5.3 Statistische Testverfahren I und Gauß-Test

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Title
5.3 Statistische Testverfahren I und Gauß-Test
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13
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Die Vorlesung Statistik I für Human- und Sozialwissenschaftler gehört zum Pflichtprogramm des ersten Semesters in den Studiengängen Psychologie und Pädagogik an der TU Darmstadt. Sie stimmt inhaltlich weitgehend mit der dieses Semester vom gleichen Dozenten abgehaltenen Vorlesung Mathematik und Statistik für Biologen überein. In ihr wird eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik gegeben, wobei der Schwerpunkt auf einer leicht verständlichen Präsentation der grundlegenden Ideen in diesem Bereich liegt.
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Mathematische Fakultät Statistical hypothesis testing Mathematician Mittelungsverfahren Rule of inference Number
Statistical hypothesis testing Arithmetic mean Film editing Sample (statistics) Physical quantity Content (media) Propositional formula Integer Student's t-test Statistische Maßzahl Sample (statistics) Descriptive statistics
Stochastic process Statistical hypothesis testing Series (mathematics) Realisierung <Mathematik> Propositional formula Mittelungsverfahren Number Hypothesis Sample (statistics) Average Zusammenhang <Mathematik> Index Physical quantity Sample (statistics) Random variable
Mechanism design Expected value Sample (statistics) Mittelungsverfahren Variable (mathematics) Variance Social class
Probability distribution Series (mathematics) Normal distribution Variance Mittelungsverfahren Parameter (computer programming) Variable (mathematics) Scattering Variance Expected value Expected value Sample (statistics) Average Gleichverteilung Normal distribution Random variable Social class
Expected value Expected value Sample (statistics) Normal distribution Variance Summierbarkeit Sample (statistics) Variance Hypothesis
Statistical hypothesis testing Expected value Realisierung <Mathematik> Real number Abbildung <Physik> Abbildung <Physik> Sample (statistics) Statistical hypothesis testing Statistical hypothesis testing Random variable Hypothesis
Expected value Metre Statistical hypothesis testing Constraint (mathematics) Index Normal distribution Variance Random variable Number
Expected value Normal distribution Summation Sample (statistics)
Optimaler Test Pell's equation Optimum
Expected value Optimaler Test Abbildung <Physik> Statistical hypothesis testing Hypothesis
Abbildung <Physik> Statistical hypothesis testing Hypothesis
Zahl Sampling (statistics) Optimum Hypothesis
Zahl Constraint (mathematics) Degrees of freedom (physics and chemistry) Sample (statistics) Realisierung <Mathematik> Binomial distribution Summation Sample (statistics) Perimeter Perimeter Random variable Number
Sample (statistics) Well-formed formula Perimeter Number
Zahl Normal distribution Square Mittelungsverfahren Physical quantity Number Expected value Estimator Sample (statistics) Estimation Sample (statistics) Perimeter Random variable
Cumulative distribution function Zahl Constraint (mathematics) Normal distribution Variance Square Parameter (computer programming) Scattering Expected value Arithmetic mean Sample (statistics) Estimator Well-formed formula Invariant (mathematics) Sample (statistics) Table (information) Random variable Factorization Random variable
Statistical hypothesis testing Variance Square Mittelungsverfahren Variance Expected value Arithmetic mean Sample (statistics) Root Term (mathematics) Estimation Random variable Random variable
Area Cumulative distribution function Zahl Normal distribution Scattering Variance Arithmetic mean Population density Sample (statistics) Eigenvalues and eigenvectors Interface (chemistry) Table (information) Random variable Random variable
Root Variance
Expected value Mittelungsverfahren Variance
Zahl Sample (statistics) Interface (chemistry) Physical quantity GAUSS (software) Umrechnung Estimation Confidence interval Random variable
Statistical hypothesis testing Normal distribution Normal distribution GAUSS (software) Variance Variable (mathematics) Statistical hypothesis testing Variance Hypothesis Expected value Arithmetic mean Expected value Sample (statistics) Sample (statistics)
in die Irre ja begrüßt direkter Pflicht
zur heutigen Vorlesungen ich würde beim letzten Mal auf das Zulassen von Taschenrechner angesprochen ich würde was auf der auf das Zulassen von Taschenrechnern bei den Klausuren oder bei der Klausur angesprochen und wir hatten ursprünglich die Regelungen zugelassen wird ein einfacher Taschenrechner das heißt nach Sprachgebrauch des Fachbereichs Mathematik das ist ein Taschenrechner mit einzeiligen Display ich habe das bisher nie gemacht wie habe ich immer Taschenrechner aller Art zugelassen war mir ehrlich gesagt egal aber sie als Taschenrechner anbringen und weil es auch nicht so recht wusste über die Angst ab können zu machen sollte aber Augenärzte eingeleuchtet dass der Taschenrechner nicht programmierbar sein soll und wenn es nur ein paar Regelung ist einzeiliges Display lange sei nicht ganz schlau wird jetzt mal ihren Taschenrechner gezeigt der eigentlich eine Liste Weltteile hatte nur Zahlen eingeben konnte allerdings kommt noch eingeben dann was er nicht mehr zeitlich ich habe auch von der uns die zum Schaden der Räume zu in Klausuren macht noch die Hilfsmittel auf die Klausur des selbst angerufen und gefragt und er wusste auch nicht so recht was er einseitiger Taschenrechner ist und ich kann nur aber weil auf die Lösung also für mich sind einig alle Taschenrechner einzeilig wenn so Mathematiker sind haben sie auch keine Probleme alles ist ein eine Zeile das heißt überzieht zugelassenen Taschenrechner aller Art ich kann es jetzt nach nachträglich nicht mehr abändern weil wir dieses Mittel schon so ausgedehnt haben aber bei der Klausur sehen so sein ganz egal mit was wenn Taschenrechner sie ankommen solange sein Taschenrechner ist sind wir der Meinung der Displays einzeilig wir natürlich ohne nähere Displays Hardware sowie komische aber man den Stromanschluss haben ist ein Taschenrechner mehr aber ansonsten ist uns egal durch er zur Klausur sage ich beim nächsten Mal noch nochmal das kindliche noch Hinweise nur so viel eine Aufga- also ist sie bekommen 5 Aufgaben 3 müssen sie bearbeiten eine von den Aufgaben Handel das was Sie jetzt den letzten 2 Vorlesungen machen und zwar die statistischen Test in der heutigen Vorlesung
sollten sie lernen 1. was ein Test zum Niveau Alfa ist und wann die einen solchen Test als optimal ansehen 2. Sie sollten das Resultat eines statistischen Test interpretieren können und 3. Sie sollten den sogenannten einseitigen daraus des kennen und anwenden können dann unmittelbar an das Statistische
fester waren 1. Teil Inhalte heutigen Vorlesung ich 1 direkt im Beispiel dazu ein was schon so ein bisschen kennen aber diesmal noch mal ein bisschen genau ausgearbeitet Beispiel schätzen Examenskandidaten ihre eigene Leistungsfähigkeit er zu gut oder zu schlecht ein wir versuchen die Frage empirisch
