlichen versuchen aber scheint also für die Psychologen aus gewiesen haben mittlerweile haben wir aber die oder habe ich die Prüfungsbestimmungen dann Psychologen so anpassen lassen das bis zu den Pädagogen passt das heißt Sie schreiben alle nur eine 90 Minuten scheint also brauchen sie nicht zweite Sache vom letzten Jahr ok dann 7 der wegen Verletzungen nach dieser Vorlesung sollten Sie in 1. müssen wir Daten werden Variante einer unbekannten Verteilung schätzt zweitens wissen was man unter Erwartungsdruck bzw. Konsistenz eines ist alles für eine Schätzverfahren wir betrachten versteht und wie man diese nachweist 3. die Ansage des zentralen Grenzwert Satzes kennen das ist eine der zentralen Sätzen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und des ganzen Fluss präsentiere und der wird motivieren warum nachhaltigen Anwendungen Normalverteilung verwendet daher an wird Kapitel 5 schließen schließende Statistik wir gehen der schließenden Statistik davon aus dass die Daten gemäß einem stochastischen Modell erzeugt wurden also wir haben einen Datensatz zur Verfügung denn wir alles ihren wollen wir gehen davon aus dass die Daten gemäß einem stochastischen oder erzeugt würden Eigenschaft dieses Modells beschreiben dann die zugrunde liegende Grundgesamtheit also Sie machen wurden die Studie über einen kleinen über einige wenige Personen sie interessieren sich einig für die Grundgesamtheit die Menge aller Personen die sie für diese Studie als ausführbare achten und sie nehmen an dass diese und diese Menge aber ich Person wird beschrieben durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung deutschen stochastische Modelle und sie nehmen an dass die Daten dann gemäß diesem Modell erzeugt wurden Ziel sondern Herleitung von Aussagen über Eigenschaften dieses Modell ist wie zum Beispiel wie groß sind Erwartungswert und Varianz im stochastischen Modelle und wenn ich das sage diese stochastische Modelle beschreibt die Grundgesamtheit diese Daten die ich habe sind einige realisieren aus diesen stochastischen Modell ich machten Aussagen über der Eigenschaften dieses Modells dann habe es geschafft von dem völligen Datensatz als auf die Grundgesamtheit zu schließen ich mache ein bisschen kommt wird anhand von 2 Beispielen 1. Beispiel wäre stammt ja aus der Pädagogik um festzustellen inwiefern Examenskandidaten der Lage sind ihre eigene Leistungsfähigkeit einzuschätzen wurden 15 Kandidaten eine Klausur mit 70 Aufgaben gestellt nach der Bearbeitung der Klausur wurden die kann da Kandidaten gebeten die Anzahl der richtig gelösten Aufgaben zu schätzen und nach der Kultur der Klausur könnten Sie dann die tatsächliche Anzahl der gelösten Aufgaben ermitteln und die vergleichen mit den geschätzten Anzahl der gelösten Aufgaben sie können sich vorstellen mehr so das könnten sie im Rahmen ihrer Masse dieses vielleicht machen empirische Untersuchungen können die Kandidaten ihre eigene Leistungsfähigkeit einschätzen also ich bin zum Beispiel nach der Klausur wieder die über ihn schreiben können ich am Schluss eine Frage stellen wie viel Aufgaben haben Sie ihre dem 8. richtig gelöst und gebe ihn vielleicht noch ein Bonuspunkte für und beantworten Sie dass alle dann er kann ich und wir vergleichen ja nachdem ich korrigiert habe oder diese konnte haben Sie gewarnt hatten sie tatsächlich wie viele Punkte der haben Sie geschätzt haben sie schätzen sie immer zu niedrig oder schätzen sie immer zu hoch meine Erfahrungen so dass Studenten tendenziell eher zu niedrig schätzen von den eigenen und das haben Sie diese Angaben zu den 15 Kandidaten ist natürlich einfach dann können Sie diese 15 x 2 Zahlungen miteinander vergleichen aber dann haben sie eine Aussage über diese 15 Kandidaten können am Schluss sagen in ihrem Austritt dieses Jahr diese 15 Kandidaten durch untersucht habe die konnten ihre eigene Leistungsfähigkeit nicht richtig einschätzen die sich immer als viel zu schlecht eingeschätzt aber wenn sich überlegen das es eigentlich keine spannende Aussage weil haben wir sie ganz kleine Gruppe interessant wäre jetzt wenn Sie das verallgemeinern können wenn das verallgemeinern können von dem gleiten wenigen Leuten sie betrachtet haben auf die Gesamtheit aller Studenten oder auf die Gesamtheit aller Studenten eines Faches und wie wir da dahinter ist dass wir sagen Jahr der denn diese Zahlen die wir beobachtet haben als Realisierungen von Zufallsvariablen die haben wir gewisse Verteilung Gewicht beim wissen wir dieses stochastische Modelle und aufgrund dieses Realisierungen schließen wir dann auf das stochastische Modelle zurück also eingeführt werden Sie hier in die Frage die er wurde zum
Beispiel die geschätzte Anzahl der gelösten Aufgaben von einer nehmen davon die Anzahl der richtigen gelösten Aufgaben abziehen wenn die Zahl dann größer als 0 ist dann hat er geschätzt so viele richtig genutzt haben der kleiner als 0 ist aller Gesetze so zu wenig richtig gelöst hat und ich würde mich dann schicken wir den Erwartungswert dieser Zahl interessieren ich habe dann 15 werde ich dann 5 zu 1 das der 15 Kandidaten kann ich das mache ich hatte 15 solche Zahlen vorliegen ich würde davon ausgehen dass dessen Realisierung von 15 Zufallsvariablen alle nach dem gleichen Prinzip erzeugt also unbeeinflusst voneinander und ich würde jetzt zum Beispiel versuchen Erwartungswerte schätzen wie groß ist der der die Mittel um diese Erwartungswert Aussage nicht nur über die 15 Kandidaten zu und über alle die in Frage kommen okay und das machen wir ab sofort 2. Beispiel mehr als der Kognitionspsychologie da gab es der Studie der erwarten 396 Studenten ja wurde Studio 396 Studenten gemacht und es wurde approximativ die Anzahl der gesprochenen Worte über einen Zeitraum von mehreren Tagen bestimmt dass sie haben so ein kleines Gerät bekommen Aufnahmegerät da wurde einmal pro Stunde für 10 Minuten wir wollen dass es gemerkt haben wurde aufgenommen und hinterher wurde ausgezählt wie viel war haben Sie in diesen 10 Minuten gesprochen das Ganze wurde auf also über alle Stunden hochgerechnet auf den ganzen Tages Zeitraum man kann sich überlegen wie viel sagen Studenten Sonntag ab und dann ging's alles unsere Frage wie sprechen Frauen mehr als Männer also habe ich er wird alles zum Beispiel nach dem Geschlecht an die frei jetzt mehr gesprochen als die Männer ja oder nein werden wir später noch mal genauer angucken und auch soll wieder eine Aussage über diese 396 für den ist es dann schon aber interessieren tut sie eigentlich nicht diese Aussage über die 396 Studenten sollen wie sie wollen verallgemeinern auf die Grundgesamtheit möglichst auf General auf Männer und Frauen oder hier auf den Themen Studenten oder hier genau auf Studentinnen und Studenten eines bestimmten Faches und das können sie ja wenn Sie das und wie es machen können sie das nicht und das ist eben das wozu die diese Vorlesung wir brauchen um sowas machen zu können eine Frage die wir in dieser Vorlesung beantworten dass die Kammern oder nicht nachhaltigen und auch in den nächsten 3 die kann man ausgehend von den Daten der Stichprobe Rückschlüsse auf die zugrunde liegende Grundgesamtheit zurückziehen dass und die war dabei zwangsläufig auftretenden Fehler quantitativ kontrollieren können sie haben Daten die sind unter dem Einfluss vom Zufall entstanden die variieren