5.4 Statistische Testverfahren II und Gauß-Test

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5.4 Statistische Testverfahren II und Gauß-Test
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14
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Identifiers
Publisher
Release Date
2009
Language
German

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Subject Area
Abstract
Die Vorlesung Statistik I für Human- und Sozialwissenschaftler gehört zum Pflichtprogramm des ersten Semesters in den Studiengängen Psychologie und Pädagogik an der TU Darmstadt. Sie stimmt inhaltlich weitgehend mit der dieses Semester vom gleichen Dozenten abgehaltenen Vorlesung Mathematik und Statistik für Biologen überein. In ihr wird eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik gegeben, wobei der Schwerpunkt auf einer leicht verständlichen Präsentation der grundlegenden Ideen in diesem Bereich liegt.
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Statistics Sample (statistics) Zweistichprobenproblem
Probability distribution Series (mathematics) Realisierung <Mathematik> Durchschnitt <Mengenlehre> Direction (geometry) Ende <Graphentheorie> Propositional formula Student's t-test Mittelungsverfahren Scattering Number Hand fan Hypothesis Expected value Arithmetic mean Sample (statistics) Integer Sample (statistics) Einseitiger Test Random variable
Probability distribution Direction (geometry) Direction (geometry) Normal distribution Variance Total S.A. Student's t-test Variance Physical quantity Expected value Expected value Sample (statistics) Summation Sample (statistics) Random variable
Zahl Direction (geometry) Ende <Graphentheorie> Propositional formula Parameter (computer programming) Scattering Number Hypothesis Expected value Estimator Forest Summation Sample (statistics) Absolute value Random variable Realisierung <Mathematik> Höhe Normal distribution Variance Square Mittelungsverfahren Arithmetic mean Estimator Index Ecke Factorization
Cumulative distribution function Area Surface Normal distribution Variance Propositional formula Square Variance Expected value Estimator Expected value Population density Symmetry (physics) Estimator Zusammenhang <Mathematik> Unabhängige Zufallsvariable Summation Sample (statistics) Absolute value Random variable Factorization Normal distribution Random variable
Cumulative distribution function Normal distribution Variance Square Scattering Variance Expected value Estimator Average Physical quantity Estimation Sample (statistics) Table (information) Factorization
Statistical hypothesis testing Arithmetic mean Student's t-test Number
Cumulative distribution function Link (knot theory) Normal distribution Variance Square Mittelungsverfahren Variable (mathematics) Herleitung Variance Hypothesis Expected value Arithmetic mean Estimator Expected value Sample (statistics) Summation Sample (statistics) Factorization Random variable
Cumulative distribution function Arithmetic mean Expected value Sample (statistics) Fractal Normal distribution Variance
Cumulative distribution function Estimator Arithmetic mean Fractal Normal distribution Random variable
Estimator Sample (statistics) Variance Estimation Sample (statistics) Variance
Area Addition Normal distribution Ende <Graphentheorie> Square Scattering Population density Arithmetic mean Rand Degrees of freedom (physics and chemistry) Population density Einseitiger Test Normal distribution Scale (map)
Plane (geometry) Degrees of freedom (physics and chemistry) Sample (statistics) Normal distribution Variance Table (information) Sample (statistics) Random variable Scattering
Degrees of freedom (physics and chemistry) Sample (statistics) Normal distribution Variance Square Sample (statistics) Random variable Scattering
Expected value Normal distribution Arithmetic mean Normal distribution Variance Square Estimation Sample (statistics) Random variable Variance
Normal distribution Histogram Probability theory Lösung <Mathematik> Statistische Maßzahl Variance Number Expected value Zusammenhang <Mathematik> Mathematician Mathematical statistics Gleichverteilung Descriptive statistics Zweistichprobenproblem Prozentzahl Probability theory Content (media) Variance Statistics Calculation Schulmathematik Arithmetic mean Gleichverteilung Stetige gleichmäßige Verteilung Mathematical statistics Descriptive statistics
ja begrüßt Sie recht herzlich zur mittlerweile letzten Vorlesungen ja traurige letzten vor diese Statistik für richtig ein Sloman Wissenschaftler in diesem Semester ich habe ihn wie immer die Lernziele
vorweg geschrieben nach dieser Vorlesung sollten Sie 1. wissen was ein ein beziehungsweise zweiseitiges des Problem ist und was ein ein Stichproben Problem beziehungsweise 1 2 Stichprobe Problem ist das heißt die werden dass des Problem von der letzten Woche noch mal ein bisschen ausführlicher allgemeiner behandeln und dann sollten Sie kennen den Unterschied zwischen einem Klaus Test in unserem letzten Mal gesehen genau haben Sie ein einseitiges des Problem ein Einstieg es werden ein Stichproben Problem werden einseitiges des Problem und dafür und aus der gemacht heute wo das ganze modifizieren auch grau ist und ein Täter ist kennen und war in verschiedenen Situationen anwenden können und wenn sie Lernziele dann erreicht haben hat es den großen Vorteil dass sie eine der 5 Klausur Aufgaben auch machen können ja da sage ich dann zum Schluss noch mal was dazu bei an statistische
Testverfahren Teil 2 Beispiel dazu ist sprechen Frauen mehr als Männer ja ich ja schon Ja als Antwort auf die Frage ist woher wissen Sie das also woher wissen Sie dass Frauen mehr sprechen als Männer ja es gibt verschiedene Zugänge wird wenn er sich über die Sprache an und guckt einmal geht es weiter in der Sprache für Frauen die viele sprechen und für Männer die wir sprechen und dann werden Sie feststellen es gibt in Sprache sehr viele Worte für Frauen die viel sprechen aber nicht so viele Wörter für Männer wie viel sprechen und das könnten sie als Indiz einsehen der Zugang hier waren anderer stammt aus der Kognitionspsychologie da wurde versucht diese Frage empirisch zu beantworten das heißt Daten erhoben hat aber eine Studie an der Universität Arizona durchgeführt wir wollen 210 Studentinnen und 186 Studenten approximativ die Anzahl der gesprochenen Worte über einen Zeitraum von mehreren Tagen bestimmt worden das heißt die Leute also die Frage wie machen Sie so was der Kognitionspsychologe hatte ein kleines Gerät entwickelt was will also wenn Sie Unterhaltung so weit einstellen könnten es geht zwar um sprechen Frauen mehr als Männer aber ich bin ja nicht beim Datensammeln gerade wir geht der hat ein kleines Gerät wo jede Stunde zufällig 5 Minuten lang das gesprochene aufgenommen wurde und alles was gesagt wurde aufgenommen wurde und in der wurde ausgezählt und diese 5 Minuten sollten so erfolgen dass die Leute es nicht merken wann aufgenommen oder nicht die haben das Gerät über mehrere Tage tragen und ich gebe Ihnen hier mal an die empirischen arithmetischen Mittel der Anzahl der gesprochenen Worte pro Tag getrennt nach Geschlecht wir hatten 210 Studentinnen da war das empirische arithmetische Mittel der Anzahl der gefrorenen Wörter pro Tag also für jede einzelne Studenten hatten erst mal die Anzahl der gesprochenen Worte pro Tag im Durchschnitt bestimmt und dann von diesen ganzen Zahlen die empirischen arithmetischen Mittel genommen comma auf 16 Tausend 215 dot dort bei einer empirischen Streuung von 7 Tausend 300 1 und bei den 186 Studenten war das die an ethische Anzahl gesprochen wird dort 15 Tausend 669 bei einer Streuung von 8 Tausend 633 wenn Sie jetzt die beiden Zahlen gleichen diese empirische Mittel die 16 Tausend 215 zu 15 Tausend 669 dann sehen Sie diese 16 1215 sind mehr als die 15 Tausend 669 zu 5 bis 600 mehr dann sehen Sie ja in der Tat bei diesen 100 2. 10 Studentinnen 186 Studenten haben die Frauen mehr gesprochen als die Männer stellt sich aber die Frage wenn sie den ganzen Versuch s wiederholen sie wählen andere 210 Studenten und andere 186 so 10 Studentinnen und andere 186 Studenten wie sieht's dann aus dann werden natürlich sich die Zahlen der verändern 10. dann immer noch mehr die Frage ist gleich in der letzten Vorlesung die kann man ausgehend von den Daten der Stichprobe Rückschlüsse auf die zugrunde liegende Grundgesamtheit zurückziehen dass und wie weit dabei zwangsläufig auftretenden Fehler quantitativ kontrollieren kann was ich möchte letzten Endes ich sehe oder ich lege eine hypothetische Grundgesamtheit zugrunde ich könnte die Grundgesamtheit aller Frauen aller Männer Zusage zugrunde legen wenn nicht unbedingt sinnvoll wenn ich ihre Studenten auswählen also wenn dann müsste ich die Grundgesamtheit aller der Personen zugrunde legen die hier im Prinzip für die Studien Betracht kommen also alle Studentinnen eines gewissen Faches 1 glaube ich alles Psychologiestudentin und alle Studenten dieses Faches und machen Aussage darüber aber eben nicht nur über die 210 186 gut fragen sogar zum Beispiel keine Frage dann fange an der machen sind winzig genauso wie beim letzten Mal ich mache mathematische