zu beantworten in den 15 Kandidaten also n gleich 15 Kandidaten eine Klausur mit 70 Aufgaben gestellt wird nach der Klausur werden die Kandidaten gebeten zu schätzen oder anzugeben wie viele der Aufgaben der 70 Aufgaben haben Sie richtig gelöst ihres Erachtens nach dann wird die Klausur korrigiert und nach der Caro Gold oder Klausur Hammer dann 1. als Angabe vorlegen was hat der Mensch geschätzt diese Aufgaben mehr richtig hat und des wie viel hat der tatsächlich richtig gelöst also wir haben eigentlich man könnte sagen an 2 verschiedene Stichproben nämlich eine Stichprobe über die tatsächlichen anzeigen gelöste Aufgaben und eine Stichprobe die geschätzte Anzahl gelöste Aufgaben sind so genannte verbundene Stichproben das heißt die einzelnen Datenpunkte beziehen sich auf den auf die gleiche Person und wir machen daraus eine Stichprobe in wie wir die Differenz bilden wir werden pro Klausur die Differenz zwischen der tatsächlichen Anzahl gelöster aufgaben und der geschätzten Anzahl gelöste Aufgaben gibt mehr ganze Zahl also kann positiv oder negativ sein und wir machen hier hypothetisches Beispiel nehmen Sie an Sie haben beobachtet in gleich 15 dann haben Sie die XII gegeben und die Frage des zusammen Sinne der beschreibende Statistik durch 2 Zahlen 1. das empirische arithmetische Mittel ist x quer gleich 6 comma decimal 4 2. die empirische Steuerung ist ein 60 comma decimal 7 wenn Sie jetzt diese beiden statistische Maßzahlen betrachten was können Sie dann über diese 15 Kandidaten Aussagen was bedeutet x wir gleich 6 comma decimal 4 bitte das die meisten sich 6 Aufgaben schlechter eingeschätzt aber ich würde zustimmen wenn nicht die meisten sagen sollen im Schnitt im Schnitt also im Schnitt waren die Leute sich zu schlecht eingeschätzt sie hatten mehr gelöst im Schnitt als tatsächlich aber das Problem ist natürlich ja wenn Sie das ist vielleicht irgendwie als Masterarbeit gemacht haben tolle Sache sie eine Aussage über 15 Kandidaten aber jetzt kommt jemand anderes an den 15 andere Kandidaten und bekommt gleich ein ganz anderes Ergebnis es ist klar wenn sie davor den mit 15 anderen Kandidaten werden nicht die gleichen Zahlenwert auskommen aber wurden die wollen Sie trotzdem oben Aussagen machen und von diesen 15 Kandidaten wegzukommen und die Frage wie ein nicht im Raum steht ist die kann man ausgehend von diesen gegebenen Daten oder von den Daten der Stichprobe Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Grundgesamtheit die zugrunde liegende Grundgesamtheit werden zum Beispiel alle Studenten die hier in Frage kommende Sonne Klausur so ziehen dass man dabei zwangsläufig auftretenden Fehler alles werden zwangsläufig Fehler auftreten der weil diese Daten sind na ja man kann sagen in Anführungszeichen Zufalls abhängig je nachdem welche Kandidaten sie ausgewählt haben dass sie dabei die zwangsläufig auftretenden Fehler quantitativ kontrollieren können und was jetzt heute einig machen können wollen heute wollen wir mehr die Aussage dann so treffen entweder die Studenten schätzen er das sie oder er zu weniger Aufgaben die sie richtig gelöst haben oder er zu viel zu viele Essays die wollen uns zwischen so 2 Fällen entscheiden und dazu dienen die statistischen Testverfahren gut wir machen das 1. Mal
eine mathematische Modellbildung 1. Schritt wir gehen davon aus dass die Daten unter Einfluss des Zufalls wie was bisher in der Vorlesung geschrieben haben entstanden sind das heißt ich warte jetzt diese werden die ich beobachtet habe Realisierungen eines geeigneten Zufallsprozess ist genaue erfassen die Daten als Stichprobe eine uns unbekannte stochastischen Verteilung auf also der Begriff der Verteilung für diesen Zufallsprozess noch genau der passen unsere Daten als Realisierungen x 1 bis x 15 von unabhängige identisch verteilten Zufallsvariablen groß X 1 bis groß x 15 auf wir stecken schon die 1. Annahmen nämlich einerseits das unabhängig des unabhängig heißt es dass die einzelnen Werte unbeeinflusst von den andern entstehen also nicht so dass in der Gruppe der 15 Personen eine haben der verkündet lautstark die Klausur war ganz blöd deswegen habe ich nur ganz wenige löst und es beeinflusst die ganzen anderen also wie die Zahlenwerte die Zahlen beeinflussen sich gegenseitig nicht um identisch verteilt heißt sie wären alle nach dem gleichen Prinzip erzeugt wir formulieren jetzt so unsere Frage dass sie nur von der zugrunde liegenden Verteilung abhängt das heißt wir haben jedoch eine unbekannte drin das ist die Verteilung dieser Zufallsvariablen der Zufallsmechanismus und im Beispiel
oben wollen wir wissen welche von den beiden Hypothesen H 0 1 1 zutrifft H 0 wer der Mittel wert von diesen Differenzen ist kleiner gleich 0 H 1 der Mittelwert von Differenzen ist größer als 0 2 gegensätzliche Aussagen und wir wollen wissen welche von beiden treffen zu oder welche von beiden trifft zu die das in die folgenden Bezeichnung übrig üblich dessen sogenannte Hypothesen die werden mit groß H bezeichnet dann die 1. mit H Index 0 die zweite mit H Index 1 die 1. heißt Nullhypothese die zweite H-Index 1 Alternative wohl These bekam noch gegenüber dies dazu sagen sind einfach neue Dekrete sollten Sie sich merken alles von jetzt von der ganze Reihe von Begriffen vom Sprachgebrauch im Zusammenhang mit statistischen Tests bis 1. sind die sogenannten Hypothesen es gibt nur über diesen alternativ über diesen ja sie können sich noch überlegen bringt es jetzt irgendwas wenn wir uns jetzt zwischen diesen beiden über Hypothesen entscheiden bin ich da in
dem Sinne weitere comma sich einig wollte dass ich wurden was über die zugrunde liegende Grüße und Gesamtheit Aussage ja das mache ich meine
meine zugrundeliegende Grundgesamtheit wird durch eine Verteilung geschrieben durch ein Zufallsmechanismus ich mache eine Aussage über den Zufall mit Mechanismus H 0 wer im Mittel sind die Werte kleiner gleich 0 wenn sie noch mal die Werte angucken wir den wir zurück die
Werte waren tatsächlich der Anzeigen gelöste Aufgaben des geschätzter anfallen gelöste Aufgaben wenn die Werte kleiner gleich 0 sind dann hätten die Leute weniger richtig als sie eigentlich geschätzt haben im größten oder genau andersrum hätten mehr richtig als sie geschätzt haben und das ist eine Eigenschaft der
Grundgesamtheit und über diese Eigenschaft der Grundgesamtheit oder die wir diese Eigenschaft der Grundgesamtheit wollen wir herausfinden noch nochmal Modell am 1. Es geht ein Mechanismus der die Daten erzeugt 2. die einzelnen Daten werden immer in identischer Teil dazu haben Sie Fragen so weit keine Fragen ja jetzt haben wir noch diesen unbekannten zuweisen Mechanismus hier drin und das nicht so ganz klar wie können den Rückschluss finden auch nur sie auf diesen Unbekannten Mechanismus wir vereinfachen jetzt die Name noch weiter indem wir sagen wir schränken die Klasse der beobachteten
Verteilung an also um die Fragestellung zu vereinfachen machen die Annahmen über die Art der dem Beispiel auftretenden Verteilung und zwar gehen wir im Folgenden davon aus dass die auftretenden Verteilungen der jetzt müssen wir Klasse von Verteilung nehmen die wir schon kennen und da bietet sich eine an wissen die Normalverteilung und beim Normalverteilung haben wir 2 Parametern Erwartungswerten Varianz Erwartungswert ist dient es der Mittelwert Varianz ist die Streuung wir machen jetzt im Folgenden die Fälle die haben einen unbekannten Erwartungswert aber eine gegebene bekannte Varianz oder die haben ein unbekannten Erwartungswert und eine unbekannte Varianz also beides ist unbekannt hat jemand von Ihnen Idee warum ich hier eine Normalverteilung zugrunde liegt also war halt nur wie ich das als normalverteilt oder was ist die besondere Eigenschaft der Normalverteilung der ja meine Unbekannte Erwartungswert auch das damit aber das haben sie auch bei vielen anderen Verteilung wenn sie die extrem an der Verteilung nehmen dann sind damit erlahmender der Unbekannte Erwartungswerte 1 durch andere Allianzen und sind auch in innen mit anderen denn sie wurden Eigenschaft die die Normalverteilung besonders macht sie symmetrisch ja gut steht oder das Gericht das bestätige Verteilung gerne dichte Gedichte symmetrisch des Ringes die Verteilung komplett symmetrisch ja gut macht sind aber es gibt diese schöne deutsche komme ja und was bringt das es wird halt es schön mal Mittel werde so schön konzentrierten Mittelwert zu schön ab hat eine komische Form aber mehr Gleichverteilung wird nicht 3 Jahres durch das Tor wächst man sei von einer fatalen muss auch nicht sein weil die Länder mit Wahrscheinlichkeit 1 nur positive werde eine also wenn wir natürlich die schon recht denn unser Verteilung durch in der Reihe nach dann bietet sich irgendwie Normalverteilung an das ist richtig aber es ist mal weglassen ich kann ja noch eine weitere ich keine andere wichtige 1 ist ja kein Problem Station Glockenkurve mal in unseren 3 gehen es auch schön symmetrisch werden also war letzte Vorlesung da oder und ich habe ihn irgendwas zu Normalverteilung erzählt letzten Vorlesung wissen Sie noch was die letzte Vorlesung gemacht haben ich habe den Glauben erzählt diese Vorlesung war immer so sukzessive auf man auf das heißt wenn sie der nächsten Vorlesung gar mehr letzten wolle müssen ist ein bisschen schlecht also von ok was aber letzte vor macht zentralen entführt hat es gibt einen zentralen Grenzwert Satz und der zentrale Grenzwert hat ist das was die Normalverteilung aus auszeichnet der zentrale Grenzwert Satz gesagt zu Summen von unabhängige identisch nochmal verteilten Zufallsvariablen sind ab ob sie mal von unabhängig identische teilten Zufallsvariablen ganz egal was für eine Verteilung sie haben sind approximativ normalverteilt und man wird jetzt hier angucken was machen wir
