## Dichteschätzung

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 Title Dichteschätzung Title of Series Mathematische Statistik WS 2010 Part Number 4 Number of Parts 28 Author License CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this license. Identifiers 10.5446/21450 (DOI) Publisher Release Date 2010 Language German

 Subject Area Mathematics Abstract Aufgabe der Statistik ist es, Rückschlüsse aus Beobachtungen zu ziehen, die unter dem Einfluss des Zufalls enstanden sind. Diese Vorlesung gibt eine umfassende Einführung in die zugehörige mathematische Theorie. Behandelt werden u.a.: Hauptsatz der Mathematischen Statistik, Dichteschätzung, nichtparametrische Regressionsschätzung, Punktschätzverfahren, statistische Tests, Bereichsschätzverfahren.
Calculation Statistics Prediction Number theory Estimation Perturbation theory Mathematical statistics Mass Absolute value Random variable
Punktmenge Per mil Prediction Mass Set (mathematics) Sample (statistics) Absolute value Zufällige Menge Random variable
Probability distribution Zahl Probability theory Real number Maximum (disambiguation) Sampling (statistics) Propositional formula Total S.A. Mass Set (mathematics) Number Estimator Population density Measurable function Measurable function Negative number Modulform Estimation Absolute value Factorization Social class Random variable
Sign (mathematics) Maximum (disambiguation) Interface (chemistry) Content (media) Normal distribution
Area Plane (geometry) INTEGRAL Maximum (disambiguation) Surface Maxima and minima Set (mathematics) Mass Theory Stochastic Population density Radius Zusammenhang <Mathematik> Interface (chemistry) Negative number Estimation Summation Structural system Abschätzung Absolute value Social class
Maßtheorie Norm <Mathematik> Direction (geometry) Mass Function (mathematics) Mittelungsverfahren Theory Number Expected value Volume Estimator Arithmetic mean Radius Population density Zusammenhang <Mathematik> Quotient Estimation Sample (statistics) Absolute value Factorization Random variable
Metre Probability distribution Continuous function Zahl Kernfunktion Mass Atomic nucleus Positive Funktion Continuous function Estimator Population density Term (mathematics) Estimation Sample (statistics) Absolute value Perimeter Random variable Normal distribution Sampling (statistics) Square Arithmetic mean Radius Fünfzig Glattheit <Mathematik> Factorization
Estimator Population density Estimation Mass Atomic nucleus
ja begrüßt Welt sich zur heutigen Vorlesung zu mathematische Statistik ich möchte mich 2 Vorbemerkungen starten sie haben wahrscheinlich mitbekommen dass sie am Montag eine Wette verloren haben und ich müsste jetzt die einig einig eine Prüfungsfrage präsentieren wie ist dann aber aufgefallen beziehungsweise wurde ja mitgeteilt das ich natürlich für diesen Beweis in der Vorlesung anderthalb Stunden gebraucht habe und sie in der Klausur eine Stunde Zeit haben er was natürlich irgendwie ja so ein bisschen komisch ist das heißt eigentlich hätt ich jetzt die Prüfungsfragen so formulieren müssen dass ich ein Teil von weiß raus greife sinnvollerweise und ich habe dann gesagt ok lassen vielleicht die war einig erreicht der mir aufgefasst kann sich schlechte mehr ich kann Sie schlecht nach mehr eine Frage stellen wo ist selber anderthalb Stunden für brauchte und er den Beweis comma schlechten Bestandteile zerlegen also dann und einzelnen Teile aus greifen die Teile war nicht gleichberechtigt einig nicht sinnvoll okay 2. Vorbemerkungen ich hatte mir letzte Woche mal die Aufzeichnungen was war diese Woche mal die Aufzeichnung angeguckt und Wille also einerseits hat so ein bisschen wie würde das hätte ich neuerdings neurologische Störungen war so zu kommen hatte auf dem Bild aber ich nehme an das war der Komprimierung slecht nicht wäre oder zumindest mein Rechner das zweite was ich aber krass Wand war irgendwie die Aufnahmequalität war deutlich verbessert also das besonders krasse fand ich irgendwie dass man noch einmal die Wiederholungs- 2 gesehen hat der früher nie gesehen beiden Aufnahmen also fand ich gut was ich sage mich haben dann überlegt dieser technologischen schroff Fortschritt den konsequent so weitermacht dann der einig der nächste Schritt der nächste logische Schritt wäre man tauscht einfach meine schlechten Witze gegen gute außen heute Feldherren und Affen aber kommt vielleicht doch vor was müssen Sie noch mit schlechten Witzen vorlieb nehmen okay er Wiederholung mache ich diesmal keine aber direkt neu anfangen und 2. Mal offen und beweist aber zu Kapitel 3 liegt die Schätzung mehr und ich fange an mit dem Abschnitt zur Motivation wir machen weiter mit dem gleichen Setting wie bisher ich habe also unabhängig identisch halte er die erdige Zufallsvariablen X 1 x 2 und so weiter und ich betrachte die empirische Verteilung Mü n zunächst 1 bis XL er also x 1 x 2 und so weiter unabhängige Tisch verteilt er die fertige Zufallsvariablen UN gleich empirische Verteilung zu x 1 bis x N dann wissen wir nach dem was wir in der 1. Folge schon hatten und dann letzte Vorlesung abschließende diesen