Modellbildung ich gehe davon aus dass die Daten unter den Einfluss des Zufalls wie wir es bisher in dieser Vorlesung hatten entstanden sind genau das was sich die Daten als Realisierungen von Zufallsvariablen auf ich habe dann einerseits Zufallsvariablen Grosics 1 bis Grosics 210 und was die gesprochenen Anzahl der Frauen als Realisierungen klein x 1 des kleinen x 210 dieser Zufallsvariablen auf und bei den Männern habe ich entsprechend Zufallsvariablen groß y 1 bis große Psion 186 von den nicht wie Realisierung kleine 10 1 bis 3 in 1 y 186 der beobachtet ich mache Modellannahmen ich gehe davon aus die Zufallsvariablen sind unabhängig das heißt die Werte beeinflussen sich gegenseitig nicht und sind identisch verteilt das heißt alle sprechen oder man kann sagen Alex stammen aus so homogen Gruppe keiner tanzt irgendwie völlig aus der Reihe als sie sie den Stadtteil des relativ harmlos aber das unabhängig ist starker Unabhängigkeit der zum Beispiel in dem Beispiel verletzt werden sich die Testpersonen gegenseitig unterhalten würden also wenn die gegenseitig miteinander sprechen würden den Zeitraum in der klar wenn der eine Fee spricht beeinflusst das Gespräch anderen also was dafür nicht vorkommen dann formuliere ich unsere Frage so um dass sie nur von der zugrunde liegenden Verteilung abhängt weil Zufallsvariablen am eine Verteilung diese Verteilung die ganzen Wahrscheinlichkeiten von allem was auftreten kann und diese Verteilung ist Eigenschaft der Grundgesamtheit und ich formuliere meine Frage zu dass sie nur von der Verteilung abhängt und dann mache ich Aussagen über die Grundgesamtheit genau möchte ich wissen welche von den beiden Hypothesen 0 über These H 0 beide Erwartungswert es sind gleich oder alternativ über diese H 1 die Erwartungswerte sind verschiedene ich könnte auch anders formulieren ich kann sagen nun über diese der erst Erwartungswert ist kleiner gleich den zweiten Erwartungswert und alternativ über diese 1. Erwartungswert ist größer als im zweiten Erwartungswert aber ich möchte gar nicht drauf aber richtig über diesen so formulieren gehe ich einig nicht darauf hinaus ob Frauen jetzt mehr sprechen oder Männer sollen einfach mal ob Frauen und Männer verschieden Spiel sprechen am Tag ich habe dir also vom Beispiel wird logischer ich würde auf dieses mehr sprechen hinausgehen und da wissen Sie auch schon dann ist statistisch zu sichernde in die gegenüber diese schreiben oder alternativ über diese also bei einer bei H 1 rein also H 1 wäre Frauen sprechen mehr E X 1 war der durchschnittliche Anzahl bei Frauen das heißt H 1 wäre es ein sehr großer gleich oder größer als E 10 1 und habe nur so rum ich habe sie andersrum gemacht er weiß ein bisschen einfacher zu registrieren ist werden würde nämlich Test geben aber es soll das einfacher zu illustrieren Britta wenn Sie es vergleichen mit dem Beispiel in der letzten Vorlesung verliehen wurden Unterschiede auf also wenn sich noch daran erinnern was letzte Vorlesung gemacht haben zwar dieses Klausur Beispielen ob die Examenskandidaten der Lage sind ihren ihre Leistung richtig einzuschätzen Vorschlag sie glauben der S 2 seit ich in der Tat der hier wird also hier geht es um Abweichungen zwischen den beiden Erwartungswert in beide Richtungen werden beim letzten Mal hatten wir nur eine Abweichungen im wollten wir nur wissen ob Erwartungswert kleiner gleich 0 ist oder größer als 0 ist das heißt die wollten uns entscheiden zwischen Abweichung von der nur in die eine Richtung oder in die andere Richtung das machen wir diesmal nicht deswegen spricht man hier von einem so genannten zweiseitigen Test beim letzten Mal was ein einseitiger Test kommt gleich auf der nächsten Folie aber das zweite das noch viel mehr ins Auge fällt diese sind es hier 2 Zufallsverfahren in der Tat es sind 2 Zufallsverteilung und wir haben 2 Stichproben von 2 verschiedenen Verteilung vorliegen diesmal beim letzten Mal aber das Ganze so umformuliert das ist nur eine Stichprobe von einer Verteilung war man sich mal die Aussagen über 2 Verteilungen also Beispiel der letzten Vorlesung
hatten wir eine Stichprobe einer Verteilung gegeben und wollten wissen ob H 0 ob X 1 klar gleich 0 ist oder X 1 größer als 0 da nur eine Stichprobe vorliegen hatten habe von einem oder war das ein ein Stichproben Probleme und dabei H 1 Abweichungen von der 0 nur in einer Richtung betrachtet werden als die alte wird ist nur die abweichen die Einrichtung habe ein einseitiges Problem diesmal haben wir 2 Stichproben und wollten sowas testen H 0 E x 1 gleich y 1 oder H 1 e x 1 ungleich E Y 1 und habe jetzt Stichproben von 2 Verteilungen vorliegen haben sprechen wir von so einem einem so genannten 2 Stichprobe Problemen und dabei H 1 Abweichung der Erwartungswerte in beide Richtungen betrachtet werden eine sich ich jetzt mein so genanntes zweiseitiges das Problem ok ja Sie sehen 2 Unterschiede wir haben 2 Stichproben von 2 verschiedenen Verteilung des wegen 2 Stichproben Problem und unsere alternativ über dieses so dass Abweichungen in 2 Richtungen interessieren deswegen zweiseitiges des Problem und dann sehen Sie jetzt können sie alles mögliche mit allem möglichen kombinieren ich kann dieses eine Stichproben Problem als einseitiges oder zweiseitiges des Probleme machen und ich kann auch das 2 schlicht vom Problem als einseitiges zweiseitiges des Problem machen damit haben Sie schon mal 4 Tests und dann können Sie bei der Nullhypothese noch umdrehen ich kann statt H 0 x 1 kleiner gleich 0 und H 1 x 1 große 0 genauso gut H 0 E x 1 gleich 0 und H 1 x 1 kleiner gleich 0 oder kleinen Ästen dann habe ich noch einen weiteren Test und deswegen ein Stichproben Problem und 2 Stichproben wurden Sie haben 2 des das heißt wir hätten sie 6 verschiedene Testverfahren dann können Sie voraussetzen also jetzt mal gleich Verteilungs annahm sie können voraussetzen ob die Varianz die Sie haben bekannt sind oder nicht in jedem dieser Fälle dann haben sie 12 verschiedene Probleme und diese 2 verschiedenen Tests behandeln wie im Prinzip okay Fragen dazu ja der diese Frage müssen Sie im Endeffekt R 2 verschiedene Tests gehen wenn sie nicht verstehen von dem was ich sage müssen sie 2 verschiedene fest auswendig lernen wenn Sie aber verstehen wie das Prinzip ist müssen sich ein neues Prinzip auswendig lernen dass der Unterschied im Prinzip kann ich sie bei der Klausur 2 verschiedene Tests fragen ist richtig sie haben keine Hilfsmittel das heißt sie könnten 2 verschiedene Tests auswendig lernen ich behaupte schaffen sie nicht alles der so müssen kann es mit Liebe allerdings können Sie einfach das Prinzip verstehen dann können sich die 2 verschiedenen Tests dann schnell herleiten wir werden bei der Klausur auch so machen also ähnlich wie jetzt in diesen Wochen in Übungen ich ja eh sie müssen alle nicht unbedingt Test auswendig wissen verwenden da sich im Test vorgeben und Sie müssen modifizieren dafür müssen sie denn die Grundidee verstanden haben aber sie müssen nicht die eigentlichen Test Größen und so weiter auswendig wissen okay weiter wie beim letzten Mal um die