also irgendwie da haben Sie ne Menge beobachtet sie wollen wir Schluss machen zum Beispiel auf den Erwartungswert als auf den Mittelwert ist klar wenn die Daten zufällig variieren das den werden Sie nie genau ermitteln können das heißt wenn die Daten gewisse Fehler haben die Wähler bekommen sie nicht so hundertprozentig los aber der Witz ist sie weil eben diese vielen armen quantitativ kontrollieren das heißt die wollen irgendwie sagen ja wahrscheinlich wird so und so sein also wahrscheinlich close quotation oder der ja gut ich nichts gar nicht genau sagen was ich meine quantitativ kontrollieren aber er ich möchte ich hinterher um Zug doch genau und sagen können als ich möchte der Erwartungswert zum Beispiel durch eine einzelne Zahl schätzen und ich möchte einen sagen wir haben die gut ist meine Schätzung und da können wir heute noch drauf gut zur Einführung so weit Fragen oder zum Anwendungsbeispiel welche Fehler sind damit gemeint ja den also lassen wir diese Anzahl der gesperrten weiter als Realisierung einer Zufallsvariable auf und wir interessieren uns für den Mittelwert dieser Zufallsvariablen und das ist klar diese Anzahl der gesprochenen Wörter er die wird von den Mittelwert abweichen beide Länder und wie und womit übertreiben schwanken und diese Schwankungen sind damit gemeint diese zufälligen Schwankungen beim Sie bis jetzt noch mal wiederholen die Studie und sie nehmen 396 andere Studenten bekommen sie leicht andere dessen Vater aus Sie können es nochmal machen aber leicht andere sind hatte wird es die Frage in sich dieses Resultat nur 11 und des Zufalls oder oder das Verfahren ist was bei diese Veränderung ist Zufall und das ist kein Zufall nur so können sagen wir haben Sie vielleicht approximativ 200 Männer 200 Frauen drin jetzt sprechen die frei und leichten einige bei der mehr oder ist an eine größere Anzahl von gesprochen wird dann als die Männer jetzt können Sie das Ganze wiederholen dann wird sich der der beiden Frauen zu ändern und wir bleiben dann wird sich auch verhindern dass andere Studenten haben und es ist die Frage wenn Sie da einen Unterschied feststellen also die Frage sprechen und viel mehr als die Männer ein dass mir aufgrund dieser zufälligen Wahl der Studenten auch für die sie haben oder ist es eine systematische Sache eine Frage ja nach ich mir weiter am an
die Erzeugung der Daten Infernal also ganz ohne irgendwelche Mathematik dahinter oder mathematischen Formeln wir gehen davon aus dass alle Daten konnte unbeeinflusst voneinander und nach dem gleichen Prinzip erzeugt werden das heißt jeder einzelne lehrt wird hängt nicht von anderen Werten ab und wird nach dem gleichen Prinzip erzeugt eine sagen wir die Daten die wir haben da sprechen wir auch eine Statistik von einer Stichprobe unserer Stichprobe x 1 bis x n das sind die Daten die die wir beobachtet haben diese Realisierungen der 1. Engleder x 1 bis 6 in einer Folge XK war also wir haben unendliche Folge oder unendliche Anzahl von Zufallsvariablen X 1 X 2 X 3 X 4 und so weiter wir beobachten darf an der Realisierung des 1. in Stücke diese Zufallsvariablen sind der findet auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit rein um Kappe ab und Gabi und sie so eine Art unabhängig sein das ist der mathematische Ausdruck für dieses unbeeinflusst voneinander und B identisch verteilt sein dass es der mathematische aus der für nach dem gleichen Prinzip bezahlt das unabhängig hatten wir alle verlesen werden die Unabhängigkeit von 2 Zufallsvariablen da war die Wahrscheinlichkeit dass gleichzeitig gewisse Bedingungen eintreten gleich dem Produkt der Einzel Wahrscheinlichkeiten und das wird auch genauso viel n Zufallsvariablen also für jede natürliche Zahl und für alle Mengen A 1 bis A 1 Teilmenge aber so gelten die Wahrscheinlichkeit dass gleichzeitig der wird von X 1 in A 1 liegt der von x 2 in A 2 und so weiter bis das wird von X N in der letzten Dinge drin sitzt gleich dem Produkt der Einzel Wahrscheinlichkeiten sein also Wahrscheinlichkeit das X 1 in A 1 liegt Wahrscheinlichkeit das x 2 1 A 2 liegt und so weiter bis Wahrscheinlichkeit das XNA ein das ist diese mathematische Formulierung der Unabhängigkeit des 2. identischer teilt ist einfach habe das heißt einfach die Verteilungen sind identisch also wissen Zufallsvariablen die hat es in den die Sitzverteilung und das war das was alle Wahrscheinlichkeiten festgelegt hat und es haben bezeichnet Wasch- Verteilung der Zufallsvariablen X die mit P und wenn X die und diese Verteilung sollen alle gleich sein also Bionics einst gleich die und X 2 zur gleich P und nix 3 und so weiter sein ok also wir haben Daten die unbeeinflusst voneinander nach dem gleichen Prinzip erzeugt werden die fassen wir auch mathematisch als Realisierungen von Zufallsvariablen die unabhängigen identisch verteilt sind ziel der Analyse der Daten wieder infernale Aussagen über das Prinzip nach dem die Daten erzeugt werden zum Beispiel wie groß sind die Werte in Mitte oder wie stark schwanken die Werte um den mittleren wird ja und wenn mal heißt es das Prinzip nach dem die Daten erzeugt werden ist die Verteilung der Zufallsvariablen und wie groß sind die Werte im Mittel dass der Frage nach dem Erwartungswert und wie stark schwanken die Werte und ihre mittleren wird können bedeuten dass der Frage nach der Varianz zwar tritt Begriffe die wir in den letzten 2 Vorlesungen eingeführt haben fragen so weit das Gruß an der Aufklärung sie meinen diese A 1 das sind einfach nehmen dieser A 1 A 2 A 3 Riesenmengen von allen fahren das heißt sie stark Überschall zum Beispiel hier schon die Wahrscheinlichkeit dass X 1 in einer Menge A 1 drin liegt das heißt das X 1 1 wird aus der Nähe A 1 annimmt für eine beliebige Menge für 1 kann ich zum Beispiel wegen X 1 soll nicht negativ sein das heißt ich nehme die in der Zahlen von 0 bis unendlich oder X 1 soll zwischen 0 und 5 dann welches Intervall von 0 bis 5 nehmen aber für eine solche Mengen soll dieser Beziehung gelten okay nach der Frage ok dann noch nach dem Prinzip wäre ja also dessen Aussagen über die Verteilung in der können Sie das erst mal sagen ja ich möchte zum Beispiel eines gibt damit habe mal Verteilung zugrunde und legt eine Gleichverteilung zugrunde oder legt eine Verteilung zugrunde oder was auch immer aber das werden wir meistens für geben ich werde Inhalte gegen Ende der zur Lösung nach dem zentralen Grenzvertrags vorstellen der wird es motivieren dass wir sehr wohl Normalverteilung zugrunde liegen wenn wir sagen ok die Daten werden eigentlich normalverteilt zeigen dass es einigermaßen plausibel aber jetzt habe ich noch 2 Parametern wenn ich den Erwartungswert und die Varianz und dann muss ich diese beiden Parameter für uns bestimmen darum geht es der heutigen Vorlesung es gibt noch ne Frage vor Herr X 1 P X 1 P 1 x 2 dass die sogenannten Verteilungen die beschreiben das Ganze zufällige Verhalten von x 1 x 2 und so weiter also der ob dieses PX 1 also wenn Nummer 1 was seine Verteilung der Verteilung der einen der Wahrscheinlichkeit einen der Zufallsvariablen zugeordnetes Wahrscheinlichkeit Maß das heißt dass wir es mit funktionierender stecken sie mehr rein könnte Zahl zwischen 0 1 raus sie stellten wir rein zum Beispiel A 1 dann könnt genau diese Zahl ist das P X 1 in A 1 ist das heißt aber aber also diese dieses des Index