hatten nach Didenko könnte die gilt dieses Mü n von so halb offenen dabei einen von ihnen endlich bis X konvergiert gleichmäßig bezüglich X gegen Müll von endlich bis X und Mühsal die Verteilung von X was ich schreibe hier vielleicht dazu gleich X 1 1 also nach dir den bekannter des wissen wir zur Bremer über alle X aus er war von mir einen Betrag von mir einen von mir das nennt des X sind indes müde von diesen nennt die bis X konvergiert gegen ein konvergiert gegen 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 werden Sie sehen sofort das impliziert auch das Mühe 1 vom Intervall von A bis B gegen Mühe vom Intervall von ASP konvergiert werden essen dabei bei offenbar die abgeschlossen ist weil sie es einfach als Differenz von zweier so ausdrücken mit mir einen Mühe darstellen können gleichmäßig bezüglich an den sie werden dann nächsten Übungen sehen Sie können auch leicht den zerlegen Skoobe 10. von Enten sehr lebensgroße 10. von allgemeinen der Wein ab abschätzen nicht nur jedes halboffen rechts abgeschlossen es wären Prinzip egal oder deren 7 weißen Übungen dann können Sie es eilig kennen das heißt ich könnte ja auch beliebige Intervall schreiben und dann sehen Sie was das Ganze eigentlich impliziert ist dass ich eine sehr gute Vorhersage oder gute Vorhersage von der Wahrscheinlichkeit für ihn dabei haben bei bezüglich der Wahrscheinlichkeiten von Wahlen konvergiert dieses empirische Maß gleichmäßig gegen die wahre Verteilung mehr also gute Vorhersage der Wahrscheinlichkeit für daran jetzt können Sie versuchen das zu verallgemeinern und sagen ja ich möchte vielleicht mehr Statistik nicht nur Wahrscheinlichkeiten von den dreien Vorhersagen zur vielleicht auch von allgemeiner ist man wir haben Sie die Frage war die Frage der bisher
formuliert auch gute Vorhersage beliebig messbare Mengen was würden Sie sagen also wenn ich mich jetzt dazu führen dass ihre ich möchte nicht jetzt das es so bringen bei X aus er von diesen halboffenen Inter mit von mir unter von diesen halboffenen der Wahlen es mir für diesen halboffenen der Wahlen gegen 0 konvergiert zu ich schreibe das zu bringen B ja es sollte hier auch er die schreiben weil ich hat die ARD der Zufallsvariablen und entsprechend schreibe ich dann B aus B D B 1 zu bringen über B aus der Bereichen Signal die war immer oben die und interessiere mich für mir an von denen es mir von des Betrag konnte mir das auch noch gegen 0 fast sicher Kopfschütteln Begründung sie nehmen ein period Punktmengen weil die Einkommen haben sehen das Problem das wenn sich ihre Gedichte bezüglich dem Bergbau Reimers haben dann der mich von dieser ein alles gleich 0 mehr aber man von dieser 1 Promille der maximal 1 durch einen und 1 durch 1 1 durch ein geht auch noch den Müll wenn wir das so bringen über jetzt beliebige Menge heraus greifen dann können wir genau die Punkte herausgreifen wurde Smyth im Maße hat das heißt in dem genau die X 1 bis 6 in an die Antwort im Allgemeinen ein die ja denn da gehen wir von einem Nummer gleich 0 oder ja klingt mühevollen Text gleich 0 für alle x außerdem was zum Beispiel dafür dass falls er müde dich hat nicht mal mit Gedichte eines immer dichter bezüglich der Welt Maßes ist so gilt wenn ich mir so Bremer B aus B dem von werden von denen es mehr von dir dann ist es so bringen eben größer als wenn ich da als eine beliebige Menge einsetzte und auch wenn ich da eine zufällige Menge einsetzte und als zufällige Menge verzichten gerade die Menge der Daten Punkte ein das heißt dass die Welt größer als mit 1 von x 1 bis x N minus mir von x 1 bis x in das Mühlen von x 1 bis x 1 ist trivialerweise 1 bei dieses Mühlen zählt Jahr wie viele XI sind in der Menge drin und halt dann diese Anzahl n das sind alle drin und dieses mühevoll x 1 bis x 1 ist wenn die Einigung man alle Massen 0 haben hat auch diese endliche Vereinigungen von ein wo man was nun also ist gleich 0 das heißt das Ganze ist größer gleich 0 Kunde geht nicht gegen 0 wir größer gleich 1 Dankeschön wir sogar gleich 1 und konvergiert nicht gegen 0 jetzt wer aber die Frage mehr aber dieses Ziel mehr einig trotzdem ganz schön also das seines trotzdem ganz schön wenn nicht beliebige Mengen die vorerst wenn Wahrscheinlichkeit von beliebigen Mengen vorhersagen könnte und zwar so dass diese dieser Fehler dabei gleichmäßig bezüglich der man gegen 0 konserviert als wir die Frage mehr für die empirische Verteilung klappt es nicht aber vielleicht kann ich ihn schätze ja ein bisschen klein machen aber ändern und schaffst dann das das gegen 0 konserviert und das Setzen tiefergehendes das ist aber sicher nicht beweisen möchte man kann allgemein zeigen das geht nicht also ganz egal wie sie den geschätzter einschätzen wie im Dach konstruieren basierend auf werden unserer Stichprobe Sonne schätze geben wir im Dach ganz egal wie konstruieren da finden Sie über eine Verteilung so dass wenn sie zu der Verteilung der Sonne Folge von da und bei identischer teilten reellwertige bei die der Zufallsvariablen Basten die dann sukzessive da einsetzen dann von geht dieses so bringen eben nicht gegen 0 also man kann allgemein