Fragestellung zu vereinfachen machen die Annahmen über die Art der dem Beispiel auftreten Verteilung wir gehen im Folgenden davon aus dass alle auftreten Verteilungen Normalverteilung in mit unbekannten Erwartungswert unbekannte oder unbekannter Variant sind wenn das überlegen wir das Beispiel von gerade eben also dieses sprechen Frauen mehr als Männer es ging um die Anzahl der gesprochenen Wörter pro Tag ist es plausibel dass ich da eine Normalverteilung reinstecken oder gibt es Orden Argument mit den ich man argumentieren kann es ist plausibel dass ich das ist das das als normalverteilt modellieren vorschlagen also wenn sie Normalverteilung hören was fällt Ihnen ein ok halt das ist die Welt für das kommende ein was ist die auszeichnende Eigenschaft der Normalverteilung die sie auszeichnet im Vergleich zu allen anderen Verteilungen ist die Varianz gegeben oder für die Vermutung ja entweder auf die Varianz bekannt oder unbekannt ist also gut wenn man die Varianz der bekannten gegeben richtig also ich gehe mal davon aus die Variante geben und falls sie noch mal warum sollten Normalverteilung nehmen aber eigentlich hat nichts damit zu tun sollen die Frage ist warum tauchen also wie motivieren Sie die Verwendung einer Normalverteilung sie könnten wenn sie es in Aufnahme sitzen könnten sie eine Woche zurücktreten damit die gleiche Frage schon mal gestellt im Prinzip könnten siehe Gedächtnis Renten so eine Woche zurück was war die Antwort als letzte Woche mussten auch schon nicht mehr der Erwartungswert 0 Varianz 1 ist die Standard Normalverteilung aber das erklärt noch nicht warum mir die Normalverteilung überhaupt betrachten es hatte was zu tun der Vorlesung vor 2 Wochen das heißt wenn sie die volle zum Visum letzte Woche vergessen haben vielleicht erinnern sich eine Vorlesung vor 2 Wochen was er da noch behandelt haben also wenn sie Psychologie studieren die forderte die hatte mal bei der wenn er hat immer erzählt immer im zweiten Semester fragt sie Studenten was gesagt der zentrale Grenzwert Satz in keiner Weise ist nicht ganz einig nicht glauben aber ich bin mir sicher es gibt dieses Semester auch wieder so eine Art ist der zentrale Grenzwert hatte der auszeichne Satzes der zentrale Grenzwert Satz für die Normalverteilung der sagt ja wenn sie eine Summe von Zufallsvariablen die unabhängige identisch verteilt sind dann sind die Abruzzen nativ normalverteilt das heißt wenn Sie die entsprechen normalisieren sodass Erwartungswert Nullvariante 1 rauskommt ist es denn als Infotisch Essen tote Schwäne Standard normalverteilt verteilte Zufallsvariablen und wenn die Anzahl gesprochene Worte pro Tag angucken ein von der Aufnahme bedienen dass man immer wieder jede Stunde zum Kotzen Teil aufgenommen hatten das Ganze dann einig aufsummiert hat dann hat man das sie eine Summe zum Darstellung als das könnte könnte hier eine Normalverteilung motivieren drinnen gut Fragen so weit da mache ich weiter wie beim letzten Mal unter diesen Annahmen ermitteln jetzt geeignete Verfahren mit Hilfe derer wir uns mit kontrollierter Fehlerwahrscheinlichkeit zwischen den beiden über diesen entscheiden können wir kommen damit
zum zweiseitigen daraus für 2 Stichproben die Fragestellungen noch mal umgeschrieben gegeben sind jetzt Realisierungen x 1 bis x NY 1 bis 17 in von unabhängigen rellen Zufallsvariablen groß X 1 bis Grosics N groß y 1 bis große trennen wobei die x 1 bis x N jeweils normalverteilt sind mit Erwartungswert im Index X Variante sieht man Quadrat und die 15 1 bis 17 N sind ebenfalls normalverteilt gleiche Varianz sie gerade eben nämlich sieht man Quadrat aber Erwartungswert ist diesmal Müll y mit dem Höhe und aus er sind unbekannt die Varianz wird als bekannt vorausgesetzt als sind 2 Sachen die Varianz muss einerseits bei beiden Stichproben gleich seien also hier und hier gleich und zweitens sie muss uns auch noch bekannt sein was wir jetzt machen wollen beim zweiseitigen aus des für 2 Stichproben wir wollen uns zu einem gegebenen Niveau Allvar Zahl zwischen 0 und 1 zum Beispiel ein Vergleich 5 Prozent zwischen den beiden Hypothesen H 0 möglichst leicht y Wertes H 1 mehr x ungleich Y entscheiden wenn sich überlegen was heißt hier zugegebenen Niveau Altar aus Zahl zwischen 0 und 1 entscheiden damit meine ich die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art unseres Test soll kleiner gleich als sein frage an Sie können Sie mir sagen was ist hier die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art wenn ich mit Testverfahren Eindruck ankommen also wenn ich ihn mit einer fachlich Entscheidungs- Vorschrift ankomme durch die Stichproben stecke die x 1 bis x Ybbs in 1 bis 17 in die sie mir dann H 0 oder 1 als Antwort zurück was ist dann die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. 8 4 Hagen die mit Vorschlag Fehler 1. Art ist wenn ich sage möglichst leicht möglich sind aber in Wahrheit ist nix ungleichen y oder umgekehrt hat ok jetzt aber so weit Vorschlag ist Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art ist wenn ich sage H 1 ist war obwohl in Wahrheit einig H 0 war es das heißt ich bin in der Situation dass die Nullhypothese stimmt ich entscheide mich aber für die alternativ über das ist der Fehler 1. Art aber es ich würde ganz auch noch ganz gern wissen was ist die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. antwort Alfani die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art soll kleiner gleich als er sein aber die Frage ist wie sie definiert mit 5 Prozent sie schlagen konkreten Zahlen der vor meistens es 5 Prozent richtig aber der ist vorgegeben aber woran erkenne ich ob meine oder ich musste wurden die definieren in Abhängigkeit vom einem Verfahren das Verfahren hat eine Fehlerwahrscheinlichkeit und die vergleiche damit der Schranke als mit den 5 Prozent haben Vorschlag wie man die Fehlerwahrscheinlichkeit definieren könnte also entweder Hammer der Fehler 1. Art H 0 ist richtig entscheidend aber für 1 warum hat es denn auf einmal die Wahrscheinlichkeit weil das 2 Stichproben sind geht in die richtige Richtung sie setzen die Zufallsvariablen ein dann ist diese Entscheidung zufällig und zwar die Zufallsvariablen unter der Voraussetzung dass die Erwartungswerte hier gleich sehen das also H 0 gilt dann ist diese Entscheidung zufällig und dann rechnen Sie die Wahrscheinlichkeit aus dass die Entscheidung falsch ist und diese Wahrscheinlichkeit soll kleiner gleich als sein als in der Regel wird mir 5 Prozent seien klare gleich als 5 Prozent das ist die Idee beim Testen Niveau einfach ich habe vorhin gesagt dass die Varianz gleich hier jetzt habe aber im Beispiel 2 Stichproben wo die Varianz unterschiedlich ist woran erkennen Sie an dem Beispiel dass die Varianz unterschiedlich ist das habe schon gesagt das haben Sie einen Zahlen werden so gesehen das es SX 1 S Y S SX 1 y waren aber die empirischen Streuungen dessen empirische Werte das heißt die Varianz kann trotzdem gleich sein obwohl die empirischen Streuungen sich leicht unterscheiden bzw. auch wenn die Varianz gleich ist und sie ziehen immer wieder eine Stichprobe aus und berechnen die empirische Varianz dann wir werden da verschiedene oder mit einer festen also eine Verteilung einer festen Varianz berechnen immer wieder Stichproben gucken sich die empirische Varianz an die wird nicht gleich der der richtigen Varianz normalerweise sein soll in der Nähe liegen zufällig darum schwanken okay also und war eben nicht die und damit er kann sie auch schon ein Problem wir haben Foren einig die Varianz gar nicht gegeben denn die empirische Varianz gegebene müssen um die von diesen empirischen Varianten zu Varianz kommen aber das kommt noch und sie sehen auch eine unrealistische Annahme normalerweise würde die Varianz ein nie bekannt sein wenn Sie einen Prozess in der in der realen Welt beobachten wären sie nie die Varianz kennen und deswegen werden wir langfristig vom Klaus des einig wir gehen zum so genannten Tag wo die Varianz nicht unbekannt sein wird das ist der zweite Teil davon ist gut also was wir jetzt machen wollen wir wollen ein Verfahren zu konstruieren da stecken wir die ganzen beobachteten Werte es entscheidet sich dann je nach dem wie Sie möchten wird ausfallen für H 0 oder für H 1 und solle die Eigenschaft haben wenn man nur richtig ist wollen wir uns nur mit aller Wahrscheinlichkeit kleiner gleich alt war für eines entscheiden umgekehrt soll natürlich auch noch gelten wenn H 1 richtig ist wollen wir uns nur möglichst selten für andere entscheiden aber diese Wahrscheinlichkeit werden wir in dieser Vorlesung nicht kontrollieren muss das würde auf den Begriff des optimalen teste optimal Tester die Eigenschaft ja 1. dieser Fehler 1. Art also Handel ist richtig entscheiden aber für 1 er tritt nur mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner gleich als auf und zweitens der Fehler 2. Art H 1 ist richtig wir entscheiden uns aber für H 0 tritt bei diesem Verfahren unter dieser mit dem also Fehler 1. Art Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art kleiner gleich alt war möglichst selten auf aber diesen auf diesen Fehler 2. Art gehe ich gar nicht mehr ein gut dann kommt jetzt die Grundidee
