Beweis von Satz 3.3

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Beweis von Satz 3.3
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5
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28
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Identifiers
Publisher
Release Date
2010
Language
German

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Subject Area
Abstract
Aufgabe der Statistik ist es, Rückschlüsse aus Beobachtungen zu ziehen, die unter dem Einfluss des Zufalls enstanden sind. Diese Vorlesung gibt eine umfassende Einführung in die zugehörige mathematische Theorie. Behandelt werden u.a.: Hauptsatz der Mathematischen Statistik, Dichteschätzung, nichtparametrische Regressionsschätzung, Punktschätzverfahren, statistische Tests, Bereichsschätzverfahren.
INTEGRAL Kernfunktion Function (mathematics) Mass Parameter (computer programming) Theory Expected value Estimator Radius Population density Prediction Ecke Estimation Mathematical statistics Absolute value Random variable
Zahl Operational amplifier Maximum (disambiguation) Variance Square Mass Theory Expected value Distortion Estimator Wind wave Radius Term (mathematics) Modulform Estimation Summation Abschätzung Absolute value Factorization Thomas Bayes
Logical constant Variance Square Theory Number Expected value Pressure volume diagram Estimator Arithmetic mean Population density Radius Term (mathematics) Factory (trading post) Summation Factorization Random variable
Hausdorff space Expected value Datenerhebung Wind wave Zusammenhang <Mathematik> Prediction Estimation Square Weight Sample (statistics) Random variable
Three-dimensional space Sturm's theorem Collision Observational error Measurement Connected space Position Frequency Sign (mathematics) Field (agriculture) Velocity Hydraulic motor Absolute value Strömung
Expected value Greatest element Prediction Modulform Estimation Liquid Square Function (mathematics) Strömung Mathematical model Random variable
Logical constant Greatest element Ende <Graphentheorie> Function (mathematics) Inequality (mathematics) Dreiecksungleichung Mathematical structure Expected value Estimator Integrierbarkeit Term (mathematics) Partition of a set Estimation Summation Absolute value Random variable Konvexe Funktion Product (category theory) Gradient Square Conditional expectation Lattice (order) Probability theory Measurable function Prediction Hilbert space Factorization
Probability distribution Estimator Random variable
die begrüße Sie recht herzlich zur heutigen
Vorlesungen in der mathematischen Statistik ja man letzten Mal behandelt die Dichte Schätzungen gegeben sind hier und bei identischer teilte er den der Zufallsvariablen X 1 X bis 6 N mit dichte F von der die nach ihrer Dichte bezüglich des Lübecker Reimers ist gesuchteste Schätzung FN Funktion von Aldi nach er die auch von diesen gegebenen Zufallsvariablen X 1 bis X N abhängt von der Dichte ist die geschätzte Dichte kann zur Vorhersage von Wahrscheinlichkeiten verwendet werden wenn der L 1 Fehler zwischen Schätzung und war dichte klein ist denn es gibt es so genannte Lämmer von Chef W wenn wir 2 dichten haben F und G dann ist der 1 zwischen 11 und gehe alles integrale bei RB von der Betrag von Evonik Siemens G 1 X gleich zweimal dem positiv Anteil von der Differenz zwischen F und G auf integriert bezüglich A D genauso wenn Sie FMG vertauschen positiv Anteil zwischen G und F und die entscheiden Aussage ist gleich zweimal den zu bringen über alle B aus B des Borrell länger schnellen integral über B von X eines integral BG von XTX Betrag das 1. integralen Integrale OBL von Text der können Sie sagen wer die Vorhersage der aller Wahrscheinlichkeit wenn es die Dichte ist oder wer die Wahrscheinlichkeiten F die dicht ist die 2. in gerade die Wahrscheinlichkeit hingegen dichte ist und die sogenannte Tode weil ich schon Distanz zwischen den beiden alles so bringen über alle Vorhersagen von betrat dieser beiden der Wahrscheinlichkeiten das ist gerade der 1 wieder das heißt wenn der L 1 wieder mal Schätzungen klein ist dann ist auch dieser Fehler bei Vorhersage der Wahrscheinlichkeiten klein wir haben dann zur Motivation wichtig Herz an das sogenannte dichte Theorien von der Decke kennen gelernt wenn es von Erdinger er eine Dichte ist so gilt für deckt fast alle x aus er denn wenn sie eine kleine Kugel um X ne mit Radius r und sie integrieren F von X über diese Kugel teilen durch dass der Webmaster Kugel lassen den Radius der Kugel gegen 0 gehen dann geht das F von X Funktionswert der Dichte an der Stelle x ich habe ihn dann vorgestellt in kann ich die von Rosenbladt Hasen FN von X ist gleich 1 durch in Bahrain hoch die ebenso wie ihr gleich 1 bis n K von X minus XI durch H am wobei K der ist die so genannte Kernfunktion es der Funktion von er eine dichte sein soll einfachste Fall der naive gern das heißt K ist die Indikator Funktionen zur Kugel mit Radius 1 1 0 period geteilt durch das der Welt Maß von dieser Kugel also dieser Skalierungsfaktor ist dazu da damit das integral darüber gleich 1 ist es ganz ähnlich der gibt und war ein großer 0 diesen Parametern der bestimmt wie stark die Diäten werden soll ist die so genannte Bandbreite ich will Ihnen heute im 1. Teil der Stunde zeigen Satz 3 3 wenn zu weit wenn x 1 x 2 und so weiter und unabhängig identischer teilte Zufallsvariablen sind Werte in der des mittig der F F wenn es wie gerade eben der kann sich die K ist sie gerade eben eine Rede kann dann gilt aus