x 1 beschreibt in diese ganzen Wahrscheinlichkeiten und diese ganzen Wahrscheinlichkeiten sollten bei x 1 genauso groß sein wie bei x 2 genauso groß wie X 3 und so weiter und diese Wahrscheinlichkeiten sind ist meist das ganze Spiel reißt sich verhalten letzten das nicht ok noch eine Frage ja dann nach einer weiteren gehöre zum Abschnitt 5 1 wünsche Verfahren gegeben sind Realisierungen in dem Sinne von gerade eben x 1 bis x n von Zufallsvariablen Grosics 1 bis Grosics wobei x 1 x 2 und und so weiter und wäre identisch verteilt sind noch zu sind Schätzungen also Schätzung ist jetzt wurden Ausdruck der von x 1 bis x n abhängt also einig mehr habe ich immer Funktionen T N das wahre Schätze Funktion comma Text 1 Gesichts N rein und dann konnte Wählerzahl aus und dieser Erde sein richtig ich haben und diese reelle Zahl so eine Schätzung seien also geeignet approximieren einen Parameter der Verteilung von X 1 und damit meine ich solche Sachen wie zum Beispiel den Erwartungswert die größte werden Mittel ist und die Varianz von X 1 eigentlich mehr ich allgemeiner wenn sich erinnern wir hatten immer so verteilen zum Beispiel die Gleichverteilung auf 0 bis da hatte die ein paar mehr das war das war was die Obergrenze von von der von Intervall und hatten die exponential von Verteilung hatte als Parameter miteinander und es geht einig und solche Sachen nicht vermissen müssen einfach dass ich sage mich interessiert regte Erwartungswert oder die Varianz und das werden die beiden Parameter die mich einig interessieren bei der Normalverteilung Normalverteilung hat 2 Parameter und Signa aber der Erwartungswert wie groß ist der Werbemittel sieht Beitrag war die Varianz und was jetzt machen möchte dass man von diesen Realisierungen möchte ich aus diesen Realisierung ein der basteln wo ich sage das ist approximativ die Erwartungswerte das ist approximativ die Varianz ja können sich wenn ich nicht beschränke Erwartungswert Invarianz wie schätze ich eine Erwartung Varianz also Statistiker verwendet dazu das Wort Schätzchen ich habe ich bekomme eine Realisierung vorgegeben was daraus ein wird und den Verzicht auf als eine Approximation von meinem unbekannten hat wir haben sich überlegen Erwartungswert Erwartungswert sollte werde mit und sein bescherten sie Mittelwert kennen Sie eigentlich aus der Beschreibungen Statistik verletzt wir haben mit dem wertgeschätzt durch das empirische aramäische würden das heißt nur das Naheliegende Schätzung des Erwartungswert des von x 1 ist das arithmetische Mittel also in alle Beobachtungen in Teilen durch die Anzahl der zu mir in die Augen treiben durch die Anzahl der Beobachtung dass da Schätzung vom Erwartungswert wird
Varianz Varianz ist und mittlere quadratische Abstand zwischen zum völligen werden Erwartungswert solche mit erratische Abstände können sie auch schon aus der beschreibenden Statistik das ist die so genannte empirische Varianz das war das deren oder hier ich habe so bezeichnen STN von X 1 besiegt werden ja betrachten XII ziehen man diesen gegen Daten kann das arithmetische Mittel aller Daten der ab Quartieren das bilden dann darüber noch mal ein Mittel allerdings diesmal nicht mit Vertrag der einst durch ändern Befürworter eines durch minus 1 2 diese komische Sache die ich zu Beginn der so der 5. Vorlesung erläutert hatte wo ich aber ankam behauptet hat ja die Anzahl der Freiheitsgrade die ist dieses einstellen in tja Zeit erklären können was eines der formalen Grund dafür ist warum wir ne das Einschreiben statt einzig also Stationen kennen wir ja im Prinzip eigentlich schon denn was mich jetzt aber interessiert sind Eigenschaften von diesen Schätzungen das sind zentrale Eigenschaften von Schätzungen also wenn sich überlegen servierte Schätzung sie haben nur dann zu schätzen wenn wir zum Beispiel Erwartungswert da diese Werte werden 7 von Zufalls variabel sind also ein nicht zufällig also Mittelwert schwanken ist klar diese Schätzung wird normalerweise nicht mit zu und der übereinstimmen dieses möge wird irgendwie nicht richtig seine also wenn sich fragen ja weil es die Schätzung wurde haben die beiden werde übereinstimmen übereinstimmen werden Sie eigentlich mehr oder weniger nie in den meisten Fällen aus die Frage wie verlieren wir dann das sicher zum gut ist wenn man könnte sagen der Abstand zwischen beiden sollte möglichst klein sein und zwar möglichst klein im Vergleich zu allen anderen Schätzungen wir machen hier ein bisschen einfach wir konnten uns 2 Eigenschaften an die erste Eigenschaft ist das was berichten Stichprobenumfang gegen endlich geben aus das heißt ich beobachte immer mehr Daten was passiert dann mit meiner Schätzung und das eigene das sich sinnvollerweise haben möchte asymptotisch das heißen Stichprobenumfang gegen endlich sollte die Schätzung gegen den richtigen Wert streben als die eine Förderung habe den sie immer mehr Daten beobachten sollte am Schluss das Ausgaben der sich immer mehr dem richtigen annähert eine recht natürliche Forderung über gut die zweite Herren ich habe diesen bisschen schwieriger zu verstehen das ist nicht so ganz klar dass man die auch noch braucht ich ließ sie erst mal vor die Aussage ist im Mittel ergibt sich der richtige wert denn genannt dabei ist sie können sich vorstellen ich können wir diese ich halte er die Anzahl der Stichproben Umfang halt ich fest ich beobachte zum Beispiel genau 100 Arten und schätzen den Erwartungswert durchs wäre schätzen aber dass wir zum Beispiel durch das arithmetische Mittel meiner und beobachteten Daten und dann mache ich das Gleiche nochmal ich beobachte noch einmal unter Daten bekommen andere Schätzung wir noch mehr der Daten bekommen wieder eine andere schätzen das mache ich immer wieder damit kann ich leider Schätzwerte und was ich jetzt sage im Mittel sollen diese Schätze wäre der richtige wert sein das heißt bei wieder würde als Helden der Stichproben um mit der Ergebnisse der gibt es nicht also methodisch mit wachsender Zahl der Wiederholungen der richtige wert mehr die mehr mehr undeutlich 8 ok die Frage ist wie kann es um sein da waren Sie oben wie mehrere stichprobenweise Stichproben unendlich viele er werde hat wir können ich bitte noch ein bisschen zurück ich habe hier gegeben die Realisierung x 1 bis x n von diesen realen Zufallsvariablen wobei ich nicht nur ihn gegeben habe von diese allen Zufallsvariablen sondern zweimal habe ich unendlich viele und damit kann ich auch die Serialisierung und beliebig weit in die Zukunft fortsetzen statt kann ich 1 bis 1 beachten 1 bis 2 1 bis 3 und so weiter also kann ich verstehen sie nach einer Datenerhebung sie machen Umfrage sie befragen sollte diese irgendwie zufällig einen festen Punkt wäre in der Nähe vom Bahnhof von Darmstadt treffen und wenn Sie verstehen diese Befragung wie führen Sie immer weiter Zeit immer weiter fort zu hören gar nicht mehr auf zu befragen dann wird er comma weil wir immer größer immer größer und in dieses sukzessive immer größer werden geht es also ich habe ich erweitere also ich setze zum Beispiel meine befragen in wird immer länger wird und das dieses aßen steht nun endlich mehr die die Frage wer die Stichprobe Stichprobe schon im vertraut gemacht wurde und dann kann ich nicht erweitern bleiben den oder gehe ich davon aus ich kann eine Stichprobe beliebig erweitern also ich