bei einem zweiseitigen aus Test für 2 Stichproben betroffen wir haben uns erst mal die Differenz der beiden Mittel empirischen Mitte der Stichproben an also 1 durch x sowie die gleich 1 ist NX die minus 1 durch also mich gleich 1 bis n y j sie wissen kann Stichproben Mittel Essen Schätze vom Erwartungswert sie wissen der hat gewisse Eigenschaften als methodisch kommt das richtige raus das war die Konsistenz im Mittel kommt es richtige raus das war die Erwartung streuen damit können Sie sagen diese Differenz dieser beiden schätze ist dann eine Differenz von den beiden Erwartungswerte x 1 1 e y 1 und dann ist es relativ klar auch wenn oder es erstmal klar wenn auch wenn diese beiden Erwartungswerte gleich sind das Schätze der schätze so würden gewissen zufälligen Fehler haben wird der trotzdem der Schätzer nicht unbedingt also wenn die gleißenden Serben 0 hier steht hier 0 vor trotz der Schatz ich immer gleich 0 sein aber die Idee ist jetzt ja ich werde Emanuel dann ab falls dieses diese Differenz der beiden Schätze dieser Schätze der Differenz der Erwartungswerte weit entfernt von der 0 ist also wenn es dir nah dran ist dann würde wohl sagen ja so gehen aber ist weit entfernt ist was noch immer weit entfernt ist würde ich sagen nein das wird wohl kann eigentlich so sein oder glaube ich nicht und jetzt ist die Frage wie hältst es dir ich dieses weit entfernt ja es so was heißt überhaupt der weit entfernt ich würde sowas machen ich gucke den Betrag von dieser Zahl an diese zufälligen Zahl und wenn dieser Betrag von dieser zufälligen zahle gewisse Schranke ich nenne sie mal C überschreitet dann werde ich H 0 ablehnen ich für H einzuschalten wird ist die Frage wie ich diese Szene billig da Einzelrichter 5 ist das oder was die Dichter ok und das zu entscheiden überlegen wir uns können wir Aussagen machen über die Verteilung von dieser Größe hier wissen diese Differenz dieser beiden Schätzer wenn H 0 gilt überlegen Sie mal was wissen wir über die Zufallsvariablen Wissen x 1 x 2 und so weiter bis groß X N Y 1 und so weiter bis groß die waren unabhängig die XII war normalverteilt um die Ecke die war normalverteilt und zwar jeweils mit Erwartungswert Ex Marianne sieht 0 Quadrat die Y J waren normalverteilt jeweils mit Erwartungswert y und Varianz sieht man vertrat was können Sie über die Verteilung von dieser Größe hier Aussagen 1. Frage um welche Art von Verteilung handelt es sich haben Sie eine normalverteilt es handele sich mal Normalverteilung darum handelt ist eine Normalverteilung das hatten wir vorhin schon das hatten wir in der letzten Vorlesung schon wenn sie eine linear Combination werden von unabhängigen nochmal verteilten Zufallsvariablen kommt eine Normalverteilung aus habe ich in der ohne Beweise erzielt das heißt was machen Sie hier Sie die einzelnen Zufallsvariablen EXE multiplizieren Sie alle mit 1 durch einen der 10 J multiplizieren Sie mit minus 1 durch und dann nur die wird dann agieren sie das Ganze auch das ist gerade so eine den Jahr Kombination und diese Jahr Kombination von diesem Zufallsvariablen für diesen normal verteilten Zufallsvariablen ergibt dann eine Normalverteilung als 1. Punkte wissen die Verteilung schon mal Normalverteilung jetzt weiter period um die eindeutig festzulegen brauchen wir 2 Sachen wir brauchen den Erwartungswert und wir brauchen die Varianz bei der Normalverteilung dessen die beiden Parametern können Sie das Aussagen über Erwartungswert oder Varianz diese Differenzierung was mal schnell eine Tafel wir brauchen erst bei den Erwartungswert ja was würden Sie sagen was wir hier machen mehr was waren das für Sopran und in Vorlesung zu brauchen Rechenregeln für Wartungs- werde man kann es auseinanderziehen aufspalten im Erwartungswert von und Erwartungswert von Y J also Erwartungswert waren ja das heißt ich habe erstmal Erwartungswert von dieser Differenz der sie Differenz der Wartungs- dann habe ich die Erwartungswert von den Dingen da kann ich den konstanten Faktor 1 durch ein ausziehen kann mich auch Erwartungswert von der Summe ist die Summe der Erwartungswerte genauso mit dem 2. der das heißt ich komme erst auf 1 durch n zum die gleich 1 bis n Erwartungswert von X sehen minus 1 durch einen Sommer J gleich 1 bis n Erwartungswert von Y J wir können auf das aufgrund der Genialität des Erwartungswert es ja jetzt können wir uns überlegen die Dinge waren alle Mühe X die wir hier allen y nach Voraussetzung dann sehen Sie dieses arithmetische Mittel von den x ergibt einfach X also wir bekommen Sie ja in Malmö geteilt in es gibt nix und das ergibt y und dann sehen Sie den H 0 gilt dann ist mir X leichten y dann der Erwartungswert gleich 0 1. period Fragen so weit woher wissen wir dass möglichst leicht mög- Service das wird er mache mache die Annahme wir und oder gucken den Fehler 1. Art an dann gehen wir davon aus dass sein 0 gilt wenn man nur geht wird möglichst leicht möglich sein sein mich interessiert er letzten Endes wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass ich mich falsch entscheide wenn gilt aber momentan ist man noch allgemeinen geschrieben hier bräuchte es noch gar nicht und es war die erste Sache die zweite Sache was geht ist die Varianz also mehr ich lasse sie immer ein bisschen Platz warum werden Sie gleich sehen das ist und das erste was irgendwie auffällt also wir hatten ja einige Rechenregeln für die Varianten aber wir hatten eine keine Rechenregel für die Varianz von einer Differenz wenn sich erinnern kennen Sie noch so Rechenregeln für Varianzen also wenn immer wieder die Varianz war der mittlere quadratische Streuung Wie verändert sich so eine mittlere quadratische Streuung und den Erwartungswert wenn sie zum Beispiel die Zufallsvariable mit den Faktor 10 multiplizieren antwort hundertfach der Faktor die quadratische 1 das heißt Faktoren können sie quadratisch rausziehen dann das zweite was sie
auch sorgen die gesungen Bildung kennen Sie Aussagen über der Varianz von so mehr in Zusammenhang mit den 1 Varianzen zwar ne Rechenregel die sie lernen müssten Varianz von der Summe ist gleich der Summe der Varianz Varianzen sofern die Zufallsvariablen unabhängig sind aber nur bei Unabhängigkeit gut jetzt haben wir aber dummerweise Differenz wir keine Summe eine Differenz das negative diesen gut es waren dort mehr wir haben das gesehen habe machen das Plus X minus 1 und damit können Sie das ganze Ding lösen will weil jetzt kann ich nämlich also jetzt habe ich hier misslungen die Zufallsvariablen wir haben nix zu tun wie den Zufallsvariablen ja dann hat der ganze Ausdruck auf der linken Seite nichts zu tun mit dem ganzen Auftritt auf der rechten Seite das heißt die beiden sind unabhängig also wegen der Unabhängigkeit komme ich auf die Varianz von 1 durch einen die gleich 1 bis XE E plus Varianz von minus 1 x 1 durch wird gleich 1 bis 1 y J ja und jetzt kommen die Rechenregeln also ich dieses 1 durch einen als 1 durch ein Quadrat raus komme auf die Summe I gleich 1 bis in der Varianten von X die wo ich noch mal die Unabhängigkeit benutzte minus 1 als minus 1 zum Quadrat raus das einst durch als einst durch im Quadrat noch mal die Unabhängigkeit der Option J aus und kann auf die Summe ja gleich 1 bis der Varianzen der Option J wir mehr wie komme ich auf das Quadrat Faktoren werden quadratisch rausgezogen weil das eine mittlere quadratische Abweichung ist ja es ist eine quadratische Abweichung wenn sie mit einem Faktor multiplizieren ändere sich die Erwartungswert um den gleichen Faktor die Zufallsvariablen den gleichen Faktor die abgleichen zwischen Zufallsvariablen und den Erwartungswert auch um diesen Faktor aber die quadratische Abweichung in der sich Patra um den Vertrag Tischen Faktor okay und genauso dieses Minus 1 gibt im minus 1 Berater die kleinste das heißt Sie sehen die Varianz von einer Differenz zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist die Summe der beiden einzeln Varianten okay jetzt sehen Sie das da es nach Voraussetzung sieht man nur was hat sie sehen dass da es nach Voraussetzung sieht 0 Quadrat und mir geht der Platz aus ich mit Geld drunter dann ist das Ganze gleich ja dann sehen Sie am Ende sieht man nur durch ein Quadrat also muss ich man Quadrat dann comma n x 1 durch ein Quadrat gibt 1 durch