den beiden bedienen H hingegen nur sehr entgegen endlich und in Mannheim noch die gegen endlich den endlich das heißt die Bandbreite muss einerseits gegen 0 gehen darf aber andererseits auch nicht zu schnell gegen 0 gehen folgt der Einzeller zwischen der den kann sich die Schätze und der war nicht der also gerade war es in der nächsten dass er von Aids Betrag X brachen sie in der finstern Ecke stehen die ganzen Zufallsvariablen drin deswegen ist das was da steht das integral einig abhängen von den Werten der Zufallsvariablen also selber eine nicht negative Zufallsvariablen und dieser nicht negative zufällige Fehler und konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen 0 und zwar ganz egal wie die ursprüngliche dichte ausgesehen hat sofern seine Dichte ist das heißt es Resultat gilt gleichmäßig bezüglich eigentlich tun bevor es Beweise vielleicht noch einige Prüfungsfragen dazu die 1. 4 hat mir schon Nummer 5 inwiefern kann lediglich Schätze unterschätzen von Wahrscheinlichkeiten eingesetzt werden welches viele Kriterium für dich die Schätzung ist aber entscheidend und müssen Sie in der von Steffi Erlen und ein Frage 6 formulieren beweisen das Lemma von Chili des dabei genügt ein Beweis ein Bild also primär mündliche Prüfung einer schriftlichen Prüfung müssen wahrscheinlich ihren ausführlichen Beweis machen einem weiß bitte schon schlecht geht schriftlichen Prüfung und 7 formulieren Sie das dichte Theorien von der Decke und der weisen Sie essen Spezialfall dass ich stetiges zwar das was der letzte Stunde gezeigt haben okay damit komme ich zum wer weiß von Satz 3 3 oder haben Sie darum welche Fragen keine Frage comma zum Beweis Satz 3 3 also wir zeigen von wird gegen ihn den endlich also L 1 Geschichten ein bisschen ungeschickt ich mache mir Patricks der 1. Track ist ich oder der Haupt ich ziemlich auf eine punktweise L 2 Konvergenz zurück das heißt ich werde zeigen dass das ganze Ding dass es hingegen ist period war 7 2 7 konvergiert und das machen wir mit Hilfe des Scheffler also wenn es ankucken Erwartungswert ihren der nämlich ist Mann von Steffen denn da wissen wir wir können den L 1 will umschreiben als zweimal bis integral über denn positiv Teil der Differenz von F 1 und F und ich kann jetzt entweder F NSF positiv teilnehmen oder es minus 11 n gleich nach den Satz von Amal Ursiden Konvergenz anwenden werde schreibe ich es mir SFN hat erst mal unter automatisch F diesen aussehen werden also wir machen ja
Erwartungswert und dann wenn ich einmal Phobie an und Zielen an sich keine 2 aus den Minderheit dieser war das Herz und sie und vertauschen Erwartungswert des integral und jetzt sehen Sie ich möchte zeigen integral konvergiert gegen 0 ich mache das mit meiner der Konvergenz ich weiß der Integrand immer kleiner gleich als er von X weil er von nix sehr Informix positiv Teil ist sicherlich keine gleich als F von X F von nächstes deterministisch also auch der Wartungs- wer davon ist aber gleich der von Phoenix und der von X integrierbar beißen dicht ist was ich habe integrierbar rannte das heißt es genügte zeigen dass es dir period Weise gegen 0 konvertiert also wegen das ist lange gleich er verlegt folgt dies aus oder genügt es zu zeigen der Erwartungswert von Erwartungswert von F von müsse ein von Aids positiv Tal von geht gegen 0 4 in gegen endlich würde der fast alle x und da habe ich eine ziehen den Satz von majorisierten Konvergenz angewendet der sagt die punktweise Konvergenz gemeinsam mit meiner Rente reicht aus damit es sind 3 Gründe gibt oder beziehungsweise punktweise Konvergenz gemeinsam mit der Existenz immer an der reicht aus damit ich es denn mit dem Integrator tauschen kann und wenn in die kann dann auch noch gegen konvergiert habe ich eben als Grenzwert das integral über 0 was nun ist weiter okay Ansätze für eine punktweise Konvergenz zeigen ein bisschen stört noch diese positiv Tal das ein bisschen und wollte auf fortlaufende 2 Argument hinaus aber das sehen Sie vielleicht auch schon fast was ich jetzt mache es sage ich einfach dieser positiv Anteil ist leider gleich das den Betrag der Differenz und ich Erwartungshaltung Betrag stellt sich mit Kohle schwarz ab als nutzlos Erwartungswert von Quadrat also wegen was sich mit aus das ist lange gleich als Erwartungswert und tragisch schreibe mal F FN von X 1 er von nix also einfach wenn Sie überlegen was war dieser positiv an teilt das war das Maximum von von X SFN von Text und 0 ist natürlich kleiner gleich als er von X SFN von X ist wiederum kleiner gleich dass der Betrag von FN von Exxon dass er von nichts oder so nix müsse den zunächst nur mit Drakes die Reihenfolge egal ok jetzt nur noch Uschi Schwarz und comma 14 aus denn und dann sehen Sie jetzt genügt es wieder unter zeigen dass dieser quadratische Fälle gegen konvertiert also wegen dem Volk dies wiederum aus nein ich vielleicht mal standen Erwartungswert von wer und das ist das was sie im folgenden sein ok fragen sollte mehr fragen keine Fragen stellt sich die Frage warum man sich auf so ein quadratischen Fehler hinaus oder Sohn erwarteten quadratischen Fehler was ist daran schön da alle schön das ist der sogenannte Bayers Varianz der Leben gibt die kommt gleich ich keinen Fehler zerlegen in 2 Teile die ich beide relativ einfach amüsieren kann ok also machen wir nachweisen stammen es gilt was jetzt kommt ist die sogenannte beides Varianz der leben vom quadratischen Fehler erwarteten quadratischen Fehler den er später auch noch mal werden period Schätzverfahren bekommen nein also was ich dir habe aber dieser Betrag FN vernichtendes er von Aids zum Quadrat der 1. Track unübliche Dreck Betrag zum Quadrat ist gleich die Golddraht allein das heißt sie bauen nicht anders da vertrag steht und dann unterschiedlichen intern einen ziehen sehr agierende 100 10 ab addieren der dazu und nur ganz aus und intern wenig einschieben dass ist der Erwartungswert von FN von X das heiße schreiben es umständlich um als FN von X minus Erwartungswert von FN von X plus Erwartungswert von FN von X minus er von X 1 dann haben wir um