da diese Differenzen sind wunderschöne
weil sie können ein ich sagen für jede einzelne auf Aufgabe sehe ich auf entweder also das da ist und somit das da ist nämlich die tatsächliche Anzahl gelöste Aufgaben nicht C für jede einzelne Aufgaben 1 1 0 je nachdem ob sie gelöst wird oder nicht und wie der einzelne Aufgabe sagt ich schätze der separat gelöst oder nicht gelöst dann haben Sie hier 2 Summen die Differenz von diesen beiden so ist auch das somit das heißt die haben so eine wunderschöne Struktur und Sie können sagen Jahr niemals als normalverteilt an eine gewisse
Motivation dafür ok und was sie jetzt machen wollen unter diesen Annahmen ermitteln wir geeignete Verfahren mit Hilfe derer wir uns kontrollierten Fehlerwahrscheinlichkeiten zwischen den beiden Hypothesen entscheiden können beachten Sie Sie haben eine Verteilung sie eine Stichprobe eine Normalverteilung gegeben sie kennen den Erwartungswert nicht sie den Elfenwelt die Varianz Essen kennen Sie die Varianz auch nicht und sie wollen anschließend sagen ist Erwartungswert leider 0 oder größer 0 das kann nicht überklappen das kann ich immer gehen weil dessen Erwartungswert große 0 ist kann sein alle Werte die auftretenden zufälligerweise kleinem bekämen sie normalerweise nicht auf die Idee der wird größer 0 sein oder genau andersrum das heißt sie werden Fehler machen aber diese Fehler wollen wir kontrollieren werden gut
aber so den Grundbegriffen der Test Theorie gegeben sein Realisierungen kleines 1 bis 3 nichts ändern von unabhängigen identischer Zeiten den Zufallsvariablen Grosics 1 bis Grosics gesucht ist Entscheidungs- Vorschrift zur Entscheidung zwischen 2 Hypothesen über die zugrunde liegende Verteilung über diesen zum Beispiel wie nur über diese Erwartungswert ist leider gleich 0 alternativ über diese Erwartungswert ist größer als 1 beachten Sie ist egal welchen Erwartungswert ich Schreiben von welche Zufallsvariablen diesen identisch verteilt Erwartungswerte sind alle gleich groß was wir jetzt machen ist ein so genannter wir konstruieren einen sogenannten statistischen Test und statistischer Test ist was da stecken Sie Ihre Stichprobe rein und es gibt ihn dann 0 oder 1 zurück 0 wenn sich für da entscheiden sollen dann wenn Sie sagen handele es richtig 1 wenn Sie sich für eines entscheiden sollen wenn habe in die als native richtig ist formal ist es dann so deine Abbildungen sonne in Tobel von reellen Zahlen er oben N stecken Sie rein bezahle aus 0 1 kommt raus Deutung nochmal wenn die von x 1 1 gleich 0 ist entscheiden wir uns für die Nullhypothese 1 0 wenn Sie von x 1 bis x n gleich 1 ist entscheiden wir uns für 1 okay das weiß der zweite Begriff oder Werk eine schöne führte der 1. Begriff waren Hypothesen dann gibt es 2 über diesen 0 über diese Art native über diese und jetzt hau der statistischen Tests mit der Deutung der Entscheidung zwischen den beiden über diesen wenn wir sollen statistischen Test machen werden zwangsläufig auftreten haben Sie eine Idee was sich als Fehler auftreten kann man werden wir unsere Entscheidung falsch wenn wir uns für 1 0 entscheiden es ein ich falsch wäre es richtig und einigten wir uns auch für 1 entscheiden 1 es falsch ist und also eigentlich wenn wir uns für 1 entscheiden obwohl H 1 falsch ist das sind die beiden Fehler die wir machen können und
es jetzt gibt es noch Bezeichnung für diese auftreten Fehler als auch widersprach gebrauchte üblich ist
das eine ist der sogenannte Fehler 1. Art bis 2. naheliegenderweise der Fehler 2. Art in der Fehler 1. Art es müssen sich merken gilt H 0 also sogenannte Nullhypothese und machte der Fehler dann einig macht der Testern einen Fehler also liefert unser Test aber fälschlicherweise die Antwort wie von x 1 bis x n gleich 1 und damit entscheiden wir uns daher für H 1 die sogenannte alternativ vor diese wir sprechen wir von einem Fehler 1. Art also Fehler 1. Art ist H 0 gilt wir entscheiden uns für 1 Fehler 2. Art genau umgekehrt es gilt H 1 alternativ über diese unser Test liefert wie von X 1 bis 6 m gleich 0 wir entscheiden uns daher für 1 0 0 über diese das ganze ist ein Fehler 2. Art und wenn sie es überlegen ja wenn ich ihn jetzt die Zahlen vor x 1 bis x 1 und sage wenn ich über diese richtig ist dann können Sie sagen entweder 1. wartet auf dem Fehler 2. Art wird auf oder keine Fehler tritt auf wenn ich mir es umgekehrt eine Verteilung vorgebe und zum Beispiel H 0 richtig ist also wo X 1 in dem Fallbeispiel hier kleiner als 0 wäre dann können Sie Zufallsvariablen bilden die unabhängige identisch verteilt sind mit dieser Verteilung können diese Zufallsvariablen in den Test reinstecken und können nach der Wahrscheinlichkeit Fragen das wir den Test 1 kommt das heißt das der Test ich falsch entscheidet und diese Wahrscheinlichkeit ist eine Fehlerwahrscheinlichkeit Uhr spricht dann in dem Fall von einer Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art wenn die Verteilung so ist das eigentlich ein richtig ist also können sie es für 1 machen wenn die Verteilung so ist es eigentlich 1 richtig ist spricht nur von auf die und sie machen Fehler spricht von der Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art weil die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten eines Fehlers 1. beziehungsweise 2. Art betrachten wir als Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. bzw. wieder Wahrscheinlichkeiten 2. Akt haben Sie Fragen so weit keine Frage sondern bisschen genauen im Beispiel
oben der testen H 0 Erwartungswert von X 1 kleiner gleich 0 H 1 Erwartungswert von X 1 größer als 0 und gucken uns mal die wieder Wahrscheinlichkeiten 1. Art eines Tests wie an wir setzen noch voraus die zugrunde liegenden Daten sind normalverteilt wir nehmen wir an wir kennen die Varianz vereinfachen also Varianz sei fest kennen wir dann haben wir noch ein paar Meter ist der Erwartungswert sind jetzt kann ich mir Erwartungswert schnappen ja kleiner gleich 0 ist dann Geld H 0 dann habe ich die gesamte Verteilung festgelegt also wenn ich den Erwartungswert festgelegt aber Normalverteilung annehme die Varianz ist gegeben wenn es die gesamte Normalverteilung spezifiziert dann kann ich diese Wahrscheinlichkeit die ausrechnen und das ist die Wahrscheinlichkeit dass ich mich dann falsch entscheidet also handelt ja hier richtig müs- kleiner gleich 0 ich entscheide mich aber für 1 und das ist dann die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art und davon gibt es nicht eine so gibt es ganz viele für jedes einzelne klar gleich 0 blitzen andere Fehlerwahrscheinlichkeit 1. 