zeigen der er es gibt keinen Scherz Dach vielleicht Mühlen davon comma x 1 bis x n seine Funktion von WDR nach der mit Supremo B aus B den Vertrag von Windach von dem es wir von dem zur gegen 0 gehen für alle Verteilungen für alle Verteilung Mühe auf er die Idee also gemeint ist hier ganz egal wie viel Mühe sie sich gegeben sollen Schätze zu konstruieren wobei diese Konstruktionsfehler ebenso so ist die Konstruktions- Regel beschreibt den ich die gegeben Punkte das sein meine beobachten Punkte wie sie dann meine Schätzungen Möhren aus die jeder einzelne auf BD eine reelle Zahl zuordnet also nicht unbedingt dem echte Wahrscheinlichkeitsrechnungen 1 isch isch lassen auch zu dass sie unter Umständen die Wahrscheinlichkeiten durch Werte größer oder kleiner nur schätzen ganz egal wie sie das machen ich finde wenn Sie mir in den Pfetzer geben weiß ich es gibt eine Verteilung also ein Maß auf er DBD wenn ich bezüglich diesen Maß jetzt eine Stimme oder per identisch Schutthalde Zufallsvariablen erzeuge x 1 x 2 und so weiter und dann diese 1. dieser unabhängigen den Stadtteil Zufallsvariablen in Mühlenbach einsetzte bekommen wir konkrete Schätzungen des Supreme um über alle B aus B des von Betrag von man davon leben dass man von die ausrechne ist jetzt eine zufällige Zahl zufällig weil sie abhängig von den x 1 bis x N und auch noch vom Stichprobenumfang in der Stichprobenumfang gegen endlich den das dann konvergiert das nicht gegen 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 als eines von diesen negativen Resultaten negative Resultate sind immer der nicht so leicht zeigen ein bisschen technisch aber okay ich macht in der Vorlesung nicht ich habe Ihnen Scart nen Litteratur Verweis reingeschrieben aber was wir jetzt in der Vorlesung zeigen werden das werden wir ja zumindest die Konvergenz der Wahrscheinlichkeit sogar ich zeigen dass ich eine Konvergenz fast ein bisschen schwächer als Konvergenz fast sicher wenn ich die Klasse der betrachteten Verteilungen einschränken das heißt wenn ich voraussetze dass Mühe eine dichte bezüglich des weg wir werden als es hat dann kann ich für diese Klasse von der Teilung in Schätzungen hinschreiben die diese Eigenschaft haben wir werden würden nach Wahrscheinlichkeit zeigen für alle solche Verteilung das wird es aber aber es gibt Schätzungen Dach sowie Freunde mitzubringen B aus B Mühen dachten es mir von die gegen 0 fast sicher für alle Verteilung Mü auch er DBD die eine dichte Bezüge dieses Gebäck war Masse besitzen vor ich mache es diesmal gab es ich bin auch in der Wahl von 0 bis 1 hinschreiben was ich würde in der Tat wäre Wahrscheinlichkeiten durch Wahrscheinlichkeiten schätzen mit dieser so bringen konnte geht gegen 0 für alle Verteilung Mühe auf RDB die die eine dichte bezüglich des Bäckerei Maßes sitzen ja was es heißt es undichte existiert sie in allen klar das heißt existiert eine Funktion es wollen wir messbare Funktionen mit der Eigenschaft für alle die aus das wir von des können Sie schreiben als in dem sie es über die Menge des integrieren bezüglich der wegbrennen und die Konstruktion solche Schätzer kann mittelbar erfolgen indem wir zunächst einmal die dichte hier schätzen dieses F schätzen und dann sobald die eine geschätzte Dichte haben setzen wir einfach die man der mir nun Mühe ein Dach einfach als integral über die geschätzte dicht und ist der entscheidende Trick dabei ist das so genannte jammervollen Chef sehen dass ich hier als der X 3 1 formulieren also vielleicht ich
noch schreiben Konstruktion soll der Schätzer mittelbar über dichte Schätzung möglich denn es gibt es sogenannte Lämmer 3 1 von Steffen das besagt folgendes sind F G 2 dichten auch RBB das heißt die Funktion sind nicht negativ integrales gleich 1 dann kann ich dieses Prägung Worby B aus B den vom integral über BFD X wie das integral über B G der X umschreiben besoffen Faktor bereits als den sogenannten L 1 weder integral über Betrag von Evonik Smith Geffen nix die nichts okay ich schreibs ausführlichen da sind es geht nicht noch RDB denn das heißt f und g sind nicht negativ messbare Funktion auch er wieder Eigenschaft dass sie zu 1 integrieren so gilt mehr ob und die Aussage kommt hier sogenannte L 1 Zähler kann ich umschreiben zunächst mal mit 2 Formen als zweimal als zweimal das integral über den positiv Teil von F von X minus G von nix das heißt das Maximum von von 1 G von X und 0 die Formulierung es gerade komplett symmetrisch können Effendi vertauschen wegen ist klar ich kann auch hier vertauschen das heißt es da es wiederum gleich zweimal denn integral über er es die von 1 er von X plus X und die entscheidende Aussage ist nun letzteres wir alle 3 ausdrücken kann nicht umschreiben als zweimal zu bringen wie aus begehen Betrag von integral über von XP belegt das integral über die G Phoenix Text also entscheidende Aussagen ist von dir das der L 1 Abstand zwischen 11 und gehen nach dir das ist bis auf den Faktor 2 einig die Fehler Ordnung die uns interessiert für den Abstand von einem geschätzten Maß waren was wir nehmen an dass er die richtige dichtet dass wir unsere geschätzte Dichte wenn es unsere Gedichte die Eigenschaft hat dass der einst wieder bei dichte Schätzungen gegen 0 geht wachsen Stichprobenumfang dann geht auch dieser Abstand hier sogenannte tote Weilchen Distanz zwischen dem Mars Wasser schätzen wollen geschätzten maßgebend ok Fragen so weit ja dann kommt die Stelle wo ich froh bin dass man es gibt keine Bilder enthält weil jetzt mal ist ein Bild zum Beweis und Sie sehen die nicht ins Skript als