1. beiden gerne zusammen die letzten beiden Terme zusammen multiplizieren aus eine willkommene Summe von 2 Gemischen der ein Quadrat 2 Quadraten einmischen und der Witz an der Geschichte ist dass Erwartungswert von Gemischen deren gleich 0 sein wird das heißt ich schreibe man den Erwartungswert zum 1. bereit dann schreibe ich ihn Erwartungswert vom 2. beraten und wenn man sich den zweiten Term angucken der zweite Term ist Erwartungswert von F 1 von X minus von X Erwartungswert von FN von nächstes deterministisch F von X ist auch der deterministisch seit der 2. Termin nicht mehr vom Zufall ab das heißt ich kann den Erwartungswert einig weglassen gleiche nicht lassen gleich weg weil ich mir einen Buchstaben sparen und dann kommt noch der gemischte Tyan untermischen der zeige ich gleich dass er gleich 0 ist 0 um zu zeigen dass der gemischte vermindert hat gleich 0 ist muss ich mir den Erwartungswert von 2 FN von X minus Erwartungswerte FN von X X Erwartungswert von in für nächsten des F von X angucken der Faktor 2 kann ich ausziehen spielt keine Rolle wenn ich zeigen will dass es gleich 0 ist das heißt ich gucke nur den Erwartungswert von Produkt an wir werden und ich möchte zeigen dass diese Erwartung wird gleich 0 ist das sehen Sie unter Umständen schon beieinander wenn Sie den Korken wird es eben das was da hinten steht es mehr zahlen wenn das was darin steht Meldezahl es keine Soßen Erwartungswert einfach ausdehnen dann bleibt noch der Ort ist wird von den Termin übrig sollte die Tafel des hochschieben dran als ich die aber den diese Welle Zahl aus aus Erwartungswert sie an und dann habe ich noch den 1. Faktor beim 1. Faktor dessen Erwartungswert der Differenz ist die Differenz der Wartungs- werden der 1. Term ist Erwartungswert von FN Felix der zweite Term dann kommt Minus Wartungs- wird vom zweiten Term der zweite Term ist mistisch Erwartungswerte gibt es sind intern selber Gebrauch Erwartungswert von FM Felix ja Sie sehen es steht der gleiche Thern zweimal mit minus dazwischen das heißt die Differenz ist 0 das heißt das ganze Ding ist 0 ok das heißt ich habe den Fehler zerlegt in 2 Termine ohne Abschätzung dabei zu machen also es Gleichheit und alles klar um zu zeigen dass der Fehler gegen 0 konvergiert muss sich zeigen 1. deren konvergiert gegen 0 2. deren gegen konnte geht gegen sie können sich den 1. ja noch mal ein bisschen genau einst gucken dann sehen Sie das ist eigentlich die Varianz von FN von X an der Stelle das sehen wir das ist man in der meisten seiner Varianz oder Varianz der und das da ist die Summe also das und das Quadrat ist das sogenannte Bayes auf Deutsch Verzerrung der also wie weit die Beichte Erwartungswert vom Warenwert ab nein ok also das ganze Ding ist gleich Varianz von S 1 von X ab also jetzt müssen wir uns selber Art angucken wie sie die Varianz von der Rente nix aus wie sieht der Erwartungswert von F 1 von X minus er von X aus wir wir erinnern uns noch mal was war er in Felix mehr als eng vernetzt war der kann sich die Schätze kann ich das jetzt mit naiven kann wenn es darüber überlegen als ich könne die Formen schreiben die beeinflussende Definition hatten werden noch Formel zu Motivation diese Formel zu Motivation mehr als was Ausgangspunkt von den er war es der Beck für dich Theorien Dame gesagt wir approximieren F von X durch des integral über F von X über so eine kleine Kugel geteilt durch das Maß von der Google des die kleine Kugel da haben wir ja der Ball mit Radius H N und X genommen das war so und es war 1 x Rechnung alles war ist der Beck Maß von der Kugel und dann haben wir auch das integral der Kugel sind die gerade von der Kugel am Biertisch geschätzt durch die also integral über F von X X wäre das wer gerade der wahre Maß wert wenn Myles Ware ist die zu f gehörende Verteilung wäre es ja gerade mich von diesen S H 1 von Aids das habe geschätzt durch die empirische Verteilung und diese empirische Verteilung war einst durch n somit die gleich 1 bis 1 Indikator Funktion von SHA-1 von X Phoenix und hier konnte Ziele die Vorstellung das sich auf einer langen Papierrolle schreibe ohne jemals aufzuhören und deswegen kann ich einfach Sie oben schreiben und sie müssen lang genug zurückdrehen Papierrolle das High-Definition vom oder die Motivation es kann ich die mehr dort also haben damals das auf die Form von dem