ein bei mir ist genau das gleiche mit m x 1 durch einen Vertrag gibt auch einzig in das heißt die ganze Varianz die rauskommt Faktor 1 durch endlos 1 durch einen mal die ursprüngliche Varianz auch wie kommt es war gerade wieder weg bei allen ja ich habe in so meinten das geht in mal die einzelne Varianz und Heinrich in Betracht und in dieser in Quadrate gibt Einstig in noch Fragen ja jetzt der ihr Zimmer eine so weit jetzt kennen wir ich mache weil ich wieder aus jetzt kennen wir die Verteilung von diesen die Differenz unterschätzter des der Normalverteilung unter H 0 Erwartungswert 0 Varianz sie kann aber gerade mal 1 durch einen bis 1 durch in ich suche Schranke Seekreuzer größer 0 so dass der Betrag von dieser Ende 0 sie aber gerade mal 1 durch ein bis 1 durch in verteilten Zufallsvariable dass die Wahrscheinlichkeit dass diese Zufallsvariable größer als betragsmäßig größer als sie ist denn mit kleiner gleich als ist ich mache ein bisschen anders hier ich teile die Zufallsvariablen durch die Wurzel aus der Varianz durch wenn wir das machen hat die entstehende Zufallsvariable nach wie vor Erwartungswert nur weil der Faktor ändert nichts einen Erwartungswert aber der Faktor verändere die Varianz die Variante ändert sich um das Quadrat dieses Faktors das Quadrat dieses Faktors ist gerade der Kehrwert Varianz das heißt die Varianz wird 1 das heißt die so entstehende Zufallsvariablen in 0 1 verteilt und statt abzulehnen wenn das Ding weit entfernt ist von der 0 lehne ich ab wenn das Ding weit entfernt ist von der 0 und da kenne ich schön die Verteilung Standard normalverteilt und Begründung analog zur letzten Vorlesung normalverteilt hat mir vorhin wegen im Jahr kommen Nation unabhängiger Zufallsvariablen und hat Erwartungswert 0 und Varianz 1 habe ich ihn gerade vorgerechnet was wir jetzt suchen um abzulehnen ich mach ein kleines Bild an der Tafel wir gucken uns mal die Dichte von der Standard Normalverteilung an das ist ja diese schöne Gaußsche Glockenkurve und was ich hier suche ist ein period Z mit der Eigenschaft dass diese Standard normalverteilt Zufallsvariablen ein Wert größer Z oder ein Wert kleiner als minus Z nur mit Wahrscheinlichkeit einfach ein nicht alle gleich war oder gehen sogar auf maximal Alter hinaus das heißt wenn sie Wahrscheinlichkeit angucken das des größer gleich Z ist das ist hier die Wahrscheinlichkeit dass es kleiner gleich Z ist haben Sie hier links von mir SZ beide Wahrscheinlichkeiten zusammen also beide Flächeninhalte zusammen sollen alle sein das heißt an der Stelle also legen sie mit Riesen beide gleich groß an der Stelle habe ich den Flächeninhalt Alfa Heide und an der Stelle habe ich auch Flächen hat einfach Verhalten und dann müssen sie eben das Zeit zu wählen dass die Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung an dieser Stelle den Wert ja von diesen Flächeninhalt links von Z hat und es 1 minus 1 Verhalten und das war das sogenannte einfach eine Frage die einfach alle was im letzten Mal schon eingeführt haben kommt gleich nochmal aber der Witz ist nochmals aufgrund einer Symmetrie von der Dichte der Standard Normalverteilung Gewicht den beiden Bereichen hier also wo Z größer als wo die Steine Roman verteilte Zufallsvariable größer als der ist und die Standard wahrscheinlich immer verteilt über sowas variabel kleiner als der ist die beiden der kleiner als Mindestwert ist die sollen beide die gleiche Wahrscheinlichkeit haben haben Sie Fragen wir haben gerade so geguckt okay damit kann beim
zweiten zweiseitigen aus der für 2 Stichproben nochmal Voraussetzungen wie gerade eben diese 2 Stichproben der nochmal beide Normalverteilung und die eine mit Erwartungswert Miliz die andere mit Erwartungswert y beide haben die gleiche gegebene Variante sieht man zu testen sei H 0 möglichst leicht möglich würden das H 1 Mü x ungleich Y und H 0 wird abgelehnt weil es jetzt dieser Betrag von dieser von diesen Rehe normalisierten Differenz der beiden Schätzer für mixen Böbs würden falls der größer ist als als halbe also als das einfach eine Frage die von 0 1 das ist die Stelle an der die Verteilungsfunktion von in 0 1 gleich 1 minus 1 Verhalten und das wäre ja zweiseitige Größe ist oder zweiseitige aus der für 2 Stichproben haben Sie Fragen so weit mehr die Wahl die sie sind wieder Formel nicht ganz mit gekommen was das noch mal ist das ist genau also von habe diesen Ausdruck betrachtet diese große runde Klammern mehr mit den kleinen Buchstaben ersetzt durch die großen Buchstaben haben davon Erwartungswerten Varianz ausgerechnet Erwartungswert waren X minus Y das heißt wenn H 0 gilt ist Erwartungswert gleich 0 die Varianz war der Erzieher um der hier in beim Vortrag der Engländer steht zum Quadrat das heißt wenn ich hier Zufallsvariablen einsetzte hat es den Erwartungswert 0 Varianz 1 das außerdem normalverteilt ist ein Standard normalverteilt wobei Gültigkeit von H 0 damit tritt einwärts betragsmäßig größer als halbe-halbe genau mit Wahrscheinlichkeit 1 Alfaro das ist der Trick wie wir das denn gehen das heißt wir werden so dass der Fehler dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art genau gleich ein Fax Norbert fragen okay dann wird noch oder haben Sie noch Fragen dann würde ich das klingt jetzt ganz gerne auf unsere Daten anwenden hat noch ein Problem die Varianz ist eigentlich nicht gegeben bei den Daten ich mache jetzt
folgendes also an der beiden Anzahl gesprochenen Wörter pro Tag Beispiel von gerade eben hier war noch mal X der Ärzte und wer die empirischen Streuungen sind gegeben diesen auch verschieden bespricht auch nicht dagegen dass die Varianzen gleich sein können wir fordern jetzt einen zweiseitigen daraus dass für 2 Stichproben für H 0 möglichst leicht möglich versus H 1 für x ungleich Y zum Niveau ein Vergleich 5 Prozent vor sie können sich überlegen was ist dann einfach alle gehen sie in eine Tabelle ferner Standard und von da Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung dann sehen Sie da kommen sie auch ungefähr den Zahlenwert 1 comma decimal 9 7 kleines Problem ist wir müssen die Varianz als bekannt voraussetzen wir haben die Varianz die als aber nicht gegeben was wir machen ist wir versuchen uns jetzt eine Schätzung der Varianz zu basteln wir können sagen wenn sie gleich ist Neujahr dann immer SX Einschätzung also es SX Quadrat ist existierte Steuerung oder wir man es das zum Berater Schätzung gemauert aber 2 verschiedene Werte wer die Frage welche nehmen wir wir könnten sagen denn den Mittelwert aber das berücksichtigt nicht dass die beiden Stichproben verschieden groß sind das heißt der Scherzer hier wird ein bisschen genau sein von der Varianz alte Schätze hier bei die Stichproben bisschen größer ist
wir jemals an wenn stattdessen die sogenannte gibt Pute Stichproben Varianz sie können die Formel mal weglassen die oben das ist eigentlich ich nehme N minus 1 mal die 1. empirische Streuung zum Quadrat plus N minus 1 x die 2. empirische Streuung zum Quadrat Teile durch endlos N minus 2 der Faktor aktuellen Kuss N minus 2 bewirkt dass das ganze Ding eine Erwartungs Treue Schätzung für die ganz Wort warum schätzen setzen Sie mal ein wenn ich den Erwartungswert berechnen kann ich die Genialität Erwartungswert ist aus würzen und dann Erwartungswert hier von den von der empirischen Varianz von X Bereichen den Erwartungswert von der irischen Varianz von y berechnen sie wissen die empirische Variante ist eine Erwartungs Treue Schätzung der Varianz das heißt da kommt die Varianz von X raus da kommt die Varianz von Epson raus beide waren gleich groß wenn sie jetzt aufaddieren kommt da in minus 1 mal die eine Varianz oder sieht man 0 Quadrat riss er mindestens 1 x er wieder sieht man 0 Quadrat geteilt durch Enkes N minus 2 des Enkels entließ 2 kurz sich weg und es kommt sieht man 0 Quadrat aus das heißt es wäre eine sinnvolle den Jahr Kombination dieser beiden Schätze die wir gerade gemacht haben weist auf eine erwartungsvolle Schätzung führt okay dann wird so das Ganze ein also wenn wir im Folgenden also ich tun jetzt so als wer meine Varianz einig diese Schätzungen was einig entweder ist eine schwere noch probieren sieht man nur es also die Wurzel aus wenn sie zahlen werde einsetzen kommen sie auf 7 Tausend 970 wenn wir mal vergleichen mit den vorigen beim vorigen was ja es etwa 7 Tausend 301 S Y war 8 Tausend 663 das heißt sie sehen dass es in der zwischen dessen bisschen näher dran an SX als einen S y weil eben bei n ASX mehr Beobachtung zugrunde liegen als bei S Y stand gut dann setzen sehen die beobachteten Daten