8 entsprechend Wahrscheinlichkeiten 2. Art Ich habe ziehen ließ man viel größer 0 bereichen die gleiche Wahrscheinlichkeit von der Schreibweise ja ich mache bei dieser Stadt Wahrscheinlichkeit nach unten den Index Erwartungswert von X 1 gleiche Mühe um anzudeuten ich Bereichen diese Wahrscheinlichkeit wobei ich gleichzeitig annehmen dass der Wartungs- der gleichen ist das eine Nebenbedingungen eine die Verteilung gut damit kann ich im Prinzip männlichen Test konkret vorgehen kann ich diese Fehlerwahrscheinlichkeiten ausrechnen und was ich jetzt an ich gerne hätte ich hätte gern einen statistischen Test bei dem sowohl die Wahrscheinlichkeiten 1. Art als auch die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art kleiner als bei allen anderen Test sind beziehungsweise kleiner oder gleich als Verein an und ist also der Test soll minimale Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. Art haben minimale Wahrscheinlichkeiten fiel aber wieder Wahrscheinlichkeiten 2. und das wir das was wir eigentlich 1 anstrebt passen eigentlich gerne hätte das Problem an der ganzen Geschichte das geht nicht Sie werden keine Tests finden der sowohl bezüglich entweder Wahrscheinlichkeiten 1. Art optimales als auch den Fehler rascher als auch mit als auch bezüglich entweder Wahrscheinlichkeiten 2. Art optimales warum ich behaupte es ist ganz einfach dass sie einen Test konstruieren bei dem die Wahrscheinlichkeiten 1. Art alle gleich 0 sind haben den Vorschlag also noch zurück 1. aber sie Fehler 1. Art will dort
heißt es gilt ja 0 wir entscheiden uns aber für 1 konstruiert einen Test und so was nicht
vorkommt also wie verhindern Sie dass es niemals fälschlicherweise für einen entscheiden hier haben man mehr sie wegen des Vereins so weit weg dass es ich in Frage kommt 1. 1 Jahr vorgegeben das scheint ist vorgegeben aber den einen Test können Sie was drehen das sei ein sehr zum Beispiel also 0 zum Beispiel vollen war Erwartungswert ist alle gleichen H 1 ist Erwartungswert größer als sie angegeben eine Stichprobe für von einer Normalverteilung und sie wollen jetzt den Test so machen dass sie nie einen Fehler machen man sich für einzuschalten die machen sie so was das der Wartungs- wird immer kleiner gleich 0 ist sie entscheiden sich eben immer für Erwartungswert kleiner gleich 0 Sie entscheiden sich immer für andere sie ignorieren einfach 1 kommt komplett wenn sich immer für andere entscheiden dann scheiden sich nie fälschlicherweise für 1 wozu brauchen Sie dann 1 Jahr der Test ist nicht sinnvoll natürlich der Test der Test ignorierte die ganzen Daten dann aber wenn Sie sich nur den einen die Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. Art angucken die können Sie auf 0 runter drücken gleichzeitig die natürlich die Fehlerwahrscheinlichkeiten 2. Art auf ein zu hoch weil immer wenn H 1 richtig ist haben sich ja trotzdem mal für ein Unentschieden der die Fehler sind immer da sicher und die Fehler kriegen auch nicht aus wir haben keine Chance Fehler zu bekommen sie bekommen Daten die und dem Einfluss des Zufalls entstanden sind da haben Sie den Datenfehlern drin die bekommen Sie nicht hundertprozentig los wir wollen sie nur kontrollieren wir können jetzt einen dieser Fehler Wahrscheinlichkeiten zum Beispiel 1. Art auf 0 unterdrücken genauso können wir die Wahrscheinlichkeiten 2. Art auf dem unterdrücken indem wir uns eben immer für Handel entscheiden entscheiden wir uns nie fälschliche fälschlicherweise für 1 ach nee Entschuldigung wenn wir zurück also ja ja mehr man Summe
zurück also jetzt ich den Fehler 2. Art ausschließen das heißt ich mir eine vermeiden dass man H 1 geht dass ich nicht für Handel entscheidet dann entscheide mich einfach immer für einen ich ich entscheide mich immer für 1 jetzt habe ich ich entscheide mich immer für 1 wenn ich immer für 1 entscheidet entscheide ich mich nicht schere fälschlicherweise für einen also auch diesen
Fehler bekomme ich auf 0 und dann sehen Sie ja wenn ich jetzt einen Test haben will der sowohl bezüglich dem Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. Art als auch den Wahrscheinlichkeiten 2. Art besser ist als jeder andere Test mehr müssen die Wahrscheinlichkeiten 1. Art alle 0 sein Fehlerwahrscheinlichkeiten 2. Art allen sein was wird im Allgemeinen nicht existieren das heißt das schaffen wir nicht und dann ist dieses Ziel nicht erreichbar und jetzt kommt der eigentliche Traum der trägt wie trotzdem noch ein sinnvollen und oder für und sinnvollen optimalen Test konstruieren können wir fangen an mit einer Art die metrischen Betrachtungsweise bis jetzt habe ich immer gesagt die nun über These ist genauso viel wert wie alt native lese ich es gibt ein ich kein Unterschied zwischen bis jetzt
zwischen H 0 und H 1 mal zurück
gehen wir haben 2 Hypothesen handeln H 1 H 0 ist Erwartungswert ist leider 0 kleiner gleich 0 H 1 ist der aber Erwartungswert des großen 0 ich ganz genauso gut umdrehen ich könnte sagen H 0 ist Erwartungswert größer 0 und H 1 ist Erwartungswert kleiner gleichen wurde nicht ausmachen bis jetzt aber jetzt machen Sie was anderes jetzt machen
wir eine sogenannte Art die metrische
Betrachtungsweise wir betrachten diese Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art als verschiedene schwimmen wir geben jetzt eine Schranke für die WM Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art vor üblicherweise so was wie höchstens 5 Prozent der Fälle machen wir einen Fehler wenn man 0 richtig ist also die Wahrscheinlichkeiten 1. Art sind alle kleiner gleich 5 Prozent wir verwenden dann einen Test der diese Schranke erfüllt der bezüglich allen anderen Tests die diese Schranke erfüllen hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeiten 2. Art optimales das heißt unter allen Tests die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art bei den die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. diese Schranke erfüllen soll die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art so klein wie möglich sein und der Clou ist mir kein Netz mathematisch zeigen machen die hier nicht solche Test existieren also es in dem Sinne keinen optimalen Test konstruieren aber eben nicht in dem Sinne dass die wenn Wahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art gleichzeitig minimiert werden Fragen dazu ja hätte ich eine Frage welche Konsequenzen hat es für die Anwendung wenn Sie überlegen den eigenen Fehler kontrollieren der wird immer klein sein über den zweiten Fehler wissen Sie nicht so arg viele der kann unter Umständen auch sehr groß sein wie sollen oder welche Konsequenz hat es für die Wahl der Hypothesen also was sehen Sie als nur über diese was wenn Sie als alternativ über wenn zu asymmetrisch gemacht hat auch als nur über diese nehmen sie die von der sie ausgehen dass sie richtig ist war ein verschließt entscheidend für 1 kommt nur selten vor und aber wenn sich dann für eine 0 also von wo sie schon wissen dass sie richtiges haben sie schon wissen was richtig ist Frauen sie kann das werde oder Sie nehmen an dass es richtig ist man soll denn der Test letztenendes bringen soll zeigen dass es falsch ist oder weil das kann natürlich sein ich meine wer siegt also wenn sich das angucken was hat das für Konsequenzen wenn sich für 1 entscheiden dann können sie einigermaßen sicher sein dass diese Entscheidung nicht falsch ist weil da haben Sie eine Fehlerwahrscheinlichkeit kontrolliert wenn sich aber nicht für eines entscheiden man spricht dann jetzt nicht mehr von einem für 0 entscheiden so nicht für eines entscheiden dann haben Sie diese Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art einig nicht mehr kontrolliert wenn Sie jetzt davon ausgehen dass er nur richtig ist dann sollte ein 1 Test am Fluss Handel auskommen da haben Sie aber eine nichts gezeigt sie aber nicht gezeigt dass ein richtig ist ja mein Vorschlag ok es kommt ja noch mal der
Vorschlag von gerade eben mit den konkreten Hypothesen sagen die einen über diese bis