kann ich die Schätze brachte mich jetzt habe ich das natürlich auch genauso wieder zurück machen Rechnung okay mit dem Ganzen sehen folgt ja wir gucken uns erst mal den Erwartungswert von FN von nix an den Faktor 1 durch davon dass ein von etwa 7 stehen dann habe Erwartungswert vom arithmetischen Mittel die Zufallsvariablen sind identisch verteilt deswegen ist einfach der Erwartungswert vom 1. das heißt hier steht ich Erwartungswert von die 1 von X von X 1 1 F die Dichte von X 1 dann können Sie so umschreiben als integral mit der Dichte dann sehen sehen dass hier steht eines integral es war von der von der o durch Herbert Maas von Zahlen von nix 1 ja wir sie bei den der den wir aus dem bewerkstelligte schändliche Theorien gehen wenn ich sie nehmen Dichte integrieren eine kleine Kugel um festen period Teil noch durch das Verdeck maßvollen Kugel und lassen Radius gegen 0 gehen konvergiert machen bewerkstelligte Theorien gegen den Funktionswerte Dichte an der Stelle x Mittelpunkt der Kugel für der Welt fast alle x alles das ganze Ding ich freue mich auf das H 1 gegen 0 geht werden geben endlich nach Voraussetzungen und dann sehen Sie das ganze Ding geht gegen davon nix wird period ja und damit sie wir sehen Sie schon mal den 2. Termin haben geht gegen 0 von dem weg was alle x und wir müssen uns nur die Varianz angucken tragen so weit fragen das scheint alles klar zu sein dann würde ich vorschlagen ich mich mal die vordere Tafel und sie versuchen wir selber die Varianz auszurechnen können wir er machen ganz von den der ja okay was wir brauchen ist die Varianz von der wenn Felix wobei FN von nix mit der obigen Formeln gegeben ist hat jemand vorschlagen was und vom können als sie vor Faktoren quadratisch aus denen eine Varianz richtig war kann die Summe auflösen weil die Welt verteilt sind auch richtig was meinen Sie mit auflösen erst mal schreiben es die Summe der Varianzen die Varianz von der Summe ist die Summe der Varianzen wenn die Zufallsvariablen und im unabhängig sind und die sind hier unabhängig weil die x 1 x 2 und so weiter sind unabhängig deswegen sind auch diese Funktion der x 1 x 2 unabhängig das heißt ich kann den Faktor quadratisch aus denn ich kann die Summe aus dem habe die einzelnen Varianten noch Mama vielleicht noch einmal so dann bleibt nur übrig die Varianz von ISH in Felix von ihn und verwendet aber die Unabhängigkeit sowie die Rechenregeln Varianzen ok und nun jetzt können Sie da immer jetzt ein Schreiben Zufallsvariablen noch identisch verteilt sind das heißt ich kann das XII durch x 1 ersetzen und dann sehen Sie da später in Mali Einzel Varianz keine mitten im Quadrat mehr also hier steht jetzt noch 1 durch einmal und da es Anfang nächsten Beitrag mal immer Varianz von den 1. Termin okay was mache ich nun ich könnte umschreiben ihn Erwartungswert Quadraten das Erwartungswert selber zum Quadrat ich könnte ausnützen B-1B verteilte Zufallsvariablen ich kenne deswegen die Varianz SP-X 1 bin ich kann auch direkt nur und das werde ich machen einfach nur noch um abschätzen durch den Erwartungswert von Quadrat und Erwartungswert von Quadrat in die Karte von Erwartungswert das ist ist leider gleich ich mache nur noch was ich ziehe mal hier noch den Faktor 1 raus aus den wir also ich Escalier gerade die Kugel mit dem Faktor H 1 dann ändert sich das ja Bergmassen wegen uns nahenden
Faktor ein Ruck gehen das heißt ich kann dann Faktorei noch die rostigen comma sich auf 1 durch n x war ein hoch meine Denkmals vom einzelnen S 1 0 ja ich dann wieder kommt auch beliebig verschieben zum Quadrat und hier steht den Erwartungswert von ihm das war für nix von X 1 okay und Jungfrauen waren hier eben Mariannens ist kleiner gleich Erwartungswert von Quadrat und das Quadrat ändert nichts an Indikatoren zum okay Netz könnten sich schon fast sehen oder was alles passiert was jetzt haben Sie den Termin an können Sie genauso umschreiben wie den um interne schon ein freies hatten das heißt ich kann so etwa in den Medien kam vor Warzen ich habe dann eigentlich noch in 1 durch in Mannheim noch die stehen hat noch stehen ich habe ihren 1 durch ja ich das nur einmal noch die Kugel nein stehen und ich habe dann hier das integral über das war eine von X wer von die weil 11 Dichte von X 1 ist geteilt durch jetzt eigentlich ja da schreib ich mal so ein hoch dem mal der Detmers von es 1 von 0 mehr ja und jetzt sehen Sie eigentlich was passiert was passiert mit den die Dinge von X weil das da ist das Gleiche wie wir der von SHA-1 von X wenn es wieder rückgängig macht dann heißt es dichte Theorien von der Decke anwenden dann geht das ganze gegen von X dann hatten wir die Voraussetzung dass einmal ein hoch die gegen endlich Geld sehen Sie auch warum weil hier steht es 1 durch das ganze Ding das heißt das ganze Ding geht gegen 0 wenn gegen endlich nach Voraussetzungen das war gegen 11 1 x für Lübeck fast alle x das einfach eine Konstante er von X des 1. Innere erledigt der es also er endlich abwärts dann sehen Sie dieser Faktor der gegen 0 konvergiert mal diesen Vater der gegen diesen in wird konvergiert mal diesen konstanten Faktor geht konvergiert insgesamt gegen 0 denn damit wir fertig weiter ausführte zu behaupten der mit der Welle 2. konnte geht gegen würde für Welt fast Alex immer von schon gesehen die jetzt der 1. Term Kunde geht auch gegen 0 und damit dem Mittelstand gezeigt was unser Behauptungen indiziert also sehen der zweite Teil von Weißwein ich völligst Weltformat und durch rechnen Sie müssen nur so was wissen der gibt so was wie bei Varianz zerlegen und später noch mal und dann können Sie die beiden Terme einig Dreck ausrechnen und der 1. Teil mehr müssen sein wissen Sie den Namen Steffi an und einer nach Kohle schwarz Probleme das Wort okay sie sehen es wahnsinnig schwer das war deswegen auch nicht schwer und weiß wesentlich allgemeiner gilt nachrichten Bemerkungen nein es war glaube ich Satz 3 3 ihr geworden Satz 3 3 Geld allgemeiner genaue gilt ich machen immer die gleichen Voraussetzungen wie in Satz 3 3 allerdings ohne dass ich und dass die