habe mich im Studio mit einem festen Umfang sollen nicht nur davon aus ich könnte uns diese Studie beliebiger weiter das ist genau die 1. Variante wird die zweite bis 2 verschiedene Eigenschaften die 1. Variante hat wenn sie deren Daten wenn Sie Ihre Stichprobe immer größer werden machen lassen dann könnte das richtige aus die zweite behalten sagt nichts darüber aus und gesagt darüber aus die Stiefel hat einen festen umfahren aber ich erzählt das Ganze immer wieder die Werte schwanken zwar dann essen wir sehr stark um die aber der Mittelwert von dieser Schwankungen stimmt und das in 2 verschiedene Eigenschaften man kann nicht sagen dass eine ist genau so als andere aber wenn wir sind sollten beide Eigenschaften vorliegen also können sich zum Beispiel vorstellen ja Berlin aus dem vom Tisch ergibt sich der richtige wird dann kann ich einer bei Festen Stichprobenumfang N einfach einen kleinen wird dazu addieren zum Wahlergebnis der mir entgegen endlich gegen konvergiert hat dass immer mehr den 0 1 hat gibt sich als sind wirklich immer noch der richtige wert aber im Mittel ergibt sich was anderes das heißt man sich hier nicht das Richtige gibt die Mittel spricht von der sogenannten verzerrten Schätzung also dass es um die systematische wieder Widernissen so großen Wissen zu klein und Beispiel für verzerrte Schätzungen wäre diese empirische wenn ich die empirische Varianz bevor einst durch Innenstadt statt eines durch in minus 1 zu sehen als sind heute spiele das gar keine Rolle ob ich hier eines durch in das Einschreiben oder 1 durch also für große n zu Zahlen ungefähr gleich groß aber es stellt sich eben auch mit diesen 1 durch N minus 1 wird sich über richtige wird mit dem einzig in der gibt sich mit Mitte der richtige wird nicht ok nachfragen Beifall gut dann war das ja ich muss gestehen das war das anschauliche gerade eben jetzt ganz normal formal was man nicht einmal mit außenpolitische gibt sich der richtige wert was meine formalen Mittel ergibt sich der richtige gewährt es war gerade so dass sind heute schon mal anschauen ich sehr gut verstehen dass im Mittel um den nicht wenn man es genau umgekehrt sein formal wird ganz einfach sein dass ich Ihnen schreibe was heißt es dass die Mittel der richtige wird ist aber es wird nicht ganz so einfach sein dass ich Ihnen schreibe was Asse methodisch der richtige ist Aschentonne stelle die wird da spreche ich von einer konsistenten Schätzungen also Einschätzung TM 1 x 1 bis x N heißt konsistente Schätzungen der Erwartungswert von X 1 falls gilt ja diese formulieren das heißt ich betrachte die Menge aller Kleinanleger im Großanleger meine Zufallsvariablen X 1 x 2 und so weiter sind alle definiert auf dem Wahrscheinlichkeit rein und dieses ersten Mechanismus Gegenden den nächsten Nutzung Realisierung klein und wieder erzeugt wenn sie und klein und davon von dem zu was von dem Wahrscheinlichkeit Raum habe in den USA die will oder kann ich auch die Realisierung reichten x 1 von einiger x 2. einiger X 3 von um wieder und so weiter der einzelnen Zufallsvariablen
ich werde ich hier und ich betrachte hier sind wir alle und da aus Großanleger werden ich diese Realisierung in meine Schätzung Einsätze also dieses C 1 von X 1 von um wieder x 2 von Amiga bis X N von Omnicard gab es gibt Modelle Zahl nein das war von allen ab und von auch nur da ich halte und fest dass entgegen endlich gehen unter anderem das ganze konvergiert gegen den Mittelwert gegen E X 1 und dann sage ich diese Menge aller und um über Wahrscheinlichkeit eines haben das heißt mit Wahrscheinlichkeit 1 soll ein zufälliges klein und wieder erzählt werden so sodass T N 1 x 1 von vormaliger bis X N von um gar gegen Erwartungswert von X strikt aus dem Protsch also gleich also mit Wahrscheinlichkeit 1 von außenpolitisches richtige aus der übliche treten der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Stochastik Sie sagen niemals das immer das Richtige rauskommt sagen wie sie waren sodass nur mit Wahrscheinlichkeit 1 das 2. er war wird er dann das im Mittel das richtige rauskommt dann unter dem Begriff der ab Erwartungsdruck Einschätzung für X 1 und das lässt sich ganz einfach formulieren wir sagen der Erwartungswert von TF 1 x 1 bis x das heißt ich setze meine Schätzung da oben die Zufallsvariablen X 1 bis 6 in dann geht das Ganze was hier steht einen zufälligen wert und von diesen zur völligen wird Bereich nicht den Mittelwert mal durch Bildung des Erwartungswert ist und soll der Erwartungswert von X 1 kommen dann heißt das ganze Ding erwartungsvoll Schätzung für x 1 mehr mehr sie haben also meine Frage wieso durch Einschätzungen würden Erwartungswert statt indirekt auszurechnen ja ganz einfach der wir waren bisher also bis zur heutigen Vorlesung waren immer nur Wahrscheinlichkeitstheorie da der Wahrscheinlichkeit eingegeben Eigenschaften ausgerechnet Werbemittel Mittel und so weiter jetzt sind wir in der Statistik da ist oder schließen Statistik das der Wahrscheinlichkeit trauen uns unbekannt stattdessen Realisierungen also wir beobachten Werte aber wir kennen Wahrscheinlichkeit Raum nicht wir möchten Wahrscheinlichkeit sagen ich kenne dann kann ich die Dichte nicht oder die nicht oder was auch immer vorliegt und damit kann ich den Erwartungswert nicht mehr ausreichen als ist damit es gerade eben weil ich meine ist das was wir bisher gemacht habe ist ja völlig unrealistisch ist habe ich immer anderen ich kann die Verteilung wenn Sie reales Problem betrachten Sie kennen die Verteilung niemals sie müssen die verteilen wir um die dass sie zu ihre allen Daten das und das machen machen wir hier und was machen wir wenn wir zum Beispiel sagen ja unsere zugrunde liegende Verteilung wird aufgrund von Satz die ganzen Ende kommt vermutlich Normalverteilung sein dann fehlen noch Zeitparameter Erwartungswerte Mariannes lasst uns diesen Erwartungswert diese Barrieren Rechnung okay das wären die beiden Begriffe im Spezialfall des der Schätzung des Erwartungswert ist also können wir es Formulieren eine konsistente beziehungsweise erwartungsvoll Schätzungen der Varianz von X 1 also das Streit dann eben hier gegen die Varianz und hier ist der Mittelwert genau die Varianz X okay fragen sollte ein er konnte ok dann ist es ein bisschen peinlich ist weiter zu der damals konnte aber die ist bevor dies noch formal ab aber danach kurz besser ich verspreche also das ist so 1 7 nein das kann man nicht so mögen wir das ist die schlimmste werden bevor wir und danach geht's wieder aufwärts okay wir haben bei älteren Geräten immer war also bei der Konsistenz handele es sich um die so genannte fast sichere Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen und dieses fast sichere kurzen während folgenden ab mit 11 und es für fast sicher wir haben Pläne Zufallsvariablen gegeben Z Z 1 Z 2 und so weiter wird auf dem gleichen Wahrscheinlichkeit zwar brummiger ablesen wir sagen dieses den die jetzt fast sicher die Regenzeit Schreibweise Z N Z R und S als werden das gilt was die Wahrscheinlichkeit von Menge aller Kleinanlegern Großanleger wird ZN von Anleger gegen Z von um da will wird für ihn die endlich gleich 1 ist also falls mit Wahrscheinlichkeit 1 der wir im Zelt im Gegenwert von Z konvergiert anschaulich mit Wahrscheinlichkeit 1 nähert sich ja sich die Werte von z n mit wachsenden immer mehr dem wird