eine von den beweisen die man einig ein Bild machen kann den genauen Beweis dürfen Sie den Übungen ausarbeiten aber eigentlich geht es ganz am Bild also wir haben hier mal X dann mal ich mal 2 dicht neben dem meine dichten sind alle so Gaußsche Glockenkurve das heißt wir haben hier so deutsche Glockenkurve das war mein Herr von X nun habe ich glaube ich auch noch vor Augen haben wir so wenig kann ich meine gegen andere Sorgen machen es ist vielleicht hier das Hamann G 1 X und das 1. was mich jetzt interessiert ist wir überlegen uns mal wo finden wir in dieser Skizze das integral über F von X 1 G 1 X X also können Sie das als wir sagen welche vielleicht ich Strafe ihren muss damit ich das integral über F von X 1 G von Next Brüste bekomme und ich sollte vielleicht noch dazu schreiben hier unten wobei neben
dir selbst und Lust dass das Maximum von y 0 das heißt das wer y y großer gleich 0 0 14 kleinen ok was würden Sie sagen wo in der es sehe ich oder welche Fläche muss ich staffieren damit ich gerade als dessen Inhalte sind die gerade bei F von X 1 g nächstes bist X bekommen jetzt welche zwischen F und G und zwar da wo größer als es richtig das heißt dann überlege was ist er von X minus geht gefälligst wüsste dass es halt an der Stelle x der Abstand zwischen 11 und G wenn der Abstand positiven F größer als die ist welches aufwendigere bekomme ich genau das basta dann muss ich sie nicht mehr fragen wo finden wir das integral die von XSL von nix los weil das ist eine ebene Fläche zwischen 11 und geht wo jetzt gehe größer als es ist jetzt was mich eigentlich
interessiert wir mal mit der 1. von Anfang ist der L 1 Abstand zwischen 11 und gehen wo finden Sie denn dass die Summe der beiden Flächen der weiter tun sie eben immer noch den Abstand zwischen 11 und die auf integrieren ganz egal ob S größer als gehe es über die größer als es das heißt bis da ist ja die blaue Fläche ist die rote Fläche und dann sehen Sie die 1. beiden Behauptungen sind eigentlich dass er gleich zweimal der blauen Fläche mehr gleich zweimal der Roten Flächen das heißt damit wir das sehen oder das würde gelten und das gilt genau dann wenn die blaue Fläche gleich der Bodenfläche das heißt die 1. Frage ist jetzt warum ist hier wenn die Zeichnungen wirklich wichtig wäre warum müsste dann die blaue Fläche genauso groß sein wie die rote Fläche also wollen sehen Sie das das sind dichten die sind auf integriert 1 genau richtig das heißt ich kann jetzt folgendes Argument machen wenn ich das blaue das weiße machen dann komme ich auf 1 weil F nötigte ist und ist auch das Gleiche wie das rote Weise bei jetzt bei auch die Gedichte ist und dann sehen Sie das impliziert gleich blau und das impliziert dass unsere 1. Behauptungen nämlich dass das was uns alle interessiert das ist den Einsatz schon zwischen 11 und gehen das ist gleich zweimal den blauen und gleich zweimal den roten ist mehr okay jetzt aber die 1. beiden Gleichheiten gezeigt es fehlt doch die dritte gucken Sie sich mal das anders dasteht was da steht ein nicht lassen Sie mal so Supremo weglassen Rinde Tragwerk Wasser steht das integral über B F von X wie das X 1 integral über BG von Text wir können sie zusammenfassen integraler B F von X 1 G von X das heißt Sie haben ja unumwunden Mängel ich nenne sie mal gehe und Sie kriegen integrieren dann er von X minus G von X über diese Menge und ich möchte dann zeigen wenn ich jetzt mit Rat nehmen und es so bringe über alle man dann kommt das Gleiche raus zweimal die rote Fläche ja kommst gleich aus wie die rote Fläche beziehungsweise es mag sie oder das Max welche den Betrag nehmen das Bremen darüber dass es Maximum mir ist es dann gleich der wurden vielleicht und gleich der blauen Fläche dass es noch zu zeigen haben Sie dafür eine Idee also integrieren jetzt zum Beispiel über diese Menge F von X minus G von X und dann die Behauptungen mehrere das ist betragsmäßig klar gleich der blauen Fläche was der gleiche roten verschätzt der Trick ist lassen Sie mal den Betrag weg und hätten Sie es einfach mal nur nach oben ab sehen Sie das integral über B von X 1 G von XTX nach oben abschätzen können vorschläge sie zerlegen Szenen positiv Tal von F von X G Felix und positiv Teil von G von nächsten dass er von nix wir können es uns auch anders vorstellen wir integrieren mal hier auf von hier bis hier solange es F von X minus G von X größer gleich 0 ab hier wurden F von X 1 G von X kleiner gleich 0 das heißt wenn ich im zweiten Teil der Klasse wenn es die Fläche die trivialerweise kleiner gleich als dieser Teil der blauen Fläche und dieser Teil der blau und welche wiederum ist trivialerweise kleiner gleich die ganzen Fläche das heißt ich sie sofort das da ist kleiner gleich der