Bedienungen H 1 in Mannheim noch die gegen endlich vorgeht sollen Innauer gilt er also wenn 1 gegen 0 korrigiert dann haben wir dort eben gesehen dass indizierte L 1 wieder konvergiert gegen 0 nach Wahrscheinlichkeit und das kann man eben man deutlich aufwendiger und weiß verschärfen und der Mann zeigt hier gilt sogar fast sichere Konvergenz alles werfen Resultat zur Schau und Konsistenz für alle dichten F und dann können Sie es noch weiter verschärfen denn sie sagen dieser Schätze diese Eigenschaft hat dann muss umgekehrt auch noch die Bandbreite gegen 0 konvergieren und in Mannheim noch die gehen endlich und dann können Sie noch kann des Absch wenn kann bisschen allgemeiner wählen und Sie haben es die allgemeine passen machen wir nicht ich geben einfach Fachliteratur dazu an dass wir Buch von der Freunde auf wie aus dem Jahr 85 ja man vermittelt die den sieht die 1. Menschen wir worden Fügung ist mittlerweile im Handel nicht mehr erhältlich wurde vor Jahren aus dem Druck genommen und lud der Frau hat sich damals furchtbar aufgeregt bei der Färber bei der Verlag damals die der übrigen Exemplare dieses schon gedruckt haben er kurzerhand eingestampft haben Stadt und wie den Autoren und Mitte schenken oder so aber sie finden wenn sie super Frau bei Google ein geben finden Sie seine Umwelt und er ihr Herz auf der Umwelt als PDF dass die könnten direkt runterladen wenn sie sind es nicht okay fragen keine Fragen werden dann nur die 5 Minuten Pause machen sind mischen und danach machen und weiter mit Kapitel 4 zu nicht damit schon etwas so ja aber ich ganz gern weitermachen ich weiß nicht ob Ihnen aufgefallen ist
dass der Chor heute wieder gar keine Lust hatten das gebrannte gucken so aber ist auch Montag bis man unsere montagsmorgens gibt immer ausgeruht ist und so weiter so man das auch noch so hinkriegen okay sie müssen wird auch ein Skript reingucken es Versicherter zischte gar nicht finden also es gibt Kapitel 4 ungefähr den nächsten ja heute nun vielleicht noch 3 Vorlesungen dreieinhalb vorlesen machen wir nochmal Sachen die nicht es gibt stehen es gibt Kapitel 4. nicht Barmädchen Aggression Schätzung und wir fangen an mit Abschnitt 4 1 Einführung er wir fangen an mit Erde kreuzt er dagegen Zufallsvariablen X Y X 1 y 1 und so weiter also X sei er sich y man Wind erinnerte an ich setze aus der Sicht der quadratischen die Firma ist ach so ich der zu Hause aber identisch verteilt sind alle sein wir haben oder wenn die Kopien des gleichen zuweist etwas XY ich setze voraus dass Erwartungswert von y zum Quadrat langen endlich ist ich dachte mir dann eben der Funktion von der nach ja durch von X seine bedingt Erwartungswert und Ibsen gegeben Grosics gleich x das heißt von X ist der durchschnittliche wird den y 1 wenn rosigsten der kleinlich annimmt und ist die sogenannte Aggressions- Funktion und die Problemstellungen die wir jetzt betrachten ist die Schätzung dieser Persons Funktion ausgehend von einer Stichprobe von der Teilung von XY das heißt gegeben habe ich X 1 y 1 bis X N Ibsen in beziehungsweise nur konkreten Anwendungen deren Werte gesucht ist Schätzungen M man von dieser Funktion gesucht Schätzung N und wieder mehr Funktion die eben von diesen zufälligen Werten abhängt und diese zufällige Werte unter Druck in der Schreibweise ziele bei dieser ganzen Konstruktion einer solchen Schätzung oder warum mache ich sowas da gibt es je nach Anwendungen 2 verschiedene manchmal sind aber comma beide gleichzeitig vor das erste Ziel der Interpretation des Zusammenhangs zwischen XY das heißt mich interessiert wie ihn die für die wir inwieweit oder inwieweit fordert von y durch den Wert von x beeinflusst zum Beispiel konkret an wenn als y bis Welle also noch ein Beispiel aus der Biologie selbst ist seines Gewicht einer amerikanischen bald drosseln und X sei das Alter der Waldhäusl und da interessiert sich interessieren sich dafür und wie verändert sich das Gewicht dieses Vogels im Laufe des Alltags also in die mir bei dem bis zu wie weit kann das zu und so weiter das ist nicht lachen ich machen Biologen ernsthaft solche Sachen also muss ich überlege er wie verändert sich der Vogel im Laufe der Zeit und der kommen so Sachen aus dem Jahr wenn sie Gewichts sich angucken das Gericht natürlich zu holen und dann sehen Sie auf einmal gibt eine komische deren Ziele Abundanz wird weitet dann sind sie ein bisschen zu bleibt konstant dann können Sie erklären Jahr diese Delle das ist die Zeit wurde Vogel gerade für geboten sein ist und da sich mehr bewegt und deswegen kann das Gewicht auf 1 ab wenn Sie können sicher überlegen ok Muster die Zufallsvariablen im Alter das hängt mit der Datenerhebung zusammen da wurden sie die Vögel gleich nach der Geburt also den Datensatz den ich da keine das war außen beide Nähe von amerikanischen geht wurde erhoben da wurden die für die gleich nach der Geburt beginnt und dann dann später eben wieder gefangen und dieses wieder befahren war eben zum Teil zufälliger also wann sie genau wieder gefangen und deswegen war dieses Alter was Sie da haben der zufällig aber sie konnten anhand des Ring dann sagen wie alt sind die Fluten konnten sie würden sie mehrfach gemessen zentral und manchmal auch einer gewissen andere Beispiele wären wäre die hängt vielleicht die wohl größte vom Einkommen ab also die Wohnfläche die Sie haben in die Weite die beeinflusst das Einkommen und so weiter und so weiter 2. Sie der Interpretation des wer die Vorhersage von werden alle wollen sie