ein sie müssen diese Test Größe ausrechnen setzen alle Zahlen 1 comma decimal 1 0 comma decimal 8 6 wir betrachten dieses Halle von vorhin war 1 comma decimal 9 7 bis 0 comma decimal 6 oder 0 comma decimal 6 8 ist jetzt kleiner als es 1 comma decimal 9 7 wir haben gesagt wir den H 0 ab falls es größer ist das heißt wir können hier H 0 zu Niveau ein Vergleich 5 Prozent nicht ablehnen also bei diesen Daten können wir Handel zu Niveau ein Vergleich 5 Prozent nicht ablehnen Resultat der daraus des zum Niveau alter gleich 5 Prozent führt nicht darauf dass sich die Anzahl der gesprochenen Wörter pro Tag bei Studentinnen von der bei Studenten unterscheidet zwar waren die empirischen arithmetischen Mittel dieser weiter verschieben aber die Steuerung war eben so groß dass es eigentlich keine Rolle gespielt hat man muss auch beachten wir sind jetzt hier an der Stelle die nicht unangenehm ist für den Test aber der haben Test gemacht und unsere alternativ über diese konnte nicht angenommen werden und das war das wovon wir ich entweder kontrolliert hätten das heißt sie haben jetzt die Entscheidung der alternativ handeln kann nicht verworfen werden wurden viele eigentlich nicht kontrollieren bei den statistischen Test haben Sie Fragen so weit dann hätte ich eine Frage an Sie kennen Sie schon mehr es geht nochmal um den
einseitigen daraus der das war der Test der beim letzten Mal hatten und zwar sei der gerüstet ist für eine Stichprobe wir haben Unbekannte Erwartungswert Mühe bekannte Variante sieht man 0 Quadrat Niveau Alfa aus 0 1 Referenzwert Mühe 0 aus er wir hatten den einseitigen daraus des eingeführt als Test für H 0 mög- leider gleich mit 0 versus H 1 Mü größer als mit 0 und diesmal drehen wir die Hypothesen einfach um also mich interessiert wie können Sie diesen Test so modifizieren dass es jetzt einen Test zum Niveau Einfall wird für H 0 Mühe größer gleich mit 0 versus H 1 kleiner als Minuten und ich habe noch ein Tipp aber Hinweis gegeben wir sind ausgegangen von arithmetischen Mittel Wasser Schätze von mir ist und haben es dann beim letzten Mal überlegt ja je nachdem ob große oder kleine werde von diesem arithmetischen Mittel für 1 gelten und haben dann uns überlegt wie ist dieser Test Größe bei Gültigkeit von Handel verteilt und haben dann da mit diesen kritischen wert denn das Über oder Unterschreiten muss damit er für die ein oder andere über diese kommen gewählt gehen Sie meine Frage auf den Hinweis durch Streichen und große oder kleine Werte vor dem arithmetischen Mittel der x die für die Gültigkeit von Heinz kleine warum dieses arithmetische Mittel der ist ein einschätzt vom Erwartungswert also von Mühlen das heißt wenn es kleine Werte sind dann wird wohl ja 1 gilt nur wenn der sehr sehr kleine Werte sind der sich recht sicher dass Vereins gilt es ist die Frage wo machen wir die Grenze also naheliegenderweise machen wir den Test der zu den dieses arithmetisches Mittel kleiner als ein kritischer wird sie ist dann entscheiden wir uns für H 1 und ansonsten für dieses Ziel wir zu dass die Wähler Wahrscheinlichkeiten 1. Art kleiner gleich als da sind genau betrachten den Grenzwall war der schwierigste Fall ist mir gleich mit 0 das schwierigste Fall der zu kontrollieren sein so der zu kontrollieren ist und wie die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. hat das für Müll gleich mit 0 diese Fehlerwahrscheinlichkeit 1. das heißt aber nicht dass mittels kleiner als unser C genau gleich als ist und das ausrechnen zu können brauchen wir die Verteilung von diesem arithmetischen Mittel das heißt jetzt die Verteilung von mehr der wir haben x 1 bis x N diesen unabhängige normalverteilt Erwartungswert sein ich betrachte im kritischen Fall dass man gleich mit 0 ist also ich nehme mir aber werden 0 Varianz des gegeben dass sich meine Quadrat was würden Sie sagen es dann das aramäische Mittel der groß XI verteilt nur heran damit meinen Sie sowas mit Erwartungswert mit 0 Erwartungswert klar bei der Erwartungswert von dem arithmetischen Mittel ist genetische Mittel Erwartungswerte die einzeln Erwartungswerte sind alle Mühe 0 also so müde und verteilt welche Art von Verteilung normalverteilt das war diese Aussage im Jahr Nation von unabhängigen Normalverteilung Zufallsvariablen sind normalverteilt ja also die Frage wie groß ist die Varianz mehr wenn es nicht hinkriegen Kopf dann machen sind neben Rechnung überlegen sich die Varianz von diesem einst durch einen die gleich 1 bis 1 x sehen was machen Sie mit dem Faktor 1 durch ein Patreon ausziehen quadratisch ausziehen geben 1 durch im Quadrat die Antwort was machen Sie mit der Varianz der Summe also wieder reichlich die Varianz der Summe durch die Summe der Varianzen wegen Unabhängigkeit das Wort dann sehen Sie die einzeln Varianten sind alle sieht man 0 Quadrat dann sehen Sie hier kommt eben mal sieht man 0 Quadrat durch ein Quadrat aus also sieht man Quadrat durch ein das heißt wir haben hier ein in sieht man dem Quadrat durch n mehr ja was möcht ich jetzt haben jetzt möchte ich haben dass mein Alter meine Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art soll genau gleich mein Alter sein wenn wir gleich mit 0 ist wie sieht mein Test aus ja wie sieht man fest aus dem dieser Test war das arithmetische Mittel kleiner als sie das entscheide ich mich für 1 das heißt es allmählich mittelgroßer also 1 durch n die gleich 1 bis n XII größer gleich 10 dann entscheide ich mich für 0 und jetzt ist die Frage wie viel ich C ja ich bin weil sie die Zufallsvariablen mehr seit ich schreibe ja etwas anders sehen ich 7 0 ab dann hat die Zufallsvariable auf der linken Seite Erwartungswert 0 ich teile durch die Wurzel aus der Varianz durch das heißt ich wohl die Bezieher mit wird's lausig manuell parat sieht man nur Quadrat durch N eines durch n I gleich 1 bis XII minus wir wollen das wäre entsprechend größer gleich macht das gleich mit der rechten Seite wozu sieht man nur Quadrat durch n mal sehen minus 0 0 mehr das soll gleich ein Fall sein ja dann sehen Sie diese Stelle hier muss gleich den wert sein an dem die Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung hat das jetzt er 1 verteilt an dem die Verteilungsfunktion der Ständer Standard im 1 Verteilung gerade gleich 1 minus Alfa ist ich habe den hier ja das hat mich gleich so gestört da haben Sie recht muss Kehrwert sagen also muss mit der Wurzel 1 durch die Wurzel aus der Varianz also wird's was Varianz sich teilen das heißt wenn ich Wurzel aus der Varianz durch Teile und dann period also des Schreibens vielleicht mal so 1 durch die Wurzel aus der Varianz das sieht man Quadrat durch in mit dem muss sich multiplizieren damit dieser Ausdruck Varianz 1 hat 10 Erwartungswert ab Erwartungswert kann mehr das heißt Sie sehen ich machen eigentlich so dass dieser Ausdruck an dieser Stelle soll die Stelle sein an der die Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung wert weil hier ein großer gleichschalten kleiner gleich steht 1 minus einfangen wir werden eine mögliche Herleitung ich präsentieren noch eine andere mögliche Leitungen auf der Folie Z sich in der wieder auf die Umwelt wir haben kleine
werde von diesem arithmetischen Mittel sprechen für die Gültigkeit von 1 wir setzen deswegen unseren Test so an den nehmen ein ich habe sie entsprechend normalisiert dieser armen Menschen mit dem man es mit 0 falls das kleiner gleich C ist 0 sonst damit Design Test zum Niveau alter wird wenn ich jetzt sehe so das Geld ja denn gleich 0 ist soll eine Frage gleich dieser Wahrscheinlichkeit sein dass ich mich für 1 entscheide und das ist die Verteilungsfunktion von der Standard Normalverteilung weil diese Zufallsvariable Standard normalverteilt ist an der Stelle C also bin ich ich werde C der muss ich also stehen viele C als einziges Alter fragt die U 1 wie das Alter von 0 1 das einzige also Frage die oder also folgt weil die Stelle an der die Verteilungsfunktion der Normalverteilung wir 1 minus also hat das heißt ich es 1 minus einfach hat die Rede hat die Verteilungsfunktion der Normalverteilung den wird einfach hier wurden Fernseher werden sie müssten sie eilig nett gestern schon in den Vortrag Simon gehabt haben theoretisch werden Sie diese Woche noch meine Übung wunderbar können das hoffentlich alles der Beispiel der ein und unbekannten des modifizieren haben Sie Fragen so weit frage fragen ok was bedeutet bei diesem Test 1 zu 0 1 heißt wir entscheiden uns für 1 0 heißt wir entscheiden uns für das war dieses gegen alle beide nur diesen und hier war die 0 über These