blauen Fläche weil wenn sie außerhalb der blauen Fläche integrieren dann komme was negatives dazu das kann ich weglassen und wenn ich nicht die ganze blaue Fläche integrieren dann ist auch kleiner als ich die ganze blaue Flächen okay umgekehrt sehe ich auch Abschätzung nach unten F von X minus G von X ist jetzt größer gleich na ja wurden von mir ab ist er von X 1 von X negativ da bekomme ich also was Negatives von hier ist es positiv wenn ich das positive der Klasse dann bekomme ich nur diesen negativen Flächeninhalt hier diese negative Flächeninhalt hier ist sicher gleich bleiben gleich als minus 1 mal die gesamte rote blechen das heißt es der hier ist größer gleich als minus 1 mal die rote Fläche nach und das haben sie für jede beliebige Menge B aus B Dinge und damit sehen sie der Betrag von den Dingen das ist natürlich immer kleiner gleich als Maximum der blauen und der roten Fläche die aber alle gleich sind also plane kleiner gleich der Roten vielleicht und kleine gleicht der blauen Fläche jetzt nur die Frage hier steht aber nicht irgendwie das da das da oben ist größer gleich den sollen gestellten Gleichheit woher kommt die Gleichheit integral von oben über die positiven Teile tauchen auf wenn ich das Bier richtig vielleicht wenn ich das B einfach ab hier nach links werde dann bekomme ich gerade die gesamte blaue Fläche wenn es B über hier nach rechts Rechtsfälle bekomme ich minus die gesamte rote Fläche das heißt diese beiden Dinge hier können angenommen werden diese der kleine gleich bei diesem Plane gleichen Größe gleich war klar gleich Beziehungen kann die Gleichheit angenommen werden und damit ist der Beweis Bild hat sich allgemein bereist machen sie dann am Montag in den Übungen wir können sich vorstellen Ja 7 und macht es Sinn das ganze was man mir ein Bild gemacht hat dann macht man eben vom prinzipiell gleich noch aber bitte für mich eine relativ hübsch ja würde
ich dann ganz gerne weitermachen weil das Ganze motiviert jetzt dass sie uns mit der Schätzung von dichten beschäftigen und zwar Schätzung vernichten Sinne oder mit dem Ziel dass der L 1 Fehler zwischen also L 1 Abstand zwischen geschätzter Dichte und war dichte gegen konvergieren soll zum Beispiel fast sich oder wir ganz vereinfachen nur nach Wahrscheinlichkeit zeigen dagegen weiß ein bisschen einfacher das Ganze ist nur Sichtweise der diese Schätzungen die eigentlich in der Literatur nicht die verbreitete ist die am meisten verbreiteste der oben in quadratischen Fehler zu nehmen weil die quadratischen Fehler meistens viel einfacher sind oder auch in zu bringen es Norm Abstand zwischen der geschätzten nicht und der war nicht zu verbinden der in dem Sinne dass man einig eine dass man die geschätzte Dichte hinterher interpretieren möchte also möchte und welche er Eigenschaften der geschätzten dichte sehen zum Beispiel wo tut diese geschätzte Dichte besonders viel Masse gehen oder wo ist da ein hoch period den sogenannten Not dass der Dichte schätzen aber wenn sich überlegen wer was ist besonders an einer Dichte ja das besondere an er ist lebende Zusammenhang zu den Wahrscheinlichkeiten ändern bietet sich dem an man die Dichte so schätzt dass die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gut waren Wahrscheinlichkeiten approximieren und dass die Sichtweise die ich hier präsentieren der Vorlesung T comma zu Abschnitt 3 2 ich glaube Sie wissen es ja mal nicht alle die Einführung Stochastik bei mir gehört mehr oder weniger nicht alle aber groß sein auch nicht ja gut ein ich mache jetzt noch mal der Hansen der ein thüringischer hastiger gar nicht ganz man vom schon gemacht den sogenannten kann ich die schätze ich motivieren jetzt hier nochmal zur Motivation des kann ich geschätzt dass dient unser 1. Lämmer das dichte Theorien von der Decke wenn man 3 2 dichte Theorem von der Decke ist der von allen Büdinger RB eine dichte also nicht negativ in die 4 zu 1 zu gilt für der fast alle x aus ergehen wenn sie über eine kleine Kugel X integrieren und durch das Verdeck Maß dieser Kugel teilen und dann den Radius dieser Kugel gegen 0 gehen lassen dann kommt da der Funktionswert von f an der Stelle x aus für Beck fast alle aber nicht für alle x sondern für Lübeck fast alle x ist er von er die Ideen nach Arbeit ich denn zu gilt für ich schreibe jetzt da fast alle Fälle wirkt fast alle nix aus RWE ich betrachte den Limes von er gegen 0 von integral über eine Kugel mit Mittelpunkt X und Radius R die bezeichnet wird ist er auch von X Teile durch das der Webmaster Google und viele der das alle x aus er des kommt der Funktionswert von f an der Stelle x raus wobei eben wie gesagt nein da ist es Beck Maß und es auch von X ist Ball und IC 3 dieser er Kugel mich zu gerade ist ab wobei sich egal ist ob sie wäre die Kugel abgeschlossen und noch offen machen kommt es gleich aus ok sie sehen vielleicht sofort wenn F stetig ist ist die Aussage trivial und das möchte ich hier schnell begründen und in den allgemeinen Fall machen Sie da in Übungen es gibt die zweite Übungen muss zugeben zu müssen schwieriger aber sei nicht ganz nett und bei der