ausgehend von denn Wert von X den zugehörigen wird von y sagen Beispiel wäre hier und sie versuchen den Schadstoff aus Stoß eines Motors vorherzusagen dass wir y also irgendeine Schadstoffmenge von einer vor einem speziellen Stoff den Sie als Schadstoff ein schätzen und externe Einstellungen den Angaben zur Einstellung des Motors zu modernen Motoren und zweistelligen Drosselklappe Museen Hubraum verhindern können wenn wir die Idee ja bin ich denn die Drosselklappe verändere wäre die ändert sich dann meine Schadstoffe aus Ausschuss in der oder
was wir gerade machen konkret in der Arbeitsgruppe alles eine Sache die den Arbeitsprobe gemacht haben gemeinsam mit Ingenieuren waren von der Diplomarbeit Diplomanden von mir untersucht was wir gerade machen werden so Sachen wie Strahlungsmessungen von also Messungen von dreidimensionalen Sturms Feldern da wurden sehen zur Trainer Zeichen in das Sturmfeld der Einführung des heißen kleine Partikel Vision wie also die würden sich dann dafür ist eine Strömungs- mehr zum Beispiel noch Flüssigkeit die würden sich dann der Flüssigkeit verteilen dann wurden sie mit 3 Kameras oder machen Sie mit 3 Kameras Bilder davon dadurch können sie die räumliche Position dieser Strömung Starlet Teilchen bestimmen das machen sie mir kurzen Frequenz hintereinander dann versuchen sie die Artikel in aufeinanderfolgenden Zeitung im tun sie versuchen sie zu identifizieren in den sie und wir sagen ja sie versuchen es Teilchen über die Zeit zu verfolgen denn Sie sagen ja ok das ein Zeichen war bisher da bisher hat sich so bewegte zuletzt wahrscheinlich dahin und dann kommen sie wäre welches Zeichen kann passen welche Position konnte sein dann kriegen Sie die Position miteinander und damit können Sie die Geschwindigkeit des Teilchens ausrechnen und die Geschwindigkeit weiter haben sie auch den Ortsvektor des Zeichens Unabhängigkeit von Ortsvektor wollen Sie dann die Geschwindigkeit also der Betrag der Geschwindigkeit oder eines über wird sondern er 3 der dich ja Sie haben 3 verschiedene gesund Probleme zu wollen 3 Komponenten vorhersagen ändert aber nichts großen Problemen und dann wollen sie dann haben sie das eben für Ihre Trainer Teilchen da wo sie gemessen haben und jetzt haben Sie natürlich Messfehler drin und wollen das ganze Ding so weich glätten und wollen es
auch kontinuierlich im oft bekommen also über alles Strömungsfeld haben ist auch ein Beispiel für eine Rezession Schätzung und meinen dass wir so ein bisschen zwischen Vorhersagen Interpretation bei Einsätzen der wollen Sie es bitte natürlich am Fluss interpretieren also wo die Strömung genau möglich stark aber einerseits wollen sie Strömung auch Vorhersagen um eben und welche Bauteile anpassen zu können oder um welche Belastungen von Bauteilen ja zum Beispiel vom Flugzeugflügel es zu wissen ok wenn ich ein Flugzeug für so Formen welche Belastungen welchen Auftrieb bekommt der Flugzeugflügeln wobei der
natürlich selten einer viel Flüssigkeit fliegt aber der er diese Flüssigkeiten besuchen sind dem Vorstufen was später auch für Kasse machen wollen
also hier geht's dann darum dass sich speziell auch mathematische Modelle überprüfen wollen sehr mathematische Modelle der Strömungen die machen ihn vorher sagen sie
wollen es konkret messen wollen überprüfen Stimme die magmatisches Modelle und wenn sie mathematische Modelle haben die Stimmen können Sie natürlich nicht es den Anfang darin zu optimieren Sie können gebaut optimieren dass sich optimale schrumpfen okay stellt sich die Frage warum ist ja gesund Funktion hilfreich bei 2 und eigentlich auch bei 1 also warum interessieren uns wir uns wieder gesund Funktion und das macht das nächste Thema als nützliche Eigenschaft Erika und Funktionen das geht leider hier 1 die betrachten die Dame da die kurze aber dicke Zufallsvariablen mit Erwartungshaltungen Silberdraht endlich wir setzen wieder als Verkehrs- und Funktionen also von nichts bedient Erwartungswert von y gegeben Grosics Gleichklang nix da dann gilt wenn Sie y versuchen wir zu sagen ich von X und sich der mittleren quadratischen Fehler bei dieser Vorhersage angucken das heißt ich gucke mir an den Erwartungswert von y das von nix zum Quadrat dann stimmt es überein oder dann kriegen Sie hier den kleinstmöglichen Wert raus wenn sie diese Funktion waren im Vergleich zu wenn sie diese Funktion bei variieren das heißt es Minimum über alle F von allen nach er vom Erwartungswert von selbst wenn man das iPhone X zum Quadrat und dann sehen Sie im Hinblick auf so einen mit mittleren quadratischen Vorhersage Fehler ist in das will so ist die Rezession Funktion eben die
optimale Funktion zur Vorhersage es war mir klar dass sie hier so was wie mittleren Fehler angucken weil es y wie das empfindlichste Differenz ist ja ist es ja zufällig ist nicht ganz klar warum sich ein Quadrat schreiben sie könnten noch genauso gut sagen ja ich schreibe hoch ein zu hoch 3 oder sonst was Frage ob denn Sie schreiben war gerade weil es eben die ganze mathematische Struktur vereinfacht mit dem Quadrat ja abstrakt gesprochen sie kommen offen Hilbertraum das Ganze wirklich schöner oder aufgrund des Quadrates kann ich eben die optimale Funktion auch so schön hinschreiben ok comma zum Beweis immer wir 1 ich mache mir Vorbemerkungen die vorgenannten gesagt dass quadratischen die selber ist da wir wissen das y quadratischen die ist das würden wir aus folgen auch in quadratischen liege aber das ist dann ist auch ob sowie das von nix quadratischen