ein bisschen mehr als die andere diese es ist richtig was einer mehr mehr ist ich meine ein werden mehr als unendliches auch genau so unendlich wie an der weniger als ein bisschen neben was normalerweise machen ist wenn sie jetzt treffen und der entscheidet sich für 1 dann können sie einigermaßen sicher sein die Entscheidung ist richtig wenn sich für eine entscheidet bei die Fehlerwahrscheinlichkeit kommt und sie kontrolliert wer sich ja entscheidet können Sie alles nicht so richtig aus dem Ergebnis ausziehen also Sie machen es normalerweise so dass das was sie eigentlich mit dem ganzen Versuch zeigen wollten was sie statistisch sichern wollen das kommt in die alternativ über diesen was kommt in rein also wenn Sie jetzt neues Medikament zur Behandlung von Schizophrenie auf dem Markt bringen das besser sein soll als das herkömmliche Medikament dann würden Sie dieses besser in die besser sein der die alternativ über diesen und das wollen sie dann auf eines Versuchs zeigen und sie haben neue Lernmethode oder in der Didaktik die soll besser sein als das was bisher ist dann machen Sie dieses diese in die alternativ über diese hoffen sie für ihren Test durch und wenn sie am Schluss Pech haben konnte man aus und die ganze Arbeit war umsonst passen unser nicht viel gesehen
okay also eine Konsequenz bezüglich dieser
asymmetrischen Betrachtungsweise ist er statistisch zu sichernde kommt in die alternativ diesen die Offenheit zieht der Test werden wir in dieser Vorlesung nicht beweisen aber die Schranke für die 4 Wahrscheinlichkeiten 1. Art die formale Sie welchen der folgenden Definition ein Test wie heißt es zum Niveau alter allenfalls eine Zahl zwischen 0 und 1 die vorgegeben ist meistens immer so was wie ein Vergleich 5 Prozent oder als Vergleich 1 Prozent wenn alle Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. Art von Vieh kleiner oder gleich als da sind also Tests zum Niveau alter ist ein Pelz der dessen Bilder Wahrscheinlichkeiten 1. Art kleiner oder gleich als da sind einige
Anmerkungen 1. beim Testen Niveau alt war kontrollieren wir nur die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Fehlern 1. Art wie groß die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von denen 2. Art ist hängt mein optimalen testen Niveau alt war in der Regel von der Stichprobengröße ab und wird meist nicht weiter kontrolliert und die konsequente sehen drauf dass das statistisch zu sichernde in die gegenüber diese stecken eine wiederholte Durchführung eines Tests zum Niveau Alfa größer 0 mit unabhängigen erzeugten Daten für die gleiche Fragestellungen dort auch falls H 1 gilt nach der Tester jedes Mal mit Wahrscheinlichkeit als oder es nur bis zur Wahrscheinlichkeit einfach ein Fehler wenn es immer wieder unbeeinflusst wiederholen kommt und man H 1 1 raus also und wandern sie Handel ablegen und das ist daher nicht zulässig das sogenannte das Problem dass sie der ihren 1. Sie können nicht den Datensatz nehmen und immer wieder Tests drauf an den bis das gewünschte auskommt also wir sind können Sie sagen ja ich machen in den Datensatz und ich sage hier der gleiche feste wiederholt aber sie können auch alternativ sagen ich nehme immer wieder andere Test ich habe verschiedene Tests ich rufe alle möglichen Hypothesen mit einem Akt mit verschiedenen Tests zum Niveau als war und eine wurden für schon zu treffen das ist aber nicht zulässig und dann gibt es noch ein schönen Begriff aus der Praxis der sogenannte P wert das ist irgendwie schwer zu verstehen aber ich erläutere sind aus dem was einig die meisten Leute geben die Werte bei Tests an in der Praxis geht nur häufig das minimale Niveau an dass beim vorliegenden Datensatz in einem festen Test zur Ablehnung von Handel führt mehr also Sie können es auch so betrachten ich geht das Niveau vor dieses alternativ diese Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit Startgewicht Gewicht vor dann war ich das dann war er der Test dann überlege ich mir wie klein kann ich das Alter werden so dass der Test gerade noch 0 ablehnt und dann gucke ich an wie groß diese Zahl und ist eine sogenannte P währt meist sind so was wie ein und 10 Tausend 100 Tausend oder sonst was sein und die landläufige Deutung der des ist die Wahrscheinlichkeit für die Gültigkeit von anderen aber das ist falsch eine Wahrscheinlichkeit für die Gültigkeit von nur 0 gibt es nicht die Hypothesen haben keine Wahrscheinlichkeit mit der sie gelten die über diesen entweder richtig oder falsch da gibt es keine Wahrscheinlichkeiten zu und das Ding diesen künstlich von früher verwehrt im Prinzip können Sie sagen ja wenn das hier kleiner wenn der PDA klar gleich alt ist dann würde ein Test zum Niveau Eifer ebenso Ablehnung von Handel das wär die Bedeutung des das gut haben die Fragen so weit fragen dann habe ich eine fiese Frage gebe ich zu aber einig ganz hübsch sie können
aber völlig überprüfen ob sie verstanden haben was ein was ein Test sein Gewissen Niveau ist ich habe hier 2 Prothesen vorgegeben also ich eben eine Stichprobe einer die einst die Verteilung das ist in jungen Jahren Verteilung mit einem Freiheitsgrad Unwahrscheinlichkeit geht das heißt der MdE Zufallsvariablen dienen die Werte 1 und 0 1 1 mit Wahrscheinlichkeit B nur mit Wahrscheinlichkeit 1 Umfang 10 ich möcht mich entscheiden zwischen 2 über diesen H 0 diese Wahrscheinlichkeit ist 0 comma decimal 5 H 1 diese Wahrscheinlichkeit ist 0 comma decimal 8 ich gebe Ihnen einen konkreten erst vor entscheidet sich für H 1 wenn die Summe der X sie als die Anzahl der einzeln bei diesen 10 Zahlen größer gleich 9 ist ansonsten entscheide sich für eine 0 und die Frage ist also an den Test gegeben sie ich habe die Verteilung spezifiziert die Verteilung des eindeutig festgelegt wenn sie die 0 über diese auswählen oder alternativ über diese auswählen und die Frage ist ist das ein Test zum Niveau Eifer ein Vergleich 5 Prozent das sollen Sie ausrechnen das heißt was sie machen müssen Sie müssen sich überlegen wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art hier bei diesem Fest also was der Wahrscheinlichkeit für das wenn sie die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art ausrechnen wollen wie groß ist die konkret und dann die Zahl mit 5 Prozent vergleichen ich gebe in 5 Minuten dafür und Gespräch das gemeinsam ok haben Sie Vorschläge was Wahrscheinlichkeit müssen Sie berechnen um zu entscheiden was ist ganz im Test ob der ganzen Test zum Niveau alter ist das also was es in den Beispielen die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art Vorschläge beziehungsweise 1 einfach daran was war ein Fehler 1. Art das ihren Fehler 1. Art sie haben wollen mehr ok wenn wir uns für 1 P gleich 0 comma decimal 8 entscheiden obwohl es H 0 P gleich 0 comma decimal 5 ist also wir wissen schon mal es ist H 0 P gleich 0 comma decimal 5 als Realisierungen von was wir Zufallsvariablen fassen wir diese klein X 1 bis 3 x N in diesem Fall auf den H 0 richtig ist für die Wahrscheinlichkeiten fassen wir unsere Stichprobe als Realisierung von Zufallsvariablen auf was für eine Verteilung haben diese Zufallsvariablen wenn H 0 richtig ist B 1 0 comma decimal 5 verteilt richtig bisher B 1 Verteilung mit P gleich 0 comma decimal 5 das heißt Sie müssen jetzt unabhängig identisch B 1 0 comma decimal 5 verteilte Zufallsvariablen neben groß X 1 bis Grosics in setzen dient wie ein und gucken dann an wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dass 1 rauskommt ja sie müssen Wahrscheinlichkeit ausreichendes 1 raus kommt jetzt die Frage wie können Sie diese Wahrscheinlichkeiten schreiben oder was ist das für Wahrscheinlichkeit also wahrscheinlich als Wahrscheinlichkeit hin wenn der zweite Punkt ist die rechne ich diese Wahrscheinlichkeit aus Vorschläge was die Wahrscheinlichkeit die uns interessiert mehr ignorieren Sie mal was ist wie ist trügen diesmal nur mit den 4 aus wenn es nur mit dem Vieh ausdrücken wie sie denn die Wahrscheinlichkeit aus also wenn ich nur jammere definiert ist wie Sie jetzt hier die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art aus noch mal was müssen Sie hinschreiben