Gelegenheit beweisen wir gleich nicht ist dichtet von der Decke bisher stets an beweisen eines verallgemeinerte bewerkstelligte Theorien wäre da wird also über der beidesmal bezüglich hier ist es Herbert Mazy auch also überbetriebliche Bergmassen die wird hier wird dir das Volumen der Kugel bezüglich dem bedeckt Maß rechnet und hier tauchten bedeckt fast überall auf meinen Sie jetzt dieses Maß an diesen 3 Stellen durch ein allgemeines Maß Mühen der ersetzen dann die die Aussage nach wie vor das heißt ich bezüglichen allgemein was er von müde und die Fähre über S A von X hier unten auf und ich schreibe dann konvergiert das für Müll fast alle X immer noch gegen F von X und das werden Sie Übungen zeigen okay ich mach den Beweis im Spezialfall dass er stetig ist 2 die stetig an der Stelle x ist ja sie gucken sich aber die Differenz von dem Quotienten links und Phoenix rechts an da können Sie das F von X auch schreiben als integralen über die Kugel ist er von x von f von x was gerade F von X X Volumen von der Kugel gibt geteilt ist das Volumen von der Kugel und dann kann ich die beiden gerade zusammenfassen und das ist das gleiche wie der von dass er von X Theologen es ja von X durch bedeckt Maß ist auf nix und dann sehen Sie dann kann ich das in dem den betragen das integral reinziehen ist ein klarer gleich als das integral über den Betrag des in die Kranken und kann dann in die Kranken durch das Suprenum abschätzen wenn kommt bekomme ich Zähler zu bringen über aus dass er von X mal integral über 1 X es gibt gerade bedeckt maßvoll ist von X Teil noch durch den Tibet Maß von ist davon nichts und Sie können das verdecken 1 A von X kotzen sehen da kommt eben gerade die Supremo raus und selbständiges an der Stelle x dann geht es natürlich gegen 0 4 dagegen fragen so weit also wie gesagt Sie sehen das ist einfach im Allgemeinen ist es ist nicht einfach brauchen Sie Richtung Maßtheorie mehr also ich habe dann ich glaube wir Aufgaben ausgemacht mit den neuesten und die vierte Aufgabe ist der entsprechende Beweise in jeder Aufgabe wir uns 3 Aufgaben ich weiß nicht mehr genau und in jeder Aufgabe und sie die Aufgabe der vor die 1. waren deterministisch Überdeckung Sven wärmer was Triviales eigentlich auch ein bisschen schwer zu sehen und dann kommen die eigentlichen Tricks also wir uns auch noch das eindimensionale im mehr in den Übungen zeigen ich jetzt auch die Winsener machen können aber dabei dann das überdeckt ist immer nicht mehr trivial gewesen uns nach wie vor schwierig zu sehen also gesehen aus eines neu gemacht oder habe ich eine Münze mal gemacht das allgemeine beweist für die gleiche eines im 2. Übungen also dort bekommen sie am Montag in Übung ausgezahlt oder Mittwoch je nachdem wann sie sind in der Woche drauf machen System ja damit habe ich Möglichkeit ein Scherz er für F von X zu motivieren indem ich nämlich zunächst einmal der von X durch das approximieren wir betrachten ein kleines
er für Al Klein gilt also F von X kann ich jetzt approximieren durch das integral weisen auf 1 x der von welches wir weg von ist auch von nix und wenn ich jetzt voraussetzen das nicht eines Maßes müde ist wenn dieses integral ist er von XL von nichts anderes als Mühe von ist von X das heißt hier steht jetzt von Avonex von X Rechnung und wenn ich mir Zufallsvariablen X 1 bis 6 entnehme die unabhängige den Tisch verteilt sind wäre nicht Verteilung mehr wir machen mal endlich viele gleich 103 identisch verteilt x 1 x 2 und so weiter mit der X 1 vielleicht dann steht also in einer kenne ich ja schon maßvolles Avonex Erzähler ist unbekannt war mir unbekannt ist für dessen bekomme ich jetzt Zufallsvariablen X 1 bis X N oder eine Stichprobe von Mühe gegeben dieses mehr ja gut wir können das einfach nicht einnehmen dann einfach mögen also entweder ich deute mir als Erwartungswert und Indikator Funktion und schätze die deutschen Stichprobe Mittel und ich sage dir recht die Schätze dieses Müll durch die zugehörige empirische maßen wie einen empirischen Maß der einst durch einen die gleich 1 bis 1 die ist ja auch von X folgen Sie geteilt durch das Läckberg Maß und das ganze schreibe ich jetzt noch ein bisschen um also erstmal mal dieses der Welt Maß von SR von X ja da können Sie den Radius und Sie können das Volumen einer Kugel mit Radius r in Zusammenhang bringen würde Volumen einer Kugel mit Radius 1 nämlich einfach auch den mal Volumen einer Kugel war die 1 und dann ist es egal um welchen period die Kugel geht das heißt ich kann direkt sagen also mit Namen davon dass er von X ja auch den anderen davon S 1 0 und dann kann es noch diese Indikator Funktion umschreiben sie die Karte Funktion von ist auch von X Phoenixsee dies gleich 1 genau dann wenn nix die der Kugel von SR von X ist ziehen und das wir von X das heißt dass die Normen von x 7 X ja jetzt muss ich mich entscheide offen oder abgeschlossene Kugel und was wollt ich hier ja ich wollte mich entscheiden wir sollen ich wollte ihn schreiben das ist das gleiche will X minus X durch R sehen das 1 von 0 also wenn x 1 x die durch R 1 1 2 0 ist dann ist auch der X 7 des Ex durch R 1 1 1 0 also wenn mit minus 1 modifizieren und