von Zeit an also ich habe eben schon oder es ist genau das von der Konsistenz die Konsistenz sagt unsere schätzt Funktionen TN ausgewählt einen Zufallsvariablen von x 1 bis x n konvergieren passt sich dagegen Erwartungswert von X 1 das wir also C von X 1 das ist in Teilen der Erwartungswert von X 1 fast sichert das heißt diese Cremes Zufallsvariablen die hier steht ja in dem Fall eine Konstante und wie schon gerade eben ist es so wir diese Konvergenz nur mit Wahrscheinlichkeit 1 ist erhalten hatten die ich jetzt gar nicht besser gar nicht begründen weil das wird immer verwirrender glauben Sie es mir einfach man kann zeigen mit der plastischeren Konvergenz kann man rechnen wir mit allen fallen vor das heißt wenn ich Zufallsvariablen X den habe die gegen Zufallsvariablen X konvergieren fast sicher ich habe Zufallsvariablen 7 weitere Zufallsvariablen y n die konvergieren gegen y fast sicher und nicht nur mit 1 X N Küsse Y dann strahlt das Ganze eben gegen X plus Y also in beiden Fällen Zahlenfolgen auch also wenn die eine Frage wegen Xtra würde die zweite folgen y konnte Summe gegen x bis y und das werden wir im Folgenden ab und zu mal verwenden ich mag es nicht weiter begründen das vor 14 mehr verwirren audio ja das hat sich damals genau dass die Konvergenz mit Wahrscheinlichkeit 1 vorliegt also fast Sicherheit etwas Geld mit Wahrscheinlichkeit 1 also Zeiten konvergiert gegen Z fast sicher und die Werte mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen Ende konvergieren das ist ja und sie fragen woher wissen wir sowas also der zweite Frage zum Beispiel ja wir wissen das zu schätzen konsistent ist das war glaube ich die Frage hyphen die versteht das wissen wir noch nicht das kommt gleich noch fremdes nächstes 12. untersuchen wir das nach der Frage okay das keine an ich suche ich versuche es unsere beiden Schätzungen die Daten empirisches arithmetisches Mittel und empirische Varianz und Erwartungsdruck und auf Konsistenz begann man mit der Erwartungsdruck an erst das behaupten dieses C von x 1 bis 6 in gleicher empirisches arithmetisches Mittel der XI ist eine Erwartungsdruck Schätzungen für den Erwartungswert von X 1 wer ist das ja das muss ich dazu angeben ich müsste einen Erwartungswert von T N ausrechnen wenn ich die kleinen XII durch die Zufallsvariablen ersetzte also ich Erwartungswert für arithmetischen Mittel der Zufallsvariablen X OS X Index E und das muss jetzt ausrechnen und was machen wir wenn wir die echten wurden für Erwartungswerte verwenden die wir in der Vergangenheit kennen gelernt haben sie erinnern sich vielleicht ich da beim vorletzten aber zu 3 abstrakte Eigenschaften von Erwartungs werden vorgestellt und eine davon war die Genialität das heißt der Erwartungswert sollen ja Kombination ist die entsprechenden Jahr Kombination der Erwartungswerte das heißt ich kann diesen Faktor 1 durch engere losziehen
und ich kann die Summe mit der Erwartungswert vertauschen das heißt was hier als Erwartungswert dem Mittel Zufallsvariablen als können ist einfach das Mittel der Erwartungswerte 1. Eigenschaft jetzt kann ich mir meine einzelne Erwartungswerte aussagen ja die Zufallsvariablen X 1 X 2 X 3 und so weiter waren insbesondere identisch verteilt das heißt die Verteilung an alle gleich wenn die Verteilung gleich sind sind auch die Erwartungswerte gleich nach Eigenschaft der Verteilung das heißt hier steht eigentlich überall der gleiche Erwartungswert und dann sehen Sie ja jetzt kann ich den gleichen Erwartungswert hintergangen in der gar nicht mehr von Index ab den kann ich hier rausziehen aus der Summe besteht noch 1 durch in Summe I gleich 1 bis n über einen Star was insgesamt diese Summe ergibt eingeteilt geteilt in ergibt 1 das heißt das Ganze geht den Erwartungswert von nix anderes an diese Leitfragen aber wie kann ich von dem XI auf das X 1 ist es identisch verteilt die Annahme des identisch verteilten heißt alle Werte werden nach dem gleichen Prinzip erzeugt der wird und mit wird nach dem gleichen Prinzip der zur wieder innerhalb von X 1 das ist aber auch der Mittelwert von XI so groß wie der Mittelwert von X 1 wir wissen wir dass die identische falls und das ist für Vereine setzen wir schätzen ausgehend von identisch verteilten Zufallsvariablen zwar die 2 Tage mal ein die Daten machen sie natürlich 2 anderen die beide am Datenbus ich dann kritisch fragen müssen ist das so werden wirklich alle werden nach dem gleichen Prinzip der 12 Jahren war ok noch eine Frage dann könne zu 2. Eigenschaft der Konsistenz diese Schätzung ist eine konsistente Schätzung aber dabei wären die Ansatz der nicht nur einführen muss dass das so genannte starke Gesetz der großen Zahlen wenn wir auf denselben Wahrscheinlichkeit 207 Zufallsvariablen X 1 comma decimal 6 1 2 6 2 und so weiter haben die 1. unabhängig sind 2. identisch verteilt sind und drittens von dem der Erwartungswert existiert als endlich der wird so gilt dieses arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen konvergiert gegen den Erwartungswert was sicher Beispiel wir betrachten das wiederholte unbeeinflusste werfen eines echten wird und die Aussage ist also welches da oben mache dann ist mein X I ist die Eisenzeit anbieten würde dieses aromatische schon wieder XI das arithmetische Mittel der gewählten Augensterne ich es immer mache und dann für große Anzahl von Wölfen also für große Anzahl von in der die Auslagen nähert sich das immer mehr den Erwartungswert einen Erwartungswert beim Werfen eines echten wird uns ja das wissen Sie einmal one sixth bis 1 one sixth bis 1 one sixth und so weiter bis 6 one sixth begeht die 3 comma decimal 5 das heißt die Aussage ist nun für einen echten müssen immer mehr ja das das wir werfen und Sie machen das zum Beispiel 10 zehnmal so bilden es allmählich schon würde der Augen zahlen dann machen Ansicht zwanzigmal bilden das auch indische Mittel der 1. 20 Augenzahl machen das 30-mal Wildnis aber Menschen Mittel der 1. 30 Alben sein und so weiter und diese arithmetischen Mittel müssten sich dann immer mehr der Zahl 3 comma decimal 5 an und zwar mit Wahrscheinlichkeit 1 ich habe mir mehr konkret gemacht hier wurden echte würden hundertmal gewählten nach zehnmaligen werfen wir das arithmetische Mittel der 1. 10 Augen sagen gebildet und er als prangt würde hier eingezeichnet in Brand mit den Kartendaten ziehen und als Epson Kanonade dieses arithmetische Mittel sie und was um die 2 comma decimal 5 dann wären wir für weitere 10 Mal in welchen Fällen 1. 