hinschreiben müssen Sie die Wahrscheinlichkeit das 1 raus bei vielen wenn der Barbara mit der vielleicht 0 comma decimal 5 ist das heißt schreiben tun sie einfach das vielleicht mit einer Tafel wer sich schreiben die Wahrscheinlichkeit in das vielleicht 1 ist das heißt Sie schreiben P eckige Klammern schreiben so ein dieser gleich 1 sein sie nehmen wie sie selbst Zufallsvariablen 1 das ganze soll 1 sein und Sie machen noch als Nebenbedingungen gehen wie groß soll klein P seines nochmal da unten gleich einmal und jetzt können Sie die Definition von dem Vieh einsetzen wann es die gleich 1 Jahr ist gleich 1 wenn die Summe der XD größer gleich 0 9 ist das heißt Sie sehen diese Wahrscheinlichkeit ich schreibe das P nochmal ab Kleinbild Leichenhalle das heißt die Summe der sie somit vielleicht 1 bis N X E soll größer gleich 9 sein und dann sollen wir diese Wahrscheinlichkeit ausrechnen wobei die X 1 bis 6 in sind unabhängig B 1 Einhalt verteilt also ich habe die Verteilung von diese diesen Text wie eine spezifiziert und dabei identisch P 1 einhalb verteilt damit die Verteilung von der Summe auch fest dann kann ich dann wird diese ganze Wahrscheinlichkeit feste nicht zahlen wir dafür fragen so weit er erreichten sie das dann ok machen Mindima setzen der wieder auf die Umwelt im
Chat muss diese unabhängige identisch P 1 P vertreiben Zufallsvariablen jetzt haben sie ihr Wissen aus der Vorlesung sie sollten wissen die Summe ist ein BNP verteilt also wenn sie wenn Sie diese Binomialverteilung das waren er bekommen Sie als Summe von solchen unabhängigen B 1 verteilten Zufallsvariablen wenn sie entsteht aufaddieren damit kann die Verteilung von der Summe die Wahrscheinlichkeit ist dann das hier ja ich weiß ich kenne die Verteilung von denen ich schreibe das noch um größer gleich 9 ist in den aber scheint der wird ist gleich 9 war gleich 10 andere werde komme nicht vor ich kenne jetzt die Verteilung hier ja wo kommen andere werde nicht vorbei denn P oder war jetzt nur ein einziger wird vorkommt ja meine Meinung über diese 9
1 in werden halten wird an war so dass die gleich 0 comma decimal 5 ist also Handel war hier nicht geht leider gleich 0 comma decimal 5 und A 1 Wer P größer als 0 comma decimal 5 soll es war diesmal wirklich H 0 gleich P 0 comma decimal 5 1 1 RP gleich 0 comma decimal 8 natürlich keine realistische Test Praxisbeispiel da würden Sie also in kleine gleichgroße gleichmachen aber ich wollt einfacher machen und dieses Niveau ausrechnen zu können deswegen kommt hier nur ein einzelner wird vor also in unter der über diese ist hier die Verteilung eindeutig spezifiziert eindeutig festgelegt okay
also es kommen einzelner wir vor wir wissen dass es mir B zehneinhalb Verteilung sie können erzählt der von B 10 einhalb Verteilung kennen in der Klausur wurde sehen vorgeben die BNP Verteilung in den Wert K 1 mit Wahrscheinlichkeit n über k Marquee PUK 1 1 P 1 K 4 K zwischen 0 und n ersetzen in gleich 10 P gleich 0 comma decimal 5 1 Sie kommen auf diese Ausdrücke sie rechnen das aus sie kommen auf ungefähr 0 comma decimal 0 1 das heißt der Test ist ein Test zum Niveau einfach in der Tat fragen 0 comma decimal 0 0 0 1 ja das war die Definition von den Begriff des Tests zum Niveau alter der hieß die Feder Wahrscheinlichkeiten 1. Art die haben sich ausgerechnet es gibt nur eine einzige soll kleiner gleich als er sein wenn diese Zahlen 0 comma decimal 0 1 ist kleiner als dieses 0 comma decimal 0 5 okay das Alter ist die Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit dieser vorgegeben haben dann den man in der 1. Theorie traditionell immer die Bezeichnung Eifer werden Sie es noch
mal aber ich setzen auf die auf die ungarische brauchen Sie nicht abschalten beziehungsweise ich kann sie leider nicht lang genug lassen ist eine Vorlesung weitermachen gut
comma zum sogenannten einseitigen aus Test für eine Stichprobe Fragestellungen gegeben sind Realisierung des Clients 1 bis 3 x N von unabhängigen identisch endlich sieht aber sieht man nur Badral verteilten Zufallsvariablen das heißt unabhängig identisch Normalverteilung Zufallsvariablen Erwartungswert ist Mühe Variante sieht man nur zum Quadrat wobei diese Mühe unbekannt ist das sieht man Quadrat ist bekannt und gegeben beim einseitigen aus fest für eine Stichprobe ist dass wir weitere Zahlen mit 0 aus er und wir möchten zugegeben Niveau als war Zahl zwischen 0 und 1 und zwar ich zwischen 0 1 üblicherweise über diesen H 0 Erwartungswert ist kleiner gleich 0 0 wäre sah einst Erwartungswert ist größer als 0 testen bei sind Test Problem freuen hatten wir Mühe 0 gleich 0 gesetzt aber das wird hier mit allgemeinen Schranke Erwartungswert formuliert Berlin wir haben wir haben nur noch 1 hat gegolten haben ausgerechnet auf einen Test zum Niveau also ist oder nicht ich habe den Test vorgegeben und wollte entscheiden macht diese Test eine Fehler ein Fehler 1. der Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 5 Prozent Ja oder nein ob jetzt H 0 oder 1 raus kommt hängt von der konkreten Stichprobe ab die sie einstecken ist okay gut das dass der dabei dem einseitigen aus fest und ich möchte jetzt eine Entscheidungs- Vorschrift finden um nicht zwischen H 0 und 1 zu entscheiden die Idee ist die folgende dieses Mühe und das hier geht es ja der Erwartungswert ich nehme es im 1. Schritt meine Stichprobe und Schätze dieses Erwartungswert durch Stichproben Mittel dann habe ich mich scherzhaftes Erwartungswert und dann sage ich wenn dieser Schätzer klein dann geht sind dann entscheiden sich eher für H 0 wenn der Schätze großes entscheide ich mich für einen ist und dann ist die Frage wo ist die Grenze abbrechen wird entscheide ich mich für a 0 welchen wird entscheide ich mich für H 1 im Prinzip könnt ich sagen ja ich vergleiche mit Mühe 0 wenn meine geschätzter wird leider gleich 0 0 es entscheide ich mich für H 0 immer geschätzter wird kleiner gleich großer gleich uns als nur das entscheiden sich für 1 aber da die Schätzung mit Fehlern verbunden ist ist es nicht unbedingt sinnvoll und ich möchte auch vor allem diese Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art kontrollieren deswegen bin ich ihren anderen werd' ich nehme normalerweise ein Wert der größer als 0 ist und wenn diese Schätzung größer als dieser werde solchen sagen ich entscheide mich für H 1 und wenn ich wenn die Schätzung kleiner gleich diesen wert ist der größer als 0 ist entscheide mich für H 0 diesen Wert ich so dass das Niveau Alfa vorliegt
okay wir betrachten das arithmetische Mittel der wie was ein einschätzt der Erwartungswert ist und der war das ja das also ist es naheliegend H 0 0 kleiner gleich 0 abzulehnen falls dieses arithmetische Mittel sehr viel größer als 0 ist und jetzt wollen wir das Niveau einhalten wir verwenden eine Sache die ich in der Vorlesung ich gezeigt habe könnt ich zeigen das bin ja Kombination unabhängige normalverteilt Zufallsvariablen selbst normalverteilt ist das heißt man kann sagen das Ding hier ist normalverteilt daraus kann man folgern wenn wir diese ganze Jahr Kombination hier betrachten die ist auch also auch das 1 Jahr Kombination von den XI ich bitte um diesen mittels sie was ab nur die Bezieher mit Wurzel Endteile des sieht man wolle sie können sich an den Militärs vom letzten Mal erinnern da haben wir genau so was gemacht ich habe dem arithmetischen Mittel von Zufallsvariablen gebildet den Erwartungswert abgezogen mit Wurzel multipliziert durch die Wurzel aus der Varianz geteilt und wir haben uns überlegt wie groß ist in dem Fall Erwartungswerten Varianz der Zufallsvariablen den Erwartungswert Invarianz waren 0 und 1 das heißt wenn wir gleich 0 ist ist der Erwartungswert hier gleich 0 und die Varianz gleich 1 da wir außerdem wissen das ganze Ding ist normalverteilt ist es dann Standard normalverteilt N 1 verteilt und jetzt nicht ab falls dieser wird eine gewisse kritische Schranke überschreitet und etwa und kann ich auch in schreiben stattdessen dieser Wert überschreitet eine andere Schranke und diese andere Schranke wirklich so dass es bei einer Normalverteilung Standard Normalverteilung nur mit Wahrscheinlichkeit einfach vorkommt für folgenden Test