das heißt jetzt der die Norm von den Dingen der kleine gleich der kleine 1 je nach dem ich das Google definiere das Gleiche wie das die Norm von X 7 X eben kleine oder kleiner gleich Erz und dann sehen Sie dann ist das das Gleiche wie das die Indikator Funktionen 1 1 1 0 von X minus X E durch er gleich 1 ist und damit haben sie F von X umgeschrieben folgende Schätzungen nämlich haben dann F von X ist ungefähr gleich ja ich jetzt die neue Handykarte Funktion ein ich habe noch diesen Faktor der Maß von S 1 von 0 den ziehe ich einfach hier war vor damit er insgesamt würdigte steht warum werden sie nachher gleich sehen dann komme ich auf 1 durch mal ja auch des mal so mild wie gleich 1 bis n 1 durch und dann auf 1 1 1 0 mah Indikator Funktionen von S 1 von 0 mal x 1 x die durch Art wo man sich jetzt aber ich habe einen mehr im 4. eine dichte diese Dichte ist werden Z wird abgebildet auf 1 durch Lübeck maßvolles 1 von 0 x Indikator Funktion von S 1 von 0 an der Stelle z das ist die Dichte diese Dichte gewerblich sukzessive aus einen stellen x 1 x 1 durch R x 1 x 2 durch ihr und so weiter und zu mir das auf dem Teil noch durch 1 durch immer auch die ich kann das ist er auch denn auch hier fassen dann sehen Sie was ich hier ein nicht gemacht habe ich habe die ursprüngliche dichte eigentlich verschoben wenn ich so dass sie um XP zentriert ist also da wo bisher die 0 war also aber wie der Wert 0 als Argument auskommt der kommt jetzt raus wenn ich XI einsetzte und dann habe ich noch eskaliert nichts wenn ich Ihre eskalieren eskaliert und noch mit dem Faktor 1 durch er auch die über das ganze Ding Gedichte bleibt dann habe ich kleine dichten die und die einzelnen Datenpunkte zentriert sind und die habe ich von über die habe ich ein arithmetisches Mittel gebildet Mai-Schätzung meiner wichtig das heißt ich habe diese Massenverteilung ich ursprünglich hatte bei der ja die Massenverteilung dich ursprünglich hatte bei der empirischen Verteilung wo ich jeweils Wasser 1 durch einen die einzelnen Datenpunkte hingegeben habe die habe ich jetzt hier verschmiert ich habe die diese Masse jeweils so'n bisschen um die Daten einzeln Datenpunkte verteilt gleichmäßig das Ganze ist eine sogenannte kann Schätzung ein der geht zurück auf
Rosenblatt in passen in den zu Ende fünfziger Anfang der sechziger Jahre Rosengarten unter 6 50 1962 ja FN von X ich mache jetzt 2 1 zu Änderungen statt er war der so genannte Bandbreite und für die Bandbreite die bei diesen Abhängigkeit von Stichproben Umfang wählen nämlich den Buchstaben H 1 also 1 durch immer noch ein Hoch dem und Sony gleich 1 bis n und statt der Dichte schreibe ich allgemein K Webcam-Funktion von X minus X die durch H 1 mit der Kernfunktionen K von RWE nach von der Fahrer ich das integrierbar ist 1 zu 1 aufs auf Ende wird und Osttor würdigte dann konkret auch oder diesen Kern konkret sogar als dichte den also auch noch nicht negativ wird das den Vorteil dann das Ganze was diese ganze kann ich die Schätze dann ebenfalls eine dichte das heißt ich würde eine dichte durch eine dichte schätzen das zweite ist die so genannte Bandbreite eine größere würden das ein paar Meter von dem ganzen wegen der die Glattheit kontrolliert haben Sie Fragen so weit die keine dann kommen noch zum Beispiel in circa das 1. wäre das von der gerade wo gerade eben also K wer 1 durch das Verdeck Maß von der Kugel mit Radius 1 zu 0 x der Indikator Funktion von der Kugeln bereit ist 1 zu 0 dass der sogenannte naive kamen zweites Beispiel der K von wir eine konstante mal 1 Mindestnorm und zum Quadrat und davon den positiv Anteil bei die konstante ebenso ist dass diese positive Funktion oder nicht negative Funktion insgesamt zu 1 integriert ist eine sogenannte er einigten kauft kann auf den kauft kann kommen Sie wenn Sie den sogenannten L 2 Fehler betrachten statt zu reden als 1 Fehler also die betrachten das integral von geschätzte Dichte minus der war dichte davon Betrag Text in wird aber ganz er wenn es denn 1 wieder weltweit wieder das ganze integral mit Betrag zum Quadrat wenn Sie dann eine gewisse Glatteis der Dichte voraussetzen können Sie der Konvergenz Rat leiten wie schnell das ganze Ding gegen 0 konvergiert wenn sie die Bandbreite zugehörig optimal wählen und noch leichter weitere Einschränkungen wie Verteilung brauchen Sie gar nicht und anschließend können sich überlegen Jahr damit dafür fest dass möglichst kleines auskommt kann ich vielleicht noch den kann irgendwie optimieren und dann kommt irgendwann der keine echten Kopf kamen aus ansonsten können sie motivieren von hier nach hier denn Sie sagen ja dieser kann hat Unstetigkeit stellen ist ein Indikator Funktion damit hat die ganze Schätzung als arithmetisches Mittel von solchen die Karte Funktion natürlich auch die gleichen Unstetigkeit stellen oder genauso Unstetigkeit stellen falls Sie ja zunächst nicht glatt während hier haben sie eine stetige Funktion wenn man seine stetige Funktion raus einsetzen und sie bilden so arithmetisches Mittel drüber dann bleibt die Funktion stetig das heißt ihre Schätzungen wird auch stetig sein und sie dann unter Umständen schön