20 dann 20 müssen wir wieder das arithmetische Mittel gebildet das gab zum 2. wird und so weiter und das gemacht sich hundertmal werfen eines echten wird es war das sehen Sie hier oder sehen Sie das wie sehen Sie das das dafür spricht dass das was vorgestellt habe stimmen könnte mehr ich war die Printer schwankenden Erwartungswert 3 comma decimal 5 bzw. sind ziemlich nah wenn sie einen könnten der Daten wird 3 comma decimal 5 wir haben hier also schlagen tun sie nicht ohne aber es wird irgendwie so als gingst können sie langsam mehr anders als sie war nicht möglich dass sie langsam näher kommen aber es auch kein Wunder dass wenn gerade eben das hier ist eine außenpolitische Aussage wenn in gegen endlich geht während hier habe ich Ihnen gleich 100 das heißt ich muss um das genauer zu sehen was ich eigentlich nur 100 würfeln ich muss vielleicht 1000 aber ich muss vielleicht 10 tausender werden oder wenn tausenmal werfen ja ich weiß wirklich schon hundertmal gewürfelt haben dass bei wir alle Personal gewürfeltes dort schon ziemlich lange zum Tausender so machen sie nicht mehr also das machen wir eigentlich nicht ich habe stattdessen ein Rechner simuliert darin das relativ schnell ist natürlich kein echter zu vermehrten ist der Rechner aber bis simulierter zum Verhör und wir haben das ich habe sie immer gemacht 10 Tausend Mal das gleiche nach Tausend habe ich das abendländische Mittel gebildet nach 2000 und so weiter bis 10 Tausend es gibt ihn wieder diese nach ist steinig nicht gewinnen nur wahrscheinlich nach 200 Männer 500 wahrscheinlich Tausend 1502 nach 500 nach 1000 x 1500 Tausend Mal und so weiter es gibt den der diese Punkte und ich habe zum Saul ich habe eine und zum Vergleich also wurden die 3 comma decimal 5 1 eingezeichnet und sie sehen in der Tat das liegt er deutlich mehr insbesondere bei großen Anzahl von Wiederholungen an der 3 comma decimal 5 7 10 aber auch es liegt nicht genau auf der Linie also im Mittelpunkt des Kreises wird wohl nicht genau viel sein aber es scheint immer noch ein bisschen anders eingeben bei 10 Tausend Mal schon deutlich weniger mich ich ganz noch mit 100 Tausend mehr oder wenn man eine Million Mal machen es wird noch viel weniger schwer gut also ich Fragen sind die die Frage ist nach den Zusammenhang zwischen dem was und und dem Stichproben der erzeugen also meine zugrunde liegende Verteilung bisher diese echte Waffen ein einzelner einmaliges ist ein einmaliges Waffen erzählt eine Stichprobe von Umfang 1 einen einzigen wird ich würde zum Beispiel 100 Mal dann bekomme ich 100 verschiedene Zahlen das ist mein Stichprobe von Umfang und Art ich gehe davon aus dass die Daten sind und in identischer Zeit oder heißt die einzelnen Würfel nicht so würden nur zu tun als nicht so dass ich eine 6 würfeln und beim nächsten Mal auch in Würfel mit 6 oben den läge sonnig Würfel wieder neu und den verteilt heißt ich nun den gleichen wir wird und werden das wird uns in der er sich nicht ja in Frage die also mehr diese Einheit ist der Erwartungswert des berichten ja der Werte bei 10 Tausend abgetragen ist das ein durchschnittlicher wird das heißt ich nehme die Summe aller 10 tausende gewürfelten Zahlen und Teil durch 10 Tausend und vergleiche dann wieder liegt das an der 3 Inhalt dran und die Aussage von dem erschlagen Gesetz der großen Zahl ist für Stich fahren kann also für diese 10 Tausend immer mehr wollt sticht gegen endlich spät dass immer mehr gegen die Inhalt okay ja der Frage ja da ich mal eine Frage an Sie zu
den Eindruck ja richtig okay können
sich das nur an mit Nummer 1 es ist zweimal formale Eigenschaften des Erwartungswert ist das heißt sie nehmen diese Rechenregel würden Erwartungswert und versuchen wir das hier noch zu rechnen ok haben Sie und welche Vorschläge vielleicht nur zum 1. wie berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen Y definiert als X 1 EX durch wird's Laus Varianz von X wenn Sie nur einen Termin hier stets noch einmal das heißt sie haben das ist der zufällige gewährt sie ziehen einen wehrt ab dieser wird ist der Mittelwert des mehr konstante und teilen durch einen zweiten wird das ist die Wurzel aus der Varianz auch die Varianz ist mir konstant ist reelle Zahl das heißt die Zahlen durch eine zweite Welle fahren die verändert sich der Erwartungswert einer Zufallsvariablen wenn Sie das abziehen und durch und das andere ist jeweils feste Zahlen teilen zum Beispiel welche Auswirkungen hat betrachten Sie mal das obige als einer Zufallsvariablen X 1 EX welche Auswirkungen hat es sei und durch eine konstante auf den Erwartungswert auf den mittleren wird verspiele Vorschlag sie machen ein Glückspiel sie spielen wird er oder sie spielen Ballett bekommt einen gewissen zufälligen gewinnen und anschließend nach der Staat eine Steuer und sagt die Hälfte von ihren Gewinn ein das heißt erteilt ihren Gewinn durch 2 wer hat sich Gewinn im Mittel der kleine und liegt einer ja deshalb so große das heißt wenn ich hier so ich teile anteilig ich einfach der Mittelwert durch entsprechende zwar eine unserer Rechenregeln die Solidarität des Erwartungswert des das heißt ich kann diesen konstanten Faktor einfach nachvollziehen ja und jetzt können wir gleich einen der es dieses kann sie da halt ein Teil des Geländes ein also vor der Staat seine Steuern zahlt sagt es sie mir von ihren Gewinnen Sie ich vielleicht mehr 10 Euro ab der Verein hat sich dann ergeben würde ja wir 10 Euro kleiner das heißt das Ganze geht hier genau sollen das heißt es kann der ursprünglichen Mittelwert abgezogen von dem was abziehen ja wenn Sie angeben wie groß ist das ganze jetzt ja schon aber es war EX das ist die Kunst dann wirklich abziehen und der ursprünglich Mittel wäre auch X wie groß ist das Ganze jetzt was rauskommt Xtra verdreckt das heißt diese Differenz die es wie groß nur das heißt es ganz die das ganze Jahr gibt 0 das heißt das Ganze ergibt 0 nun das ergibt also nicht von einer Zufallsvariablen ihre Mitglieder abziehen und dann durch die Wirtsleute der Varianz zahle dann hat die entstehende Zufallsvariablen Erwartungswert 1. Sache die wir hier lernen können oder 1. Aussage hier das kommt jetzt auch noch mehr das zweite Walter-Borjans entsprechen sie müssen sich an die Rechenregeln für Varianten erinnern die Varianz ja so eine quadratische Schwankungen mittlere quadratische Schwankungen wenn Sie da einen konstanten Faktor drin haben einer quadratischen Schwankungen dann ändert sich so eine Karte wäre wenn man sich die quadratische schwanken mit dem Quadrat des Faktors das heißt ich kann diesen Faktor quadratisch rausziehen ich kann mir also auf Varianz von X 1 x durch wird Varianz von X zum Beitrag frei die Varianz von X ist wenn ich von der Varianz bei der Varianz eine konstante abzielen also das ist ganz ohne verschieben dann ändert sich eine Schwankungen gar nicht das heißt die Varianz von X minus EX Stimme der Varianz von X über allen die 701 Varianz von X durch Varianz von X was 1 ist das heißt die entstehende Zufallsvariablen hat Erwartungswert 0 Invarianz 1 ich setze es auf die Umwelt das heißt sie müssen Sie es nicht abschreiben 2. Teil der 2. Teil war die Frage sie sollen dieses das gleich jetzt machen für Zufallsvariablen X ersetzt durch die Summe der Zufallsvariablen X E von gleich 1 bis 1 und so das Ganze dann und zu Wetzel durch was Varianz von X X arithmetisches Mittel der XII minus X 1 auch das machen sie mit entsprechenden Rechenregeln ja unter wird Berücksichtigung sich der Unternehmen teilten identischen verteilt Halter Zufallsvariablen fällt mit den Rechenregeln Erwartungswerten Varianz ja wir haben das da ich habe hier erst mal den Erwartungswert würde somit verteidigt das heißt erwarten wir von einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte ich habe ihren Varianz Fördersumme Summe wegen Unabhängigkeit ist die Varianz von der Summe gleich der Summe der Varianten dann kann ich ausnutzen wegen der identischen verteilt halt bestimmen die Erwartungswerte der XI und die Varianten der ich sie würden erwarten wir von X 1 eine Varianz von X 1 überein das heißt hier so niedrig in einen Erwartungswert von X 1 auf hier so niedrig ändere die Varianz von X 1 auf kann ich auf diesen Ausdruck und jetzt sehe ich hier nach den Faktor heraus Ich habe es n ausgeklammert an der Stelle da steht jetzt aber nur die Stimme der der X 7 das X 1 das Ganze noch mal ändern Teil der durch das Wurzelende schreit das nach vorne hin und kann auf den Ausdruck den ich haben wollte mehr das heißt man kann diese gerade gemacht wir haben sowieso eine Summe von Zufallsvariablen wir haben Sie regionalisiert das Erwartungswert nun Varianz 1 hatte ich habe dann den Erwartungswert also nur durch die Zeit und durch und durch die Wurzel aus Varianz geteilt das Ganze für Erwartungswert nun Varianz 1 Z intern sein wenn wir gleich brauchen werden wenn den zentralen entziffert behandeln und ich und der nächsten Jahr und sogar das nützlich sein denn sie wissen das kann ich auch machen in dem ich die Zufallsvariablen zu umformen ok ich setze auf die Umwelt schonen habe ich