einseitiger aus Test für eine Stichprobe gegeben sind die Realisierung von und dabei identisch Ende sieht man nur Quadrat verteilten Zufallsvariablen myös unbekannt sieht man über ist bekannt als war es gegeben mir 0 ist auch gegeben zu testen sei H 0 mög- leider gleich mit 0 versus Vereins viel größer als 0 wir lehnen H 0 ab weiß diese Test Kurse von gerade eben Wurzel allen durch die Streuung mal arithmetisches Mittel der XI minus 1 0 größer als ein wert ist dass ein sogenanntes fragt Thiel von normalverteilt Kleidung bezeichnen einfach verfolgt die Bezeichnung dem bezeichnen war der bei einer Standard Normalverteilung Zufallsvariable genau mit Wahrscheinlichkeit einfach überschritten wird das heißt Sie geben das Niveau vor dann können Sie mir Zahl ausrechnen aus nur Beispiele Tabelle für die Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung wurde Standard Normalverteilung ein Wert größer als diese Zahl genau mit Wahrscheinlichkeit Alter annimmt dann haben sie so alt war und dann setzen Sie da oben Test ein nehmen ihre Stichprobe bildende Stichproben sie will 0 ab wo die Tiere mit Wurzel allen und der gegebenen Steuerung und vergleichen ist es größer als uralt war ja Sie entscheiden sich für 1 wegen haben ab Nein den Handel nicht ab gut ich möchte es mal kurz begründen warum das unterste Niveau Alfa ist hier dazu gucken uns die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art an ich habe hier schon mal angefangen was den zu schreiben wir nehmen eine Zahl kleiner gleich 0 und an das sei der wahre Erwartungswert dann gilt die Nullhypothese bei ist kleiner gleich 0 ich gucke mir die Wahrscheinlichkeit an dass sich fälschlicherweise nicht für H 1 entscheidet also 0 ablehnen dann muss dieser Ausdruck größer also als sein und die Wahrscheinlichkeit möchte ich wenn mir Parameter ist aus ausrechnen wobei x 1 bis x n unabhängige N man Quadrat verteilte Zufallsvariablen sind ok und zeigen wirklich dieser wert ist aber das einfache das unterste Niveau einfach die schreibt bisschen um ich schreibe so um dass hier statt minus 1 0 minus eingestellt und dann kontrollierst korrigiere ich den Fehler den ich dabei noch nach also ich schreibe den ganzen aus doch mal ab mit minus Mü stabiles mir 0 was macht das und jetzt stimmt's wieder zerrissen Fehler gemacht weil ich als mir abgezogen habe statt mit 0 diesen Fehler korrigiere ich indem ich das was ich fälschlicherweise abgezogen hat wieder dazu addiere dabei beachtlich denn vor Faktor Wurzel allen durch man 0 der Fahrer Klammer noch steht das war und sie das noch ab was ich eigentlich abziehen musste ich mir 0 und das oder größer als so einfach sein und wenn sie eben diese ganzen Ausdrücke auf der linken Seite zusammenfassen konnte Ausdruck die oben aus fragen sollte fragen hat jemand verstanden also verstehen Sie warum ich diese Wahrscheinlichkeit angucken 1. Frage was hat diese Wahrscheinlichkeit mit dem Test von gerade eben so tun na ja ich mache nicht normal aus das ist genau die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art bei diesem Test ich gucke nur die Wahrscheinlichkeit an wenn ich diese kleine XI durch die Zufallsvariablen ersetzte das H 0 abgelehnt wird also H 1 rauskommt das ist dann die Wahrscheinlichkeit dass dieser Ausdruck größter also Alter ist man Mühe kleiner gleich mit 0 ist also ich gucke mir an aber entscheide ich mich für H 1 ich entscheide mich für 1 beziehungsweise gegen H 0 wenn diese Beziehung erfüllt setzt meine Zufallsvariablen ein rechten die Wahrscheinlichkeit davon aus unter der Nebenbedingung dass Handel richtig ist das heißt dass man klar gleich mit 0 ist jetzt klar oder was verstehen sie nicht das wird genau auf diese Wahrscheinlichkeit ist die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art bei dem Test und zwar eine der vielen und das mir variiert ihren ok noch mal fragen vielleicht frage ich nochmal hat jetzt wie man diesen
1. Schritt verstanden man diesen 1. Schritt nicht verstanden ja doch einige schon was genau haben Sie nicht verstanden alles Sie wissen was mit Fehlerwahrscheinlichkeit 1. 8. ja klar klar und es ist also Marina Aufgabe zu besprechen tatsächlich gar nichts er muss die Aufgabe auf der Klausur wird sein bedenken Sie schnell jedes Jahr die gleichen sein sollen wenn man die Klausur kann weil sie meinen wir die Klausur im Netz kann genau diese 5 Aufgaben dann bestehen sie auch die richtige Klausur der die Aufgaben und diese Aussage muss ich probieren will ich meine so geht natürlich nicht weil ich der nicht die gleiche Person noch mal ähnliche ja klar aber es kommt diesmal vom letztmalig nicht so diesmal noch meine Frage zum statistischen Test das kommt dann noch eine Übung klar nächste Woche eine Übung bis auf diese Woche eine Übung schon ein bisschen trennen wenn man dem einseitigen genial Test aber nur ganz kurz kommt nächste Woche noch mal die Übung kein Problem nein das ist nicht ihr Leiden von dieser Formel sollen ich habe ihn hier ein Test vorgegeben und ich möchte begründen dieser Test hat Niveau als es zum Niveau alter heißt die Fehlerwahrscheinlichkeit erst Datenkanal gleich einfach also schreibe ich mir die Wahrscheinlichkeiten 1. aber diesen Test in und das da ist mir Fehlerwahrscheinlichkeit erst ab bei diesem Fest das 1. was sie sehen müssen weil hier steht diese Bedingungen mit den Zufallsvariablen die bedeutet ich entscheide mich für 1 Lehrer nun ab und da Mühe kleiner gleich mit 0 ist bei dieser Wahrscheinlichkeit ist das falsch und es handele sich hier um ein Fehler 1. Art diese Wahrscheinlichkeit möcht ich darum abschätzen ich möchte zeigen diese Wahrscheinlichkeit ist recht einfach ok jetzt oder gut was ich dann mache ich nehme diesen Ausdruck hier und schreit in so um also ich habe ich statt wie 0 mir abgezogen dafür habe ich zum Ausgleich das ganze wieder dazu addiert wenn es aus multiplizieren hier steht aber es n durch man 0 mal dieses genetischen Mittel dann nie das Wurzelende sieht man in Malmö 1 plus Wurzel einmal sieht man 0 Malmö fällt weg mir das Wurzelende sieht man in Malmö 0 das ist genau das was rauskommt wenn Sie da oben aus multiplizieren das ist der gleiche Ausdruck und jetzt kommt der eigentliche Zweck von den ganzen Dinge wissen wir diese Zufallsvariablen X E 10 unabhängige identisch verteilt Erwartungswert Mühe Varianz sieht man im Quadrat dann wissen Sie aus dem letzten Mini-Test das ganze Ding hat ebenfalls Erwartungswert Art Erwartungswert 0 Varianz 1 und ich habe ihm gesagt die im Jahr Kombination von unabhängigen normalverteilt Zufallsvariablen sind normalverteilt das heißt das ganze Ding ist weiter normalverteilt also muss es der in 1 Tagen sein das heißt der Ausdruck der hier steht ist Standard normalverteilt dann gibt es ein 2. Ausdruck der steht hier weil kleiner gleich als 0 ist minus mit 0 ist er bei mir klar gleich 0 ist ist minus 1 0 negativ also kleiner gleich 0 ist der ganze Ausdruck der kleiner gleich 0 dann sehen Sie die Wahrscheinlichkeit ist kleiner gleich der Wahrscheinlichkeit wenn nicht ja ich lasse diesen Ausdruck leider gleich 0 weg und es soll immer noch größer als einfach sein das kommt häufiger vor also klar gleich als Wurzelende sieht man 0 mal 1 durch n die gleich 1 bis N X E wenn ich mir größer als war und nach Wahl von war ist die Wahrscheinlichkeit dass eine Standard normalverteilt Zufallsvariablen größer also alt war es genau gleich alt war und dann sehen Sie in der Tat diese Wahrscheinlichkeit hier ist kleiner gleich alt war und sie ist für Mühe gleich mit 0 fällt dieser Term komplett weg sogar genau gleich einfach haben Sie dazu fragen sie haben einen Test mit dieser Entscheidung Vorschrift und ich habe ihn gerade vorgerechnet die Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. Art sind alle kleine gleich alt war das heißt in der Tat dieser Test ist ein Test zum Niveau als vor außerdem hatte der die Eigenschaft für gleich mit 0 ist die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. hat sogar genau gleich alt war alle diese Schranke für die Wähler Wahrscheinlichkeiten 1. Art wird sogar voll ausgeschöpft wird voll erreicht fragen dann