H 0 0 der große Bleichen 0 oder 1 über kleiner als man das
heißt wenn dieser Ausdruck kleiner gleich C ist ist entscheiden wir uns für mehr kleiner gleich mal 0 und andererseits führen will auch kleiner gleich 0 0 und einer großer C ist für mich der größte münden und das ist natürlich weil es heißt eben Jahr das ist eben die das arithmetische Mittel Klein alte Schätze für Mühe ist klein und dass sie einfach zu bestimmen zu können schreibe ich nicht so wie hier gerade eben auf der Tafel kleiner C sonnig du bist direkt normalisieren aber wenn das Ding hier klein ist dann ist auch diese normalisierte Zufallsvariable klein nur mit das kleine dem anders übersetzt aber dann hat kann ich dieses C relativ schön wenn wir nicht genau als kann ich es die genau ausdrucken wieder Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung während hier herrlich ich eben so modifiziert dass die König Austritt Mittasch Verteilungsfunktion der Standard verteilt okay dann haben wir noch so 14 Minuten soll ich ungefähr brauchen für den Rest und der Rest des recht viel ja
super finde ich auch gut das ist ja mal wieder hat immer
wieder toll geklappt thermisch was für eine
Planung aber ist nicht weiter schlimm warum ist es nicht weiter schlimm es ist deswegen nicht weiter
schlimm weil ein ich komme nur eine einzige Idee und die kann ich ihn auch und vor 10 Minuten erklären und dann vor die den 2. angewandt aber das ist eine nicht mehr interessant seit entscheidende was die jetzt noch verstehen sollten ist wird na ja war sollen ist folgendes Problem ergeben wir haben gerade Klaus der die ganze Zeit behandelt davor die Varianz als haben Sie Fragen sollte oder wollen sich nur weiter unterhalten oder so nicht dass sie stören müsse reinquatschen okay also das 1. was sie sehen sollten wir haben gerade denn daraus dass der handelt beim daraus Test der haben als einseitiges zweiseitiges ein Stichproben wurden 2 Stichproben Problemen können wird ein ich alles mit aus fest das Problem ist wir brauchen die Varianz die Varianz von unseren Daten wird einig in Anwendungen wie bekannt sein was haben Sie dagegen gemacht wir haben einfach die Varianz geschätzt man die geschätzte Varianz eingesetzt wenn wir allerdings diese Schätze einsetzen dann wird es normalerweise unser Niveau bedienen zerstören weil die Einnahmen an Verteilung sind nicht mehr erfüllt also Prinzip machen es jetzt genau so dass der Täter von Stuten wir schätzen die Varianz wieder aus unseren Daten zum Beispiel beim Fest für eine Stichprobe wenn die X 1 und identisch verteilt sind so ist die empirische Varianz sinnvolle Schätzungen dieses Erwartungs Treue und diese stark weg im Sinne der Vorlesung und der konsistente Schätzungen von der Varianz also im Prinzip klar aber einfach unsere empirische Varianz kleines Problem der die Verteilung seiner haben sie nicht mehr fühlt und damit darunter Niveau nicht mehr unbedingt erfüllt sein aber da hilft die folgende Beobachtung ich ihn hier oder Beweise präsentiere nur nicht in diese x 1 bis
x n unabhängig Mühe sich mal Quadrat verteilt so ist dieses Wurzel allen durch die empirische Streuung mal arithmetisches Mittel der XII das mit 0 nicht länger Standard normalverteilt Standard normalverteilt erst wenn ich hier zigmal einsetzen oder staatlich Streuung soll es gibt eine andere Verteilung dieser Verteilung ist es wenn man sich die Verteilung und hat ein Freiheitsgrad der Freiheitsgrade die Anzahl der so Summanden ja und diese Verteilung ist im Prinzip bekannt was ich werden jetzt nicht den Schreiben so schöne Formel wer wenig gefallen ich bin so für schreiben also oder können sich aus ähnlichen schreiben ich bin's abschreiben ich habe stattdessen Babyleichen gemacht und der Trick ist jetzt wir verwenden bei den Tests jetzt der sogenannten die Verteilung statt der Normalverteilung einzige Unterschied Bilderchen sind
hier Sie sehen hier nicht der Fall wird die Verteilung mit einem Freiheitsgrad ich die Fehler die Verteilung mit 5 Freiheitsgraden ich gefordert die Verteilung mit 20 Freiheitsgraden unnötig der Standard Normalverteilung zum Vergleich wenn Sie jetzt diese dichten der T Verteilung vergleichen mit der Dichte der Standard Normalverteilung fällt in Orden was auf wir werden je mehr Freiheitsgrade ist immer nähert sich der Normalverteilung 1 ist richtig also erstmal bezieht insgesamt alles ein bisschen nach mir Gaußschen Glockenkurve aus will aber wenn Sie Antworten ganz da oben stimmt nicht so ganz mit dir überein die Maßstäbe sind gleich sehen Sie den Unterschied zwischen dem Bild links oben und im Bild rechts unten so müssen wir eingedellt also sehen die Spitze müssen flacher als hier und sie sehen entsprechend weil beides nur muss der gesamte Flächeninhalt undercover einzahlen würdigte ist entsprechend sind an beiden Rändern mehr da ist da ist hier das sind hier die Funktionswerte noch früher als hier das heißt wenn sie letzten Endes nach nachaktivieren gucken werden ja dann sehen Sie auch was passiert das suchen Sie eine Stelle wo rechts von der Stelle gerade noch Flächeninhalt als ist das heißt wenn sie alle Vergleich lassen vielleicht 5 Prozent und das bei beiden Funktion machen dann ist die Funktion die hier höher ist dann müssen sie weiter nach außen gehen das heißt die Frage die wir werden größer werden das heißt den einseitigen Test sie werden seltener die 0 diese ablehnen und das liegt daran weil sie dann aufgrund diesen Test Problems wobei die
Varianz nicht als bekannt voraussetzen weil sie da mehr Unsicherheit bezüglich der zugrundeliegenden Verteilung hat ok was wir jetzt machen wir machen die
gleichen Test wie gerade eben nur Ebene statt Martin von war schon Normalverteilung setzen wir aktiv und hat die Verteilung ein das ist ein Seite es jetzt für eine Stichprobe neu ist dass das Signal jetzt ist noch unbekannt ist gleich über diesen wie bisher die Prüf- Größe verändert sich insofern dass sich statt den sieht man 0 die empirische waren empirische Strahlung einsetzen die Entscheidung ändert sich das sich hier statt im Alfa fragt die das von der Standard Normalverteilung dass alle verfolgt die von der T Verteilung mit denen es einst Freiheitsgraden einsetzen und auch darüber gibt es hat Tabellen bzw. das würde Ihnen dann einer Klausur vorgegeben werden wie groß dieses Ding ist gut Fragen dazu alter Prinzip der Test ist man sieht so wie bisher nur statt der unbekannten war oder bekannten Varianten setzen Sie jetzt die Streuung ein und starten fragt ihren von der Standard Normalverteilung in der Frage die wir von anderen Verteilung von Ati verteilt können Sie im vorigen Beispiel
machen das war das oder 1. Beispiel es war das mit den Kandidaten mit ihrer Leistungsfähigkeit einschätzen sollen wir hatten X wer gleich 6 comma decimal 4 Es Quadrat 61 comma decimal 7 wir testen H 0 0 klare gleich mit 0 1. H 1 viel größer als 0 zu Niveau ein Vergleich 5 Prozent der ich gehe hervor dass einfach Fakt oder 5 Prozent folgt der von der T N minus 1 Verteilung also hier die 14 Verteilung ist 2 comma decimal 1 zu 4 bei der Standard Normalverteilung was 1 comma decimal 6 5 das heißt der Wert ist jetzt größer bei der wird jetzt große Worte zurück gehen zu unseren Test bei der
wird jetzt größer wird also dieser wird es großer Vorteil nur selten abgelehnt was eben daran liegt weil das wir mehr Unsicherheit bezüglich der zugrunde liegenden Verteilung haben okay das einsetzen geht
dann im Prinzip genauso wie beim letzten Mal weil da hatten wir auch schon die empirische Varianz empirische Streuung genommen anstelle der waren Steuerung gibt der genau gleichen wert wir vergleichen es mit diesem T 14 comma decimal 0 aber 0 5 das wieder 3 comma decimal 1 6. jetziger größer als diese was wir gerade eben hatten wir glaube ich 1 comma decimal 9 7 mehr mal nachgucken zwar 2 comma decimal 1 4 was wir gerade eben hat aber 3 comma decimal 1 6 ist größer als 2 comma decimal 1 hier also 0 kann nach wie vor abgelehnt werden das heißt Resultat der Examenskandidaten schätzen ihre eigene Leistungsfähigkeit wieder zu schlecht gut Fragen dazu dann können wir das Gleiche noch mal machen mit dem zweiseitigen aus für 2 Stichproben wir machen einen zweiseitigen T testet 2 Stichproben raus anstelle von einem Frage die von der Standard Normalverteilung setzen wir ein geeignetes Quartier einer T Verteilung ein dieser mit entriss er mit minus 2 Freiheitsgraden ist die richtige Größe Kammer zeigen und es ist klar dieses Frage die wird er also die werden H 0 er heutiger ablehnen da behandelt wurden abgelehnt werden haben werden ja wieder ab wie oder wir werden Handel seltener ablehnen da wäre der Handel allem schon nicht abgelehnt haben werden wir jetzt einmal auch nicht ab möcht ich eigentlich gar nicht machen vielleicht nur ein Tippfehler auf meine Folien soll ich Ihnen noch sagen wenn sie wenn Sie bei der Folie sind