versprochen dann gucken wir hier mal nach der Vorlesung an dem er glaube ich hier der
Trend noch eine Sache zu den Schätzverfahren nur 2 Sachen nicht ich möchte argumentieren dass die Schätzungen für die Varianz konsistent und erwarte dass treu ist das wäre schätzen für die Varianz ich schreibe das um in durch den Vertrag der eines durch Änderungen und modifizieren N durch N 1 1 wenn ich durch das 1 x 1 durch in multipliziere kürzlich das N im Zähler und Nenner weg ist Blatt 1 durch indes 1 übrig ist der gleiche Ausdruck dann möchte ich diesen Ausdruck hier umschreiben das können wir dafür rechnen bin aber so ein bisschen alle gerade deswegen würde ich ganz gerne darauf verzichten würden wir nicht so gut gefallen dessen konnten es mir an was passiert hier eigentlich sehr viel Zufallsvariablen Sizilien Mittelwert oder das arithmetische Mittel ab glatte deren und bilden dann darf man diesen Ausdrücken nochmal den Mittelwert das ist das eben bei der Varianz gemacht haben bei der Varianz habe die Zufallsvariablen genommen den Erwartungswert was der Mitbewerber abgezogen das Ganze war privat noch mehr den Erwartungswert gebildet ich habe mir jetzt mehrere gerechnet die Varianz einer Zufallsvariablen kann ich schreiben als Erwartungswert des Quadrates Minus im Quadrat Erwartungswert ist wollen wir mit dem letzten Mal das genau gleiche kann man hier machen nur statt mit dem Erwartungswert diesmal mit dem arithmetischen Mittel und kann auf die das da ist das arithmetische Mittel der Quadrate minus dem Quadrat der Arktis arithmetischen Mittel ist im Prinzip ist die genau gleiche rechnen ja aber ich möchte aus Zeitgründen diesmal nicht mehr machen und jetzt habe ich mir an was passiert ja wählen gegen endlich und wir könnten uns mehr die einzelnen interne an der könnten uns an der Faktor N durch N 1 1 wir konnten uns an dieses arithmetische Mittel der XI Quadrat und wir könnten uns einen das armenische Mittel der XI oder XJ in kleinen zum Quadrat und ich möchte mich interessiert das passiert werden einzeln ausdrücken für immun gegen endlich sie Sie was können Sie mir und irgendeinen diese Ausdrücke sagen was passiert wenn den endlich war mir ganz vorne an durch endet eines konvergiert gegen 1 richtig was können Sie uns schreiben als eigenes durch 1 minus 1 durch in das Innenleben endlich gehen dann steht er da als Grenzwert 1 durch 1 minus 0 begibt 1 richtig also 1. Faktor ergibt 1 was ist mit den beiden Terminen der Differenz sehen Sie da oben sie wissen schon was mit diesen arithmetischen Mittel hier passierte Vorschlag doch nicht vorstand aber das Shuttle werden Vorschlag Erwartungswert also schmuddeligen immer Erwartungswerte das heißt die Mittel das war die Aussage von starren Gesetz der großen Zahlen ermittelt gegen Erwartungswert von X 1 sicher ich habe Ihnen gesagt mit der fast sicheren Konvergenz können wir rechnen wir der Konvergenz reeller Zahlenfolgen bisherigen konvergiert das Quadrat von diesen Ausdruck gegen den Stadtrates Grenzwertes das heißt es geht im Erwartungswert von X 1 in Klammern zum Quadrat passt sicher wir haben den 1. als dort an der 1. Auszüge seiner mythisches Mittel über Zufallsvariablen X 1 2 3 x 2 3 x 3 Quadrat die Werte x 1 x 2 und so weiter sind und oder werden ohne werden unbeeinflusst wenn man da nach dem gleichen Prinzip erzeugt dann werden auch die Werte x 1 Quadrat x 2 Quadrat und so weiter nach dem gleichen Prinzip bezahlt sie beeinflussen sich gegenseitig ebenfalls nicht das heißt ich ich hier noch mal ist starke Gesetz der großen Zahlen an aber diesmal mit dem Zufallsvariablen X die Quadrat und können das ganze geht gegen Erwartungswert von X 1 vertrat 1. Tag 1 steht aber dass wir zunächst einen Sieg landen die sehen auskommen die Varianz von X 1 also in der Tat das den konvergiert gegen richtig das heißt es konsistente Schätzung haben Sie Fragen so weit dann zum zweiten und der Erwartungsdruck möchte ich nicht mehr verrechnen ist ein bisschen kompliziert aber man kann jetzt zeigen wir Ihnen diese Schätze gehen die Zufallsvariablen Einsätze dann ergibt sich als Mittelwert genauso die Varianz von X 1 und das ist der ganze Grund warum sich eben vor 1 durch in ein statt eines durch eine haben weil sie in den für bestes mit verpackte eines durch in das einst das richtige könnt dann könnt ihr mich vor 1 durch in nicht mehr das richtige aus das wird ein bisschen daneben und das war wir alle Begründung warum sich hier ja eigentlich in eines Freiheitsgrade statt in Freiheitsgrade haben und durch indes einstrahlen statt durch in das ist eine Sache es ist nicht alt vielleicht wenn's Ihnen vorrechnen sie würden wahrscheinlich auch verstehen er dann würden Sie bei der Prüfung furchtbar nervös werden weil sie vor der Prüfung das garantiert nicht mehr hinkriegen würden ist eine von diesen Sachen dies wir das mal gesehen hat wird mir ganz einfach in der man nervös es schaffen es nie also besser ich rechne sie ihn gar nicht erst vor dort werden Fragen so weit und dann habe ich nur von 9 Minuten und noch einen ganzen Abschnitt ok schaffen wir das geschickte ist ich habe heute ein bisschen mehr Zeit weil ich habe meine Biologen vorlesen abgesagt war wurden ich habe schon wieder Einzelvorlesungen zur Falle also schaffe ich nicht diese Vorlesungen der halten deswegen habe ich die Frage über gebeten zu dem Biologen noch zu gehen und also ich hätte heute ein bisschen mehr Zeit ich weiß nicht ob Sie noch ein bisschen mehr Zeit haben aber sonst habe ich in der Zeit aber heute endlich einmal Zeiten wollen wir die wir Teilung Technik verwenden die sogenannte Normalverteilung bei der Modellierung von Daten in der Praxis Grund ist der sogenannte zentrale Grenzwert Satz dämlichen gleich noch einmal vorstellen wird und dann an einem Würfel Beispiel erläutern werden der zentrale Grenzwert Satz gesagt anschaulich das zügeln bestehend aus vielen zufälligen Werten die unbeeinflusst nach dem gleichen Prinzip erzeugt würden sich approximativ wie eine normale verteilte Zufallsvariablen erhalten das heißt immer wenn Sie sagen die Realisierung einer Zufalls variabel sind eigentlich zu nennen und diese werden diese Angst und Werte werden und beeinflussen einander und nach dem gleichen Prinzip erzeugt dann es einigermaßen darlegen dass man da eine Normalverteilung zugrunde liegt denken Sie nur an das Beispiel von für den Anteil der richtig gelösten Aufgaben da keiner sagen diese Einschätzung der