die wir war das heißt dieses Quadrat was hier steht es kleiner Nasen endlich und als Konsequenz der nach annehmen können dass wieder auch der Erwartungswert von vertrat existiert weil wenn wir nicht existieren würde allein unendlich wäre dann könnte das Ding hier nicht endlich sein okay vormerken also das Geld in Erwartungswert von zunächst im Quadrat das ist ja nach Definition wenn sie in dieses Empfang kleine X die Zufallsvariable Grosics einsetzen dann kommen sie ja gerade auf die bedient der Wartung von Ibsen gegeben X das zum Draht und dann das Quadrat mit konvexe Funktion wir hatten Wahrscheinlichkeitstheorie die ungleichen von Jenssen für bedingte Erwartungen und Sie wissen wäre das da ist ein kleiner gleich als Erwartungswert von Ibsen Quadrat gegeben X Jensen eben unter Ausnützung das X nach Quadrat nix konvex ist und das Leben Jensen zu Ungleichung für bedingt Erwartungen und dann sehen Sie nach Definition über den Erwartungen Erwartungswert bedingten Erwartung ist gerade der Wartung der ursprünglich Erwartungswert einer Zufallsvariablen und ist kleine und das ist ein endlich nach Voraussetzung damit sehen sie die linke Seite hier das kleine unendlich und damit genügt einig es zu zeigen dass diese linke Seite klar gleich als den Erwartungswert von Ibsen er von X zum Quadrat ist wenn der Erwartungswert von F von X zum Quadrat endlich ist so daher die an sehen Sie das als ich möchte im Folgenden nur noch zeigen dass wir ein beliebiges F von Aldi nach er messbar mit Erwartungswert von Evonik sogar 3 kleinen endlich das den Erwartungswert von Liebe des Effendi zum Quadrat der große gleich als Erwartungswert funktioniert empfindlichsten parat ich behaupte das reicht sehen Sie das warum dies würden aber es ist eine Frau das Minimum es auf jeden Fall größer gleich das ist klar aber ist mir messbare Funktion des genutzt es wird doch angenommen am eine entscheidende Frage wäre warum es ist klar dass dieses Minimum große gleich von diesen Erwartungswert findet zumindest Vernetzung bereit ist ich Bilder hier das Minimum über alle Funktionen und ich zeige jetzt nur dass das in vielen eigentlich über alle Funktionen die quadratischen für wahr ist größer gleich den ist wenn Problem um warum also das Erdreich des gleichen endlich warum wenn die Funktion ich quadratischen ist Hausmüll beziehen arbeitet das Erwartungswert ist Dreiecksungleichung also ich würde sowas sagen wir werden der jetzt hier kleiner endlich ist dann muss auch der kleine endlich sein weil den kann ich ja umschreiben als F von X minus y plus y und danach um abschätzen durch zweimal F von X minus y zum Quadrat plus 2 Mark sind zum Draht Erwartungswert davon gibt dann einmal den Erwartungswert und das zweite den Erwartungswert 15 Grad der hat uns ja vielleicht sogar das dann endlich wenn also der auch noch klein endlich wer immer wir automatisch der Wartungslisten F nix zum Vertrag kleinen endlich also kann es nicht sein das heißt wir wissen wir jetzt endlich und ich muss eine nur zeigen für wo der Client ist wenn der Client ist kann ich aber sofort zeigen dass wir hier auch ist ok also ich jetzt komplett ich weiß nicht ob es auch kapiert haben okay wir fragen weil die Argumentation der es genügt also zu zeigen das das der hier kleiner gleich dem es unter der Voraussetzung dass der Tam endlich ist wenn der Tank einer endlich ist aber war das vielleicht über dort auch kleine endlich ist dann kann ich folgern dass auch der Herr dieses okay wir zeigen folgende Beziehungen das ist gleich um 4 1 ich nehme die linke Seite und ich behaupte diese linke Seite stimmt überein mit dem Erwartungswert von selbst wenn man es von nächsten beitrat plus dem sogenannten L 2 Fehler den integral von davon nichts das von nächsten Quadrat und sie wird bezüglich der Verteilung von X als ich zeige der Erwartungswert von Epson F nächsten Quadrat beste schreiben als Summe von 2. 1. Term der das zumindest Felix zum Quadrat der zweite Term ist integral über des von von XPS M von nächsten Quadrat in Sigrid bezüglich der Verteilung von X sie sehen an der Stelle der zweite Term ließen integral über Quadrat ist also
immer größer gleich 0 und damit ist der Termins immer größer gleich den deren rechts und das ist so zeigen und das Gütezeichen alles zeigen die unter der Voraussetzung hier auf der an dazu wir gucken uns die linke Seite an ich mache den gleichen Riege gerade eben ich die von dem Unglück das ab und da die jetzt wieder zu was sich ab CSM von X wieder zu agieren ich multiplizieren aus ich bekomme dann 1. Quadrat ich bekomme 2. Quadrat und ich bekomme zweimal gemischten Thiam Waffen Erwartungswert ist dieser Faktor 2 gleich raus und der und jetzt sehen Sie die 1. Termin es gerade der erste Term auf der rechten Seite von 4 1 der zweite Term wenn sie ihn umschreiben bezüglich das integral bezüglich der Verteilung von ist gerade das der zweite Term alles in die gerade auf der rechten Seite von 4 1 und was Verletztenliste zeigen haben ist das der gemischte Term gleich 0 ist okay also noch mal für die gerade noch geschrieben haben der 1. Termin der jetzt unten steht ist gerade der 1. Term auf der rechten Seite von T 1 der zweite Term der da unten steht welchen um umschreibe als integral bezüglich der Verteilung von X es gerade das integral auf der rechten Seite von die 1 das heißt was ich letztes zeigen muss ist dass das bedingt gleich 0 ist dazu nutzen wir auslassen Erwartungswert immer gleich der Erwartungswert 1 bin eines beliebigen bedingten