das ist die Folie da habe ich versehentlich sich Mandel geschrieben statt Sigma vertrat und das Sigmar ist natürlich unbekannt dass der Witz auf der Folie 264 also korrigieren Sie hier zigmal ersetzen Sie alles sieht man Quadrat durch Sigmar beitrat und Sigmar der unbekannt und haben sich dann selber entsprechenden Test Text noch wird es auch gut damit kann ich ehrlich und Zusammenfassung ich gehe einmal schnell drüber
Zusammenfassung der heutigen Vorlesung in Anwendung ist meist die Varianz der Daten unbekannt daher wird statt in sogenannten daraus dass der Täter ist angewendet bei dem statt der Varianz eine Schätzung der Zellen verwendet wird und die Tests Größe statt mit fragt ihren der Normalverteilung mit wie der sogenannten des Verteilung verglichen wird war der Punkt von gerade eben und zweitens bei den behandelten 2 Stichproben Problemen werden die Erwartungswerte zweier nochmal Stichproben mit gleicher Varianz verglichen der Test hängt dabei von der Differenz der arithmetischen Mittel der beiden Stichproben ab die geeignet normalisiert wird damit
kann ich noch zu Hinweisen zur Klausur was ich Ihnen noch
erzählen wollte und das haben wir hier ob
da also Glasur ist ja am 9. März 2010 noch so nachmittags wissen Sie das als ich 1. also einen Taschenrechner und Fremdsprachen wird das in keinerlei Hilfsmittel zugelassen wobei bei den Taschenrechner keine Einschränkung machen sie wissen keine Uhrzeit ja sie können auf die Umwelt Mathematik gehen da gibt für Klausur löste und zwar rechts und aktuelles versteht die drauf da sind die auf aus und ich glaube es war 15 Uhr bis 16 Uhr 30 oder so wenn es recht weiß aber wir müssen ja sowieso gucken wo ein Rechner sei sie müssen wir sind verschiedene als wie er die Information zur Klausuren hängen bereits oder sind bereits auf unsere Umwelt gesetzt 15 Uhr aber müssen sie sowieso und Ralf gucken in welchen wir sie kommen müssen es kann sein Sie schreiben nicht alle im gleichen ich glaube ich schreibe ich im gleichen Wasser okay also außer Taschenrechner und Fremdsprachen so Wörterbücher sind keinerlei Hilfsmittel zugelassen die Klausur besteht aus 5 Aufgaben von den 3 bearbeitet werden müssen es muss dabei angegeben welche werden welche 3 Aufgaben zu werden sind das heißt sie bekommen etwa so 5 Aufgaben können 2 weglassen und den Rest bearbeiten und müssen Anfang von eben ankreuzen wenn sie mehr Arbeit haben welche zu werden sind einfach damit wir bisschen weniger Auto auf und haben dann gibt es eine Aufgabe zu Studien und Umfragen ist das übliche ich gewinne wurden Zeitungsartikel vor mit einer spannenden und stellen den Fragen dazu in Bezug auf das Kapitel zu studieren und fragen es gibt eine Aufgabe zur beschreibende Statistik das ist so üblich Aufgabe kriegen worden welche Histogramme Box Platz Streudiagramm und müssen und was dazu sagen statistische Maßzahl müssen sie eilig ich keine auswendig wissen Sie sollten vielleicht noch das ganze im Zusammenhang in Bockstadt wissen also was steht alles drin und Sie sollten wissen dass empirische arithmetische Mittelung empirische Varianz dann kommt eine Aufgabe zu Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie ja was kann ich da frage ich dann fragen was eine Wahrscheinlichkeit in solche Dinge wie Bereich nicht Wahrscheinlichkeiten einzeln Modellen kann ich ihnen vorgeben ich kann sie Erwartungswerte berechnen lassen ich kann sie Varianzen berechnen lassen sie müssen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie noch das starke Gesetz der großen Zahlen gehen auch empirische stark Gesetz der großen Zahlen und den zentralen Trends verzeihe ich auch IV nicht nur Zelldichte müssen keine auswendig gewusst werden außer die der Gleichverteilung einerseits die diskreten Gleichverteilung genau plus Vorraum müssen Sie kennen einerseits die stetige Gleichverteilung also ich sage gleich wird hat man zu was alles gleich verteilt auf Intervall von 1 bis 3 müssen sie in der Lage sein die selber einzuschreiten alle andern wissen sie nicht wissen die letzte dann eine Aufgabe kann zu schließende Statistik dadurch schon versprochener kommt es an wobei sich die Aufgaben an den Beispielen der Vorlesung denn Testübungen orientiere dann gibt es noch eine letzte Aufgabe wieder andere Inhalte Verständnisfragen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und zu schließende Statistik als solche Sachen wie Was ist eine Wahrscheinlichkeit was gesagt es empirische Gesetz der großen Zahlen was gesagt der zentrale Grenzwert Satz oder so was ok wenn es antreten wenn sie Probleme in der Schule mit Mathematik haben können Sie alles die Klausur stehen ohne um welche Schulmathematik zu brauchen also können die Aufgabe über wie du in Umfragen machen über beschreibende Statistik und die Verständnisfragen auch die wird es eigentlich 4 können sicher machen ohne ohne groß um die Schulmathematik zu brauchen also daran wird sicher nicht scheitert sie brauchen nur 3 also schließen Sie alle mit 120 Prozent ab von 5 wir werden bauen aber Sie können doch 5 sie können 5 nur brauche nur 300 bis möchlich Prozentzahl ausrechnen aber er ist der kann das ja sieht 13 die 3 an und natürlich werden nur die 3 gewertet okay haben Sie ob die Klausur ungefähr den Schwierigkeitsgrad hat wie die Klausur letztes Jahr ja das kommt immer darauf an aus welchem Blickwinkel man es betrachtete ja also ich erinnere ich mal dass ich und meine S-Bahn saß neben mir war war einer der hat sich damit seinen Freund unterhalten und gesagt das was ich da gerade meine Promotion aufgeschrieben hat das der Kurt sich auch in Mathematik über Schule gehabt habe ich gedacht gab es sicher rechtliche aus seinem Blickwinkel betrachtet wird es bald genug angucken der aus meinem wirklich würde sagen es wird genauso schwer wie beim letzten Mal okay aber also für mich aber keine Ahnung einig sollte so schwer werden über letzten also ich würde nicht mehr die gleichen Aufgaben das ist die Einschränkung aber sollte nicht unbedingt schwerer werden als beim letzten Mal okay ist es nicht das jeweils eine Aufgabe davon dann kommt ja wenn ich Ihnen sage kommt es einer Klausur soll dran ich habe dich also so gemacht aber ich verspreche nichts danach also ok also wenn nach der so habe ich noch nicht gemacht deswegen ich da auch nichts zu versprechen aber die eigentliche halb Klausur jetzt wird genauso aussehen dann wäre die nach Klausur die nach Klausur ansieht also findet jedes Semester statt also erst nächstes Semester in sprechen Prüfungszeitraum nein aber sie bleiben weil ich die nahtlose sollte man nicht die eigene bestehende sie würden in der wir hatten ja wissen Sie ich hatte super Studiengänge die haben so alt wie gefragt da machen und die sind der einzige der durch eine Stimme das ganz aber mir klar es gibt für das gilt für alle Studiengänge und wird es gibt eine Klausur die haben eine Vorlesungen machen eine Klausur nicht mehr etwas ungefähr wir können zudem Probeklausuren Lösungen haben was ist die Probeklausur sehr alte Klausur von ist die Nachfrage Klausur schicken Sie eine Email von einer werden Fragen mal ob es ihnen geben kann ich würde aber kann seine hatte elektronisch nicht ich glaube an die nicht getippt nee also haben die nicht getippt es ein kleines Problem an dann schicken Sie keine immer mehr tut mir leid aber Sie haben ja sie ja ich war im Prinzip diese diese Glasur Aufgaben kam ja auch immer wieder in den Übungen dran und so wenn sie die Übungsaufgaben sich angucken also daran entsprechende Lösungen und die Klausur Aufgaben orientieren sich auch an den an den Übungsaufgaben reicht nicht noch eine Frage ja gut dann wünsche ich Ihnen allen viel Spaß am 9. März 2010 und auch noch viel Spaß beim weiteren Studium
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