kann man auch zur Anwendung von dem ganzen Anwendungen Beispiele zur Einschätzung der Leistungsfähigkeit wir die Ihnen gleich 15 Kandidaten Klausur mit 17 Aufgaben wir haben die Differenzen gebildet liegt die tatsächliche Anzahl gelöste Aufgaben in das geschätzte Anzahl gelöste Aufgaben der hatten beobachtet arithmetisches Mittel bei 6 comma decimal 4 empirische Varianz war ein 60 comma decimal 7 wir wollen jetzt einseitigen aus ist an den dazu muss die Varianz kann sein ich gehe vereinfachend davon aus die wir in der nächsten Stunde noch genau analysieren hier mal vereinfachend dass die Varianz durch die empirische Varianz gegeben ist das heißt diese Schätzung müssen war die Ware Varianz und führe dann unter dieser Bedingung einen einseitigen daraus des für H 0 kleiner gleich 0 ist H 1 viel größer 0 zu Niveau ein gleich 5 Prozent durch haben Sie Vorschlag was man dazu machen muss was müssen Sie jetzt machen wenn Sie zu diesen Daten einseitigen graust das zum Niveau einfach durchführen 9 bitte sie sehen die Formeln setzen die eine vorragend wir genau das müssen Sie machen Sie
haben ja die Formel und müssen die ganzen Werte eingeben gegeben haben 7 0 bis 1 0 gegeben haben Sie es arithmetischen Mittel das waren diese 6 comma decimal 4 gegeben haben Sie n paar 15 gegeben haben Sie sich mal 0 das war die Wurzel aus dem irischen Streuung also 1 60 comma decimal 7 Sie brauchen noch das uralt war das heißt sie brauchen die Zahl und zwar als waren wir als Niveau gegeben als 5 Prozent die von einer Standard Normalverteilung Zufallsvariable nur mit Wahrscheinlichkeit 5
Prozent überschritten wird die können sie aus mehr Tabelle ferner Verteilungsfunktion der standen Normalverteilung abbrechen ausrichten kommen sie auf 1 comma decimal 6 4 also wenn sich überlegen vielleicht auch noch als Hinweis für die Übung der werden Sie auch so was man machen dürfen aber Sie haben seine schon mal gemacht sie haben hier die Dichte von der Standard Normalverteilung sie suchen einen Wert uralt war so dass die Standard Normalverteilung Eigenwert der größer ist genau mit Wahrscheinlichkeit als er einnimmt können Sie jetzt als Flächeninhalt deuten Sie können sagen geeigneter Flächeninhalt soll gleich ein Fall sein meine Frage an Sie welche der Film der Flächeninhalt rechts davon so einfach sein das heißt dass da der die dieser Flächeninhalt geht in der gerade die Wahrscheinlichkeit an dass die rendert normalverteilt Zufallsvariable Eigenwert größer also als wenn das aber wissen dann können Sie mir auch sagen wie groß der wert der restlichen vielleicht ist 1 wie einfacher und eines will und der wer der restlichen Fläche der Wärter Verteilungsfunktion an der Stelle wo Eifer die Verteilungsfunktion darstellen aber gerade die Wahrscheinlichkeit an dass die Zufallsvariable Eigenwert kleiner gleich dieser Stelle an das heißt ich gebe Ihnen einfach vor in dem Fall als 5 Prozent dann der 1 minus 1 von 0 comma decimal 9 5 dann suchen Sie in der Tabelle von der Standard Normalverteilung denjenigen wert wo 0 comma decimal 9 5 rauskommt und da kommen Sie auf ungefähr 1 comma decimal 6 4 okay ja setzen Sie ein diese Testkäufe die uns
interessiert das Wurzelende richtig 0 aber mit ist mit der Exynos mit 0 das ist vor 12 15 durch Watzl 61 comma decimal 7 x 6 comma decimal 4 minus 0 wir kommen auf 3 comma decimal 1 6 wir vergleichen 3 comma decimal 1 6 mit dem 0 comma decimal 0 5 bis 1 comma decimal 6 4 wir sehen 3 comma decimal 1 6 ist größer als die 1 comma decimal 6 4 und können damit H 0 zum Niveau ein Vergleich 5 Prozent ablehnen es wäre die Frage was heißt das was bedeutet das konkret für die Anwendung also wir haben jetzt auch unser Test wenn es um die wo ein fades H 0 ab H 0 steht
hier kleiner gleich 0 wird abgelehnt H 1 mit größer 0 wird angenommen was heißt das praktisch ich soll meine vorige vor oder zurück
vormachen ja hier stand auch schon das so trat der Texte eines Kandidaten schätzen die eigene Leistungsfähigkeit er zu schlecht ein weil wir hatten ja die tatsächliche Anzahl minus da die ja geschätzten Anzahl und wir sagen H 0 0 klar also dieses die das dir der Erwartungswert davon kleiner gleich 0 ist das ist falsch das heißt Erwartungswert davon ist größer als 0 ist als die tatsächliche Anzahl minus geschätzte Anzahl gelöste Aufgaben ist im Mittel größer als 0 das heißt sie haben zu wenige als richtig gelöst geschätzt ok haben Sie noch Fragen warum wir 6 comma decimal 4 minus 0 rechnen haben einfach nur eingesetzt wenn war das warum 7 nur gleich 0 setzen oder oh nein es nicht immer 0
sondern das hängt muss mal zurückblättern bei
dem der einseitige Gauß des ist für Grundthesen H 0 Müll kleiner gleich mit 0 1 viel größer als hier in dem Beispiel testen wir H 0 kleiner gleich 0 und H 1 Mühe größer als 0 also ist mir nur gleich 0 in unser Beispiel also müssen wir unser Test Größe 0 einsetzen okay habe
meine Frage mehr ein kann man jetzt ermitteln wie viel zu schlecht ja im Prinzip Sie haben Sie haben ja Sie haben schon schätzt eine nämlich die 6 comma decimal 4 1 period Schätzung also gesagt der Ermittler haben sich um 6 comma decimal 4 Aufgaben daneben geschätzte 6 comma decimal 4 1 aber nur diese Schätzung ist mit WLAN versehene jetzt die Frage wie groß ist der Fehler von dieser Schätzung da machen sie im Prinzip werden sie in den Übungen noch sogenannte Bereich Schätzungen kurz ein Beispiel für Einschätzung damit können Sie Konfidenzintervall die angeben also könnten dann er sie könnten sagen statt diese Zahl durch einen Punkt so schätzen schätzt die Zahl durch ein ganzes Intervall wurde Wert mit großer Wahrscheinlichkeit diese 3 comma decimal 1 6 ist der Werte Test Größe bedeutet gar nichts für sie ist nur wenn wir unsere Zahlenwerte in diesem Test einsetzt kommt 3 comma decimal 1 6 raus sie können es jetzt umrechnen P Wert als nächstes sie können mich fragen okay also jeder der was wie wie klein können Sie einfach sehen dass dieses einfach die noch kleiner als 3 comma decimal 1 6. und das können Sie also wie weit können Sie hier bei dieser Zeichnung nach rechts gehen dass die Fläche rechts davon ich würde anders ausdrücken ich würde so sagen ich hätte die 3 comma decimal 1 6 ich gehe jetzt eine Stelle 3 comma decimal 1 6 wie groß ist denn die Fläche rechts davon das wird plädiert in dem Beispiel ist aber anschaulich auch nicht richtig zu interpretieren also ich würde sagen diese 3 comma decimal 1 6 bedeutet nichts für mich noch Fragen ja dann komme
Zusammenfassung 1. ein statistischer Tests ist eine Entscheidung Vorschrift zwischen 2 Hypothesen 0 wird diese und alternativ
über diese 2. beim Testen Niveau als war ist die Wahrscheinlichkeit dass sich der Test bei Vorliegen der nun über diese für die alternativ über diese entscheidet immer kleiner oder gleich alt war bei einem optimalen teste Niveau als war ist gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit für die fälschliche Entscheidung für die nur über diese so klein wie möglich und
drittens beim einseitigen Gauß Test liegt eine Stichprobe eine Normalverteilung mit unbekannten Erwartungswert Mühe unbekannter Varianz vor die über diesen klare gleich mit 0 wird abgelehnt sofern das arithmetische Mittel der Beobachtungen groß ist dabei wird die Schranke für die Ablehnung so gewählt dass für gleiche 0 ein Überschreiten der Schranke genau mit Wahrscheinlichkeit Alter auftritt ok danke ich für heute fertig und wir sehen uns dann
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