Studenten und es war eine kleine mit ich glaube 80 Aufgaben ja erst jetzt für jede einzelne Aufgabe richtig gelöst nicht richtig gelöst wenn die Anzahl der geschätzten Aufgaben ist einfach die Summe seiner ganzen Einzel Schätzungen das heißt da könnte wir sagen in der Tat der liegt so eine so vor also wir eine Normalverteilung zur Möblierung und wenn wir eine Normalverteilung umgehen können so Modellierung müssen wir Erwartungswerten Varianz bestimmen wir haben unsere ganze Verteilung bestimmt alles ganze zufällige verhalten und das ist die Stärke von was das wäre die anschauliche Formulierungen was gesagt zweimal wenn man einst Fernziele wir haben wir gehen um den Tisch verteilt die jährlich Zufallsvariablen den Erwartungswert X 1 Beitrag 2 kleine unendlich wir betrachten das von der Aufgabe von gerade eben das andere extrem ich nenne Ihre und dass die Erwartungswert 0 und Varianz 1 hat das heißt ich die Erwartungswert der mehr und Teile aus durch die Wirtsleute Varianz weiterhin testen gerade eben dieser Zufallsvariablen hier Zufallsvariablen ihren Erwartungswert durch Wetzlar ist der Varianz hat Erwartungswert Modell und Variante 1 und die Aussage ist für Andrew das ist das den anderen und Standard normalverteilt als normalverteilt mit Erwartungswert 0 Varianz 1 also nach mehr als durch haben die Summe ist normalverteilt aber die Summe hatte mit dem komischen Erwartungswert um ökonomische Varianz kenne ich nicht ich ziehe deswegen den Erwartungswert ab dadurch durch Gewürzlachs der Varianz entstehende Zufallsvariablen hat den Erwartungswert Müll Variante 1 ich sage das den kann ich approximieren durch eine Standard mal verteilte Zufallsvariablen gut das war das nächste Level der Erklärung des 3. werde Erklärung ist die genaue Aussage was heißt das einer in 1 verteilt das ist diese Zeile hier könnten wir hier die Verteilungsfunktionen wenn dieser Zufallsvariablen einer festen Stelle x 1 das heißt die Wahrscheinlichkeit dass diese Zufallsvariable einen Wert kleiner gleich X X ist eine beliebige reelle Zahl die Sie einsetzen können die Aussage gilt für jedes x aber ich lasse dann das dann gegen endlich gehen also hier keine Wahrscheinlichkeit aus ich lasse ihn gehen endlich und dann können der gleich oder 3 aus den ich gerade habe bei der Verteilungsfunktion wenn der Standard Normalverteilung an der Stelle x ist das integral greifen müssen endlich bis X über die Dichte der Standard Normalverteilung das der mathematisch genaue Aussage von dem ganzen dienen haben Sie Fragen sind fragen was ist das ach so deswegen ist er wieder zu uns variabel das egal was Sie hier schreiben T U X gar nicht nehmen weil Obergrenze als zunächst okay also diese welche Variable hinschreiben sie gar nicht kann nicht wie sonst eben X schreiben das integral hatte eine Obergrenze nicht stehen damit ist X 1 schon vergeben weil das daher dass der Flächeninhalt und wird nicht nur Standard einmal wir müssen endlich bis zu Stelle x wer die ich mache und zum Abschluss noch ein Beispiel dazu mit gewürfelten Zahlen und diese eine Zahl die Banditen unbeeinflussten werfen eines echten Banditen unbeeinflussten werfen eines echten Würfel erhält dann Erwartungswert wenn Sie ausrechnen national Wahrscheinlichkeiten Alter wird gibt 3 5 Varianz können sie umschreiben als Erwartungswert und braten des gerade Erwartungswert Erwartungswert im Quadrat berechnen Sie die oben mit werte zum Quadrat statt wird wenn sie das machen wenn sie ein 35 12. die eine Seite des zentralen Grenzvertrags ist dann zu bilden diese Summe der wir zahlen sie den Erwartungswert in der Summe ab das ist immer 3 comma decimal 5 Tagen durch Gewürzen aus der Varianz die Varianz ist wegen Unabhängigkeit gleich immer die 1 in identischer verteilt halt gleich in der die einzelnen ist das heißt die Aussage der zum gleich 1 ist NX die muss in mal 3 comma decimal 5 geteilt durch nutzlos einmal 35 12. ist für größere fällt sich für große in einer die eine Standard nochmal verteilte Zufallsvariablen das ganze überprüfen jetzt nur den echten Wölfen ändern dürfen die alten Zahlen aus addieren dann können wir ein wird das machen sie immer wieder dann bekommen wir viele Werte und dann werden wir einen stehen diese Werte mit einer werden oder erhalten Sie werden sich so als wären sie von einer Standard Normalverteilung erzeugt ich würde sagen wir lassen oder angesichts der 2 Minuten danach habe mache ich es besser nicht also werden an echten Waffen in leicht 15 Mal notieren die Summe der aus Zellen liegen werden für jede dieser einzelnen zu hören wenn werden gerade eben das heißt ich ziehe dieses in der 3 comma decimal 5 ab Teile durch Botzlars einmal 35 12. in gleich 15 ich würde den 40 Werte in diesen 40 werden habe ich hier ein Histogramm bezeichnet dieses Histogramm hat sich auch als eine Approximation der mir unbekannten Dichter der Werte und vergleichen mit der Dichte der Standard Normalfall sein die sich da schon einmal Verteilung ist über die Sie hier sehen wenn Sie antworten ich würde sagen es tut ähnlich einer Stunde nicht mehr ist ja kein Wunder wenn daran einerseits werden wir plötzlich Realisierungen erzeugt haben andererseits werden 15 mehr ergeben haben ich mache das ganz in der Ferne an manchen nochmal das erzählte hier jeweils in den Rechner 10 tausende Realisierung von dieser Summe und zwar hier von 20 Zufallsvariablen bekommen können Sie dieses Histogramm im Vergleich zu dichter als stimmte immer nicht ganz ich habe er eine Summe von 50 wir jeweils 10 tausender Sonderzirkel nachdem Histogramme bekanntlich da kann ich dieses ist doch eine ist diese Stimme keine Chance gegen diese Stimme schon relativ genau des Unrechts und ungerecht sein ist dann für 500 und Sie sehen ja immer wir können nicht leicht unterscheiden also das Histogramm hat sich als gestellt also konstant aber zur Nation der dichter und es ergibt sich eine sehr ähnliche Struktur bei Xtra nur so nicht gehört das noch teilweise mit zum Mittagessen sogenannten machen würden was ziemlich genau stimmen fragen kleine er ist nicht wirklich die Anzahl der Summanden also wie oft habe ich dann eines gewürfelt groß wir damit das Ganze wiederholt wie für solche Werte habe ich er zeigt das heißt ich können wir Würfel auszahlen da die 25 wir können sehen dann können wir nicht sagen kann geben werden sie 15 dann wirklich 25 mehr diese 15 zahlen Sie gegenüber sitzt und ich habe 25 zahlen es von diesen 25 zahlen ich dann versuchen die Dichter zu rekonstruieren das wird dem 25 zahlen schlecht deswegen habe bisher 10 Tausend sein ok München dann könnte schon zum Ende Zusammenfassung der heutigen Vorlesung Zerfall Startseite Erwartungswert bzw. Varianz einer unbekannten verteilen 10 das empirische arithmetischen Mittel bzw. die empirische Varianz konsistent das heißt mit wachsendem Stichproben sich der werden zu schätzen und wird an und erwarte dass er das heißt der Westen Stichproben und dann ergibt sich Mittel wertzuschätzen wird umstritten ist in der Praxis wird man Daten richtig mit Hilfe der sogenannten Normalverteilung nach dem zentralen Trends new paragraph verhalten sich zusammen bestehend aus vielen zur völligen werden die unbeeinflusst werden nach dem gleichen Prinzip erzeugt werden approximativ normalverteilt damit gleichzeitig sollte
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