Erwartungswert vom gleichen Thomas und ich wir denn jetzt hier auf Aids das heißt ich kann das ganze Ding die umschreiben als Erwartungswert vom Erwartungswert von dem ganzen oben gegeben X und wenn ich darum die Medingen Erwartungswert würde dann ist anschaulich sowas wie der Vater F von X 1 von X ist eine Konstante und kann ich dann einfach aus dem Osten Erwartungswert heißt werden den Rechenregel für Erwartungswert für bedingt Erwartungswerte wenn sie ein Produkt von 2 Zufallsvariablen haben die eine davon ist messbar bezüglich der Signalgeber auf diese hinten bedienen also hier messbar bezüglich der von Phönizier Zeugen Signalgeber dass es bei etwa nächsten minus 1 von nix sicher der Fall dann können Sie das Ding einfach aus denen das heiße stimmten überein mit den Erwartungswert von er von X minus 1 von X war beginnt Erwartungswert von selbst wenn es von X die nix dort alles war Rechenregel für bedingt Erwartungen Wahrscheinlichkeitstheorie wir ist natürlich mit mathematischen Teil 6. immer so dass immer Satz besagt immer Voraussetzungen müssen erfüllt sein lange die Aussage ich weiß nicht ob sie noch erinnern welche Voraussetzungen braucht man am Sonntag daraus ziehen zu dürfen und der Messbarkeit des Faktors Produkt müssen sie aber sein also im Prinzip alle auftretenden bedingten Erwartung müssen sie existieren das heißt er einerseits die wird in der Wartung hier muss sie existieren das heißt es muss natürlich in sicherer sein aber andererseits auch die bedient der ward und ich da oben geschrieben haben setzen existieren das heißt sie müssen wissen des Produktes integrierbar also Erwartungswert von Betrag von Produkt ist kleiner als endlich Vorschlag warum das Produkt in die ist also warum es von X X F von X 1 von Nächstenliebe aber das sehr gute schwarz weil beide beide Einzelfaktoren 10 quadratischen die gegenüber was an der Stelle bauen jetzt über drahtig Integrierbarkeit von F wir haben schon gesehen Endes quadratischen die klärbar gibt es immer noch Voraussetzung wäre also in die Irre das heißt mit Kohle schwarz kann ich argumentieren wäre dieses Produkt ist in der Tat in der Bar okay ja wenn Sie jetzt so weit sind lassen den 1. war mal stehen und dann haben sie bedienten Erwartungswert von Differenz das bedingt Erwartungswert von selbst angegeben also Differenz der bedingten Erwartungswerte das bedingt Erwartungswert von Informix gegeben X im Felix es Messe vorzüglich X er vermietet sollten sich mal gib mal das heißt dass wir einfach das müsste gehen jetzt können sich noch mal klar machen von klein nix war der bedingt Erwartungswert von y gegeben Grosics gleich klein nix das war der Faktorisierung der bedingten Erwartung von Yps gegeben X das heißt wenn ich das für kleine Grosics Einsätze steht an der Stelle genau der bedingt Erwartungswert von Ibsen hingegeben X und dann sehen Sie hier steht insgesamt bedingt aber y gegeben X minus bedingt Erwartungswert mögliche Gimmicks ist 0 das heißt das ganze Ding ist 0 fertig ja und jetzt sehen Sie das Ganze da vorne ist dann genau das was ich ich haben will der bedingt Erwartungswert von selbst wenn man das von nix zum Quadrat das integral von von X minus 1 von X zum Quadrat Rieks Felix daraus folgern die Beziehung 4 1 und daraus folgt die Behauptung nein fragen so weit also wir sehen die Rezession Funktion minimiert den mittleren quadratischen Vorhersage Vorhersage beweise beruhte zentral auf der folgenden Zerlegung des mittlerweile kratischen Vorhersage für das von einer beliebigen Funktion das war der mittlere quadratische Fehler von der Kasse und Funktionen plus einen zusätzlichen immer größer gleich 0 ist und damit sehen Sie wenn Sie jetzt statt der und Funktion eine beliebige andere Funktion Verbänden zur Vorhersage von werden das heißt und das machen sie natürlich zwangsläufig wenn sie versuchen die sehr gesund und unterschätzen Sie werden nicht genau direkte Funktion erwischen meine Schätzung das wird ausgehend von der wer erwarteten Daten nicht möglich sein das heißt sie dann zwangsläufig nie wieder wenden der Schätze werden wir davon abweicht dann ist es eben sinnvoll im Hinblick darauf dass der mittlere quadratische Vorhersage weder das schätze dass möglichst nah am optimalen wert ist dass der sogenannte L 2 Fehler gerade von mit 1 damit gewonnene
Ports Präzisierungen und so Problemstellung machen zum Schluss gegeben ich weiß was man als Datenmenge gehen seine Datenmenge Ende stehen außen Zufallsvariablen X 1 y 1 bis XML 1 und besuchte zum 1 wir schätzen die eben von dieser Datenmenge abhängt von ALDI nachher aber von wie die Eigenschaft dass der mehr dass er 2 Risiko eben möglichst nahe einem optimalen 2 riesige dran ist und dass die Eigenschaft dass der 2 Fehler integral von Informix wie es in der nächsten vertrat Weg 6 ist klein sein soll also möglichst klein so klein wie möglich und was wir in den nächsten 3 Vorlesungen machen werde ich ja den zeigen wenn sogenannten kann schätzen nehmen dann schaffen wir das das und hatte die Eigenschaften sie oder hören Schätze konstruieren deren diese Eigenschaft hat dass der oder 2 Fehler gegen 0 konvergieren wird für alle möglichen Verteilungen also ganz egal was die zugrunde liegende Verteilung ist und ohne Einschränkungen des Ritters und Funktion oder an den Zufallsmechanismus dahintersteckt abgesehen von der unabhängige den Tischen verteilt okay aber gleich für heute fertig und wir sehen uns dann am Donnerstag
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