aus zumindest wenn sie erwarten dass die Ware dichte stetig ist wenn Sie etwas noch glatt das einsetzen des noch klar dass es 3. das mir viel weniger die Dichte von der Standard Normalverteilung dann kriegen sie eben noch klapperte wieder schon aus noch schönere Bilder ich noch der Graf von gleich also wenn man die die den müssen alle Standard Normalverteilung das heißt in 1 durch 2 wie hoch die Halde mal jung minus mehr zum Goldrausch halten das ist der sogenannte Kraus kann und wie gesagt die beiden letzten Terme führen eben auf sagte der Schätzungen Wasser dann eben schon in der Einführung die Stars die gemacht haben für diejenigen Leute die da bei mir waren da haben Sie gesehen dieser ganze kann sich die Schätzer lässt sich eigentlich bedeuten als in dem sie um jeden dieser einzelnen Datenpunkte mittlere Dichte drumrum legen dieses der H in kontrolliert wie stark die Dichte zentriert ist und das Ganze noch einmal mit den gut Fragen so weit dann kann ich das den
eigentlichen Satz schreiben der in die einig zeigen werden es gibt Abschnitt 3 Punkt 3 1 Konsistenz Resultat es gibt Satz 3 von 3 wir zeigen wir die schwache universale Konsistenz das kann sich die Schätze aus ich gehe aus mit von unabhängigen vertreiben er die werden Zufalls war ja benötigte F Lichteffekte Piste Bäckerei ist 2 x 1 x 2 und so weiter ich koche mir dann dann kann ich geschätzt an also etwa 1 von X 2 ja das müsste jetzt hier da oben stehen also 1 durch immer noch dem durch H 1 ich nehme den naiven Glauben Bandbreite seine H 1 schreiben mehr dazu und Bandbreite H 1 und die eigentliche Aussage ist dann wenn die Bandbreite 2 Bedingungen erfüllt 1. für wach in Stichproben sie gegen 0 konvergieren 2. Sie darf anders auch nicht so schnell schnell nicht zu schnell gegen 0 konvergieren es muss zumindest noch gelten dass in meiner habe also Stichbogen fahren male Bandbreite hoch des gegen endlich konvergiert also aus H 1 gegen 0 wie folgt das der L 1 Fehler von der gegen 0 konvergiert nach Wahrscheinlichkeit wenn der Stichprobenumfang Umfang gegen endlich geht für jede nicht jetzt Aldi die Aussage ist die folgenden sie geben eine beliebige kleine meint sie geben eine beliebige dichte bevor dann konstruieren Sie sich zu dieser Dichte unabhängige denn die Stadthalle Zufallsvariablen X 1 x 2 und so weiter konstruieren zu diesem Zufallsvariablen den kann sich der Scherzer mit der Bandbreite die diese Bedingung erfüllt ein gegen 0 und einmal ein Hauch des gegen endlich berechnen dann den L 1 Abstand zwischen den Dichter schätze und der wahren Lichte die sie vor gegeben haben bekomme zufällige Zahl die vom Stichprobenumfang abhängt oder eines Überfälle ganze Stichprobe und Stichprobenumfang gegen endlich konnte geht es denn nach Wahrscheinlichkeit gegen ich habe gegen endlich gesagt und ich meine auch gegen unendlich weise natürlich wenig Sinn wenn schon H 1 gegen 0 geht dann also wenn das dann den gegen 0 geht immer das erst recht gegen den sie am vollständig recht Dankeschön als 1. bedienen besagt dass die Bandbreite gegen 0 gehen solle die zweite bedienen gesagt dass die Bandbreite eben nicht zu schnell gegen 0 gehen soll ja es erstaunliche vielleicht noch kommen werden wir nicht mehr na ja heute sonst fragen so weit ach so vielleicht noch zu bezeichnende Satzes warum steht da schwache universale Konsistenz das kann ich geschätztes drüber ok kann sich der Schätzer alles klar darum geht's ja Konsistenz ist Aussage dass ein Fehler gegen 0 konvergiert universale Konsistenz bezieht sich darauf dass das wir mit der mehr oder weniger alle Verteilungen ist das es sind ist die also die Sie je Gedichte und der schwach bezieht sich darauf dass ich hier nur eine Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit habe nicht die stärkere Konvergenz Art Konvergenz fast sicher der Faktor könne nicht den gleichen Satz mit dem gleichen Voraussetzungen auch für fast sichere Konvergenz zeigen wäre nur dann würde ich eben ja wahrscheinlich 3 Vorlesungen verbrauchen und so brauche ich eine halbe Vorlesung für ungefähr 1 zuweisen oder nicht ganz okay ich kann gerade noch ja noch 5 Minuten Ofen so schon sind ich kann gerade noch ein vor Corolla formulieren es gibt Corel 3
4 das besagt unter den Voraussetzungen von Satz 3 3 gilt mehr das gilt für mich für ein von der Dichte Schätzungen abgeleiteten Schätzer der Wahrscheinlichkeiten an das ist mein während Dach und dann kann er dir geben das Supreme über B aus B gehen gegen 0 nach Wahrscheinlichkeit falls Mühe die Verteilung ist Gedichte F oder falls müdes Maßes mittig der und es ist eben wieder eine beliebige es ist wieder die beliebige dichte das heißt jetzt habe ich für jede beliebige wenn Sie das zugehörige Maß sich angucken kann ich die Wahrscheinlichkeiten Uniform vorhersagen unter Beweis geht dann schnell weil Sie können diese diese so bringen mir ja nach nach von Chef des umschreiben heißen halt mal den 1 Abstand und nach unserem Satz 3 3 dem östlichsten mal zeigen werden konnte der das ganze Jahr noch Wahrscheinlichkeit gegen 0 okay frage noch so weit keine
Fragen dann bin ich für heute fertig wenn wir sehen uns am Montag